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★ (No Subject) / Actually
曲線C:y=x^3-3x^2+4を直線x＝aに関して対称移動した曲線をDとする。CとDが異なる3つの共有点を持つためのaの値の範囲を求めよ

Dの方程式がy=(2a-x)^3-3(2a-x)^2+4と表すことができるところまでしか分かりません。解説よろしくお願いします。
No.81054 - 2022/02/24(Thu) 13:59:17
☆ Re: / らすかる
y=x^3-3x^2+4とy=(2a-x)^3-3(2a-x)^2+4の交点のx座標は
x^3-3x^2+4=(2a-x)^3-3(2a-x)^2+4を解けば求まる。
この式を整理すると
x^3-3ax^2+6a(a-1)x-2a^2(2a-3)=0
となるので、この方程式が3つの異なる実数解を持てばよい。
f(x)=x^3-3ax^2+6a(a-1)x-2a^2(2a-3)とおくと
f'(x)=3x^2-6ax+6a(a-1)
f(x)が極小値と極大値を持たなければならないので、
f'(x)の判別式は正でなければならない。すなわち
D/4=9a^2-18a(a-1)=-9a^2+18a=-9a(a-2)＞0
これを解いて
0＜a＜2
f'(x)=0を解くとx=a±√(-a^2+2a)
それぞれの極値をとるxに対するf(x)の値を計算すると
f(a-√(-a^2+2a))=-2a(a-2)√(-a^2+2a)＞0　（∵0＜a＜2）
f(a+√(-a^2+2a))=2a(a-2)√(-a^2+2a)＜0　（∵0＜a＜2）
（x=a±√(-a^2+2a)のときx^2=2ax-2a(a-1)を利用すると簡単）
よって極大値が正、極小値が負なので、0＜a＜2の全体で
f(x)=0は異なる3実数解を持つ、すなわちCとDが異なる3共有点を持つ。
従って答えは0＜a＜2。
No.81056 - 2022/02/24(Thu) 15:57:25
☆ Re: / m
別解

らすかるさんと同様に
f(x) = x^3-3ax^2+6a(a-1)x-2a^2(2a-3) = 0
が異なる三つの実数解をもつ条件を調べます．

グラフ C, D は x = a で対称なので x = a で交わります．
従って C, D を連立した方程式は x = a を解に持ちます．
因数定理によりこれは多項式 f(x) が (x-a) で割り切れることを意味しています．

あとは
g(x) = f(x)/(x-a) = x^2 - 2ax + 4a^2 - 6a
と計算して，g(x) が x ≠ a に異なる二つの実数解をもつ条件を調べればいいです．
No.81057 - 2022/02/24(Thu) 16:54:35
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１５日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは。

何卒宜しくお願い致します。

以下について随分悩んでいます

ご教授いただければ幸いです

以下、私の答案
No.81050 - 2022/02/24(Thu) 11:22:07
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
a[n-1]/n-1＜0
a[n-1]/n＜1
a[n-1]＜n
でよいのでは？
No.81051 - 2022/02/24(Thu) 12:05:21
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学１５日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生

こんにちは。

質問の仕方が悪かったようです。

何卒宜しくお願い致します。
No.81052 - 2022/02/24(Thu) 13:42:56
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
a[n]の一般項が出せない状況では、数学的帰納法を使うしかないと思います。
No.81055 - 2022/02/24(Thu) 15:39:38
★ 関数 / いなほ
6の問題です。
「x≧0であるような数」に対して定義される関数であると考えたのですが、答えは「すべてのx」でした。なぜでしょうか。
No.81042 - 2022/02/23(Wed) 18:34:19
☆ Re: 関数 / いなほ
書き忘れました、すみません。
大学の数学の教科書ですが、高校レベルかなと思います。よろしくお願いします。
No.81043 - 2022/02/23(Wed) 18:35:57
☆ Re: 関数 / m
「上式により関数 f(x) が定義される．．．」の上式とは何ですか．
No.81044 - 2022/02/23(Wed) 19:57:30
☆ Re: 関数 / IT
上じゃないけど「上式」としてあるのでしょうか？
「左式」とか「この式」とすべきか無くてもいい？
No.81045 - 2022/02/23(Wed) 21:47:51
☆ Re: 関数 / いなほ
上にあるのは5の別の問題なので、おそらく左式のことではないかと思っています。
No.81046 - 2022/02/23(Wed) 22:36:47
☆ Re: 関数 / m
早とちりしていました．
ITさんのご指摘があるまで気づきませんでした．
ありがとうございます．


> いなほさん

8 の立方根（三乗根ともいう）は 2 です．これは 2 の三乗が 8 だからでした．

さて，-2 の三乗は -8 です．したがって，-8 の立方根は -2 です．
また，-1 の立方根は -1 であり，-27 の立方根は -3 です．

このように立方根は負の数に対しても定義できます．
No.81047 - 2022/02/23(Wed) 22:58:52
☆ Re: 関数 / いなほ
>mさん

ご丁寧にありがとうございます。
立方根だから、ということですね。
平方根やほかの偶数のときと勘違いしてしまいました。
解決しました。
ありがとうございます。
No.81053 - 2022/02/24(Thu) 13:48:20
★ 比例/反比例 / さくら
教えて欲しいと頼まれたのですが、お恥ずかしながら解き方をすっかりと忘れてしまい質問させて頂きます。中学１年生の問題です。


問　yはxに比例し、zはyに反比例していて、x=3のときz=4である。x=15のときのzの値を求めなさい。


答え　1/2




z=a/axになるのでは？と考えたのですが、代入してみても解けず…どなたか数学が苦手でもわかる解説お願い致します。
No.81038 - 2022/02/23(Wed) 14:27:33
☆ Re: 比例/反比例 / ヨッシー
ｙ＝ａｘ、ｚ＝ｂ／ｙ　なので、
　ｚ＝ｂ／ａｘ
と書けます。ｘ＝３のときｚ＝４ですので、
　４＝ｂ／３ａ
　ｂ／ａ＝１２
ａ、ｂそれぞれいくつかはわかりませんが、
　ｂ／ａ＝１２
であることは、確実です。よって、
　ｚ＝１２／ｘ
と書けます。ｘ＝１５ のとき
　ｚ＝12/15＝4/5
であって、ｚ＝1/2 ではありません。
No.81039 - 2022/02/23(Wed) 14:34:03
☆ Re: 比例/反比例 / さくら
ありがとうございます。a、bが分からなくても解けることに大変感心致しました。
(どうやら解答冊子のページを間違えていたようでして、正答は仰る通り4/5でした。失礼致しました)
No.81040 - 2022/02/23(Wed) 16:11:44
★ 放物線 / Marin
座標平面上に放物線y=x^2と、A(0,6)を通り、傾きが正の直線lがある。また、放物線上のx座標が-2である点をBとする。放物線と直線lの交点でx座標が負の点をPとし、直線lとx軸の交点をQとする。点PがAQの中点となるとき、次の問いに答えなさい。ただし、原点をOとする。

(1)直線lの方程式を求めなさい。
(2)放物線上にx座標が正の点Rがある。三角形BORの面積が15となるとき、点Rの座標を求めなさい。
(3)(2)の点Rに対して、直線BRとx軸の交点をDとする。このとき四角形PBDQの面積を求めなさい。

(グラフは図示されていません）


この問題の(2)、(3)の解き方を教えて頂きたいです。

(1)は自力で解けたのですが、(2)と(3)は解答を見てもなぜこんな式になるのか？この数字はどこから出てきたのか？と疑問に思う箇所ばかりだったので、できれば理由まで説明をお願いします。


ちなみに答えは、、
(1)y=√3x+6 (2) R(3,9) 　(3)15-5√3
です。
No.81033 - 2022/02/23(Wed) 05:58:29
☆ Re: 放物線 / ヨッシー
>この数字はどこから
の理由は、その解答を見てみないと何とも言えないので、サクッと無視して、

(2)
点Ｒの座標を（x,x^2) (x＞0) とし、点Ｂ、点Ｒからｘ軸に下ろした垂線の足を
それぞれ　Ｃ：(-2, 0)，Ｓ(x, 0) とします。
　台形ＢＣＳＲ＝(4＋x^2)(2+x)/2＝(x^3＋2x^2＋4x＋8)/2
　△ＯＢＣ＝2×4÷2＝4
　△ＯＲＳ＝x^3/2
よって、
　△ＢＯＲ＝(x^3＋2x^2＋4x＋8)/2−4−x^3/2
　　＝x^2＋2x
これが 15 になるので、
　x^2＋2x＝15
これを解いて、
　(x＋5)(xー3)＝０
　ｘ＝３　（∵ｘ＞０）
Ｒの座標は (3, 9)


(3)
直線ＢＲの式は　ｙ＝ｘ＋６ なので、
直線ＰＱと点Ａで交わります。
　△ＡＱＤ＝(6−2√3)×6÷2＝6(3−√3)
ＡＢ＝(1/3)ＡＤ、ＡＰ＝(1/2)ＡＱ　より
　△ＡＢＰ＝△ＡＱＤ×1/3×1/2＝△ＡＱＤ×1/6
よって、
　四角形ＰＢＤＱ＝△ＡＱＤ×5/6＝15−5√3
No.81035 - 2022/02/23(Wed) 08:44:16
★ 確率 / カタログ
1,2,2²,2³…2²ⁿが書かれた2n+1枚のカードある。これらから無作為に2枚取り出し書かれた数字の合計をSとするとき,Sが5で割り切れる確率を求めよ.

数値を変えて自力で解いてみました。ですが答えが合っているか分からないので教えて貰えるとありがたいです

nが偶数の時 n+1/4m+1
nが奇数の時 n+1/4n+3

5で割った時の剰余が1,2,4,3の繰り返しであることから、2n+1個中のそれぞれの個数を数えて、1と4or2と3を1つずつ取り出す場合の数を求めてやりました
No.81029 - 2022/02/23(Wed) 01:30:55
☆ Re: 確率 / らすかる
偶数の時の中に書かれている「m」はnの間違いと判断することにしても、
答えは合っていないと思います。
私の計算では、偶奇によらず(n+1)/(4n+2)となりました。
No.81030 - 2022/02/23(Wed) 02:07:48
☆ Re: 確率 / カタログ
nの偶奇で各剰余の数って変化しませんか？途中過程も教えていただけると助かります
No.81031 - 2022/02/23(Wed) 02:27:06
☆ Re: 確率 / らすかる
nが偶数のとき
剰余1がn/2+1枚、他がn/2枚なので
(1,4):(n/2+1)(n/2)
(2,3):(n/2)^2
これを足して(2n+1)(2n)/2で割れば(n+1)/(4n+2)
nが奇数のとき
剰余3が(n-1)/2枚、他が(n+1)/2枚なので
(1,4):((n+1)/2)^2
(2,3):((n-1)/2)((n+1)/2)
これを足して(2n+1)(2n)/2で割れば(n+1)/(4n+2)

ちなみに、2n+1枚から2枚取り出す場合の数は
(2n+1)(2n)/2=n(2n+1)ですから、確率は
(条件を満たす場合の数)/{n(2n+1)}
となり、これを約分したものになりますので、
分母は必ずn(2n+1)の約数の定数倍すなわち
Cn(2n+1)またはC(2n+1)またはCnまたはC
のいずれかになり、決して「4n+1」や「4n+3」になることはありません。
No.81032 - 2022/02/23(Wed) 02:32:53
★ (No Subject) / has
AB=7cm,BC=8cm,角ABC＝120度　を満たす、３点A、B、Cを通る円をかき、DA＝DCを満たす点Dを円周上にとる。この時、次の項目を求めよ。
（１）半径の長さ
（２）線分AC,BDの交点をPとするとき、BP：PDの最も簡単な整数比
（３）この四角形ABCDの面積
No.81021 - 2022/02/22(Tue) 21:30:28
☆ Re: / has
どなたか回答お願いいたします。
No.81022 - 2022/02/22(Tue) 21:30:53
☆ Re: / けんけんぱ
(1)
三角形ACDは何三角形
(2)
三角形ABPと三角形CDP
(3)
三角形２つの面積の和
No.81024 - 2022/02/22(Tue) 21:48:34
☆ Re: / ヨッシー
点ＡからＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとします。
ＡＢ＝７であり、△ＡＢＨは１：２：√3 の直角三角形なので、
　ＢＨ＝7/2、ＡＨ＝7√3/2
△ＡＣＨにおける三平方の定理より
　ＡＣ^2＝ＡＨ^2＋ＣＨ^2
　　＝147/4＋529/4＝169
　ＡＣ＝１３

△ＡＣＤにおいて、∠ＡＤＣ＝60°、ＡＤ＝ＤＣより
　△ＡＣＤは１辺１３の正三角形
円はその外接円なので半径は
　13√3/2×2/3＝13√3/3　・・・(1)

(3) を先にします

ＤＢでこの四角形を切って、ＤＡがＤＣに重なるように移動すると、
１辺ＢＣ＋ＢＡ＝１５　の正三角形が出来ます。
よって、その面積は
　15×15√3/2÷2＝225√3/4　・・・(3)

△ＡＣＤは１辺１３の正三角形
四角形ＡＢＣＤは、１辺１５の正三角形なので、
　ＢＰ：ＰＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝(15^2−13^2)：13^2＝56:169　・・・(2)
No.81026 - 2022/02/22(Tue) 21:54:55
☆ Re: / has
僕が理解できていないだけなのですが、『四角形ABCDが一辺１５の正三角形』とはどういうことなのでしょうか。
No.81027 - 2022/02/22(Tue) 23:24:30
☆ Re: / ヨッシー
四角形ＡＢＣＤは、１辺１５の正三角形（と同じ面積）なので、
でした。
失礼しました。
No.81028 - 2022/02/22(Tue) 23:29:57
★ 確率漸化式 / A
硬貨が3枚あり,?@, ?A, ?B と番号がついている。
次のような試行を繰り返し行う.
(試行)残っている硬貨(1回目は ?@,?A,?Bの3枚)をすべて投げ、裏が出た硬貨のうちで番号が最小のものを取り除く.取り除いた硬貨は次回以降の試行では使わない.
ただし,裏が出た硬貨がないときは硬貨はどれも取り除かない.
n回目の試行で?@の硬貨が取り除かれる確率をp(n),n回目の試行で?Aの確率が取り除かれる確率をq(n),n回目の試行で?Bの硬貨が取り除かれる確率をr(n)とする.
(1)p(n)をnで表せ.
(2)q(n+1) をp(n)およびq(n)で表し,q(n)をnで表せ.
(3)r(n)を最大にする自然数nの値を求めよ.

入試直前ゼミで渡された問題なんですけど、自分は(1)からどう解けばいいのかわかりません。詳しい解説していだきたいです。よろしくお願いいたします。
No.81016 - 2022/02/22(Tue) 19:52:22
☆ Re: 確率漸化式 / A
硬貨が3枚あり,1, 2, 3と番号がついている。
次のような試行を繰り返し行う.
(試行)残っている硬貨(1回目は 1,2,3の3枚)をすべて投げ、裏が出た硬貨のうちで番号が最小のものを取り除く.取り除いた硬貨は次回以降の試行では使わない.
ただし,裏が出た硬貨がないときは硬貨はどれも取り除かない.
n回目の試行で1の硬貨が取り除かれる確率をp(n),n回目の試行で2の硬貨が取り除かれる確率をq(n),n回目の試行で3の硬貨が取り除かれる確率をr(n)とする.
(1)p(n)をnで表せ.
(2)q(n+1) をp(n)およびq(n)で表し,q(n)をnで表せ.
(3)r(n)を最大にする自然数nの値を求めよ.

上記の問題文に誤字があったので訂正しました。よろしくお願いいたします。
No.81017 - 2022/02/22(Tue) 19:56:05
☆ Re: 確率漸化式 / IT
(1)１がｎ回目に取り除かれる
1はn-1回目までは表で,n回目は裏｡

国立入試前期日程なら今週では？　解答なしの問題などやらせているとは！
No.81018 - 2022/02/22(Tue) 20:02:37
☆ Re: 確率漸化式 / A
すみません、明日、解説があるんですけど、この問題だけがどうしても手がでなくて、モヤモヤしていたので質問させていただきました。
No.81019 - 2022/02/22(Tue) 20:22:45
☆ Re: 確率漸化式 / IT
(2)２の硬貨がn+1 回目に取り除かれる
　２の硬貨はn回目までは取り除かれない　かつ
　２の硬貨はn+1回目に裏が出る　かつ
　n+1回目に１の硬貨は取り除かれない。
No.81020 - 2022/02/22(Tue) 20:23:56
☆ Re: 確率漸化式 / A
(1)(1/2)^n
(2)1/4(1-q(n))(1-p(n))
であっていますか？
No.81036 - 2022/02/23(Wed) 10:44:17
☆ Re: 確率漸化式 / A
(3)も教えてほしいです。
No.81037 - 2022/02/23(Wed) 10:45:15
☆ Re: 確率漸化式 / IT
> (1)(1/2)^n
> (2)1/4(1-q(n))(1-p(n))
> であっていますか？
(1) 合ってると思います。
(2)(1/4)(1-q(n))(1-p(n))ですか? 間違っていると思いますが、　明日、授業で確認された方が良いかと思います。
No.81048 - 2022/02/23(Wed) 23:13:04
★ (No Subject) / Haya.Y
底面が▲BCDで一辺の長さ2√3の正四面体A-BCDがある。この正四面体の辺DAの延長上にDO＝4√3となる点Oをとり、Oから▲BCDの平面に垂線OHを下ろす。BC垂直DHを保ちながら、OHを軸として、この正四面体を一回転させるとき、正四面体が通った部分の体積を求めよ。

なるべく中学の範囲を使ってといていただけるとありがたいです。
No.81014 - 2022/02/22(Tue) 18:19:19
☆ Re: / らすかる
BCの中点をMとして、最も内側は線分AM、もっとも外側は線分ADですから
△AMDを回転すると考えればOKです。
AからDHに下した垂線の長さは2√2 → OH=4√2
AからOHに下した垂線APの長さは2
MH=1
DH=4
ですから、直線AMと直線OHの交点をQとすると
(求める立体の体積)
=(四角形PHDAを回転して出来る円錐台の体積)
　-(四角形PHMAを回転して出来る円錐台の体積)
=(△OHDを回転して出来る円錐の体積)×(7/8)
　-(△PQAを回転して出来る円錐の体積)×(7/8)
=π×DH^2×OH×(1/3)×(7/8)-π×AP^2×PQ×(1/3)×(7/8)
=π×(7/24)×(DH^2×OH-AP^2×PQ)
=π×(7/24)×(4^2×4√2-2^2×4√2)
=(14√2)π
No.81015 - 2022/02/22(Tue) 18:47:40
★ 角度 / 角度
角MOPが120度の時の角BACは何度ですか？点Mは辺BCの中点です。
No.81011 - 2022/02/22(Tue) 02:42:11
☆ Re: 角度 / らすかる
「∠MOP=120°」と「点Mは辺BCの中点」とこの図だけでは、∠BACは決まりません。
何か条件が抜けていませんか？

条件から∠OBC=30°であることだけはわかりますが、
例えば∠ABC=60°、∠BAC＞60°である「適当な」三角形を描き、
∠ABCの二等分線を半直線BPとし、AからBCに垂線AHを下し、
BCの中点をMとして線分AMを描き、BCの垂直二等分線と半直線BPとの交点をOとすれば
この図になります。よって∠BACはこの条件では決まりません。
No.81013 - 2022/02/22(Tue) 03:30:36
★ 二項係数 / ボスニア・ヘルチェゴ美奈
k,m,nは自然数でm>nとします。
C[i,j]は二項係数とし、i<jとなるようなものはすべて0とします。

2{Σ[j=k〜m-k] C[m-1-j,k-1]C[j-1,k-1]C[n-1,j-1]} / {Σ[j=k〜m-k] C[m-1-j,k]C[j-1,k-1](C[n-1,j-1]+C[n-1,m-1-j])}

ってたぶんnの値によらない、しかも簡単な値になるような気がするのですが、どのように計算をするとそのことが証明出来るのか、教えてほしいです。

参考
https://www.wolframalpha.com/input?i=2%7B30〜70の+Binomial%5B99-j%2C29%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+Binomial%5B39%2Cj-1%5Dの総和%7D%2F%7B30〜70の+%28Binomial%5B99-j%2C30%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+%28Binomial%5B39%2Cj-1%5D%2B+Binomial%5B39%2C99-j%5D%29%29の総和%7D&lang=ja

https://ja.wolframalpha.com/input?i=2%7B30〜70の+Binomial%5B99-j%2C29%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+Binomial%5B3999999%2Cj-1%5Dの総和%7D%2F%7B30〜70の+%28Binomial%5B99-j%2C30%5DBinomial%5Bj-1%2C29%5D+%28Binomial%5B3999999%2Cj-1%5D%2B+Binomial%5B3999999%2C99-j%5D%29%29の総和%7D

よろしくお願いします。
No.81008 - 2022/02/20(Sun) 19:02:54
☆ Re: 二項係数 / m
値は 2k/(m-2k) になりそう．
証明はできていません．
どういった経緯で出てきた式ですか．
No.81010 - 2022/02/21(Mon) 23:46:36
☆ Re: 二項係数 / ボスニア・ヘルチェゴ美奈
これを考えていると出てきました。
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=80956
No.81012 - 2022/02/22(Tue) 03:24:01
★ シグマがわからない / シグマがわからない
ここからの計算の仕方を教えてください。答えでは3分2が3分1に変わっており、+nが3に変わっているところがわからないです
No.81004 - 2022/02/20(Sun) 05:33:47
☆ Re: シグマがわからない / シグマがわからない
ここからの解き方です。送り間違えました。すみません。
No.81005 - 2022/02/20(Sun) 05:35:33
☆ Re: シグマがわからない / ヨッシー
解答の１行目の式の（　）はそのままで｛　｝だけ
展開してみてください。
No.81006 - 2022/02/20(Sun) 06:50:21
★ 極限 / 極限苦手
次の写真の問題なのですが答えと自分が解いた解法が違くて答えが一致しませんでした。
どこが間違っているかご教授お願いします
No.80999 - 2022/02/19(Sat) 14:05:48
☆ Re: 極限 / 極限苦手
(3)が答えです
No.81000 - 2022/02/19(Sat) 14:06:38
☆ Re: 極限 / IT
最初の分子の変形がまちがってます。
No.81001 - 2022/02/19(Sat) 14:15:43
★ 子供の塾のテストがわかりません / 算数にがて父
子供の塾のテストの問題がわかりません。
子供が解説をもってこず（なくした？）、説明しようにも、父は算数が苦手でどうしようもなく検索して、この掲示板にたどりつきました。
何卒、算数が苦手な父にもわかるようにご解説いただけませんでしょうか。

【問題】
あるきまりに従う数列
A：１，３，４，７，８，９，13、14、15、16、21、22　・・・
B：２，５，６，10、11、12、17、18、19、20、26、27　・・・
（１）Aの左から25番目の整数は？
（２）Aの左から数えて１番目から□番目までの整数の合計と、Bの左から数えて□番目までの整数の合計の差が440のとき、Bの左から□番目の整数はいくつか？　ただし□は同じ数字が入る
No.80989 - 2022/02/19(Sat) 01:33:38
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / IT
まず、「あるきまり」を見つけるため
１、２、３、,....、25，26、27,を全部書いて
Aの数列に入る数には上にAと書いて、Bに入る数には下にBと書いてみてください。
No.80990 - 2022/02/19(Sat) 01:56:06
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / 算数にがて父
Aと（B）は、１（２）３、４（５，６）７，８，９、（10、11、12）、13、14、15、16、（17、18、19、20）というように互いに「同じ数ずつ並んでいる」ことは分かるんですが、これをどう使えばよいのでしょうか？
２５番目は１＋２＋３＋４＋５＋６　ここまでで21なので、あと４つ　つまり
（1）（3、4）（7、8、9）（13、14、15、16）（21、22、23、24、25）（31、32、33、34、35、36）（43、44、45、46、47、48、49）となって46が25番目の整数であることもわかるのですが、どうやったら数式になるのやら。
No.80991 - 2022/02/19(Sat) 02:45:09
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / IT
分かっていることは、あらかじめ書かれた方がお互いに無駄がないと思います。

何年生（相当）の算数（数学？）で、どんな数列の概念や公式などが既習ですか？

（２）　まず、A,B各固まり毎の合計の差がいくらになるかを調べれば見えてくるのでは？
１
２　

３、４
５，６

７，８，９
10、11、12

13、14、15、16
17、18、19、20
No.80994 - 2022/02/19(Sat) 07:03:04
☆ Re: 子供の塾のテストがわかりません / ヨッシー
Ａの最初の１個の数を第１グループ、次の２個の数を第２グループ、
次の３個のグループを第３グループ、以下同じ、とします。
Ｂについても同様にグループ番号を付けます。
ここまでで分かることは、
・同じグループには、連続する整数が入る
・第ｎグループに入る数はｎ個である
・Ａの第１、Ｂの第１、Ａの第２、Ｂの第２・・・　と並べると１から始まる整数の列となる

(1) は
　25番目の数が何番目のグループかを調べる
のがポイントで、
　１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１
を見つけたら、即座に
　Ｂの第６グループの最後の数は　２１×２＝４２
にたどり着き、その先は４つ進めるだけです。

(2) は
Ｂの数とＡの数の差を表すＣという数列を用意します。つまり、
　Ｃ：1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,・・・
であり、第ｎグループはｎ個のｎで出来た数列になります。
Ｃの最初からの合計が４４０あたりになるのは何番目のグループかを
見つける作業になりますが、第ｎグループまでの和は
　１＋２×２＋３×３＋・・・＋ｎ×ｎ＝１2＋２2＋３2＋・・・＋ｎ2
であり、
　１＋４＋９＋・・・＋１００＝３８５
　１＋４＋９＋・・・＋１００＋１２１＝５０６
から、第１０グループの最後までで、ＢとＡの差は３８５になっています。
あと、４４０まで１１を何回足せば良いかという問題となります。

ここで２つ公式を紹介します。知らなければ、１から順に足していくだけです。
　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝n×(n+1)÷2
　１2＋２2＋３2＋・・・＋ｎ2＝n×(n+1)×(2n＋1)÷6
ちなみに、
　１2＋２2＋３2＋・・・＋ｎ2＝n×(n+1)×(2n＋1)÷6
は、高校で習う公式です。

この問題のポイントですが、
・グループという考え方が出来て、１＋２＋３＋・・・という発想が出来るか
・上のＣが思いついて、１2＋２2＋３2＋・・・という発想が出来るか
ということで、上に書いた公式は、知っておいて損はないですが、あまり役には立ちません。
No.80995 - 2022/02/19(Sat) 08:15:03
★ 広義積分 / 辰彦
至急です。コロナで頭が働きません。今日の24時までにお願いします！途中式を、可能な限り細かく記載お願いしたいです…！
No.80987 - 2022/02/18(Fri) 21:13:47
★ 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / りん
nを2以上の自然数とするとき、連続するn個の自然数の積は平方数にならないことを示したいのですが、教えてください。
No.80977 - 2022/02/18(Fri) 17:07:25
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / IT
どこからの出題ですか？　レベルは？

連続するn個の自然数の積がx^L（xは自然数Lは２以上の自然数）にならないことについて、下記に証明があるようですが、確認していません。
相当な難問だと思います。

https://www.renyi.hu/~p_erdos/1975-46.pdf
No.80982 - 2022/02/18(Fri) 19:23:48
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / りん
n＝7のときに参考書で解いたので
一般のnで出来るのかと思って質問しました。
No.80984 - 2022/02/18(Fri) 20:02:12
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / IT
興味があって余力があるなら先ほどのを読んでみてください。
（受験勉強が目的ならパスで）
No.80985 - 2022/02/18(Fri) 20:11:43
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / けんけんぱ
東京大学 理系 2012年度 第4問　が似たような問題です
http://server-test.net/math/
No.80988 - 2022/02/18(Fri) 21:26:20
☆ Re: 連続するn個の自然数の積が平方数にならない / りん
見てみます。
ありがとうございます。
No.81003 - 2022/02/19(Sat) 22:01:26
★ 複素数平面 / ケンタ
α=-1+i β=7-5i γ=2+yi
角αβγの大きさがπ/6である時、yの値はどうなりますか？
No.80972 - 2022/02/18(Fri) 10:37:40
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー

図の角をθとすると、
αβの傾きは −3/4 なので、
　tanθ＝−3/4
また、
　tan(π/6)＝1/√3
なので、加法定理より
　tan(θ＋π/6)＝(−3/4＋1/√3)/(1＋√3/4)
　　　＝(25√3−48)/39
これがβγの傾きとなります。
(中略)
ｙ＝(45−125√3)/39

また、図の破線方向のγも考えられます。
こちらはご自分でどうぞ。
No.80974 - 2022/02/18(Fri) 11:12:41
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
今回は回答者様に不快な思いをさせてしまい
申し訳ありませんでした。

前回の質問から月日が経っておりますので、改めて質問させてください。

問題と私の答案

何卒宜しくお願い致します。
No.80961 - 2022/02/17(Thu) 07:43:24
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
以前の質問

No.80907 - 2022/02/14(Mon) 07:01:53
No.80962 - 2022/02/17(Thu) 07:58:32
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
a_1=6 ,a_1=10 nなども興味があります
No.80964 - 2022/02/17(Thu) 10:05:53
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
初期値によって極限が異なるようです
No.80965 - 2022/02/17(Thu) 10:15:16
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
考察してみました
No.80966 - 2022/02/17(Thu) 11:24:13
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
a_1=1 のとき減少関数と決定付け出来ればいいのですが、
No.80967 - 2022/02/17(Thu) 12:03:59
☆ Re: 漸化式と極限 / m
答案について．

> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
これは正しいがこの事実から
> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
は導かれません．

まず，y = p^2/n^2の n = 2, 3, 4, ... における最大値は
n = 2 とした 1+(p/2)^2
です．これから結論付けられるのは
a[n] ≦ 1+(a[n-1]/2)^2
だけです．実際は
a[n-1] ≦ 2 　...(*)
が成り立つことから a[n]≦2 も示されるが，その説明がない．
もちろん (*) が成り立つ理由も必要です．
// (*)が成り立つためには a[n-2] ≦ 2 であればいいですよね．
数学的帰納法で証明するのがいいかなと思います．
No.80968 - 2022/02/17(Thu) 18:54:23
☆ Re: 漸化式と極限 / m
考察について．

>初期値によって極限が異なるようです
その通りです．
実は a_1 = 6 のとき数列は
6.0
10.0
12.111111111111112
10.16743827160494
5.135072040275874
1.7324712460784175
1.061254216703847
1.0175978205073704
1.0127840163493993
と並び，収束します．
その一方で a_1 = 10 のときは発散します．（証明は簡単ではないと思う．）

もう少し考えてみてください．

// 初期値 a_1 によって極限がどう変わるかは難しい問題だと思います．
No.80969 - 2022/02/17(Thu) 18:56:52
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
収束・発散の境界の値は
7.22315462674400236941604532548650697832103946911074…
という値になるようですね。
a[1]がこの境界値のとき、a[n]は発散しますが
lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
となるようです。
No.80970 - 2022/02/17(Thu) 22:16:39
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生、ラスカル先生

ご返答ありがとうございます

丸投げで恐縮ですが、下の
Ａ、Ｂが、理解できません、詳しく教えていただけると幸いです

私は、理解力が弱いのです、

何卒宜しくお願い致します。
No.80973 - 2022/02/18(Fri) 10:58:05
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル様

一つ質問があります

私は大事な局面を考えてなかったようです

＞lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
となるようです。

この事実について詳しく教えてください。

何卒宜しくお願い致します。
No.80975 - 2022/02/18(Fri) 16:10:15
☆ Re: 漸化式と極限 / m
>K.A さん
A について，書き間違いがありました．混乱させてしまい申し訳ありません．

誤：n = 2 とした 1+(p/2)^2
正：n = 2 とした (p/2)^2

// 文字 p を使わなくてもいいかもしれません．
n = 2, 3, 4, ... に対して
(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
が成り立つ．これにより
a[n] = 1 + (a[n-1]/n)^2 ≦ 1 + (a[n-1]/2)^2 　...(**)
が成り立つ．


B について．
目標は「自然数 n に対して 1≦a[n]≦2 」を示すことでした．

a[n-1] ≦ 2 　...(*)
が成り立つと仮定すれば，(**) と合わせて
a[n] ≦ 1+(2/2)^2 = 2
を得る．

この議論と数学的帰納法を組み合わせて"目標"を示すことはできますか．
No.80976 - 2022/02/18(Fri) 16:16:22
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

早速ご返信ありがとうございます

一つ詳しく教えていただけると幸いです

＞(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
が成り立つ．

その理由が私はあやふやで正しく掴めていません

何卒宜しくお願い致します。
No.80978 - 2022/02/18(Fri) 17:36:32
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
これは正しいがこの事実から
> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
は導かれません．

ここら辺からよくわかりません

私の数学は勘に頼りすぎなので。。。
No.80979 - 2022/02/18(Fri) 18:12:13
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
> ＞lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
> となるようです。
>
> この事実について詳しく教えてください。

例えば初期値を7.2231にすると
7.2231
14.0432934025
22.912676620966669667361111111111…
33.811921871062037710884416596959…
46.729842424592134764318520370127…
61.657727028533636784364008135025…
78.585210251534028064267677399435…
97.494301098090764037845392555150…
118.347391933397308129298100938249…
141.061051774371542382815766376128…
165.448101881751478228705440835664…
191.090794557461229383680466026139…
217.069182039064226065386296191802…
241.403213219940832635096823544980…
260.002272679609850597285463999663…
265.067116400633573904762126460304…
244.116180612273453895929313472052…
184.928116162728746098270202022501…
95.732432541539326583023721453286…
23.911746600800944520337659432055…
2.296534298188017063089766053690…
1.010896838394119686099225424806…
1.001931781508270750346120698297…
のようになってある程度の項数(この例では15項ぐらい)までは
順調に増えていきますが、その後急速に減って1に収束しますね。

また、初期値を7.2232にすると
7.2232
14.04365456
22.913803711178754844444444444444…
33.815150032151829897313289436456…
46.738574867877516101520284972805…
61.680399463338660325154934943048…
78.642279141980165237648293880036…
97.634501072580133661388190363837…
118.685133329526558893256218138734…
141.861608734474960471446471217761…
167.319967212671590048637492109814…
195.416468250343721547085502523400…
226.962106884246128781573184096453…
263.815295721101857158761959063836…
310.326712250721883834494153458771…
377.182298188837264595587924553458…
493.271578086550002948288237329385…
751.977931320973447740445942786907…
1567.401133500749748971241784772506…
6142.865783248587842561825567083744…
85567.439979606092048406926511510556…
15127659.645998948368572283143087249905…
432601297477.720279530013092214485308635878…
324902573922581656744.036621028068991771319345415809…
のようになってやはりある程度の項数までは順調に増えますが、
その後爆発的に増えて発散します。
よって境界値が7.2231と7.2232の間にあることがわかりますが、
ちょっとしたプログラムを作って二分探索で境界値を調べていくと、上に書いた
7.22315462674400236941604532548650697832103946911074…
という値のときに「順調に増える項の数」が長くなります。
（この値は500桁程度求めてありますが、ここに書いても意味が
ありませんので、書くのは途中の桁で打ち切りました。）

そして境界値のときに値がどうなっていくかを観察すると
7.223154626744002369416045325486…
14.043490690463322047339619237130…
22.913292308125554868531781263237…
33.813685274850357354421137110623…
46.734612474665275479295132522153…
61.670111198809421780640773601610…
78.616379903541209339613357286268…
97.570862330279970742335684291411…
118.531767603388234597701287566714…
141.497799311836366318294971578461…
166.467993471840661666403827940806…
193.441617017644341315487302301641…
222.418101742017685386076121780190…
253.396999910829237421241077149486…
286.377953616927966922719446007885…
321.360673116481820360001268177595…
358.344921196810662214111536744605…
397.330501689964331620004333953781…
438.317250895287392203500571113280…
481.305031081005790555397840115373…
526.293725496344557994223282112541…
573.283234497565450138170494834610…
622.273472506598519870177000785503…
673.264365599688236104156464238433…
726.255849578161062907033491254373…
781.247868411977083631435276903178…
のようになっていて、整数部が最初の2項を除きn^2+4n+1となり、
小数部が減っていきます。
この先頭の少しの項ではこの後もn^2+4n+1が続くかどうかわかりませんが、
ずっと先を求めていくと
a[100]=10401.075167639232047458174152189362…
a[200]=40801.038747881580670186778979317942…
a[300]=91201.026103278486498192792159158593…
a[400]=161601.019681114359344827818264494027…
a[500]=252001.015795144167465294986190396341…
a[600]=362401.013190713726384735328005783945…
a[700]=492801.011323600544162945778282228200…
a[800]=643201.009919522667017122414109934352…
a[900]=813601.008825234689128316068140518075…
a[1000]=1004001.007948396475627683424135530873…
のようになり、予想が正しそうに思えます。
（証明していませんのであくまでも予想ですが。）
小数点以下は、8/(n+6)に近づいているようですが、
これは（一見正しそうには見えますが）ちょっと怪しいです。

よってこれらの観察の結果、初期値が「境界値」である場合に
lim[n→∞]{a[n]-(n^2+4n+1)}=0
が成り立つことが予想される、ということです。
No.80980 - 2022/02/18(Fri) 18:33:09
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生ありがとうございます

今

a[1] =10を考えているのですが、私は
a[n]＞(n+2)^2
を示せれば、この数列は∞に発散すると言えると踏まえています

ラスカル先生の示した数式と近いのでご質問いたしました
No.80981 - 2022/02/18(Fri) 18:55:00
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
a[n]＞(n+2)^2ならば
a[n+1]＞1+{(n+2)^2/(n+1)}^2
=(n+3)^2+3+(4n+5)/(n+1)^2
＞(n+3)^2
なので確かに言えますね。

同様にa[n]＞(n+2)^2=n^2+4n+4がa[n]＞n^2+4n+3でも
a[n+1]＞1+{(n^2+4n+3)/(n+1)}^2
={(n+1)^2+4(n+1)+3}+2
＞(n+1)^2+4(n+1)+3
となり、言えます。

a[n]＞n^2+4n+2の場合は
a[n+1]＞1+{(n^2+4n+2)/(n+1)}^2
={(n+1)^2+4(n+1)+2}+(n^2-2n-2)/(n+1)^2
となりますので、n^2-2n-2＞0すなわちn≧3であれば言えます
つまりこの場合、a[3]＞23ならば発散が言えるということです。
a[3]=23から逆算するとa[1]=7.23083599…となりますので、
少なくともa[1]≧7.24であれば発散すると言えますね。
No.80983 - 2022/02/18(Fri) 20:01:17
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ラスカル先生

ありがとうございます

スッキリしました

追伸

まだまだこの問題でやり残した疑問があり今夜は眠れそうもありません
No.80986 - 2022/02/18(Fri) 20:58:06
☆ Re: 漸化式と極限 / m
返信遅くなってすいません．出かけてました．

>＞(a[n-1]/n)^2 ≦ (a[n-1]/2)^2
>が成り立つ．
>
>その理由が私はあやふやで正しく掴めていません

n ≧ 2 に対して
1/n^2 ≦ 1/2^2
だからです．
// n≧2 の両辺を二乗して逆数をとっているだけなので，この方が簡単かなと思いました．


>> y = p^2/n^2 は n = 2, 3, 4, ... で減少関数である．
>これは正しいがこの事実から
>> 故に n = 2 のとき最大値 = 1+(1/2)^2
>は導かれません．
>
>ここら辺からよくわかりません

最大値というのは数列 a[n] の最大値ですよね．
>最大値 = 1+(1/2)^2
となる根拠が足りていないということです．
具体的に何が不足しているかは後回しにして，間違っていることは次のようにして確認できます．

もしこの論法が正しいのだとすれば a[1] = 6 の場合は
数列 a[n] の最大値が 1+(6/2)^2 = 10 であることになってしまう．
No.80969 の計算からこれは間違い．

// a[n] は a[n-1] によって決まる．a[n-1] は a[n-2] によって決まる．．．
// そんな a[n-1] をいっぺんに p = a[n-1] とおいて処理しているのが問題だと思う．
No.80992 - 2022/02/19(Sat) 06:19:00
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

おはようございます。

早速のご返答ありがとうございます

大分参考になりそうです

今から頂いた指導を理解します

何分理解力が弱いので返信が遅くなるかもしれません

今日中には一度ご返信致します。

何卒宜しくお願い致します。
No.80993 - 2022/02/19(Sat) 07:02:44
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

一つの事実について確認しました

その論理が正しいかどうかご指導いただけると幸いです

以下質問
No.80996 - 2022/02/19(Sat) 08:32:55
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

a[n-1とnとが連続というようなイメージです

アバウトで申し訳ございません。
No.80997 - 2022/02/19(Sat) 08:58:04
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
本日の答案作成　最新

何卒宜しくお願い致します。
No.80998 - 2022/02/19(Sat) 12:20:53
☆ Re: 漸化式と極限 / m
No.80996 の画像の中の
2 > 1 = a[1] > a[2] > a[3] > ... > a[n-1] > a[n]
やNo.80998 の 丸B の式の意味/意図が分かりません．（書き間違い？a[2] は a[1] より大きい）

>a[n-1とnとが連続というようなイメージです
これもイメージが伝わりません．


質問．
1. 数学的帰納法は知っていますか．
2. No.80976 の下半分で挙げた数学的帰納法を使った証明は理解できますか．

// 個人的に，この証明をするには帰納法が一番だと思っています．（そもそも漸化式と帰納法は相性がいい）
// ただ，他の可能性をつぶしてしまうのはよくないとも思っています．
// とりあえず帰納法を理解して，そのあとで考え直すというのはどうですか．
No.81002 - 2022/02/19(Sat) 15:31:19
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

ご返信が遅れてしまい申し訳ございません

寝込んでました

少し自分で考えてみます

私は、数学的帰納法は最終手段と思っていて、なるべく回避したいです

生意気な事を申しまして申し訳ございません

明日午前までには一度ご連絡致します。

その際はよろしくお願いします。

ｍ先生を独り占めですね。

恐縮です。
No.81007 - 2022/02/20(Sun) 14:27:59
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１３日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

未だ思考中です

申し訳ございません。
No.81009 - 2022/02/21(Mon) 12:09:41
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１４日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

遅くなり申し訳ございません。

数学的帰納法で考えてみました

助言をお願い致します。

また、数学的帰納法を用いず解く術を教えていただけると幸いです
No.81034 - 2022/02/23(Wed) 08:44:01
☆ Re: 漸化式と極限 / m
>K.A さん
合っています．
最後の行は
lim[n→∞] (1+4/n^2) = 0 から...
ですね．（書き間違いだと思う）

数学的帰納法を使わない方法は私には思いつきません．
No.81041 - 2022/02/23(Wed) 17:18:41
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１４日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

ありがとうございました

別に質問を立てます

本当にありがとうございました
No.81049 - 2022/02/24(Thu) 11:19:41
★ 確率 / 連の個数
100個の箱が横一列に並んでいます。
その箱へ40個の玉を無作為に入れます。
箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録していき、1と0からなる長さ100の数列Pを作ります。

次に一旦40個の玉は全て取り出し、新たに400万個の玉を100個の箱へ無作為に入れます。
先ほどと同様に、箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録して、1と0からなる長さ100の数列Qを作ります。

数列Pの連が60個である確率をp(60)、連が61個である確率をp(61)とします。
数列Qの連が60個である確率をq(60)、連が61個である確率をq(61)とします。

p(60)/p(61) と q(60)/q(61) はどちらが大きいのでしょうか？


連とは同じ数字の連続するブロックのことで、例えば
10000110
であれば連の個数は4です。
No.80956 - 2022/02/16(Wed) 22:10:13
☆ Re: 確率 / らすかる
ほぼ「勘」ですが、
p(60)/p(61)の方が大きくなりそうな気がします。
理由
Qの方は左端の箱と右端の箱の両方に玉が入っている確率がきわめて高いので
連が奇数になる確率が高く、偶数になる確率は低いと思います。
よってq(60)/q(61)はかなり小さい値になると予想されます。
それに対し、Pの方は左端の箱と右端の箱のどちらか一つだけに入る確率、
すなわち連が偶数個になる確率が約40%ありますので、p(60)/p(61)は
極端に小さな数にはならないと思います。
No.80971 - 2022/02/17(Thu) 23:51:27
☆ Re: 確率 / 連の個数
ありがとうございました。
とても参考になりました。
No.81099 - 2022/03/04(Fri) 12:28:12
★ 確率 / j
画像の問題について、P→Qの経路の総数を分母、P→Cn(n=1,2,3,4)→Qの経路の総数を分子にして確率を計算したのですが不正解でした。理由を教えていただけると助かります。
No.80948 - 2022/02/16(Wed) 19:57:22
☆ Re: 確率 / 高校三年生
C5が抜けてるからじゃないでしょうか？
No.80950 - 2022/02/16(Wed) 20:28:32
☆ Re: 確率 / j
すみません、それは私の表記ミスです
No.80953 - 2022/02/16(Wed) 21:03:44
☆ Re: 確率 / ヨッシー
>経路の総数を分子にして
だけでは、やり方があっているかどうかわかりません。
具体的にどうやったか書いてみて下さい。
No.80954 - 2022/02/16(Wed) 21:43:29
☆ Re: 確率 / j
以下C1のときで、C2~C5も同様です。

P→Qの経路の総数は10!/(6!4!)-2=208通りあり、これらは同様に確からしい。
P→C1→Qの経路の総数は4通りなので、求める確率は4/208=1/52
No.80955 - 2022/02/16(Wed) 22:07:03
☆ Re: 確率 / ヨッシー
それは、ＡさんがＣ1を通ってＱまで行く確率ですね。
つまり、Ｃ1 まで来たＡさんはＣ1からＱまで行くしかないのですが、
ＢさんがＱからＣ1 まで来てくれるかは別問題です。
No.80957 - 2022/02/16(Wed) 23:08:59
☆ Re: 確率 / j
すみません、(6)だとそうなのですが、これは(1)です。
No.80960 - 2022/02/17(Thu) 07:38:27
☆ Re: 確率 / ヨッシー
なるほど。失礼しました。
ＰからＣ1 まで行く確率は　(1/2)^5＝1/32　　　・・・(1)
ＰからＣ2 まで行く確率は　(1/2)^5×5＝5/32　　　・・・(2)
ＰからＣ3 まで行く確率は　(1/2)^5×10＝10/32　　　・・・(3)
ＰからＣ4 まで行く確率は　(1/2)^5×9＋(1/2)^4＝11/32　　　・・・(4)
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×3＋(1/2)^4＝5/32　　　・・・(5)

もし左下が欠けていなかったら
ＰからＣ4 まで行く確率は　(1/2)^5×10＝10/32
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×4＋(1/2)^4＝6/32

さらに、もしＱがもう１段下で、Ｃ5 の左下にＣ6 があるとすると、
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×5＝5/32
ＰからＣ6 まで行く確率は　(1/2)^5＝1/32
で、ここまで来てやっと、対称な式になります。
No.80963 - 2022/02/17(Thu) 09:32:07
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