連続で申し訳ないのですが、教えてくださいお願いします。
行列ＥとＡを
Ｅ＝M{(1,0),(0,1)}, A={(4,2),(2,-1)}とおく
行列、xE-Aが逆行列を持たないようなxの２つの値をα、β(α＞β）とし行列Ｐ，Ｑを
Ｐ=(1/α-β）{(α+1,3),(2,α-4)}， Ｑ=(1/β-α){(β+1,3),(2,β-4)}で定める。
(1)行列の積PQを求めよ
(2)自然数ｎに対して、Ｐ^nを求めよ
(3)すべての自然数ｎに対してA^n=α^(n)P+β^(n)Qが成り立つことを示せ
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No.22137 - 2013/08/01(Thu) 13:09:42
| ☆ Re: 行列 / 黄桃 | | | 問題を写し間違っていませんか？
とりあえず αP+βQ は Aになりません。
正しい問題はAの1行2列成分が3ですかね。
あと、こうした問題をみたら、少しでも自分で考えるようにしないといつまで経っても自分で解けるようにはなりません。(1)すらできない、ということは相当まずいです。
xE-Aを P,Qのようにxを含んだ成分表示し、その行列が逆行列を持たない条件を式にすれば、α、βはxの2次方程式の解になります。まずはこれを求めてみてください。それがわかれば、P,Qの具体的な形がわかります。
(1)は計算するだけです。QPも計算してみてください。
(2)も計算するだけです。P^2すら計算してないのでしょうから、計算してみてください。ついでにQ^2も計算してみてください。
(3)は数学的帰納法で証明しましょう。その時に (1),(2)の結果を使います。
＃(3)から(1),(2)の答を予想するという裏技もありますが、おすすめしません。
＃＃舞台裏を知っていると計算が楽になりますが、
＃＃この問題は普通に計算すれば解ける問題ですから
＃＃必要ないでしょう。
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No.22147 - 2013/08/02(Fri) 00:06:06 |
| ☆ Re: 行列 / たかひろ（高３） | | | ごめんなさい、写し間違えていました。
誤り Ｅ＝M{(1,0),(0,1)}, A={(4,2),(2,-1)}とおく
訂正 Ｅ＝M{(1,0),(0,1)}, A={(4,3),(2,-1)}とおく
自分でやってみたのですが、合ってますか？
（１）
xE-Aは逆行列を持たないので、
x^2-3x-10=0より(x-5)(X+2)=0すなわちx=5,-2したがって、α=5、β=-2
ゆえにPQ＝(-1/49)M{(0,0),(0,0)}=0
(2)
P=(1/7)M{(6,3),(2,1)}より
Ｈ・Ｃの定理より
P^2=Pとなり
P^n=p^2*P^n-2=P^n-1
P^n=P^n-1=P^2*P^n-3=P^n-2
以下同様にして
P^n=P^n-1=P^n-2・・・・・P=(1/7)M{(6,3),(2,1)}
(3)
ＱＰ=(-1/7)M{(-1,3),(2,-6)*(1/7)M{(6,1),(2,1)}=M{(0,0),(0,0)}=0
Ｑ=(-1/7)M{(-1,3)(2,6)}でありＨ・Ｃより
Ｑ^(2)-Ｑ=0よりQ^2=Q
(2)と同様にして、Q^n=Q
したがって
A^n=5^(n)*P+(-2)^(n)Qであることを数学的帰納法で示すと
1)n=1のとき
(左辺）=5*(1/7)M{(6,3),(2,1)}+(-2)*(1/7)M{(-1,3),(2,-6)}=A
2)
n=kのとき
Ａ^k=5^k*p+(-2)^(k)*Q
両辺に右からA=5*p+(-2)^(k)*Qをかける。
そして
A^k+1=5^(k+1)*P^2+5*(-2)^(k)*Q*P+5^(k)*(-2)*P*Q+(-2)^(K+1)*Q^2
PQ=QP=0,P^2=P,Q^2=Qより
A^k+1=5^(k+1)*P+(-2)^(k+1)*Qとなる
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No.22153 - 2013/08/02(Fri) 13:03:45 |
| ☆ Re: 行列 / ヨッシー  | | | 概ね良いと思います。
>両辺に右からA=5*p+(-2)^(k)*Qをかける。
は、「A=5P-2Q」ですね。^k は余分です。
ケーリーハミルトンでも良いですが、普通に２回掛けた方が
素直かも。（悪いわけではないです）
あとは、最後の決めゼリフ「以上より、任意の自然数ｎについて・・・」
をはじめ、適当な日本語を付けておきましょう。
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No.22157 - 2013/08/02(Fri) 16:43:56 |
| ☆ Re: 行列 / 黄桃 | | | お疲れ様でした。
ちなみに、舞台裏はこんな感じです。
最初の2次方程式が重解をもたないすべての場合に使えます。
準備
det(xE-A)=0 という2次方程式は
x^2-tr(A)x+det(A)=0
であり、また、HCの定理から
A^2-tr(A)A+det(A)E=O
であるから、HCの定理は結局
A^2-(α+β)A+αβE=O ...(*)
となる。
本問の場合、判別式からα≠βであることもわかる。
（重解の場合は違う手法が必要）
最初に
(ア) P+Q=E
(イ) αP+βQ=A
であることを直接確かめる。
これより、
（ア)xα-(イ) から、
(α-β)Q=αE-A
α≠βだから、
Q=(αE-A)/(α-β)
同様に（ア)xβ-(イ)から
P=(βE-A)/(β-α)
である。
したがって、
PQ=-1/(α-β)^2(A^2-(α+β)A+αβE)=O ((*)より)
である。
QP=O もPQの場合でαとβを入れ替えるだけだから同様にO。
P+Q=E の両辺に左からPをかければ
P^2+PQ=P であり、PQ=O より P=P^2。
同様にQをかけることで Q=Q^2。
A^n=α^nP+β^nQ となることは証明していただいた通り。
別の見方：HCから
A^2-tr(A)A+det(A)E=O
両辺にA^n をかけると
A^(n+2)-tr(A)A^(n+1)+det(A)A^n=O
これは
a[n+2]-tr(A)a[n+1]+det(A)a[n]=0
という3項間漸化式と似ていて、実際同じ方法でA^nを計算することができる。
A^(n+2)-αA^(n+1)=β(A^(n+1)-αA^n)=....=β^(n+1)(A-αE)
A^(n+2)-βA^(n+1)=α(A^(n+1)-βA^n)=...=α^(n+1)(A-βE)
あとは3項間漸化式の場合と同じです。
＃ついでにいえば、A^(-1)が存在するとき、
＃A-αE=β(E-αA^(-1))=βE-det(A)A^(-1)
＃であり、問題文のPはわざわざこの形を使っています。
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No.22159 - 2013/08/03(Sat) 00:47:01 |
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