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★ 極限／高3 / tmw
rを|r|<1である実数とするとき、等式lim nr^n=0(n→∞)を証明し、
無限数の和Σnr^n-1(n=1から∞)を求めよ。

(1)でh>0のとき、自然数nに対して次の不等式があるので、⑴を(2)でどう生かすかを教えて下さい。
(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2
No.21203 - 2013/04/20(Sat) 11:38:36
☆ Re: 極限／高3 / WIZ
rを|r|<1である実数とするとき、lim[n→∞]{nr^n} = 0は証明できたということですよね?
それで、Σ[n=1,∞]{nr^(n-1)}を求めよという問題と解釈して回答します。

S[m] = Σ[n=1,m]{nr^(n-1)} = 1+2r+3r^2+・・・+mr^(m-1) とおけば、
rS[m] = r+2r^2+3r^3+・・・+mr^m です。
⇒ S[m]-rS[m] = 1+r+r^2+・・・+r^(m-1)-mr^m = (1-r^m)/(1-r)-mr^m
⇒ S[m] = (1-r^m)/(1-r)^2-mr^m/(1-r)

ここで、m→∞のとき、lim[n→∞]{nr^n} = 0よりmr^m/(1-r)→0です。
また、m→∞のとき、r^m→0ですから、

lim[m→∞]S[m] = Σ[n=1,∞]{nr^(n-1)} = 1/(1-r)^2
No.21204 - 2013/04/20(Sat) 12:30:36
☆ Re: 極限／高3 / tmw
数列に帰着させるんですね。ありがとうございます。
ちなみにlim[n→∞]nr^n=0の証明は、1+h=rとかと置いて、
はさみうちですか？
No.21205 - 2013/04/20(Sat) 14:22:30
☆ Re: 極限／高3 / WIZ
> ちなみにlim[n→∞]nr^n=0の証明は、1+h=rとかと置いて、
> はさみうちですか？

1+h = rと置いて、どう挟み撃ちするんでしょう? 興味があるので式を書いてもらえますか?

私なら以下のよう証明します。
r = 0ならnr^n = 0は自明ですから、r ≠ 0の場合を考えます。

r > 0ならば、t = 1/rとおけば、t > 1ですから、t = 1+hと置けばh > 0です。
0 < lim[n→∞]{nr^n} = lim[n→∞]{n/t^n} ≦ lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} = 0
# 但し、最後の式は n ≧ 2 場合のみ考えます。
挟み撃ちによって、lim[n→∞]{nr^n} = 0 といえます。

r < 0ならば、t = 1/rとおけば、t < -1ですから、t = -1-hと置けばh > 0です。
nが偶数の場合、
0 < lim[n→∞]{nr^n} = lim[n→∞]{n/t^n} ≦ lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} = 0
nが奇数の場合、
0 = lim[n→∞]{n/(1+nh+(n(n+1)/2)h^2)} ≦ lim[n→∞]{nr^n} < 0
いずれも挟み撃ちによって、lim[n→∞]{nr^n} = 0 といえます。
# 同様に、1+nh+(n(n+1)/2)h^2は n ≧ 2 場合のみ考えます。
No.21211 - 2013/04/20(Sat) 21:44:01
★ piecewiseな関数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.21197 - 2013/04/19(Fri) 05:26:06
☆ Re: piecewiseな関数 / ヨッシー
それだと、たとえば、歩き始めて１．５時間後の位置は、
出発点から０mile ってことになりますね。
No.21198 - 2013/04/19(Fri) 06:27:00
☆ Re: piecewiseな関数 / トンデモ
そうでした。
下記の訂正致しました。これで大丈夫でしょうか?
No.21215 - 2013/04/21(Sun) 04:02:27
☆ Re: piecewiseな関数 / ヨッシー
間違いではありませんが、0t は書かないのが普通です。
No.21218 - 2013/04/21(Sun) 08:25:48
☆ Re: piecewiseな関数 / トンデモ
有難うございます。
了解いたしました。
No.21236 - 2013/04/23(Tue) 05:23:58
★ 関数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.21196 - 2013/04/19(Fri) 05:15:19
☆ Re: 関数 / ヨッシー
解答自体は誤りはないですが、問題の意図しているところが
よくわかりませんね。
何を言えば interpret したことになるのか？
No.21199 - 2013/04/19(Fri) 06:59:56
☆ Re: 関数 / トンデモ
そうでしたか。
取りあえず有難うございます。
No.21214 - 2013/04/21(Sun) 03:49:58
☆ Re: 関数 / のぼりん
こんにちは。
途中式も含めて説明付きで普通に解答すれば、ｅｖａｌｕａｔｅ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ したことになるのではないかと思います。
No.21224 - 2013/04/21(Sun) 17:25:35
☆ Re: 関数 / トンデモ
そういうことだったのですか。
大変参考になります。
No.21237 - 2013/04/23(Tue) 05:50:52
★ 対数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。

下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.21195 - 2013/04/19(Fri) 05:03:36
☆ Re: 対数 / ヨッシー
(b) は正しいです。

(a) は p+5 がいつの間にか p+2 になっていますが、
　そこを直せば、正解にたどり着くでしょう。
No.21200 - 2013/04/19(Fri) 13:37:13
☆ Re: 対数 / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。
お陰様で漸く解決できました。
No.21213 - 2013/04/21(Sun) 03:48:42
★ 漸化式 / 高２
数列{a(n)}が次の漸化式を満たしているとき一般項を求めよ。

a(1)=1 a(n+1)=a(n)^2+1

教えてください。
No.21189 - 2013/04/18(Thu) 22:25:34
☆ Re: 漸化式 / らすかる
自作問題ですか？
No.21190 - 2013/04/18(Thu) 22:49:38
☆ Re: 漸化式 / 高２
いえ、知人に教えてもらった問題です。
No.21191 - 2013/04/18(Thu) 23:04:59
☆ Re: 漸化式 / らすかる
その知人は数学者ですか？
↓ここにも一般項を表す簡潔な式が出てないぐらいですから、
http://oeis.org/A003095
普通の人が解くのは無理だと思います。
No.21192 - 2013/04/18(Thu) 23:09:33
☆ Re: 漸化式 / 高２
なるほど、そうなんですね。ありがとうございました。
No.21202 - 2013/04/19(Fri) 20:52:49
★ 変化率の求め方 / ひばり
変化率は変化率＝｛(数値の差分(変化分))/(もともとの数値)｝×100(%)という計算式で表されるそうなんですが
どうしてこのような計算式になるのでしょうか？
分かる方教えて下さい。お願いします。
No.21183 - 2013/04/17(Wed) 22:29:17
☆ Re: 変化率の求め方 / らすかる
それは変化率をそのように定義したというだけの話だと思います。
No.21184 - 2013/04/17(Wed) 22:41:36
★ (No Subject) / たつや
こんばんわ！お願いがあるのですが

この問題の(2)(3)の解説を出来るだけ詳しくお願いできませんか？(°_°)
No.21181 - 2013/04/17(Wed) 21:29:28
☆ Re: / IT
時間がないので途中まで

?@を移項して整理すると　x≦a/2
?Aを移項して整理すると　-2-√2≦x
?Bを因数分解すると(3x+2a)(2x-3a)=0よってx=-2a/3,3a/2

となると思います。確認してみてください。
No.21185 - 2013/04/17(Wed) 22:57:17
★ 【売れ残り】のある問題 / √
中学入試の損益計算の問題を見ていて、少し不思議に思うことがあります。

例えば、
【原価】が３万円の品物を、３個仕入れしたとします。
【売価】を５万円にして、　２個売れました。
　　　　　　　　　　　　　１個売れ残りました。

この時、【利益】は、
５万円ｘ２個　−　３万円ｘ３個＝１万円
として計算している問題が多い気がします。

本来の計算（簿記上の計算）では、
売れ残り（在庫）は品物が、そこに有るので【資産】扱いとなり、
５万円ｘ２個　−　３万円ｘ２個＝４万円
となり、
売れ残った【仕入れ】の分は【売上げ】から引かないで、
【利益】は４万円としなくてはイケナイと思うのですが・・・

簿記をやっていたヨッシーさん、どう思われますか？
No.21180 - 2013/04/17(Wed) 16:16:38
☆ Re: 【売れ残り】のある問題 / ヨッシー
簿記上はそういうことになりますね。

売れ残った分がもう売れない(消費期限１日のような代物)
とすると、１万円となりますが、実際のところは、あまり
深く考えていないのでしょう。
実際の問題の出され方を見ていないので、何とも言えませんが。
No.21182 - 2013/04/17(Wed) 22:24:44
☆ Re: 【売れ残り】のある問題 / WIZ
数学的に利益の定義をすることはできないと思います。
原価・売価・資産・利益などは数学的には数値であり、それらの数値の間に
「利益 = 売価-原価」或いは「利益 = 売価-原価+資産」という関係式があるというだけです。
どちらの関係式が正しいかというのも数学的には議論できませんので、
人間がどちらの定義を採用するか決めてしまうしかありません。
# 数学とは人による解釈の違いなどと言う物が無い(極力排除された)世界ですよね?

それで、問題文から「利益 = 売価-原価」または「利益 = 売価-原価+資産」という
２通りの解釈ができるのならば、２通りの回答を書けば良いのだと思います。

---------------------------------
以下は数学とは無縁の話です。
私は簿記は分からないのですが、現実世界の商売をする場合、
利益に絡むのは原価・売価・資産だけではありません。

例えば、その商売をするのに必要な人員の人件費、事務所が必要なら家賃とか光熱費。
仕入れるのに仕入先に連絡する通信費、仕入品を搬入する配送費。
商品を梱包する箱などの費用、商品を宣伝して集客するための費用。
顧客先へ搬入する配送費(売価とは別に顧客に請求するのか、売価に盛り込むか)。
・・・などなど、他にもたくさんあるでしょう。

上記は利益を減少させる諸費用ですが、
商売を経験して無駄が少なく効率良くできるようになれば利益は少し増えます。
また仕入先との関係で、多数購入や定期購入により仕入れ値を割り引いてもらえるかもしれません。
これらの経験は金額に換算するのは難しいけど、大きな資産と言えるかもしれませんね。

つまり損益計算としては「利益 = 売価-原価」あるいは「利益 = 売価-原価+資産」
ですら非常に単純化されたモデルであり、どんぐりの背比べです。
小学校レベルの算数の問題で「利益の計算に資産が考慮されていない」
などと目くじら立てても仕方ないですね。
No.21186 - 2013/04/18(Thu) 07:19:02
☆ Re: 【売れ残り】のある問題 / √
ヨッシーさん　有り難うございます。

中学入試の問題で、売れ残りが出ても、更に、値引きして、
「全て売れたことに」なっている問題の方が圧倒的には多いとは思うのですが、

この間、完全に、「売れ残り」が出た状態の問題を見つけて、
売上高から、売れ残った分の原価も引くのか、引かないのか、迷いました。

その問題は、引いていたのですが、
小学生が解く問題だから、これで　いいんだなと思いました。

でも、
「売上原価」は、仕入れたのに、売れなかった商品の金額は、売上原価と言わない。が定義なので、小学生が大人になって簿記を学んだ時、
あの時の問題は、少し変だなと感じるかも？と思いました。

ただ、これを、つっつくと、入試の合否が変わってしまうこともあると思うので、なるべく、売れ残りの出ない問題にした方が安全かなとも思いました。

有り難うございました。
No.21187 - 2013/04/18(Thu) 08:39:10
☆ Re: 【売れ残り】のある問題 / √
ＷＩＺさん　有り難うございます。

そうですね。
実際には、
「売上高」から、売上原価や、諸費用を引いた営業利益、
そして、
最終的に「純利益」を求めていくのですが・・・

小学生の場合は、
「売上高」−「原価」　ここでストップですね。

有り難うございました。
No.21188 - 2013/04/18(Thu) 09:05:16
★ 斜方投射 / 物理
物理の斜方投射の問題ですが、教えてください。

初速度40m/sで地面となす角が60°となるように玉を打った。
このとき最高点に達するときの時間と高さhを求めよ。また地面に落ちるまでの水平到達距離を求めよ。重力加速度は10m/s^2　とする。
No.21168 - 2013/04/16(Tue) 19:00:47
☆ Re: 斜方投射 / ヨッシー
鉛直方向の速度成分は　20√3m/s
水平方向の速度成分は　20m/s
ｔ秒後の鉛直方向の速度は
　ｖ＝20√3−10t
であり、ｖ＝０ になるのは　ｔ＝2√3(秒)
ｔ＝０〜2√3 までｖを積分すると
　ｈ＝[20√3ｔ−5t^2](0〜2√3)＝120−60＝60(m)
床に落ちるまではやはり2√3秒かかるので、
水平到達距離は　20×4√3＝80√3(m)

速度と時間のグラフを描いて
　20√3×2√3÷2＝60(m)
としてもｈは出ます。
No.21170 - 2013/04/16(Tue) 20:20:45
☆ Re: 斜方投射 / X
初速度の鉛直成分をw[m/s],水平成分をv[m/s]とすると
w=40[m/s]・sin60°=20√3[m/s]
v=40[m/s]・cos60°=20[m/s]
以下、重力加速度をgとします。
前半)
最高点に達する時間をtとすると
h=wt-(1/2)gt^2 (A)
w-gt=0 (B) (∵)最高点での速度の鉛直成分は0[m/s]
(A)(B)をt,hについての連立方程式と見て解きます。
後半)
地面に達する時間をT,水平到達距離をlとすると
wT-(1/2)gT^2=0 (C)
l=vT (D)
(C)(D)をT,lについての連立方程式と見て解きます。

注意)
計算の煩雑さを避ける意味でwの値の√3は近似値にしてありませんが
最終的な値は近似値で計算することを忘れないようにしましょう。

>>ヨッシーさんへ
問題の内容から高校物理での質問と見たので
積分での説明は避けたのですが、最近の学習過程では
高校数学で積極的に積分を使っても問題ないのでしょうか。
No.21172 - 2013/04/16(Tue) 20:24:54
☆ Re: 斜方投射 / 物理
ありがとうございました。

（この問題は高校物理の問題ですが、積分を使った方法は習いませんでした。）
No.21174 - 2013/04/16(Tue) 21:47:38
☆ Re: 斜方投射 / ヨッシー
むむむ。
最近の高校では、速度の積分は距離（そこまで行かなくても、
速度のグラフの面積で距離を求めること）は常識ではないのでしょうか？
No.21176 - 2013/04/16(Tue) 22:16:42
☆ Re: 斜方投射 / X
>>ヨッシーさんへ
いえ、速度のグラフの面積で距離を求めるというのであれば
私も高校物理の授業で学習したのですが、そこに積分を
使うのは飽くまで授業の範囲を超えた自習のレベルになると
考えましたので。
No.21177 - 2013/04/16(Tue) 22:52:04
★ 応用問題 / トンデモ
たびたび恐れ入ります。

下記の問題についてですが合っておりますでしょうか?

特に(c)では4.30年でP_0が2倍になるというのだから
2P_0=P_0(1.175)^{4.30}と書けると思いますがこの式の出番が無いのですが,一体何処で使えばいいのでしょうか?
No.21165 - 2013/04/16(Tue) 10:07:30
☆ Re: 応用問題 / ヨッシー
(a)
それは、時間と量が比例している時の式ですね。
　1, 2, 4, 8, 16,・・・
と増えるので、これは使えません。
(b)
(1+r/100)^2＝1.125 なのに 1+r/100＝1.125 というのはおかしいですね。
(c)
３年という答えは正しいですが、2＝8^t から t=3 は得られません。
(d)
途中までは合っています。
なぜ、２と７で約分するかねぇってとこですね。
No.21169 - 2013/04/16(Tue) 19:52:49
☆ Re: 応用問題 / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。
No.21193 - 2013/04/19(Fri) 04:31:09
☆ Re: 応用問題 / トンデモ
と訂正いたしましたが,これで大丈夫でしょうか?

相変わらず,2P_0=P_0(1.175)^4.30の使い道がわからないのですが
No.21194 - 2013/04/19(Fri) 04:33:17
☆ Re: 応用問題 / ヨッシー
(a) の 1,2,4,8 というのは、１個から始めたら、そのようになるという意味で、
厳密には、
　ｆ＝ａ・2^60
で、ａ・2^t＝(1/4)ｆ＝ａ・2^58　のようになります。
　58分　は正しいです。

(b) は方針は良いですが、3√2 がいつの間にか9√10/100 になっています。

(c)
ｔ年後の人口は　Ｐ＝Ｐ0・1.175^t であり、4.30 年後に
　Ｐ0・1.175^4.30≒2・Ｐ0
になるということですね。このとき、Ｐ0・1.175^t＝８Ｐ0 に
なるのは、何年後かという問題ですから、
　1.175^t＝８＝2^3
に、２＝1.175^4.30 を代入して、
　1.175^t＝(1.175^4.30)^3＝1.175^12.90
より、ｔ＝12.90 です。

(d) は 4.2×(1/2)^(0/13)＝2.1 からして違います。
その後の進め方は良いと思います。
No.21201 - 2013/04/19(Fri) 14:01:15
☆ Re: 応用問題 / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。
(b),(c),(d)はお陰様で漸く解決できました。

(a)についてですが,題意では1匹の単細胞生物が1分毎に倍に分裂していくと述べてあるので,y=2^xとしたのですが,
正式にはy=a・2^xとしてa=1を求めてから議論を展開するのですね。
No.21212 - 2013/04/21(Sun) 03:44:45
★ 格子点の問題 添削お願いします / ktdg
nを自然数とするとき、xy平面において、放物線 y=-(x^2)/2+nxと直線 y=-x/2で囲まれた領域(境界も含む)に含まれる格子点の個数をもとめよ。

y=-(x^2)/2+nxとy=-x/2との交点のx座標は、
-(x^2)/2+nx=-x/2
⇔x(x-1-2n)=0より、x=0, 2n+1
また、y=-(x^2)/2+nxとx軸との交点のx座標は、
y=-(x^2)/2+nx=0
⇔x(x-2n)=0より、x=0, 2n
(?@)x=2mのとき(mはn以下の自然数)
y=-x/2, y=-(x^2)/2+nx上の点はすべて格子点であり、また、1≦m≦nにおいて、-(x^2)/2+nx≧0, -x/2≦0より、x軸上の点も考慮すると、x=2m上にある格子点の個数は、
-{(2m)^2}/2+2mn-(-2m/2)+1=-2m^2+2mn+m+1

(?A)x=2m-1のとき
y=-x/2, y=-(x^2)/2+nx上の点はすべて格子点ではなく、また、1≦m≦nにおいて、-x/2<0, -(x^2)/2+nx>0より、x軸上の点も考慮すると、x=2m-1上にある格子点の個数は、
-{(2m-1)^2}/2+n(2m-1)-1/2-{-(2m-1)/2+1/2}+1
=-2m^2+3m+2mn-n-1
y=-(x^2)/2+nxとy=-x/2の交点も含めると、格子点の総数は、
Σ[m=1〜n] (-2m^2+2mn+m+1) +Σ[m=1〜n] (-2m^2+3m+2mn-n-1) +2
={n(n+1)(2n+1)}/3+n+2

添削お願いします。
No.21164 - 2013/04/16(Tue) 07:40:50
☆ Re: 格子点の問題 添削お願いします / X
問題ないと思います。
No.21166 - 2013/04/16(Tue) 17:49:18
☆ Re: 格子点の問題 添削お願いします / ktdg
ありがとうございます。
No.21171 - 2013/04/16(Tue) 20:22:21
★ 対数 / トンデモ
宜しくお願い致します。

下記の問題なのですがこれで大丈夫でしょうか?
あと,(b)がにっちもさっちもいかないのですがどうすればいいのでしょうか?
No.21163 - 2013/04/15(Mon) 23:31:29
☆ Re: 対数 / ヨッシー
(a) 2p+n ではなくて 2p+q
(b) log なしでと書いてある時点で、底は10 と考えて良いでしょう。
(c) 正しいです。
(d) 正しいです。
No.21178 - 2013/04/16(Tue) 23:02:24
☆ Re: 対数 / トンデモ
どうも有難うございます。

(b)は-5+qとなるのですね。
No.21179 - 2013/04/17(Wed) 07:02:39
★ 代数学 / 青
A={0,1,ω,ω^2｝は乗法に閉じていることを確かめよ。

ただし、ωは1の3乗根ω=(-1+√3i)/2である。

よろしくお願いいたします。
No.21157 - 2013/04/15(Mon) 16:09:58
☆ Re: 代数学 / らすかる
0×0
0×1
0×ω
0×ω^2
1×1
1×ω
1×ω^2
ω×ω
ω×ω^2
ω^2×ω^2
がすべてAに含まれていれば「乗法に閉じている」と言えます。
No.21161 - 2013/04/15(Mon) 16:56:30
★ 図形 / J
この問題を教えてください。
No.21155 - 2013/04/15(Mon) 02:04:13
☆ Re: 図形 / らすかる
17cm×sin25°です。
sin25°をどのように処理するかは場合によります。
No.21156 - 2013/04/15(Mon) 03:33:45
☆ Re: 図形 / J
場合　とはどういうことですか？
No.21158 - 2013/04/15(Mon) 16:31:40
☆ Re: 図形 / らすかる
・電卓等を使って近似値を求める場合
・電卓等は使えないが三角関数表を使って近似値を求める場合
・手計算で近似値を求める場合
・真値のまま解答する場合
などです。
No.21159 - 2013/04/15(Mon) 16:53:58
☆ Re: 図形 / J
手計算で近似値を求める場合はどうすればよいのですか。
No.21160 - 2013/04/15(Mon) 16:54:57
☆ Re: 図形 / らすかる
その場合
・何桁の精度が必要か
・どこまでの知識を使って良いか
などによって方法が変わります。
No.21162 - 2013/04/15(Mon) 16:58:42
☆ Re: 図形 / J
返信遅れてすみません。
もし制限がなかったらsinは何度でも求められるのですか？
No.21167 - 2013/04/16(Tue) 18:47:16
☆ Re: 図形 / らすかる
「制限がない」が「計算にどういう手段を使っても良い」という意味で
「求める」が「近似値をある程度の桁数求める」ということであれば、
何度でも求められます。
関数電卓で度の値を入力してsinを押せば、電卓の精度分は求められますね。
No.21173 - 2013/04/16(Tue) 20:48:33
☆ Re: 図形 / Ｊ
ありがとうございました。
No.21175 - 2013/04/16(Tue) 21:56:50
★ 角度 / 近藤
正方形ABCDがあります。いま、∠PDQ=45°になるように、辺AB上に点Pを，辺BC上に点Qをとります。いま、∠ADP=a°のとき、∠PQDをaで表せ。

答えはa+45らしいのですが，どのように求めればよいのか分かりません。どなたかよろしくお願いします。
No.21151 - 2013/04/14(Sun) 16:55:08
☆ Re: 角度 / らすかる
△APDをPDに関して対称に移動した三角形を△A'PD
△CQDをQDに関して対称に移動した三角形を△C'QD
とします。
∠A'DP+∠C'DQ=∠ADP+∠CDQ=45°であり、
A'D=AD=CD=C'D ですから A'とC'は一致し、
∠DA'P=∠DAP=90°、∠DC'Q=∠DCQ=90°なので
A'=C'はPQ上にあります。
よって∠PQD=∠CQD=a+45°となります。
No.21152 - 2013/04/14(Sun) 17:28:23
☆ Re: 角度 / 近藤
ありがとうございます。よくわかりました。
No.21153 - 2013/04/14(Sun) 17:57:12
★ 平行四辺形 / たいやき
平行四辺形の性質と条件の違いを教えて下さい。
性質
1.2組の対辺が等しい
2.2組の対角が等しい
3.対角線が中点で交わる
条件
1.2組の対辺が平行
2.2組の対辺が等しい
3.2組の対角が等しい
4.対角線が中点で交わる
5.1組の対辺が平行で等しい
と載っています。
今まで平行四辺形の性質と条件は5個あると思っていて、実際問題を解くにはそれで支障ないのですが、教科書にこういう書き方をしてるのでなぜなのか気になります。
よろしくお願いいたします。
No.21150 - 2013/04/14(Sun) 10:57:20
☆ Re: 平行四辺形 / IT
> 平行四辺形の性質
四角形ABCDが平面上の四角形であることを大前提にしたとき

（性質）
四角形ABCDが平行四辺形ならば、四角形ABCDは「平行四辺形の性質」を持ちます。（満たします）

（条件）
四角形ABCDが平行四辺形ならば、四角形ABCDは、任意の「平行四辺形の条件」を満たします。
逆に、四角形ABCDが、ある一つの「平行四辺形の条件」を満たすならば、四角形ABCDは平行四辺形です。

例えば「1組の対辺が等しい」は、「平行四辺形の性質」の一つですが、これだけでは「平行四辺形の条件」とはいえません。
No.21154 - 2013/04/14(Sun) 18:33:31
★ 図形 / function
三角形ＡＢＣは、ＡＣ＝９．５ｃｍで、面積が１５ｃ?u である。ＢＣの真ん中の点をＤとすると、角ＡＤＣ＝１３５°になった。このとき、ＡＢの長さを求めよ。
この問題を教えてください。

またどのくらいの難易度かも教えてください。
No.21146 - 2013/04/12(Fri) 17:03:57
☆ Re: 図形 / らすかる
Aから直線BCに垂線AHを下ろします。
AH=x, BH=yとすると
DH=xなのでCD=BD=x-y
よってCH=y+2(x-y)=2x-y
三平方の定理により AH^2+CH^2=x^2+(2x-y)^2=361/4
∴5x^2-4xy+y^2=361/4 … (1)
面積が15なので x{2(x-y)}/2=15
∴x^2-xy=15 … (2)
(1)−(2)×4を計算すると
x^2+y^2=121/4
∴AB=√(x^2+y^2)=11/2

難易度はわかりません。
No.21148 - 2013/04/12(Fri) 22:14:50
☆ Re: 図形 / function
ありがとうございました。
No.21149 - 2013/04/12(Fri) 23:26:01
★ 立体 / function
この問題を教えてください。

またどのくらいの難易度かも教えてください。
No.21140 - 2013/04/12(Fri) 00:43:10
☆ Re: 立体 / ヨッシー
(1)
ＣＭ＝√3/2 および、ＭＧ：ＧＣ＝１：２ より
ＧＣ＝√3/3
△ＰＧＣにおける三平方の定理より
　ＰＧ＝√6/3
(2)
ＤＥの中点をＮとすると
　ＯＮ＝ＯＧ＝ｒ
また、
　ＱＧ＝ＰＧ÷４＝√6/12
　ＱＮ＝ＭＧ×(3/4)＝ＧＣ×(3/8)＝√3/8
よって、△ＯＮＱにおける三平方の定理より
　ｒ^2＝(√3/8)^2＋(ｒ−√6/12)^2
(3)
これを解いて、ｒ＝17√6/192

難易度　６／３


No.21141 - 2013/04/12(Fri) 04:39:21
☆ Re: 立体 / function
ありがとうございました。
No.21147 - 2013/04/12(Fri) 19:02:49
★ 一次関数 / ねね
aが負の数である1次関数 y=ax+3について、xの変域が -1≦x≦2のとき、yの変域は -1≦y≦5であった。このときaの値を求めてください。
No.21136 - 2013/04/11(Thu) 21:07:27
☆ Re: 一次関数 / WIZ
a < 0ということは、xが-1から2まで増加すると、yは5から-1まで減少するということです。
5 = a*(-1)+3より、a = -2となります。
# 検算して、-1 = -2*2+3です。
No.21138 - 2013/04/11(Thu) 23:13:32
★ 式と証明 / pink
x+y/z=y+z/x=z+x/yのときこの式の値を求めよ。
教えてください。
No.21135 - 2013/04/11(Thu) 18:39:29
☆ Re: 式と証明 / IT
例えばx=y=z≠0のときx+y/z=y+z/x=z+x/y=x+1 ですから「不定」ですね。

もし分子＝x+yなら(x+y)/z　などと書く必要があります。
No.21137 - 2013/04/11(Thu) 22:22:27
☆ Re: 式と証明 / pink
すみません。書き間違えました。
正しくは
(x+y)/z=(y+z)/x=(z+x)/yのときこの式の値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　です。
No.21139 - 2013/04/12(Fri) 00:07:33
☆ Re: 式と証明 / ヨッシー
(x+y)/z=(y+z)/x=(z+x)/y=k とおくと
　x+y=zk
　y+z=xk
　z+x=yk
辺々足して
　2(x+y+z)＝k(x+y+z)
x+y+z=0 のとき
　x+y=-z, y+z=-x, z+x=-y より
　(x+y)/z=(y+z)/x=(z+x)/y＝-1
x+y+ｚ≠0 のとき　k=2 より
　(x+y)/z=(y+z)/x=(z+x)/y＝2　
No.21142 - 2013/04/12(Fri) 06:12:53
☆ Re: 式と証明 / function
ありがとうございました。
No.21145 - 2013/04/12(Fri) 16:52:02
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