初めまして。
どうしても分からない問題があります。
どなたか解説頂けたら幸いです。
方程式2x^2ｰ2axｰa＋1=0と
x^2ｰ2(aｰ1)xｰ2a＋1=0が共通の解を持つような
aの値とその共通解xとの組(a、x)は？
3組出てくるようなんですがどうでしょうか。
一応、自分は共通解をある文字でおいて
計算したのですが出ませんでした。
よろしくお願いいたします！
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No.19685 - 2013/01/04(Fri) 12:16:16
| ☆ Re: 二次関数 / X | | | 問題文に惑わされますが、これは
2x^2ｰ2ax-a+1=0 (A)
x^2ｰ2(aｰ1)xｰ2a+1=0 (B)
をx,aについての連立方程式と見て解く問題と同じです。
それで解く方針ですが、1文字消去が基本です。
とはいってもaxの項が邪魔ですのでまずこれを消去します。
(A)-(B)より
x^2-2x+a=0
∴a=2x-x^2 (C)
これを(A)に代入して…
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No.19686 - 2013/01/04(Fri) 12:31:57 |
| ☆ Re: 二次関数 / ハオ | | | 横から失礼します.
セロリさんが仰るように共通解を文字で置く手法を取ってみたのですが,
共通な解αを持つならばその共通解は
α={(1-3a) / 2(a-2)}によって与えられるとなりました.
これだと任意のaに対してαが無限に取れてしまうの思うのです(分数関数のグラフを書いていないので確実とは言えませんが).
つまり疑問なのはaに対する範囲の絞込みが何か必要と思うのですが,どんな条件を数式に直せば良いのでしょうか？
与えられた二次方程式が解を持つ事かな？と思い条件式を立式したのですがうまくいきませんでした.
共通解αを持つ⇒α={(1-3a) / 2(a-2)}
しか言えてないのでまず共通解αを持つ保証が言えておらず,共通解αを持つことの確認がΧさんの連立方程式を解く解法に
他ならないという事なのでしょうか？
横からの質問失礼かと思いますがご指導いただけたら幸いです.
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No.19688 - 2013/01/04(Fri) 13:20:51 |
| ☆ Re: 二次関数 / セロリ | | |
Xさん
Aに代入して整理したら
2x^3ｰ2x^2ｰa＋1となったんですが
ここからどうすればいいでか？
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No.19690 - 2013/01/04(Fri) 13:44:29 |
| ☆ Re: 二次関数 / セロリ | | | 解決致しました！
Xさん、ハオさんありがとうございました。
また奇問に困ったら来ますね。
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No.19693 - 2013/01/04(Fri) 14:09:06 |
| ☆ Re: 二次関数 / X | | | >>ハオさんへ
つまるところその疑問は
(A)(B)の共通解と対応するaの値の組(a,x)のうち
x,aの連立方程式(A)(B)の解でないものが存在するか？
ということになります。
もちろんそのような組は存在しません。
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No.19697 - 2013/01/04(Fri) 16:01:58 |
| ☆ Re: 二次関数 / ハオ | | | >>Χさん
すいませんよく考えてみたのですがΧさんの言わんとすることが正確に捉えられていない様な気がします.
つまり,aの範囲を絞り込むという事は,共通解じゃないものを削るという作業に他ならず,しかし今共通解について話をしているのでその様な範囲を絞り込む事は出来ないという事なのでしょうか？
では答えとして 組(a,x)=(∀a∈R,{(1-3a) / 2(a-2)})
というのは有りなのでしょうか？
いや無しなのでしょうが、無しなのはどこか必要条件を見落としているから という気がするのです.
それとももはや解法として意味のないものなのでしょうか？
ご指導お願いしたします.
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No.19699 - 2013/01/04(Fri) 21:12:50 |
| ☆ Re: 二次関数 / IT | | | 横から失礼します.
＞＞ハオさんへ
少し混乱しておられる様なのでうまく説明できると良いのですが、この問題はＸさんのおっしゃるとおり「x,aについての連立方程式と見て解く問題と同じです」
> 共通解を文字で置く手法を取ってみたのですが,
> 共通な解αを持つならばその共通解は
> α={(1-3a) / 2(a-2)}によって与えられるとなりました.
ｘをαとおいてもおかなくても本質的には何も変わりません。新たな変数を持ち込んだことにより、話が少し複雑になっていると思います。
> これだと任意のaに対してαが無限に取れてしまうの思うのです(分数関数のグラフを書いていないので確実とは言えませんが).
> つまり疑問なのはaに対する範囲の絞込みが何か必要と思うのですが,どんな条件を数式に直せば良いのでしょうか？
元の２つの方程式のどちらでも良いと思います。
同値変形についての理解がはっきりしておられないようです。下記など参考にしてみてください。
http://www.hmg-gen.com/tecni12-4.pdf
> 与えられた二次方程式が解を持つ事かな？と思い条件式を立式したのですがうまくいきませんでした.
それぞれの二次方程式が解を持つ事だけでは、不十分です。
共通の解を持つ必要があります。
>
> 共通解αを持つ⇒α={(1-3a) / 2(a-2)}
> しか言えてないのでまず共通解αを持つ保証が言えておらず,
そうですね。
>共通解αを持つことの確認がΧさんの連立方程式を解く解法に 他ならないという事なのでしょうか？
「確認」というよりも必要十分条件を求めているのです。
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No.19701 - 2013/01/05(Sat) 08:31:21 |
| ☆ Re: 二次関数 / ハオ | | | >>ITさん
まずはご指導有難う御座います.参考URLまで貼って頂きとても勉強になりました.
僕の悪い癖は自分の解き方に固執し過ぎてしまう事で,素直にこの問題に対しては「aとxの連立方程式を解く事が解法なのだ」
と覚えてしまうのが一番なのだと理解出来ればいいのですが,「この解法はどこが駄目なのか,欠陥なのか」を理解しないとなんかこう
モヤモヤしてしまうのです.
そういう意味で理解が浅い事も多々あり,的はずれな質問を繰り返してしまうのですがそれに取り合ってくださり感謝してもしきれない気持ちでいっぱいです.
さて本題に入るのですが,考えなおしてみました.
共通解αが存在したならば,そのαを与えられた方程式2つに代入してα={(1-3a) / 2(a-2)}という形をしている事が分かる.
これは十分条件.
逆にそんな形をしたもの(α={(1-3a) / 2(a-2)})を与えられた方程式に入れて3次方程式を解くとa=1,-3,3/4が得られる.
よって必要条件はa=1,-3,3/4
以上から求める組は(a,x)=(1,1) (-3,-1) (3/4,1/2) となる.
こんな感じで解いてみたのですが必要性充分性のチェックや論理は合っていますか?
連立方程式を解く事と結局変わらないのですが,僕には連立方程式を解くというよりは上の方がしっくりくるのです.
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No.19720 - 2013/01/05(Sat) 18:10:40 |
| ☆ Re: 二次関数 / IT | | | > さて本題に入るのですが,考えなおしてみました.
> 共通解αが存在したならば,そのαを与えられた方程式2つに代入してα={(1-3a) / 2(a-2)}という形をしている事が分かる.
> これは十分条件.
「これ」≡「共通解αがα={(1-3a) / 2(a-2)}という形をしている事」だとすると、
「これ」は「αが2x^2ｰ2ax-a+1=0 (A)とx^2ｰ2(aｰ1)xｰ2a+1=0 (B)の共通解である」ための「必要条件」だと思いますが。
また「形」というのはあいまいな表現である気（？）がします「αとaはα={(1-3a) / 2(a-2)}を満たすこと。」の表現の方が良いと思います。
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No.19722 - 2013/01/05(Sat) 18:34:07 |
| ☆ Re: 二次関数 / ハオ | | | >>ITさん
早速の回答有り難うございます.
曖昧な表現は確かに数学の記述では注意しなければなりません.
ご指摘有難うございます.
なるほど,「αが共通解であること」の必要条件でした.
そうすると >よって必要条件はa=1,-3,3/4
も よって充分条件はa=1,-3,3/4
とすれば他は問題ありませんでしょうか?
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No.19723 - 2013/01/05(Sat) 18:46:55 |
| ☆ Re: 二次関数 / IT | | | > そうすると >よって必要条件はa=1,-3,3/4
> も よって充分条件はa=1,-3,3/4
> とすれば他は問題ありませんでしょうか?
「十分条件は、a=1,-3,3/4」という表現は不十分だと思います。
「a=1,-3,3/4は,・・共通解を持つための「必要十分条件」である」とすべきだと思います。
ちなみに
a=1は、「・・・共通解を持つ」ための「十分条件」ですが「必要条件」ではない。
ことはお分かりでしょうか？a=-3、a=3/4 も同じです
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No.19725 - 2013/01/05(Sat) 19:12:39 |
| ☆ Re: 二次関数 / ハオ | | | >>ITさん
返信が遅くなって申し訳ないです.
なんとか分かったような気がします.
>ちなみに
以降の文が理解の助けになりました.
有難うございます.
しかしまた同じような内容でおかしい事を言うかもしれないのでその時はまた訂正,ご指摘して頂けたら幸いと存じます.
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No.19744 - 2013/01/07(Mon) 12:05:36 |
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