ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 有理数について / 潤一郎

こんばんは。よろしくお願いします。
いつも有理数の問題があまりよくわかりません。
もしこんな問題が出た時にまず何から考えて
どう解いていくのかを教えて下さいよろしくおねがいします。答えは２と８になっています。

No.22651 - 2013/10/07(Mon) 21:44:38

☆ Re: 有理数について / ヨッシー

１桁の自然数なので、１から９をあてはめます。
Ｎ＝√(18/n) と置きます。
n=1 のときＮ＝√18＝3√2　・・・無理数
n=2 のときＮ＝√9＝3　・・・有理数
n=3 のときＮ＝√6 　・・・無理数
n=4 のときＮ＝√(9/2)＝3/√2　・・・無理数
n=5 のときＮ＝√(18/5)＝3√(2/5)　・・・無理数
n=6 のときＮ＝√3　・・・無理数
n=7 のときＮ＝√(18/7)＝3√(2/7)　・・・無理数
n=8 のときＮ＝√(9/4)＝3/2　・・・有理数
n=9 のときＮ＝√2　・・・無理数
以上です。

No.22653 - 2013/10/07(Mon) 22:11:14

☆ Re: 有理数について / ＩＴ

１桁の自然数は９個ですから、すべての場合を確かめるのが
最も簡単だと思います。
√（１８/ｎ）＝√（３*３*２/ｎ）＝３√（２/ｎ）
としてから√（２/ｎ）が有理数になるｎを調べてもいいです

さらに　ｎは0でないので
「√（２/ｎ）が有理数」　と「√（ｎ/２）が有理数」　が同じことであることを使うと分かり易いかも。　

No.22654 - 2013/10/07(Mon) 22:12:44

☆ Re: 有理数について / 潤一郎

ヨッシー先生。IT先生。とてもわかりやすくて
ありがとうございました。
すぐに教えてくれてありがとうございました。
これからもよろしくおねがいします。

No.22655 - 2013/10/07(Mon) 22:24:55

☆ Re: 有理数について / ゆぅ

私の解き方ですが…

まずは分子を素因数分解します。

この問題では 3√2 になりますよね？
有理数に√は含まれないので、
3√2 の √2 を打ち消す数(√2 など)がnとなります。

…つまり、この問題で言うと

n＝2は
分母の有理化により、分子にも√2がかけられ
結果全ての√が消えます

n＝8は
分子の√2を消すのに、分母には絶対 √2 が必要なのは分かりますよね？
今回の問題ではnは1ケタなので
√4＝2 より、分母で√が残らない √4 ×√2
＝√8 なので n＝8となります。

その次は
√9＝3より √9 ×√2 ＝√18
よってn＝18となりますが、
nが1ケタという条件から外れてしまいます。
なので答えは 2 と 8 となります。

なんか…
分かりにくくてごめんなさい(._.)

No.22656 - 2013/10/07(Mon) 22:31:00

★ 2次関数(？) / ゆぅ

高1です
頑張って
平方完成してみたり、
判定式使ってみたり、
たすき掛けしてみたり、
連立方程式にしてみたり、
といろいろ試してみたのですが
さっぱり分かりませんでした…

解説等していただけないでしょうか?

－－－－－－－－－－－－－－－－－－
a,bを定数とする。２次関数
y=2x^2-(2a-4)x+2a^2-2a+b+3
のグラフをＣとし、Ｃの頂点は直線 y=4x+5 上にあるとする。

(1) bをaで表すと、
　　b=(　?@　)となる。
　　よってbの最大値は（　?A　）である。

(2)Ｃが点(-1,7)を通るとき、
　　a=( ?B ) または　a=( ?C ) である。
　　a=( ?B )のときのグラフをＣ1とし、
　　a=( ?C )のときのグラフをＣ2とする。
　　このとき、
　　グラフＣ1をｘ軸方向に（ ?D )、ｙ軸方向に( ?E )
だけ平行移動すると、グラフＣ2に重なる。

よろしくお願いいたします。

No.22650 - 2013/10/07(Mon) 21:42:37

☆ Re: 2次関数(？) / ヨッシー

(1)
　y=2x^2-(2a-4)x+2a^2-2a+b+3
変形して
　y=2{x-(a-2)/2}^2+3a^2/2+b+1
より、頂点の座標は((a-2)/2, 3a^2/2+b+1) であり、これが
y=4x+5 を満たすので、
　3a^2/2+b+1＝2(a-2)+5
よって
　b=-3a^2/2＋2a＝(-3/2)(a-2/3)^2＋2/3
以上より、
　b=-3a^2/2＋2a　であり、ａ＝2/3 のとき最大値 2/3

(2)
(1) の結果より
　y=2x^2-(2a-4)x+2a^2-2a+b+3
は、
　y=2x^2-(2a-4)x+(1/2)a^2+3
と書けます。　これが、(-1, 7) を通ることより
　7=2＋(2a-4)+(1/2)a^2+3
整理すると、
　a^2+4a-12=0
　(a+6)(a-2)=0
より、a=-6, a=2
どちらを?Bとしてどちらを?Cとするかによって、これ以降の
答えが変わってきます。
ここでは、-6 を?B、2 を?C とします。
頂点の座標で考えると、
a=-6 のときの頂点は　(-4,-11)
a=2 のときの頂点は (0,5) であるので、
x軸方向に４，ｙ軸方向に１６移動すると、C1 が C2 に重なります。　

No.22652 - 2013/10/07(Mon) 22:07:18

☆ Re: 2次関数(？) / ゆぅ

こんなにも早く、分かりやすい説明を本当にありがとうございました!!
また何かありましたら、よろしくお願いしますm(_ _)m

No.22657 - 2013/10/07(Mon) 22:37:19

★ 図形と範囲 / infinity

原点をOとする座標平面上に△OABがあり、点Aの座標は
(1,0)で点Bのx座標はt(t＞0)である。

辺OBを1:4に内分する点をPとする。
このとき辺OA(両端を含む）上にAB=5PQを満たす点Qが
ちょうど2つ取れるようなtの値の範囲を求めよ。

答えは1/2≦t＜3(t≠1)らしいのですが、確かではなくて・・・。

分からないので教えてください。

No.22643 - 2013/10/06(Sun) 22:38:58

☆ Re: 図形と範囲 / ヨッシー

点Ｐを通り、ＡＢに平行な直線と、ＯＡの交わる点
座標で言うと、(1/5, 0) は、点Ｑとして必ず存在します。
もう一つの点はＰＱをＰを通りｙ軸に平行な直線に関して
対称に移動した辺（二等辺三角形が出来る）がｘ軸と交わる点が
点Ｑの候補になりますが、それが辺ＯＡ上にあるか、両端から
外れた位置に来るかはｔの値によって変わります。

その境目を調べると、
　1/2≦ｔ＜１, １＜ｔ≦３
となります。
1/2≦t≦３(t≠1) という書き方でもＯＫです。
（両端を含む、なので、ｔ＝３も含まれます）

No.22644 - 2013/10/07(Mon) 00:44:41

☆ Re: 図形と範囲 / infinity

おはようございます。

動画までつけていただき、ありがとうございます。

申し訳ないのですが、時間がなく、最後まで考えられませんでした。

分からなければ、また質問させて頂くことになるかもしれません・・・。

No.22645 - 2013/10/07(Mon) 07:53:08

★ 二次関数の問題　数?TA / 受験生

?@：y=x^2-(2a+4)x+9a　(aは実数)のグラフを考える。

(1)?@のグラフをx軸に関して対称移動し、さらにy軸方向にbだけ平行移動させると頂点は、２次関数y=x^2+4x+6のグラフの頂点と一致する。
このとき、aとbの値を求めよ。

(2)iのグラフがx軸と異なる２点P,Qで交わるとき、a<○,●<aである。○と●に当てはまる値を求めよ。
また、このときの線分P,Qの長さを求めよ。

(1)のaとbは求めることができたのですが、(2)で行き詰まっています。
(2)を教えてください。よろしく御願いします。

ちなみに、(1)はa=-4でb=-38と出たのですが、実は答えを公表していない問題なので正直合っているのかわかりません。

No.22641 - 2013/10/06(Sun) 16:18:39

☆ Re: 二次関数の問題　数?TA / のぼりん

こんばんは。

一番は、ご名算です。

二番は、?@のグラフがｘ軸と異なる２点Ｐ、Ｑで交わるためには、二次方程式
　　　ｘ^２－（２ａ＋４）ｘ＋９ａ＝０
が相異なる実数解を持つことが必要十分です。この判別式をＤとすれば、
　　　Ｄ/４＝（ａ＋２）^２－９ａ＝ａ^２－５ａ＋４＝（ａ－４）（ａ－１）＞０
だから、この条件は
　　　ａ＜１またはａ＞４
と同値です。このとき、
　　　ＰＱの長さ＝√Ｄ＝２√｛（ａ－４）（ａ－１）｝
となります。

No.22642 - 2013/10/06(Sun) 19:33:56

☆ Re: 二次関数の問題　数?TA / 受験生

返信おくれてすみません。

ありがとうございます。自分でも解けることができました。

No.22691 - 2013/10/10(Thu) 23:01:39

★ (No Subject) / ラスティ

図のように

No.22636 - 2013/10/04(Fri) 23:50:07

☆ 図形の問題　数1・A / ラスティ

ごめんなさい。ミスしてしまいました。
恥ずかしながら(1)から解けなくて困っています。

問題は
△ABCの二辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとし、線分DCを２：１に内分する点をHとして、頂点Aから点Hを通る直線と線分DEとの交点をG,辺BCとの交点をFとする。また、DB＝４、DG＝２、角ABC＝６０°である。

問題
(1)BC,DEの長さ

(2)ACの長さ

(3)△ABCの面積、また△ABCの面積は△ADGの面積の何倍であるか

No.22637 - 2013/10/05(Sat) 00:00:36

☆ 背景に「件名は必ず入れてください」と書いてあります / のぼりん

こんばんは。

（１）　△ＨＤＧ∽△ＨＣＦ、ＤＧ＝２、ＤＨ：ＨＣ＝２：１だから、
　　　ＦＣ＝１
です。 △ＡＤＧ∽△ＡＢＦ、ＡＢ：ＡＤ＝２：１だから、
　　　ＢＦ＝ＤＧ×２＝４
　　　ＢＣ＝ＢＦ＋ＦＣ＝５
です。 △ＡＢＣ∽△ＡＤＥ、ＡＢ：ＡＤ＝２：１だから、
　　　ＤＥ＝ＢＣ÷２＝５/２
です。

（２） △ＡＤＧにおいて、ＡＤ＝ＤＢ＝４、∠ＡＤＧ＝∠ＡＢＣ＝６０°、ＤＧ＝２だから、
　　　∠ＡＧＤ＝∠ＡＦＢ＝９０°
です。△ＡＢＦにおいて、
　　　ＦＢ：ＢＡ：ＡＦ＝１：２：√３
だから、
　　　ＡＦ＝√３×ＢＦ＝４√３
です。三平方の定理により、
　　　ＡＣ＝√（ＡＦ^２＋ＦＣ^２）＝√｛（４√３）^２＋１^２｝＝√（４８＋１）＝７
です。

（３） △ＡＢＣの面積＝１/２×ＢＣ×ＡＦ＝１/２×５×４√３＝１０√３
　　　△ＡＤＧの面積＝１/２×ＤＧ×ＡＧ＝１/２×ＤＧ×ＡＦ/２＝１/２×２×４√３/２＝２√３
　　　△ＡＢＣの面積÷△ＡＤＧの面積＝１０√３÷２√３＝５
です。

No.22638 - 2013/10/05(Sat) 00:45:52

☆ Re: / ラスティ

のぼりんさん返信ありがとうございます。

理解しやすい解説を投稿してもらって、とても助かります。
自分でも解けることができました。
本当にありがとうございます。

No.22639 - 2013/10/05(Sat) 06:30:00

★ 合同式について　【数A】 / アクオス

自分の使っている参考書で

473^5 ≡ 3^5(mod5) という式から余りを求める方法が書いてあるのですが

473^5 ≡　3^5 ≡　3^3　× 3^2 (mod5)

ここで　3^3≡27≡2(mod5)
3^2≡9≡4(mod5) より

475^5≡2×4≡8≡3(mod5)

という式の流れだけが書かれており、あまり意味が理解できないのですが

これは
3^5 は　3^3　× 3^2　と表すことが出来る

そして3^3≡2(mod5)
　　　3^2≡4(mod5)　

なので

ここから
a≡b (mod n), c≡d (mod n) のとき ac≡ bd (mod n)という公式を使って

3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)

と表すことができ

473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)だから

473^5 ≡2×4 (mod5)　　ということでもあるので

2×4を5で割った余りが3なので473^5を5で割った余りも3となる

ということを表していると考えていいのでしょうか？

もしこの考え方で合っているとしたら
その中でも質問があるのですが

473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)から
3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)なので
473^5 ≡2×4 (mod5)　とおける

というのは合同式の何か公式を使っているわけではなく
3^3×3^2 と　2×4　が5を法として合同だから
473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)を
473^5 ≡2×4 (mod5)と置き換えてもいいという考え方で合っているのでしょうか。

よろしくお願いします。　

No.22630 - 2013/10/01(Tue) 20:33:26

☆ Re: 合同式について　【数A】 / ヨッシー

こちらに書かれている
乗法を適用したものと考えられます。

No.22631 - 2013/10/01(Tue) 20:41:24

☆ Re: 合同式について　【数A】 / アクオス

ヨッシーさん回答ありがとうございます。
リンク先を見て、書かれている事はわかったのですが、

乗法を適用しているというのは

473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)を
473^5 ≡2×4 (mod5)と置き換える時に使われているということを言われているのでしょうか？

3^3× 3^2≡473^5　(mod5)
3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)

ここから
(3^3× 3^2)×473^5 ≡　(3^3×3^2)× 2×4　(mod5)
で両辺から(3^3×3^2)を消して
473^5 ≡2×4 (mod5)
となるということでしょうか?　

3^3≡2(mod5)
3^2≡4(mod5)

ここから3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)とする時に
乗法の公式が使われているというのはわかるのですが・・・

No.22632 - 2013/10/01(Tue) 21:38:58

☆ Re: 合同式について　【数A】 / ヨッシー

同じ wikipedia の記事に、乗法を応用した「べき」というのがあります。
以下、すべて mod 5 とします（表記は省略）
これも含めて、上の式変形を見てみると、
　473^5 ≡　3^5　・・・　473 ≡　3 および「べき」より
　3^5 ≡　3^3　× 3^2　・・・　両辺同じ数
　3^3 × 3^2 ≡ 2×4　・・・ 3^3≡2, 3^2≡4 および「乗法」より
　2×4≡8　・・・　両辺同じ数
　8≡3　　・・・　合同式の基本
という変形になっています。

これを、合同式を使わずに表すと、
　473^5＝(5n+3)^5＝(5n)^5＋5(5n)^4・3＋10(5n)^3・3^2＋10(5n)^2・3^3＋5(5n)・3^4＋3^5
　　＝5N＋3^5
　よって、473^5 を5で割った余りと、3^5 を5で割った余りは等しい

　3^3＝5a＋2, 3^2＝5b+4 より
　3^5＝3^3×3^2＝(5a+2)(5b+4)＝25ab＋20a＋10b＋8
　　＝5A＋8＝5(A+1)＋3
　よって、3^5 を5で割った余りは、８を５で割った余りと等しく、それは３である。

という意味が、合同式の変形に込められています。
(n,N,a,b,A は整数です)

No.22633 - 2013/10/01(Tue) 22:52:46

☆ Re: 合同式について　【数A】 / アクオス

ヨッシーさんありがとうございました。
まだ完全に理解できたわけではないのですが
いただいた回答をもとによく考えてみます。

No.22634 - 2013/10/02(Wed) 06:40:02

☆ Re: 合同式について　【数A】 / angel

> 合同式の何か公式を使っているわけではなく
> 3^3×3^2 と 2×4 が5を法として合同だから
> 473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)を
> 473^5 ≡2×4 (mod5)と置き換えてもいい
> という考え方で合っているのでしょうか。
合っています。
この「置き換えてもいい」というのは、「推移律」という性質であり、「nを法として合同」などの「同値関係」が持つ性質の一つです。
同値関係とは…、まあ言葉そのままでして、= ももちろん同値関係ですし、図形の合同(≡)や相似(∽)も同値関係です。

正しくは、「同値関係だから推移律が成立する」ではなく、「推移律などが成立することが分かっているから同値関係と認められている」なのですが…
実際問題としては、「『nを法として合同』が同値関係であること」は断りなく使ってもよい既知の事実という扱いでして。なので、「同値関係だから推移律が成立する」と言っても、あながち間違いではないです。

なお、同値関係に関する説明は、ヨッシーさんが提示されたページにも出ています。

No.22635 - 2013/10/02(Wed) 23:22:15

☆ Re: 合同式について　【数A】 / アクオス

angelさんありがとうございます。
理解することが出来ました。

No.22640 - 2013/10/05(Sat) 17:35:57

★ 一ツ橋2006後期 / 名無し

(1)kを定数とする。x≧0ならば常に4x∧(3)+1≧kxとなるようなkの値の範囲を求めよ。
(2)x≧0、y≧0のとき、[4{x∧(3)+y∧(3)}+5]/(x+y+1)の最小値と、そのときのx,yを求めよ。

お手数ですがよろしくお願いしますm(_ _)m
(2)を特に詳しくお願いしますm(_ _)m

No.22625 - 2013/10/01(Tue) 10:16:39

☆ Re: 一ツ橋2006後期 / ＿

(1)は(2)を解くためのヒントです。配点もあまりないのではと推測します。

(2)を特に、とのことなのでとりあえず(1)をすでに解けているものとして、

(1)から
4x^3 + 1 ≧ 3x
同様に、
4y^3 + 1 ≧ 3y
したがって
4(x^3 + y^3) + 2 ≧ 3(x+y)
なので…

No.22626 - 2013/10/01(Tue) 12:06:39

☆ Re: 一ツ橋2006後期 / 名無し

k≦3なのでk=1、2とかのときのものは考えないのですか？

No.22627 - 2013/10/01(Tue) 12:28:16

☆ Re: 一ツ橋2006後期 / 豆

最小値を求めるのだから等号が成立するk=3のときが有効ですね。

もし(1)の誘導がないとすると、
x+y=tとおくと、
x^3+y^3=t^3-3xyt
ここで、xy=(t^2-(x-y)^2)/4　なので、
xyはx=yのとき最大値t^2/4をとる。
よって、x^3+y^3は最小値(1/4)t^3　をとる
従って、f(t)=(4・(1/4)t^3+5)/(t+1)
　　　　　=(t^3+5)/(t+1)　の最小値を求めればよい
f'(t)=(t-1)(2t^2+5t+5)/(t+1)^2
t=1のとき最小値3　　　x=yより　x=y=1/2のとき

No.22628 - 2013/10/01(Tue) 13:02:49

☆ Re: 一ツ橋2006後期 / 名無し

迅速な解答ありがとうございます！

No.22629 - 2013/10/01(Tue) 15:06:19

★ (No Subject) / 受験生

0≦2cosθ<2πを満たすθに対して、xyz空間の曲面Cを
x=2cosθ+sinθ-3
y=2cosθ-2sinθ+1
z=cosθ+2sinθ-3 によって定める

(1)Cはある平面α上にある。平面αの方程式を求めよ。
(2)Cはある球面S上にある。球面Sの方程式を求めよ。
(3)A(3,4,3)とする。C上の動点Pと点Aとの距離APの最大値と最小値、及びそれを与える点Pの座標を求めよ。

(1)(2)は答えは出るんですがいまいち理解できてないので詳しくお願いしますm(_ _)m

No.22615 - 2013/09/30(Mon) 19:38:35

☆ Re: / らすかる

問題が不自然です。
「0≦2cosθ＜2πを満たすθ」と書いてありますが
-2≦2cosθ≦2ですから
2cosθ＜2πは常に成り立ちます。

No.22616 - 2013/09/30(Mon) 20:46:12

☆ Re: / 受験生

すみません
0≦θ＜2πでした

No.22617 - 2013/09/30(Mon) 20:49:27

☆ Re: / らすかる

「答えは出るがいまいち理解できてない」というのは
どの部分が「理解できてない」のでしょうか。
どのように解いて、どの部分がわからないのかを
具体的に書いて頂ければ、より適切な回答が得られると思います。

No.22618 - 2013/09/30(Mon) 20:57:20

☆ Re: / 受験生

単にそれぞれの式を加減乗除して、cosθ、sinθを消去しただけです。

No.22619 - 2013/09/30(Mon) 21:49:26

☆ Re: / らすかる

加減乗除してcosθ,sinθを消去しただけだと、
「曲線Cを含む一つの図形の式」にはなりますが、
それが平面の式であっても(1)の全解とは限らないですね。
(1)は例えば次のようにすると正しい解が出せます。

θ=0 のとき (x,y,z)=(-1,3,-2)
θ=π/2 のとき (x,y,z)=(-2,-1,-1)
θ=π のとき (x,y,z)=(-5,-1,-4)
平面の式を ax+by+cz+1=0 とおいて上記のx,y,zを代入して
連立方程式を解くと、(a,b,c)=(2,-1,-2) となるので
上記3点を通る平面の方程式は 2x-y-2z+1=0
この方程式の左辺に元のx,y,zの式を代入すると0となって成り立つので、
曲線Cは平面 2x-y-2z+1=0 上にある。

No.22621 - 2013/09/30(Mon) 23:17:41

☆ Re: / 受験生

ありがとうございます！
(2)もその方針でよろしいでしょうか？

No.22622 - 2013/09/30(Mon) 23:44:50

☆ Re: / らすかる

そうですね。(2)も同じ方針でできます。

No.22623 - 2013/09/30(Mon) 23:57:09

☆ Re: / 受験生

お手数かけましたm(_ _)m

No.22624 - 2013/10/01(Tue) 00:30:30

★ 競技プログラミングの問題 / 大学1年競技プログラマー

この問題について質問です．
問題)
http://codeforces.com/contest/349/problem/C
「マフィア」というゲームをp[0],p[1],...,p[n-1]のn人(3<=n<=10^5)でプレイします．
このゲームでは，各ラウンドで1人が進行役を務め，残りのn-1人がゲームに参加します．
進行役になった人はゲームに参加できません．
p[i]がゲームに参加したい回数a[i](1<=a[i]<=10^9)が与えられます．
全てのプレーヤーが，それぞれの参加したい回数以上のラウンドに参加するために必要なラウンド数の最小値を求めなさい．
例)
n=3, (a[0],a[1],a[2]) = (3,2,2)
のとき，例えば
第1ラウンドはp[0],
第2ラウンドはp[1],
第3ラウンドはp[2],
第4ラウンドはp[2],
が進行役を務める場合にラウンド数が最小となるので，答えは4です．

この問題の最も上手い(というか数学的)と思われる解法は，
Hを (Σa[i])/(n-1) 以上の最大の整数
mをa[i]の最大値
としたとき，Hとmの大きい方であるというものです．
C++で書けば次のようになります．
http://codeforces.com/contest/349/submission/4598787

この解法について解説お願いします．

No.22608 - 2013/09/29(Sun) 01:05:57

☆ Re: 競技プログラミングの問題 / 大学1年競技プログラマー

Hを (Σa[i])/(n-1) 以上の最大の整数
↓
Hを (Σa[i])/(n-1) 以上の最小の整数

No.22609 - 2013/09/29(Sun) 01:08:57

☆ Re: 競技プログラミングの問題 / ヨッシー

解説と言われましても、
「解法は・・・・というものです」で正しいかどうかということなら「正しい」です。

なぜそれで正しいかということなら、
「mをa[i]の最大値」は当然として、

図のように、ｎ人でｍ回ラウンドを行った場合、（斜線は個々人のａの値）
黄色の部分でｍ回分の進行役をまかなえればいいので、
　ｍ×ｎ≧Σａ＋ｍ
より、ｍ≧Σａ/(n-1) となります。

C++ の書法については、解説できません。

No.22611 - 2013/09/29(Sun) 08:31:20

☆ Re: 競技プログラミングの問題 / 大学1年競技プログラマー

「黄色の部分でｍ回分の進行役をまかなえればいいので、」の発想がありませんでした
ありがとうございました。

No.22612 - 2013/09/29(Sun) 09:06:09

★ 微分積分の問題です。 / kazusan

a≧1とする。xy平面において、不等式0≦x≦π/2, 1≦y≦a*sinx によって定められる領域の面積をＳ[1],不等式0≦x≦π/2, 0≦y≦a*sinx, 0≦y≦1によって定められる領域の面積をＳ[2]とする。Ｓ[2]ーＳ[1]を最大にするようなaの値と、Ｓ[2]ーＳ[1]の最大値を求めよ。

グラフに書くとどのようになりますか？
ご解答をお願いいたします。

No.22602 - 2013/09/28(Sat) 08:56:14

☆ Re: 微分積分の問題です。 / ＿

ではグラフを。

青い線は横軸にaを、
赤い線は横軸にy=asinxとy=1の交点のx座標をとったものです。
いずれも縦軸はS[2]-S[1]です。

＃作っておいていうことではないんですが、あまりグラフに意味はないような気もします。

No.22604 - 2013/09/28(Sat) 14:03:34

☆ Re: 微分積分の問題です。 / kazusan

グラフ有難うございます。
また問題の
Ｓ[2]ーＳ[1]を最大にするようなaの値と、Ｓ[2]ーＳ[1]の最大値を求めよ。
どのようになりますかご解答をお願いします。

No.22610 - 2013/09/29(Sun) 08:14:00

☆ Re: 微分積分の問題です。 / ＿

何から何まで書くのは嫌いなので考え方だけ。

>横軸にy=asinxとy=1の交点のx座標をとったもの
は一応のヒントのつもりでした。

S[2]-S[1]を適当な変数を設定し、関数に表して増減を見ましょう。

No.22613 - 2013/09/29(Sun) 09:51:10

★ 速度と時間の問題 / トンデモ

宜しくお願い致します。

添付ファイルの(8)の(a),(b),(c)が分りません。
(a),(b)でのoverestimateとunderestimateとは一体何を意味してるのでしょうか?

No.22601 - 2013/09/28(Sat) 00:46:35

☆ Re: 速度と時間の問題 / X

横軸にt,縦軸にv(t)を取って、上に書かれている表の値を
座標として点をプロットします。
この図からt=0～10の間に進んだ距離を計算する場合
当然、点がプロットされていない区間のv(t)の値は不明です。
ですので
n＜t＜n+2(n=0,2,4,6,8)のときのv(t)
を設定するのですが、このときのv(t)を
v(t)=v(n) (A)
とするか、それとも
v(t)=v(n+2) (B)
とするかによって進む距離の見積もりの値は異なってきます。
その意味で
overestimate
とは見積もりの最大値((B)のように取った場合)
underestimate
とは見積もりの最小値((A)のように取った場合)
を指しているものと思います。

No.22603 - 2013/09/28(Sat) 10:31:30

☆ Re: 速度と時間の問題 / トンデモ

どうも有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

No.22614 - 2013/09/30(Mon) 01:23:17

★ 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

こんばんは。

自分の使っている参考書の「半円で定義した三角比」の所で

例えば135°の三角比の値を求めたい場合
半円の中に45°の直角三角形を入れて、そこから求めているのですが

半円で定義した三角比は、直角三角形とは関係ないのに
なぜ45°の直角三角形を使って、半円で定義した三角比の45°の値を求めているのだろうか、と疑問に思いました。

色々と調べてみて、ある程度の理解はできたのですが
あまり自信が持てないので確認させてください。

これは
まず「45°の直角三角形」が丁度収まる大きさである半径√2の半円を書いて
この半円に「45°の直角三角形の一番高い部分」が触れるように組み込むと
半円に触れる部分が、ちょうど「45°の三角比の値」を求めるために必要な「x座標」と「y座標」になる。
このように直角三角形を利用することで必要な座標を求めることが出来るので、
「半円で定義した三角比」であっても直角三角形を利用する。　

ということなのでしょうか。

そして45°のx座標とy座標がわかることで、
半円の中で45°の逆側の座標がちょうど135°の座標になるので
45°の座標をもとに135°の座標を求めることになる。

という考え方で合っているでしょうか。
よろしくお願いします。

No.22593 - 2013/09/26(Thu) 19:54:37

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー

まずは、「半円で定義した三角比」そのものを十分理解しないといけません。
最終的には、こちらの
↓この図のように

半円（０度以上180度以下の角）だけでなく、それ以上の角や
マイナスの角についても三角比を定義することになります。
今は初歩なので、半円にとどめているものと思われます。

ここで重要なのは、半径が１であることと、ｘ軸から反時計回りに
角度θを決めること。そして、その角度θに相当する円周上の点の
ｘ座標がcosθ、ｙ座標がsinθ であるということです。
（半径＝１は必須ではありませんが、１以外の場合は、ｘ座標を
半径で割ったものがcosθとなります。sinθも同様)

この問題では、135°に当たる点のｘ座標ａと、ｙ座標ｂを
求めることが必要ですが、その値を知るために、

このように直角二等辺三角形をあてがったものと思われます。
半径（＝斜辺)が１なら、ａ＝－√2/2、ｂ＝√2/2
半径√2 なら、ａ＝－１, ｂ＝１
半径２なら、ａ＝－√2, ｂ＝√2
となり、半径で割るといずれも、cosθ＝－√2/2, sinθ＝√2/2
となります。

****
>という考え方で合っているでしょうか。
については、どこにどういう半円を描いたのか等、読み取れませんでしたので、
何とも言えません。
上のようなことを理解されていて、その結果の考え方なら
正しいと思います。

No.22594 - 2013/09/26(Thu) 20:32:47

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

ヨッシーさん回答ありがとうございます。
ヨッシーさんの書かれている事と自分の考えていることが同じことなのか自信が持てなかったので
自分の考えている図を描きました。
よろしくお願いします。

No.22596 - 2013/09/26(Thu) 21:28:15

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー

図の描き方は良いように思いますが、肝心なことは、この図から、
sin135°, cos135° がちゃんと求められるか？
ということです。
それは、大丈夫ですか？

sin120°, cos120° なんかはどうですか？
これも、ちゃんと半円から求められますか？

No.22597 - 2013/09/26(Thu) 21:40:46

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

sin 135°は y座標/ 半径なので　1/√2
cos 135°は　x座標/ 半径　なので　- 1　/　√2　　　

になると思います。

sin120°を求める場合は
今度は
半径2の半円を書いて　60°の角が中央にくるように直角三角形を置けば(1,√3)の座標の所で半円と接するので
その逆の位置である(-1,√3)が120°の座標になり
そこからsin120°= √3/2　
cos120°= -1/2
が求められると思います。　

No.22598 - 2013/09/26(Thu) 21:56:08

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー

そうですね。

それが出来れば、どんな半径の円を描こうとも、どこに
直角三角形を置こうとも、あるいは置かなくても、三角比を
求めることが出来ます。

No.22599 - 2013/09/26(Thu) 23:09:07

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

ヨッシーさんありがとうございました。
理解することができました。

No.22600 - 2013/09/27(Fri) 06:53:39

★ 高１　xについての不等式と方程式 / Ran

xについての不等式と方程式

x/３＋（４＋k）/２＞１…?@
４（２x－k）≦５k－２x…?A
５x＾2＋９kx－２k＾2＝０…?B

がある。ただし、kは０でない定数とする
(1)不等式?@を解け。
(2)不等式?Aを解け。また、方程式?Bを解け。
(3)不等式?@、?Aをともに満たす整数xが１０個だけ存在するようなkの値の範囲を求めよ。
　さらに、このとき、方程式?Bの２つの解をα、βとすると、｜α｜＋｜β｜のとり得る値の範囲を求めよ。

どうしてもわかりません
よろしくお願いします

No.22586 - 2013/09/25(Wed) 21:03:08

☆ Re: 高１　xについての不等式と方程式 / X

(1)(2)はkを数字と見れば、これらは中学数学で学んだ
不等式、方程式を解く問題となります。
(3)は(1)(2)の結果を使いますので、
まずは(1)(2)を解いて結果をアップして下さい。

No.22587 - 2013/09/25(Wed) 21:15:23

☆ Re: 高１　xについての不等式と方程式 / Ran

(1) x＞－３－(３k)/２

(2)?Ax≦(９k)/１０
　 ?Bx＝－２k、k/５

になりました

No.22588 - 2013/09/25(Wed) 21:28:53

☆ Re: 高１　xについての不等式と方程式 / ヨッシー

?@と?Aの解より
　-3k/2－3＜ｘ≦9k/10　・・・(a)
という不等式が導かれます。（当然 -3k/2－3＜9k/10 です）
そして、この区間に整数が10個含まれている時、区間の幅
　9k/10－(-3k/2－3)＝12k/5＋3
は、だいたい１０～１２くらいのはずです。そこで、
　12k/5＋3＝11
とすると、ｋ＝10/3 となり、このとき(a) は
　-8＜ｘ≦3
となり、整数は、-7～3 の11個になっています。
k が 10/3 より少しでも小さいと、ｘ＝３は区間から外れます。
ｋを小さくしていった時、次に整数が区間から外れるのは、
　-3k/2-3＝-7
となった時で、それは k=8/3 のときです。このとき (a) は、
　-7＜ｘ≦12/5
となり、-6～2 の９個の整数が区間に含まれます。k がこれより少しでも大きいと、
-7 も含まれ 10個になります。
以上より、8/3＜ｋ＜10/3 となります。

?Bの解はｘ＝-2k, k/5 であるので、8/3＜ｋ＜10/3 の範囲では、
　|α|＋|β|＝2k＋k/5＝11k/5
と書けます。
（以下略）

No.22592 - 2013/09/26(Thu) 14:38:59

★ 算数 / @

（1）1番の数を20としたとき、5番目の数と8番目の数を求めなさい。
5番
8番

（2）1番の数を47としたとき、5番目の数を求めなさい。またそのとき100番目の数を求めなさい。
5番
100番

例　1番：5→5×5=25
2番：2×2＋5×5=29
3番：2×2＋9×9=85のように解いてみてください。

問題の式も書いてください。

No.22585 - 2013/09/25(Wed) 19:15:39

☆ Re: 算数 / angel

うーん。どこまで分かっていて何が分からないのか…
ひょっとすると問題の意味が分からないということなのかな?

(1)は方法が分かれば自分で計算できるはずなので、やってみては。
例にある「…のように解いてみてください」に従うなら、
　1番 … 20
　2番 … 2×2+0×0=4 ( 1番の20を2と0とに分ける )
　3番 … 4×4=16
　4番 … 1×1+6×6=37 ( 3番の16を1と6とに分ける )
　…
と順々に計算していくことになります。

(2)の5番も同じように計算すれば良いのですが、流石に100番までは大変。でも、まあ、一度頑張ってみましょう。そうすれば何か見えてくるかも。とはいえ、20番位を超えても見えてこないようなら、そこで一旦止めておいた方が良いでしょう。

No.22589 - 2013/09/25(Wed) 22:40:06

★ 連立方程式の解と、元の方程式の解の関係について / アクオス

こんにちは。
他の所でも同じ質問をさせてもらったのですが、あまり理解ができなかったので同じ質問をさせてください。

y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
y=－x+4・・・・・・・・・(2)

という二つの式があった場合

(1)に(2)を代入して
2x-2=-x+4
2x+x=4+2
3x=6
3x-6=0..........(3)　という式を作る。

ここで、この連立方程式の式(3)の解が
元の式である式(1)と式(2)の交点のxになる理由がうまく理解できなかったのですが

これは
「3x-6=0」となる前の
「2x-2= -x+4」という式が「直線2x-2のyと-x+4のyが同じになる時」ということを表していて
この式から求められるxが
「直線2x-2のyと直線-x+4のyが同じになる時のxの値」を表しているから
元の式である式(1)と式(2)の交点のxになる　ということでしょうか？

そして、もしそうであれば
例えば
2x-2=0で求められるxは
「直線2x-2のy が直線0xのy と同じになる時のxの値」
ということになるのでしょうか?

直線0xとは　0x=y　という直線の事を表しています。
「直線0x=yはy=0、つまりx軸のことだ」と指摘されたのですが
自分の中ではそれだとイメージしにくいので、このように書いてます。

間違っている部分があればよろしくお願いします。

No.22581 - 2013/09/24(Tue) 18:03:04

☆ Re: 連立方程式の解と、元の方程式の解の関係について / ヨッシー

直線0x は、直線 y=0x と書く方が良いでしょう。それ以外に
間違っている部分はありませんし、連立一次方程式の場合は
ｘ＝４などのように、ｙ軸に平行な直線が出てくる場合を除いては、
この考え方一辺倒で押し通すことは出来ます。

ただし、解くテクニックとしては消去法(加減法)のように楽に解ける
（特に分数の苦手な人には）方法もあるので、覚えておいてください。

No.22582 - 2013/09/24(Tue) 20:42:25

☆ Re: 連立方程式の解と、元の方程式の解の関係について / アクオス

ヨッシーさんありがとうございます。
理解できました。

No.22583 - 2013/09/24(Tue) 21:07:25

★ (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ぱー子さん

4x-3y+5=0,x+2y-7=0の交点と点(-3,4)を通る直線を求めよ。

で
(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数)
を利用するらしいですが
どうして,kが付くのでしょうか?

kが付く理由がどうしても分りません。

No.22572 - 2013/09/21(Sat) 00:17:18

☆ それは「なぜ?」のポイントがずれているような… / angel

「なぜkが付くのか?」の理由を求めても、答えはどこからも返ってこないと思います。

あくまで、

　2直線 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0 ( ただし ab'-a'b≠ 0 ) の交点を通る直線は、
　適切な定数 k を選ぶことにより、(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 と表すことができる。
　※ただし a'x+b'y+c'=0 自身を表すことはできない

という事実があるだけです。

ただ「交点を通る」だけでは、条件を満たす直線 ( と、それに対応する k ) は無数にあるわけですが、今回は「点(-3,4)を通る」という条件があるので、候補を絞ることができて、最終的に k の値を決定することで答えとなる直線を求めよう、という方法がとれます。

何か理由があって直線の式にkをつけました、みたいな話ではないのです。

もし何か考えるのであれば、なぜ上のような事実が成り立つのか、とか、どうすればそのような事実を見つけられるのか ( どこに手掛かりがあるのか )、といったところなら有意義でしょうけれど。

No.22573 - 2013/09/21(Sat) 09:24:14

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ぱー子さん

ご回答誠に有難うございます。

ふーむ。なかなか難しいんですね。
授業中にさりげなくこのkが登場した際,数学の先生に聞いたのですが「実は俺にも何故kを付ければいいのか分らないんだ」という返事だったので投稿してしまいました。

No.22578 - 2013/09/22(Sun) 08:33:42

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / angel

> 数学の先生に聞いたのですが「実は俺にも何故kを付ければいいのか分らないんだ」という返事だった

ちょっとそれは…先生としてどうなの、という気がするのですが…
※尤も、私は世間一般の先生というものを ( 失礼ながら ) 余り信用はしていないので、特に驚きはしないのですが。
※私が「答えが返ってこない質問だ」と言ったように、その先生も回答が難しいと考えて、その場をごまかしたという可能性はあるかも知れません。

No.22579 - 2013/09/22(Sun) 09:01:48

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ぱー子さん

そうだったのですか。了解いたしました。

No.22580 - 2013/09/23(Mon) 23:06:22

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ヨッシー

このｋのイメージはつかんでおいた方が良いと思います。
　ax+by+c=0　　　・・・(1)
　a'x+b'y+c=0　　・・・(2)
という２つの直線があって、
　(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0　・・・(3)
という第３の直線を考えます。この直線が(1)(2) の交点を
通ることは異論のないところとして、
ｋ＝０のときは(3) には、(2) の影響は全くなくて、(1) と同じグラフになります。
ｋを無限に大きくしていくと、(3) は (2) にほとんど支配され、
(2) のグラフに近づきますが、(1) も少しは残っているので、
完全には重なりません。
ｋをマイナスで無限に小さくしても同様です。

そのうち、２つの円の交点を通る円、などでも同じ考え方が出てきます。

No.22584 - 2013/09/25(Wed) 01:05:01