[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ (No Subject) / ｌｌｐ
a,bを実数とする。三次方程式x^3-3ax^2+a+b=0・・?@が三個の異なる実数解を持ち、そのうち一個だけが負となるためのa,bの満たす条件を求めよ。

解）f(x)=x^3-3ax^2+a+bとおく
f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)
極値がないと?@は異なる三個の実数解をもたないので
a≠０
?@が負の解を一個だけ持つので2a>0すなわちa>0・・?A
さらにf(0)>0・・?Bかつf(2)<0・・?C
?Aかつ?Bかつ?Cが答えで以下略

とあるのですが、f(2)<0って必要ですか？
a>0、ｆ（０）＞０の時点で自動的にf(2)<0となるので
?Aかつ?Bが答えだと思うのですが。。

難しい質問なので納得できるかあまり自信がありませんので何度か御回答に対して何度か質問を返すかもしれません。それでも良いという方はお願いします
No.22350 - 2013/08/21(Wed) 21:59:52
☆ Re: / らすかる
f(2)はf(2a)の間違いでは？
a＞0,f(0)＞0 でも、例えば極大値が10、極小値が5のような場合もありますので
f(2a)＜0は必要です。
No.22351 - 2013/08/21(Wed) 22:10:47
☆ Re: / ｌｌｐ
回答ありがとうございます。
f(2a)の間違いでした。
確かにそうですね！勘違いしてました！ありがとうございます！
No.22357 - 2013/08/21(Wed) 23:49:41
★ 式変形 / セキャン
｛[{cos(2π/n)＋sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋sin(2π/n)-1｝
＝[{cos(2π)＋sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋sin(2π/n)-1｝＝0
どうしてこのように式を変形できるのでしょうか？分かる方教えてください。よろしくお願い申し上げます。
No.22342 - 2013/08/21(Wed) 17:41:21
☆ Re: 式変形 / らすかる
その式は成り立ちません。
虚数単位のiが付いていませんでしたか？
No.22343 - 2013/08/21(Wed) 17:57:02
☆ Re: 式変形 / セキャン
> ｛[{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝
> ＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝＝0
すみません。ご指摘のとおり虚数単位がついていました。
No.22345 - 2013/08/21(Wed) 18:18:11
☆ Re: 式変形 / らすかる
ド・モアブルの定理はご存知ですか？
No.22347 - 2013/08/21(Wed) 19:24:15
☆ Re: 式変形 / セキャン
知らなかったので調べてみました。
｛[{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝
＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝と変形できるのは理解できたのですが、
> ＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝＝0となるのはどうしてなんでしょうか？
よろしくお願い申し上げます。
No.22348 - 2013/08/21(Wed) 20:06:13
☆ Re: 式変形 / らすかる
cos(2π) と sin(2π) の値はご存知ですか？
No.22349 - 2013/08/21(Wed) 20:30:42
★ 数列の問題…で用語は合っているの？ / 素人のおばさん
我が家のテレビのボリューム表示は、長さ１〜１０の棒が並びます。それを見ていて思いつきましたが、このように並んだ長さの違う線分を二組に分けて、それぞれの長さの和が等しくなる事があり得るのか？
その他は、エクセルで表を作って６０までやってみて、１〜３(1+2=3)と１〜２０(1+2+3…+14=15+16+17…+20)は等分できることが分かりました。
こういう解はきっと無限にあるのでしょうね？何か法則性があるのでしょうか？
現役を離れて長いですが、中学程度の数学ならまだ印象が残っていると思います。
No.22340 - 2013/08/21(Wed) 15:34:00
☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / ヨッシー
言い換えれば、ｍ＜ｎ である２つの整数ｍ，ｎにおいて、
１〜ｎまでの合計が１〜ｍまでの合計の２倍になっていれば
いいわけです。
１〜ｎまでの合計はn(n+1)/2, ｍまでは m(m+1)/2 なので、
　n(n+1)＝2m(m+1)
となる、ｍ，ｎが見つかればいいのですが、なかなか簡単にはいかないですね。
私もExcel を走らせてみましたが、(m,n) の組み合わせは
(2,3),(14,20) に他に (84,119),(492,696),(2870,8119)
(16730, 23660),(97512, 137903),(568344,803760),(3312554, 4684659)
などがありましたが、規則性や無限にあるかはわかりません。
No.22341 - 2013/08/21(Wed) 16:52:33
☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / らすかる
規則性があって無限にあります。
a[0]=0, a[1]=3, a[n]=6a[n-1]-a[n-2]+2 で表される数列が
3,20,119,696,4059,… となって2等分できる値になります。
この数列は↓こちらにあります。
http://oeis.org/A001652
ただし、証明はわかりません。
No.22344 - 2013/08/21(Wed) 18:00:56
☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / 素人のおばさん
ありがとうございました。
No.22346 - 2013/08/21(Wed) 18:28:12
★ 高校数学 / コトう
高校数学の質問。単位円に内接する正n角形の一辺の長さは2sin(π/n)で表されるそうですがどのようにして一般化されたんでしょうか？分かる方教えてください。お願いします。
No.22338 - 2013/08/21(Wed) 15:29:43
☆ Re: 高校数学 / らすかる
正n角形の隣り合う2頂点をA,Bとし、円の中心をOとします。
ABの中点をMとすると、直角三角形AMOにおいて
AO=1, ∠AOM=(2π/n)÷2=π/n なので
AM=sin(π/n)
よってAB=2sin(π/n)となります。
No.22339 - 2013/08/21(Wed) 15:33:12
★ (No Subject) / まーたん
大学です。
No.22334 - 2013/08/20(Tue) 22:38:28
★ 極限 / まーたん
lim[n→∞](an,bn)=(α,β) のとき
an≦bn (n∈自然数) ならば α≦β

これを証明するには、どうすればいいですか？
No.22331 - 2013/08/20(Tue) 22:07:11
☆ Re: 極限 / ＩＴ
大学の問題ですか？高校の問題ですか？
No.22332 - 2013/08/20(Tue) 22:18:04
☆ Re: 極限 / ＩＴ
方針だけ（背理法）
α＞β　と仮定して矛盾を導けばよい
lim[n→∞]an=α,lim[n→∞]bn=βをε-Ｎ方式であらわす
ε＝(α−β)/2 (＞0）とおく
このとき
ある自然数nについてan＞bnとなりan≦bn (n∈自然数)に矛盾することを示す。
No.22336 - 2013/08/20(Tue) 23:10:00
☆ Re: 極限 / ハオ
たまたま同じ問題を参考書とは別の方法で考えていたので...(背理法は同じですが)
a>bと仮定すれば,a-b= 2ε>0である.
充分大きなn(a_nもb_nも任意のεより小さくなるようなn)に対して,
|(b_n-b)-(a_n-a)|≦|(b_n-b)|+|(a_n-a)|<2ε
(b_n-a_n)+2ε < 2ε
b_n-a_n≧0だから上の不等式は矛盾.

どうでしょうか?
No.22337 - 2013/08/21(Wed) 14:31:06
★ 等差数列 / まさ
1.4の問題についてです
答えはhttp://www.geocities.jp/arrogant_give_and_take/mathematics/the_second_grade/01/1_4.pdf
です

答えの(1)の問題の解説の意味がよくわからないです
よろしくお願いします。
No.22330 - 2013/08/20(Tue) 22:03:45
☆ Re: 等差数列 / らすかる
間に9個の数を入れると
10の次項から40までの項数は10項なので
公差は(40-10)/10=3
No.22333 - 2013/08/20(Tue) 22:25:05
☆ Re: 等差数列 / まさ
ありがとうございました
No.22335 - 2013/08/20(Tue) 22:41:52
★ 数学的帰納法 / コトう
数学的帰納法の問題です S[n]=(n＋1)−3^(n) ここで、kが正の整数であるときS[2k]<0であることを数学的帰納法で証明せよ。
[解答]
(i)k=1のときS2=-6<0より成り立つ
(ii)k=l(l≧1)のとき、S[2l]＜0と仮定する。
このとき、S[2l]＝2l＋1-3^(2l) S[2(l＋1)]=2(l＋1)＋1-3^｛2(l＋1)｝
ゆえに
S[2(l＋1)]−S[2l]<0であるから、S[2(l＋1)]<S[2l]
これと仮定から、S[2(l＋1)]<0も成り立つ。
よって(i)(ii)より、k=1,2,3,・・・に対してS[2k]<0が成り立つ。

答えは上記なのですが、「これと仮定から、〜」のくだりがよくわかりません。
S[2l]<0は、あくまで仮定にすぎないのに、条件として使っているように思えるのですが・・・
誰かわかる方教えてくださいお願いします。
No.22325 - 2013/08/20(Tue) 18:05:54
☆ Re: 数学的帰納法 / らすかる
(i)により「k=1のときS[2k]＜0が成り立つ」が言えて
(ii)により「S[2k]＜0が成り立つと仮定するとS[2(k+1)]＜0が成り立つ」が
言えていますね。
(ii)の「S[2k]＜0が成り立つと仮定するとS[2(k+1)]＜0が成り立つ」というのは
「S[2]＜0が成り立つと仮定するとS[4]＜0が成り立つ」 … (a)
「S[4]＜0が成り立つと仮定するとS[6]＜0が成り立つ」 … (b)
「S[6]＜0が成り立つと仮定するとS[8]＜0が成り立つ」 … (c)
・・・
が一般化されたものであり、(a),(b),(c),…はすべて成り立ちます。
(i)で(a)の仮定が示されていますから、(a)から「S[4]＜0が成り立つ」が言えます。
すると(b)の仮定が示されていますので、(b)から「S[6]＜0が成り立つ」が言えます。
・・・
これがずっと成り立ちますので、「任意のkに対してS[2k]＜0が成り立つ」が
言えるということです。
No.22326 - 2013/08/20(Tue) 18:12:56
☆ Re: 数学的帰納法 / コトう
回答ありがとうございました。とても分かり易かったです。
No.22329 - 2013/08/20(Tue) 21:44:13
★ 極限 / たくろう（社会人）
教えてくださいお願いします。（勉強からずいぶん離れているので出来れば易しく教えてください）

n=1,2,・・・に対して、(1+√2)^n=a[n]+(b[n])√2が成り立つように整数の列{a[n]},{b[n]}と与える

(1)
a[n+1]とb[n+1]をa[n]とb[n]で表せ。
(2)
(a[n])^2-2(b[n])^2=(-1)^n (n=1,2・・・・)が成り立つことを示せ。
(3)
nが奇数のとき、(1+√2)^nの整数部分は偶数であることを示せ。
No.22321 - 2013/08/20(Tue) 00:10:45
☆ Re: 極限 / angel
んー…。模範解答例を書くだけなら簡単なんですが、たくろうさんの求めているのは一体…?
「勉強からずいぶん離れているので」と言われてしまうと、どこまで知っている前提で話せば良いのか…。

取り敢えず「数学的帰納法」を使うと言われても問題ないですか?
手元に模範解答がありますか? もしくはなくて模範解答を求められていますか?
まずヒントだけ聞いて自分で考えてみたいですか?
No.22322 - 2013/08/20(Tue) 00:22:27
☆ Re: 極限 / たくろう（社会人）
angelさんお返事ありがとうございます。
資格を取りたくて、独学で勉強しています。（前提は数学３・ｃまでやりました。）
できれば元に模範解答がないので、模範解答をお示し下さったらありがたいです。
No.22327 - 2013/08/20(Tue) 19:12:16
☆ Re: 極限 / らすかる
(1)
(1+√2)^n=a[n]+b[n]√2
(1+√2)^(n+1)=a[n+1]+b[n+1]√2
なので
a[n+1]+b[n+1]√2=(1+√2)(a[n]+b[n]√2)
=(a[n]+2b[n])+(a[n]+b[n])√2
よって
a[n+1]=a[n]+2b[n]
b[n+1]=a[n]+b[n]

(2)
n=1のときa[n]=1,b[n]=1なので
(a[n])^2-2(b[n])^2=-1 となり成り立つ。
n=kのとき成り立つとすると
(a[k])^2-2(b[k])^2=(-1)^k
n=k+1のとき
(a[k+1])^2-2(b[k+1])^2
=(a[k]+2b[k])^2-2(a[k]+b[k])^2
=-{(a[k])^2-2(b[k])^2}
=(-1)^(k+1)
となり、任意のnに対して成り立つ。

(3)
nが奇数のとき
(2)から
(a[n])^2-2(b[n])^2=-1
(a[n]+b[n]√2)(a[n]-b[n]√2)=-1
∴1/(a[n]+b[n]√2)=-(a[n]-b[n]√2)
(a[n]+b[n]√2)-1/(a[n]+b[n]√2)
=(a[n]+b[n]√2)+(a[n]-b[n]√2)
=2a[n]
なので
(a[n]+b[n]√2)=2a[n]+1/(a[n]+b[n]√2)
つまり
(1+√2)^n=(偶数)+1/(1+√2)^n
0＜1/(1+√2)^n＜1 だから、
(1+√2)^nの整数部分は偶数。
No.22328 - 2013/08/20(Tue) 19:49:28
☆ Re: 極限 / たくろう（社会人）
らすかるさん、ご丁寧説明ありがとうございます。
No.22352 - 2013/08/21(Wed) 22:22:10
★ (No Subject) / やはり｛高3｝
楕円x=2cosθ y=3sinθ (0≦x≦2π)で、
囲まれた図形の面積を求めよ。

答えもですが、
考え方すらよくわかりません(;_;)
No.22319 - 2013/08/19(Mon) 19:35:07
☆ Re: / X
分からない場合はxy座標での楕円の方程式に戻しましょう。

問題の楕円のxy座標での方程式は
(x/2)^2+(y/3)^2=1
x軸、y軸に関する対称性を考慮に入れると求める面積Sは
S=4∫[0→2]3√{1-(x/2)^2}dx
ここで
x=2cosθ
と置きましょう。
No.22320 - 2013/08/19(Mon) 19:40:00
★ (No Subject) / のり
△ABC △ADEはそれぞれ正三角形である。AB=8?p BD=3?pとする。
線分EFの長さをx?pとするとき線分AEの長さをxであらわしなさい。
△ABD∽△AEFだから、AB:AE=BD:EF
AE=8/3x?p
(1)xの値をもとめなさい、
解答では、△ABD∽△DCFだからCF=15/8?pとなってますが、15/8がなぜだか、わかりません。答は21/8です。
No.22306 - 2013/08/18(Sun) 21:36:12
☆ Re: / ヨッシー
Ｆとはどういう点ですか？
No.22307 - 2013/08/18(Sun) 21:43:59
☆ Re: / のり
こちらで、図のはみえますか？
No.22310 - 2013/08/18(Sun) 23:10:54
☆ Re: / ヨッシー
>△ABD∽△AEFだから、AB:AE=BD:EF
>AE=8/3x?p
が理解できたのなら、
△ABD∽△DCFだから、AB:DC＝BD:CF より CF＝DC・BD／AB＝15/8 です。
No.22312 - 2013/08/18(Sun) 23:19:28
☆ Re: / nori
できました　ありがとうございました
No.22359 - 2013/08/22(Thu) 12:32:16
★ (No Subject) / のり
２つの直線32x−17y=0‥?@(192−a)x−102y＋102a=0‥?Aに対して、?@と?Aの交点をP、?Aとy軸の交点をQとおく。
ただしaは正の定数とし、原点は0で表すものとする。次の各問に答えなさい。(1)点Pの座標を求めなさい。
P(102,192)
(2)線分OP上にあり、x座標、y座標の値がと
もに整数である点は何個あるか。ただし両端
の点は線分OP上の点とする。
７個


質問はここからです。
定数aの値が129/2であるとき、三角形OPQの周上にありx座標y座標がともに、整数である点は何個か？
答96個


定数a(0,129/2)0<x<?ここまでは、わかるのですが、ここからどうすればいいのかわかりません。よろしくお願いいたします
No.22304 - 2013/08/18(Sun) 21:10:33
☆ Re: / ヨッシー
ＯＰ上は、(2) の通り７個
ＯＱ上は、ＯはＯＰと重複するので、(0,1)から(0,64) までの64個
なので、ＰＱ上の点を正確に数えることを考えます。
ＰＱの傾きは
　（192−64.5)／102＝5/4
なので、(102,192) から (4,5) ずつ減らした
　(98,187),(94,182)・・・(2, 67)
の 25個
合わせて ７＋６４＋２５＝９６(個)
No.22309 - 2013/08/18(Sun) 23:00:01
★ 微積 / うんうん
(1)a>b>0とする。
∫[0→π]{1/(a-bcosθ)}dθを求めよ
(2)∬[D]{1/{(x-1)^2+y^2}}dxdyを求めよ
ただし、D={(x,y):1/9≦x^2+y^2≦1/4,y≧0}とする

-------------------------------------------------
(1)はtan(θ/2)=tとおいて、sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
dθ/dt=2/(1+t^2) θ:0→π より　t:0→∞　として
π√(a^2-b^2)/(a^2-b^2) と求めました。

(2)は
x=rcosθ,y=rsinθとおいて
1/3≦r≦1/2,0≦θ≦π,J=rとして求めようとしているのですがやり方は正しいでしょうか？(途中の計算がうまくいきません)

∬の方がx-1だったので、
x-1=rcosθ,y=rsinθとおくことも考えたのですが、
rとθの範囲がわからなかったので断念しました。


宜しくお願い致します。
No.22299 - 2013/08/18(Sun) 20:01:42
☆ Re: 微積 / angel
> やり方は正しいでしょうか？

問題ないと思います。
(1)の結果がヒントになっていて、
　∬[1/3≦r≦1/2, 0≦θ≦π] 1/(f(r)-g(r)cosθ)・drdθ
の形に持ち込めば、
　(先の式)
　= ∫[1/3,1/2] πdr/√( f(r)^2-g(r)^2 )
として、rのみの積分にできるということを目指します。
No.22308 - 2013/08/18(Sun) 22:11:01
☆ Re: 微積 / うんうん
angelさん
ご回答ありがとうございます。

> 　∬[1/3≦r≦1/2, 0≦θ≦π] 1/(f(r)-g(r)cosθ)・drdθ
> の形に持ち込めば、
・
・
・

x=rcosθ,y=rsinθとおき
1/3≦r≦1/2,0≦θ≦π
∬[1/3,1/2][0,π]{r/((rcosθ-1)^2+(rsinθ)^2)drdθ
=∬[1/3,1/2][0,π]{r/(r^2-2rcosθ+1)drdθ
となってここからどうすれば良いのかがわかりません。


x-1=rcosθ,y=rsinθとおくのは問題ないでしょうか？
(x-1=rcosθ,y=rsinθとおいた方がその後が楽だと思うのですが、rとθの範囲がわかりません)
No.22313 - 2013/08/18(Sun) 23:55:44
☆ Re: 微積 / angel
取り敢えず、
　r/(r^2-2rcosθ+1)
　= r/( (r^2+1) - 2rcosθ )
　= 1/( (r+1/r) - 2cosθ )
私が挙げた 1/( f(r) - g(r)cosθ ) の形になっていますね。
No.22316 - 2013/08/19(Mon) 06:41:47
☆ Re: 微積 / angel
> x-1=rcosθ,y=rsinθとおくのは問題ないでしょうか？
置いても良いかも知れませんが、私はそこから計算する自信はありません。
多分、cosの逆関数か、cosを含んだ式のlogのどちらかの積分を計算することになるでしょうから。
No.22318 - 2013/08/19(Mon) 19:11:08
☆ Re: 微積 / うんうん
angelさん

返信遅くなって申し訳ありません。

ご回答ありがとうございました。
No.22361 - 2013/08/22(Thu) 17:23:11
★ 素因数 / のり
31^4−12^4を素因数分解しなさい。

答5×13×17×19×43
No.22298 - 2013/08/18(Sun) 20:00:39
☆ Re: 素因数 / らすかる
例えば
31^4-12^4=(31^2-12^2)(31^2+12^2)
=(31-12)(31+12)(31^2+12^2)
=19×43×(31^2+12^2)
=19×43×{31^2+(13^2-5^2)}
=19×43×{(31^2-5^2)+13^2}
=19×43×{(31-5)(31+5)+13^2}
=19×43×(26×36+13^2)
=19×43×13×(2×36+13)
=19×43×13×85
=19×43×13×5×17
=5×13×17×19×43
No.22302 - 2013/08/18(Sun) 20:39:30
★ 証明 / のり
図のようにAB=Aである二等辺三角形ABCの∠Bの二等分線と辺ACとの交点をPとし、辺BCのCの方への延長上にCP=CQとなる点Qをとる。このとき、次の問にこたえなさい、
△PBQは二等辺三角は、証明できました。
AP=PQとなるとき、∠PQCの大きさを求めなさい。

答36


図を見ても、角度に数字がかかれておらず、
どのようにとくのかが、わかりません。
No.22297 - 2013/08/18(Sun) 19:52:52
☆ Re: 証明 / らすかる
AP=PQ, PB=PQ なので AP=PB
よって 2∠BAC=∠ABC=∠ACB から∠ABCが求まり、∠PQC=∠PBCが求まりますね。
No.22301 - 2013/08/18(Sun) 20:30:25
★ ルートの計算 / のり
√ n^2＋ 96が整数になるような自然数nをすべてこたえなさい。
(数字は全てルートの中です)

よろしくお願いいたします

No.22294 - 2013/08/18(Sun) 19:25:39
☆ Re: ルートの計算 / のり
答えは2，,5，10，23になるようです。
答の2は出せたのですが、他の数字がでません。
自然数とかいているので、１から代入していけばいいのかと
思ったのですが幅広くどこまで代入して数字をだすのかも不明です。よろしくおねがいします。
No.22295 - 2013/08/18(Sun) 19:30:55
☆ Re: ルートの計算 / のぼりん
削除しました
No.22296 - 2013/08/18(Sun) 19:45:57
☆ Re: ルートの計算 / ＩＴ
のり(nori) さんへ
No.22277 で同じ質問をしておられそれなりの回答をしたつもりです。
そちらに再質問するのがマナーだと思いますが。
No.22303 - 2013/08/18(Sun) 21:05:26
☆ Re: ルートの計算 / のり
> のり(nori) さんへ
> No.22277 で同じ質問をしておられそれなりの回答をしたつもりです。
> そちらに再質問するのがマナーだと思いますが。

すいません、携帯から入力しているため、質問の数が多くて投稿の確認ができていませんでした。

次回よりきをつけます。

すいませんでした。
No.22305 - 2013/08/18(Sun) 21:14:14
★ アステロイドについて / sphere
分かりません

x^2/3+y^2/3=a^2/3 (a>0) について
(1)増減・凹凸などを調べ、概形をえがけ。

(2)この曲線上の点(s,t)(ただしst≠0)における接線とx軸,y軸との交点をそれぞれP,Qとするとき,線分PQの長さを求めよ。

（1）の解答では式を直接微分しているのですが、第二次導関数のy‘‘=(1/3)(a^2/3)(x^-2/3)(y^-2/3)がどうやって
導かれているのかが分かりません。（x=acos^3t等と置いているわけでもありません）
No.22291 - 2013/08/18(Sun) 17:55:50
☆ Re: アステロイドについて / X
x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) (A)
の両辺をxで微分して
(2/3)/x^(1/3)+{(2/3)/y^(1/3)}y'=0 (B)
更に両辺をxで微分して
-(2/9)/x^(4/3)-{(2/9)/y^(4/3)}(y')^2+{(2/3)/y^(1/3)}y"=0 (C)
(B)を用いて(C)からy'を消去します。
No.22293 - 2013/08/18(Sun) 19:04:51
☆ Re: アステロイドについて / sphere
よく分かりました。計算してみた後にわかったことですが
第二次導関数が間違っていました。
（２）も無事解決。
すぐに解答していただきありがとうございました。
No.22311 - 2013/08/18(Sun) 23:11:00
★ (No Subject) / 犬好きおやじ
2行m列のマス目に1から2mまでの数を「右の数は左より大きく、下の数は上より大きい」という条件で並べる場合の数は何通り。またm行n列のときは何通り。
という問題で、2×mは中学受験で少し触れたことのあるカタラン数のマス目の問題と同じだと思ったので、
(1/(m+1))*2mCm
と出したのですが、m×nについてはどうしたらよいのかわかりません。解説をお願いいたします。
No.22290 - 2013/08/18(Sun) 17:25:12
☆ Re: / ヨッシー
まだ詳しく吟味していないのですが、こちらの記事に、ヒントがあるのかも。
No.22317 - 2013/08/19(Mon) 11:36:03
★ (No Subject) / 三次
(arccosx)'=-{1/√(1-x^2)}
これはｘの範囲がx≠±１のときはいつでも成り立つのですか？
No.22283 - 2013/08/17(Sat) 20:59:12
☆ Re: / らすかる
arccosxの定義が「cosの逆関数で値域は0〜π」ならば成り立ちます。
No.22284 - 2013/08/17(Sat) 23:08:31
☆ Re: / らすかる
↑
ちょっと雑でしたので訂正します。
arccosxの定義が「y=cosx,0≦x≦π」の逆関数ならば成り立ちます。
No.22285 - 2013/08/17(Sat) 23:10:42
☆ Re: / 三次
回答ありがとうございます
それではｘがその範囲で無い場合、例えば
ｙ＝cosx（-π≦ｘ≦０）の逆関数はどうなるのでしょうか？
No.22287 - 2013/08/18(Sun) 08:56:28
☆ Re: / らすかる
「y=cosx,0≦x≦π」の逆関数をArccosxと書くことにします。
y=cosx,-π≦x≦0 は
y=cos(-x),0≦x≦πなので
逆関数にすると -y=Arccosx
つまりy=-Arccosx
となりますね。
よってこれを微分した場合は
1/√(1-x^2)
となります。
No.22289 - 2013/08/18(Sun) 11:57:37
☆ Re: / 三次
んん？y=cos(-x),0≦x≦πなので
逆関数にすると -y=Arccosx
とありますが
cosθ＝cos(-θ）ですから
y=cos(-x),0≦x≦π
⇔y=cos(x),0≦x≦π
arccosxの定義が「y=cosx,0≦x≦π」の逆関数より
ｙ＝cosx（-π≦ｘ≦０）の逆関数=-{1/√(1-x^2)}
では？もうなにがなんだか分からなくなりました。
再度よろしくお願いします
No.22292 - 2013/08/18(Sun) 18:50:47
☆ Re: / らすかる
上のは正しくありませんでしたので訂正します。
y=cosx,-π≦x≦0 なので
t=-x とおけば
y=cos(-t),0≦t≦π
y=cost,0≦t≦π
t=Arccosy
-x=Arccosy
x=-Arccosy
∴逆関数は y=-Arccosx

グラフで考えるとわかりやすいかと思います。
No.22300 - 2013/08/18(Sun) 20:10:23
☆ Re: / 三次
その逆関数を微分した値がどうなるのかというのが知りたいことです。

つまりy=cosx,-π≦x≦0
t=-x とおけば
y=cos(-t),0≦t≦π
y=cost,0≦t≦π
t=Arccosy
-x=Arccosy
x=-Arccosy
∴逆関数は y=-Arccosx
これを微分したらどういう関数になるのですか？

結果的にｙ’の値はｘの値次第で変わるのですか？換わらないのですか？
No.22314 - 2013/08/18(Sun) 23:58:29
☆ Re: / らすかる
y=Arccosx を微分したら y'=-1/√(1-x^2) になるのですから、
y=-Arccosx を微分したら y'=1/√(1-x^2) になりますね。

> 結果的にｙ’の値はｘの値次第で変わるのですか？

この質問は意味がわかりませんでした。
y'がxの式であれば、xの値によってy'の値は変わって当然ですが、
そういう質問ではないですよね？
No.22315 - 2013/08/19(Mon) 00:01:47
☆ Re: / 三次
すみません、ｘの値によってではなく「ｘの範囲次第で」の間違いでした、よろしくお願いします。
No.22323 - 2013/08/20(Tue) 00:23:01
☆ Re: / らすかる
「xの範囲次第で」と言うと、そのxが何を指しているか
わかりませんので、「xの範囲次第でy'が変わる」というだけでは
意味が通じませんが、
arccosx を「y=cosx, ○≦x≦△ の逆関数」と定義した時に
○と△の値によってarccosxの微分が変わる
という意味ならば、その通りです。
簡単に言えば
arccosxの微分はarccosxの値域の定義によって変わる
ということです。
No.22324 - 2013/08/20(Tue) 00:52:01
★ 平方根?A / nori
直線ｌはｙ＝-1/2ｘ+4　直線ｍはｙ＝ｘ+ｋのグラフである。直線ｌ。ｍとy軸との交点をそれぞれA,Bとし直線ｌとｍの交点をｐとする。△ＡＢＰの面積が12ｃ?uになるときのＫの値ををもとめなさい。ただし座標軸(エクセルは関係ありません）の1目盛りを1ｃｍとする

(1) y

(1) y







x











x





No.22278 - 2013/08/17(Sat) 12:55:56
☆ Re: 平方根?A / tobira
直線L【y＝−(1/2)x】と、直線M【y＝x＋k】の
　交点のx座標を求めると、x＝(2/3)(4−k)
　　･･･(2式の連立方程式を解きます)

Ａ(0，4)，Ｂ(0，k)から
　線分ＡＢの長さを考えると、ＡＢ＝(4−k)
　　･･･(Ｂのy座標からＡのy座標を引きます)

△ＡＢＰの面積を考えると
　底辺ＡＢとすると高さがＰまでの距離(x座標)となるので
　△ＡＢＰ＝(1/3)(4−k)^2

△ＡＢＰの面積が12であることから
　(1/3)(4−k)^2＝12を解いて
　k＝−2，k＝10

他の条件がなければ
　k＝−2，k＝10

△ＡＢＰは２つできます。
No.22280 - 2013/08/17(Sat) 13:45:40
全22695件 [ ページ : << 1 ... 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 ... 1135 >> ]