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★ (No Subject) / ｇｇ１
添削をお願いします
次で定義された関数f(x)がｘ＝１で微分可能であることを示せ。
f(x)=2-x^2(x≦1）=g(x)
、(x-2)^2(x>1)=h(x)
解）

g(1)=lim(x→1+0)h(x)=1より
ｆ（ｘ）はｘ＝１で連続

x<1でf'(x)=-2x
ｘ＞１でf'(x)=2(x-2)より
lim(x→1-0)ｇ'(x)=-2
lim(x→1+0)ｈ'(x)=-2
より両者は一致するから題意は示された
No.20226 - 2013/02/28(Thu) 19:00:29
☆ Re: / IT
関数f(x) がx=a の付近で連続で、x=a を除いては微分可能であり、lim[x→a]f'(x)=Aという有限な極限が存在するとき、f(x) はx=a でも微分可能でf'(a)=A となる。

という定理を既知のものとして使うのなら概ね良いでしょうが、そのこと（定理を使ったこと）の説明が必要だと思います。（もちろんこの定理も、自明ではありませんので、既知でないなら証明の必要があります。）

「両者は一致するから題意は示された」では説明不足だと思います。
No.20230 - 2013/03/01(Fri) 07:37:40
☆ Re: / IT
上記の定理が既知でないなら
　x=1におけるf(x)の左微分係数と右微分係数が存在して互いに等しいことを直接証明するのが早いと思います。
No.20235 - 2013/03/02(Sat) 08:12:52
☆ Re: / ｇｇ１
x<1でｇ'(x)=-2x
ｘ＞１でｈ'(x)=2(x-2)より
lim(x→1-0)ｇ'(x)=-2
lim(x→1+0)ｈ'(x)=-2
が
x=1におけるf(x)の左微分係数と右微分係数が存在して互いに等しいことを表していると思うのですが
No.20236 - 2013/03/02(Sat) 09:47:14
☆ Re: / IT
lim(x→1-0)ｇ'(x)=-2 は x=1におけるf(x)の左微分係数が存在することを直接には表していないと思います。

f(x)の左微分係数=lim(x→1-0)(ｇ(x)-ｇ(1))/(x-1)
lim( x→1-0)ｇ'(x) =lim(x→1-0){lim(t→x){(ｇ(t)-ｇ(x))/(t-x)}
この２つは「明らかに等しいものである」とはいえないと思います。
No.20237 - 2013/03/02(Sat) 10:26:07
☆ Re: / IT
例えば
f(x)=0 (x≦1)=g(x)、f(x)=1 (x＞1)=h(x) とすると

lim(x→1-0)ｇ'(x)=0
lim(x→1+0)ｈ'(x)=0
ですがx=1におけるf(x)の右微分係数は存在しません。

※f(x)はx=1で連続か不連続という違いがありますが、ｇｇ１さんの元の証明でもf(x)はx=1で連続であることを述べてはおられますが使ってはおられません。
No.20238 - 2013/03/02(Sat) 10:48:20
★ 応え方が / トンデモ
たびたびすいません。

下記の問題で答え方はこのような答えであってますでしょうか?
No.20223 - 2013/02/28(Thu) 11:44:51
☆ Re: 応え方が / らすかる
(a)は正しくありません。
(b)の範囲とかぶってしまっています。
No.20225 - 2013/02/28(Thu) 12:30:21
☆ Re: 応え方が / トンデモ
そうでした。

(a)はfrom 100 miles to 200 miles.
でしたね。
No.20232 - 2013/03/01(Fri) 12:15:25
★ 多項式など / トンデモ
いつも大変お世話になっております。

下記の問題なのですが,これで正解でしょうか?
No.20222 - 2013/02/28(Thu) 11:43:03
☆ Re: 多項式など / らすかる
(2)(a)
B≠-27Aのときはそういう解になりますが、
B=-27Aの場合の検討も必要かと思います。
(b)は問題ないと思います。

(3)(a)
最初の式変形が正しくありませんので
それ以降の計算が誤りです。
(b)
2乗すると同値性が崩れますので、
出てきた解が元の式を満たしているかどうかの検討が必要です。
No.20224 - 2013/02/28(Thu) 12:24:23
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご指摘有難うございます。

訂正いたしました。これで大丈夫でしょうか?
No.20231 - 2013/03/01(Fri) 12:09:14
☆ Re: 多項式など / らすかる
(2)(a)
B=-27A のとき 9C+19A=0 とされているようですがこれは正しくありません。
B=-27A の場合はさらに 9C+19A=0 と 9C+19A≠0 に場合分けが必要で、
9C+19A≠0 のときは「解なし」となります。
それと
9C+19A=0 のときの計算で
-(19/9)A-A(3x-2)≠0 の次の 3Ax-2A≠(19/9)A とそれ以降は誤りです。
3Ax-2A≠(19/9)A でなく
-3Ax+2A≠(19/9)A もしくは
3Ax-2A≠-(19/9)A ですね。

(3)は問題ないと思います。
No.20234 - 2013/03/01(Fri) 12:47:02
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。
ちょっと混乱しております。
再訂正しましたが,(i)の丸2の9C+19A≠0の時にどうしても矛盾を発生させれません。
どうすれば解なしと分かるのでしょうか?
No.20270 - 2013/03/04(Mon) 09:21:48
☆ Re: 多項式など / らすかる
B+27A≠0 の場合は If B+27A≠0 then … の行で終わっていますので
9C+19A=0 か 9C+19A≠0 の場合分けは B+27A=0 の場合に必要なものです。
従って If 9C+19A=0 then … の行は不要で、

(B+27A)x=9C+19A の式において
B+27A≠0 のとき 両辺を B+27A で割って x=(9C+19A)/(B+27A) が解
B+27A=0 かつ 9C+19A=0 のとき (B+27A)x=9C+19A は恒等式なので
元の式の分母が0にならないすべてのxについて成り立つ
B+27A=0 かつ 9C+19A≠0 のとき
(B+27A)x=9C+19A の左辺は0、右辺は非0で式が成り立たないので解なし
のようになります。
No.20271 - 2013/03/04(Mon) 09:41:48
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。

> B+27A≠0 の場合は If B+27A≠0 then … の行で終わっていますので

その後はめでたくx=(9C+19A)/(B+27A)と求まってますね。

> 9C+19A=0 か 9C+19A≠0 の場合分けは B+27A=0 の場合に必要なものです。
> 従って If 9C+19A=0 then … の行は不要で、

(i)の直前でB+27A≠0かB+27A=9C+19A=0の二つの場合以外しか有り得なせんよね?

従って,B+27A=0の時は自動的に9C+19A=0でなければならないので
(ii)のように,(B+27A)x=9C+19Aは恒等式となり,xは全ての実数。
でお仕舞いですよね?

どうしてB+27A=0且つ9C+19A≠0の場合が有り得るのでしょうか??
No.20334 - 2013/03/06(Wed) 10:10:40
☆ Re: 多項式など / らすかる
A,B,Cは定数ですからどういう組合せもあり得ます。
B+27A=0 かつ 9C+19A≠0 の場合、方程式を満たすxの値が存在しないというだけのことであり、
例えばB=27,A=-1,C=1 とした
(27x+1)/{1+(3x-2)}=9
という方程式が存在しないということにはなりません。
この方程式ではxにどんな値を入れても成り立たないので「解なし」です。

一般に、方程式 Ax=B の解は
A≠0 のとき x=B/A
A=0,B≠0 のとき 解なし
A=B=0 のとき xは任意の値
となります。
No.20340 - 2013/03/06(Wed) 17:26:13
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。

お蔭様で上手くいきました。
下記の通りでいいのですね。
No.20347 - 2013/03/07(Thu) 04:06:42
☆ Re: 多項式など / らすかる
B+27A＝0＆9C+19A≠0 とすべきところ
B+27A＝0＆9C+19A＝0 となっているように見えますが、
それ以外は問題ないと思います。
No.20349 - 2013/03/07(Thu) 11:00:57
☆ Re: 多項式など / トンデモ
おっと,そうでした。
どうも有難うございます。
No.20353 - 2013/03/08(Fri) 02:13:53
★ 四面体 / 高専
原点O，点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)を頂点とする四面体OABCについて,四面体に内接する球の体積を求めよ．

答(9+5√3)π/27

解説よろしくお願いします．
No.20210 - 2013/02/26(Tue) 19:19:22
☆ Re: 四面体 / らすかる
(内接球の半径)×(表面積)÷3＝(四面体の体積)
(四面体の体積)＝1×1÷2×1÷3=1/6
(表面積)＝1×1÷2×3+(√3/4)(1+1)=(3+√3)/2
なので
(内接球の半径)＝3(1/6)/{(3+√3)/2}=(3-√3)/6
よって
(内接球の体積)＝(4/3)π{(3-√3)/6}^3=(9-5√3)π/27

# 「(9+5√3)π/27」は正しくありません。
No.20214 - 2013/02/26(Tue) 21:18:37
☆ Re: 四面体 / 高専
はじめの
(内接球の半径)×(表面積)÷3＝(四面体の体積)
はどうやったらでてきますか？
No.20215 - 2013/02/26(Tue) 22:25:17
☆ Re: 四面体 / らすかる
内接球の中心をPとすると、
四面体OABCは
四面体P-ABC
四面体P-OBC
四面体P-OAC
四面体P-OAB
の4つに分けることが出来て、Pを頂点とすれば高さrはすべて内接球の半径、
底面積の合計は表面積ですから
(四面体の体積)=(4つに分割した四面体の体積の合計)
=(r*△ABC/3)+(r*△OBC/3)+(r*△OAC/3)+(r*△OAB/3)
=(内接球の半径)×(表面積)÷3
となります。

三角形と内接円での
(内接円の半径)×(三角形の周の長さ)÷2＝(三角形の面積)
と同じことです。
No.20216 - 2013/02/26(Tue) 22:58:10
☆ Re: 四面体 / 高専
ありがとうございます。
理解できました。
No.20219 - 2013/02/26(Tue) 23:41:05
★ (No Subject) / ｐｌ
f(x)=e^x-1としa,b>0とする
e^a-ab+(b+1)log(b+1)≧a+b+1を示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

自分が作った解答
aのみ変数として、他の文字は固定して考えると
g(a)=e^a-ab+(b+1)log(b+1)-(a+b+1)
g'(a)=e^a-b-1
g''(a)=e^a>0
∴g'(a)は狭義単調増加
∴g'(a)>g'(0)=-b
g'(0)<0,lim(a→∞）g'(a)=∞より
中間値の定理からg'(a)=0をみたすaが存在する。
このaをαとすると、g'(α)＝０より増減表から
a=αでg(a)は極小かつ最小
g(α)>0がいえれば示されたことになるのですが
そもそもｇ（０)<0なので正にはなり得ないのです・・。どこがいけないのでしょうか？
No.20209 - 2013/02/26(Tue) 18:11:58
☆ Re: / IT
> f(x)=e^x-1としa,b>0とする
f(x)は、どこで使うのですか？
> g(α)>0がいえれば示されたことになるのですが
g(α)≧0　をいうのですよね
> そもそもｇ（０)<0なので正にはなり得ないのです・・
なぜ、ｇ（０)＜0といえるのですか？
No.20211 - 2013/02/26(Tue) 19:47:43
☆ Re: / ｐｌ
失礼しました。f(x)は無視してください。
g(a)のaに０を代入すれば負になりますよ
No.20212 - 2013/02/26(Tue) 20:05:35
☆ Re: / IT
> g(a)のaに０を代入すれば負になりますよ
g(０)≧０になると思います。具体的に代入後の式を書いてみてください。
No.20213 - 2013/02/26(Tue) 20:12:39
☆ Re: / ｐｌ
解答ありがとうございます
g(a)=e^a-ab+(b+1)log(b+1)-(a+b+1)
より
g(0)=1-0+(b+1)log(b+1)-(0+b+1)
=(b+1)log(b+1)-b=b(log(b+1)-1)+log(b+1)
失礼しました。符号の判定はできませんね。
ひとまず答えに関係あるg(α）の値は何になりましたでしょうか？e^α＝ｂ＋１を考慮すると
g(α）＝−２（ｂ＋１）log(b+1)<0になってしまったのですが
No.20218 - 2013/02/26(Tue) 23:36:36
☆ Re: / IT
> g(0)=1-0+(b+1)log(b+1)-(0+b+1)
> =(b+1)log(b+1)-b=b(log(b+1)-1)+log(b+1)
> 失礼しました。符号の判定はできませんね。
bの関数として微分して増減を調べると　≧０（等号はｂ＝０のとき）になると思います。

>g(α）＝−２（ｂ＋１）log(b+1)<0になってしまったのですが
違うと思います。
g(α)=e^α-αb+(b+1)log(b+1)-(α+b+1)の +(b+1)log(b+1)の±を間違えて計算されたのでは？

> g(α）の値は何になりましたでしょうか？
e^α＝ｂ＋1よりα=log(b+1)
これらを代入すると
g(α）＝ｂ＋1-αb+(b+1)α-(α+b+1)＝0　になります。
No.20220 - 2013/02/27(Wed) 00:34:43
★ 高校生　学コン / DUO
関数f(x)=x^2＋ax＋b(a,bは実数の定数)と正の定数kに対し

、F=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|とおく。a,bを動かしたときのFの最小値をkで表せ。

手も足もでませんでした。
なんとなくF=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|≧|f(-k)＋f(0)＋f(k)|=|2k^2＋b|
と変形してみたのですが結局なにもできませんでした。
答を見ても意味不明です。
誰か分かる方どうやってとけばいいのかおしえてください。おねがいします。
No.20200 - 2013/02/24(Sun) 20:38:35
☆ Re: 高校生　学コン / IT
>答を見ても意味不明
答えはk^2ですか？　答えと略解をUPしてもらえませんか？

Fは変数a,bについて一次関数なので折れ点（３つの絶対値の中身のうちどれかが0となるところ）が最小値の候補ですから、それを調べると
a=0,b=-k^2のとき最小値F=k^2　となるようです。

※Fが最小値を持つことと「折れ点で取る値のみが最小値の候補」を証明する必要があるかも知れませんが。
F≧０であることと一次関数を有限個つなげたものなので、最小値を持つことは、直観的には明らかなのですが。
No.20201 - 2013/02/24(Sun) 21:56:13
☆ Re: 高校生　学コン / DUO
はい。k^2です。
[解答]
f(x)の頂点のx座標をpとする。p≧0のとき、
F≧|f(-k)|＋|f(0)|≧|f(-k)-f(0)|
軸の片側で変域の幅がkであるときの値域の幅を表すので
|f(-k)-f(0)|≧k^2
等号が成り立つのはp=0のときに限る。
このときFについて調べると、
F≧k^2で等号が成立するためにはp=0(すなわちa=0)かつ
f(k)=0が必要。
よってF=0＋|k^2|＋0=k^2が成立する。
p≦0のときも同様にF≧k^2がいえるのでFの最小値はk^2である。

正直解答を眺めていても意味がわかりません。
ちなみに出題は学コンですが一応大学受験用の問題集です。
解答を何度読んでも理解できず困ってます・・・・
No.20202 - 2013/02/24(Sun) 22:28:38
☆ Re: 高校生　学コン / IT
大学への数学の学力コンテストですか、懐かしいですね
難関大学入試より難しいのもありますよね。
確かに分かりにくいですね、考えて見ますが

（折れ点を調べる方式）をUPします。
F=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|
=|k^2-ak＋b|＋|b|＋|k^2＋ak＋b|

(1) k^2-ak＋b=0のときb=-(k^2-ak)
F=|k^2-ak|＋|k^2＋ak-(k^2-ak)|
=k|k-a|＋2k|a|
a=kのときF=2k^2
a=0のときF=k^2

(2) b=0のとき
F=|k^2-ak|＋|k^2＋ak|
　=k|k-a|＋k|k＋a|
a=kのときF=2k^2
a=-kのときF=2k^2

(3) k^2＋ak＋b=0のときb=-(k^2＋ak)
F=|k^2-ak-(k^2＋ak)|＋|k^2＋ak|
=2k|a|＋k|k＋a|
a=0のときF=k^2
a=-kのときF=2k^2

k＞０なので最小値はF=k^2
No.20203 - 2013/02/24(Sun) 23:02:26
☆ Re: 高校生　学コン / IT
> [解答]
> f(x)の頂点のx座標をpとする。p≧0のとき、
> F≧|f(-k)|＋|f(0)|≧|f(-k)-f(0)|
> 軸の片側で変域の幅がkであるときの値域の幅を表すので
> |f(-k)-f(0)|≧k^2
> 等号が成り立つのはp=0のときに限る。
ここまでは、放物線を描いてみると分かると思います。
p≧0のとき-kと0はいずれも頂点より左にあります
頂点から左に離れれば離れるほど、傾斜が急になりますからｘの減少幅ｋに対するｆの増加幅は大きくなります。

> このときFについて調べると、
このときとはp=0すなわちa=0のときですので
F=|k^2＋b|＋|b|＋|k^2＋b|
=2|k^2＋b|＋|b|
このFの値の変化を調べる（場合わけで絶対値を外す）とk^2＋b＝0すなわちb=-k^2のとき
最小値k^2となります。F≧k^2ってことです。
No.20204 - 2013/02/24(Sun) 23:33:30
☆ Re: 高校生　学コン / らすかる
グラフを考えずに式だけで処理する別解

|s|+|t|≧|s+t|（等号は st≧0 のとき） を使って
F=|f(-k)|+|f(0)|+|f(k)|
={|f(-k)|+|f(k)|}+|f(0)|
≧|f(-k)+f(k)|+|f(0)| … (1)
=|2k^2+2b|+|b|
b≧0 のとき |2k^2+2b|+|b|=2k^2+3b≧2k^2
-k^2＜b＜0 のとき |2k^2+2b|+|b|=2k^2+b＞2k^2-k^2=k^2
b=-k^2 のとき |2k^2+2b|+|b|=k^2
b＜-k^2 のとき |2k^2+2b|+|b|=-2k^2-3b＞-2k^2+3k^2=k^2
よって|2k^2+2b|+|b| はb=-k^2のとき最小値k^2をとる。
b=-k^2とすると (1)の等号成立条件は
f(-k)f(k)≧0
(k^2-ak+b)(k^2+ak+b)≧0
(-ak)(ak)≧0
-a^2≧0
∴a=0
従ってFはa=0,b=-k^2のとき最小値k^2をとる。
No.20205 - 2013/02/25(Mon) 00:08:57
☆ Re: 高校生　学コン / DUO
らすかるさん、ITさん、回答ありがとうございます。
お二方の解き方は凄く納得できるのですが、解答の方法は時間がかかる上に凄く上級者向け(?)のような気がします。実際のところどうなんでしょうか？
正直、解答の方法で解くのは私には絶対無理です＾＾；
もう少し数学の勉強が進んでから理解に努める方がいいのでしょうか。
No.20206 - 2013/02/25(Mon) 00:38:01
☆ Re: 高校生　学コン / IT
> お二方の解き方は凄く納得できるのですが、解答の方法は時間がかかる上に凄く上級者向け(?)のような気がします。実際のところどうなんでしょうか？
そうですね、そんなに簡単とはいえないと思います。
あまり、このひとつの問題にこだわられない方がいいと思います。「勉強が進む」というよりも、しばらくしてから、もう一度見てみると割とすんなりと得心が行くってこともありますから。
No.20207 - 2013/02/25(Mon) 01:33:32
★ 行列 / ktdg
mを実数とする。座標平面上で直線 y=xに関する対称移動を表す1次変換をfとし、直線 y=mxに関する対称移動を表す1次変換をgとする。
(1)
1次変換gを表す行列Aを求めよ。
(2)
合成変換g・fを表す行列Bを求めよ。
(3)B^3=(1 0 / 0 1) (/の前は1行目、後ろは2行目です。) となるmをすべて求めよ。

(3)について質問です。
B^3を計算しようとするとものすごく面倒なのですが、何かうまい方法はありますか?
No.20198 - 2013/02/24(Sun) 10:44:54
☆ Re: 行列 / らすかる
Bは回転行列なので、
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
でθ=2nπ/3からcosθを求めてmを計算すれば良いと思います。
No.20199 - 2013/02/24(Sun) 11:45:04
★ 応用問題 / トンデモ
たびたびすみません。

下記の問題を解いたのですがこれであってるのでしょうか?
No.20197 - 2013/02/24(Sun) 10:22:12
☆ Re: 応用問題 / ヨッシー
(9)の(a) は、最終の答えで、１が抜けています。
あとは、分数か小数かという問題はありますが、答え自体は
合っています。
No.20208 - 2013/02/25(Mon) 17:55:55
☆ Re: 応用問題 / トンデモ
有難うございます。

11.36190000(MXN)でしたね。
No.20221 - 2013/02/28(Thu) 11:38:39
★ 比に関する応用問題 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題に就いてです。

455 feetと求まったのですが,(A),…,(E)のどれに当てはめてもうまくいきません

どのように処理すればいいのでしょうか?
No.20194 - 2013/02/22(Fri) 06:41:42
☆ Re: 比に関する応用問題 / ヨッシー
1 inch : 8 feet の 1 inch を Length と解釈すれば、
5feet＝60inch なので、
　１：８＝６０：ｘ
より、1/8=60/x となりますね。
No.20195 - 2013/02/22(Fri) 08:56:22
☆ Re: 比に関する応用問題 / トンデモ
これは気づきませんでした。

どうも有難うございます。
No.20196 - 2013/02/23(Sat) 01:51:28
★ 記述に関する質問true end / Xex-5 days left
これらのことを答案に書いた場合、どれくらい減点されるでしょうか?一般論みたいな感じで教えてください。具体例が少なくて申し訳ありません。
?@場合分けが必要な問題で場合分けせずに解いて、答えが1通りになる。(例:aは実数とする。…[本来はa<0,a>0と場合分けが必要な問題])
?A軌跡や階差数列みたいに条件が決まっていたり必要十分条件を気にするべき問題でそれらを無視している。
?B記号の使い方が誤っていたり自己流の記号を用いたり高校まででは教えない記号を使う。(例:lim[2←x]{lim[x→2+0]の意}、≦の=の部分の棒が一本、数列をa(n)と書く、ln)
?C「図より明らか」を根拠に用いる。(例:y=f(x)とy=g(x)は交点を持たないことを示せ、に対して2つのグラフを図示する→QED)
?D単純な計算ミス
しょうもない質問ですが記述に関する質問はこれで終わりなので回答お願いします。
No.20188 - 2013/02/20(Wed) 18:19:00
☆ Re: 記述に関する質問true end / IT
> ?@場合分けが必要な問題で場合分けせずに解いて、答えが1通りになる
余りに漠然とした質問ですが、あえて言えば、
場合分けが必要なのに場分けせずに答えが出ることが、おかしいと思います。正しい推論をしてないということでしょうから、その部分については減点というより、部分点として何点もらえるか分かりませんね。

> ?B記号の使い方が誤っていたり自己流の記号を用いたり高校まででは教えない記号を使う。
(例:lim[2←x]{lim[x→2+0]の意}　あらかじめ断ればｏｋでは、
、≦の=の部分の棒が一本　ＯＫだと思います。
、数列をa(n)と書く。新たに定義する場合はＯＫだと思います。問題にあるものは、そのとおりに記述すべきです。
、ln　これも＝log[e}と断って使えばいいと思いますが。
※こんなことを気にするより、高校で習ったとおり、きちんと記述することをお勧めします。

>?C「図より明らか」を根拠に用いる。(例:y=f(x)とy=g(x)は交点を持たないことを示せ、に対して2つのグラフを図示する→QED)
グラフを描くための調査をどこまでし、記述したかによります。例の場合は、ほんとにグラフだけなら０点だと思います。

>?D単純な計算ミス
どこでミスしたかと、その問題のポイントによると思います。前半なら後が続かないので期待薄。計算が重点の問題ならこれも期待薄。「単純な計算ミス」と軽視してはいけないと思います。
No.20189 - 2013/02/20(Wed) 19:21:51
★ raised to the two-thirds powerって。 / トンデモ
たびたびすみません。

下記の問題を解いたのですがこれであってるのでしょうか?

the Sun raised to the two-thirds powerの意味が全く分かりません。
No.20183 - 2013/02/19(Tue) 01:01:29
☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / ヨッシー
太陽からの距離は、周期の(2/3)乗に比例するという
ケプラーの第３法則のことを言っていると思います。
つまり、
　ｄ＝ａ・ｐ^(2/3)
です。この問題は、距離を変化させて、周期を求めるので、
　ｐ＝ａ’・ｄ^(3/2)
とおく方が良いでしょう。
No.20184 - 2013/02/19(Tue) 05:54:34
☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / トンデモ
有難うございます。漸く意味が分かりました。
下記の通りでいいのですね。
No.20186 - 2013/02/20(Wed) 06:05:23
☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / ヨッシー
これが、いわゆる数学の問題なら、
　ｐ＝365(256/93)^(3/2)
　　＝365・4096/93√93
　　＝・・・
と、近似値でない値を答えるべきでしょう。
（365 自体近似値なので、あまり、きっちりした数値は求めていない
かもしれませんが）

あと、値の導出としては、上で書いたように
　ｐ＝ａ・ｄ^(3/2)
とおいて、ｐ＝３６５，ｄ＝９３を代入し
　365＝ａ・93√93
より、ａ＝365/93√93　とし、ｄ＝256 のとき、
　ｐ＝ａ・256^(3/2)＝365・4096/93√93
と持っていったほうが、指数がごちゃごちゃしなくて良いと思います。
No.20187 - 2013/02/20(Wed) 09:07:35
☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / トンデモ
> と、近似値でない値を答えるべきでしょう。

仰る通りでした。

> 指数がごちゃごちゃしなくて良いと思います。

これも有難うございます。
No.20193 - 2013/02/22(Fri) 06:39:16
★ 2項定理に関する証明問題 / Xex-国立まであとわずか
例)m,pを3以上の整数とし、mはpで割り切れないとする。この時、(p-1)^m+1はpで割り切れ、p^2で割り切れないことを証明せよ。
　2項定理より展開した式の各項にpは付くが、p^2については付かないものが一つあるから式はpで割り切れる、またp^2では割り切れない、と書いても大丈夫でしょうか?
No.20180 - 2013/02/18(Mon) 20:49:51
☆ Re: 2項定理に関する証明問題 / IT
「展開した式」を具体的に書いたほうが良いと思います。
No.20181 - 2013/02/18(Mon) 21:35:57
★ perimaterって内部も含む? / トンデモ
たびたびすみません。

下記の問題を解いたのですが。

perimaterって内部の正方形の長さも含むのでしょうか?
No.20176 - 2013/02/18(Mon) 02:12:08
☆ Re: perimaterって内部も含む? / X
問題の図で外周部の曲線が強調されていることから
内部の正方形の周囲の長さは含まないと思います。
No.20177 - 2013/02/18(Mon) 02:59:49
☆ Re: perimaterって内部も含む? / ヨッシー
選択肢から言っても
　12π≒37.68≒38
はありますが、正方形を含んだ
　38＋24＝62
はないので、正方形は含まないとして良いでしょう。
No.20179 - 2013/02/18(Mon) 08:25:09
☆ Re: perimaterって内部も含む? / トンデモ
皆様,どうも有難うございます。解決できました。
No.20182 - 2013/02/19(Tue) 00:22:47
★ 区分求積? / Xex-国立まであとわずか
x>2とする。区間[2,x]をn等分してその両端と分点を順に2=t_0,t_1,...,t_n=xとし、関数F(x)を
F(x)=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n](log(t_[k]))で定義する。このとき、1)F(4)を求めよ。
2)F(x)の増減を調べ、極限lim[x→2(右から!)]F(x)を求めよ。
まずなぜF(x)の右辺がnの式なのにxの式になるのですか??教えてください。
No.20165 - 2013/02/17(Sun) 15:15:05
☆ Re: 区分求積? / らすかる
nの式でもlim[n→∞]があるのでnはなくなります。
t[k]=2+(k/n)(x-2) なのでこれにxが含まれています。
No.20166 - 2013/02/17(Sun) 15:26:42
☆ Re: 区分求積? / Xex-国立まであとわずか
納得しました。
では問題の方をお願いします。
No.20167 - 2013/02/17(Sun) 15:45:45
☆ Re: 区分求積? / X
前半)
まずF[x]を求めます。
F[x]=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n](log(2+(k/n)(x-2)))
=lim[n→∞](1/n){Σ[k=0→n-1]{log(2+(k/n)(x-2))}
-log2-logx}
=∫[0→1]log{2+(x-2)t}dt
(∵)区分求積法
=[tlog{2+(x-2)t}][0→1]-∫[0→1]{(x-2)t/{2+(x-2)t}}dt
=logx-∫[0→1]{1-2/{2+(x-2)t}}dt
=logx-[t-{2/(x-2)}log{2+(x-2)t}][0→1]
=logx-1+2(logx-log2)/(x-2) (A)
F(x)の増減は(A)を微分して増減表を描きましょう。
後半)
f(x)=logx
と置くと(A)から
lim[x→2+0]F(x)=log2-1+2f'(2)=log2
No.20168 - 2013/02/17(Sun) 16:32:34
☆ Re: 区分求積? / Xex-国立まであとわずか
すごく納得いきました‼ありがとうございました
No.20169 - 2013/02/17(Sun) 17:04:40
★ 応用問題で質問が / トンデモ
たびたびすみません。

下記の問題の(c)の意味がよく分かりません。

-1/3≦v≦1/4と単にvの範囲を求めるのでは簡単過ぎますよね?

それでgraphから3次関数かと勝手に推測し,
v(t)=a(t-0)(t-20)(t-60)としたのですが
t=10,40で極値を持つ事を使って,aの値を求めたらa=0となってしまいました。
一体,どのように解けばいいのでしょう?
No.20159 - 2013/02/17(Sun) 02:37:05
☆ Re: 応用問題で質問が / らすかる
(b)は「減少する正の区間」という問題で答えが(10,20)ならば、
(a)は「増加する負の区間」なので答えは(40,60)になると思います。

(c)のv(30)というのは(d)(e)のv(t)と同じくv(t)のtに30を入れたものなので
v(30)=-20で、2v(30)-5=2×(-20)-5=-45となると思います。
(d)はv(t)=-25の解なのでt=40
(e)はv(t)＞0の解なので0＜t＜20ですね。

三次関数は関係ないと思います。
No.20160 - 2013/02/17(Sun) 04:38:49
☆ Re: 応用問題で質問が / トンデモ
> (c)のv(30)というのは(d)(e)のv(t)と同じくv(t)のtに30を入れたものなので

これは気が付きませんでした。

大変有難うございます。解決できました
No.20174 - 2013/02/18(Mon) 00:19:34
★ 応用問題の添削をお願いします / トンデモ
こんにちは。

下記の問題なのですが,このような解答で大丈夫でしょうか?
No.20158 - 2013/02/17(Sun) 01:00:26
☆ Re: 応用問題の添削をお願いします / らすかる
大体良さそうですが、最後の行のnamelyの後は式も答えも正しくないと思います。
No.20161 - 2013/02/17(Sun) 04:45:19
☆ Re: 応用問題の添削をお願いします / トンデモ
どうも有難うございます。

namelyの後は,p=((6320*3)/53)^3=45781222.99616…
なので p=45781223.

となると思いますがこれで宜しいでしょうか?
No.20175 - 2013/02/18(Mon) 00:25:01
☆ Re: 応用問題の添削をお願いします / らすかる
はい、それで大丈夫です。
No.20178 - 2013/02/18(Mon) 04:10:24
☆ Re: 応用問題の添削をお願いします / トンデモ
どうも有難うございます。
No.20185 - 2013/02/20(Wed) 05:44:45
★ (No Subject) / mori
　ｙ＝(-sinθ/8cosθ)ｘ＋sinθ　(0≦θ＜π/2)
の包絡線ってどうやってもとめるのでしょうか？
たとえばｙ＝２ｔ＾２ｘ−ｔ（ｔ＞★）・・?@などｔのパラメタで表されたものだと両辺ｔで微分してｔ＝◎を?@に代入して得られますが、本問もｔをθと思って直線の式をθで微分すればよいのでしょうか？
No.20157 - 2013/02/16(Sat) 23:58:31
☆ Re: / らすかる
試しにθで微分して出たθ＝◎を代入して
グラフソフトで見た感じでは、
ちゃんと包絡線になっているようでした。
No.20162 - 2013/02/17(Sun) 04:58:55
☆ Re: / ヨッシー
下の記事の
ｙ＝{４−ｔ^(2/3)}＾(3/2)／８
がそれです。
No.20163 - 2013/02/17(Sun) 06:34:12
☆ Re: / mori
ｙ＝{４−ｘ^(2/3)}＾(3/2)／８
が包絡線ということですか？
No.20164 - 2013/02/17(Sun) 13:26:35
☆ Re: / ヨッシー
そうです。



黒が　ｙ＝{４−ｔ^(2/3)}＾(3/2)／８　です。
No.20170 - 2013/02/17(Sun) 19:05:25
☆ Re: / もり
当初の質問に戻りますが、
ｔをθと思って直線の式をθで微分では包らくせんを求めるのに駄目（意味がない）ということですか？
No.20172 - 2013/02/17(Sun) 22:23:53
☆ Re: / ヨッシー
dy/dθ のところで、ｙをθで微分しています。
No.20173 - 2013/02/17(Sun) 22:27:04
★ 回転体の体積　 / ktdg
実数θが動くとき、xy平面上の動点 P(0,sinθ)および Q(8cosθ,0)を考える。θが 0≦θ≦π/2の範囲を動くとき、平面内で線分PQが通過する部分をDとする。Dをx軸の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。[答え 128π/105]

やり方が全く思い浮かびません。教えてください。
No.20154 - 2013/02/15(Fri) 18:11:34
☆ Re: 回転体の体積　 / mori
横から失礼します。
この直線の包絡線ってどうやってもとめるのでしょうか？
たとえばｙ＝２ｔ＾２ｘ−ｔ（ｔ＞★）・・?@などｔのパラメタで表されたものだと両辺ｔで微分してｔ＝◎を?@に代入して得られますが、本問もｔをθと思って直線の式をθで微分すればよいのでしょうか？（うまくいかなかったのですが）
No.20155 - 2013/02/16(Sat) 00:46:45
☆ Re: 回転体の体積　 / ヨッシー
ＰＱを通る直線を考えると、その式は、
　ｙ＝(-sinθ/8cosθ)ｘ＋sinθ　(0≦θ＜π/2)
この直線群が、ｘ＝ｔ　（０＜ｔ≦８） と交わる点のｙ座標はｔ＜8cosθ において
　ｙ＝(−sinθ/8cosθ)ｔ＋sinθ
このｙの最大を考えると、
　dy/dθ＝−t/8cos^2θ＋cosθ＝０
より
　(cosθ)^3＝t/8
　cosθ＝t^(1/3)/2
このとき
　sinθ＝√（4−t^(2/3))/２
より、
　ｙ＝{４−ｔ^(2/3)}＾(3/2)／８
πｙ^2＝π{４−ｔ^(2/3)}＾3／６４　をｔ＝０〜８ で積分して
　(π/64)∫[0〜8]{64−48t^(2/3)＋12t^(4/3)−ｔ^2}dt
　＝(π/64)[64t−(3/5)48t^(5/3)＋(3/7)12t^(7/3)−(1/3)t^3][0〜8]
　＝128π/105
No.20156 - 2013/02/16(Sat) 01:40:31
☆ Re: 回転体の体積　 / ktdg
ありがとうございます。
No.20171 - 2013/02/17(Sun) 20:51:59
★ 行列　10九州工業大学後期 / 高３
?Aの赤本の解答に納得がいきません。
p=(1±√17)/2,0,1となっていますが
pの範囲を考えると
p=(1＋√17)/2だと思うのですが。
どうでしょうか。
よろしくおねがいします。
No.20150 - 2013/02/14(Thu) 20:27:34
☆ 行列　10九州工業大学後期 / 高３
問題文です。。
No.20151 - 2013/02/14(Thu) 20:28:35
☆ Re: 行列　10九州工業大学後期 / ＿
その前に(i)の答えは、あなたの考えるものと赤本のもので一致していますか？
No.20152 - 2013/02/14(Thu) 21:06:12
☆ Re: 行列　10九州工業大学後期 / ヨッシー
>pの範囲を考えると
とありますが、どんな範囲ですか？

結論から言うと、p=(1−√17)/2 も p=(1＋√17)/2 もその範囲に入っています。
No.20153 - 2013/02/15(Fri) 08:38:57
★ (No Subject) / ktdg
aを正の実数とし、fn(x)=∫[0→x] {e^(-at)}sin(nt) dt (n=1, 2, 3,,,,)とおく。
(1)lim[x→∞] fn(x) を求めよ。
(2)a=3/2とするとき、lim[x→∞] fn(x) が最大となる自然数nおよびそのときの最大値を求めよ。
[答え (1) n/(a^2+n^2) (2) n=2, 最大値8/25]

(2)について、自分は以下のように解きました。
(1)より、a=3/2のとき、lim[x→∞] fn(x)=4n/(4n^2+9)
hを正の実数としてg(h)=4h/(4h^2+9)とおくと
g'(h)=(36-16h^2)/(4h^2+9)^2
(4h^2+9)^2>0より、g'(h)=0となるのは h=3/2のときである。
（増減表省略）
g(h)はh=3/2で最大値をとる。
よってlim[x→∞] fn(x) はn=1またはn=2で最大値をとる。
lim[x→∞] f1(x)=8/26, lim[x→∞] f2(x)=8/25より、lim[x→∞] fn(x) はn=2で最大値8/25をとる。

このやり方で大丈夫ですか?
No.20144 - 2013/02/13(Wed) 16:32:48
☆ Re: / X
問題ないと思います。
No.20145 - 2013/02/13(Wed) 22:53:22
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます。
No.20146 - 2013/02/14(Thu) 01:53:02
☆ Re: / 豆
蛇足ながら、この形は相加相乗平均を使うと少し速くできますね。
n/(a^2+n^2)=1/(a^2/n+n)
分母≧2√((a^2/n)・n)=2a
分母を最小とするのはa^2/n=nのとき、
即ち　n=aのとき
No.20147 - 2013/02/14(Thu) 08:49:45
☆ Re: / X
>>豆さんへ
私もその方針は考えましたが、この問題では
nは自然数
という条件付きですので、分母が
n=a
で最小であることが分かっても(aは自然数では
ありませんので)分母である
n+(a^2)/n
をnの関数と見たときの増減の評価がやはり必要と
なってしまいます。
No.20148 - 2013/02/14(Thu) 11:54:08
☆ Re: / 豆
そうですね。
暗黙のうちにx+1/xのグラフのイメージが
できていました。
No.20149 - 2013/02/14(Thu) 13:54:13
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