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★ 物理 / mario
有効数字を考慮して次の問いの答えよ

?@バスが動き始めてから一定の加速度で進み、４，０秒間に２４[m]進んだ。電車の加速度の大きさはいくらですか？また、この時の速さはいくらですか？

?A速さ１０[m/s]で進んでいた電車がブレーキをかけて一定の加速度で減速し、１０[m]進んで止まった。このときの加速度と止まるまでの時間を求めよ。

?B水面からの高さ２０[m]の歩道橋の上よりボールAを初速度０[m/s]で落下させ、その１，０秒後にボールBを初速度ｖ₀[ｍ/ｓ]で鉛直下方に投げ下ろした。両方のボールの加速度の大きさを１０[ｍ/ｓ２乗]として次の?@、?Aに答えよ。

?@Ａが水面に達するまで要する時間はいくらか？

?AＡと同時にＢが水面に到達するには初速度ｖ₀[ｍ/ｓ]はいくらにすればよいか？

解説お願いします。(途中式と有効数字の解説お願いします。)


解答

?@　a=3,0[m/s２乗] v=12[m/s]

?A　a=-5,0[m/s２乗] t=-2,0[s]

?B　?@　t=2,0[s] ?A　v₀=15[m/s]
No.21389 - 2013/05/12(Sun) 05:30:24
☆ Re: 物理 / ヨッシー
(1)
加速度をａ m/s^2 とすると、ｔ秒後の速度は ａｔ m/s、
それまでに動いた距離は ａｔ^2／２ ｍ であるので、
　ａ＝24×2÷4.0÷4.0＝3.0 (m/s^2)
　ｖ＝3.00×4.0＝12 (m/s)
(2)
距離ｄと初速度ｖ0の関係は　ｄ＝ｖ0ｔ／２ であるので、
　ｔ＝10×2÷10＝2.0 (秒)
　ａ＝10÷2.00＝5.0　より　-5.0 m/s^2
(3)(1)
　ｄ＝ａｔ^2/2 より、ｔ^2＝20×2÷10＝4.0
　ｔ＝2.0(秒)
(3)(2)
　Ｂが1.0 秒で水面に着けばいいので、
　初速度ｖ0、ｔ秒後の速度 ｖ0＋ａｔ より、
　ｄ＝{ｖ0＋(ｖ0＋ａｔ)}ｔ／２＝ｖ0ｔ＋ａｔ^2/2
において、
　ｖ0＝(20−10×1.0×1.0÷2)÷1.0＝15 (m/s)

現れている観測値はすべて２桁なので、答えも２桁とします。
No.21390 - 2013/05/12(Sun) 07:08:49
☆ Re: 物理 / mario
ご回答有難うございます。しかしながら、内容が私にとっては難しいので、次の３つの式のみを使わなければならないと条件があったとして、もう一回ご回答お願い致します。（途中式と有効数字の解説お願いします。）

等加速度運動の公式
?@ｖ＝ｖ０+at
?Ax＝ｖ０ｔ+１/２（at)^2
?Bv^2-v0^2=2ax

あと、この質問にも答えて下さい

質問：教科書からの抜粋です。↓

測定値の和や差を求めるときは小数点をそろえ最後の桁の位取りが最も高いものに合わせて結果を出す。

上の分で「最後の桁の位取りが最も高いものに合わせて」とはどのようなことかよくわかりません。例を用いて説明して頂きたいです。
No.21391 - 2013/05/12(Sun) 07:45:16
☆ Re: 物理 / ヨッシー
?Aの公式は誤りで、(at)^2 ではなく at^2 です。

私の使っている公式は、（距離にｘではなくｄを使っていますが)
(1)
　ｖ＝ａｔ　　　・・・?@で、ｖ0＝０ としたもの
　ｄ＝ａｔ^2／２　・・・?Aで、ｖ0＝０ としたもの
(2)
　ｄ＝ｖ0ｔ／２ ・・・?@で、ｖ＝０ としたものを?Aに代入したもの
　ａ＝−ｖ0／ｔ　・・・?@でｖ＝０としたものを変形
(3)(1)
　ｄ＝ａｔ^2／２　・・・?Aで、ｖ0＝０ としたもの
(3)(2)
　ｄ＝ｖ0ｔ＋ａｔ^2/2　・・・?Aそのもの
なので、条件を満たしています。

というより、ここまで公式が与えられているなら、それに当てはめれば、終わりです。

>質問：教科書からの抜粋です。↓
の件。

富士山の高さは　3.776 km ですが、この山頂に 125cm＝0.00125km の棒を鉛直に立てたとき、
棒の上端の高さは？
3.776　　・・・最後の位取りは、小数第３位
0.00125　・・・最後の位取りは、小数第５位
で、高い方の小数第３位に合わせて
　3.776＋0.001＝3.777(km)
No.21392 - 2013/05/12(Sun) 08:28:49
☆ Re: 物理 / mario
ご回答有難うございます。自分で理解できました。
No.21393 - 2013/05/12(Sun) 13:13:51
★ (No Subject) / sun
４つの実数a,b,c,dが次の２つの条件
　
　　１）a+b+c+d=4
2)0≦a≦ｂ≦c≦ｄ　を満たすとき次の問に答えよ


（１）c≦２を証明せよ。
（２）b+cのとり得る最大の値を求めよ
（３）a+dのとり得る最小の値を求めよ
　
　解答の方針と答えを教えてください、お願いします。
No.21381 - 2013/05/10(Fri) 20:22:43
☆ Re: / らすかる
(1)
もしc＞2だとするとd≧cからd＞2で、
a,b≧0だからa+b+c+d＞4となり、条件に反する。
(2)
もしc=4/3+t（tは正の実数）とするとd≧4/3+tなので
a+b≦4-(4/3+t)-(4/3+t)=4/3-2t となり
b≦4/3-2tだからb+c≦8/3-tなのでb+cは8/3より小さくなる。
もしc=4/3-t（tは正の実数）とするとb≦cからb≦4/3-tなので
b+c≦8/3-2tとなり、b+cは8/3より小さくなる。
よってa=0,b=c=d=4/3のときにb+cは最大値8/3をとる。
(3)
a+dとb+cの和は一定なので、「a+dが最小」⇔「b+cが最大」
よって(2)からa=0,b=c=d=4/3のときにa+dは最小値4/3をとる。
No.21382 - 2013/05/10(Fri) 21:08:56
☆ Re: / IT
（２）の（別解）です
b+cが最大値をとるとき
　a=0である
　　なぜなら、a＞0とすると、aを0にしてその分を均等にb,c,dに配分するとb+cは大きくなります。
　　式で書くと、
　　　a'=0,b'=b+(a/3),c'=c+(a/3),d'=d+(a/3)は条件を満たし、b'+c'=b+(a/3)+c+(a/3)＞b+cなので
　　※cとdだけに配分してもOKです。　

　さらにd=cである
　　なぜなら、t=d-c＞0とすると、tを0にしてその分を均等にb,cに配分するとb+cは大きくなります。
　　式で書くと
　　　a=0,b'=b+(t/3),c'=c+(t/3),d'=c'は条件を満たし、b'+c'=b+(t/3)+c+(t/3)＞b+cなので
　　※cだけに配分してもOKです。

　さらにb=cである
　　なぜなら、t=c-b＞0とすると、c,dを減らしてbにまわしてb=c=dとするとb+cは大きくなります。
　　式で書くと、
　　　a=0,b'=b+(2t/3),c'=b',d'=b'は条件を満たし、b'+c'=b+(2t/3)+c-(t/3)＞b+cなので

以上と１）からb+cが最大値をとるときa=0,b=c=d=4/3でb+cの最大値は8/3
No.21386 - 2013/05/11(Sat) 11:26:58
☆ Re: / sun
とても勉強に成りましたありがとうございます
No.21474 - 2013/05/17(Fri) 22:21:17
★ 平均値 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?

関数f(x)のa≦x≦bでの平均値は1/(b-a)・∫_a^b f(x) dx という公式になってます。
No.21374 - 2013/05/10(Fri) 10:37:59
☆ Re: 平均値 / ヨッシー
良いと思います。
また、置換積分をしなくても、
∫(f'/f)dx＝log|f| なので、
　(1/10)∫e^0.2t/(4+e^0.2t)dt＝(1/2)∫(0.2e^0.2t)/(4+e^0.2t)
　　＝(1/2)log(4+e^0.2t)
と計算することも出来ます。
No.21384 - 2013/05/10(Fri) 23:24:33
☆ Re: 平均値 / トンデモ
了解です。

どうも有難うございます。
No.21385 - 2013/05/11(Sat) 04:15:15
★ 指数関数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.21373 - 2013/05/10(Fri) 10:12:06
★ 整式の問題 / ktdg
xの多項式f(x)があり、任意の実数aに対して、f(x)-f(a)が常に(x^3)-(a^3)で割り切れるとする。ある多項式g(x)によって、f(x)=g(x^3)と表されることを示せ。

解き方を教えてください。
No.21371 - 2013/05/10(Fri) 03:37:51
☆ Re: 整式の問題 / IT
f(x)=Σc[k](x^k)とすると
f(x)-f(a)=Σc[k](x^k-a^k)=(x^3-a^3)h(x)
ここでx=aωを入れて考える。(ωはx^3-1=0のx=1以外の解のひとつ）

※h(x)はxについての整式でaに依存します。
※=(x^3-a^3)h(x)を書かずに、
因数定理を使って直接
f(aω)-f(a)=Σc[k]((aω)^k-a^k)=Σc[k](ω^k-1)a^k=0…?@
としても良い。
?@が任意の実数aについて成り立つので、各kについてc[k](ω^k-1)=0

これをkが３の倍数のときとそうでないときに分けて考えます。

ktdgさん、後は、出来そうですか？分からないことがあったら聞いてください
No.21372 - 2013/05/10(Fri) 07:45:03
☆ Re: 整式の問題 / ktdg
回答ありがとうございます。
kが3で割り切れるとき、ω^k-1=0
kが3で割って1余るとき、ω^k-1=ω-1≠0
kが3で割って2余るとき、ω^k-1=-ω-2≠0
c[k]=0とすると、恒等的にf(x)=0となり条件に反する。
よって、k=3nと表され、f(x)=Σc[k]x^k=Σc[k]x^3n
∴ 題意は示された。

こんなかんじでいいでしょうか？

あと、Σの範囲(k=○〜□というやつ)が書かれていないものをはじめて見たのですが、どういう意味を持っているんですか？
No.21387 - 2013/05/11(Sat) 22:59:28
☆ Re: 整式の問題 / IT
> kが3で割り切れるとき、ω^k-1=0
　よって、c[k]は任意
> kが3で割って1余るとき、ω^k-1=ω-1≠0
　よって、c[k]＝０
> kが3で割って2余るとき、ω^k-1=-ω-2≠0
　よって、c[k]＝０

したがって、f(x)=Σc[3n]x^3n=Σc[3n](x^3)^nとなる。
　ただし、すべての係数c[3n]＝０の場合は、恒等的にf(x)=0となるので除かれる。

よってg(x)=Σc[3n]x^nとおくとf(x)=g(x^3)となる。

こんなかんじかな。
>
> あと、Σの範囲(k=○〜□というやつ)が書かれていないものをはじめて見たのですが、どういう意味を持っているんですか？
単なる省略です。本質的でないと思ったので、省略しました。
満点を狙うならちゃんと書く方が良いと思います。補足しておいてください。
本番の試験で時間に余裕がないなら省略してでもメインの部分の論証を進めて行くこともあり得ると思います。
No.21388 - 2013/05/11(Sat) 23:37:46
☆ Re: 整式の問題 / ktdg
ありがとうございます。
No.21409 - 2013/05/13(Mon) 22:57:17
★ 連立方程式の解の個数 添削お願いします / ktdg
aは実数の定数とする。x,yの連立方程式
y=a-x^2
x=a-y^2
を満たす実数の組(x,y)の個数を求めよ。


y=a-x^2ー?@
x=a-y^2ー?A
a=(x^2)+y=(y^2)+xより、
(x+y)(x-y)=x-yー?B

(ア)x=yのとき
?@より、x^2+x-a=0ー?C
このxについての方程式の判別式をDとおくと、D=1+4a
D<0 すなわち a<-1/4のとき ?Cは実数解を持たないので、(x,y)の組み合わせは0個
D=0 すなわち a=-1/4のとき ?Cは重解を持ち、x=yより、(x,y)の組み合わせは1個
D>0 すなわち a>-1/4のとき ?Cは2つの異なる実数解を持ち、x=yより、(x,y)の組み合わせは2個

(イ)x≠yのとき
?B⇔x+y=1ー?D
?@に代入して、x^2-x+1-a=0ー?E
このxについての方程式の判別式をD'とおくと、D'=4a-3
D'<0 すなわち a<3/4のとき ?Eは実数解を持たないので、(x,y)の組み合わせは0個
D'=0 すなわち a=3/4のとき ?Eは重解を持つが、このとき、?Eを解くと x=1/2となり、?Dより、y=1/2なので、x≠yを満たさず不適。したがって、(x,y)の組み合わせは0個
D'>0 すなわち a>3/4のとき ?Eは2つの異なる実数解をもち、?Dより、1つのxに対して1つのyが対応するので、(x,y)の組み合わせは2個

以上より、(x,y)の組み合わせは、
a<-1/4のとき 0個
a=-1/4のとき 1個
-1/4<a≦3/4のとき 2個
a>3/4のとき 4個

添削お願いします。
No.21370 - 2013/05/10(Fri) 01:34:47
☆ Re: 連立方程式の解の個数 添削お願いします / ヨッシー
良いと思います。

と答えるのが一番大変(笑)
No.21383 - 2013/05/10(Fri) 23:19:08
☆ Re: 連立方程式の解の個数 添削お願いします / ktdg
ありがとうございます。
添削は少し控えることにします。
No.21410 - 2013/05/13(Mon) 23:00:06
★ 素数 / なな
pが素数でaとbがgcd(a,p^2)=p,gcd(b,p^3)=p^2であるような正整数のとき,gcd(a+b,p^4)とgcd(ab,p^4)を求めよ.

解答ではgcd(a+b,p^4)=pとgcd(ab,p^4)=p^3となっていますが
答えのみで、どのようにして導かれたのかが分かりません。
よろしくお願いします。
No.21363 - 2013/05/08(Wed) 20:05:05
☆ Re: 素数 / WIZ
gcd(a, p^2) = pということは、aはpで割り切れるけど、p^2では割り切れないということです。
gcd(b, p^3) = p^2ということは、bはp^2で割り切れるけど、p^3では割り切れないということです。

つまりA, Bをpで割り切れない整数として、a = Ap, b = Bp^2と表せます。

a+b = p(A+Bp)ですが、A+Bpはpで割り切れませんので、p(A+Bp)は丁度p^1で割り切れます。
よって、gcd(a+b, p^4) = gcd(p(A+Bp), p^4) = p^1 = pです。

ab = ABp^3ですが、ABはpで割り切れませんので、ABp^3は丁度p^3で割り切れます。
よって、gcd(ab, p^4) = gcd(ABp^3, p^4) = p^3です。
No.21366 - 2013/05/08(Wed) 21:27:36
☆ Re: 素数 / なな
とてもわかりやすい解答で理解することができ、助かりました。
ほんとうにありがとうございます。
No.21367 - 2013/05/09(Thu) 16:34:56
★ ただの計算です / sora
(4y-4x^2)^3/2=6

2分の三乗です。

計算問題ですが途中式まで教えて下さるとうれしいです。
No.21360 - 2013/05/08(Wed) 17:54:01
☆ Re: ただの計算です / sora
yについて解いてください。
No.21361 - 2013/05/08(Wed) 17:54:38
☆ Re: ただの計算です / らすかる
(4y-4x^2)^(3/2)=6
両辺を2乗して
(4y-4x^2)^3=36
左辺の4を外に出して
64(y-x^2)^3=36
両辺を64で割って
(y-x^2)^3=9/16
両辺の3乗根をとって
y-x^2=(9/16)^(1/3)
x^2を移項して
y=x^2+(9/16)^(1/3)
No.21362 - 2013/05/08(Wed) 19:02:21
☆ Re: ただの計算です / sora
ありがとうございます。
No.21380 - 2013/05/10(Fri) 20:14:05
★ 関数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.21356 - 2013/05/08(Wed) 09:50:55
☆ Re: 関数 / ヨッシー
(d) に誤りがあります。
No.21359 - 2013/05/08(Wed) 14:49:39
☆ Re: 関数 / トンデモ
失礼致しました。(d)はevenでした。
No.21377 - 2013/05/10(Fri) 11:19:12
★ 2次関数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.21355 - 2013/05/08(Wed) 09:50:01
☆ Re: 2次関数 / ヨッシー
(3) は正しいです。

(4)の(a) 分母子逆です。
(4)の(b) d=1875/146 が違います（計算間違い）それを、
　h(d) に代入することは合っています。
また、微分を使わなくても、２次関数を　a(x-b)^2＋c の形に
すれば、c が最大値となります。
No.21358 - 2013/05/08(Wed) 14:44:12
☆ Re: 2次関数 / トンデモ
有難うございます。(a)は(75/100)/(192/10000)なので
625/16ではないのですかね。

(b)はそうでした。
h(d)=-12/625(d-625/6・3/4)^2+1875/2なので1857/2 mertersなのですね。
No.21376 - 2013/05/10(Fri) 11:17:46
☆ Re: 2次関数 / ヨッシー
でも、トンデモさんの解答には、
0.0192/0.75 と書いてますね。
No.21379 - 2013/05/10(Fri) 16:47:36
☆ Re: 2次関数 / トンデモ
> でも、トンデモさんの解答には、
> 0.0192/0.75 と書いてますね。

えっ,どういう事でしょうか?
書きの様で大丈夫でしょうか?
No.21422 - 2013/05/14(Tue) 09:30:22
★ 対数と指数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.21354 - 2013/05/08(Wed) 09:49:04
☆ Re: 対数と指数 / ヨッシー
log(1/2)＝−log(2) なので、(e) も正解ですね。
No.21357 - 2013/05/08(Wed) 14:30:32
☆ Re: 対数と指数 / トンデモ
どうも有難うございます。
No.21375 - 2013/05/10(Fri) 10:55:59
★ 数2 図形と方程式 / ナナミ
点Q (a,b)が3点(0,0),(1,0),(0,1)を頂点とする三角形の内部を動くとき、放物線y＝x^2+ax+bの頂点P(x,y)が動く範囲を図示せよ

x^2はxの2乗です
表記のルールがよく分かりませんでした
すみませんm(__)m
解説お願いします
No.21352 - 2013/05/07(Tue) 21:09:46
☆ Re: 数2 図形と方程式 / X
＞＞x^2はxの2乗です
数学の掲示板であればその書き方でどこでも通用するはずです。

さて回答ですが
まず点Qの存在範囲について
0≦b≦1-a (A)
0≦a (B)
次に
y=x^2+ax+b=(x+a/2)^2+b-(1/4)a^2 (C)
∴(C)の頂点P(x,y)について
x=-a/2 (D)
y=b-(1/4)a^2 (E)
(D)(E)より
a=-2x (F)
b=y+x^2 ((G)
(F)(G)を(A)(B)に代入すると
0≦y+x^2≦1+2x (A)'
0≦-2x (B)'
(A)'より
-x^2≦y≦-x^2+2x+1 (A)"
(B)'より
x≦0 (B)"
後は(A)"(B)"が示す領域を図示します。
No.21353 - 2013/05/07(Tue) 22:48:29
☆ Re: 数2 図形と方程式 / ナナミ
返信遅れてすいません
丁寧な解説ありがとうございました
No.21411 - 2013/05/13(Mon) 23:53:44
★ (No Subject) / トラ
ｎは２以上の整数とする。少なくとも１個は０でないｎ個の実数a１,a2・・・・・,anがあり、
　
a1≦a2≦・・・・≦anかつa1+a2+・・・・an=0
を満たすとき、a1+2a2+3a3+・・・+Nan>0が成り立つことを証明せよ。

　解く方針と解答を教えてください、お願いします。
No.21349 - 2013/05/06(Mon) 23:16:06
☆ Re: / IT
(方針）正負で２つに分割します。

ｎは２以上の整数…?@、かつa1,a2,・・・,anの少なくとも１個は０でない。…?Aかつ
a1≦a2≦・・≦an…?B　かつa1+a2+・・・+an=０…?C

（１）a1＜０＜an　である
　an≦０と仮定すると
　　　?Bより　　 a2+・・・+an≦０
　　　よって　a1+a2+・・・+an≦a1
　　　?Cより　０≦a1
　　　仮定と?Bより　０≦a1≦a2≦・・≦an≦０
　　　すると　a1＝a2＝・・＝an＝０となり、条件?Aに反する
　よって、０＜anでなければならない。
　同様に　a1＜０もいえる。

（２）a1,a2,・・・,anを０を境に２つに分割する
　a１,a2・・・,anの中で０以下のもののうち添え字が最大のものをaiとすると,
　（１）より、1≦i＜nであり、a1≦a2≦・・≦ai≦０＜aj≦・・≦an　※j = i+1です。

　a1≦a2≦・・≦ai≦０と　1≦2≦・・≦I　より　※I＝1の可能性もあるので≦とします。
　　a1+2a2+・・+Iai≧I(a1+a2+・・+ai)…?D
　０＜aj≦・・≦anと　1≦I＜J＜・・＜N　より　
　　Jaj+・・+Nan＞I(aj+・・+an)…?E　
　?D+?Eより
　　a1+2a2+・・+Iai+Jaj+・・+Nan＞I(a1+a2+・・+ai+aj+・・+an)=0（∵?C）

（以上で証明終了）

※は答案への記述は不要です。
No.21350 - 2013/05/06(Mon) 23:43:55
☆ Re: / トラ
解答ありがとうございます
No.21476 - 2013/05/17(Fri) 22:24:19
★ 漸化式 / ドーパミン
数列・漸化式の問題です。
（1）次の条件によって定められる数列｛aｎ｝の一般項を求めよ。
a１＝3,a２＝7,aｎ+２＝aｎ+１+2aｎ
・因数分解の結果を利用して解くそうですが意味が分かりませんでした。

（2）｛aｎ｝を初項27,公比1/√3の等比数列とするとき、和Σlog３aｋ（Σの上はｎ、下はｋ＝１です）を求めよ。
・Σとlogでまったく何をやればよいのかわかりませんでした。

（3）a１＝5,aｎ+１＝8aｎ＾２で求められる数列の一般項aｎを求めよ。
・累乗の形が入るときはどうすればよいでしょうか？

（3）次の条件で定められる数列の一般項を[ ]で示した置き換えを利用することで求めよ。
a１＝9,aｎ+１＝6aｎ-3＾ｎ+１ [bｎ＝aｎ/3＾ｎ]
・利用の仕方がわかりません。

No.21344 - 2013/05/05(Sun) 22:10:06
☆ Re: 漸化式 / らすかる
カッコをつけて貰わないと式がよくわかりません。
（実際に考えられるパターンをすべて解いてみれば
　予想は付きますが、それは無駄な作業です。）
aｎ+１＝6aｎ-3＾ｎ+１
は通常
a[n]+1=6a[n]-(3^n)+(1)
と解釈されますが、まさかこの式ではないですよね。
a[n+1]=6a[n]-(3^n)+(1)
でしょうか、それとも
a[n+1]=6a[n]-3^(n+1)
でしょうか？
まさか
a[n+1]=6a[n-3^n+1]
とか
a[n+1]=(6a[n]-3)^(n+1)
なんてことはないですよね？
No.21345 - 2013/05/05(Sun) 23:06:06
☆ Re: 漸化式 / WIZ
(1)a[1] = 3, a[2] = 7, a[n+2] = a[n+1]+2a[n]と解釈して回答します。

「因数分解の結果を利用して解く」の意味は、
x^2 = x+2 即ち x^2-x-2 = (x+1)(x-2) = 0 という因数分解を利用して
a[n+2] = a[n+1]+2a[n] 即ち a[n+2]-a[n+1]-2a[n] = 0 が、
(a[n+2]+a[n+1])-2(a[n+1]+a[n]) = 0 または (a[n+2]-2a[n+1])+(a[n+1]-2a[n]) = 0 と変形できるという意味です。

(a[n+2]+a[n+1])-2(a[n+1]+a[n]) = 0
⇒ a[n+2]+a[n+1] = 2(a[n+1]+a[n])
⇒ a[n+1]+a[n] は初項 a[2]+a[1] = 7+3 = 10, 公比 2 の等比数列。
⇒ a[n+1]+a[n] = 10*2^(n-1) = 5*2^n

(a[n+2]-2a[n+1])+(a[n+1]-2a[n]) = 0
⇒ a[n+2]-2a[n+1] = -(a[n+1]-2a[n])
⇒ a[n+1]-2a[n] は初項 a[2]-2a[1] = 7-2*3 = 1, 公比 -1 の等比数列。
⇒ a[n+1]-2a[n] = 1*(-1)^(n-1) = -(-1)^n

a[n+1]+a[n] = 5*2^n
a[n+1]-2a[n] = -(-1)^n
上の式から下の式を引くと、3a[n] = 5*2^n+(-1)^n
よって、a[n] = {5*2^n+(-1)^n}/3
No.21346 - 2013/05/05(Sun) 23:09:39
☆ Re: 漸化式 / IT
> （3）a１＝5,aｎ+１＝8aｎ＾２で求められる数列の一般項aｎを求めよ。
> ・累乗の形が入るときはどうすればよいでしょうか？
累乗の形に限らず、分からないときは３か４つぐらいの項を求めて規則性を調べるのが一つのやり方です。

以下では、具体的な値を求めてはいませんが、漸化式を使って、さかのぼり（？）計算をしています。

a[n]=8(a[n-1])^2
=8(8(a[n-2])^2)^2
=8(8^2)(a[n-2])^4
=8(8^2)(8(a[n-3])^2)^4
=8(8^2)(8^4)(a[n-3])^8
=8(8^2)(8^4)(8(a[n-4])^2)^8
=8(8^2)(8^4)(8^8)(a[n-4])^16

… （以上で規則性が見えてきたので　一般項として表記、n=5のときa[n-4]はa[1]です）

={8^(2^(n-1)-1)}{(a[1])^(2^(n-1))}
={8^(2^(n-1)-1)}{5^(2^(n-1))}
厳密には数学的帰納法を使います。
No.21347 - 2013/05/05(Sun) 23:22:46
★ 添削お願いします / ktdg
(1)
√7は無理数であることを証明せよ。
(2)
正の実数xの小数部分を{x}で表す。
{√7}, {2√7}, {3√7}, …, {n√7}, …
はすべて異なることを証明せよ。

(1)
√7が有理数であると仮定すると、
√7=m/n (m, nは互いに素の自然数)と表せる。
よって、7m^2=n^2
m, nは互いに素だからm^2, n^2も互いに素となり、自然数kを用いて n=7kとおける。
よって
7m^2=n^2=49k^2
⇔m^2=7k^2
よってmは7の倍数となるが、m, nは互いに素だから、そのどちらも7の倍数となることは仮定と矛盾する。
したがって、√7は無理数である。

(2)
ある自然数i, j(i>j)について {i√7}={j√7}が成り立つと仮定する。
i√7の整数部分をm, j√7の整数部分をnとすると、
i√7=m+{i√7}, j√7=n+{j√7}より、
i√7-m=j√7-n
⇔m-n=(i-j)√7
⇔√7=(m-n)/(i-j)
m, n, i, jは整数だから m-n, i-jも整数であり、√7は有理数となるが、(1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。
したがって、{i√7}={j√7}を満たすような自然数i, jは存在しない。
以上より、題意は示された。

添削お願いします。
No.21340 - 2013/05/05(Sun) 13:57:03
☆ Re: 添削お願いします / ヨッシー
(1)
[m, nは互いに素だからm^2, n^2も互いに素となり、]の部分は、
無くても良いと思います。
むしろ、「7は素数なので」が必要かと。

(2) は良いと思います。
No.21341 - 2013/05/05(Sun) 14:08:47
☆ Re: 添削お願いします / らすかる
個人的な意見ですが、

> m, n, i, jは整数だから m-n, i-jも整数であり、√7は有理数となるが、
> (1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。

は

m, n, i, jは整数だから右辺の(m-n)/(i-j)は有理数となるが、
(1)から左辺の√7は無理数なので矛盾する。

の方が少しすっきりする気がします。

それ以前に、「(1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。」はちょっと変ですね。
(2)における「仮定」は「{i√7}={j√7}が成り立つ」ですから、
「(1)より√7は無理数である」ことが「{i√7}={j√7}が成り立つ」と矛盾する
という意味になってしまいます。
No.21342 - 2013/05/05(Sun) 15:29:12
☆ Re: 添削お願いします / ktdg
ありがとうございます。
No.21351 - 2013/05/07(Tue) 10:56:38
★ 積分の計算です / ken
積分計算の工夫なんだそうですが私にはよくわからなかったので教えて下さい

　　　0　　　　　　X+1
f(x)=∫(t^2-2t)dt+∫(-t^2+2t)dt
　　　X　　 0
=-2/3x^3+x^2+x+2/3・・・?@　のとき


　　　2 X+1
f(x)=∫(-t^2+2t)dt+∫(t^2-2t)dt　の計算結果は
X 2

?@に-1をかけて(-8/3+4)=8/3を加えたものとなるようです
なぜ-1をかけて(-8/3+4)=8/3を加えると正しい計算結果になるのですか
教えて下さい
No.21337 - 2013/05/05(Sun) 10:04:27
☆ Re: 積分の計算です / ken
すみません積分範囲がずれてしまっています。
上の関数　左側：xから0 右側：0からx+1
下の関数　左側：xから2 右側：2からx+1
No.21338 - 2013/05/05(Sun) 10:09:42
☆ Re: 積分の計算です / WIZ
両方f(x)だと説明が難しいので、下記の様におきます。
f(x) = ∫[x,0](t^2-2t)dt+∫[0,x+1](-t^2+2t)dt
g(x) = ∫[x,2](-t^2+2t)dt+∫[2,x+1](t^2-2t)dt

不定積分(の１つ)∫(t^2-2t)dt = (t^3)/3-t^2 = F(t)とおくと、

f(x) = {F(0)-F(x)}-{F(x+1)-F(0)} = -F(x)-F(x+1)+2F(0)
g(x) = -{F(2)-F(x)}+{F(x+1)-F(2)} = F(x)+F(x+1)-2F(2)

上記２式を比べればg(x) = -f(x)+2F(0)-2F(2)です。

F(0) = (0^3)/3-0^2 = 0
F(2) = (2^3)/3-2^2 = 8/3-4 = -4/3
ですから、

g(x) = -f(x)+2*0-2*(-4/3) = -f(x)+8/3
となります。
No.21339 - 2013/05/05(Sun) 10:26:19
★ 図景の問題 / ktdg
三角形ABCにおいて、AB=1, BC=2, CA=√3とする。
3辺AB,BC,CA上の動点P,Q,Rが正三角形の3頂点となるように動くとき、正三角形PQRの面積Sの最小値を求めよ。

方針だけ教えてください。
No.21336 - 2013/05/05(Sun) 09:48:48
☆ Re: 図景の問題 / ヨッシー
Ａ(0,0)，Ｂ(0,1)，Ｃ(√3,0) として、
Ｐ(0,y)，Ｒ(x,0) としてＱの座標をx,y で表し、それが
ＢＣ上にあるように考えると、x と y の式が出ます。
その条件下で、
ＰＲの長さ(の２乗)x^2＋y^2 の最小を考えます。
No.21378 - 2013/05/10(Fri) 13:40:02
★ 微積分の問題です。 / ゆっぴ
よろしくお願いします。
No.21329 - 2013/05/04(Sat) 13:55:42
☆ Re: 微積分の問題です。 / X
(1)
y=(1/4)x^2
より
y'=x/2
∴接線の傾きは
(-4)/2=-2
(2)
まず、C[2]が点A(2,1)を通ることから
-4+2a+b=1 (A)
一方
y=-x^2+ax+b
より
y'=-2x+a
よって点Aにおける接線の傾きについて
-4+a=-2 (B)
(A)(B)を連立して解いて
(a,b)=(2,1)
(3)
前半)
(2)の結果によりC[1],C[2]の交点のx座標について
(1/4)x^2=-x^2+2x+1
∴x=2,-2/5
DにおいてC[2]のグラフがC[1]のグラフより下側にあることに注意すると
Dの面積Sは
S=∫[0→2]{(-x^2+2x+1)-(1/4)x^2}dx
=∫[0→2]{-(5/4)x^2+2x+1}dx
=[-(5/12)x^3+x^2+x][0→2]
=-10/3+4+2
=8/3
後半)
y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2
∴P(1,2)
よって直線OPの方程式は
y=2x
よって
S[1]=∫[0→1]{-(1/4)x^2+2x+1-2x}dx
=∫[0→1]{-(9/4)x^2+2x+1}dx
=[-(3/4)x^2+x^2+x][0→1]
=5/4
これと前半の結果から
S[2]=S-S[1]=17/12
∴S[2]/S[1]=17/15
No.21330 - 2013/05/04(Sat) 15:27:40
★ 3次方程式(高２) / ken
g(x)=x^3+3x^2+mx+1について、3次方程式g(x)=0の異なる実数解の個数が3個、2個、1個となる条件をそれぞれ求めよ。

答えは　３個となる条件はm＜-15/4
２個となる条件はm=-15/4
１個となる条件はm＞-15/4
です。

解説お願いします。
No.21327 - 2013/05/04(Sat) 11:29:48
☆ Re: 3次方程式(高２) / Masa
y=g(x)のグラフとx軸のグラフの共有点の個数を考えます。

(1)常にg'(x)≦0のとき
y=g(x)のグラフは単調増加になりますから、共有点は1つで、異なる実数解は1つですね。
g'(x)=3x^2+6x+mより、判別式をDとすると
D/4=3^2-3m≦0
よってm≧3のときは異なる実数解は3個。

(2)g'(x)＞0となることがあるとき
これはg(x)が極値を持つとき⇔g'(x)=0が異なる2つの実数解を持つとき⇔判別式をDとしてD＞0⇔m＜3のときです。
このとき、g'(x)=0の異なる2つの実数解をα、β（α＜β）とすると、g(α)が極大値、g(β)が極小値となります。（当然g(α)＞g(β)です）

このとき、y=g(x)のグラフを書くと分かりますが、

（一）g(α)＞g(β)＞0のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＜αの部分の1箇所のみで、異なる実数解は1個です。

（二）0＞g(α)＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＞βの部分の1箇所のみで、異なる実数会は1個です。

（三）0=g(α)＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx=αと、x＞βの部分に1箇所、計2箇所です。

（四）g(α)＞g(β)=0のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx=βと、x＜αの部分に1箇所、計2箇所です。

（五）g(α)＞0＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＜α、α＜x＜β、β＜xに1箇所ずつ、計3箇所です。

よって、g(x)が極大値g(α)と極小値g(β)を持つときは、
異なる実数解の個数が、
3個⇔(五)の場合⇔g(α)g(β)＜0
2個⇔(三)(四)の場合⇔g(α)g(β)=0
1個⇔(一)(二)の場合⇔g(α)g(β)＞0
となります。

ここで、g(α)g(β)を計算しますが、
α、βは3x^2+6x+m=0の解なので、解と係数の関係より
α+β=-2
αβ=m/3
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=4-(2/3)m
α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)=-8+2m
となります。

これより、計算すると、長いので略しますが、
g(α)g(β)
=(1/27)(4m^3-9m^2-54m+135)
=(1/27)(4m+15)(m-3)^2
となります。

これより、m＜3のみで考えると、
異なる実数解が1個⇔g(α)g(β)＞0⇔-15/4＜m＜3
異なる実数解が2個⇔g(α)g(β)=0⇔m=-15/4
異なる実数解が3個⇔g(α)g(β)＜0⇔m＜-15/4
となります。

(1)のm≧3の場合も合わせると、
異なる実数解が
3個⇔m＜-15/4
2個⇔m=-15/4
1個⇔m＞-15/4
となります。
No.21328 - 2013/05/04(Sat) 13:28:10
☆ Re: 3次方程式(高２) / Ken
とてもわかりやすい説明ありがとうございました
No.21331 - 2013/05/04(Sat) 20:29:55
☆ Re: 3次方程式(高２) / Masa
訂正します。

(1)のとき　の最後の行、
(誤)よってm≧3のときは異なる実数解は3個。
(正)よってm≧3のときは異なる実数解は1個。
です。
No.21332 - 2013/05/04(Sat) 21:27:50
☆ Re: 3次方程式(高２) / IT
m≧3のとき、
　g(x)は連続関数で狭義単調増加でxが十分小さいとg(x)＜0,xが十分大きいとg(x)＞0なので
　g(x)=0の異なる実数解は１個

m＜3のとき（極大値、極小値の正負をそれぞれ調べる。）
　g'(x)=3x^2+6x+m=0 の２つの異なる実数解をα,β（α＜β）とする　

　g(x)=x^3+3x^2+mx+1を3x^2+6x+mで割った余りは(1/3)(m-3)(2x-1)なので

　g(α)=(1/3)(m-3)(2α-1)…極大値
　 g'(-1)=m-3＜0 よりα＜0、よってg(α)＞0　…（A）
　
　g(β)=(1/3)(m-3)(2β-1)…極小値
　　m-3＜0なのでg(β)の正負は2β-1の正負と逆になる
　　y=g'(x)=3x^2+6x+m＝3(x+1)^2+m-3のグラフは下に凸の放物線で頂点は(-1,m-3)でｘ軸より下なので
　　g'(1/2)＜0ならば,1/2＜βよって2β-1＞0、このときg(β)＜0…?@
　　g'(1/2)＝0ならば,β＝1/2よって2β-1＝0、このときg(β)＝0…?A
　　g'(1/2)＞0ならば,β＜1/2よって2β-1＜0、このときg(β)＞0…?B

　　g'(1/2)=m+(15/4)なので
　　?@　m＜-15/4 のとき　g(β)＜0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は３個
　　?A　m＝15/4 のとき　 g(β)＝0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は２個
　　?B　15/4＜m のとき g(β)＞0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は１個
　　（※　m＜3にも注意）
No.21333 - 2013/05/04(Sat) 21:34:16
☆ Re: 3次方程式(高２) / ken
ITさんもありがとうございます。
No.21335 - 2013/05/05(Sun) 09:48:32
★ (No Subject) / sun
空間内で、O（0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),f(1,1,1,),G(0,1,1)を頂点とする１辺の長さの立方体の表面積および内部をKとする。
また０＜t＜３として３点P（t ,0,0),Q(0,t,0)R(0,0,t)を頂点とする三角形の周及び内部をTとする。
KｔTの共通部分をLとして、Lの面積をS（t）とする。
　
０＜t≦１、１＜t≦２、２＜t＜３に分けて、S（t）を求めよ。
　
　解答と解説をお願いします。
No.21320 - 2013/05/03(Fri) 22:32:03
☆ Re: / WIZ
方針だけ説明します。

xy平面(x軸とy軸の両方を含む平面)に着目します。
原点O(0, 0), 点A(1, 0), 点B(1, 1), 点C(0, 1)を頂点とする正方形OABCと、
点P(t, 0), 点Q(0, t)を通る直線y = t-xを考えます。

正方形OABCと直線y = t-xの共通部分となる線分の長さをf(t)とすれば、
S(t)は1辺がf(t)の正三角形の面積となります。

(1)0 < t ≦ 1の場合
y = t-xとy軸の交点(0, t)と、
y = t-xとx軸の交点(t, 0)を端点とする線分の長さがf(t)です。

(2)1 < t ≦ 2の場合
y = t-xと線分CBの交点(t-1, 1)と、
y = t-xと線分ABの交点(1, t-1)を端点とする線分の長さがf(t)です。

(3)2 < t < 3の場合
正方形OABCと直線y = t-xの共通部分はありませんので、f(t) = 0です。
No.21322 - 2013/05/03(Fri) 23:55:10
☆ Re: / sun
すいませんが、解答のほうはだめですか？
No.21323 - 2013/05/04(Sat) 00:18:15
☆ Re: / X
横から失礼します。

まずTを含む平面が
x+y+z=t (A)
であることを押さえておきます。
(i)0＜t≦1のとき
Tは全てKに含まれますので
△PQRが
PQ=QR=RT=t√2
の正三角形であることに注意して
S(t)=(1/2)PQ・QRsin60°=(√3/2)t^2

(ii)2＜t＜3のとき
Tは辺EF,FG,BFと交点を持ち、Lはこれらの交点を結ぶ
三角形の周及び内部になります。
ここでTと辺EF,FG,BFとの交点をP',Q',R'とすると(A)より
P'(1,t-2,1),Q'(t-2,1,1),R'(1,1,t-2)
∴△P'Q'R'は
P'Q'=Q'R'=R'P'=(3-t)√2
の正三角形ですので
S(t)=(1/2)P'Q'・Q'R'sin60°=(√3/2)(3-t)^2

(iii)1＜t≦2のとき
TはKの辺AB,BC,DE,DG,AE,CGと交点を持つことになります。
(ii)と同様に(A)からこれらの交点の座標を求めると
Lの形状は下のような六角形の周及び内部となることが
分かります。
これは
上底：(t-1)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(2-t)√6
の台形と
上底：(2-t)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(t-1)√6
の台形の下底同士を貼り合わせた形になっていますので
S(t)=(1/2){(t-1)√2+√2}・(1/2)(2-t)√6+(1/2){(2-t)√2+√2}・(1/2)(t-1)√6
={t(2-t)+(3-t)(t-1)}・(1/2)√3
=(1/2)(-2t^2+6t-3)√3

注)描画ソフトの仕様上、六角形の内部に余分な線が入っていますが無視して下さい。
この図で
○の辺の長さは(2-t)√2
×の辺の長さは(t-1)√2
赤線の長さは√2
となっています。
No.21324 - 2013/05/04(Sat) 01:01:34
☆ Re: / WIZ
私の書き込みではTと線分EF, 線分FG, 線分BFと交点を考慮していませんでした。
まさに２次元的思考しかできてませんでした!
# このオチを付けたかったからの書き込みでは決してありません!
私の書き込みは無視してください。
No.21325 - 2013/05/04(Sat) 09:34:44
☆ Re: / sun
凄く勉強になりました、ありがとうございます
No.21348 - 2013/05/06(Mon) 21:47:29
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