名古屋市立2007の問題です
自然数ｎを素因数分解したとき２の指数をｆ（ｎ）とする。
例えばｆ(10)=1,f(120)=3である。ｍ、ｎは1以上1000以下の自然数である。
１）ｆ（ｎ）＝３となるｎの個数を求めよ
１０００÷８＝１２５としましたが違いました。
なぜですかね
２）ｆ（ｍ＋ｎ）＝５、ｍ≦ｎである（ｍ、ｎ）は何組あるか？
３）（２）でさらにｆ（ｍ）≦５である（ｍ、ｎ）は何組あるか？
答えは順に６３個、７８３１組，７７１１組です
よろしくお願いします
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No.22676 - 2013/10/09(Wed) 21:44:02
| ☆ 取り敢えず(1) / angel | | | > １）ｆ（ｎ）＝３となるｎの個数を求めよ
> １０００÷８＝１２５としましたが違いました。
> なぜですかね
f(n)=3 を、「nが8の倍数である」と考えるのでは不十分です。
「nが8の倍数であり、かつ16の倍数ではない」です。
なぜならば、16の倍数だとf(n)≧4になってしまうからです。
なので、125-62=63 となります。
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No.22677 - 2013/10/09(Wed) 21:55:10 |
| ☆ (2),(3) / angel | | | (2)
(1)と同じ考え方で、f(m+n)=5 は、m+n=32×奇数 となりますね。順に調べていくと、
m+n=32×1 … (m,n)=(1,31),(2,30),…,(16,16) の16通り
m+n=32×3 … (m,n)=(1,32×3-1),…,(16×3,16×3) の16×3通り
m+n=32×5 … (m,n) は 16×5通り
…
m+n=32×31 … (m,n)=(1,991),…,(496,496) の16×31通り
と、m+n=32×31までは規則正しく行きます。
問題はそれ以降。m,n≦1000 のことを考えなければいけません。すなわち、
m+n=32×33 … (m,n)=(32×33-1000,1000),…,(16×33,16×33) の、16×33-(32×33-1000)+1=1001-16×33通り
m+n=32×35 … (m,n)=(32×35-1000,1000),…,(16×35,16×35)の1001-16×35通り
…
m+n=32×61 … (m,n)=(952,100),…,(976,976)の1001-16×61通り
となります。
結局、
16×1+16×3+…+16×31+(1001-16×33)+(1001-16×35)+…+(1001-16×61)
を計算して7831が答えとなります。
(3)
(2)の答えから、f(m)≧6, f(n)=5 となる組の分を除けば計算できます。
※f(m)≧6, f(n)≧6 だと f(m+n)≧6 となるため、f(n)=5 が確定
さてそうすると、m=64a, n=32(2b-1) とおけるため、
1≦m,n≦1000 から考えると 1≦a,b≦16
また、m≦n なので a＜b ですね。
1≦a,b≦16 かつ a＜b となる組は (16×16-16)/2 と計算できるため、これを(2)の答えからさっ引いて終わりです。
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No.22680 - 2013/10/09(Wed) 22:27:36 |
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