ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 漸化式 / ドーパミン

数列・漸化式の問題です。
（1）次の条件によって定められる数列｛aｎ｝の一般項を求めよ。
a１＝3,a２＝7,aｎ+２＝aｎ+１+2aｎ
・因数分解の結果を利用して解くそうですが意味が分かりませんでした。

（2）｛aｎ｝を初項27,公比1/√3の等比数列とするとき、和Σlog３aｋ（Σの上はｎ、下はｋ＝１です）を求めよ。
・Σとlogでまったく何をやればよいのかわかりませんでした。

（3）a１＝5,aｎ+１＝8aｎ＾２で求められる数列の一般項aｎを求めよ。
・累乗の形が入るときはどうすればよいでしょうか？

（3）次の条件で定められる数列の一般項を[ ]で示した置き換えを利用することで求めよ。
a１＝9,aｎ+１＝6aｎ-3＾ｎ+１ [bｎ＝aｎ/3＾ｎ]
・利用の仕方がわかりません。

No.21344 - 2013/05/05(Sun) 22:10:06

☆ Re: 漸化式 / らすかる

カッコをつけて貰わないと式がよくわかりません。
（実際に考えられるパターンをすべて解いてみれば
　予想は付きますが、それは無駄な作業です。）
aｎ+１＝6aｎ-3＾ｎ+１
は通常
a[n]+1=6a[n]-(3^n)+(1)
と解釈されますが、まさかこの式ではないですよね。
a[n+1]=6a[n]-(3^n)+(1)
でしょうか、それとも
a[n+1]=6a[n]-3^(n+1)
でしょうか？
まさか
a[n+1]=6a[n-3^n+1]
とか
a[n+1]=(6a[n]-3)^(n+1)
なんてことはないですよね？

No.21345 - 2013/05/05(Sun) 23:06:06

☆ Re: 漸化式 / WIZ

(1)a[1] = 3, a[2] = 7, a[n+2] = a[n+1]+2a[n]と解釈して回答します。

「因数分解の結果を利用して解く」の意味は、
x^2 = x+2 即ち x^2-x-2 = (x+1)(x-2) = 0 という因数分解を利用して
a[n+2] = a[n+1]+2a[n] 即ち a[n+2]-a[n+1]-2a[n] = 0 が、
(a[n+2]+a[n+1])-2(a[n+1]+a[n]) = 0 または (a[n+2]-2a[n+1])+(a[n+1]-2a[n]) = 0 と変形できるという意味です。

(a[n+2]+a[n+1])-2(a[n+1]+a[n]) = 0
⇒ a[n+2]+a[n+1] = 2(a[n+1]+a[n])
⇒ a[n+1]+a[n] は初項 a[2]+a[1] = 7+3 = 10, 公比 2 の等比数列。
⇒ a[n+1]+a[n] = 10*2^(n-1) = 5*2^n

(a[n+2]-2a[n+1])+(a[n+1]-2a[n]) = 0
⇒ a[n+2]-2a[n+1] = -(a[n+1]-2a[n])
⇒ a[n+1]-2a[n] は初項 a[2]-2a[1] = 7-2*3 = 1, 公比 -1 の等比数列。
⇒ a[n+1]-2a[n] = 1*(-1)^(n-1) = -(-1)^n

a[n+1]+a[n] = 5*2^n
a[n+1]-2a[n] = -(-1)^n
上の式から下の式を引くと、3a[n] = 5*2^n+(-1)^n
よって、a[n] = {5*2^n+(-1)^n}/3

No.21346 - 2013/05/05(Sun) 23:09:39

☆ Re: 漸化式 / IT

> （3）a１＝5,aｎ+１＝8aｎ＾２で求められる数列の一般項aｎを求めよ。
> ・累乗の形が入るときはどうすればよいでしょうか？
累乗の形に限らず、分からないときは３か４つぐらいの項を求めて規則性を調べるのが一つのやり方です。

以下では、具体的な値を求めてはいませんが、漸化式を使って、さかのぼり（？）計算をしています。

a[n]=8(a[n-1])^2
=8(8(a[n-2])^2)^2
=8(8^2)(a[n-2])^4
=8(8^2)(8(a[n-3])^2)^4
=8(8^2)(8^4)(a[n-3])^8
=8(8^2)(8^4)(8(a[n-4])^2)^8
=8(8^2)(8^4)(8^8)(a[n-4])^16

… （以上で規則性が見えてきたので　一般項として表記、n=5のときa[n-4]はa[1]です）

={8^(2^(n-1)-1)}{(a[1])^(2^(n-1))}
={8^(2^(n-1)-1)}{5^(2^(n-1))}
厳密には数学的帰納法を使います。

No.21347 - 2013/05/05(Sun) 23:22:46

★ 添削お願いします / ktdg

(1)
√7は無理数であることを証明せよ。
(2)
正の実数xの小数部分を{x}で表す。
{√7}, {2√7}, {3√7}, …, {n√7}, …
はすべて異なることを証明せよ。

(1)
√7が有理数であると仮定すると、
√7=m/n (m, nは互いに素の自然数)と表せる。
よって、7m^2=n^2
m, nは互いに素だからm^2, n^2も互いに素となり、自然数kを用いて n=7kとおける。
よって
7m^2=n^2=49k^2
⇔m^2=7k^2
よってmは7の倍数となるが、m, nは互いに素だから、そのどちらも7の倍数となることは仮定と矛盾する。
したがって、√7は無理数である。

(2)
ある自然数i, j(i>j)について {i√7}={j√7}が成り立つと仮定する。
i√7の整数部分をm, j√7の整数部分をnとすると、
i√7=m+{i√7}, j√7=n+{j√7}より、
i√7-m=j√7-n
⇔m-n=(i-j)√7
⇔√7=(m-n)/(i-j)
m, n, i, jは整数だから m-n, i-jも整数であり、√7は有理数となるが、(1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。
したがって、{i√7}={j√7}を満たすような自然数i, jは存在しない。
以上より、題意は示された。

添削お願いします。

No.21340 - 2013/05/05(Sun) 13:57:03

☆ Re: 添削お願いします / ヨッシー

(1)
[m, nは互いに素だからm^2, n^2も互いに素となり、]の部分は、
無くても良いと思います。
むしろ、「7は素数なので」が必要かと。

(2) は良いと思います。

No.21341 - 2013/05/05(Sun) 14:08:47

☆ Re: 添削お願いします / らすかる

個人的な意見ですが、

> m, n, i, jは整数だから m-n, i-jも整数であり、√7は有理数となるが、
> (1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。

は

m, n, i, jは整数だから右辺の(m-n)/(i-j)は有理数となるが、
(1)から左辺の√7は無理数なので矛盾する。

の方が少しすっきりする気がします。

それ以前に、「(1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。」はちょっと変ですね。
(2)における「仮定」は「{i√7}={j√7}が成り立つ」ですから、
「(1)より√7は無理数である」ことが「{i√7}={j√7}が成り立つ」と矛盾する
という意味になってしまいます。

No.21342 - 2013/05/05(Sun) 15:29:12

☆ Re: 添削お願いします / ktdg

ありがとうございます。

No.21351 - 2013/05/07(Tue) 10:56:38

★ 積分の計算です / ken

積分計算の工夫なんだそうですが私にはよくわからなかったので教えて下さい

　　　0　　　　　　X+1
f(x)=∫(t^2-2t)dt+∫(-t^2+2t)dt
　　　X　　 0
=-2/3x^3+x^2+x+2/3・・・?@　のとき

　　　2 X+1
f(x)=∫(-t^2+2t)dt+∫(t^2-2t)dt　の計算結果は
X 2

?@に-1をかけて(-8/3+4)=8/3を加えたものとなるようです
なぜ-1をかけて(-8/3+4)=8/3を加えると正しい計算結果になるのですか
教えて下さい

No.21337 - 2013/05/05(Sun) 10:04:27

☆ Re: 積分の計算です / ken

すみません積分範囲がずれてしまっています。
上の関数　左側：xから0 右側：0からx+1
下の関数　左側：xから2 右側：2からx+1

No.21338 - 2013/05/05(Sun) 10:09:42

☆ Re: 積分の計算です / WIZ

両方f(x)だと説明が難しいので、下記の様におきます。
f(x) = ∫[x,0](t^2-2t)dt+∫[0,x+1](-t^2+2t)dt
g(x) = ∫[x,2](-t^2+2t)dt+∫[2,x+1](t^2-2t)dt

不定積分(の１つ)∫(t^2-2t)dt = (t^3)/3-t^2 = F(t)とおくと、

f(x) = {F(0)-F(x)}-{F(x+1)-F(0)} = -F(x)-F(x+1)+2F(0)
g(x) = -{F(2)-F(x)}+{F(x+1)-F(2)} = F(x)+F(x+1)-2F(2)

上記２式を比べればg(x) = -f(x)+2F(0)-2F(2)です。

F(0) = (0^3)/3-0^2 = 0
F(2) = (2^3)/3-2^2 = 8/3-4 = -4/3
ですから、

g(x) = -f(x)+2*0-2*(-4/3) = -f(x)+8/3
となります。

No.21339 - 2013/05/05(Sun) 10:26:19

★ 微積分の問題です。 / ゆっぴ

よろしくお願いします。

No.21329 - 2013/05/04(Sat) 13:55:42

☆ Re: 微積分の問題です。 / X

(1)
y=(1/4)x^2
より
y'=x/2
∴接線の傾きは
(-4)/2=-2
(2)
まず、C[2]が点A(2,1)を通ることから
-4+2a+b=1 (A)
一方
y=-x^2+ax+b
より
y'=-2x+a
よって点Aにおける接線の傾きについて
-4+a=-2 (B)
(A)(B)を連立して解いて
(a,b)=(2,1)
(3)
前半)
(2)の結果によりC[1],C[2]の交点のx座標について
(1/4)x^2=-x^2+2x+1
∴x=2,-2/5
DにおいてC[2]のグラフがC[1]のグラフより下側にあることに注意すると
Dの面積Sは
S=∫[0→2]{(-x^2+2x+1)-(1/4)x^2}dx
=∫[0→2]{-(5/4)x^2+2x+1}dx
=[-(5/12)x^3+x^2+x][0→2]
=-10/3+4+2
=8/3
後半)
y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2
∴P(1,2)
よって直線OPの方程式は
y=2x
よって
S[1]=∫[0→1]{-(1/4)x^2+2x+1-2x}dx
=∫[0→1]{-(9/4)x^2+2x+1}dx
=[-(3/4)x^2+x^2+x][0→1]
=5/4
これと前半の結果から
S[2]=S-S[1]=17/12
∴S[2]/S[1]=17/15

No.21330 - 2013/05/04(Sat) 15:27:40

★ 3次方程式(高２) / ken

g(x)=x^3+3x^2+mx+1について、3次方程式g(x)=0の異なる実数解の個数が3個、2個、1個となる条件をそれぞれ求めよ。

答えは　３個となる条件はm＜-15/4
２個となる条件はm=-15/4
１個となる条件はm＞-15/4
です。

解説お願いします。

No.21327 - 2013/05/04(Sat) 11:29:48

☆ Re: 3次方程式(高２) / Masa

y=g(x)のグラフとx軸のグラフの共有点の個数を考えます。

(1)常にg'(x)≦0のとき
y=g(x)のグラフは単調増加になりますから、共有点は1つで、異なる実数解は1つですね。
g'(x)=3x^2+6x+mより、判別式をDとすると
D/4=3^2-3m≦0
よってm≧3のときは異なる実数解は3個。

(2)g'(x)＞0となることがあるとき
これはg(x)が極値を持つとき⇔g'(x)=0が異なる2つの実数解を持つとき⇔判別式をDとしてD＞0⇔m＜3のときです。
このとき、g'(x)=0の異なる2つの実数解をα、β（α＜β）とすると、g(α)が極大値、g(β)が極小値となります。（当然g(α)＞g(β)です）

このとき、y=g(x)のグラフを書くと分かりますが、

（一）g(α)＞g(β)＞0のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＜αの部分の1箇所のみで、異なる実数解は1個です。

（二）0＞g(α)＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＞βの部分の1箇所のみで、異なる実数会は1個です。

（三）0=g(α)＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx=αと、x＞βの部分に1箇所、計2箇所です。

（四）g(α)＞g(β)=0のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx=βと、x＜αの部分に1箇所、計2箇所です。

（五）g(α)＞0＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＜α、α＜x＜β、β＜xに1箇所ずつ、計3箇所です。

よって、g(x)が極大値g(α)と極小値g(β)を持つときは、
異なる実数解の個数が、
3個⇔(五)の場合⇔g(α)g(β)＜0
2個⇔(三)(四)の場合⇔g(α)g(β)=0
1個⇔(一)(二)の場合⇔g(α)g(β)＞0
となります。

ここで、g(α)g(β)を計算しますが、
α、βは3x^2+6x+m=0の解なので、解と係数の関係より
α+β=-2
αβ=m/3
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=4-(2/3)m
α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)=-8+2m
となります。

これより、計算すると、長いので略しますが、
g(α)g(β)
=(1/27)(4m^3-9m^2-54m+135)
=(1/27)(4m+15)(m-3)^2
となります。

これより、m＜3のみで考えると、
異なる実数解が1個⇔g(α)g(β)＞0⇔-15/4＜m＜3
異なる実数解が2個⇔g(α)g(β)=0⇔m=-15/4
異なる実数解が3個⇔g(α)g(β)＜0⇔m＜-15/4
となります。

(1)のm≧3の場合も合わせると、
異なる実数解が
3個⇔m＜-15/4
2個⇔m=-15/4
1個⇔m＞-15/4
となります。

No.21328 - 2013/05/04(Sat) 13:28:10

☆ Re: 3次方程式(高２) / Ken

とてもわかりやすい説明ありがとうございました

No.21331 - 2013/05/04(Sat) 20:29:55

☆ Re: 3次方程式(高２) / Masa

訂正します。

(1)のとき　の最後の行、
(誤)よってm≧3のときは異なる実数解は3個。
(正)よってm≧3のときは異なる実数解は1個。
です。

No.21332 - 2013/05/04(Sat) 21:27:50

☆ Re: 3次方程式(高２) / IT

m≧3のとき、
　g(x)は連続関数で狭義単調増加でxが十分小さいとg(x)＜0,xが十分大きいとg(x)＞0なので
　g(x)=0の異なる実数解は１個

m＜3のとき（極大値、極小値の正負をそれぞれ調べる。）
　g'(x)=3x^2+6x+m=0 の２つの異なる実数解をα,β（α＜β）とする　

　g(x)=x^3+3x^2+mx+1を3x^2+6x+mで割った余りは(1/3)(m-3)(2x-1)なので

　g(α)=(1/3)(m-3)(2α-1)…極大値
　 g'(-1)=m-3＜0 よりα＜0、よってg(α)＞0　…（A）
　
　g(β)=(1/3)(m-3)(2β-1)…極小値
　　m-3＜0なのでg(β)の正負は2β-1の正負と逆になる
　　y=g'(x)=3x^2+6x+m＝3(x+1)^2+m-3のグラフは下に凸の放物線で頂点は(-1,m-3)でｘ軸より下なので
　　g'(1/2)＜0ならば,1/2＜βよって2β-1＞0、このときg(β)＜0…?@
　　g'(1/2)＝0ならば,β＝1/2よって2β-1＝0、このときg(β)＝0…?A
　　g'(1/2)＞0ならば,β＜1/2よって2β-1＜0、このときg(β)＞0…?B

　　g'(1/2)=m+(15/4)なので
　　?@　m＜-15/4 のとき　g(β)＜0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は３個
　　?A　m＝15/4 のとき　 g(β)＝0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は２個
　　?B　15/4＜m のとき g(β)＞0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は１個
　　（※　m＜3にも注意）

No.21333 - 2013/05/04(Sat) 21:34:16

☆ Re: 3次方程式(高２) / ken

ITさんもありがとうございます。

No.21335 - 2013/05/05(Sun) 09:48:32

★ (No Subject) / sun

空間内で、O（0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),f(1,1,1,),G(0,1,1)を頂点とする１辺の長さの立方体の表面積および内部をKとする。
また０＜t＜３として３点P（t ,0,0),Q(0,t,0)R(0,0,t)を頂点とする三角形の周及び内部をTとする。
KｔTの共通部分をLとして、Lの面積をS（t）とする。
　
０＜t≦１、１＜t≦２、２＜t＜３に分けて、S（t）を求めよ。
　
　解答と解説をお願いします。

No.21320 - 2013/05/03(Fri) 22:32:03

☆ Re: / WIZ

方針だけ説明します。

xy平面(x軸とy軸の両方を含む平面)に着目します。
原点O(0, 0), 点A(1, 0), 点B(1, 1), 点C(0, 1)を頂点とする正方形OABCと、
点P(t, 0), 点Q(0, t)を通る直線y = t-xを考えます。

正方形OABCと直線y = t-xの共通部分となる線分の長さをf(t)とすれば、
S(t)は1辺がf(t)の正三角形の面積となります。

(1)0 < t ≦ 1の場合
y = t-xとy軸の交点(0, t)と、
y = t-xとx軸の交点(t, 0)を端点とする線分の長さがf(t)です。

(2)1 < t ≦ 2の場合
y = t-xと線分CBの交点(t-1, 1)と、
y = t-xと線分ABの交点(1, t-1)を端点とする線分の長さがf(t)です。

(3)2 < t < 3の場合
正方形OABCと直線y = t-xの共通部分はありませんので、f(t) = 0です。

No.21322 - 2013/05/03(Fri) 23:55:10

☆ Re: / sun

すいませんが、解答のほうはだめですか？

No.21323 - 2013/05/04(Sat) 00:18:15

☆ Re: / X

横から失礼します。

まずTを含む平面が
x+y+z=t (A)
であることを押さえておきます。
(i)0＜t≦1のとき
Tは全てKに含まれますので
△PQRが
PQ=QR=RT=t√2
の正三角形であることに注意して
S(t)=(1/2)PQ・QRsin60°=(√3/2)t^2

(ii)2＜t＜3のとき
Tは辺EF,FG,BFと交点を持ち、Lはこれらの交点を結ぶ
三角形の周及び内部になります。
ここでTと辺EF,FG,BFとの交点をP',Q',R'とすると(A)より
P'(1,t-2,1),Q'(t-2,1,1),R'(1,1,t-2)
∴△P'Q'R'は
P'Q'=Q'R'=R'P'=(3-t)√2
の正三角形ですので
S(t)=(1/2)P'Q'・Q'R'sin60°=(√3/2)(3-t)^2

(iii)1＜t≦2のとき
TはKの辺AB,BC,DE,DG,AE,CGと交点を持つことになります。
(ii)と同様に(A)からこれらの交点の座標を求めると
Lの形状は下のような六角形の周及び内部となることが
分かります。
これは
上底：(t-1)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(2-t)√6
の台形と
上底：(2-t)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(t-1)√6
の台形の下底同士を貼り合わせた形になっていますので
S(t)=(1/2){(t-1)√2+√2}・(1/2)(2-t)√6+(1/2){(2-t)√2+√2}・(1/2)(t-1)√6
={t(2-t)+(3-t)(t-1)}・(1/2)√3
=(1/2)(-2t^2+6t-3)√3

注)描画ソフトの仕様上、六角形の内部に余分な線が入っていますが無視して下さい。
この図で
○の辺の長さは(2-t)√2
×の辺の長さは(t-1)√2
赤線の長さは√2
となっています。

No.21324 - 2013/05/04(Sat) 01:01:34

☆ Re: / WIZ

私の書き込みではTと線分EF, 線分FG, 線分BFと交点を考慮していませんでした。
まさに２次元的思考しかできてませんでした!
# このオチを付けたかったからの書き込みでは決してありません!
私の書き込みは無視してください。

No.21325 - 2013/05/04(Sat) 09:34:44

☆ Re: / sun

凄く勉強になりました、ありがとうございます

No.21348 - 2013/05/06(Mon) 21:47:29

★ 整式の問題添削お願いします / ktdg

次の条件を満たす整式f(x)を求めよ。
f(x+1)-f(x)=x^2(恒等式), f(0)=0

条件より、f(1)-f(0)=0 だから f(1)=f(0)=0
よって、f(x)はx(x-1)を因数にもち、xの整式h(x)を用いて、f(x)=x(x-1)h(x)とかける。
また、f(x+1)-f(x)=x^2 の両辺をxで3回微分すると、f"'(x+1)-f"'(x)=0より、f(x)の次数は3である。
したがって、実数の定数a,bを用いてh(x)=ax+bとかけ、条件式より、
f(x+1)-f(x)=x^2
⇔3ax^2+ax+2bx=x^2
⇔3a=1かつa+2b=0
⇔a=1/3, b=-1/6
∴ f(x)=(1/6)(2x^3-3x^2+x)

添削お願いします。

No.21319 - 2013/05/03(Fri) 21:25:21

☆ Re: 整式の問題添削お願いします / IT

> また、f(x+1)-f(x)=x^2 の両辺をxで3回微分すると、f"'(x+1)-f"'(x)=0より、f(x)の次数は3である。
これは、もう少し説明が必要だと思います。
「f(x+1)-f(x)=x^2 なのでf(x)の次数は3である。」とするのと比べて明らか度（？）が上がっていないと思います。

微分せず
f(x+1)-f(x)=x^2 から直接示すのはいかがでしょうか？
f(x)がn次式としf(x)=ax^n+bx^(n-1)...、a≠0とする
f(x+1)-f(x)=aC(n,1)x^(n-1)+....=x^2 なのでn=3である。

No.21321 - 2013/05/03(Fri) 22:44:12

☆ Re: 整式の問題添削お願いします / ktdg

ありがとうございます。

No.21334 - 2013/05/05(Sun) 09:23:11

★ 素数 / 13

(χ,χの二乗+２)が互いに素数であるような組は何通りありますか。

この問題が解けません。解説よろしくおねがいします。

No.21311 - 2013/05/02(Thu) 22:23:00

☆ Re: 素数 / かーと

xが3の倍数のとき
→ x^2も3の倍数
→ x^2+2は3で割ったときの余りが2

xが3の倍数でないとき
→ x^2は3で割ったときの余りが1
→ x^2+2は3の倍数

これを使えば相当絞り込めるのではないですかね。

No.21312 - 2013/05/02(Thu) 22:34:34

☆ Re: 素数 / 13

当てはめで、Xは3、19、47が当てはまったのですが、それ以外にもありそうです。一度やってみます。ありがとうございました。

No.21313 - 2013/05/02(Thu) 23:47:39

☆ Re: 素数 / かーと

19^2+2も47^2+2もどちらも3の倍数ですけども・・・。

xを3以外の素数にするとx^2+2は必ず3の倍数なので、
x^2+2が3そのものでない限りはx^2+2は素数になりません。

No.21314 - 2013/05/03(Fri) 00:01:52

★ (No Subject) / ｊｋ

y=x^2/xのグラフを書けという問題があったとします。どう書きますか？
y=x^2/x=xですからｙ＝ｘのグラフを書いて正解になりますか？それともｘ＝０は除外しますか？

ｙ=x^2/x・・?@からｙ＝ｘ・・?Aに変形する際にしたのは約分ですから同値変形ですよね。ということは?Aのグラフを書いても正解になるのではと思うのですが。

No.21305 - 2013/05/02(Thu) 20:29:15

☆ Re: / X

仰るとおり、x=0で問題の関数は定義できませんので
y=x(x≠0)のグラフとなります。

No.21306 - 2013/05/02(Thu) 20:42:12

☆ Re: / ｊｋ

うーん、ｙ＝ｘ（ｘ＝０も含む）を答えにしていけないのはなぜですか？
y=x^2/xからy=xに変形するまでに同値を崩すようなことはしていないはずですよね

No.21307 - 2013/05/02(Thu) 21:02:11

☆ Re: / X

いえ、x=0のときは0で割ることになってしまいますので
(x^2)/x=x
の式変形ができません。

No.21308 - 2013/05/02(Thu) 21:15:13

☆ Re: / らすかる

y=x^2/x はx=0を含まない
y=x はx=0を含む
のように違いがあるのですから、同値ではないですね。
「y=x^2/x」と同値なのは「y=x かつ x≠0」です。

No.21309 - 2013/05/02(Thu) 21:28:33

☆ Re: / ｊｋ

ありがとうございます。ということは「約分」でも同値が崩れる場合があるということですか？
同値を崩すパターンとして式変形では両辺二乗する時ぐらいしか注意していなかったのですが、約分も同様に注意を払う必要があるということでしょうか

No.21315 - 2013/05/03(Fri) 06:15:24

☆ Re: / ヨッシー

約分で同値が崩れるわけではありません。
ｙ＝x^2/x に潜んでいるｘ≠０という条件を見落としているだけです。

No.21316 - 2013/05/03(Fri) 09:03:10

☆ Re: / ｊｋ

もしかして２１３０８の記事の
y=x^2/xを＝ｘと変形できない事と関係していますか？

x^x/x=x*x/xの分母分子をｘで割れば約分できたことになりますよね？で、ｘが分母にあるからｘ≠０ですから分母分子をｘで割って＝ｘとする事はできるはずなのですが・・

No.21318 - 2013/05/03(Fri) 20:08:30

☆ 等号の意味はいろいろ / 黄桃

数学で使う等号にも実はいろんな意味があります。
x^2/x=x　という式自体、解釈がいろいろあります。
「x^2, x を多項式や分数式としてみていて、x^2をx で割ると割り切れてその商はxである」
という意味であるかもしれないし、
「xを未知数とする方程式としてみていて、x^2/x=x となるxが満たすべき方程式」
という意味かもしれません（分母にxがありますから自動的にx≠0が仮定されます）。
そして、さらに
「f(x)=x^2/x, g(x)=x という関数について、f(x), g(x) は関数として等しい」
という見方もできます。

この問題では「グラフ」といっているので関数の話であり、最後の「２つの関数が等しい」という意味で等号が使われていると考えます。関数を考える際は定義域も考える必要があります。定義域の指定がない時は考えうる最も広い範囲を定義域としますので、f(x)の定義域はx=0を除く実数全体、g(x)の定義域は実数全体となります。定義域が異なる２つの関数は関数としては等しくないので等号で結ぶことはできない、となります。もし、関数としての定義域がx>0と指定してあれば両者は関数としても等しいといえます。だから、皆さんの説明のように、x≠0という定義域のもとでは両者は関数として等しくなります。

約分云々が同値、というのは、1番目の「整式（多項式）や分数式として等しい」という見方をしている場合のことです。

＃通常はこれらの見方を混同しても特に問題はないのですが、実は微妙に違うのです。

No.21326 - 2013/05/04(Sat) 09:40:49

☆ Re: / jk

結論ですが、つまり
グラフでは
ｙ＝x^2/x
=x(x≠０）

ってことですよね？

No.21343 - 2013/05/05(Sun) 16:48:00

☆ Re: / jk

違うんですか？

No.21368 - 2013/05/09(Thu) 21:07:38

☆ Re: / ヨッシー

いえ。
合ってますよ。

No.21369 - 2013/05/09(Thu) 21:34:17

★ ★★★周期関数 / たけ

はじめまして、失礼します。
下記の問題なのですが、どなたかご教示していただけないでしょうか
f(x)をf(x)=sinxsin(px) p≠0とし
pを実数とするとき、f(x)が周期関数となるpの必要十分条件を求めよ。

周期関数の条件からf(x)=f(x+k)なる定数kが存在する条件を求めればよいというのがわかり
f(x)=sinxsin(px)
f(x+k)
=sin(x+k)sin(px+pk)
=(sinxcosk+cosxsink)(sin(px)cos(pk)+cos(px)sin(pk))

とここまで来たのですが、後の処理に困っています。
例えばpがどんなkに対してもf(x)が周期関数になるならば、適当にk=0,1,2などを入れて必要条件なるpを求めてから絞っていくという方法ぐらいしかないのでしょうか。

他にやり方などがあるよって方がいらしたら、よろしくお願いします。

No.21303 - 2013/05/02(Thu) 18:41:54

☆ Re: ★★★周期関数 / ペンギン

f(x)=f(x+k)にx=0を代入すると、

sink・sin(pk)=0であることが分かります。
このことからnを自然数とすると、kを以下の2つの可能性に
絞ることができます。
1)k=πn
2)k=πn/p

1)の場合は、f(x)=f(x+k)より、
sin(px)=(-1)^n sin(px+pπn)

pxは任意なので、mを整数としてpπn=πmとなる必要があります。
このときp=m/nとなるのでpは有理数です。

2)の場合
f(x)=f(x+k)より
sinx=(-1)^n・sin(x+πn/p)
1)と同様にして、pは有理数になることが分かります。

逆にpが有理数ならば、p=n/mと書くことができます。
このときk=2mπと選べばf(x)=f(x+k)となることが分かります。
よって、pが有理数になることが必要十分です。

No.21304 - 2013/05/02(Thu) 19:05:55

☆ Re: ★★★周期関数 / WIZ

> ペンギンさん
> pxは任意なので、mを整数としてpπn=πmとなる必要があります。

mを任意の整数として、sin(x) = 0となるのはx = mπですが、
sin(x)の周期はmを0でない整数としてmπではなく、2mπです。
なので、推論内に周期を2mπとすべきところ、mπとする混乱が見られます。

1)はpnπ = 2mπ から、p = 2m/nです。
2)も(n/p)π = 2mπ から、p = n/(2m)です。
いずれもnは任意の0でない偶数値を取れますから、
やはり、pが任意の0でない有理数値を取るという結論は変わりません。

No.21310 - 2013/05/02(Thu) 21:57:48

★ (No Subject) / トラ

変数θが0≦θ＜πの範囲を動くとき、不等式
　　｜a(cosθ)^2+bsinθ+1｜≦２
が常に成り立つために、定数a,bの満たすべき必要十分条件を求め、それをab平面に図示せよ。

答えと解き方、できれば図面教えてください。

No.21297 - 2013/04/30(Tue) 23:36:40

☆ Re: / X

以下のURLで
2013/4/29(月) 21:18
に同じ質問をされませんでしたか？
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=4
こちらには回答も付いていますよ。

No.21300 - 2013/05/01(Wed) 10:22:34

☆ Re: / ヨッシー

x=sinθ とおき、
　-2≦-ax^2＋bx＋a＋1≦2
が、0≦x≦1 の範囲で常に成り立つことを考えます。

f(x)＝-ax^2＋bx＋a＋1＝-a(x-b/2a)^2＋b^2/4a＋a＋1 と置きます。

ａ＝０のとき
　-2≦bx+1≦2

図より、-3≦b≦1　・・・(1)

ａ＞０のとき（上に凸）
　b/2a＜０　のとき　f(0)＝a+1≦2　かつ　f(1)＝b+1≧-2　　・・・(2)
　0≦b/2a＜1/2　のとき　b^2/4a＋a＋1≦2　かつ　f(1)＝b+1≧-2 ・・・(3)
　1/2≦b/2a＜1　のとき　b^2/4a＋a＋1≦2　かつ　f(0)＝a+1≧-2　　・・・(4)
　1≦b/2a　　のとき　f(0)＝a+1≧-2　かつ　f(1)＝b+1≦2　　・・・(5)

ａ＜０のとき（下に凸）
　b/2a＜０　のとき　f(0)＝a+1≧-2　かつ　f(1)＝b+1≦2　　・・・(6)
　0≦b/2a＜1/2　のとき　b^2/4a＋a＋1≧-2　かつ　f(1)＝b+1≦2 ・・・(7)
　1/2≦b/2a＜1　のとき　b^2/4a＋a＋1≧-2　かつ　f(0)＝a+1≦2　　・・・(8)
　1≦b/2a　　のとき　f(0)＝a+1≦2　かつ　f(1)＝b+1≧-2　　・・・(9)

以上をまとめると、
　(1)　ａ＝０　かつ　-3≦b≦1
　(2)　０＜ａ≦１　かつ　-3≦ｂ＜０
　(3)　0≦ｂ＜ａ　かつ　4(a-1/2)^2＋b^2≦1
　(4)　０＜ａ≦ｂ＜2a　かつ　4(a-1/2)^2＋b^2≦1
　(5)　０＜2a≦b≦1
　(6)　-3≦ａ＜０　かつ　０＜b≦１
　(7)　a＜b≦0　かつ　(2a+3)^2+b^2≦9
　(8)　2a＜b≦a＜０　かつ　(2a+3)^2+b^2≦9
　(9)　-3≦b≦2a＜０

これを図示すると、以下の通りになります。

No.21301 - 2013/05/01(Wed) 17:19:47

☆ Re: / トラ

丁寧な説明ありがとうございます。

No.21302 - 2013/05/01(Wed) 20:09:38

★ (No Subject) / トラ

1辺の長さaが正三角形ＡＢＣを、その平面上で外接円の中心Ｏのまわりに正の方向にθ（0<θ<2π/3）だけ回転させたものをＡ´Ｂ´Ｃ´とする。
辺ＡＢと辺Ａ´Ｂ´と交点をＰ、辺ＡＢと辺Ａ´Ｃ´との交点をＱとするとき、
（１）　ＰＱの長さを求めよ

（２）　正三角形ＡＢＣと正三角形Ａ´Ｂ´Ｃ´の共有部分の面積Ｓをθで表し、その最小値を求めよ

よろしくお願いします

No.21286 - 2013/04/29(Mon) 21:39:18

☆ Re: / X

(1)
条件から
∠AOQ=(1/2)∠AOA'=θ/2 (A)
∠OAQ=(1/2)∠BAC=π/6
∴∠PQO=∠AOQ+∠OAQ=θ/2+π/6 (B)
一方
∠BOP=(1/2)∠A'OB=π/3-θ/2 (C)
∠OBP=π/6
∴△OPBにおいて
∠OPB=π-(π/3-θ/2)-π/6=π/2-θ/2
よって正弦定理により
(a/√3)/sin(π/2-θ/2)=OP/sin(π/6) 注)OBは△ABCの外接円の半径ゆえ、正弦定理によりa/√3
∴OP=a/{2√3cos(θ/2)} (D)
(A)(C)より
∠POQ=∠AOB-∠BOP-∠AOQ=π/3 (E)
(B)(D)(E)より△OPQにおいて正弦定理により
PQ/sin(π/3)={a/{2√3cos(θ/2)}}/sin(θ/2+π/6)
∴PQ=a/{4sin(θ/2+π/6)cos(θ/2)}
=a/{2sin(θ+π/6)+2sin(π/6)} (∵)積和の公式
=a/{2sin(θ+π/6)+1}

(2)
前半)
回転による対称性から問題の共通部分は
△OPQと合同な三角形を６個組み合わせてできる六角形
となっています。
(この六角形は６辺の長さは等しくなっていますが
正六角形とはなっていないことに注意)
よって
S=6・(1/2)OP・OQsin(π/3)
={(3/2)√3}OP・OQ (F)
ここで△OAQにおいて
∠AQO=π-∠OAQ-∠AOQ=5π/6-θ/2
∴正弦定理により
(a/√3)/sin(5π/6-θ/2)=OQ/sin(π/6)
∴OQ=a/{2√3sin(5π/6-θ/2)} (G)
(D)(F)(G)により
S={(1/8)√3}(a^2)/{sin(5π/6-θ/2)cos(θ/2)}
={(1/4)√3}(a^2)/{sin(5π/6)+sin(5π/6-θ)} (∵)積和の公式
={(1/2)√3}(a^2)/{1+2sin(5π/6-θ)} (H)
後半)
0＜θ＜2π/3
より
π/6＜5π/6-θ＜5π/6
∴(H)において
1+2sin(5π/6-θ)
は5π/6-θ=π/2のとき最大値3を取りますので
Sの最小値は
{(1/6)√3}a^2
(このときθ=π/3)

No.21289 - 2013/04/30(Tue) 00:12:45

☆ Re: / トラ

丁寧なせつめいありがとうございます

No.21298 - 2013/05/01(Wed) 00:23:04

★ 整数問題 / ktdg

nは2以上の自然数とする。
(1)
n個の自然数 x(1), x(2), …, x(n)のどれもnで割り切れないとき、
x(j)-x(i) (1≦i<j≦n)
がnの倍数となる2つの自然数 i, jが存在することを示せ。
(2)
n個の自然数 a(1), a(2),…, a(n) からなる集合をSとする。Sの空でない部分集合で、その要素の和がnで割り切れるものが存在することを示せ。

(1)
nで割り切れない自然数は、自然数k,mを用いて
kn+m (0≦k, 1≦m≦n-1)と表せる。
x(1)=k(1)n+m(1), x(2)=k(2)n+m(2),…, x(n)=k(n)n+m(n)
とすると、
x(j)-x(i)=k(j)n+m(j)-k(i)n-m(i)=n{k(j)-k(i)}+m(j)-m(i)
ここで、1≦m≦n-1より、1≦i<j≦nを満たすi, jについて、m(j)=m(i)となる自然数i, jは少なくとも1組存在する。
よって、x(j)-x(i)=n{k(j)-k(i)}となる自然数i, jは少なくとも1組存在し、k(j)-k(i)は整数だから、そのi, jについてx(j)-x(i)はnの倍数である。
(証明終)

(2)
Sの空でない部分集合をPとする。
(?@)
n個の自然数 a(1), a(2),…, a(n)の中に、少なくとも1つnの倍数が含まれているとき、明らかに、その要素の和がnで割り切れるPが存在する。
(?A)
n個の自然数 a(1), a(2),…, a(n) がすべてnの倍数でないとき、(1)と同様にして、
a(1)=k(1)n+m(1), a(2)=k(2)n+m(2),…, a(n)=k(n)n+m(n)
とおく。

(2)について、このあと、
1≦m≦n-1を満たすmについてn個のmがあるとき、そのn個のうちで和がnの倍数となるmの組み合わせが存在する
ことを示せばよいと思うのですが、やり方が思い浮かびません。
(1)を利用するんでしょうか？
できれば(1)の添削もお願いします。

No.21282 - 2013/04/29(Mon) 03:09:24

☆ Re: 整数問題 / IT

(2)は、
k=1,2,3,...,nについてx(k)=Σ[i=1..k]a(i)と考えれば、(1)が使えるのでは？

No.21283 - 2013/04/29(Mon) 04:55:56

☆ Re: 整数問題 / ktdg

ありがとうございます。

No.21290 - 2013/04/30(Tue) 09:16:17

★ (No Subject) / sun

１辺の長さ２の正方形ＡＢＣＤを底面とする正４角錐ＯＡＢＣがある。
側面の２等辺三角形においてはＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝a
(a>√２）　
辺ＯＢ上に点Ｐをとり、ＯＰ＝x　∠APC＝θとおく
　
(１)　cosθをaとxを用いて表せ

（２）点Pが辺OB上を動くとき、cosθの最大値、最小値を求めよ

答えと解きかを教えてください。

No.21280 - 2013/04/28(Sun) 22:38:40

☆ Re: / X

(1)
△OAPにおいて余弦定理により
AP^2=a^2+x^2-2axcos∠AOB (A)
又△OABにおいて余弦定理により
2^2=a^2+a^2-(2a^2)cos∠AOB (B)
(B)より
cos∠AOB=1-2/a^2
(A)に代入して
AP^2=a^2+x^2-2ax+4x/a (C)
又、条件より△OAP≡△OCPゆえ
CP=AP (D)
(C)(D)より△APCにおいて余弦定理により
cosθ=(AP^2+CP^2-AC^2)/(2AP・CP)
=2-(AC^2)/(2AP^2)
=2-8/{2(a^2+x^2-2ax+4x/a)} (∵)△ABCに三平方の定理を使う
=2-4/(a^2+x^2-2ax+4x/a)

(2)
f(x)=a^2+x^2-2ax+4x/a
とおいて
0≦x≦a (E)
におけるf(x)の最大値、最小値を求めることを考えましょう。
((E)におけるy=f(x)のグラフを描きます。)

No.21281 - 2013/04/29(Mon) 01:07:38

☆ Re: / sun

ありがとございます

No.21284 - 2013/04/29(Mon) 05:48:21

★ ヘッシアン / 高専

f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2の極値を求めよ
fx=0 かつ fy=0 より
極値をとる点の候補を得る。（√２,-√２）,(-√２,√２),(0,0)

ここでヘッシアンを用いる
H(x,y)=fxx*fyy-(fxy)^2
点(0,0)について H(0,0)=0
ここからどうすればいいでしょうか。

あとの２点は計算した所極値をもちました。
よろしくお願いします

No.21273 - 2013/04/28(Sun) 17:16:44

☆ Re: ヘッシアン / IT

多変数関数に詳しくないので参考までに

y=xのとき
　f(x,y)=x^4+x^4-2x^2+4xx-2x^2=2x^4 なので
　点(0,0)の近傍では点(0,0)が頂点で下に凸（点(0,0)で極小）

y=-xのとき
　f(x,y)=x^4+x^4-2x^2-4xx-2x^2=2x^4-8x^2　なので
　点(0,0)の近傍では点(0,0)が頂点で上に凸（点(0,0)で極大）

したがって、点(0,0)は鞍点になり、点(0,0)では極値を持たない。

No.21275 - 2013/04/28(Sun) 18:51:45

☆ Re: ヘッシアン / 高専

なぜ
y=xのとき
y=-xのとき
で考えたのですか？

No.21276 - 2013/04/28(Sun) 18:58:44

☆ Re: ヘッシアン / IT

「カンです」と言いたい所ですが、グラフソフトgrapesと計算サイトで調べて目星を付けました。
http://www.wolframalpha.com/

No.21277 - 2013/04/28(Sun) 19:02:05

☆ Re: ヘッシアン / 高専

それらのものを使えなかったらどうやって決定すればいいのでしょうか？

No.21278 - 2013/04/28(Sun) 19:13:32

☆ Re: ヘッシアン / IT

x=0,y=0,x=y,x=-yなど計算しやすいところを
いろいろ試してみるしかないかも知れませんね。

下記の１８～２０ページなども参考になると思います。
http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2009/kami09-06a.pdf

No.21279 - 2013/04/28(Sun) 19:16:26

☆ Re: ヘッシアン / 高専

詳しくありがとうございます

No.21285 - 2013/04/29(Mon) 19:11:53