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★ 線型代数の部分空間について / Se
ベクトルa, b, cがあって、その3つのベクトルが線型独立だった場合、線形部分空間wが
W＝<a, b,>+ <c>とかW = < a, b> ∩<c>という表記は、
W=<a, b, c>と同じ意味であると考えていいのでしょうか？
No.82351 - 2022/06/10(Fri) 06:46:50
★ ベクトル / Sky
添付の問題ですが、自力で解くと
(6√5)/7となったのですが、正答は(4√5)/5でした。
なぜ(4√5)/5となるのかがわかりません。
途中式など解説いただけないでしょうか。
No.82348 - 2022/06/10(Fri) 00:33:40
☆ Re: ベクトル / らすかる
距離の2乗は
{(1+2t)-(-1)}^2+{(3-t)-2}^2=5t^2+6t+5=5(t+3/5)^2+16/5
によりt=-3/5のとき最小値16/5をとりますので、
距離の最小値は√(16/5)=4√5/5となります。
No.82349 - 2022/06/10(Fri) 03:47:00
☆ Re: ベクトル / Sky
なるほど。
ありがとうございました！
No.82368 - 2022/06/11(Sat) 00:28:14
★ (No Subject) / Kokona
高校数学です。

写真のように、円周上の位置にある扇形が、回転しながら円周上を移動します。
元の位置に扇形がちょうど一回転して元の位置に戻った時の、点aの描く曲線の長さはいくらになるのでしょうか？
No.82342 - 2022/06/09(Thu) 04:10:07
☆ Re: / X
問題の条件が足りません。
＞＞扇形がちょうど一回転して
とありますが、回転の中心と扇形の位置関係は
どのようになっていますか？

図をそのまま解釈すると、点aの描く曲線は
扇形の形状に無関係の回転軌道の円周にしか
見えません。
この円周の半径は設定していないのですか？
No.82344 - 2022/06/09(Thu) 05:32:42
☆ Re: / ast
# 解答はまだ考えてもいませんが, 回答者の問題解釈に齟齬がおきているようなので少し書きます.

もとの問題文(の正確な内容)はないのでしょうか?
> 円周上の位置にある扇形が、回転しながら円周上を移動します。
正確には「図の扇形が円周上を滑ることなく転がる」のような表現になっていませんか?
# 「滑ることなく転がる」は一種の専門用語で意味が一意に確定しますが, 質問者さんの表現だとよく伝わらない気がします

> 元の位置に扇形がちょうど一回転して元の位置に戻った時の
これも既に指摘があるように適当に与えられた図形同士だと必ず起きることではないので誤って伝わる表現のように思います. たぶんそうなるように与えられた円周の長さ=扇形の周囲の長さ(=2r+l)と「仮定した」のですよね?

> 点aの描く曲線の
a はどっちの図形のどの位置かはっきりわかるようにしてください.
No.82345 - 2022/06/09(Thu) 13:07:05
☆ Re: / らすかる
図を見るとaは「円周上の点」に見えます。
そう考えると、扇形がどう動こうとaは動きませんので
曲線の長さは0になります。
もしかして、元の図ではaは扇形の内部に
書かれていませんでしたか？
（あるいは、「中心がAである扇形」などと書かれていませんでしたか？）
もし「元の問題文」があるならば、一字一句変更することなく
そのまま書き写して頂くか、あるいは問題文の写真を
提示して頂いた方が良いかと思います。
No.82346 - 2022/06/09(Thu) 13:11:41
☆ Re: / Kokona
すいませんでした。問題文は次の通りです。
「半径r, 弧の長さlの扇形が、円周上を滑ることなく回転する。はじめに円周上にあった扇形の中心aがちょうど一回転して元の位置に戻った時、点aの描く曲線を求めなさい。」

Xさんへ。
円の半径はありません。このような図のままです。

astさんへ。
「滑ることなく転がる」という表現がありました。
与えられた図は、先の写真のような図です。
aは扇形の中心です。
すいませんでした。

らすかるさんへ。
すいません、問題文を上に書きました。
No.82350 - 2022/06/10(Fri) 05:02:31
☆ Re: / X
問題の扇形を転がす円周の半径をRとすると
R=(l+2r)/(2π) (A)
今、点aの初期位置をA、円周の中心をOとして
OAを基準にした極座標を考えます。
但し動径方向をγ軸とします。

扇形の回転過程の対称性により
0≦θ≦π
の場合を考えます。

(i)r/R≦θ≦πのとき
点aの描く曲線は
半径r+R,中心角π-r/Rの円弧
の一端に
半径rの1/4円
を繋げた形状になるので、
曲線の長さをL[1]とすると
L[1]=R(π-r/R)+(1/4)・2πr
=πR-r+πr/2

(ii)0≦θ≦r/Rのとき
扇形の半径となっている線分と
円周との接点をBとすると、
△OaBについて三平方の定理より
γ=Oa=√(aB^2+OB^2)
=R√(1+θ^2)
∴曲線の長さをL[2]とすると
L[2]=∫[0→r/R-φ]γdθ
(但しφはtanφ=r/R,0＜φ＜π/2なる角)
=R∫[0→r/R-φ]√(1+θ^2)dθ
=R[(1/2){θ√(θ^2+1)+log(θ+√(θ^2+1))}][0→r/R-φ]
(注:計算過程は省略します)
=(R/2){(r/R-φ)√{(r/R-φ)^2+1}+log{(r/R-φ)+√{(r/R-φ)^2+1}}}

(i)(ii)から求める曲線の長さをLとすると
L=2(L[1]+L[2])
=2πR-2r+πr+(r-Rφ)√{(r/R-φ)^2+1}+Rlog{(r/R-φ)+√{(r/R-φ)^2+1}}
これに(A)を代入して

L=l+πr+{r-(l+2r)φ/(2π)}√{(2πr/(l+2r)-φ)^2+1}
+{(l+2r)/(2π)}log{(2πr/(l+2r)-φ)+√{(2πr/(l+2r)-φ)^2+1}}
(但し、φはtanφ=2πr/(l+2r),0＜φ＜π/2なる角)

注)
上記のように答えの形はかなり煩雑ですが、これ以上簡単な式には
できません。
No.82357 - 2022/06/10(Fri) 17:40:48
★ ベクトル / Sky
ベクトルで、2問わからない問題があるのですが、解答解説がなく途方に暮れています。
どなたか途中式含め、解答を教えていただけないでしょうか。

1問目は添付の問題です。
No.82338 - 2022/06/08(Wed) 22:56:25
☆ Re: ベクトル / Sky
2問目はこちらです。
どなたかよろしくお願いします。
No.82339 - 2022/06/08(Wed) 22:57:22
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
１問目
平面ＯＡＢ上の任意の点Ｄは
　s(-1, 1, 3)＋t(2, 1, -3)＝(-s+2t, s+t, 3s-3t)
ＯＡ⊥ＣＤより
　(-1, 1, 3)・(-s+2t-5, s+t-3, 3s-3t-5)＝(s-2t+5)＋(s+t-3)＋3(3s-3t-5)
　　＝11s-10t-13＝0　・・・(i)
ＯＢ⊥ＣＤより
　(2, 1, -3)・(-s+2t-5, s+t-3, 3s-3t-5)＝2(-s+2t-5)＋(s+t-3)−3(3s-3t-5)
　　＝-10s＋14t＋2＝0　・・・(ii)
(i)(ii) を解いて、
　s=3, t=2
このときの点Ｄが点Ｈであるので、
　(-s+2t, s+t, 3s-3t)＝(1, 5, 3)　　・・・([4],[5],[6])

点Ｈに関して点Ｃと対称な点が点Ｉなので、
　2(1, 5, 3)−(5, 3, 5)＝(-3, 7, 1)　・・・([7][8],[9],[10])
No.82340 - 2022/06/08(Wed) 23:53:18
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
２問目
(1)
ＯＡ・ＯＢ＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ＝３　・・・[11]
(2)
ＯＢ・ＯＣ＝ＯＢ・ＯＣcos∠ＢＯＣ＝１　・・・[12]
(3)
ＯＣ・ＯＡ＝ＯＣ・ＯＡcos∠ＣＯＡ＝3/2　・・・[13]/[14]
(4)
ＯＤ＝(2/3)ＯＡ
ＯＥ＝(1/3)ＯＢ＋(2/3)ＯＣ
ＯＦ＝(1/3)ＯＣ
より
ＯＧ＝(1/3)(ＯＤ＋ＯＥ＋ＯＦ)
　　＝(2/9)ＯＡ＋(1/9)ＯＢ＋(1/3)ＯＣ
ＣＧ＝ＯＧ−ＯＣ＝(2/9)ＯＡ＋(1/9)ＯＢ−(2/3)ＯＣ
|ＣＧ|^2＝(4/81)ＯＡ^2＋(1/81)ＯＢ^2＋(4/9)ＯＣ^2＋(4/81)ＯＡ・ＯＢ−(4/27)ＯＢ・ＯＣ−(8/27)ＯＣ・ＯＡ
　　＝4/9＋4/81＋4/9＋4/27−4/27−4/9＝40/81
よって、
　ＣＧ＝√(40/81)＝2√10／9　・・・[15]〜[18]
No.82341 - 2022/06/09(Thu) 00:42:02
☆ Re: ベクトル / Sky
ありがとうございました！
理解できました！
No.82347 - 2022/06/09(Thu) 20:22:42
★ (No Subject) / ピースで目潰しパンチ
aを正の実数とする

√(a^2-x^2)<x-a^2 を満たす実数xの範囲を求めよ

y=√(a^2-x^2)とy=x-a^2の位置関係で調べようとしたのですが
y=√(a^2-x^2)が表す図形やa^2-x^2が負になるときがわかりません。それも含めて解説お願いいたします。
No.82328 - 2022/06/08(Wed) 00:32:21
☆ Re: / X
y=√(a^2-x^2) (A)
より
y^2=a^2-x^2
x^2+y^2=a^2 (A)'
∴(A)は円(A)'のy≧0の部分です。

＞＞a^2-x^2が負になるときがわかりません。
不等式は両辺が実数のときにしか定義できませんので
a^2-x^2＜0とはなりません。
No.82330 - 2022/06/08(Wed) 05:57:08
☆ Re: / X
No.82330の内容を踏まえて図形的に考えます。

y=√(a^2-x^2) (A)
は点(a,0),(-a,0)を結ぶ線分
を直径とする上側の半円
y=x-a^2 (B)
は点(a^2,0)を通る傾きが正の直線
従って点(a,0)と点(a^2,0)の位置関係について
場合分けすればよいことが分かります。
∴条件である0＜aに注意すると
(i)a^2＜a、つまり0＜a＜1のとき
(A)と(B)との交点のx座標について
√(a^2-x^2)=x-a^2
これを解いて
x={a^2+a√(2-a^2)}/2
∴求めるxの値の範囲は
{a^2+a√(2-a^2)}/2＜x≦a
(ii)a≦a^2、つまり1≦aのとき
(A)(B)のグラフから
√(a^2-x^2)≧x-a^2
∴問題の不等式を満たすxの値は存在しません。

以上から
0＜a＜1のとき　{a^2+a√(2-a^2)}/2＜x≦a
1≦aのとき　解なし
No.82331 - 2022/06/08(Wed) 06:54:24
☆ Re: / X
ごめんなさい。No.82331に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.82335 - 2022/06/08(Wed) 17:47:05
★ (No Subject) / 藻
x+2y+3z=1とx^2+2y^2+3z^2=2を満たしながら実数x,y,zが動くときxの取りうる値の範囲を求めよ
No.82327 - 2022/06/08(Wed) 00:26:10
☆ Re: / らすかる
2式からzを消去して整理すると(6x-1)^2+4(x+5y-1)^2=55なので
-√55≦6x-1≦√55
∴(1-√55)/6≦x≦(1+√55)/6
ちなみにx=(1-√55)/6となるときのy,zの値は
x+5y-1=0,x+2y+3z=1からy=z=(5+√55)/30、
x=(1+√55)/6となるときのy,zの値は
x+5y-1=0,x+2y+3z=1からy=z=(5-√55)/30
No.82329 - 2022/06/08(Wed) 04:51:44
☆ Re: / 藻
どこから6x-1やx+5y-1がでてきたのでしょうか。
No.82358 - 2022/06/10(Fri) 18:41:54
☆ Re: / らすかる
x^2+2y^2+3z^2=2
両辺を3倍
3x^2+6y^2+9z^2=6
9z^2=(3z)^2であり3z=1-x-2yなので
3x^2+6y^2+(1-x-2y)^2=6
展開して整理すると
4x^2+4xy+10y^2-2x-4y=5
(xの式)^2+(xとyの式)^2=(定数)
という形を目指します。
つまり4xyは(xとyの式)^2に含まれるようにします。
10y^2と4xyだと分数が出てきますので
まず両辺を10倍して
40x^2+40xy+100y^2-20x-40y=50
これで
(○+10y)^2の形が作れて40xyが含まれるようにするためには○=2x
(2x+10y)^2=4x^2+40xy+100y^2なので
36x^2+(2x+10y)^2-20x-40y=50
36x^2+4(x+5y)^2-20x-40y=50
○(x+5y)で-40yが出てくるようにすると○=-8
-8(x+5y)=-8x-40yなので
36x^2+4(x+5y)^2-12x-8(x+5y)=50
36x^2-12x+4(x+5y)^2-8(x+5y)=50
36x^2-12xを平方完成すると(6x-1)^2-1
4(x+5y)^2-8(x+5y)を平方完成すると{2(x+5y)-2}^2-4
よって
(6x-1)^2-1+{2(x+5y)-2}^2-4=50
∴(6x-1)^2+4(x+5y-1)^2=55
のように整理できます。
No.82360 - 2022/06/10(Fri) 20:48:09
★ (No Subject) / り
可能な限り計算過程を詳しくご教授願いますm(_ _)m
No.82322 - 2022/06/07(Tue) 21:54:23
☆ Re: / けんけんぱ
次数の低い文字に着目して整理する、という因数分解の鉄則があります。
これにならうと

与式
=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+b^2c+bc^2
ここで、定数項はb^2c+bc^2=(b+c)bcだから
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+b^2c+(b+c)bc
(b+c)でくくって
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
となり、カッコよくすれば
=(a+b)(b+c)(c+a)
となります
No.82324 - 2022/06/07(Tue) 22:17:42
★ 不等式について / しょう
11行目の4小なりの下にイコールがついてるのはなぜなのでしょうか？
No.82316 - 2022/06/07(Tue) 18:08:57
☆ Re: 不等式について / ヨッシー
４≦ｘ＜６　ではなく
(４以上の数)＜ｘ＜６　です。
ｘ＝４　は解になりません。
No.82317 - 2022/06/07(Tue) 18:14:33
☆ Re: 不等式について / IT
x＞a+4 で､具体的にx=4,5 として、考えてみると良いと思います。　
No.82318 - 2022/06/07(Tue) 18:16:12
☆ Re: 不等式について / しょう
> ４≦ｘ＜６　ではなく
> (４以上の数)＜ｘ＜６　です。
> ｘ＝４　は解になりません。

4以上の数ならどうしてイコールがついてるのでしょうか？
No.82320 - 2022/06/07(Tue) 19:09:13
☆ Re: 不等式について / ヨッシー
４も４以上の数ですから。
No.82325 - 2022/06/07(Tue) 22:20:43
☆ Re: 不等式について / しょう
4も4以上の数なら整数の数は２つになってしまうんじゃないんですか？
No.82333 - 2022/06/08(Wed) 17:09:34
☆ Re: 不等式について / ヨッシー
ｘが４以上ではなく、
○＜ｘ＜６
↑ここに入る数が４以上と言っているのです。
　４＜ｘ＜６
に整数は２つありますか？
No.82334 - 2022/06/08(Wed) 17:16:32
☆ Re: 不等式について / しょう
その説明はわかるのですが問題とうまく結びつかないのです。
No.82336 - 2022/06/08(Wed) 17:47:12
☆ Re: 不等式について / ヨッシー
　ａ＋４＜ｘ＜６
この範囲に、整数が１つだけ含まれるには、ａはどんな範囲の
数であるべきか？　という問題であることはわかりますか？
ただ１つ含まれる整数はｘ＝５であり、そのためには
　ａ＋４　は４以上５未満
つまり
　４≦ａ＋４＜５
４を含んでもいいことは、先刻から説明済みなので４以上。
５を含むと、今度はｘ＝５も含まれなくなるので、未満です。
あとは各辺から４を引いて
　０≦ａ＜１
です。
No.82337 - 2022/06/08(Wed) 17:55:45
★ 不等式について / しょう
1-4の最後に4以下となってるのはなぜなのでしょうか？
No.82313 - 2022/06/07(Tue) 17:19:16
☆ Re: 不等式について / ヨッシー
10/3＜ｘ＜ｍ　を満たす整数ｘが存在しないためのｍの範囲は？
と聞かれているのと同じです。
10/3 は３より少し大きいので、３以下の整数になることはありません。
ｍが大きい、例えば、10/3＜ｘ＜10 とかだと、４，５，６などが含まれます。
ｍをどこまで小さくすれば、整数ｘが存在しないかを調べると、
結局は、４を含むかどうかということになります。
ｍが４より少しでも大きい　4.000001 とかだとｘ＝４ が含まれます。
ｍが4より少しでも小さい、3.999999 だと、ｘ＝４は含まれません。
では、ｍ＝４ だとどうでしょうか？
No.82315 - 2022/06/07(Tue) 18:05:26
☆ Re: 不等式について / しょう
m＝4は含んでしまうんじゃないんですか？？
No.82319 - 2022/06/07(Tue) 18:29:02
☆ Re: 不等式について / ヨッシー
ｍ＝４　ということは
　10/3＜ｘ＜４
ということです。
ｘ＝４ はこの範囲に入りますか？
No.82326 - 2022/06/07(Tue) 22:21:44
★ 大学数学です。 / ゆうじん
この証明が分かりません。
特に不等式評価から与式が有界であることによって微分がe^z0になる点が分かりません。
ご教示ください。
No.82304 - 2022/06/06(Mon) 23:56:40
☆ Re: 大学数学です。 / ast
> 与式が有界であることによって微分が
当該の式(これを与式って言い方するのは個人的には違和感ある)が s,t が十分に小さい時有界という意味は, "t,s→0 (あるいは同じことだが √(s^2+t^2)→0) のとき (分母)→0 かつ limsup が存在する" ということなので, そのためには (分子)→0 は必要条件, つまり |(e^(t+is)-1)-(t+is)| →0 ⇔ |(e^(t+is)-1)/(t+is)|→1 というようなことが「したがって」の一言で済まされていると考えられます.
# 厳密には ε-δ 論法で書くべきところだとは思いますが
# 「分数の形の極限で limit が存在してかつ (分母)→0 なら (分子)→0 が必要」のようなケースは
# 高校数学の範囲でも典型的な問題として既知だと思いますので, 深入りしません.
No.82312 - 2022/06/07(Tue) 16:41:36
★ 画像の(4),(5)を解いて貰えないでしょうか。 / こうしん
画像の(4),(5)を解いて貰えないでしょうか。課題として出たのですが例題も少なく分かりませんでした。都合の着く友達もいないので、教えて欲しいです
No.82303 - 2022/06/06(Mon) 21:43:53
★ (No Subject) / あいかわ
すごくたすかりました！！！！！ありがとうございます！！！！！！！
No.82299 - 2022/06/06(Mon) 21:13:35
☆ Re: / X
もう見ていないかもしれませんがごめんなさい。
最初の回答に不備がありましたので一旦削除し、
改めて回答を元のスレにアップしました。
再度ご覧下さい。
No.82301 - 2022/06/06(Mon) 21:33:29
☆ Re: / あいかわ
> もう見ていないかもしれませんがごめんなさい。
> 最初の回答に不備がありましたので一旦削除し、
> 改めて回答を元のスレにアップしました。
> 再度ご覧下さい。
ありがとうございます！さっきの回答で私は満足していました。丁寧にありがとうございます。ありがたく今から考えさせていただきます！
No.82302 - 2022/06/06(Mon) 21:36:58
★ 行列に関する問題です、助けてください / あいかわ
https://imgur.com/a/381THhP
こちらの問題です。理解力に乏しいので詳しく答えを教えてほしいです
No.82297 - 2022/06/06(Mon) 20:54:08
☆ Re: 行列に関する問題です、助けてください / X
単位行列をEとします。
Aにかけた基本変形行列の全ての積をP
とすると、条件から
PA=E (A)
PE=B (B)
(B)より
P=B (B)'
一方、Pの定義によりPには逆行列が存在し
(A)により
P^(-1)=A
∴AP=E (A)'
(A)(A)'(B)'から
AB=BA=E
∴逆行列の定義により
B=A^(-1)
No.82300 - 2022/06/06(Mon) 21:29:26
★ 整数の性質について教えて下さい。 / YUKI
2つの正の整数の最大公約数と最小公倍数の積の値が

2つの正の整数の積の値と同じになるのはなぜですか？
No.82294 - 2022/06/06(Mon) 00:11:05
☆ Re: 整数の性質について教えて下さい。 / ヨッシー
ＡとＢの最大公約数がＣである時
　Ａ＝Ｃ×Ａ’
　Ｂ＝Ｃ×Ｂ’　Ａ’とＢ’は互いに素
と書けます。次にＡとＢの最小公倍数を作るのに、
Ａに何か整数を掛けて、Ｂの倍数になるようにします。
Ｂを掛けて　Ａ×Ｂ　とすると、Ｂの倍数にはなりますが、
最小とは限りません。
　Ａ＝Ａ’×Ｃ
なので、これにＢ’を掛けて、
　Ａ’×Ｃ×Ｂ’
とすれば、Ｂ＝Ｃ×Ｂ’も含んでおり、Ｂの倍数になります。
Ａ’とＢ’は互いに素なので、Ｂ’より小さい数を掛けると、Ｃ×Ｂ’ を約数に持つことが出来ません。
よって、Ｃ×Ａ’×Ｂ’ が最小公倍数となります。
これに最大公約数Ｃを掛けると、
　Ｃ×Ｃ×Ａ’×Ｂ’＝(Ｃ×Ａ’)×(Ｃ×Ｂ’)＝Ａ×Ｂ
と、２数の積と一致します。
No.82295 - 2022/06/06(Mon) 01:11:03
☆ Re: 整数の性質について教えて下さい。 / YUKI
ありがとうございます！！
No.82296 - 2022/06/06(Mon) 01:50:33
★ 入射角と反射角について / さ
いくら考えても分からないので思い切って質問します。

2枚の平面鏡が角度θで組み合わされており、第1の鏡への入射角をαとする時、第1の反射で光線の方向は180°−2αだけ回転し、2回目の反射で180°−2(θ−α)だけ回転する。

この第1の法則は分かるのですが、第2の場合、なぜこうなるのか分かりません。
θが90°なら分かりやすいのですが、90°ではない場合には、平行線もない為同位角や対頂角も見つけられず、証明する事が出来ません。

この2回目の入射角と反射角がそれぞれθ−αである事の証明をお願い出来ませんか？
No.82287 - 2022/06/05(Sun) 19:43:18
☆ Re: 入射角と反射角について / ast
二度目の反射における入射角(=反射角)を=βとおくと, 鏡二枚と鏡と光線の交点を結んだ線分で出来る三角形のθ以外の角度はそれぞれ 90°-α と 90°-β ですから, θ+(90°-α)+(90°-β)=180° で, 解けば β=θ-α はすぐにわかるのでは.
No.82290 - 2022/06/05(Sun) 19:55:48
☆ Re: 入射角と反射角について / さ
本当ですね！
スッキリしました！
ありがとうございました。
No.82292 - 2022/06/05(Sun) 20:23:07
★ 微分方程式 / ゆゆ
yf＝e^λtとおいて解いたのですが、dy/dxの場合は、yf＝e^λxと置くべきでしょうか？

yf＝e^λtとおいて、xで微分しているため、最終的な答えはxに書き改めればいいと思ったのですが、どうなのでしょうか？
No.82284 - 2022/06/05(Sun) 17:29:24
☆ Re: 微分方程式 / ast
何がしたいのかよく分からないが, 元々の問題は?
書いてあるだけだといい場合もダメな場合もありうるとしか言いようがない. むしろ「解いた」と書かれると「解けたのだったらそれでいいじゃないの」と受け取ってしまいますが.
No.82291 - 2022/06/05(Sun) 19:59:11
★ (No Subject) / りこ
(2)がわからず困っています。どなたか教えていただきたいです!
No.82281 - 2022/06/05(Sun) 15:10:35
☆ Re: / m
まずは，b<1, 1≦b<2, 2≦b で場合分けをして
f^{-1} ([-∞, b]) を求めてみてください．
No.82283 - 2022/06/05(Sun) 17:10:17
☆ (No Subject) / りこ
ありがとうございます。
b<1のとき　f^{-1} ([-∞, b])=Φ
1≦b<2のとき　f^{-1} ([-∞, b])=(0,1/3]
2≦bのとき　f^{-1} ([-∞, b])=(1/3,1]
となりÀの元になるので、満たしているということでいいでしょうか？
No.82285 - 2022/06/05(Sun) 17:47:40
☆ Re: / m
そのとおりです！

[訂正]
今見返すと．
2≦bのときは f^{-1} ([-∞, b])=(0,1]
ですね．
No.82289 - 2022/06/05(Sun) 19:47:13
☆ Re: / m
蛇足：唐突に出てくる f^{-1} ((-∞, b]) のお気持ち

よく，リーマン積分はグラフを縦に切っていて，ルベーグ積分は横に切ると説明されます．
なので本当は a<f(x)≦b となる x の集合．つまり f^{-1} ((a, b]) を調べたい．
ただ，文字が二つあると面倒なのでいろいろ議論すると f^{-1} ((-∞, b]) だけを調べれば十分ということがわかり（正確には測度空間の性質から必要十分），簡単だからそうしているというだけです．

ちなみに可測関数の定義に
f^{-1} ([a, b]) や f^{-1} ((a, ∞]) を採用しても同値です．
No.82293 - 2022/06/05(Sun) 20:24:45
★ 分配法則について / しょう
この分配なのですが、9回ではなく3回で済ませています、どういうことなのでしょうか？
No.82277 - 2022/06/05(Sun) 11:34:35
☆ Re: 分配法則について / ast
その他の6回の中でx^2の項が出てくるものはありますか?
No.82278 - 2022/06/05(Sun) 11:39:46
☆ Re: 分配法則について / IT
結果が　x^2 になる項だけを調べているからでは？


「x^2掛ける2x^2」や「-３掛ける-１」などは、不要です。
No.82279 - 2022/06/05(Sun) 11:42:05
★ ルベーグ積分 / りこ
次の問題が全く検討がつかず困っています。教えていただきたいです!
No.82274 - 2022/06/04(Sat) 17:33:56
☆ Re: ルベーグ積分 / m
(1)について．
f(x) のグラフは描けますか．
「積分確定」の意味は説明できますか．
No.82276 - 2022/06/04(Sat) 21:48:41
☆ Re: ルベーグ積分 / りこ
f(x)のグラフは描けます!
∫f+か∫f-の少なくとも一方が有限なら積分確定になると思います。
No.82280 - 2022/06/05(Sun) 14:41:41
☆ Re: ルベーグ積分 / m
(1)
A の定義関数（特性関数ともいう）を 1_{A} と書きます．

f+ を f の正の部分とすれば
f+ = 2 * 1_{(0, 1]}
と表せる．従って
∫f+ = 2
このことから f は積分確定．


(2)
集合 [0, 1] ∩ Q が可算集合であるという事実を使って
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0
を示すことはできますか．
これを使うと与えられた積分が求まります

// ルベーグ測度 μ の性質「一点集合は測度ゼロ」を使うことに注意．
// 大学の講義なら，ルベーグ積分では可算集合はある意味無視できるといったことを既に扱っているかも．
No.82282 - 2022/06/05(Sun) 16:57:03
☆ ルベーグ積分 / りこ
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0は示すことができたのですが、これを使って積分の値を求めるとはどうすればいいのかわかりません。
いっぱい質問してしまいすみません。
No.82286 - 2022/06/05(Sun) 18:35:11
☆ Re: ルベーグ積分 / m
μ([0, 1] ∩ Q) = 0
から
∫_{[0,1]∩Q} f = 2*μ([0, 1] ∩ Q) = 0
が従います．

さらに積分の加法性により
(∫_{[0,1]-Q} f) + (∫_{[0,1]∩Q} f) = ∫_{[0,1]} f
ですから，∫_{[0,1]} f = 2 を代入して
∫_{[0,1]-Q} f = 2 を得ます．

（ただし，[0,1]-Q は差集合を表しています．）
No.82288 - 2022/06/05(Sun) 19:46:07
★ 角錐の側面について / ふぶ
中1です。
参考書に「底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になる」と書いてありました。
この理由もしくは証明を教えてください。
No.82273 - 2022/06/04(Sat) 17:09:47
☆ Re: 角錐の側面について / IT
＞「底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になる」
正しくありません。

書いてあるそのままですか？　
だとすると、その参考書の記述は、まちがっていると思います。

「角錐のうち底面が、正ｎ角形で、側面がすべて合同な二等辺三角形であるものを「正ｎ角錐」といいます。（ｎは３以上の整数）」
↑このように「教科書」に書いてないですか？　確認してみてください。

底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になるとは、限りません。
No.82275 - 2022/06/04(Sat) 18:52:54
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