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★ 空間図形 / ktdg
xyz座標空間内に, 底面の半径が1, 高さが√3の直円錐を, 頂点が原点O, 底面の中心が(0,0,√3)であるようにとる.この直円錐の側面をSとするとき, Sを表す方程式を求めよ.

点(1,0,√3)をQ, 平面z=√3上にあり, 中心がA(0.0.√3)で, 半径が1の円をC, C上の点をRとする. ∠QAR=θ (0≦θ≦2π)とおくと,Rの座標は(cosθ,sinθ,√3)となるから, 線分OR上の任意の点P(x,y,z)は実数t(0≦t≦1)を用いて,
↑OP=t↑OR
とかける.
よって,
(x,y,z)=(tcosθ,tsinθ,t√3)
∴ x^2+y^2=t^2, z^2=3t^2
∴z^2=3(x^2+y^2)
また,0≦t≦1, -1≦sinθ≦1, -1≦cosθ≦1より
0≦z≦√3, -1≦x≦1, -1≦y≦1
∴Sの方程式は
z^2=3(x^2+y^2) (0≦z≦√3, -1≦x≦1, -1≦y≦1)

添削をお願いします.
No.22038 - 2013/07/25(Thu) 00:32:57
☆ Re: 空間図形 / X
方針は問題ありませんが
>>Rの座標は(cosθ,sinθ,√3)となるから, 線分OR上の〜
において
>>となるから
と書くのは論理的におかしいです。
ここは、例えば
Rの座標は(cosθ,sinθ,√3)
で区切って
一方、線分OR上の〜
というような書き方がいいでしょう。
No.22039 - 2013/07/25(Thu) 02:24:35
☆ Re: 空間図形 / ktdg
細かいところまで目を通していただいてありがとうございます.
No.22052 - 2013/07/25(Thu) 19:04:04
★ 極限 / ktdg
lim[n→∞]Σ[k=1〜n](2k+3)/{k(k+1)3^k}の求め方を教えてください.
No.22034 - 2013/07/24(Wed) 08:58:19
☆ Re: 極限 / X
(2k+3)/{k(k+1)・3^k}={3(k+1)-k}/{k(k+1)・3^k}
=1/{k・3^(k-1)}-1/{(k+1)・3^k}
と変形すると
(与式)=lim[n→∞]{1-1/{(n+1)・3^n}}=1
となります。
No.22035 - 2013/07/24(Wed) 09:27:52
☆ Re: 極限 / ktdg
ありがとうございます.
No.22037 - 2013/07/25(Thu) 00:30:50
★ 微分 / たかひろ（高３）
nは自然数とし、曲線y=1/simx {(n-1)π<x<nπ｝をC[n]とする

(1)原点Oを通り曲線C[n]に接する直線が、ただ１つ存在するときを示せ
(2) (1)の接点のｘ座標をx[n]とするとき、lim[n->∞](nπ-x[n])をもとめよ


解き方と解答をお願い致します。
No.22033 - 2013/07/24(Wed) 07:54:10
☆ Re: 微分 / X
(1)
y=1/sinx (A)
より
y'=-cosx/(sinx)^2
∴C[n]上の点(t,1/sint)における接線の方程式は
y={-cost/(sint)^2}(x-t)+1/sint
これが原点を通るとき
0={-cost/(sint)^2}(-t)+1/sint
これより
0=t+tant (B)
後は
f(t)=t+tant
と置いて
(n-1)π<t<nπ (C)
における増減を調べ、横軸にt、縦軸にf(t)を取った
(C)の範囲のグラフを描き、このグラフがt軸と一箇所
しか交点を持たないことを示します。
No.22036 - 2013/07/24(Wed) 09:36:01
☆ Re: 微分 / たかひろ（高３）
X さん導きありがとうございます。
No.22041 - 2013/07/25(Thu) 07:31:30
★ 質問です / 美保
漢帝国の建国の過程及び周辺地域への勢力の拡大について簡単に述べ前漢・後漢の経済対策とおよび帝国の衰退について300字で説明せよ。
No.22029 - 2013/07/23(Tue) 19:02:57
★ 日本史質問はだめですか？ / 美保
日本史を質問したいんですけどよろしいでしょうか？
No.22028 - 2013/07/23(Tue) 18:55:23
☆ Re: 日本史質問はだめですか？ / ヨッシー
ダメではないですけど、たぶん満足な答えは得られないと思いますよ。

数学は１の知識だけで、１００の問題に対処できるパズル系学問です。
一方、上の問題もそうですが、１００の文献を調べてやっと
その内の１が使えるかというようなクイズ系の学問は得意で
ありませんし、１００の文献を調べること自体が問題の
ねらいなので、それを代わりにして差し上げることは出来ません。
No.22030 - 2013/07/24(Wed) 00:17:08
☆ Re: 日本史質問はだめですか？ / angel
漢の話って日本史なの…? という疑問はともかく。
物理なんかは特に数学と縁が深いし、理系科目ならそこそこ答えられる人もいるでしょうが、歴史となると全く分野が別ですからね…。なかなか厳しそうじゃないでしょうか。
ちなみに私は、歴史、大の苦手です。
No.22031 - 2013/07/24(Wed) 00:27:33
☆ Re: 日本史質問はだめですか？ / ＩＴ
私は、日本史は取りませんでした。世界史は取りましたが大の苦手でした。

さて、上の質問は、教科書から設問に合う部分を抜き出して要約すればいいと思うのでご自分でやって見られるといいと思います。
テクニックとしては教科書の１行が何文字か調べて、例えば３０文字なら３００文字＝１０行程度分を目安に当てはまる各ポイントにアンダーラインを引いて、つないでいきます。
No.22032 - 2013/07/24(Wed) 07:30:40
★ 約数の和が60になる自然数 / rio
高3文系です。模範解答に40〜60、1〜20で条件を満たすものはないとあっさり片付けていますがその根拠がわかりません。また35-37、25-32、21-23を同様に片付けている点も理解出来ません。何か単純な判断ポイントがあるのでしょうか。よろしくお願いします。
No.22025 - 2013/07/22(Mon) 20:17:34
☆ Re: 約数の和が60になる自然数 / angel
うーん…。これが模範解答(テストにそのまま書いて○を貰える答案例)かどうかは分からないのですが。
ただ単に、淡々と事実を挙げているだけのような気もします。
つまり、計算して確かめてみたら不適でしたというだけの話、と。
※一つ一つ計算結果を書いてたら、紙が足りないでしょうから。

ところで、問題文が明記されていないので推測になりますが、
　・Nは2と3のみの積で表される
　・Nの約数の和は60である
という条件でNを求める問題ということで良いでしょうか?

であれば、N≦20, N≧41のNが不適であることはすぐに分かります。
No.22026 - 2013/07/22(Mon) 21:07:17
☆ N≦20,N≧41の場合 / angel
では、
　・Nは2と3のみの積で表される
　・Nの約数の和は60である
という条件のもとで、
　・N≦20, N≧41は不適
を導いてみましょう。

まず、N=2^a・3^b (a,b≧0) と表すことができ、
約数の和 S は、
　S=(1+2+…+2^a)(1+3+…+3^b)
ですね。

では、N≧41の場合
　・Nが奇数だと仮定すると、N=3^b
　　N≧41 で N=3^b の形は最低でも N=81 のため不適
　・Nが偶数だとすると a≧1
　　1+2+…+2^a = 2^(a+1)-1 であるため、
　　( 1+2+…+2^a )/2^a = ( 2^(a+1)-1 )/2^a = 2-1/2^a ≧1.5
　　よって、S=(1+2+…+2^a)(1+3+…+3^b)≧2^a・1.5・3^b=1.5N≧61.5
　　であり不適

次に N≦20 の場合
　( 1+2+…+2^a )/2^a = ( 2^(a+1)-1 )/2^a = 2-1/2^a ＜2
　( 1+3+…+3^b )/3^b = ( 3^(b+1)-1 )/(2・3^b) = 1.5-1/(2・3^b)＜1.5
　よって、S=(1+2+…+2^a)(1+3+…+3^b)＜2^a・2・3^b・1.5=3N≦60
　であり、不適

と以上のように説明できます。

…え? N=59 や N=40 の時、ですか?
N=59 を分けているのは、「2,3の積では表せないけど約数の和が60」の例だから特別扱いしているのでは…?
N=40 は、計算してみればすぐに不適と分かりますが、上の説明だともう少し追加がいるので、あまり綺麗ではないかな…。

ちなみに。「解答」としてはN=59等の話 ( というか、ここで説明している話全て ) は無駄なので、やっぱり画像のは単なる解説だと思いますね。
No.22027 - 2013/07/22(Mon) 21:23:56
☆ Re: 約数の和が60になる自然数 / rio
ありがとうございました！ご丁寧な説明で理解できました。
No.22046 - 2013/07/25(Thu) 17:44:22
★ 微分積分2 / うんうん
連投失礼いたします。


曲面S：z=x^2+y^2+3y+1とする。S上の点P(0,0,1)におけるSの接平面をα：z=f(x,y)とする。

(1)f(x,y)を求めよ
(2)Sと曲面β：z=f(x,y)+1で囲まれる部分の体積を求めよ

--------------------------------------------------
(1)はz-1=0(x-0)+3(y-0)を整理してz=3y+1と求めました。
(2)はβ：z=3y+2
3y+2≧x^2+y^2+3y+1よりx^2+y^2≦1なので、
x=rcosθ,y=rsinθとおいて計算しようと考えているのですが、
rの範囲が-1≦r≦1なのか0≦r≦1なのかわかりません。


前回の投稿の様に、似たような問題でx=rcosθ,y=rsinθとおいてから、
rの範囲が-〇≦r≦〇なのか0≦r≦〇なのか、迷ってしまいます。
ですので、rの範囲を考える際のコツ？など教えて頂けたらありがたいです。


よろしくお願い致します。
No.22018 - 2013/07/21(Sun) 18:28:26
☆ Re: 微分積分2 / X
極座標についてもう一度復習しましょう。
No.22020 - 2013/07/21(Sun) 19:34:13
☆ Re: 微分積分2 / うんうん
Xさん、
ご回答ありがとうございます。

復習したところ、
0≦r≦1が正しいという結論になりました。

また、そもそも極座標に変換して、-〇≦r≦〇とはなることはおかしいと思ったのですが、その解釈は正しいでしょうか？
No.22021 - 2013/07/21(Sun) 21:51:02
☆ Re: 微分積分2 / X
>>また、そもそも極座標に変換して〜
その通りです。
No.22022 - 2013/07/21(Sun) 22:19:42
☆ Re: 微分積分2 / うんうん
Xさん、
ご回答ありがとうございました。
おかげですっきりできました。
No.22023 - 2013/07/21(Sun) 23:09:13
★ 微分積分 / うんうん
平面H:4x+8y+z=kが曲面S:z=9-x^2-4y^2に接している。
(1)kを求めよ
(2)Sとxy-平面で囲まれる部分の体積を求めよ

-----------------------------------------------
前にどこかの掲示板で質問した問題かもしれないのですが、
再びノートを見てもわからなくなりました。
(ノートに書いてある答えが合っているかはわかりません)

(1)はk=17と求めました
(2)では、x=rcosθ,y=(r/2)sinθとおいて計算しようとしているのですが、
0≦r≦3,0≦θ≦2πと、ノートに書いてあるのですが、なぜこの範囲なのかがわかりません。

その場合計算すると、体積V=81π/4 となります。


よろしくお願い致します。
No.22014 - 2013/07/21(Sun) 00:03:22
☆ Re: 微分積分 / angel
(1)はk=-15ではないでしょうかね。
← これは間違いでした。k=17で良いようです。

点(a,b,c)における接平面 ∂z/∂x・(x-a)+∂z/∂y・(y-b)+(z-c)=0 と、
← これは間違いで、(z-c)=∂z/∂x・(x-a)+∂z/∂y・(y-b) ですね。
(a,b,c)の条件 c=9-a^2-4b^2 と、
平面Hの形 4x+8y+z=k を比較してみるとそうなると思います。

(2)については、「Sとxy平面で囲まれる」なので、z≧0 の領域。
ここで、r(≧0),θを使って表すと z=9-r^2 これはθに依存しない形です。
なので、θについては特に条件がなく、一周 0≦θ≦2π が範囲、r については z=9-r^2≧0 から 0≦r≦3 が範囲となります。
No.22015 - 2013/07/21(Sun) 08:50:33
☆ Re: 微分積分 / うんうん
angelさん、ご回答ありがとうございます。

z=f(x,y)の(x,y)=(a,b)における接平面の方程式は、
z-c=∂z/∂x・(x-a)+∂z/∂y・(y-b)
だと思いますので、k=17となったのですが…

曲面F(x,y,z)=0の(a,b,c)における接平面の方程式は、
Fx(a,b,c)(x-a)+Fy(a,b,c)(y-b)+Fz(a,b,c)(z-c)=0
だと思いますが、今回は前者の方が適当だと考えて、k=17と致しました。
No.22016 - 2013/07/21(Sun) 11:35:21
☆ Re: 微分積分 / angel
あらら。(1)は大ボケをかましていました。
うんうんさんの計算が正しいです。前のコメントを修正しました。申し訳ありません。
No.22017 - 2013/07/21(Sun) 18:25:02
☆ Re: 微分積分 / うんうん
angelさん、
回答を頂けただけで助かっておりますので、
気になさらないでください。


改めてご回答ありがとうございました。
No.22019 - 2013/07/21(Sun) 18:31:00
★ 重積分 / 高専
画像の問題の解き方はあっていますか？
No.22011 - 2013/07/20(Sat) 12:59:24
☆ Re: 重積分 / angel
r^2/2 の /2 はどこへ…?
それ以外は問題なさそうですが。
No.22012 - 2013/07/20(Sat) 13:30:47
☆ Re: 重積分 / 高専
うっかりしてました
ありがとうございます
No.22013 - 2013/07/20(Sat) 15:21:49
★ 文章題 / シャルル
９で割ると８余り、８で割ると７余り、６で割ると５余る整数のうち、小さいほうから５番目の数を求めよ。

よろしくお願いします。
No.22009 - 2013/07/20(Sat) 11:16:19
☆ Re: 文章題 / らすかる
「９で割ると８余り、８で割ると７余り、６で割ると５余る整数」に1を足すと
「９で割り切れ、８で割り切れ、６で割り切れる整数」になりますので
条件を満たす整数は9と8と6の公倍数すなわち72の倍数から1を引いた数です。
No.22010 - 2013/07/20(Sat) 11:42:02
★ (No Subject) / タカヒロ(高2）
4^(23)+5^(20)の桁数を求めよ、また、この整数の先頭の数字を求めよ
ただし、log[10](2)=0.3010を用いよ

解き方と解答をお願い致します。
No.22007 - 2013/07/19(Fri) 22:36:06
☆ Re: / X
log(4^23)=46log2=13.846 (A)
log(5^20)=20log5=20-20log2=13.98 (B)
ここで
log5=1-log2=0.699 (C)
log8=3log2=0.903 (D)
(A)(B)(C)(D)より
5・10^13＜4^23＜8・10^13 (E)
8・10^13＜5^20＜10^14 (F)
(E)(F)を辺々足すと
1.3・10^14＜4^23+5^20＜1.8・10^14
∴桁数は15、先頭の数字は1です。
No.22008 - 2013/07/19(Fri) 23:13:57
★ 行列の一次変換 / まさ
15.4の(1)の問題がわかりません
答えは、http://www.geocities.jp/arrogant_give_and_take/mathematics/the_second_grade/15/15_4.pdfです
まず、直線の像とはなんでしょうか？また、答えに載っている直線上の点(0,0)、(-2,1)とはどういう意味でしょうかよろしくお願いします
No.22004 - 2013/07/19(Fri) 00:06:47
☆ Re: 行列の一次変換 / X
>>直線の像とはなんでしょうか？
ある点の集合Aが一次変換fで移される点の集合のことを
fによってAが移される像
といいます。
(教科書の一次変換の項目を復習しましょう。
掲示板で聞くより早いです。)
Aを直線上の点の集合と考えましょう。


>>また、答えに載っている〜
一般に一次変換による直線の像は直線、又は一つの点となります。
(証明は省略します。)
従って移される元の直線の異なる２つの点の像となる２つの点
を結ぶ直線が求める像となります。
その意味で元の直線上の適当な２つの点を選び、それの
像を求めています。
ですので、(1)の場合は直線上の点として例えば
点(2,-1)と点(4,-2)
と選んでも問題ありません。
No.22005 - 2013/07/19(Fri) 01:17:03
☆ Re: 行列の一次変換 / まさ
ありがとうございました
No.22083 - 2013/07/27(Sat) 21:07:56
★ (No Subject) / 高３
空間に点Ｏを中心とする半径１の球ＡとOP=2を満たす点Pがある。
∠POQ＝120℃となる点Qをとる、3点P,O,Qを含む平面に垂直で点Qを通る直線をmとする。
(1)Pから見たとき直線mが球Aの影に隠れずに全部見えるのはOQの長さがどのような範囲のときか。
(2)OQ=1の場合。Pから見たとき直線mのうち球Aの影に隠れて見えない部分の長さを求めよ


解き方と解答をお願い致します。
No.22002 - 2013/07/18(Thu) 23:51:30
☆ Re: / koukou
この問題は載っていますよ。
No.22003 - 2013/07/18(Thu) 23:55:22
★ (No Subject) / kou2
1 からn までの番号をつけたn 枚のカードがある．これらn 枚のカードをA，B，C
の3つの箱に分けて入れる．ただし，どの箱にも少なくとも1 枚は入れるものとする．
自然数l は2l≦nを満たすとする．1≦k≦lである各整数k について2k−1と2k の
番号のカードをペアと考える．いずれかの箱に少なくとも1 つのペアが入る場合の数
をn とl を用いて表せ．



教えて下さい。お願いします。
No.22000 - 2013/07/18(Thu) 19:07:40
☆ Re: / IT
○求める場合の数は
ア：どの箱にも少なくとも1 枚は入れる場合の数 − イ：アのうち、いずれの箱にも１つのペアも入らない場合の数

○アを求める
　全ての入れ方は、3^n 通り
　１つの箱が空の入れ方は、3*2^n 通り（２つの箱が空の場合も含まれる）
　２つの箱が空の入れ方は、3 通り

　よって、アは、3^n - 3*2^n + 3 通り
　
○イを求める
　ペアはL個、ペア以外は(n-2L)枚あるので
　すべてのペアが別れる入れ方は、((3*2)^L)(3^(n-2L)) 通り
　このうち２つの箱のみに入れるのは、3(2^L)(2^(n-2L)) 通り
　１つの箱のみに入れることは出来ない。（ペアを別けるので２つは箱が要る）

　よって、イは、((3*2)^L)(3^(n-2L)) - 3(2^L)(2^(n-2L)) 通り

○したがって、求める場合の数は、
　3^n - 3*2^n + 3 - ((3*2)^L)(3^(n-2L)) + 3(2^L)(2^(n-2L)) 通り

整理すると、もう少し簡単な式になります。
答えと合ってますか？（答えがあり、答えと違っていたら教えて下さい）
No.22001 - 2013/07/18(Thu) 21:37:35
☆ Re: / kou2
答え合っていました。
テキストの解答よりも方針が分かりやすかったです。
ありがとうございました。
No.22006 - 2013/07/19(Fri) 17:12:50
★ 微分 / √
「微分」について教えてください。

「積分」は、面積や体積を求める時に役にたちますが、

「微分」は、接点の傾きを求めることによって、
具体的に世の中で、どのような事に役にたっているのですか？

よろしくお願い致します。
No.21992 - 2013/07/17(Wed) 23:40:35
☆ Re: 微分 / らすかる
簡単な例ですが、例えば横軸に時間、縦軸に進んだ距離として
自動車の走行をグラフに表したとすると、
これを微分したものは速度になります。
縦軸を速度にしたグラフでは、微分したものは加速度になります。
No.21993 - 2013/07/17(Wed) 23:58:11
☆ Re: 微分 / √
らすかるさん　有り難うございます。

算数などで使われている速度は「平均の速度」で、
グラフにすると、直線で、傾きが一定だけど、

実際には、その時、その時で速さ（傾き）が変わっているはずだから、「その時点での速さ」が分るということでしょうか？
No.21994 - 2013/07/18(Thu) 01:08:54
☆ Re: 微分 / らすかる
そういうことです。
速度のグラフは微分すると加速度、積分すると距離になります。
No.21995 - 2013/07/18(Thu) 01:12:34
☆ Re: 微分 / √
らすかるさん　またまた、有り難うございます。

私は、数学や物理は専門ではないので、
イメージでしか分らないのですが、

縦軸を速度にすると、
その時点での接線の傾きが加速度になる。
これは、なんとなくイメージできます。

距離＝速度ｘ時間　だから
縦軸に速度、横軸に時間をとって、
掛け合せると面積になるから、
積分すると距離なる。
というようなイメージ、ニュアンスに受け取りました。
こんな感じでしょうか？
No.21996 - 2013/07/18(Thu) 01:48:27
☆ Re: 微分 / angel
微分がグラフ上での傾きを表すのはそうなのですが、もっと一般的に言うと「微かな変化を調べる」ことに当てはまります。
※逆に積分は「微かな変化を集めて全体を測る」ような感じ。

で、世の中物理などの法則はこの「微かな変化」同士の関係で説明してあるものがとても多いのです。
例えば、「ある地点で『電場』の値がちょっと変化したら、その度合いに応じてすぐ近くの『磁場』の値が変化し、また『磁場』の値の変化に応じて『電場』の値が変化し…、結局『電場』『磁場』の変化が高速で空間を伝わっていく」これ、何のことかと言えば電磁波(光や電波、X線等)の説明ですね。

なぜ「とても多い」のか私には分かりませんが、多分それが法則等を簡潔に表すのに向いているからではないでしょうかね。

ちなみに「『微かな変化』同士の関係」は「微分方程式」という形で書かれたりする訳ですが…。
単純なものなら人間の頭だけで解く(解析的に解く)ことができ、上で挙げた電磁波なんかはその一例なのですが、そうでないものはコンピュータでシミュレーション ( 数値計算 ) することになります。
なので、例えば未来の何かを予測する場合には、ほんの少し先の時刻で、色んな値がどれくらい変化するかを調べて ( その時は元になる「法則」から微かな変化同士の関係を計算する )、その変化を反映させていく、それを何回も繰り返すことで少しずつ先の状態を調べていく、そんなことをします。
身近な所では天気予報とか。
ということで、「微分」の考え方は、まあ不可欠なものですね。
No.21997 - 2013/07/18(Thu) 06:47:44
☆ Re: 微分 / √
ａｎｇｅｌさん　有り難うございます。

微分の意味のイメージ・ニュアンスは理解できました。
微分が、こんな所にまで役にたっているとは思っていませんでした。

高校数学では、微分の計算は出来ても、
自分が今、何をしているのか分っていなかったような
気がします。

有り難うございました。

らすかるさん、ａｎｇｅｌさん、そして昔、微積を発見した偉大なる数学者に感謝です。
No.21998 - 2013/07/18(Thu) 11:40:38
☆ Re: 微分 / √
追記です。

「微積」って、数学の中では、一番、物理に近いなと、思いました。（現実に近い）
No.21999 - 2013/07/18(Thu) 15:11:46
★ (No Subject) / koukou
空間に点Ｏを中心とする半径１の球ＡとOP=2を満たす点Pがある。
∠POQ＝120℃となる点Qをとる、3点P,O,Qを含む平面に垂直で点Qを通る直線をmとする。
(1)Pから見たとき直線mが球Aの影に隠れずに全部見えるのはOQの長さがどのような範囲のときか。
(2)OQ=1の場合。Pから見たとき直線mのうち球Aの影に隠れて見えない部分の長さを求めよ

教えてください、お願いします。
No.21982 - 2013/07/16(Tue) 21:35:35
☆ Re: / X
方針を。
(1)
条件を満たすためには
点P,O,Qを含む平面によるAの断面の円と直線PQが
接するか交点持たない
ということになります。
そこで接する場合のOQの長さを求めるため
△OPQにおいて点Oから辺PQに下ろした垂線の長さが
Aの半径になる場合を考えてみましょう。
(2)
点Oを通り直線OPに垂直な平面(αとします)による
Aの断面の円をC
αと線分PQとの交点をT
α上でTを通りOTに垂直な直線をl
とすると求める長さは、lのCによって切られる線分の長さ
となります。
そこでまずOTの長さを求める必要がありますが
△OPQにおいて、Tが辺PQ上の点であることと
∠POT=90°であることを使いましょう。
No.21985 - 2013/07/16(Tue) 22:02:22
☆ Re: / koukou
Xさんありがとうございます。
方針を参考にしたいと思います。
申し訳ないのですが、答えは教えて頂けないのでしょうか。
No.21990 - 2013/07/17(Wed) 22:29:00
☆ Re: / X
こちらの計算では
(1)
OQ≧2
(2)
(2/5)√13
となりました。
No.21991 - 2013/07/17(Wed) 22:48:31
★ ３次方程式 / dy
x^3-x^2-x-1=0を解く方法はありますか。あるなら教えてくださいお願いします。
No.21980 - 2013/07/16(Tue) 13:34:51
☆ Re: ３次方程式 / ヨッシー
こちらを参考に解いていきます。

x=y+1/3 とおくと、
　(y+1/3)^3-(y+1/3)^2-(y+1/3)-1=0
展開して整理すると
　y^3−4y/3−38/27＝0
ここで、
　-4/3＝-3uv, -38/27＝−(u^3+v^3)
となる、u, v を見つけることを目指します。
　u^3v^3＝64/729, u^3+v^3＝38/27
より、u^3, v^3 は、
　x^2−38ｘ/27＋64/729＝0
の解であり、それらは、ｘ＝(19±3√33)/27
ｕはその３乗根のひとつで、たとえば、ｘ＝(19＋3√33)/27
に対して、ｕ＝(19＋3√33)^(1/3)/3

これ以降は代入するだけの操作になります。
　ｖ＝4/9u　から、ｖを求める、などです。
No.21981 - 2013/07/16(Tue) 17:03:55
☆ Re: ３次方程式 / dy
ありがとうございました。
No.21988 - 2013/07/17(Wed) 14:10:59
★ 連続関数 / なな
f(x)は(0,+∞)で連続で，lim[x→∞](f(x+1)-f(x))=0ならば，lim[x→∞]f(x)/x=0となることを示せ。

まず仮定から
∀ε>0，∃a>0，x≧a　⇒　|f(x+1)-f(x)|<εとなる。

このxにa,a+1,…a+(n-1)として辺々加えると，

|f(a+n)-f(a)|<nε となる。

よって|f(a+n)/(a+n)|<|f(a)/(a+n)|+ε

ここからどうするかが分からないです。よろしくお願いします。
No.21977 - 2013/07/15(Mon) 22:41:46
☆ Re: 連続関数 / angel
先に方針(最終形の目安)をある程度立てないと厳しいと思います。
それと、「f(x)は連続」という条件も何処かで入ってくるはずです。どう関係してくるか考えておかないと、厳しいでしょう。

大雑把には、|f(a+n)-f(a)|＜nε という形は良いと思います。これを |f(x)|＜(大体εx) と捉えることで道が開けそうな所。
※これで、{f(x)/x|＜(大体ε) という形になるから
ただ実際は、εではなくε/2を使うのが吉。理由は後で分かります。

これを具体化すると次のようになります。
1. ∀ε＞0，∃a＞0,d,D s.t. x＞a⇒-εx/2+d＜f(x)＜εx/2+D を導く
2. これより -ε/2+d/x＜f(x)/x＜ε/2+D/x の形を得る
3. 余分な d/x, D/x の形を ε/2 で抑えられる時のことを考える。そうすれば、元のε/2と併せて、f(x)/x を±εの範囲に抑えることができる
※最初にεではなくε/2を持ってきたのは、このため。

3. については、
　d/x＞-ε/2 すなわち x＞-2d/ε
　D/x＜ε/2 すなわち x＞2D/ε
の両方を満たせば、余分な部分をε/2で抑えることができますから、最終的には
　x＞max(a,-2d/ε,2D/ε)
　⇒ -εx/2+d＜f(x)＜εx/2+D かつ d/x＞-ε/2 かつ D/x＜ε/2
　⇒ -ε/2+d/x＜f(x)/x＜ε/2+D/x かつ -d/x＞-ε/2 かつ D/x＜ε/2
　⇒ -ε＜f(x)/x＜ε
というように、f(x)/x→0 を示す形にできます。
No.21978 - 2013/07/16(Tue) 06:35:50
☆ Re: 連続関数 / なな
おはようございます。

方針の2，3については納得することができました。
ありがとうございます。


> それと、「f(x)は連続」という条件も何処かで入ってくるはずです。どう関係してくるか考えておかないと、厳しいでしょう。
>
> 大雑把には、|f(a+n)-f(a)|＜nε という形は良いと思います。これを |f(x)|＜(大体εx) と捉えることで道が開けそうな所。

> これを具体化すると次のようになります。
> 1. ∀ε＞0，∃a＞0,d,D s.t. x＞a⇒-εx/2+d＜f(x)＜εx/2+D を導く

1についてですが、どのようにしてこの式を導けたのでしょうか。よろしくお願いします。
No.21979 - 2013/07/16(Tue) 08:38:46
☆ Re: 連続関数 / angel
一気に書こうと思っていたのですが、間があいてしまって申し訳ありません。
とっかかりの 1 については、ちょっと具体例を挙げてみると良いかもしれません。

例えば、x＞5.5⇒|f(x+1)-f(x)|＜0.1 という状況ならば、
　|f(10)-f(9)|＜0.1, |f(9)-f(8)|＜0.1, …, |f(7)-f(6)|＜0.1
ということで、
　|f(10)-f(6)|＜0.4
同様に、|f(15.5)-f(6.5)|＜0.9 や |f(12.7)-f(5.7)|＜0.7 も言えることになります。

ちょっと困るのが、-f(6), -f(6.5), -f(5.7) と不揃いな所。でも、不揃いであっても、5.5〜6.5 という限られた区間での f の値なので、なんとかなるのでは…、ということで、ここで「fが連続関数」という条件が生きてきます。
すなわち、「閉区間 b≦x≦b+1 において、連続関数f(x) は最大値・最小値を取る」という性質です。
この最大値をM、最小値をmとすると、b＜x≦b+1⇒m≦f(x)≦M とfの範囲を絞れます。
※「b＜x≦b+1においてf(x)は最大値・最小値を取る」だと正しくないので注意
No.21984 - 2013/07/16(Tue) 21:55:30
☆ Re: 連続関数 / angel
では、1 を導きます。
lim[x→+∞] ( f(x+1)-f(x) )=0 より、
∀ε, ∃b s.t. x＞b⇒|f(x+1)-f(x)|＜ε/2
この b に対して、x＞b+1 ならば、b＜y≦b+1 なる y と自然数 n が存在して、x=y+n
数学的帰納法により |f(x)-f(y)|＜nε/2 すなわち -nε/2+f(y)＜f(x)＜nε/2+f(y)
※帰納法の詳細は省略

ここで、n=x-y により n を消去すると
　-xε/2 + f(y)+yε/2 ＜ f(x) ＜ xε/2 + f(y)-yε/2
一つ前で挙げた m≦f(y)≦M と b＜y を適用すると
　-xε/2 + m+bε/2 ＜ f(x) ＜ xε/2 + M-bε/2
ということで、1 の形が導けます。( d=m+bε/2, D=M-bε/2 )
ちょっと最初に a を使ってしまったので今回は b を登場させましたが、a=b+1 とすれば話が繋がります。
No.21986 - 2013/07/16(Tue) 22:11:15
☆ 余談：連続関数でなかったら / angel
今回、連続関数の性質である「閉区間上で連続関数は最大値・最小値を取る」という条件を使いました。もしこれがなかったら、つまり連続関数でなければ lim f(x)/x=0 は成立しないのでしょうか。これを考えてみるのも面白そうです。

結論としては、反例があるため不成立です。どう反例を探すか、ですが、証明の時とは逆に、限られた区間の中で値が有界にならないような関数を探してあげるのが良さそうです。

私が見つけた反例は、次のような不連続な関数 f(x) です。
　n≦x＜n+1 ( nは自然数 ) に対して、
　　f(x)=√n ( x=n の場合 )
　　f(x)=√n + 1/(x-n) ( x≠n の場合 )
√(n+1)-√n は 0 に収束する形ですから、lim ( f(x+1)-f(x) ) = 0 を満たします。
※1/(x-n) の部分は、打ち消し合って丁度消えます。

ところが、1/(x-n) は幾らでも大きな値を取り得ますから、たとえ f(x)/x のように 1/x をかけたとしても 0 に収束しません。
例えば、ε=1 に対して |f(x)/x|＜ε と抑えられるか、ですが f(5000.00001)=√5000 + 10000 ですから f(5000.0001)/5000.0001≒2 と x≒5000 程度では抑えられていません。
しかも、x=5000.00001, 50000.000001, 500000.0000001, … と、幾らxを大きくしてもやっぱり抑えられない所が出てきます。
なので、この f(x) は反例となります。
No.21987 - 2013/07/16(Tue) 22:33:47
☆ Re: 連続関数 / なな

こんにちは。返信が遅れてしまいすいません。

angelさんのおかげでこの問題に対してかなり印象が残り，
とても勉強になりました。最後まで丁寧にご指導くださり
本当に感謝しています。ありがとうございました。
No.21989 - 2013/07/17(Wed) 14:16:03
★ (No Subject) / 現役３
　解き方を教えてください、お願いします。


(1)
α[1],α[2],α[3]はα[1]≦α[2]≦α[3]をみたす実数とする。uの関数
　
　ｈ(u)=|u-α[1]｜+|u-α[2]|+|u-α[3]|
の最小値を求めよ

(2)a,bは実数とし、

　Ｉ=|a+b-1|+|2a+b-3|+|3a+b-3|とおく
Iを最小にするa,bの値を求めよ
No.21973 - 2013/07/14(Sun) 23:01:47
☆ Re: / X
(1)
場合分けをして絶対値を外します。
(i)u＜α[1]のとき
h(u)=-3u+α[1]+α[2]+α[3]
(ii)α[1]≦u＜α[2]のとき
h(u)=-u-α[1]+α[2]+α[3]
(iii)α[2]≦u＜α[3]のとき
h(u)=u-α[1]-α[2]+α[3]
(iv)α[3]≦uのとき
h(u)=3u-α[1]-α[2]-α[3]
以上から横軸にu、縦軸にh(u)を取ったグラフを考えることにより
h(u)の最小値は
h(α[2])=α[3]-α[1]

(2)
>>Ｉ=|a+b-1|+|2a+b-3|+|3a+b-3|
を
Ｉ=|a+b-1|+|2a+b-2|+|3a+b-3|
のタイプミスと見て回答します。
まずaの値を固定させて考えます。
I=f(b)と置くと
f(b)=|b+a-1|+|b+2(a-1)|+|b+3(a-1)|
(i)a≦1のとき
3(a-1)≦2(a-1)≦a-1
∴(1)の結果から
f(b)≧f(2(a-1))=a-1-3(a-1)=-2(a-1)≧0
(不等号の下の等号は(a,b)=(1,0)のとき成立)
(ii)1≦aのとき
a-1≦2(a-1)≦3(a-1)
∴(1)の結果から
f(b)≧f(2(a-1))=3(a-1)-(a-1)=2(a-1)≧0
(不等号の下の等号は(a,b)=(1,0)のとき成立)
以上から求めるa,bの値は
(a,b)=(1,0)
となります。
No.21975 - 2013/07/15(Mon) 04:18:26
☆ Re: / IT
(1)の別解です。
y=ｈ(u)は連続関数
y=ｈ(u)のグラフは４つの直線の一部をつなげたもので,u=α[1],α[2],α[3]で折れ点になる
またｈ(u)≧０
したがって、ｈ(u)は折れ点のどこかで最小値をとる。

ｈ(α[1])=(α[2]-α[1])+(α[3]-α[1])≧α[3]-α[1]
ｈ(α[2])=(α[2]-α[1])+(α[3]-α[2]) =α[3]-α[1]　　
ｈ(α[3])=(α[3]-α[1])+(α[3]-α[2])≧α[3]-α[1]
よって、ｈ(u)の最小値はｈ(α[2])=α[3]-α[1]
No.21976 - 2013/07/15(Mon) 06:38:41
☆ Re: / 現役３
Xさん、ＩＴさんありがとうございます。また、お願いします
No.22024 - 2013/07/21(Sun) 23:36:20
★ 式と図形　通過領域 / Ken高2
xy平面に円C1:x^2+(y+2)^2=4と円C2:(x-a)^2+y^2=1がある。
aを任意の実数として、C1とC2が異なる二点で交わるとき、その二点を通る直線の通過領域を図示せよ。

よろしくお願いします。
No.21967 - 2013/07/13(Sat) 18:21:10
☆ Re: 式と図形　通過領域 / angel
小問に分解したら方針が立てられますか?

(1) C1とC2が異なる二点で交わるaの範囲を求めよ
　　答：-√5＜a＜√5
(2) (1)のaの範囲(-√5＜a＜√5)において、C1とC2の2交点を通る直線の方程式を求めよ
　　答：2ax+4y=a^2-1　( y=-ax/2+(a^2-1)/4 でもいいけど )
(3) (1)の範囲(-√5＜a＜√5)をaが動く時、(2)の直線 ( 2ax+4y=a^2-1 ) が通る領域を求め図示せよ
　　答：　　　　√5・x+2y＜2 かつ -√5・x+2y＞2
　　　　または　√5・x+2y＞2 かつ -√5・x+2y＜2
　　　　または　√5・x+2y≦2 かつ -√5・x+2y≦2 かつ y≧-(x^2+1)/4
　　　　ただし (x,y)=(0,1),(±√5,-3/2) を除く

(3)については、「直線が通る領域」ではなく「aの方程式2ax+4y=a^2-1が-√5＜a＜√5の範囲で少なくとも1実数解を持つx,yの条件」と考えた方がすっきりしますね。
No.21968 - 2013/07/13(Sat) 21:55:37
☆ Re: 式と図形　通過領域 / Ken高2
理解できました。ありがとうございます。
No.21971 - 2013/07/14(Sun) 17:12:15
☆ Re: 式と図形　通過領域 / angel
理解できたとのことで何よりです。
が、申し訳ありません。一点訂正です。
> (3) (1)の範囲(-√5＜a＜√5)をaが動く時、(2)の直線 ( 2ax+4y=a^2-1 ) が通る領域を求め図示せよ
> 　　答：　　　　√5・x+2y＜2 かつ -√5・x+2y＞2
> 　　　　または　√5・x+2y＞2 かつ -√5・x+2y＜2
> 　　　　または　√5・x+2y≦2 かつ -√5・x+2y≦2 かつ y≧-(x^2+1)/4
> 　　　　ただし (x,y)=(0,1),(±√5,-3/2) を除く

3番目にある √5・x+2y≦2 かつ -√5・x+2y≦2 かつ y≧-(x^2+1)/4 には、「かつ-√5＜x＜√5」をつけないとマズいですね。抜けていました。
※そうすると、「(x,y)=(±√5,-3.2)を除く」も不要となります

正しい解答をお持ちかも知れませんが、念のため。
No.21972 - 2013/07/14(Sun) 18:21:14
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