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★ 円の問題 / 中１
４×４の正方形が縦横に４個ずつあり(計１６個)、その中に円を描きます。ピンク色の部分をＡ、そのほかの円の部分をＢとするとき(Ａ＋Ｂ＝円になります)、
ＡとＢの差は何cm2でしょう。

この問題が解けません。
よろしくおねがいします
No.20097 - 2013/02/07(Thu) 23:17:24
☆ Re: 円の問題 / らすかる
円の面積が 64π
細いピンク4つ分で 4(64π/6-16√3)=128π/3-64√3
ピンクの残り長方形分が 2{(4√3-4)×8}=64(√3-1)
よって A={128π/3-64√3}+{64(√3-1)}=128π/3-64
B-A=(B+A)-2A=64π-2(128π/3-64)=128-64π/3
No.20098 - 2013/02/07(Thu) 23:33:59
☆ Re: 円の問題 / 中１
すいません。
ルートは使えないんです。
No.20100 - 2013/02/08(Fri) 00:33:27
☆ Re: 円の問題 / らすかる
それでは
まず最初に大きい方のピンクから直角三角形を2つ切り取って
[)→<) という形にして、切り取った直角三角形2つを
小さい方のピンクにくっつければピンクは「<)」が4つになります。
この形は (扇形)-(底辺と高さが4の三角形2個) なので
A={64π/6-(4×4÷2)×2}×4=128π/3-64
よって
B-A=(B+A)-2A=64π-2(128π/3-64)=128-64π/3
No.20101 - 2013/02/08(Fri) 01:06:26
★ 食塩水の問題。 / どんた。
3％の食塩水400ｇに5％の食塩水をよく混ぜてから水を40ｇ蒸発させたら、4％の食塩水ができた。
5％の食塩水は何ｇ混ぜればよいか求めなさい。

解き方が分かりません。
よろしくおねがいします。
No.20096 - 2013/02/07(Thu) 22:25:33
☆ Re: 食塩水の問題。 / らすかる
問題文がちょっと変ですが…

5％の食塩水をxgとすると
(400×0.03+0.05x)/(400+x-40)=0.04
これを解いて x=240
No.20099 - 2013/02/07(Thu) 23:39:20
★ 上智大学文系 / rio
今年の問題です。(1)(2)は類推です。解法が全く思いつきません。よろしくお願いいたします。
No.20092 - 2013/02/07(Thu) 19:11:16
☆ Re: 上智大学文系 / ヨッシー
(1)
ｋ＝２ のとき、右辺は１１です。２ｙ＋ｚ で最低３は取られるので、
３ｘ は最大でも８です。実際には、６か３です。
３ｘ＝６　のとき　２ｙ＋ｚ で５を作るのは　２ｙ＝４か２の２通り。
３ｘ＝３　のとき　２ｙ＋ｚ で８を作るのは　２ｙ＝６か４か２の３通り。
　よって、２＋３＝５(通り)

ｋ＝３　のとき　右辺は１７。
　３ｘ＝１２　のとき　２通り
　３ｘ＝９　のとき　３通り
　３ｘ＝６　のとき　５通り
　３ｘ＝３　のとき　６通り
　よって　２＋３＋５＋６＝１６(通り)

(2)
　６ｋ−１＝３・２ｋ−１
これから、２ｙ＋ｚ で取られる３を引くと
　３（２ｋ−１）−１
この数以下の３ｘを作るには、
　３ｘ＝３，６，９・・・３（２ｋ−２）
の２ｋ−２個。

(3)
３ｘ＝３（２ｋ−２）　のとき　２ｙ＋ｚ＝５　を作るのは　２通り
３ｘ＝３（２ｋ−３）　のとき　２ｙ＋ｚ＝８　を作るのは　３通り
　・・・
３ｘ＝６　のとき　２ｙ＋ｚ＝６ｋ−７　を作るのは　３ｋ−４通り
３ｘ＝３　のとき　２ｙ＋ｚ＝６ｋ−４　を作るのは　３ｋ−３通り

以上より、
　（２＋３）＋（５＋６）＋・・・＋{(3k-4)＋(3k-3)｝
　＝５＋１１＋１７＋・・・＋（６ｋ−７）
項数はｋ−１個なので、
　｛５＋（６ｋ−７）｝（ｋ−１）／２＝３ｋ^2−４ｋ＋１
No.20093 - 2013/02/07(Thu) 21:00:33
☆ Re: 上智大学文系 / ヨッシー
(4)
ｘ＝１，２，３・・・２ｋ−２　のうち　ｘ≦ｋのものについて、個数を足すと、
　（２＋３）＋（５＋６）＋・・・＋｛(3k/2−1)＋3k/2｝
　＝５＋１１＋・・・＋（３ｋ−１）
項数は k/2 なので
　｛５＋（３ｋ−１）｝(k/2)／２=(3/4)k^2＋ｋ＋０
No.20094 - 2013/02/07(Thu) 21:18:15
☆ Re: 上智大学文系 / IT
(3)の少し違う感じの表記の答案です。（実質的には同じことだと思いますが）
y,zは正整数より2y+z≧3なので
3≦3x≦6k-1-3=3(2k-2)+2
∴1≦x≦2k-2　すなわちxは2k-2とおり

2y＝6k-1-3x-z　で、z≧1なので
2≦2y≦6k-1-3x-1＝6k-3x-2である。
?@x＝2m-1（mは正整数m=1..k-1）のとき
　2≦2y≦6k-3(2m-1)-2＝6k-6m+1
∴1≦y≦3k-3m すなわちyは3k-3mとおり
?Ax＝2m（mは正整数m=1..k-1）のとき
　2≦2y≦6k-6m-2
∴1≦y≦3k-3m-1　すなわちyは3k-3m-1とおり
以上のような(x,y)に対してzは１つ決まる
よって条件を満たす正整数の組（x,y,z)の数は
?納m=1..k-1](3k-3m)+?納m=1..k-1](3k-3m-1)
＝?納m=1..k-1](6k)-?納m=1..k-1]6m-?納m=1..k-1]1
＝6k(k-1) - 6{k(k-1)/2} - (k-1)
＝3k^2-4k+1
No.20095 - 2013/02/07(Thu) 21:55:05
☆ Re: 上智大学文系 / rio
ありがとうございました。理解できました。
No.20105 - 2013/02/09(Sat) 06:49:20
★ 空間 / Xex
空間内でxyz=一定となる点の集合はどのような図形ですか？
No.20089 - 2013/02/07(Thu) 17:48:07
☆ Re: 空間 / X
二次元における
xy=一定
となる点の集合、つまり双曲線から類推してみると
xy平面、yz平面,zx平面を漸近面とした曲面
が４箇所にできます。
但し各曲面はxy平面、yz平面,zx平面全てに区切られており
これらの平面と交わることはありません。
No.20090 - 2013/02/07(Thu) 17:55:53
☆ Re: 空間 / Xex
納得しました。
No.20091 - 2013/02/07(Thu) 18:11:38
★ 数Bの平面ベクトル / 銀狼
xy平面上に1辺の長さが1の正三角形ABCをA(0,0)、B(1,0)、C(1/2,√3/2)となるように置く。
?僊BCを一つの辺に関して180°折り返すという操作を繰り返し行い、平面を正三角形で分割する。
mとnを互いに素な正の整数として、AP→=m・AB→+n・AC→を満たす点Pをとる。
このとき、A(0,0)とP(m+n/2,√3・n/2)を結ぶ線分が横切る正三角形の辺の本数をmとnを用いてあらわしなさい。　答え2m+2n-3本

AB、BC、CAの各辺に平行な直線でとりあえず場合分けしてみて、ABに平行な直線とはn-1本、交わることだけわかりましたが、BC、CAに平行な直線との場合がわからないです。
どうやって数えたらよいか教えてください。お願いします。
No.20082 - 2013/02/06(Wed) 13:43:26
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図は、ｍ＝３、ｎ＝４ の場合ですが、
ＡからＱを通ってＰに行く場合を考えます。
Ｑに行くまでに３本(n-1本)のＡＢに平行な線を横切りそれ以降は横切りません。
また、ＡからＰまで１目盛り進むごとにＢＣに平行な線を横切るので、
m+n-1 本のＢＣと平行な線を横切ります。

次に、ＡからＲを通ってＰに行く場合を考えると、
Ｒに行くまでに２本(m-1本)のＡＣに平行な線を横切りそれ以降は横切りません。

以上、合計 2m+2n-3 本の辺を横切ります。
No.20083 - 2013/02/06(Wed) 14:25:22
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / 銀狼
AからPまで一直線で向かわなければならないのに、どうしてA→Q→Pの経路をお考えなのでしょうか。ABに平行な直線との交点を考えるのにA→Q→Pの経路を、CAに平行な直線との交点を考えるのにA→R→Pの経路を利用されているだけでしょうか？

BCと平行な直線の交点はどうしてm+n-1本になるのでしょうか？具体的な例をいくつか試してみたら確かにそうなっているんですが、理由がわからないです。具体例からそういうことがわかるということなんでしょうか？
No.20085 - 2013/02/06(Wed) 16:02:27
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図のように考えると、Ａ→Ｒ→Ｐ の経路は要りませんね。
ＡＢに平行な線（青）はＡ→Ｑを動く間、交点を通るごとに１本ずつ増えます。
ＡＣに平行な線（紫）はＱ→Ｐを動く間、交点を通るごとに１本ずつ増えます。
ＢＣに平行な線（緑）は、全区間において、交点を通るごとに１本ずつ増えます。
Ａ→Ｑは４区画なので、交点は３個
Ｑ→Ｐは３区画なので、交点は２個
Ａ→Ｐは７区画なので、交点は６個　計１１個　
横切る線は１１本です。

もちろん、Ａ→Ｒ→Ｐ　と通っても、同じことが言えます。
No.20086 - 2013/02/06(Wed) 17:34:25
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / ヨッシー

図のように描きかえると、
原点から(m,n) まで線を引くと、
ｘ軸に平行な線　y=1, y=2, ・・・
ｙ軸に平行な線　x=1, x=2, ・・・
傾き-1の線　x+y=1, x+y=2, ・・・
合わせて何本と交わるでしょうか？
というのと同じになります。

ｘ軸に平行な線は　y=1, y=2, ・・・y=n-1 の n-1 本
ｙ軸に平行な線　x=1, x=2, ・・・ x=m-1 の m-1本
傾き-1の線　x+y=1, x+y=2, ・・・ x+y=m+n-1 の m+n-1 本
のあわせて　2m+2n-3 本となります。
No.20087 - 2013/02/07(Thu) 03:28:51
☆ Re: 数Bの平面ベクトル / 銀狼
御礼が遅れてしまい、大変失礼致しました。
とてもよくわかりました。ありがとうございました！
No.20118 - 2013/02/11(Mon) 21:30:18
★ 極限 / N山(高校2年)
【問題】次の関数の極限値を求めよ。(収束しないものもある。)
ただし、a,b,cは、0でない実定数とする。
(1)lim_[x→0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2} (b≠-c)
(2)lim_[x→0]{e^(ax)+e^(-ax)-2}/x^2

よくわかりません。ご教示お願い致します。尚、(1)の√は1-cos(ax)のみに掛っています。
No.20076 - 2013/02/04(Mon) 20:27:53
☆ Re: 極限 / X
(1)
(与式)=lim_[x→0](√2)|sin(ax/2)|/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=lim_[x→0](|a|/√2)|{sin(ax/2)}/(ax/2)|
/{{e^(bx)+e^(cx)-2}/|x|}
よって
f(x)=e^(bx)+e^(cx)
と置くと
lim_[x→+0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=(|a|√2)/f'(0)=|a|/{(b+c)√2}
lim_[x→-0]√{1-cos(ax)}/{e^(bx)+e^(cx)-2}
=-(|a|√2)/f'(0)=-|a|/{(b+c)√2}
となり、右極限と左極限の値が異なりますので
与式は収束しません。
No.20077 - 2013/02/04(Mon) 23:14:18
☆ Re: 極限 / X
(2)
(与式)=lim_[x→0]{{e^(ax/2)-e^(-ax/2)}^2}/x^2
=lim_[x→0]{{e^(ax/2)-e^(-ax/2)}/x}^2
∴f(x)=e^(ax/2)-e^(-ax/2)
と置くと
(与式)={f'(0)}^2=a^2
No.20078 - 2013/02/04(Mon) 23:32:56
☆ Re: 極限 / N山(高校2年)
理解できました。ありがとうございました。
No.20080 - 2013/02/05(Tue) 09:35:17
★ 対数と指数 / トンデモ
お世話になってます。

下記のように解いたのですがこれで大丈夫でしょうか
No.20072 - 2013/02/04(Mon) 07:30:20
☆ Re: 対数と指数 / ヨッシー
(a)
exp{(x-5)/7} を２で割ると　(1/2)exp{(x-5)/7} です。

(b)
g(x) の逆関数の定義域を決めるには、g(x) の値域を求めなければなりません。
x＜2/3 または x＞3 という定義域になります。
No.20073 - 2013/02/04(Mon) 09:10:43
☆ Re: 対数と指数 / トンデモ
> exp{(x-5)/7} を２で割ると　(1/2)exp{(x-5)/7} です。

そうでした。有難うございます。

(b)については下記の様に訂正いたしましたがこれで大丈夫でしょうか?
No.20081 - 2013/02/05(Tue) 09:43:11
★ 数列 / Xex
漸化式a(n+1)=[{(a(n)}^3-12]/13で表される数列の極限はa(1)の値によってどのように変化するかy=xとy=(x^3-12)/13のグラフを利用して求めよ。
まず漸化式そのものが解けません。グラフの方はさすがに書けるのですが教えてください。
No.20065 - 2013/02/03(Sun) 11:00:27
☆ Re: 数列 / IT
「グラフを利用して求めよ。」
とあるのですから、漸化式を解く必要はありません。
y=xとy=(x^3-12)/13のグラフの間をジグザグに線分を描いて行く方法なのですが、見られたことないですか？
収束するなら２つのグラフの交点のどれかに収束します。
No.20066 - 2013/02/03(Sun) 12:58:07
☆ Re: 数列 / Xex
見たことありません。
No.20067 - 2013/02/03(Sun) 13:27:55
☆ Re: 数列 / IT
↓こんな感じです。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/s3sir201.htm
No.20069 - 2013/02/03(Sun) 13:45:21
☆ Re: 数列 / Xex
解決しました。
No.20070 - 2013/02/03(Sun) 16:25:58
★ 高校入試 / ハオ
画像は、とある私立高校の高校入試問題なのですがお恥ずかしい事に(1)から解けません。
答えは3:2とあるのですがどうぞ宜しくお願い致します。

DA=6cm　△EBCに注目しても∠E=40°なのでどう変形しても特別角にもっていく事が出来ませんでした。
No.20063 - 2013/02/03(Sun) 10:47:59
☆ Re: 高校入試 / ハオ
すいません∠E=40°は間違いでした。
訂正致します。
No.20064 - 2013/02/03(Sun) 10:53:07
☆ Re: 高校入試 / X
問題文に不備の可能性があるのですが、確認のため
(3)の解答がどうなっているかアップして下さい。
8√2[cm]
となっていますか？
それとも
14π/3[cm]
となっていますか？
No.20068 - 2013/02/03(Sun) 13:36:25
☆ Re: 高校入試 / ハオ
Χさんお返事有難う御座います。
解答を見たところ8√2[cm]となっていました。
No.20071 - 2013/02/03(Sun) 18:40:20
☆ Re: 高校入試 / X
これは問題に不備がありますね。
(1)ですが
問題が
弧DA:弧BCを求めなさい。
ということであれば3:2で問題ないのですが
線分DA:線分BCを求めなさい。
ということであれば当然誤りです。
ハオさんが考えていたのは
∠BOC=40°
となることだとおもいますが、この値では
線分DA:線分BC
も簡単な整数比にはなりえません。
(理由ですが、中学数学の範囲を逸脱するので省略します)
そもそも
線分DA:線分BC≠弧DA:弧BC
ですので解答としてはおかしいと言うことになります。

質問内容から(1)(2)(3)の問題文は全て弧の長さについての
問題の所を「弧」と言う言葉が抜けている不備を疑いましたが
(3)の解答を見る限り(1)(2)(3)は全て弧ではなく線分の
長さについての問題ということのようです。
だとすると、これは(1)が3:2にはなりえない時点で
(3)も(恐らく(2)も)解答を誤っているといわざるを得ません。
((2)(3)は(1)の結果を使いますので)

ということでこれは問題として成立していないと思います。

しかし入試にこの問題を出した私立高校は問題自体の不備に気付いているのでしょうか？
No.20074 - 2013/02/04(Mon) 13:00:30
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
どう修正しても、どこかで破綻しますね。
ＦＯ：ＢＣ＝１：３ というのも怪しいです。

原版を見てみたいものです。
No.20075 - 2013/02/04(Mon) 18:28:49
☆ Re: 高校入試 / ハオ
Χさん、ヨッシーさんお返事有難う御座います。
なるほど、問題不備というよりは問題として成立し得ないという感じなのでしょうか。

入試問題なのですが、過去問として公式にではなく出版会社を介してのものですので、その高校に直接問い合わせるのは全くのお門違いというものかもしれませんが念の為にその高校に問い合わせてみました。
また何か高校からお返事がありましたらその旨をご報告させて頂きたく思います。
No.20079 - 2013/02/05(Tue) 07:25:00
☆ Re: 高校入試 / ハオ
高校側からお返事を頂きました。
実際の入試では(1)〜(3)に弧の記号を付け足すようアナウンスをしたのですが、過去問を出版社を通じて出す際には付け足す前の問題と解答が載ってしまった様です。
ですから入試には影響無かったとの事でした。
No.20084 - 2013/02/06(Wed) 14:46:41
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
(1) から (3) に弧の記号をつけると今度は、(3) の答えが
14π/3[cm] でないとおかしいですね。
これは、出版社側のミスでしょう。
（というか、出版社ちゃんと解いてるの？）

(4) は、
（本当はピッタリじゃないけど）ＦＯ：ＢＣ＝１：３とすると、
という条件付きですかね。

思いつきで付け足した設問のように見えます。
No.20088 - 2013/02/07(Thu) 09:48:17
★ 確率の問題 / ＭＫ
高校１年数Ａの確率の問題です。
赤玉と白玉が２個ずつ入った１つの箱から２個の玉を取り出し戻す。
これをｎ回行ったとき、少なくとも１回以上赤玉２個を取り出し、少なくとも１回以上白玉２個を取り出す確率を求めよ。
ただし、ｎは２以上とし、どの玉を取り出す確率も等しいものとする。

n回のうち少なくとも１回以上赤玉２個を取り出す確率　１−（５／６）^n
n回のうち少なくとも１回以上白玉２個を取り出す確率　１−（５／６）^n

これを掛けて、求める確率は{１−（５／６）^n}{１−（５／６）^n}
としましたが、間違っているような気がします。

解答がないので正解と解説をよろしくお願いします。
No.20046 - 2013/02/02(Sat) 03:07:37
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
> これを掛けて、求める確率は{１−（５／６）^n}{１−（５／６）^n}
> としましたが、間違っているような気がします。
はい、おっしゃる通り間違っています。
なぜなら、赤玉2個を取り出す確率と白玉2個を取り出す確率が独立でないからです。
（この問題ではn≧2としていますが）n=1を考えれば間違いとわかりますよね。

で、正解の導き方ですが、
(求める確率)
=(全体)
-(白玉2個を1回も取り出さない確率)
-(赤玉2個を1回も取り出さない確率)
+(白玉2個も赤玉2個も、1回も取り出さない確率)
として計算するのが良いと思います。
No.20048 - 2013/02/02(Sat) 03:20:53
☆ Re: 確率の問題 / ＭＫ
分かり易い回答ありがとうございました。
１−{（５／６）^n}−{（５／６）^n}+{（４／６）^n}
でいいでしょうか？

これだと確かにn=1のとき0、n=2のとき2/36((1/6)^2の２倍）になり、合いますね。
No.20053 - 2013/02/02(Sat) 05:29:24
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
計算式はそれで合っています。
No.20056 - 2013/02/02(Sat) 06:12:37
☆ Re: 確率の問題 / ＭＫ
ありがとうございました。
No.20057 - 2013/02/02(Sat) 06:32:17
★ 図形 / さぁー
こちらの（１）について、宜しくお願いします！
BDに補助線を引き長さを求めました。
結果２√３９になり、それから残りの角度を出そうともしましたが、上手くいきませんでした。
この問題はどの様に解けば良いのですか？
お時間がありましたら、ご教授ください。
No.20045 - 2013/02/02(Sat) 02:44:00
☆ Re: 図形 / らすかる
∠BCD=120°ですから、△BCDに余弦定理を使えばBCが出ますね。
(2)は△ABD+△BCDで求められます。
No.20047 - 2013/02/02(Sat) 03:11:58
☆ Re: 図形 / さぁー
∠BCD＝120°となるのはなぜですか？
理由を教えてください☆
No.20049 - 2013/02/02(Sat) 03:20:59
☆ Re: 図形 / らすかる
円に内接する四角形の対角の和は180°ですね。
No.20050 - 2013/02/02(Sat) 03:25:21
☆ Re: 図形 / さぁー
計算してみると
（１）BC=４
（２）45√3
になりました。
合ってるでしょうか？
お答えお願いいたします。
No.20051 - 2013/02/02(Sat) 04:48:49
☆ Re: 図形 / らすかる
はい、正解です。
No.20052 - 2013/02/02(Sat) 05:14:52
☆ Re: 図形 / さぁー
いつもありがとうございます(><)
自信がつき、かります！
No.20054 - 2013/02/02(Sat) 05:34:54
☆ Re: 図形 / さぁー
↑すみません。
「助かります。」です(T_T)
No.20055 - 2013/02/02(Sat) 05:36:25
★ 図形 / さぁー
こちらは余弦定理を使いました！
答えは、cosA＝5/7となりました。
合ってるでしょうか？
宜しくお願い致します。
No.20043 - 2013/02/02(Sat) 02:05:02
☆ Re: 図形 / ヨッシー
合ってます。
No.20044 - 2013/02/02(Sat) 02:13:04
★ ベクトル / 高専
↑a=3↑e[1]-↑e[2]+2↑e[3],↑b=2↑e[1]+4↑e[2]-↑e[3]とする．
↑aと↑bに垂直な単位ベクトルを求めよ．

教えてください．
よろしくお願いします．
No.20038 - 2013/02/01(Fri) 20:04:08
☆ Re: ベクトル / X
求める単位ベクトルを
↑p=x↑e[1]+y↑e[2]+z↑e[3] (A)
と置くと、条件から
|↑p|=1 (B)
↑p・↑a=0 (C)
↑p・↑b=0 (D)
(B)(C)(D)に(A)と
↑a=3↑e[1]-↑e[2]+2↑e[3]
↑b=2↑e[1]+4↑e[2]-↑e[3]
を代入し
|↑e[1]|=|↑e[2]|=|↑e[3]|=1
↑e[1]・↑e[2]=↑e[2]・↑e[3]=↑e[3]・↑e[1]=0
に注意して整理すると
x^2+y^2+z^2=1 (B)'
3x-y+2z=0 (C)'
2x+4y-z=0 (D)'
(B)'(C)'(D)'をx,y,zについての連立方程式と見て解きます。
No.20041 - 2013/02/01(Fri) 22:30:19
☆ Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます．
No.20062 - 2013/02/02(Sat) 21:40:40
★ ベクトル / 高専
点(1,2,3)と球x^2+y^2+z^2=4上の各点を結ぶ線分を2:1に内分する点Pのえがく図形の方程式を求めよ．

正直問題の意味もわかりません．
解説お願いします．
No.20034 - 2013/02/01(Fri) 16:56:04
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
Ａ：(1,2,3) とし、x^2+y^2+z^2=4 上の点をＢ：(a, b, c) とします。
ＡＢを２：１に内分する点(x,y,z)は
　ｘ＝(1+2a)/3, ｙ＝(2+2b)/3，ｚ＝(3+2c)/3
と書けるので、変形して、
　ａ＝(3x-1)/2, ｂ＝(3y-2)/2，ｃ＝(3z-3)/2
(a,b,c) は、x^2+y^2+z^2=4 上の点なので、これを代入して、
　{(3x-1)/2}^2＋{(3y-2)/2}^2＋{(3z-3)/2}^2＝４
両辺４を掛けて、
　(3x-1)^2＋(3y-2)^2＋(3z-3)^2＝１６
両辺９で割って、
　(x-1/3)^2＋(y-2/3)^2＋(z-1)^2＝１６／９

「各点を結ぶ」という言い回しがピンと来ないかと思いますが、
点Ａ(1,2,3) と球 x^2+y^2+z^2=4 上のある点をＢとして、
ＡＢを２：１に内分する点Ｘに印を付けます。
(空間ですが、付けられると思ってください)
球 x^2+y^2+z^2=4 上の別の点をＢとして、同じように、
点Ｘを求めて、印を付けます。
これを繰り返して、球 x^2+y^2+z^2=4 上のあらゆる点をＢとし、
点Ｘに印を付け続けると、点Ｘの印はどんな図形になりますか？
ということです。
No.20035 - 2013/02/01(Fri) 17:09:25
☆ Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます．
理解できました．
No.20037 - 2013/02/01(Fri) 19:43:24
★ (No Subject) / トリコ
a>0に対し(1+a)^(1/n)=1+αとするときlim(ｎ→∞）αをもとめよ1+a≧１＋ｎαよりa/n≧α
０＜α＜lima/n
はさみうちの原理から答えは０とありますが０＜αがどうやって導くのか分かりません
No.20033 - 2013/02/01(Fri) 16:26:25
☆ Re: / らすかる
(1+a)^(1/n)=1+α ということは
1+a=(1+α)^n となるわけですが
α≦0 ⇒ 1+α≦1 ⇒ (1+α)^n≦1 ⇒ 1+a≦1 ⇒ a≦0
ですから a＞0 ⇒ α＞0 です。
No.20036 - 2013/02/01(Fri) 18:18:15
☆ Re: / トリコ
回答ありがとうございます。
なるほど背理法ですか。うーん、a>0から直接α＞０を示す事はできないのでしょうか？
No.20039 - 2013/02/01(Fri) 20:44:15
☆ Re: / らすかる
背理法ではなく対偶のつもりで書きました。
直接示すなら例えば
x≧1に対して
y=x^(1/n) とすると
y'=(1/n)x^(1/n-1)＞0 なので
yは狭義単調増加
x=1のときy=1なので
x＞1ならばy＞1
よってa＞0ならばα＞0
No.20040 - 2013/02/01(Fri) 22:01:57
☆ Re: / ＭＫ
横から失礼します。
入試の場合、「ｂ＞1かつx＞0ならばｂ^x＞1」を証明なしで使っていいのではないかと思いますがいかがでしょうか？
（これの証明を求められた場合を除き）　
No.20058 - 2013/02/02(Sat) 07:41:44
☆ Re: / トリコ
＞らすかるさん
ありがとうございます。やっぱり最初の式を見ただけでは分からないのですね。いくらかの手計算がいるのですね
＞MKさん
いいでしょうけどこの問題と何か関係あったりしますか？
No.20059 - 2013/02/02(Sat) 13:39:31
☆ Re: / ヨッシー
それは、ＭＫさんに失礼です。
ａ＞０，ｎ＞０．(1+a)^(1/n)=1+α のとき α＞０ と言えるか？
というのと、
a＞1かつx＞0 のとき a^x＞1 と言えるか？
は、同じことです。
No.20060 - 2013/02/02(Sat) 16:42:55
☆ Re: / ＭＫ
トリコさん失礼しました。ヨッシーさんフォローありがとうございました。
同じａをちがう意味で（一般的な実定数として）使ったのでトリコさんに誤解を与えたようですね。
No.20061 - 2013/02/02(Sat) 21:34:13
★ 図形 / さぁー
こちらは正弦定理を使いました！
答えは、5√2＋10√6/3となりました。
合ってるでしょうか？
宜しくお願い致します。
No.20026 - 2013/02/01(Fri) 03:49:15
☆ Re: 図形 / らすかる
正解です。
No.20027 - 2013/02/01(Fri) 04:07:21
☆ Re: 図形 / さぁー
ありがとうございます(><)
No.20028 - 2013/02/01(Fri) 04:22:38
★ 高校数学 / 西村健一
お世話になります。高校数学の以下の問題について、解答がわかる方がいらっしゃいましたら、ぜひ返信をいただければ幸いです。少々難問ですが、何卒どうぞよろしくお願い致します。
【問題】　|x|＜1、|ｙ|＜1、|ｚ|＜1のとき、下式が成り立つことを証明せよ。
　　　　　1+ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ　＞　0
No.20022 - 2013/01/31(Thu) 21:52:02
☆ Re: 高校数学 / らすかる
1+xy+yz+zx={(1+x)(1+y)(1+z)+(1-x)(1-y)(1-z)}/2＞0
# マルチポストはやめた方がいいですよ。
No.20023 - 2013/01/31(Thu) 22:13:47
★ 極限 / トリコ
(1+a)^(1/n)=αとするときlim(ｎ→∞）αをもとめよ
ただしa>0とする。
はさみうちでしょうけど正直分かりません
No.20019 - 2013/01/31(Thu) 21:22:55
☆ Re: 極限 / IT
α=e^(logα)
　=e^log{(1+a)^(1/n)}
　=e^{(1/n)log(1+a)}

とするとどうでしょうか？
No.20021 - 2013/01/31(Thu) 21:43:59
☆ Re: 極限 / トリコ
すみません問題を間違っていました
a>0に対し(1+a)^(1/n)=1+αとするときlim(ｎ→∞）αをもとめよ
α＞０が分かれば挟み撃ちできるんですが。。αって正なんでしょうか？
No.20029 - 2013/02/01(Fri) 10:13:26
★ 数学の問題 / yosi
mを実数とするとき2つの方程式
2x^2+8x+2m=0・・・?@
x^2+mx+2m-4=0・・・?Aが共通の解をもつのはm=アまたはm=イのときである。
x=tを共通解として?@と?Aを連立し、２次の項を消去すると
(m-4)t=-(m-4)がでてきました。
m-4≠0とするときt=-1でこのときのmの値は-3です。
もうひとつのmの値がほしいのですが、これはさきほどm≠4としたのでm=4のときに?@と?Aで同じ解をもつかどうかを探せばいいんでしょうか？
数学が苦手なのでわかりません。
分かる方教えて下さい。お願いします。
No.20015 - 2013/01/31(Thu) 19:59:02
☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー
おそらくｍ＝４は、もう代入されたのではないかと推察します。
あれ？と思う結果になりますが、それで良いんです。
No.20017 - 2013/01/31(Thu) 20:30:28
★ ベクトル / 高専
2点(5,1,3),(-3,5,7)を1つの直径の両端とする球がある．
(1)この球の方程式を求めよ．答(x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=24

(2)この球と各座標面は交わるか．交わる場合には交わりの円の中心と半径を求めよ．

　 答xy平面とは交わらない．
yz平面とは交わり，交点の中心(0,3,5)，半径√23
zx平面とは交わり，交点の中心(1,0,5)，半径√15

(1)はわかったのですが(2)がわかりません．
解説よろしくお願いします．
No.20013 - 2013/01/31(Thu) 19:06:37
☆ Re: ベクトル / らすかる
xy平面は z=0 なので
z=0を代入して (x-1)^2+(y-3)^2=-1
この式を満たすx,yは存在しないので解なし。
yz平面は x=0 なので
x=0を代入して (y-3)^2+(z-5)^2=23
・・・
No.20014 - 2013/01/31(Thu) 19:20:12
☆ Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます．
もう一つ質問があるのですが，以下の問もわかりません．

(3)この球がz軸から切り取る線分の長さを求めよ．答2√14

解説よろしくお願いします．
No.20016 - 2013/01/31(Thu) 20:05:40
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
ｚ軸上の点は、ｘ座標もｙ座標も０なので、
ｘ＝０，ｙ＝０ を(1) の結果に代入すると、
　(ｚ−５)^2＝○○　　・・・(i)
これを解いて
　ｚ−５＝±√○○
　ｚ＝５＋√○○
２解の距離が求める長さなので、
　(５＋√○○)−(５−√○○)＝２√○○

実は、(i) の段階で、答えは見えています。
No.20018 - 2013/01/31(Thu) 20:35:04
☆ Re: ベクトル / 高専
ありがとうございました．
理解できました．
No.20020 - 2013/01/31(Thu) 21:27:24
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