ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限 / 米粉

十分大きな自然数nに対し、n!、n^nの大小関係を求める問題が分かりません。解いていく手順など詳しく教えていただきたいです。お願いします。n！はnの階乗で、n^nはnのn乗です。

No.82681 - 2022/07/07(Thu) 17:10:36

☆ Re: 極限 / ast

明らかに任意の自然数 n に対して n! ≤ n^n (n=1 以外では明らかに < で成り立つ) です.
# n! は n 以下の自然数を, n^n は n をそれぞれ因子として n 個掛けたものだから手順もくそもない.

見ての通り "n が十分大きい" 必要はまったくないし, これの大小そのものを問題にする文脈があるとも考えにくいですから, 実際に扱おうとしているのは全然別の主張なのではないのかという疑念しか浮かばないですね.

No.82682 - 2022/07/07(Thu) 17:47:24

☆ Re: 極限 / らすかる

n=2のときn!=2,n^n=4なのでn!＜n^n
n=kのときn!＜n^nが成り立つとすると
n=k+1のとき
n!=(k+1)!=(k+1)・k!＜(k+1)・k^k＜(k+1)・(k+1)^k=(k+1)^(k+1)=n^n
なのでn!＜n^nが成り立つ。
よってn≧2のときn!＜n^n。

No.82683 - 2022/07/08(Fri) 01:13:19

★ 軌跡 / な

aは定数でa>1とし、点(a,0)を通る傾きmの直線と円x^2+y^2=1が異なる2点A,Bで交わる。
(1)mの値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲をmが動くとき線分ABの中点の軌跡を求めよ。

(2)で線分ABの中点を点(X,Y)として、解と係数の関係などを使った軌跡をまとめようとしたらら、明らかに違う直線の方程式が出たのですが、(Y=-(1/m)X m≠0じゃないが)どこが間違っているのか教えて下さい。あと模範解答も待ってます。

No.82677 - 2022/07/06(Wed) 23:32:53

☆ Re: 軌跡 / X

Y=-(1/m)X
ではmが変数なので、変形が中途半端です。
これを以って
軌跡が直線である
とは言えません。
(傾きが変数になっていますので、この形では
原点を通る直線の集合(但し、Y=0は含まず)
としか言えません。)

軌跡が曲線の場合、方程式は次の(i)(ii)いずれかの形になります。
(i)
mが完全に消去されたX,Yで表された方程式
(ii)
X=f(m)
Y=g(m)
(f(m),g(m)はmの関数)

軌跡の形状を判断する場合は、
(i)の形にして一目で分かるように
するのが一般的な方針です。

但し、(ii)の式の形に変形して、
軌跡の形状が分かる場合もあります。
例)
X=cosm
Y=sinm
(mは0≦m≦πなる変数)
これは
原点を中心としたX軸に関して上側の半径1の半円
を表します。

No.82679 - 2022/07/07(Thu) 06:13:13

★ 面積分 / 面積分

写真のように解きましたが
解答は4πで合いませんでした。
どこが間違っているでしょうか？

No.82671 - 2022/07/06(Wed) 12:13:59

☆ Re: 面積分 / X

極座標に変換した後の被積分関数にヤコビヤンが
かけられていないのも誤りですが、それ以前に
途中からの計算がSのz≧0の部分のみの積分に
なってしまっています。

ちなみにこの積分は面積分さんのような
複雑な計算をしなくても解けます。
S上においてr=aですので
(与式)=∫∫[S]dS/r^2=(1/a^2)∫∫[S]dS
=(1/a^2)・4πa^2
=4π

No.82673 - 2022/07/06(Wed) 18:30:22

☆ Re: 面積分 / 面積分

ありがとうございます。

No.82678 - 2022/07/07(Thu) 02:18:26

★ 整数(合同式) / Nao

合同式の単元での問題ですので、合同式を用いて解く問題だと思うのですが、解けません。。。
解答がないため正答をお示しできないのですが、お分かりになる方、解説いただけないでしょうか。

No.82667 - 2022/07/06(Wed) 00:26:44

☆ Re: 整数(合同式) / ヨッシー

7x＝1000－18y　を７を法にした合同式にすると、
　0≡6－4y
　y≡5
よって、y は、
　5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54
の８個であり、それに対するｘは、
　130, 112, 94, 76, 58, 40, 22, 4
です。

No.82669 - 2022/07/06(Wed) 08:27:30

☆ Re: 整数(合同式) / Nao

よくわかりました。
ありがとうございました。

No.82675 - 2022/07/06(Wed) 20:47:13

★ マクスウェル方程式の境界条件について / 境界条件

スレチだったら申し訳ありません。
マクスウェル方程式の境界条件について。大学で電磁波の勉強をしているのですが,以下の第三種境界条件(混同境界条件)の式が導出できません。
題は媒質1が完全導体,媒質2が不完全導体の時の境界条件を一般化したものについてです。ネット上でも文献が少なく,いろいろ自分で式を変形しているのですが,なかなか難しいです。
大変初歩的な質問で恐縮なのですが,導出過程をしめしていただけないでしょうか。不足している情報があれば随時お答えいたします。

No.82654 - 2022/07/05(Tue) 12:25:39

☆ Re: マクスウェル方程式の境界条件について / X

(1.55)の↑nとの外積を左から取ると
↑n×(↑n×↑E)=-ηZ[0]↑n×↑H (A)
((∵)↑n×↑n=↑0)
一方、マックスウェルの方程式から
∇×↑E=-μ[1](∂/∂t)↑H　(電磁誘導の法則) (B)

質問内容には書かれていませんが
(∂/∂t)↑H=jω↑H
を仮定できるのであれば、

(B)より
↑H=-{1/(jωμ[1])}∇×↑E
これを(A)に代入すると
↑n×(↑n×↑E)={ηZ[0]/(jωμ[1])}↑n×(∇×↑E) (A)'
ここで
Z[0]=√(μ[0]/ε[0])
k[0]=ω√(ε[0]μ[0])
により
Z[0]/ω=(1/k[0]){√(ε[0]μ[0])}√(μ[0]/ε[0])
=μ[0]/k[0]
これを(A)'に代入して
↑n×(↑n×↑E)={ημ[0]/(k[0]μ[1])}↑n×(∇×↑E) (A)"
更に条件から
μ[r1]=μ[1]/μ[0]
に注意すると(A)"は
↑n×(↑n×↑E)={η/(jk[0]μ[r1])}↑n×(∇×↑E)
∴(jk[0]/η)↑n×(↑n×↑E)=(1/μ[r1])↑n×(∇×↑E)
となり、(1.56)を得ます。

似たような変形を(1.54)に行えば(1.57)を得られると思います。
但し、こちらに使うマックスウェルの方程式は
∇×↑H=ε[1](∂/∂t)↑E (つまり、アンペールの周回積分の法則の方)
で、これも
(∂/∂t)↑E=jω↑E
が仮定できれば
∇×↑H=jωε[1]↑E
となりますので、これを使って、(1.54)から↑Eを消去していきます。

No.82658 - 2022/07/05(Tue) 18:07:02

★ 面積分 / 範囲

写真のように解きましたが、解説の解答は0で間違っていました。
どこが間違っているでしょうか？

No.82653 - 2022/07/05(Tue) 11:19:32

☆ Re: 面積分 / GandB

　0になったので、たぶん合ってると思う。

No.82656 - 2022/07/05(Tue) 16:57:05

☆ Re: 面積分 / 範囲

範囲が　2-xでしたか。
丁寧にありがとうございます。

No.82657 - 2022/07/05(Tue) 17:09:00

★ 範囲の求め方 / 範囲

6-2x-3y が0以上
xが0以上
yが0以上
のとき、xとyの範囲はどうやって求めたらいいですか？

No.82650 - 2022/07/05(Tue) 10:39:52

☆ Re: 範囲の求め方 / ヨッシー

6-2x-3y≧0
x≧0
y≧0
のグラフを描いてみるのが第一歩です。

一概に x と y の範囲と言っても、
0≦x≦3, 0≦y≦2 ではありますが、
(x, y)＝(2, 3) という組み合わせは存在しないので、
どう答えるべきかは、何を聞かれているかによります。

多分、
6-2x-3y が0以上
xが0以上
yが0以上
のときの、x と y の範囲を求めよ。
という問題ではないと思います。

x と y が取りうる値の範囲をそれぞれ求めよ。
ならあり得ます。

No.82651 - 2022/07/05(Tue) 10:46:17

☆ Re: 範囲の求め方 / 範囲

面積分の問題です。積分範囲を求めたかったです。

No.82652 - 2022/07/05(Tue) 11:11:01

★ ベクトル / Sky

解答がついておらず、添付の問題が解けません。
解ける方がいれば教えていただきたく、よろしくお願いします！

No.82648 - 2022/07/04(Mon) 23:58:12

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

∠ＡＯＢ＝60°は明らかであり、

を考慮すると、Ｐの存在範囲は以下のようになります。

面積は、４を高さとすると底辺は 8/√3 なので、
　16／√3＝16√3/3
ＯＰが最大となるのは図の●の位置で、座標で言うと
　(-1, 3√3)
よって、
　ＯＰ＝√28＝2√7

No.82649 - 2022/07/05(Tue) 08:53:58

☆ Re: ベクトル / Sky

ヨッシーさま

ありがとうございます。

面積の部分ですが、4×8/√3ですと、16√3/3ではなく、32√3/3かと思うのですが、認識に相違ないでしょうか。

No.82666 - 2022/07/06(Wed) 00:21:20

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

おっと、そうでした。

三角形のクセで２で割ってました。
　32√3/3
です。

No.82668 - 2022/07/06(Wed) 08:14:51

☆ Re: ベクトル / Nao

ありがとうございます！

No.82674 - 2022/07/06(Wed) 20:46:28

★ 変曲点における接線 / TOM

TOM

こんばんは。
y=(x-1)^3の変曲点A(1,0)における直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aでy=(x-1)^3のグラフを切ってしまうので、接線のように
見えないですが教えてください。

同様に
y=(x＋１)/e^xの変曲点B(1,2/e)における直線y-2/e=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-2/e=f'(1)(x-1)は点Bでy=(x＋１)/e^xのグラフを切ってしまうので、接線のように
見えないですが教えてください。

No.82646 - 2022/07/04(Mon) 21:53:23

☆ Re: 変曲点における接線 / X

ある曲線C上の点Aにおける接線lについて、
C上の点Aとは異なる点BでCとlが交わって
いても、lが
「点Aにおける」Cの接線
であることに変わりはありません。

No.82659 - 2022/07/05(Tue) 19:17:44

☆ Re: 変曲点における接線 / TOM

すみませんが、「ある曲線C上の点Aにおける接線lについて、
C上の点Aとは異なる点BでCとlが交わっていない場合」
で以下のものについて教えてください。

y=(x-1)^3の変曲点A(1,0)における直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aでy=(x-1)^3のグラフを切ってしまうので、接線のように見えないですが教えてください。

No.82660 - 2022/07/05(Tue) 20:33:21

☆ Re: 変曲点における接線 / X

ごめんなさい。質問の意味を誤解していました。

例えば
y=x^3 (A)
のグラフ上の点(0,0)(つまり原点)における
接線の方程式は
y=0 (つまりx軸)
ですが、x軸は(A)のグラフを原点で切っていますよね。
このように
接点において、接線が接線を取る曲線を切る
ということもあります。

TOMさんは多分数学IIIを学習していないかもしれませんが
もし学習されているのであれば、次のキーワードを
調べてみて下さい。
変曲点

No.82711 - 2022/07/10(Sun) 11:55:54

★ 中学数学:図形 / 山田山

?Cと?Dの行間が分かりません。解説をお願いします。

No.82643 - 2022/07/04(Mon) 14:33:05

☆ Re: 中学数学:図形 / 山田山

キーボードの関係上変な文章になってしまいました、すみません。アンダーラインとその上の行間を指しています。

No.82644 - 2022/07/04(Mon) 14:34:51

☆ Re: 中学数学:図形 / ヨッシー

△ＡＢＦ≡△ＥＢＣ　から
正方形ＢＦＧＣ＝長方形ＢＪＫＥ　が言えたのと同様に、
△ＡＢＩ≡△ＡＤＣ　から
正方形ＣＨＩＡ＝長方形ＡＤＫＪ　が言えるということです。

ちなみにキーボードのせいではなく、○数字が文字化けしただけです。

No.82645 - 2022/07/04(Mon) 14:56:21

☆ Re: 中学数学:図形 / 山田山

回答ありがとうございます。

No.82672 - 2022/07/06(Wed) 14:18:19

★ ベクトル / Nao

こちらの問題、解答解説がなく、どうしても自力で解けません。
途中式含めた解答をお教えいただきたく、宜しくお願いいたします。

No.82637 - 2022/07/03(Sun) 22:13:20

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

図のように、座標平面上にＯＡ＝(1,0)、ＯＢ＝(0,1) とすると、
Ｐの座標は(s, t)で表せます。あとは、
　s+2t≦2, s-2t≦2, t≦2
の領域が、Ｐの存在範囲となり、その面積は△ＯＡＢの16倍となります。

No.82642 - 2022/07/04(Mon) 12:24:48

☆ Re: ベクトル / Nao

ヨッシーさま

理解できました。
ありがとうございます！！

No.82647 - 2022/07/04(Mon) 23:54:18

★ 高校3年　複素数の極形式 / めいぷる

z = 5･√(1 + i)を極形式で示したいのですが、行き詰まってます。できれば途中式を含めた解答をお願いしたいです。一応補足でiは虚数単位です。

No.82633 - 2022/07/03(Sun) 09:11:32

☆ Re: 高校3年　複素数の極形式 / ヨッシー

ｒ・ｅ^iθ＝√(1＋i)
とすると、２乗して
　ｒ²・ｅ^2iθ＝1＋i＝√2ｅ^iπ/4
または
　ｒ²・ｅ^2iθ＝1＋i＝√2ｅ^9πi/4
よって、
　ｒ＝2^1/4、θ＝π/8 または 9π/8

あとは、ｒに５を掛ければ、ｚになります。　
　

No.82635 - 2022/07/03(Sun) 18:07:37

☆ Re: 高校3年　複素数の極形式 / めいぷる

ヨッシーさん、ありがとうございます！

理解することができました！

No.82641 - 2022/07/04(Mon) 08:26:13

★ a^4=b^5+4 / 大西

a^4=b^5+4を満たす3以上の素数(a,b)の組を求めよという問題なのですが、
解が存在しなさそうな気がします。
解が存在しないならばそれを示したいのですが、うまくいかないです。
解き方を教えてください。

No.82627 - 2022/07/03(Sun) 00:04:58

☆ Re: a^4=b^5+4 / IT

a^4=b^5+4
∴(a^2+2)(a^2-2)=b^5
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2 or a^2+2=b^4,a^2-2=b
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2
∴b^3-b^2=4
∴b=2 不適

No.82628 - 2022/07/03(Sun) 01:12:02

☆ Re: a^4=b^5+4 / 大西

ありがとうございます。
理解できました。

No.82632 - 2022/07/03(Sun) 08:38:35

★ ベクトル / Nao

添付の2問がわかりません。
解答解説がなく、正答がわからず、どなたか途中式含め正答をお教えいただけないでしょうか。

No.82626 - 2022/07/02(Sat) 23:28:11

☆ Re: ベクトル / IT

（４）の大まかな流れ（x,y,z>0 などの条件は記述を略してます）
2/x+1/y+1/z=1 よりx=2yz/(yz-(y+z))
∴w=2yz/(yz-(y+z))+y+z

yzが一定のときy+zが最小となるのはy=zのときなので
wが最小となるのはy=zのときで
w=2y^2/(y^2-2y)+2y=4/(y-2)+2(y-2)+6
これが最小となるのはy-2=√2のとき（∵相加相乗平均の関係）
すなわちy=2+√2のとき・・・

これもベクトルの応用問題で下のXさんの解法が良いですね。

No.82629 - 2022/07/03(Sun) 06:13:46

☆ Re: ベクトル / X

(4)の別解
条件から
↑a=(√x,√y,√z)
↑b=(√(2/x),1/√y,1/√z)
なる↑a、↑bを置くことができます。
このとき
(|↑a||↑b|)^2≧(↑a・↑b)^2
(不等号の下の等号は↑a//↑bのとき成立 (P))
∴(x+y+z)(2/x+1/y+1/z)≧(√2+2)^2 (A)
(A)に
2/x+1/y+1/z=1 (B)
を代入すると
x+y+z≧6+4√2
∴x+y+zの最小値は6+4√2
このとき(P)より
↑a=k↑b (kは0でない定数)
と置くことができるので
√(2/x)=k√x (C)
1/√y=k√y (D)
1√z=k√z (E)
(B)(C)(D)(E)を連立して解き
(x,y,z)=(2+2√2,2+√2,2+√2)

No.82630 - 2022/07/03(Sun) 07:22:52

☆ Re: ベクトル / Nao

ITさま、Xさま

ありがとうございます！
ご丁寧な解説のお陰で(4)は理解できました。

(3)は相変わらず自力では解くことができません。。
同様に解法、正答をお教えいただけると助かります。

どうぞ宜しくお願いいたします。

No.82634 - 2022/07/03(Sun) 14:30:54

★ 面積分における領域の範囲 / 大学数学

平面 2x+2y+z=2 が座標軸と交わる点A,B,Cを頂点とする三角形の領域をSとする.
この条件から,x,y,zの範囲を出さないといけないと思うのですが,どうすればいいですか？

No.82623 - 2022/07/02(Sat) 18:26:38

☆ Re: 面積分における領域の範囲 / 大学数学

すいません.分かりました.x軸との交点を出すにはy,z=0を代入すればいいんですよね.

No.82624 - 2022/07/02(Sat) 18:29:14