x>=π/2を満たす全てのxとあるa,bに対して,
|∫_{π/2}^{x}|cosx|dx-(ax+b)|<= M
を満たす最小のMを求めよ.
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No.81170 - 2022/03/07(Mon) 19:49:51
| ☆ Re: 最良すべり台の問題 / らすかる | | | ∫[π/2〜x]|cosx|dx=[(2x+π)/(2π)]+(-1)^[(2x+π)/(2π)]sinx
（∫に続く[ ]以外の[ ]はガウス記号）
このグラフは
π/2≦x≦3π/2のときy=1-sinx
3π/2≦x≦5π/2のときy=3+sinx=3-sin(x-π)
5π/2≦x≦7π/2のときy=5-sinx=5-sin(x-2π)
・・・
つまり
π/2≦x≦3π/2のときの(π/2,0)〜(3π/2,2)の曲線、
3π/2≦x≦5π/2のときの(3π/2,2)〜(5π/2,4)の曲線、
5π/2≦x≦7π/2のときの(5π/2,4)〜(7π/2,6)の曲線、…は
すべて合同なので
a=2/πとしてπ/2≦x≦3π/2の範囲でMが最小になるようにbを定めればよい。
f(x)=(1-sinx)-{(2/π)x+b}とすると
f'(x)=-cosx-2/πなので
f'(x)=0の解はcosx=-2/πを満たすxすなわち
x=arccos(-2/π),2π-arccos(-2/π) （∵π/2≦x≦3π/2）
これより
f(x)の最小値は
f(arccos(-2/π))=-b+1-{√(π^2-4)/π+(2/π)arccos(-2/π)}
最大値は
f(2π-arccos(-2/π))=-b-3+{√(π^2-4)/π+(2/π)arccos(-2/π)}
|f(x)|が最小になるためには
f(arccos(-2/π))+f(2π-arccos(-2/π))=0となればよいので
(-b+1)+(-b-3)=0からb=-1
このとき
f(arccos(-2/π))=2-{√(π^2-4)/π+(2/π)arccos(-2/π)}
f(2π-arccos(-2/π))=-2+{√(π^2-4)/π+(2/π)arccos(-2/π)}
となり
|f(arccos(-2/π))|=|f(2π-arccos(-2/π))|=
√(π^2-4)/π+(2/π)arccos(-2/π)-2
従って求めるMは
a=2/π,b=-1のときの
M=√(π^2-4)/π+(2/π)arccos(-2/π)-2=0.21051366…
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No.81176 - 2022/03/07(Mon) 23:09:02 |
| ☆ Re: 最良すべり台の問題 / 積分研究会 | | | 自然数nに対して,
∫[{π/2+nπ}〜{π/2+(n+1)π}]|cosx|dx = 2が成り立っている.
しかるに,点(π/2,0)を通り傾きが2/(3π/2-π/2)である
直線y = 2/π(x-π/2)+0=(2/π)x-1は,
∫[π/2〜x]|cosx|dx(以後F(x)とおく)と
x = π/2+nπで交わる.
またdy/dx = 2/πは|cosx|と
無限個に交わり,π/2<x<3π/2の間にある交点のx座標を,
小さい方からA,Bと置けば,
全ての解は,A+2nπ,B+2nπ(nは自然数)とおけ,
F(A+2nπ)-y(A+2nπ)は最小かつ負数,F(B+2nπ)-y(B+2nπ)は最大かつ正数を取る.
これらから,|F(x)-{(2/π)x-1}|がMを最小にすることは明らか.
|∫[π/2〜A+2nπ]|cosx|dx-y| = sin(A)+(2/π)A-2...(1),
|∫[π/2〜B+2nπ]|cosx|dx-y| = -sin(B)-(2/π)B+2...(2).
ここでsinB = -sinA,B = 2(π-A)+A = 2π-Aを用いると,
(2) = sinA-(2/π)(2π-A)+2 = sinA+(2/π)A-2.
よって,最小値M = √3/2+(2/π)arccos(-1/2)-2
= (2/π)arccos(-1/2) + (√3-4)/2.
ただし,arccosは主値を取るものとする.
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No.81177 - 2022/03/08(Tue) 05:03:26 |
| ☆ Re: 最良すべり台の問題 / 積分研究会 | | | 追記
最小値M = √3/2+(2/π)arccos(-1/2)-2
= (2/π)arccos(-1/2) + (√3-4)/2
= √3/2 - 2/3 ≒ 0.19935873...
ああ
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No.81178 - 2022/03/08(Tue) 05:18:28 |
| ☆ Re: 最良すべり台の問題 / 積分研究会 | | | > 追記
> 最小値M = √3/2+(2/π)arccos(-1/2)-2
> = (2/π)arccos(-1/2) + (√3-4)/2
> = √3/2 - 2/3 ≒ 0.19935873...
>
>
>
> ああ
すみません、計算間違いです.
A=arccos(-1/2)ではなくarccos(-2/π)です.
sin^2A+cos^2A = 1かつsinA>0から,
sinA = 1 - 4/π^2 = √(π^2-4)/πから,
最小値M = √(π^2-4)/π + (2/π)arccos(-2/π) - 2
sorry
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No.81179 - 2022/03/08(Tue) 05:33:32 |
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