[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ (No Subject) / サスケ
一つの辺と両端の点にあてはめられた３つの数の和がすべて１８になる。
１〜１１の数を一つずつ使う。
その時の用いられない数ををしえてください
No.19876 - 2013/01/25(Fri) 01:51:23
☆ Re: / らすかる
4の隣の頂点の和は18-4=14ですから、
全頂点の和は 1+7+14=22です。
辺は6本で各辺の和は18であり、
単純に6×18とすると頂点を3回ずつ足してしまいますので
2回分減らした 6×18-2×22=64 が全使用数字の和です。
1〜11の和は66ですから、使われない数字は66-64=2となります。
No.19877 - 2013/01/25(Fri) 02:43:05
★ 図形 / ハル
一辺の長さがaの正三角形ABCを底面とし、面ABCと面OABが垂直な四面体OABCがある。Aから辺OCに下ろした垂線の足をDとすると
OA=OB=b,OC=c,cosADB=1/3となるとき。次の問いに答えよ。
⑴角OCAを求めよ。
⑵四面体OABCの体積が√2であるとき、a,b,cの値を求めよ。

⑵からわからないです(￣◇￣;)
教えてください。
考える藁のほうにも質問しています。
回答待ちです。
No.19874 - 2013/01/23(Wed) 20:38:18
☆ Re: 図形 / ヨッシー
(1)
ＡＤ＝ＢＤ＝ｄ とすると、△ＡＢＤにおける余弦定理より
　ａ^2＝２ｄ^2−２ｄ^2cos∠ＡＤＢ＝(4/3)d^2
よって、ｄ＝(√3/2)ａ
すると、△ＡＤＣ（∠Ｄが直角）において、
　sin∠ＤＣＡ＝ＡＤ/ＡＣ＝√3/2
よって、∠ＤＣＡ（＝∠ＯＣＡ）＝60°

(2)

(1) の結果より、ＣＥ＝ａとなる点をＯＣ上に取ると、
四面体ＡＢＣＥは正四面体となります。
ＡＢの中点ＭとＣ，Ｏ を通る面で切ると、右の図のようになります。
そうすると、
△ＡＢＣ＝(√3/4)a^2
ＭＯ＝(√6/2)ａ より
　四面体ＯＡＢＣ＝(√2/8)a^3＝√2
より、ａ＝２
ＭＡ＝１、ＭＯ＝√６　より　ｂ＝√７
ｃ＝ＯＣ＝３
となります。
No.19875 - 2013/01/24(Thu) 01:57:29
★ (No Subject) / 工学部2年
△OABにおいて，↑OA=↑a,↑OB=↑bとする．∠AOBの二等分線がABと交わる点をCとする．
OC上で長さ1のベクトルを求めよ．

解説よろしくお願いします．
No.19869 - 2013/01/23(Wed) 18:53:01
☆ Re: / X
辺OA,OB上にOD=OE=1なる点D,Eを取り
線分DEと線分OCとの交点をFとします。
すると△ODEは二等辺三角形ですので条件から
Fは線分DEの中点となり
↑OF=(↑OD+↑OE)/2 (A)
又
↑OD=↑OA/OA=↑a/|↑a| (B)
↑OE=↑OB/OB=↑b/|↑b| (C)
さらに求める単位ベクトルを↑pとすると
↑p=↑OF/OF (D)
(A)(B)(C)(D)より
↑p={(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/2}/|(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/2|
=(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/|↑a/|↑a|+↑b/|↑b|| (E)
ここで
|↑a/|↑a|+↑b/|↑b||^2=2+2↑a・↑b/(|↑a||↑b|) (F)
(E)(F)により
↑p=(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/√{2+2↑a・↑b/(|↑a||↑b|)}
No.19871 - 2013/01/23(Wed) 19:39:25
☆ Re: / 工学部2年
ありがとうございます．
理解できました．
No.19872 - 2013/01/23(Wed) 19:56:57
★ 魔方陣 / サスケ
1 7 13 ? ?
? 3 9 15 A
? B 5 6 12
14 ? C 2 8
10 11 ? ? 4

５×５マスで
１〜２５の整数が一つずつ入る。
縦横のみ数字の和がすべて等しくなるようにする。
Aには偶数、Bには20以上
Cの値はいくらですか？

魔方陣と同じやり方でできませんでした。
ちなみにななめは等しくなくてもいいそうです。
No.19867 - 2013/01/23(Wed) 18:26:05
☆ Re: 魔方陣 / ヨッシー
１から２５までを足すと３２５，これを５列に分けるので、
１列は６５です。
Ａが偶数であることから、各？とＢ，Ｃの偶数、奇数を調べると、
Ａの他に、Ｂとその左上、左、下が偶数で、他は奇数です。
残った数字が16〜25 なので、Ｂに入るのは20,22,24。
それぞれ当てはめてみて、もれなく埋まるのを調べます。
Ｃ＝２１　になります。
No.19868 - 2013/01/23(Wed) 18:45:43
☆ Re: 魔方陣 / らすかる
1〜25の和は325ですから
縦・横それぞれの列の和は65です。
Bが20〜25
→Bの左は17〜22
→その上は18〜23
→Aは15〜20
→15は使用済みでAは偶数なので、Aは16,18,20
→Aの上は21,23,25
→その左は19,21,23
→その4つ下は19,21,23
→その左は17,19,21
→Cは17,19,21
→その左は20,22,24
→Bは20,22,24
→Bの左は18,20,22
→その上は18,20,22
→Aは16,18,20
16と25が候補にあるのはそれぞれ1個ずつなのでAが16、Aの上が25
→その左は19
→その4つ下は23
→その左は17
→Cは21
(以下確認)
→その左は20
→Bは24
→Bの左は18
→その上は22
→Aは16
これで一致し、しかも16〜25がすべて1個ずつになりましたので
C=21が答えとなります。

結果は
1 7 13 19 25
22 3 9 15 16
18 24 5 6 12
14 20 21 2 8
10 11 17 23 4
No.19870 - 2013/01/23(Wed) 18:59:39
★ リミット / 飛沫
数列{a(n)}が
a(1)=1,a(n+1)=a(n)+√(n+1)
によって定義されているとき、次の問いに答えよ。
⑴a(n)>(2n√n)/3 (n=1,2,3…)が成り立つことを示せ。
⑵極限値lim【n→∞】a(n)/{(n+1)^(3/2)}を求めよ。

度々質問すみません。
数列苦手です。
どうか教えてください(つД`)
No.19865 - 2013/01/23(Wed) 10:54:01
☆ Re: リミット / IT
飛沫さんは、定積分を使って　数列の和を評価する手法は、ご存知ですか？　それを使えば良いと思います。
ｙ＝f(x)=√x　のグラフと棒グラフを描いて考えて見てください。
No.19866 - 2013/01/23(Wed) 17:59:27
★ 数列 / 飛沫
数列{a(n)}、{b(n)}は
a(1)=2 ,a(n+1)−2a(n)=2^n
b(1)=−1/4,nb(n+1)−(n+1)b(n)=(n−1)/(n+2)
をみたしている。このとき次の問いに答えよ。
⑴a(n),b(n)を求めよ。
⑵Σ【k=1〜n】a(k)b(k)を求めよ。

わからないです
教えてください。
No.19856 - 2013/01/22(Tue) 20:03:01
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1)
a(1)＝2＝1・2
a(2)＝6＝2・3
a(3)＝16＝4・4
a(4)＝40＝8・5
より、a(n)＝2^(n-1)・(n+1) と推測されます。
これを、数学的帰納法で証明します。(証明は省略)
b(1)＝-1/4
b(2)＝-1/2＝-3/6
b(3)＝-5/8
b(4)＝-7/10
より　b(n)＝-(2n-1)/(2n+2) と推測されます。(以下同様)

(2)
a(n)b(n)＝(1-2n)・2^(n-2)
　Ｓ＝-1・2^(-1)−3・2^0−5・2^1−7・2^2−・・・−(2n-1)2^(n-2)　・・・(i)
とおきます。
　２Ｓ＝-1・2^0−3・2^1−5・2^2−7・2^3−・・・−(2n-3)・2^(n-2)−(2n-1)・2^(n-1)　・・・(ii)
(ii)−(i)
　Ｓ＝1/2＋2{1+2+4+・・・+2^(n-2)}−(2n-1)・2^(n-1)
1+2+4+・・・+2^(n-2)＝2^(n-1)−1 より
　Ｓ＝-3/2−(2n-3)・2^(n-1)

以上です。
No.19858 - 2013/01/22(Tue) 20:47:06
☆ Re: 数列 / らすかる
(1)
a[1]=2, a[n+1]-2a[n]=2^n
c[n]=a[n]/2^n とおくと
c[1]=1
2^(n+1)・c[n+1]-2(2^n・c[n])=2^n
c[n+1]-c[n]=1/2
c[n]=(n+1)/2
∴a[n]=2^(n-1)・(n+1)

b[1]=-1/4, nb[n+1]-(n+1)b[n]=(n-1)/(n+2)
d[n]=b[n]/n とおくと
d[1]=-1/4
n{d[n+1]・(n+1)}-(n+1)(d[n]・n)=(n-1)/(n+2)
n(n+1)(d[n+1]-d[n])=(n-1)/(n+2)
d[n+1]-d[n]=(n-1)/{n(n+1)(n+2)}

Σ[k=1〜n]{(k-1)/{k(k+1)(k+2)}}
=Σ[k=1〜n]{1/{(k+1)(k+2)}} - Σ[k=1〜n]{1/{k(k+1)(k+2)}}
=Σ[k=1〜n]{1/(k+1)-1/(k+2)} - (1/2)Σ[k=1〜n]{1/{k(k+1)}-1/{(k+1)(k+2)}}
={1/2-1/(n+2)}-(1/2){1/2-1/{(n+1)(n+2)}}
=n/{2(n+2)}-n(n+3)/{4(n+1)(n+2)}
=n(n-1)/{4(n+1)(n+2)}
なので n≧2に対し
d[n]=-1/4+(n-1)(n-2)/{4n(n+1)}
={-n(n+1)+(n-1)(n-2)}/{4n(n+1)}
=(-2n+1)/{2n(n+1)}
これはn=1のときも成り立つ。
∴b[n]=n(-2n+1)/{2n(n+1)}=(-2n+1)/{2(n+1)}

(2)
Σ[k=1〜n]a[k]b[k]
=Σ[k=1〜n]2^(k-1)・(k+1)・(-2k+1)/{2(k+1)}
=Σ[k=1〜n]2^(k-2)・(-2k+1)
=S とおくと
2S=Σ[k=1〜n]2^(k-1)・(-2k+1)
=Σ[k=2〜n+1]2^(k-2)・(-2k+3)
S=2S-S
=-1/2・(-1)
　+Σ[k=2〜n]2^(k-2)・2
　+2^(n-1)・(-2n+1)
=1/2+2^(n-1)・(-2n+1)+Σ[k=1〜n]{2^(k-1)}-1
=1/2+2^(n-1)・(-2n+1)+(2^n-1)-1
=2^(n-1)・(-2n+3)-3/2
={2^n・(-2n+3)-3}/2
No.19859 - 2013/01/22(Tue) 20:55:11
★ 無限級数 / N山(高校2年)
a(n)は初項a,公差dの等差数列とし,|r|<1とする.
Sn=Σ_[k=1,n]a(k)*r^(k-1) とするとき
lim_[n→∞]Sn を求める.

Sn=a+Σ_[k=2,n]a(k)*r^(k-1) …A

rSn=Σ_[k=2,n]a(k-1)*r^(k-1)+a(n)*r^n …B

A-Bより

(1-r)Sn=a+Σ_[k=2,n]{a(k)-a(k-1)}*r^(k-1)-a(n)*r^n

(1-r)Sn=a+dΣ_[k=2,n]r^(k-1)-a(n)*r^n

(1-r)Sn=a+{dr(1-r^(n-1))}/(1-r)-a(n)*r^n

Sn=a/(1-r)+{dr(1-r^(n-1))}/{(1-r)^2}-{a(n)*r^n}/(1-r)

ここで,lim_[n→∞]{dr(1-r^(n-1))}/{(1-r)^2}=dr/{(1-r)^2}
となる.

ここで疑問なのですが,lim_[n→∞]{a(n)*r^n}/(1-r)はどうなるのでしょうか.
0に収束する気がするのですが証明できません.
どのように考えたらよいのでしょうか.
どうかよろしくお願いします.
No.19851 - 2013/01/21(Mon) 19:19:30
☆ Re: 無限級数 / らすかる
lim[n→∞](a[n]*r^n)/(1-r)
={1/(1-r)}lim[n→∞]a[n]*r^n
={1/(1-r)}lim[n→∞]{a+(n-1)d}*r^n
={1/(1-r)}{{(a-d)lim[n→∞]r^n}+{d*lim[n→∞]n*r^n}}
lim[n→∞]r^n=0, lim[n→∞]n*r^n=0 なので
lim[n→∞](a[n]*r^n)/(1-r)=0
No.19854 - 2013/01/22(Tue) 16:39:34
☆ Re: 無限級数 / N山(高校2年)
理解できました.回答ありがとうございました.
No.19857 - 2013/01/22(Tue) 20:21:03
★ (No Subject) / りょう
初めて質問させて頂きます。
数?Tの問題です。
1.台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線ACとBDの交差点Xとする。
AC=４ｃｍBC=10ｃｍ△ADX＝4c?uとする。
この時の△BCX、台形ABCDの範囲を求めなさい。

2.以下の手順でcos22.5°を求める。
△ABCにおいて∠A=45°、AB=AC=1としBCの中点をXとする。
この時の辺BC、辺AX、△ABCの面積を求めなさい。
またAMの値がcos22.5°である。

以上宜しくお願い致します。


上手く説明してくれと言われたのですが、私の説明では理解できないようです。
分かりやすい説明はどのようにすればよろしいでしょうか？
No.19849 - 2013/01/21(Mon) 15:59:14
☆ Re: / ヨッシー
まずは後半

ＸをＭに換えています。

余弦定理より
　ＢＣ^2＝ＡＢ^2＋ＡＣ^2−２ＡＢ・ＡＣcosＡ＝２−√2
よって、
　ＢＣ＝√(２−√2)
三角形の面積の公式より
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsinＡ＝√2/4
以上より、
　ＡＭ＝２△ＡＢＣ÷ＢＣ
　　　＝√(２＋√2)/２

もちろん、ＢＭ＝√(２−√2)/２ として、△ＡＢＭにおける
三平方の定理から
　ＡＭ^2＝１−(２−√2)/４＝(２＋√2)/４
から求めることも出来ます。

また、その他のcos22.5 の求め方としては、下の図において、
ＡＢ＝ＢＣ＝１、ＡＣ＝√2 とすると、
角の二等分線の定理より
　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝１：√2
よって、
　ＢＤ＝1/(√2＋１)＝√2−1
△ＡＢＤにおける三平方の定理より
　ＡＤ^2＝ＡＢ^2＋ＢＤ^2＝4−2√2
　cos22.5＝ＡＢ/ＡＤ＝1/√(4−2√2)
　　＝√(4＋2√2)／2√2＝√(２＋√2)/２
とする方法もあります。
No.19852 - 2013/01/22(Tue) 08:43:55
☆ Re: / ヨッシー
１．は数Ｉの問題としてはかなり難しいですが、りょうさんが
された説明というのはどういうものですか？
No.19853 - 2013/01/22(Tue) 09:20:27
☆ Re: / りょう
返信が遅くなり申し訳ありません。

△ADXと△CBXは相似で，その相似比は2：5だから，
△ADX：△ABX：△DCX：△BCX=4：10：10：25

よって，△BCX=25cm^2，台形ABCD=49cm^2

という答え方をしたのですがこの説明より分かりやすい説明はどのように教えてやればよいでしょうか？
何せ自分も数?Tをやっていたのは何十年前ですので思い出しながら説いただけでも手一杯でして、お手数ですが宜しくお願い致します。
No.19861 - 2013/01/23(Wed) 01:04:10
☆ Re: / Halt0
その解答が正しいとすれば最初の問題文にミスがあるように思います. 正しくは

1.台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線ACとBDの交差点Xとする。
ACAD=４ｃｍBC=10ｃｍ△ADX＝4c?uとする。
この時の△BCX、台形ABCDの範囲面積を求めなさい。

ですか？
No.19862 - 2013/01/23(Wed) 03:08:51
☆ Re: / ヨッシー
Halt0 さんの書かれたような問題だとすると、本質的には、
りょうさんの書かれた方法より簡単なのはありません。

あとは、
　ＡＸ：ＸＣ＝２：５
　ＤＸ：ＸＢ＝２：５
をちゃんと押さえて、面積比＝底辺比を丁寧に適用するだけです。

No.19864 - 2013/01/23(Wed) 09:11:26
☆ Re: / りょう
ヨッシーさんHalt0さん有難う御座います。
Halt0さんのご指摘の通りで問題を入力する際に間違えておりました。

面積比と体積比について改めて説明してみようと思います有難う御座いました。
No.19873 - 2013/01/23(Wed) 20:26:42
★ 数理統計学 / ハオ
試験勉強をしているのですが、解答が後ろに記載されていません。
問題と自分の解答を画像に載せましたので、何か間違っているところや直した方がいいところがありましたらご指導頂けると幸いに思います。
No.19846 - 2013/01/20(Sun) 20:41:08
☆ Re: 数理統計学 / ヨッシー
最後の　＝０　が気になります。
No.19855 - 2013/01/22(Tue) 20:01:32
☆ Re: 数理統計学 / ハオ
ヨッシーさんお返事有難う御座います.
平均値が存在することから∞P(∞)=0としたのですが如何でしょうか？
No.19860 - 2013/01/22(Tue) 22:29:24
☆ Re: 数理統計学 / ヨッシー
私の勘違いでなければ、
　c{1-P(X=1)-P(X=2)-・・・-P(X=c-1))
　　=c・P(X=c)
なのであれば、そのまま　ΣxP(X=x) の x=c の場合に
含めてしまってはどうでしょうか？
No.19863 - 2013/01/23(Wed) 09:01:44
☆ Re: 数理統計学 / ハオ
ヨッシーさん有難う御座います
なるほど確かにそうすると綺麗にいきますね.
No.19927 - 2013/01/26(Sat) 23:22:55
★ ベクトル / 工学部2年
平面上で2定点A,Bに対して次の等式を満たす点Pはどのような図形を描くか.
(↑OP-↑OA)・(↑OP+↑OB)=0

答.原点Oに関してBと対称な点をB'とするとき，AB'を直径とする円

解説お願いします．
No.19841 - 2013/01/20(Sun) 15:05:03
☆ Re: ベクトル / X
問題の等式から
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP-↑OA・↑OB=0
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|^2=↑OA・↑OB+(1/4)|↑OA-↑OB|^2
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|^2=|(↑OA+↑OB)/2|^2
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|=|(↑OA+↑OB)/2|
従って
↑OD=(↑OA-↑OB)/2 (A)
↑OE=(↑OA+↑OB)/2 (B)
とすると点Pは
点Dを中心とした半径OEの円
を描きます。
後は(A)(B)のような点D,Eの位置関係を考えます。

尚、模範解答として
>>答.原点Oに関してBと対称な点をB'とするとき，
>>AB'を直径とする円
とありますが、この答えでは円の中心について
書かれていないので答えとしては△です。
No.19842 - 2013/01/20(Sun) 16:06:32
☆ Re: ベクトル / 工学部2年
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP-↑OA・↑OB=0
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|^2=↑OA・↑OB+(1/4)|↑OA-↑OB|^2

上の式からどのように計算したら下の式になるのでしょうか？
No.19843 - 2013/01/20(Sun) 16:25:16
☆ Re: ベクトル / X
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP-↑OA・↑OB=0
より
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP=↑OA・↑OB
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP+(1/4)|↑OA-↑OB|^2=↑OA・↑OB
+(1/4)|↑OA-↑OB|^2
左辺を因数分解します。
No.19844 - 2013/01/20(Sun) 18:25:33
☆ Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございました．もう一つ質問があるのですが

　従って
　↑OD=(↑OA-↑OB)/2 (A)
　↑OE=(↑OA+↑OB)/2 (B)

の部分の考え方がよくわかりません．解説お願いします．
No.19845 - 2013/01/20(Sun) 19:59:18
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|=|(↑OA+↑OB)/2|
という結果に従って、↑OD、↑OE を決めているだけです。

その元になる考えは、円のベクトル方程式
　|↑ＱＰ|＝ｒ^2
Ｑが定点のとき、Ｐは、Ｑ中心、半径ｒの円を描く
です。
No.19847 - 2013/01/21(Mon) 12:00:23
☆ Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございます．
No.19850 - 2013/01/21(Mon) 17:32:38
★ 教えてください！ / パープリン
60/100=A-10/A＋10　Aに求めよ。

答えは40です。

解き方を優しく教えてください。

小学校５年生です。

お願いします。
No.19838 - 2013/01/19(Sat) 14:54:27
☆ Re: 教えてください！ / らすかる
60/100=A-10/A+10 と書くと
60/100=(A)-(10/A)+(10) という意味に解釈されます。
カッコを付けて
60/100=(A-10)/(A+10)
と書きましょう。
で、解き方は例えば
両辺に100を掛ける → 60=100(A-10)/(A+10)
両辺にA+10を掛ける → 60(A+10)=100(A-10)
カッコを展開する → 60A+600=100A-1000
両辺から60Aを引く → 600=40A-1000
両辺に1000を足す → 1600=40A
両辺を40で割る → 40=A
No.19839 - 2013/01/19(Sat) 15:11:24
☆ Re: 教えてください！ / かーと
＞60/100=(A-10)/(A+10)　Aに求めよ

右の式は分子より分母が20大きいとわかります。
一方の左の式は分子より分母が40大きいですね。

そこで2でわって約分すると 30/50 となります。
これで分子より分母が20大きい形になったので、
右の式と見比べると A=40 であることがわかります。
No.19840 - 2013/01/19(Sat) 16:42:33
☆ Re: 教えてください！ / ヨッシー


図で描くとこんな感じです。
No.19848 - 2013/01/21(Mon) 14:15:21
★ ２次関数 / ktdg
aを０でない実数とし、２次関数 f(x)=2ax^2-4ax+4a+1 のグラフをCとし、また、Cをx軸に関して対称移動したあと、さらにx軸方向に1, y軸方向にaだけ平行移動したグラフをDとする。Dを表す２次関数をg(x)とする。
CとDが相違なる２点で交わり、その交点のx座標をそれぞれα, β (α<β)とする。α<x<βを満たす全ての実数xについて、f(x)>g(x)が成り立ち、さらに β-α>1が成り立つとき、aの満たすべき条件を求めよ。

解答には
f(x)-g(x)=h(x)とおくと、h(x)=4a(x-3/2)^2+4a+2より、
すべての実数xについてf(x)>g(x)すなわちh(x)>0が成り立つ条件は
4a>0 かつ 4a+2≧0
∴ a>0
CとDが相違なる２点で交わり、その交点のx座標α,βに対してα<x<βを満たす全ての実数xについて、f(x)>g(x)が成り立つとき、
4a>0 かつ 4a+2>0
すなわち、-1/2<a<0

と書いてあったのですが、なぜ
CとDが相違なる２点で交わり、その交点のx座標α,βに対してα<x<βを満たす全ての実数xについて、f(x)>g(x)が成り立つとき、
4a>0 かつ 4a+2>0
すなわち、-1/2<a<0
となるのですか?
No.19834 - 2013/01/17(Thu) 21:00:57
☆ Re: ２次関数 / ヨッシー
解答がおかしいです。
>すべての実数xについてf(x)>g(x)すなわちh(x)>0が成り立つ
ようにとは、問題には書いていません。
>∴ a>0
までが、まるまる不要です。(別の設問があるのではないですか)

求めないといけないのは、y=h(x) が、ｘ軸と２点で交わり、
その間（αとβの間）で、h(x)＞0 になるということです。
グラフを描けばわかると思いますが、
　y=h(x)
が上に凸でなければいけないので、
4a＜0 (上に凸) かつ 4a+2>0 (２点で交わる) です。
No.19835 - 2013/01/18(Fri) 08:50:38
★ ベクトル / 工学部2年
△ABCの内部に点Pを取り，2↑AP+3↑BP+4↑CP=0が成り立っているとする．直線APと辺BCの交点をQとする．次の問に答えよ．
(1)↑APを↑ABと↑ACを用いて表せ．答1/9(3↑AB+4↑AC)
(2)BQ:QC,AP:PQを求めよ.答4:3,7:2
(3)△PAB:△PBC:△PCAを求めよ．答4:2:3

(1),(2)はわかったのですが(3)がわかりません．
解説お願いします．
No.19828 - 2013/01/16(Wed) 19:54:18
☆ Re: ベクトル / ぽけっと
BQ:QC=4:3なら△PAB:△PCA=4:3（PAを底辺としたときの高さの比がそうだから。）

AP:PQ=7:2なら(△PAB+△PCA):△PBC=7:2（今度はBCを底辺としたときの高さの比がそうだからです。分かりにくければ△ABC:△PBCで考えればいいかも）

というわけでその答えになります
No.19829 - 2013/01/16(Wed) 20:04:11
☆ Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございました．
No.19830 - 2013/01/16(Wed) 20:38:00
★ 確率 / 西瓜
A、B、C、Dの文字が一つずつ書かれているカードが4枚あり、この中から1枚取り出し、元に戻す。これを4回繰り返す。
この4回で取り出した文字の種類の数をＸとする。
Ｘ=2となる確率は？


解答は
２種類の文字を□、△とすると、
(1)□□□△
(2)□□△△
の場合があり、出た順番も考えると、
(1)は　4P2×(4!/3!)=48
(2)は　4C2×(4!/2!×2!)=36
よって、
(48+36)/256=21/64
とあるのですが、(1)と(2)でPとCを使い分けているのは何故なのか教えて下さい。
No.19823 - 2013/01/16(Wed) 15:26:10
☆ Re: 確率 / X
(1)の場合は２種類のカードの出る回数が異なりますので
２種類のうちどちらのカードの出る回数が多いかを考える
必要があります。
それに対し(2)の場合は２種類のカードの出る回数が同じ
ですので単に組み合わせで考えています。
No.19824 - 2013/01/16(Wed) 17:13:50
☆ Re: 確率 / らすかる
(1)は□が3個、△が1個で個数が異なるため
4つから例えばAとCを選んだ場合に
(□,△)=(A,C)の場合と(□,△)=(C,A)の場合があり、
これらは異なりますので区別が必要で、4P2という計算になります。
(2)は□と△が同じ個数ですから
(□,△)=(A,C)の場合と(□,△)=(C,A)の場合は同じパターンになり、
区別すると2重に数えてしまいますので区別せず4C2という計算になります。
No.19825 - 2013/01/16(Wed) 17:14:08
☆ Re: 確率 / IT
(2)の別計算法（質問の直接の回答ではないですが参考までに）
先頭に来る文字の種類４通り、もう一つの文字の種類３通り（この時点で２種類を区別）
先頭の文字と同じ文字の２枚目のカードの場所３通り
４*３*３＝３６通り

（別解）
２種類の文字の組み合わせそれぞれについて（取り出し方の場合の数−１種類だけの場合の数）を数える
　(4C2)*(2^4-2)=84
などの方法もあります。
No.19826 - 2013/01/16(Wed) 18:31:45
★ 確率 / 西瓜
赤玉３つ、白玉３つ、青玉４つが入った袋があり、赤玉と白玉には1、2、3の数字、青玉には1、2、3、4の数字が一つずつ書かれている。この袋から、３つの玉を同時に取り出す。
取り出した玉に書かれている数の和が5になる確率は？


解答には、
和が5になる数の組は(1、1、3)、(1、2、2)
よって、(3C2×3C1)×2=18
ゆえに、18/120=3/20
とあるのですが、
>(3C2×3C1)×2=18
がよくわかりません。説明をお願いします
No.19820 - 2013/01/16(Wed) 13:54:43
☆ Re: 確率 / ヨッシー
3Ｃ2 は、３個ある１のうち、２個を取り出す出し方
3Ｃ1 は、３個ある３のうち、１個を取り出す出し方　です。
(1,2,2) についても、数字が変わっただけで、計算は、(1,1,3) の
場合と同じなので　×２　です。
No.19821 - 2013/01/16(Wed) 14:21:27
☆ Re: 確率 / 西瓜
なるほど！
わかりました、ありがとうございます！
No.19822 - 2013/01/16(Wed) 15:09:30
★ 整数問題 / ポテトサラダの具はキュウリ
２と５以外の素数について
（素数）×□＝９９９…９
と右辺は各位に９が並ぶ整数
が成り立つらしいのですが
その理由をできれば中高レベルで教えてください。
No.19815 - 2013/01/16(Wed) 12:07:51
☆ Re: 整数問題 / らすかる
雑な説明
2,5以外の素数をpとすると1/pは循環小数となり、
循環節の長さをnとすると1/p=m/(10^n-1) と表せます。
このとき pm=10^n-1 です。

もうちょっとまともな説明
2,5以外の素数をpとすると10^nはpで割り切れませんので、
割ると余りが1〜p-1のどれかになります。
10^1をpで割った余り
10^2をpで割った余り
10^3をpで割った余り
・・・
10^pをpで割った余り
のp個を考えると、余りはp-1通りしかありませんので、
少なくとも一組、余りが同じになるものがあります。
s＜tとして10^s÷pと10^t÷pの余りが同じだったとすると
10^t-10^sはpで割り切れます。つまり10^t-10^s=pm と書けます。
10^t-10^s=pm から
10^s{10^(t-s)-1}=pm
左辺は10^sで割り切れますから、mは10^sで割り切れます。
よって 10^(t-s)-1=p・(m/10^s)
となりますので、pにm/10^sを掛けると9が並ぶ数になります。
No.19817 - 2013/01/16(Wed) 12:47:37
☆ Re: 整数問題 / ポテトサラダの具はきゅうり
たびたびすみません。

> 2,5以外の素数をpとすると1/pは循環小数となり、
> 循環節の長さをnとすると

「1/p=m/(10^n-1) と表せます。」

「」はなぜなのでしょうか。教えていただけると助かります。
No.19831 - 2013/01/17(Thu) 09:23:14
☆ Re: 整数問題 / らすかる
例えば
0.378378378378378378… という小数は 378/999 と表せることはご存知ないですか？
直感的には次のように考えられます。
x=0.378378378378378378… とすると
1000x=378.378378378378378…
1000x-x=378
999x=378
∴x=378/999
等比級数の和で考えれば、きちんと示せます。
No.19832 - 2013/01/17(Thu) 10:18:09
☆ Re: 整数問題 / ポテトサラダの具はキュウリ
ラスカル様

２度目のご質問の解答は知っていましたが、
思考が結びついていませんでした。
ありがとうございました。
No.19833 - 2013/01/17(Thu) 12:56:42
★ tanの積分 / nono
∫[0→π/2]dθ/√tanθ
を解け。

の解説をお願いいたします。
No.19814 - 2013/01/16(Wed) 08:54:46
☆ Re: tanの積分 / ぽけっと
愚直にやるなら、x=√(tanθ)と変数変換。
あとは頑張って部分分数分解などなど。
No.19818 - 2013/01/16(Wed) 12:55:37
☆ Re: tanの積分 / ぽけっと
x=√(tanθ)と変換すると1/(1+x^4)のR全体での積分になるので、複素積分になおして留数定理を使うのがはやいですね。すみません
No.19819 - 2013/01/16(Wed) 13:17:14
★ 上限が存在しない例 / ハオ
画像にて失礼します。
添付画像の最後の行にあります
「ここでε＞0は任意だからs^2≦2となる」は感覚的には分かるのですが証明が必要と思い、証明を書いてみたのですが何か間違っているところや論証不十分な点がございましたらご指導お願い致します.
No.19806 - 2013/01/15(Tue) 00:00:36
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
その証明です.

これは、ある参考書を写している途中なのですが「自分が本当にそう言えるのかな？」と疑問に思ったら証明を書こうとするのは愚かでしょうか？
つまり、参考書では自明としているのだから自明なのであって、その自明の事実を自明と気付かない僕は頭が悪いのでしょうか？
というか自明ってどこまでが自明なのでしょうか・・・
漠然とした質問で申し訳ないのですが、何かアドバイス頂けたら幸いです
No.19807 - 2013/01/15(Tue) 00:06:51
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
・ハオさんの証明には意味不明な記述があります。
{ s^2 | 0<s^2<2+2sε-ε^2 } = ・・・
という等号に関してですが、左辺はεに依存する集合なのに右辺がそうでないのはおかしいです。言いたいことが分からなくはないですが・・・

・supAがQ内に存在しないことの証明ですが、
「s>s-ε>0となるε>0を取れば」の部分は「s>s-ε>0となる有理数ε>0を取れば」でないとおかしいです。s-εが有理数とは限らない実数の場合は、s-ε<aを満たすAの元aの存在はすぐには出て来ませんので。（もちろん、有理数の稠密性を使えばそのようなaの存在を示すことはできますが、この証明法の場合はεは有理数の中からとるべきです。参考書を写したのなら参考書のミスだと思います。）

・"任意のs>s-ε>0を満たす有理数εに対して(s-ε)^2<2が成り立つならs^2<2"の証明は、ε=1/n (nは自然数)とおいてn->∞の極限を取ればいいです。このとき、
「実数列a_nが a_n < c (∀n)を満たし、lim a_nがaに収束するなら、a≦c」
というような事実を使っています。必要なら証明は考えてみて下さい。


>これは、ある参考書を写している途中なのですが「自分が本当にそう言えるのかな？」と疑問に思ったら証明を書こうとするのは愚かでしょうか？

いいえ。

>つまり、参考書では自明としているのだから自明なのであって、その自明の事実を自明と気付かない僕は頭が悪いのでしょうか？

いいえ。今回の質問内容に関しても、そこまで自明だとは思いません。直感的には正しそう、くらいまではすぐわかると思いますが、ちゃんと示そうと思うと上のような議論が必要です。
No.19808 - 2013/01/15(Tue) 03:15:29
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
ぽけっとさん丁寧なご指導有難う御座います.
>εは有理数の中からとるべきです

なるほど.εは実数でもいいが議論が込み入ってしまう、それに関しての証明が省かれているのならばεは有理数としてしまった方がいい　という事でしょうか？

>(s-ε)^2<2が成り立つならs^2<2"の証明

極限を取ればよいという事は分かりました.
ここで少し疑問なのですが、この参考書ではまだ極限の概念が出てきていません.(授業では習ったので知ってはいます)
参考書的に極限の定義などを確認していないのに、極限を考えなければ証明できないという事はよくある事なのでしょうか？
つまりまだ学習していない事を使わなければならないのに、その事には触れず無視して突き進むというのはよくあるのでしょうか？

>直感的には正しそう、くらいまではすぐわかると思いますが、ちゃんと示そうと思うと上のような議論が必要です。

なるほど.これからも自分で本当に言えるのか分からない場合は証明を書く態度を頑張って貫きたいと思います.

>実数列a_nが a_n < c (∀n)を満たし、lim a_nがaに収束するなら、a≦c
この証明を書いてみたのですがなにか間違っているところや、おかしなところはありますでしょうか？
もしありましたらご指導頂けると幸いです.
No.19809 - 2013/01/15(Tue) 10:11:45
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
>なるほど.εは実数でもいいが議論が込み入ってしまう、それに関しての証明が省かれているのならばεは有理数としてしまった方がいい　という事でしょうか？

その通りです。

>つまりまだ学習していない事を使わなければならないのに、その事には触れず無視して突き進むというのはよくあるのでしょうか？

うーん、難しいところですが、"よくある"とはいいませんが、"なくはない"というところでしょうか。
ちなみに極限を習う前で使いたくないというのなら、今回の(s-ε)^2<2⇒s^2≦2を極限操作なしで示すこともできます。
「実数列a_nがa_n<cを満たし・・・」
の証明同様背理法を使えばいいです。
ちなみにハオさんが書かれたこの事実の証明はそれでいいと思います。
No.19810 - 2013/01/15(Tue) 11:12:16
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
>うーん、難しいところですが、"よくある"とはいいませんが、"なくはない"というところでしょうか
なるほどです.少し位分からなくても取り敢えず先に進んでまた振り返ってみるというのも必要なんだなと思いました.

>ちなみに極限を習う前で使いたくないというのなら、今回の(s-ε)^2<2⇒s^2≦2を極限操作なしで示すこともできます。
少し考えてみたのですが、この様な(添付画像)証明で合っていますでしょうか？
どこか間違っているところや論証不十分なところがありましたらご指摘頂けると幸いです.
No.19811 - 2013/01/15(Tue) 16:04:06
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
正しいと思います。

ただ僕が勘違いしていなければ
ε=min(s, (s^2-2)/(2s))
で十分で、この方が自然な気がしますが、どこから3がでてきたのでしょうか。
（繰り返しますが）それでも間違いではないと思います。
No.19812 - 2013/01/15(Tue) 18:20:11
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
ぽけっとさんお付き合い下さり有難う御座います。
3sで割ったのは天下り的なのですが
s^2-3sεにε=(s^2-2)/3sを入れた際綺麗に2だけ残るから3sで割りました.
No.19813 - 2013/01/15(Tue) 22:52:51
★ 不定積分 / Xex
∫(x^2+a^2)^(-3/2)dxをx=atanθと置き換えることで求めよ。ただしaは0より大きい実数で、「-π/2<θ<π/2とする」。
この問題でθの範囲はどういう意味があるのですか?ちなみに答えはx/(a^2√(a^2+x^2))+C [Cは積分定数]となりました。
No.19803 - 2013/01/14(Mon) 14:17:22
☆ Re: 不定積分 / X
xとθの対応関係を1対1にするために必要になります。
不定積分では表には見えませんが、これが定積分になると
積分範囲の対応関係に効いてきます。
No.19804 - 2013/01/14(Mon) 19:39:33
★ ベクトル / 工学部2年
平行六面体ABCD-EFGHにおいて，→AB=→a,→AD=→b,→AE=→cとするとき，対角線AGは△BDEの重心を通ることを証明せよ．

解説お願いします．
No.19800 - 2013/01/14(Mon) 12:14:50
☆ Re: ベクトル / X
△BDEの重心をJとすると
↑AJ=(↑AB+↑AD+↑AE)/3=(↑a+↑b+↑c)/3 (A)
一方平行四面体ABCD-EFGHにおいて
↑AG=↑AB+↑BC+↑CG=↑AB+↑AD+↑AE=↑a+↑b+↑c (B)
(A)(B)より
↑AJ=(1/3)↑AG
よって問題の命題は成立します。
No.19801 - 2013/01/14(Mon) 12:52:47
☆ Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19805 - 2013/01/14(Mon) 22:41:52
全22549件 [ ページ : << 1 ... 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 ... 1128 >> ]