ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ktdg

a,b,c,dを実数とするとき
任意の実数x,yについて ax+by=0 かつ cx+dy=0
⇔a=b=c=d=0

(x,y)≠(0,0)を満たす任意の実数x,yについて ax+by≠0 かつ cx+dy≠0
⇔a≠0 かつ b≠0 かつ c≠0 かつ d≠0

これらは真ですか？

No.22375 - 2013/08/23(Fri) 21:31:07

☆ Re: / らすかる

一つ目は真、二つ目は偽です。

No.22377 - 2013/08/23(Fri) 22:25:25

☆ Re: / angel

前者は真、後者は偽です。

それぞれ ⇔ の前後を A,B,C,D としましょうか。つまり、

　A: 任意の実数x,y について ax+by=0 かつ cx+dy=0
　B: a=b=c=d=0
　C: (x,y)≠(0,0)なる任意の実数x,yについて ax+by≠0 かつ cx+dy≠0
　D: a≠0 かつ b≠0 かつ c≠0 かつ d≠0

まず、A⇔B について
　Aに関して、(x,y)=(1,0),(0,1) の時も成立するのだから、a=b=c=d=0 が導かれる。すなわち、A⇒B は真
　B⇒Aについては明らかに真なので省略
　よって、A⇒B,B⇒Aが共に真のため A⇔B は真

次に、C⇔D について
これは形が分かりにくいので否定形にしてみましょう。
　not C: (x,y)≠(0,0) なる実数x,yの中で、ax+by=0 または cx+dy=0 を満たす組が存在する
　not D: a=0 または b=0 または c=0 または d=0
改めて考えると
　not C は常に真。なぜならば
　　a=b=0 なら一例として (x,y)=(1,1) が、
　　さもなくば (x,y)=(b,-a) が
　条件を満たす組として存在するから
　not D は常に成立するわけではない。
　なので、not C⇒not D は偽、対偶から D⇒C も偽
　not D⇒not Cは真、対偶から C⇒D も真
　で、C⇔D 自体は偽

No.22378 - 2013/08/23(Fri) 22:31:49

☆ Re: / ktdg

ありがとうございます。

No.22388 - 2013/08/26(Mon) 11:41:29

★ お願いします / バカっ娘

お世話になっています♪
時間があればでいいので、またお願いしますm(__)m

男子5人女子4人が1列に並ぶとき、次のような並び方は何通り？
(1)男子5人だけの並び方
(2)どの女子も隣り合わない並び方
(3)同性同士が隣り合わない並び方
(4)女子のAさんの隣に男子が来ない並び方

No.22374 - 2013/08/23(Fri) 21:18:54

☆ Re: お願いします / ＩＴ

男子×、女子○、どちらでもいい△、場所Ｖで表す
> (1)男子5人だけの並び方
５！通り
> (2)どの女子も隣り合わない並び方
男子５人を並べ（５！通り）その間か両端（Ｖの位置）に女子を１人ずつ入れる。
Ｖ×Ｖ×Ｖ×Ｖ×Ｖ×Ｖ
女子４人は、それぞれ６箇所のＶのどこか　６×５×４×３
求める並び方は、５！×６×５×４×３　通り
> (3)同性同士が隣り合わない並び方
×○×○×○×○×　のパターンのみ　なので
５！×４！　通り
> (4)女子のAさんの隣に男子が来ない並び方
Aさんがどちらかの端の場合
　A○△△△△△△△　Aさんの隣の女子３通り×残り７人の並べ方７！＝３×７！通り
　△△△△△△△○A　同じく３×７！通り

Aさんの両側に女子が並ぶ場合 ○A○をひとかたまりとする
　Aさんの両隣の女子３×２通り
　この３人のかたまりと残りの６人を並べる　７！通り
　３×２×７！通り　

No.22379 - 2013/08/24(Sat) 00:37:38

☆ Re: お願いします / バカっ娘

ITさん、ありがとうございました(´▽｀*)

No.22386 - 2013/08/24(Sat) 12:24:29

★ 分配の問題 / バカっ娘

問1 りんご17個を三枚の皿に盛るものとする。果物皿は区別し、どの皿にも少なくとも四個は盛るものとすると、盛り分ける方法は何通り？

問2 秋の果物として、なし、みかん、りんごなどがある。いま、なし、みかん、りんごの三種類の果物から5個買う買い方は何通りあるか？

お願いします！！

No.22368 - 2013/08/22(Thu) 23:35:44

☆ Re: 分配の問題 / バカっ娘

すいません、りんご17個を三枚の果物皿に盛るものとする。でした(;´Д｀)

No.22369 - 2013/08/22(Thu) 23:37:41

☆ Re: 分配の問題 / ＩＴ

問１
17 - 4×3＝5個をどう盛るかを考えればいい。
果物皿ＡＢＣとし、５個の配り方を調べる。
ＣはＡＢの残りを配ればいいのでＡＢの数を決めればいい。
A-B
5-0 ……１通り
4-1～0 …２通り
3-2～0 …３通り
2-3～0 …４通り
1-4～0 …５通り
0-5～0 …６通り
計　２１通り

No.22370 - 2013/08/23(Fri) 00:55:10

☆ Re: 分配の問題 / ＩＴ

問2　問１とほとんど同じです
なし、みかんの数を決めると、残りがりんごです。
なし、みかん
　5　-　0 ……１通り
　4　-　1～0 …２通り
　3　-　2～0 …３通り
　2　-　3～0 …４通り
　1　-　4～0 …５通り
　0　-　5～0 …６通り
　計　２１通り

No.22371 - 2013/08/23(Fri) 01:00:05

☆ Re: 分配の問題 / バカっ娘

ありがとうございました(●´ω｀●)

No.22372 - 2013/08/23(Fri) 08:49:33

★ 極限 / ハオ

lim[n->∞]2^n = +∞　から(n)_(n∈N)は単調増加列だから
lim[n->∞]n=+∞が導かれる.
とあり実際に導いてみたのですがあっていますか?

どんなM>0に対しても自然数L1が存在してL1≦nならば
2^n＞Mが成り立つから,M＞2の時ある自然数L2が存在してL2≦nならば
2^n>M^Mが成り立つ.
従って対数をとって,
n＞MlogM(底は2)＞M
0＜M≦2の時　L3として3をとれば L3≦nならば n＞Mが成り立つ.
以上からMax{L2,L3}=L4とすれば
どんなMに対しても,L4≦nならば n＞M
したがってlim[n->∞]n=+∞

どうでしょうか？

No.22360 - 2013/08/22(Thu) 13:18:31

☆ Re: 極限 / ＩＴ

>lim[n->∞]2^n = +∞　から(n)_(n∈N)は単調増加列だから
>lim[n->∞]n=+∞が導かれる.とあり
どこに書いてあったのですか？

相当おかしな議論をしているような気がしますが、勘違いかな？

No.22362 - 2013/08/22(Thu) 17:57:56

☆ Re: 極限 / ハオ

解析入門1という本です。
lim[n->∞]2^n = +∞　ならば　lim[n->∞]n=+∞
lim[n->∞]n=+∞　ならばlim[n->∞]2^n = +∞　（帰納法による)
したがってlim[n->∞]2^n = +∞とlim[n->∞]n=+∞は同値であるという話の流れです。

No.22363 - 2013/08/22(Thu) 19:14:00

☆ Re: 極限 / ＩＴ

同値ってことならありかも知れませんね
解析入門は、いくつかありますが誰のですか？
小平、杉浦、松坂、ラング、・・・etc

No.22364 - 2013/08/22(Thu) 19:34:56

☆ Re: 極限 / ハオ

すいません杉浦先生です。
アルキメデスの原理と全て(lim[n->∞]2^n = +∞ ,lim[n->∞]n=+∞等)が同値ということを言いたいようです。

No.22365 - 2013/08/22(Thu) 19:37:08

☆ Re: 極限 / ＩＴ

> すいません杉浦先生です。
なるほど。
そこまでに、Logは定義されているんですか？

No.22366 - 2013/08/22(Thu) 19:57:33

☆ Re: 極限 / ハオ

>そこまでに、Logは定義されているんですか？
いえ定義されていません（先の初等関数の章に定義されております）。あ、そうか使ったらルール違反ですね。

とするとどんな証明の方法が考えられのでしょうか。

No.22367 - 2013/08/22(Thu) 20:07:16

☆ Re: 極限 / angel

そうですね。アルキメデスの原理と、まあ同じことですね。
自然数って構造的に限り無く大きくなりますから、lim n = +∞ は当然に見えますが、しかしながら無限の定義には実数が絡んでくる。
そこが問題で、ひょっとしたら自然数では超えられない実数が何かしらあるのかもしれない。ここのところの確証が無いからこそ、アルキメデスの原理のようなモノを、何かしら原理として置かなければならない。私はそう解釈しています。

さて、前置きが長くなりましたが、lim 2^n = +∞ ⇒ lim n = +∞ を示すのは多分一瞬で済みます。
使うのは +∞ の定義、lim a[n] = +∞ ⇔ ( ∀α∈Ｒ, ∃m∈Ｎ s.t. n≧m⇒a[n]≧α ) だけで。あ、単調増加なのも重要ですが。

lim 2^n を、「自然数が実数を超え得る一つの例」と見るのです。

No.22373 - 2013/08/23(Fri) 20:21:44

☆ Re: 極限 / ハオ

>angelさん

>lim 2^n を、「自然数が実数を超え得る一つの例」と見るのです。
なるほど有難う御座います。その考えはありませんでした。

No.22404 - 2013/08/27(Tue) 23:49:23

★ (No Subject) / たくろう（社会人）

(1)x≧0のとき、不等式x-(1/2)x^2≦log(1+x)≦xが成り立つことを示せ。
(2)次の極限値を求めよ

　lim[n->∞]log{1+(k/n^2)}

教えてください、お願いします。
できれば模範解答を教えてください。

No.22354 - 2013/08/21(Wed) 22:26:29

☆ Re: / angel

(2)は lim[n→∞] Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) では…?
そのつもりで解答を載せます。

(1)
　x≧0 において関数 f(x), g(x) を次のように定義する。
　f(x)=x-log(1+x), g(x)=log(1+x)-( x-1/2・x^2 )

　f'(x)=1-1/(1+x) となることから、x＞0 において f'(x)＞0
　これより、x≧0 において f(x) は単調増加であり f(x)≧f(0)=0

　また、g'(x)=1/(1+x)-(1-x)=x^2/(1+x) となることから、x＞0 において g'(x)＞0
　これより、x≧0 において g(x) は単調増加であり g(x)≧g(0)=0

　以上より x≧0 において
　f(x)=x-log(1+x)≧0, g(x)=log(1+x)-(x-1/2・x^2)≧0
　よって x-1/2・x^2≦log(1+x)≦x である。

(2)
　(1)より
　　Σ[k=1,n] (k/n^2-1/2・(k/n^2)^2) ≦ Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) ≦ Σ[k=1,n] k/n^2
　すなわち
　　1/2・(n+1)/n - 1/12・(n+1)(2n+1)/n^3 ≦ Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) ≦ 1/2・(n+1)/n
　ここで、
　　lim[n→∞] 1/2・(n+1)/n - 1/12・(n+1)(2n+1)/n^3 = 1/2
　　lim[n→∞] 1/2・(n+1)/n = 1/2
　よって、lim[n→∞] Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) = 1/2

※(2)のΣの計算では、
　Σ[k=1,n] k = 1/2・n(n+1)
　Σ[k=1,n] k^2 = 1/6・n(n+1)(2n+1)
　を使用しています。

No.22356 - 2013/08/21(Wed) 23:17:49

☆ Re: / たくろう（社会人）

angelさんいつもありがとうございます。

No.22422 - 2013/08/29(Thu) 23:35:41

★ 微分 / たくろう（社会人）

f(x)=cosx+1,g(x)=a/bx^2+cx+1とする。f(0)=g(0),f'(0)=g'(0),f"(0)=g"(0)であるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。
この模範解答で合ってますか？

f(0)=g(0)から2=a
よってf'(x)=sinx, g'(x)=-2(2bx+c)/(bx^2+cx+1)^2である。
ゆえf'(0)=g'(0)から0=-2cすなわちc=0
よって
g'(x)=-4bx/(bx^2+1)^2である
g"(x)=4b(3bx^(2)-1)/(bx^2+1)^3
またf"(x)=-cosである
よってf"(0)=g"(0)から -1=-4bすなわち　b=1/4
したがって
　
a=2,b=1/4,c=0

No.22353 - 2013/08/21(Wed) 22:24:41

☆ Re: 微分 / angel

模範解答というか、たくろうさんが作成された解答ですね?
計算内容に問題はないと思います。
書き方はもうちょっと改善の余地ありかと思いますが、減点を喰らうほどのことはないでしょう。
なので、合っていますね。

No.22355 - 2013/08/21(Wed) 22:54:15

★ (No Subject) / ｌｌｐ

a,bを実数とする。三次方程式x^3-3ax^2+a+b=0・・?@が三個の異なる実数解を持ち、そのうち一個だけが負となるためのa,bの満たす条件を求めよ。

解）f(x)=x^3-3ax^2+a+bとおく
f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)
極値がないと?@は異なる三個の実数解をもたないので
a≠０
?@が負の解を一個だけ持つので2a>0すなわちa>0・・?A
さらにf(0)>0・・?Bかつf(2)<0・・?C
?Aかつ?Bかつ?Cが答えで以下略

とあるのですが、f(2)<0って必要ですか？
a>0、ｆ（０）＞０の時点で自動的にf(2)<0となるので
?Aかつ?Bが答えだと思うのですが。。

難しい質問なので納得できるかあまり自信がありませんので何度か御回答に対して何度か質問を返すかもしれません。それでも良いという方はお願いします

No.22350 - 2013/08/21(Wed) 21:59:52

☆ Re: / らすかる

f(2)はf(2a)の間違いでは？
a＞0,f(0)＞0 でも、例えば極大値が10、極小値が5のような場合もありますので
f(2a)＜0は必要です。

No.22351 - 2013/08/21(Wed) 22:10:47

☆ Re: / ｌｌｐ

回答ありがとうございます。
f(2a)の間違いでした。
確かにそうですね！勘違いしてました！ありがとうございます！

No.22357 - 2013/08/21(Wed) 23:49:41

★ 式変形 / セキャン

｛[{cos(2π/n)＋sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋sin(2π/n)-1｝
＝[{cos(2π)＋sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋sin(2π/n)-1｝＝0
どうしてこのように式を変形できるのでしょうか？分かる方教えてください。よろしくお願い申し上げます。

No.22342 - 2013/08/21(Wed) 17:41:21

☆ Re: 式変形 / らすかる

その式は成り立ちません。
虚数単位のiが付いていませんでしたか？

No.22343 - 2013/08/21(Wed) 17:57:02

☆ Re: 式変形 / セキャン

> ｛[{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝
> ＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝＝0
すみません。ご指摘のとおり虚数単位がついていました。

No.22345 - 2013/08/21(Wed) 18:18:11

☆ Re: 式変形 / らすかる

ド・モアブルの定理はご存知ですか？

No.22347 - 2013/08/21(Wed) 19:24:15

☆ Re: 式変形 / セキャン

知らなかったので調べてみました。
｛[{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝
＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝と変形できるのは理解できたのですが、
> ＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝＝0となるのはどうしてなんでしょうか？
よろしくお願い申し上げます。

No.22348 - 2013/08/21(Wed) 20:06:13

☆ Re: 式変形 / らすかる

cos(2π) と sin(2π) の値はご存知ですか？

No.22349 - 2013/08/21(Wed) 20:30:42

★ 数列の問題…で用語は合っているの？ / 素人のおばさん

我が家のテレビのボリューム表示は、長さ１～１０の棒が並びます。それを見ていて思いつきましたが、このように並んだ長さの違う線分を二組に分けて、それぞれの長さの和が等しくなる事があり得るのか？
その他は、エクセルで表を作って６０までやってみて、１～３(1+2=3)と１～２０(1+2+3…+14=15+16+17…+20)は等分できることが分かりました。
こういう解はきっと無限にあるのでしょうね？何か法則性があるのでしょうか？
現役を離れて長いですが、中学程度の数学ならまだ印象が残っていると思います。

No.22340 - 2013/08/21(Wed) 15:34:00

☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / ヨッシー

言い換えれば、ｍ＜ｎである２つの整数ｍ，ｎにおいて、
１～ｎまでの合計が１～ｍまでの合計の２倍になっていれば
いいわけです。
１～ｎまでの合計はn(n+1)/2, ｍまでは m(m+1)/2 なので、
　n(n+1)＝2m(m+1)
となる、ｍ，ｎが見つかればいいのですが、なかなか簡単にはいかないですね。
私もExcel を走らせてみましたが、(m,n) の組み合わせは
(2,3),(14,20) に他に (84,119),(492,696),(2870,8119)
(16730, 23660),(97512, 137903),(568344,803760),(3312554, 4684659)
などがありましたが、規則性や無限にあるかはわかりません。

No.22341 - 2013/08/21(Wed) 16:52:33

☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / らすかる

規則性があって無限にあります。
a[0]=0, a[1]=3, a[n]=6a[n-1]-a[n-2]+2 で表される数列が
3,20,119,696,4059,… となって2等分できる値になります。
この数列は↓こちらにあります。
http://oeis.org/A001652
ただし、証明はわかりません。

No.22344 - 2013/08/21(Wed) 18:00:56

☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / 素人のおばさん

ありがとうございました。

No.22346 - 2013/08/21(Wed) 18:28:12

★ 極限 / まーたん

lim[n→∞](an,bn)=(α,β) のとき
an≦bn (n∈自然数) ならば α≦β

これを証明するには、どうすればいいですか？

No.22331 - 2013/08/20(Tue) 22:07:11

☆ Re: 極限 / ＩＴ

大学の問題ですか？高校の問題ですか？

No.22332 - 2013/08/20(Tue) 22:18:04

☆ Re: 極限 / ＩＴ

方針だけ（背理法）
α＞β　と仮定して矛盾を導けばよい
lim[n→∞]an=α,lim[n→∞]bn=βをε-Ｎ方式であらわす
ε＝(α－β)/2 (＞0）とおく
このとき
ある自然数nについてan＞bnとなりan≦bn (n∈自然数)に矛盾することを示す。

No.22336 - 2013/08/20(Tue) 23:10:00

☆ Re: 極限 / ハオ

たまたま同じ問題を参考書とは別の方法で考えていたので...(背理法は同じですが)
a>bと仮定すれば,a-b= 2ε>0である.
充分大きなn(a_nもb_nも任意のεより小さくなるようなn)に対して,
|(b_n-b)-(a_n-a)|≦|(b_n-b)|+|(a_n-a)|<2ε
(b_n-a_n)+2ε < 2ε
b_n-a_n≧0だから上の不等式は矛盾.

どうでしょうか?

No.22337 - 2013/08/21(Wed) 14:31:06

★ 数学的帰納法 / コトう

数学的帰納法の問題です S[n]=(n＋1)－3^(n) ここで、kが正の整数であるときS[2k]<0であることを数学的帰納法で証明せよ。
[解答]
(i)k=1のときS2=-6<0より成り立つ
(ii)k=l(l≧1)のとき、S[2l]＜0と仮定する。
このとき、S[2l]＝2l＋1-3^(2l) S[2(l＋1)]=2(l＋1)＋1-3^｛2(l＋1)｝
ゆえに
S[2(l＋1)]－S[2l]<0であるから、S[2(l＋1)]<S[2l]
これと仮定から、S[2(l＋1)]<0も成り立つ。
よって(i)(ii)より、k=1,2,3,・・・に対してS[2k]<0が成り立つ。

答えは上記なのですが、「これと仮定から、～」のくだりがよくわかりません。
S[2l]<0は、あくまで仮定にすぎないのに、条件として使っているように思えるのですが・・・
誰かわかる方教えてくださいお願いします。

No.22325 - 2013/08/20(Tue) 18:05:54

☆ Re: 数学的帰納法 / らすかる

(i)により「k=1のときS[2k]＜0が成り立つ」が言えて
(ii)により「S[2k]＜0が成り立つと仮定するとS[2(k+1)]＜0が成り立つ」が
言えていますね。
(ii)の「S[2k]＜0が成り立つと仮定するとS[2(k+1)]＜0が成り立つ」というのは
「S[2]＜0が成り立つと仮定するとS[4]＜0が成り立つ」 … (a)
「S[4]＜0が成り立つと仮定するとS[6]＜0が成り立つ」 … (b)
「S[6]＜0が成り立つと仮定するとS[8]＜0が成り立つ」 … (c)
・・・
が一般化されたものであり、(a),(b),(c),…はすべて成り立ちます。
(i)で(a)の仮定が示されていますから、(a)から「S[4]＜0が成り立つ」が言えます。
すると(b)の仮定が示されていますので、(b)から「S[6]＜0が成り立つ」が言えます。
・・・
これがずっと成り立ちますので、「任意のkに対してS[2k]＜0が成り立つ」が
言えるということです。

No.22326 - 2013/08/20(Tue) 18:12:56

☆ Re: 数学的帰納法 / コトう

回答ありがとうございました。とても分かり易かったです。

No.22329 - 2013/08/20(Tue) 21:44:13

★ 極限 / たくろう（社会人）

教えてくださいお願いします。（勉強からずいぶん離れているので出来れば易しく教えてください）

n=1,2,・・・に対して、(1+√2)^n=a[n]+(b[n])√2が成り立つように整数の列{a[n]},{b[n]}と与える

(1)
a[n+1]とb[n+1]をa[n]とb[n]で表せ。
(2)
(a[n])^2-2(b[n])^2=(-1)^n (n=1,2・・・・)が成り立つことを示せ。
(3)
nが奇数のとき、(1+√2)^nの整数部分は偶数であることを示せ。

No.22321 - 2013/08/20(Tue) 00:10:45

☆ Re: 極限 / angel

んー…。模範解答例を書くだけなら簡単なんですが、たくろうさんの求めているのは一体…?
「勉強からずいぶん離れているので」と言われてしまうと、どこまで知っている前提で話せば良いのか…。

取り敢えず「数学的帰納法」を使うと言われても問題ないですか?
手元に模範解答がありますか? もしくはなくて模範解答を求められていますか?
まずヒントだけ聞いて自分で考えてみたいですか?

No.22322 - 2013/08/20(Tue) 00:22:27

☆ Re: 極限 / たくろう（社会人）

angelさんお返事ありがとうございます。
資格を取りたくて、独学で勉強しています。（前提は数学３・ｃまでやりました。）
できれば元に模範解答がないので、模範解答をお示し下さったらありがたいです。

No.22327 - 2013/08/20(Tue) 19:12:16

☆ Re: 極限 / らすかる

(1)
(1+√2)^n=a[n]+b[n]√2
(1+√2)^(n+1)=a[n+1]+b[n+1]√2
なので
a[n+1]+b[n+1]√2=(1+√2)(a[n]+b[n]√2)
=(a[n]+2b[n])+(a[n]+b[n])√2
よって
a[n+1]=a[n]+2b[n]
b[n+1]=a[n]+b[n]

(2)
n=1のときa[n]=1,b[n]=1なので
(a[n])^2-2(b[n])^2=-1 となり成り立つ。
n=kのとき成り立つとすると
(a[k])^2-2(b[k])^2=(-1)^k
n=k+1のとき
(a[k+1])^2-2(b[k+1])^2
=(a[k]+2b[k])^2-2(a[k]+b[k])^2
=-{(a[k])^2-2(b[k])^2}
=(-1)^(k+1)
となり、任意のnに対して成り立つ。

(3)
nが奇数のとき
(2)から
(a[n])^2-2(b[n])^2=-1
(a[n]+b[n]√2)(a[n]-b[n]√2)=-1
∴1/(a[n]+b[n]√2)=-(a[n]-b[n]√2)
(a[n]+b[n]√2)-1/(a[n]+b[n]√2)
=(a[n]+b[n]√2)+(a[n]-b[n]√2)
=2a[n]
なので
(a[n]+b[n]√2)=2a[n]+1/(a[n]+b[n]√2)
つまり
(1+√2)^n=(偶数)+1/(1+√2)^n
0＜1/(1+√2)^n＜1 だから、
(1+√2)^nの整数部分は偶数。

No.22328 - 2013/08/20(Tue) 19:49:28

☆ Re: 極限 / たくろう（社会人）

らすかるさん、ご丁寧説明ありがとうございます。

No.22352 - 2013/08/21(Wed) 22:22:10

★ (No Subject) / のり

△ABC △ADEはそれぞれ正三角形である。AB=8?p BD=3?pとする。
線分EFの長さをx?pとするとき線分AEの長さをxであらわしなさい。
△ABD∽△AEFだから、AB:AE=BD:EF
AE=8/3x?p
(1)xの値をもとめなさい、
解答では、△ABD∽△DCFだからCF=15/8?pとなってますが、15/8がなぜだか、わかりません。答は21/8です。

No.22306 - 2013/08/18(Sun) 21:36:12

☆ Re: / ヨッシー

Ｆとはどういう点ですか？

No.22307 - 2013/08/18(Sun) 21:43:59

☆ Re: / のり

こちらで、図のはみえますか？

No.22310 - 2013/08/18(Sun) 23:10:54

☆ Re: / ヨッシー

>△ABD∽△AEFだから、AB:AE=BD:EF
>AE=8/3x?p
が理解できたのなら、
△ABD∽△DCFだから、AB:DC＝BD:CF より CF＝DC・BD／AB＝15/8 です。

No.22312 - 2013/08/18(Sun) 23:19:28

☆ Re: / nori

できました　ありがとうございました

No.22359 - 2013/08/22(Thu) 12:32:16

★ (No Subject) / のり

２つの直線32x－17y=0‥?@(192－a)x－102y＋102a=0‥?Aに対して、?@と?Aの交点をP、?Aとy軸の交点をQとおく。
ただしaは正の定数とし、原点は0で表すものとする。次の各問に答えなさい。(1)点Pの座標を求めなさい。
P(102,192)
(2)線分OP上にあり、x座標、y座標の値がと
もに整数である点は何個あるか。ただし両端
の点は線分OP上の点とする。
７個

質問はここからです。
定数aの値が129/2であるとき、三角形OPQの周上にありx座標y座標がともに、整数である点は何個か？
答96個

定数a(0,129/2)0<x<?ここまでは、わかるのですが、ここからどうすればいいのかわかりません。よろしくお願いいたします

No.22304 - 2013/08/18(Sun) 21:10:33

☆ Re: / ヨッシー

ＯＰ上は、(2) の通り７個
ＯＱ上は、ＯはＯＰと重複するので、(0,1)から(0,64) までの64個
なので、ＰＱ上の点を正確に数えることを考えます。
ＰＱの傾きは
　（192－64.5)／102＝5/4
なので、(102,192) から (4,5) ずつ減らした
　(98,187),(94,182)・・・(2, 67)
の 25個
合わせて７＋６４＋２５＝９６(個)

No.22309 - 2013/08/18(Sun) 23:00:01

★ 微積 / うんうん

(1)a>b>0とする。
∫[0→π]{1/(a-bcosθ)}dθを求めよ
(2)∬[D]{1/{(x-1)^2+y^2}}dxdyを求めよ
ただし、D={(x,y):1/9≦x^2+y^2≦1/4,y≧0}とする

-------------------------------------------------
(1)はtan(θ/2)=tとおいて、sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
dθ/dt=2/(1+t^2) θ:0→π より　t:0→∞　として
π√(a^2-b^2)/(a^2-b^2) と求めました。

(2)は
x=rcosθ,y=rsinθとおいて
1/3≦r≦1/2,0≦θ≦π,J=rとして求めようとしているのですがやり方は正しいでしょうか？(途中の計算がうまくいきません)

∬の方がx-1だったので、
x-1=rcosθ,y=rsinθとおくことも考えたのですが、
rとθの範囲がわからなかったので断念しました。

宜しくお願い致します。

No.22299 - 2013/08/18(Sun) 20:01:42

☆ Re: 微積 / angel

> やり方は正しいでしょうか？

問題ないと思います。
(1)の結果がヒントになっていて、
　∬[1/3≦r≦1/2, 0≦θ≦π] 1/(f(r)-g(r)cosθ)・drdθ
の形に持ち込めば、
　(先の式)
　= ∫[1/3,1/2] πdr/√( f(r)^2-g(r)^2 )
として、rのみの積分にできるということを目指します。

No.22308 - 2013/08/18(Sun) 22:11:01

☆ Re: 微積 / うんうん

angelさん
ご回答ありがとうございます。

> 　∬[1/3≦r≦1/2, 0≦θ≦π] 1/(f(r)-g(r)cosθ)・drdθ
> の形に持ち込めば、
・
・
・

x=rcosθ,y=rsinθとおき
1/3≦r≦1/2,0≦θ≦π
∬[1/3,1/2][0,π]{r/((rcosθ-1)^2+(rsinθ)^2)drdθ
=∬[1/3,1/2][0,π]{r/(r^2-2rcosθ+1)drdθ
となってここからどうすれば良いのかがわかりません。

x-1=rcosθ,y=rsinθとおくのは問題ないでしょうか？
(x-1=rcosθ,y=rsinθとおいた方がその後が楽だと思うのですが、rとθの範囲がわかりません)

No.22313 - 2013/08/18(Sun) 23:55:44

☆ Re: 微積 / angel

取り敢えず、
　r/(r^2-2rcosθ+1)
　= r/( (r^2+1) - 2rcosθ )
　= 1/( (r+1/r) - 2cosθ )
私が挙げた 1/( f(r) - g(r)cosθ ) の形になっていますね。

No.22316 - 2013/08/19(Mon) 06:41:47

☆ Re: 微積 / angel

> x-1=rcosθ,y=rsinθとおくのは問題ないでしょうか？
置いても良いかも知れませんが、私はそこから計算する自信はありません。
多分、cosの逆関数か、cosを含んだ式のlogのどちらかの積分を計算することになるでしょうから。

No.22318 - 2013/08/19(Mon) 19:11:08

☆ Re: 微積 / うんうん

angelさん

返信遅くなって申し訳ありません。

ご回答ありがとうございました。

No.22361 - 2013/08/22(Thu) 17:23:11