数列{an}を a1=1, a(n+1)=nan/{2+n(an+1)} (n=1, 2, 3,,,,)によって定める。
(1)a2, a3, a4を求めよ。
(2)一般項anをnを用いて表せ。
(3)lim[m→∞] mΣ[n=m+1〜2m] an
(3)について質問です。
an=1/(n^2)より、
mΣ[n=m+1〜2m] an=m[1/{(m+1)^2}+1/{(m+2)^2}+ … +1/{(m+k)^2}+ … +1/(4m^2)]
となり、すべての項について分母にm^2が入っているので、m→∞のとき、すべての項が０に収束し、答えは０だと思ったのですが解答には1/2とありました。
解き方を教えてください。
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No.20122 - 2013/02/12(Tue) 07:13:36
| ☆ Re: 数列 和の極限 / IT | | | とりあえず０に収束しないこと。
1/(4m^2)以上のもののｍ個の和のｍ倍ですから1/4以上です。
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No.20123 - 2013/02/12(Tue) 07:31:03 |
| ☆ Re: 数列 和の極限 / IT | | | すべての項が０に収束 するから それの和も０に収束というのは、有限個の和のときは、正しいですが、今回のように無限個（ｍ個（m→∞））の場合は、間違いです。
根本的なことですので、しっかり確認されることをお勧めします。
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No.20124 - 2013/02/12(Tue) 07:42:29 |
| ☆ Re: 数列 和の極限 / らすかる | | | 例えば
m{1/m^2+1/m^2+1/m^2+…(m個)…+1/m^2}
はカッコ内のすべての項の分母がm^2となっていますが、
足すと1ですから0に収束しませんね。
ITさんも書かれていますが、
各項→0であっても、項数→∞ならば0に収束するとは限りません。
解き方としては例えば
S=1/{m(m+1)}+1/{(m+1)(m+2)}+…+1/{(2m-1)(2m)}
T=1/{(m+1)(m+2)}+1/{(m+2)(m+3)}+…+1/{(2m)(2m+1)}
とすれば
mT＜mΣ[n=m+1〜2m]a[n]＜mS
となりますが
mS-mT=m{1/{m(m+1)}-1/{(2m)(2m+1)}}
=(3m+1)/(4m^2+6m+2)
=(3/m+1/m^2)/(4+6/m+2/m^2)
→0 （m→∞）
なので
lim[m→∞]mT=lim[m→∞]mΣ[n=m+1〜2m]a[n]=lim[m→∞]mS
よって（以下略）
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No.20125 - 2013/02/12(Tue) 08:37:00 |
| ☆ Re: 数列 和の極限 / ktdg | | | 回答ありがとうございます。
(以下略)の部分は
mT=mΣ[n=m+1〜2m] 1/n(n+1)
=m[{1/(m+1)-1/(m+2)}+{1/(m+2)-1/(m+3)}+...+{1/2m-1/(2m+1)}]
=m{1/(m+1)-1/(2m+1)}=1/(1+1/m)-1/(2+1/m)より
lim[m→∞]mT=1-1/2=1/2
∴ lim[m→∞] mΣ[n=m+1〜2m] an=lim[m→∞]mT=1-1/2=1/2
で問題ないでしょうか?
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No.20130 - 2013/02/12(Tue) 15:47:55 |
| ☆ Re: 数列 和の極限 / らすかる | | | No.20131 - 2013/02/12(Tue) 16:02:14 |
| ☆ Re: 数列 和の極限 / ktdg | | | No.20134 - 2013/02/12(Tue) 18:43:40 |
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