ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 物理 / ピンキー

この問題を教えてください。お願いします。

No.21743 - 2013/06/16(Sun) 03:31:48

☆ Re: 物理 / X

(1)
最初に地面に接触するときの速さをVとすると
エネルギー保存の法則より
(1/2)mv^2+mgh=(1/2)mV^2
(mは物体の質量)
これより
V=√(v^2+2gh)
よって地面に接触するときの速度の垂直方向の成分を
V[y]とすると
V[y]=√{V^2-v^2}=√(2gh)
∴v[1]=√{v^2+(eV[y])^2}=√(v^2+2ghe^2)

(2)
エネルギー保存の法則により
(1/2)mv[1]^2=(1/2)mv^2+mgh[1]
これと(1)の結果から
(1/2)m(v^2+2ghe^2)=(1/2)mv^2+mgh[1]
これより
h[1]=(e^2)h

(3)
物体を投げ出してから１回目の地面の接触までに
かかる時間をT[1]とすると
(1/2)gT{1]^2=h
∴T[1]=√(2h/g) (A)
又１回目の接触から２回目の接触までにかかる時間を
T[2]とすると、地面との間の往復を考えて
T[2]=2√(2h[1]/g)
これに(2)の結果を代入して
T[2]=2e√(2h/g) (B)
更に２回目の接触から３回目の接触までにかかる時間を
T[3]とすると、同様にして
T[3]=(2e^2)√(2h/g) (C)
以上から物体を投げ出してから３回目の接触までに
かかる時間をTとすると(A)(B)(C)により
T=T[1]+T[2]+T[3]=(1+2e+2e^2)√(2h/g)
よって
L=vT=(1+2e+2e^2)v√(2h/g)

No.21745 - 2013/06/16(Sun) 07:38:16

☆ Re: 物理 / ピンキー

ありがとうございました！

No.21751 - 2013/06/16(Sun) 16:19:25

★ 図形と方程式 / ktdg

2つの円
x^2+y^2=1
(x-a)^2+y^2=4
が異なる2点Ｐ，Ｑで交わるとき、線分PQを直径とする円周Caとする。aが0<a<4を満たしながら変化するとき、Caが通過する領域を図示せよ。

Caの方程式は
(x-a/2)^2+y^2=4-(a^2)/4
と求まったのですが、どのように図示すれば良いのでしょうか？

No.21740 - 2013/06/15(Sat) 19:55:35

☆ Re: 図形と方程式 / X

>>Caの方程式は
>>(x-a/2)^2+y^2=4-(a^2)/4
>>と求まったのですが、
間違えています。もう一度計算し直しましょう。
(P,Qが存在する場合、この２つの点はx軸に関して
対称になりますが、そのx座標はa/2ではありませんので
Caの中心のx座標は少なくともa/2とはなりません。)

それで質問の回答ですが、図示する前にその領域を
示す不等式を求めます。
で、その求め方ですが、Caの方程式をaの方程式と見たとき、
0＜a＜4
なる実数解を少なくとも一つ持つ条件を考えてみましょう。

No.21741 - 2013/06/15(Sat) 20:06:49

☆ Re: 図形と方程式 / ktdg

Xさん回答ありがとうございます。
問題文に間違いがありました。

> 2つの円
> x^2+y^2=1
> (x-a)^2+y^2=4
ではなく
2つの円
x^2+y^2=4
(x-a)^2+y^2=4
です。

これならCaの方程式は (x-a/2)^2+y^2=4-(a^2)/4 であっていますよね。
x,yの範囲は教えてくれたやり方で、
x≦0のとき x^2+y^2<4
0<x<4のとき (x^2)/8+(y^2)/4≦1 かつ (x,y)≠(2,0)
と求まったのですが、Caの方程式をaの方程式とみたときの実数解aの個数は何と対応しているのでしょうか？

No.21756 - 2013/06/17(Mon) 18:09:28

☆ Re: 図形と方程式 / X

>>これならCaの方程式は (x-a/2)^2+y^2=4-(a^2)/4 であっていますよね。
それで問題ありません。

>>Caの方程式をaの方程式とみたときの～
特に対応している対象はないと思います。
この問題で考えなければならないのは、条件を満たす
aの値が存在するかどうかであって
その個数がいくつなのかではありませんので
考えること自体に意味はないと思います。

No.21758 - 2013/06/17(Mon) 21:18:22

☆ Re: 図形と方程式 / ktdg

ありがとうございます。

No.21768 - 2013/06/18(Tue) 21:52:58

★ 化学 / ピンキー

硫酸銅（?U）CuSO4の水に対する溶解度は60℃で40、20℃で20である。硫酸銅（?U）五水和物を「結晶」と表現する。
CuSO4=160 CuSO4・5H2O=250　有効数字２桁で次の各問いに答えよ。

（１）60℃で飽和水溶液100ｇをつくるには何ｇの結晶を水に溶かす必要があるか。

（２）60℃で飽和水溶液100ｇを20℃まで冷却すると結晶が何ｇ析出するか。

（３）（２）で析出した結晶をすべて溶かして20℃の飽和水溶液とするにはさらに何ｇの水を加える必要があるか。

化学の問題ですが分からないので教えてください。

No.21732 - 2013/06/14(Fri) 23:25:46

☆ Re: 化学 / ヨッシー

ポイントは結晶中の水も、溶液中では水側の重さになるということです。

(1)
飽和水溶液100g 中の CuSO4 と H2O の比は40：100 なので、
CuSO4 の重さは 100×40/140＝28.5(g) これに水がくっつくと
28.5×250/160＝44.6　45g の結晶を55g の水に溶かします。

(2)
60℃の飽和水溶液100g内の CuSO4 と H2O の内訳は
　28.5g, 71.5g
です。これから CuSO4 160x(g), H2O 90x(g) が析出したとすると、残りは
　28.5-160x：71.5-90x＝20:100
これを解いて、x=0.1 よって、CuSO4 16g, H2O 9g が合わさった
結晶 25g が析出します。

(3)
析出した結晶以外の部分は飽和しているので、
25g の結晶を溶かすことだけを考えます。
CuSO4 16g を溶かすには
　16×100/20＝80(g)
の水が必要です。このうち 9g は結晶が含んでいるので、
71g の水を加えればいいことになります。

No.21734 - 2013/06/15(Sat) 06:33:51

☆ Re: 化学 / ピンキー

ありがとうございました。

No.21742 - 2013/06/16(Sun) 00:21:38

★ (No Subject) / 犬好きおやじ

問題：立方体のｻｲｺﾛが3つあります。Aの目{1,1,4,4,4,4}、B{2,2,2,2,5,5}、C{3,3,3,3,3,6}。このｻｲｺﾛを投げて数の多い目が出たほうが勝ちとなるゲームをするとき、次の問に答えよ。
(1)AとBのｻｲｺﾛで勝負したとき、それぞれの勝つ確率を計算して強いｻｲｺﾛを求めよ。
(2)BとCで…。(3)CとAで…。
(4)A,B,C3つのｻｲｺﾛで勝負したらどのｻｲｺﾛが一番強いか。
(5)4つ以上のｻｲｺﾛで同じような組を作れるか。（引き分けがあってもいい）作れるなら具体例を、作れないならその証明をしろ。
という問題で、(1)～(3)までは強引にずべての場合を考えてみて出したのですが、(4)、(5)はどうしたよいかわからず、また(1)～(3)も計算でどうもとめるのかわかりません。解説をお願い致します。

No.21724 - 2013/06/14(Fri) 17:10:23

☆ Re: / ＿

何も考えずに表をささっと作る事が出来るので、
(1)AvsB　　　　(2)BvsC　　　　(3)CvsA .|1|1|4|4|4|4| .|2|2|2|2|5|5| .|3|3|3|3|3|6| -+-+-+-+-+-+-+ -+-+-+-+-+-+-+ -+-+-+-+-+-+-+ 2|B|B|A|A|A|A| 3|C|C|C|C|B|B| 1|C|C|C|C|C|C| 2|B|B|A|A|A|A| 3|C|C|C|C|B|B| 1|C|C|C|C|C|C| 2|B|B|A|A|A|A| 3|C|C|C|C|B|B| 4|A|A|A|A|A|C| 2|B|B|A|A|A|A| 3|C|C|C|C|B|B| 4|A|A|A|A|A|C| 5|B|B|B|B|B|B| 3|C|C|C|C|B|B| 4|A|A|A|A|A|C| 5|B|B|B|B|B|B| 6|C|C|C|C|C|C| 4|A|A|A|A|A|C| Aの勝率:16/36　Bの勝率:10/36　Cの勝率:16/36 Bの勝率:20/36　Cの勝率:26/36　Aの勝率:20/36

と、「強引に全ての場合を考えてみ」るのが一番早いと思います。別の方法でやってみたいのであれば、この表を説明するのごとく、

(1)Aが勝つのは、Aが4、Cが2のときのみ。したがって確率は…
とか書けば良いと思います。たくさん書くのは面倒ですが。

(4)3つ同時に振ってみてはどうでしょう？
もしくは、勝敗が公平に決められるルールを決めてみたり。

(5)「同じような」とはどういう事を指すのですか？

No.21726 - 2013/06/14(Fri) 18:09:21

☆ Re: / IT

> (4)A,B,C3つのｻｲｺﾛで勝負したらどのｻｲｺﾛが一番強いか。
このような表にすると良いと思います。

No.21728 - 2013/06/14(Fri) 18:56:45

☆ Re: / IT

>(5)「同じような」とはどういう事を指すのですか？
三つ巴　A＜B＜C＜A　のことでしょうから
A＜B＜C＜D＜A　ってことでしょうか？

「同じような」が不明確ですから、数学の問題になっていませんね。　

No.21733 - 2013/06/14(Fri) 23:40:05

☆ Re: / 犬好きおやじ

解説をありがとうございます。(5)の「同じような」に関しては私も意味がわかりません。問題文を原文のまま書くと、「4つ以上のｻｲｺﾛで同じような組を作ることができるでしょうか？（引き分けになる場合があっても良いし、目も１～６でなくても良い。）可能ならば具体的に作成して下さい。不可能ならそれを証明してください。」となっています。

No.21735 - 2013/06/15(Sat) 12:24:05

☆ Re: / IT

出典はなんですか？、何かの模試とかかな？
入試にはこんなあいまいな問題は出ませんね。

No.21736 - 2013/06/15(Sat) 13:30:42

☆ Re: / 犬好きおやじ

宿題のプリントとして出されたものなので、出展もわかりません。申し訳ありません。

No.21738 - 2013/06/15(Sat) 14:13:41

★ (No Subject) / 高３

原点をＯとし、空間内に３点A(4,0,0),B(1,2,0),C(2,1,2)をとる。
線分BCをt：1-t(0＜t＜1)に内分する点をPとおく。
(1)△OAPの面積を最小にするtの値を求めよ
(2)Cを通り、３点O,A,Pを通る平面に垂直な直線とxy平面との交点をDとする。
Dが△OABの内部にあるとき、tの範囲を求めよ

回答を教えてください、お願いします。

No.21723 - 2013/06/14(Fri) 17:00:30

☆ Re: / X

(1)
条件から
↑OP=(1-t)↑OB+t↑OC=(t+1,2-t,2t)
∴P(t+1,2-t,2t)
よって△OAPにおいてOAを底辺と見たときの高さをhとすると
h^2=(2-t)^2+(2t)^2=5t^2-4t+4
=5(t-2/5)^2+16/5
OA=4(=一定)ゆえ、求めるtの値は2/5

(2)
(1)の仮定から平面OAPの方程式は
z=2ty/(2-t) (A)
(A)の法線ベクトルは
(0,2t,2-t)
なので問題の直線の方程式は
x=2,(y-1)/(2t)=(z-2)/(2-t) (B)
(B)にz=0を代入することにより
D(2,5-8/(2-t),0) (C)
ここで△OABの内部を示すx座標,y座標についての連立不等式は
0＜y (D)
y＜2x (E)
y＜-2x/3+8/3 (F)
(D)(E)(F)に(C)の座標を代入して得られるtについての
連立不等式を解きます。

No.21725 - 2013/06/14(Fri) 18:00:13

★ のぼりん様へ。「四次方程式の解の公式」について / 玉串純一

のぼりん様へ
ご返事ありがとうございました。
さっそくですが「イアン・スチュアートのガロア理論の本（旧版ですが）」についてはアマゾンでありました。
でも？？図書館にありましたので一度読んでみます。

「ファン・デル・ベルデン」については同じくアマゾンで
調べて見ましたがありませんでした。
誠に申し訳ありませんが「本のタイトル」を教えて
もらえませんでしょうか？よろしくお願いします。

それからこれはのぼりん様をはじめ他の人にもご協力のほどをお願いしたいのですが「四次方程式の解の公式」が
わかりやすく解説されている「ネットのサイト」を
教えてもらいたいのですが、、、、。
よろしくお願いします。

No.21716 - 2013/06/13(Thu) 22:14:03

☆ Re: のぼりん様へ。「四次方程式の解の公式」について / のぼりん

四次方程式の説明が分かり易い、という意味でスチュアートの本を引用したのではなく、ガロア理論の入門書には大抵四次方程式の説明がある、という意味で、偶々手元にあった本を引用致しました。
スチュアートの説明は、特に分かり易いと感じている訳ではないですが、少なくとも変な説明ではないので、言及しても問題なかろうと考えました。
。
例えば、藤崎源二郎「体とＧａｌｏｉｓ理論」（岩波）にも、四次方程式の記述があったと記憶してますが、直ちには確認できなかったので、前便では引用しませんでした。
この辺りを説明しなかったため、真意が伝わらなかったようで、誠に済みませんでした。
色々な本を読んだことがある訳ではないので、各種比較して分かり易い本をご紹介できず、申し訳ありません。

ネットに関しては、検索してみれば色々ヒットしますが、ガロア理論の観点から解法を解説したサイトは寡聞にして存じません。
数学サイトでは、一般の読み手を想定することが多いため、初等的解説が中心であることによるものと思います。
例えば、http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node16.html は、オイラーの方法を解説しており、良くまとまっていて見事だと感じます。
例えば、高校生が読むとしたら、理想的な内容でしょう。
しかし、この解説は、残念ながら貴兄の様なガロア理論の学習者向けではない様に見受けられます。
ウィキペディアも種々の解法を解説していますが、主として初等的観点に焦点を当てている様です。

ということで、ガロア理論の場合、古典的な内容であり良い解説書が多いので、ネットよりは書籍で探した方が近道ではないかと思います。
ただ、どうしてもネットで、というのであれば、Ｇａｌｏｉｓ　Ｔｈｅｏｒｙ等で検索し、出て来たスタディ・ノートを一つずつ当たって見てはいかがでしょう。

ファン・デル・ヴェルデン「現代代数学」は、非常に有名な本ですが、私は読んだことがないので、申し訳ありませんが是非の判断ができませんでした。

No.21730 - 2013/06/14(Fri) 20:52:37

★ ベクトル / 現役たけ

鋭角三角形ABCの外接円Oの中心をO、辺BCの中点をＭ、頂点Ａから対辺BCに下ろした垂線と頂点Bから対辺ACに下ろした垂線との交点をHとする。このとき、次の問いに答えよ
(1)↑(a)=↑(OA),↑(b)=↑(OB),↑(c)=↑(OC)とおく↑(OH)を↑(a),↑(ｂ),↑(c)を用いて表せ。
(2)円Oの周上の点Pに対して、Qは

↑(OQ)=1/2{↑(OA)+↑(OB)+↑(OC)}-1/2{↑(OP)}
を満たす点とする点Ｐが外心Ｏに関してＡと対称な位置にあるA'のとき、点Ｑの位置を求めよ。
さらに、点Ｐが円Ｏの周上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。

どうか教えてください。お願いします

No.21714 - 2013/06/13(Thu) 19:44:12

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

(1) は何も条件がないとこちらの垂心のページにあるような
式になるのですが、本当にこれが求められているのでしょうか？

(2) も表現がなかなか難しいですね。
後半の方が易しくて、
△ＡＢＣの重心をＧとおくと、
　ＯＱ＝3/2ＯＧ－1/2ＯＰ
と書けるので、ＱはＰＧを３：１に外分する点。
点Ｐは△ＡＢＣの外接円上を動き、点Ｐが点Ａと重なったとき、
点Ｑは点Ｍ，同様に点Ｑは各辺の中点を通ります。
点Ｑの軌跡は、△ＡＢＣの３辺の中点を通る円、ということになります。

前半の方は、いろんな書き方が出来ますが、まず(1) が
これでいいか（他に条件が与えられていないか）確認して
もらったほうが良いでしょう。

No.21720 - 2013/06/14(Fri) 10:55:29

☆ Re: ベクトル / 現役たけ

(1),(2)に関してもどちらも、条件が書かれていませんでした。
　どうか教えてください。

No.21722 - 2013/06/14(Fri) 16:58:22

★ 微分積分学 / うんうん

xyz空間内の閉領域Vは、変換
u=x+y,v=x-y,w=2z
により、uvw空間内の閉領域
K:0≦u≦1,-u≦v≦u,0≦w≦2-(u^2+v^2)
に移される
(1)Kの体積を求めよ
(2)Vの体積を求めよ

----------------
(1)は4/3と求まりました。
(2)はわかりません。

よろしくお願い致します。

No.21712 - 2013/06/13(Thu) 00:13:04

☆ Re: 微分積分学 / X

u=x+y,v=x-y,w=2z
を
0≦u≦1,-u≦v≦u,0≦w≦2-(u^2+v^2)
に代入して整理すると
0≦y≦-x+1,0≦x,0≦z≦1-(x^2+y^2)/2
後は(1)と同様の計算をします。

No.21713 - 2013/06/13(Thu) 09:02:57

☆ Re: 微分積分学 / うんうん

Xさん、ご回答ありがとうございます。

質問なのですが、
・xの範囲に関して、0≦x≦〇の〇の部分には何か値はないのでしょうか？
・zの範囲に関して、0≦z≦1-(x^2+y^2)ではないのでしょうか？
・ヤコビアンを用いて求める方法があるなら、その正しいやり方を教えて頂けませんか？
私はJ=∂(w,v,u)/∂(x,y,z)=4となったのでK=4VよりV=1/4K=1/3と求めてみました。

No.21718 - 2013/06/13(Thu) 22:57:31

☆ Re: 微分積分学 / X

>>・xの範囲に関して、0≦x≦〇の〇の部分には何か値はないのでしょうか？
1とはなりますがこの場合はあっても無くても領域を
示す連立不等式としては同じことですのでつけていません。

>>・zの範囲に関して、0≦z≦1-(x^2+y^2)ではないのでしょうか？
ごめんなさい。その通りです。

>>ヤコビアンを用いて求める方法～
方針と結果に問題はありません。
但し、途中計算に誤りがあります。
こちらの計算ではJ=-4となりました。
(置換では|J|を使うことになるので細かいことなんですが)

No.21719 - 2013/06/13(Thu) 23:05:10

☆ Re: 微分積分学 / うんうん

Xさん、
追加質問へのご回答ありがとうございました。

No.21731 - 2013/06/14(Fri) 22:55:24

★ (No Subject) / 高２

平面上に三角形ＯＡＢがあり、その面積をＳとする,平面上の点Ｐに対して
　　
　　↑(OP)=s↑(OA)+t↑(OB)　(s、tは実数）　

（１）実数ｓ、ｔが条件４s＋３t＝２を満たすとき、Pはどんな図形上になるか
（２）実数ｓ、ｔが条件ｓ≧０、ｔ≧０、４ｓ＋３t≦２を満たすとき、Pの存在する範囲の面積をSを用いて表せ

　解き方と答えを教えてください。お願いします

No.21709 - 2013/06/12(Wed) 19:55:36

☆ Re: / X

(1)
4s+3t=2
より
2s+3t/2=1 (A)
一方
↑OP=(2s){(1/2)↑OA}+(3s/2){(2/3)↑OB} (B)
(A)(B)より点Pの軌跡は
↑OA'=(1/2)↑OA (C)
↑OB'=(2/3)↑OB (D)
なる点A',B'で張られる直線となります。
後は点A',B'の位置を「外分」という言葉で説明する文を
つけてください。

(2)
(1)の過程により点Pの存在する領域は
△OA'B'の周及び内部
となります。
後は(C)(D)によりOA:OA'、OB:OB'の値を求め
△OABとの面積比を計算します。

No.21711 - 2013/06/12(Wed) 20:49:23

★ ベクトル / ktdg

実数p,q(q>0)に対して2つの条件 ↑AB・↑AC=p, |↑BC|=qをともに満たす三角形ABCが存在するための必要十分条件を求めよ。

xy平面上にB(-q/2,0), C(q/2,0), A(X,Y)をとると、
↑AB・↑AC=(-q/2-Ｘ,-Y)・(q/2-X,-Y)=X^2+Y^2-(q^2)/4=p
⇔X^2+Y^2=p+(q^2)/4
よってAは原点を中心とした半径√{p+(q^2)/4}の円の周上を動く。したがって三角形ABCが存在するための必要十分条件は、
p+(q^2)/4>0かつY≠0

Y≠0をp,qの式にできないのですが、どうすれば良いのですか？

No.21706 - 2013/06/12(Wed) 18:51:46

☆ Re: ベクトル / IT

三角形ABCが「存在するための」必要十分条件は、
p+(q^2)/4>0 だけでいいと思います。（解答はないんですか？）

なぜかは、ご自分でもう一度よく考えて見てください。
へたに説明すると、かえって混乱されるといけないので説明しません。

No.21710 - 2013/06/12(Wed) 20:20:27

☆ Re: ベクトル / ktdg

考えてみたのですがわかりません。
Y=0でもよいということはA,B,Cが一直線上にあっても三角形ABCは存在するということですよね。自分の解釈がおかしいのでしょうか？

No.21721 - 2013/06/14(Fri) 15:29:04

☆ Re: ベクトル / IT

> Y=0でもよいということはA,B,Cが一直線上にあっても三角形ABCは存在するということですよね。
「Y=0でもよい」といっているわけではありません。

X^2+Y^2=p+(q^2)/4かつY≠0である実数の組(X,Y)が一つ存在すれば良いのです。
p+(q^2)/4＞0ならば
A(X,Y)=(0,√{p+(q^2)/4})とするとY＞0なのでABCは三角形となりますし、条件を満たしますね。

No.21729 - 2013/06/14(Fri) 19:08:20

☆ Re: ベクトル / ktdg

丁寧な説明ありがとうございます。
納得しました。

No.21739 - 2013/06/15(Sat) 16:50:09

★ (No Subject) / 現役たけ

平面上のベクトル↑(a),↑(b)が　

　｜↑(a)+3↑(b)|=1,|3↑(a)-↑(b)|=1
を満たすように動く。このとき、|↑(a)+↑(b)|の最大値R,最小値ｒを求めよ

どうか教えてください、お願いします。

No.21701 - 2013/06/11(Tue) 23:10:58

☆ Re: / X

|↑a+3↑b|=1 (A)
|3↑a-↑b|=1 (B)
とします。
↑a+3↑b=↑x (C)
3↑a-↑b=↑y (D)
と置くと(A)(B)はそれぞれ
|↑x|=1 (D)
|↑y|=1 (E)
また(C)(D)を↑a、↑bについての連立方程式と見て
解くことにより
↑a=(↑x+3↑y)/10
↑b=(3↑x-↑y)/10
∴|↑a+↑b|=(1/5)|2↑x+↑y| (F)
よって問題は(D)(E)のときの(F)の最大値、最小値を
求めることに帰着します。
f=(1/5)|2↑x+↑y|
と置くと(D)(E)より
f^2=1/5+(4/25)↑x・↑y
よって
1/5-4/25=1/5-(4/25)|↑x||↑y|≦f^2≦1/5+(4/25)|↑x||↑y|=1/5+4/25
∴1/25≦f^2≦9/25
ですので
R=3/5
r=1/5
となります。

No.21704 - 2013/06/12(Wed) 12:28:45

☆ Re: / 現役たけ

丁寧な解説本当にありがとうございます。

No.21707 - 2013/06/12(Wed) 19:47:04

★ 図形の面積 / Bashi

面積が1の三角形ABCで、0<t<1のとき、辺ABをｔ：(1-t)に内分する点をP、辺ACをt^3：(1-t^3）に内分する点をQとおく。
線分BQとCPの交点をRとし、三角形RBCの面積をf(t)で表す。

・f(t)を求めよ

という問題なのですが、チェバ・メネラウスを使おうとしているのですが、どこに使ってどう表していけばよいのかが見えません。
方針だけでもいいので教えてください

ほかの方法もあったら教えてください

お願いします

No.21698 - 2013/06/11(Tue) 21:55:27

☆ Re: 図形の面積 / ヨッシー

△ＲＢＣの面積をｘとすると
　△ＲＢＣ：△ＲＣＡ＝（１－ｔ）：ｔ
より
　△ＲＣＡ＝ｔｘ/（１－ｔ）
さらに
　△ＲＢＣ：△ＲＡＢ＝（１－ｔ^3）：t^3
より
　△ＲＡＢ＝t^3ｘ/（１－ｔ^3）
以上より
　△ＡＢＣ＝△ＲＢＣ＋△ＲＣＡ＋△ＲＡＢ
　　＝ｘ（１＋ｔ/（１－ｔ）＋t^3/（１－ｔ^3））
　　＝ｘ(t^3＋t^2＋t＋1)/（１－ｔ^3)
よって、
　x=f(t)＝(1-t^3)/(t^3＋t^2＋t＋1)

No.21700 - 2013/06/11(Tue) 23:05:00

★ 応用バージョン / PT

行列のｎ乗を求める問題ですが定石どうりにいかない問題のようです。
（３）までできました。（４）をよろしくお願いします

（１）ケーリーハミルトンの定理を証明せよ
（２）
B=
1 -1
-1 1

C=
3 4
3 4
のときB^n、C^nを求めよ
（３）BCとCBを求めよ（BC=CB=０じゃないのが残念です）
（４）（B+C)^nを求めよ

No.21691 - 2013/06/11(Tue) 20:11:27

☆ Re: 応用バージョン / X

方針を。

(3)の結果より
BC=O
ですので(B+C)^nを展開した場合の
Bがk個
Cがn-k個
(但しk=0,1,…,n)
の積の項は
(C^k)B^(n-k)
しか残りません。
(∵)途中でBとCの順序が一箇所でも逆になっている、
つまりBCを挟んでいる項は全て零行列になる。

∴(B+C)^n=Σ[k=0～n](C^k){B^(n-k)}
後は(2)の結果を使い、(C^k){B^(n-k)}の各成分を
計算します。

No.21694 - 2013/06/11(Tue) 21:14:53

☆ Re: 応用バージョン / PT

回答ありがとうございます。

(B+C)^nを展開とあるのですが、そもそもｎ乗の場合どうやって展開するのですか？行列で二項定理で展開できるのはBCが交換可能のときだけだと習ったのですが

No.21695 - 2013/06/11(Tue) 21:39:25

☆ Re: 応用バージョン / X

展開するときに二項定理は使いません。
分配法則を使い、交換をせずにばらばらで考えるということです。

簡単のためn=3の場合で考えると
(B+C)^3=B^3+{(B^2)C+BCB+CB^2}+{BC^2+CBC+(C^2)B}+C^3 (A)
となりますがNo.21694の説明の通り
(B^2)C=B(BC)=O
BCB=(BC)B=O
ですのでBが2個、Cが1個で構成される積の項は
CB^2
しか残りません。
同様に
BC^2=(BC)C=O
CBC=C(BC)=O
ですのでBが1個、Cが2個で構成される積の項は
(C^2)B
しか残りません。
従って(A)は
(B+C)^3=B^3+CB^2+(C^2)B+C^3
=Σ[k=0～3](C^k){B^(3-k)}
同様のことを一般のnについて考えます。

No.21697 - 2013/06/11(Tue) 21:49:05

☆ Re: 応用バージョン / X

もう一点。
(2)をちゃんと計算していなかったので
>>後は(2)の結果を使い、(C^k){B^(n-k)}の各成分を
>>計算します。
と書いたのですが、この問題の場合は
B^n={2^(n-1)}B
C^n={7^(n-1)}C
というようにnの式が行列の係数にしか含まれませんので
各成分を計算する前に係数のみで式の簡単化ができます。
つまり
(B+C)^n=Σ[k=0～n](C^k){B^(n-k)}
=B^n+Σ[k=1～n-1](C^k){B^(n-k)}+C^n
={2^(n-1)}B+Σ[k=1～n-1]{2^(k-1)}{7^(n-k-1)}CB+{7^(n-1)}C
={2^(n-1)}B+[Σ[k=1～n-1]{(2/7)^(k-1)}]{7^(n-2)}CB+{7^(n-1)}C
={2^(n-1)}B+[5{7^(n-1)-2^(n-1)}]CB+{7^(n-1)}C
=…

No.21699 - 2013/06/11(Tue) 22:15:14

☆ Re: 応用バージョン / PT

回答ありがとうございます
(B+C)^3=B^3+CB^2+(C^2)B+C^3
=Σ[k=0～3](C^k){B^(3-k)}だからといって
なぜ一般のnで(B+C)^n=Σ[k=0～n](C^k){B^(n-k)}
が成り立つといえるのかが分かりません・・

No.21715 - 2013/06/13(Thu) 20:08:57

☆ Re: 応用バージョン / X

n=3の場合は飽くまで例です。この考え方を一般のnについて
拡張して考えるという意味です。

ではNo.21694をもう少し詳しく書いてみます。
(B+C)^nを展開した場合
Bがn-k個
Cがk個
(但しk=0,1,..,n)
で構成される積の項は二項定理での考え方により
nCk[個]
できます。
しかし、そのうち,Bが一つでもCの前にあるような順序となる積
例えば
B(C^k)B^(n-k-1)
や
{C^(k-2)}B(C^2)B^(n-k-1) (A)
と言った場合はBCを挟む形になるので全て零行列になります。
(注：(A)の場合はC^2の前にBが存在するので条件に該当)
従って残るのはBがCの前に一つも存在しない順序の積である
(C^k){B^(n-k)}
のみとなります。

No.21737 - 2013/06/15(Sat) 13:43:33

★ 空間図形の難問 / 佐竹

以下の問題がわからなくて、困っています。
一辺が10の正四面体K内部に一辺が1の正四面体Tがある。
以下の条件のもと、K内部でTが通過出来ない部分の領域の体積を求めよ。

条件
TはK内部にあり、Tの辺の少なくとも一つがKの返上にあるようにTを動かす。

以下自分で考えた方法
以下Tの体積をtとして考えると、
考え方として頂点で重なる領域（4つ）と、エッジ部分の領域（6つ）の領域を足したものが、Tの通過出来る領域である。

頂点部分は一辺が2の正四面体ABCDをを考えれば、AB,AC,ADの中点をそれぞれLMNとすると、正四面体ALMNが辺AB,AC,AD上を動くとき、正四面体ABCDの内部で通過出来ない領域の体積はt/2だから、通過領域は8tーt/2=15t/2

またエッジ部分は、図がなくて説明しにくいですが、
Tと同じ高さで、底面がTの重心と頂点2つを通る平面で切断した断面と同じ三角柱に、T一つ分を足したもので、計算すると
この領域の体積は19t

従って通過領域の体積は、19t×6+4×15t/2=144t
kの体積は1000tだから、求める体積は1000tー144t=856t
t=√2/12だから、856×√2/12=214√2/3

だとおもうのですが、どうでしょうか？

No.21683 - 2013/06/11(Tue) 09:40:23

☆ Re: 空間図形の難問 / X

考え方に問題はありませんが不備を二点ほど。
まず一点目。これは説明不足ということですが
>>正四面体ABCDの内部で通過出来ない領域
の形状を具体的に書いたほうがいいと思います。
もう一つは
>>エッジ部分は～体積は19t
についてですがこの「エッジ部分」はTを19個ではなくて
13個組み合わせてできる立体となると思います。
(四面体ABCDを取り除く際に1辺の長さを1として
取り除いてしまっていませんか？)

No.21684 - 2013/06/11(Tue) 11:26:42

☆ Re: 空間図形の難問 / 佐竹

端の領域の取り方によって、エッジの部分も変わりますね。

帰って来たので図をアップしてみます。
まずAについて、Tが移動するとき3方向考えられますが、そのときA周りの移動するときの共通領域図から一辺が2の正四面体から四面体領域GDEFを取り除いた部分です。
これが上で説明した領域部分です（体積t/2)

No.21688 - 2013/06/11(Tue) 20:05:54

☆ Re: 空間図形の難問 / 佐竹

一つ目

No.21689 - 2013/06/11(Tue) 20:06:20

☆ Re: 空間図形の難問 / 佐竹

二つ目

No.21690 - 2013/06/11(Tue) 20:06:40

☆ Re: 空間図形の難問 / 佐竹

エッジ部分です
TをAP方向に動かしたとき平面PDFよりしたの部分では
底面が6,7の台形で高さがTの立体になっています。

これを分解すると
高さ6、底面は高さ＝Tの高さ、底辺が√3/2の三角柱
とTをちょうど二等分した立体が端にひとつずつあるので、合わせて、T一つ分の領域になります。

したがってエッジ部分の領域を計算すると上記のように19tとなりました

No.21692 - 2013/06/11(Tue) 20:22:10

☆ Re: 空間図形の難問 / 佐竹

画像３枚目です

No.21693 - 2013/06/11(Tue) 20:23:13

☆ Re: 空間図形の難問 / X

ごめんなさい。エッジ部分で複数のTを組み合わせるイメージを
間違えていました。
仰るとおり、エッジ部分の体積は19tで問題ありません。

尚、くどいようですが
>>正四面体ABCDの内部で通過出来ない領域
ですが、
底面がTと同じで高さがTの半分の三角錐
という説明を入れる必要があります。
(添付された図は記述式の試験では恐らく描くのは難しいので)

No.21696 - 2013/06/11(Tue) 21:42:15

★ (No Subject) / イエーツ

数列{ａn}が次の条件を満たすとする。　
　ａ1＝１、ａ2＝６、ａn＋２＝６ａn+1－９ａn（ｎ＝１，２，３、・・・）

　（１）ｂn＝ａn+1－３ａnとおくとき、数列{ｂn}の一般項を求めよ。
　（２）　数列{ａn}の一般項を求めよ。

ａnのすぐ後ろに+が続くものは、ａnにかかっているのではなく、nにかかっています。

途中計算、解説、詳しく欲しいです。

No.21678 - 2013/06/10(Mon) 21:40:42

☆ Re: / X

a[n+2]=6a[n+1]-9a[n] (A)
とします。
(1)
(A)より
a[n+2]-3a[n+1]=3(a[n+1]-3a[n])
∴b[n+1]=3b[n] (B)
又
b[1]=a[2]-3a[1]=3 (C)
(B)(C)より
b[n]=3^n
(2)
(1)の結果より
a[n+1]-3a[n]=3^n
両辺を3^nで割って
a[n]/3^(n-1)=c[n]
と置いてみましょう。

No.21680 - 2013/06/10(Mon) 21:45:29

★ 確率 / イエーツ

３個のさいころを同時になげるとき、出る目の積が4の倍数であるとき確率を求めよ。

余事象で解くみたいなんですけど、どう考えたらいいですか!?
　

No.21675 - 2013/06/10(Mon) 19:54:31

☆ Re: 確率 / IT

全事象の数＝　6^3

４の倍数である事象の数＝全事象の数－４の倍数でない事象の数

４の倍数でない事象のパターン
　（奇数、奇数、奇数）
　（2か6、奇数、奇数）2か6のさいころは３通り。
それぞれの事象の数の和を求めます。

No.21676 - 2013/06/10(Mon) 20:20:27

☆ Re: 確率 / イエーツ

私なりの考えをしてみます！　添削できればお願いします。
もっと正しい計算方法があればそれもお願いします。

（奇数、奇数、奇数）の事象の数
３！×３÷３＝６(個)　

（2、奇数、奇数）の事象の数
４つ　　←数えました。

（6、奇数、奇数）の事象の数
上に同じ４つ

４の倍数である事象の数＝全事象の数－４の倍数でない事象の数
　　＝３６－(６＋４＋４)
　　＝２２

・・・・ちがいますよね？

（2か6、奇数、奇数）2か6のさいころは３通り。
というのが全く理解できないのと、
（奇数、奇数、奇数）の計算の仕方があっているのかわからないです。

お願いします。

No.21677 - 2013/06/10(Mon) 21:14:39

☆ Re: 確率 / IT

> （奇数、奇数、奇数）の事象の数
> ３！×３÷３＝６(個)　
どういう計算ですか？

３×３×３＝２７（通り）になると思いますが。

> （2、奇数、奇数）の事象の数
> ４つ　　←数えました。
どうやってかぞえましたか？
３×３＝９（通り）になると思いますが。

（2か6、奇数、奇数）
２×３×３＝１８通り　※＝９+９

>（2か6、奇数、奇数）2か6のさいころは３通り。
>　というのが全く理解できないのと、

（2か6、奇数、奇数）
（奇数、2か6、奇数）
（奇数、奇数、2か6）の３通りという意味です

２×３×３　×３＝５４（通り）

No.21679 - 2013/06/10(Mon) 21:41:14

☆ Re: 確率 / イエーツ

３×３×３＝２７（通り）
にしてしまうと、
(１．３．１)　と(３．１．１)
を、多めに考えてしまうのかと思ったのですが
３×３×３＝２７（通り）　といわれると、自己解決できました。

計算してみたら、答えまでたどり着けました！！！！！
ありがとうござます。

No.21681 - 2013/06/10(Mon) 22:12:27

★ ベクトル / 高２です

平面上の三角形ＡＢＣと点Ｐは3↑(PA)+2↑(PB)と↑(PC)=↑（０）を満たしている
(1)↑(AP)を↑(AB)と↑(AC)を用いて表せ
(2)三角形PAB,三角形PBC,三角形PCAの面積の比を求めよ

教えてください。お願いします。

No.21671 - 2013/06/10(Mon) 00:46:24

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

3↑(PA)+2↑(PB)+↑(PC)=↑（０）ってことですかね？

(1)
すべてのベクトルをＡを始点としたものに置き換えると、
　－３ＡＰ＋２(ＡＢ－ＡＰ)＋(ＡＣ－ＡＰ)＝０
整理して
　６ＡＰ＝２ＡＢ＋ＡＣ
　ＡＰ＝(２ＡＢ＋ＡＣ)／６
(2)
ＢＣを１：２に内分する点をＤとすると、
　ＡＤ＝(２ＡＢ＋ＡＣ)／３
なので、
　ＡＰ＝ＡＤ／２
より、ＰはＡＤの中点となります。

図の●がそれぞれ面積を表しています。

△ＰＡＢ:△ＰＢＣ：△ＰＣＡ＝１：３：２

No.21672 - 2013/06/10(Mon) 06:57:13

☆ Re: ベクトル / 高２です

助かりました、ありがとうございます。

No.21708 - 2013/06/12(Wed) 19:49:32

★ 整数論 / ごろう

(a,b)=1のとき、
?@(a^2,b)=1,(a,b^2)=1,(a^2,b^2)=1　が成り立つことを証明してください
?A(a^2+b^2,a)=1 (a^2+b^2,b)=1が成り立つことを証明してください
?B(a^2+b^2,ab)=1が成り立つことを証明してください

お願いします

No.21667 - 2013/06/09(Sun) 20:41:23

☆ Re: 整数論 / IT

> (a,b)=1のとき、
> ?@(a^2,b)=1,(a,b^2)=1,(a^2,b^2)=1　が成り立つこと

（略解）細かい記述は省略

(a,b)=1 →　ax+by=1
(a^2,b)=c→a^2=cs,b=ct
a=a(ax+by)=(a^2)x+aby=csx+acty=c(sx+aty)
→cはa,bの公約数
よって(a^2,b)=c=1…?@
同様に(a,b^2)=1…?A

また、(a,b)=1 →(a^2,b)=1→(a^2,b^2)=1（∵?A）

※素因数分解の一意性定理を使えば、スッキリ証明できると思いますが。

No.21682 - 2013/06/10(Mon) 23:17:22

☆ Re: 整数論 / ごろう

ありがとうございます
助かりました

No.21753 - 2013/06/16(Sun) 21:20:12

★ 法計算 / なな

(1)　98^(89)の下二桁を求めよ、という問題で、

98≡-2(mod100)

としてから行き詰っていて解けません。
よろしくお願いします。

No.21656 - 2013/06/09(Sun) 16:37:00

☆ Re: 法計算 / IT

もっと良い方法があるかもしれませんが
98^(89)≡-{2^(89)}
2^(89)≡2^{(9*9)+8}
≡{(2^9)^9}(2^8)
≡{512^9}256
≡{12^9}56
≡{(10+2)^9}56
後は２項展開

No.21660 - 2013/06/09(Sun) 17:37:42

☆ Re: 法計算 / ペンギン

ご参考までに
ITさんの別解です。

例えば2^12≡4096≡-2^2(mod 100)を使ってみてはいかがでしょう？

98^89≡-2^89≡-(-2^2)^7・2^5≡2^19≡1024・512≡88
(mod 100)
となります。

計算はご確認ください。

No.21661 - 2013/06/09(Sun) 17:43:43

☆ Re: 法計算 / なな

お二方ありがとうございました。理解できました。

666^1984の一の位を求めよ、という問題も解いてみましたが
添削お願いいたします。

666≡6,2^1984≡6 (mod 10)より,

666^1984≡2^(1984)*3^(1984)
≡6*(3^4)^496
≡6　(mod 10)

No.21662 - 2013/06/09(Sun) 18:13:57

☆ Re: 法計算 / IT

6*6≡36≡6なので
１以上の任意の整数nについて
6^n≡6
を使えばよいのでは？

No.21663 - 2013/06/09(Sun) 18:22:04

☆ Re: 法計算 / IT

元の計算について、あっていると思いますが
> 666≡6,2^1984≡6 (mod 10)より,
2^1984≡6は、どこからきましたか？（前の問題で計算済み？）

> 666^1984≡2^(1984)*3^(1984)
> ≡6*(3^4)^496
≡6*81^496
記述式なら3^4=81を明記したほうがいいかも。
> ≡6　(mod 10)

No.21664 - 2013/06/09(Sun) 18:40:33

☆ Re: 法計算 / なな

2^1984≡6は、
2≡2、4≡4、8≡8、16≡6、32≡2
...　
2^1983≡8、2^1984≡6(mod 10)
として計算しました。

添削ありがとうございました。6^n≡6ですぐ解決することにはとても驚きました。ご指導ありがとうございます。

No.21665 - 2013/06/09(Sun) 20:21:03