(1)x≧0のとき、不等式 1-cos(x/2)≦(x^2)/8を示せ。
(2)In= ∫[0→2] (x^n)e^x dx (n=1, 2, 3,,,,)とおく。I1の値を求めよ。
さらに、等式 In=(2^n)e^2-nI(n-1)を示せ。
(3)I2, I3, I4 およびI5の値を求めよ。
(4)不等式 ∫[0→4] {1-cos(x/2)}e^(√x) dx ≦ -2e^2+30 を示せ。
(4)について質問です。
解答では
√x=tとおいて不等式の左辺を ∫[0→2] 2t[1-cos{(t^2)/2}]e^t dtと書き換え、(1)より
1-cos(x/2)≦(x^2)/8
⇔ 1-cos{(t^2)/2}≦(t^4)/8
⇔ ∫[0→2] 2t[1-cos{(t^2)/2}]e^t dt ≦ ∫[0→2] (t^5)(e^t)/4=I5/4=-2e^2+30
としていたのですが、 ∫をつけるときは≦を<に変えるのではないですか?
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No.20116 - 2013/02/11(Mon) 16:50:03
| ☆ Re: 高3 積分の不等式について / IT | | | > としていたのですが、 ∫をつけるときは≦を＜に変えるのではないですか?
いいえ違います。
任意のt∈[a→b]でf(t)≦g(t) であるf(t)、g(t)について∫[a→b]f(t)dt=∫[a→b]g(t)dt
となることもあります。
例えば、f(t)≦f(t) 、∫[a→b]f(t)dt=∫[a→b]f(t)dt
（c≦d ⇔ c＜d または c＝d です。）
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No.20117 - 2013/02/11(Mon) 18:10:36 |
| ☆ Re: 高3 積分の不等式について / ktdg | | | 回答ありがとうございます。
学校では、はさみうちなどでつかう不等式に ∫が入っているときには、∫をつけるときに≦から<に変えると習ったのですが、<が≦に含まれているので変えても問題ないということですか?
また、はさみうちを使うときは≦ではなく<にしなくてはいけないのですか?
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No.20119 - 2013/02/11(Mon) 22:00:15 |
| ☆ Re: 高3 積分の不等式について / IT | | | > 学校では、はさみうちなどでつかう不等式に ∫が入っているときには、∫をつけるときに≦から<に変えると習ったのですが
それは不正確だと思います。ほんとに先生がそんなことを教えたのですか？何かの勘違いではないですか？再確認されることをお勧めします。
どんなとき＜になるかを理解し説明して＜にする必要があります。
私の手元にある参考書には
区間[a,b]で連続な関数f(x),g(x)について
f(x)≦g(x)ならば ∫[a,b]f(x)dx≦∫[a,b]g(x)dx
等号は、常にf(x)＝g(x)のときに限り成り立つ。
とあります。
これが、本質問への本質的な回答です。
等号を外す必要がある場合、このことをしっかり理解し説明の上で等号を外す必要があります。
>はさみうちを使うときは≦ではなく<にしなくてはいけないのですか
常に＜にしないといけないというわけではないと思います。
＝１だと収束しないので＜１を証明するとか、問題に＜を証明せよとあれば別ですが≦で間に合えばそれでいいのではないですか？
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No.20120 - 2013/02/11(Mon) 22:25:58 |
| ☆ Re: 高3 積分の不等式について / ktdg | | | No.20121 - 2013/02/12(Tue) 07:11:43 |
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