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★ 関数　回転体 / あいうえお
　放物線ｙ＝（１/４）x２乗（a＞０）があり、点Ｂはｙ軸上にある。正方形ＯＡＢＣは点Ａ、Ｃ、Ｏ（原点）でｙ＝ax２乗に接しており、面積は３２である。直線l（ｙ＝−（１/２）X+４）は点P(８，０）を通りこの正方形の面積を二等分する直線である。正方形OABCの１辺の長さを４√２として次の問いに答えよ。
　（１）直線ｌと辺OA、BCとの交点をそれぞれD、Eとする。このとき、四角形ODECをｙ軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。
　答　（８９６/２７）π　
　この答えになる解説と回転体の図（できれば）をよろしくお願いします。
No.20268 - 2013/03/04(Mon) 07:44:57
☆ Re: 関数　回転体 / ヨッシー


図において、Ｆは正方形ＯＡＢＣの重心(0, 4) で、直線Ｌは
この点を通ります。
△ＯＦＤ が通過する部分は、四角形ＯＦＥＣが通過する部分と
完全にダブるので、四角形ＯＦＥＣだけで考えた体積で十分です。
Ｅ（-8/3, 16/3) であるので、
正方形全体を回転した立体から
　底面の半径 8/3、高さ 4/3 の円錐（黄色の部分を回転）
　底面の半径 8/3、高さ 8/3 の円錐（緑の部分を回転）
を引いたものが求める体積です。
　128π/3−256π/81−512π/81＝896π/27
となります。
No.20277 - 2013/03/04(Mon) 10:26:48
☆ Re: 関数　回転体 / あいうえお
　解説、図があり分かりやすかったです。有り難うございます。
No.20287 - 2013/03/04(Mon) 17:40:43
★ 周の長さ / ００００
∠ＢＡＣ＝９０°の三角形ＡＢＣの頂点Ａから斜辺ＢＣに引いた垂線をＡＨとする。三角形ＡＢＣの周の長さが２５?p、三角形ＡＣＨの周の長さが２０?pであるとき、三角形ＡＢＨの周の長さを求めよ。
　答えが１５センチになります。、連立方程式で解こうとしたのですが、解けませんでした。文字で辺の長さを表し、連立方程式で解く、このような解き方のどこが間違っているのでしょうか。解説してください。
No.20267 - 2013/03/04(Mon) 07:23:46
☆ Re: 周の長さ / ヨッシー
私の解き方は
　△ＡＢＣと△ＨＡＣは相似な直角三角形で、相似比が
　　２５：２０＝５：４
　であるので、ＢＣ：ＣＡ＝５：４　より、三平方の定理から
　　ＢＣ：ＣＡ：ＡＢ＝５：４：３
　よって、△ＨＢＡ（△ＡＢＣ、△ＨＡＣと相似）の周の長さは
　２５×3/5＝１５(cm)

連立方程式で解くなら、例えば、
　ＡＢ＝ｘ、ＡＣ＝ｙ、ＢＣ＝ｚ　いずれの文字も正
とおき、
　ＨＣ＝y^2z/(x^2+y^2)
　ＨＢ＝x^2z/(x^2+y^2)
　ＡＨ＝xy/z
であり、
　ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５　・・・(1)
　y^2z/(x^2+y^2)＋ｙ＋xy/z＝２０　・・・(2)
　z^2＝x^2＋y^2　・・・(3)
の条件下で、
　Ａ＝x^2z/(x^2+y^2)＋ｘ＋xy/z　・・・(4)
を求める問題となります。
(3) を (2) に代入すると、
　y^2/z＋ｙ＋xy/z＝２０
　(y/z)(y+z+x)＝20
(1) を代入して、
　y/z＝20/25＝4/5
よって、ｙ＝(4/5)z。(3) より ｘ＝(3/5)ｚ
これらを (4) に代入して、
　Ａ＝x^2z/(x^2+y^2)＋ｘ＋xy/z
　　＝(x/z)(x+y+z)＝(3/5)×25＝15
と求めることは可能です。
No.20274 - 2013/03/04(Mon) 09:55:47
☆ Re: 周の長さ / ００００
　連立方程式の解説がよくわかりません。詳しくお願いします。　あと、「<」の記号が上を向いたものの名前と意味教えてください。
No.20285 - 2013/03/04(Mon) 17:25:26
☆ Re: 周の長さ / ヨッシー
x^2 はｘの２乗という意味です。「^」だけの名前は特にありません。

上の連立方程式を理解するには、以下のような基礎知識が必要です。

図において、∠ＢＡＣ＝90°とし、図のようにａ，ｂ，ｃ とします。
△ＡＢＣ、△ＤＡＣ、△ＤＢＡは相似で、
　ＢＤ：ＤＡ＝ＡＢ：ＡＣ＝ａ：ｂ
より、ＡＤ＝(b/a)c。同様に
　ＡＤ：ＤＣ＝ａ：ｂ
より、
　ＤＣ＝(b/a)ＡＤ＝(b^2/a^2)c
つまり、ＢＤ：ＤＣ＝a^2：b^2。
ここで、「直角をはさむ２辺がａ，ｂである直角三角形において、
直角から斜辺に下ろした垂線は、斜辺を a^2：b^2 に分ける。」
という性質が導けます。

これを使ったのが、（問題の方の図に戻ります）
　ＨＣ＝y^2z/(x^2+y^2)
　ＨＢ＝x^2z/(x^2+y^2)
です。また、ＡＨ：ＡＢ＝ＡＣ：ＢＣ　より、
　ＡＨ＝ＡＢ・ＡＣ／ＢＣ＝xy/z
です。
あとは、これらを使って、ＡＢＣの周が25，ＡＨＣの周が20，という式を作って、
変形するだけです。

もちろん、この問題をこんなふうに連立方程式で解くのは、お勧めしません。
No.20288 - 2013/03/04(Mon) 18:40:52
☆ Re: 周の長さ / 0000
分かりやすい解説有り難うございました。大変参考になりました。
No.20290 - 2013/03/04(Mon) 19:30:05
★ 三角形の面積 / suugakudaisuki
　３辺の長さの比が１：３：２√２の三角形がある。この三角形が、半径６?pの円に内接しているとき、この三角形の面積を求めよ。
　答　１６√２
　１６√２になるのがわかりません。中学３年生なので、中学内容の説明でお願いします。
　
No.20266 - 2013/03/04(Mon) 07:12:01
☆ Re: 三角形の面積 / ヨッシー
三平方の定理より、１：３：２√２ のうち、３の辺が斜辺である
直角三角形であることがわかります。
円周角の性質より、この三角形の外接円は、斜辺を直径とします。
よって、斜辺は１２ｃｍ。他の２辺は４ｃｍ，８√２ｃｍ　なので、
面積は
　４×８√２÷２＝１６√２(cm^2)
です。
No.20275 - 2013/03/04(Mon) 09:59:10
☆ Re: 三角形の面積 / suugakudaisuki
　素早い回答有り難うございました。
No.20283 - 2013/03/04(Mon) 17:08:43
★ 数学の問題（補足） / ARASHI
　ヨッシーさんの返信ありがとうございます。図についての補足なのですが、円の位置が円弧の中です。このような条件でもう一度お願いします。また、可能でしたら、最初の図でも正しい解答と解説をお願いします。
No.20265 - 2013/03/04(Mon) 06:44:01
★ 数学の問題 / ARASHI


　問題：
１辺の長さが１０?pの正方形の中に、半径が正方形の１辺の長さに等しい円弧がある。この円弧と正方形の２辺に接する円Ｏの半径を求めよ。
　答え：１０√２-１０
　なぜ、この答えになるのか解説していただきたいです。
No.20263 - 2013/03/04(Mon) 05:15:36
☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー

こういう図が想定されているなら、答えが間違っています。
No.20264 - 2013/03/04(Mon) 06:19:23
☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー

こうですね。

図において、求める半径をｘとおくと、
　ＡＯ＝ｘ，ＢＯ＝√2ｘ、ＡＢ＝１０
なので、
　ｘ＋√2ｘ＝１０
　ｘ＝10/(√2＋1)＝10(√2−1)
です。
No.20269 - 2013/03/04(Mon) 09:03:47
☆ Re: 数学の問題 / ARASHI
　分かりやすい解説有り難うございました。
No.20282 - 2013/03/04(Mon) 17:02:40
★ 証明 / 素君
n＋1,n^3＋3,n^5＋5,n^7＋7がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。

nが奇数のとき,n＋1,n^3＋3,n^5＋5,n^7＋7は偶数となり素数にならないのでnが偶数のときを考えればいいというのはわかるのですが答を見るとnの場合分けで、n=6l-4 n=6l-2 n=6l (lは1以上の自然数)と3つに分けているのですがなぜこのようにしないといけないのでしょうか？
n=2l(lは1以上の自然数)としてn＋1,n^3＋3,n^5＋5,n^7＋7にそれぞれ代入して素数にならないことを示すのはダメなんでしょうか？
教えて下さい。
No.20262 - 2013/03/04(Mon) 04:35:56
☆ Re: 証明 / らすかる
> nの場合分けで、n=6l-4 n=6l-2 n=6l (lは1以上の自然数)と
> 3つに分けているのですがなぜこのようにしないといけないのでしょうか？
「そのようにしないといけない」ということはありませんが、
そのようにすれば解けるからそうしているのです。

> n=2l(lは1以上の自然数)としてn＋1,n^3＋3,n^5＋5,n^7＋7に
> それぞれ代入して素数にならないことを示すのはダメなんでしょうか？
その方法で解けるのであれば構いません。
私は解けませんが。
No.20272 - 2013/03/04(Mon) 09:44:21
★ 係数の和＝１ / 麦わら
?僊BCについてAの位置ベクトルを→aなどとすると
内心Iの位置ベクトル＝{L(→a)+M(→ｂ)＋N(→ｃ)}/(L+M+N)
重心Gの位置ベクトル＝（→a+→ｂ＋→ｃ）/3
のようにベクトルの係数の和が１なら始点をドコにとっても同じベクトルになる、という記述があったのですが、係数の和が１と何の関係があるのか分かりません。どなたか分かる方いらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。
No.20251 - 2013/03/03(Sun) 17:05:16
☆ Re: 係数の和＝１ / ヨッシー
「・・・」という記述というのを、もう少し詳しく、出来れば
全部書き写すくらいのつもりで書いてもらえますか？

たとえば、「同じベクトル」というのは何と何が同じなのか、
よく読み取れません。
No.20253 - 2013/03/03(Sun) 17:16:16
☆ Re: 係数の和＝１ / 麦わら
『?僊BCの重心をG,内心をI、外心をO、垂心をHとすると
→OI＝{L(→OA)+M(→OA)＋N(→OC)}/(L+M+N)（AB=L,BC=M,CA=N)
→OG＝（→OA+→OB＋→OC）/3
→OH=→OA+→OB+→OC

GとIは→OA〜→OCの係数の和が１なので、起点を変えても同じ表し方になりますが、Hはそうではなく、起点をOにしないときたならしくなります。』
丸写ししました。意図は伝わりましたでしょうか？
No.20254 - 2013/03/03(Sun) 17:31:24
☆ Re: 係数の和＝１ / ヨッシー
始点Ｏは、外心という特別な点だったのですね。

今、ある点Ｏを始点にしたとき
　ＯＩ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ＋ｕＯＣ
という式が成り立っているとします。これを任意の点Ｐについて、点Ｐが始点の式に書きかえることを考えると、
　ＰＩ−ＰＯ＝ｓ(ＰＡ−ＰＯ)＋ｔ(ＰＢーＰＯ)＋ｕ(ＰＣ−ＰＯ)
　ＰＩ＝ｓＰＡ＋ｔＰＢ＋ｕＰＣ＋(１−ｓ−ｔ−ｕ)ＰＯ
となります。ここで、ｓ＋ｔ＋ｕ＝１ であれば、
　ＰＩ＝ｓＰＡ＋ｔＰＢ＋ｕＰＣ
となり、始点Ｏを別の点Ｐに換えても、成り立ちますが、そうでない場合は成り立たなくなります。
No.20257 - 2013/03/03(Sun) 19:53:55
☆ Re: 係数の和＝１ / 麦わら
回答ありがとうございます。
→OH=→OA+→OB+→OC
の式はOが外心のときのみ書ける式で
→OI＝{L(→OA)+M(→OA)＋N(→OC)}/(L+M+N)（AB=L,BC=M,CA=N)
→OG＝（→OA+→OB＋→OC）/3
についてはOが外心でない、たとえば?僊BCの外接円から遠くはなれたところにOをとっても
→OI＝{L(→OA)+M(→OA)＋N(→OC)}/(L+M+N)（AB=L,BC=M,CA=N)
→OG＝（→OA+→OB＋→OC）/3
という「同じ式になる」という意味だと思っていたのですが、違ったのでしょうか？
No.20289 - 2013/03/04(Mon) 19:11:04
☆ Re: 係数の和＝１ / ヨッシー
違っていません。
この問題では、Ｏは外心に固定されていますので、別の点を
また点Ｏにすると、紛らわしいので、任意の点をＰで表しています。

もちろん、任意の点Ｐについて成り立つ式は、点Ｐを点Ｏに
名付け直しても成り立ちます。
No.20291 - 2013/03/04(Mon) 20:06:20
★ チェバの定理、メネラウスの定理 / 安曇
写真ですいません(;＞_＜;)
この図のBP: PC の求め方を教えてください
よろしくお願いします
No.20249 - 2013/03/03(Sun) 15:48:12
☆ Re: チェバの定理、メネラウスの定理 / ヨッシー
まず
　(BP/PC)(CA/AQ)(QO/OB)＝１
そして、
　(QO/OB)(BR/RA)(AC/CQ)＝１
これらから
　QO/OB＝2
よって、
　BP/PC＝5/6
No.20250 - 2013/03/03(Sun) 16:58:55
☆ Re: チェバの定理、メネラウスの定理 / ヨッシー
天秤法でやれば、

図のようになって、BP:PC＝5:6 とすぐ出ます。

一応、検算程度に。
No.20252 - 2013/03/03(Sun) 17:09:46
☆ Re: チェバの定理、メネラウスの定理 / 安曇
分かりました
回答ありがとうございます!!!
No.20261 - 2013/03/03(Sun) 22:54:12
★ (No Subject) / 頑固
ｘ＞０において関数ｆ（ｘ）＝ｘsin(1/x)を考える
（１）f'(2)（＝１）を求め、ｘ＞２のときｆ’（ｘ）＜１を示せ
（２）ｋが自然数のときf'(1/k)=kπ(-1)^(k-1)
（３）ｆ’（ｘ）＝１となるｘを値の大きいものから順にｘ１、ｘ２、ｘ３、・・・とおく。ｎ≧２である自然数ｎに対して1/n<xn<1/(n-1)を示せ
解）
ｋ＝１，２，３、・・・でf(1/k)=0だが、これらの点でf'(1/n),f'(1/(n-1))を考えると、（２）よりｎ≧２のときこれらの値は一方は負で一方は１より大きい。ｆ’（ｘ）は連続でかつｆ’’（ｘ）は単調増加or単調減少（説明は略）より中間地の定理から、この間にf'(x)=1となるｘがあって、それをxｎとすれば1/n<xn<1/(n-1)が示されたとあるのですが

なぜxnとしてよいのでしょうか？x(n-1)かもしれないし、x(n+1)かもしれない、1/nと1/(n-1)の間にはさむものをxnとしてよい理由を教えてください。よろしくお願いします
No.20239 - 2013/03/02(Sat) 11:58:42
☆ Re: / IT
> ｘ＞０において関数ｆ（ｘ）＝ｘsin(1/x)を考える
ｆ（ｘ）＝ｘsin(π/x)　ではないですか？

> 中間値の定理から、この間にf'(x)=1となるｘがあって、それをxｎ・・・
解）の表現は不十分で
「・・・この間にf'(x)=1となるｘが「ちょうど一つ」存在するので、それをxｎ」と言わなければ、いけないと思います。
「（この間で）ｆ’’（ｘ）は単調増加or単調減少」よりこれが言えます。
そうすると
xnの定義と（１）より2=x1＞x2＞x3＞x4＞…＞xn なので
1/1＞x2＞1/2＞x3＞1/3＞x4＞1/4＞ …＞1/(n-1)＞xn＞1/n　と言えます。
※1/1＞x2であること（2＞x2≧1でないこと）も、解）では、証明をしてると思いますがどうでしょうか？。
No.20240 - 2013/03/02(Sat) 14:06:21
☆ Re: / 頑固
失礼しました。ｆ（ｘ）＝ｘsin(π/x)　でした。

証明できているのですか？
xnの定義と（１）より2=x1＞x2＞x3＞x4＞…＞xn までは納得できるのですが、1/1＞x2＞1/2＞x3＞1/3＞x4＞1/4＞ …＞1/(n-1)＞xn＞1/nは解）のどの部分で証明されているのでしょうか？（（念のため）グラフより明らかとかいうのはちょっとやめてください）

よろしくおねがいします
No.20241 - 2013/03/02(Sat) 17:45:00
☆ Re: / IT
まず、1/1＞x2であること（2＞x2≧1でないこと）を（解）では示してないですか？
ｆ’(1)＞１,ｆ’(2)＝0と(1,2)でｆ’が単調減少であることからいえます。

メイン部分ですが
(1/1,1/2),(1/2,1/3),(1/3,1/4) …(1/(n-1),1/n)の各区間にｆ’（ｘ）＝１となるｘがちょうど一つずつある。
ことを中間値の定理とｆ’（ｘ）の単調性から示しているわけですが、

どの部分の証明（説明）が不十分だと頑固さんはおっしゃっておられるのでしょうか？
A「各区間にｆ’（ｘ）＝１となるｘがあるとは限らない」
B「ある区間に２つ以上あることを否定できてない」
のABのいずれを頑固さんは主張しておられるのでしょうか？
ｆ’（ｘ）＝１となるｘが各区間にちょうど１つずつあることを「納得」されれば、ｘnが(1/n,1/(n-1))にあることが分かると思うのですが？
厳密には数学的帰納法によります。そこまでしなくてもいいと思いますがどうでしょうか？
No.20242 - 2013/03/02(Sat) 18:05:52
☆ Re: / 頑固
回答ありがとうございます

まず、1/1＞x2であること（2＞x2≧1でないこと）を（解）では示してないですか？ｆ’(1)＞１,ｆ’(2)＝0と(1,2)でｆ’が単調減少であることからいえます。
→ f'(2)＝１です。ｆ’(1)＝π＞１ですが。（１，２）ありますが（１、０）では？自分の能力不足でどう誤植を訂正したらいいのか分かりません。再度書き直したものをお願いします。

馬鹿な質問なのかもしれませんが
ｆ’（ｘ）＝１となるｘのうち1/n<x<1/(n-1)をみたすｘが存在する事を示せ、なら解）でいいと思うのですが、
この問題の場合、1/2<x1<1,1/3<x2<1/2・・・を示せということで、例えば1/2<x2<1では駄目な訳です。1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかが知りたいのです
No.20243 - 2013/03/02(Sat) 20:00:35
☆ Re: / 頑固
A,Bの両方とも納得してます
No.20244 - 2013/03/02(Sat) 20:01:34
☆ Re: / IT
> → f'(2)＝１です。ｆ’(1)＝π＞１ですが。（１，２）ありますが（１、０）では？
f'(2)＝１が正しいです。書き間違えました。区間は、（１、２）です。

（訂正後）
「f'(2)＝１」かつ「（１、２）でf'(X)は狭義の単調減少」なので、（１、２）でf'(X)＞１、
またｆ’(1)＝π＞１
よってx2＜１

> この問題の場合、1/2<x1<1,1/3<x2<1/2・・・を示せということで、例えば1/2<x2<1では駄目な訳です。1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかが知りたいのです。
1/2<x1<1,1/3<x2<1/2・・・　ではなくて
1/2<x2<1,1/3<x3<1/2・・・ ですよね！
No.20245 - 2013/03/02(Sat) 20:43:00
☆ Re: / IT
> 1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかが知りたいのです
1/2<x<1/(2-1)をみたすｘがちょうど1つ存在する。
「このｘはｘ2である。」
なぜならば、ｘ１＝２であり、その次に大きいものがｘ２であるが、1≦ｘ2 ではないので。

というのは、わかりますか？。納得できないとするとどの部分ですか？
No.20246 - 2013/03/02(Sat) 21:22:00
☆ Re: / 頑固
ｋ＝１，２，３、・・・でf(1/k)=0だが、これらの点でf'(1/n),f'(1/(n-1))を考えると、（２）よりｎ≧２のときこれらの値は一方は負で一方は１より大きい。ｆ’（ｘ）は連続でかつｆ’’（ｘ）は単調増加or単調減少（説明は略）より中間値の定理から、この間にf'(x)=1となるｘがただ1つあるから、具体的なｎ＝２のときである「1/2<x<1/(2-1)をみたすｘがちょうど1つ存在する。」は言えますね。

「このｘはｘ2である。」
、1≦ｘ2 ではないので。
の部分が分かりません。
ｘ１＝２だからｘ２≦２は分かりますが
No.20247 - 2013/03/03(Sun) 13:23:24
☆ Re: / IT
20245で説明してますけど、不明な点はどこですか？
（訂正後）再掲
「f'(2)＝１」かつ「（１、２）でf'(X)は狭義の単調減少」なので、（１、２）でf'(X)＞１、
またｆ’(1)＝π＞１
よってx2＜１

※わからなかったら「グラフ」を描いて考えて見てください。『グラフより明らか』なんて言いませんが、「理解を助ける」には、グラフも有効です。調べたことを「視覚化」するのです。
No.20248 - 2013/03/03(Sun) 13:45:13
☆ Re: / 頑固
「f'(2)＝１」かつ「（１、２）でf'(X)は狭義の単調減少」なので、（１、２）でf'(X)＞１、
またｆ’(1)＝π＞１
よってx2＜１
は納得しました。

頭の中を整理すると
（１）の結果よりf'(x)=1となるｘはx≦２にある。
ｘ＝２のときf'(x)=1よりｘ１＝２である。

１＜ｘ＜２のとき
π/2<π/x<π
0<sinπ/x<1よりf''(x)=-π^2/x^3sinπ/x＜０
よってf'(x)は単調減少。
よって、f'(x)が単調減少であることとf'(2)=1より
１＜ｘ＜２の範囲にf'(x)=1となるｘは存在しない。
よってｘ１以外のｆ’(x)=1となるｘはｘ＜１にある。よって1>ｘ２>x3>x4＞・・・

不明な点は
1/n<x<1/(n-1)をみたすｘがなぜｘnだといえるのかです
No.20255 - 2013/03/03(Sun) 18:44:04
☆ Re: / 頑固
20242の記事で厳密には数学的帰納法を使うとありましたが、余力があればそれによる解答を載せてもらえないでしょうか？そこに鍵があるような気がしてきました。
No.20256 - 2013/03/03(Sun) 19:04:36
☆ Re: / IT
○任意の２以上の自然数nについて　P(n):「1/n＜xn＜1/(n-1)である」
（証明）数学的帰納法による
（?T）ｎ＝２のとき　P(n)は成立（これは証明済み）

（?U）２以上の自然数kについて　「ｎ＝ｋのとき　P(n)は成立」を仮定する
　仮定より　1/k＜xk＜1/(k-1)…?@である
　前記のようにf'(x)=1,1/(k+1)＜x＜1/((k+1)-1)＝1/kなるｘがちょうど１つ存在する。
　数列xnの定義より、x=xm、m＞kとなる自然数mが存在する。…?A
　m＝k+1を示す（背理法による）
　m＞k+1と仮定すると　xm＜x[k+1]…?B
　　?Bと1/(k+1)＜xm　より　1/(k+1)＜x[k+1]…?C
　　?@とxnの定義より　x[k+1]＜xk＜1/(k-1)…?D
　　?Cと?Dより　1/(k+1)＜x[k+1]＜1/(k-1)…?E
　　(2)より　x[k+1]≠1/k…?F
　　?Eと?Fより　1/(k+1)＜x[k+1]＜1/k…?G　または　1/k＜x[k+1]＜1/(k-1)…?H
　　ところが
　　　?Gとすると　1/(k+1)＜xm＜x[k+1]＜1/k　
　　　?Hとすると　1/k＜x[k+1]＜xk＜1/(k-1)
　　　いずれも「f'(x)=1,1/n＜x＜1/(n-1)なるｘがちょうど１つ存在する」ことに反する。
　よってm＝k+1である。
　すなわち、1/(k+1)＜x[k+1]＜1/((k+1)-1)であり、ｎ＝k+1のときP(n)が成立する。
　
（?V）(?T)、(?U)により
　　２以上の自然数nについて　P(n):「1/n＜xn＜1/(n-1)である」が示された。
No.20259 - 2013/03/03(Sun) 20:45:45
☆ Re: / IT
（追伸）
数列x2＞x3＞…＞xnの各項が区間(1/2,1/1),(1/3,1/2),…(1/n,1/(n-1))に順に１つずつあるのですから、数学的帰納法を使わなくても、P(n)は明らかだと思いますが。
No.20260 - 2013/03/03(Sun) 21:08:11
★ 応用問題 / トンデモ
こんにちは。

下記の問題です。何故か全てTRUEになってしまったのですが。。。

どれか勘違いしてますでしょうか?
No.20233 - 2013/03/01(Fri) 12:18:02
★ (No Subject) / ｐ−まん
y=(1+(1/x))/(1-(1/x))のグラフ
とｙ=(x+1)/(x-1)のグラフは全く同じですか？


(1+(1/x))/(1-(1/x))=(x+1)/(x-1)
という風に等号で結ばれてるのですから全く同じじゃないとおかしいんですが・・
No.20227 - 2013/02/28(Thu) 21:07:55
☆ Re: / ヨッシー
下の式は　(0, -1) を含みますが、上の式は含みません。
No.20228 - 2013/02/28(Thu) 21:37:10
★ (No Subject) / ｇｇ１
添削をお願いします
次で定義された関数f(x)がｘ＝１で微分可能であることを示せ。
f(x)=2-x^2(x≦1）=g(x)
、(x-2)^2(x>1)=h(x)
解）

g(1)=lim(x→1+0)h(x)=1より
ｆ（ｘ）はｘ＝１で連続

x<1でf'(x)=-2x
ｘ＞１でf'(x)=2(x-2)より
lim(x→1-0)ｇ'(x)=-2
lim(x→1+0)ｈ'(x)=-2
より両者は一致するから題意は示された
No.20226 - 2013/02/28(Thu) 19:00:29
☆ Re: / IT
関数f(x) がx=a の付近で連続で、x=a を除いては微分可能であり、lim[x→a]f'(x)=Aという有限な極限が存在するとき、f(x) はx=a でも微分可能でf'(a)=A となる。

という定理を既知のものとして使うのなら概ね良いでしょうが、そのこと（定理を使ったこと）の説明が必要だと思います。（もちろんこの定理も、自明ではありませんので、既知でないなら証明の必要があります。）

「両者は一致するから題意は示された」では説明不足だと思います。
No.20230 - 2013/03/01(Fri) 07:37:40
☆ Re: / IT
上記の定理が既知でないなら
　x=1におけるf(x)の左微分係数と右微分係数が存在して互いに等しいことを直接証明するのが早いと思います。
No.20235 - 2013/03/02(Sat) 08:12:52
☆ Re: / ｇｇ１
x<1でｇ'(x)=-2x
ｘ＞１でｈ'(x)=2(x-2)より
lim(x→1-0)ｇ'(x)=-2
lim(x→1+0)ｈ'(x)=-2
が
x=1におけるf(x)の左微分係数と右微分係数が存在して互いに等しいことを表していると思うのですが
No.20236 - 2013/03/02(Sat) 09:47:14
☆ Re: / IT
lim(x→1-0)ｇ'(x)=-2 は x=1におけるf(x)の左微分係数が存在することを直接には表していないと思います。

f(x)の左微分係数=lim(x→1-0)(ｇ(x)-ｇ(1))/(x-1)
lim( x→1-0)ｇ'(x) =lim(x→1-0){lim(t→x){(ｇ(t)-ｇ(x))/(t-x)}
この２つは「明らかに等しいものである」とはいえないと思います。
No.20237 - 2013/03/02(Sat) 10:26:07
☆ Re: / IT
例えば
f(x)=0 (x≦1)=g(x)、f(x)=1 (x＞1)=h(x) とすると

lim(x→1-0)ｇ'(x)=0
lim(x→1+0)ｈ'(x)=0
ですがx=1におけるf(x)の右微分係数は存在しません。

※f(x)はx=1で連続か不連続という違いがありますが、ｇｇ１さんの元の証明でもf(x)はx=1で連続であることを述べてはおられますが使ってはおられません。
No.20238 - 2013/03/02(Sat) 10:48:20
★ 応え方が / トンデモ
たびたびすいません。

下記の問題で答え方はこのような答えであってますでしょうか?
No.20223 - 2013/02/28(Thu) 11:44:51
☆ Re: 応え方が / らすかる
(a)は正しくありません。
(b)の範囲とかぶってしまっています。
No.20225 - 2013/02/28(Thu) 12:30:21
☆ Re: 応え方が / トンデモ
そうでした。

(a)はfrom 100 miles to 200 miles.
でしたね。
No.20232 - 2013/03/01(Fri) 12:15:25
★ 多項式など / トンデモ
いつも大変お世話になっております。

下記の問題なのですが,これで正解でしょうか?
No.20222 - 2013/02/28(Thu) 11:43:03
☆ Re: 多項式など / らすかる
(2)(a)
B≠-27Aのときはそういう解になりますが、
B=-27Aの場合の検討も必要かと思います。
(b)は問題ないと思います。

(3)(a)
最初の式変形が正しくありませんので
それ以降の計算が誤りです。
(b)
2乗すると同値性が崩れますので、
出てきた解が元の式を満たしているかどうかの検討が必要です。
No.20224 - 2013/02/28(Thu) 12:24:23
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご指摘有難うございます。

訂正いたしました。これで大丈夫でしょうか?
No.20231 - 2013/03/01(Fri) 12:09:14
☆ Re: 多項式など / らすかる
(2)(a)
B=-27A のとき 9C+19A=0 とされているようですがこれは正しくありません。
B=-27A の場合はさらに 9C+19A=0 と 9C+19A≠0 に場合分けが必要で、
9C+19A≠0 のときは「解なし」となります。
それと
9C+19A=0 のときの計算で
-(19/9)A-A(3x-2)≠0 の次の 3Ax-2A≠(19/9)A とそれ以降は誤りです。
3Ax-2A≠(19/9)A でなく
-3Ax+2A≠(19/9)A もしくは
3Ax-2A≠-(19/9)A ですね。

(3)は問題ないと思います。
No.20234 - 2013/03/01(Fri) 12:47:02
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。
ちょっと混乱しております。
再訂正しましたが,(i)の丸2の9C+19A≠0の時にどうしても矛盾を発生させれません。
どうすれば解なしと分かるのでしょうか?
No.20270 - 2013/03/04(Mon) 09:21:48
☆ Re: 多項式など / らすかる
B+27A≠0 の場合は If B+27A≠0 then … の行で終わっていますので
9C+19A=0 か 9C+19A≠0 の場合分けは B+27A=0 の場合に必要なものです。
従って If 9C+19A=0 then … の行は不要で、

(B+27A)x=9C+19A の式において
B+27A≠0 のとき 両辺を B+27A で割って x=(9C+19A)/(B+27A) が解
B+27A=0 かつ 9C+19A=0 のとき (B+27A)x=9C+19A は恒等式なので
元の式の分母が0にならないすべてのxについて成り立つ
B+27A=0 かつ 9C+19A≠0 のとき
(B+27A)x=9C+19A の左辺は0、右辺は非0で式が成り立たないので解なし
のようになります。
No.20271 - 2013/03/04(Mon) 09:41:48
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。

> B+27A≠0 の場合は If B+27A≠0 then … の行で終わっていますので

その後はめでたくx=(9C+19A)/(B+27A)と求まってますね。

> 9C+19A=0 か 9C+19A≠0 の場合分けは B+27A=0 の場合に必要なものです。
> 従って If 9C+19A=0 then … の行は不要で、

(i)の直前でB+27A≠0かB+27A=9C+19A=0の二つの場合以外しか有り得なせんよね?

従って,B+27A=0の時は自動的に9C+19A=0でなければならないので
(ii)のように,(B+27A)x=9C+19Aは恒等式となり,xは全ての実数。
でお仕舞いですよね?

どうしてB+27A=0且つ9C+19A≠0の場合が有り得るのでしょうか??
No.20334 - 2013/03/06(Wed) 10:10:40
☆ Re: 多項式など / らすかる
A,B,Cは定数ですからどういう組合せもあり得ます。
B+27A=0 かつ 9C+19A≠0 の場合、方程式を満たすxの値が存在しないというだけのことであり、
例えばB=27,A=-1,C=1 とした
(27x+1)/{1+(3x-2)}=9
という方程式が存在しないということにはなりません。
この方程式ではxにどんな値を入れても成り立たないので「解なし」です。

一般に、方程式 Ax=B の解は
A≠0 のとき x=B/A
A=0,B≠0 のとき 解なし
A=B=0 のとき xは任意の値
となります。
No.20340 - 2013/03/06(Wed) 17:26:13
☆ Re: 多項式など / トンデモ
ご回答誠に有難うございます。

お蔭様で上手くいきました。
下記の通りでいいのですね。
No.20347 - 2013/03/07(Thu) 04:06:42
☆ Re: 多項式など / らすかる
B+27A＝0＆9C+19A≠0 とすべきところ
B+27A＝0＆9C+19A＝0 となっているように見えますが、
それ以外は問題ないと思います。
No.20349 - 2013/03/07(Thu) 11:00:57
☆ Re: 多項式など / トンデモ
おっと,そうでした。
どうも有難うございます。
No.20353 - 2013/03/08(Fri) 02:13:53
★ 四面体 / 高専
原点O，点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)を頂点とする四面体OABCについて,四面体に内接する球の体積を求めよ．

答(9+5√3)π/27

解説よろしくお願いします．
No.20210 - 2013/02/26(Tue) 19:19:22
☆ Re: 四面体 / らすかる
(内接球の半径)×(表面積)÷3＝(四面体の体積)
(四面体の体積)＝1×1÷2×1÷3=1/6
(表面積)＝1×1÷2×3+(√3/4)(1+1)=(3+√3)/2
なので
(内接球の半径)＝3(1/6)/{(3+√3)/2}=(3-√3)/6
よって
(内接球の体積)＝(4/3)π{(3-√3)/6}^3=(9-5√3)π/27

# 「(9+5√3)π/27」は正しくありません。
No.20214 - 2013/02/26(Tue) 21:18:37
☆ Re: 四面体 / 高専
はじめの
(内接球の半径)×(表面積)÷3＝(四面体の体積)
はどうやったらでてきますか？
No.20215 - 2013/02/26(Tue) 22:25:17
☆ Re: 四面体 / らすかる
内接球の中心をPとすると、
四面体OABCは
四面体P-ABC
四面体P-OBC
四面体P-OAC
四面体P-OAB
の4つに分けることが出来て、Pを頂点とすれば高さrはすべて内接球の半径、
底面積の合計は表面積ですから
(四面体の体積)=(4つに分割した四面体の体積の合計)
=(r*△ABC/3)+(r*△OBC/3)+(r*△OAC/3)+(r*△OAB/3)
=(内接球の半径)×(表面積)÷3
となります。

三角形と内接円での
(内接円の半径)×(三角形の周の長さ)÷2＝(三角形の面積)
と同じことです。
No.20216 - 2013/02/26(Tue) 22:58:10
☆ Re: 四面体 / 高専
ありがとうございます。
理解できました。
No.20219 - 2013/02/26(Tue) 23:41:05
★ (No Subject) / ｐｌ
f(x)=e^x-1としa,b>0とする
e^a-ab+(b+1)log(b+1)≧a+b+1を示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

自分が作った解答
aのみ変数として、他の文字は固定して考えると
g(a)=e^a-ab+(b+1)log(b+1)-(a+b+1)
g'(a)=e^a-b-1
g''(a)=e^a>0
∴g'(a)は狭義単調増加
∴g'(a)>g'(0)=-b
g'(0)<0,lim(a→∞）g'(a)=∞より
中間値の定理からg'(a)=0をみたすaが存在する。
このaをαとすると、g'(α)＝０より増減表から
a=αでg(a)は極小かつ最小
g(α)>0がいえれば示されたことになるのですが
そもそもｇ（０)<0なので正にはなり得ないのです・・。どこがいけないのでしょうか？
No.20209 - 2013/02/26(Tue) 18:11:58
☆ Re: / IT
> f(x)=e^x-1としa,b>0とする
f(x)は、どこで使うのですか？
> g(α)>0がいえれば示されたことになるのですが
g(α)≧0　をいうのですよね
> そもそもｇ（０)<0なので正にはなり得ないのです・・
なぜ、ｇ（０)＜0といえるのですか？
No.20211 - 2013/02/26(Tue) 19:47:43
☆ Re: / ｐｌ
失礼しました。f(x)は無視してください。
g(a)のaに０を代入すれば負になりますよ
No.20212 - 2013/02/26(Tue) 20:05:35
☆ Re: / IT
> g(a)のaに０を代入すれば負になりますよ
g(０)≧０になると思います。具体的に代入後の式を書いてみてください。
No.20213 - 2013/02/26(Tue) 20:12:39
☆ Re: / ｐｌ
解答ありがとうございます
g(a)=e^a-ab+(b+1)log(b+1)-(a+b+1)
より
g(0)=1-0+(b+1)log(b+1)-(0+b+1)
=(b+1)log(b+1)-b=b(log(b+1)-1)+log(b+1)
失礼しました。符号の判定はできませんね。
ひとまず答えに関係あるg(α）の値は何になりましたでしょうか？e^α＝ｂ＋１を考慮すると
g(α）＝−２（ｂ＋１）log(b+1)<0になってしまったのですが
No.20218 - 2013/02/26(Tue) 23:36:36
☆ Re: / IT
> g(0)=1-0+(b+1)log(b+1)-(0+b+1)
> =(b+1)log(b+1)-b=b(log(b+1)-1)+log(b+1)
> 失礼しました。符号の判定はできませんね。
bの関数として微分して増減を調べると　≧０（等号はｂ＝０のとき）になると思います。

>g(α）＝−２（ｂ＋１）log(b+1)<0になってしまったのですが
違うと思います。
g(α)=e^α-αb+(b+1)log(b+1)-(α+b+1)の +(b+1)log(b+1)の±を間違えて計算されたのでは？

> g(α）の値は何になりましたでしょうか？
e^α＝ｂ＋1よりα=log(b+1)
これらを代入すると
g(α）＝ｂ＋1-αb+(b+1)α-(α+b+1)＝0　になります。
No.20220 - 2013/02/27(Wed) 00:34:43
★ 高校生　学コン / DUO
関数f(x)=x^2＋ax＋b(a,bは実数の定数)と正の定数kに対し

、F=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|とおく。a,bを動かしたときのFの最小値をkで表せ。

手も足もでませんでした。
なんとなくF=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|≧|f(-k)＋f(0)＋f(k)|=|2k^2＋b|
と変形してみたのですが結局なにもできませんでした。
答を見ても意味不明です。
誰か分かる方どうやってとけばいいのかおしえてください。おねがいします。
No.20200 - 2013/02/24(Sun) 20:38:35
☆ Re: 高校生　学コン / IT
>答を見ても意味不明
答えはk^2ですか？　答えと略解をUPしてもらえませんか？

Fは変数a,bについて一次関数なので折れ点（３つの絶対値の中身のうちどれかが0となるところ）が最小値の候補ですから、それを調べると
a=0,b=-k^2のとき最小値F=k^2　となるようです。

※Fが最小値を持つことと「折れ点で取る値のみが最小値の候補」を証明する必要があるかも知れませんが。
F≧０であることと一次関数を有限個つなげたものなので、最小値を持つことは、直観的には明らかなのですが。
No.20201 - 2013/02/24(Sun) 21:56:13
☆ Re: 高校生　学コン / DUO
はい。k^2です。
[解答]
f(x)の頂点のx座標をpとする。p≧0のとき、
F≧|f(-k)|＋|f(0)|≧|f(-k)-f(0)|
軸の片側で変域の幅がkであるときの値域の幅を表すので
|f(-k)-f(0)|≧k^2
等号が成り立つのはp=0のときに限る。
このときFについて調べると、
F≧k^2で等号が成立するためにはp=0(すなわちa=0)かつ
f(k)=0が必要。
よってF=0＋|k^2|＋0=k^2が成立する。
p≦0のときも同様にF≧k^2がいえるのでFの最小値はk^2である。

正直解答を眺めていても意味がわかりません。
ちなみに出題は学コンですが一応大学受験用の問題集です。
解答を何度読んでも理解できず困ってます・・・・
No.20202 - 2013/02/24(Sun) 22:28:38
☆ Re: 高校生　学コン / IT
大学への数学の学力コンテストですか、懐かしいですね
難関大学入試より難しいのもありますよね。
確かに分かりにくいですね、考えて見ますが

（折れ点を調べる方式）をUPします。
F=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|
=|k^2-ak＋b|＋|b|＋|k^2＋ak＋b|

(1) k^2-ak＋b=0のときb=-(k^2-ak)
F=|k^2-ak|＋|k^2＋ak-(k^2-ak)|
=k|k-a|＋2k|a|
a=kのときF=2k^2
a=0のときF=k^2

(2) b=0のとき
F=|k^2-ak|＋|k^2＋ak|
　=k|k-a|＋k|k＋a|
a=kのときF=2k^2
a=-kのときF=2k^2

(3) k^2＋ak＋b=0のときb=-(k^2＋ak)
F=|k^2-ak-(k^2＋ak)|＋|k^2＋ak|
=2k|a|＋k|k＋a|
a=0のときF=k^2
a=-kのときF=2k^2

k＞０なので最小値はF=k^2
No.20203 - 2013/02/24(Sun) 23:02:26
☆ Re: 高校生　学コン / IT
> [解答]
> f(x)の頂点のx座標をpとする。p≧0のとき、
> F≧|f(-k)|＋|f(0)|≧|f(-k)-f(0)|
> 軸の片側で変域の幅がkであるときの値域の幅を表すので
> |f(-k)-f(0)|≧k^2
> 等号が成り立つのはp=0のときに限る。
ここまでは、放物線を描いてみると分かると思います。
p≧0のとき-kと0はいずれも頂点より左にあります
頂点から左に離れれば離れるほど、傾斜が急になりますからｘの減少幅ｋに対するｆの増加幅は大きくなります。

> このときFについて調べると、
このときとはp=0すなわちa=0のときですので
F=|k^2＋b|＋|b|＋|k^2＋b|
=2|k^2＋b|＋|b|
このFの値の変化を調べる（場合わけで絶対値を外す）とk^2＋b＝0すなわちb=-k^2のとき
最小値k^2となります。F≧k^2ってことです。
No.20204 - 2013/02/24(Sun) 23:33:30
☆ Re: 高校生　学コン / らすかる
グラフを考えずに式だけで処理する別解

|s|+|t|≧|s+t|（等号は st≧0 のとき） を使って
F=|f(-k)|+|f(0)|+|f(k)|
={|f(-k)|+|f(k)|}+|f(0)|
≧|f(-k)+f(k)|+|f(0)| … (1)
=|2k^2+2b|+|b|
b≧0 のとき |2k^2+2b|+|b|=2k^2+3b≧2k^2
-k^2＜b＜0 のとき |2k^2+2b|+|b|=2k^2+b＞2k^2-k^2=k^2
b=-k^2 のとき |2k^2+2b|+|b|=k^2
b＜-k^2 のとき |2k^2+2b|+|b|=-2k^2-3b＞-2k^2+3k^2=k^2
よって|2k^2+2b|+|b| はb=-k^2のとき最小値k^2をとる。
b=-k^2とすると (1)の等号成立条件は
f(-k)f(k)≧0
(k^2-ak+b)(k^2+ak+b)≧0
(-ak)(ak)≧0
-a^2≧0
∴a=0
従ってFはa=0,b=-k^2のとき最小値k^2をとる。
No.20205 - 2013/02/25(Mon) 00:08:57
☆ Re: 高校生　学コン / DUO
らすかるさん、ITさん、回答ありがとうございます。
お二方の解き方は凄く納得できるのですが、解答の方法は時間がかかる上に凄く上級者向け(?)のような気がします。実際のところどうなんでしょうか？
正直、解答の方法で解くのは私には絶対無理です＾＾；
もう少し数学の勉強が進んでから理解に努める方がいいのでしょうか。
No.20206 - 2013/02/25(Mon) 00:38:01
☆ Re: 高校生　学コン / IT
> お二方の解き方は凄く納得できるのですが、解答の方法は時間がかかる上に凄く上級者向け(?)のような気がします。実際のところどうなんでしょうか？
そうですね、そんなに簡単とはいえないと思います。
あまり、このひとつの問題にこだわられない方がいいと思います。「勉強が進む」というよりも、しばらくしてから、もう一度見てみると割とすんなりと得心が行くってこともありますから。
No.20207 - 2013/02/25(Mon) 01:33:32
★ 行列 / ktdg
mを実数とする。座標平面上で直線 y=xに関する対称移動を表す1次変換をfとし、直線 y=mxに関する対称移動を表す1次変換をgとする。
(1)
1次変換gを表す行列Aを求めよ。
(2)
合成変換g・fを表す行列Bを求めよ。
(3)B^3=(1 0 / 0 1) (/の前は1行目、後ろは2行目です。) となるmをすべて求めよ。

(3)について質問です。
B^3を計算しようとするとものすごく面倒なのですが、何かうまい方法はありますか?
No.20198 - 2013/02/24(Sun) 10:44:54
☆ Re: 行列 / らすかる
Bは回転行列なので、
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
でθ=2nπ/3からcosθを求めてmを計算すれば良いと思います。
No.20199 - 2013/02/24(Sun) 11:45:04
★ 応用問題 / トンデモ
たびたびすみません。

下記の問題を解いたのですがこれであってるのでしょうか?
No.20197 - 2013/02/24(Sun) 10:22:12
☆ Re: 応用問題 / ヨッシー
(9)の(a) は、最終の答えで、１が抜けています。
あとは、分数か小数かという問題はありますが、答え自体は
合っています。
No.20208 - 2013/02/25(Mon) 17:55:55
☆ Re: 応用問題 / トンデモ
有難うございます。

11.36190000(MXN)でしたね。
No.20221 - 2013/02/28(Thu) 11:38:39
★ 比に関する応用問題 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。
下記の問題に就いてです。

455 feetと求まったのですが,(A),…,(E)のどれに当てはめてもうまくいきません

どのように処理すればいいのでしょうか?
No.20194 - 2013/02/22(Fri) 06:41:42
☆ Re: 比に関する応用問題 / ヨッシー
1 inch : 8 feet の 1 inch を Length と解釈すれば、
5feet＝60inch なので、
　１：８＝６０：ｘ
より、1/8=60/x となりますね。
No.20195 - 2013/02/22(Fri) 08:56:22
☆ Re: 比に関する応用問題 / トンデモ
これは気づきませんでした。

どうも有難うございます。
No.20196 - 2013/02/23(Sat) 01:51:28
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