ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数?TA 二次関数 / １

F(x)=x^2-(2a+8)x+2a+11 (aは実数）

全ての実数xに対して、F(x)>0となるaの値の範囲は「ア」であり、y＝F(x)のグラフがx軸と接するとき、xの正の方の値は「イ」である。

また、y＝F(x)のグラフがx軸から切り取る線分の長さが4√3であるとき、aの正の方の値は、a=「ウ」である。

このア、イ、ウの求め方が分からないので解説、解答の方をよろしくお願いします。

No.22750 - 2013/10/15(Tue) 11:18:52

☆ Re: 数?TA 二次関数 / X

前半)
xの二次方程式
F(x)=0 (A)
の解の判別式をDとすると
(i)全ての実数xに対して、F(x)>0となるとき
(A)は実数解を持ちませんので
D/4＜0 (B)
(B)をaの不等式と見て解きます。
(ii)y＝F(x)のグラフがx軸の正の範囲で接するとき
(A)は重解を持ちますので
D=0 (C)
又、この重解をγとすると解と係数の関係より
2γ=… (D)
更に
γ＞0 (E)
(C)をaについての方程式と見て解き、その結果の内
(D)(E)から得られるaの不等式を満たすものを求めます。

後半)
y=F(x)とx軸との交点のx座標をα、βとすると
|β-α|=4√3 (F)
又α、βは(A)の解でもあるので解と係数の関係から
α+β=… (G)
αβ=… (H)
(F)(G)(H)よりaについての方程式を導きます。
(まずは(F)の両辺を二乗してみましょう)

No.22751 - 2013/10/15(Tue) 11:34:38

★ (No Subject) / A

日付：2013/10/14(月) 9:28

aは正の実数である。縦2a、横3aの長方形の紙の4つの隅から
辺の長さがxの正方形を切り取り、ふたのない箱Ａをつくる。
ただし0<ｘ<aとする。

Ａの体積V(x)が最大となるときの　最大値を求めよ。

宜しくお願いします。
---------------------------------------------------------

　　　に　遭遇した　=== ideal を　愛する　少女　I === が　即答した；

I=<y - (3*a - 2*x)*(2*a - 2*x)*x, y - k> とし

I∩Q[x]=<-k + 6 a^2 x - 10 a x^2 + 4 x^3>

KARA 16 (9 a^6 + 20 a^3 k - 27 k^2) を獲、

http://www.youtube.com/watch?v=XoJ489cavIM&list=PL332718BFBBD764EB

此れが　0 となる　k の内　不適なのを排除し

k = 1/27 (10 a^3 + 7 Sqrt[7] a^3)　これが　最高のボリューム　V ですっ!!!

http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Hanamizuki/6909/saiko/saiko7.mp3

========================================================================

Q ; 「そう云っては　「身も蓋もない」」　と　少女A の　↑の　解答を

　　【蔑視】せず　行間を埋めて下さい;(●●●<---此処がメインです●●●）

No.22748 - 2013/10/14(Mon) 21:33:23

☆ Re: / angel

いや、あの、うん。意味が分からない。問題文だけは分かるので、模範解答例を出すくらいならできるけど。
どういう経緯があって、何を質問したいのか、他人が見て分かるものかどうか、一度見直した方が良いと思う。

No.22749 - 2013/10/15(Tue) 07:20:42

★ 数２Ｂ / まさみん

数２Ｂの問題なんですが
全くわかりません。
しかも、当てられてしまって解説をみんなの前で
しなければならないのでもしよければ、解説つきで
この問題を解いていただけませんか？

点Ｏを中心とする半径４の扇形OABがあり
中心角∠AOBは鋭角でcos∠AOB＝3/5
をみたしている。

右の図のように、孤AB上に点Ｐをとり
点Ｐを通り線分ＯＡに平行な直線と線分ＯＢとの
交点をＱとする。また、点Ｐ、Ｑから線分ABに引いた直線と線分ＯＡとの交点をそれぞれR、Ｓとする。

∠ＡＯＰ＝θとおくと

PS＝ア sinθ、RS＝イ cosθ-ウ sinθ
であるから、四角形PQRSの周の長さをＬとすると

Ｌ＝エ sinθ ＋オ cosθ
＝カ√キクsin(θ＋α)

となる。ただし、αは０＜α＜π/2でtanα＝ケ
を満たす角である。

よってＬが最大になる時のθの値をφとおくと
tanφ＝コ/サ
cos２φ＝シス/セソである。

答えは
アが4
イが4
ウが3
エが2
オが8
カが2
キクが17
ケが4
コが1
サが4
シスが15
セソが17

です！

No.22742 - 2013/10/14(Mon) 11:06:49

☆ Re: 数２Ｂ / X

△OPSに注目して
PS=OPsin∠POS=4sinθ (A)
OS=OPcos∠POS=4cosθ (B)
∴条件により
QR=PS=4sinθ (C)
ですので△OQRに注目して
OR=QR/tan∠QOR=(4sinθ)/tan∠AOB (D)
ここで
cos∠AOB=3/5 (E)
で∠AOBは鋭角ですので
1+(tan∠AOB)^2=1/(cos∠AOB)^2
により
tan∠AOB=√{1/(cos∠AOB)^2-1}=4/3 (F)
(D)(F)より
OR=3sinθ (G)
(A)(G)より
RS=OS-OR=4cosθ-3sinθ (H)
(A)(H)より
L=2(PS+RS)=2sinθ+8cosθ (I)
∴三角関数の合成により
L=(2√17)sin(θ+α) (J)
但しαは
0＜α＜π/2,tanα=4/2=4 (K)
なる角です。
(F)(K)と加法定理により
tan(∠AOB+α)=(tan∠AOB+tanα)/(1-tan∠AOBtanα)
=(4/3+4)/{1-(4/3)・4}＜0 (L)
ここで∠AOBが鋭角であることと(K)により少なくとも
0＜∠AOB+α＜π
ですので(L)により
π/2＜∠AOB+α＜π (M)
(M)と
0≦θ+α≦∠AOB+α
によりLは
θ+α=π/2
のときに最大になります。
よって
φ+α=π/2
ですので
φ=π/2-α (N)
よって
tanφ=tan(π/2-α)=1/tanα (O)
cos2φ=cos(π-2α)=-cos2α
=1-2(cosα)^2
=1-2/{1+(tanα)^2} (P)
(O),(P)に(K)を代入して
tanφ=1/4
cos2φ=15/17
となります。

No.22746 - 2013/10/14(Mon) 17:19:29

★ 2円 / c

ガウス平面　で　z^3-212=0 の解を　図示すると　
原点中心　の　半径=___の　円上に　綺麗に並んでいる。

ガウス平面　で　z^3-9 z^2+27 z-53=0　の解を　図示し
実数解を通る　原点中心の　円の　半径を　求めて図示して　下さい.

どちらの　円が外にありますか?

http://www.youtube.com/watch?v=lEIYOVUxZqI

No.22740 - 2013/10/14(Mon) 09:20:22

☆ Re: 2円 / ＩＴ

下記サイトの2013/10/13(日) 23:18　に
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=2
「大小比較」
z^3-212=0 の実数解212^(1/3)と
z^3-9 z^2+27 z-53=0の実数解3+26^(1/3)の大小比較が出てる
y=f(x)=x^(1/3)の上に凸性を使って
212^(1/3) > 3+26^(1/3)

No.22747 - 2013/10/14(Mon) 21:11:16

★ 数学?V微分 / みかん

別のサイトでお世話になりました、みかんです。質問しても
大丈夫でしょうか？マルチポストではないです。

二問ほどご教授お願いします。

(1)y=tanX/(1+tanX)

(2)y=√(2sin5/2*XcosX/2)

(2)は文字にすると分からないと思うので画像を載せます。
答えは(1)1/(cosX+sinX)^2
(2)3cos3X+2cos2X/2√(sin3X+sin2X)

最初から公式なのか簡単にしてからなのかまったくわかりません。周りの友達もわからないと言ってました。
ご教授お願いします。

No.22736 - 2013/10/14(Mon) 02:56:02

☆ (1) / angel

関係式を一通り挙げて丁寧に処理すればいけます。

取り敢えず
　cosx・tanx=sinx
　(tanx)'=1/(cosx)^2
　※同様に (1+tanx)'=1/(cosx)^2
　(f/g)'=(f'g-fg')/g^2　※商の微分
これだけ使います。

では、y=tanx/(1+tanx) に対して

　y'
　=( (1+tanx)・(tanx)' - tanx・(1+tanx)' )/(1+tanx)^2
　=( (1+tanx)/(cosx)^2 - tanx/(cosx)^2 )/(1+tanx)^2
　=( (1+tanx)-tanx )/( (cosx)^2・(1+tanx)^2 )
　=1/( cosx・(1+tanx) )^2
　=1/(cosx+cosx・tanx)^2
　=1/(cosx+sinx)^2

という感じで。( 実際の解答ではここまでゴテゴテ書く必要はないので、適宜間引いてください )

No.22739 - 2013/10/14(Mon) 09:14:26

☆ Re: 数学?V微分 / X

(2)
√の中を積和の公式を使って変形すると
y=√(sin3x+sin2x)
後は合成関数の微分を使います。
f(x)=sin3x+sin2x
と置くと
y'=f'(x)/{2√f(x)}
=(3cos3x+2cos2x)/{2√(sin3x+sin2x)}

注)もちろん積和の公式を微分する前に使わず
f(x)=2sin(5x/2)cos(x/2)
と置いて合成関数の微分を使っても解答としては
問題ありません。
但し、f'(x)の計算には積の微分を使います。
(模範解答とは見かけは異なりますが、微分後に
積和の公式や加法定理を適用すれば同じ式になります。)

No.22741 - 2013/10/14(Mon) 09:22:18

☆ Re: 数学?V微分 / みかん

angelさん、Xさん、分かりやすく説明して頂きありがとうございます。すごく分かりやすかったです。

No.22743 - 2013/10/14(Mon) 14:07:58

★ (No Subject) / A

数列の問題です。

ここの四角で囲っている計算が分かりません。
解説よろしくお願いします。

No.22733 - 2013/10/13(Sun) 22:52:37

☆ すみません / A

2{1-(1/2)^n}
=2^n-1/2^(n-1)

画像が何回やっても載せれなかったので
書かせてもらいました。
上の式からどうやって計算したら下の式になるのでしょうか？

解説よろしくお願いします。

No.22734 - 2013/10/13(Sun) 23:19:18

☆ Re: / ＩＴ

> 2{1-(1/2)^n}
> =2^n-1/2^(n-1)

2=2^n ってことになるけどn=1のとき以外は成立しないと思うけど。誤植では？
それとも(2^n - 1)/(2^(n-1)) かな？

No.22735 - 2013/10/14(Mon) 01:42:54

☆ すみません / A

はい、(2^n-1)/(2^(n-1))でした…
すみません！

2{1-(1/2)^n}
=(2^n-1)/{2^(n-1)}

この計算を教えてください
解説よろしくお願いします

No.22737 - 2013/10/14(Mon) 08:58:35

☆ Re: / ＩＴ

2{1-(1/2)^n}
いったん展開
=2 - 2{(1/2)^n}
=2 - [2/(2^n)]
約分
=2 - [1/{2^(n-1)}]
通分
=2 [{2^(n-1)}/{2^(n-1)}] - [1/{2^(n-1)}]
= [{2^(n)}/{2^(n-1)}] - [1/{2^(n-1)}]
=(2^n-1)/{2^(n-1)}

No.22738 - 2013/10/14(Mon) 09:11:31

☆ Re: / A

なるほど…私約分して終わってました。

ITさん、丁寧で分かりやすい解説ありがとうございました！

No.22744 - 2013/10/14(Mon) 15:03:17

★ 最短 / m

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/003/138162094912008685228.gif
を　お願いします。

No.22730 - 2013/10/13(Sun) 09:45:10

☆ Re: 最短 / ヨッシー

回答しやすいように見えるようにしておきます。

No.22731 - 2013/10/13(Sun) 09:58:08

☆ Re: 最短 / to

最小値は、(a＋b)
このとき、Ｐ({a√a}/{√(a＋b)}，{b√b}/{√(a＋b)})

No.22810 - 2013/10/17(Thu) 03:44:52

☆ Re: 最短 / to

概略です
表記がしにくいので、接点を(p，q)としてあります。

接線の方程式から、Ａ(a^2/p，0)，Ｂ(b^2/q)を求め
　ＡＢ^2＝(a^4/p^2)＋(b^4/q^2)

(p，q)が楕円上の点であることから、(p^2/a^2)＋(q^2/b^2)＝1なので
【これをかけて式変形】
　ＡＢ^2＝{(a^4/p^2)＋(b^4/q^2)}{(p^2/a^2)＋(q^2/b^2)}
　　　　＝a^2＋b^2＋{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＋{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}

　★{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＞0，{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}＞0で相加・相乗平均の関係より
　　　{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＋{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}≧2ab

　ＡＢ^2≧(a＋b)^2　で、ＡＢ≧a＋b

　★等号が成立するときを考えると
　　?@{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＝{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}
　　?A(p^2/a^2)＋(q^2/b^2)＝1
　　　?@?Aを解いて、p＝a√a/√(a＋b)，q＝b√b/√(a＋b)

No.22823 - 2013/10/18(Fri) 00:21:39

★ 極限 / ktdg

nを自然数とする. xy平面内の, 原点を中心とする半径nの円の内部と周を合わせたものをCnで表す. 次の条件(＊)を満たす1辺の長さが1の正方形の数をN(n)とする.
(＊)正方形の4頂点は全てCnに含まれ, 4頂点のxおよびy座標は全て整数である.
このとき lim[n→∞]N(n)/n^2=π を証明せよ.

解答ではガウス記号をつかってN(n)を個数として扱って挟み撃ちを使っていたのですが, 正方形1個の面積は1で, (＊)を満たす全ての正方形の面積はN(n)なので正方形が全てCnに含まれることを考えると,
πn^2≧N(n)≧π(n-1)^2から
π≧N(n)/n^2≧π(1-2/n+1/n^2)→π (n→∞)
としてはダメなんでしょうか？

No.22724 - 2013/10/13(Sun) 00:03:56

☆ Re: 極限 / らすかる

N(n)≧π(n-1)^2 が言える根拠を示さないとダメです。

No.22725 - 2013/10/13(Sun) 00:37:45

★ 回転の領域について / 受験生

y=-x+1(0≦x≦1)をz軸の周りに回転させたとき、通る領域をxy平面上に図示せよ。

説明も詳細に入れてよろしくお願いしますm(_ _)m

No.22718 - 2013/10/12(Sat) 18:42:16

☆ Re: 回転の領域について / らすかる

原点からその図形までの最短距離は(1/2,1/2)までの1/√2、
最長距離は(1,0)または(0,1)までの1であり、
最短距離から最長距離まで線がつながっているので
求める図形は 1/2≦x^2+y^2≦1
(原点を中心とする半径1の円と半径1/√2の円の間で境界も含む)

No.22720 - 2013/10/12(Sat) 21:38:36

☆ Re: 回転の領域について / 受験生

ありがとうございます！

No.22721 - 2013/10/12(Sat) 21:48:34

★ 2式で割った条件 / みなみ

よろしくお願いします

No.22714 - 2013/10/12(Sat) 10:42:30

☆ Re: 2式で割った条件 / みなみ

オレンジ色のマーカー部分がなぜいきなり現れたのか理解できません、お願いします。

No.22715 - 2013/10/12(Sat) 10:43:38

☆ Re: 2式で割った条件 / ＿

実際に展開してみれば破線部に一致します。

破線部の(x^2 - 1)(px + q) + …から
(x^2 + 1)(px + q)を作るための調整ですね。

No.22716 - 2013/10/12(Sat) 10:57:10

☆ Re: 2式で割った条件 / みなみ

すっかり見落としてました、ごめんなさい
スッキリしました、ありがとうございます

No.22717 - 2013/10/12(Sat) 12:02:02

★ 数列 / ktdg

等比数列 2,4,8,…と等比数列3,9,27,…の全ての項を小さい順に並べてできる数列の第1000項は二つの等比数列のどちらの第何項か.
ただし log[6]2=0.386852…であることを用いてよい.

log[6]2=0.386852…から log[6]3=0.613148…となり, 1000項目は公比が3の方の等比数列の第380項目位かな～と目星をつけて, あとはとにかく計算で範囲を絞って, 一応解けたのですが, 計算を減らす工夫や, もっと違うやり方があったら教えてください.

No.22709 - 2013/10/11(Fri) 23:08:41

☆ Re: 数列 / らすかる

log[6]2=0.386852… と log[6]3=0.613147… から
3^386.852≒2^613.147
両方の指数に1.001を掛けると
3^387.238≒2^613.760
よって
2^613＜3^387＜3^614
ですから、目的の項は3^387とわかります。

それぞれを不等式ではさめば厳密な解答になります。

No.22710 - 2013/10/12(Sat) 00:19:50

☆ Re: 数列 / ktdg

ありがとうございます。

No.22723 - 2013/10/12(Sat) 23:59:28

★ もう一問お願いします / papiky

三角形ABCが半径1の円に内接している。外接円の中心をOとするとき、三角形OBC、三角形OCA、三角形OABの面積比が3：4：5である。→OA・→OB、→OB・→OC、→OC・→OAの値を求めよ。

No.22704 - 2013/10/11(Fri) 07:05:43

☆ Re: もう一問お願いします / ヨッシー

ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣと置きます。

メネラウスの定理などで、各線分の比を調べると、上図のようになります。
（他の部分の比は省略します）
ＡＣを３：５に内分する点が、(-1/2)ｂになることから、
　（５ａ＋３ｃ)/８＝(-1/2)ｂ
これより、
　５ａ＋４ｂ＋３ｃ＝０
が成り立ちます。
(他の部分：ＢＣやＡＢで調べても同じです)
これは、図の右のように、５ａ、４ｂ、３ｃをつなげると、
ちょうど閉じるということです。
辺の長さより、この図形は３辺が３：４：５の直角三角形となります。
図のα、βを用いると、
　ａ・ｂ＝cosα＝-4/5
　ｂ・ｃ＝cos(90°)＝０
　ｃ・ａ＝cosβ＝-3/5
となります。

No.22707 - 2013/10/11(Fri) 09:08:39

☆ Re: もう一問お願いします / papiky

ありがとうございました。メネラウスの定理に気がつきませんでした。

No.22711 - 2013/10/12(Sat) 06:47:09

☆ Re: もう一問お願いします / ヨッシー

メネラウスの定理は簡便法で、知らなくても図のように
各部の面積比を出してやれば、
　ＢＯ：ＯＥ＝(90+120)：105＝２：１
と出すことが出来ます。

No.22712 - 2013/10/12(Sat) 07:40:58

☆ Re: もう一問お願いします / papiky

面積比を分割すればよかったんですね。スッキリしました。
ありがとうございました。

No.22726 - 2013/10/13(Sun) 05:07:05

★ (No Subject) / みなみ

問われてる内容が分かりません、図のイメージもできないので、これ以上は言えないのですが

分かりやすく説明お願いします！

No.22703 - 2013/10/11(Fri) 06:35:36

☆ Re: / ヨッシー

四面体のある１つの面を見ると、図のように、各頂点を中心とする
球が、他の球と接している状態です。

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを中心とする球の半径をａ，ｂ，ｃ，ｄとすると、
　辺ＡＢにおいて、ａ＋ｂ＝３
　辺ＢＣにおいて、ｂ＋ｃ＝４
　辺ＣＤにおいて、ｃ＋ｄ＝５
　辺ＡＤにおいて、ａ＋ｄ＝ｔ
　辺ＡＣにおいて、ａ＋ｃ＝ｔ
　辺ＢＤにおいて、ｂ＋ｄ＝ｔ
これを解きます。

四面体の体積はこれが解けてからになりますが、
ＡＢの中点をＭとし、平面ＭＣＤでこの四面体を切り、
△ＭＣＤを底辺とすると、ＭＢおよびＭＡが高さになります。　

No.22705 - 2013/10/11(Fri) 07:12:42

☆ Re: / みなみ

大変わかりやすい図をありがとうございます

No.22713 - 2013/10/12(Sat) 10:39:18

★ ベクトルの問題を教えて下さい / papiky

点Pを中心が原点で半径が5である円周上の点であるとする。2定点A(4,0),B(0,2)に対し、→AP・→BPの最大、最小を求めよ。

No.22698 - 2013/10/11(Fri) 01:22:13

☆ Re: ベクトルの問題を教えて下さい / ヨッシー

点Ｐの座標は　(5cosθ, 5sinθ) で表されます。
ＡＰ＝(5cosθ－4, 5sinθ)
ＢＰ＝(5cosθ, 5sinθ－2)　より、
　ＡＰ・ＢＰ＝5cosθ(5cosθ－4)＋5sinθ(5sinθ－2)
　　＝25(cos²θ＋sin²θ)－20cosθ－10sinθ
　　＝25－10√5{(2/√5)cosθ＋(1/√5)sinθ}
　　＝25－10√5sin(θ＋α)
　ただしαは、sinα＝2/√5, cosα＝1/√5 となる角。
よって、ＡＰ・ＢＰの
　最大値　25＋10√5, 最小値　25－10√5

No.22699 - 2013/10/11(Fri) 06:09:10

☆ Re: ベクトルの問題を教えて下さい / papiky

ありがとうございました。P(x,y)ですると訳が分からなくなってしまいました。

No.22700 - 2013/10/11(Fri) 06:19:57

☆ Re: ベクトルの問題を教えて下さい / 豆

P(x,y)とする
AP・BP=x(x-4)+y(y-2)=(x-2)^2+(y-1)^2-5=Iとおくと、
円C：(x-2)^2+(y-1)^2=I+5　が円D：x^2+y^2=5^2　
と共有点をもつときのIが求める内積である。
円Cの中心は(2,1)で円Dの中心である原点との距離が√5なので、
最小値を与えるのはI[min]+5=(5-√5)^2　∴I[min]25-10√5
最大値を与えるのはI[max]+5=(5+√5)^2　∴I[max]=25+10√5

No.22708 - 2013/10/11(Fri) 13:52:15

★ 図形の問題　数1・A / ラスティ

円周上に４点A,B,C,Dがある。線分ACと線分BDは点Gで垂直に交わり、点Aから辺CDに垂線AFをおろし、この垂線と線分BDとの交点Eとする。
またAF=8,DC=10,GC=6である。

(1)線分DGの長さ。また、線分AGの長さ。

(2)線分ABの長さ。また、BDの長さ。

(3)△DCGの面積は△AEBの面積の何倍か。

(1)の最初の問題が三平方でDG＝８が出ました。それ以降が分かりません。
よろしくお願いします。

No.22694 - 2013/10/10(Thu) 23:49:25

☆ Re: 図形の問題　数1・A / ヨッシー

△ＤＣＧ、△ＡＣＦ、△ＡＥＧ、△ＤＥＦは
すべて相似で、３辺の比が３：４：５の直角三角形です。
(1)
△ＡＣＦにおいて、ＡＦ＝８なので、ＣＦ＝６，ＡＣ＝１０より
　ＡＧ＝１０－６＝４

(2)
円周角により∠Ｃ＝∠Ｂなので、△ＡＢＧも３：４：５の直角三角形です。
ＡＧ＝４　より　ＡＢ＝５
ＢＧ＝３，ＥＧ＝３、ＤＥ＝５　より　ＢＤ＝１１

(3)
△ＤＣＧの面積は　8×6÷2＝２４
△ＡＥＢの面積は　ＥＢ＝６、ＡＧ＝４より６×４÷２＝１２
よって　２倍。

No.22696 - 2013/10/11(Fri) 00:54:51

☆ Re: 図形の問題　数1・A / ＩＴ

等しい角同志が分かるように、同じ印を付けましょう。
すべての直角三角形が相似になっていると思います。

FA=GD=8より△CFA≡△CGDです。
これと相似比を使えば、どんどん各辺の長さが分かると思います。

No.22697 - 2013/10/11(Fri) 00:57:24

★ 二次関数数ΙA / 受験生

またまた投稿してしまいました。

x^2＋6x－3a＋18＝0 (aは実数) ー?@がある。

(1)?@が実数解をもつのは、a≧◯のときであり、このときの?@の解は。◯に当てはまる値と解を求めよ。

(2)a≧6のとき、?@の解のとり得る値の範囲は。

(3)?@が整数を解にもつとき、最小の整数aの値は。

(1)の答えは自分で出すことはできました。(2)からつまづいております。
ちなみに、答えはa≧3、x＝－3±√3a－9と出ました。
また解答の方をよろしくお願いいたします。

No.22692 - 2013/10/10(Thu) 23:29:30

☆ Re: 二次関数数ΙA / ヨッシー

(2)
x＝－3±√(3a－9) において、á≧6 のとき
√(3a－9)≧√9＝３なので、
　＋√(3a－9)≧3
　－√(3a－9)≦－3
となり、x≦－6 またはｘ≧0

(3) は問題が正しいか些か不安ですが、
　a=3 のとき、x=-3
であり、ａ＜３だと、?@は実数解を持たないので、
a=3 が最小の整数。

No.22693 - 2013/10/10(Thu) 23:41:45

☆ Re: 二次関数数ΙA / 受験生

x＝－3±√(3a－9) において、á≧6 のとき
√(3a－9)≧√9＝３なので、

ごめんなさい。
この部分がよくわかりません。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

No.22745 - 2013/10/14(Mon) 16:02:18

★ 自然数の合計 / √

また、教えてください。
この間、信じがたい記事を読みました。

１＋２＋３＋・・・・・　＝　　－（１／１２）

自然数を足していくのに、なぜマイナスになるのか。
自然数を足していくのに、なぜ分数になるのか。
とても信じられません。

オイラーが証明したそうですが、
数学を、殆ど忘れてしまっている私には理解できません。

これを、ひらたく説明すると、どういうことなのでしょうか？

No.22684 - 2013/10/10(Thu) 12:39:50

☆ 付け足し　です / √

付け足しです。

私達が、普通に生活している中では、
１～ｎまでの合計は、ｎ（ｎ＋１）／２
と考えて良いんですよね？　

そうじゃないと今までの考えが覆されてしまいそうです。

No.22685 - 2013/10/10(Thu) 12:52:43

☆ Re: 自然数の合計 / ヨッシー

まぁ、覚え書き程度に書いてみます。

無限等比級数の和の公式
　Σ[n＝0～∞]ｒ^n＝１＋ｒ＋r^2＋・・・＝Ｓ
とおくと、
　Ｓ＝１/(１－ｒ)
よって、
　Σ[n＝0～∞]ｒ^n＝１/(１－ｒ)　・・・(a)
(a) をｒで微分して
　Σ[n＝0～∞]ｎ・ｒ^(n-1)＝１/(１－ｒ)^2　・・・(b)
(b) において、r=-1 とすると、
　１－２＋３－４＋・・・＝１／４　　　・・・・(i)
　１＋２＋３＋４＋・・・＝Ｓ　　　　　・・・・(ii)
　２＋４＋６＋８＋・・・＝２Ｓ　　　　・・・・(iii)
(ii)－2×(iii)＝(i) なので、
　Ｓ－４Ｓ＝1/4
これを解いて
　Ｓ＝-1/12

もちろん正しい結果ではありませんが、どこが違っているでしょうか？　

No.22686 - 2013/10/10(Thu) 14:48:16

☆ ひぇ～～～。。。 / √

ヨッシーさん　有り難うございます。

ひぇ～～～
数学を忘れてしまっている私には、さっぱり分りません。
やっぱり私には、理解は無理かも。。。

私が知っている最大の数は、
９９９９兆９９９９億９９９９万９９９９
なのですが、
この数までの和は、この数に１を足して２で割れば良いんですよね？

普段の生活において、
非現実的な　－（１／１２）という事実（？）
は、考えないで、算数などの問題を解いていても
問題ないでしょうか？

No.22687 - 2013/10/10(Thu) 15:35:22

☆ ？ / √

> 　Ｓ＝-1/12

> もちろん正しい結果ではありませんが、どこが違っているでしょうか？　

えっ？
－１／１２　は正しい結果ではなく、間違っているのですか？
間違っていてほしい。

No.22688 - 2013/10/10(Thu) 15:43:03

☆ Re: 自然数の合計 / ヨッシー

こちらに載っているくらいなので、
結構有名な話なのでしょう。

No.22689 - 2013/10/10(Thu) 16:00:17

☆ ちょっと安心 / √

ヨッシーさん　有り難うございました。

「こちら」を読んだら、
（あまり理解は出来ていませんが）

「－１／１２　に収束する」は、
厳密には、正しくない
と書いてあったので、ちょっと安心しました。

　

No.22690 - 2013/10/10(Thu) 16:54:25

★ (a+b)+c=a+b+cとなる理由が分かりません / 72

線形代数の線形空間に関してご質問があります。
(1)(a+b)+c=a+(b+c)
(2)a+b=b+a

(1)と(2)から、
(a+b)+c=a+b+c
が導かれると教科書に書かれていたのですが、
この理由が分かりません。
(a+b)+c=a+b+c
を導き出すだけならば、
(1)から、
足し算の順番を変えても、a+b+cの結果が変わらないと言うことが分かるので、
(1)より、
(a+b)+c=a+b+c
といえそうなきがするのですが、
何故、(2)が必要なのですか？
色々と調べたのですが、分からなかったため、教えて下さい。
宜しくお願い致します。

No.22682 - 2013/10/10(Thu) 04:15:10

☆ Re: (a+b)+c=a+b+cとなる理由が分かりません / 黄桃

とりあえずその教科書での
a+b+c
の定義を調べてください。

(a+b)+c=a+(b+c)=(a+c)+b=a+(c+b)=....=b+(a+c)=... =(一定)
だから、この値を a+b+c と書く、

という意味なのではないでしょうか。足し算記号の
場合は、しばしば可換を意味しますので、順序が
変わってもいい、という前提があることが多いです。

もし、
(a+b)+c=a+(b+c)=(一定)だからこの値を a+b+c とかく
という意味なら、おっしゃる通り(1)だけで出ます。
行列の掛け算の場合は、確かにこの意味で ABC と書きます。

＃4項以上でも a+b+c+...+z と書くことができる
＃ことは項の数に関する数学的帰納法で証明できます。

No.22695 - 2013/10/10(Thu) 23:55:08

☆ Re: (a+b)+c=a+b+cとなる理由が分かりません / 72

黄桃さん
御回答頂き、有り難う御座います。
本に書かれていることを記載致します。
定義
集合Vに和とスカラー倍という2つの演算が定義されている。
[ベクトルの和]
Vの任意の2元a,bに対して和a+b∈Vが定義される。
[ベクトルのスカラー倍]
a,b,cをVの任意の元、λ,μを任意のスカラーとするとき、上の演算に関して、次の(1)~(8)を満たす。
(1)a+b=b+a
(2)(a+b)+c=a+(b+c)
(3)次の性質を満たすVの元0がある。Vの任意の元aに対して、
a+0=a
を満たす。
(4)Vの任意の元aに対して、
a+a'=0
となるVの元a'がある。
(5)(λμ)a=λ(μa)
(6)(λ+μ)a=λa+μa
(7)λ(a+b)=λa+λb
(8)1a=a
以上のベクトル空間の公理(1)~(8)を満たす2つの演算が定義された集合Vを、R上のベクトル空間、または実数上のベクトル空間(または、実ベクトル空間)といい、Vの元をベクトルという。

以上が教科書に書かれていることです。特に、a+b+cの定義は書かれていません。

No.22701 - 2013/10/11(Fri) 06:25:15

☆ Re: (a+b)+c=a+b+cとなる理由が分かりません / 黄桃

それでしたら

(a+b)+c=a+(b+c)=(a+c)+b=a+(c+b)=....=b+(a+c)=... =(一定)
だから、この値を a+b+c と書く

という意味だと思われます。

No.22706 - 2013/10/11(Fri) 07:56:25

☆ Re: (a+b)+c=a+b+cとなる理由が分かりません / 72

黄桃さん、お礼が遅くなり、大変申し訳ないです。
かけ算の場合、可換は意識していましたが、足し算の場合の可換は全く意識していませんでした。色々と有り難う御座いました。

No.22722 - 2013/10/12(Sat) 22:42:51

★ 二項定理 / Lucy

nを正の整数とする。
(x+3)^nの展開式におけるx^rの係数をarとおく。
ただし、rは整数で０≦r≦nとする。

(1)arをnとrの式で表せ。
(2)0≦r≦nとする。a［r］/a［r+1］をnとrの式として表せ。
(3)n=99のとき、a［r］が最大となるrの値をすべて求めよ。

二項定理を使うことは分かるのですが、初めから上手くできないです。
ちなみに、中央大学の2011年の問題です。

No.22681 - 2013/10/09(Wed) 23:28:34

☆ Re: 二項定理 / ヨッシー

(1)
二項定理によると、
　(a+b)^n
を展開したときの各項は、0≦r≦n となる整数ｒに対して
　nＣra^(n-r)b^r
です。これを、(x+3)^n に適用すると
　nＣr3^(n-r)x^r
であり、係数は
　nＣr3^(n-r)＝{n!/(n-r)!r!}3^(n-r)
となります。

(2)
0≦r＜n ではないかと思われます。
(1)の結果より
　a[r]/a[r+1]＝3(r+1)/(n-r)

(3)
n=99 のとき
　a[r]/a[r+1]＝3(r+1)/(99-r)
この値は、r=0,1,2 に対して、
　3/99, 6/98, 9/97
のように増えていき、3(r+1)＝99-r となる、r=24 あたりで、
　72/76, 75/75, 78/74　　(r=23,24,25 の値)
のように、１を越えていき、この後も増え続けます。
a[r] はすべて正なので、
　a[r]/a[r+1]＜1　←→　a[r]＜a[r+1]　←→　a[r]が増えている
　a[r]/a[r+1]＞1　←→　a[r]＞a[r+1]　←→　a[r]が減っている
ことを表します。
よって、r=24,25 のとき a[r] が最大となります。

No.22683 - 2013/10/10(Thu) 06:20:31