ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / koukou

空間に点Ｏを中心とする半径１の球ＡとOP=2を満たす点Pがある。
∠POQ＝120℃となる点Qをとる、3点P,O,Qを含む平面に垂直で点Qを通る直線をmとする。
(1)Pから見たとき直線mが球Aの影に隠れずに全部見えるのはOQの長さがどのような範囲のときか。
(2)OQ=1の場合。Pから見たとき直線mのうち球Aの影に隠れて見えない部分の長さを求めよ

教えてください、お願いします。

No.21982 - 2013/07/16(Tue) 21:35:35

☆ Re: / X

方針を。
(1)
条件を満たすためには
点P,O,Qを含む平面によるAの断面の円と直線PQが
接するか交点持たない
ということになります。
そこで接する場合のOQの長さを求めるため
△OPQにおいて点Oから辺PQに下ろした垂線の長さが
Aの半径になる場合を考えてみましょう。
(2)
点Oを通り直線OPに垂直な平面(αとします)による
Aの断面の円をC
αと線分PQとの交点をT
α上でTを通りOTに垂直な直線をl
とすると求める長さは、lのCによって切られる線分の長さ
となります。
そこでまずOTの長さを求める必要がありますが
△OPQにおいて、Tが辺PQ上の点であることと
∠POT=90°であることを使いましょう。

No.21985 - 2013/07/16(Tue) 22:02:22

☆ Re: / koukou

Xさんありがとうございます。
方針を参考にしたいと思います。
申し訳ないのですが、答えは教えて頂けないのでしょうか。

No.21990 - 2013/07/17(Wed) 22:29:00

☆ Re: / X

こちらの計算では
(1)
OQ≧2
(2)
(2/5)√13
となりました。

No.21991 - 2013/07/17(Wed) 22:48:31

★ 連続関数 / なな

No.21977 - 2013/07/15(Mon) 22:41:46

☆ Re: 連続関数 / angel

先に方針(最終形の目安)をある程度立てないと厳しいと思います。
それと、「f(x)は連続」という条件も何処かで入ってくるはずです。どう関係してくるか考えておかないと、厳しいでしょう。

大雑把には、|f(a+n)-f(a)|＜nε という形は良いと思います。これを |f(x)|＜(大体εx) と捉えることで道が開けそうな所。
※これで、{f(x)/x|＜(大体ε) という形になるから
ただ実際は、εではなくε/2を使うのが吉。理由は後で分かります。

これを具体化すると次のようになります。
1. ∀ε＞0，∃a＞0,d,D s.t. x＞a⇒-εx/2+d＜f(x)＜εx/2+D を導く
2. これより -ε/2+d/x＜f(x)/x＜ε/2+D/x の形を得る
3. 余分な d/x, D/x の形を ε/2 で抑えられる時のことを考える。そうすれば、元のε/2と併せて、f(x)/x を±εの範囲に抑えることができる
※最初にεではなくε/2を持ってきたのは、このため。

3. については、
　d/x＞-ε/2 すなわち x＞-2d/ε
　D/x＜ε/2 すなわち x＞2D/ε
の両方を満たせば、余分な部分をε/2で抑えることができますから、最終的には
　x＞max(a,-2d/ε,2D/ε)
　⇒ -εx/2+d＜f(x)＜εx/2+D かつ d/x＞-ε/2 かつ D/x＜ε/2
　⇒ -ε/2+d/x＜f(x)/x＜ε/2+D/x かつ -d/x＞-ε/2 かつ D/x＜ε/2
　⇒ -ε＜f(x)/x＜ε
というように、f(x)/x→0 を示す形にできます。

No.21978 - 2013/07/16(Tue) 06:35:50

☆ Re: 連続関数 / なな

おはようございます。

方針の2，3については納得することができました。
ありがとうございます。

> それと、「f(x)は連続」という条件も何処かで入ってくるはずです。どう関係してくるか考えておかないと、厳しいでしょう。
>
> 大雑把には、|f(a+n)-f(a)|＜nε という形は良いと思います。これを |f(x)|＜(大体εx) と捉えることで道が開けそうな所。

> これを具体化すると次のようになります。
> 1. ∀ε＞0，∃a＞0,d,D s.t. x＞a⇒-εx/2+d＜f(x)＜εx/2+D を導く

1についてですが、どのようにしてこの式を導けたのでしょうか。よろしくお願いします。

No.21979 - 2013/07/16(Tue) 08:38:46

☆ Re: 連続関数 / angel

一気に書こうと思っていたのですが、間があいてしまって申し訳ありません。
とっかかりの 1 については、ちょっと具体例を挙げてみると良いかもしれません。

例えば、x＞5.5⇒|f(x+1)-f(x)|＜0.1 という状況ならば、
　|f(10)-f(9)|＜0.1, |f(9)-f(8)|＜0.1, …, |f(7)-f(6)|＜0.1
ということで、
　|f(10)-f(6)|＜0.4
同様に、|f(15.5)-f(6.5)|＜0.9 や |f(12.7)-f(5.7)|＜0.7 も言えることになります。

ちょっと困るのが、-f(6), -f(6.5), -f(5.7) と不揃いな所。でも、不揃いであっても、5.5～6.5 という限られた区間での f の値なので、なんとかなるのでは…、ということで、ここで「fが連続関数」という条件が生きてきます。
すなわち、「閉区間 b≦x≦b+1 において、連続関数f(x) は最大値・最小値を取る」という性質です。
この最大値をM、最小値をmとすると、b＜x≦b+1⇒m≦f(x)≦M とfの範囲を絞れます。
※「b＜x≦b+1においてf(x)は最大値・最小値を取る」だと正しくないので注意

No.21984 - 2013/07/16(Tue) 21:55:30

☆ Re: 連続関数 / angel

では、1 を導きます。
lim[x→+∞] ( f(x+1)-f(x) )=0 より、
∀ε, ∃b s.t. x＞b⇒|f(x+1)-f(x)|＜ε/2
この b に対して、x＞b+1 ならば、b＜y≦b+1 なる y と自然数 n が存在して、x=y+n
数学的帰納法により |f(x)-f(y)|＜nε/2 すなわち -nε/2+f(y)＜f(x)＜nε/2+f(y)
※帰納法の詳細は省略

ここで、n=x-y により n を消去すると
　-xε/2 + f(y)+yε/2 ＜ f(x) ＜ xε/2 + f(y)-yε/2
一つ前で挙げた m≦f(y)≦M と b＜y を適用すると
　-xε/2 + m+bε/2 ＜ f(x) ＜ xε/2 + M-bε/2
ということで、1 の形が導けます。( d=m+bε/2, D=M-bε/2 )
ちょっと最初に a を使ってしまったので今回は b を登場させましたが、a=b+1 とすれば話が繋がります。

No.21986 - 2013/07/16(Tue) 22:11:15

☆ 余談：連続関数でなかったら / angel

今回、連続関数の性質である「閉区間上で連続関数は最大値・最小値を取る」という条件を使いました。もしこれがなかったら、つまり連続関数でなければ lim f(x)/x=0 は成立しないのでしょうか。これを考えてみるのも面白そうです。

結論としては、反例があるため不成立です。どう反例を探すか、ですが、証明の時とは逆に、限られた区間の中で値が有界にならないような関数を探してあげるのが良さそうです。

私が見つけた反例は、次のような不連続な関数 f(x) です。
　n≦x＜n+1 ( nは自然数 ) に対して、
　　f(x)=√n ( x=n の場合 )
　　f(x)=√n + 1/(x-n) ( x≠n の場合 )
√(n+1)-√n は 0 に収束する形ですから、lim ( f(x+1)-f(x) ) = 0 を満たします。
※1/(x-n) の部分は、打ち消し合って丁度消えます。

ところが、1/(x-n) は幾らでも大きな値を取り得ますから、たとえ f(x)/x のように 1/x をかけたとしても 0 に収束しません。
例えば、ε=1 に対して |f(x)/x|＜ε と抑えられるか、ですが f(5000.00001)=√5000 + 10000 ですから f(5000.0001)/5000.0001≒2 と x≒5000 程度では抑えられていません。
しかも、x=5000.00001, 50000.000001, 500000.0000001, … と、幾らxを大きくしてもやっぱり抑えられない所が出てきます。
なので、この f(x) は反例となります。

No.21987 - 2013/07/16(Tue) 22:33:47

☆ Re: 連続関数 / なな

こんにちは。返信が遅れてしまいすいません。

angelさんのおかげでこの問題に対してかなり印象が残り，
とても勉強になりました。最後まで丁寧にご指導くださり
本当に感謝しています。ありがとうございました。

No.21989 - 2013/07/17(Wed) 14:16:03

★ (No Subject) / 現役３

　解き方を教えてください、お願いします。

(1)
α[1],α[2],α[3]はα[1]≦α[2]≦α[3]をみたす実数とする。uの関数
　
　ｈ(u)=|u-α[1]｜+|u-α[2]|+|u-α[3]|
の最小値を求めよ

(2)a,bは実数とし、

　Ｉ=|a+b-1|+|2a+b-3|+|3a+b-3|とおく
Iを最小にするa,bの値を求めよ

No.21973 - 2013/07/14(Sun) 23:01:47

☆ Re: / X

(1)
場合分けをして絶対値を外します。
(i)u＜α[1]のとき
h(u)=-3u+α[1]+α[2]+α[3]
(ii)α[1]≦u＜α[2]のとき
h(u)=-u-α[1]+α[2]+α[3]
(iii)α[2]≦u＜α[3]のとき
h(u)=u-α[1]-α[2]+α[3]
(iv)α[3]≦uのとき
h(u)=3u-α[1]-α[2]-α[3]
以上から横軸にu、縦軸にh(u)を取ったグラフを考えることにより
h(u)の最小値は
h(α[2])=α[3]-α[1]

(2)
>>Ｉ=|a+b-1|+|2a+b-3|+|3a+b-3|
を
Ｉ=|a+b-1|+|2a+b-2|+|3a+b-3|
のタイプミスと見て回答します。
まずaの値を固定させて考えます。
I=f(b)と置くと
f(b)=|b+a-1|+|b+2(a-1)|+|b+3(a-1)|
(i)a≦1のとき
3(a-1)≦2(a-1)≦a-1
∴(1)の結果から
f(b)≧f(2(a-1))=a-1-3(a-1)=-2(a-1)≧0
(不等号の下の等号は(a,b)=(1,0)のとき成立)
(ii)1≦aのとき
a-1≦2(a-1)≦3(a-1)
∴(1)の結果から
f(b)≧f(2(a-1))=3(a-1)-(a-1)=2(a-1)≧0
(不等号の下の等号は(a,b)=(1,0)のとき成立)
以上から求めるa,bの値は
(a,b)=(1,0)
となります。

No.21975 - 2013/07/15(Mon) 04:18:26

☆ Re: / IT

(1)の別解です。
y=ｈ(u)は連続関数
y=ｈ(u)のグラフは４つの直線の一部をつなげたもので,u=α[1],α[2],α[3]で折れ点になる
またｈ(u)≧０
したがって、ｈ(u)は折れ点のどこかで最小値をとる。

ｈ(α[1])=(α[2]-α[1])+(α[3]-α[1])≧α[3]-α[1]
ｈ(α[2])=(α[2]-α[1])+(α[3]-α[2]) =α[3]-α[1]　　
ｈ(α[3])=(α[3]-α[1])+(α[3]-α[2])≧α[3]-α[1]
よって、ｈ(u)の最小値はｈ(α[2])=α[3]-α[1]

No.21976 - 2013/07/15(Mon) 06:38:41

☆ Re: / 現役３

Xさん、ＩＴさんありがとうございます。また、お願いします

No.22024 - 2013/07/21(Sun) 23:36:20

★ 式と図形　通過領域 / Ken高2

xy平面に円C1:x^2+(y+2)^2=4と円C2:(x-a)^2+y^2=1がある。
aを任意の実数として、C1とC2が異なる二点で交わるとき、その二点を通る直線の通過領域を図示せよ。

よろしくお願いします。

No.21967 - 2013/07/13(Sat) 18:21:10

☆ Re: 式と図形　通過領域 / angel

小問に分解したら方針が立てられますか?

(1) C1とC2が異なる二点で交わるaの範囲を求めよ
　　答：-√5＜a＜√5
(2) (1)のaの範囲(-√5＜a＜√5)において、C1とC2の2交点を通る直線の方程式を求めよ
　　答：2ax+4y=a^2-1　( y=-ax/2+(a^2-1)/4 でもいいけど )
(3) (1)の範囲(-√5＜a＜√5)をaが動く時、(2)の直線 ( 2ax+4y=a^2-1 ) が通る領域を求め図示せよ
　　答：　　　　√5・x+2y＜2 かつ -√5・x+2y＞2
　　　　または　√5・x+2y＞2 かつ -√5・x+2y＜2
　　　　または　√5・x+2y≦2 かつ -√5・x+2y≦2 かつ y≧-(x^2+1)/4
　　　　ただし (x,y)=(0,1),(±√5,-3/2) を除く

(3)については、「直線が通る領域」ではなく「aの方程式2ax+4y=a^2-1が-√5＜a＜√5の範囲で少なくとも1実数解を持つx,yの条件」と考えた方がすっきりしますね。

No.21968 - 2013/07/13(Sat) 21:55:37

☆ Re: 式と図形　通過領域 / Ken高2

理解できました。ありがとうございます。

No.21971 - 2013/07/14(Sun) 17:12:15

☆ Re: 式と図形　通過領域 / angel

理解できたとのことで何よりです。
が、申し訳ありません。一点訂正です。
> (3) (1)の範囲(-√5＜a＜√5)をaが動く時、(2)の直線 ( 2ax+4y=a^2-1 ) が通る領域を求め図示せよ
> 　　答：　　　　√5・x+2y＜2 かつ -√5・x+2y＞2
> 　　　　または　√5・x+2y＞2 かつ -√5・x+2y＜2
> 　　　　または　√5・x+2y≦2 かつ -√5・x+2y≦2 かつ y≧-(x^2+1)/4
> 　　　　ただし (x,y)=(0,1),(±√5,-3/2) を除く

3番目にある √5・x+2y≦2 かつ -√5・x+2y≦2 かつ y≧-(x^2+1)/4 には、「かつ-√5＜x＜√5」をつけないとマズいですね。抜けていました。
※そうすると、「(x,y)=(±√5,-3.2)を除く」も不要となります

正しい解答をお持ちかも知れませんが、念のため。

No.21972 - 2013/07/14(Sun) 18:21:14

★ 式と図形 / 現役３

解き方を教えてください。お願いします

aを実数とするとき、不等式
　　asinθ+cosθ<a
を満たすθが｛θ｜０<θ＜２/π｝の中に少なくとも１つあるようなaの値の範囲を求めよ

No.21963 - 2013/07/13(Sat) 00:01:43

☆ Re: 式と図形 / IT

> 　　asinθ+cosθ<a
> を満たすθが｛θ｜０＜θ＜２/π｝の中
０＜θ＜π/2 でしょうか？

（ヒント）
f(θ)=　asinθ+cosθ-aとおきます。
条件は、f(θ)＜0を満たすθ（０＜θ＜π/2）があることと同値
a≦０のとき
　０＜θ＜π/2で　a(sinθ-1)≧0かつcosθ＞0　より
　常にf(θ)＞0となり不適
よって a＞０

f(θ)を微分して０≦θ≦π/2での増減を調べます。
０≦θ≦π/2でのf(θ)の最小値＜０が必要十分条件です。
f(0)=1-a,f(π/2)=0であることを使います。

※表題が「式と図形」なので、この方式はふさわしくないかも知れませんね。　

No.21964 - 2013/07/13(Sat) 00:58:35

☆ Re: 式と図形 / ＿

では私も0<θ<π/2と解釈して、数IIBまでの範囲で解けるこんな方法はどうでしょう。

asinθ+cosθ<a を変形して
cosθ<a(1-sinθ) で、この範囲のθで0<1-sinθ なることに留意して
cosθ/(1-sinθ)<a さらに変形して
-sin(θ+π/2)/{-1-cos(θ+π/2)}<a
なので、これをみたすθが存在するようなaの範囲が求めるものとなる。

この左辺は点(-1,0)と単位円周上の点(cos(θ+π/2),sin(θ+π/2))を結ぶ直線の傾きなので(ここ重要)左辺の値の範囲は(以下略)

No.21965 - 2013/07/13(Sat) 06:45:32

☆ Re: 式と図形 / IT

＿さんのが、「式と図形」にふさわしい解法のようですね。

x=cosθ,y=sinθ とおいて考えても良いですね。
（本質的には＿さんのと同じことです）

No.21966 - 2013/07/13(Sat) 13:09:18

☆ Re: 式と図形 / 現役３

ITさん、＿さんありがとうございました。

No.21970 - 2013/07/14(Sun) 12:59:16

★ (No Subject) / バット

lim(x→０）（１＋ｘ）＾（1/x)=eになる理由がというか（１＋０）の∞乗ということで１としてはいけない理由は、「全てのxを同時に（ここでは）０にしないとだめだから」だと習いました。つまり時間差をつけてはならないと。これは他の全ての極限の場合でも成り立つのでしょうか？

No.21956 - 2013/07/11(Thu) 21:21:26

☆ Re: / らすかる

「どんな極限の場合も時間差をつけてはいけない」かどうかという質問ですか？
それでしたら、その通りです。
ただし、時間差を付けても同じ極限になる場合もありますので
「時間差を付けると必ず極限が変わる」というわけではありません。

No.21958 - 2013/07/12(Fri) 01:48:42

☆ 不定形 / 黄桃

極限が0*∞や∞-∞の形になるとき不定形といい、「時間差をつけてはダメ」です。lim[x→∞] x^2/x^3 やlim[x→∞] √
(x+1)-√(x-1) などいろんな例をやっていると思います。
1^∞の場合も logをとれば∞*0 の形ですから、やっぱり不定形で、「時間差をつけてはダメ」です。

No.21959 - 2013/07/12(Fri) 06:57:32

☆ Re: / バット

らすかるさんの回答に対して
lim(x→０）(1+2x+3x^2)^(1/x)
=lim(x→0)｛(1+2x+3x^2)^（1/(2x+3x^2))}^(2+3x^2)
は(1+2x+3x^2)^（1/(2x+3x^2))がeと決まった後、（２＋３ｘ＾２)の極限である２を累乗としてかけるのですから時間差をつけているではないか、と反論しようかと思いましたが、黄桃さんによると不定形でなければ時間差はつけていいということなので、なるほど確かに筋が通りました。

No.21969 - 2013/07/13(Sat) 22:52:13

★ 行列 / 現役３

どうやればわかりません、教えてください。

行列A=M{(3,1),(1,3)}と自然数ｎに対して、A^n=M{(a[n],b[n])(c[n],d[n])}とおく。
このときa[n],b[n],c[n],d[n]をもとめよ

No.21942 - 2013/07/10(Wed) 07:14:26

☆ Re: 行列 / X

教科書、参考書で次のキーワードを調べてみてください。
行列のn乗、対角化、固有値、固有方程式

No.21943 - 2013/07/10(Wed) 09:16:20

☆ Re: 行列 / ヨッシー

Ａ^5 くらいまで調べればなんとか推測できます。

(1,1) 成分と (2,2) 成分は、順に
　3, 10, 36, 136, 528
これは
　2^0×3, 2×5, 2^2×9, 2^3×17, 2^4×33
で、×の左は 2^(n-1), 右は 2^n＋1 です。
(1,2)成分と(2,1)成分も同様にして求められます。

推測できたら、数学的帰納法で証明します。

No.21945 - 2013/07/10(Wed) 13:00:48

☆ Re: 行列 / 黄桃

漸化式を作るとすごいことになりそうですが、やってみるとたいしたことないとわかります。
漸化式は

a[n+1]=3a[n]+c[n]
c[n+1]=a[n]+3c[n]

b[n+1]=3b[n]+d[n]
d[n+1]=b[n]+3d[n]

となり、a,c と b,d は同じ漸化式。
a[0]=3, b[0]=1, c[0]=1, d[0]=3

c[n]=a[n+1]-3a[n]　だから、c[n+1]=a[n+2]-3a[n+1]で、これより

a[n+2]=6a[n+1]-8a[n]
という3項間漸化式ができます。a[0]=3, a[1]=3*a[0]+c[0]=10 だから後は解けるでしょう。
a[n]がわかれば、c[n]=a[n+1]-3a[n]ですし、
a[0]=3, a[1]=10 の代わりに b[0]=1, b[1]=6 とすれば、b[n]が求まり、d[n]もわかります。

＃ケーリーハミルトンを使う方法もありますが、
＃最初は地道に漸化式を作るのがいいと思います。

No.21950 - 2013/07/10(Wed) 23:44:13

☆ Re: 行列 / 現役３

Ｘさん、ヨッシーさん，黄桃さん説明ありがとうございます。

No.21955 - 2013/07/11(Thu) 19:22:09

★ (No Subject) / 高３

２次の正方行列A=M{(-1,-√3),(√3,-1)}について、次の問いに答えよ
(1)A+A^2+A^3をもとめよ
(2)自然数ｎに対して、A+A^2+A^3+・・・・・A^(3n-1)+A^3nをもとめよ

解き方を教えてください。

No.21936 - 2013/07/09(Tue) 17:32:02

☆ Re: / X

原点中心で角θの回転移動の行列をB(θ)と置くと
A=2B(2π/3)
(1)
A+A^2+A^3=2B(2π/3)+(2^2)B(4π/3)+(2^3)B(2π)
=…
(2)
A^(3k-2)+A^(3k-1)+A^(3k)=C[k]
(k=1,2,…,n)
と置き、(1)の結果をDと置くと
C{k]={2^(3k-2)}B(2kπ+2π/3)+(2^(3k-1))B(2kπ+4π/3)+(2^(3k))B(2kπ+2π)
={2^(3k-3)}{2B(2π/3)+(2^2)B(4π/3)+(2^3)B(2π)}
={8^(k-1)}D
∴(与式)=Σ[k=1～n]C[k]=Σ[k=1～n]{8^(k-1)}D=…

No.21937 - 2013/07/09(Tue) 18:29:17

☆ Re: / 高３

(1)A+A^2+A^3=2B(2π/3)+(2^2)B(4π/3)+(2^3)B(2π)
=…
と(2)∴(与式)=Σ[k=1～n]C[k]=Σ[k=1～n]{8^(k-1)}D=…
がよく分からないので、教えてください

No.21951 - 2013/07/11(Thu) 00:27:43

☆ Re: / X

(1)について。
B(θ)は原点中心で角θの回転移動を表す行列ですので
{B(θ)}^n=B(nθ)
∴A+A^2+A^3=2B(2π/3)+(2^2)(B(2π/3))^2+(2^3)(B(2π/3))^3
=2B(2π/3)+(2^2)B(2・π/3)+(2^3)B(3・2π/3)
=2B(2π/3)+(2^2)B(4π/3)+(2^3)B(2π)
となります。
後は
B(θ)=M{(cosθ,-sinθ),(sinθ,cosθ)}
を使い、各成分を計算します。

(2)について。
∴(与式)=Σ[k=1～n]C[k]=Σ[k=1～n]{8^(k-1)}D
={Σ[k=1～n]8^(k-1)}D=…

No.21953 - 2013/07/11(Thu) 13:16:48

★ 表と確率 / シャルル

表の問題です。よろしくお願いします。　　

　　　　　　　　(１年後の格付け)
　　　　　　　　　Ａ　　　Ｂ　　Ｃ　　　Ｄ(ランク外)
　　　　　　Ａ　　90%　 10% 　 0% 　　0%
(現在)　　Ｂ　　 10% 　80% 　 10% 　 0%
　　　　　　Ｃ　　5% 　　10% 　80% 　 5% 　

ある格付け会社は企業をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ(ランク外)の４段階で評価している。表は、この格付けに会社によってＡ、Ｂ、Ｃに格付けされた企業が１年後にどのような格付けになるかの確率を示したものである。これによれば、現在Ａに格付けされている企業が４年以内にＤ（ランク外）の格付けになる確率はいくらか。ただし、いったんＤ（ランク外）の格付けになった企業が再びＡ、Ｂ、Ｃに格付けを得ることはないものとする。グラフの横が１年後の格付け、縦が現在の格付けです。

No.21933 - 2013/07/08(Mon) 20:33:25

☆ Re: 表と確率 / X

問題の企業が
２年以内にDになる確率は0
３年目にDになる確率は
(10/100)(10/100)(5/100)=1/2000
４年目にDとなる確率は
(10/100){(80/100)(10/100)+(10/100)(80/10)}(5/100)
=(1/10)(4/25)(1/20)
=1/1250
∴求める確率は
1/2000+1/1250=13/10000≡0.13[%]

No.21934 - 2013/07/08(Mon) 22:36:35

☆ Re: 表と確率 / 黄桃

Mという行列を

0.9 0.1 0 0
0.1 0.8 0.1 0
0.05 0.1 0.8 0.05
0 0 0 1

として定義します。
ある年のA-Dと格付けされた企業がそれぞれ a[0],b[0],c[0],d[0]だった時、
n年後にA-Dと格付けされる期待企業数 a[n],b[n],c[n],d[n]は、
x[0]=(a[0],b[0],c[0],c[0]), x[n]=(a[n],b[n],c[n],d[n])とおくと
x[n]=x[0]*M^n
と求められます。今はn=4, x[0]=(1,0,0,0)ですから、
M^4 の1行4列成分が求めるd[4]になります。
ちなみに答は0.175%です。

#Xさんの式で4年目に初めてDに格付けされる場合のうちA-A-B-C-D
#という場合の確率 9/10*1/10*1/10*1/20=45/100000が抜けていますので
#それを加えると同じ答になります。
#実は最初にwolfram でM^4を計算してもらってカンニングしました^_^;

No.21940 - 2013/07/10(Wed) 01:05:44

☆ Re: 表と確率 / X

>>黄桃さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>シャルルさんへ
ごめんなさい。４年目にDになる場合について
１年ごとに１段づつ格下げになる確率
(つまりA→B→C→Dとなる場合)
である
(90/100)(10/100)(10/100)(5/100)=9/20000
が抜けていました。
これにより求める確率は
1/2000+1/1250+9/20000=35/20000≡0.175[%]
となります。

No.21944 - 2013/07/10(Wed) 09:19:09

★ パズル / シャルル

文章題です。よろしくお願いします。

Ａ～Ｇの一行は、４人が男性、３人が女性であり、旅行中のホテルにおいて、図のような位置関係のルーム?T～?Wの４部屋に分かれて宿泊した。

左から↓

[ルーム?T]　[ルーム?U]　[ルーム?V]　[ルーム?W]

ホテルにおける部屋割りについて、３部屋には２人、１部屋には１人が宿泊した。また、以下の条件が成り立つ。

・男性と女性は別々の部屋である。
・男性の泊まる部屋は隣り合っている。
・ＡとＣの部屋は隣り合っている。
・ＡとＤは男性で、別々の部屋である。
・ＡとＧは別々の部屋で、かつ、隣ではない。
・Ｂは女性で、ルーム?Wに宿泊した。
・Ｆは１人で宿泊した。

このとき確実に言えるのはどれか。

１．Ａはルーム?Tに宿泊した。
２．ＢとＧは同じ部屋に宿泊していた。
３．ＥとＦの部屋は隣り合っていた。
４．Ｆはルーム?Vに宿泊した。
５．Ｇは男性である。

No.21928 - 2013/07/07(Sun) 23:07:34

☆ Re: パズル / X

問題の７つの条件を上から順に条件１～７とします。

条件1,2,4,6,7より
Gは女性でルームIVにBと共に宿泊 (A)
しており、又
FはルームI又はルームIIIのいずれかに宿泊 (B)
しています。
従って残りのA,C,D,Eは男性であり、条件2,3,4により
AとE,CとDはそれぞれ同じ部屋に宿泊し、これらの部屋は隣りあっている (C)
ことが分かります。

(i)FがルームIに宿泊している場合
条件5によりAはルームIIに宿泊しています。
(ii)FがルームIIIに宿泊している場合
AはルームI,IIいずれの部屋に宿泊していても
条件を満たします。

以上から確実にいえるのは2のみです。

No.21930 - 2013/07/08(Mon) 00:31:05

☆ Re: パズル / シャルル

分かりました。ありがとうございました。

No.21932 - 2013/07/08(Mon) 19:33:17

★ 文章題 / シャルル

（条件）自家製ヨーグルトを作る場合、種となるヨーグルトに、その５倍の重さの牛乳を加えて室温に放置すると、翌日、全てヨーグルトになる。できたヨーグルトの重さは、種ヨーグルトと牛乳の重さの和に等しい。

ある家で、６月１日にヨーグルト１５グラムを種として、これに５倍の重さの牛乳を加えてヨーグルトを作り始めた。翌日から毎日、できたヨーグルトの３分の２を食べ、残りのヨーグルトに牛乳を加えて再びヨーグルトを作ることを繰り返した。
６月６日、その日の分のヨーグルトを食べ終わった後、誤ってヨーグルトの一部をこぼしてしまった。残ったヨーグルトを使って、今までと同じにヨーグルトを作り、食べることを繰り返したところ、その２日後にできたヨーグルトは１４４０グラムだった。

このとき、こぼしたヨーグルトの重さはいくらか。

よろしくお願いします。

No.21923 - 2013/07/07(Sun) 14:11:08

☆ Re: 文章題 / X

6月n日(2≦n≦6)に食べ終わった残りのヨーグルトの重さを
a[n][グラム]とすると
a[n]=(1/3)・6a[n-1] (A)
a[1]=15 (B)
(A)(B)より
a[n]=15・2^(n-1) (A)'
∴こぼしたヨーグルトの重さをx[グラム]とすると、
こぼしてから２日後にできているヨーグルトの重さについて
6・(6/3)(a[6]-x)=1440 (B)
(A)'(B)より
12(15・2^5-x)=1440
これを解いて
x=360
ということで360グラムです。

No.21924 - 2013/07/07(Sun) 17:43:35

★ 文章題 / ガロン

Ａ～Ｅの学生５人における政治学、経済学、行政学、社会学、法律学の５科目の履修状況について次のことが分かっている。

・５人が履修している科目数はそれぞれ３科目以内である。
・政治学を履修している者は２人いる。
・経済学を履修している者は２人おり、そのうちの１人はＡである。
・行政学を履修している者は３人おり、そのうちの１人はＡである。
・社会学を履修している者は３人おり、そのうちの２人はＡとＤである。
・法律学を履修している者は４人である。
・ＡとＥとが２人とも履修している科目はない。
・Ｃは政治学も社会学も履修していない。

このとき、確実に言えるのはどれか。

１　Ｂは政治学を履修していない。
２　Ｂは行政学を履修していない。
３　Ｃは経済学を履修していない。
４　Ｄは経済学を履修していない。
５　Ｄは行政学を履修していない。

よろしくお願いします。

No.21913 - 2013/07/06(Sat) 22:35:56

☆ Re: 文章題 / ヨッシー

書かれている条件から○×を付けると、上の表までは埋まると思います。
このとき、人数的には、あと５つ○を付けないといけませんし、
Ｂ，Ｄ，Ｅはあと１つ、Ｃはあと２つまで、○を付けることが
出来るので、４人とも、取り得る最大まで○を付けることになります。
そうして○×を付けたのが下の表で、空いている部分は、Ｂ，Ｄ
のどちらかに○が付きます。

この表から確実に言えるのは、
　４　Ｄは経済学を履修していない。
となります。

No.21915 - 2013/07/06(Sat) 22:58:00

☆ Re: 文章題 / ガロン

分かりました。ありがとうございました。

No.21922 - 2013/07/07(Sun) 14:00:34

★ 極限 / なな

lim[x→∞]{cos(a/x)}^x

lim[x→∞]{cos(a/x)}^(x)^2

{sin(a/x)}^2=1/tとおくと良いらしいのですが
よくわかりませんでした。よろしくお願いします。

No.21910 - 2013/07/06(Sat) 18:47:55

☆ Re: 極限 / ペンギン

厳密性に欠けますが、方針を書いておきます。

2番目の問題の解き方を書きますが、1番目も同じ解き方で解けます。

利用する性質：lim[x→∞]sin(a/x)/[a/x] =1

{cos(a/x)}^(x)^2={cos(a/x)^2}^[(x)^2/2]
={1 - sin(a/x)^2}^[(x)^2/2]・・・?@

ここで、{sin(a/x)}^2=1/tと置きます。
上の性質を使うと、

lim[x→∞]sin^2(a/x)/[a/x]^2 =1
なので、

x→∞で、x^2 = a^2・t
?@と合わせて、

lim[x→∞]{cos(a/x)}^(x)^2
=lim[t→∞]{1 - 1/t}^[t・a^2/2]

lim[t→∞]{1 - 1/t}^t=e^(-1)なので、
lim[t→∞]{1 - 1/t}^[t・a^2/2]=e^(-a^2/2)

No.21911 - 2013/07/06(Sat) 19:47:07

☆ Re: 極限 / なな

ご返信ありがとうございます。

> lim[x→∞]sin^2(a/x)/[a/x]^2 =1
> なので、
>
> x→∞で、x^2 = a^2・t

この部分がなぜこうなるのかが分からないです。
よろしくお願いします。

No.21914 - 2013/07/06(Sat) 22:57:45

☆ Re: 極限 / X

横から失礼します。

sin^2(a/x)=1/t
と置くと
lim[x→∞]sin^2(a/x)/(a/x)^2 =1
により
x→∞のとき
(1/t)/(a/x)^2≒1
∴x^2≒(a^2)t
ということです。

しかし、ペンギンさんも仰られている通り、厳密性には欠けますので
{cos(a/x)}^(x^2)={{cos(a/x)}^2}^{(x^2)/2}
={1-{sin(a/x)}^2}^{(x^2)/2}
=[{1-{sin(a/x)}^2}^{1/{sin(a/x)}^2}]{(1/2)(xsin(a/x))^2}
=[{1-{sin(a/x)}^2}^{1/{sin(a/x)}^2}]{((a^2)/2){(sin(a/x))/(a/x)}^2}
と変形しておき
lim[x→∞]{1-{sin(a/x)}^2}^{1/{sin(a/x)}^2}
の計算においてのみ
sin^2(a/x)=1/t
と置き換えて考える、という方針のほうが無難です。

No.21916 - 2013/07/06(Sat) 23:52:42

☆ Re: 極限 / なな

Xさん、ペンギンさんどうもありがとうございました。

最初の問題は以下のように解きましたが合っていますでしょうか。よろしくお願いいたします。

{cos(a/x)}^x={{cos(a/x)}^2}^(x/2)

={1-{sin(a/x)}^2}^(x/2)

={1-{sin(a/x)}^2}^[{1/sin(a/x)}^2*{sin(a/x)}^2/(a/x)^2*a^2/(2x)]

→(1/e)^(1*0)=1 (x→∞)

No.21925 - 2013/07/07(Sun) 17:43:58

☆ Re: 極限 / X

それで問題ありません。

No.21926 - 2013/07/07(Sun) 19:30:57

☆ Re: 極限 / なな

最後までご指導いただきどうもありがとうございました!

No.21931 - 2013/07/08(Mon) 15:02:09