ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列の問題添削お願いします / ktdg

数列{a(n)}が
a(1)=2, a(n)<2n^2+(1/n)Σ[j=1～n-1] a(j) (n=2, 3, 4…)
を満たすとする。このとき、全ての正の整数nに対してa(n)<3n^2が成り立つことを証明せよ。

a(n)<3n^2ー?@を帰納法により示す。
(?@)n=2のとき
条件より、
a2<2×4+(1/2)×a(1)=9<12
よって?@は成り立つ。
(?A)n=3, 4…kのとき
3≦m≦kを満たす全ての整数mについて、a(m)<3m^2が成り立つと仮定する。
n=k+1のとき
条件より、
a(k+1)<2(k+1)^2+{1/(k+1)}Σ[j=1～k] a(j) だから、
2(k+1)^2+{1/(k+1)}Σ[j=1～k] a(j)<3(k+1)^2
すなわち、
(k+1)^3>Σ[j=1～k] a(j)
を示せばよい。
仮定より、
Σ[m=3～k] a(m)<Σ[m=3～k] 3m^2
⇔Σ[j=1～k] a(j)<Σ[m=3～k] (3m^2)+a(1)+a(2)=(1/2)k(k+1)(2k+1)-4
ここで、
(k+1)^3-{(1/2)k(k+1)(2k+1)-4}=(k^2)/2+5k/2+5>0
∴ (k+1)^3>Σ[j=1～k] a(j)
したがって、n=k+1のとき?@は成り立つ。
また、a(1)=2<3より、n=1のときも?@は成り立つ。
以上より、すべての正の整数nについて?@は成り立つ。

添削お願いします。

No.21258 - 2013/04/26(Fri) 21:49:16

☆ Re: 数列の問題添削お願いします / X

>>(?A)n=3, 4…kのとき
>>3≦m≦kを満たす全ての整数mについて、a(m)<3m^2が成り立つと仮定する。
という書き方ではn=3のときの(1)の成立の証明が必要になり
解答が煩雑になります。
それよりも単に
(ii)n≦kのとき、(1)の成立を仮定する
と修正し、その後の過程の結論として
よってn≦k+1のときも(1)は成立する
と締める書き方がいいと思います。

No.21259 - 2013/04/26(Fri) 22:32:30

☆ Re: 数列の問題添削お願いします / ktdg

ありがとうございます。

No.21264 - 2013/04/27(Sat) 14:43:46

★ 三角関数 / 高２

θの方程式2cos^2 θ＋2ksinθ＋k-5=0を満たすθがあるような定数kの値の範囲を求めよ。

この問題を定数分離の解き方で教えてください。

No.21253 - 2013/04/26(Fri) 00:56:39

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

x=sinθとおくと
　-x^2＋2kx＋k－3＝0
と置けます。これを、
　x^2+3＝k(2x+1)
と変形して、
　ｙ＝x^2+3
　ｙ＝k(2x+1)
を連立させたものと考えます。
放物線　y=x^2+3 に、点(-1/2, 0) を通る直線 y=k(2x+1) が
-1≦x≦1 の範囲で交わるようなｋの値をグラフから読み取ります。

No.21255 - 2013/04/26(Fri) 01:30:11

☆ Re: 三角関数 / 高２

答えは、k≦-5, k≧-1+√7なのですが、どうやったら出てくるのでしょうか？

No.21260 - 2013/04/27(Sat) 00:52:32

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

あ、最初の変形が違ってましたね。

x=sinθとおくと
　-2x^2＋2kx＋k－3＝0
と置けます。これを、
　2x^2+3＝k(2x+1)
と変形して、
　ｙ＝2x^2+3
　ｙ＝k(2x+1)
を連立させたものと考えます。
放物線　y=2x^2+3 に、点(-1/2, 0) を通る直線 y=k(2x+1) が
-1≦x≦1 の範囲で交わるようなｋの値をグラフから読み取ります。

図の直線ｍより傾きが小さい場合、または直線ｎより傾きが大きい場合
-1≦ｘ≦1 の範囲で交点を持ちます。

図の直線ｍは、(-1/2, 0) と (-1,5) を結ぶ線で傾きは-10 で、
傾きがこれ以下であると、-1≦x＜0 の範囲に交点を持ちます。
y=2kx+k の2k が傾きに当たるので、2k≦-10 より k≦-5。

直線ｎの方は、(-1/2, 0) と (1,5) を結ぶ線ではなく、
それよりもっと傾きが小さい位置で、直線と放物線が接するところがあり、
それが直線ｎです。
-2x^2＋2kx＋k－3＝0 において、判別式をとると、
　D/4＝k^2＋2(k-3)＝k^2＋2k－6＝０
これを解いて、ｋ＝-1±√7
直線ｎの傾きに当たるのはｋ＝－１＋√７の方。

以上より、k≦-5, k≧-1+√7 が得られます。

No.21263 - 2013/04/27(Sat) 11:05:07

★ 恒等式 / ktdg

任意の実数xに対して
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
が成り立つように定数α, βを定めよ。

この問題について、(1)の解き方はあっていますか?
また、(1)と(2)の解き方の違いはなんですか？

(1)
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
⇔sin(x){cos(α)+cos(β)}+cos(x){sin(α)+sin(β)}=√3sin(x)
これが任意の実数xにたいして成り立つための必要条件は
cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0
(中略)
α=π/6, β=11π/6となる。
逆にこのとき、sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)だから、任意の実数についてsin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)は成り立つ。

(2)
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
が任意の実数について成り立つならば、x=0, π/2のときも成り立ち、
sinα+sinβ=0 かつ cos(α)+cos(β)=√3
(中略)
α=π/6, β=11π/6となる。
逆にこのとき、sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)だから、任意の実数についてsin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)は成り立つ。

No.21243 - 2013/04/24(Wed) 13:35:59

☆ Re: 恒等式 / らすかる

> ⇔sin(x){cos(α)+cos(β)}+cos(x){sin(α)+sin(β)}=√3sin(x)
> これが任意の実数xにたいして成り立つための必要条件は
> cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0

これは明らかではなく飛ばしすぎで、
きちんと必要条件であることを示す必要があると思います。
また「cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0」は明らかに十分条件ですから、
必要条件であることを示せば必要十分条件となり、
（中略の中が全部同値変形ならば）最後の「逆にこのとき、…」が不要になります。

No.21247 - 2013/04/24(Wed) 16:03:49

☆ Re: 恒等式 / ktdg

回答ありがとうございます。

きちんと必要条件であることを示す、とは具体的にどうすれば良いのでしょうか？

No.21254 - 2013/04/26(Fri) 01:18:39

☆ Re: 恒等式 / らすかる

一例ですが
sinx(cosα+cosβ)+cosx(sinα+sinβ)
=√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}sin(x+γ)
ただし、γは
cosγ=(cosα+cosβ)/√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}
sinγ=(sinα+sinβ)/√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}
を満たす数

なので、
sinx(cosα+cosβ)+cosx(sinα+sinβ)
=√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}sin(x+γ)=(√3)sinx
が任意の実数xに対して成り立つためには
√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}=√3, γ=2nπ
これより
sinα+sinβ=0, cosα+cosβ=√3
でなければならない。

ぐらい示せば問題ないと思います。
そう考えると(2)の解き方の方が圧倒的に簡単ですね。

No.21256 - 2013/04/26(Fri) 02:31:20

☆ Re: 恒等式 / ktdg

ありがとうございます。

No.21257 - 2013/04/26(Fri) 17:17:11

★ つり合い / √

また教えてください。

棒の両端に重りをつけました。

左端：右端＝２：１
になるように。

すると、重心は左端から１：２に内分する点にくる
というのは、感覚的には分るのですが、

これは、何故ですか？

よろしくお願い致します。

No.21240 - 2013/04/24(Wed) 13:03:34

☆ Re: つり合い / ast

その位置で吊ると棒が回転しないのは力積が一致する（モーメントが0）からで、そこに重心がくるというのは少し違うのでは？

No.21241 - 2013/04/24(Wed) 13:32:08

☆ Re: つり合い / ヨッシー

最終的には、力のモーメントが釣り合うから、
ということになります。（これが何故といわれると答えられません）

重心からの距離×力の大きさ
を力のモーメントと言います。（重力も力の一種です）
重心周りに、右回りのモーメントと、左回りのモーメントが
等しいときに、物体は回転せずに釣合います。

No.21242 - 2013/04/24(Wed) 13:35:22

☆ Re: つり合い / √

ａｓｔさん　ヨッシーさん

ごめんなさい。
私の書き方が悪かったようです。

力のモーメントとか難しい事ではなくて、
中学入試の算数の問題で、食塩水の濃度などを求めるのに、「天秤図」を使って説明していることが多いので、

なぜ、「天秤図」が当てはまるのか、分りませんでした。
私は、濃度の計算で「天秤図」を使う方法を知りませんでした。

一般に
「棒の両端に重りを付けて、紐で、ぶら下げた場合、
左側に２ｇの重り、右側に１ｇの重り
を付けたら、
左側から１：２に内分した点に紐を移動させれば、つり合う（比の値を逆にすれば、つり合う）」
という「事実」として受け留めれば宜しいでしょうか？
（証明ではなくて）　

No.21244 - 2013/04/24(Wed) 14:58:01

☆ Re: つり合い / √

天秤図、見つけました。
図が載せられなかったのでホームをクリックお願い致します。

No.21245 - 2013/04/24(Wed) 15:42:49

☆ Re: つり合い / √

すみません。
元の問題です。ホームのクリックお願い致します。

No.21246 - 2013/04/24(Wed) 16:02:28

☆ 分った気が / √

あっ　
ヨッシーさんの説明で分ったような気がします。
最初、力のモーメントとか言われて、混乱しましたが、

ヨッシーさんの文章をよく読むと、
重力が食塩水の重さと考えれば、
「力のモーメント」というものが存在して、
棒が地平線と平行になり、左右、どちらかが上下（回転）したりしないということですね。

> 重心からの距離×力の大きさ
> を力のモーメントと言います。（重力も力の一種です）
> 重心周りに、右回りのモーメントと、左回りのモーメントが
> 等しいときに、物体は回転せずに釣合います。

そして、なぜ、つり合うかは「力のモーメント」がつり合うという事実だから。
ですね？

No.21248 - 2013/04/24(Wed) 18:55:21

☆ Re: つり合い / ヨッシー

天秤が釣り合う事自体は、「そういうもの」として、とりあえず
覚えて下さい。

こちらにも、天秤を使った食塩水の問題の記事があります。

証明をしてみると、
ｍ％の食塩水ａｇ　と　ｎ％の食塩水ｂｇ　を混ぜたときに、
横の目盛（濃度）は、ｍからｎまで引かれ、これを
ｂ：ａに内分した点は、目盛で言うと
　(am+bn)/(a+b) ％
になりますが、答えの濃度も、これになったら、証明されたことになりますね。
（座標の内分点は別途調べて下さい）

それぞれの食塩水に含まれる食塩の量は
　am/100(g), bn/100(g)
なので、これを加えた　(am*bn)/100 (g) の食塩が
(a+b)ｇの食塩水に含まれているということなので、
その濃度は、
　(am+bn)/100÷(a+b)×100％＝(am+bn)/(a+b) ％
となり、天秤の考え方が、食塩水の問題にも使えることが
わかります。

こういう裏付けがあって、天秤を食塩水の問題に使っているのです。

No.21249 - 2013/04/25(Thu) 09:38:26

☆ Re: つり合い / √

ヨッシーさん

理解出来ました。
有り難うございました。

化学で普通に濃度計算していた人間が、「天秤法」を見た時は、ビックリしました。

この「天秤法」は他にも、いろいろな所で応用できそうですね。

ところで、

> なので、これを加えた　(am*bn)/100 (g) の食塩が

上記の「＊」のマークは「混ぜる」という意味でしょうか？

No.21250 - 2013/04/25(Thu) 13:07:51

☆ Re: つり合い / ヨッシー

あ、「＋」の打ち間違いです。

No.21251 - 2013/04/25(Thu) 15:20:17

☆ Re: つり合い / √

了解致しました。

ヨッシーさん、有り難うございました。

No.21252 - 2013/04/25(Thu) 16:39:30

★ 極限 / なな

こんにちは。

a_1=1, a_n=1/(1+a_(n-1)) (n=2,3,…)
のとき,lim(n→∞)a_nをもとめよ。

という問題なのですが，方針が立ちません。
収束するとして極限をαと置き，αを求めて有界であることを示せば良いのでしょうか。よろしくお願いします。

No.21221 - 2013/04/21(Sun) 15:06:00

☆ Re: 極限 / のぼりん

こんにちは。

ｆ（ｘ）＝１/（１＋ｘ）とおけば、ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）は正の値を取る単調減少関数です。ａ_１＞０で、ａ_ｎ＞０のときａ_ｎ＋１＝ｆ（ａ_ｎ）＞０だから、帰納的に、任意の正の整数ｎに対しａ_ｎ＞０です。｛ａ_ｎ｝は単調減少な正値数列だから、収束します。その収束先を α とおけば、α≧０で、
　　　α＝ｌｉｍ_ｎ→∞ａ_ｎ＝ｌｉｍ_ｎ→∞１/（１＋ａ_ｎ－１）＝１/（１＋α）
です。両辺に１＋α を掛け、
　　　α^２＋α＝α（１＋α）＝１
　　　α^２＋α－１＝０
　∴　α＝（－１±√５）/２
です。 α≧０だったから、
　　　α＝（－１＋√５）/２
です。

No.21222 - 2013/04/21(Sun) 16:14:22

☆ Re: 極限 / らすかる

> ｛ａｎ｝は単調減少な正値数列だから、
f(x)=1/(1+x) は単調減少ですが、{an}は単調減少ではないですね。

No.21225 - 2013/04/21(Sun) 17:31:16

☆ Re: 極限 / のぼりん

完全にぼけていました。申し訳ありません。

　　　ｇ（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｘ））＝１/｛１＋１/（１＋ｘ）｝＝（１＋ｘ）/（２＋ｘ）＝１－１/（ｘ＋２）
は、ｘ＞０において単調増加で、１/２＜ｇ（ｘ）＜１です。
　　　ｇ（ｘ）＝ｘ　⇔　（１＋ｘ）/（２＋ｘ）＝ｘ
　　　⇔　ｘ^２＋２ｘ＝ｘ＋１
　　　⇔　ｘ^２＋ｘ－１＝０
　　　⇒　ｘ＝（－１±√５）/２
ですが、ｘ＞０だから、ｘ＝（－１＋√５）/２です。簡単のため、α＝（－１＋√５）/２とおきます。ｇ（ｘ）の接線の傾きは０より大きく１未満だから、０＜ｘ＜α のときｘ＜ｇ（α）＜α、ｘ＞α のときｘ＞ｇ（α）＞α です。

No.21226 - 2013/04/21(Sun) 19:32:22

☆ Re: 極限 / らすかる

別解です。

もし収束するならば
α=1/(1+α), a[n]＞0 から α=(-1+√5)/2
そこで b[n]=a[n]-α とおくと
b[1]=1-α, b[n]+α=1/(1+b[n-1]+α), b[n]＞-α
|b[n]|=|1/(1+b[n-1]+α)-α|
=|α-1/(1+b[n-1]+α)|
=|(α+αb[n-1]+α^2-1)/(1+b[n-1]+α)|
=|αb[n-1]/(1+b[n-1]+α)|　（∵α^2+α-1=0）
＜|αb[n-1]|　（∵b[n-1]＞-αから分母＞1）
よって |b[n]|＜(1-α)α^(n-1) となり、
0＜α＜1 からb[n]は0に収束するので
a[n]はαに収束する。

No.21230 - 2013/04/22(Mon) 01:32:43

☆ Re: 極限 / なな

こんばんは。

とてもよくわかることができました。
のぼりんさん、らすかるさんありがとうございました！

No.21231 - 2013/04/22(Mon) 02:50:49

★ 指数 / トンデモ

いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?

No.21216 - 2013/04/21(Sun) 05:22:08

☆ Re: 指数 / ヨッシー

英語はよくわかりませんが、何をせよという問題なのですかね？

下の４つの中で、指数関数またはべき乗関数で書けるものを選びなさい。
のような感じかと思ったのですが。
determine って何や？

No.21219 - 2013/04/21(Sun) 08:34:47

☆ Re: 指数 / のぼりん

こんにちは。
以下に粗訳を付けました。

課題３　関数ｆは、定数ａと正の定数ｂにより、ｆ（ｘ）＝ａ・ｂ^ｘの形に書けるとき、指数型であると言う。
関数ｆは、正の定数ｋとｂにより、ｆ（ｘ）＝ｋ・ｘ^ｐの形に書けるとき、冪型であると言う。

以下の数式のうち、何れが指数型関数か冪型関数のどちらかの形に書けるかを答え、説明せよ。
（ａ）　　ｆ（ｘ）＝２（－３）^４ｘ
（ｂ）　　ｑ（ｘ）＝６（ｘ－３）^５
（ｃ）　　ｇ（ｔ）＝４・３^２ｔ－２・９^ｔ
（ｄ）　　ｒ（ｘ）＝－４√７ｘ^３＋３ｘ^５/３/（２ｘ^－４/３）

略解は、以下の通りです。日本語で書きましたが、英語の方が分かり易ければその旨仰って下さい。

（ａ）　ａ＝２、ｂ＝（－３）^４とおけば、ｆ（ｘ）＝ａ・ｂ^ｘだから、指数型関数です。
（ｂ）　ｑ（ｘ）は五次多項式関数で、五次以下の項の何れの係数も零でないので、指数型関数、冪型関数の何れでもありません。
（ｃ）　ａ＝２、ｂ＝９とおけば、ｇ（ｔ）＝ａ・ｂ^ｔだから、指数型関数です。
（ｄ）　ｋ＝３/２－４√７、ｐ＝３とおけば、ｒ（ｘ）＝ｋ・ｘ^ｐだから、冪型関数です。

No.21223 - 2013/04/21(Sun) 17:03:52

☆ Re: 指数 / ヨッシー

私の考えは(c) のみ指数型で、他は該当しない、です。

(a) は、(-3)^4x＝81^x のような変形が許されるなら、
　ｙ＝(-2)^x
も、y＝4^(x/2) という変形が許されて、しかもこれは y=2^x と
同じであるということになります。
　(a^m)^n＝a^(mn)
は、a＞0 のときの公式だったと思います。

(d) は、ｘ＝０で定義できないので、不可と考えます。
ｘ≠０の部分では、冪型です。

No.21233 - 2013/04/22(Mon) 17:39:59

☆ Re: 指数 / トンデモ

ご回答誠に有難うございます。
私は
指数型⇔冪型
に変形できるか調べよという意味かと思ってました。
私のは単なるこじ付けだったのですね。

No.21238 - 2013/04/23(Tue) 05:58:19

★ 数列 / ktdg

数列{a(n)}は、
(2n+3)a(n)+1=4Σ[k=1～n] ka(k) (n=1, 2, 3,…)
を満たしている。数列{a(n)}の一般項を求めよ。

一般項を予想して帰納法で示すタイプの問題だと思うのですが、Σが入っているので、普通の帰納法ではなく、n=1～kまでを仮定して示さなければならないのでしょうか？
また、そのような場合の証明はどうやってやればよいのですか？

No.21207 - 2013/04/20(Sat) 20:34:20

☆ Re: 数列 / IT

この問題の場合
(2n+5)a(n+1)+1と(2n+3)a(n)+1との差を調べると
a(n+1)=f(n)a(n)のパターンの漸化式になりませんか？

厳密には帰納法でしょうが
a(n+1)={(n+1)/n}a(n)のパターンでは
　　　={(n+1)/n}{n/(n-1)}...{2/1}a(1)=(n+1)a(1)
などとしても良いのではないでしょうか。

No.21208 - 2013/04/20(Sat) 20:51:56

☆ Re: 数列 / ktdg

回答ありがとうございます。

(2n+5)a(n+1)+1-(2n+3)a(n)-1=4(n+1)a(n+1)
a(n+1)={(2n+3)/(1-2n)}a(n)

となると思うのですが、ここからどうすればよいのでしょうか？

No.21227 - 2013/04/21(Sun) 21:42:35

☆ Re: 数列 / IT

a(n+1)={(2n+3)/(1-2n)}a(n)
=(-1){(2n+3)/(2n-1)}a(n)

=(-1){(2n+3)/(2n-1)}
(-1){(2n+1)/(2n-3)}a(n-1)

=(-1){(2n+3)/(2n-1)}
(-1){(2n+1)/(2n-3)}
(-1){(2n-1)/(2n-5)}a(n-2)

=(-1){(2n+3)/(2n-1)}
(-1){(2n+1)/(2n-3)}
(-1){(2n-1)/(2n-5)}
(-1){(2n-3)/(2n-7)}
...
(-1){9/5}
(-1){7/3}
(-1){5/1}a(1)

=[{(-1)^(n)}(2n+3)(2n+1)/(3・1)}]a(1)

a(1)=-1なので
a(n)={(-1)^(n-1)}(2n+1)(2n-1)(-1)/3
={(-1)^n}(2n+1)(2n-1)/3

わかりやすくするため途中多めに記述しています。

No.21228 - 2013/04/21(Sun) 22:46:34

☆ Re: 数列 / ktdg

ありがとうございます。

No.21229 - 2013/04/21(Sun) 22:58:57

★ 解析学 / ハオ

命題:
Σa_nが収束する時、その連続する有限個の項の和を項とする級数も収束してその和はΣa_nの和に等しい.

と書いてあるのですが,意味がよく汲み取れません.
「その連続する有限個の項」とは,
a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2,.....,a_0+a_1+...+a_nであり
「その連続する有限個の項の和を項とする」とは
上の列の項をs_nとするとき
s_0+s_1,s_2+s_3+s_4,...
のような列の事を言っているのでしょうか？

No.21206 - 2013/04/20(Sat) 17:33:35

☆ Re: 解析学 / ast

ふつうに, もとの級数が収束しているなら, そこから適当に (ただし, 項の順番は変えずに) あちこちの項を括弧で括ってもよい (同じ値になる) という意味ではないでしょうか.

# 前後の文脈や証明を見たほうがいい気もしますが.

No.21209 - 2013/04/20(Sat) 21:10:04

☆ Re: 解析学 / WIZ

「連続する有限個の項の和を項とする級数」とは m, n を自然数として
一般項が b[m] = Σ[k=m,m+n-1]a[k] で定義される数列を考えて、
その無限和 Σ[k=1,∞]b[n] のことではないかと思います。

つまり、
b[1] = a[1]+a[2]+・・・+a[n]
b[2] = a[2]+a[3]+・・・+a[n+1]
・・・
b[m] = a[m]+a[m+1]+・・・+a[m+n-1]
というふうに連続する n 項の和が項となる数列を定義し、

「収束してその和はΣa_nの和に等しい」とは、級数 Σ[k=1,∞]a[n] が α に収束するとすれば、
級数 Σ[m=1,∞]b[m] = Σ[m=1,∞]{Σ[k=m,m+n-1]a[k]} は nα に収束するということを
言っているのだと思います。

No.21210 - 2013/04/20(Sat) 21:26:07

☆ Re: 解析学 / ハオ

>astさん WIZさん
有難う御座います.お二人の返信を参考にしてもう一度よく考えてみます.

No.21232 - 2013/04/22(Mon) 17:21:14

★ 極限／高3 / tmw

rを|r|<1である実数とするとき、等式lim nr^n=0(n→∞)を証明し、
無限数の和Σnr^n-1(n=1から∞)を求めよ。

(1)でh>0のとき、自然数nに対して次の不等式があるので、⑴を(2)でどう生かすかを教えて下さい。
(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2

No.21203 - 2013/04/20(Sat) 11:38:36

☆ Re: 極限／高3 / WIZ

rを|r|<1である実数とするとき、lim[n→∞]{nr^n} = 0は証明できたということですよね?
それで、Σ[n=1,∞]{nr^(n-1)}を求めよという問題と解釈して回答します。

S[m] = Σ[n=1,m]{nr^(n-1)} = 1+2r+3r^2+・・・+mr^(m-1) とおけば、
rS[m] = r+2r^2+3r^3+・・・+mr^m です。
⇒ S[m]-rS[m] = 1+r+r^2+・・・+r^(m-1)-mr^m = (1-r^m)/(1-r)-mr^m
⇒ S[m] = (1-r^m)/(1-r)^2-mr^m/(1-r)

ここで、m→∞のとき、lim[n→∞]{nr^n} = 0よりmr^m/(1-r)→0です。
また、m→∞のとき、r^m→0ですから、

lim[m→∞]S[m] = Σ[n=1,∞]{nr^(n-1)} = 1/(1-r)^2

No.21204 - 2013/04/20(Sat) 12:30:36

☆ Re: 極限／高3 / tmw

数列に帰着させるんですね。ありがとうございます。
ちなみにlim[n→∞]nr^n=0の証明は、1+h=rとかと置いて、
はさみうちですか？

No.21205 - 2013/04/20(Sat) 14:22:30

☆ Re: 極限／高3 / WIZ

> ちなみにlim[n→∞]nr^n=0の証明は、1+h=rとかと置いて、
> はさみうちですか？

1+h = rと置いて、どう挟み撃ちするんでしょう? 興味があるので式を書いてもらえますか?

私なら以下のよう証明します。
r = 0ならnr^n = 0は自明ですから、r ≠ 0の場合を考えます。

r > 0ならば、t = 1/rとおけば、t > 1ですから、t = 1+hと置けばh > 0です。
0 < lim[n→∞]{nr^n} = lim[n→∞]{n/t^n} ≦ lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} = 0
# 但し、最後の式は n ≧ 2 場合のみ考えます。
挟み撃ちによって、lim[n→∞]{nr^n} = 0 といえます。

r < 0ならば、t = 1/rとおけば、t < -1ですから、t = -1-hと置けばh > 0です。
nが偶数の場合、
0 < lim[n→∞]{nr^n} = lim[n→∞]{n/t^n} ≦ lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} = 0
nが奇数の場合、
0 = lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} ≦ lim[n→∞]{nr^n} < 0
いずれも挟み撃ちによって、lim[n→∞]{nr^n} = 0 といえます。
# 同様に、1+nh+(n(n+1)/2)h^2は n ≧ 2 場合のみ考えます。

No.21211 - 2013/04/20(Sat) 21:44:01