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対称行列 / さくら
証明の仕方がわかりません
教えていただけるとありがたいです。

No.19902 - 2013/01/26(Sat) 00:28:00

Re: 対称行列 / ヨッシー
言い換えれば
 ac=b^2 のときに (a-x)(c-x)=b^2 を満たすxは何か?
という問題です。展開して
 x^2−(a+c)x+ac=b^2
b^2=ac より
 x^2−(a+c)x=0
これを解いて、x=0, a+c

No.19905 - 2013/01/26(Sat) 06:59:51

Re: 対称行列 / さくら
やり方は理解できました。
ありがとうございます。
ac=b^2にどうしてなるのですか?
与えられた行列が正則だからですか?  

No.19906 - 2013/01/26(Sat) 07:55:20

Re: 対称行列 / ヨッシー
正則でない=逆行列を持たない
からです。

No.19907 - 2013/01/26(Sat) 07:57:57

Re: 対称行列 / さくら
ありがとうございます!
理解できました。

No.19908 - 2013/01/26(Sat) 08:30:31
図形 中学校の数学で / def
高校までの数学は終えている者です

AB=6cmとなるような2点ABがあり,点P,Qが線分ABを3等分しているとする.線分ABを直径とする円周上に点Cをとるとき,PQ^2+QC^2+CP^2の値はいくらになるか

高校入試用の問題集にこのような問題が載っていました
まず問題文から答えは定数になるというニュアンスが読め,円の中心を原点としABが横軸と重なるような座標平面の上でC(s,t)とおくと,s^2+t^2=3^2で一定なので,PQ^2+QC^2+CP^2の値がs,tによらないということで示せました
しかし座標平面で考えるということを思いつくのは中学生には難しいと思います

中学校以前の数学で解く方法はあるでしょうか?

No.19896 - 2013/01/25(Fri) 23:05:23

Re: 図形 中学校の数学で / ヨッシー


CからABに垂線CHをおろします。また、ABの中点をOとします。

1)HがPOの間にあるとき(Pと重なるときも含む)
OH=x とおくと、PH=1−x、QH=1+x
三平方の定理より
 CH^2=9−x^2
 CQ^2=QH^2+CH^2=2x+10
 CP^2=PH^2+CH^2=−2x+10
よって、
 PQ^2+QC^2+CP^2=24 (一定)
2)HがAPの間にあるとき
OH=x とおくと、PH=x−1、QH=1+x
三平方の定理より
 CH^2=9−x^2
 CQ^2=QH^2+CH^2=2x+10
 CP^2=PH^2+CH^2=−2x+10
よって、
 PQ^2+QC^2+CP^2=24 (一定)
HがOと重なるときやOより右側にある場合も同様

というのでどうでしょう?

No.19901 - 2013/01/25(Fri) 23:42:36

Re: 図形 中学校の数学で / def
ありがとうございました
No.19930 - 2013/01/27(Sun) 00:46:24
(No Subject) / さすけ
A,B二人の兄弟が、質問に対して手を上げてこたえるように言われた。「はい」という返事をするときは右手を挙げ、「いいえ」という返事をするときは左手を上げるように指示されたが、どちらか1人がその指示をまったく逆に理解してしまった。
・「あなたの家は国道に面していますか?」という質問にたいしてBは右手を挙げた。
・「「あなたの家は国道に面していますか?」と聞かれたらあなたは左手を上げますか?」という質問に対してAは右手を挙げた。
・「「あなたの家は市内にありますか?」と聞かれたらあなたは左手を上げますか?」という質問に対してBは左手を挙げた。
・「「あなたの家は木造ですか?」と聞かれたらあなたは右手を上げますか?」という質問に対してAは右手を挙げた。


どちらが逆になっているんですか。
それと詳しい解き方を教えてください。

No.19892 - 2013/01/25(Fri) 20:58:00

Re: / IT
> ・「あなたの家は国道に面していますか?」という質問にたいしてBは右手を挙げた。
> ・「「あなたの家は国道に面していますか?」と聞かれたらあなたは左手を上げますか?」という質問に対してAは右手を挙げた。


ABが答えているこれだけ使えば良いと思います。(ABは同じ家に住んでいるものとします)
(1)Bは正しく覚え、Aは逆に覚えた 
(2)Bは逆に覚え 、Aは正しい覚えた
この2つの場合を仮定して考えてみます。 

(1)Bは正しく覚え、Aは逆に覚えた と仮定
Aは「はい」は左手をあげ、「いいえ」は右手をあげる。

Bは「あなたの家は国道に面していますか?」の問いに右手をあげたので「はい」であり。
「家は国道に面している。」は真。

「「あなたの家は国道に面していますか?」は真なので
Aは「はい」と左手を上げようとする。
・・・あなたは左手を上げますか?」という質問に対しては
真なので「はい」と左手を上げる。はず!

ところが右手を上げたので、矛盾。

(2)の場合は(1)より簡単なので考えて見てください。

No.19893 - 2013/01/25(Fri) 21:44:34

Re: / さすけ

よくわかりません。
場合分けしてもできません。
なにかほかの解き方ありません?

No.19894 - 2013/01/25(Fri) 21:55:40

Re: / IT
少し表現を分かりやすくしたつもりです。もう一度見てください。
No.19898 - 2013/01/25(Fri) 23:15:08

Re: / さすけ
「「〜」と聞かれたら右手(左手)を挙げますか?」という質問に対してA(B)は右手(左手)挙げた。
というのはどういう意味なのでしょうか

No.19900 - 2013/01/25(Fri) 23:30:30

Re: / IT
Aが正しく指示通り理解している場合
「右手を挙げる」は、「yesと答える」に
「左手を挙げる」は、「Noと答える」に置き換えて考えます。

「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか?」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらyesと答えますか?」という質問に対してAはyesと答えた。→「〜」は真。


「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか?」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらyesと答えますか?」という質問に対してAはNoと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか?」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらNoと答えますか?」という質問に対してAはyesと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか?」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらNoと答えますか?」という質問に対してAはNoと答えた。→「〜」は真。

No.19903 - 2013/01/26(Sat) 00:54:33

Re: / IT
Aが指示を逆に理解している場合
「右手を挙げる」は、「Noと答える」に
「左手を挙げる」は、「yesと答える」に置き換えて考えます。

「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか?」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらNoと答えますか?」という質問に対してAはNoと答えた。→「〜」は真。

「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか?」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらNoと答えますか?」という質問に対してAはyesと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか?」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらyesと答えますか?」という質問に対してAはNoと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか?」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらyesと答えますか?」という質問に対してAはyesと答えた。→「〜」は真。

No.19904 - 2013/01/26(Sat) 00:58:40
微分? / Xex
kは1より大きい定数とする。「x,yを同時に0にはならない実数」とするとき、z=(x^2+kxy+y^2)/(x^2+xy+y^2)の最大値と最小値を求めよ。[ニューアクションωIIICより]

まったく方針が立ちません。特に「」内はどういう意味ですか??

No.19889 - 2013/01/25(Fri) 20:08:50

Re: 微分? / IT
「」内は、「x,yは実数であり、「x=0かつy=0」にはならない」ということだと思います。
x=rcosθ,y=rsinθ、r>0 とくおくと考えやすいのでは?

あるいは、
x=0またはy=0のとき z=1
x≠0かつy≠0のとき t=y/xとおくとy=tx これを元の式に代入
z=(x^2+ktx^2+t^2x^2)/(x^2+tx^2+t^2x^2)
=(1+kt+t^2)/(1+t+t^2)
zの増減を調べる
z’=(1-k)(t+1)(t-1)/(t^2+t+1)^2
計算は確認してください、後はできますよね。

No.19891 - 2013/01/25(Fri) 20:48:04

Re: 微分? / IT
(微分を使わない別解)
z=(t^2 + kt + 1)/(t^2 + t + 1)
分母・分子をtで割る
=(t + k + (1/t))/(t + 1 + (1/t))
=(t + (1/t)+ k)/(t + (1/t)+ 1)
u= t + (1/t) とおくと u≦-2,2≦u
z=(u+k)/(u+1)
=1+(k-1)/(u+1)
後はk-1の値で場合分けしてu≦-2,2≦uでの最小値、最大値を求める。(x=0またはy=0のとき z=1も忘れずに)

No.19895 - 2013/01/25(Fri) 23:00:24

Re: 微分? / Xex
Max:(k+2)/3 min:2-kとなりました。この問題集の答えは手元にはないのですが解決しました。
No.19897 - 2013/01/25(Fri) 23:10:21

Re: 微分? / IT
kは1より大きい定数なので 「k-1の値で場合分け」は不要でしたね。失礼しました。
No.19899 - 2013/01/25(Fri) 23:29:12
(No Subject) / さすけ
1m進んだ場合はどこに色を塗るのですか?
No.19887 - 2013/01/25(Fri) 15:44:42

Re: / ヨッシー

図の赤い3本の棒のうちの1本です。

No.19888 - 2013/01/25(Fri) 17:17:15
(No Subject) / さすけ
長さ1mの棒材を組み合わせて作った格子状のジャングルがある。
このジャングルの橋の点Aから出発して棒伝いに一本ずつ色を塗りながら3m進む。通りうる経路すべてに色を塗った時、塗られている棒が何本になるか。
 1mだけ進む場合には3本濡れ、2mの場合にはその3本の先端からそれぞれ新たにA本濡れるので、全部でB濡れる。だから、3mの場合は全部でC本濡れる。

No.19883 - 2013/01/25(Fri) 08:29:34

Re: / ヨッシー
図の手前下の角をAとします。
Aと同じ高さの位置を1階、1m高い位置を2階、2m高い位置を3階、
同様にn−1m高い位置をn階と呼ぶことにします。
Aから棒材1つ分進んだ点は、2階に1個、1階に2個の計3個です。
Aから棒材2つ分進んだ点は、3階に1個、2階に2個、1階に3個の計6個です。
同様に、Aから棒材3つ分進んだ点は10個です。
但し、後戻りは考えません。

Aから1m進むと、上記の3個の点のいずれかに進みます。
その3点から3方向に進めるので、9本が塗れます。
その結果、上記の6個の点のいずれかに進みます。
その6点から3方向に進めるので、18本が塗れます。
合計 3+9+18=30(本) が塗れます。

No.19884 - 2013/01/25(Fri) 09:07:44

Re: / らすかる
問題とあまり関係ありませんが…
問題は「ジャングルジム」を想定しているのだと思いますが、
問題で「ジャングル」と省略して書かれているのでしょうか。

No.19885 - 2013/01/25(Fri) 14:09:34

Re: / さすけ
ヨッシーさん
他のサイトでも回答してもらいありがとうございます。

No.19886 - 2013/01/25(Fri) 15:40:45
(No Subject) / サスケ
実線部分の円の外周が五倍になるとき、これと同様に円を並べる。いくつ並べたらいいのですか。
No.19878 - 2013/01/25(Fri) 03:14:55

Re: / らすかる
問題文が意味不明です。
No.19879 - 2013/01/25(Fri) 03:51:54

Re: / サスケ
図のように同じ大きさの円の3つの円の中心が一直線にあるように並べる。同様に並べて外周がこの五倍になるには円を全部でいくつ並べばよいか。

問題文そのまま載せました。

No.19880 - 2013/01/25(Fri) 04:07:34

Re: / らすかる
端の円の実線部分は円周の2/3
間の円の実線部分は円周の1/3
なので図の図形の外周は円周の2/3+1/3+2/3=5/3倍
その5倍は円周の25/3倍
間の円が1つ増えるたびに円周の1/3倍ずつ外周が長くなるので
(25/3-5/3)÷(1/3)=20個増やせば元の外周の5倍になる。
よって答えは23個。

No.19881 - 2013/01/25(Fri) 06:06:41

Re: / ヨッシー
大きさの円の → 大きさの円を
いくつ並べば → いくつ並べれば
など、元の問題文そのものに難があるようですが、意味は汲み取れます。


円を1つ増やすと、図の青い部分(中心角60°の扇形の弧が
2つ分)が増えます。
この「中心角60°の扇形の弧」の長さを1とすると、
円が3つの場合の外周は、10です。
これを5倍の50にするには、40増やさないといけないので、
加える円は20個、全部で23個の円を並べれば良いことになります。

No.19882 - 2013/01/25(Fri) 06:08:19
(No Subject) / サスケ
一つの辺と両端の点にあてはめられた3つの数の和がすべて18になる。
1〜11の数を一つずつ使う。
その時の用いられない数ををしえてください

No.19876 - 2013/01/25(Fri) 01:51:23

Re: / らすかる
4の隣の頂点の和は18-4=14ですから、
全頂点の和は 1+7+14=22です。
辺は6本で各辺の和は18であり、
単純に6×18とすると頂点を3回ずつ足してしまいますので
2回分減らした 6×18-2×22=64 が全使用数字の和です。
1〜11の和は66ですから、使われない数字は66-64=2となります。

No.19877 - 2013/01/25(Fri) 02:43:05
図形 / ハル
一辺の長さがaの正三角形ABCを底面とし、面ABCと面OABが垂直な四面体OABCがある。Aから辺OCに下ろした垂線の足をDとすると
OA=OB=b,OC=c,cosADB=1/3となるとき。次の問いに答えよ。
⑴角OCAを求めよ。
⑵四面体OABCの体積が√2であるとき、a,b,cの値を求めよ。

⑵からわからないです( ̄◇ ̄;)
教えてください。
考える藁のほうにも質問しています。
回答待ちです。

No.19874 - 2013/01/23(Wed) 20:38:18

Re: 図形 / ヨッシー
(1)
AD=BD=d とすると、△ABDにおける余弦定理より
 a^2=2d^2−2d^2cos∠ADB=(4/3)d^2
よって、d=(√3/2)a
すると、△ADC(∠Dが直角)において、
 sin∠DCA=AD/AC=√3/2
よって、∠DCA(=∠OCA)=60°

(2)

(1) の結果より、CE=aとなる点をOC上に取ると、
四面体ABCEは正四面体となります。
ABの中点MとC,O を通る面で切ると、右の図のようになります。
そうすると、
△ABC=(√3/4)a^2
MO=(√6/2)a より
 四面体OABC=(√2/8)a^3=√2
より、a=2
MA=1、MO=√6 より b=√7
c=OC=3
となります。

No.19875 - 2013/01/24(Thu) 01:57:29
(No Subject) / 工学部2年
△OABにおいて,↑OA=↑a,↑OB=↑bとする.∠AOBの二等分線がABと交わる点をCとする.
OC上で長さ1のベクトルを求めよ.

解説よろしくお願いします.

No.19869 - 2013/01/23(Wed) 18:53:01

Re: / X
辺OA,OB上にOD=OE=1なる点D,Eを取り
線分DEと線分OCとの交点をFとします。
すると△ODEは二等辺三角形ですので条件から
Fは線分DEの中点となり
↑OF=(↑OD+↑OE)/2 (A)

↑OD=↑OA/OA=↑a/|↑a| (B)
↑OE=↑OB/OB=↑b/|↑b| (C)
さらに求める単位ベクトルを↑pとすると
↑p=↑OF/OF (D)
(A)(B)(C)(D)より
↑p={(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/2}/|(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/2|
=(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/|↑a/|↑a|+↑b/|↑b|| (E)
ここで
|↑a/|↑a|+↑b/|↑b||^2=2+2↑a・↑b/(|↑a||↑b|) (F)
(E)(F)により
↑p=(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/√{2+2↑a・↑b/(|↑a||↑b|)}

No.19871 - 2013/01/23(Wed) 19:39:25

Re: / 工学部2年
ありがとうございます.
理解できました.

No.19872 - 2013/01/23(Wed) 19:56:57
魔方陣 / サスケ
1 7 13 ? ?
? 3 9 15 A
? B 5 6 12
14 ? C 2 8
10 11 ? ? 4

5×5マスで
1〜25の整数が一つずつ入る。
縦横のみ数字の和がすべて等しくなるようにする。
Aには偶数、Bには20以上
Cの値はいくらですか?

魔方陣と同じやり方でできませんでした。
ちなみにななめは等しくなくてもいいそうです。

No.19867 - 2013/01/23(Wed) 18:26:05

Re: 魔方陣 / ヨッシー
1から25までを足すと325,これを5列に分けるので、
1列は65です。
Aが偶数であることから、各?とB,Cの偶数、奇数を調べると、
Aの他に、Bとその左上、左、下が偶数で、他は奇数です。
残った数字が16〜25 なので、Bに入るのは20,22,24。
それぞれ当てはめてみて、もれなく埋まるのを調べます。
C=21 になります。

No.19868 - 2013/01/23(Wed) 18:45:43

Re: 魔方陣 / らすかる
1〜25の和は325ですから
縦・横それぞれの列の和は65です。
Bが20〜25
→Bの左は17〜22
→その上は18〜23
→Aは15〜20
→15は使用済みでAは偶数なので、Aは16,18,20
→Aの上は21,23,25
→その左は19,21,23
→その4つ下は19,21,23
→その左は17,19,21
→Cは17,19,21
→その左は20,22,24
→Bは20,22,24
→Bの左は18,20,22
→その上は18,20,22
→Aは16,18,20
16と25が候補にあるのはそれぞれ1個ずつなのでAが16、Aの上が25
→その左は19
→その4つ下は23
→その左は17
→Cは21
(以下確認)
→その左は20
→Bは24
→Bの左は18
→その上は22
→Aは16
これで一致し、しかも16〜25がすべて1個ずつになりましたので
C=21が答えとなります。

結果は
1 7 13 19 25
22 3 9 15 16
18 24 5 6 12
14 20 21 2 8
10 11 17 23 4

No.19870 - 2013/01/23(Wed) 18:59:39
リミット / 飛沫
数列{a(n)}が
a(1)=1,a(n+1)=a(n)+√(n+1)
によって定義されているとき、次の問いに答えよ。
⑴a(n)>(2n√n)/3 (n=1,2,3…)が成り立つことを示せ。
⑵極限値lim【n→∞】a(n)/{(n+1)^(3/2)}を求めよ。

度々質問すみません。
数列苦手です。
どうか教えてください(つД`)

No.19865 - 2013/01/23(Wed) 10:54:01

Re: リミット / IT
飛沫さんは、定積分を使って 数列の和を評価する手法は、ご存知ですか? それを使えば良いと思います。
y=f(x)=√x のグラフと棒グラフを描いて考えて見てください。

No.19866 - 2013/01/23(Wed) 17:59:27
数列 / 飛沫
数列{a(n)}、{b(n)}は
a(1)=2 ,a(n+1)−2a(n)=2^n
b(1)=−1/4,nb(n+1)−(n+1)b(n)=(n−1)/(n+2)
をみたしている。このとき次の問いに答えよ。
⑴a(n),b(n)を求めよ。
⑵Σ【k=1〜n】a(k)b(k)を求めよ。

わからないです
教えてください。

No.19856 - 2013/01/22(Tue) 20:03:01

Re: 数列 / ヨッシー
(1)
a(1)=2=1・2
a(2)=6=2・3
a(3)=16=4・4
a(4)=40=8・5
より、a(n)=2^(n-1)・(n+1) と推測されます。
これを、数学的帰納法で証明します。(証明は省略)
b(1)=-1/4
b(2)=-1/2=-3/6
b(3)=-5/8
b(4)=-7/10
より b(n)=-(2n-1)/(2n+2) と推測されます。(以下同様)

(2)
a(n)b(n)=(1-2n)・2^(n-2)
 S=-1・2^(-1)−3・2^0−5・2^1−7・2^2−・・・−(2n-1)2^(n-2) ・・・(i)
とおきます。
 2S=-1・2^0−3・2^1−5・2^2−7・2^3−・・・−(2n-3)・2^(n-2)−(2n-1)・2^(n-1) ・・・(ii)
(ii)−(i)
 S=1/2+2{1+2+4+・・・+2^(n-2)}−(2n-1)・2^(n-1)
1+2+4+・・・+2^(n-2)=2^(n-1)−1 より
 S=-3/2−(2n-3)・2^(n-1)

以上です。

No.19858 - 2013/01/22(Tue) 20:47:06

Re: 数列 / らすかる
(1)
a[1]=2, a[n+1]-2a[n]=2^n
c[n]=a[n]/2^n とおくと
c[1]=1
2^(n+1)・c[n+1]-2(2^n・c[n])=2^n
c[n+1]-c[n]=1/2
c[n]=(n+1)/2
∴a[n]=2^(n-1)・(n+1)

b[1]=-1/4, nb[n+1]-(n+1)b[n]=(n-1)/(n+2)
d[n]=b[n]/n とおくと
d[1]=-1/4
n{d[n+1]・(n+1)}-(n+1)(d[n]・n)=(n-1)/(n+2)
n(n+1)(d[n+1]-d[n])=(n-1)/(n+2)
d[n+1]-d[n]=(n-1)/{n(n+1)(n+2)}

Σ[k=1〜n]{(k-1)/{k(k+1)(k+2)}}
=Σ[k=1〜n]{1/{(k+1)(k+2)}} - Σ[k=1〜n]{1/{k(k+1)(k+2)}}
=Σ[k=1〜n]{1/(k+1)-1/(k+2)} - (1/2)Σ[k=1〜n]{1/{k(k+1)}-1/{(k+1)(k+2)}}
={1/2-1/(n+2)}-(1/2){1/2-1/{(n+1)(n+2)}}
=n/{2(n+2)}-n(n+3)/{4(n+1)(n+2)}
=n(n-1)/{4(n+1)(n+2)}
なので n≧2に対し
d[n]=-1/4+(n-1)(n-2)/{4n(n+1)}
={-n(n+1)+(n-1)(n-2)}/{4n(n+1)}
=(-2n+1)/{2n(n+1)}
これはn=1のときも成り立つ。
∴b[n]=n(-2n+1)/{2n(n+1)}=(-2n+1)/{2(n+1)}

(2)
Σ[k=1〜n]a[k]b[k]
=Σ[k=1〜n]2^(k-1)・(k+1)・(-2k+1)/{2(k+1)}
=Σ[k=1〜n]2^(k-2)・(-2k+1)
=S とおくと
2S=Σ[k=1〜n]2^(k-1)・(-2k+1)
=Σ[k=2〜n+1]2^(k-2)・(-2k+3)
S=2S-S
=-1/2・(-1)
 +Σ[k=2〜n]2^(k-2)・2
 +2^(n-1)・(-2n+1)
=1/2+2^(n-1)・(-2n+1)+Σ[k=1〜n]{2^(k-1)}-1
=1/2+2^(n-1)・(-2n+1)+(2^n-1)-1
=2^(n-1)・(-2n+3)-3/2
={2^n・(-2n+3)-3}/2

No.19859 - 2013/01/22(Tue) 20:55:11
無限級数 / N山(高校2年)
a(n)は初項a,公差dの等差数列とし,|r|<1とする.
Sn=Σ_[k=1,n]a(k)*r^(k-1) とするとき
lim_[n→∞]Sn を求める.

Sn=a+Σ_[k=2,n]a(k)*r^(k-1) …A

rSn=Σ_[k=2,n]a(k-1)*r^(k-1)+a(n)*r^n …B

A-Bより

(1-r)Sn=a+Σ_[k=2,n]{a(k)-a(k-1)}*r^(k-1)-a(n)*r^n

(1-r)Sn=a+dΣ_[k=2,n]r^(k-1)-a(n)*r^n

(1-r)Sn=a+{dr(1-r^(n-1))}/(1-r)-a(n)*r^n

Sn=a/(1-r)+{dr(1-r^(n-1))}/{(1-r)^2}-{a(n)*r^n}/(1-r)

ここで,lim_[n→∞]{dr(1-r^(n-1))}/{(1-r)^2}=dr/{(1-r)^2}
となる.

ここで疑問なのですが,lim_[n→∞]{a(n)*r^n}/(1-r)はどうなるのでしょうか.
0に収束する気がするのですが証明できません.
どのように考えたらよいのでしょうか.
どうかよろしくお願いします.

No.19851 - 2013/01/21(Mon) 19:19:30

Re: 無限級数 / らすかる
lim[n→∞](a[n]*r^n)/(1-r)
={1/(1-r)}lim[n→∞]a[n]*r^n
={1/(1-r)}lim[n→∞]{a+(n-1)d}*r^n
={1/(1-r)}{{(a-d)lim[n→∞]r^n}+{d*lim[n→∞]n*r^n}}
lim[n→∞]r^n=0, lim[n→∞]n*r^n=0 なので
lim[n→∞](a[n]*r^n)/(1-r)=0

No.19854 - 2013/01/22(Tue) 16:39:34

Re: 無限級数 / N山(高校2年)
理解できました.回答ありがとうございました.
No.19857 - 2013/01/22(Tue) 20:21:03
(No Subject) / りょう
初めて質問させて頂きます。
数?Tの問題です。
1.台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線ACとBDの交差点Xとする。
AC=4cmBC=10cm△ADX=4c?uとする。
この時の△BCX、台形ABCDの範囲を求めなさい。

2.以下の手順でcos22.5°を求める。
△ABCにおいて∠A=45°、AB=AC=1としBCの中点をXとする。
この時の辺BC、辺AX、△ABCの面積を求めなさい。
またAMの値がcos22.5°である。

以上宜しくお願い致します。


上手く説明してくれと言われたのですが、私の説明では理解できないようです。
分かりやすい説明はどのようにすればよろしいでしょうか?

No.19849 - 2013/01/21(Mon) 15:59:14

Re: / ヨッシー
まずは後半

XをMに換えています。

余弦定理より
 BC^2=AB^2+AC^2−2AB・ACcosA=2−√2
よって、
 BC=√(2−√2)
三角形の面積の公式より
 △ABC=(1/2)AB・ACsinA=√2/4
以上より、
 AM=2△ABC÷BC
   =√(2+√2)/2

もちろん、BM=√(2−√2)/2 として、△ABMにおける
三平方の定理から
 AM^2=1−(2−√2)/4=(2+√2)/4
から求めることも出来ます。

また、その他のcos22.5 の求め方としては、下の図において、
AB=BC=1、AC=√2 とすると、
角の二等分線の定理より
 BD:DC=AB:AC=1:√2
よって、
 BD=1/(√2+1)=√2−1
△ABDにおける三平方の定理より
 AD^2=AB^2+BD^2=4−2√2
 cos22.5=AB/AD=1/√(4−2√2)
  =√(4+2√2)/2√2=√(2+√2)/2
とする方法もあります。

No.19852 - 2013/01/22(Tue) 08:43:55

Re: / ヨッシー
1.は数Iの問題としてはかなり難しいですが、りょうさんが
された説明というのはどういうものですか?

No.19853 - 2013/01/22(Tue) 09:20:27

Re: / りょう
返信が遅くなり申し訳ありません。

△ADXと△CBXは相似で,その相似比は2:5だから,
△ADX:△ABX:△DCX:△BCX=4:10:10:25

よって,△BCX=25cm^2,台形ABCD=49cm^2

という答え方をしたのですがこの説明より分かりやすい説明はどのように教えてやればよいでしょうか?
何せ自分も数?Tをやっていたのは何十年前ですので思い出しながら説いただけでも手一杯でして、お手数ですが宜しくお願い致します。

No.19861 - 2013/01/23(Wed) 01:04:10

Re: / Halt0
その解答が正しいとすれば最初の問題文にミスがあるように思います. 正しくは

1.台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線ACとBDの交差点Xとする。
ACAD=4cmBC=10cm△ADX=4c?uとする。
この時の△BCX、台形ABCDの範囲面積を求めなさい。

ですか?

No.19862 - 2013/01/23(Wed) 03:08:51

Re: / ヨッシー
Halt0 さんの書かれたような問題だとすると、本質的には、
りょうさんの書かれた方法より簡単なのはありません。

あとは、
 AX:XC=2:5
 DX:XB=2:5
をちゃんと押さえて、面積比=底辺比を丁寧に適用するだけです。

No.19864 - 2013/01/23(Wed) 09:11:26

Re: / りょう
ヨッシーさんHalt0さん有難う御座います。
Halt0さんのご指摘の通りで問題を入力する際に間違えておりました。

面積比と体積比について改めて説明してみようと思います有難う御座いました。

No.19873 - 2013/01/23(Wed) 20:26:42
数理統計学 / ハオ
試験勉強をしているのですが、解答が後ろに記載されていません。
問題と自分の解答を画像に載せましたので、何か間違っているところや直した方がいいところがありましたらご指導頂けると幸いに思います。

No.19846 - 2013/01/20(Sun) 20:41:08

Re: 数理統計学 / ヨッシー
最後の =0 が気になります。
No.19855 - 2013/01/22(Tue) 20:01:32

Re: 数理統計学 / ハオ
ヨッシーさんお返事有難う御座います.
平均値が存在することから∞P(∞)=0としたのですが如何でしょうか?

No.19860 - 2013/01/22(Tue) 22:29:24

Re: 数理統計学 / ヨッシー
私の勘違いでなければ、
 c{1-P(X=1)-P(X=2)-・・・-P(X=c-1))
  =c・P(X=c)
なのであれば、そのまま ΣxP(X=x) の x=c の場合に
含めてしまってはどうでしょうか?

No.19863 - 2013/01/23(Wed) 09:01:44

Re: 数理統計学 / ハオ
ヨッシーさん有難う御座います
なるほど確かにそうすると綺麗にいきますね.

No.19927 - 2013/01/26(Sat) 23:22:55
ベクトル / 工学部2年
平面上で2定点A,Bに対して次の等式を満たす点Pはどのような図形を描くか.
(↑OP-↑OA)・(↑OP+↑OB)=0

答.原点Oに関してBと対称な点をB'とするとき,AB'を直径とする円

解説お願いします.

No.19841 - 2013/01/20(Sun) 15:05:03

Re: ベクトル / X
問題の等式から
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP-↑OA・↑OB=0
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|^2=↑OA・↑OB+(1/4)|↑OA-↑OB|^2
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|^2=|(↑OA+↑OB)/2|^2
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|=|(↑OA+↑OB)/2|
従って
↑OD=(↑OA-↑OB)/2 (A)
↑OE=(↑OA+↑OB)/2 (B)
とすると点Pは
点Dを中心とした半径OEの円
を描きます。
後は(A)(B)のような点D,Eの位置関係を考えます。

尚、模範解答として
>>答.原点Oに関してBと対称な点をB'とするとき,
>>AB'を直径とする円

とありますが、この答えでは円の中心について
書かれていないので答えとしては△です。

No.19842 - 2013/01/20(Sun) 16:06:32

Re: ベクトル / 工学部2年
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP-↑OA・↑OB=0
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|^2=↑OA・↑OB+(1/4)|↑OA-↑OB|^2

上の式からどのように計算したら下の式になるのでしょうか?

No.19843 - 2013/01/20(Sun) 16:25:16

Re: ベクトル / X
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP-↑OA・↑OB=0
より
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP=↑OA・↑OB
|↑OP|^2-(↑OA-↑OB)・↑OP+(1/4)|↑OA-↑OB|^2=↑OA・↑OB
+(1/4)|↑OA-↑OB|^2
左辺を因数分解します。

No.19844 - 2013/01/20(Sun) 18:25:33

Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございました.もう一つ質問があるのですが

 従って
 ↑OD=(↑OA-↑OB)/2 (A)
 ↑OE=(↑OA+↑OB)/2 (B)

の部分の考え方がよくわかりません.解説お願いします.

No.19845 - 2013/01/20(Sun) 19:59:18

Re: ベクトル / ヨッシー
|↑OP-(↑OA-↑OB)/2|=|(↑OA+↑OB)/2|
という結果に従って、↑OD、↑OE を決めているだけです。

その元になる考えは、円のベクトル方程式
 |↑QP|=r^2
Qが定点のとき、Pは、Q中心、半径rの円を描く
です。

No.19847 - 2013/01/21(Mon) 12:00:23

Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございます.
No.19850 - 2013/01/21(Mon) 17:32:38
教えてください! / パープリン
60/100=A-10/A+10 Aに求めよ。

答えは40です。

解き方を優しく教えてください。

小学校5年生です。

お願いします。

No.19838 - 2013/01/19(Sat) 14:54:27

Re: 教えてください! / らすかる
60/100=A-10/A+10 と書くと
60/100=(A)-(10/A)+(10) という意味に解釈されます。
カッコを付けて
60/100=(A-10)/(A+10)
と書きましょう。
で、解き方は例えば
両辺に100を掛ける → 60=100(A-10)/(A+10)
両辺にA+10を掛ける → 60(A+10)=100(A-10)
カッコを展開する → 60A+600=100A-1000
両辺から60Aを引く → 600=40A-1000
両辺に1000を足す → 1600=40A
両辺を40で割る → 40=A

No.19839 - 2013/01/19(Sat) 15:11:24

Re: 教えてください! / かーと
>60/100=(A-10)/(A+10) Aに求めよ

右の式は分子より分母が20大きいとわかります。
一方の左の式は分子より分母が40大きいですね。

そこで2でわって約分すると 30/50 となります。
これで分子より分母が20大きい形になったので、
右の式と見比べると A=40 であることがわかります。

No.19840 - 2013/01/19(Sat) 16:42:33

Re: 教えてください! / ヨッシー


図で描くとこんな感じです。

No.19848 - 2013/01/21(Mon) 14:15:21
2次関数 / ktdg
aを0でない実数とし、2次関数 f(x)=2ax^2-4ax+4a+1 のグラフをCとし、また、Cをx軸に関して対称移動したあと、さらにx軸方向に1, y軸方向にaだけ平行移動したグラフをDとする。Dを表す2次関数をg(x)とする。
CとDが相違なる2点で交わり、その交点のx座標をそれぞれα, β (α<β)とする。α<x<βを満たす全ての実数xについて、f(x)>g(x)が成り立ち、さらに β-α>1が成り立つとき、aの満たすべき条件を求めよ。

解答には
f(x)-g(x)=h(x)とおくと、h(x)=4a(x-3/2)^2+4a+2より、
すべての実数xについてf(x)>g(x)すなわちh(x)>0が成り立つ条件は
4a>0 かつ 4a+2≧0
∴ a>0
CとDが相違なる2点で交わり、その交点のx座標α,βに対してα<x<βを満たす全ての実数xについて、f(x)>g(x)が成り立つとき、
4a>0 かつ 4a+2>0
すなわち、-1/2<a<0

と書いてあったのですが、なぜ
CとDが相違なる2点で交わり、その交点のx座標α,βに対してα<x<βを満たす全ての実数xについて、f(x)>g(x)が成り立つとき、
4a>0 かつ 4a+2>0
すなわち、-1/2<a<0
となるのですか?

No.19834 - 2013/01/17(Thu) 21:00:57

Re: 2次関数 / ヨッシー
解答がおかしいです。
>すべての実数xについてf(x)>g(x)すなわちh(x)>0が成り立つ
ようにとは、問題には書いていません。
>∴ a>0
までが、まるまる不要です。(別の設問があるのではないですか)

求めないといけないのは、y=h(x) が、x軸と2点で交わり、
その間(αとβの間)で、h(x)>0 になるということです。
グラフを描けばわかると思いますが、
 y=h(x)
が上に凸でなければいけないので、
4a<0 (上に凸) かつ 4a+2>0 (2点で交わる) です。

No.19835 - 2013/01/18(Fri) 08:50:38
ベクトル / 工学部2年
△ABCの内部に点Pを取り,2↑AP+3↑BP+4↑CP=0が成り立っているとする.直線APと辺BCの交点をQとする.次の問に答えよ.
(1)↑APを↑ABと↑ACを用いて表せ.答1/9(3↑AB+4↑AC)
(2)BQ:QC,AP:PQを求めよ.答4:3,7:2
(3)△PAB:△PBC:△PCAを求めよ.答4:2:3

(1),(2)はわかったのですが(3)がわかりません.
解説お願いします.

No.19828 - 2013/01/16(Wed) 19:54:18

Re: ベクトル / ぽけっと
BQ:QC=4:3なら△PAB:△PCA=4:3(PAを底辺としたときの高さの比がそうだから。)

AP:PQ=7:2なら(△PAB+△PCA):△PBC=7:2(今度はBCを底辺としたときの高さの比がそうだからです。分かりにくければ△ABC:△PBCで考えればいいかも)

というわけでその答えになります

No.19829 - 2013/01/16(Wed) 20:04:11

Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございました.
No.19830 - 2013/01/16(Wed) 20:38:00
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