軌跡を求める問題で、
y^2=4x^2{(35/4)+(5/(2x)-3)^2}まで
求められたとします。ｘ≠０です。ｙについては何も出てきていません。
この式を変形して
y^2=35x^2+{(2x)(5/(2x)-3)}^2・・?@
=35x^2+(5-3x)^2・・?A
となるのですが、
?@の式はｘ≠０なのに
なんと?Aの式はｘ≠０でも成り立ってしまいます。
軌跡の問題なので答えは『?Aを整理した式（ただしｘ≠０）』の形になると思います。
つまり、約分！で答えに影響が出てしまうことになります！
今まで、両辺に文字をかけたり割ったりする際は答えに影響が出ると知っていたので、そこは一端式の前後で同値が保たれているか、気を使っていたのですが、
約分でも「文字同士を約分する際はその前後の式で同値が保たれているか毎回確認する」という作業を追加しなければいけないということでしょうか？
この回答次第でいままで私がやっていた式変形が根本的に覆ってしまいますので、恐れながら、自信のある回答をお願いします。
|
No.21531 - 2013/05/25(Sat) 19:24:02
| ☆ Re: 式変形 / X | | | >>つまり、約分！で答えに影響が出てしまうことになります！
影響は出ません。
式変形の結果x=0を代入して問題のない式になったとしても
飽くまでそれはx≠0の時に成立する式です。
x=0のときに成立するかどうかは、そのときのyの値を求めることで、
別に確かめる必要があります。
|
No.21532 - 2013/05/25(Sat) 20:47:00 |
| ☆ Re: 式変形 / ast | | | 少し前にも似たようなやり取りを見かけた気がするのですが, 約分で同値性が崩れているのではありません (そもそもx=0のときは約分できない). 考え方を間違えているだけなので, 少し頭を整理する方がよいでしょう.
いま, 「(x,y は実数)かつ(x≠0)かつ?@」を満たす組 (x,y) の全体の描く図形を知りたいのですから, ?@を変形して得られた?Aがx=0で意味を持つ式であることはほかの条件を勝手にないものとして扱ってよいことを全く意味しません. ?@の式を満たさなければならないのであれば, x≠0 は必要条件ですから, それ以降勝手に抜いてはいけません.
また, x≠0 という前提の下で?@⇔?Aが成り立ちます. 即ち, (x≠0かつ?@)⇔(x≠0かつ?A)です. 言い換えれば, この変形は同値性を崩していません.
また例えば, x,y が?@や?Aを満たすような複素数を見つけたとしても, やはり同様の意味で無意味であることがわかります.
もし作業を追加するのであれば, すでに得られている条件を見落としている, あるいは勝手にないものと思い込んでいるのではないか, ということを確認する作業を随時追加されるのがよいと思います.
|
No.21533 - 2013/05/25(Sat) 21:17:21 |
| ☆ Re: 式変形 / そえぴちゅう | | | 分かりやすい解説ありがとうございました。
つまり
y^2=35x^2+{(2x)(5/(2x)-3)}^2・・?@
=35x^2+(5-3x)^2かつｘ≠０・・?A
という風に「約分して文字が分母から消えたとき、次の式（?Aに当たる式）で分母＝０となるｘを?Aが満たすかどうかの確認を怠ると答えに影響が出る（ので確認する）」ということでよいのでしょうか？
y^2=35x^2+{(2x)(5/(2x)-3)}^2
=35x^2+(5-3x)^2という風にすぐさま
求める軌跡がy^2=35x^2+(5-3x)^2としてしまうと
軌跡の限界を考慮していない事になり不正解、
実際の答えはy^2=35x^2+(5-3x)^2(x≠0)
y^2=35x^2-{(2x)(5/(2x)-3)}^2
=35x^2-(5-3x)^2ならｘ＝０を代入してy^2=-5なので
求める軌跡はy^2＝35x^2ｰ(5-3x)^2
という風に確認を怠ると答えに影響が出てしまうのでは？という意味です。（その意味で前回質問しました）よろしくおねがいします
|
No.21544 - 2013/05/26(Sun) 14:02:06 |
| ☆ Re: 式変形 / ＿ | | | お望みの答え方とは違うかもしれませんが、その「影響が出る」というのが、「勝手に同値性を無視した読み替えをした結果、なんだか結論がおかしくなってしまう」という意味なら、「出ることもあるでしょうね」ということになるかと思います。その例示でまさに「影響が出て」いますね。
ただ、背景にあるのは、同値性を勝手に崩しちゃいけないという事項で、何も軌跡について限ったことではないのですが。
＃しかし、軌跡の限界について、何が同値でどのような場合に十分性を確認しなければならないのか云々、というのは最近のブームだったりするんですかね？ カリキュラムで言えば今の時期に図形と方程式をやることが多いのでしょうか。
|
No.21566 - 2013/05/29(Wed) 07:39:51 |
| ☆ Re: 式変形 / そえぴちゅう | | | よく分かりました。これからは文字を約分した後は、分母≠０が隠れているという事を念頭においてその後の計算を進めていかなきゃですね。
回答ありがとうございました。
|
No.21589 - 2013/06/01(Sat) 15:34:58 |
|
