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★ 証明できない / 不等式　微分
x≧1のとき,不等式(x+1)logx≧2(x-1)が成り立つことを証明せよ.

この問題で、解き方としてはf(x)=(x+1)logx-2(x-1)とおいて、f'(x),f''(x)の符号調べて、単調増加ということを示すと思うんですけど、どうしてもf'(x)=logx+(1/x)-1が単調増加すること示せません。どうかこの証明の計算過程や解答を教えてください。
No.82428 - 2022/06/16(Thu) 10:28:22
☆ Re: 証明できない / X
f'(x)=logx+1/x-1
から
f"(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
∴1≦xにおいてf"(x)≧0ゆえ
1≦xにおいてf'(x)は単調増加です。
No.82435 - 2022/06/16(Thu) 18:15:36
★ 代入による式の導出過程について / 式の導出
物理の本を勉強しており、式の導出過程が分からずこちらに投稿させていただきました。具体的な式を以下に示します。

A (x, y, z) ＝ X [√2x / W (z)] Y [√2y / w (z)] exp [jZ (z)] A_G (x, y, z) (1)

u ＝ √2x / W (z), ν ＝ √2y / W (z)、
∇^2_TA - j2k dA / dZ ＝ 0 (2)

(2) 式に (1) 式を代入すると、
(∇^2_T ＝ d^2 / dx^2 ＋ d^2 / dy^2)

1 / X (d^2X / du^2 - 2u dX / du)＋ 1 / Y (d^2Y / dν^2 - 2ν dY/dν) ＋ kW^2 (z) dZ / dz＝0 (3)

(2) 式に (1) 式を代入すると (3) 式になると本に書いてあり、主に2階微分して代入するのだと思うのですが、(1) 式から (3) 式が導けず困っています。分かる方がいらっしゃいましたら、(1) 式から(3) 式の導出過程を教えていただきたいです。
No.82427 - 2022/06/16(Thu) 07:44:41
★ 三角関数 / Nao
添付の2問がわかりません。
右側の青数字は正答でして、1問目は「15」のみ誤答です。
2問目は解き方がわかりません。
解答解説がないため、途中式含め解説いただけると助かります。
No.82425 - 2022/06/16(Thu) 00:15:14
☆ Re: 三角関数 / X
以下、ベクトルは縦ベクトルとします。

(3)の後半)
点Bが原点に平行移動するとき、
点Aが点Bと位置関係を変えずに
点A'に平行移動したとすると
A'(4,-2)
ここで原点の周りに30°回転移動
させる行列をCとすると
C=M{((√3)/2,-1/2),(1/2,(√3)/2)}
∴点A'を原点の周りに30°回転移動
させて点A"に移動したとすると
↑OA"=C・↑OA'
=(1+2√3,2-√3)
∴B"(1+2√3,2-√3)
よって原点を点Bに平行するとき
点A"をその平行移動させる原点と
位置関係を変えずに平行移動
させることを考えて、
求める点の座標は
(2√3,6-√3)
No.82426 - 2022/06/16(Thu) 06:22:54
☆ Re: 三角関数 / X
(4)
↑a=(2,s,1)
↑b=(-1,2,t)
↑c=(4,3,1)
と置くと、問題のベクトル方程式は
↑OP=(cosθ)↑a+(sinθ)↑b+↑c
これより
↑OP-↑c=(cosθ)↑a+(sinθ)↑b
|↑OP-↑c|^2=|(cosθ)↑a+(sinθ)↑b|^2
右辺を展開し、2倍角の公式、半角の公式を
使って整理をすると
|↑OP-↑c|^2=(↑a・↑b)sin2θ+{(|↑a|^2-|↑b|^2)/2}cos2θ+(|↑a|^2+|↑b|^2)/2 (A)
ここで条件から(A)の右辺はθの値に依らず
一定値にならなければならないので
sin2θ、cos2θの係数について
↑a・↑b=0 (B)
(|↑a|^2-|↑b|^2)/2=0 (C)
(B)(C)をs,tの式で表すことにより
-2+2s+t=0 (B)'
s^2+5=t^2+5 (C)'
s＞1に注意して、(B)'(C)'を連立して解き
(s,t)=(2,-2)
このとき
↑a=(2,2,1)
↑b=(-1,2,-2)
となるので(A)から
|↑OP-↑c|=3
∴円の中心の座標は(4,3,1)、半径は3
No.82433 - 2022/06/16(Thu) 18:09:07
☆ Re: 三角関数 / Nao
Xさま

ご丁寧な解説ありがとうございます！
理解できました。
No.82443 - 2022/06/17(Fri) 07:03:30
★ 乱数表も用いるって。。? / KYさん
宜しくお願いいたします。

"乱数表を用いてのクラスの生徒の中から5人を選び出せ"
という問題はどのようにして解けばいいのでしょうか?
No.82422 - 2022/06/15(Wed) 19:52:25
☆ Re: 乱数表も用いるって。。? / ast
左ページの下５行から練習1の直前までに書かれてる通りにすればいいだけだと思いますが.
No.82424 - 2022/06/16(Thu) 00:06:51
★ √x_nの収束についてのε論法での証明 / しゃおらん
写真の問いを解いたのですが、どちらもεを定数n_1,n_2に依存してとれるか分かりません。教えてください。

また、他に論法のミスがあれば指摘していただきたいです。
No.82420 - 2022/06/15(Wed) 16:24:46
☆ Re: √x_nの収束についてのε論法での証明 / IT
(1) 任意の正数とはいえ、いったんεを決めて議論を進めている途中で、
εの値を取り直すのは、まずいと思います。

n[1]=n[2] としてみると、あなたのその論法がナンセンスであることが明白だと思いますが。


cを使ってεの値を取れば良いのでは？
図（グラフｙ＝ｃ）を描いて考えるとイメージし易いと思います。


xは２つに分かれるとxに見えません。> <
No.82421 - 2022/06/15(Wed) 19:00:33
★ 文脈がー / 空間△
一辺の長さが2の正四面体OABCと点Oを通り3辺AB,BC,CAと接する球面Sがある
(1)Sの半径を求めよ
(2) 正四面体の4つの面のうち球面Sの内部にある部分の面積を求めよ

題意を満たす図の概形がどんな感じか上手く想像できたないのですが、どなたか描図してくれませんか
あと、できれば(1)や(2)の指針やヒントも教えてください
No.82418 - 2022/06/15(Wed) 14:19:51
☆ Re: 文脈がー / X
ヒントを。

(1)
辺BCの中点をD、点Oから線分ADに下した垂線の足をH
として、線分OH上に
OR=DR
となるような点Rを取ります。
このように点を取ったときの
ORの長さが求めるSの半径です。
(条件からOD=ADとなることに注意して
△OADを外周とした図を描いてみましょう。)

(2)
条件から、△ABC上のSの内部となる図形は
△ABCの内接円 (A)

一方、△OBC上のSの内部となる図形は
(1)の点Dを使うと
線分ODを直径とする円と△OBCの共通部分
(Tとします)
となることが分かります。

ここでTの境界となっている、
点Dで辺BCと接する円弧
の両端となる辺OB,OC上の点を
E,Fとすると
△OEFはODを直径とする円に
内接する正三角形 (B)
又、
∠BOC(=π/3)は
円弧EDFに対する円周角 (C)
更に対称性により
△BOC、△COA、△AOB上の
Sの内部となる図形は合同 (D)

以上(A)(B)(C)(D)により
(求める面積)=(△ABCの内接円の面積)
+(線分ODを直径とする円の面積)
+(線分ODを直径とする円に内接する正三角形の面積)×2
(注：Tを△OEFと弓型EDFに分割して考える)
=…
No.82423 - 2022/06/15(Wed) 23:26:43
★ 数?U / 三角関数
(1)は写真のように解いたのですがあっていますでしょうか？また、(2)の解き方や解答について
できるだけ詳しく教えて頂けると嬉しいです
よろしくお願いします
No.82417 - 2022/06/15(Wed) 13:52:36
☆ Re: 数?U / ヨッシー
(1)
下から４行あたりの２乗の計算が違います。
そこが直れば、正解が出るでしょう。
No.82419 - 2022/06/15(Wed) 14:48:37
★ 行列式 / 糸
（2）の式展開で赤矢印部どのような計算が成されたのかわかりません。a-1と1の観点で展開しているわけではないですよね。お忙しいところですが、どうかよろしくお願いいたします。
No.82412 - 2022/06/15(Wed) 01:02:38
☆ Re: 行列式 / 糸
解答部分です
No.82413 - 2022/06/15(Wed) 01:04:22
☆ Re: 行列式 / X
第2行から第n行までのn-1行から
a-1
を括り出して、行列式の外に出しています。
No.82415 - 2022/06/15(Wed) 06:33:32
☆ Re: 行列式 / 糸
ありがとうございます。
No.82416 - 2022/06/15(Wed) 09:56:09
★ 条件付き最適化問題 / 大学生
x+y+z=1 の制約の下で xy^2z+xyz^2 の最大値・最小値をそれぞれ求めるという問題です。
ラグランジュの未定乗数法の式に当てはめ、λとxを消去するところまではいったのですが、yとzの値を求めようとするととても複雑な式になってしまいうまくいきません。もし宜しければ求め方の手順を教えていただけないでしょうか？
No.82410 - 2022/06/14(Tue) 01:48:19
☆ Re: 条件付き最適化問題 / X
∂L/∂zの計算が間違っています。
∂L/∂z=xy^2+2xyz+λ
ですね。
これを踏まえた上で、もう一度計算してみて下さい。
No.82411 - 2022/06/14(Tue) 17:08:44
☆ Re: 条件付き最適化問題 / 大学生
とんでもない凡ミスでしたね・・・
すみませんどうもありがとうございました
No.82442 - 2022/06/17(Fri) 00:50:11
★ 二次方程式　因数分解 / 中学数学
因数分解をして解く際に、公式に当てはめますが、58が-2×-29＝58で-2＋-29＝-31になる、共通の-2と-29が簡単にすぐに見つかる方法はありますでしょうか？？
宜しくお願いします。
No.82407 - 2022/06/13(Mon) 15:17:05
☆ Re: 二次方程式　因数分解 / らすかる
機械的に計算する方法ならあります。
31^2=961
58×4=232
961-232=729
√729=27
(31-27)÷2=2
(31+27)÷2=29
（ただしこの計算でよいのは二次の係数が1の場合）
No.82408 - 2022/06/13(Mon) 15:34:44
☆ Re: 二次方程式　因数分解 / 中学数学
ご回答ありがとうございます。
No.82414 - 2022/06/15(Wed) 02:37:55
★ 三角関数 / Nao
三角関数の問題で、3問わからない問題があります。
解答解説がついておらず、正答がわかりません。
途中式などの解説と正答を教えていただけないでしょうか。
No.82403 - 2022/06/13(Mon) 00:35:54
☆ Re: 三角関数 / Nao
残り2問はこちらです。
No.82404 - 2022/06/13(Mon) 00:36:25
☆ Re: 三角関数 / X
(2)
三角関数の合成を使うと問題の不等式は
2sin(θ+π/3)＞0 (A)
ここで
0≦θ＜2π
より
π/3≦θ+π/3＜2π+π/3
(A)から
π/3≦θ+π/3＜π
2π＜θ+π/3＜2π+π/3
となるので
0≦θ＜2π/3
5π/3＜θ＜2π
No.82405 - 2022/06/13(Mon) 00:43:57
☆ Re: 三角関数 / X
(4)
問題の方程式の両辺にsin(π/5)cos(π/5)
をかけて、左辺に加法定理、右辺に
2倍角の公式を適用すると
sin(θ+π/5)=sin(2π/5) (A)
ここで
0≦θ＜2π
より
π/5≦θ+π/5＜2π+π/5
∴(A)から
θ+π/5=2π/5,3π/5
となるので
θ=π/5,2π/5

(5)
(4)と同様の変形により
cos(θ-π/5)＞sin(2π/5)
∴cos(θ-π/5)＞cos(π/2-2π/5)
cos(θ-π/5)＞cos(π/10) (B)
ここで
0≦θ＜2π
より
-π/5≦θ-π/5＜2π-π/5
∴(B)から
-π/10＜θ-π/5＜π/10
となるので
π/10＜θ＜3π/10
No.82406 - 2022/06/13(Mon) 00:52:19
☆ Re: 三角関数 / Nao
Xさま

ご丁寧にありがとうございます！
お陰様で理解できました。
No.82409 - 2022/06/13(Mon) 21:28:16
★ 積分漸化式 /
3・3の漸化式がなぜ作れるのか分からないです💦
教えてください
No.82397 - 2022/06/12(Sun) 18:05:05
☆ Re: 積分漸化式 / X
単に証明するのであれば、I[n]の定義により
I[n]+I[n+2]=∫[0→π/4]{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}dx
=∫[0→π/4]{(tanx)^(n-2)}{1/(cosx)^2}dx
=[{1/(n-1)}(tanx)^(n-1)][0→π/4]
=1/(n-1)
となります。
No.82398 - 2022/06/12(Sun) 18:23:41
☆ Re: 積分漸化式 / 　　
I[n]+I[n+2]=∫[0→π/4]{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}dx
↓
{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}ここの部分を計算すると(tanx)^n-1となってしまい(tanx)^n+1が出ないと思われますが...
No.82399 - 2022/06/12(Sun) 19:31:08
☆ Re: 積分漸化式 / ast
自明なtypo から (つまりXさんが実際に計算しているのは I[n-2]+I[n] なので) 話が変な展開になってますが, 理屈自体は (添字のずれを勘案すれば結論も) 合っているので自分で改めて検算していればそんなところで引っかかって進めなくなる事態は起きずに済むのでは?

実際, I[n]+I[n+2] の被積分函数は tan(x)^n+tan(x)^(n+2) = tan(x)^n(1+tan(x)^2) で　d(tan(x))=dx/cos(x)^2=(1+tan(x)^2)dx ですから

　I[n]+I[n+2] = ∫_[0,π/4] tan(x)^n * d(tan(x)) = [tan(x)^(n+1)/(n+1)]_[0,π/4] = 1/(n+1)

です.
No.82400 - 2022/06/12(Sun) 21:52:36
☆ Re: 積分漸化式 /
やっと理解出来ました
Xさんastさんありがとうございました✨
No.82402 - 2022/06/12(Sun) 22:14:55
★ 線形代数の問題　解いてみてください！ / N
よろしくお願いします！
No.82395 - 2022/06/12(Sun) 13:09:41
☆ Re: 線形代数の問題　解いてみてください！ / X
1.
(a)
条件から
↑v[1]=(2,3,5)
↑v[2]=(1,-2,-1)
(b)
(a)の結果から
↑v[1]×↑v[2]=(7,7,-7)
∴↑n=(↑v[1]×↑v[2])/|↑v[1]×↑v[2]|
=(1/√3,1/√3,-1/√3)

2.
(a)
条件から求める距離はSの
中心のy座標の絶対値に等しく
5
(b)
(a)の結果より
Sの半径は5
Sの方程式は
(x-2)^2+(y-5)^2+(z+7)^2=25
(c)
前半)
点と平面との間の距離の公式により
求める距離は
|2+2・5+2・(-7)|/√(1^2+2^2+2^2)=2/3
後半)
(b)と前半の結果により
Sとπの交わりは円
No.82396 - 2022/06/12(Sun) 14:09:34
★ 不等式について / しょう
この問題の解答なのですが5の方に＝がついてるのはなぜなのでしょうか？
No.82392 - 2022/06/12(Sun) 09:37:23
☆ Re: 不等式について / X
〇1(〇の中に１)の解の不等号の下に
等号がついていないからです。
No.82393 - 2022/06/12(Sun) 09:57:14
☆ Re: 不等式について / ヨッシー
(2/3)ａ＋２＝５　つまり　ａ＝9/2 のときでも、
不等式はｘ＝５を解に持たないことを、理解しようとしないと、
結局、前出の質問と同じやりとりになるだけです。

逆に＝が付いていると、ｘ＝５　が含まれてしまうと考える根拠は何でしょうか？
我々回答者サイドは、ａ＝9/2 であっても、ｘ＝５は解に含まれないという見解です。
No.82401 - 2022/06/12(Sun) 21:54:02
★ 茨城大学 2017後期数学 / りょう
茨城大学 2017後期数学　問題がわかりません。

(2)の答えはP3＝P4になってしまいます。
No.82384 - 2022/06/11(Sat) 14:42:42
☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / りょう
画像が送れていなかったので、再送します。
No.82385 - 2022/06/11(Sat) 14:50:07
☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / X
(2)
(i)G[3]について
一回目に助さんが赤玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{n/(n+k)}{(n-1)/(n+k-2)}
一回目に助さんが白玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{k/(n+k)}{n/(n+k-2)}
∴P[3]={n/(n+k)}{(n-1)/(n+k-2)}
+{k/(n+k)}{n/(n+k-2)}
={n(n-1)+kn}/{(n+k)(n+k-2)}
=n(n+k-1)/{(n+k)(n+k-2)}

(ii)G[4]について
一回目に格さんが赤玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{n/(n+k-1)}{(n-1)/(n+k-2)}
一回目に格さんが白玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{(k-1)/(n+k-1)}{n/(n+k-2)}
∴P[4]={n/(n+k-1)}{(n-1)/(n+k-2)}
+{(k-1)/(n+k-1)}{n/(n+k-2)}
={n(n-1)+n(k-1)}/{(n+k-1)(n+k-2)}
=n/(n+k-1)

∴P[3]-P[4]=n{(n+k-1)^2-(n+k)(n+k-2)}/{(n+k)(n+k-1)(n+k-2)}
=n/{(n+k)(n+k-1)(n+k-2)}＞0
となるので
P[3]＞P[4]
No.82387 - 2022/06/11(Sat) 15:07:33
☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / りょう
助さんが白玉を引く確率
例えば(i)のばあいは{k/(n+k-1)}
は考えなくてよいのでしょうか。
No.82390 - 2022/06/11(Sat) 18:54:22
☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / X
例えば(i)の場合、2回目に助さんが白玉を取り出すのは
無作為に行った結果ではありません。
飽くまで壺の中の白玉を1個減らすための操作です。
書き方を変えれば、例えば
壺の中のn+k-1個の玉を一旦全部取り出した上で
白玉を1個除いて残りのn+k-2個の玉を壺に戻す
という操作と同じです。
(ii)の場合も同様です。
No.82391 - 2022/06/11(Sat) 19:40:35
★ ご回答いただけると幸いです / オーフォル
こちらの問題息子に問われたものの答えがわからず苦戦しております、ご教授いただけると幸いです
No.82382 - 2022/06/11(Sat) 13:06:14
☆ Re: ご回答いただけると幸いです / X
xの整式としてAをまとめると
A=yx^2+(2y+4)x+y^2+3
∴定数項は
y^2+3
No.82386 - 2022/06/11(Sat) 14:50:30
☆ Re: ご回答いただけると幸いです / オーフォル
ご回答頂きありがとうございます🙇‍♂
No.82389 - 2022/06/11(Sat) 17:25:21
★ 場合の数　場合分け / ふつく
チャレンジの解き方が分かりません
答えは567個です
No.82374 - 2022/06/11(Sat) 12:04:29
☆ Re: 場合の数　場合分け / IT
（ヒントだけ）
２種類の数字例えば１，２だけから重複を許して４つの数字を選んで並べる方法の個数を数えて、そのうち１だけのもの２だけのものの個数を引きます。

２種類の数字の選び方の個数を考えます。

1000未満のものを除くため
　例えば０と１だけ、両方とも使うもののうち、千の位が0であるものの個数を数えます。
No.82378 - 2022/06/11(Sat) 12:53:47
☆ Re: 場合の数　場合分け / ふつく
ありがとうございます
No.82379 - 2022/06/11(Sat) 12:58:02
☆ Re: 場合の数　場合分け / IT
先に千の位が１〜９として考えても良いかも知れません。
No.82388 - 2022/06/11(Sat) 15:13:05
★ 2階線形微分方程式の一般解 / とむ
写真の問題がわかりません。?@の式がu2を微分方程式に代入することで得られることはわかったのですが、a(x)の求め方がわからないので教えていただきたいです。
No.82362 - 2022/06/10(Fri) 22:08:49
☆ Re: 2階線形微分方程式の一般解 / ast
マル1は a' に関する変数分離形 1-階線型方程式なので, (2-階線型方程式を解く段に至って) 解けないとは考えにくいのですが, なにか懸念点があるのであれば具体的に提示されたほうが回答が得られやすいと思います.
# 少なくとも出題意図として解函数に積分記号が複数回用いる形での解答は許容されていると思います.
No.82373 - 2022/06/11(Sat) 11:23:48
★ (No Subject) / 雨のち晴れ
1から30までの整数の中から12個を選んで
その和が40になる様な選び方は何とうりあるでしょうか。この問題の解き方をご教授してください。何卒よろしくお願いします。
No.82361 - 2022/06/10(Fri) 21:05:41
☆ Re: / X
40-12=28
により求める場合の数は
28個の〇と11個の仕切り
でできる順列の数に
等しく
(28+11)!/(28!11!)=1676056044[通り]

注)
1+2+…+12=78＞40
ですので、もし重複を許さずに問題の
整数を選ぶのであれば、選び方は
0[通り]
です。
No.82363 - 2022/06/10(Fri) 23:48:17
☆ Re: / 雨のち晴れ
1から30までの中から5個を選んでその和が40になるとした場合は重複を許さなければなんとうりでしょうか。
解答有り難うございました。
丁寧な説明に感謝します。
No.82367 - 2022/06/11(Sat) 00:27:31
☆ Re: / IT
Xさん
> 28個の〇と11個の仕切りでできる順列の数に等しく

　それだと
　例えば,１+27と27+１を別物として数えていると思いますが、同じ物として数えるべきではないでしょうか？

「分割数」などで検索すると漸化式が出て来ると思います。
No.82370 - 2022/06/11(Sat) 04:38:13
☆ Re: / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞雨のち晴れさんへ
ごめんなさい。もう見ていないかもしれませんが
ITさんの仰る通りです。
No.82371 - 2022/06/11(Sat) 07:01:16
☆ Re: / 雨のち晴れ
有り難うございました
No.82372 - 2022/06/11(Sat) 10:05:07
★ 不等式について / しょう
この答えが4<x<=5でこの方にイコールがついているのですが、なぜ5の方に＝がついているのでしょうか？
No.82355 - 2022/06/10(Fri) 16:08:17
☆ Re: 不等式について / X
添付されている写真は正しいですか？
質問内容と問題が対応していませんが。
No.82356 - 2022/06/10(Fri) 17:14:02
☆ Re: 不等式について / IT
No.82313、No.82316 などを質問された方と同じ方なら、
１問ずつ解決されてから、新たな質問をされた方が良いと思います。
No.82359 - 2022/06/10(Fri) 19:04:25
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