ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校平面ベクトル / ゆずみそ

問題
平面上に、一辺の長さが1の正三角形を2つ適当に描き、それぞれの周または内部に点P1、P2をとる。
正三角形を固定してP1、P2を自由に動かすとき、2点P1P2の中点Mの動く領域をWとする。
Wの面積を最大にするには、もとの正三角形をどのように取ればよいか。

自分で考えたこと
正三角形を平行移動してもWは変化しないので、正三角形の重心が定点Oになるように全てを平行移動し、△A1B1C1、△A2B2C2とする。
P1がA1、P2がA2にあるとき、MはA1A2の中点。P1をB1まで動かすと、MはA2B1の中点まで動く。
これを繰り返すと、Wは、六角形A1A2B1B2C1C2の、隣り合った2頂点の中点6個の点によってできる六角形になる。

質問
この後具体的にどうすればいいのかをアドバイスしてください。
また、もっと違った解き方があれば教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.19409 - 2012/12/14(Fri) 17:06:06

☆ Re: 高校平面ベクトル / ヨッシー

２つの正三角形の重心を重ねると、図のようになります。

△Ａ1Ａ2Ｂ1 の面積をＳとすると、Ｗの面積は、
正三角形Ａ1Ｂ1Ｃ1 に、Ｓを３つ足して、
Ｓの1/4 の面積の三角形(図の白い部分)を６つ切り取った物なので、
　Ｗ＝△Ａ1Ｂ1Ｃ1＋３Ｓ－６(S/4)＝△Ａ1Ｂ1Ｃ1＋(3/2)Ｓ
となるので、Ｓが最大の時、Ｗが最大となります。

No.19412 - 2012/12/14(Fri) 22:42:49

☆ Re: 高校平面ベクトル / ゆずみそ

なるほど！すごく分かりやすい解答で助かりました。
どうもありがとうございます。

No.19426 - 2012/12/16(Sun) 22:36:14

★ 条件付確率？ / MK

模試ではっきりと分からない問題があったのでご指導くださるとうれしいです。

（問い）ａｂｃ・・・・ｊの合計１０人から５人を選ぶとき、次の確率を求めよ。
ａｂｃを除いた７人のうちの３人が選ばれることが分かっているとき、ａが選ばれる確率。

解答例では、条件付確率を使って、下記のようにゴリゴリ計算して２／３としてます。
ａが選ばれる：Ａ、確率＝Ｐ（Ａ）＝１／２
ａｂｃを除いた７人のうちの３人が選ばれる：Ｂ、確率Ｐ（Ｂ）＝５／１２
Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝５／１８
求める確率は条件付確率ＰＢ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ∩Ａ）／Ｐ（Ｂ）＝２／３

・単純にａｂｃの３人から２人選ぶときと考えて
ａが選ばれない確率１／３より１－（１／３）＝２／３としてはいけないでしょうか？

・そもそも「７人のうちの３人が選ばれる」とは「ちょうど３人」と考えて良いのでしょうか？この問題・解答ではその意味で使っていますが、私は最初４人、５人の場合も含むかも知れないと思いました。あいまいな表現だと思います。ヨッシー先生や諸先輩方はどう思われますか？

No.19405 - 2012/12/13(Thu) 04:53:47

☆ Re: 条件付確率？ / らすかる

「abcを除いた7人のうちの3人が選ばれることが分かっている」は
「abcを除いた7人のうちの特定の3人が選ばれることが分かっている」
という意味に解釈されると思います。（私はそのように解釈します。）
つまり、例えば「defghijのうちのf,h,iの3人が選ばれることが分かっている」
のような意味になり、この場合d,e,g,jは選ばれるかも知れませんので
「7人のうち少なくとも3人」になると思います。
このように解釈した場合、選ばれることが分かっている3人以外の7人から
2人選んでaが含まれる確率ですから、求める確率は2/7となります。
もし
「abcを除いた7人のうちの3人が選ばれることが分かっている」でなく
「abcを除いた7人のうちで3人が選ばれることが分かっている」とか
「abcを除いた7人のうち3人が選ばれることが分かっている」ならば
（これでも曖昧ですが）解答の通りに解釈してよいと思います。
よって上記の「問い」が一字一句間違いないのであれば、
私は問題不備か解答の誤りであると考えます。

で、もし「abc以外の7人中3人選ばれる」の場合は、
残り2人をabcから選ぶことになりますので、
MKさんの計算で問題ありません。

No.19406 - 2012/12/13(Thu) 05:20:46

☆ Re: 条件付確率？ / MK

らすかるさん、早速の丁寧な回答ありがとうございます。

No.19407 - 2012/12/13(Thu) 05:39:41

★ 虚数 / ＲＯＨ

大学受験において（高校数学において）√の中が虚数というのは許されるのでしょうか？知っている方いらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします

No.19398 - 2012/12/10(Mon) 23:41:22

☆ Re: 虚数 / ヨッシー

出題者がもしそういう記述をしたら出題ミスとなります。

解答者がもしそういう記述をしたら減点の対象となりえます。
例えば、答え(または途中の式)で、
√{4＋(2√6)ｉ} のようなのが出てきたら、間違いなく計算ミスです。
また、√(4＋2√6) が正解のところ
√{(a+b)＋2√(ab)}＝√a＋√b を使おうとして、
　x^2－4x＋6＝0　から　ｘ＝2±√2ｉ
として、
　√(4＋2√6)＝√(2＋√2ｉ)＋√(2－√2ｉ)
と書いたら、公式の適用ミスです。
√{(a+b)＋2√(ab)}＝√a＋√b　はａ＞０、ｂ＞０の時において、
示された公式だからです。
(ａ＝０またはｂ＝０でも成り立ちますが、公式として意味がありません)

No.19402 - 2012/12/11(Tue) 09:51:02

☆ Re: 虚数 / 黄桃

許されるかどうか、は、√の定義をどう考えているか、によります。
19395 にあるように教わっているのであれば、
「複素数の√は定義が微妙にかわっている」
ということになります。おそらく、√a が単独ででてくることはなく、
x^2=a (aは負の実数、あるいは一般に任意の複素数)という方程式は、解の１つを(√a)とすれば、これと -(√a) の２つだけがこの方程式の解である、
という文脈で使われていると思います。
a>0 （正の実数）の時は、√a は2乗すると a になる数のうち正のもの、と決めていましたが、
a=-1 の時は解の１つを i とする、としか決めていません。
iには正負が決められない(-1=i^2<0 だから、iが正でも負でもおかしい）ので、今までの意味では√(-1)=i とはできません。

＃(-i)^2=-1 ですが、なぜ√(-1)=-i でないのでしょうか。
＃マイナス符号がつくと負、ないと正と思い込んでいませんか？

だから、√(-1)=i と書いたり、√(-2)=(√2)i などと書くのは今までの√の定義からするとまずいのです。

とはいえ、実数解を持たない2次方程式を解の公式で解く場合に、2乗すると負の実数aになる数の１つに√a という表記を使ってはいけないとすると不便です。
高校の指導要領を外れるとは思いますが、係数が複素数の2次方程式を解の公式で解く時も√a (aは複素数）という表記を使いたいでしょう。
こうした場合は必ず±√a という形で登場するので、√a は2乗して a になる数のうちの一方、という但し書きがあるものと考えてください。

この但し書きで意味が通じる(一方というだけで特定できなくても意味が通じる）のであれば、大学受験に使っても差し支えないでしょう。ヨッシーさんの最後の例は、一方というだけでは曖昧な例ですね。

なお、f(x)=√(x-2) のような関数や x=√(x+2) のような無理方程式の場合は、すべて実数の話なので、今まで通り、√の中は0以上でなければなりません。

No.19403 - 2012/12/12(Wed) 01:13:54

★ 大人 / ＲＯＨ

a=(√a)^2ってaの正負に関わらず成り立つのでしょうか？

私は(√a)^2=√(a^2)=lalだと思うのですが

No.19381 - 2012/12/08(Sat) 23:10:22

☆ Re: 大人 / らすかる

aが負のときの √a の定義が {√(-a)}i ならば
a=(√a)^2 は aの正負に関わらず成り立ちますし、
(√a)^2=√(a^2) は成り立ちません。

No.19383 - 2012/12/09(Sun) 03:53:15

☆ Re: 大人 / ROH

すみません、質問の仕方を変えさせてください。
aが複素数の範囲で
a=(√a)^2 がaがどの場合に成り立つのか成り立たないのか教えてください。また、その理由（根拠）を教えてください。
よろしくお願いします。

No.19387 - 2012/12/09(Sun) 13:50:17

☆ Re: 大人 / らすかる

√aの定義が「2乗するとaになる数のうちの一つ」ならば、
a=(√a)^2 は必ず成り立ちます。

No.19389 - 2012/12/09(Sun) 15:08:46

☆ Re: 大人 / ＲＯＨ

√aの定義が「2乗するとaになる数のうちの一つ」ならば、という言い方が気になるのですが、a=(√a)^2が成り立たない定義の仕方があるのですか？

No.19390 - 2012/12/09(Sun) 21:03:31

☆ Re: 大人 / ヨッシー

例えば、√a＝a^2 というような定義です。
定義なので、どう決めても良いのです。
もちろん、普段使っている √ の意味とはかけ離れています。

No.19391 - 2012/12/09(Sun) 22:42:58

☆ Re: 大人 / ＲＯＨ

確かに、高校レベルの知識の私には意味不明ですね。
大学受験という範囲において
a=(√a)^2・・?@
√a√b=√（ab）・・?A
√a/√b＝√(a/b)・・?B
(a,bは実数、虚数どちらでもよい）
?@、?A、?Bはa,bがどのような条件の時に成り立つのか、その根拠も含めて教えてください。

No.19392 - 2012/12/10(Mon) 00:30:40

☆ Re: 大人 / らすかる

高校レベルで、√の中身に負の数や複素数が許されるのでしょうか？
私は、（大昔ですが）高校では「√の中に負の値を入れてはいけない」と習いました。
もし負の数や複素数の√が許されるのでしたら、
aが負の数や複素数の場合の√aの定義を教えて下さい。

No.19393 - 2012/12/10(Mon) 01:28:23

☆ Re: 大人 / ＲＯＨ

複素数の√が許されるのかは知りません、というかまだ見たことがないとしかいえません。高校レベルで許されないのなら、「高校レベルでは許されない」を回答にしてください。

aが負の数の√は高校レベルで間違いなく許されます。教科書の基本例題レベルでも出てきます。a>0のとき√(-a)=(√a)iと定める。例えば√(-2)=(√2)iである。一般にa>0のとき,-aの平方根は(√a)iと-(√a)iである。とあります。

改めて19392の回答をお願いします。

No.19395 - 2012/12/10(Mon) 21:26:25

☆ Re: 大人 / らすかる

> 複素数の√が許されるのかは知りません、というかまだ見たことがないとしかいえません。
> 高校レベルで許されないのなら、「高校レベルでは許されない」を回答にしてください。
そういうことであれば、私には高校レベルで許されるかどうかわかりませんので回答できません。

a,bを実数に限るのであれば、
a≧0とa＜0,b≧0とb＜0 の2×2=4通りについてその定義通りに実際に計算してみれば
どのような条件の時に成り立つのかわかりますね。

No.19396 - 2012/12/10(Mon) 21:59:38

☆ Re: 大人 / ＲＯＨ

「大学受験において（高校数学において）複素数の√が許されるか否か」
＞らすかるさん、何度もありがとうございました。分からないのでしたら仕方がないですね。こればかりは数学の力ではなく高校数学に携わっているか否かの問題ですからね。改めて質問を立ち上げます。

実験（推定）はできますが確信は持てませんので19392の回答をどなたかお願いします。以下のように推定はしてみました。

a＜0,b＜0のとき
√（－２）√（－３）＝√２ｊ√３ｊ＝－√６、
√｛（－２）（－３）｝＝√６（不一致）
a<0,b>0のとき
√(-2)√3=√６ｊ
√（－６）＝√６ｊ（一致）
a,b>0
√2√３＝√６
√（２＊３）＝√６（一致）
a,b<0のときのみ?Aは不成立と推定

次に?Bについて
a,b>0のときは明らか
a,b<0のとき
√(-2)/√(-3)=√2j/(√３j)=√(2/3)
√(-2/-3)（一致）
a>０,b<0のとき
√2/√(-3)=√2/√３j=-√(2/3)
√(2/-3)=j√(2/3)(不一致）
よってa,bが異符号の時のみ?Bは不成立と推定

?@について
a≧0のときは明らか
a<0のとき｛√（-2)｝^2＝(√2j)^2=-2より
aの正負に関わらず?@は成立と推定

よろしくお願いします

No.19397 - 2012/12/10(Mon) 23:38:56

☆ Re: 大人 / らすかる

数字にしてしまうと「推定」にしかなりませんが、
a,bの文字のまま同じことをすれば確定になりますよ。
ただし、19397では?Bの「a＜0,b＞0の場合」が抜けており、
?Bが成り立つ条件は正しくありません。
?@?Aは正しいです。

No.19399 - 2012/12/10(Mon) 23:47:20

☆ Re: 大人 / ＲＯＨ

回答ありがとうございます。
文字でヤルという発想はなかったです。
それから確かに分数形だとa,bは対称じゃないですね。

a＜0,b＜0のとき
√（a）√（b）＝{√(-a)}ｊ{√(-b)}ｊ＝－√(ab)、
√｛a*b｝（不一致）
a<0,b>0のとき
√a√b=√(-a)j√ｂ＝√(-ab)j
√(ab)＝√(-ab)ｊ（一致）
a,b>0
明らか
a,b<0のときのみ?Aは不成立

次に?Bについて
a,b>0のときは明らか
a,b<0のとき
√(a)/√(b)=)√aj)/(√bj)=√(a/b)
√(a/b)（一致）
a>０,b<0のとき
√a/√(b)=√a/(√(-b)j)=-√(a/-b)
√(a/b)=j√(a/-b)(不一致）
a<0,b>0のとき
√a/√ｂ＝(j√-a)/√ｂ＝ｊ（√(-a/b))
√(a/b)=j√(-a/b)(一致）
よってa＞０、b＜０時のみ?Bは不成立

?@について
a≧0のときは明らか
a<0のとき｛√（a)｝^2＝((√-a)j)^2=
-a*(-1)=aより
aの正負に関わらず?@は成立

途中過程、ならびにその結論、間違いないか確認お願いします。

No.19400 - 2012/12/11(Tue) 00:22:00

☆ Re: 大人 / らすかる

a=0やb=0の場合は明らかなので省略したと判断しますが、
?Bのa>0,b<0のときの
√a/√(b)=√a/(√(-b)j)=-√(a/-b)
の式で最後にjが抜けてますが、
それ以外は問題ないと思います。

No.19401 - 2012/12/11(Tue) 00:28:39

★ (No Subject) / 東

xy平面上において、放物線C1:y=x^2と円C2:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(r>0)が点P(1/2,1/4)がにおいて、共通の接線をもつとする。
(1)b,rをaを用いて表せ。
以下、さらにC1とC2がP以外のただ1つの点(q,q^2)(q≠-1/2)で共有点をもつものとして
(2)a,qの値をそれぞれ求めよ｡
(3)C2の中心は直線PQ上にあることを示し、C1,C2で囲まれる図形の小さいほうの図形の面積を求めよ｡

No.19376 - 2012/12/07(Fri) 15:54:37

☆ Re: / ヨッシー

(1)
ｙ＝ｘ^2 をｘで微分して、
　ｙ’＝２ｘ
よって、点ＰにおけるＣ1 の接線の傾きは１であり、法線の傾きは－１となります。
よって、Ｃ2 の中心Ａ(a,b) は点Ｐを通り、傾き－１の直線上にあるので、
　ｂ＝－ａ＋3/4
また、ＡＰ＝ｒより、
　ｒ＝√{(a－1/2)^2＋(b-1/4)}
ａ＜1/2 に注意して、計算すると、
　r＝(1/2－a)√2
となります。

(2)
ｙ＝ｘ^2 をＣ2 の式に代入して、
　(x-a)^2＋(x^2-b)^2＝r^2
(1) の結果を代入して、
　(x-a)^2＋(x^2+a-3/4)^2＝2(a-1/2)^2
展開して整理すると、
　ｘ^4＋(2a-1/2)x^2－2ax＋a/2＋1/16＝０
因数分解して、
　(x-1/2)^2(x^2+x+2a+1/4)＝０
点Ｐ以外の共有点のx座標は、x^2+x+2a+1/4＝０の解となります。
解いてみると、
　ｘ＝{1±√(-8a)}/2
ａ＝０のときは、重解になりますが、x=-1/2 となり不適。
解の内の１つが x=1/2 になるようにａを決めると、
　a=-1/2
このとき、ｘ＝1/2, -3/2 となり、
　q=-3/2
(3)
Ｑ(q,q^2) と解釈します。
Ｐ：(1/2,1,4)、Ｑ：(-3/2, 9/4) であり、Ｃ2 の中心は (-1/2, 5/4) であるので、
Ｃ2 の中心はＰＱの中点となります。

求めるのは、図の青い部分ですが、半円から、緑の部分を
除く方向で考えます。
緑の部分の面積Ｓは
　Ｓ＝∫[-3/2～1/2](-x+3/4-x^2)dx
　　＝(1/2＋3/2)^3/6＝4/3
ｒ＝√2 であるので、半円の面積は、π。
求める面積は、π－4/3　となります。

No.19379 - 2012/12/08(Sat) 13:41:21

☆ Re: / 弦

横から失礼します
解いてみると、
　ｘ＝{-1±√(-8a)}/2
の入力ミスですね。

それはいいとして、
＞ａ＝０のときは、重解になりますが、x=-1/2 となり不適。解の内の１つが x=1/2 になるようにａを決めると、
　a=-1/2　このとき、ｘ＝1/2, -3/2 となり、　q=-3/2

ということは
(x-1/2)^2(x^2+x－3/4)=0
⇔（x-1/2)^2(x-1/2)(x+3/2)=0
でｘ＝１/2で３重解をもつことになってしまうのですが、よいのですか？円と直線が接する時は(x-●)＾２＝０や（ｙー●）^2=0だったと思いますが、円と放物線が接する時は3重解ということですか？詳しく知りたいです。よろしくお願いします

No.19380 - 2012/12/08(Sat) 19:40:58

☆ Re: / ヨッシー

ｘ＝{-1±√(-8a)}/2
でした。失礼しました。

また、ａ＜1/2 とは限らないので、
　r＝|1/2－a|√2
となります。

ａを色々替えて、図を描いてみました。
x=1/2 の重解は保証されていて、残りの２つの解が点で表されています。
点が(x=1/2 を含め)２個になるのは、a=0 と a=-1/2 のときです。
それ以外は、x^2+x+2a+1/4＝０B　が異なる２実解を持つか
虚数解となって、グラフには現れないかです。

円と放物線の場合でも、２重解があれば、十分です。
この問題のように、３重解になる場合は、円と放物線は
接してはいませんが、接線を共有はしています。

No.19382 - 2012/12/09(Sun) 01:06:06

☆ Re: / 弦

回答ありがとうございます

円と放物線の場合でも、２重解があれば、十分、というのは
円と放物線が接線を共有するならばその接点のｘ座標について少なくとも2重解を持つ、という理解で合っていますか？

No.19384 - 2012/12/09(Sun) 12:05:25

☆ Re: / ヨッシー

「円と放物線が接線を共有する」ではなく「円と放物線が１つの点において接線を共有する」です。

ｙ＝（ｘの２次式）　という形の放物線なら、そういう理解でいいと思います。

No.19394 - 2012/12/10(Mon) 11:06:59

★ 記述に関する質問final / Xex

他の人(astさん以外の方々)の意見もききたいのでもう一度同じ質問を。学校、塾の先生から記述の答案が荒いとよく言われるのですが、数学の記述が上手くなるためにはどのような勉強法をすればいいでしょうか?もう本番も近いのでどうかアドバイスの少しでも教えてください。

No.19372 - 2012/12/05(Wed) 14:53:48

☆ Re: 記述に関する質問final / ヨッシー

「記述の答案が荒い」というのを見て、思い浮かぶのが、
式をつらつらと書くだけの答案になっていませんか？ということです。

式から始まる答案はありえない、必ず日本語が来て、その次に式です。
ｘについて整理して
　○○○○○○○○
移項して
　○○○○○○○○
解の公式より
　○○○○○○○○
両辺２で割って
　○○○○○○○○

のような感じです。よほど、分かりきった変形の場合は
式が続く場合もありますが、それでも３つ続いたらヤバイです。

日本語がしっかり書かれていると、筋道がはっきりと伝わります。

といったところを気にしてみてはどうでしょうか？

No.19373 - 2012/12/05(Wed) 15:09:59

☆ Re: 記述に関する質問final / IT

ヨッシーさんのおっしゃるとおりだと思います。

私が参考にした本を紹介します。
A「高校数学勉強法」鍵本聡（講談社ブルーバックス）
B「数学受験術指南」森毅（当時京都大学教授）中公新書
いずれも答案の作成方法も書いてあります。Bはかなり古いので古本しかないかも知れません。

No.19374 - 2012/12/05(Wed) 18:51:17

☆ Re: 記述に関する質問final / Xex

アドバイスありがとうございます。

No.19377 - 2012/12/07(Fri) 16:07:56

★ (No Subject) / 飛沫

空間内の定点Oから等距離にある4点A,B,C,Dについて条件
AD=BC, BD=CA, CD=AB…＊
を考える。点Xを
OX=OA+OB+OC+OD (左の式はすべての項がベクトルです。)
で定めるとき、次の命題が成り立つことをそれぞれ示せ。
⑴点Xが点Oに一致するならば、4点A,B,C,Dは＊を満たす。
⑵＊を満たす4点A,B,C,Dは点Xから等距離にある。
⑶4点A,B,C,Dが同一平面に無く、かつ＊を満たすならば、点Xは点Oに一致する。
どうもベクトルの定義というか、概念が確実に理解できてないため、厳密な証明ができません。教えてください

No.19370 - 2012/12/04(Tue) 23:57:42

☆ Re: / ヨッシー

ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ、ｄ＝ＯＤと置きます。
条件より |ａ|＝|ｂ|＝|ｃ|＝|ｄ|＝ｋと置けます。

(1)
　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝０　・・・(i)
が成り立つとき、
　|ｄ－ａ|＝|ｃ－ｂ|
　|ｄ－ｂ|＝|ａ－ｃ|
　|ｄ－ｃ|＝|ｂ－ａ|
が成り立つか、という問題です。　
(i) より
　ａ＋ｄ＝－(ｂ＋ｃ)
両辺自分自身の内積を取って、
　(ａ＋ｄ)・(ａ＋ｄ)＝(ｂ＋ｃ)・(ｂ＋ｃ)
　ｋ^2＋２ａ・ｄ＋ｋ^2＝ｋ^2＋２ｂ・ｃ＋ｋ^2
よって、
　ａ・ｄ＝ｂ・ｃ
これより、
　|ｄ－ａ|＝|ｃ－ｂ|(≧０)
を２乗した
　|ｄ|^2－２ａ・ｄ＋|ａ|^2＝|ｃ|^2－２ｂ・ｃ＋|ｂ|^2
が成り立ち、
　|ｄ－ａ|＝|ｃ－ｂ|
が導けます。
同様にして、
　|ｄ－ｂ|＝|ａ－ｃ|
　|ｄ－ｃ|＝|ｂ－ａ|
も導けます。

(2)
ｘ＝ＯＸと置きます。
　|ｄ－ａ|＝|ｃ－ｂ|
　|ｄ－ｂ|＝|ａ－ｃ|　　・・・(ii)＝＊
　|ｄ－ｃ|＝|ｂ－ａ|
が３つとも成り立つとき、
　ｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ
に対して
　|ｘ－ａ|＝|ｘ－ｂ|＝|ｘ－ｃ|＝|ｘ－ｄ|
が成り立つかという問題です。
(ii) から
　ａ・ｄ＝ｂ・ｃ
　ｂ・ｄ＝ａ・ｃ　　　・・・(ii)'
　ｄ・ｃ＝ａ・ｂ
が言えます。
　|ｘ－ａ|^2＝|ｂ＋ｃ＋ｄ|^2
　　＝３ｋ^2＋２ｂ・ｃ＋２ｃ・ｄ＋２ｄ・ｂ
　|ｘ－ｂ|^2＝|ａ＋ｃ＋ｄ|^2
　　＝３ｋ^2＋２ａ・ｃ＋２ｃ・ｄ＋２ｄ・ａ
　　＝３ｋ^2＋２ｄ・ｂ＋２ｃ・ｄ＋２ｂ・ｃ　(ii)' より
よって、
　|ｘ－ａ|^2＝|ｘ－ｂ|^2
|ｘ－ａ|≧０、|ｘ－ｂ|≧０　より
　|ｘ－ａ|＝|ｘ－ｂ|
同様にして、|ｘ－ｃ|、|ｘ－ｄ| も等しいことが導けます。

(3)
(2) の結果より、＊を満たすときＸは、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄから等距離にあります。
３点Ａ，Ｂ，Ｃから等距離にある点は、△ＡＢＣの外心を通って、△ＡＢＣを含む平面に垂直な直線Ｌ上にあります。
３点Ｂ，Ｃ，Ｄから等距離にある点は、△ＢＣＤの外心を通って、△ＢＣＤを含む平面に垂直な直線Ｍ上にあります。
４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは同一平面上にないので、△ＡＢＣと△ＢＣＤは、別の平面上にあり（平行でもない）、
直線Ｌと直線Ｍは、平行でない直線です。
直線Ｌと直線Ｍの交点は高々１個であるので、それは点Ｏであり、点Ｘでもあります。

No.19371 - 2012/12/05(Wed) 11:53:40

★ 方程式 / 工学部2年

方程式
　n-n/{(1+x)^(n+1)}=0
の解き方を教えてください．

No.19362 - 2012/12/02(Sun) 19:02:27

☆ Re: 方程式 / らすかる

xは実数、nは整数とします。
n-n/{(1+x)^(n+1)}=0
n/{(1+x)^(n+1)}=n
n=0のときxは任意
n≠0のとき両辺をnで割って
(1+x)^(n+1)=1
nが偶数の時 1+x=1 から x=0
nが奇数の時 1+x=±1 から x=0,-2
答
n=0 のとき xは任意（ただしx=-1を除く）
nが0以外の偶数のとき x=0
nが奇数のとき x=0,-2

No.19363 - 2012/12/02(Sun) 20:06:35

☆ Re: 方程式 / 工学部2年

ありがとうございます。
お手数ですがつぎの方程式もおしえていただけないでしょうか。
cos(x+π/4)+x√2=1/√2

No.19364 - 2012/12/02(Sun) 21:02:20

☆ Re: 方程式 / のぼりん

こんばんは。横から失礼します。
　　　ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｘ＋π/４）
　　　ｇ（ｘ）＝１/√２－√２・ｘ
とおけば、この方程式は
　　　ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）　………　?@
と等価です。明らかに、ｘ＝０は ?@ の解です。
　　　ｆ´（ｘ）≧－１＞－√２＝ｇ´（ｘ）
だから、
　　　ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）　（ｘ＜０）
　　　ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）　（ｘ＞０）
です。

なお、新しい質問は、新規に起こしていただいた方が良いと思いますよ。

No.19365 - 2012/12/02(Sun) 21:45:23

☆ Re: 方程式 / 工学部2年

ありがとうございます．
次からきおつけます．

No.19366 - 2012/12/02(Sun) 21:54:10

★ 記述に関する質問final / Xex

今まで散々つまらない質問をしましたが、結局数学の記述が上手くなるためにはどういう勉強をすればいいでしょうか?特に記述の鉄則(軌跡の問題は逆を示す、など)とかは覚えるしかないのですか?

No.19354 - 2012/12/01(Sat) 21:21:26

☆ Re: 記述に関する質問final / ast

> 鉄則(軌跡の問題は逆を示す

これは鉄則とは言えないと思います. それに, そもそも「記述」ではなく「論理」の話ではないですか. 何を示すべきか, 何を示すことが求められているか, 必要条件はどのように使われたか, 何を示すのが十分条件か, などきちんと論理を追うことのほうがよっぽど鉄則らしいと思いますよ. 表面的な理解だけでパターン化・標語化をして, その暗記だけして済ませようという態度は, むしろ後でこっぴどくつけが回ってくるCENSORED行為といえるでしょう.

数学的な内容を記述するというのは, 数学語で書かれた問題文を, 日本語や数式に「翻訳」すること及びその逆を行うことに他なりません. 英語の文章を読むのに, 何の準備もしないままいきなり読めるようにはならないのと同様で, 十分に訓練する必要があります. 特に基礎が大変重要であり, おろそかにすることはできません. 裏を返せば, もっと基本に立ち返ってきちんと基礎を固められていれば, おのずと記述はうまくなります. ただし, 一朝一夕では無理です.

No.19358 - 2012/12/01(Sat) 22:05:21

★ 片側極限について / Xex

f(x)=x/|x|のx=0における極限を求めよという問題が記述式で出たとします。
この時、「x>0とx<0と場合分けして、(中略)x>0の時は1,x<0の時は-1なので極限値はない」とするのが正答なのはわかりますが、+0,-0という書き方が分かりにくいので使いたくない場合はどのような記述をすればいいでしょうか?「x>0の時、lim_[x→0]{f(x)}=1」などでいいでしょうか?
[+0,-0に慣れた方がよい]という回答はいりません。

No.19348 - 2012/12/01(Sat) 16:22:07

☆ Re: 片側極限について / らすかる

> 「x>0の時、lim_[x→0]{f(x)}=1」などでいいでしょうか?
理屈上は問題ありませんが、大半の人の解答と異なる書き方だと
（正しくても）減点される可能性がありますのでお勧めできません。
lim_[x→+0]{f(x)}=1 という書き方だけ避けられれば良いのであれば
lim_[x→0+0]{f(x)}=1 という書き方ではどうでしょうか。

No.19349 - 2012/12/01(Sat) 18:05:25

☆ Re: 片側極限について / Xex

lim_[x→0+0]{f(x)}=1 という書き方について。
「+0」や「-0」という表記自体が分かりにくく混乱するので自分としては使いたくありません。では、「xを0より大きい領域から0に近づける時、lim...」や「x>0におけるlim_[x→0]{f(x)}」はどう思われますか?

No.19350 - 2012/12/01(Sat) 19:05:38

☆ Re: 片側極限について / らすかる

私がどう思うかですか？
「普通の書き方と違ってわかりにくいなぁ」

# 例えば「logという名前は使いたくないから
# a=logx と書かずに xの自然対数をaとすると書く」とか
# 「分数は嫌いだからa/bと書かずに常にa÷bのように書く」などと
# 同レベルに感じます。

No.19351 - 2012/12/01(Sat) 19:59:54

☆ Re: 片側極限について / ＿

>[+0,-0に慣れた方がよい]という回答はいりません。
私のコメントもろとも発言消しちゃったのはそのためですかね。

＃ついでにいうと、その前にあなたが一度書いて消したコメントも見てます。

＃自分が気に入る回答以外要らないのならば、最初にそう書いておいてもらえると私も最初からコメントしないのでお互いのためになるかと思います。

No.19352 - 2012/12/01(Sat) 20:53:52

☆ Re: 片側極限について / Xex(3年)

自分はx>0の時,lim...という書き方の方がわかりやすいので理屈上正しいならばそのように書くことにします。とにかく+0や-0はわかりにくくて混乱します。

No.19353 - 2012/12/01(Sat) 21:17:36

☆ Re: 片側極限について / ast

ノートにメモするだけとか, (変だと分かったうえで) 自分だけで完結しているのならまだしも, 本当に「問題が記述式で出た」ときの答案の書き方を言っているのであれば, 「それは他人に読ませるものだ」ということを忘れてはいけないと思います. あなただけの都合で, それを読む採点官が読みづらい答案が作られたのでは, お話になりません. ということで, わたしも「+0,-0を使いなさい」に一票入れます.

少なくとも, "lim_[x→0] f(x)" だと左右両方からの極限を意味する (あるいは大学レベルになってしまいますが, 複素平面上での極限だともっと複雑にあらゆる近づき方を全て考慮しなければならないことを意味する) ので, 変に前提を付けた上でなおその表記を使うのは適当とは思えません.

No.19356 - 2012/12/01(Sat) 21:50:58

☆ Re: 片側極限について / らすかる

テストで減点されるリスクがあってでも自己流の書き方をしたいのであれば
それは止めませんが、
g(lim[x→+0]f(x))・g(lim[x→-0]f(x))＜0
のような式が必要になった場合は困ると思いますよ。

No.19357 - 2012/12/01(Sat) 21:53:10

☆ Re: 片側極限について / ＿

その試験の採点者(正しくは、採点基準を設定した人というべきか)に訊かなきゃ分かりません。
尤も、それが誰かを突き止める事は難しいでしょうし、訊いたところで教えてはくれないでしょうけども。少なくとも、全ての試験が同じ採点基準で採点されているなんてことはあるわけがないのですから、「バツですか？」の質問自体が道理を為してないわけです。

なので、数学の答案を記述する上での常識に従っていればまず間違いないだろうということで、一般的な書き方をすればいいんじゃないんですかね、と私は既に消されたコメントをそのように意図して書きましたし、おそらく大意においては他の方も同じ意図なんじゃないかなと思います。

で、なぜだかあなたはそれが気にくわないようで、誰か一人でも「それで問題ないですよ。私が保証します」とでも言ってくれる人が出てくる人を待っているかのようにすら思います。もしそうであれば、あまり益のないことだなあ、とは思います。

＃まあ、さすがにここまで本気に思ってる訳ではありませんが、少なくとも私のコメントごと親発言を消しちゃう程度には思うところはあったのでしょうね、とは思います。

No.19360 - 2012/12/02(Sun) 00:06:47

★ 字数下げ、素数 / 飛沫

4次式f(x)をx－1,x^2+x+1で割った余りがそれぞれ-9、36x-51であるとき、次の各問いに答えよ。
⑴f(x)をx^3－1で割った余りを求めよ。
⑵f(x)が(x－2)^2で割り切れるとき、f(x)を求めよ。
⑶⑵のとき、f(n)かわ素数となるような整数nの値を求めよ。
⑵の途中からわからなくなりました。
教えてください。

No.19345 - 2012/11/30(Fri) 16:38:29

☆ Re: 字数下げ、素数 / ヨッシー

(1)
　f(x)＝g(x)(x^2+x+1)＋36x－51
と書け、また、
　g(x)＝h(x)(x-1)＋k
と書けるとすると、
　f(x)＝{h(x)(x-1)＋k}(x^2+x+1)＋36x－51
f(1)＝-9 より、
　f(1)＝3k＋36－51＝3k－15＝-9
よって、ｋ＝２。このとき、
　f(x)＝h(x)(x-1)(x^2+x+1)＋2(x^2+x+1)＋36x－51
と書けるので、
　f(x)＝h(x)(x^3-1)＋(2x^2＋38x－49)
より、求める余りは 2x^2＋38x－49。

(2)
h(x) は１次式なので、h(x)＝ax+b (a≠0) と置きます。
　f(x)＝(ax+b)(x^3-1)＋2x^2＋38x－49
一方、
　f(x)＝j(x)(x-2)^2 と書けるので、f(2)＝0
また、これを微分すると
　f'(x)＝j'(x)(x-2)^2＋2j(x)(x-2)
となり、f'(2)＝0。以上より、
　f(2)＝7(2a+b)＋8＋76－49＝14a＋7b＋35＝0
f'(x)＝a(x^3-1)＋3x^2(ax+b)＋4x＋38　より
　f'(2)＝7a＋12(2a+b)+46＝31a＋12b＋46＝0
以上より、a=2, b=-9
よって、
　f(x)＝(2x-9)(x^3-1)＋2x^2＋38x－49
　　＝2x^4－9x^3＋2x^2＋36x－40

(3)
f(n) は、(n-2)^2 で割り切れるので、f(n) が素数の可能性があるのは、
n=1 か n=3 のときのみ。
n=1 のとき、f(1)＝-9
n=3 のとき、f(3)＝162－243＋18＋108－40＝5
よって、n=3 のときのみ、f(n)が素数となります。

No.19346 - 2012/11/30(Fri) 17:30:29

★ 体積 / ハル

座標空間において、xy平面上を動く点P,z軸上の正の部分を動く点Qがあり、PQ=1をみたしている。線分PQが通過する範囲をHとするとき、次の各問いに答えよ。
⑴線分PQと平面z=t(0<t<1)が共有点を持つとき、その共有点をRとする。点T(0,0,t)に対して、線分RTの最大値をtを用いて表せ。
⑵図形Hの体積を求めよ。
⑴で三角形QOPとQTRの相似の関係からRTの長さを関数で表したのですが、計算が合わず、つまづいています。
教えてください（；＿；）

No.19343 - 2012/11/30(Fri) 01:28:41

☆ Re: 体積 / ヨッシー

(1)
Ｑ：(0,0,z) とします。　(0≦ｚ≦1)
　ＲＴ＝ＯＰ×(ＱＴ/ＯＱ)
であり、ＯＰ＝√(1－ｚ^2)、ＱＴ＝ｚ－ｔ、ＯＱ＝ｚより、
　ＲＴ＝√(1－ｚ^2)×(ｚ－ｔ)/ｚ　ただし、t≦ｚ≦1
f(z)＝(1－ｚ^2)^(1/2)(１－t/z) とおくと、
f'(z)＝(t－z)/√(1－ｚ^2)＋(t/z^2)√(1－ｚ^2)
　　＝(t－z^3)/(z^2√(1－ｚ^2))　　ただし　0＜t≦ｚ＜1
となるので、t≦ｚ＜1 の範囲で f(z) は、
　ｔ＜ｚ＜ｔ^(1/3) で単調増加、ｔ^(1/3)＜ｚ＜1 で単調減少します。
よって、
　ＲＴmax＝√(1－ｔ^(2/3))×(ｔ^(1/3)－ｔ)/ｔ^(1/3)
　　＝(1－ｔ^(2/3))^(3/2)

(2)
π(ＲＴmax)^2 dt をｔ＝０～１で積分すればいいので、
　π(ＲＴmax)^2＝π(1－ｔ^(2/3))^3＝π(1－3t^(2/3)＋3t(4/3)－t^2)
より、求める体積Ｖは、
　Ｖ＝π∫₀¹(1－3t^(2/3)＋3t(4/3)－t^2)dt
　　＝π[ｔ－(9/5)ｔ^(5/3)＋(9/7)ｔ^(7/3)－(1/3)t^3]₀¹
　　＝16π/105

となります。

No.19344 - 2012/11/30(Fri) 09:30:58

★ 積分、リミット / ハル

an=?甜1,e]x(logx)^n dx (nは自然数)とする。このとき、次の各問いに答えよ。
⑴a1,a2を求めよ。
⑵an+1をanを用いて表せ。
⑶リミット【n→∞】an=0を示せ。
教えてください。お願いします(￣◇￣;)

No.19342 - 2012/11/30(Fri) 00:40:43

☆ Re: 積分、リミット / IT

> ⑴a1,a2を求めよ。
　⑵を参考にすれば、できると思いますので自分でやってみてください。
> ⑵a[n+1]をa[n]を用いて表せ。
「部分積分法」を使います。
x={(1/2)(x^2)}'なので
a[n+1]=∫[1,e]x(logx)^(n+1) dx
=∫[1,e](1/2)(x^2)'(logx)^(n+1) dx
=[(1/2)(x^2)(logx)^(n+1)][1,e]-∫[1,e](1/2)(x^2){(logx)^(n+1)}' dx
=(1/2)(e^2)-∫[1,e](1/2)(x^2)(n+1)(1/x)(logx)^n dx
=(1/2)(e^2)-∫[1,e](1/2)(x)(n+1)(logx)^n dx
=(1/2)(e^2)-{(n+1)/2}∫[1,e]x(logx)^n dx
=(1/2)(e^2)-{(n+1)/2}a[n]…?@

> ⑶リミット【n→∞】a[n]=0を示せ
?@より{(n+1)/2}a[n]=(1/2)(e^2)-a[n+1]
また、任意の自然数nについて x∈[1,e]でx(logx)^n≧0、よって∫[1,e]x(logx)^n dx　= a[n] ≧0。
したがって任意の自然数nについて
0≦{(n+1)/2}a[n]=(1/2)(e^2)-a[n+1]≦(1/2)(e^2)
0≦(n+1)a[n]≦(e^2)
0≦a[n]≦(e^2)/(n+1)
lim[n→∞](e^2)/(n+1)=0　よってlim[n→∞]a[n]=0

なお、lim[n→∞]a[n]=0　は、積分区間[1,e]を適当に２分割することによっても示せると思います。

No.19347 - 2012/12/01(Sat) 07:27:13

★ ルートの中がマイナス / bu-

(-1)^(1/3)=-1
になる理由を教えてください。
（公式集には
a>0,n：奇数のとき(-a)^n=-aとは書いてますが・・）

ｘ＝(-1)^(1/3)
⇔ｘ＾３＝(-1)（両辺を3乗しても同値関係は保たれるという事実を使った）
⇔(x+1)(x^2-x+1)=0
⇔ｘ＝－１、(１±√３i)/2
だと思うのです。

ちなみに、
a=｛√（２＋√５）｝^(1/3)、ｂ＝{√（２ー√５）}^(1/3)
でabの値を求めよという問題で答えが-1しかない事が疑問に思っています。よろしくお願いします

No.19331 - 2012/11/25(Sun) 16:26:39

☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる

-1の3乗根は
実数範囲では -1
複素数範囲では -1,(1±i√3)/2
です。
(-1)^(1/3)=-1 と書いてあるのであれば、
前提が実数範囲ということですね。

No.19333 - 2012/11/25(Sun) 17:42:51

☆ Re: ルートの中がマイナス / bu-

この問題の場合はどうなるのか教えてください。つまり
a=｛√（２＋√５）｝^(1/3)、ｂ＝{√（２ー√５）}^(1/3)
の値を求めよ、の答えはどうなりますか?a,bについては何も書かれていません。

No.19335 - 2012/11/25(Sun) 21:35:43

☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる

どういう状況における問題かによります
（学年とか、何を学習している時の問題かとか）
が、こういう問題では通常は実数範囲だと思います。

No.19336 - 2012/11/25(Sun) 22:30:31

☆ Re: ルートの中がマイナス / bu-

問題が間違ってました。
a=｛（２＋√５）｝^(1/3)、ｂ＝{（２ー√５）}^(1/3)
の値を求めよ、の答え、です。
学年は浪人生で、a,bに関する事はもともと何も書かれていない大学入試問題です

No.19337 - 2012/11/27(Tue) 19:04:13

☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる

大学入試問題で実数とか複素数とか何も書かれていないのは
ちょっと問題不備に近いですが、
おそらく実数解を期待しているものと思います。
でも実数とは断られていませんので、
複素数解すべてを書いても正解扱いになる気がします。

No.19338 - 2012/11/27(Tue) 19:33:45

☆ Re: ルートの中がマイナス / bu-

回答ありがとうございます
ｂ＝{（２ー√５）}^(1/3)
が実数かどうかは分からないのですか？ｂが実数なら
実数×実数でabは実数に限られると思うのですが

No.19339 - 2012/11/27(Tue) 20:41:24

☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる

bどころかaも実数とは限りません。
複素数範囲では
a=(2+√5)^(1/3)=(1+√5)/2, (1+√5)(-1±i√3)/4
b=(2-√5)^(1/3)=(1-√5)/2, (1-√5)(-1±i√3)/4
となります。

No.19340 - 2012/11/27(Tue) 21:25:42