m,nを0以上の整数とするとき、定数a,bに対し
I(m,n)=∫[a〜b]{(x-a)^m}(x-b)^n dx
とおく。ただし (x-a)^0=1, (x-b)^0=1とする。
(1)
n≧1のとき、I(m,n)とI(m+1,n-1)の関係式を求めよ。
(2)
I(m,n)を求めよ。
(x-a)^0=1, (x-b)^0=1とするということは、0^0=1と定義するということですよね？
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No.21757 - 2013/06/17(Mon) 20:56:42
| ☆ Re: 積分 / ７７７ | | | そうです。0^0=1は定義です。
いつだかの佐賀大学の問題で0^0＝１を知らないと答えが出せないものもありました。
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No.21760 - 2013/06/17(Mon) 23:20:21 |
| ☆ Re: 積分 / ktdg | | | ７７７さん回答ありがとうございます。
0^0は通常定義されないが、この問題では便宜上0^0=1として扱うということですか？それとも大学入試においては0^0=1と定義するということですか？
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No.21769 - 2013/06/18(Tue) 21:58:51 |
| ☆ Re: 積分 / 777 | | | 大学ではどうかは知りませんが、少なくとも大学入試では０＾０＝１とは定義だと教わりました。
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No.21792 - 2013/06/20(Thu) 23:28:04 |
| ☆ Re: 積分 / ast | | | いろいろと語弊のあると思われるやりとりがされていて, きちんと述べるのも億劫ですが, この問題に限って言うならば,
> (x-a)^0=1, (x-b)^0=1とする
という話での ktdg さん言うところの
> 0^0
というのは, 明らかに x^0 の x → 0 なる極限のことで, これは確定する極限であって, x^0 → 1 (as x → 0) です.
本問についてもう少しだけ正確に述べるなら,
> ∫[a〜b]{(x-a)^m}(x-b)^n dx
という積分において, 端点 x=a, x=b における値が実際になんであったとしても, 一点のみにおける値は積分値には影響しないという事実から, 本問においてはその値の意味を考えることには意味がありません. つまり, 積分区間 [a,b] を十分小さな正の数 ε_1,ε_2 > 0 に対する [a+ε_1, b-ε_2] の ε_1,ε_2 ↓ 0 なる極限（要するに開区間 (a,b) と同じこと）と考えても, 積分は変わることが無く, それと同時に 0^0 の値は何かという問題自体を回避することができます.
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一般の場合に, (文脈を無視しては) 0^0 を定義しない, というのはもっと複雑なことを意味していますが, (語弊はあると思うが) 平たく言えば「ある種の不定形だから, 意味がはっきりしないうちは使わない」ということになります. 見かけ上 0^0 の形が出てくるからといって, 本当に 0^0 という「もの」が存在するわけではないことも多いです. また, 文脈上一意的な意味が付けられる場合に 1 や 0 のような特定の値を (規約として) 定義することはあり, 本問もそのような場合の一つだと考えることはできます.
高校レベルで他によく出てくる「0^0」というと, 多項式函数に対する「x^0 の x=0 のときの値は 1 だから 0^0=1」というのが挙げられますが, これは多項式と多項式函数の区別がついていない状況では理解が難しいかもしれません. これは本来的には定数を定数項として多項式の仲間に入れること（定数多項式）を考えるときにx^0≡1という「(演算までこめた) 同一視」が矛盾なく可能であるというのが先にある話で, x^0 や 0^0 は見かけ上のものでしかない (実際にあるのは多項式としての 1 によって定められる多項式函数としての, 常に 1 という値を取る定数函数だけです).
# 本問をこの枠組みで説明することもできます (級数展開なども使うが).
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No.21795 - 2013/06/21(Fri) 20:24:39 |
| ☆ Re: 積分 / ktdg | | | astさん、詳しい説明ありがとうございます。
∫[a〜b]{(x-a)^m}(x-b)^n dx が存在するということは[a,b]で定義された関数 f(m,n)(x)={(x-a)^m}(x-b)^n が存在するということなので 0^0を定義したのかと思ったのですが、積分には端点は関係ないので考える必要がないのですね。
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No.21816 - 2013/06/23(Sun) 20:04:36 |
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