ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 3次方程式(高２) / ken

g(x)=x^3+3x^2+mx+1について、3次方程式g(x)=0の異なる実数解の個数が3個、2個、1個となる条件をそれぞれ求めよ。

答えは　３個となる条件はm＜-15/4
２個となる条件はm=-15/4
１個となる条件はm＞-15/4
です。

解説お願いします。

No.21327 - 2013/05/04(Sat) 11:29:48

☆ Re: 3次方程式(高２) / Masa

y=g(x)のグラフとx軸のグラフの共有点の個数を考えます。

(1)常にg'(x)≦0のとき
y=g(x)のグラフは単調増加になりますから、共有点は1つで、異なる実数解は1つですね。
g'(x)=3x^2+6x+mより、判別式をDとすると
D/4=3^2-3m≦0
よってm≧3のときは異なる実数解は3個。

(2)g'(x)＞0となることがあるとき
これはg(x)が極値を持つとき⇔g'(x)=0が異なる2つの実数解を持つとき⇔判別式をDとしてD＞0⇔m＜3のときです。
このとき、g'(x)=0の異なる2つの実数解をα、β（α＜β）とすると、g(α)が極大値、g(β)が極小値となります。（当然g(α)＞g(β)です）

このとき、y=g(x)のグラフを書くと分かりますが、

（一）g(α)＞g(β)＞0のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＜αの部分の1箇所のみで、異なる実数解は1個です。

（二）0＞g(α)＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＞βの部分の1箇所のみで、異なる実数会は1個です。

（三）0=g(α)＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx=αと、x＞βの部分に1箇所、計2箇所です。

（四）g(α)＞g(β)=0のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx=βと、x＜αの部分に1箇所、計2箇所です。

（五）g(α)＞0＞g(β)のとき
g(x)=0となるx軸との交点はx＜α、α＜x＜β、β＜xに1箇所ずつ、計3箇所です。

よって、g(x)が極大値g(α)と極小値g(β)を持つときは、
異なる実数解の個数が、
3個⇔(五)の場合⇔g(α)g(β)＜0
2個⇔(三)(四)の場合⇔g(α)g(β)=0
1個⇔(一)(二)の場合⇔g(α)g(β)＞0
となります。

ここで、g(α)g(β)を計算しますが、
α、βは3x^2+6x+m=0の解なので、解と係数の関係より
α+β=-2
αβ=m/3
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=4-(2/3)m
α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)=-8+2m
となります。

これより、計算すると、長いので略しますが、
g(α)g(β)
=(1/27)(4m^3-9m^2-54m+135)
=(1/27)(4m+15)(m-3)^2
となります。

これより、m＜3のみで考えると、
異なる実数解が1個⇔g(α)g(β)＞0⇔-15/4＜m＜3
異なる実数解が2個⇔g(α)g(β)=0⇔m=-15/4
異なる実数解が3個⇔g(α)g(β)＜0⇔m＜-15/4
となります。

(1)のm≧3の場合も合わせると、
異なる実数解が
3個⇔m＜-15/4
2個⇔m=-15/4
1個⇔m＞-15/4
となります。

No.21328 - 2013/05/04(Sat) 13:28:10

☆ Re: 3次方程式(高２) / Ken

とてもわかりやすい説明ありがとうございました

No.21331 - 2013/05/04(Sat) 20:29:55

☆ Re: 3次方程式(高２) / Masa

訂正します。

(1)のとき　の最後の行、
(誤)よってm≧3のときは異なる実数解は3個。
(正)よってm≧3のときは異なる実数解は1個。
です。

No.21332 - 2013/05/04(Sat) 21:27:50

☆ Re: 3次方程式(高２) / IT

m≧3のとき、
　g(x)は連続関数で狭義単調増加でxが十分小さいとg(x)＜0,xが十分大きいとg(x)＞0なので
　g(x)=0の異なる実数解は１個

m＜3のとき（極大値、極小値の正負をそれぞれ調べる。）
　g'(x)=3x^2+6x+m=0 の２つの異なる実数解をα,β（α＜β）とする　

　g(x)=x^3+3x^2+mx+1を3x^2+6x+mで割った余りは(1/3)(m-3)(2x-1)なので

　g(α)=(1/3)(m-3)(2α-1)…極大値
　 g'(-1)=m-3＜0 よりα＜0、よってg(α)＞0　…（A）
　
　g(β)=(1/3)(m-3)(2β-1)…極小値
　　m-3＜0なのでg(β)の正負は2β-1の正負と逆になる
　　y=g'(x)=3x^2+6x+m＝3(x+1)^2+m-3のグラフは下に凸の放物線で頂点は(-1,m-3)でｘ軸より下なので
　　g'(1/2)＜0ならば,1/2＜βよって2β-1＞0、このときg(β)＜0…?@
　　g'(1/2)＝0ならば,β＝1/2よって2β-1＝0、このときg(β)＝0…?A
　　g'(1/2)＞0ならば,β＜1/2よって2β-1＜0、このときg(β)＞0…?B

　　g'(1/2)=m+(15/4)なので
　　?@　m＜-15/4 のとき　g(β)＜0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は３個
　　?A　m＝15/4 のとき　 g(β)＝0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は２個
　　?B　15/4＜m のとき g(β)＞0、これと(A)より、g(x)=0の異なる実数解は１個
　　（※　m＜3にも注意）

No.21333 - 2013/05/04(Sat) 21:34:16

☆ Re: 3次方程式(高２) / ken

ITさんもありがとうございます。

No.21335 - 2013/05/05(Sun) 09:48:32

★ (No Subject) / sun

空間内で、O（0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),E(1,0,1),f(1,1,1,),G(0,1,1)を頂点とする１辺の長さの立方体の表面積および内部をKとする。
また０＜t＜３として３点P（t ,0,0),Q(0,t,0)R(0,0,t)を頂点とする三角形の周及び内部をTとする。
KｔTの共通部分をLとして、Lの面積をS（t）とする。
　
０＜t≦１、１＜t≦２、２＜t＜３に分けて、S（t）を求めよ。
　
　解答と解説をお願いします。

No.21320 - 2013/05/03(Fri) 22:32:03

☆ Re: / WIZ

方針だけ説明します。

xy平面(x軸とy軸の両方を含む平面)に着目します。
原点O(0, 0), 点A(1, 0), 点B(1, 1), 点C(0, 1)を頂点とする正方形OABCと、
点P(t, 0), 点Q(0, t)を通る直線y = t-xを考えます。

正方形OABCと直線y = t-xの共通部分となる線分の長さをf(t)とすれば、
S(t)は1辺がf(t)の正三角形の面積となります。

(1)0 < t ≦ 1の場合
y = t-xとy軸の交点(0, t)と、
y = t-xとx軸の交点(t, 0)を端点とする線分の長さがf(t)です。

(2)1 < t ≦ 2の場合
y = t-xと線分CBの交点(t-1, 1)と、
y = t-xと線分ABの交点(1, t-1)を端点とする線分の長さがf(t)です。

(3)2 < t < 3の場合
正方形OABCと直線y = t-xの共通部分はありませんので、f(t) = 0です。

No.21322 - 2013/05/03(Fri) 23:55:10

☆ Re: / sun

すいませんが、解答のほうはだめですか？

No.21323 - 2013/05/04(Sat) 00:18:15

☆ Re: / X

横から失礼します。

まずTを含む平面が
x+y+z=t (A)
であることを押さえておきます。
(i)0＜t≦1のとき
Tは全てKに含まれますので
△PQRが
PQ=QR=RT=t√2
の正三角形であることに注意して
S(t)=(1/2)PQ・QRsin60°=(√3/2)t^2

(ii)2＜t＜3のとき
Tは辺EF,FG,BFと交点を持ち、Lはこれらの交点を結ぶ
三角形の周及び内部になります。
ここでTと辺EF,FG,BFとの交点をP',Q',R'とすると(A)より
P'(1,t-2,1),Q'(t-2,1,1),R'(1,1,t-2)
∴△P'Q'R'は
P'Q'=Q'R'=R'P'=(3-t)√2
の正三角形ですので
S(t)=(1/2)P'Q'・Q'R'sin60°=(√3/2)(3-t)^2

(iii)1＜t≦2のとき
TはKの辺AB,BC,DE,DG,AE,CGと交点を持つことになります。
(ii)と同様に(A)からこれらの交点の座標を求めると
Lの形状は下のような六角形の周及び内部となることが
分かります。
これは
上底：(t-1)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(2-t)√6
の台形と
上底：(2-t)√2、下底：√2、高さ:(1/2)(t-1)√6
の台形の下底同士を貼り合わせた形になっていますので
S(t)=(1/2){(t-1)√2+√2}・(1/2)(2-t)√6+(1/2){(2-t)√2+√2}・(1/2)(t-1)√6
={t(2-t)+(3-t)(t-1)}・(1/2)√3
=(1/2)(-2t^2+6t-3)√3

注)描画ソフトの仕様上、六角形の内部に余分な線が入っていますが無視して下さい。
この図で
○の辺の長さは(2-t)√2
×の辺の長さは(t-1)√2
赤線の長さは√2
となっています。

No.21324 - 2013/05/04(Sat) 01:01:34

☆ Re: / WIZ

私の書き込みではTと線分EF, 線分FG, 線分BFと交点を考慮していませんでした。
まさに２次元的思考しかできてませんでした!
# このオチを付けたかったからの書き込みでは決してありません!
私の書き込みは無視してください。

No.21325 - 2013/05/04(Sat) 09:34:44

☆ Re: / sun

凄く勉強になりました、ありがとうございます

No.21348 - 2013/05/06(Mon) 21:47:29

★ 整式の問題添削お願いします / ktdg

次の条件を満たす整式f(x)を求めよ。
f(x+1)-f(x)=x^2(恒等式), f(0)=0

条件より、f(1)-f(0)=0 だから f(1)=f(0)=0
よって、f(x)はx(x-1)を因数にもち、xの整式h(x)を用いて、f(x)=x(x-1)h(x)とかける。
また、f(x+1)-f(x)=x^2 の両辺をxで3回微分すると、f"'(x+1)-f"'(x)=0より、f(x)の次数は3である。
したがって、実数の定数a,bを用いてh(x)=ax+bとかけ、条件式より、
f(x+1)-f(x)=x^2
⇔3ax^2+ax+2bx=x^2
⇔3a=1かつa+2b=0
⇔a=1/3, b=-1/6
∴ f(x)=(1/6)(2x^3-3x^2+x)

添削お願いします。

No.21319 - 2013/05/03(Fri) 21:25:21

☆ Re: 整式の問題添削お願いします / IT

> また、f(x+1)-f(x)=x^2 の両辺をxで3回微分すると、f"'(x+1)-f"'(x)=0より、f(x)の次数は3である。
これは、もう少し説明が必要だと思います。
「f(x+1)-f(x)=x^2 なのでf(x)の次数は3である。」とするのと比べて明らか度（？）が上がっていないと思います。

微分せず
f(x+1)-f(x)=x^2 から直接示すのはいかがでしょうか？
f(x)がn次式としf(x)=ax^n+bx^(n-1)...、a≠0とする
f(x+1)-f(x)=aC(n,1)x^(n-1)+....=x^2 なのでn=3である。

No.21321 - 2013/05/03(Fri) 22:44:12

☆ Re: 整式の問題添削お願いします / ktdg

ありがとうございます。

No.21334 - 2013/05/05(Sun) 09:23:11

★ 素数 / 13

(χ,χの二乗+２)が互いに素数であるような組は何通りありますか。

この問題が解けません。解説よろしくおねがいします。

No.21311 - 2013/05/02(Thu) 22:23:00

☆ Re: 素数 / かーと

xが3の倍数のとき
→ x^2も3の倍数
→ x^2+2は3で割ったときの余りが2

xが3の倍数でないとき
→ x^2は3で割ったときの余りが1
→ x^2+2は3の倍数

これを使えば相当絞り込めるのではないですかね。

No.21312 - 2013/05/02(Thu) 22:34:34

☆ Re: 素数 / 13

当てはめで、Xは3、19、47が当てはまったのですが、それ以外にもありそうです。一度やってみます。ありがとうございました。

No.21313 - 2013/05/02(Thu) 23:47:39

☆ Re: 素数 / かーと

19^2+2も47^2+2もどちらも3の倍数ですけども・・・。

xを3以外の素数にするとx^2+2は必ず3の倍数なので、
x^2+2が3そのものでない限りはx^2+2は素数になりません。

No.21314 - 2013/05/03(Fri) 00:01:52

★ (No Subject) / ｊｋ

y=x^2/xのグラフを書けという問題があったとします。どう書きますか？
y=x^2/x=xですからｙ＝ｘのグラフを書いて正解になりますか？それともｘ＝０は除外しますか？

ｙ=x^2/x・・?@からｙ＝ｘ・・?Aに変形する際にしたのは約分ですから同値変形ですよね。ということは?Aのグラフを書いても正解になるのではと思うのですが。

No.21305 - 2013/05/02(Thu) 20:29:15

☆ Re: / X

仰るとおり、x=0で問題の関数は定義できませんので
y=x(x≠0)のグラフとなります。

No.21306 - 2013/05/02(Thu) 20:42:12

☆ Re: / ｊｋ

うーん、ｙ＝ｘ（ｘ＝０も含む）を答えにしていけないのはなぜですか？
y=x^2/xからy=xに変形するまでに同値を崩すようなことはしていないはずですよね

No.21307 - 2013/05/02(Thu) 21:02:11

☆ Re: / X

いえ、x=0のときは0で割ることになってしまいますので
(x^2)/x=x
の式変形ができません。

No.21308 - 2013/05/02(Thu) 21:15:13

☆ Re: / らすかる

y=x^2/x はx=0を含まない
y=x はx=0を含む
のように違いがあるのですから、同値ではないですね。
「y=x^2/x」と同値なのは「y=x かつ x≠0」です。

No.21309 - 2013/05/02(Thu) 21:28:33

☆ Re: / ｊｋ

ありがとうございます。ということは「約分」でも同値が崩れる場合があるということですか？
同値を崩すパターンとして式変形では両辺二乗する時ぐらいしか注意していなかったのですが、約分も同様に注意を払う必要があるということでしょうか

No.21315 - 2013/05/03(Fri) 06:15:24

☆ Re: / ヨッシー

約分で同値が崩れるわけではありません。
ｙ＝x^2/x に潜んでいるｘ≠０という条件を見落としているだけです。

No.21316 - 2013/05/03(Fri) 09:03:10

☆ Re: / ｊｋ

もしかして２１３０８の記事の
y=x^2/xを＝ｘと変形できない事と関係していますか？

x^x/x=x*x/xの分母分子をｘで割れば約分できたことになりますよね？で、ｘが分母にあるからｘ≠０ですから分母分子をｘで割って＝ｘとする事はできるはずなのですが・・

No.21318 - 2013/05/03(Fri) 20:08:30

☆ 等号の意味はいろいろ / 黄桃

数学で使う等号にも実はいろんな意味があります。
x^2/x=x　という式自体、解釈がいろいろあります。
「x^2, x を多項式や分数式としてみていて、x^2をx で割ると割り切れてその商はxである」
という意味であるかもしれないし、
「xを未知数とする方程式としてみていて、x^2/x=x となるxが満たすべき方程式」
という意味かもしれません（分母にxがありますから自動的にx≠0が仮定されます）。
そして、さらに
「f(x)=x^2/x, g(x)=x という関数について、f(x), g(x) は関数として等しい」
という見方もできます。

この問題では「グラフ」といっているので関数の話であり、最後の「２つの関数が等しい」という意味で等号が使われていると考えます。関数を考える際は定義域も考える必要があります。定義域の指定がない時は考えうる最も広い範囲を定義域としますので、f(x)の定義域はx=0を除く実数全体、g(x)の定義域は実数全体となります。定義域が異なる２つの関数は関数としては等しくないので等号で結ぶことはできない、となります。もし、関数としての定義域がx>0と指定してあれば両者は関数としても等しいといえます。だから、皆さんの説明のように、x≠0という定義域のもとでは両者は関数として等しくなります。

約分云々が同値、というのは、1番目の「整式（多項式）や分数式として等しい」という見方をしている場合のことです。

＃通常はこれらの見方を混同しても特に問題はないのですが、実は微妙に違うのです。

No.21326 - 2013/05/04(Sat) 09:40:49

☆ Re: / jk

結論ですが、つまり
グラフでは
ｙ＝x^2/x
=x(x≠０）

ってことですよね？

No.21343 - 2013/05/05(Sun) 16:48:00

☆ Re: / jk

違うんですか？

No.21368 - 2013/05/09(Thu) 21:07:38

☆ Re: / ヨッシー

いえ。
合ってますよ。

No.21369 - 2013/05/09(Thu) 21:34:17

★ ★★★周期関数 / たけ

はじめまして、失礼します。
下記の問題なのですが、どなたかご教示していただけないでしょうか
f(x)をf(x)=sinxsin(px) p≠0とし
pを実数とするとき、f(x)が周期関数となるpの必要十分条件を求めよ。

周期関数の条件からf(x)=f(x+k)なる定数kが存在する条件を求めればよいというのがわかり
f(x)=sinxsin(px)
f(x+k)
=sin(x+k)sin(px+pk)
=(sinxcosk+cosxsink)(sin(px)cos(pk)+cos(px)sin(pk))

とここまで来たのですが、後の処理に困っています。
例えばpがどんなkに対してもf(x)が周期関数になるならば、適当にk=0,1,2などを入れて必要条件なるpを求めてから絞っていくという方法ぐらいしかないのでしょうか。

他にやり方などがあるよって方がいらしたら、よろしくお願いします。

No.21303 - 2013/05/02(Thu) 18:41:54

☆ Re: ★★★周期関数 / ペンギン

f(x)=f(x+k)にx=0を代入すると、

sink・sin(pk)=0であることが分かります。
このことからnを自然数とすると、kを以下の2つの可能性に
絞ることができます。
1)k=πn
2)k=πn/p

1)の場合は、f(x)=f(x+k)より、
sin(px)=(-1)^n sin(px+pπn)

pxは任意なので、mを整数としてpπn=πmとなる必要があります。
このときp=m/nとなるのでpは有理数です。

2)の場合
f(x)=f(x+k)より
sinx=(-1)^n・sin(x+πn/p)
1)と同様にして、pは有理数になることが分かります。

逆にpが有理数ならば、p=n/mと書くことができます。
このときk=2mπと選べばf(x)=f(x+k)となることが分かります。
よって、pが有理数になることが必要十分です。

No.21304 - 2013/05/02(Thu) 19:05:55

☆ Re: ★★★周期関数 / WIZ

> ペンギンさん
> pxは任意なので、mを整数としてpπn=πmとなる必要があります。

mを任意の整数として、sin(x) = 0となるのはx = mπですが、
sin(x)の周期はmを0でない整数としてmπではなく、2mπです。
なので、推論内に周期を2mπとすべきところ、mπとする混乱が見られます。

1)はpnπ = 2mπ から、p = 2m/nです。
2)も(n/p)π = 2mπ から、p = n/(2m)です。
いずれもnは任意の0でない偶数値を取れますから、
やはり、pが任意の0でない有理数値を取るという結論は変わりません。

No.21310 - 2013/05/02(Thu) 21:57:48

★ (No Subject) / トラ

変数θが0≦θ＜πの範囲を動くとき、不等式
　　｜a(cosθ)^2+bsinθ+1｜≦２
が常に成り立つために、定数a,bの満たすべき必要十分条件を求め、それをab平面に図示せよ。

答えと解き方、できれば図面教えてください。

No.21297 - 2013/04/30(Tue) 23:36:40

☆ Re: / X

以下のURLで
2013/4/29(月) 21:18
に同じ質問をされませんでしたか？
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=4
こちらには回答も付いていますよ。

No.21300 - 2013/05/01(Wed) 10:22:34

☆ Re: / ヨッシー

x=sinθ とおき、
　-2≦-ax^2＋bx＋a＋1≦2
が、0≦x≦1 の範囲で常に成り立つことを考えます。

f(x)＝-ax^2＋bx＋a＋1＝-a(x-b/2a)^2＋b^2/4a＋a＋1 と置きます。

ａ＝０のとき
　-2≦bx+1≦2

図より、-3≦b≦1　・・・(1)

ａ＞０のとき（上に凸）
　b/2a＜０　のとき　f(0)＝a+1≦2　かつ　f(1)＝b+1≧-2　　・・・(2)
　0≦b/2a＜1/2　のとき　b^2/4a＋a＋1≦2　かつ　f(1)＝b+1≧-2 ・・・(3)
　1/2≦b/2a＜1　のとき　b^2/4a＋a＋1≦2　かつ　f(0)＝a+1≧-2　　・・・(4)
　1≦b/2a　　のとき　f(0)＝a+1≧-2　かつ　f(1)＝b+1≦2　　・・・(5)

ａ＜０のとき（下に凸）
　b/2a＜０　のとき　f(0)＝a+1≧-2　かつ　f(1)＝b+1≦2　　・・・(6)
　0≦b/2a＜1/2　のとき　b^2/4a＋a＋1≧-2　かつ　f(1)＝b+1≦2 ・・・(7)
　1/2≦b/2a＜1　のとき　b^2/4a＋a＋1≧-2　かつ　f(0)＝a+1≦2　　・・・(8)
　1≦b/2a　　のとき　f(0)＝a+1≦2　かつ　f(1)＝b+1≧-2　　・・・(9)

以上をまとめると、
　(1)　ａ＝０　かつ　-3≦b≦1
　(2)　０＜ａ≦１　かつ　-3≦ｂ＜０
　(3)　0≦ｂ＜ａ　かつ　4(a-1/2)^2＋b^2≦1
　(4)　０＜ａ≦ｂ＜2a　かつ　4(a-1/2)^2＋b^2≦1
　(5)　０＜2a≦b≦1
　(6)　-3≦ａ＜０　かつ　０＜b≦１
　(7)　a＜b≦0　かつ　(2a+3)^2+b^2≦9
　(8)　2a＜b≦a＜０　かつ　(2a+3)^2+b^2≦9
　(9)　-3≦b≦2a＜０

これを図示すると、以下の通りになります。

No.21301 - 2013/05/01(Wed) 17:19:47

☆ Re: / トラ

丁寧な説明ありがとうございます。

No.21302 - 2013/05/01(Wed) 20:09:38

★ (No Subject) / トラ

1辺の長さaが正三角形ＡＢＣを、その平面上で外接円の中心Ｏのまわりに正の方向にθ（0<θ<2π/3）だけ回転させたものをＡ´Ｂ´Ｃ´とする。
辺ＡＢと辺Ａ´Ｂ´と交点をＰ、辺ＡＢと辺Ａ´Ｃ´との交点をＱとするとき、
（１）　ＰＱの長さを求めよ

（２）　正三角形ＡＢＣと正三角形Ａ´Ｂ´Ｃ´の共有部分の面積Ｓをθで表し、その最小値を求めよ

よろしくお願いします

No.21286 - 2013/04/29(Mon) 21:39:18

☆ Re: / X

(1)
条件から
∠AOQ=(1/2)∠AOA'=θ/2 (A)
∠OAQ=(1/2)∠BAC=π/6
∴∠PQO=∠AOQ+∠OAQ=θ/2+π/6 (B)
一方
∠BOP=(1/2)∠A'OB=π/3-θ/2 (C)
∠OBP=π/6
∴△OPBにおいて
∠OPB=π-(π/3-θ/2)-π/6=π/2-θ/2
よって正弦定理により
(a/√3)/sin(π/2-θ/2)=OP/sin(π/6) 注)OBは△ABCの外接円の半径ゆえ、正弦定理によりa/√3
∴OP=a/{2√3cos(θ/2)} (D)
(A)(C)より
∠POQ=∠AOB-∠BOP-∠AOQ=π/3 (E)
(B)(D)(E)より△OPQにおいて正弦定理により
PQ/sin(π/3)={a/{2√3cos(θ/2)}}/sin(θ/2+π/6)
∴PQ=a/{4sin(θ/2+π/6)cos(θ/2)}
=a/{2sin(θ+π/6)+2sin(π/6)} (∵)積和の公式
=a/{2sin(θ+π/6)+1}

(2)
前半)
回転による対称性から問題の共通部分は
△OPQと合同な三角形を６個組み合わせてできる六角形
となっています。
(この六角形は６辺の長さは等しくなっていますが
正六角形とはなっていないことに注意)
よって
S=6・(1/2)OP・OQsin(π/3)
={(3/2)√3}OP・OQ (F)
ここで△OAQにおいて
∠AQO=π-∠OAQ-∠AOQ=5π/6-θ/2
∴正弦定理により
(a/√3)/sin(5π/6-θ/2)=OQ/sin(π/6)
∴OQ=a/{2√3sin(5π/6-θ/2)} (G)
(D)(F)(G)により
S={(1/8)√3}(a^2)/{sin(5π/6-θ/2)cos(θ/2)}
={(1/4)√3}(a^2)/{sin(5π/6)+sin(5π/6-θ)} (∵)積和の公式
={(1/2)√3}(a^2)/{1+2sin(5π/6-θ)} (H)
後半)
0＜θ＜2π/3
より
π/6＜5π/6-θ＜5π/6
∴(H)において
1+2sin(5π/6-θ)
は5π/6-θ=π/2のとき最大値3を取りますので
Sの最小値は
{(1/6)√3}a^2
(このときθ=π/3)

No.21289 - 2013/04/30(Tue) 00:12:45

☆ Re: / トラ

丁寧なせつめいありがとうございます

No.21298 - 2013/05/01(Wed) 00:23:04

★ 整数問題 / ktdg

nは2以上の自然数とする。
(1)
n個の自然数 x(1), x(2), …, x(n)のどれもnで割り切れないとき、
x(j)-x(i) (1≦i<j≦n)
がnの倍数となる2つの自然数 i, jが存在することを示せ。
(2)
n個の自然数 a(1), a(2),…, a(n) からなる集合をSとする。Sの空でない部分集合で、その要素の和がnで割り切れるものが存在することを示せ。

(1)
nで割り切れない自然数は、自然数k,mを用いて
kn+m (0≦k, 1≦m≦n-1)と表せる。
x(1)=k(1)n+m(1), x(2)=k(2)n+m(2),…, x(n)=k(n)n+m(n)
とすると、
x(j)-x(i)=k(j)n+m(j)-k(i)n-m(i)=n{k(j)-k(i)}+m(j)-m(i)
ここで、1≦m≦n-1より、1≦i<j≦nを満たすi, jについて、m(j)=m(i)となる自然数i, jは少なくとも1組存在する。
よって、x(j)-x(i)=n{k(j)-k(i)}となる自然数i, jは少なくとも1組存在し、k(j)-k(i)は整数だから、そのi, jについてx(j)-x(i)はnの倍数である。
(証明終)

(2)
Sの空でない部分集合をPとする。
(?@)
n個の自然数 a(1), a(2),…, a(n)の中に、少なくとも1つnの倍数が含まれているとき、明らかに、その要素の和がnで割り切れるPが存在する。
(?A)
n個の自然数 a(1), a(2),…, a(n) がすべてnの倍数でないとき、(1)と同様にして、
a(1)=k(1)n+m(1), a(2)=k(2)n+m(2),…, a(n)=k(n)n+m(n)
とおく。

(2)について、このあと、
1≦m≦n-1を満たすmについてn個のmがあるとき、そのn個のうちで和がnの倍数となるmの組み合わせが存在する
ことを示せばよいと思うのですが、やり方が思い浮かびません。
(1)を利用するんでしょうか？
できれば(1)の添削もお願いします。

No.21282 - 2013/04/29(Mon) 03:09:24

☆ Re: 整数問題 / IT

(2)は、
k=1,2,3,...,nについてx(k)=Σ[i=1..k]a(i)と考えれば、(1)が使えるのでは？

No.21283 - 2013/04/29(Mon) 04:55:56

☆ Re: 整数問題 / ktdg

ありがとうございます。

No.21290 - 2013/04/30(Tue) 09:16:17

★ (No Subject) / sun

１辺の長さ２の正方形ＡＢＣＤを底面とする正４角錐ＯＡＢＣがある。
側面の２等辺三角形においてはＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝a
(a>√２）　
辺ＯＢ上に点Ｐをとり、ＯＰ＝x　∠APC＝θとおく
　
(１)　cosθをaとxを用いて表せ

（２）点Pが辺OB上を動くとき、cosθの最大値、最小値を求めよ

答えと解きかを教えてください。

No.21280 - 2013/04/28(Sun) 22:38:40

☆ Re: / X

(1)
△OAPにおいて余弦定理により
AP^2=a^2+x^2-2axcos∠AOB (A)
又△OABにおいて余弦定理により
2^2=a^2+a^2-(2a^2)cos∠AOB (B)
(B)より
cos∠AOB=1-2/a^2
(A)に代入して
AP^2=a^2+x^2-2ax+4x/a (C)
又、条件より△OAP≡△OCPゆえ
CP=AP (D)
(C)(D)より△APCにおいて余弦定理により
cosθ=(AP^2+CP^2-AC^2)/(2AP・CP)
=2-(AC^2)/(2AP^2)
=2-8/{2(a^2+x^2-2ax+4x/a)} (∵)△ABCに三平方の定理を使う
=2-4/(a^2+x^2-2ax+4x/a)

(2)
f(x)=a^2+x^2-2ax+4x/a
とおいて
0≦x≦a (E)
におけるf(x)の最大値、最小値を求めることを考えましょう。
((E)におけるy=f(x)のグラフを描きます。)

No.21281 - 2013/04/29(Mon) 01:07:38

☆ Re: / sun

ありがとございます

No.21284 - 2013/04/29(Mon) 05:48:21

★ ヘッシアン / 高専

f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2の極値を求めよ
fx=0 かつ fy=0 より
極値をとる点の候補を得る。（√２,-√２）,(-√２,√２),(0,0)

ここでヘッシアンを用いる
H(x,y)=fxx*fyy-(fxy)^2
点(0,0)について H(0,0)=0
ここからどうすればいいでしょうか。

あとの２点は計算した所極値をもちました。
よろしくお願いします

No.21273 - 2013/04/28(Sun) 17:16:44

☆ Re: ヘッシアン / IT

多変数関数に詳しくないので参考までに

y=xのとき
　f(x,y)=x^4+x^4-2x^2+4xx-2x^2=2x^4 なので
　点(0,0)の近傍では点(0,0)が頂点で下に凸（点(0,0)で極小）

y=-xのとき
　f(x,y)=x^4+x^4-2x^2-4xx-2x^2=2x^4-8x^2　なので
　点(0,0)の近傍では点(0,0)が頂点で上に凸（点(0,0)で極大）

したがって、点(0,0)は鞍点になり、点(0,0)では極値を持たない。

No.21275 - 2013/04/28(Sun) 18:51:45

☆ Re: ヘッシアン / 高専

なぜ
y=xのとき
y=-xのとき
で考えたのですか？

No.21276 - 2013/04/28(Sun) 18:58:44

☆ Re: ヘッシアン / IT

「カンです」と言いたい所ですが、グラフソフトgrapesと計算サイトで調べて目星を付けました。
http://www.wolframalpha.com/

No.21277 - 2013/04/28(Sun) 19:02:05

☆ Re: ヘッシアン / 高専

それらのものを使えなかったらどうやって決定すればいいのでしょうか？

No.21278 - 2013/04/28(Sun) 19:13:32

☆ Re: ヘッシアン / IT

x=0,y=0,x=y,x=-yなど計算しやすいところを
いろいろ試してみるしかないかも知れませんね。

下記の１８～２０ページなども参考になると思います。
http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2009/kami09-06a.pdf

No.21279 - 2013/04/28(Sun) 19:16:26

☆ Re: ヘッシアン / 高専

詳しくありがとうございます

No.21285 - 2013/04/29(Mon) 19:11:53

★ 数列の問題添削お願いします / ktdg

数列{a(n)}が
a(1)=2, a(n)<2n^2+(1/n)Σ[j=1～n-1] a(j) (n=2, 3, 4…)
を満たすとする。このとき、全ての正の整数nに対してa(n)<3n^2が成り立つことを証明せよ。

a(n)<3n^2ー?@を帰納法により示す。
(?@)n=2のとき
条件より、
a2<2×4+(1/2)×a(1)=9<12
よって?@は成り立つ。
(?A)n=3, 4…kのとき
3≦m≦kを満たす全ての整数mについて、a(m)<3m^2が成り立つと仮定する。
n=k+1のとき
条件より、
a(k+1)<2(k+1)^2+{1/(k+1)}Σ[j=1～k] a(j) だから、
2(k+1)^2+{1/(k+1)}Σ[j=1～k] a(j)<3(k+1)^2
すなわち、
(k+1)^3>Σ[j=1～k] a(j)
を示せばよい。
仮定より、
Σ[m=3～k] a(m)<Σ[m=3～k] 3m^2
⇔Σ[j=1～k] a(j)<Σ[m=3～k] (3m^2)+a(1)+a(2)=(1/2)k(k+1)(2k+1)-4
ここで、
(k+1)^3-{(1/2)k(k+1)(2k+1)-4}=(k^2)/2+5k/2+5>0
∴ (k+1)^3>Σ[j=1～k] a(j)
したがって、n=k+1のとき?@は成り立つ。
また、a(1)=2<3より、n=1のときも?@は成り立つ。
以上より、すべての正の整数nについて?@は成り立つ。

添削お願いします。

No.21258 - 2013/04/26(Fri) 21:49:16

☆ Re: 数列の問題添削お願いします / X

>>(?A)n=3, 4…kのとき
>>3≦m≦kを満たす全ての整数mについて、a(m)<3m^2が成り立つと仮定する。
という書き方ではn=3のときの(1)の成立の証明が必要になり
解答が煩雑になります。
それよりも単に
(ii)n≦kのとき、(1)の成立を仮定する
と修正し、その後の過程の結論として
よってn≦k+1のときも(1)は成立する
と締める書き方がいいと思います。

No.21259 - 2013/04/26(Fri) 22:32:30

☆ Re: 数列の問題添削お願いします / ktdg

ありがとうございます。

No.21264 - 2013/04/27(Sat) 14:43:46

★ 三角関数 / 高２

θの方程式2cos^2 θ＋2ksinθ＋k-5=0を満たすθがあるような定数kの値の範囲を求めよ。

この問題を定数分離の解き方で教えてください。

No.21253 - 2013/04/26(Fri) 00:56:39

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

x=sinθとおくと
　-x^2＋2kx＋k－3＝0
と置けます。これを、
　x^2+3＝k(2x+1)
と変形して、
　ｙ＝x^2+3
　ｙ＝k(2x+1)
を連立させたものと考えます。
放物線　y=x^2+3 に、点(-1/2, 0) を通る直線 y=k(2x+1) が
-1≦x≦1 の範囲で交わるようなｋの値をグラフから読み取ります。

No.21255 - 2013/04/26(Fri) 01:30:11

☆ Re: 三角関数 / 高２

答えは、k≦-5, k≧-1+√7なのですが、どうやったら出てくるのでしょうか？

No.21260 - 2013/04/27(Sat) 00:52:32

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

あ、最初の変形が違ってましたね。

x=sinθとおくと
　-2x^2＋2kx＋k－3＝0
と置けます。これを、
　2x^2+3＝k(2x+1)
と変形して、
　ｙ＝2x^2+3
　ｙ＝k(2x+1)
を連立させたものと考えます。
放物線　y=2x^2+3 に、点(-1/2, 0) を通る直線 y=k(2x+1) が
-1≦x≦1 の範囲で交わるようなｋの値をグラフから読み取ります。

図の直線ｍより傾きが小さい場合、または直線ｎより傾きが大きい場合
-1≦ｘ≦1 の範囲で交点を持ちます。

図の直線ｍは、(-1/2, 0) と (-1,5) を結ぶ線で傾きは-10 で、
傾きがこれ以下であると、-1≦x＜0 の範囲に交点を持ちます。
y=2kx+k の2k が傾きに当たるので、2k≦-10 より k≦-5。

直線ｎの方は、(-1/2, 0) と (1,5) を結ぶ線ではなく、
それよりもっと傾きが小さい位置で、直線と放物線が接するところがあり、
それが直線ｎです。
-2x^2＋2kx＋k－3＝0 において、判別式をとると、
　D/4＝k^2＋2(k-3)＝k^2＋2k－6＝０
これを解いて、ｋ＝-1±√7
直線ｎの傾きに当たるのはｋ＝－１＋√７の方。

以上より、k≦-5, k≧-1+√7 が得られます。

No.21263 - 2013/04/27(Sat) 11:05:07

★ 恒等式 / ktdg

任意の実数xに対して
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
が成り立つように定数α, βを定めよ。

この問題について、(1)の解き方はあっていますか?
また、(1)と(2)の解き方の違いはなんですか？

(1)
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
⇔sin(x){cos(α)+cos(β)}+cos(x){sin(α)+sin(β)}=√3sin(x)
これが任意の実数xにたいして成り立つための必要条件は
cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0
(中略)
α=π/6, β=11π/6となる。
逆にこのとき、sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)だから、任意の実数についてsin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)は成り立つ。

(2)
sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)
が任意の実数について成り立つならば、x=0, π/2のときも成り立ち、
sinα+sinβ=0 かつ cos(α)+cos(β)=√3
(中略)
α=π/6, β=11π/6となる。
逆にこのとき、sin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)だから、任意の実数についてsin(x+α)+sin(x+β)=√3sin(x)は成り立つ。

No.21243 - 2013/04/24(Wed) 13:35:59

☆ Re: 恒等式 / らすかる

> ⇔sin(x){cos(α)+cos(β)}+cos(x){sin(α)+sin(β)}=√3sin(x)
> これが任意の実数xにたいして成り立つための必要条件は
> cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0

これは明らかではなく飛ばしすぎで、
きちんと必要条件であることを示す必要があると思います。
また「cos(α)+cos(β)=√3 かつ sin(α)+sin(β)=0」は明らかに十分条件ですから、
必要条件であることを示せば必要十分条件となり、
（中略の中が全部同値変形ならば）最後の「逆にこのとき、…」が不要になります。

No.21247 - 2013/04/24(Wed) 16:03:49

☆ Re: 恒等式 / ktdg

回答ありがとうございます。

きちんと必要条件であることを示す、とは具体的にどうすれば良いのでしょうか？

No.21254 - 2013/04/26(Fri) 01:18:39

☆ Re: 恒等式 / らすかる

一例ですが
sinx(cosα+cosβ)+cosx(sinα+sinβ)
=√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}sin(x+γ)
ただし、γは
cosγ=(cosα+cosβ)/√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}
sinγ=(sinα+sinβ)/√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}
を満たす数

なので、
sinx(cosα+cosβ)+cosx(sinα+sinβ)
=√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}sin(x+γ)=(√3)sinx
が任意の実数xに対して成り立つためには
√{(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2}=√3, γ=2nπ
これより
sinα+sinβ=0, cosα+cosβ=√3
でなければならない。

ぐらい示せば問題ないと思います。
そう考えると(2)の解き方の方が圧倒的に簡単ですね。

No.21256 - 2013/04/26(Fri) 02:31:20

☆ Re: 恒等式 / ktdg

ありがとうございます。

No.21257 - 2013/04/26(Fri) 17:17:11