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★ 図形 / さぁー
初めまして。
ファイル貼り付けさせていただきます。
どの公式を使っていいのかわからず、躓いています。
よろしくお願いいたします。
No.19977 - 2013/01/30(Wed) 03:30:37
☆ Re: 図形 / らすかる
(全体)=△ABO+△ACO+扇形BOC（優弧の方）ですから
それぞれの面積を求めて足しましょう。
No.19979 - 2013/01/30(Wed) 05:18:00
☆ Re: 図形 / さぁー
返信ありがとうございます☆
公式は、正弦定理を使ったらよいのでしょうか？
また、角ABOは直角と見ていいのですか？
そして、直角であるのならば、なぜ直角と見ていいのでしょうか？
ぜひ、お答え宜しくお願いします。
No.19980 - 2013/01/30(Wed) 05:37:33
☆ Re: 図形 / ヨッシー
∠ＡＢＯは直角です。
接点における半径と接線は直角になるという性質があります。

正弦定理は不要です。
△ＡＢＯ＋△ＡＣＯは、１：２：√3 の直角三角形
扇形ＢＯＣは中心角240°
あとはＡＯ＝６だけで解けます。
No.19981 - 2013/01/30(Wed) 06:06:37
☆ Re: 図形 / さぁー
解いてみたところ、9√3+6πが答えとして出たのですが
合ってるでしょうか…？(><)
No.19995 - 2013/01/31(Thu) 02:36:35
☆ Re: 図形 / らすかる
正解です。
No.19996 - 2013/01/31(Thu) 03:02:41
☆ Re: 図形 / さぁー
ありがとうございます！
よかったです☆
また宜しくお願いします！
No.19998 - 2013/01/31(Thu) 04:10:27
★ 余剰 / AKI
X^14をX^3-1で割った余りを求めよ
という問題に対し、
X^14=P(x)（X-1）（X^2+x+1）+aX^2+bx+c
?@X=１を代入
a+b+c=1
?AX=iを代入（虚数解のうち一つをiとおく）
ai^2+bi+c=i^14
?BX=-i
ai^2-bi+c=i^14

?Aー?Bより
b＝０
よって
c＝１-a
まで出したのですが、そこからが、条件が足りないせいかどうしたらよいかわかりません。
どうかご教授下さいよろしくお願いします・・・
No.19975 - 2013/01/30(Wed) 01:54:33
☆ Re: 余剰 / らすかる
> ?AX=iを代入（虚数解のうち一つをiとおく）

このiは虚数単位のiではなくx^2+x+1=0の解の一つということですか？
もしそうだとしたら、X=-iはx^2+x+1=0の解ではありませんので
?Bは誤りです。
No.19976 - 2013/01/30(Wed) 02:10:35
☆ Re: 余剰 / aki
解のひとつとして置きました。
なぜ間違っていますか？また、どのようにとくのが正解ですか？
No.19982 - 2013/01/30(Wed) 10:14:55
☆ Re: 余剰 / らすかる
> 解のひとつとして置きました。
iと置いても間違いではないですが、
虚数を扱う時にiは通常虚数単位の意味になり、
非常に紛らわしいのでiは使わない方がいいです。
1の虚数立方根の一つはωと表すのが一般的です。
# テストで一般的でない書き方をすると、採点者が誤解して
# 正しくても誤答と判断されてしまう危険性があります。

> なぜ間違っていますか？
実際にx^2+x+1=0を解くと
x={-1+(√3)i}/2, {-1-(√3)i}/2 ですから
一方の解にマイナスを付けても他方の解になりませんね。

> また、どのようにとくのが正解ですか？
解き方は何通りもあり、解ければどれも正しいわけですから
「どのように解くのが正解」というのはありません。

私が解くとしたら
x^14-x^11=x^11(x^3-1)
x^11-x^8=x^8(x^3-1)
x^8-x^5=x^5(x^3-1)
x^5-x^2=x^2(x^3-1)
辺々加えて
x^14-x^2=(x^11+x^8+x^5+x^2)(x^3-1)
よって
x^14=(x^11+x^8+x^5+x^2)(x^3-1)+x^2
なので、x^14をx^3-1で割った余りはx^2
No.19983 - 2013/01/30(Wed) 10:45:11
☆ Re: 余剰 / aki
らすかるさんありがとうございます！！
因みにこのあとの問題が五番まはで続きますので、それを見越した解き方をしたほうがよいでしょうか？？
二、x^14+2x ^2-x^10をx^3-1で割ったときのあまり
三、〃をx^2+x+1で〃
四、x^14+ax^10+bx^6+2x^5+4x^3+1をx^2+x+1で〃
五、x ^ 99-1をx ^3+x^2+x+1で〃

と続きます。
自分だったらこういうように解きますというのを教えてくださいませんか。お願いします。
No.19994 - 2013/01/31(Thu) 01:53:07
☆ Re: 余剰 / らすかる
私なら（自分の好みの問題で）以下のように解きますが、
この解き方が良いとは限りません。
なお、2〜5のように続くのであれば
1問目の解き方も少し変わります。

x^(n+3)=x^n(x^3-1)+x^n なので
x^(n+3)をx^3-1で割った余りとx^nをx^3-1で割った余りは同じ。
よって指数から3の倍数を引いても余りは変わらない。

1
x^14をx^3-1で割った余りはx^(14-3×4)をx^3-1で
割った余りに等しいから、余りはx^2

2
x^14+2x^2-x^10をx^3-1で割った余りは
x^(14-3×4)+2x^2-x^(10-3×3)をx^3-1で
割った余りに等しいから、余りはx^2+2x^2-x=3x^2-x

3
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) だから、x^3-1で割った余りをx^2+x+1で割って
余りを求めればよい。よって (3x^2-x)-3(x^2+x+1)=-4x-3

4
x^14+ax^10+bx^6+2x^5+4x^3+1 をx^3-1で割った余りは
x^2+ax+b+2x^2+4+1=3x^2+ax+b+5 だから
x^2+x+1で割った余りは 3x^2+ax+b+5-3(x^2+x+1)=(a-3)x+b+2

5
(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1 であり、
x^4-1で割った余りを求める時は
冒頭に書いたことと同じ考え方により指数から4の倍数を引ける。
よってx^99-1をx^4-1で割った余りはx^3-1なので
x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余りは (x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2
No.19997 - 2013/01/31(Thu) 03:25:54
☆ Re: 余剰 / AKI
申し訳ありません問二はx^14+2x^12-x^10をx^3-1で割る・・・でした。そうなるとどうなりますでしょうか？
できればお早いお返事お願いできると本当に助かります。
どうかよろしくお願いします。
No.20004 - 2013/01/31(Thu) 15:46:19
☆ Re: 余剰 / AKI
具体的に聞きたいのは、2x^12をx^3-1で割った時のあまりですが、割り切れるのであまり０になりませんか？そう思いましたが、余りは２だと教えていただきました。そこがわかりませんでした。
No.20005 - 2013/01/31(Thu) 15:56:41
☆ Re: 余剰 / AKI
実際に割り算をしてみると余りが２xと出てきたので余計に混乱しています。
No.20006 - 2013/01/31(Thu) 16:20:42
☆ Re: 余剰 / らすかる
x^14+2x^12-x^10 ならば
指数から3の倍数を引いて
x^2+2-x ですから
余りは x^2-x+2 です。
3は(x^2-x+2)-(x^2+x+1)=-2x+1 となります。

> 2x^12をx^3-1で割った時のあまりですが、割り切れるのであまり０になりませんか？
割り切れません。
指数から12を引いた2x^0=2 が余りになります。

> 実際に割り算をしてみると余りが２xと出てきたので
写真がピンボケで指数がよくわかりませんが、少なくとも行数が
足りませんので、割り算の計算が間違っています。
2x^12
2x^12-2x^9
　　　　2x^9
　　　　2x^9-2x^6
　　　　　　　2x^6
　　　　　　　2x^6-2x^3
　　　　　　　　　　2x^3
　　　　　　　　　　2x^3-2
　　　　　　　　　　　　　2
となります。
No.20008 - 2013/01/31(Thu) 16:43:48
☆ Re: 余剰 / AKI
なる程ですありがとうございます。

因みに、問四を直接x^2+x+1でわることを考えなかったのは何故なんでしょうか？x^3-1の方が簡単であるのは、なんとなくわかりますがなんとなくしかわかりません。x＾２で割るならまだしもx+1が邪魔ということなんでしょうか？
No.20009 - 2013/01/31(Thu) 17:04:34
☆ Re: 余剰 / AKI
また、問５は理解できなかったのですが、
よってx^99-1をx^4-1で割った余りはx^3-1なので


まではわかりました。

x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余りは (x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2

そこからこうなるのがわかりません。
No.20010 - 2013/01/31(Thu) 17:05:06
☆ Re: 余剰 / らすかる
> 問四を直接x^2+x+1でわることを考えなかったのは何故なんでしょうか？
> x^3-1の方が簡単であるのは、なんとなくわかりますがなんとなくしかわかりません。
x^3-1で割った余りを求めるには指数から3の倍数を引くだけですから
ただの数字の計算だけでごく簡単に求められます。
x^3-1で割った余りは2次以下の式ですから、
x^2+x+1のn倍を引けばx^2+x+1で割った余りになり、簡単に求まります。
直接x^2+x+1で割り算するのは面倒ですね。

> x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余りは (x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2
> そこからこうなるのがわかりません。
x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1) ですから、
「x^99-1をx^3+x^2+x+1で割った余り」と
「(x^99-1をx^4-1で割った余り)をx^3+x^2+x+1で割った余り」は
等しくなります。
(x^3-1)-(x^3+x^2+x+1)=-x^2-x-2 という計算は
x^3-1をx^3+x^2+x+1で割った余りを求めているだけです。
3番でやってることと同じですね。
No.20011 - 2013/01/31(Thu) 17:56:52
★ 関数 / yosi
f(x)=|x^2-5x+4|+x+1とし、曲線y=f(x)上に点Ｐ(x,f(x))がある。
また、A(1,0)B(4,1)をとる。
△ABPの面積をＳとするとき
(1)x≦4のときSをxを用いて表せ。
x≦1,4≦xのときf(x)=x^2-4x+5
1<x<4のときf(x)=-x^2+6x-3
自分が浮かんだ方針
?@(i)x≦1のとき(ii)1<x≦4のときでそれぞれ点Ｐのy座標=f(x)が異なるので場合分けし、
S=1/2√{(|PA→|^2|PB→|^2)-(PA→・PB→)^2}からそれぞれ求める→4次式がでてきて計算が煩雑
?Ax軸方向に-1平行移動するとA(1,0)→A'(0,0)となり座標系における三角形の面積公式(ex.座標(a,b)(c,d)のときS=1/2|ad-bc|)
が利用できる。
このときB(4,1)→B'(3.1)　P(x,f(x))→P(x-1,f(x))となるのでこれをもとに面積公式にあてはめればいけそう
と思ったのですが
答をみると?Aの方針でやっていて、Aの座標のみx軸方向に-1平行移動しているのみでＢとＰはそのままでした。なので面積公式も自分のとは違ってました。
Aの位置だけ平行移動させたら元の形が変化しますよね？一体どういうことなんでしょうか。お願いします。
No.19971 - 2013/01/29(Tue) 10:20:48
☆ Re: 関数 / X
それは解答の方が間違っていると思います。
yosiさんの仰るとおり、点B,Pも平行移動させる必要
があります。
No.19973 - 2013/01/29(Tue) 13:00:30
★ 数１ / ミクル
a,bを正の実数とする
x,yがax+y＝6を満たすとき
xy+2x+bはx＝4/aで最大値(16/a)+bをとる

4/a＜3となるような
aの値の範囲は4/3＜a

さらに,a,bがそれぞれ
a＞4/3, b＞3の範囲にあるとき
つねに(16/a)+b＜pが成り立つ
最小の整数を求めよ。

答はp=15です。
最初の方の問題は解けたので本当は空欄になってるとこですがすべて埋めました。
最後のpの最小の整数はどうすれば求まるのでしょうか？
さっぱりわからないので教えて下さい。お願いします。
No.19967 - 2013/01/29(Tue) 00:16:11
☆ Re: 数１ / IT
出典は何ですか？　問題の書き写し間違いではないですか？

a＞4/3, b＞3の範囲にあるとき
　(16/a)+b はいくらでも大きくなるので
　(16/a)+b ＜p　が成り立つような（定）数pは存在しません。

正しくは　b＜3　では？
No.19968 - 2013/01/29(Tue) 00:51:58
★ 数学 等差数列の証明 / ｼﾞｬｽ
a[n]={a[n-1]+a[n+1]｝/2を満たすとき{a[n]｝(n≧2)が等差数列であることを示せ。
<自分の解答>
{a[n]}が等差数列であると仮定し、公差をdとすると
a[n-1]、a[n+1]はそれぞれ
a[n-1]=a[n]-d・・・?@
a[n+1]=a[n]+d・・・?Aと表すことができ、
?@+?Aよりdを消去するとa[n]={a[n-1]+a[n+1]｝/2が成り立つ。
したがってa[n]={a[n-1]+a[n+1]}/2を満たすなら{a[n]}は等差数列であるといえる。(証明終了)
正直適当に書いただけなので証明できてないと思います。
文系なんですけど部分点位はもらえますか？(とりあえず書いただけですが)
また、解答は
与式はa[n+1]-a[n]=a[n]-a[n-1]と変形でき、等差数列の定義より題意は示された。
と１行のみでした。
よくわかりません。
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。
No.19963 - 2013/01/28(Mon) 19:34:08
☆ Re: 数学 等差数列の証明 / ヨッシー
それは、a[n] が等差数列の時、a[n]={a[n-1]+a[n+1]｝/2 を示したもので、
問われているのはその逆です。
出発点は、a[n]={a[n-1]+a[n+1]｝/2 でないといけません。
（または a[n] が等差数列でないと仮定する背理法)

解答の式は
　a[n]={a[n-1]+a[n+1]｝/2
２倍して
　2a[n]＝a[n-1]+a[n+1]
　a[n]＋a[n]＝a[n-1]+a[n+1]
移項して、
　a[n+1]−a[n]＝a[n]−a[n-1]
これがすべての自然数ｎ(≧２)について成り立つということは、
ｎ＝２ を代入して、a[3]−a[2]＝a[2]−a[1]
ｎ＝３ を代入して、a[4]−a[3]＝a[3]−a[2]
よって、　a[4]−a[3]＝a[3]−a[2]＝a[2]−a[1]
以下、ｎをどんどん増やしていくと、すべての隣り合った
項の差が同じになることがわかるので、a[n] は等差数列です。
No.19965 - 2013/01/28(Mon) 20:14:53
★ 確率 / ｼﾞｬｽ
１組52枚のトランプがある。2枚を取り出す場合を考える。
取り出した２枚のカードに書かれた数が同一でもなく連続でもなく、マークも異なる場合の数を求めよ。
(注１)ジョーカーは含まれないものとする
マークを〇　△　☐　◇　とする。
異なるマークの選び方は4C2通り。
たとえば　〇と△のマークを選んだ時、
〇と△に入るものをてきとうに選ぶ場合、〇に１〜１３の１３通り、△に１〜１３の１３通りのパターンがそれぞれあるので
異なるマークでありながら数や連続を一切考慮しない場合の数は4C2×13×13通り・・・?@
〇と△に入る数が同一になる場合は(〇、△)=(1,1)(2,2)・・・(13,13)の13通り
また、〇と△に入る数が連続する場合は(〇、△)=(1,2)(2,1)・・・(12,13)の12通り
異なるマークでありながら数が同一になる場合は4C2×13通り・・・?A
異なるマークでありながら数が連続する場合は4C2×12通り・・・?B
したがって?@から?Aと?Bの場合を引くと答が求まる・・・？という方針でやったのですが見事に不正解でした。
答は792通りでした。
どこで間違えてしまったのでしょうか？
分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19961 - 2013/01/28(Mon) 19:33:30
☆ Re: 確率 / ヨッシー
>連続する場合は(〇、△)=(1,2)(2,1)・・・(12,13)の12通り

が誤りで、
(1,2)(2,1)(2,3)(3,2)(3,4)・・・(12,11)(12,13)(13,12) の24通り
よって、
　4Ｃ2×(13×13−13−24)＝6×132＝792
です。
No.19964 - 2013/01/28(Mon) 20:05:12
★ 三角関数の文章問題 / トンデモ
三角関数の文章問題を添付のように解いたのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.19958 - 2013/01/28(Mon) 05:17:14
☆ Re: 三角関数の文章問題 / ヨッシー
単純な計算ミスから言うと、最後の π/8 は 8/π ですね。

あとは、sin^(-1)(-1/5) がどう定義されるかという問題があります。
sin^(-1)(-1/5) を、sinθ＝-1/5 を満たす(０≦θ＜２π)の範囲の角度θ、
と定義するならその表現でＯＫですが、我々の感覚では、
θは -π/2≦θ≦π/2 の範囲を取るので、別の表現方法が
必要です。
No.19960 - 2013/01/28(Mon) 14:42:47
☆ Re: 三角関数の文章問題 / トンデモ
> 単純な計算ミスから言うと、最後の π/8 は 8/π ですね。

有難うございます。

> 我々の感覚では、
> θは -π/2≦θ≦π/2 の範囲を取るので、別の表現方法が
> 必要です。

今,0≦t≦16なので0≦πt/8≦2πがsin^-1の値域になるのではないんですか?

> 我々の感覚では、
> θは -π/2≦θ≦π/2 の範囲を取るので、

通常はそのようです。

> 別の表現方法が
> 必要です。

すいません。どのように表現するのでしょうか?
是非お教え下さい。
No.19970 - 2013/01/29(Tue) 08:39:47
☆ Re: 三角関数の文章問題 / ヨッシー
>今,0≦t≦16なので0≦πt/8≦2πがsin^-1の値域になるのではないんですか?
それは定義次第です。
かなり良心的に読みとく人なら、そう解釈してもらえるでしょうが、
誰もがそうとは限りません。

-π/2≦θ≦π/2 に従うと、
θ＝sin^(-1)(-1/5) は、θ＝-12°くらいの角になりますが、
条件に合う角度で言うと、
　π−θ　・・・　192°くらいの角　と
　2π＋θ　・・・　348°くらいの角
となり、これに8/π を掛けると、時間になります。つまり、
　ｔ＝(8/π){π−sin^(-1)(-1/5)}
　ｔ＝(8/π){２π＋sin^(-1)(-1/5)}
が答えとなります。
No.19972 - 2013/01/29(Tue) 11:48:24
☆ Re: 三角関数の文章問題 / らすかる
> 今,0≦t≦16なので0≦πt/8≦2πがsin^-1の値域になるのではないんですか?
この設定には無理があると思います。
そのように定義した場合、sin^(-1)(1/√2) はπ/4か3π/4か決められませんね。
値が一つに決まるのが sin^(-1)(1) と sin^(-1)(-1)だけです。
No.19974 - 2013/01/29(Tue) 16:52:51
☆ Re: 三角関数の文章問題 / トンデモ
皆様,詳しいご回答大変有難うございます。
お陰様で漸く解決できました。
No.19978 - 2013/01/30(Wed) 04:15:56
★ 数学A / ｼﾞｬｽ
客100人に料理A,B,Cが出され料理を食べなかった客はいなかった。
Aを25人が、Bを49人が、Cを58人が食べた。
また、５人が全種類食べ、５６人がAかBの少なくともどちらか１つを食べた。
(1)客の中から任意に選んだ一人がA、B両方とも食べた確率
(2)ちょうど２種類の料理を食べた確率
どうやって解けばいいんでしょうか？
考え方がわかりません。どなたかおしえてください。おねがいします。
No.19956 - 2013/01/28(Mon) 04:19:20
☆ Re: 数学A / ヨッシー
(1)
２５＋４９−５６＝１８
これがＡとＢ両方食べた人数です。確率は１８％。

すると、ここまでは数字が埋まります。

(2)
黄色で塗った２ヶ所、それぞれ何人ずつかはわかりませんが、
合わせて、
　５８−４４−５＝９
ということはわかります。これとＡとＢだけを食べた１３人を足して、
　９＋１３＝２２(人)
確率は２２％。
No.19959 - 2013/01/28(Mon) 06:16:00
☆ Re: 数学A / ｼﾞｬｽ
ありがとうございました
No.19962 - 2013/01/28(Mon) 19:33:47
★ 推理 / さすけ
見にくいようなので貼りなおします
No.19951 - 2013/01/27(Sun) 19:56:55
☆ Re: 推理 / さすけ
名前を付けて保存をしてから直接画像をひらかないと全部見えないみたいです。
どうかお願いします。
No.19952 - 2013/01/27(Sun) 20:26:47
☆ Re: 推理 / ヨッシー
図はこちらです
No.19953 - 2013/01/27(Sun) 20:31:22
☆ Re: 推理 / ヨッシー
ア、イ、ウ、エ を考慮した結果、可能性が残っているのは
魚類：Ａ，Ｂ，Ｅ
両生類：Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ
は虫類：Ｃ，Ｄ，Ｅ
鳥類：Ｃ，Ｄ
ほ乳類：Ｃ，Ｄ
となります。
カ(恒温動物は二つ以上いる）より、Ｃ，Ｄ は、鳥類かほ乳類に
決定です。その結果
魚類：Ａ，Ｂ，Ｅ
両生類：Ａ，Ｂ，Ｅ
は虫類：Ｅ
鳥類：Ｃ，Ｄ
ほ乳類：Ｃ，Ｄ
これに、オ（陸上で卵を産むものは一つのみである）を加えると、
Ｃ，Ｄの一つ以上がほ乳類なのは確定。
Ｃ，Ｄの一方が鳥類であれば、Ｅはは虫類でない
Ｃ，Ｄの両方ほ乳類なら、Ｅはは虫類
がわかります。
これを踏まえると、３のみ確実と言えます。

１．Ａ，Ｂが魚類、Ｅがは虫類、Ｃ，Ｄがほ乳類
２．Ａ，Ｅが魚類、Ｂが両生類、Ｄが鳥類、Ｃがほ乳類
４．Ａ，Ｂが魚類、Ｅが両生類、Ｃが鳥類、Ｄがほ乳類
５．Ａ，Ｂが両生類、Ｅがは虫類、Ｃ，Ｄがほ乳類
とそれぞれ反例があります。
No.19954 - 2013/01/27(Sun) 20:49:19
★ 数学 / ｼﾞｬｽ
nは自然数、dは定数とする。半径1+ndの円の面積をS(n)とするとd=アのとき[10]Σ[n=1]{S(n)}=285π
S(n)=(1+nd)^2πより
[10]Σ[n=1](1+nd)^2π=(77d-55)(d+1)=0
d=-1,55/77
d=-1のとき半径1-nとなり
nが自然数であることから1-n>0が成り立たないので不適。
よってd=55/77が答となったのですが
答はd=5/7です。
どうしてなのかわかるかたおしえてください。おねがいします。
No.19949 - 2013/01/27(Sun) 16:20:36
☆ Re: 数学 / IT
> [10]Σ[n=1](1+nd)^2π=(77d-55)(d+1)=0
がまちがっています。
Σ[n=1..10]((1+nd)^2)π=285π　より
(7d-5)(d+1)=0 となると思います。
No.19950 - 2013/01/27(Sun) 18:38:48
★ 数学 解き方を教えて下さい / ｼﾞｬｽ
正の整数m(m≧3)を異なる2つの正の整数の和として表す方法は何通りあるか。
ただし、その２数の和の順序は考慮しない。
たとえば、３を表す１+２と２+１は同じものとみなす。
mが奇数と偶数の場合に分けて答よ。
いろいろ書き出してみたのですが規則性がつかめませんでした。
どういう点に着目すれば解けるんでしょうか？
一番シンプルに解くにはどうしたらいいんでしょうか？
この２点について教えて下さい。お願いします。
No.19944 - 2013/01/27(Sun) 14:22:10
☆ Re: 数学 解き方を教えて下さい / X
m個の○と仕切り１本でできる順列の数を求め
そこから条件に合わない順列の数を引く方針で
求めてみましょう。
No.19945 - 2013/01/27(Sun) 14:27:42
☆ Re: 数学 解き方を教えて下さい / IT
> mが奇数と偶数の場合に分けて答よ。
> いろいろ書き出してみたのですが規則性がつかめませんでした。
m＝３、４、５、６、７、８　くらいまでは、やってみられたのでしょうか？　規則性が見えると思いますが？　

小さい方（異なる2つの正の整数の和なので等しい場合除く）の大きさが　何通りあるか　考えればいいのでは。
No.19946 - 2013/01/27(Sun) 14:28:10
☆ Re: 数学 解き方を教えて下さい / ｼﾞｬｽ
規則性、みつけることができました。
ところでXさんの仕切りを使う方法を試みたのですが
条件に合わない順列の数を引くところで分からなくなってしまいました。
よかったらもう少しヒントをください。
おねがいします。
No.19948 - 2013/01/27(Sun) 15:41:11
☆ Re: 数学 解き方を教えて下さい / X
例えばm=5の場合
条件を満たす並びは
○○○|○○
のように○に仕切りが挟まれている場合
逆に条件を満たさない場合は
○○○○○|
のように○に仕切りが挟まれていない場合
です。
また、
＞＞たとえば、３を表す１+２と２+１は同じものとみなす。
ということから、例えば
○○○|○○
と
○○|○○○
は同じものとして扱う必要があります。
以上から、まず条件を満たさないものの数を引いた後
同じものとして扱う必要のあるものを考えるため
２で割るという計算となります。
No.19966 - 2013/01/28(Mon) 23:32:25
★ 文系の数学です / ｼﾞｬｽ
f(x)=x^2-2x
g(x)=(1/4)x^3-(5/4)x
h(x)=｛f(x)(x≧0) , -f(-x)(x<0)}と定義する。
(1)-3≦x≦3の範囲での|h(x)-f(x)|の最大値を求めよ。

自分は
(i)-3≦x≦-2
(ii)-2<x≦0
(iii)0<x≦2
(iv)2<x≦3で場合分けしましたが、
答えには
「y=h(x)、y=g(x)は原点対称のグラフなのでy=h(x)-g(x)も原点対称である。
したがってy=|h(x)-g(x)|はy軸に関して対称なので0≦x≦3における最大値を求めればよい。」とあるのですが
さっぱりわかりません。
どなたか説明していただけないでしょうか？
おねがいします。
No.19941 - 2013/01/27(Sun) 09:59:57
☆ Re: 文系の数学です / X
g(-x)=-g(x)
ですのでg(x)は奇関数です。
また
x≧0のとき
h(-x)=-f(-(-x))=-f(x)=-h(x)
同様にx＜0のときも
h(-x)=-h(x)
ですのでh(x)も奇関数です。
従って
k(x)=h(x)-g(x)
と置くと
k(-x)=h(-x)-g(-x)=-{h(x)-g(x)}
=-k(x)
ですのでk(x)は奇関数となります。 (A)

ここで
奇関数のグラフは原点に関して対称 (例)y=x
偶関数のグラフはy軸に関して対称 (例)y=x^2
となることに注意して下さい。
(A)よりy=k(x)のグラフは原点に関して対称となります。
更に
l(x)=|k(x)|(=|h(x)-g(x)|)
と置くと
l(-x)=|k(-x)|=|-k(x)|=|k(x)|=l(x)
∴l(x)は偶関数ですのでy=l(x)のグラフはy軸に関して対称
となります。
No.19943 - 2013/01/27(Sun) 12:20:00
★ この積分の表す意味 / ｼﾞｬｽ
∫[x→x+1]|t|dtの表す意味ってなんなんでしょうか？
グラフに書いて視覚的に理解する場合、x→x+1が積分範囲になるのは分かるのですが|t|の部分で、
これはy=|x|としてxy平面でグラフを描けばいいんでしょうか？
根本がよくわかってないので誰か教えて下さい。お願いします。
No.19939 - 2013/01/27(Sun) 03:56:44
☆ Re: この積分の表す意味 / らすかる
> これはy=|x|としてxy平面でグラフを描けばいいんでしょうか？
まあ意味的にはそういうことですが、文字がtですから
xy平面ではなく ty平面
y=|x| ではなく y=|t|
としておいた方が間違いが少ないと思います。
それでt軸のどこかにxをとればその1右がx+1であり、
その範囲を積分することになりますね。
No.19940 - 2013/01/27(Sun) 04:30:55
☆ Re: この積分の表す意味 / ｼﾞｬｽ
丁寧かつ分かり易い回答ありがとうございました
No.19942 - 2013/01/27(Sun) 10:00:19
★ 積分 / Xex
y=f(x)とx軸で囲まれた部分をy軸の周りに回転させた時にできる立体の体積が2π∫[a→b]xf(x)dxで与えられるという公式は証明なしに使っていいのですか?
例:y=f(x)=e^(x-a)+e^(a-x)について、この曲線とx軸、y軸,x=1で囲まれた領域をy軸の周りに回転させる時、できる立体の体積をaの式で表せ。
No.19923 - 2013/01/26(Sat) 21:13:59
☆ Re: 積分 / らすかる
↓このページが参考になるかと思います。
http://tokyotech.net/index.php?%A5%D0%A5%A6%A5%E0%A5%AF%A1%BC%A5%D8%A5%F3%CA%AC%B3%E4
No.19934 - 2013/01/27(Sun) 01:36:23
☆ Re: 積分 / IT
「１対１対応の演習数?V」では、「・・・円筒状に分割することにより、その体積は｛2π∫[a→b]xf(x)dxの具体式｝・・・」とさらっと使ってます。
No.19937 - 2013/01/27(Sun) 02:15:34
☆ Re: 積分 / Xex
十分参考になりました。
No.19955 - 2013/01/27(Sun) 22:19:42
★ 公式の詳細 / ばーびー
x軸周りの回転体体積の公式V=∫(２π/3)r^3sinθｄθ
を用いてｒ＝a(1+cosθ）（a>0,ーπ〜π）のx軸周りの回転体の体積を求めようとした所
V=∫(-π〜π)(２π/3)a^3(1+cosθ)^3sinθｄθ
となり（２π/3)a^3(1+cosθ)^3sinθは奇関数なので０になってしまうのですが

なぜでしょうか？どこがおかしいのでしょうか？

１は偶関数、cosθは偶関数。
偶関数＋偶関数＝偶関数
偶関数の整数乗は偶関数
sinθは奇関数
偶関数×奇関数＝奇関数ですよね
No.19920 - 2013/01/26(Sat) 19:37:08
☆ Re: 公式の詳細 / らすかる
積分範囲は -π〜π ではなく 0〜π にしなければいけないと思います。
No.19928 - 2013/01/27(Sun) 00:28:14
☆ Re: 公式の詳細 / hj
あっ、なるほど、確かに答えは合いました。ありがとうございます。
ところでV=∫(α〜β）(２π/3)r^3sinθｄθ
の公式はαからβの間でｘ軸をまたがっている時でも使えるのでしょうか？
No.19931 - 2013/01/27(Sun) 00:58:17
☆ Re: 公式の詳細 / らすかる
使えないと思います。
というか、x軸より下になるとsinθが負になって
積分結果が負になりますね。
sinθに絶対値を付ければ使えそうな気がします。
No.19932 - 2013/01/27(Sun) 01:14:36
★ (No Subject) / hj
y=log(x+1),y=logxおよびy=0,x=t(>1)
で囲まれた部分Aの面積をｆ（ｔ）とする。
Aをｙ軸の周りに一回転してできる立体の体積をG(t)とするときlim(d/dt)G(t)を求めよという問題で
G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-(1~t)logxdx
G(t)/π=t^2(1+(1/t))+t-1/2-log(t+1)
となりました。この極限はどうやってもとめたらよいのでしょうか？
No.19916 - 2013/01/26(Sat) 18:46:55
☆ Re: / IT
何がどうなるときの極限ですか？
No.19918 - 2013/01/26(Sat) 19:19:29
☆ Re: / hj
失礼しましたｔ→∞でした
まあG(t）の極限でもG(t)/πの極限でもかまいません
よろしくお願いします
No.19919 - 2013/01/26(Sat) 19:34:21
☆ Re: / IT
>G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-(1~t)logxdx
は、どうやってこうなるのですか？転記ミスではないですか？∫や２π、dxがうまくペアになってないと思います。

>まあG(t）の極限でもG(t)/πの極限でもかまいません
lim[ｔ→∞](d/dt)G(t) を求めるのでは？

答えは分かっていますか？
No.19922 - 2013/01/26(Sat) 20:22:59
☆ Re: / ばーびー
G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-∫(1~t)２πｘlogxdx
でしたね。バウムクーヘンの公式ですね
No.19924 - 2013/01/26(Sat) 21:22:39
☆ Re: / IT
G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-∫(1~t)２πｘlogxdxをｔで微分すると
(d/dt)G(t)
=２πtlog(t+1)-２πtlogt
=２πt(log(t+1)-logt)
=２πlog((t+1)/t)^t
=２πlog(1+(1/t))^t
lim[t→∞](1+(1/t))^t＝eなので
lim[t→∞](d/dt)G(t)＝２π ですかね。
No.19925 - 2013/01/26(Sat) 21:48:56
☆ Re: / hj
ｔで微分するのを忘れていました。納得しました。ありがとうございました
No.19926 - 2013/01/26(Sat) 22:25:50
★ ベクトル / 高専
点P(-6,8,9)から直線(x-2)/2=(y+2)/3=(z+5)/6に下した垂線とその直線との交点P'を求め，PP'の長さを求めよ．

答 P'(6,4,7),PP'=2√41

教えてください．
よろしくお願いします．
No.19915 - 2013/01/26(Sat) 18:27:50
☆ Re: ベクトル / らすかる
P'の座標を(2t+2,3t-2,6t-5)とおくと
PP'^2=(2t+8)^2+(3t-10)^2+(6t-14)^2=(7t-14)^2+164 だから
t=2のときが最小でP'の座標は(6,4,7), PP'=√164=2√41
No.19917 - 2013/01/26(Sat) 19:15:43
☆ Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます．
No.19921 - 2013/01/26(Sat) 19:48:31
★ 文系数学 / ｼﾞｬｽ
g(θ)=4cos^3θ-2cos^2θ-2cosθ-1 (0<θ<π)
g(θ)=0の３つの解を小さい順にθ1,θ2,θ3とするとき、
(1)t=cos(θ1/3)+cos(θ2/2)+cosθ3の値を求めよ。
cosθ1=1/√2 cosθ2=1/2 cosθ3=-1/√2を求めて、これらを利用することで
t=(-√2+2√3+√6)/4という値が得られました。あっているのでしょうか？
(2)正の整数l,m,nがcos(lθ1)=cos(mθ2)=cos(nθ3)を満たすときl+m+nの最小値を求めよ。
これはさっぱりです。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19911 - 2013/01/26(Sat) 16:56:02
☆ Re: 文系数学 / らすかる
g(θ)=0 を満たす解はありませんので、
問題が正しくないと思います。
No.19914 - 2013/01/26(Sat) 17:41:13
☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ
すみません。
g(θ)=4cos^3θ-2cos^2θ-2cosθ【+】1のまちがいでした。
きちんと推敲しなかったことをお許しください。
No.19929 - 2013/01/27(Sun) 00:40:31
☆ Re: 文系数学 / らすかる
(1)は合ってます。
(2)
cos(lθ1)及びcos(nθ3)の取り得る値は -1,-1/√2,0,1/√2,1
cos(mθ2)の取り得る値は -1,-1/2,1/2,1
ですから、cos(lθ1)=cos(mθ2)=cos(nθ3)が成り立つためには
式の値は-1か1でなければなりません。
式の値が-1になるとき
lの最小値は 4
mの最小値は 3
nの最小値は 4
合計は 11
式の値が1になるとき
lの最小値は 8
mの最小値は 6
nの最小値は 8
合計は 22
よってl+m+nの最小値は11です。
No.19933 - 2013/01/27(Sun) 01:31:09
☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ
解答ありがとうございます。
（θ1、θ2、θ3）＝（π/4、π/3、3π/4）よりcos(lπ/4)=cos(mπ/3)=cos(n3π/4) とできますよね。
0<θ<πより、0<θ1<π、0<θ2<π、0<θ3<πなので、
0<lπ/4<lπ、0<mπ/3<mπ、0<n3π/4<nπとなりますが正直これは必要ないですよね？地道に、たとえば0<lπ/4<lπならlに正の整数をいれて値を確認する程度で
たとえばl=1のときcoslπ/4=1/√2
l=2のときcoslπ/4=0
l=3のときcoslπ/4=-1/√2
・・・
といった具合にやれば問題ないですか？
教えて下さい。お願いします。
No.19935 - 2013/01/27(Sun) 01:42:17
☆ Re: 文系数学 / らすかる
はい、それで問題ないですし、それが一番早いと思います。
No.19936 - 2013/01/27(Sun) 01:46:13
☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ
ありがとうございました！
No.19938 - 2013/01/27(Sun) 03:21:25
★ ベクトル / 高専
以下の問題がわかりません．
解説よろしくお願いします．

2点(2,0,5),(0,3,-1)を通りyz平面に垂直な平面の方程式を求めよ．
答2y+z=5
No.19909 - 2013/01/26(Sat) 14:50:45
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
yz平面に垂直なので、点(2,0,5) からこの平面に沿って、
ｙｚ平面まで垂線が引けます。その足は(0,0,5)です。
点(0,3,-1)は、すでにyz平面上にあります。
よって、求める平面と、ｙｚ平面との交線は、２点(0,0,5)(0,3,-1)
を通る直線であり、それは x=0, z=-2y+5 です。
この直線を含んで、ｘ軸方向（ｙｚ平面に垂直な方向）に、
求める平面は存在するので、
　2y+z=5, ｘは任意の実数
というのが求める平面の式です。
No.19910 - 2013/01/26(Sat) 16:39:51
☆ Re: ベクトル / 高専
考えてみましたがよくわかりません．
No.19912 - 2013/01/26(Sat) 17:01:14
☆ Re: ベクトル / 高専
すみませんもう一度よく考えたら理解できました．
No.19913 - 2013/01/26(Sat) 17:18:02
★ 対称行列 / さくら
証明の仕方がわかりません
教えていただけるとありがたいです。
No.19902 - 2013/01/26(Sat) 00:28:00
☆ Re: 対称行列 / ヨッシー
言い換えれば
　ac=b^2 のときに (a-x)(c-x)=b^2 を満たすｘは何か？
という問題です。展開して
　x^2−(a+c)x＋ac＝b^2
b^2＝ac より
　x^2−(a+c)x＝０
これを解いて、x=0, a+c
No.19905 - 2013/01/26(Sat) 06:59:51
☆ Re: 対称行列 / さくら
やり方は理解できました。
ありがとうございます。
ac=b^2にどうしてなるのですか？
与えられた行列が正則だからですか？　　
No.19906 - 2013/01/26(Sat) 07:55:20
☆ Re: 対称行列 / ヨッシー
正則でない＝逆行列を持たない
からです。
No.19907 - 2013/01/26(Sat) 07:57:57
☆ Re: 対称行列 / さくら
ありがとうございます！
理解できました。
No.19908 - 2013/01/26(Sat) 08:30:31
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