xyz空間内の原点を中心とする半径1の球面
S={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1, x,y,zは実数}
を考え, S上の定点(0,0,1)をAとする. Aと異なるS上の点P(x,y,z)に対し, 直線APとxy平面の交点をQ(u,v,0)とする. kを正の定数とし, 点Pが x^2+y^2+z^2=1, x≧1/k, y≧1/k, z≧1/k を満たしながら動くとき, 対応する点Qの動く範囲をuv平面上に図示せよ.
k>0より,
x^2+y^2+z^2=1≧1/(3k^2)
⇔k≧√3ー?@
A,P,Qは一直線上にあるので
↑AP=t↑AQ (tは実数) と表せる.
よって, (x,y,z)=(tu,tv,1-t)
PはS上の点より,
x^2+y^2+z^2=1
⇔(tu)^2+(tv)^2+(1-t)^2=1
∴t=2/(u^2+v^2+1)
∴x=2u/(u^2+v^2+1), y=2v/(u^2+v^2+1), z=(u^2+v^2-1)/(u^2+v^2+1)
x≧1/k, y≧1/k, z≧1/kより,
2uk-u^2-v^2-1≧0
2vk-u^2-v^2-1≧0
k(u^2+v^2-1)-u^2-v^2-1≧0
ここまでは解答と同じでした.
自分はこのあと,
kが?@の範囲を満たしながら動くときに上の3つの不等式が常に成り立つようなu,vの範囲を考えたんですが,
解答では,
上の3つの不等式を
(u-k)^2+v^2≦k^2-1
u^2+(v-k)^2≦k^2-1
u^2+v^2≧(k+1)/(k-1)
と変形して, kを含む式でuv平面上に図示していました.
自分のやり方のどこが間違っているのか教えて下さい.
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No.22269 - 2013/08/16(Fri) 22:47:26
| ☆ Re: / angel | | | > 自分のやり方のどこが間違っているのか教えて下さい.
ここでは。
問題文> kを正の定数とし, …
やり方> kが?@の範囲を満たしながら動くときに…
kは定数なので動かすのはマズいですね。で、答えがkを含んだ式 ( 不等式 ) になるのは自然のなりゆきかと。
後、小さく見えるかも知れませんが、ここもマズいです。
> ⇔k≧√3ー?@
kは定数なので、こちらで勝手に大きさを決めてはいけません。
正しくは、
k＜√3 の場合は条件(略)を満たすS上の点Pは存在しない。よって題意を満たすQの範囲は存在しない。( もしくは「空」と言うか… )
以下、k≧√3の場合について示す。
…(解答続き)…
のような解答にする所です。
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No.22281 - 2013/08/17(Sat) 15:07:50 |
| ☆ Re: / ktdg | | | No.22286 - 2013/08/18(Sun) 06:07:05 |
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