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数Bの平面ベクトル / 銀狼
xy平面上に1辺の長さが1の正三角形ABCをA(0,0)、B(1,0)、C(1/2,√3/2)となるように置く。
?僊BCを一つの辺に関して180°折り返すという操作を繰り返し行い、平面を正三角形で分割する。
mとnを互いに素な正の整数として、AP→=m・AB→+n・AC→を満たす点Pをとる。
このとき、A(0,0)とP(m+n/2,√3・n/2)を結ぶ線分が横切る正三角形の辺の本数をmとnを用いてあらわしなさい。 答え2m+2n-3本

AB、BC、CAの各辺に平行な直線でとりあえず場合分けしてみて、ABに平行な直線とはn-1本、交わることだけわかりましたが、BC、CAに平行な直線との場合がわからないです。
どうやって数えたらよいか教えてください。お願いします。

No.20082 - 2013/02/06(Wed) 13:43:26

Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図は、m=3、n=4 の場合ですが、
AからQを通ってPに行く場合を考えます。
Qに行くまでに3本(n-1本)のABに平行な線を横切りそれ以降は横切りません。
また、AからPまで1目盛り進むごとにBCに平行な線を横切るので、
m+n-1 本のBCと平行な線を横切ります。

次に、AからRを通ってPに行く場合を考えると、
Rに行くまでに2本(m-1本)のACに平行な線を横切りそれ以降は横切りません。

以上、合計 2m+2n-3 本の辺を横切ります。

No.20083 - 2013/02/06(Wed) 14:25:22

Re: 数Bの平面ベクトル / 銀狼
AからPまで一直線で向かわなければならないのに、どうしてA→Q→Pの経路をお考えなのでしょうか。ABに平行な直線との交点を考えるのにA→Q→Pの経路を、CAに平行な直線との交点を考えるのにA→R→Pの経路を利用されているだけでしょうか?

BCと平行な直線の交点はどうしてm+n-1本になるのでしょうか?具体的な例をいくつか試してみたら確かにそうなっているんですが、理由がわからないです。具体例からそういうことがわかるということなんでしょうか?

No.20085 - 2013/02/06(Wed) 16:02:27

Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図のように考えると、A→R→P の経路は要りませんね。
ABに平行な線(青)はA→Qを動く間、交点を通るごとに1本ずつ増えます。
ACに平行な線(紫)はQ→Pを動く間、交点を通るごとに1本ずつ増えます。
BCに平行な線(緑)は、全区間において、交点を通るごとに1本ずつ増えます。
A→Qは4区画なので、交点は3個
Q→Pは3区画なので、交点は2個
A→Pは7区画なので、交点は6個 計11個 
横切る線は11本です。

もちろん、A→R→P と通っても、同じことが言えます。

No.20086 - 2013/02/06(Wed) 17:34:25

Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図のように描きかえると、
原点から(m,n) まで線を引くと、
x軸に平行な線 y=1, y=2, ・・・
y軸に平行な線 x=1, x=2, ・・・
傾き-1の線 x+y=1, x+y=2, ・・・
合わせて何本と交わるでしょうか?
というのと同じになります。

x軸に平行な線は y=1, y=2, ・・・y=n-1 の n-1 本
y軸に平行な線 x=1, x=2, ・・・ x=m-1 の m-1本
傾き-1の線 x+y=1, x+y=2, ・・・ x+y=m+n-1 の m+n-1 本
のあわせて 2m+2n-3 本となります。

No.20087 - 2013/02/07(Thu) 03:28:51

Re: 数Bの平面ベクトル / 銀狼
御礼が遅れてしまい、大変失礼致しました。
とてもよくわかりました。ありがとうございました!

No.20118 - 2013/02/11(Mon) 21:30:18
極限 / N山(高校2年)
【問題】次の関数の極限値を求めよ。(収束しないものもある。)
ただし、a,b,cは、0でない実定数とする。
(1)lim_[x→0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2} (b≠-c)
(2)lim_[x→0]{e^(ax)+e^(-ax)-2}/x^2

よくわかりません。ご教示お願い致します。尚、(1)の√は1-cos(ax)のみに掛っています。

No.20076 - 2013/02/04(Mon) 20:27:53

Re: 極限 / X
(1)
(与式)=lim_[x→0](√2)|sin(ax/2)|/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=lim_[x→0](|a|/√2)|{sin(ax/2)}/(ax/2)|
/{{e^(bx)+e^(cx)-2}/|x|}
よって
f(x)=e^(bx)+e^(cx)
と置くと
lim_[x→+0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=(|a|√2)/f'(0)=|a|/{(b+c)√2}
lim_[x→-0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=-(|a|√2)/f'(0)=-|a|/{(b+c)√2}
となり、右極限と左極限の値が異なりますので
与式は収束しません。

No.20077 - 2013/02/04(Mon) 23:14:18

Re: 極限 / X
(2)
(与式)=lim_[x→0]{{e^(ax/2)-e^(-ax/2)}^2}/x^2
=lim_[x→0]{{e^(ax/2)-e^(-ax/2)}/x}^2
∴f(x)=e^(ax/2)-e^(-ax/2)
と置くと
(与式)={f'(0)}^2=a^2

No.20078 - 2013/02/04(Mon) 23:32:56

Re: 極限 / N山(高校2年)
理解できました。ありがとうございました。
No.20080 - 2013/02/05(Tue) 09:35:17
対数と指数 / トンデモ
お世話になってます。

下記のように解いたのですがこれで大丈夫でしょうか

No.20072 - 2013/02/04(Mon) 07:30:20

Re: 対数と指数 / ヨッシー
(a)
exp{(x-5)/7} を2で割ると (1/2)exp{(x-5)/7} です。

(b)
g(x) の逆関数の定義域を決めるには、g(x) の値域を求めなければなりません。
x<2/3 または x>3 という定義域になります。

No.20073 - 2013/02/04(Mon) 09:10:43

Re: 対数と指数 / トンデモ
> exp{(x-5)/7} を2で割ると (1/2)exp{(x-5)/7} です。

そうでした。有難うございます。

(b)については下記の様に訂正いたしましたがこれで大丈夫でしょうか?

No.20081 - 2013/02/05(Tue) 09:43:11
数列 / Xex
漸化式a(n+1)=[{(a(n)}^3-12]/13で表される数列の極限はa(1)の値によってどのように変化するかy=xとy=(x^3-12)/13のグラフを利用して求めよ。
まず漸化式そのものが解けません。グラフの方はさすがに書けるのですが教えてください。

No.20065 - 2013/02/03(Sun) 11:00:27

Re: 数列 / IT
「グラフを利用して求めよ。」
とあるのですから、漸化式を解く必要はありません。
y=xとy=(x^3-12)/13のグラフの間をジグザグに線分を描いて行く方法なのですが、見られたことないですか?
収束するなら2つのグラフの交点のどれかに収束します。

No.20066 - 2013/02/03(Sun) 12:58:07

Re: 数列 / Xex
見たことありません。
No.20067 - 2013/02/03(Sun) 13:27:55

Re: 数列 / IT
↓こんな感じです。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/s3sir201.htm

No.20069 - 2013/02/03(Sun) 13:45:21

Re: 数列 / Xex
解決しました。
No.20070 - 2013/02/03(Sun) 16:25:58
高校入試 / ハオ
画像は、とある私立高校の高校入試問題なのですがお恥ずかしい事に(1)から解けません。
答えは3:2とあるのですがどうぞ宜しくお願い致します。

DA=6cm △EBCに注目しても∠E=40°なのでどう変形しても特別角にもっていく事が出来ませんでした。

No.20063 - 2013/02/03(Sun) 10:47:59

Re: 高校入試 / ハオ
すいません∠E=40°は間違いでした。
訂正致します。

No.20064 - 2013/02/03(Sun) 10:53:07

Re: 高校入試 / X
問題文に不備の可能性があるのですが、確認のため
(3)の解答がどうなっているかアップして下さい。
8√2[cm]
となっていますか?
それとも
14π/3[cm]
となっていますか?

No.20068 - 2013/02/03(Sun) 13:36:25

Re: 高校入試 / ハオ
Χさんお返事有難う御座います。
解答を見たところ8√2[cm]となっていました。

No.20071 - 2013/02/03(Sun) 18:40:20

Re: 高校入試 / X
これは問題に不備がありますね。
(1)ですが
問題が
弧DA:弧BCを求めなさい。
ということであれば3:2で問題ないのですが
線分DA:線分BCを求めなさい。
ということであれば当然誤りです。
ハオさんが考えていたのは
∠BOC=40°
となることだとおもいますが、この値では
線分DA:線分BC
も簡単な整数比にはなりえません。
(理由ですが、中学数学の範囲を逸脱するので省略します)
そもそも
線分DA:線分BC≠弧DA:弧BC
ですので解答としてはおかしいと言うことになります。

質問内容から(1)(2)(3)の問題文は全て弧の長さについての
問題の所を「弧」と言う言葉が抜けている不備を疑いましたが
(3)の解答を見る限り(1)(2)(3)は全て弧ではなく線分の
長さについての問題ということのようです。
だとすると、これは(1)が3:2にはなりえない時点で
(3)も(恐らく(2)も)解答を誤っているといわざるを得ません。
((2)(3)は(1)の結果を使いますので)

ということでこれは問題として成立していないと思います。

しかし入試にこの問題を出した私立高校は問題自体の不備に気付いているのでしょうか?

No.20074 - 2013/02/04(Mon) 13:00:30

Re: 高校入試 / ヨッシー
どう修正しても、どこかで破綻しますね。
FO:BC=1:3 というのも怪しいです。

原版を見てみたいものです。

No.20075 - 2013/02/04(Mon) 18:28:49

Re: 高校入試 / ハオ
Χさん、ヨッシーさんお返事有難う御座います。
なるほど、問題不備というよりは問題として成立し得ないという感じなのでしょうか。

入試問題なのですが、過去問として公式にではなく出版会社を介してのものですので、その高校に直接問い合わせるのは全くのお門違いというものかもしれませんが念の為にその高校に問い合わせてみました。
また何か高校からお返事がありましたらその旨をご報告させて頂きたく思います。

No.20079 - 2013/02/05(Tue) 07:25:00

Re: 高校入試 / ハオ
高校側からお返事を頂きました。
実際の入試では(1)〜(3)に弧の記号を付け足すようアナウンスをしたのですが、過去問を出版社を通じて出す際には付け足す前の問題と解答が載ってしまった様です。
ですから入試には影響無かったとの事でした。

No.20084 - 2013/02/06(Wed) 14:46:41

Re: 高校入試 / ヨッシー
(1) から (3) に弧の記号をつけると今度は、(3) の答えが
14π/3[cm] でないとおかしいですね。
これは、出版社側のミスでしょう。
(というか、出版社ちゃんと解いてるの?)

(4) は、
(本当はピッタリじゃないけど)FO:BC=1:3とすると、
という条件付きですかね。

思いつきで付け足した設問のように見えます。

No.20088 - 2013/02/07(Thu) 09:48:17
確率の問題 / MK
高校1年数Aの確率の問題です。
赤玉と白玉が2個ずつ入った1つの箱から2個の玉を取り出し戻す。
これをn回行ったとき、少なくとも1回以上赤玉2個を取り出し、少なくとも1回以上白玉2個を取り出す確率を求めよ。
ただし、nは2以上とし、どの玉を取り出す確率も等しいものとする。

n回のうち少なくとも1回以上赤玉2個を取り出す確率 1−(5/6)^n
n回のうち少なくとも1回以上白玉2個を取り出す確率 1−(5/6)^n

これを掛けて、求める確率は{1−(5/6)^n}{1−(5/6)^n}
としましたが、間違っているような気がします。

解答がないので正解と解説をよろしくお願いします。

No.20046 - 2013/02/02(Sat) 03:07:37

Re: 確率の問題 / らすかる
> これを掛けて、求める確率は{1−(5/6)^n}{1−(5/6)^n}
> としましたが、間違っているような気がします。

はい、おっしゃる通り間違っています。
なぜなら、赤玉2個を取り出す確率と白玉2個を取り出す確率が独立でないからです。
(この問題ではn≧2としていますが)n=1を考えれば間違いとわかりますよね。

で、正解の導き方ですが、
(求める確率)
=(全体)
-(白玉2個を1回も取り出さない確率)
-(赤玉2個を1回も取り出さない確率)
+(白玉2個も赤玉2個も、1回も取り出さない確率)
として計算するのが良いと思います。

No.20048 - 2013/02/02(Sat) 03:20:53

Re: 確率の問題 / MK
分かり易い回答ありがとうございました。
1−{(5/6)^n}−{(5/6)^n}+{(4/6)^n}
でいいでしょうか?

これだと確かにn=1のとき0、n=2のとき2/36((1/6)^2の2倍)になり、合いますね。

No.20053 - 2013/02/02(Sat) 05:29:24

Re: 確率の問題 / らすかる
計算式はそれで合っています。
No.20056 - 2013/02/02(Sat) 06:12:37

Re: 確率の問題 / MK
ありがとうございました。
No.20057 - 2013/02/02(Sat) 06:32:17
図形 / さぁー
こちらの(1)について、宜しくお願いします!
BDに補助線を引き長さを求めました。
結果2√39になり、それから残りの角度を出そうともしましたが、上手くいきませんでした。
この問題はどの様に解けば良いのですか?
お時間がありましたら、ご教授ください。

No.20045 - 2013/02/02(Sat) 02:44:00

Re: 図形 / らすかる
∠BCD=120°ですから、△BCDに余弦定理を使えばBCが出ますね。
(2)は△ABD+△BCDで求められます。

No.20047 - 2013/02/02(Sat) 03:11:58

Re: 図形 / さぁー
∠BCD=120°となるのはなぜですか?
理由を教えてください☆

No.20049 - 2013/02/02(Sat) 03:20:59

Re: 図形 / らすかる
円に内接する四角形の対角の和は180°ですね。
No.20050 - 2013/02/02(Sat) 03:25:21

Re: 図形 / さぁー
計算してみると
(1)BC=4
(2)45√3
になりました。
合ってるでしょうか?
お答えお願いいたします。

No.20051 - 2013/02/02(Sat) 04:48:49

Re: 図形 / らすかる
はい、正解です。
No.20052 - 2013/02/02(Sat) 05:14:52

Re: 図形 / さぁー
いつもありがとうございます(><)
自信がつき、かります!

No.20054 - 2013/02/02(Sat) 05:34:54

Re: 図形 / さぁー
↑すみません。
「助かります。」です(T_T)

No.20055 - 2013/02/02(Sat) 05:36:25
図形 / さぁー
こちらは余弦定理を使いました!
答えは、cosA=5/7となりました。
合ってるでしょうか?
宜しくお願い致します。

No.20043 - 2013/02/02(Sat) 02:05:02

Re: 図形 / ヨッシー
合ってます。
No.20044 - 2013/02/02(Sat) 02:13:04
ベクトル / 高専
↑a=3↑e[1]-↑e[2]+2↑e[3],↑b=2↑e[1]+4↑e[2]-↑e[3]とする.
↑aと↑bに垂直な単位ベクトルを求めよ.

教えてください.
よろしくお願いします.

No.20038 - 2013/02/01(Fri) 20:04:08

Re: ベクトル / X
求める単位ベクトルを
↑p=x↑e[1]+y↑e[2]+z↑e[3] (A)
と置くと、条件から
|↑p|=1 (B)
↑p・↑a=0 (C)
↑p・↑b=0 (D)
(B)(C)(D)に(A)と
↑a=3↑e[1]-↑e[2]+2↑e[3]
↑b=2↑e[1]+4↑e[2]-↑e[3]
を代入し
|↑e[1]|=|↑e[2]|=|↑e[3]|=1
↑e[1]・↑e[2]=↑e[2]・↑e[3]=↑e[3]・↑e[1]=0
に注意して整理すると
x^2+y^2+z^2=1 (B)'
3x-y+2z=0 (C)'
2x+4y-z=0 (D)'
(B)'(C)'(D)'をx,y,zについての連立方程式と見て解きます。

No.20041 - 2013/02/01(Fri) 22:30:19

Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます.
No.20062 - 2013/02/02(Sat) 21:40:40
ベクトル / 高専
点(1,2,3)と球x^2+y^2+z^2=4上の各点を結ぶ線分を2:1に内分する点Pのえがく図形の方程式を求めよ.

正直問題の意味もわかりません.
解説お願いします.

No.20034 - 2013/02/01(Fri) 16:56:04

Re: ベクトル / ヨッシー
A:(1,2,3) とし、x^2+y^2+z^2=4 上の点をB:(a, b, c) とします。
ABを2:1に内分する点(x,y,z)は
 x=(1+2a)/3, y=(2+2b)/3,z=(3+2c)/3
と書けるので、変形して、
 a=(3x-1)/2, b=(3y-2)/2,c=(3z-3)/2
(a,b,c) は、x^2+y^2+z^2=4 上の点なので、これを代入して、
 {(3x-1)/2}^2+{(3y-2)/2}^2+{(3z-3)/2}^2=4
両辺4を掛けて、
 (3x-1)^2+(3y-2)^2+(3z-3)^2=16
両辺9で割って、
 (x-1/3)^2+(y-2/3)^2+(z-1)^2=16/9

「各点を結ぶ」という言い回しがピンと来ないかと思いますが、
点A(1,2,3) と球 x^2+y^2+z^2=4 上のある点をBとして、
ABを2:1に内分する点Xに印を付けます。
(空間ですが、付けられると思ってください)
球 x^2+y^2+z^2=4 上の別の点をBとして、同じように、
点Xを求めて、印を付けます。
これを繰り返して、球 x^2+y^2+z^2=4 上のあらゆる点をBとし、
点Xに印を付け続けると、点Xの印はどんな図形になりますか?
ということです。

No.20035 - 2013/02/01(Fri) 17:09:25

Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます.
理解できました.

No.20037 - 2013/02/01(Fri) 19:43:24
(No Subject) / トリコ
a>0に対し(1+a)^(1/n)=1+αとするときlim(n→∞)αをもとめよ1+a≧1+nαよりa/n≧α
0<α<lima/n
はさみうちの原理から答えは0とありますが0<αがどうやって導くのか分かりません

No.20033 - 2013/02/01(Fri) 16:26:25

Re: / らすかる
(1+a)^(1/n)=1+α ということは
1+a=(1+α)^n となるわけですが
α≦0 ⇒ 1+α≦1 ⇒ (1+α)^n≦1 ⇒ 1+a≦1 ⇒ a≦0
ですから a>0 ⇒ α>0 です。

No.20036 - 2013/02/01(Fri) 18:18:15

Re: / トリコ
回答ありがとうございます。
なるほど背理法ですか。うーん、a>0から直接α>0を示す事はできないのでしょうか?

No.20039 - 2013/02/01(Fri) 20:44:15

Re: / らすかる
背理法ではなく対偶のつもりで書きました。
直接示すなら例えば
x≧1に対して
y=x^(1/n) とすると
y'=(1/n)x^(1/n-1)>0 なので
yは狭義単調増加
x=1のときy=1なので
x>1ならばy>1
よってa>0ならばα>0

No.20040 - 2013/02/01(Fri) 22:01:57

Re: / MK
横から失礼します。
入試の場合、「b>1かつx>0ならばb^x>1」を証明なしで使っていいのではないかと思いますがいかがでしょうか?
(これの証明を求められた場合を除き) 

No.20058 - 2013/02/02(Sat) 07:41:44

Re: / トリコ
>らすかるさん
ありがとうございます。やっぱり最初の式を見ただけでは分からないのですね。いくらかの手計算がいるのですね
>MKさん
いいでしょうけどこの問題と何か関係あったりしますか?

No.20059 - 2013/02/02(Sat) 13:39:31

Re: / ヨッシー
それは、MKさんに失礼です。
a>0,n>0.(1+a)^(1/n)=1+α のとき α>0 と言えるか?
というのと、
a>1かつx>0 のとき a^x>1 と言えるか?
は、同じことです。

No.20060 - 2013/02/02(Sat) 16:42:55

Re: / MK
トリコさん失礼しました。ヨッシーさんフォローありがとうございました。
同じaをちがう意味で(一般的な実定数として)使ったのでトリコさんに誤解を与えたようですね。

No.20061 - 2013/02/02(Sat) 21:34:13
図形 / さぁー
こちらは正弦定理を使いました!
答えは、5√2+10√6/3となりました。
合ってるでしょうか?
宜しくお願い致します。

No.20026 - 2013/02/01(Fri) 03:49:15

Re: 図形 / らすかる
正解です。
No.20027 - 2013/02/01(Fri) 04:07:21

Re: 図形 / さぁー
ありがとうございます(><)
No.20028 - 2013/02/01(Fri) 04:22:38
高校数学 / 西村健一
お世話になります。高校数学の以下の問題について、解答がわかる方がいらっしゃいましたら、ぜひ返信をいただければ幸いです。少々難問ですが、何卒どうぞよろしくお願い致します。
【問題】 |x|<1、|y|<1、|z|<1のとき、下式が成り立つことを証明せよ。
     1+xy+yz+zx > 0

No.20022 - 2013/01/31(Thu) 21:52:02

Re: 高校数学 / らすかる
1+xy+yz+zx={(1+x)(1+y)(1+z)+(1-x)(1-y)(1-z)}/2>0
# マルチポストはやめた方がいいですよ。

No.20023 - 2013/01/31(Thu) 22:13:47
極限 / トリコ
(1+a)^(1/n)=αとするときlim(n→∞)αをもとめよ
ただしa>0とする。
はさみうちでしょうけど正直分かりません

No.20019 - 2013/01/31(Thu) 21:22:55

Re: 極限 / IT
α=e^(logα)
 =e^log{(1+a)^(1/n)}
 =e^{(1/n)log(1+a)}

とするとどうでしょうか?

No.20021 - 2013/01/31(Thu) 21:43:59

Re: 極限 / トリコ
すみません問題を間違っていました
a>0に対し(1+a)^(1/n)=1+αとするときlim(n→∞)αをもとめよ
α>0が分かれば挟み撃ちできるんですが。。αって正なんでしょうか?

No.20029 - 2013/02/01(Fri) 10:13:26
数学の問題 / yosi
mを実数とするとき2つの方程式
2x^2+8x+2m=0・・・?@
x^2+mx+2m-4=0・・・?Aが共通の解をもつのはm=アまたはm=イのときである。
x=tを共通解として?@と?Aを連立し、2次の項を消去すると
(m-4)t=-(m-4)がでてきました。
m-4≠0とするときt=-1でこのときのmの値は-3です。
もうひとつのmの値がほしいのですが、これはさきほどm≠4としたのでm=4のときに?@と?Aで同じ解をもつかどうかを探せばいいんでしょうか?
数学が苦手なのでわかりません。
分かる方教えて下さい。お願いします。

No.20015 - 2013/01/31(Thu) 19:59:02

Re: 数学の問題 / ヨッシー
おそらくm=4は、もう代入されたのではないかと推察します。
あれ?と思う結果になりますが、それで良いんです。

No.20017 - 2013/01/31(Thu) 20:30:28
ベクトル / 高専
2点(5,1,3),(-3,5,7)を1つの直径の両端とする球がある.
(1)この球の方程式を求めよ.答(x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=24

(2)この球と各座標面は交わるか.交わる場合には交わりの円の中心と半径を求めよ.

  答xy平面とは交わらない.
yz平面とは交わり,交点の中心(0,3,5),半径√23
zx平面とは交わり,交点の中心(1,0,5),半径√15

(1)はわかったのですが(2)がわかりません.
解説よろしくお願いします.

No.20013 - 2013/01/31(Thu) 19:06:37

Re: ベクトル / らすかる
xy平面は z=0 なので
z=0を代入して (x-1)^2+(y-3)^2=-1
この式を満たすx,yは存在しないので解なし。
yz平面は x=0 なので
x=0を代入して (y-3)^2+(z-5)^2=23
・・・

No.20014 - 2013/01/31(Thu) 19:20:12

Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます.
もう一つ質問があるのですが,以下の問もわかりません.

(3)この球がz軸から切り取る線分の長さを求めよ.答2√14

解説よろしくお願いします.

No.20016 - 2013/01/31(Thu) 20:05:40

Re: ベクトル / ヨッシー
z軸上の点は、x座標もy座標も0なので、
x=0,y=0 を(1) の結果に代入すると、
 (z−5)^2=○○  ・・・(i)
これを解いて
 z−5=±√○○
 z=5+√○○
2解の距離が求める長さなので、
 (5+√○○)−(5−√○○)=2√○○

実は、(i) の段階で、答えは見えています。

No.20018 - 2013/01/31(Thu) 20:35:04

Re: ベクトル / 高専
ありがとうございました.
理解できました.

No.20020 - 2013/01/31(Thu) 21:27:24
数Aの平面図形 / 銀狼
Oを中心とする半径1の円OとO'を中心とする半径1の円O'があり、円OはO'を通り、円O'はOを通るものとする。
円Oの円周上に2点A、Bをとり、円O'の円周上に点Cをとる。またCからABに引いた垂線の足をHとする。
?僊BCの面積が最大になるのは、C、O'、O、Hの4点がどのような関係にあるときか調べなさい。


図を描いてみるとC、O'、O、Hの4点が一直線上にあるときのような気がしますが、これは間違いでしょうか?正しい場合、どうやってそれを示せばよいかわからないです。証明の仕方を教えてください。お願いします。

No.20002 - 2013/01/31(Thu) 13:53:06

Re: 数Aの平面図形 / らすかる
「C、O'、O、Hの4点が一直線上にあるとき」は正しいです。
ABの長さだけを固定してABの位置とCの位置を考えるとき、
ABを動かすとわかりにくいのでABの位置も適当に固定して
円O'の方を動かすことにします。
そうすると「円O'が動くときの一番外側の通過点」は
Oを中心とする半径2の円周なりますね。
その図で考えれば、O'とCがABの垂直二等分線上にあるときに
△ABCの面積が最大になることは明らかです。

No.20012 - 2013/01/31(Thu) 18:10:57

Re: 数Aの平面図形 / 銀狼
とてもよくわかりました。円の方を動かすところがとても勉強になりました。ありがとうございました!
No.20042 - 2013/02/02(Sat) 01:26:41
三次方程式 / AKI
曲線C:y=(x-2)^3上の点P(t,(t-2)^3)における接線をlとする。
?@lとCが異なる二つの共有点をもつときのx座標を求めよ
?Atが0<t<2を動くときx軸y軸及び直線lで囲まれる部分の面積が最大値をとるときのtとその値を求めよ

まず、Lの式を作り連立して
x^3-6x^2-3t(t-4)x+2t^2(t-3)=0まで作りました。
そのあとの解き方がわかりませんでした。xにうまいこと=0となる数字を入れようと考えましたが見つからなかったです。このやり方を教えてください。

また、?AはS=2/3(t+1)^2(t-2)^2まで導きました。しかしこの段階で中の(t+1)(t-2)にだけ注目してそこで0<t<2を動かすとt=2で最大値のようになってしまい(厳密にはこれも間違い)うまく答えが出せません。
どうかこのあとのやり方を教えていただきたいです。

どうぞよろしくお願いします。

No.20001 - 2013/01/31(Thu) 11:55:51

Re: 三次方程式 / X
>>そのあとの解き方〜
条件から問題の方程式
>>x^3-6x^2-3t(t-4)x+2t^2(t-3)=0
は少なくともx=tを解に持ちます。そのことを踏まえて
左辺を因数分解しましょう。

>>また、?Aは〜
(t+1)(t-2)
ではなくて
|(t+1)(t-2)|
の最大値を求めることを考えましょう。
或いはSをtの4次関数と見てtで微分して増減表を描く、
という方針でも良いでしょう。

No.20003 - 2013/01/31(Thu) 13:58:57

Re: 三次方程式 / AKI
わかりました。

便宜上、すると、ーのときにしか最大値が求まらないとわかる、という感じでしょうか???

No.20007 - 2013/01/31(Thu) 16:29:57

Re: 三次方程式 / X
質問の意味が不明です。タイプミスですか?。
No.20032 - 2013/02/01(Fri) 14:25:35
極限,積分 / N山(高校2年)
[問題] lim_[x→+∞]1/x*∫[0,x]|sin(t)|dtを求めよ。

不等式を用意して挟み撃ちの原理を利用して極限値を求めるのだと思うのですが
どうすれば不等式で挟めるのか分かりません。お願い致します。

No.19987 - 2013/01/30(Wed) 13:38:25

Re: 極限,積分 / IT
(1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt ですよね。
|sin(t)|がπを周期に持つことを利用して考えれば良いと思います。

(方針)
0<nπ≦x≦(n+1)π、(nは正整数)のとき

 0<1/((n+1)π)≦1/x≦1/(nπ)…?@
 また|sin(t)|≧0なので
 0≦∫[0,nπ]|sin(t)|dt≦∫[0,x]|sin(t)|dt≦∫[0,(n+1)π]|sin(t)|dt…?A
 ?@?Aより
 [1/((n+1)π)]∫[0,nπ]|sin(t)|dt≦(1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt≦[1/(nπ)]∫[0,(n+1)π]|sin(t)|dt…?B
 任意の実数tについて|sin(t+π)|=|sin(t)|なので∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m∫[0,π]|sin(t)|dt
これを?Bに適用し    
 [n/((n+1)π)]∫[0,π]|sin(t)|dt≦(1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt≦[(n+1)/(nπ)]∫[0,π]|sin(t)|dt
 ・・・

No.19990 - 2013/01/30(Wed) 18:01:03

Re: 極限,積分 / N山(高校2年)
∫[0,π]|sin(t)|dt=2,x→+∞のときn→+∞より
lim_[n→+∞][n/((n+1)π)]∫[0,π]|sin(t)|dt=2/π
lim_[n→+∞][(n+1)/(nπ)]∫[0,π]|sin(t)|dt=2/π
挟み撃ちの原理より
∴lim_[x→+∞](1/x)*∫[0,x]|sin(t)|dt=2/π

なんとか答えを出せました.説明ありがとうございます.

∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m∫[0,π]|sin(t)|dtのところなのですが,
∫[0,mπ]|sin(t)|dtはm個の山の面積を表すから
∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m*(山一つ分の面積)すなわち,
∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m∫[0,π]|sin(t)|dtとなるという理解であっているでしょうか.

No.19991 - 2013/01/30(Wed) 23:04:27

Re: 極限,積分 / IT
> ∫[0,mπ]|sin(t)|dtはm個の山の面積を表すから
> ∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m*(山一つ分の面積)すなわち,
> ∫[0,mπ]|sin(t)|dt=m∫[0,π]|sin(t)|dtとなるという理解であっているでしょうか.


意味としてはそういうことです。
もう少し厳密にはm個の区間の和に分割して、計算で示すのでしょうかね。

No.19992 - 2013/01/30(Wed) 23:20:39

Re: 極限,積分 / N山(高校2年)
> もう少し厳密にはm個の区間の和に分割して、計算で示すのでしょうかね。
つまり∫[0,nπ]|sin(t)|dt=Σ_[k=1,n]∫[(k-1)π,kπ]|sin(t)|dt
と変形してこれを計算するということですよね.
答案には∫[0,nπ]|sin(t)|dt=n∫[0,π]|sin(t)|dt
といきなり書かずに計算でちゃんと示した方がいいんでしょうか.

No.19993 - 2013/01/31(Thu) 00:22:41

Re: 極限,積分 / IT
微妙ですね、この問題の占める割合と試験時間にもよります。
私なら、グラフを描いて∫[0,nπ]|sin(t)|dt=n∫[0,π]|sin(t)|dtと書くかな。

時間が残れば∫[0,nπ]|sin(t)|dt=Σ_[k=1,n]∫[(k-1)π,kπ]|sin(t)|dtを計算していくかも
but、書かなくて減点される恐れ < 書いて計算や推論を間違って減点される恐れ、時間を考えると書かないかな。

∫[0,nπ]|sin(t)|dtを求めよ。という問いなら、きちんと計算する必要がありますよね。

本番の答案にどこまで書くかは別にして、数学の勉強としては、一度厳密にやっておくことも大切だと思います。

No.19999 - 2013/01/31(Thu) 05:29:12

Re: 極限,積分 / N山(高校2年)
納得しました。
何度も回答ありがとうございました。

No.20000 - 2013/01/31(Thu) 10:14:08
数?Uの領域 / 銀狼
(a,b)はb≦(-a+2)/4かつb≧|(1-2a)/4|を満たし、(c,d)はd≦(-c+2)/4かつd≧|(1-2c)/4|を満たす。ただし、(a-1/2)(c-1/2)≦0であるとする。
b+dの最大値を求めなさい。

解説に、

??(a,b)と(c,d)はともにy≦(-x+2)/4かつy≧|(1-2x)/4|を満たし、(a,b)と(c,d)はこのxy平面上でx=1/2に関して反対側にあるので、y≦(-x+2)/4かつy≧|(1-2x)/4|の領域内の、x≦1/2の部分とx≧1/2の部分のそれぞれの最大値の和がb+dの最大値になる〜??

とあるのですが、??(a,b)と(c,d)はこのxy平面上でx=1/2に関して反対側にあるので?≠フ部分の意味がわからないです。どうしてそんなことがわかるんでしょうか?
解説の考え方がよくわからないので、解説していただけないでしょうか?お願いします。

No.19986 - 2013/01/30(Wed) 13:24:21

Re: 数?Uの領域 / ヨッシー
(a-1/2)(c-1/2)≦0 ということは、
a, c の一方が 1/2 以上、他方が 1/2 以下であると言えます。
グラフでいうと、x=1/2 のグラフに対して、a, c の
一方が左、他方が右 です。

これを「x=1/2に関して反対側」という表現にしています。

No.19988 - 2013/01/30(Wed) 14:27:59

Re: 数?Uの領域 / 銀狼
よくわかりました。ありがとうございました!!
No.19989 - 2013/01/30(Wed) 14:52:26
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