[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
分からない事があるので教えてください

以下質問

何卒宜しくお願い致します。
No.81139 - 2022/03/06(Sun) 14:32:35
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
補足です

以下
No.81140 - 2022/03/06(Sun) 14:38:53
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
質問の内容があやふやでした

図において

Xが０から１を長方形の面積を考える時と考えない時との区別がつかないのです

何卒宜しくお願い致します。
No.81141 - 2022/03/06(Sun) 15:01:13
☆ Re: 無限級数と積分 / X
長方形の面積「だけ」に注目するなら
図1,図2の違いはありません。
問題はそこではなくて、問題の無限級数と
大小関係を作る対象に何を選ぶかです。

図1の場合、大小関係を作る対象となる面積は
∫[0→n]dx/√x
となります。
この積分自体の値は存在します。が、これは
大学数学で学習する広義積分の考え方が必要で、
数学IIIの範囲からは外れてしまいます。
従って今回の方針からは外れます。

対して、図2の場合は大小関係を作る対象
となる面積は
∫[1→n]dx/√x
となり、これは数学IIIの範囲で計算できます。
No.81142 - 2022/03/06(Sun) 15:50:03
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生

ご返信が遅くなり申し訳ございませんでした

少し昼寝をしておりました

これから頂いた指導を理解してみます

少しお時間をください
No.81145 - 2022/03/06(Sun) 17:52:27
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
質問があります

少しお時間をください

何卒宜しくお願い致します。
No.81146 - 2022/03/06(Sun) 18:24:52
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
続けざまに申し訳ございません。

以下の質問をお願い致します。
No.81147 - 2022/03/06(Sun) 18:37:26
☆ Re: 無限級数と積分 / X
以下の証明は高校数学の範囲を超えている定理を(ii)で使っている
ことを頭に入れて、飽くまで参考としてみて下さい。
(使わずに証明する方針は思いつきませんでした。)

(i)0＜k≦1のとき
これはNo.81139の図２のグラフを使います。
面積比較により
∫[1→n]dx/x^k＜Σ[i=1〜n]1/i^k (A)
ここで
∫[1→n]dx/x^k=logn (k=1のとき)
∫[1→n]dx/x^k={1/(1-k)}{n^(1-k)-1} (0＜k＜1のとき)
∴n→∞のとき((A)の左辺)→∞
なので、Σ[n=1〜∞]1/n^kは発散。

(ii)1＜kのとき
これはNo.81139の図1のグラフを使います。
面積比較により
0＜Σ[i=2〜n]1/i^k＜∫[1→n]dx/x^k
∴1＜Σ[i=1〜n]1/i^k＜1+∫[1→n]dx/x^k (B)
ここで
((B)の右辺)=1+{1/(1-k)}{1/n^(k-1)-1}
→1+1/(k-1) (n→∞)
このことと
Σ[i=1〜n]1/i^k
がnに対して単調増加であることから
Σ[n=1〜∞]1/n^kは収束します。
No.81148 - 2022/03/06(Sun) 19:06:46
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
早速のご返答ありがとうございます

今私がわからないことは

何故に

＞(i)0＜k≦1のとき
これはNo.81139の図２のグラフを使い
＞(ii)1＜kのとき
これはNo.81139の図1のグラフを使うのかの判別です


教えてください

何卒宜しくお願い致します。
No.81149 - 2022/03/06(Sun) 19:24:19
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

ｋの値によってグラフを区別なされていますが

その理由を教えてください

Ｎ何卒宜しくお願い致します。
No.81150 - 2022/03/06(Sun) 19:34:52
☆ Re: 無限級数と積分 / X
まず、問題の無限級数(以下これの無限和を(P)とします)
を
xy平面上の長方形の面積の和
として考えるのはよろしいですか？

収束、発散を考えるにはこれと不等号を介して
比較すべき面積が必要になります。
この場合だと
∫[1→n]dx/x^k (Q)
ですね。

さてNo.81148での(i)(ii)で書いた通り
(i)0＜k≦1のとき
(Q)→∞ (n→∞)
(ii)1＜kのとき
(Q)→1/(k-1) (n→∞) (つまり収束します)

以上のことから
(i)の場合は(Q)を問題の無限級数の下限
に持ってくる、つまり
(Q)＜(P)
となるようなグラフの取り方が
(もし可能だとすれば)
都合がいいわけです。

逆に
(ii)の場合は(Q)を問題の無限級数の上限
に持ってくる、つまり
(P)＜(Q)
となるようなグラフの取り方が
(もし可能だとすれば)
都合がいいわけです。


以上を踏まえてもう少し考えてみて下さい。
No.81151 - 2022/03/06(Sun) 20:11:14
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

どうも私にはその発想は天下りに思えるのですが

要は結果論から出発しているようにおもえます

もう少し考えてみますが
No.81152 - 2022/03/06(Sun) 20:41:06
☆ Re: 無限級数と積分 / X
＞＞どうも私にはその発想は天下りに思えるのですが
その通りです。
予想して証明していくという形です。
No.81153 - 2022/03/06(Sun) 22:58:50
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

天下りではなく
図を一つだけ用意して

私なりに考えました

何卒宜しくお願い致します。
No.81162 - 2022/03/07(Mon) 12:44:47
☆ Re: 無限級数と積分 / X
(1)が間違っています。
問題の図において、点Aを
y=1/x^k (A)
のグラフ上の点、
点Bを(A)のグラフの上側の点
と定義した以上、如何にqが収束しようとも、
勝手に
p＜q
とはできません。
No.81165 - 2022/03/07(Mon) 16:50:06
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１７日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
X先生
早速ご返信ありがとうございます

考え疲れてしまいました
＞勝手にp＜qとはできません。

私の答案をどの様に改良すればいいでしょうか

また、私の答案なかに∞より大きいものはない

p＞p

と書きましたが、自分でも意味が分かりません

お助けください

何卒宜しくお願い致します。
No.81167 - 2022/03/07(Mon) 17:06:44
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１７日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｘ先生に

＞また、私の答案なかに∞より大きいものはない

からの下りが自分の答案にも関わらず意味がわかりません

ペンが勝手に動いたのです

どうかご指導いただけると幸いです
No.81169 - 2022/03/07(Mon) 18:25:09
☆ Re: 無限級数と積分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１７日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
大変いけてない答案をUPして
申し訳ございません

いい考え方が浮かびました

明日UPします

大変申し訳ございません
No.81173 - 2022/03/07(Mon) 20:43:43
★ 点と直線の距離 / サマンサタバサ
点と直線の距離の公式証明なのですが、、矢印のところの変形がよくわかりません。矢印の前の段のx、yは点Qのことを指しているわけではない気がします。なぜ2丸^2と3丸^2を作った時のx、yが点qになるのでしょうか？
No.81130 - 2022/03/05(Sat) 20:34:57
☆ Re: 点と直線の距離 / 関数電卓
> 矢印の前の段のx、yは点Qのことを指しているわけではない気がします。
引用の初めの３行はお分かりですか？
これがお分かりなら，両者を満たす (x,y) は，２直線の交点 Q ですよね。
No.81131 - 2022/03/05(Sat) 20:54:29
☆ Re: 点と直線の距離 / サマンサタバサ
2丸^2と3丸^2を満たすx,yは2かつ3を必ず満たすのでしょうか？
2丸^2と3丸^2は2かつ3と同値ということでしょうか？
No.81134 - 2022/03/06(Sun) 09:54:32
☆ Re: 点と直線の距離 / 関数電卓
> 2丸^2と3丸^2は2かつ3と同値ということでしょうか？
「(2)^2＋(3)^2 かつ(2)」と「(2)かつ(3)」が同値，ですね。
○2 を(2)，○3 を(3) と書きました。
No.81135 - 2022/03/06(Sun) 10:53:55
☆ Re: 点と直線の距離 / らすかる
厳密には「同値」ではないですね。
(2)^2+(3)^2は「Pを中心として半径がPQの円」
(2)は直線PQ
なので
(2)^2+(3)^2かつ(2)のx,yが示すものは
直線PQ上にあってPから距離PQである点（すなわち2点）
それに対して(2)かつ(3)のx,yはQの1点だけを示しています。
(2)^2+(3)^2かつ(3)ならばQだけとなり(2)かつ(3)と同値です。

# ところで、サマンサタバサさんは山形県の人？
No.81136 - 2022/03/06(Sun) 14:09:58
☆ Re: 点と直線の距離 / 関数電卓
> (2)^2+(3)^2かつ(3)ならばQだけとなり(2)かつ(3)と同値
あぁその通りですね。
そのつもりで書いていました。失礼しました。（言い訳がましい！）
No.81137 - 2022/03/06(Sun) 14:20:19
☆ Re: 点と直線の距離 / サマンサタバサ
(2)^2+(3)^2かつ(3)ならば(2)かつ(3)と同値ということは
いま(2)^2+(3)^2しかないので矢印の変形はできなくないですか？
　何度もごめんなさい。お願いします。

ちなみに山形ではないです！
No.81138 - 2022/03/06(Sun) 14:25:54
☆ Re: 点と直線の距離 / らすかる
山形ではないのですね。失礼しました。
（「まるいち」を「いちまる」と言うのは山形県だけなのでそう予想していました）

(2)^2+(3)^2しかなくても、その式だけでPQが唯一に導出できますので問題ありません。
一般の連立方程式でも、例えば
「x+y=3 かつ x-y=1」は
「x=2 かつ y=1」と同値ですが、
ここで「xの値」が求めたいものならば
「x=2 かつ y=1」のうちの「x=2」だけで十分ですね。
No.81143 - 2022/03/06(Sun) 15:59:43
☆ Re: 点と直線の距離 / サマンサタバサ
おそらく無意識のうちに使ってました。
ご丁寧にありがとうございました。理解できました！
No.81144 - 2022/03/06(Sun) 17:43:21
★ 無限級数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
続けざまに申し訳ございません

以下問題も

何卒宜しくお願い致します。
No.81122 - 2022/03/05(Sat) 17:46:14
☆ Re: 無限級数 / Y
典型問題であり「例題」とあるので、そのテキストに解答があるのでは？

ご自分の解答を見てほしいのなら、それを挙げれば良いのでは？
No.81127 - 2022/03/05(Sat) 20:04:29
☆ Re: 無限級数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
Yへ

＞
典型問題であり「例題」とあるので、そのテキストに解答があるのでは？

私は参考書、問題集の解説は見ない主義なので

＞ご自分の解答を見てほしいのなら、それを挙げれば良いのでは？

まだ思考中です。
No.81128 - 2022/03/05(Sat) 20:13:39
☆ Re: 無限級数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
Y　様


貴方は、この問題をどう考えるのですか

是非ともお聞きしたいです

何卒宜しくお願い致します。
No.81129 - 2022/03/05(Sat) 20:16:49
☆ Re: 無限級数 / Y
> 貴方は、この問題をどう考えるのですか

テキストに書いてあるものなので書き込みは遠慮しておきます。
No.81132 - 2022/03/05(Sat) 21:34:00
☆ Re: 無限級数 / けんけんぱ
結局、何を質問されているのかがわからないのですが。
No.81133 - 2022/03/05(Sat) 23:22:32
★ 微分方程式 / あ
この例の(1)について
解答の説明がよくわかりません
なぜこの式になるのか教えて下さい
No.81120 - 2022/03/05(Sat) 17:12:25
☆ Re: 微分方程式 / あ
問題文です
No.81121 - 2022/03/05(Sat) 17:13:11
☆ Re: 微分方程式 / 関数電卓
引用されている問題と解答に書いてある通りです。
「N の変化率 dN/dt が A と B に比例する」とは，
　dN/dt＝kAB　(k: 比例定数)
です。
No.81126 - 2022/03/05(Sat) 18:42:25
★ (No Subject) / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

お久しぶりです。

以下問題

何卒宜しくお願い致します。
No.81116 - 2022/03/05(Sat) 15:12:39
☆ Re: / X
(1)(3)は部分和を構成する項の数で場合分けが必要です。

(1)
問題の無限級数の部分和をS[n]とすると
kを自然数として
S[2k]=1-1/(k+1)
S[2k-1]=1
∴lim[k→∞]S[2k-1]=lim[k→∞]S[2k]=1
となるので問題の無限級数は収束し、その和は1

(2)
(与式)=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{1/k-1/(k+1)}
=lim[n→∞]{1-1/(n+1)}
=1
∴問題の無限級数は収束し、その和は1

(3)
問題の無限級数の部分和をS[n]とすると
kを自然数として
S[2k]=2-(k+2)/(k+1)=1-1/(k+1)
S[2k-1]=2
∴lim[k→∞]S[2k-1]≠lim[k→∞]S[2k]
となるので問題の無限級数は発散します。

(4)
(与式)=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{(k+1)/k-(k+2)/(k+1)}
=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{1+1/k-{1+1/(k+1)}}
=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{1/k-1/(k+1)}
=lim[n→∞]{1-1/(n+1)}
=1
∴問題の無限級数は収束し、その和は1
No.81118 - 2022/03/05(Sat) 16:40:51
☆ Re: / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご回答ありがとうございます。

私は数学３を学んでまだニ週間なので自信なしです

以下、私の考え方

何卒宜しくお願い致します。
No.81119 - 2022/03/05(Sat) 17:12:12
☆ Re: / X
(3)についてはその方針でも問題ありません。

(1)(2)(4)についても方針に問題はありません。
No.81124 - 2022/03/05(Sat) 18:15:27
☆ Re: / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１６日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
x先生お久しぶりです

ご回答ありがとうございます。

できましたら

No.81122 - 2022/03/05(Sat) 17:46:14

についても教えていただけると幸いです
No.81125 - 2022/03/05(Sat) 18:21:49
★ (No Subject) / プリン
(3)の解説において
0<3-an≦ ○○○ とありますが、
なぜ↑の不等号に『＝』がつくのでしょうか？
理由を詳しく教えていただきたいです。
No.81113 - 2022/03/05(Sat) 12:55:57
☆ Re: / X
n=1のときに等号が成立するからです。
No.81114 - 2022/03/05(Sat) 13:01:37
☆ Re: / プリン
ありがとうございます
No.81117 - 2022/03/05(Sat) 16:30:15
★ 積分 / あ
1/u(u^2-1) の不定積分のやり方を教えてください。
No.81111 - 2022/03/05(Sat) 11:42:51
☆ Re: 積分 / X
1/{u(u^2-1)}=1/{u(u-1)(u+1)}
=-1/u+1/{2(u-1)}+1/{2(u+1)}
と部分分数分解できるので…
No.81112 - 2022/03/05(Sat) 12:29:27
☆ Re: 積分 / あ
なるほど
ありがとうございます
No.81115 - 2022/03/05(Sat) 13:49:12
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題が分かりません
No.81107 - 2022/03/05(Sat) 00:00:57
☆ Re: / 数学苦手
この図の状態から進まないです、、
No.81108 - 2022/03/05(Sat) 00:01:30
☆ Re: / ヨッシー

参考まで。
左は経過、右は結果です。
No.81109 - 2022/03/05(Sat) 00:32:23
☆ Re: / 数学苦手
あ、2試合引き分け！そこを見落としてました。分かりやすいGifありがとうございます。
No.81110 - 2022/03/05(Sat) 01:42:45
★ 微分、極限 / ルーク
?@対数微分法で、両辺に絶対値をつける理由が、「定義域が変わってしまうから」だったような気がするんですが、例え絶対値をとっても、真数≠０という条件が加わるので、定義域が変わってしまうと思います。
例えばy＝x−２としたときlog|y|＝log|x−２|で、x≠２となってしまいます。
なぜ絶対値をとるのか、そもそも両辺の対数をとってもしっかり成り立つのか、教えていただけると嬉しいです。

?Alim[x→a]{f(x)+g(x)}＝lim[x→a]f(x)+lim[x→a]g(x)という変形は、lim[x→a]f(x)やlim[x→a]g(x)が極限値をとらない場合もできるのでしょうか。
No.81103 - 2022/03/04(Fri) 17:41:56
☆ Re: 微分、極限 / ルーク
?@→１ ?A→２　　です。
No.81104 - 2022/03/04(Fri) 17:43:28
☆ Re: 微分、極限 / ast
# どういう方向性で返答するのがよいものか悩む質問（すぐ下のスレッドでのやり取りも考慮すると特に）なので,
# 回答がつきにくいのは予想していましたが, もしまだ見ているのなら大した話じゃなくても
# 何か書いておいてもいいかなと思って書きます (あまりまとまらなかった).

> 両辺に絶対値をつける理由が、「定義域が変わってしまうから」だったような気がする
「定義域が変わる」という言葉を文字通りに受け取るなら, これはそもそもそんなこと全くないので, きちんと改める必要があると感じます. y は最初に与えられた状態で定義域は決まっていてそれ以降も変化しませんし, y' に関しても (少なくとも対数微分の論法においては) y が微分可能な x の全体が定義域であってこれも最初からずっと変化しません.

> 例えばy＝x−２としたときlog|y|＝log|x−２|で、x≠２となってしまいます。
に倣って言うなら, "y=x-2 のとき, log(y)=log(x-2) (x>2) や log|y|=log|x-2| (x≠2) である" とか "対数微分法により y'/y=1/(x-2) (x≠2) が導かれる" というのは, 俗っぽい言い方をすれば y や y' の「一部分だけ (具体的な情報が) 分かった」ということです (絶対値をとる理由も y が負になるところからも情報が得られる (その情報も必要だし重要だ) からですね).

もうちょっと正確な言い方を心掛けるなら「(y や) y' の (具体的な式の) 必要条件 (の一つ) として得られる」) というような言い方になると思います. 必要条件は「(結論を絞る) 部分的な情報」なので, それ単独でなくて他の条件と複数併せて考えるのが普通です.
# なので, たくさんあったり最終的には使わなかった情報があったりしても困るようなものではありませんが,
# それらは常にすべてが同時に満たされていないといけない (つまり "且つ" で繋がってる) ので
#「新しい情報がわかっても勝手に古い情報を忘れたらNG」というところは気を付けなければならない.
# また, 互いに矛盾するような条件があったときには, 何かおかしいと気付けるかもしれません.

(1) 上と同じ例に対数微分法を使ってわかったことを「y=x-2 ⇒ y'=1 (x≠2)」だと思って見ると「オカシイ」気がしても確かに不思議はないのかもしれませんが, 実際には
　「y'/y=1/(x-2) かつ y は任意の x で (したがって x=2 でも) 微分可能 ⇔ y'=1 (x は任意)」
が対数微分法の主張において結論の部分に置かれている (下線部は最初に仮定されて以降ずっとそのまま残っている) と考えるのが自然 (この例では対数微分法を経由しなければ敢えて x=2 を除外することをかんがえたりはしないはずだと思いますが, 対数微分法の対象とする函数全般で言ってもそれは同様のこと) だと思います.
# 部分から全体がわかるというある種の「帰納」的論法と言えばなんかそれっぽいですかね.
## まあ「いくらかの点を除いて可微分な函数が, いつ, それらの除外点まで延長しても可微分になるか」を
## 厳密に扱うところまで深入りする気はありませんが.

(2) は「ダメ」の一言でいいですかね…… (「極限値が無い」の意味によっては話が違ってくる可能性はあるけど).
# ∞-∞ の形の「不定形」などは典型的でたくさんわかりやすくて詳しい解説があると思います.
## 無論, 極限が定まらないときは論外 (極限の足し算などの式が意味を為さない) ですが
## さすがにそういう意図ではないと思いますし.
No.81185 - 2022/03/09(Wed) 13:54:02
★ 合成関数 / ルーク(高2)
合成関数の微分をしていて、合成関数とは何かがわからなくなってしまいました。
合成関数の微分を「塊を微分する」とだけ考えていたので、cosx/(3+sinx)を微分するときに、「３+sinxって塊かな」と思い、合成関数として微分してしまいました。
合成関数を習ってから、すべての関数が合成関数に見えてきてました。合成関数の見分け方を教えていただきたいです。
No.81100 - 2022/03/04(Fri) 13:19:42
☆ Re: 合成関数 / ヨッシー
ｙ＝f(u)、ｕ＝g(x) のとき、
　dy/dx＝(dy/du)(du/dx)
というのが合成関数の微分ですね。
たとえば、
　ｙ＝sin2ｘ
は　ｙ＝ｕ^2 と ｕ＝sinｘ の合成関数ですので、
　dy/du＝2u、du/dx＝cosｘ
なので、
　dy/dx＝2u・cosｘ＝2sinｘ・cosｘ
です。

ｙ＝cosｘ/(3＋sinｘ) は、
ｘの範囲を限って、(−π/2≦ｘ≦π/2 など)
　cosｘ＝√(1−sin2ｘ)　として、
　ｙ＝√(1−ｕ2)/(3＋ｕ)、ｕ＝sinｘ
とすることは出来ますが、ｘに制限をかけている上に、これで微分が楽になったとは言えませんので、普通に微分したほうが良いでしょう。
No.81101 - 2022/03/04(Fri) 14:59:32
☆ Re: 合成関数 / ルーク
丁寧な回答ありがとうございます🙇

単純にyをxで微分しているのに、y＝cosx/u u＝sinx+３と見て、(yをxで微分)×(uをxで微分)という意味不明な計算をしてしまっていました。yをxで微分しているのか、uで微分しているのか(塊で微分しているのか)しっかり区別して考えたいと思います。


もうひとつ質問なんですが、色々な関数が実は合成関数なんじゃないかと思い始めてしまいました。
例えば
・y＝3x+１という関数はy＝u+１　u＝３xなどです。
どう捉えるかによって、合成関数になるか決まるのでしょうか。
No.81102 - 2022/03/04(Fri) 17:24:35
☆ Re: 合成関数 / ast
> どう捉えるかによって、合成関数になるか決まるのでしょうか。
については確かにその通りではあるのだけれど, それは例えば「あなたの親は「あなたの親」という人間として生まれて生きてきたわけじゃなくて, あなたがいるからあなたの親なんだよ」みたいな話なので, 当たり前と思えないで確認とってくるうちは理解できてるとは言い切れないのではないかなという類いの返答にならざるを得ないかと.

たぶん微分の単元でなんとなく合成函数の微分とか言われてるからなんとなくでしか受け取れないみたいな状況なのだろうと思われるので仕方がないところではあるのかもしれないけれど, 合成函数についてはきちんと定義から書かれている資料を (web上にもたくさんあると思いますので) 探したほうがいいと思います. 少なくとも
> yをxで微分しているのか、uで微分しているのか(塊で微分しているのか)しっかり区別して考えたいと思います。
という返答内容からは, どうして
> y＝cosx/u u＝sinx+３と見て
がNGでヨッシーさんの
> ｙ＝√(1−ｕ^2)/(3＋ｕ)、ｕ＝sinｘ
がOK (ヨッシーさんのは u=sin(x)+3 とみるなら "y=√1-(u-3)^2)/u, u=sin(x)+3" と言ってるのと同じ) であることを理解しているかどうか判断できません (どちらかというと理解できてないように見える).

多少補足しておくと, ヨッシーさんのご回答の中の一般論のところ
> ｙ＝f(u)、ｕ＝g(x) のとき、
の意味は, 言葉をいろいろ補って冗長に書けば
　「x の函数 y が, 変数は x だけを含む適当な式 g(x) によって表される x の函数 u=g(x) をきちんと選べば, 変数として u だけを含む式 f(u) によって y=f(u) と書けるとき」
という内容を表しています.

上で「NGだった理由を理解していないのでは」と書いた意図はこれで伝わるでしょうか…….
# 実は, "y=cos(x)/u, u=sin(x)+3)" の形のままでもちゃんと x で微分できます.
# でも, ここで言う(一変数の)合成函数ではなくて, 二変数の合成函数 "y=F(x,u), u=sin(x)+3" の微分なので,
# それには大学初年度級の知識が必要です.
No.81189 - 2022/03/09(Wed) 16:03:13
★ 積分 / あ
x/x＋5 の不定積分はどうすれば解けますか？
No.81095 - 2022/03/03(Thu) 15:03:30
☆ Re: 積分 / あ
すいません訂正します
x/x -5 の不定積分です
No.81096 - 2022/03/03(Thu) 15:04:55
☆ Re: 積分 / ヨッシー
x/(x-5) ですかね？
x/(x-5)＝1＋5/(x-5) なので、
　1 の積分ｘ　と
　1/(x-5) の積分　log|x-5|
から求められます。
No.81097 - 2022/03/03(Thu) 15:38:29
★ (No Subject) / たく
座標空間内に３点A（２、０、２）B（１、１、0）C（０、０、３）がある。三角形ABCをz軸周りに一回転させて出来る回転体の体積を求めよ

答えは１４π/３です
途中式を教えてほしいです
z＝tで切断して断面積を求めようとしましたが続きが分かりませんでした
No.81091 - 2022/03/02(Wed) 23:55:12
☆ Re: / らすかる
z=tとするとき
辺AB上の点は(t/2+1,-t/2+1,t)(0≦t≦2)なのでz軸からの距離の2乗は(2t^2+8)/4
辺BC上の点は(-t/3+1,-t/3+1,t)(0≦t≦3)なのでz軸からの距離の2乗は(2t^2-12t+18)/9
辺CA上の点は(-2t+6,0,t)(2≦t≦3)なのでz軸からの距離の2乗は4t^2-24t+36
辺BC上の点の座標にt=2(Aのz座標)を代入すると(1/3,1/3,2)となり
xy平面上で(1/3,1/3)と(2,0)を通る直線の傾きは-1/5なので
△ABCをz=tで切った線分上の点でz軸に最も近いのはBC上の点、
最も遠いのはAB上の点とCA上の点
従って求める体積は
π{∫[0〜2](2t^2+8)/4 dt + ∫[2〜3]4t^2-24t+36 dt - ∫[0〜3](2t^2-12t+18)/9}
=π([t^3/6+2t][0〜2] + [4t^3/3-12t^2+36t][2〜3] - [2t^3/27-2t^2/3+2t][0〜3])
=(14/3)π
No.81092 - 2022/03/03(Thu) 00:42:59
★ 数学I / たち
(１)と(2)の解き方がわかりません。教えていただけませんか？
No.81090 - 2022/03/02(Wed) 22:37:55
☆ Re: 数学I / ヨッシー
(1)
(i)
f(x)＝(x−a)^2−a^2＋2a＋1 より
ａ＜１ のとき　f(1)＝2 が最小値
ａ≧１ のとき f(a)＝−a^2＋2a＋1 が最小値
　g(a)＝2　(ａ＜１）
　g(a)＝−a^2＋2a＋1　（ａ≧１）
(2)
ａ≧１ のとき
　g(a)＝−(a−1)^2＋2≦2
よって、g(a) は ａ≦1 のとき最大値２をとる。

(2)
(i)
　f(x)＝ｙ　とおきます。
　f(x)＝(x−a＋1)^2−2a^2＋a　より
　a−1＜1　つまり　a＜2 のとき　f(1)＝−a^2−3a＋4 が最小値
　a≧2 のとき　f(a-1)＝−2a^2＋a　が最小値
　(以下略)
No.81094 - 2022/03/03(Thu) 06:30:16
★ (No Subject) / 多変数関数
多変数関数の微分法について質問です。三枚目の写真のp98のマル1はxとyが0に近づくということで、マル2はrが0に近づくということでしょうか？また、マル3はなぜそうなるかを教えて頂きたいです。
No.81087 - 2022/03/02(Wed) 21:50:25
☆ Re: / 多変数関数
続きです。
No.81088 - 2022/03/02(Wed) 21:51:13
☆ Re: / 多変数関数
> 続きです。
No.81089 - 2022/03/02(Wed) 21:51:57
☆ Re: / m
>三枚目の写真のp98のマル1はxとyが0に近づくということで、マル2はrが0に近づくということでしょうか？
そうです．

まる３は左辺の y に y = mx を代入して整理したもの．
No.81093 - 2022/03/03(Thu) 01:09:17
★ (No Subject) / 46
a≧0をどう扱えば良いか分かりません。解説よろしくお願いします。
No.81076 - 2022/02/27(Sun) 13:41:54
☆ Re: / 46
「」内は自分で考えたものです。
No.81077 - 2022/02/27(Sun) 13:45:09
☆ Re: / X
条件から解と係数の関係により
a,bはtの二次方程式
t^2-xt+y=0 (A)
の解となります。

よってa≧0という条件は
(A)の実数解のうち、少なくとも1つが0以上
という条件に置き換えられます。
No.81078 - 2022/02/27(Sun) 13:46:36
☆ Re: / X
補足ですが、「」内の内容についてはそれで問題ありません。
No.81079 - 2022/02/27(Sun) 13:47:31
☆ Re: / 46
その後どうすれば良いでしょうか。
No.81080 - 2022/03/01(Tue) 11:03:28
☆ Re: / X
f(t)=t^2-xt+y (B)
と置いて、横軸にt、縦軸にf(t)を取った
(B)のグラフがt軸のt≧0の部分と交点を
持つ条件を考えます。
まず(A)の解の判別式をDとすると
D=x^2-4y≧0 (C)
次に(B)の縦軸との交点の縦座標、
つまりf(0)の符号について
場合分けをします。

(i)f(0)=y＜0のとき
このときは条件を満たします。
(ii)f(0)=y≧0のとき
(B)の軸について
x/2≧0
∴x≧0

更に
x^2-2y≧x
より
y≦(1/2)(x^2-x) (D)
又(C)より
y≦(1/4)x^2 (E)



以上から求める求める点の存在範囲は
(D)かつ(E)かつ
{y＜0又は{0≦xかつ0≦y}}
となります。
No.81081 - 2022/03/01(Tue) 18:10:25
☆ Re: / IT
（少し違う考え方）
t^2-xt+y=0 (A)の実数解a,bを持つとき、

　２つとも負⇔ab＞0かつa+b＜0
　なので
　少なくとも１つが0以上⇔ab≦0またはa+b≧0

（解の公式を使う）
t=(x±√(x^2-4y))/2 なので　
x+√(x^2-4y)≧0が必要十分条件
すなわち
x^2-4y≧0かつ（x≧0またはy≦0が）必要十分条件
No.81082 - 2022/03/01(Tue) 22:46:05
★ 最大最小 / ゆず
f(x)=x^2-2ax
g(x)=|x-1|+1を区間-1 ≦x ≦2に限定して考える。
このときf((g(x))の最大値を求めよ。

自分の解答が違うのは明らかにわかるのですが、何が違うか分からないと言うか自分が何をやっているか分からなくなりました。この答案何がおかしいのか教えてください。よろしくお願いします。

答えは. -a^2(-1 ≦a ≦3)
1-2a(a ＜1)
　　　 9-6a(a ＞3) です。
No.81073 - 2022/02/27(Sun) 10:51:25
☆ Re: 最大最小 / ヨッシー
まず、最大値を求めよ　なのか　最小値を求めよ　なのか
明らかにしてください。

手書きの解答の中で、-1 ≦x ≦2 をどう考慮されていますか？
No.81074 - 2022/02/27(Sun) 11:15:54
★ 今年の千葉大です / キャル
(1),(2)は積分区間で評価することでできましたが、(3)ができませんでした。

ヒントだけでもいただければと思います。
No.81067 - 2022/02/25(Fri) 17:16:21
☆ Re: 今年の千葉大です / 関数電卓
(3) 与式を部分積分することにより
　A(m,n)＝−(m＋1)ne^(−1/n)＋(m＋1)A(m−1,n)
　　　　＜(m＋1)A(m−1,n)
なので，A(m,n) は減少列です。
よって，c(n) → e^(−1/n)　(m→∞)
No.81068 - 2022/02/25(Fri) 20:51:24
☆ Re: 今年の千葉大です / IT
横から失礼します。計算は確認していませんが、減少列と言えてないのでは？

また、減少列だからといって　 e^(−1/n)に収束するとはいえないのでは？
答えは、e^(−1/n)のようですが。
No.81069 - 2022/02/25(Fri) 21:30:53
☆ Re: 今年の千葉大です / IT
部分積分法により
　A(m+１,n)＝-(m+2)ne^(-1/n)+(m+2)nA(m,n)
　　　　＝(m+2)n(A(m,n)-e^(-1/n))
(1)などから　0≦A(m,n)-e^(-1/n)=A(m+1,n)/((m+2)n)≦1/(m+2)n →0　(m→∞)　でどうでしょう？

(2)も同時に計算できる？
No.81070 - 2022/02/25(Fri) 22:16:23
☆ Re: 今年の千葉大です / キャル
> (1),(2)は積分区間で評価することでできましたが、(3)ができませんでした。
>
> ヒントだけでもいただければと思います。

皆さま解決しました。ありがとうございました。

残念ながら前期は無理そうなので後期にかけます。また質問させてください
No.81071 - 2022/02/25(Fri) 23:22:25
★ 必要十分 / サマンサタバサ
(1)でx=1を代入しただけでは十分が示せていない気がするんですが、どなたか解説お願い致します。
No.81065 - 2022/02/25(Fri) 14:11:08
☆ Re: 必要十分 / X
＞＞十分が示せていない気がするんですが、
示せています。

xの方程式f(x)=0がx=1を解に持つ⇔f(1)=0
No.81066 - 2022/02/25(Fri) 17:09:32
☆ Re: 必要十分 / サマンサタバサ
すみません。もう少し詳しく説明してもらえませんか？イマイチ腑に落ちないです。
No.81072 - 2022/02/27(Sun) 09:11:37
☆ Re: 必要十分 / X
サマンサタバサさんが聞きたいのは
f(1)=0⇒xの方程式f(x)=0はx=1を解に持つ
となる理由が聞きたいということですか？
No.81075 - 2022/02/27(Sun) 13:11:47
☆ Re: 必要十分 / サマンサタバサ
> サそうです。返信が遅れてしまって本当にすみません。もし可能ならばどなたでもいいので教えていただけませんか。
No.81123 - 2022/03/05(Sat) 17:52:54
★ (No Subject) / has
直線lを軸として回転させるとき下図の体積を求めよ。
答え：（1900/243）π

回答の分かる方解説お願いいたします。
No.81060 - 2022/02/24(Thu) 19:25:55
☆ Re: / X
lを上向きを正とするx軸に取り、辺ACとlとの交点を
原点とします。
このとき
直線BCの方程式は
y=-(1/7)(x+5) (A)
一方、直線ACの方程式は
y=-(1/2)x (B)
∴直線ACをx軸に関して対称移動させて
得られる直線をmとすると、mの方程式は
y=(1/2)x (C)
(A)(B)を連立で解くことにより
直線BCとmとの交点をDとすると
D(-10/9,-5/9)
更に(B)より
A(-4,2)
よって、点Aのx軸に関する対称点をA'、
求める体積をVとすると
V=(線分ABを母線とする円錐の体積)
+{(線分OA'を母線とする円錐の体積)-(線分ODを母線とする円錐の体積)}
+{(線分BCを母線とする円錐の体積)-(線分BDを母線とする円錐の体積)}
-(線分OCを母線とする円錐の体積)
=(1/3)・4π・1
+{(1/3)・4π・4-(1/3)・{(5/9)^2}π・(10/9)}
+{(1/3)・π・7-(1/3)・{(5/9)^2}π・(5-10/9)}
-(1/3)π・2
=9π-(5/3)・{(5/9)^2}π-(2/3)π
=9π-(125/243)π-(2/3)π
=9π-(287/243)π
=1900π/243
No.81061 - 2022/02/24(Thu) 20:22:41
★ (No Subject) / has
一辺の長さが4の正三角形の内部からその1/2の面積をもつ正三角形をくり抜いた図形。二つの三角形の重心は一致する。
表面積を求めよ。（答え：(40√3+20√6)π）

回答のわかる方、解説お願いします。
No.81058 - 2022/02/24(Thu) 19:22:04
☆ Re: / has
補足：この図形はlを軸に一回転します。
No.81059 - 2022/02/24(Thu) 19:23:44
☆ Re: / X
次のキーワードをネット検索してみて下さい。

パップス＝ギュルダンの定理
No.81062 - 2022/02/24(Thu) 20:25:39
☆ Re: / has
ありがとうございます。
No.81063 - 2022/02/24(Thu) 21:30:22
☆ Re: / 関数電卓
計算は煩わしいけど素直にやってみます。
下図１の線分 AB を軸の回りに回転させて出来る円錐台の側面は，展開すると，中心角 √3π の扇形から作られる図２の黄緑色の部分になる。よってその面積 S1 は，
　S1＝(6^2−2^2)π･√3π/2π＝16√3π
線分 AD を回転させたものは円柱の側面で，その面積 S2 は
　S2＝2√3π･2＝4√3π
よって，△ABC を回転させた立体の表面積は 2(S1＋S2)＝40√3π

内側の△EFH を回転させて出来る立体の表面積は，同様に計算し 20√6π

以上より，求める立体の表面積は (40√3＋20√6)π
No.81064 - 2022/02/25(Fri) 12:24:39
全22459件 [ ページ : << 1 ... 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 ... 1123 >> ]