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★ 回転体の体積　 / ktdg
実数θが動くとき、xy平面上の動点 P(0,sinθ)および Q(8cosθ,0)を考える。θが 0≦θ≦π/2の範囲を動くとき、平面内で線分PQが通過する部分をDとする。Dをx軸の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。[答え 128π/105]

やり方が全く思い浮かびません。教えてください。
No.20154 - 2013/02/15(Fri) 18:11:34
☆ Re: 回転体の体積　 / mori
横から失礼します。
この直線の包絡線ってどうやってもとめるのでしょうか？
たとえばｙ＝２ｔ＾２ｘ−ｔ（ｔ＞★）・・?@などｔのパラメタで表されたものだと両辺ｔで微分してｔ＝◎を?@に代入して得られますが、本問もｔをθと思って直線の式をθで微分すればよいのでしょうか？（うまくいかなかったのですが）
No.20155 - 2013/02/16(Sat) 00:46:45
☆ Re: 回転体の体積　 / ヨッシー
ＰＱを通る直線を考えると、その式は、
　ｙ＝(-sinθ/8cosθ)ｘ＋sinθ　(0≦θ＜π/2)
この直線群が、ｘ＝ｔ　（０＜ｔ≦８） と交わる点のｙ座標はｔ＜8cosθ において
　ｙ＝(−sinθ/8cosθ)ｔ＋sinθ
このｙの最大を考えると、
　dy/dθ＝−t/8cos^2θ＋cosθ＝０
より
　(cosθ)^3＝t/8
　cosθ＝t^(1/3)/2
このとき
　sinθ＝√（4−t^(2/3))/２
より、
　ｙ＝{４−ｔ^(2/3)}＾(3/2)／８
πｙ^2＝π{４−ｔ^(2/3)}＾3／６４　をｔ＝０〜８ で積分して
　(π/64)∫[0〜8]{64−48t^(2/3)＋12t^(4/3)−ｔ^2}dt
　＝(π/64)[64t−(3/5)48t^(5/3)＋(3/7)12t^(7/3)−(1/3)t^3][0〜8]
　＝128π/105
No.20156 - 2013/02/16(Sat) 01:40:31
☆ Re: 回転体の体積　 / ktdg
ありがとうございます。
No.20171 - 2013/02/17(Sun) 20:51:59
★ 行列　10九州工業大学後期 / 高３
?Aの赤本の解答に納得がいきません。
p=(1±√17)/2,0,1となっていますが
pの範囲を考えると
p=(1＋√17)/2だと思うのですが。
どうでしょうか。
よろしくおねがいします。
No.20150 - 2013/02/14(Thu) 20:27:34
☆ 行列　10九州工業大学後期 / 高３
問題文です。。
No.20151 - 2013/02/14(Thu) 20:28:35
☆ Re: 行列　10九州工業大学後期 / ＿
その前に(i)の答えは、あなたの考えるものと赤本のもので一致していますか？
No.20152 - 2013/02/14(Thu) 21:06:12
☆ Re: 行列　10九州工業大学後期 / ヨッシー
>pの範囲を考えると
とありますが、どんな範囲ですか？

結論から言うと、p=(1−√17)/2 も p=(1＋√17)/2 もその範囲に入っています。
No.20153 - 2013/02/15(Fri) 08:38:57
★ (No Subject) / ktdg
aを正の実数とし、fn(x)=∫[0→x] {e^(-at)}sin(nt) dt (n=1, 2, 3,,,,)とおく。
(1)lim[x→∞] fn(x) を求めよ。
(2)a=3/2とするとき、lim[x→∞] fn(x) が最大となる自然数nおよびそのときの最大値を求めよ。
[答え (1) n/(a^2+n^2) (2) n=2, 最大値8/25]

(2)について、自分は以下のように解きました。
(1)より、a=3/2のとき、lim[x→∞] fn(x)=4n/(4n^2+9)
hを正の実数としてg(h)=4h/(4h^2+9)とおくと
g'(h)=(36-16h^2)/(4h^2+9)^2
(4h^2+9)^2>0より、g'(h)=0となるのは h=3/2のときである。
（増減表省略）
g(h)はh=3/2で最大値をとる。
よってlim[x→∞] fn(x) はn=1またはn=2で最大値をとる。
lim[x→∞] f1(x)=8/26, lim[x→∞] f2(x)=8/25より、lim[x→∞] fn(x) はn=2で最大値8/25をとる。

このやり方で大丈夫ですか?
No.20144 - 2013/02/13(Wed) 16:32:48
☆ Re: / X
問題ないと思います。
No.20145 - 2013/02/13(Wed) 22:53:22
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます。
No.20146 - 2013/02/14(Thu) 01:53:02
☆ Re: / 豆
蛇足ながら、この形は相加相乗平均を使うと少し速くできますね。
n/(a^2+n^2)=1/(a^2/n+n)
分母≧2√((a^2/n)・n)=2a
分母を最小とするのはa^2/n=nのとき、
即ち　n=aのとき
No.20147 - 2013/02/14(Thu) 08:49:45
☆ Re: / X
>>豆さんへ
私もその方針は考えましたが、この問題では
nは自然数
という条件付きですので、分母が
n=a
で最小であることが分かっても(aは自然数では
ありませんので)分母である
n+(a^2)/n
をnの関数と見たときの増減の評価がやはり必要と
なってしまいます。
No.20148 - 2013/02/14(Thu) 11:54:08
☆ Re: / 豆
そうですね。
暗黙のうちにx+1/xのグラフのイメージが
できていました。
No.20149 - 2013/02/14(Thu) 13:54:13
★ 整数 / Xex-国立まであとわずか
p,q,rはいずれも異なる素数であり、p^3-q^3=2r^2の関係がある。この時、p-q=2であることを証明せよ。
背理法で解くやり方があれば教えてください。途中でどうしても詰まってしまうので…
No.20139 - 2013/02/12(Tue) 20:44:01
☆ Re: 整数 / IT
どこまでできましたか？
（略解）
p^3-q^3＝(p-q)(p^2+pq+q^2)=2r^2

p-q≠2であるとする
　p^2+pq+q^2は偶数にならないので（※確認してください）
　p-q=2r,p^2+pq+q^2=r
　または
　p-q=2r^2,p^2+pq+q^2=1

いずれもp-q＞p^2+pq+q^2
　　　0＞p(p-1)+pq+q^2+q＞0　となり矛盾

よってp-q=2　

　
No.20140 - 2013/02/12(Tue) 21:27:52
☆ Re: 整数 / Xex-国立まであとわずか
なるへそ!そうやればよかったのか!!
No.20141 - 2013/02/12(Tue) 21:47:24
☆ Re: 整数 / IT
p^2+pq+q^2=1 は即NGでしたね。

もちろん「p^2+pq+q^2は偶数にならないので」は、しっかり証明しないといけません。
No.20142 - 2013/02/12(Tue) 21:51:45
★ 確率の問題 添削お願いします / ktdg
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDがある。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。
規則 : 点Pのあった頂点と1つの点によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。
このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。

n秒後にPがOにある確率をpnとおく。
n秒後にPがA, B, C, Dのいずれかにある確率は1-pnであり、そのいずれの点からOに移動する確率は1/3である。よってn+1秒後にPがOにある確率は (1-pn)/3である。
∴ p(n+1)=(1-pn)/3
⇔ p(n+1)-1/4=(-1/3)(pn-1/4)
数列{pn-1/4}は初項が p1-1/4, 公比が-1/3の等比数列であり、初めにPはOにあるので1秒後にPがOにある確率は0であるから p1=0
∴ pn-1/4=-1/4(-1/3)^(n-1)
⇔ pn=1/4-(1/4)(-1/3)^(n-1)ー(答)

添削お願いします。
No.20137 - 2013/02/12(Tue) 19:14:58
☆ Re: 確率の問題 添削お願いします / ヨッシー
良いと思います。

厳密には、ｎ秒後にＯにあるとき、ｎ＋１秒後にＯに移動する
確率は０であることを知った上で、
>n+1秒後にPがOにある確率は (1-pn)/3である。
と言えるのでしょうが、ほぼ自明なので良いでしょう。
No.20138 - 2013/02/12(Tue) 19:54:17
☆ Re: 確率の問題 添削お願いします / ktdg
ありがとうございます。
No.20143 - 2013/02/13(Wed) 16:29:45
★ 総和 / Xex-国立まであとわずか
前の質問がおかしかったので改めて質問します。
Σ[k=1→n-1](k),Σ[k=1→2n-1](k),Σ[k=1→3n](k)
それぞれどうなりますか?公式みたいな感じで教えてください。
No.20132 - 2013/02/12(Tue) 17:39:00
☆ Re: 総和 / ヨッシー
Σ[k=1→n](k)＝n(n+1)/2 なので、このｎがn-1,2n-1,3n に
なるだけです。
上から順に　n(n-1)/2, (2n-1)2n/2=n(2n-1), 3n(3n+1)/2 です。
No.20135 - 2013/02/12(Tue) 18:57:09
☆ Re: 総和 / Xex-国立まであとわずか
nを変えればいいだけなのですね。
No.20136 - 2013/02/12(Tue) 19:11:52
★ 数列　和の極限 / ktdg
数列{an}を a1=1, a(n+1)=nan/{2+n(an+1)} (n=1, 2, 3,,,,)によって定める。
(1)a2, a3, a4を求めよ。
(2)一般項anをnを用いて表せ。
(3)lim[m→∞] mΣ[n=m+1〜2m] an

(3)について質問です。
an=1/(n^2)より、
mΣ[n=m+1〜2m] an=m[1/{(m+1)^2}+1/{(m+2)^2}+ … +1/{(m+k)^2}+ … +1/(4m^2)]
となり、すべての項について分母にm^2が入っているので、m→∞のとき、すべての項が０に収束し、答えは０だと思ったのですが解答には1/2とありました。
解き方を教えてください。
No.20122 - 2013/02/12(Tue) 07:13:36
☆ Re: 数列　和の極限 / IT
とりあえず０に収束しないこと。
1/(4m^2)以上のもののｍ個の和のｍ倍ですから1/4以上です。
No.20123 - 2013/02/12(Tue) 07:31:03
☆ Re: 数列　和の極限 / IT
すべての項が０に収束　するから　それの和も０に収束というのは、有限個の和のときは、正しいですが、今回のように無限個（ｍ個（m→∞））の場合は、間違いです。

根本的なことですので、しっかり確認されることをお勧めします。
No.20124 - 2013/02/12(Tue) 07:42:29
☆ Re: 数列　和の極限 / らすかる
例えば
m{1/m^2+1/m^2+1/m^2+…(m個)…+1/m^2}
はカッコ内のすべての項の分母がm^2となっていますが、
足すと1ですから0に収束しませんね。
ITさんも書かれていますが、
各項→0であっても、項数→∞ならば0に収束するとは限りません。

解き方としては例えば
S=1/{m(m+1)}+1/{(m+1)(m+2)}+…+1/{(2m-1)(2m)}
T=1/{(m+1)(m+2)}+1/{(m+2)(m+3)}+…+1/{(2m)(2m+1)}
とすれば
mT＜mΣ[n=m+1〜2m]a[n]＜mS
となりますが
mS-mT=m{1/{m(m+1)}-1/{(2m)(2m+1)}}
=(3m+1)/(4m^2+6m+2)
=(3/m+1/m^2)/(4+6/m+2/m^2)
→0　（m→∞）
なので
lim[m→∞]mT=lim[m→∞]mΣ[n=m+1〜2m]a[n]=lim[m→∞]mS
よって（以下略）
No.20125 - 2013/02/12(Tue) 08:37:00
☆ Re: 数列　和の極限 / ktdg
回答ありがとうございます。
(以下略)の部分は
mT=mΣ[n=m+1〜2m] 1/n(n+1)
=m[{1/(m+1)-1/(m+2)}+{1/(m+2)-1/(m+3)}+...+{1/2m-1/(2m+1)}]
=m{1/(m+1)-1/(2m+1)}=1/(1+1/m)-1/(2+1/m)より
lim[m→∞]mT=1-1/2=1/2
∴ lim[m→∞] mΣ[n=m+1〜2m] an=lim[m→∞]mT=1-1/2=1/2
で問題ないでしょうか?
No.20130 - 2013/02/12(Tue) 15:47:55
☆ Re: 数列　和の極限 / らすかる
はい、問題ありません。
No.20131 - 2013/02/12(Tue) 16:02:14
☆ Re: 数列　和の極限 / ktdg
ありがとうございます。
No.20134 - 2013/02/12(Tue) 18:43:40
★ 高3 積分の不等式について / ktdg
(1)x≧0のとき、不等式 1-cos(x/2)≦(x^2)/8を示せ。
(2)In= ∫[0→2] (x^n)e^x dx (n=1, 2, 3,,,,)とおく。I1の値を求めよ。
さらに、等式 In=(2^n)e^2-nI(n-1)を示せ。
(3)I2, I3, I4 およびI5の値を求めよ。
(4)不等式 ∫[0→4] {1-cos(x/2)}e^(√x) dx ≦ -2e^2+30 を示せ。

(4)について質問です。
解答では
√x=tとおいて不等式の左辺を ∫[0→2] 2t[1-cos{(t^2)/2}]e^t dtと書き換え、(1)より
1-cos(x/2)≦(x^2)/8
⇔ 1-cos{(t^2)/2}≦(t^4)/8
⇔ ∫[0→2] 2t[1-cos{(t^2)/2}]e^t dt ≦ ∫[0→2] (t^5)(e^t)/4=I5/4=-2e^2+30
としていたのですが、 ∫をつけるときは≦を<に変えるのではないですか?
No.20116 - 2013/02/11(Mon) 16:50:03
☆ Re: 高3 積分の不等式について / IT
> としていたのですが、 ∫をつけるときは≦を＜に変えるのではないですか?
いいえ違います。

任意のt∈[a→b]でf(t)≦g(t)　であるf(t)、g(t)について∫[a→b]f(t)dt=∫[a→b]g(t)dt
となることもあります。

例えば、f(t)≦f(t)　、∫[a→b]f(t)dt=∫[a→b]f(t)dt
（c≦d ⇔ c＜d　または　c＝d　です。）
No.20117 - 2013/02/11(Mon) 18:10:36
☆ Re: 高3 積分の不等式について / ktdg
回答ありがとうございます。
学校では、はさみうちなどでつかう不等式に ∫が入っているときには、∫をつけるときに≦から<に変えると習ったのですが、<が≦に含まれているので変えても問題ないということですか?
また、はさみうちを使うときは≦ではなく<にしなくてはいけないのですか?
No.20119 - 2013/02/11(Mon) 22:00:15
☆ Re: 高3 積分の不等式について / IT
> 学校では、はさみうちなどでつかう不等式に ∫が入っているときには、∫をつけるときに≦から<に変えると習ったのですが
それは不正確だと思います。ほんとに先生がそんなことを教えたのですか？何かの勘違いではないですか？再確認されることをお勧めします。
どんなとき＜になるかを理解し説明して＜にする必要があります。

私の手元にある参考書には
区間[a,b]で連続な関数f(x),g(x)について
f(x)≦g(x)ならば　∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx
等号は、常にf(x)＝g(x)のときに限り成り立つ。
とあります。

これが、本質問への本質的な回答です。
等号を外す必要がある場合、このことをしっかり理解し説明の上で等号を外す必要があります。

>はさみうちを使うときは≦ではなく<にしなくてはいけないのですか
常に＜にしないといけないというわけではないと思います。
＝１だと収束しないので＜１を証明するとか、問題に＜を証明せよとあれば別ですが≦で間に合えばそれでいいのではないですか？
No.20120 - 2013/02/11(Mon) 22:25:58
☆ Re: 高3 積分の不等式について / ktdg
ありがとうございます。
No.20121 - 2013/02/12(Tue) 07:11:43
★ ユークリッドの互除法 / yuku
高一：数学Aです。
最近、「ユークリッドの互除法」を習い始めました。

○と○の最大公約数を互除法を用いて求めよ
・・・などという問題は理解できました。

例としてあげます

問題：177と52の最大公約数を互除法で。

?@177=52･3+21
?A52=21･2+10
?B21=10･2+1
　10=1･10+0

1ですね
_______________

ここからなのですが、

≪最大公約数1を177と52であらわす≫


?@移項すると
21=177-52･3
?A
10=52-21･2
?B
1=21-10･2

これはただ移項しただけなのでわかります。
次に

ア：1=21-10・2
イ： =21-(52-21・2)・2
ウ： =21・5+52・(-2)
エ： =(177-52・3)・5+52・(-2)

よって
オ　1=177・5+52・（-17）

ア〜イは「10」の部分に?Aが入ったことがわかります。
イ〜ウ〜エ〜の部分がなぜそうなるかわかりません。

「ウ」で一体何が起きたのですか？
またそれ以降もお願いします。。
No.20113 - 2013/02/11(Mon) 14:10:01
☆ Re: ユークリッドの互除法 / らすかる
イ→ウは()を展開して整理しただけです。
ウ→エはア→イで10を「52-21・2」に置き換えたのと同様、
21を「177-52・3」に置き換えたものです。
エ→オはイ→ウと同様。
No.20114 - 2013/02/11(Mon) 14:35:33
☆ Re: ユークリッドの互除法 / yuku
計算もしてもないのに質問をしてしましました。
パっと見、いきなり数式が変わっていたので、
どうしてかなーってなってました。

有難う御座いました。
No.20115 - 2013/02/11(Mon) 15:48:09
★ 漸化式 / Xex-国立まで15日
a(1)=1,a(n)=3a(n-1)+5*3^(n-1)
a(n)=…の式にせよ。
どうやってやるのですか・・・。
No.20111 - 2013/02/10(Sun) 20:11:48
☆ Re: 漸化式 / X
a[n]=3a[n-1]+5*3^(n-1)
の両辺を3^nで割ると
a[n]/3^n=a[n-1]/3^(n-1)+15 (A)
ここで
a[n]/3^n=A[n]
と置くと
A[1]=a[1]/3=1/3
で(A)は…
No.20112 - 2013/02/10(Sun) 22:07:01
★ 完全に因数分解せよ / Emi
3^{2x}(1+tan(x))^2+tan(x)3^{2x}(1+tan(x))
を完全に因数分解するのですが

3^{2x}(1+tan(x))(1+2tan(x))でいいのでしょうか?

1+2tan(x)は更に何か公式が有りませんでしたっけ?
No.20106 - 2013/02/09(Sat) 11:06:20
☆ Re: 完全に因数分解せよ / らすかる
多項式でない式を「完全に因数分解する」とはどういう意味ですか？
No.20107 - 2013/02/09(Sat) 13:30:55
☆ Re: 完全に因数分解せよ / Emi
"多分出来る限り"という意味だと思います。
No.20108 - 2013/02/10(Sun) 05:54:19
☆ Re: 完全に因数分解せよ / Emi
多分,"出来る限り"という意味だと思います。
No.20109 - 2013/02/10(Sun) 05:54:56
☆ Re: 完全に因数分解せよ / らすかる
もし「出来る限り」だとすると
1+tanx=1+sinx・secx=(cosx+sinx)・secx
=√2・sin(x+π/4)・secx
=√2・2sin(x/2+π/8)cos(x/2+π/8)・secx
=√2・4sin(x/4+π/16)cos(x/4+π/16)・cos(x/2+π/8)・secx
=√2・8sin(x/8+π/32)cos(x/8+π/32)・cos(x/4+π/16)・cos(x/2+π/8)・secx
・・・
となってきりがありません。
No.20110 - 2013/02/10(Sun) 06:12:45
☆ Re: 完全に因数分解せよ / Emi
なるほど。さすがです。
これはご尤もです。

大変有難うございます。m(_ _)m
No.20129 - 2013/02/12(Tue) 10:30:07
★ 逆正接 / トンデモ
いつもお世話になってます。

下記のように解いたのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.20102 - 2013/02/08(Fri) 11:42:10
☆ Re: 逆正接 / らすかる
すべて問題ないと思います。
No.20103 - 2013/02/08(Fri) 13:01:32
☆ Re: 逆正接 / トンデモ
どうも有難うございます。m(_ _)m
No.20104 - 2013/02/08(Fri) 22:29:52
★ 円の問題 / 中１
４×４の正方形が縦横に４個ずつあり(計１６個)、その中に円を描きます。ピンク色の部分をＡ、そのほかの円の部分をＢとするとき(Ａ＋Ｂ＝円になります)、
ＡとＢの差は何cm2でしょう。

この問題が解けません。
よろしくおねがいします
No.20097 - 2013/02/07(Thu) 23:17:24
☆ Re: 円の問題 / らすかる
円の面積が 64π
細いピンク4つ分で 4(64π/6-16√3)=128π/3-64√3
ピンクの残り長方形分が 2{(4√3-4)×8}=64(√3-1)
よって A={128π/3-64√3}+{64(√3-1)}=128π/3-64
B-A=(B+A)-2A=64π-2(128π/3-64)=128-64π/3
No.20098 - 2013/02/07(Thu) 23:33:59
☆ Re: 円の問題 / 中１
すいません。
ルートは使えないんです。
No.20100 - 2013/02/08(Fri) 00:33:27
☆ Re: 円の問題 / らすかる
それでは
まず最初に大きい方のピンクから直角三角形を2つ切り取って
[)→<) という形にして、切り取った直角三角形2つを
小さい方のピンクにくっつければピンクは「<)」が4つになります。
この形は (扇形)-(底辺と高さが4の三角形2個) なので
A={64π/6-(4×4÷2)×2}×4=128π/3-64
よって
B-A=(B+A)-2A=64π-2(128π/3-64)=128-64π/3
No.20101 - 2013/02/08(Fri) 01:06:26
★ 食塩水の問題。 / どんた。
3％の食塩水400ｇに5％の食塩水をよく混ぜてから水を40ｇ蒸発させたら、4％の食塩水ができた。
5％の食塩水は何ｇ混ぜればよいか求めなさい。

解き方が分かりません。
よろしくおねがいします。
No.20096 - 2013/02/07(Thu) 22:25:33
☆ Re: 食塩水の問題。 / らすかる
問題文がちょっと変ですが…

5％の食塩水をxgとすると
(400×0.03+0.05x)/(400+x-40)=0.04
これを解いて x=240
No.20099 - 2013/02/07(Thu) 23:39:20
★ 上智大学文系 / rio
今年の問題です。(1)(2)は類推です。解法が全く思いつきません。よろしくお願いいたします。
No.20092 - 2013/02/07(Thu) 19:11:16
☆ Re: 上智大学文系 / ヨッシー
(1)
ｋ＝２ のとき、右辺は１１です。２ｙ＋ｚ で最低３は取られるので、
３ｘ は最大でも８です。実際には、６か３です。
３ｘ＝６　のとき　２ｙ＋ｚ で５を作るのは　２ｙ＝４か２の２通り。
３ｘ＝３　のとき　２ｙ＋ｚ で８を作るのは　２ｙ＝６か４か２の３通り。
　よって、２＋３＝５(通り)

ｋ＝３　のとき　右辺は１７。
　３ｘ＝１２　のとき　２通り
　３ｘ＝９　のとき　３通り
　３ｘ＝６　のとき　５通り
　３ｘ＝３　のとき　６通り
　よって　２＋３＋５＋６＝１６(通り)

(2)
　６ｋ−１＝３・２ｋ−１
これから、２ｙ＋ｚ で取られる３を引くと
　３（２ｋ−１）−１
この数以下の３ｘを作るには、
　３ｘ＝３，６，９・・・３（２ｋ−２）
の２ｋ−２個。

(3)
３ｘ＝３（２ｋ−２）　のとき　２ｙ＋ｚ＝５　を作るのは　２通り
３ｘ＝３（２ｋ−３）　のとき　２ｙ＋ｚ＝８　を作るのは　３通り
　・・・
３ｘ＝６　のとき　２ｙ＋ｚ＝６ｋ−７　を作るのは　３ｋ−４通り
３ｘ＝３　のとき　２ｙ＋ｚ＝６ｋ−４　を作るのは　３ｋ−３通り

以上より、
　（２＋３）＋（５＋６）＋・・・＋{(3k-4)＋(3k-3)｝
　＝５＋１１＋１７＋・・・＋（６ｋ−７）
項数はｋ−１個なので、
　｛５＋（６ｋ−７）｝（ｋ−１）／２＝３ｋ^2−４ｋ＋１
No.20093 - 2013/02/07(Thu) 21:00:33
☆ Re: 上智大学文系 / ヨッシー
(4)
ｘ＝１，２，３・・・２ｋ−２　のうち　ｘ≦ｋのものについて、個数を足すと、
　（２＋３）＋（５＋６）＋・・・＋｛(3k/2−1)＋3k/2｝
　＝５＋１１＋・・・＋（３ｋ−１）
項数は k/2 なので
　｛５＋（３ｋ−１）｝(k/2)／２=(3/4)k^2＋ｋ＋０
No.20094 - 2013/02/07(Thu) 21:18:15
☆ Re: 上智大学文系 / IT
(3)の少し違う感じの表記の答案です。（実質的には同じことだと思いますが）
y,zは正整数より2y+z≧3なので
3≦3x≦6k-1-3=3(2k-2)+2
∴1≦x≦2k-2　すなわちxは2k-2とおり

2y＝6k-1-3x-z　で、z≧1なので
2≦2y≦6k-1-3x-1＝6k-3x-2である。
?@x＝2m-1（mは正整数m=1..k-1）のとき
　2≦2y≦6k-3(2m-1)-2＝6k-6m+1
∴1≦y≦3k-3m すなわちyは3k-3mとおり
?Ax＝2m（mは正整数m=1..k-1）のとき
　2≦2y≦6k-6m-2
∴1≦y≦3k-3m-1　すなわちyは3k-3m-1とおり
以上のような(x,y)に対してzは１つ決まる
よって条件を満たす正整数の組（x,y,z)の数は
?納m=1..k-1](3k-3m)+?納m=1..k-1](3k-3m-1)
＝?納m=1..k-1](6k)-?納m=1..k-1]6m-?納m=1..k-1]1
＝6k(k-1) - 6{k(k-1)/2} - (k-1)
＝3k^2-4k+1
No.20095 - 2013/02/07(Thu) 21:55:05
☆ Re: 上智大学文系 / rio
ありがとうございました。理解できました。
No.20105 - 2013/02/09(Sat) 06:49:20
★ 空間 / Xex
空間内でxyz=一定となる点の集合はどのような図形ですか？
No.20089 - 2013/02/07(Thu) 17:48:07
☆ Re: 空間 / X
二次元における
xy=一定
となる点の集合、つまり双曲線から類推してみると
xy平面、yz平面,zx平面を漸近面とした曲面
が４箇所にできます。
但し各曲面はxy平面、yz平面,zx平面全てに区切られており
これらの平面と交わることはありません。
No.20090 - 2013/02/07(Thu) 17:55:53
☆ Re: 空間 / Xex
納得しました。
No.20091 - 2013/02/07(Thu) 18:11:38
★ 数Bの平面ベクトル / 銀狼
xy平面上に1辺の長さが1の正三角形ABCをA(0,0)、B(1,0)、C(1/2,√3/2)となるように置く。
?僊BCを一つの辺に関して180°折り返すという操作を繰り返し行い、平面を正三角形で分割する。
mとnを互いに素な正の整数として、AP→=m・AB→+n・AC→を満たす点Pをとる。
このとき、A(0,0)とP(m+n/2,√3・n/2)を結ぶ線分が横切る正三角形の辺の本数をmとnを用いてあらわしなさい。　答え2m+2n-3本

AB、BC、CAの各辺に平行な直線でとりあえず場合分けしてみて、ABに平行な直線とはn-1本、交わることだけわかりましたが、BC、CAに平行な直線との場合がわからないです。
どうやって数えたらよいか教えてください。お願いします。
No.20082 - 2013/02/06(Wed) 13:43:26
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図は、ｍ＝３、ｎ＝４ の場合ですが、
ＡからＱを通ってＰに行く場合を考えます。
Ｑに行くまでに３本(n-1本)のＡＢに平行な線を横切りそれ以降は横切りません。
また、ＡからＰまで１目盛り進むごとにＢＣに平行な線を横切るので、
m+n-1 本のＢＣと平行な線を横切ります。

次に、ＡからＲを通ってＰに行く場合を考えると、
Ｒに行くまでに２本(m-1本)のＡＣに平行な線を横切りそれ以降は横切りません。

以上、合計 2m+2n-3 本の辺を横切ります。
No.20083 - 2013/02/06(Wed) 14:25:22
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / 銀狼
AからPまで一直線で向かわなければならないのに、どうしてA→Q→Pの経路をお考えなのでしょうか。ABに平行な直線との交点を考えるのにA→Q→Pの経路を、CAに平行な直線との交点を考えるのにA→R→Pの経路を利用されているだけでしょうか？

BCと平行な直線の交点はどうしてm+n-1本になるのでしょうか？具体的な例をいくつか試してみたら確かにそうなっているんですが、理由がわからないです。具体例からそういうことがわかるということなんでしょうか？
No.20085 - 2013/02/06(Wed) 16:02:27
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図のように考えると、Ａ→Ｒ→Ｐ の経路は要りませんね。
ＡＢに平行な線（青）はＡ→Ｑを動く間、交点を通るごとに１本ずつ増えます。
ＡＣに平行な線（紫）はＱ→Ｐを動く間、交点を通るごとに１本ずつ増えます。
ＢＣに平行な線（緑）は、全区間において、交点を通るごとに１本ずつ増えます。
Ａ→Ｑは４区画なので、交点は３個
Ｑ→Ｐは３区画なので、交点は２個
Ａ→Ｐは７区画なので、交点は６個　計１１個　
横切る線は１１本です。

もちろん、Ａ→Ｒ→Ｐ　と通っても、同じことが言えます。
No.20086 - 2013/02/06(Wed) 17:34:25
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図のように描きかえると、
原点から(m,n) まで線を引くと、
ｘ軸に平行な線　y=1, y=2, ・・・
ｙ軸に平行な線　x=1, x=2, ・・・
傾き-1の線　x+y=1, x+y=2, ・・・
合わせて何本と交わるでしょうか？
というのと同じになります。

ｘ軸に平行な線は　y=1, y=2, ・・・y=n-1 の n-1 本
ｙ軸に平行な線　x=1, x=2, ・・・ x=m-1 の m-1本
傾き-1の線　x+y=1, x+y=2, ・・・ x+y=m+n-1 の m+n-1 本
のあわせて　2m+2n-3 本となります。
No.20087 - 2013/02/07(Thu) 03:28:51
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / 銀狼
御礼が遅れてしまい、大変失礼致しました。
とてもよくわかりました。ありがとうございました！
No.20118 - 2013/02/11(Mon) 21:30:18
★ 極限 / N山(高校2年)
【問題】次の関数の極限値を求めよ。(収束しないものもある。)
ただし、a,b,cは、0でない実定数とする。
(1)lim_[x→0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2} (b≠-c)
(2)lim_[x→0]{e^(ax)+e^(-ax)-2}/x^2

よくわかりません。ご教示お願い致します。尚、(1)の√は1-cos(ax)のみに掛っています。
No.20076 - 2013/02/04(Mon) 20:27:53
☆ Re: 極限 / X
(1)
(与式)=lim_[x→0](√2)|sin(ax/2)|/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=lim_[x→0](|a|/√2)|{sin(ax/2)}/(ax/2)|
/{{e^(bx)+e^(cx)-2}/|x|}
よって
f(x)=e^(bx)+e^(cx)
と置くと
lim_[x→+0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=(|a|√2)/f'(0)=|a|/{(b+c)√2}
lim_[x→-0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=-(|a|√2)/f'(0)=-|a|/{(b+c)√2}
となり、右極限と左極限の値が異なりますので
与式は収束しません。
No.20077 - 2013/02/04(Mon) 23:14:18
☆ Re: 極限 / X
(2)
(与式)=lim_[x→0]{{e^(ax/2)-e^(-ax/2)}^2}/x^2
=lim_[x→0]{{e^(ax/2)-e^(-ax/2)}/x}^2
∴f(x)=e^(ax/2)-e^(-ax/2)
と置くと
(与式)={f'(0)}^2=a^2
No.20078 - 2013/02/04(Mon) 23:32:56
☆ Re: 極限 / N山(高校2年)
理解できました。ありがとうございました。
No.20080 - 2013/02/05(Tue) 09:35:17
★ 対数と指数 / トンデモ
お世話になってます。

下記のように解いたのですがこれで大丈夫でしょうか
No.20072 - 2013/02/04(Mon) 07:30:20
☆ Re: 対数と指数 / ヨッシー
(a)
exp{(x-5)/7} を２で割ると　(1/2)exp{(x-5)/7} です。

(b)
g(x) の逆関数の定義域を決めるには、g(x) の値域を求めなければなりません。
x＜2/3 または x＞3 という定義域になります。
No.20073 - 2013/02/04(Mon) 09:10:43
☆ Re: 対数と指数 / トンデモ
> exp{(x-5)/7} を２で割ると　(1/2)exp{(x-5)/7} です。

そうでした。有難うございます。

(b)については下記の様に訂正いたしましたがこれで大丈夫でしょうか?
No.20081 - 2013/02/05(Tue) 09:43:11
★ 数列 / Xex
漸化式a(n+1)=[{(a(n)}^3-12]/13で表される数列の極限はa(1)の値によってどのように変化するかy=xとy=(x^3-12)/13のグラフを利用して求めよ。
まず漸化式そのものが解けません。グラフの方はさすがに書けるのですが教えてください。
No.20065 - 2013/02/03(Sun) 11:00:27
☆ Re: 数列 / IT
「グラフを利用して求めよ。」
とあるのですから、漸化式を解く必要はありません。
y=xとy=(x^3-12)/13のグラフの間をジグザグに線分を描いて行く方法なのですが、見られたことないですか？
収束するなら２つのグラフの交点のどれかに収束します。
No.20066 - 2013/02/03(Sun) 12:58:07
☆ Re: 数列 / Xex
見たことありません。
No.20067 - 2013/02/03(Sun) 13:27:55
☆ Re: 数列 / IT
↓こんな感じです。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/s3sir201.htm
No.20069 - 2013/02/03(Sun) 13:45:21
☆ Re: 数列 / Xex
解決しました。
No.20070 - 2013/02/03(Sun) 16:25:58
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