[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 難問 / 序詞
In=∫(0〜√3){1/(1+x^n)}dx(n=1,2,3,・・・)のとき
lim(n→∞）Inを求めよ。

という大分大学の問題で積分区間を0〜１と１〜３に分けてそれぞれの極限をとって、それらの和を答え（１＋０＝０）としているのですが、そのように積分区間を区切るという発想は一体どこから来たのでしょうか？大学レベルの数学的背景があるのでしょうか？
よろしくおねがいします
No.21627 - 2013/06/08(Sat) 12:46:35
☆ Re: 難問 / IT
０≦x＜1では
　lim(n→∞）x^n = 0　なので
　lim(n→∞）1/(1+x^n)= 1

1＜xでは
　lim(n→∞）x^n = ∞ なので
　lim(n→∞）1/(1+x^n)= 0

だからではないでしょうか？
>大学レベルの数学的背景は
「関数列の一様収束」だと思います。
No.21630 - 2013/06/08(Sat) 14:48:50
☆ Re: 難問 / 序詞
０＜ｘ＜１では
lim(n→∞）x^n = 0
1＜xでは
lim(n→∞）x^n = ∞
という違いを解答で利用していないので
たぶん違うと思います・・
No.21632 - 2013/06/08(Sat) 19:58:41
☆ Re: 難問 / IT
解答では、どうなっていますか？主な式をいくつか書いてもらえませんか？
No.21634 - 2013/06/08(Sat) 20:38:55
☆ Re: 難問 / 序詞
１≦ｘ≦３のとき
０＜ｘ＾ｎ＜１＋ｘ＾ｎ
０＜１/(1+x^n)<1/x^n
あとは全ての辺を積分して
はさみうちの原理から中辺の極限＝０

シュワルツの不等式から
∫(0〜1)1/(1+x^n)dx≧(n+1)/(n+2)
０≦x≦１のとき１＋ｘ＾ｎ≧１だから
∫(0〜1)1/(1+x^n)dx≦１
はさみうちの原理で
lim∫(0〜1)1/(1+x^n)dx=1
よって
答えは０＋１＝１という流れです
No.21635 - 2013/06/08(Sat) 21:06:23
☆ Re: 難問 / X
>>序詞さんへ
積分の形のシュワルツの不等式は高校数学の範囲内に
入っていないのでは？。
No.21641 - 2013/06/09(Sun) 07:46:34
☆ Re: 難問 / IT
序詞さんへ　下記サイトで、まさにこの問題を大学数学の視点（一様収束・積分と極限の順序）で考察しています参考になると思います。
http://suseum.jp/gq/question/662。
（全６ページあります）
元の投稿です。
http://suseum.jp/gq/question/658
（全2ページあります）
付いているコメントも参考になります。

コーシーシュワルツの不等式は、平成17年度の数３の数研の教科書にはその証明が演習問題Ｂとしてあります。今はどうでしょうか？
No.21642 - 2013/06/09(Sun) 08:20:24
☆ Re: 難問 / 黄桃
元の質問の答ですが、とりあえず n=100 とか n=1000 とかの時に
f(x)=1/(1+x^n) のグラフを描いてみてください（想像できるならそれでもＯＫ）。
こうした形の関数を積分するには1で区切るのは自然ではないですか？
実際、この形のf(x)は不定積分ができないので、このグラフで答の見当をつけ、
それを不等式で評価して証明しているだけではないでしょうか。

＃ITさんのおっしゃる大学レベルの背景というのは極限と積分の交換のことです
＃（lim[n→∞]∫dx/(1+x^n)=∫ lim[n→∞] 1/(1+x^n)　dx）
＃ g(x)=1(0≦x<1),=1/2(x=1) =0 (x>1) という関数なら1で区切って積分するのは普通ですね。
No.21643 - 2013/06/09(Sun) 08:36:48
☆ Re: 難問 / 序詞
皆さん回答ありがとうございます
＞＞Xさんへ
自分にもよく分かりません。

＞＞ITさんへ
こういうサイトがあるのですね。面白いです。教えてくれてありがとうございます。ブックマークしておきました。ただ、（当たり前ですが）その文面だけから全てを理解できるようには書かれていなかったので一様収束等、よく分からない部分も多々あったのが残念でした。

＞＞黄桃さんへ
元の質問の答ですが、とりあえず n=100 とか n=1000 とかの時にf(x)=1/(1+x^n) のグラフを描いてみてください（想像できるならそれでもＯＫ）。
＞はい、書いてみました。

こうした形の関数を積分するには1で区切るのは自然ではないですか？
＞こうした形の関数とはどの関数ですか？ｆ（ｘ）そのものですか？それともｎ＝１００（or1000)を代入した関数ですか？前者ならば、積分するにはと仰ってますがそもそも積分できないのでは？後者ならば、ｎに具体的な数値が入ったらｘの何乗かをtanθなどど置いて置換積分では？１で区切る要素なんてどこにもないわけで。

実際、この形のf(x)は不定積分ができないので、このグラフで答の見当をつけ、それを不等式で評価して証明しているだけではないでしょうか。
＞グラフで見当をつけるって事はｆ（ｘ）のｎを無限大にして、そのグラフの面積を考えるってことですよね？それって極限を取ってから∫をとってる事に等しいので、それだったら幾つかグラフを書いて実験するまでもなく最初から

０≦x＜1では
　lim(n→∞）x^n = 0　なので
　lim(n→∞）1/(1+x^n)= 1

1＜xでは
　lim(n→∞）x^n = ∞ なので
　lim(n→∞）1/(1+x^n)= 0
これに∫をつけて１＋０＝０で済む話なんですよ。いずれにしても高校ではlimと∫を交換すると値が変わると習っています。

g(x)=1(0≦x<1),=1/2(x=1) =0 (x>1) という関数なら1で区切って積分するのは普通
＞確かにそのとおりですが、これはlimと∫を交換しても値が変わらないという前提で話を進めていますよね。とにかく回答ありがとうございました。

ITさんの紹介してくれた掲示板での話によるとlimと∫は入試問題ではほとんどのケースで交換可能なようなので、交換可能？と疑ってかかって解いてみるしかない。というのが高校数学での説明の限界だと思います。

一様収束するなら∫とlimは交換可能、そして連続で無いならば一様収束しないと紹介された掲示板にありました、（一様収束という意味は全く分かりませんが）だからｘが０〜１や１〜√３で一様収束するかは不明にしても、とりあえず１では収束しない≒limと∫を交換できない、だから区切るんだ、のような事が書かれていたんじゃないかなと思います。
No.21668 - 2013/06/09(Sun) 20:48:55
☆ Re: 難問 / 黄桃
どこが引用かわからないのでとても読みにくいです。

>関数ですか？前者ならば、積分するにはと仰ってますがそもそも積分できないのでは？後者ならば、ｎに具体的な数値が入ったらｘの何乗かをtanθなどど置いて置換積分では？１で区切る要素なんてどこにもないわけで。

前者です。具体的な積分の値はわかりませんが、積分の値が[0,1]ではほぼ１、その先ではほぼ0になるのでInはほぼ1だな、との見当はつくでしょう。その見当をつけるためにグラフを描いてみては？と書いたのです。

>グラフで見当をつけるって事はｆ（ｘ）のｎを無限大にして、そのグラフの面積を考えるってことですよね？
>それって極限を取ってから∫をとってる事に等しいので、

全然違います。
見当をつけることと証明することの間には大きなギャップがあります。nを無限大にするわけではありません。
f(x)を観察することでInの振る舞いがわかり、Inの収束先も見当がつき、しかも、In をどう評価すればいいかがわかるでしょう、ということです。
グラフから[0,1]と[1,√3]では評価する式を変える必要があることは一目瞭然です。

とりあえず、積分と極限の交換の話は横においといてください（ちなみに本問では[0,√3]で一様収束ではないですが交換可能です。詳しいことは大学で学ぶでしょう）。

元々の質問は「なぜ１で区切る必要があるとわかるのか」ということでしたので、それに答えたつもりですが、
それとはまったく違う方向に話が進んでいるようなので、私はもう退散します。
No.21669 - 2013/06/09(Sun) 22:55:17
★ 整数論 / ごろう
?@d=(a,b)とする。　a|c, b|c⇒ab|cdを証明してください。
?Aa,b,c,dは(a,b)=1,(c,d)=1を満たす自然数とする。
　(a/b)＋(d/c)が自然数ならば、b=cを証明してください。
No.21626 - 2013/06/08(Sat) 12:37:16
☆ Re: 整数論 / WIZ
(1)
ある整数x, yが存在してd = xa+ybと表せます。
またa|c, b|cからある整数u, vが存在してc = ua = vbと表せます。
cd = xac+ybc = xavb+ybua = (xv+yu)abより、(ab)|(cd)です。

(2)
a/b+d/c = (ac+bd)/(bc)が自然数ですから、
b|(ac+bd) ⇒ b|(ac)が必要ですが、(a,b)=1より、b|cです。
c|(ac+bd) ⇒ c|(bd)が必要ですが、(c,d)=1より、c|bです。
b|cよりb ≦ c、c|bよりc ≦ b、両立する必要があるのでb = cが必要です。
No.21628 - 2013/06/08(Sat) 13:24:32
☆ Re: 整数論 / ごろう
ありがとうございます！
解決しました
No.21666 - 2013/06/09(Sun) 20:37:51
★ 組み合わせ / イエーツ
x＋y＋z＝9　(x≧0、y≧0、z≧0)を満たす整数　
(x、y、z)の組の個数は何組か。
x＋y＋z＝9　(x≧1、y≧1、z≧1)を満たす自然数
(x、y、z)の組の個数は何組か。


--------------------------------------------------------------------------------

Re: 二項定理?B
名前：ヨッシー 日付：2013/6/6(木) 23:54
｜｜●●●●●●●●●　　（２本の棒と９個のマル）
この１１個の記号を任意に並べる。
例えば、
●●●｜●●｜●●●●
｜●●●●●●●●｜●
このとき、棒で区切られた３つの部分にある●の数を左から順に
ｘ、ｙ、ｚとする。
●●●｜●●｜●●●●　→　ｘ＝３，ｙ＝２，ｚ＝４
｜●●●●●●●●｜●　→　ｘ＝０，ｙ＝８，ｚ＝１
すると、この問題は
｜｜●●●●●●●●●
の並べ方の場合の数を求める問題となります。

後半は
｜｜●●●●●●　(２本の棒と６個のマル)
で同じように考え、ｘ＝０，ｙ＝０，ｚ＝０ も許して
ｘ、ｙ、ｚ を求めてから、ｘ、ｙ、ｚにそれぞれ１を足すと考えます。
--------------------------------------------------------------------------------

後半。
x＋y＋z＝9　で、ｘ＝０，ｙ＝０，ｚ＝０ を除くとすると
｜｜●●●●●●　(２本の棒と６個のマル)　でｘ＝０，ｙ＝０，ｚ＝０ を許す　のと同じになるとういうのが
よく解りません。詳しく教えて下さい。
No.21620 - 2013/06/07(Fri) 21:06:16
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー
ｘ、ｙ、ｚを人と見なして、この３人に９個の●を分け与えると考えてみます。
０個になる人を許す場合は、前半の方法でうまくいくことはおわかりですね？

後半は、１人最低でも１個はもらうので、その１個をあらかじめ預かっておいて、
残り６個を０個も許して分けて、そのあとで１人に１個ずつ与えれば、
９個の●を３人に分けて、しかも全員１個は持っている状態になります。

つまり、０個も許して６個を分けるのと、最低１個は取るようにして
９個を分けるのは、１対１に対応して、場合の数も同じになります。

（０，０，６）→（１，１，７）
（０，１，５）→（１，２，６）
（４，２，０）→（５，３，１）
（２，３，１）→（３，４，２）
といった具合です。
No.21622 - 2013/06/07(Fri) 22:42:58
☆ Re: 組み合わせ / イエーツ
めっちゃよく解りました！！
ありがとうございます。
No.21670 - 2013/06/09(Sun) 23:38:17
★ 組み合わせ / イエーツ
条件　9≧ｄ?C≧ｄ?B≧ｄ?A≧ｄ?@≧0　を満たす４桁の正の整数ｄ?Cｄ?Bｄ?Aｄ?@　の個数を求めよ


名前：ヨッシー 日付：2013/6/6(木) 23:47
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 の13個の整数から4個を選ぶ選び方は
13Ｃ4 ＝615(通り)
これを大きい順に並べる
例）(3,2,1,0), (4,2,1,0), (9,5,2,1), (12,10,6,2)
それぞれから (3,2,1,0) を引く
例) (0,0,0,0), (1,0,0,0), (6,3,1,1), (9,8,5,2)
これを４桁の数と見なす
例)　0000, 1000, 6311, 9852
このうち(3,2,1,0) だけは４桁にならない。

-------------------------------------------------------

どうして0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 の13個の整数
から選ぶのですか？？？

(３、２、１、０)を引くのはなぜですか？
No.21619 - 2013/06/07(Fri) 21:01:34
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー
逆に考えてみます。
数え上げる対象は
(1,0,0,0), (5,4,4,1), (6,4,2,1), (7,7,7,7)
のように、右ほど小さいか同じ数字の並びです。
ところがこのようなものは、同じ数字がいくつあるかとか
場合分けしたりすると大変なので、隣り合った数の差を１つずつ
広げてやります。
たとえば、(5,4,4,1) の隣り合う数の差は左から順に 1,0,3 ですが
これを、１ずつ増やして 2,1,4 になるように、一番右の数を
固定して書き直すと、(8,6,5,1) となります。
結果として(3,2,1,0) を足したのと同じになります。
最初は差が０のものもありましたが、１ずつ増やしてやったことにより、
最低でも差が１、つまり、全部の数が違う数の組合せに
対応させることが出来ます。
異なる４つの数を取る場合の数は組合せで簡単に求められます。

ただし、一番左の数に３を足すので、最大１２までの数から
異なる４つの数を選び、そこから今度は逆に(3,2,1,0) を引く
ことにより、差を１ずつ詰めてやれば、最大９で、差が０のものも
含まれる４桁の数が作れるというわけです。
No.21623 - 2013/06/07(Fri) 22:58:39
★ 等号成立 / VT
x^3+y^3=1のとき
x^2+y^2=1となるx､yの値を求めよ。
よろしくお願いします。
No.21617 - 2013/06/07(Fri) 20:05:43
☆ Re: 等号成立 / X
x+y=t,xy=u
と置くと問題の等式は
t^3-3tu=1 (A)
t^2-2u=1 (B)
(A)(B)を連立して解きます。
(B)より
u=(t^2-1)/2 (B)'
(A)に代入して
t^3-3t(t^2-1)/2=1
これより
t^3-3t+2=0
t^3+1^3+1^3-3・t・1・1=0
(t+1+1)(t^2+1^2+1^2-t・1-1・1-1・t)=0
(t+2)(t^2-2t+1)=0
(t+2)(t-1)^2=0
∴(B)'により
(t,u)=(1,0),(-2,3/2)
よって解と係数の関係から
(i)(t,u)=(1,0)のとき
x,yは二次方程式
k^2-k=0
の解ですので
(x,y)=(1,0),(0,1)
(ii)(t,u)=(-2,3/2)のとき
x,yは二次方程式
k^2+2k+3/2=0
の解ですので
(x,y)=(-1-i/√2,-1+i/√2),(-1+i/√2,-1-i/√2)

以上から
(x,y)=(-1-i/√2,-1+i/√2),(-1+i/√2,-1-i/√2),(1,0),(0,1)
No.21618 - 2013/06/07(Fri) 20:37:39
☆ Re: 等号成立 / らすかる
別解です。
x^3+y^3=1 から y^6=(1-x^3)^2
x^2+y^2=1 から y^6=(1-x^2)^3
よって (1-x^3)^2=(1-x^2)^3
展開して整理すると
x^2(x-1)^2(2x^2+4x+3)=0
∴x=0,1,-1±i/√2
問題がx,yに関して対称なので、yの値も0,1,-1±i√2に絞られ、
解の組がx^2+y^2=1を満たすことから
(x,y)=(0,1),(1,0),(-1±i/√2,-1干i/√2)　（複号同順）
しかないことがわかり、これらはx^3+y^3=1も満たす。
No.21621 - 2013/06/07(Fri) 22:20:31
★ 四次方程式の解の公式 / 玉串純一
私は数学愛好家の４０代男性です。よろしくお願いします。
自分は「ガロア理論」に興味を持って勉強するようになり
「二次や三次方程式の解の公式」も何とか理解出来て
「五次方程式の楕円関数を使った解の公式」も英語版ながら
コピーして持っています。

そこで本題に入りますが「四次方程式の解の公式」について
ヨッシーさんはじめ皆さんにお願いがあります。
「四次方程式の解の公式」についてとてもわかりやすく
のっている、例えば本やネット関係でわかりやすく
四次方程式の解の公式を解説している本やネットのサイト
があれば教えてほしいのですが、、、、。
どうかよろしくお願いします。
No.21614 - 2013/06/06(Thu) 20:39:40
☆ Re: 四次方程式の解の公式 / のぼりん
こんばんは。

大抵のガロア理論の入門書には、四次方程式の解法も載っているのではないかと思います。
お手持ちの本に載っていませんか？
印象に過ぎませんが、四次方程式の解法の様な場合、余り高度な本でなく、初心者向けの本の方が端的に書いてある様な気がします。

参考までに、学生時代に読んだイアン・スチュアートのガロア理論の本（旧版ですが）には、ガロア群との対応も含め説明がありました。
新版は持ってませんが、まさか載っていないということはないと思います。
ちなみに、ファン・デル・ベルデンには非常に詳しく書いてある、との記述があります。
No.21616 - 2013/06/06(Thu) 21:38:30
★ ゴルフ　コンペの組み合わせ / 善如寺　貞雄
参加者を２４名　ゴルフ１組４名で競技します
６組できます　年間１０回競技する時　６組内の同伴者をいつも異なる参加者で組み合わせを行うとき　どのように組み合わせれば
１０回を通じて　いつも４名のグループが異なる
参加者となりますか
簡単な方法を教えてください
No.21609 - 2013/06/06(Thu) 08:06:11
☆ Re: ゴルフ　コンペの組み合わせ / WIZ
問題の意味が良く分からないのですが、
・毎回の参加者は固定の24名である。
・同じ人が同じグループになるのは1回だけである。
ということでしょうか?

・・・だとするとこの問題は解決不可能です。
1人の人に着目すると、同一グループになった3人とは他の回では同一グループにはなれませんので、
自身以外に最低でも3(人)×10(回) = 30(人)必要です。
No.21610 - 2013/06/06(Thu) 11:03:11
★ (No Subject) / 現役です。
どうか解き方教えてください、お願いします。

OA[1]=OB[1]=1,∠B[1]OA=θ(0＜θ＜π）であるような二等辺三角形OA[1]b[1]ががある。
辺OA[2]B[2]の中点をＢ[2]とし、辺OA[1]上のOA[2]＝OB[2]となる点A[2]をとり、二等辺三角形OA[2]B[2]をつくる。
以下同様にして、n＞２についても二等辺三角形OA[n]B[n]をつくっていく。
辺OA[n]=a[n]の長さをおく
（１）a[n]sin(θ/４）を計算せよ
（２）lim[n->∞]a[n]を計算せよ。
No.21606 - 2013/06/05(Wed) 20:39:08
☆ Re: / ヨッシー
>辺OA[2]B[2]の中点をＢ[2]とし、
のところに誤植がありそうです。
No.21607 - 2013/06/05(Wed) 20:52:39
☆ Re: / 現役です。
ヨッシーさんごめんなさい、辺OA[1]B[1]の中点をＢ[2]です
訂正します。
No.21611 - 2013/06/06(Thu) 18:13:54
☆ Re: / ヨッシー
辺A[1]B[1]の中点をＢ[2]　でしょうか？　（Ｏが余分）

(1) は、a[2]sin(θ/４） ではなく a[n]sin(θ/４）
なのでしょうか？
No.21613 - 2013/06/06(Thu) 18:24:27
☆ Re: / 現役です。
訂正します

>辺A[１]B[1]の中点をＢ[2]　
　
（１）a[3]sin(θ/4)

本当にごめんなさい
No.21615 - 2013/06/06(Thu) 20:42:00
☆ Re: / X
(1)
条件から
a[3]=a[2]cos(∠A[2]OB[2]/2)
=a[1]cos(∠A[1]OB[1]/2)cos(∠A[1]OB[1]/2^2)
=cos(θ/2)cos(θ/4)
∴二倍角の公式により
a[3]sin(θ/4)=(1/2)cos(θ/2)sin(θ/2)=(1/4)sinθ

(2)
(1)の過程と同様にして
a[n]=cos(θ/2)cos(θ/4)・…・cos{θ/2^(n-1)}
∴二倍角の公式を右辺に順に使うことにより
a[n]sin(θ/2^(n-1))={1/2^(n-1)}sinθ
ですので
a[n]=(sinθ)/{{sin(θ/2^(n-1))}/{1/2^(n-1)}}
よって
θ/2^(n-1)=t
と置くことにより
lim[n→∞]a[n]=lim[t→+0](sinθ)/{θ(sint)/t}=(sinθ)/θ
No.21655 - 2013/06/09(Sun) 16:36:35
★ 変曲点 / ktdg
3次関数のグラフにおいて、傾きの等しい異なる2点を結んだ直線は必ず変曲点を通りますが、これは証明なしに使ってよいのでしょうか？
No.21605 - 2013/06/05(Wed) 20:16:37
☆ Re: 変曲点 / ヨッシー
良いとは言い切れないですね。
３次関数のグラフが、変曲点に対して対称であることも、
おいそれとは使えないと思います。
No.21608 - 2013/06/05(Wed) 20:54:27
★ (No Subject) / ｚｚｚ１
2-2行列で一次独立なA、Bがあって
５A+B＝aA＋bBであるときa=5,B=１とできるのですか？

そもそも行列に一次独立なんて聞いた事ないんですけどね。ベクトルだけかと思ってました
No.21601 - 2013/06/04(Tue) 20:00:11
☆ Re: / ｚｚｚ１
a=5,b=1の間違いです
No.21602 - 2013/06/04(Tue) 20:00:38
☆ Re: / ヨッシー
私も聞いたことありませんが、
　５Ａ＋Ｂ＝ａＡ＋ｂＢ
が与えられて、ａ＝５、ｂ＝１ 以外の答えがあるなら、
ＡとＢはかなり密接な関係（Ａ＝ｎＢ：ｎは実数　のような）
があると思われるので、きっとそういうのは一次独立ではないので、
ａ＝５、ｂ＝１　で良いでしょう。
No.21612 - 2013/06/06(Thu) 18:18:54
★ 定積分 / ktdg
∫[0〜π/3] dx/cos(x)
この定積分の求め方を教えてください。
No.21596 - 2013/06/03(Mon) 18:54:05
☆ Re: 定積分 / X
(与式)=∫[0〜π/3]{(cosx)/(cosx)^2}dx
=∫[0〜π/3]{(cosx)/{1-(sinx)^2}}dx
ここでsinx=tと置きましょう。
No.21597 - 2013/06/03(Mon) 19:12:04
☆ Re: 定積分 / ktdg
ありがとうございます。
答えは log(2+√3)であっていますか？
No.21598 - 2013/06/04(Tue) 08:30:05
☆ Re: 定積分 / X
こちらの計算でも同じ結果になりました。
No.21599 - 2013/06/04(Tue) 10:16:59
☆ Re: 定積分 / ktdg
ありがとうございます。
No.21603 - 2013/06/04(Tue) 20:41:02
★ 微分積分 / うんうん
(1)4x^2-2xy+y^2=1で囲まれる部分の面積を求めよ
(2)条件4x^2-2xy+y^2=1の下で、3xy+8x+4yの最大値と最小値を求めよ
No.21592 - 2013/06/02(Sun) 22:33:02
☆ Re: 微分積分 / うんうん
初めてこちらの掲示板に投稿致します。
よろしくお願い致します。
No.21593 - 2013/06/02(Sun) 22:39:21
☆ Re: 微分積分 / らすかる
(1)
x=(u+v)/2, y=u-v とおいて整理すると
面積が変わらずに u^2+3v^2=1 という楕円になるので、
面積は π/√3
(2)
x=(u+v)/2, y=u-v とおくと
4x^2-2xy+y^2=1 → u^2+3v^2=1 → |u|≦1
3xy+8x+4y=2(u+2)^2-17/2 なので
最小値はu=-1のときすなわち(x,y)=(-1/2,-1)のときで-13/2、
最大値はu=1のときすなわち(x,y)=(1/2,1)のときで19/2
No.21594 - 2013/06/03(Mon) 01:11:25
☆ Re: 微分積分 / うんうん
らすかるさん、
ご回答ありがとうございました。
No.21600 - 2013/06/04(Tue) 12:23:15
★ 整数論 / もも
(a,b)=1⇒(a+b,a-b)=1又は(a+b,a-b)=2を証明してください
No.21580 - 2013/05/30(Thu) 21:22:08
★ (No Subject) / 気になる子
f(x)=(ax+b)/(cx+d)が逆関数を持つ条件がad-bc≠０ってのはなぜです？f(x)とf-1(x)が一対一対応でありさえすれば逆関数を持つと言っていいわけですよね。
No.21579 - 2013/05/30(Thu) 20:49:48
☆ Re: / X
ad-bc=0のとき
ad=bc
∴f(x)=d(ax+b)/{d(cx+d)}=(adx+bd)/{d(cx+d)}
=(bcx+bd)/{d(cx+d)}={b(cx+d)}/{d(cx+d)}
=b/d(=定数)
ですのでf^(-1)(x)は存在しません。
No.21582 - 2013/05/30(Thu) 21:47:11
☆ Re: / 気になる子
なぜｆ（ｘ）が定数だとｆ（ｘ）は逆関数をもたないのですか？ｆ（ｘ）＝１の逆関数はｙ＝ｘに関して対称だからｘ＝１じゃだめなのですか？
No.21583 - 2013/05/30(Thu) 22:11:47
☆ Re: / ＿
y=1とx=1はy=xに関して互いに対称なのは確かに正しいのですが、だからといってそれがここに意味を持つのではなくて、逆関数というからには関数の形で定義されなければならないのです(ざっくりした説明ですが)。

さて、f(x)=1の逆関数を、f(x)=…の形で表せますか？
No.21584 - 2013/05/30(Thu) 22:43:23
☆ Re: / 気になる子
回答ありがとうございます
逆関数だとｘとｙを入れ替えるが入れ替えができないからだめ（いれかえようにもｘがない）ということですかね？
No.21585 - 2013/05/30(Thu) 23:48:24
☆ Re: / X
入れ替えができないことはその通りですが理由が違います。

f(x)=c(c:定数)
だとすると、無数のxの値に対して対応するyの値はc只一つです。
従ってこれの逆関数を考えようとすると
x=c
に対して無数のyの値が対応することになり、
関数とはなりません。
No.21586 - 2013/05/31(Fri) 09:49:25
☆ Re: / 気になる子
ありがとうございます

つまりｆ（ｘ）が逆関数を持つ条件はｆ（ｘ）が
狭義単調増加（減少）であること、ってことですよね？
No.21587 - 2013/06/01(Sat) 04:13:25
☆ Re: / X
その通りです。
No.21588 - 2013/06/01(Sat) 10:42:45
☆ Re: / らすかる
f(x)の定義域が連続する一つの範囲ならば狭義単調増加/減少が
必要ですが、定義域が複数の範囲に分かれている場合は
その限りではありません。
No.21590 - 2013/06/02(Sun) 11:49:01
☆ Re: / らすかる
違いました。
定義域が実数全体であっても、
f(x)が逆関数を持つために
「狭義単調増加（減少）」は
必要条件ではありませんでした。
（十分条件ではあります。）
No.21595 - 2013/06/03(Mon) 02:41:14
☆ Re: / 気になる子
定義域が実数全体のとき、
狭義単調増加(減少）ならば必ずf(x)は逆関数を持つ
しかし
ｆ（ｘ）が逆関数を持つからといって狭義単調増加（減少
）とは限らない
ということですよね？
ｆ（ｘ）が逆関数を持つからといって、狭義単調増加（減少）とは限らないというのはどういうケースですか？
詳しく知りたいです。
よろしくお願いします。
No.21604 - 2013/06/04(Tue) 21:41:09
☆ Re: / 気になる子
どなたでも構いません、よろしくおねがいします
No.21624 - 2013/06/08(Sat) 09:01:10
☆ Re: / IT
>ｆ（ｘ）が逆関数を持つからといって、狭義単調増加（減少）とは限らない
f(x)=(ax+b)/(cx+d)についての議論ですか？
一般の実数関数についての議論ですか？
一般の実数関数なら
f(x)=x 　　(x＜0、x＞１のとき）
f(x)=1-x　(0≦x≦１のとき）
などが例では。
No.21625 - 2013/06/08(Sat) 10:36:03
☆ Re: / 気になる子
回答ありがとうございます。
一般の実数関数についてです。その例で納得しました。

ということはf(x)の定義域が連続する一つの範囲ならば狭義単調増加/減少が
必要ですが、定義域が複数の範囲に分かれている場合は
その限りではありません。

というらすかるさんのコメントは正しいのではないでしょうか？何が違うのでしょうか？
No.21629 - 2013/06/08(Sat) 13:48:57
☆ Re: / IT
>定義域が複数の範囲に分かれている場合
先の例は、定義域は実数全体です。
f(x)が連続か否かが本質的な違いになってくると思います。
No.21631 - 2013/06/08(Sat) 15:10:08
★ (No Subject) / 高専
画像の問題の解き方はあっているでしょうか？
それとこの続きがわかりません。
解説お願いします。
No.21578 - 2013/05/30(Thu) 17:20:14
☆ Re: / Masa
固有値は合っていると思います。
ただ、求める段階でもう少し説明を入れるといいと思います。

例えば、

固有値をλ、固有ベクトルを(x,y)（本当は縦書きですが）とする。（Eは単位ベクトル）

(与えられた行列)・(固有ベクトル)=λ・(固有ベクトル)
変形して、
(与えられた行列)・(固有ベクトル)=λE・(固有ベクトル)
更に変形して、
{λE-(与えられた行列)}・(固有ベクトル)＝(零ベクトル)…?@

固有ベクトル=0のとき(x=y=0のとき)以外で、?@が成立するのは、{λE-(与えられた行列)}の行列式が0となる必要がある。
よって、det{λE-(与えられた行列)}=0より、

…（以下略）

という風に書いておけばよりいいと思います。

絶対値の最も大きな固有値に対する固有ベクトルについては、?@にλ=2+√3を代入するといいと思います。

左辺を展開するとxとyの等式が2つできますが、2つの等式は同値なので、xとyに対して実質1つの条件式ができます。

この条件だけだと、当てはまるxとyの値の組は無数にあることになります。固有ベクトルを求める際は、大きさを1とする、等の指定がないと、解が無数に出てきます。

この場合は、問題文以外に条件がないとし、無数に解が出るという条件のままでいきます。

・等式をy=(xの式)と解き、固有ベクトルを(x,y)=(x,(xの式))(xは任意の複素数)で表す。
・媒介変数tなどを用い、等式よりx=(tの式1)、y=(tの式2)を導いて、固有ベクトル(x,y)=((tの式1),(tの式2))(tは任意の複素数)
などと表せばよいと思います。
No.21591 - 2013/06/02(Sun) 18:07:57
★ 整数論 / もも
?@((a, b), c)=(a, (b, c)) 証明を証明してください
?Aa,b>0とする。(a,b)=a⇔a|bの証明お願いします
No.21573 - 2013/05/29(Wed) 19:49:05
☆ Re: 整数論 / IT
>?@((a, b), c)=(a, (b, c)) の証明

((a, b), c)=dとおくと
dは(a, b), cの公約数なのでd|(a,b)かつd|c
よって(a,b)=sdとなる整数sが存在
また、(a,b)の定義よりa=t(a,b)、b=u(a,b)となる整数t,uが存在
よって,a=tsdかつb=usd
よってd|aかつd|bかつd|c
すなわち、((a, b), c)|aかつ((a, b), c)|bかつ((a, b), c)|c…?@

また、整数xについて
　x|aかつx|bかつx|c　ならば　x≦((a, b), c)…?A
　　なぜなら、
　　　x|aかつx|bより、xはa,bの公約数　よって　xは(a,b)の約数　※ここも証明がいるかも
　　　よってxは(a,b)とcの公約数
　一方((a, b), c)は(a,b)とcの最大公約数なので
　　　　x≦((a, b), c)
同様に
(a, (b, c)) |aかつ(a, (b, c))|bかつ(a, (b, c))|c…?B
また整数xについて
　x|aかつx|bかつx|c　ならば　x≦(a, (b, c)) …?C

?@?Cより　((a, b), c)≦(a, (b, c))
?B?Aより　(a, (b, c))≦((a, b), c)
よって　　((a, b), c)＝(a, (b, c))
　

> ?Aa,b>0とする。(a,b)=a⇔a|bの証明お願いします
(a,b)=a⇒a|bを示す。
　a,bは整数、a,b>0、(a,b)=aとする。
　　最大公約数の定義より(a,b)|b
　　(a,b)=aよりa|b

a|b⇒(a,b)=aを示す。
　a,bは整数、a,b>0、a|bとする。
　　一般にa|aなので,a|bとで、aはa,bの公約数
　　一方、(a,b)はa,bの最大公約数
　　よって、a≦(a,b)…?@

　最大公約数の定義より(a,b)|aかつ(a,b)>0
　　これとa>0より
　　　a=k(a,b) なる整数k>0が存在
　　よって、a-(a,b)=(k-1)(a,b)≧0
すなわち、a≧(a,b)…?A

　?@?Aよりa=(a,b)
　
No.21574 - 2013/05/29(Wed) 22:26:04
★ 分数式 整数になる条件 / ぴこ

問一の 緑線の辺り
右辺に現れる分数の分母3n+5が分子56の約数のときである。
よって、3n+5>8とから、3n+5=8,14,28,56
なぜこうなるのか理解が進みません


問ニは何を問われているのかさえわかりません、
x+2/x^2+2<1となるから、x+2/x^2+2は整数にならず。とはどゆことなんでしょうか？どの分野の知識がたりないのかも教えてください
よろしくお願いします
No.21569 - 2013/05/29(Wed) 12:44:41
☆ Re: 分数式 整数になる条件 / ＿
(1)nは自然数なので3n+5≧8です。「n≧1なので」と言ったほうがわかりやすいですかね。で、56/(3n+5)は整数にならなきゃいけないので、3n+5は56の約数に限られます。あとは本文のとおり。

(2)「何を問われているのか」がわからないのでしょうか？
(1)は「何を問われているのか」がわかるのですよね？

それはさておき。
0<(x+2)/(x^2+2)<1なので、(x+2)/(x^2+2)は整数になりません。
0より大きくて1より小さい整数なんてものはありえませんね。

＃もらったアドバイスやコメントには、理解できたのかどうか返事したほうがいいような気がします。
No.21570 - 2013/05/29(Wed) 13:01:07
☆ Re: 分数式 整数になる条件 / ぴこ
返信のやり方今頃気付き、お礼をいえなくて申し訳ないです。

わかりやすい説明で大変助かりました！
No.21581 - 2013/05/30(Thu) 21:38:31
★ (No Subject) / 高専
x^2=2sinxの0<x<π/2の範囲における実数解の個数を関数x^2−2sinxの増減表と概略図を作成することにより示しなさい。
答えを教えてください。
お願いします。
No.21568 - 2013/05/29(Wed) 12:06:17
☆ Re: / X
問題文の方針通りです。
y=x^2-2sinx (A)
と置いて0＜x＜π/2での増減表を書き、(A)のグラフの概形
を描いてx軸との交点の数を求めます。
但し、極値を持つxの値は具体的に求めることはできません。
y"を計算してy'の増減を考え、y'=0となるxの値が
どのような値の範囲になるか求めましょう。

こちらの計算では求める実数解の個数は1個となりました。
No.21571 - 2013/05/29(Wed) 14:22:47
☆ Re: / 高専
解いてみましたが自信がありません。
画像の解き方であっているでしょうか？
No.21572 - 2013/05/29(Wed) 16:49:58
☆ Re: / X
間違えています。
0＜x＜π/2 (A)
として
(A)においてf"(x)＞0 (B)
となることは問題ありませんが、このときのf'(x)の
増減の考え方が誤りです。
(B)より(A)においてf'(x)は単調増加
で
f'(0)=-2＜0,f'(π/2)=2＞0
∴中間値の定理により
f(c)=0(0＜c＜π/2)
なるcが一つ存在します。
ということで増減表は以下のようになります。
x　　 |0|…|c|…|π/2
--------------------
f'(x) |+| +|+ | +|+
f"(x) |-| -|0 | +|+
f(x) |0|↓|f(c)|↑|(π/2)^2-2
(f(x)の行の↓は減少の矢印、↑は増加の矢印を示しています。
描画の関係でずれているかもしれませんがご容赦を。)
(π/2)^2-2＞0
ですのでグラフの形状は下に凸の形であり
f(d)=0(c＜d＜π/2)
なるdが一つ存在します。
((A)よりx=0は解に含まれません。)

もう一点ですが
f"(x)=0
となるxの値の計算も間違えています。
2+2sinx=0
より
sinx=-1
∴x=(2n+1)π (nは整数)
です。
nをどのように変えても
x=3π/4
とはなりません。
No.21575 - 2013/05/30(Thu) 10:18:20
☆ Re: / 高専
x　　 …|c|…
--------------------
f'(x) | +|+ | +
f"(x) | -|0 | +
f(x) |↓|f(c)|↑

xが0とπ/2のときの符号はわかったのですが、上記の増減表の部分がなぜそのような符号になるのかわかりません。
解説お願いします。
No.21576 - 2013/05/30(Thu) 11:58:03
☆ Re: / 高専
もう一度よく考えたら理解出来ました。
ありがとうございました。
No.21577 - 2013/05/30(Thu) 13:58:37
★ 面積 / 高専
y^2=2x+5とy=-x-1で囲まれた面積を求めよ。
答えを教えてください。
お願いします。
No.21564 - 2013/05/28(Tue) 23:27:26
☆ Re: 面積 / ヨッシー

図より
　∫[-3〜1]{(-y-1)−(y^2-5)/2}dy
　＝(1/2){1-(-3)}^3/6＝16/3

途中これを使っています。
No.21565 - 2013/05/29(Wed) 06:45:12
☆ Re: 面積 / 高専
詳しくありがとうございます。
こんなやり方があるなんてしりませんでした。
No.21567 - 2013/05/29(Wed) 08:42:25
★ 二次方程式？ / ももんが
x=1-2y,y=(1-x)/2をf=に当てはめて計算しているのですが、わけがわからなくなってしまいました。
どなたか助けて下さい。
No.21561 - 2013/05/27(Mon) 22:41:53
☆ Re: 二次方程式？ / ヨッシー
ｘ＝１−２ｙ をf(x,y) に代入して、ｘを消去し
ｙの２次式に持って行きます。
No.21562 - 2013/05/27(Mon) 22:54:43
☆ Re: 二次方程式？ / ももんが
ヨッシー様
ありがとうございました。
No.21563 - 2013/05/28(Tue) 22:18:01
全22551件 [ ページ : << 1 ... 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 ... 1128 >> ]