(1)
√7は無理数であることを証明せよ。
(2)
正の実数xの小数部分を{x}で表す。
{√7}, {2√7}, {3√7}, …, {n√7}, …
はすべて異なることを証明せよ。
(1)
√7が有理数であると仮定すると、
√7=m/n (m, nは互いに素の自然数)と表せる。
よって、7m^2=n^2
m, nは互いに素だからm^2, n^2も互いに素となり、自然数kを用いて n=7kとおける。
よって
7m^2=n^2=49k^2
⇔m^2=7k^2
よってmは7の倍数となるが、m, nは互いに素だから、そのどちらも7の倍数となることは仮定と矛盾する。
したがって、√7は無理数である。
(2)
ある自然数i, j(i>j)について {i√7}={j√7}が成り立つと仮定する。
i√7の整数部分をm, j√7の整数部分をnとすると、
i√7=m+{i√7}, j√7=n+{j√7}より、
i√7-m=j√7-n
⇔m-n=(i-j)√7
⇔√7=(m-n)/(i-j)
m, n, i, jは整数だから m-n, i-jも整数であり、√7は有理数となるが、(1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。
したがって、{i√7}={j√7}を満たすような自然数i, jは存在しない。
以上より、題意は示された。
添削お願いします。
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No.21340 - 2013/05/05(Sun) 13:57:03
| ☆ Re: 添削お願いします / ヨッシー  | | | (1)
[m, nは互いに素だからm^2, n^2も互いに素となり、]の部分は、
無くても良いと思います。
むしろ、「7は素数なので」が必要かと。
(2) は良いと思います。
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No.21341 - 2013/05/05(Sun) 14:08:47 |
| ☆ Re: 添削お願いします / らすかる | | | 個人的な意見ですが、
> m, n, i, jは整数だから m-n, i-jも整数であり、√7は有理数となるが、
> (1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。
は
m, n, i, jは整数だから右辺の(m-n)/(i-j)は有理数となるが、
(1)から左辺の√7は無理数なので矛盾する。
の方が少しすっきりする気がします。
それ以前に、「(1)より√7は無理数であり、これは仮定と矛盾する。」はちょっと変ですね。
(2)における「仮定」は「{i√7}={j√7}が成り立つ」ですから、
「(1)より√7は無理数である」ことが「{i√7}={j√7}が成り立つ」と矛盾する
という意味になってしまいます。
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No.21342 - 2013/05/05(Sun) 15:29:12 |
| ☆ Re: 添削お願いします / ktdg | | | No.21351 - 2013/05/07(Tue) 10:56:38 |
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