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★ 似ている「すう　がく・らく？」 / mario
個人的な質問ですみませんが、皆さんは、「数学」と「数楽」の違いは何だと思いますか。私は、「数学」は「数を学ぶ」で、「数楽」は「数を楽しむ」だと思います。後、最後に、「数楽」は「すうらく」と読むのですか。それとも「すうがく」ですか。ご回答お願いします。
No.20607 - 2013/03/22(Fri) 10:07:07
☆ Re: 似ている「すう　がく・らく？」 / ヨッシー
「数楽」という言葉は、一般的な用語ではないので、どういう意味で
付けられたかがわからない（辞書にも載っていません）と違いを
述べることは出来ません。

ちなみに「数学」は「数を学ぶ」という行為ではなく、「数に関する学問」です。
正確な意味は、辞書を見てください。

「数楽」が「数を楽しむ」的な意味を込めているなら「すうらく」
「数と音楽の融合」的な何かを意味するなら「すうがく」と読むべきでしょう。
No.20610 - 2013/03/22(Fri) 10:31:11
☆ Re: 似ている「すう　がく・らく？」 / mario
ご回答有難う御座います。大変勉強になりました。「数楽」という言葉は、一般的な用語ではないのですね。
No.20612 - 2013/03/22(Fri) 10:47:19
★ 図形　 / function
この問題の解法と答えを教えてください。
No.20602 - 2013/03/21(Thu) 23:02:54
☆ Re: 図形　 / ヨッシー

逆に、ＲＳ＝ｘ(cm) とおいてみます。
また、ＳからＢＣにおろした垂線の足をＴとします。

△ＣＤＰ、△ＣＳＲ、△ＳＴＣはいずれも、３辺が
　１：４：√17
の直角三角形なので、
　ＲＣ＝√17ｘ、ＳＣ＝４ｘ、
　ＣＴ＝4x/√17、ＳＴ＝16x/√17
　ＱＴ＝ＱＣ−ＣＴ＝√17ｘ−4x/√17＝13ｘ/√17
よって、△ＳＱＴにおける三平方の定理より
　ａ^2＝ＳＴ^2＋ＱＴ^2
　　　＝425x^2/17＝25x^2
ａ＞０、ｘ＞０ より　ａ＝５ｘ
　ＲＳ＝ｘ＝ａ／５(cm)
No.20603 - 2013/03/21(Thu) 23:52:02
☆ Re: 図形　 / function
分かりやすい簡潔な解答をありがとうございました。
No.20616 - 2013/03/22(Fri) 12:32:14
★ 英語の質問?A / mario
英語の質問です。お願いします。（英語質問掲示板というところでも質問しているのですが、良い回答が得られません。もちろん、ここの掲示板でも良い回答が得られなくても、大丈夫なので、どなたか、ご回答ください。お願いします。また、英語質問掲示板に良い回答がつきましたら、こちらから、「良い回答がついた」と投稿致しますので、その場合は質問に答えていただかなくても結構です。）

（http://bbs4.sekkaku.net/bbs/english.html）　　←英語質問掲示板のURLです。

英文　Sam thought it easy to find David's house.
意味　サムはデイビットの家を見つけるのは簡単だと思った。

こんな文章（意味は英文が書いてあったのと同じ参考書にのっていました）が参考書にかいてありました。「it easy」ではなく「it is easy 」ではないでしょうか。それとも「 it easy」でもよいのですか。
No.20601 - 2013/03/21(Thu) 22:53:26
☆ Re: 英語の質問?A / mario
英語質問掲示板のほうで良い回答がつきましたので、質問に答えていただかなくても結構です。この質問を見て、考えて頂いた皆様、大変有難う御座います。何か、+αで言いたいことがございましたら、おっしゃってください。その場合は対応させていただきます。数学の質問ではないのに、掲示板のスペースを使わせて頂いた管理人様には感謝を申し上げます。
No.20605 - 2013/03/22(Fri) 05:54:31
★ 英語の質問です。 / mario
英語の質問です。英語質問掲示板というところでも質問しているのですが、良い回答が得られません。もちろん、ここの掲示板でも良い回答が得られなくても、大丈夫なので、どなたか、ご回答ください。お願いします。また、英語質問掲示板に良い回答がつきましたら、こちらから、「良い回答がついた」と投稿致しますので、その場合は質問に答えていただかなくても結構です。

（http://bbs4.sekkaku.net/bbs/english.html）　　←英語質問掲示板のURLです。

質問： Bob fed Beth some milk. という文を　Bob　fed some milk　to　Beth.としてもよいのでしょうか。

また、英語の質問で何かありましたら、おっしゃって下さい。私もできる限り、「質問のどこが分からないか」等、協力します。
No.20595 - 2013/03/21(Thu) 18:09:52
☆ Re: 英語の質問です。 / のぼりん
こんにちは。
英語の学習をするには、良い辞書を手元に置くことが必須です。
疑問が出てきたら、辞書を常に参照する様にすると良いです。

ご質問の件を、ジーニアス英和大辞典で引いたところ、ｆｅｅｄ の所に、

〔ＳＶＯ１Ｏ２ / ＳＶＯ２　ｔｏ　Ｏ１　【中略】〕　〈人が〉Ｏ１〈人・動物〉に Ｏ２〈食物〉を与える《◆《米》では通例 ｔｏ　Ｏ１〈人〉は用いない》　【後略】

と書いてありました。
つまり、貴兄の文変形は全く問題ないものの、アメリカでは前者が一般的であることが分かります。
No.20599 - 2013/03/21(Thu) 22:15:17
☆ Re: 英語の質問です。 / mario
ご回答有難う御座います。次回から、辞書を手元において、英語に向き合いたいと思います。

あと、国語、理科、社会、英語の質問が解消できる現在でも活発に活動している質問掲示板（国語、理科、社会、英語のいずれか１つでも大丈夫です）をご存じですか。ご存じなら、ご紹介して頂けると幸いです。
No.20600 - 2013/03/21(Thu) 22:48:11
★ 質問掲示板の紹介、お願い致します。 / mario
国語と英語の質問があるのですが、現在でも活発に活動している質問掲示板（国語、英語の質問ができる、どちらか一方でも可）どなたかご存じないでしょうか。紹介、お願い致します。

もしくは、ここの掲示板は「八方」という名前ですので、ここの掲示板でもそのような質問をしてもよいということでしょうか。（大変申し訳ありませんが、管理人さん、お答えください）
No.20592 - 2013/03/21(Thu) 17:36:57
☆ Re: 質問掲示板の紹介、お願い致します。 / ヨッシー
数学以外のことはよく知りませんが、Yahoo などは、概して
何でもやってるんではないでしょうか？

こちらで聞いてもらっても良いですが、納得する答えが得られるかは保証出来ません。
また、「この英文を訳してください」のような、労力の転嫁のような
質問は避けてください。
No.20593 - 2013/03/21(Thu) 17:47:39
☆ Re: 質問掲示板の紹介、お願い致します。 / mario
分かりました。質問の解消にご協力してくださり、大変感謝しています。有難う御座います。
No.20594 - 2013/03/21(Thu) 17:56:04
☆ Re: 質問掲示板の紹介、お願い致します。 / mario
管理人さんへ

Yahooはログイン必要ですよね。そのような、ログインが必要ない質問掲示板（国語、英語の質問ができる、どちらか一方でも可）ご存知ないですか。
No.20598 - 2013/03/21(Thu) 20:31:56
☆ Re: 質問掲示板の紹介、お願い致します。 / mario
ご存じなければ大丈夫です。変な質問してすみません。
No.20604 - 2013/03/22(Fri) 02:27:19
★ 他の掲示板で紹介されていた質問（よくわかりません） / mario
他の掲示板で紹介されていた質問ですが、よくわからないので、ご回答お願いします。

質問：たすき掛けが早くできる（acx^2+(ad+bc)x+bcのa,b,c,dが早く見つかる）方法ありますか。

理解力に乏しく、すみません。
No.20591 - 2013/03/21(Thu) 17:29:43
☆ Re: 他の掲示板で紹介されていた質問（よくわかりません） / ヨッシー
出来るか出来ないかの判別なら、下に書いたように、解の公式や
判別式で見分けるのが手っ取り早いですが、出来るとわかっているものを、
例えば、人より早く出来るように、というのは訓練以外にありません。

ただ、式を眺めているだけとか、闇雲に何か書いてみるとかではなく、
整理していくように心がけましょう。
たとえば、
　4x^2＋5x−6
を因数分解する場合　(4x・・・)(x・・・) か、(2x・・・)(2x・・・) の
どちらかの形になります。
ただし、後者の場合、ad＋bc に当たるｘの係数が必ず偶数に
なるので、
これはないことが分かります。
すると、
　(4x＋奇数)(x＋偶数)
の形が決まって、
　(4x＋1)(x−6)　(4x＋3)(x−2)
の２パターンを調べればいいことになります。

このようになります。
与えられた 5x に対して、-5 が見つかったら、
３を−３に、−２を２に変えれば、符号が逆転するので、
(4x-3)(x+2) という答えが見つかります。

このように、奇数か偶数か(２の倍数)、３の倍数かどうかという
こととか、素因数分解の知識とかをフル動員して、より効率的に
見つける訓練を繰り返し行えば、多少は早く出来るようになるでしょう。

もちろん、
(4x+3)(x-2), (4x+2)(x-3), (4x+1)(x-6), (4x+6)(x-1)
(4x-3)(x+2), (4x-2)(x+3), (4x-1)(x+6), (4x-6)(x+1)
(2x+3)(2x-2), (2x+2)(2x-3), (2x+1)(2x-6), (2x+6)(2x-1)
(2x-3)(2x+2), (2x-2)(2x+3), (2x-1)(2x+6), (2x-6)(2x+1)
というのを、瞬く間に計算できる能力を養えば、それはそれで
早くは出来ます。（数学としては面白くありませんが）

それにしても、何故、たすき掛けのスペシャリストを目指しますか？
No.20596 - 2013/03/21(Thu) 18:16:49
☆ Re: 他の掲示板で紹介されていた質問（よくわかりません） / mario
とても丁寧に、わかりやすく、詳しく説明して頂き有難うございます。何故、たすき掛けのスペシャリストを目指しているかというと、なぜなら、数学の努力した天才（世界で比類するものがいない）人間になるためです。
No.20597 - 2013/03/21(Thu) 19:38:07
★ 2回目ですが、お願いします。　　数学の文の意味 / mario
今回も質問させていただきます。

質問：与えられた多項式を因数分解する場合、特に断りがない限り、因数の係数は有理数の範囲とする（普通は整数の係数になることが多い）とあります（参考書に載っていました）が、この文の意味が分かりません。例をなんでもよいので、用いて、解説してください。（逆に、この文に反している例もお願いします。）


あと、「因数の係数」とは何のことを指しているのでしょうか。いまいち、わからないのですが、例としてｘ＾２-１を因数分解したとして、（ｘ+１）（ｘ-１）とした場合、ｘの前についている１ということでしょうか。
（普通は書かないが詳しく書くと　（ｘ+１）（ｘ-１）→（１ｘ+１）（１ｘ-１）と1が隠れているため、そのように考えました。）

お忙しいところ申し訳ありませんが、よろしく御願い致します。
No.20588 - 2013/03/20(Wed) 22:49:49
☆ Re: 2回目ですが、お願いします。　　数学の文の意味 / ヨッシー
こちらで、一部答えています。

複素数とまで行かなくても
　x^2−3＝(ｘ−√3)(ｘ＋√3)
は、有理数でなく、(実数ではあるが)無理数まで許した場合です。
この場合、因数の係数とは、因数になっている整式のいずれかの項
と解釈できます。
(ｘ−√3)(ｘ＋√3) の場合は、２つの因数それぞれの定数項が
無理数ですし、これを、
(1/√3)(√3ｘ−3)(√3ｘ＋3) と書き換えれば、
最初の定数項、残り２つの因数のｘの項の係数が無理数です。
No.20589 - 2013/03/20(Wed) 23:07:22
☆ Re: 2回目ですが、お願いします。　　数学の文の意味 / mario
やっと、完全に分かりました。有難う御座います。丁寧な解説で分かりやすく有り難いです。次回もよろしくお願い致します。
No.20590 - 2013/03/20(Wed) 23:23:53
★ 以前は申し訳ございませんでした。 / mario
以前は不祥事を起こしてしまい、誠に申し訳ございませんでした。これからは、更生して、真面目にやっていきますので、質問させてください。お願いします。

質問：３ｘ＾２+５ｘ+２を因数分解せよという問題は、たすき掛けができるが、もしできないような問題（acx^2+(ad+bc)x+bdの形の問題で）が出たら解の公式使うしかないんですか。また、たすき掛けができるか、できないか、どこで見分けるんですか。
No.20585 - 2013/03/20(Wed) 21:19:33
☆ Re: 以前は申し訳ございませんでした。 / ヨッシー
たすき掛けと解の公式は必ずしも相反するものではありません。
たすき掛けが（整数の範囲で）出来るような問題でも、解の公式を
使っても良いのです。

解の公式は、（実数の範囲では）ある種万能ですから
解の公式を使った後で、「たすき掛けも出来るんだ」と気付いても、
全く問題ありません。

私は、ちょっと面倒そうだと、とりあえず、判別式だけ計算して、
平方数になっていたら、たすき掛けに取りかかります。
No.20586 - 2013/03/20(Wed) 21:45:47
☆ Re: 以前は申し訳ございませんでした。 / mario
分かりやすい解説有難う御座います。理解できました。今後ともどうぞよろしくお願い致します。
No.20587 - 2013/03/20(Wed) 22:32:30
★ 中学数学 / ハオ
正四角錐A-BCDEがあり側面は1辺が12cmの正三角形である。
EDの中点をMとしBP+PQ+QMが最短となるように点P,点QをAC,AD上に取る。
この時PCの長さを求めなさい。
という問題なのですが添付画像の様に二種類の方法で解いてみました。

中学生に教えるのに右の解き方はあまり宜しくない気がして左の解き方を紹介しました。その際「何で△DCFを書き足したのか？」という事に生徒が疑問を持つと思い
「最初の展開図を見て、何か書き足したくならない？」と促したのですが「分からない」と返ってきました。
ゼルダの伝説を知らないようで「トライフォースが奪われたよ！リンク！」という補足も通じませんでした。
結局「引きたくなる気持ちを覚えて」で済ましてしまいました。
実際僕自身”なんとなく書き足したかったから描いてみた。そしたら上手くいった”という感じです。

図形の問題で説明する際によく「図形の対称性とか綺麗さを求める為になんか気持ち的に引きたくならない？」という言葉を使ってしまうのですが教え方が悪いでしょうか？
というのも数学はよく論理性という言葉が一緒について回る様に思われるのですが”気持ち的に”というのは論理性に反している気がしてしまうのです。
No.20570 - 2013/03/19(Tue) 07:27:35
☆ Re: 中学数学 / ハオ
だらだら書いてしまいましたがお聞きしたいのは
「気持ち的に引きたくなる」という教え方は教育上よろしくないでしょうか？
その場合右の様な解答を紹介する方が良いのでしょうか？
という事です。
No.20571 - 2013/03/19(Tue) 07:35:25
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー

図のようにＰＣ＝ｘとおいて、
　ＡＰ＝１２−ｘ
　ＡＱ＝ＡＰ・ＢＣ/ＰＣ＝(12/x)(12-x)＝144/x−12
　ＱＤ＝１２−ＡＱ＝24−144/x
とした上で、ＭＤ：ＤＱ＝ＰＣ：ＢＣ　より　ＤＱ・ＰＣ＝ＭＤ・ＢＣ　から
　(24−144/x)ｘ＝6・12
　24x−144＝72
　24x＝216
　ｘ＝９
のように、回り回って解くことは出来ます。

Ｆを設けたほうが美しいですが、それを思いつかなかった場合の
解法も一応押さえてみました。

実は「気持ち的に引きたくなる」は、ある種ひらめきなのですが、
それを支えるのは「柔軟な思考力」ではなく「豊富な経験」です。
ですから、今ひらめかなくても、今回紹介することで、いつか
役に立つことを信じて（願って）情報は与え続けなければいけません。

先日、ＮＨＫの「Ｒの法則」で、ある現役数学教諭が、「数学は
解法自体が芸術だ」と言っていましたが、「綺麗に解く」を目指すのは
良いことだと思います。
No.20572 - 2013/03/19(Tue) 10:55:11
☆ Re: 中学数学 / ＿
＞「トライフォースが奪われたよ！リンク！」という補足も通じませんでした。

そりゃ無理もない話です。

＃が、個人的には好きです。

この手の問題としては、確かに図形の問題での補助線の引き方などが典型例として分かりやすいのですが、代数的なものでも、巧妙な式変形や不定積分の求め方で「なんでそういう考え方が出来るのさ」と思ったことは多いですし、そういう質問を受けることもありました。

私自身はこれに対し「どこかで誰かがそうやったのを見たから」という意味の(じつに夢のない！)答えをしています。私は残念ながら数学の天才ではないのだ、ということぐらいはさすがに認識しているので、そういった巧妙な解き方をいつか自力で閃くのだと信じてはおらず、「確かこんな感じでやった気がするなあ」という曖昧なものからしっかりと丸暗記したものまで、程度の差はあれ、かつて見たはずのものをベースに解くことになります。

その解き方が思いつかなかった、という事実が与えることは、その解き方を思いつくために必要な経験も天才的なひらめきも、そのどちらも欠けているという指摘と、次同じ問題が出たらその解き方で解けるようになっているはずだという期待です。重要なのは後者です。残念ながら天才ではないのなら、経験によって知るしかないのです。100問なり1000問なり、充分になるまで経験を積めばなんとかなります、多分。

＃幸運なことに天才であるのなら、それはそれで私ごときがどうこう言うことではありません:-P

「気持ち的に引きたくなる」のが充分な経験を積んだからだというのなら、無闇に自分が天才だと思うべきではないという意味では教育上よろしくないのかもしれません(…とは実は思わないのですが、まあ、こんなことをダイレクトに言えば非難は受けそうです)。しかし、こつこつとやればできるようになる(かも)という意味は大っぴらに言ってもなんだか無難な気がします。
No.20573 - 2013/03/19(Tue) 11:30:24
☆ Re: 中学数学 / ハオ
>ヨッシーさん
なるほど別解まで頂いて有難う御座います。
確かに類題経験がないとその場で思いつかないような問題も沢山ありますね。いつか役に立つ事を願って考えられる色々な解き方を教えてあげたいなと思いました。

「数学はかっこいいよ、綺麗だよ」と教えてる中学生に言っても「ない・・それはない・・・」なんて残念ながら言われちゃいますね・・・(笑)

>＿さん
懇切丁寧に有難う御座います。
確かに式変形や不定積分の求め方の途中で「こんなん思いつくのは困難だ」とよく思います。こういう事がよくあるので、自分には数学的センスや才能は無かったんだ、と絶望してしまいます。
ですがそこで諦めず、＿さんが仰る通り練習し続ければ過去の人達の足跡を辿ることはできて巨人の肩に乗ることはできますね。
教育というのは難しいものなのですね。僕は教師でもない、ただのアルバイトで教えているのですが、それでもこんなに悩んでしまう事を考えると、教師の方は本当に大変で凄いなぁと感心してしまいます。
No.20579 - 2013/03/20(Wed) 10:41:22
★ 図形 / function
この問題の解き方と答えを教えてください。
No.20564 - 2013/03/18(Mon) 18:03:08
☆ Re: 図形 / X
問題で立体の辺の長さが与えられていませんが
問題のアップのミスではありませんか？
No.20565 - 2013/03/18(Mon) 18:26:34
☆ Re: 図形 / function
すみません。忘れていました。
この条件でお願いします。
No.20566 - 2013/03/18(Mon) 18:45:09
☆ Re: 図形 / ヨッシー
図のような展開図を描きます。

台形ＥＦＧＨは、辺ＥＦがくっついているものと、辺ＦＧがくっついているものの
２通り描きます。
ＭとＫを直線で結ぶと、一方が、Ｍ−Ｐ−Ｋの経路で、他方が
Ｍ−Ｑ−Ｒ−Ｋの経路となります。
両者の長さが等しいときは、２つのＭを結んだ線分の垂直二等分線と、
ＢＣが交わるところが求める点Ｋの位置になります。
No.20567 - 2013/03/18(Mon) 20:52:18
☆ Re: 図形 / X
問題文の
「糸をぴんと張った」
を最短距離で結ぶと解釈すると以下の通りです。

条件のとき問題の立体を展開図は下のようになります。
赤い線が立体に張った糸を示しています。
(但し、糸が通っていない面は省略しています。
又、描画ソフトの関係で台形EFGHが正方形と直角三角形に
分割されてしまっているのでご了承下さい。)

この２つの図において
BK=x[cm]
と置き、△JKM,△KLMに対して三平方の定理を適用することで
線分MQEK,線分MPK
の長さをそれぞれxを用いて表し、両者が等しいことからxに関する方程式を立てて解きます。
注)
右の図において点Kが点Lよりも左寄りになる場合も考えられますが、いずれにしても
三平方の定理の適用により線分MPKの長さは同じ式になります。
(点Kが点Lよりも左寄りになる場合も計算して確かめてみましょう。)
No.20568 - 2013/03/18(Mon) 20:56:05
☆ Re: 図形 / function
（答）
15/7cmであってますか。
No.20574 - 2013/03/19(Tue) 13:32:25
☆ Re: 図形 / ヨッシー
合ってます。
No.20575 - 2013/03/19(Tue) 14:24:42
☆ Re: 図形 / function
ありがとうございました。
No.20576 - 2013/03/19(Tue) 23:10:44
★ 三角比 / すもも
△ABCにおいて、sinA:sinB:sinC=7:5:3 のとき

(1)3辺の比a:b:c
(2)cosB,sinBの値
(3)△ABCの面積が15√3であるとき、３辺a,b,cの値
を求める問題です。

それぞれ答えは
(1)7:5:3
(2)cosB=11/14,sinB=(5√3)/14
(3)a=14,b=10,c=6
になるはずなのですが、どうしてそうなるのか分かりません。よろしくお願いします。
No.20558 - 2013/03/18(Mon) 00:00:55
☆ Re: 三角比 / X
(1)
sinA:sinB:sinC=7:5:3
より
(sinA)/7=(sinB)/5=(sinC)/3=k
(k＞0)
と置くことができます。
これより
sinA=7k
sinB=5k
sinC=3k
一方△ABCの外接円の半径をRとすると正弦定理より…
(a,b,cをR,kで表してみましょう)
(2)
(1)の計算過程でa,b,cをR,kで表した式をcosBに関する
余弦定理に適用しましょう。
cosBの計算過程でR,kは相殺されます。
後は
(sinB)^2+(cosB)^2=1
を使ってsinBの値を計算します。
(3)
△ABCの面積をSとすると
S=(1/2)casinB
これに(1)の過程と(2)の結果を使いRkについての方程式を立て
Rkの値(R,kの値ではありません)を求めましょう。
No.20559 - 2013/03/18(Mon) 00:46:43
☆ Re: 三角比 / すもも
ありがとうございました！
No.20561 - 2013/03/18(Mon) 02:23:14
★ 無理数 / みずごろー
{√(５√２−７)}＾７{５√２＋７}＾５
という問題で、７乗とか５乗でいろいろこんがらがったのでたすけてください。。。
よろしくお願いします。
No.20555 - 2013/03/17(Sun) 17:23:15
☆ Re: 無理数 / ペンギン
?@まず、{√(５√２−７)}＾７を計算します。

{√(５√２−７)}＾６＝(５√２−７)＾３
なので
{√(５√２−７)}＾７＝(５√２−７)＾３・√(５√２−７)

?A(５√２−７)＝1/（５√２＋７）

を利用して全体の計算を進めます。
(５√２−７)＾３・√(５√２−７)・{５√２＋７}＾５
＝{５√２＋７}＾２・√(５√２−７)

あとは計算できるのではないでしょうか？
No.20556 - 2013/03/17(Sun) 18:30:38
☆ Re: 無理数 / みずごろー
！！！
ありがとうございます!!!!!
（５√２−７）＝１/（５√２＋７）のところでつまづいていたみたいです。助かりました
本当にありがとうございました。
No.20557 - 2013/03/17(Sun) 18:45:50
★ (No Subject) / 上を目指すもの
(x+２)^(n+1)を二項定理でΣとCを用いて表すとどうなるのか教えてください。

また、Σ(k=0~n)(-1)^(k+1)n+1Ck+1に(-1)^0*n+1C0=1を加えると０になる理由を教えてください

よろしくおねがいします
No.20553 - 2013/03/17(Sun) 13:36:02
☆ Re: / X
前半)
(x+2)^(n+1)=Σ[k=0〜n+1]{(n+1)Ck}{2^(n+1-k)]x^k
となります。
後半)
Σ[k=0〜n]{(-1)^(k+1)}{(n+1)C(k+1)}+{(-1)^0}{(n+1)C0}
=Σ[k=1〜n+1]{(-1)^k}{(n+1)Ck}+{(-1)^0}{(n+1)C0}
(∵)k+1を改めてkと置いた
=Σ[k=0〜n+1]{(-1)^k}{(n+1)Ck} (A)
ここで二項定理により
(x-1)^(n+1)=Σ[k=0〜n+1]{(-1)^k}{(n+1)Ck}x^(n+1-k)
x=1を代入して
Σ[k=0〜n+1]{(-1)^k}{(n+1)Ck}=0
よって(A)より
Σ[k=0〜n]{(-1)^(k+1)}{(n+1)C(k+1)}+{(-1)^0}{(n+1)C0}
=0
No.20554 - 2013/03/17(Sun) 15:28:39
★ (No Subject) / TKO
三角形の成立条件ってどういう問題の解きに確認するのか分かりません。三角形が絡む問題なのに三角形の成立条件に触れてたり触れてなかったり、もうなにがなんだか・
No.20551 - 2013/03/17(Sun) 11:07:59
☆ Re: / ＿
それは「三角形の成立条件を確認する必要があるとき」なのですが、これでは全然答えになってませんね。

あなたがその疑問を持つに至った、成立条件に触れている問題と触れていない問題を具体的に挙げてもらえればさらにアドバイスができるかと思います。
No.20552 - 2013/03/17(Sun) 11:30:48
★ 球の体積 / み-ゆ-　高2
原点を中心とする半径1の球面：x^2+y^2+z^2=1がある。

この球の体積を以下の三つの方法で解きなさい。
(1)xy平面に平行な平面y=t(-1≦t≦1)の断面積を利用する。
(2)y=xに平行な平面y=x+t(-√2≦t≦√2)の断面積を利用する。
(3)y=xに平行な平面y=x+√2t(-1≦t≦1)の断面積を利用する。

(1)は○で、(2)と(3)が×だったんですが、どうして自分の解き方ではだめなのかがどうしてもわからないので、どこが間違っているのか教えていただけないでしょうか。

(2)
x^2+y^2+z^2=1とy=x+tからyを消去して、整理すると、(x+t/2)^2/(√(2-t^2)/2)^2+z^2/(√(2-t^2)/√2)^2=1になると思いますが、これは楕円を表すので、断面積はπ・√(2-t^2)/2・√(2-t^2)/√2=π(2-t^2)/2√2になると思いまして、これを-√2≦t≦√2で積分すると、確かに4π/3になるので合っていると思いましたが、なぜか×でした。断面積が違うそうです。
言われてみると、円を平面で切った切り口は円になるはずなのに、なぜか楕円になってしまったので、おかしい気はしますが、どうしてもyを消去したら円ではなく楕円になってしまいます。なぜなんでしょうか？そしてどうして積分すると4π/3になるのに断面積が違うんでしょうか？

(3)
(2)と同じようにx^2+y^2+z^2=1とy=x+√2tからyを消去して、整理すると(x+√2t/2)^2/(√(1-t^2)/√2)^2+z^2/(√(1-t^2))^2=1になると思いますが、こちらもやっぱりなぜか楕円になってしまって、その断面積はπ(1-t^2)/√になって、これを-1≦t≦1で積分するとこっちはなぜか、2√2π/3になってしまって、体積が1/√2倍になってしまいます。計算ミスはないとは思うのですが…

(2)と(3)ではなぜ切り口が楕円になってしまうんでしょうか？断面積の計算はどこが間違えているんでしょうか？
No.20546 - 2013/03/16(Sat) 13:11:33
☆ Re: 球の体積 / X
おっしゃるとおり(2)(3)の場合はいずれも断面は円に
なりますが、断面がzx平面に平行ではありませんので
断面の境界線についてx,zの間に成り立つ方程式は円ではなく
楕円の方程式となります。

では断面積をどう計算するかですが、断面が円だと分かっていることから
半径を求めることを考えましょう。
(2)だけ計算してみますので(3)についてはご自分でどうぞ。

(2)
原点を通り平面y=x+tとxy平面に垂直な平面である
y=-x (A)
での断面を考えます。
(A)とxy平面、問題の球との交点をA、平面x+y=tと問題の
球との交線の(A)での断面となる点のうち、z座標が正で
あるものをBとすると
B(-t/2,t/2,√{1-(1/2)t^2}) (B)
問題の平面
x+y=t (C)
と球との交線の円の半径は
Bからxy平面に降ろした垂線の足の長さ、つまり
√{1-(1/2)t^2}
となります。従って問題の断面の断面積Sは
S=π{1-(1/2)t^2} (D)

ということでここから体積を計算するわけですが
ここで
V=∫[-√2→√2]Sdt
と計算するのは誤りです。
なぜかというと(B)は(A)とxy平面の交線(lとします)
を積分方向の軸と考えた場合の断面積ですので
lを軸と考えた場合のこの向きの座標を考える必要が
あります。
ここで(B)により(C)とlとの交点と原点との距離は
|t|/√2
ですのでlに関する座標で(D)に対応するものは
t/√2
となります。従って
V=∫[-√2→√2]S・(1/√2)dt
=(1/√2)∫[-√2→√2]π{1-(1/2)t^2}dt
=4π/3
となります。
No.20547 - 2013/03/16(Sat) 14:42:40
☆ Re: 球の体積 / み-ゆ-　高2
さっそくのお詳しいご解説ありがとうございます。
いくつか質問をさせてください。

＞V=∫[-√2→√2]Sdt
と計算するのは誤りです。

ここがどうしてもわからないです。なぜs(t)に1/√2倍が必要なんでしょうか？面積を積分すれば体積になるんではないんですか？(1)ではそうだったんですが、違いがよくわからないです。(2)については、私のやり方で答えが一致してしまったのはたまたまなんでしょうか？

切り口は円なのに、どうして切り口の方程式は楕円になってしまうんでしょうか？

＞断面がzx平面に平行ではありませんので

これが関係あるんでしょうか？

ちなみに楕円の面積を利用することはできないんでしょうか。せっかくの計算が無駄になってしまうんで、利用できる方法があれば知りたいです^^;
No.20548 - 2013/03/16(Sat) 16:31:54
☆ Re: 球の体積 / X
＞＞(2)については、私のやり方で答えが一致してしまったのはたまたまなんでしょうか？
その通りです。そもそも断面は楕円ではなく円ですので
その時点で計算がおかしいということになります。

＞＞面積を積分すれば体積になるんではないんですか？
面積を積分すれば体積になるという考えは大雑把に言えば
正解です。
但し問題となるのは面積を「どのような座標軸に関して」
積分するかです。
(1)の場合は結局z軸に関する積分であって、S(t)に対する
z座標がtとなっているので問題ありません。
ですが(2)の場合はそうは行きません。
この場合積分する軸となるのは
直線 y=-x,z=0 (P)
です。
積分するにはこの直線上に座標軸の目盛りを設定した上で
積分を考える必要があります。
>>ここで(B)により(C)とlとの交点と原点との距離は
>>|t|/√2
>>ですのでlに関する座標で(D)に対応するものは
>>t/√2
これは意味することは何かというと、(P)を積分をする座標軸と
考えた場合、S(t)に対応する(P)上の点の座標はtではなくて
t/√2
であるということです。
ですので体積を計算するのであればS(t)をtについてではなく
t/√2
について積分する必要があります。
従って
V=∫[-√2→√2]S(t)d(t/√2)
=∫[-√2→√2]S(t)・(1/√2)dt
(←飽くまで計算結果として
S(t)を1/√2倍している形になってしまっているだけで
断面積が1/√2倍になるという意味ではないことに注意)
=4π/3
となります。


ちなみに(3)の場合は断面積S(t)を考えても、積分を行う軸
である(P)に関する、S(t)に対応する座標がtとなりますので
tによる積分で体積が計算できます。
No.20549 - 2013/03/17(Sun) 00:19:40
☆ Re: 球の体積 / X
>>切り口は円なのに、どうして切り口の方程式は楕円になってしまうんでしょうか？
み-ゆ-さんの計算のように切り口の平面の方程式でyを
消去した図形の方程式は、切り口のzx平面に関する正射影の
図形の方程式になります。
切り口の平面はzx平面に平行ではありませんので、切り口が
円であればzx平面に関する正射影は楕円となります。
No.20550 - 2013/03/17(Sun) 00:46:11
☆ Re: 球の体積 / X
>>ちなみに楕円の面積を利用することはできないんでしょうか。
無理に使おうとせず、私が説明した方針を理解することに
努めた方がこの問題の出題意図の理解につながると思います。
特に(2)(3)の断面を作る平面
x+y=t
x+y=t√2
は平行で問題を解く方針としては殆ど変わらないのに、
何故わざわざ２つの問題として出しているのかを
考えてみましょう。
No.20560 - 2013/03/18(Mon) 00:59:55
★ graph / トンデモ
たびたびすみません。

下記の問題ですが,logは自然対数だと(b)は解けませんでしょうか?
No.20540 - 2013/03/15(Fri) 07:36:18
☆ Re: graph / ast
「解ける」というのが対数を用いずに書けるという意味であるなら無理でしょうけど, そうでないならば単に log が残るだけで何も問題ないと思います. ご自身ではどのようにお考えなのですか?

なお, 書かれている解答はとくに問題ないと思います.
No.20542 - 2013/03/15(Fri) 08:57:10
☆ Re: graph / ヨッシー
自然対数に限らず、任意の非１の正数が底の場合において解けます。

ｂを１でない正の数とすると
　ｇ(10^2a)＝{3log[b](10^2a)＋2a}／{6a−5log[b](10^2a)}
　　＝{3・2a・log[b](10)＋2a}／{6a−5・2a・log[b](10)}
分母子ａで割って整理すると
　ｇ(10^2a)＝{6log[b](10)＋2}／{6−10log[b](10)}
となります。ｂをｅにすれば自然対数になりますし、b=10 だと
　log[b](10)＝１
となり、
　ｇ(10^2a)＝−２
となります。

ちなみに -9/4 は誤りです。（2a を 3a に写し間違いしています）
No.20543 - 2013/03/15(Fri) 09:05:48
☆ Re: graph / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。

astの仰る通りだと

b≠10の時は
(3log_b(5)+1)/(5-5log_b(5))としか書き様が無いのですね。
No.20609 - 2013/03/22(Fri) 10:23:27
★ 逆関数 / トンデモ
宜しくお願い致します。

下記の問題に就いてです。
(iii)はz feetより10 feet高い木の水の量
という解釈しましたので(h)を選びました。
これで大丈夫でしょうか?
No.20526 - 2013/03/14(Thu) 08:38:21
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
(i)(ii) は良いと思います。
(iii) は、引っ掛けですかね？
「平均よりも、10ft 高い」と書いてあるだけで、必要な水の量とは
書いてないんですよね。
(a)〜(h) の選択肢を見ずに解いていたときの手元のメモには、
ｚ＋１０　と書いてあります。
　ｐ＝ｊ（ｚ）　→　ｚ＝ｊ^(-1)（ｐ）
なので、ひょっとしたら　(g) なのかも。
No.20530 - 2013/03/14(Thu) 10:28:39
☆ Re: 逆関数 / トンデモ
>「平均よりも、10ft 高い」と書いてあるだけで、必要な水
> の量とは書いてないんですよね。

するとどのような意味とお考えでしょうか?
No.20538 - 2013/03/15(Fri) 06:58:38
☆ Re: 逆関数 / ast
横レス失礼します. 私もざっと読んで「樫の木の平均高の+10ft」としか書いてないので(g)だろうと思ったのですが, むしろ「必要な水の量」というのがどこから読み取れるかの根拠を提示していただいたほうが話としては有意義な気がします.
# 英語は昔からずっと赤点レベルで苦手です.

> するとどのような意味とお考えでしょうか?
ヨッシーさんは「ｚ＋１０」つまり「ひょっとしたら　(g) なのかも。」と仰ってる通りの意味とお考えだと思いますよ.
No.20541 - 2013/03/15(Fri) 08:33:24
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
タイトルの「逆関数」というのがこの問題の単元なら、
(g) で間違いないでしょう。
j(x) に逆関数があるという前提ですが。
No.20544 - 2013/03/15(Fri) 09:32:52
☆ Re: 逆関数 / トンデモ
どの単元かは不明なのですが

(iii)の質問は
What is the height of ten more feet than one of an average oak tree?
というだったのですが
従って(g)ですね。　皆様どうも有難うございます。
No.20569 - 2013/03/19(Tue) 04:04:37
★ グラフ / トンデモ
こんにちは。
下記の問題ですが,少し自信がありません。
これで大丈夫でしょうか?
No.20525 - 2013/03/14(Thu) 07:48:38
☆ Re: グラフ / ヨッシー
全問ＯＫです。
(e) は、それぞれ、ｔ＝１から４までの傾き、ｔ＝０から４までの傾き
なので、

図のような線を引いて、赤い方（{f(4)-f(0)}/4）が、
傾きが大きい
というように、グラフと結びつけて考えることも出来ます。
No.20529 - 2013/03/14(Thu) 09:53:55
☆ Re: グラフ / トンデモ
さすがです。これなら一目瞭然ですね。
No.20537 - 2013/03/15(Fri) 06:55:16
★ 判定問題 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。

下記の解答にあまり自信がないのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.20524 - 2013/03/14(Thu) 07:32:28
☆ Re: 判定問題 / ヨッシー
TRUE か FALSE かの判定はＯＫです。

(e) の最後の式は、右辺にＰ2 が残っていたりして、おかしいです。
　Ｐ2＝Ｐ1Ｐ3/(Ｐ1−Ｐ3)
となります。
No.20528 - 2013/03/14(Thu) 09:41:59
☆ Re: 判定問題 / トンデモ
そうでした。どうも有難うございます。
No.20536 - 2013/03/15(Fri) 06:46:46
★ 因数分解 / マリオ
チャート式数学Ｉ+Ａについての質問です。
　与えられた多項式を因数分解する場合、特に断りがない限り、因数の係数は有理数の範囲とする（普通は整数の係数になることが多い）
　とありますが、この文の意味が分かりません。例をなんでもよいので、用いて、解説してください。（逆に、上の文に反している例もお願いします。）
No.20495 - 2013/03/13(Wed) 19:59:35
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
x^4−1 および　x^3−1　を因数分解せよ。
x^4−1＝(x^2＋1)(x^2−1)
　　　＝(x^2＋1)(x-1)(x+1)　・・・ここまでが有理数の範囲
　　　＝(x-i)(x+i)(x-1)(x+1)　・・・複素数まで許した場合

x^3−1＝(x-1)(x^2+x+1)　　・・・有理数の範囲
　　　＝(x-1)(x-ω)(x-ω^2)　・・・複素数まで許した場合
　ただし、ω＝(-1＋√3i)/2
No.20504 - 2013/03/13(Wed) 21:07:37
☆ Re: 因数分解 / マリオ
分かりました。有難う御座います。いつもお世話になっております。今後ともどうぞよろしくお願いします。
No.20512 - 2013/03/13(Wed) 22:46:56
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