ｘ＞０において関数ｆ（ｘ）＝ｘsin(1/x)を考える
（１）f'(2)（＝１）を求め、ｘ＞２のときｆ’（ｘ）＜１を示せ
（２）ｋが自然数のときf'(1/k)=kπ(-1)^(k-1)
（３）ｆ’（ｘ）＝１となるｘを値の大きいものから順にｘ１、ｘ２、ｘ３、・・・とおく。ｎ≧２である自然数ｎに対して1/n<xn<1/(n-1)を示せ
解）
ｋ＝１，２，３、・・・でf(1/k)=0だが、これらの点でf'(1/n),f'(1/(n-1))を考えると、（２）よりｎ≧２のときこれらの値は一方は負で一方は１より大きい。ｆ’（ｘ）は連続でかつｆ’’（ｘ）は単調増加or単調減少（説明は略）より中間地の定理から、この間にf'(x)=1となるｘがあって、それをxｎとすれば1/n<xn<1/(n-1)が示されたとあるのですが
なぜxnとしてよいのでしょうか？x(n-1)かもしれないし、x(n+1)かもしれない、1/nと1/(n-1)の間にはさむものをxnとしてよい理由を教えてください。よろしくお願いします
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No.20239 - 2013/03/02(Sat) 11:58:42
| ☆ Re: / IT | | | > ｘ＞０において関数ｆ（ｘ）＝ｘsin(1/x)を考える
ｆ（ｘ）＝ｘsin(π/x) ではないですか？
> 中間値の定理から、この間にf'(x)=1となるｘがあって、それをxｎ・・・
解）の表現は不十分で
「・・・この間にf'(x)=1となるｘが「ちょうど一つ」存在するので、それをxｎ」と言わなければ、いけないと思います。
「（この間で）ｆ’’（ｘ）は単調増加or単調減少」よりこれが言えます。
そうすると
xnの定義と（１）より2=x1＞x2＞x3＞x4＞…＞xn なので
1/1＞x2＞1/2＞x3＞1/3＞x4＞1/4＞ …＞1/(n-1)＞xn＞1/n と言えます。
※1/1＞x2であること（2＞x2≧1でないこと）も、解）では、証明をしてると思いますがどうでしょうか？。
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No.20240 - 2013/03/02(Sat) 14:06:21 |
| ☆ Re: / 頑固 | | | 失礼しました。ｆ（ｘ）＝ｘsin(π/x) でした。
証明できているのですか？
xnの定義と（１）より2=x1＞x2＞x3＞x4＞…＞xn までは納得できるのですが、1/1＞x2＞1/2＞x3＞1/3＞x4＞1/4＞ …＞1/(n-1)＞xn＞1/nは解）のどの部分で証明されているのでしょうか？（（念のため）グラフより明らかとかいうのはちょっとやめてください）
よろしくおねがいします
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No.20241 - 2013/03/02(Sat) 17:45:00 |
| ☆ Re: / IT | | | まず、1/1＞x2であること（2＞x2≧1でないこと）を（解）では示してないですか？
ｆ’(1)＞１,ｆ’(2)＝0と(1,2)でｆ’が単調減少であることからいえます。
メイン部分ですが
(1/1,1/2),(1/2,1/3),(1/3,1/4) …(1/(n-1),1/n)の各区間にｆ’（ｘ）＝１となるｘがちょうど一つずつある。
ことを中間値の定理とｆ’（ｘ）の単調性から示しているわけですが、
どの部分の証明（説明）が不十分だと頑固さんはおっしゃっておられるのでしょうか？
A「各区間にｆ’（ｘ）＝１となるｘがあるとは限らない」
B「ある区間に２つ以上あることを否定できてない」
のABのいずれを頑固さんは主張しておられるのでしょうか？
ｆ’（ｘ）＝１となるｘが各区間にちょうど１つずつあることを「納得」されれば、ｘnが(1/n,1/(n-1))にあることが分かると思うのですが？
厳密には数学的帰納法によります。そこまでしなくてもいいと思いますがどうでしょうか？
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No.20242 - 2013/03/02(Sat) 18:05:52 |
| ☆ Re: / 頑固 | | | 回答ありがとうございます
まず、1/1＞x2であること（2＞x2≧1でないこと）を（解）では示してないですか？ｆ’(1)＞１,ｆ’(2)＝0と(1,2)でｆ’が単調減少であることからいえます。
→ f'(2)＝１です。ｆ’(1)＝π＞１ですが。（１，２）ありますが（１、０）では？自分の能力不足でどう誤植を訂正したらいいのか分かりません。再度書き直したものをお願いします。
馬鹿な質問なのかもしれませんが
ｆ’（ｘ）＝１となるｘのうち1/n<x<1/(n-1)をみたすｘが存在する事を示せ、なら解）でいいと思うのですが、
この問題の場合、1/2<x1<1,1/3<x2<1/2・・・を示せということで、例えば1/2<x2<1では駄目な訳です。1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかが知りたいのです
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No.20243 - 2013/03/02(Sat) 20:00:35 |
| ☆ Re: / 頑固 | | | No.20244 - 2013/03/02(Sat) 20:01:34 |
| ☆ Re: / IT | | | > → f'(2)＝１です。ｆ’(1)＝π＞１ですが。（１，２）ありますが（１、０）では？
f'(2)＝１が正しいです。書き間違えました。区間は、（１、２）です。
（訂正後）
「f'(2)＝１」かつ「（１、２）でf'(X)は狭義の単調減少」なので、（１、２）でf'(X)＞１、
またｆ’(1)＝π＞１
よってx2＜１
> この問題の場合、1/2<x1<1,1/3<x2<1/2・・・を示せということで、例えば1/2<x2<1では駄目な訳です。1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかが知りたいのです。
1/2<x1<1,1/3<x2<1/2・・・ ではなくて
1/2<x2<1,1/3<x3<1/2・・・ ですよね！
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No.20245 - 2013/03/02(Sat) 20:43:00 |
| ☆ Re: / IT | | | > 1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかが知りたいのです
1/2<x<1/(2-1)をみたすｘがちょうど1つ存在する。
「このｘはｘ2である。」
なぜならば、ｘ１＝２であり、その次に大きいものがｘ２であるが、1≦ｘ2 ではないので。
というのは、わかりますか？。納得できないとするとどの部分ですか？
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No.20246 - 2013/03/02(Sat) 21:22:00 |
| ☆ Re: / 頑固 | | | ｋ＝１，２，３、・・・でf(1/k)=0だが、これらの点でf'(1/n),f'(1/(n-1))を考えると、（２）よりｎ≧２のときこれらの値は一方は負で一方は１より大きい。ｆ’（ｘ）は連続でかつｆ’’（ｘ）は単調増加or単調減少（説明は略）より中間値の定理から、この間にf'(x)=1となるｘがただ1つあるから、具体的なｎ＝２のときである「1/2<x<1/(2-1)をみたすｘがちょうど1つ存在する。」は言えますね。
「このｘはｘ2である。」
、1≦ｘ2 ではないので。
の部分が分かりません。
ｘ１＝２だからｘ２≦２は分かりますが
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No.20247 - 2013/03/03(Sun) 13:23:24 |
| ☆ Re: / IT | | | 20245で説明してますけど、不明な点はどこですか？
（訂正後）再掲
「f'(2)＝１」かつ「（１、２）でf'(X)は狭義の単調減少」なので、（１、２）でf'(X)＞１、
またｆ’(1)＝π＞１
よってx2＜１
※わからなかったら「グラフ」を描いて考えて見てください。『グラフより明らか』なんて言いませんが、「理解を助ける」には、グラフも有効です。調べたことを「視覚化」するのです。
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No.20248 - 2013/03/03(Sun) 13:45:13 |
| ☆ Re: / 頑固 | | | 「f'(2)＝１」かつ「（１、２）でf'(X)は狭義の単調減少」なので、（１、２）でf'(X)＞１、
またｆ’(1)＝π＞１
よってx2＜１
は納得しました。
頭の中を整理すると
（１）の結果よりf'(x)=1となるｘはx≦２にある。
ｘ＝２のときf'(x)=1よりｘ１＝２である。
１＜ｘ＜２のとき
π/2<π/x<π
0<sinπ/x<1よりf''(x)=-π^2/x^3sinπ/x＜０
よってf'(x)は単調減少。
よって、f'(x)が単調減少であることとf'(2)=1より
１＜ｘ＜２の範囲にf'(x)=1となるｘは存在しない。
よってｘ１以外のｆ’(x)=1となるｘはｘ＜１にある。よって1>ｘ２>x3>x4＞・・・
不明な点は
1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかです
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No.20255 - 2013/03/03(Sun) 18:44:04 |
| ☆ Re: / 頑固 | | | 20242の記事で厳密には数学的帰納法を使うとありましたが、余力があればそれによる解答を載せてもらえないでしょうか？そこに鍵があるような気がしてきました。
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No.20256 - 2013/03/03(Sun) 19:04:36 |
| ☆ Re: / IT | | | ○任意の２以上の自然数nについて P(n):「1/n＜xn＜1/(n-1)である」
（証明）数学的帰納法による
（?T）ｎ＝２のとき P(n)は成立（これは証明済み）
（?U）２以上の自然数kについて 「ｎ＝ｋのとき P(n)は成立」を仮定する
仮定より 1/k＜xk＜1/(k-1)…?@である
前記のようにf'(x)=1,1/(k+1)＜x＜1/((k+1)-1)＝1/kなるｘがちょうど１つ存在する。
数列xnの定義より、x=xm、m＞kとなる自然数mが存在する。…?A
m＝k+1を示す（背理法による）
m＞k+1と仮定すると xm＜x[k+1]…?B
?Bと1/(k+1)＜xm より 1/(k+1)＜x[k+1]…?C
?@とxnの定義より x[k+1]＜xk＜1/(k-1)…?D
?Cと?Dより 1/(k+1)＜x[k+1]＜1/(k-1)…?E
(2)より x[k+1]≠1/k…?F
?Eと?Fより 1/(k+1)＜x[k+1]＜1/k…?G または 1/k＜x[k+1]＜1/(k-1)…?H
ところが
?Gとすると 1/(k+1)＜xm＜x[k+1]＜1/k
?Hとすると 1/k＜x[k+1]＜xk＜1/(k-1)
いずれも「f'(x)=1,1/n＜x＜1/(n-1)なるｘがちょうど１つ存在する」ことに反する。
よってm＝k+1である。
すなわち、1/(k+1)＜x[k+1]＜1/((k+1)-1)であり、ｎ＝k+1のときP(n)が成立する。
（?V）(?T)、(?U)により
２以上の自然数nについて P(n):「1/n＜xn＜1/(n-1)である」が示された。
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No.20259 - 2013/03/03(Sun) 20:45:45 |
| ☆ Re: / IT | | | （追伸）
数列x2＞x3＞…＞xnの各項が区間(1/2,1/1),(1/3,1/2),…(1/n,1/(n-1))に順に１つずつあるのですから、数学的帰納法を使わなくても、P(n)は明らかだと思いますが。
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No.20260 - 2013/03/03(Sun) 21:08:11 |
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