４つの実数a,b,c,dが次の２つの条件
１）a+b+c+d=4
2)0≦a≦ｂ≦c≦ｄ を満たすとき次の問に答えよ
（１）c≦２を証明せよ。
（２）b+cのとり得る最大の値を求めよ
（３）a+dのとり得る最小の値を求めよ
解答の方針と答えを教えてください、お願いします。
|
No.21381 - 2013/05/10(Fri) 20:22:43
| ☆ Re: / らすかる | | | (1)
もしc＞2だとするとd≧cからd＞2で、
a,b≧0だからa+b+c+d＞4となり、条件に反する。
(2)
もしc=4/3+t（tは正の実数）とするとd≧4/3+tなので
a+b≦4-(4/3+t)-(4/3+t)=4/3-2t となり
b≦4/3-2tだからb+c≦8/3-tなのでb+cは8/3より小さくなる。
もしc=4/3-t（tは正の実数）とするとb≦cからb≦4/3-tなので
b+c≦8/3-2tとなり、b+cは8/3より小さくなる。
よってa=0,b=c=d=4/3のときにb+cは最大値8/3をとる。
(3)
a+dとb+cの和は一定なので、「a+dが最小」⇔「b+cが最大」
よって(2)からa=0,b=c=d=4/3のときにa+dは最小値4/3をとる。
|
No.21382 - 2013/05/10(Fri) 21:08:56 |
| ☆ Re: / IT | | | （２）の（別解）です
b+cが最大値をとるとき
a=0である
なぜなら、a＞0とすると、aを0にしてその分を均等にb,c,dに配分するとb+cは大きくなります。
式で書くと、
a'=0,b'=b+(a/3),c'=c+(a/3),d'=d+(a/3)は条件を満たし、b'+c'=b+(a/3)+c+(a/3)＞b+cなので
※cとdだけに配分してもOKです。
さらにd=cである
なぜなら、t=d-c＞0とすると、tを0にしてその分を均等にb,cに配分するとb+cは大きくなります。
式で書くと
a=0,b'=b+(t/3),c'=c+(t/3),d'=c'は条件を満たし、b'+c'=b+(t/3)+c+(t/3)＞b+cなので
※cだけに配分してもOKです。
さらにb=cである
なぜなら、t=c-b＞0とすると、c,dを減らしてbにまわしてb=c=dとするとb+cは大きくなります。
式で書くと、
a=0,b'=b+(2t/3),c'=b',d'=b'は条件を満たし、b'+c'=b+(2t/3)+c-(t/3)＞b+cなので
以上と１）からb+cが最大値をとるときa=0,b=c=d=4/3でb+cの最大値は8/3
|
No.21386 - 2013/05/11(Sat) 11:26:58 |
| ☆ Re: / sun | | | No.21474 - 2013/05/17(Fri) 22:21:17 |
|
