ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 小学生の算数 / 海坊主

「ひろしさんは、これまでに何回かボール投げをしました。これまでの記録の平均は５２ｍです。ひろしさんがもう1回投げたら、６４ｍ投げることができたので、平均が５４ｍになりました。ひろしさんがボール投げをした回数は全部で何回でしょうか。」

答
最後の1回と平均の差は64-52=12
これまでの平均ともう1回分の平均の差は54-52=2
12を2つずつ分けると12÷2＝6
よって投げた回数の合計は6回
とあるのですが、よくわかりません。どうしてこの解き方で答が出せるのか教えて下さい。お願いします。

No.21833 - 2013/06/26(Wed) 11:48:47

☆ Re: 小学生の算数 / X

まず最後のボール投げで平均が
54-52=2[m] (1)
上がったことに注目します。
この平均が上がった理由は最後のボール投げの距離が
平均より
64-52=12[m] (2)
だけ遠くに投げられたということです。
(逆に距離が52[m]より短ければ平均は下がります。)
(2)をボール投げの各回に均等に割り振った結果、平均が(1)だけ
上がっているわけですからボール投げの回数は
12÷2=6[回]
となります。

No.21835 - 2013/06/26(Wed) 12:35:24

☆ Re: 小学生の算数 / WIZ

前回までにx[回]投げたとします。
前回までの記録の合計をy[m]とします。
前回までの平均が52[m]ですから、y/x = 52・・・(1)
今回を入れた平均が54[m]ですから、(y+64)/(x+1) = 54・・・(2)

よって、上記をx, yの連立方程式と見なして解けば、x = 5, y = 260となります。
今回をいれればx+1 = 6回投げたことになりますね。

No.21836 - 2013/06/26(Wed) 13:03:18

☆ Re: 小学生の算数 / かーと

高さが52の棒が何本か立っているのを思い浮かべてください。
その横に高さ64の棒を一本置いたと考えてみましょう。

64の棒だけがちょっと出っぱった形になりますね。

平均が54になったということは、この出っぱりをちぎって、
全部の棒の高さが同じになるように分けたときに、
全部の棒の高さが54にそろったということです。

そこで64の棒から出っぱり（64-52=12）をまずちぎります。
この12を分けるのですが、分けた結果として
棒の高さは52→54と2だけ大きくなるので、
この12を2ずつ分けていかないといけません。

棒の数は12を2ずつ分けてちょうどいい数だけあるので、
12÷2=6本、すなわち全部で6回投げたことになります。

No.21843 - 2013/06/27(Thu) 02:49:44

☆ Re: 小学生の算数 / 海坊主

返信遅れて申し訳ございません。
どれも大変わかりやすい回答でした。
ありがとうございました。

No.21941 - 2013/07/10(Wed) 01:07:42

★ 空間 / pink

この問題を教えてください。

No.21829 - 2013/06/26(Wed) 00:13:35

☆ Re: 空間 / X

扇形の弧の部分の両方の端点を通り、北東から南西の向きにx軸を、
扇形の中心から南東の向きにy軸をそれぞれ取ります。
この時、問題の扇形の弧を表す方程式は
y=√(1-x^2) (-1/√2≦x≦1/√2)
ですのでx軸に垂直な平面による問題の立体の断面は
等しい２辺の長さが
y-|x|=√(1-x^2)-|x|
である直角二等辺三角形。
∴その断面積Sは
S=(1/2){√(1-x^2)-|x|}^2
よって
V=∫[-1/√2→1/√2]Sdx=2∫[0→1/√2]Sdx
(∵)Sはxの偶関数
=∫[0→1/√2]{{√(1-x^2)-x}^2}dx
=∫[0→1/√2]{1-2x√(1-x^2)}dx
=[x+(2/3)(1-x^2)^(3/2)][0→1/√2]
=(7/6)√2-2/3
となります。

No.21830 - 2013/06/26(Wed) 10:18:22

★ 指数対数 / ぴこ

?@まず5数の内4数がグラフにより容易に大小比較できるみたいですが、対数のグラフの描き方から求め方が一切分かりません。

よろしくお願いします

No.21827 - 2013/06/25(Tue) 12:35:19

☆ Re: 指数対数 / X

y=log[a]x
のグラフの形状は次の二点を押さえます。
(i)底aの値によらず点(1,0)を通る
(ii)
0＜a＜1のとき単調減少
1＜aのとき単調増加
(教科書の対数の項目を復習しましょう。)

この問題では底を3に揃えて考えるのがよいと思いますが
(ii)により
0＜x＜yのときlog[3]x＜log[3]y
であることを使います。

ちなみに？が付いている下線部の∵ですが(ii)により
log[2]3＞log[2]2=1
です。

No.21828 - 2013/06/25(Tue) 15:33:31

★ 文章題 / シャルル

長い文章題の質問です。よろしくお願いします。

　ある塩の水溶液Ａ，Ｂは濃度が互いに異なり、それぞれが１２００グラムずつある。両方を別々のビンにいれて保管していたところ、水溶液Ａが入ったビンの蓋が緩んでいたため、水溶液Ａの水分が蒸発した結果、１００グラムの塩が沈没した。

　この沈殿物を取り除くと、水溶液の重量は８００グラムとなったが、これに水溶液Ｂのうちの４００グラムを加えたところ、この水溶液の濃度は水溶液Ａの当初の濃度と同じになった。

次に、水溶液Ａから取り出した沈殿物１００グラムに、水溶液Ｂのうちの５００グラムを加えて溶かしたところ、この水溶液の濃度も水溶液Ａの当初の濃度と同じになった。

水溶液Ａの濃度はいくらか。

なお、沈殿物を取り除く際は、水分は取り除かれないものとする。

　

No.21819 - 2013/06/23(Sun) 21:22:35

☆ Re: 文章題 / ヨッシー

当初の水溶液Ａ，Ｂの濃度をa, b とします。
当初の塩の量は 1200aｇ, 1200bｇです。

水溶液Ａから蒸発した水は300ｇ, 取り除かれた塩は100ｇであり、
残った塩の量は 1200a－100（ｇ）
これに、Ｂからの400g に含まれる 400b の塩を加えると、
出来た水溶液は最初と同じ 1200ｇなので、塩の量も 1200aｇ。つまり、
　1200a－100＋400b＝1200a
よって、
　b＝0.25

さらに、水溶液Ｂ500ｇ（塩の量 500bｇ) に、塩 100ｇを加えると、
　500b＋100＝600a
これにb＝0.25 を代入して、a＝0.375＝37.5%　・・・答え

となります。

No.21821 - 2013/06/23(Sun) 22:08:45

☆ Re: 文章題 / シャルル

分かりました。ありがとうございます。

No.21823 - 2013/06/24(Mon) 20:14:28

★ 楕円に接する円 / 佐竹

ふとしたところか疑問に思って、やってみるとちょっとわからんという問題にぶちあたりました。

aを正の定数とし、
楕円D：x^2+y^2/4=1
円C:(x-a)^2+y^2=a^2
とする.
楕円D内部で円Cが接するとき、aの値を求めよ。

解１
点(a,0)から楕円Dまでの距離dの最小値がaであればよいので、
楕円上の点を(p,q)とおくと
d^2-a^2=(p-a)^2+q^2-a^2
=p^2-2ap+q^2
=p^2-2ap+4(1-p^2) (∵条件より)
=-3p^2-2ap+4≧0

よって左辺の最小値が0であればよいので、左辺=f(p)とおくと
f(p)=-3p^2-2ap+4=-3(p+a/3)^2+a^2/3+4
-a/3<0，-1≦p≦1からp=1のとき最小なのでこれが0になればよい
f(p)≧f(1)=1-2a=0⇔a=1/2

解２
接することから重複条件、判別式＝０にもちこむ
楕円D
y^2=4(1-x^2)を円の式に代入すると、
(x-a)^2+4(1-x^2)=a^2
⇔-3x^2-2ax+4=0
⇔3x^2+2ax-4=0
重複条件から
判別式=a^2+12

解２でやると判別式=0になるはずですが、aは実数なので判別式は0にならないという事態に陥りました。
これには何が起きているのでしょうか。
判別式=0が重複ではないとしたら、接する条件、接する判定は解１の通りにやらないとaは出せないのでしょうか。

長いですが、どうかよろしくお願いします

No.21813 - 2013/06/23(Sun) 17:59:42

☆ Re: 楕円に接する円 / 受験生

接する⇔判別式＝０
とできるのは
放物線と直線が接する時、
円と直線が接する時だけ
だった気がします。

二次曲線どうしが接する時には使わないほうがいいんだと思います。。

No.21814 - 2013/06/23(Sun) 19:36:31

☆ Re: 楕円に接する円 / 佐竹

こちらのサイトでは接するとき判別式＝０としていますが
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle2.htm

No.21815 - 2013/06/23(Sun) 20:03:03

☆ Re: 楕円に接する円 / X

こちらでそのサイトを拝見しましたが、これは円、楕円の方程式を
xの関数と考えるか,yの関数で考えるかによるものだと思います。
仮に円と楕円がx軸との交点で接する場合、共通接線は
y軸平行となりますので、xの関数として考える、つまり
yを消去してxの方程式を解く
という方針では重解とはなりません。

この問題の場合、判別式を使わない一つ目の方針で
得られた結果を使うと分かりますが、接点の座標は
(1,0)
ですので上記の「重解とならない場合」に相当します。

当然ですが問題を見た時に接点がどこになるかを識別するのは
一般には難しいですので受験生さんが仰るとおり、判別式を
使う方針は避けるのが無難だと思います。

No.21817 - 2013/06/23(Sun) 20:40:21

☆ Re: 楕円に接する円 / 佐竹

これは判別式をただ重解をもつ条件とした場合落ちいってしまう問題なんですね。

意外な落とし穴でした
ありがとうございました

No.21818 - 2013/06/23(Sun) 20:47:12

★ (No Subject) / 高3

画像の積分法の応用の問題が分かりません。
面積の和で評価して考えようと思ったのですが、何から始めていいのかすら分かりません。
よろしくお願いします。

No.21811 - 2013/06/23(Sun) 11:20:13

☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています / のぼりん

こんにちは。区分求積法や部分積分等により、
　　　??_ｋ＝１^ｎｌｏｇｋ＝??_ｋ＝２^ｎｌｏｇｋ＞∫_１^ｎｌｏｇｘｄｘ
　　　＝〔ｘｌｏｇｘ〕_１^ｎ－∫_１^ｎｄｘ＝ｎｌｏｇｎ－ｎ＋１
です。両辺からｎｌｏｇｎ－ｎ＋１を引き、
　　　０＜??_ｋ＝１^ｎｌｏｇｋ－（ｎｌｏｇｎ－ｎ＋１）＝ｎ－１＋??_ｋ＝１^ｎｌｏｇ（ｋ/ｎ）
です。同様に、
　　　??_ｋ＝１^ｎｌｏｇｋ＝ｌｏｇｎ＋??_ｋ＝１^ｎ－１ｌｏｇｋ
　　　＜ｌｏｇｎ＋∫_１^ｎｌｏｇｘｄｘ＝ｌｏｇｎ＋〔ｘｌｏｇｘ〕_１^ｎ－∫_１^ｎｄｘ
　　　＝ｌｏｇｎ＋ｎｌｏｇｎ－ｎ＋１
です。両辺からｎｌｏｇｎ－ｎ＋１を引き、
　　　ｌｏｇｎ＞??_ｋ＝１^ｎｌｏｇｋ－（ｎｌｏｇｎ－ｎ＋１）＝ｎ－１＋??_ｋ＝１^ｎｌｏｇ（ｋ/ｎ）
です。

No.21812 - 2013/06/23(Sun) 17:19:08

☆ 積分 / 高3

件名の入れ忘れ失礼致しました。

7行目から8行目にかけての式はどのようにやったらなりますか？
lognにかかっているnを上手く処理することができないです。
また、『同様に、…』の後でΣがn-1となるのはなぜですか？

再度質問すいません。

No.21820 - 2013/06/23(Sun) 21:29:39

☆ 再返信 / のぼりん

先ず、
　　　??_ｋ＝１^ｎｌｏｇｋ＝ｌｏｇｎ＋??_ｋ＝１^ｎ－１ｌｏｇｋ
は総和記号 ?? の定義から従います。次に、
　　　ｌｏｇｎ＋??_ｋ＝１^ｎ－１ｌｏｇｋ＜ｌｏｇｎ＋∫_１^ｎｌｏｇｘｄｘ
は、左右両辺の第二項に区分求積法を当てはめて不等号＜を導きます。

No.21822 - 2013/06/24(Mon) 19:57:38

★ (No Subject) / abc

「1+1＝2でないことがある。数学的に説明せよ。」という問題が京大で出たそうなのですが、何年度の問題ですか。（何年度かは調べてもなかったので・・・）

数学の問題の質問になってなくてすみません。

No.21809 - 2013/06/23(Sun) 02:15:49

☆ Re: / IT

大学入試ですか？（何学部の）院試ですか？
１９７０年以降の大学入試には見当たりませんでした。

どこからの情報ですか？

教養や教育学部の数学入門的な科目の期末試験などなら出題の可能性がありますが、入試問題としては不適当であり可能性は低いと思います。
「１」、「+」、「＝」、「２」について、いろいろな定義が可能です。

No.21810 - 2013/06/23(Sun) 09:07:11

★ 組み合わせ / タック

組み合わせの問題で質問があります。

８０円、３０円、１０円の３種類の切手を、合わせて３０枚、金額合計で１６４０円になるように買いたい。

このような買い方に合致する切手の枚数の組み合わせは何通りあるか。

よろしくお願いします。

No.21806 - 2013/06/22(Sat) 20:50:22

☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

とりあえず３０円切手を３０枚買うと９００円で、１６４０円には
７４０円足りない。
３０円切手１枚を８０円に換えると＋５０円
３０円切手１枚を１０円に換えるとー２０円
金額が増えます。
１．３０円１６枚を８０円に換えて（＋８００円）
　　３０円３枚を１０円に換える（ー６０円）
２．３０円１８枚を８０円に換えて（＋９００円）
　　３０円８枚を１０円に換える（ー１６０円）
３．３０円２０枚を８０円に換える（＋１０００円）
　　３０円１３枚を１０円に換える（－２６０円）
などが考えられますが、３．は、３０円切手は３０枚しかないので、
実現できません。それ以上の枚数も同様です。
よって、
　80円16枚、30円11枚、10円3枚
　80円18枚、30円4枚、10円8枚
の２通りです。

No.21807 - 2013/06/22(Sat) 21:34:53

☆ Re: 組み合わせ / タック

分かりました。ありがとうございました。

No.21808 - 2013/06/22(Sat) 23:41:19

★ 面積について / ガロン

ファイルのように、底面が直径１の円で、かつ高さが４πの円柱に、ひもを底面の点Ｂから真上の点Ａまで等間隔のらせん状に巻いていったところ、ちょうど４周して終わった。
　このひもを用いて円を作ったとき、その面積はいくらか。

よろしくお願いします。

No.21802 - 2013/06/22(Sat) 13:46:01

☆ Re: 面積について / Masa

おそらく、このひもは、縦が4π、横が底面の円周の4倍の長さの長方形の対角線になるということだと思います。
底面の円周の長さは1×π=πなので、4周は4πとなり、
ひもは一辺4πの正方形の対角線となるので、長さ4(√2)πだと思います。
ひもで作った円の半径は4(√2)π/(2π)=2√2より、
面積はπ×(2√2)^2=8πだと思います。
私は題意をこのように読みましたが、違っていたらすいません。

No.21804 - 2013/06/22(Sat) 16:08:24

☆ Re: 面積について / ガロン

ありがとうございます。理解できました。

No.21805 - 2013/06/22(Sat) 19:42:41

★ (No Subject) / タック

確率で質問があります。

ファイルのように、円周上に等間隔に並んだ１２個の点から異なる３個を無造作に選んで三角形を作る時、得られた三角形が正三角形になる確率はいくらか？

よろしくお願いします。

No.21799 - 2013/06/22(Sat) 12:12:19

☆ Re: / IT

任意の１点を選んだとき、残りの２点の選び方は　１１*１０／２＝５５とおり

このうち正三角形になるのは、１とおり

よって、求める確率は１／５５

No.21800 - 2013/06/22(Sat) 13:22:07

☆ Re: / タック

> 任意の１点を選んだとき、残りの２点の選び方は　１１*１０／２＝５５とおりとありますが、ここで２で割るのは何故でしょう？

No.21801 - 2013/06/22(Sat) 13:33:54

☆ Re: / IT

> > 任意の１点を選んだとき、残りの２点の選び方は　１１*１０／２＝５５とおりとありますが、ここで２で割るのは何故でしょう？
最初の点を１としたとき、残りの２点（２、３）を順に選んだときと（３、２）を順に選んだときは、同じ２点の組み合わせだからです。

選ぶ順番も区別して考えるなら
残りの２点を順に選ぶ方法は１１*１０＝110とおり
そのうち正三角形になるのは２とおり
よって、求める確率は２／110＝1/55　となります。

No.21803 - 2013/06/22(Sat) 13:52:09

★ 順列、組み合わせ / ぴろ

こんにちは、場合分けで困っています。

↓↓
abcの３つの箱に、１２３のボールを入れます
※ボールは一箱にはいくつ入れてもいい。ただし、箱の中では左から必ず１→２→３と並べなくてはならない
※ボールの数字はa＜b＜cでなければならない

とした場合、１０通りの場合分けができるのですが、(すべて書き出した)、公式を使用するとどうなりますでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.21788 - 2013/06/20(Thu) 21:40:49

☆ Re: 順列、組み合わせ / X

この問題は一つの箱にボールが複数個入る箱と
全く入らない箱に対するボールの数字を
どう扱うかという条件が足りません。
問題文にタイプミスはありませんか？
もし問題文がアップされたもので全てであるならこれは
問題として成立しません。

No.21789 - 2013/06/20(Thu) 22:03:48

☆ Re: 順列、組み合わせ / らすかる

ボールの入れ方は
(1)(12)(13)(23)(123)の5通りであり
この中から3つを選び小さい順にa,b,cに入れればよいので
5C3=10通り

No.21790 - 2013/06/20(Thu) 22:43:55

☆ Re: 順列、組み合わせ / IT

空の箱はボールの数字がないので無視できるとして考えます。
例えばbの箱が空でaとcが空でないならa＜cであれば良い。
a＜c　とは　aに入っているどのボールの数字もcに入っているどのボールの数字よりも小さい。という意味だとします。
（ボールを箱の中で左から順に並べる意味がわかりませんが）

箱bの左右を２つの仕切りL、Rと考えると
２つの仕切りL,Rと３つのボール１、２、３を順番を崩さずに並べる方法の数なので
５！/(2!3!)=10

※らすかるさんとは、問題の解釈が違っているようです。
やはりＸさんの指摘のとおり問題があいまいですね。
>・abcの３つの箱に、１２３のボールを入れます
各数字のボールの個数は？（１つずつか？）

>※ボールの数字はa＜b＜cでなければならない
例えば１と２を入れた箱の「ボールの数字」とは、１２（十二）なのか？、１、２それぞれなのか？
左から順に並べることから、前者のような気もしますが、

「空の箱」の「ボールの数字」は、０か？、それとも不等式を満たす必要はないのか？

No.21791 - 2013/06/20(Thu) 22:47:57

★ 微分積分(追加質問) / うんうん

No.21592 - 2013/06/02(Sun) 22:33:02にて、
こちらの掲示板に
(1)4x^2-2xy+y^2=1で囲まれる部分の面積を求めよ
(2)条件4x^2-2xy+y^2=1の下で、3xy+8x+4yの最大値と最小値を求めよ

という質問を投稿し、
らすかるさんから、
(1)
x=(u+v)/2, y=u-v とおいて整理すると
面積が変わらずに u^2+3v^2=1 という楕円になるので、
面積は π/√3
(2)
x=(u+v)/2, y=u-v とおくと
4x^2-2xy+y^2=1 → u^2+3v^2=1 → |u|≦1
3xy+8x+4y=2(u+2)^2-17/2 なので
最小値はu=-1のときすなわち(x,y)=(-1/2,-1)のときで-13/2、
最大値はu=1のときすなわち(x,y)=(1/2,1)のときで19/2

という答えを頂きました。

-------------------------
今日解きなおしていてふと思ったのですが、
x=(u+v)/2, y=u-v とおいて整理すれば、解きやすいと思います。
が、x=(u+v)/2, y=u-vとおいたのはなぜなのでしょうか？

何か公式(パターン)のようなものや元の式を変形して、
x,yをこのようにおくことを決定したのでしょうか？

前の問題を持ち出して申し訳ありません。

よろしくお願い致します。

No.21786 - 2013/06/20(Thu) 20:04:30

☆ Re: 微分積分(追加質問) / らすかる

二次式で条件が与えられて最大値や最小値を求めるような問題では、
x=u+v,y=u-v とか x=u+v,y=uv などのように置き換えると
簡単に解ける場合が多々あります。
今回の問題では2x=Xとおけば4x^2-2xy+y^2=X^2-Xy+y^2 となって
X^2とy^2の係数が等しくなり、ここでX=u+v,y=u-vとおくと
u^2とv^2の項だけになりますので、結局 x=(u+v)/2,y=u-v とおくと
（面積も変わらず）うまくいくことになります。

No.21794 - 2013/06/21(Fri) 12:22:25

☆ Re: 微分積分(追加質問) / うんうん

またまたらすかるさん、
ご回答ありがとうございました。

とてもわかりやすい回答で理解することができました。

本当にありがとうございました。
また質問した際は、よろしくお願い致します。

No.21796 - 2013/06/21(Fri) 21:46:38

★ 速さの問題 / タック

甲駅と乙駅を結ぶ道路を、Ａは甲駅から乙駅に向かって、Ｂは乙駅から甲駅に向かって、それぞれ一定の速さで歩く。

２人が同時に出発してから途中で出会うまでにかかる時間は、Ａが甲駅を出発してから乙駅に到着するまでにかかる時間に比べると４分短く、Ｂが乙駅を出発してから甲駅に到着するまでにかかる時間に比べて９分短い。

Ｂが乙駅を出発してから甲駅に到着するまでにかかる時間はいくらか？

Ａ→(甲駅)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(乙駅)←Ｂ

よろしくお願いします。

No.21784 - 2013/06/20(Thu) 17:30:15

☆ Re: 速さの問題 / X

方程式を使ってもいいという条件なら以下のようになります。

求める時間をx[分]、駅間の距離をyとするとAが甲駅から
乙駅に到着するのにかかる時間は
(x-9)+4=x-5[分]
ですのでA,Bが出会うまでに歩いた距離の和について
(y/x)(x-9)+{y/(x-5)}(x-9)=y
これをxの方程式と見て解きます。
両辺をyで割ると
(1/x)(x-9)+{1/(x-5)}(x-9)=1
これより
(x-5)(x-9)+x(x-9)=x(x-5)
x^2-14x+45+x^2-9x=x^2-5x
x^2-18x+45=0
(x-15)(x-3)=0
条件からx＞9ですので
x=15
ということで15分です。

No.21785 - 2013/06/20(Thu) 18:42:02

★ 天秤法 / べる

?儖ABの辺ABを２：３に内分する点をCとする、動点DはベクトルOD＝ｘベクトルOA(x≧１）をみたすとし、直線CDと直線OBの交点をEとする。
（１）実数ｙをベクトルOE=ｙベクトルOBで定める時、次の等式が成り立つ事を示せ。
3/x+2/y=5

これを重心法を用いて解くやり方だとどうやればいいか教えてください。普通にやる解法では出来るので解説不要です

重心法でやると、OAの長さを１とするとODの長さはｘより
OA:AD=１：ｘ－１
よってDには（１）の添え字
Oには（ｘ－１）の添え字

さらにAC:CB＝２：３よりBには（3x/2)の添え字
よってEには（5x/2-1)の添え字

OE/OB=y/1=(3x/2)/{(5x/2)-1}
これを解くと
2/x+3/y=5になってしまうのです。
どこがいけないのか教えてください
よろしくお願いします

No.21777 - 2013/06/19(Wed) 21:22:51

☆ Re: 天秤法 / ヨッシー

>さらにAC:CB＝２：３よりBには（3x/2)の添え字
ここが、
さらにAC:CB＝２：３よりBには(2x/3)の添え字
ですね。

No.21783 - 2013/06/20(Thu) 08:40:48

☆ Re: 天秤法 / べる

回答ありがとうございます。
もしや物理のように
2*x=3*( )
(　)=2x/3という力のモーメントのつりあいで考えるということですかね？

No.21787 - 2013/06/20(Thu) 20:28:45

☆ Re: 天秤法 / ヨッシー

そうです。

なので「天秤法」と言われています（誰が名付けたかは知りませんが）。

No.21793 - 2013/06/21(Fri) 10:06:56

☆ Re: 天秤法 / べる

納得しました！ありがとうございました！

No.21797 - 2013/06/22(Sat) 07:15:49

★ 群数列 / 高２

次の数列において、5/22は第何項か。また、第１００項を求めよ。

1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,1/5,2/4,3/3,4/2・・・

第１群が１個、第２群が２個、第３群が３個・・・という感じで分ければよいことは分かったのですが問題が解けないので解答よろしくお願いします。

No.21776 - 2013/06/19(Wed) 21:13:51

☆ Re: 群数列 / IT

第ｎ群の各項の共通点は何ですか？

第１群の第１項から第ｎ群の最後の項まで（第ｎ＋１群の直前まで）に何項ありますか？

第ｎ群の第１項は、どんな数ですか？
　分子＝、分母＝、

第ｎ群の第ｍ項は、どんな数ですか？
　分子＝、分母＝

No.21778 - 2013/06/19(Wed) 21:45:51

★ (No Subject) / 高３

放物線y=x^2をCで表す。C上の点Qを通り、QにおけるCの接線に垂直な直線をQにおけるCの法線という。
0≦t≦1とし、次の３条件を満たす点Pを考える。
1)C上点Q(t,t^2)におけるCの法線の上にある
2)領域y≧x^2に含まれる
3)PとQの距離は(t-t^2)√1+4t^2である。
tが0から1まで変化するとき、Pの描く曲線をC'とする。このとき、CとC'で囲まれた部分の面積を求めよ。

答えを教えてください、お願いします。

No.21772 - 2013/06/18(Tue) 23:50:48

☆ Re: / X

y=x^2よりy'=2x
∴点Qに置ける接線と法線の方程式はそれぞれ
y=2t(x-t)+t^2
y={-1/(2t)}(x-t)+t^2
整理して
y=2tx-t^2 (A)
y=-x/(2t)+1/2+t^2 (B)
よってP(X,Y)とすると
1)と(B)より
Y=-X/(2t)+1/2+t^2 (C)
2)と(A)より
Y≧2tX-t^2 (D)
3)と(B)より点と直線との間の距離の公式から
|Y-2tX+t^2|/√(1+4t^2)=(t-t^2)√(1+4t^2) (E)
(D)(E)より
Y-2tX+t^2=(t-t^2)(1+4t^2) (F)
(C)(F)からtを消去すればC'の方程式が得られますが
消去は困難ですので媒介変数表示を考えます。
(C)を(F)に代入すると
-X/(2t)+1/2+t^2-2tX+t^2=(t-t^2)(1+4t^2)
これより
-X/t+1+4t^2-4tX=2(t-t^2)(1+4t^2)
(1+4t^2)(1-X/t)=2(t-t^2)(1+4t^2)
X=2t^3-2t^2+t (G)
(G)を(C)に代入して
Y=t (H)
…とここまで変形するとtを消去できることが分かり
X=2Y^3-2Y^2+Y
∴0≦t≦1によりPの軌跡は曲線
x=2y^3-2y^2+y (0≦y≦1) (I)
後はyを独立変数と見たときの(I)の増減表を書いて
グラフを描き、Cとの位置関係を把握してから
面積を計算します。

(I)を利用して面積を計算する場合はyに関する積分となりますが
(I)を境界とした領域とCを境界をうまく設定して面積の
引き算を考えることで解決できます。
まずはその領域の設定を考えましょう。

No.21773 - 2013/06/19(Wed) 08:29:15

★ 三角比 / hb

三角比を何度でも手計算で求めることができるならその方法を教えてください。少し気になったので回答よろしくお願いします。

No.21763 - 2013/06/18(Tue) 19:17:39

☆ Re: 三角比 / らすかる

「求める」とは「近似値を求める」という意味ですか？

No.21771 - 2013/06/18(Tue) 23:47:12

☆ Re: 三角比 / hb

はい。

No.21774 - 2013/06/19(Wed) 21:06:14

☆ Re: 三角比 / らすかる

基本的には、度をラジアンに変換した後
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+…
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…
という公式に当てはめれば何度であっても求まります。
ただし、角度が大きい値の場合（例えば1000°とか）
収束が遅く、計算量がかなり多くなりますので
どんな角度でも現実的な手数で求めたい場合は
いろいろ工夫する必要があります。

No.21779 - 2013/06/19(Wed) 21:53:47

☆ Re: 三角比 / hb

たとえばsin25°(sin5π/36)であればどうなるのですか？
お手数かけてすみません。

No.21780 - 2013/06/19(Wed) 22:05:42

☆ Re: 三角比 / らすかる

5π/36≒0.436332
0.436332^3/3!≒0.013845
0.436332^5/5!≒0.000132
0.436332^7/7!≒0.000001
なので
sin25°≒0.436332-0.013845+0.000132-0.000001=0.422618
のようになります。

No.21781 - 2013/06/19(Wed) 22:14:48

☆ Re: 三角比 / hb

ありがとうございました。

No.21782 - 2013/06/20(Thu) 01:56:05

★ 微分 / 高2

x ^3－3px+p=0が異なる3つの実数解をもつためのpの範囲を求めよ。

分からないので教えてください。

No.21762 - 2013/06/18(Tue) 19:01:22

☆ Re: 微分 / WIZ

タイトル通り微分を使うのであれば、
y = f(x) = x^3-3px+pとおいて、xy座標でこの曲線が丁度3回x軸と交差することが必要です。

これは、y = f(x)が極大値と極小値を持ち、極大値が正で極小値が負であるということと同じです。

y' = 3x^2-3p = 3(x^2-p)ですから、先ずy = f(x)が極大値と極小値を持つ為には、
y' = 0が2個の異なる実数解を持たなくてはいけないので、p > 0となることが必要です。

極大値はf(-√p) = (-p√p)-3p(-√p)+p = p(1+2√p) > 0となることが必要で、
極小値はf(√p) = (p√p)-3p(√p)+p = p(1-2√p) < 0となることが必要です。

p > 0より、p(1+2√p) > 0は成立します。
p > 0とp(1-2√p) < 0より、1-2√p < 0、即ちp > 1/4となることが必要です。

以上から、p > 1/4となります。

No.21764 - 2013/06/18(Tue) 19:41:57

☆ Re: 微分 / 高２

ありがとうございました。

No.21775 - 2013/06/19(Wed) 21:07:30

☆ Re: 微分 / 風の谷

横から失礼します。細かい事ですが、５箇所に「必要」とありますが必要条件ではないのでは・・？

No.21798 - 2013/06/22(Sat) 07:21:40