ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / sun

１辺の長さ２の正方形ＡＢＣＤを底面とする正４角錐ＯＡＢＣがある。
側面の２等辺三角形においてはＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝a
(a>√２）　
辺ＯＢ上に点Ｐをとり、ＯＰ＝x　∠APC＝θとおく
　
(１)　cosθをaとxを用いて表せ

（２）点Pが辺OB上を動くとき、cosθの最大値、最小値を求めよ

答えと解きかを教えてください。

No.21280 - 2013/04/28(Sun) 22:38:40

☆ Re: / X

(1)
△OAPにおいて余弦定理により
AP^2=a^2+x^2-2axcos∠AOB (A)
又△OABにおいて余弦定理により
2^2=a^2+a^2-(2a^2)cos∠AOB (B)
(B)より
cos∠AOB=1-2/a^2
(A)に代入して
AP^2=a^2+x^2-2ax+4x/a (C)
又、条件より△OAP≡△OCPゆえ
CP=AP (D)
(C)(D)より△APCにおいて余弦定理により
cosθ=(AP^2+CP^2-AC^2)/(2AP・CP)
=2-(AC^2)/(2AP^2)
=2-8/{2(a^2+x^2-2ax+4x/a)} (∵)△ABCに三平方の定理を使う
=2-4/(a^2+x^2-2ax+4x/a)

(2)
f(x)=a^2+x^2-2ax+4x/a
とおいて
0≦x≦a (E)
におけるf(x)の最大値、最小値を求めることを考えましょう。
((E)におけるy=f(x)のグラフを描きます。)

No.21281 - 2013/04/29(Mon) 01:07:38

☆ Re: / sun

ありがとございます

No.21284 - 2013/04/29(Mon) 05:48:21

★ ヘッシアン / 高専

f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2の極値を求めよ
fx=0 かつ fy=0 より
極値をとる点の候補を得る。（√２,-√２）,(-√２,√２),(0,0)

ここでヘッシアンを用いる
H(x,y)=fxx*fyy-(fxy)^2
点(0,0)について H(0,0)=0
ここからどうすればいいでしょうか。

あとの２点は計算した所極値をもちました。
よろしくお願いします

No.21273 - 2013/04/28(Sun) 17:16:44

☆ Re: ヘッシアン / IT

多変数関数に詳しくないので参考までに

y=xのとき
　f(x,y)=x^4+x^4-2x^2+4xx-2x^2=2x^4 なので
　点(0,0)の近傍では点(0,0)が頂点で下に凸（点(0,0)で極小）

y=-xのとき
　f(x,y)=x^4+x^4-2x^2-4xx-2x^2=2x^4-8x^2　なので
　点(0,0)の近傍では点(0,0)が頂点で上に凸（点(0,0)で極大）

したがって、点(0,0)は鞍点になり、点(0,0)では極値を持たない。

No.21275 - 2013/04/28(Sun) 18:51:45

☆ Re: ヘッシアン / 高専

なぜ
y=xのとき
y=-xのとき
で考えたのですか？

No.21276 - 2013/04/28(Sun) 18:58:44

☆ Re: ヘッシアン / IT

「カンです」と言いたい所ですが、グラフソフトgrapesと計算サイトで調べて目星を付けました。
http://www.wolframalpha.com/

No.21277 - 2013/04/28(Sun) 19:02:05

☆ Re: ヘッシアン / 高専

それらのものを使えなかったらどうやって決定すればいいのでしょうか？

No.21278 - 2013/04/28(Sun) 19:13:32

☆ Re: ヘッシアン / IT

x=0,y=0,x=y,x=-yなど計算しやすいところを
いろいろ試してみるしかないかも知れませんね。

下記の１８～２０ページなども参考になると思います。
http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2009/kami09-06a.pdf

No.21279 - 2013/04/28(Sun) 19:16:26

☆ Re: ヘッシアン / 高専

詳しくありがとうございます

No.21285 - 2013/04/29(Mon) 19:11:53

★ 数列の問題添削お願いします / ktdg

数列{a(n)}が
a(1)=2, a(n)<2n^2+(1/n)Σ[j=1～n-1] a(j) (n=2, 3, 4…)
を満たすとする。このとき、全ての正の整数nに対してa(n)<3n^2が成り立つことを証明せよ。

a(n)<3n^2ー?@を帰納法により示す。
(?@)n=2のとき
条件より、
a2<2×4+(1/2)×a(1)=9<12
よって?@は成り立つ。
(?A)n=3, 4…kのとき
3≦m≦kを満たす全ての整数mについて、a(m)<3m^2が成り立つと仮定する。
n=k+1のとき
条件より、
a(k+1)<2(k+1)^2+{1/(k+1)}Σ[j=1～k] a(j) だから、
2(k+1)^2+{1/(k+1)}Σ[j=1～k] a(j)<3(k+1)^2
すなわち、
(k+1)^3>Σ[j=1～k] a(j)
を示せばよい。
仮定より、
Σ[m=3～k] a(m)<Σ[m=3～k] 3m^2
⇔Σ[j=1～k] a(j)<Σ[m=3～k] (3m^2)+a(1)+a(2)=(1/2)k(k+1)(2k+1)-4
ここで、
(k+1)^3-{(1/2)k(k+1)(2k+1)-4}=(k^2)/2+5k/2+5>0
∴ (k+1)^3>Σ[j=1～k] a(j)
したがって、n=k+1のとき?@は成り立つ。
また、a(1)=2<3より、n=1のときも?@は成り立つ。
以上より、すべての正の整数nについて?@は成り立つ。

添削お願いします。

No.21258 - 2013/04/26(Fri) 21:49:16

☆ Re: 数列の問題添削お願いします / X

>>(?A)n=3, 4…kのとき
>>3≦m≦kを満たす全ての整数mについて、a(m)<3m^2が成り立つと仮定する。
という書き方ではn=3のときの(1)の成立の証明が必要になり
解答が煩雑になります。
それよりも単に
(ii)n≦kのとき、(1)の成立を仮定する
と修正し、その後の過程の結論として
よってn≦k+1のときも(1)は成立する
と締める書き方がいいと思います。

No.21259 - 2013/04/26(Fri) 22:32:30

☆ Re: 数列の問題添削お願いします / ktdg

ありがとうございます。

No.21264 - 2013/04/27(Sat) 14:43:46

★ 三角関数 / 高２

θの方程式2cos^2 θ＋2ksinθ＋k-5=0を満たすθがあるような定数kの値の範囲を求めよ。

この問題を定数分離の解き方で教えてください。

No.21253 - 2013/04/26(Fri) 00:56:39

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

x=sinθとおくと
　-x^2＋2kx＋k－3＝0
と置けます。これを、
　x^2+3＝k(2x+1)
と変形して、
　ｙ＝x^2+3
　ｙ＝k(2x+1)
を連立させたものと考えます。
放物線　y=x^2+3 に、点(-1/2, 0) を通る直線 y=k(2x+1) が
-1≦x≦1 の範囲で交わるようなｋの値をグラフから読み取ります。

No.21255 - 2013/04/26(Fri) 01:30:11

☆ Re: 三角関数 / 高２

答えは、k≦-5, k≧-1+√7なのですが、どうやったら出てくるのでしょうか？

No.21260 - 2013/04/27(Sat) 00:52:32

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

あ、最初の変形が違ってましたね。

x=sinθとおくと
　-2x^2＋2kx＋k－3＝0
と置けます。これを、
　2x^2+3＝k(2x+1)
と変形して、
　ｙ＝2x^2+3
　ｙ＝k(2x+1)
を連立させたものと考えます。
放物線　y=2x^2+3 に、点(-1/2, 0) を通る直線 y=k(2x+1) が
-1≦x≦1 の範囲で交わるようなｋの値をグラフから読み取ります。

図の直線ｍより傾きが小さい場合、または直線ｎより傾きが大きい場合
-1≦ｘ≦1 の範囲で交点を持ちます。

図の直線ｍは、(-1/2, 0) と (-1,5) を結ぶ線で傾きは-10 で、
傾きがこれ以下であると、-1≦x＜0 の範囲に交点を持ちます。
y=2kx+k の2k が傾きに当たるので、2k≦-10 より k≦-5。

直線ｎの方は、(-1/2, 0) と (1,5) を結ぶ線ではなく、
それよりもっと傾きが小さい位置で、直線と放物線が接するところがあり、
それが直線ｎです。
-2x^2＋2kx＋k－3＝0 において、判別式をとると、
　D/4＝k^2＋2(k-3)＝k^2＋2k－6＝０
これを解いて、ｋ＝-1±√7
直線ｎの傾きに当たるのはｋ＝－１＋√７の方。

以上より、k≦-5, k≧-1+√7 が得られます。

No.21263 - 2013/04/27(Sat) 11:05:07

★ 恒等式 / ktdg

任意の実数xに対して
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
が成り立つように定数α, βを定めよ。

この問題について、(1)の解き方はあっていますか?
また、(1)と(2)の解き方の違いはなんですか？

(1)
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
⇔sin(x){cos(α)+cos(β)}+cos(x){sin(α)+sin(β)}=√3sin(x)
これが任意の実数xにたいして成り立つための必要条件は
cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0
(中略)
α=π/6, β=11π/6となる。
逆にこのとき、sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)だから、任意の実数についてsin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)は成り立つ。

(2)
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
が任意の実数について成り立つならば、x=0, π/2のときも成り立ち、
sinα+sinβ=0 かつ cos(α)+cos(β)=√3
(中略)
α=π/6, β=11π/6となる。
逆にこのとき、sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)だから、任意の実数についてsin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)は成り立つ。

No.21243 - 2013/04/24(Wed) 13:35:59

☆ Re: 恒等式 / らすかる

> ⇔sin(x){cos(α)+cos(β)}+cos(x){sin(α)+sin(β)}=√3sin(x)
> これが任意の実数xにたいして成り立つための必要条件は
> cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0

これは明らかではなく飛ばしすぎで、
きちんと必要条件であることを示す必要があると思います。
また「cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0」は明らかに十分条件ですから、
必要条件であることを示せば必要十分条件となり、
（中略の中が全部同値変形ならば）最後の「逆にこのとき、…」が不要になります。

No.21247 - 2013/04/24(Wed) 16:03:49

☆ Re: 恒等式 / ktdg

回答ありがとうございます。

きちんと必要条件であることを示す、とは具体的にどうすれば良いのでしょうか？

No.21254 - 2013/04/26(Fri) 01:18:39

☆ Re: 恒等式 / らすかる

一例ですが
sinx(cosα+cosβ)+cosx(sinα+sinβ)
=√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}sin(x+γ)
ただし、γは
cosγ=(cosα+cosβ)/√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}
sinγ=(sinα+sinβ)/√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}
を満たす数

なので、
sinx(cosα+cosβ)+cosx(sinα+sinβ)
=√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}sin(x+γ)=(√3)sinx
が任意の実数xに対して成り立つためには
√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}=√3, γ=2nπ
これより
sinα+sinβ=0, cosα+cosβ=√3
でなければならない。

ぐらい示せば問題ないと思います。
そう考えると(2)の解き方の方が圧倒的に簡単ですね。

No.21256 - 2013/04/26(Fri) 02:31:20

☆ Re: 恒等式 / ktdg

ありがとうございます。

No.21257 - 2013/04/26(Fri) 17:17:11

★ つり合い / √

また教えてください。

棒の両端に重りをつけました。

左端：右端＝２：１
になるように。

すると、重心は左端から１：２に内分する点にくる
というのは、感覚的には分るのですが、

これは、何故ですか？

よろしくお願い致します。

No.21240 - 2013/04/24(Wed) 13:03:34

☆ Re: つり合い / ast

その位置で吊ると棒が回転しないのは力積が一致する（モーメントが0）からで、そこに重心がくるというのは少し違うのでは？

No.21241 - 2013/04/24(Wed) 13:32:08

☆ Re: つり合い / ヨッシー

最終的には、力のモーメントが釣り合うから、
ということになります。（これが何故といわれると答えられません）

重心からの距離×力の大きさ
を力のモーメントと言います。（重力も力の一種です）
重心周りに、右回りのモーメントと、左回りのモーメントが
等しいときに、物体は回転せずに釣合います。

No.21242 - 2013/04/24(Wed) 13:35:22

☆ Re: つり合い / √

ａｓｔさん　ヨッシーさん

ごめんなさい。
私の書き方が悪かったようです。

力のモーメントとか難しい事ではなくて、
中学入試の算数の問題で、食塩水の濃度などを求めるのに、「天秤図」を使って説明していることが多いので、

なぜ、「天秤図」が当てはまるのか、分りませんでした。
私は、濃度の計算で「天秤図」を使う方法を知りませんでした。

一般に
「棒の両端に重りを付けて、紐で、ぶら下げた場合、
左側に２ｇの重り、右側に１ｇの重り
を付けたら、
左側から１：２に内分した点に紐を移動させれば、つり合う（比の値を逆にすれば、つり合う）」
という「事実」として受け留めれば宜しいでしょうか？
（証明ではなくて）　

No.21244 - 2013/04/24(Wed) 14:58:01

☆ Re: つり合い / √

天秤図、見つけました。
図が載せられなかったのでホームをクリックお願い致します。

No.21245 - 2013/04/24(Wed) 15:42:49

☆ Re: つり合い / √

すみません。
元の問題です。ホームのクリックお願い致します。

No.21246 - 2013/04/24(Wed) 16:02:28

☆ 分った気が / √

あっ　
ヨッシーさんの説明で分ったような気がします。
最初、力のモーメントとか言われて、混乱しましたが、

ヨッシーさんの文章をよく読むと、
重力が食塩水の重さと考えれば、
「力のモーメント」というものが存在して、
棒が地平線と平行になり、左右、どちらかが上下（回転）したりしないということですね。

> 重心からの距離×力の大きさ
> を力のモーメントと言います。（重力も力の一種です）
> 重心周りに、右回りのモーメントと、左回りのモーメントが
> 等しいときに、物体は回転せずに釣合います。

そして、なぜ、つり合うかは「力のモーメント」がつり合うという事実だから。
ですね？

No.21248 - 2013/04/24(Wed) 18:55:21

☆ Re: つり合い / ヨッシー

天秤が釣り合う事自体は、「そういうもの」として、とりあえず
覚えて下さい。

こちらにも、天秤を使った食塩水の問題の記事があります。

証明をしてみると、
ｍ％の食塩水ａｇ　と　ｎ％の食塩水ｂｇ　を混ぜたときに、
横の目盛（濃度）は、ｍからｎまで引かれ、これを
ｂ：ａに内分した点は、目盛で言うと
　(am+bn)/(a+b) ％
になりますが、答えの濃度も、これになったら、証明されたことになりますね。
（座標の内分点は別途調べて下さい）

それぞれの食塩水に含まれる食塩の量は
　am/100(g), bn/100(g)
なので、これを加えた　(am*bn)/100 (g) の食塩が
(a+b)ｇの食塩水に含まれているということなので、
その濃度は、
　(am+bn)/100÷(a+b)×100％＝(am+bn)/(a+b) ％
となり、天秤の考え方が、食塩水の問題にも使えることが
わかります。

こういう裏付けがあって、天秤を食塩水の問題に使っているのです。

No.21249 - 2013/04/25(Thu) 09:38:26

☆ Re: つり合い / √

ヨッシーさん

理解出来ました。
有り難うございました。

化学で普通に濃度計算していた人間が、「天秤法」を見た時は、ビックリしました。

この「天秤法」は他にも、いろいろな所で応用できそうですね。

ところで、

> なので、これを加えた　(am*bn)/100 (g) の食塩が

上記の「＊」のマークは「混ぜる」という意味でしょうか？

No.21250 - 2013/04/25(Thu) 13:07:51

☆ Re: つり合い / ヨッシー

あ、「＋」の打ち間違いです。

No.21251 - 2013/04/25(Thu) 15:20:17

☆ Re: つり合い / √

了解致しました。

ヨッシーさん、有り難うございました。

No.21252 - 2013/04/25(Thu) 16:39:30

★ 極限 / なな

こんにちは。

a_1=1, a_n=1/(1+a_(n-1)) (n=2,3,…)
のとき,lim(n→∞)a_nをもとめよ。

という問題なのですが，方針が立ちません。
収束するとして極限をαと置き，αを求めて有界であることを示せば良いのでしょうか。よろしくお願いします。

No.21221 - 2013/04/21(Sun) 15:06:00

☆ Re: 極限 / のぼりん

こんにちは。

ｆ（ｘ）＝１/（１＋ｘ）とおけば、ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）は正の値を取る単調減少関数です。ａ_１＞０で、ａ_ｎ＞０のときａ_ｎ＋１＝ｆ（ａ_ｎ）＞０だから、帰納的に、任意の正の整数ｎに対しａ_ｎ＞０です。｛ａ_ｎ｝は単調減少な正値数列だから、収束します。その収束先を α とおけば、α≧０で、
　　　α＝ｌｉｍ_ｎ→∞ａ_ｎ＝ｌｉｍ_ｎ→∞１/（１＋ａ_ｎ－１）＝１/（１＋α）
です。両辺に１＋α を掛け、
　　　α^２＋α＝α（１＋α）＝１
　　　α^２＋α－１＝０
　∴　α＝（－１±√５）/２
です。 α≧０だったから、
　　　α＝（－１＋√５）/２
です。

No.21222 - 2013/04/21(Sun) 16:14:22

☆ Re: 極限 / らすかる

> ｛ａｎ｝は単調減少な正値数列だから、
f(x)=1/(1+x) は単調減少ですが、{an}は単調減少ではないですね。

No.21225 - 2013/04/21(Sun) 17:31:16

☆ Re: 極限 / のぼりん

完全にぼけていました。申し訳ありません。

　　　ｇ（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｘ））＝１/｛１＋１/（１＋ｘ）｝＝（１＋ｘ）/（２＋ｘ）＝１－１/（ｘ＋２）
は、ｘ＞０において単調増加で、１/２＜ｇ（ｘ）＜１です。
　　　ｇ（ｘ）＝ｘ　⇔　（１＋ｘ）/（２＋ｘ）＝ｘ
　　　⇔　ｘ^２＋２ｘ＝ｘ＋１
　　　⇔　ｘ^２＋ｘ－１＝０
　　　⇒　ｘ＝（－１±√５）/２
ですが、ｘ＞０だから、ｘ＝（－１＋√５）/２です。簡単のため、α＝（－１＋√５）/２とおきます。ｇ（ｘ）の接線の傾きは０より大きく１未満だから、０＜ｘ＜α のときｘ＜ｇ（α）＜α、ｘ＞α のときｘ＞ｇ（α）＞α です。

No.21226 - 2013/04/21(Sun) 19:32:22

☆ Re: 極限 / らすかる

別解です。

もし収束するならば
α=1/(1+α), a[n]＞0 から α=(-1+√5)/2
そこで b[n]=a[n]-α とおくと
b[1]=1-α, b[n]+α=1/(1+b[n-1]+α), b[n]＞-α
|b[n]|=|1/(1+b[n-1]+α)-α|
=|α-1/(1+b[n-1]+α)|
=|(α+αb[n-1]+α^2-1)/(1+b[n-1]+α)|
=|αb[n-1]/(1+b[n-1]+α)|　（∵α^2+α-1=0）
＜|αb[n-1]|　（∵b[n-1]＞-αから分母＞1）
よって |b[n]|＜(1-α)α^(n-1) となり、
0＜α＜1 からb[n]は0に収束するので
a[n]はαに収束する。

No.21230 - 2013/04/22(Mon) 01:32:43

☆ Re: 極限 / なな

こんばんは。

とてもよくわかることができました。
のぼりんさん、らすかるさんありがとうございました！

No.21231 - 2013/04/22(Mon) 02:50:49

★ 指数 / トンデモ

いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?

No.21216 - 2013/04/21(Sun) 05:22:08

☆ Re: 指数 / ヨッシー

英語はよくわかりませんが、何をせよという問題なのですかね？

下の４つの中で、指数関数またはべき乗関数で書けるものを選びなさい。
のような感じかと思ったのですが。
determine って何や？

No.21219 - 2013/04/21(Sun) 08:34:47

☆ Re: 指数 / のぼりん

こんにちは。
以下に粗訳を付けました。

課題３　関数ｆは、定数ａと正の定数ｂにより、ｆ（ｘ）＝ａ・ｂ^ｘの形に書けるとき、指数型であると言う。
関数ｆは、正の定数ｋとｂにより、ｆ（ｘ）＝ｋ・ｘ^ｐの形に書けるとき、冪型であると言う。

以下の数式のうち、何れが指数型関数か冪型関数のどちらかの形に書けるかを答え、説明せよ。
（ａ）　　ｆ（ｘ）＝２（－３）^４ｘ
（ｂ）　　ｑ（ｘ）＝６（ｘ－３）^５
（ｃ）　　ｇ（ｔ）＝４・３^２ｔ－２・９^ｔ
（ｄ）　　ｒ（ｘ）＝－４√７ｘ^３＋３ｘ^５/３/（２ｘ^－４/３）

略解は、以下の通りです。日本語で書きましたが、英語の方が分かり易ければその旨仰って下さい。

（ａ）　ａ＝２、ｂ＝（－３）^４とおけば、ｆ（ｘ）＝ａ・ｂ^ｘだから、指数型関数です。
（ｂ）　ｑ（ｘ）は五次多項式関数で、五次以下の項の何れの係数も零でないので、指数型関数、冪型関数の何れでもありません。
（ｃ）　ａ＝２、ｂ＝９とおけば、ｇ（ｔ）＝ａ・ｂ^ｔだから、指数型関数です。
（ｄ）　ｋ＝３/２－４√７、ｐ＝３とおけば、ｒ（ｘ）＝ｋ・ｘ^ｐだから、冪型関数です。

No.21223 - 2013/04/21(Sun) 17:03:52

☆ Re: 指数 / ヨッシー

私の考えは(c) のみ指数型で、他は該当しない、です。

(a) は、(-3)^4x＝81^x のような変形が許されるなら、
　ｙ＝(-2)^x
も、y＝4^(x/2) という変形が許されて、しかもこれは y=2^x と
同じであるということになります。
　(a^m)^n＝a^(mn)
は、a＞0 のときの公式だったと思います。

(d) は、ｘ＝０で定義できないので、不可と考えます。
ｘ≠０の部分では、冪型です。

No.21233 - 2013/04/22(Mon) 17:39:59

☆ Re: 指数 / トンデモ

ご回答誠に有難うございます。
私は
指数型⇔冪型
に変形できるか調べよという意味かと思ってました。
私のは単なるこじ付けだったのですね。

No.21238 - 2013/04/23(Tue) 05:58:19

★ 数列 / ktdg

数列{a(n)}は、
(2n+3)a(n)+1=4Σ[k=1～n] ka(k) (n=1, 2, 3,…)
を満たしている。数列{a(n)}の一般項を求めよ。

一般項を予想して帰納法で示すタイプの問題だと思うのですが、Σが入っているので、普通の帰納法ではなく、n=1～kまでを仮定して示さなければならないのでしょうか？
また、そのような場合の証明はどうやってやればよいのですか？

No.21207 - 2013/04/20(Sat) 20:34:20

☆ Re: 数列 / IT

この問題の場合
(2n+5)a(n+1)+1と(2n+3)a(n)+1との差を調べると
a(n+1)=f(n)a(n)のパターンの漸化式になりませんか？

厳密には帰納法でしょうが
a(n+1)={(n+1)/n}a(n)のパターンでは
　　　={(n+1)/n}{n/(n-1)}...{2/1}a(1)=(n+1)a(1)
などとしても良いのではないでしょうか。

No.21208 - 2013/04/20(Sat) 20:51:56

☆ Re: 数列 / ktdg

回答ありがとうございます。

(2n+5)a(n+1)+1-(2n+3)a(n)-1=4(n+1)a(n+1)
a(n+1)={(2n+3)/(1-2n)}a(n)

となると思うのですが、ここからどうすればよいのでしょうか？

No.21227 - 2013/04/21(Sun) 21:42:35

☆ Re: 数列 / IT

a(n+1)={(2n+3)/(1-2n)}a(n)
=(-1){(2n+3)/(2n-1)}a(n)

=(-1){(2n+3)/(2n-1)}
(-1){(2n+1)/(2n-3)}a(n-1)

=(-1){(2n+3)/(2n-1)}
(-1){(2n+1)/(2n-3)}
(-1){(2n-1)/(2n-5)}a(n-2)

=(-1){(2n+3)/(2n-1)}
(-1){(2n+1)/(2n-3)}
(-1){(2n-1)/(2n-5)}
(-1){(2n-3)/(2n-7)}
...
(-1){9/5}
(-1){7/3}
(-1){5/1}a(1)

=[{(-1)^(n)}(2n+3)(2n+1)/(3・1)}]a(1)

a(1)=-1なので
a(n)={(-1)^(n-1)}(2n+1)(2n-1)(-1)/3
={(-1)^n}(2n+1)(2n-1)/3

わかりやすくするため途中多めに記述しています。

No.21228 - 2013/04/21(Sun) 22:46:34

☆ Re: 数列 / ktdg

ありがとうございます。

No.21229 - 2013/04/21(Sun) 22:58:57

★ 解析学 / ハオ

命題:
Σa_nが収束する時、その連続する有限個の項の和を項とする級数も収束してその和はΣa_nの和に等しい.

と書いてあるのですが,意味がよく汲み取れません.
「その連続する有限個の項」とは,
a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2,.....,a_0+a_1+...+a_nであり
「その連続する有限個の項の和を項とする」とは
上の列の項をs_nとするとき
s_0+s_1,s_2+s_3+s_4,...
のような列の事を言っているのでしょうか？

No.21206 - 2013/04/20(Sat) 17:33:35

☆ Re: 解析学 / ast

ふつうに, もとの級数が収束しているなら, そこから適当に (ただし, 項の順番は変えずに) あちこちの項を括弧で括ってもよい (同じ値になる) という意味ではないでしょうか.

# 前後の文脈や証明を見たほうがいい気もしますが.

No.21209 - 2013/04/20(Sat) 21:10:04

☆ Re: 解析学 / WIZ

「連続する有限個の項の和を項とする級数」とは m, n を自然数として
一般項が b[m] = Σ[k=m,m+n-1]a[k] で定義される数列を考えて、
その無限和 Σ[k=1,∞]b[n] のことではないかと思います。

つまり、
b[1] = a[1]+a[2]+・・・+a[n]
b[2] = a[2]+a[3]+・・・+a[n+1]
・・・
b[m] = a[m]+a[m+1]+・・・+a[m+n-1]
というふうに連続する n 項の和が項となる数列を定義し、

「収束してその和はΣa_nの和に等しい」とは、級数 Σ[k=1,∞]a[n] が α に収束するとすれば、
級数 Σ[m=1,∞]b[m] = Σ[m=1,∞]{Σ[k=m,m+n-1]a[k]} は nα に収束するということを
言っているのだと思います。

No.21210 - 2013/04/20(Sat) 21:26:07

☆ Re: 解析学 / ハオ

>astさん WIZさん
有難う御座います.お二人の返信を参考にしてもう一度よく考えてみます.

No.21232 - 2013/04/22(Mon) 17:21:14

★ 極限／高3 / tmw

rを|r|<1である実数とするとき、等式lim nr^n=0(n→∞)を証明し、
無限数の和Σnr^n-1(n=1から∞)を求めよ。

(1)でh>0のとき、自然数nに対して次の不等式があるので、⑴を(2)でどう生かすかを教えて下さい。
(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2

No.21203 - 2013/04/20(Sat) 11:38:36

☆ Re: 極限／高3 / WIZ

rを|r|<1である実数とするとき、lim[n→∞]{nr^n} = 0は証明できたということですよね?
それで、Σ[n=1,∞]{nr^(n-1)}を求めよという問題と解釈して回答します。

S[m] = Σ[n=1,m]{nr^(n-1)} = 1+2r+3r^2+・・・+mr^(m-1) とおけば、
rS[m] = r+2r^2+3r^3+・・・+mr^m です。
⇒ S[m]-rS[m] = 1+r+r^2+・・・+r^(m-1)-mr^m = (1-r^m)/(1-r)-mr^m
⇒ S[m] = (1-r^m)/(1-r)^2-mr^m/(1-r)

ここで、m→∞のとき、lim[n→∞]{nr^n} = 0よりmr^m/(1-r)→0です。
また、m→∞のとき、r^m→0ですから、

lim[m→∞]S[m] = Σ[n=1,∞]{nr^(n-1)} = 1/(1-r)^2

No.21204 - 2013/04/20(Sat) 12:30:36

☆ Re: 極限／高3 / tmw

数列に帰着させるんですね。ありがとうございます。
ちなみにlim[n→∞]nr^n=0の証明は、1+h=rとかと置いて、
はさみうちですか？

No.21205 - 2013/04/20(Sat) 14:22:30

☆ Re: 極限／高3 / WIZ

> ちなみにlim[n→∞]nr^n=0の証明は、1+h=rとかと置いて、
> はさみうちですか？

1+h = rと置いて、どう挟み撃ちするんでしょう? 興味があるので式を書いてもらえますか?

私なら以下のよう証明します。
r = 0ならnr^n = 0は自明ですから、r ≠ 0の場合を考えます。

r > 0ならば、t = 1/rとおけば、t > 1ですから、t = 1+hと置けばh > 0です。
0 < lim[n→∞]{nr^n} = lim[n→∞]{n/t^n} ≦ lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} = 0
# 但し、最後の式は n ≧ 2 場合のみ考えます。
挟み撃ちによって、lim[n→∞]{nr^n} = 0 といえます。

r < 0ならば、t = 1/rとおけば、t < -1ですから、t = -1-hと置けばh > 0です。
nが偶数の場合、
0 < lim[n→∞]{nr^n} = lim[n→∞]{n/t^n} ≦ lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} = 0
nが奇数の場合、
0 = lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} ≦ lim[n→∞]{nr^n} < 0
いずれも挟み撃ちによって、lim[n→∞]{nr^n} = 0 といえます。
# 同様に、1+nh+(n(n+1)/2)h^2は n ≧ 2 場合のみ考えます。

No.21211 - 2013/04/20(Sat) 21:44:01