[問題] lim_[x→+∞]1/x*∫[0,x]|sin(t)|dtを求めよ。
不等式を用意して挟み撃ちの原理を利用して極限値を求めるのだと思うのですが
どうすれば不等式で挟めるのか分かりません。お願い致します。
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No.19987 - 2013/01/30(Wed) 13:38:25
| ☆ Re: 極限,積分 / IT | | | (1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt ですよね。
|sin(t)|がπを周期に持つことを利用して考えれば良いと思います。
（方針）
0＜nπ≦x≦(n+1)π、(nは正整数）のとき
0＜1/((n+1)π)≦1/x≦1/(nπ)…?@
また|sin(t)|≧0なので
0≦∫[0,nπ]|sin(t)|dt≦∫[0,x]|sin(t)|dt≦∫[0,(n+1)π]|sin(t)|dt…?A
?@?Aより
[1/((n+1)π)]∫[0,nπ]|sin(t)|dt≦(1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt≦[1/(nπ)]∫[0,(n+1)π]|sin(t)|dt…?B
任意の実数tについて|sin(t+π)|＝|sin(t)|なので∫[0,mπ]|sin(t)|dt＝m∫[0,π]|sin(t)|dt
これを?Bに適用し
[n/((n+1)π)]∫[0,π]|sin(t)|dt≦(1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt≦[(n+1)/(nπ)]∫[0,π]|sin(t)|dt
・・・
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No.19990 - 2013/01/30(Wed) 18:01:03 |
| ☆ Re: 極限,積分 / N山(高校2年) | | | ∫[0,π]|sin(t)|dt=2,x→+∞のときn→+∞より
lim_[n→+∞][n/((n+1)π)]∫[0,π]|sin(t)|dt=2/π
lim_[n→+∞][(n+1)/(nπ)]∫[0,π]|sin(t)|dt=2/π
挟み撃ちの原理より
∴lim_[x→+∞](1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt=2/π
なんとか答えを出せました.説明ありがとうございます.
∫[0,mπ]|sin(t)|dt＝m∫[0,π]|sin(t)|dtのところなのですが,
∫[0,mπ]|sin(t)|dtはm個の山の面積を表すから
∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m*(山一つ分の面積)すなわち,
∫[0,mπ]|sin(t)|dt＝m∫[0,π]|sin(t)|dtとなるという理解であっているでしょうか.
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No.19991 - 2013/01/30(Wed) 23:04:27 |
| ☆ Re: 極限,積分 / IT | | | > ∫[0,mπ]|sin(t)|dtはm個の山の面積を表すから
> ∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m*(山一つ分の面積)すなわち,
> ∫[0,mπ]|sin(t)|dt＝m∫[0,π]|sin(t)|dtとなるという理解であっているでしょうか.
意味としてはそういうことです。
もう少し厳密にはm個の区間の和に分割して、計算で示すのでしょうかね。
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No.19992 - 2013/01/30(Wed) 23:20:39 |
| ☆ Re: 極限,積分 / N山(高校2年) | | | > もう少し厳密にはm個の区間の和に分割して、計算で示すのでしょうかね。
つまり∫[0,nπ]|sin(t)|dt=Σ_[k=1,n]∫[(k-1)π,kπ]|sin(t)|dt
と変形してこれを計算するということですよね.
答案には∫[0,nπ]|sin(t)|dt＝n∫[0,π]|sin(t)|dt
といきなり書かずに計算でちゃんと示した方がいいんでしょうか.
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No.19993 - 2013/01/31(Thu) 00:22:41 |
| ☆ Re: 極限,積分 / IT | | | 微妙ですね、この問題の占める割合と試験時間にもよります。
私なら、グラフを描いて∫[0,nπ]|sin(t)|dt＝n∫[0,π]|sin(t)|dtと書くかな。
時間が残れば∫[0,nπ]|sin(t)|dt=Σ_[k=1,n]∫[(k-1)π,kπ]|sin(t)|dtを計算していくかも
ｂｕｔ、書かなくて減点される恐れ ＜ 書いて計算や推論を間違って減点される恐れ、時間を考えると書かないかな。
∫[0,nπ]|sin(t)|dtを求めよ。という問いなら、きちんと計算する必要がありますよね。
本番の答案にどこまで書くかは別にして、数学の勉強としては、一度厳密にやっておくことも大切だと思います。
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No.19999 - 2013/01/31(Thu) 05:29:12 |
| ☆ Re: 極限,積分 / N山(高校2年) | | | No.20000 - 2013/01/31(Thu) 10:14:08 |
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