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★ ベクトル / 高2
四面体OAPQにおいて,
|→OA|=1,→OA⊥→OP,→OP⊥→OQ,→OA⊥→OQ,∠PAQ=30゜である.
(1)三角形APQの面積Sを求めよ
(2)|→OP|の取り得る値の範囲を求めよ
(3)四面体OAPQの体積Vの最大値を求めよ
No.19568 - 2012/12/27(Thu) 21:00:50
☆ Re: ベクトル / X
(1)
条件から
↑AP・↑AQ=AP・AQcos30° (A)
一方
↑AP・↑AQ=(↑OP-↑OA)・(↑OQ-↑OA)
=↑OP・↑OQ-(↑OP+↑OQ)・↑OA+|↑OA|^2
ですが条件から
↑OA・↑OP=↑OA・↑OQ=↑OP・↑OQ=0
|↑OA|=1
∴↑AP・↑AQ=1 (B)
(A)(B)より
AP・AQ=2/√3 (C)
∴S=(1/2)AP・AQsin30°=(1/6)√3
(2)
(C)より
(AP^2)(AQ^2)=4/3
△OAP,△OAQに三平方の定理を使うと
(OP^2+1)(OQ^2+1)=4/3
OQ^2=(4/3)/(OP^2+1)-1 (D)
∴(4/3)/(OP^2+1)-1＞0
これとOP＞0により
0＜OP＜2/√3
(3)
△OAPを底面と考えることにより
V=(1/6)OP・OQ
∴OP=xと置くと(3)の結果により
0＜x＜2/√3 (E)
V=(1/6)x√{(4/3)/(x^2+1)-1} (F)
ここから(F)を微分して(E)の範囲で(F)の増減を考えて…
となるのが方針として考えれますが、この問題の場合は
少し変形すると相加平均と相乗平均の関係が使えます。
(F)より
V=(1/6)√{(4/3)(x^2)/(x^2+1)-x^2}
=(1/6)√{-(4/3)/(x^2+1)+4/3-x^2}
=(1/6)√[7/3-{(x^2+1)+(4/3)/(x^2+1)}]
{}内に相加平均と相乗平均の関係が使います。
但し不等号の下の等号成立条件が(E)を満たすことを
確かめるのを忘れないようにしましょう。
No.19569 - 2012/12/27(Thu) 22:43:41
★ 数?T 整式 / 大河
?@(3a^2-6a+2)(3a^2+4a+2)-11a^2を 因数分解すると？
このタイプの因数分解の方法を教え てください。

?Ax、yを整数とするとき 2x^2 -y^2 +xy-5x+4y-3=-2を満たす x、yの組はア個あり、 そのうちyが最 大のx、yの組は(x、y)=(イ、ウ)
No.19564 - 2012/12/27(Thu) 14:32:55
☆ Re: 数?T 整式 / ヨッシー
(1)
　展開して、対策を考えます。
　(3a^2-6a+2)(3a^2+4a+2)-11a^2＝(3a^2+2)^2-2a(3a^2+2)-24a^2-11a^2
　　＝9a^4+12a^2+4-6a^3-4a-24a^2-11a^2
　　＝9a^4-6a^3-23a^2-4a+4
f(a)＝9a^4-6a^3-23a^2-4a+4　とおくと　f(-1)＝0 より
　f(a)＝(x+1)(9a^3-15a^2-8a+4)
g(a)＝9a^3-15a^2-8a+4 とおくと g(2)＝０　より
　f(a)＝(x+1)(x-2)(9x^2+3x-2)
あとは、２次式だけなので、
　f(a)＝(x+1)(x-2)(3x-1)(3x+2) まで行けます。

(2)
2x^2-y^2+xy＝(2x-y)(x+y)　より
　2x^2 -y^2 +xy-5x+4y+c＝(2x-y+a)(x+y+b)
と置いてみます。右辺を展開して
　(2x-y)(x+y)+a(x+y)+b(2x-y)+ab
　＝2x^2-y^2+xy+(a+2b)x+(a-b)y+ab
a+2b=-5, a-b=4 より a=1, b=-3
よって、
　2x^2 -y^2 +xy-5x+4y-3＝(2x-y+1)(x+y-3)＝-2
と変形できます。
(　)の中はいずれも整数なので、
　2x-y+1＝1, x+y-3＝-2
　2x-y+1＝-1, x+y-3＝2
　2x-y+1＝2, x+y-3＝-1
　2x-y+1＝-2, x+y-3＝1
のいずれかが考えられます。このうちで、ｘ，ｙ が整数になる場合を求め、
ｙが最大のものを見つけます。
No.19565 - 2012/12/27(Thu) 16:43:15
☆ Re: 数?T 整式 / らすかる
(1)は次のような方法もあります。
(3a^2-6a+2)(3a^2+4a+2)-11a^2
={(3a^2-a+2)-5a}{(3a^2-a+2)+5a}-11a^2
=(3a^2-a+2)^2-25a^2-11a^2
=(3a^2-a+2)^2-36a^2
={(3a^2-a+2)-6a}{(3a^2-a+2)+6a}
=(3a^2-7a+2)(3a^2+5a+2)
=(3a-1)(a-2)(3a+2)(a+1)
No.19567 - 2012/12/27(Thu) 18:45:23
★ 平面図形 / 由美
次の問題を教えてください(´っω･｀｡)

三角形ABCにおいて各頂点からおろし た垂線の長さが それぞれ4、5、6である。 三辺の長さの比はBC:CA:AB=アイ:ウ エ:10

またcosAは オカ/240

内接円の半径をrとすると r=キク/37
No.19563 - 2012/12/27(Thu) 14:31:47
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
△ＡＢＣの面積は
　(1/2)ＢＣ・4＝(1/2)ＣＡ・5＝(1/2)ＡＢ・6
なので、
　ＢＣ：ＣＡ：ＡＢ＝(1/4):(1/5):(1/6)＝15:12:10
これをそのまま、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さとすると、
余弦定理より
　cosＡ＝(b^2+c^2-a^2)/2bc＝(12^2+10^2-15^2)/(2・12・10)
　　＝19/240

ＢＣ＝15k, ＣＡ＝12k, ＡＢ＝10k　(k は0でない正の実数)
とおくと、
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＢＣ・4＝30k
一方、
　△ＡＢＣ＝(1/2)(ＢＣ＋ＣＡ＋ＡＢ)ｒ
　　＝37kr/2＝30k
ｋ≠０　より、ｒ＝60/37
No.19566 - 2012/12/27(Thu) 16:54:18
★ 共通解の問題 / 奈津美
(2+i)x^2 + (5+i)x -3(1+2i)=０の実数解は？
No.19560 - 2012/12/27(Thu) 12:37:41
☆ Re: 共通解の問題 / ヨッシー
実部、虚部に分けると、
　(2x^2＋5x−3)＋(x^2＋x−6)ｉ＝０
よって、
　2x^2＋5x−3＝０　→　(2x-1)(x+3)＝０
　x^2＋x−6＝０　　→　(x-2)(x+3)＝０
両者を満たすのは、x＝-3
No.19562 - 2012/12/27(Thu) 14:01:12
☆ Re: 共通解の問題 / 奈津美
ありがとうございました！
No.19579 - 2012/12/28(Fri) 13:52:48
★ 確率 / ジョセフ
動転Pは原点(0,0)から出発して、座標平面上の(m.n)(m,nは整数)の上を動く。Pが点(m.n)にいるとき、サイコロを振って出た目が１または２ならば点(m+1、n)へ、3または4ならば点(m-1,n)へ、5ならば点(m,n+1)へ、6ならば点(m,n-1)へ進む。
(1)サイコロを２回振った後、Ｐが点(1,1)に到達する確率
(2)サイコロを４回振った後、Pが点(2,2)に到達する確率
(3)サイコロを４回振った後、Pが点(1,1)に到達する確率
以下自分の解答
1または2が出る確率・・・1/3・・・?@
3または4が出る確率・・・1/3・・・?A
5が出る確率・・・1/6・・・?B
6が出る確率・・・1/6・・・?C
(1)?@が１回、?Bが１回でればよいので2!×(1/3)×(1/6)=1/9
(2)?@が2回、?Bが２回でればよいので(4!/2!2!)×(1/3)^2×(1/6)^2=1/9
(3)?@が２回、?Aが１回、?Bが１回出る or　?@が１回、?Aが２回、?Cが１回出る場合をそれぞれ考えると、
(4!/2!)×(1/3)^2×(1/3)×(1/6)+(4!/2!)×(1/6)^2×(1/6)=29/27となったのですが
正直よくわかりません。
解き方も点の座標がもっと複雑になったときに対処できないと思います。
どうやって解いたらいいんでしょうか？
また、答がないので誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19556 - 2012/12/27(Thu) 05:26:08
☆ Re: 確率 / らすかる
(2)は式は正しいですが計算が正しくありません。
(3)は式も計算も正しくありません。
「?@が１回、?Aが２回、?Cが１回」のうちの「?@が１回」の分を掛け忘れています。

> 解き方も点の座標がもっと複雑になったときに対処できないと思います。
例えば「サイコロを１０回振った後、Pが点(1,1)に到達する確率」のような
問題ならばそれだけ手間のかかる計算をするしかないと思いますので、
そのような問題は出ません。
No.19558 - 2012/12/27(Thu) 06:16:32
★ 数と式 / ジョセフ
放物線y=x^2-2mx+m+6の値が0≦x≦8の範囲にあるとき、定数mの値の範囲および頂点のy座標の値の範囲を求めよ。
mの値は0≦m≦8でいいんでしょうか？y座標の値の範囲と言うのがよく分かりません。教えて下さい。
No.19555 - 2012/12/27(Thu) 04:12:31
☆ Re: 数と式 / らすかる
「放物線y=x^2-2mx+m+6の値が0≦x≦8の範囲にある」は意味が通じません。
問題がおかしいです。
No.19557 - 2012/12/27(Thu) 05:59:40
★ 難問 / 受験生
中心の位置および半径を変えながら移動する円がある.時刻t(t≧0)における中心の座標は(at+1,0),半径はr/√at+1である.ただし,aおよびrはtに無関係な正の定数とする.
このとき,点A(2,1)がいかなる時刻t(≧0)においても,この移動する円の外側にあるためのrの範囲を求めよ.また,rがそのような1つの値であるときに,点Aから動円に2本の接線l,mを引いたとき,lとmのなす角を2θ(0＜θ＜π/2)とする.θを最大にするtを求めよ.
No.19554 - 2012/12/27(Thu) 03:00:53
☆ Re: 難問 / ヨッシー
√at+1 は、√(at+1) と解釈します。
円の式は　(x-at-1)^2＋y^2＝r^2/(at+1) であるので、これに
(2,1) を代入して、
　(1-at)^2＋1＞r^2/(at+1)
ｔ≧0 においては at+1＞0 なので、
　(a^2t^2-2at+2)(at+1)＞r^2
f(t)＝(a^2t^2-2at+2)(at+1)＝a^3t^3−a^2t^2＋２　とおきます。
ｔで微分して、
　f'(t)＝a^2t(3at-2)
となり、f(t) は、t=0 で極大値 ２、t=2/3a で極小値50/27 を取ります。
よって、50/27＞r^2 であれば、いかなる時刻ｔ(≧0)においても
　(a^2t^2-2at+2)(at+1)＞r^2
となります。
　０＜ｒ＜(5√6)/9

円の中心をＢ、半径をｃとすると、
　sinθ＝c/ＡＢ
となります。0＜θ＜π/2 において sinθ(＞０) は単調増加であるので
tan^2θ＝c^2/ＡＢ^2 が最大の時θも最大になります。
　c^2/ＡＢ^2＝r^2/f(t)
となり、ｔ≧0 で f(t) が最小となる ｔ＝2/3a でθは最大となります。
No.19559 - 2012/12/27(Thu) 06:57:37
★ 整数問題 / 高2
(1)5で割り切れない正の整数mに対し,m^4−1は5で割り切れることを示せ.
(2)正の整数nに対し,n^nを5で割った余りをf(n)で表す.f(n+20)=f(n)を示せ.
No.19549 - 2012/12/26(Wed) 21:44:46
☆ Re: 整数問題 / らすかる
(1)
5で割った余りが1のとき m-1は5で割り切れる
5で割った余りが2のとき m-2は5で割り切れる
5で割った余りが3のとき m+2は5で割り切れる
5で割った余りが4のとき m+1は5で割り切れる
従ってmが5で割り切れないとき (m-2)(m-1)(m+1)(m+2) は5で割り切れるので
(m-2)(m-1)(m+1)(m+2)+5(m^2-1)=m^4-1 も5で割り切れる

(2)
(n+20)^(n+20)
=Σ[k=0〜n+20](n+20)Ck・20^k・n^(n+20-k)
=n^(n+20)+5t　（∵k＞0の項は5で割り切れる）
=n^n・n^20+5t
=n^n+n^n・(n^20-1)+5t
=n^n+n^n・(n^4-1)(n^16+n^12+n^8+n^4+1)+5t
=n^n+5s　（∵nが5の倍数のときn^nが5の倍数、そうでないときn^4-1が5の倍数）
∴f(n+20)=f(n)
No.19553 - 2012/12/27(Thu) 01:29:55
★ 相加相乗平均がうまくつかえない / ボルト
内接円の半径が1で、AB=ACである二等辺三角形ABCの辺BCの中点をMとし、h=AM(h>2)とおく。
三角形ABCを直線AMのまわりに回転して得られる円錐について
(1)円錐の体積Vをhを用いて求めよ。
(2)にVの最小値を求めよ。
(1)はV=(π/3)・{h^2/(h-2)}となりました。
(2)でVが最小値になるためにはh^2/(h-2)が最小であればよいので
h^2＝h(h-2)+2hより
h^2/(h-2)=h+{2h/(h-2)}=(h-2)+{2h/(h-2)}+2と変形したのですが分母分子に文字が含まれているので相加相乗平均を利用できません。
どうすればいいんでしょうか？教えて下さい。
No.19547 - 2012/12/26(Wed) 21:35:10
☆ Re: 相加相乗平均がうまくつかえない / X
h/(h-2)=1+2/(h-2)
と変形しましょう。
No.19550 - 2012/12/26(Wed) 22:02:19
☆ Re: 相加相乗平均がうまくつかえない / ボルト
２度変形を行うんですね！
おかげで答にたどりつくことができました。
ありがとうございました。
No.19551 - 2012/12/26(Wed) 22:37:05
☆ Re: 相加相乗平均がうまくつかえない / IT
> ２度変形を行うんですね！
h^2/(h-2)=[{(h-2)+2}^2]/(h-2)
=[{(h-2)^2} + 4(h-2) +4]/(h-2)
=(h-2) + 4 + {4/(h-2)}
という手順もあります。
No.19552 - 2012/12/26(Wed) 22:51:37
★ 対数関数 / ボルト
x,yが不等式log[3](5-x)+2log[3]｛√(5+x)｝+2log[3]｛√(3/y)}>1・・・?@を満たしている。
整数x,yが?@を満たすとき、2x+yの最大値を求めよ。

2x+y=kとしたとき?@と接する点は(1,24)
よってk=2・1+24=26となり2x+yの最大値は26となったのですが答が分かりません。教えて下さい。
No.19540 - 2012/12/25(Tue) 17:49:18
☆ Re: 対数関数 / X
(1)の不等号の下に等号があるのであればそれで
問題ありませんがそうではありませんので
接点は(1)の範囲に含まれません。
但し、候補を絞り込むことはできます。

(1)の境界線である
y=25-x^2
と接するとき
k=26
ですので求めるkの最大値k_maxに対し
k_max＜26
ここで
k=26
のときの
直線：2x+y=k (A)
を
k=25
のときのそれに平行移動することを考えます。
このとき上記の接点である
点(1,24)
は
点(1,23)
に平行移動しますが、この点は(1)に含まれますので
題意を満たします。

よって求める最大値は25となります。
No.19542 - 2012/12/25(Tue) 18:08:26
☆ Re: 対数関数 / ボルト
ありがとうございました
No.19548 - 2012/12/26(Wed) 21:35:37
★ 数２ / なら
一辺の長さが1の正方形ABCの外部に、三角形PQRを∠QPR=π/2,∠PQR=π/3であり、辺PQ上に点Aが、辺QR上に点Bが、辺RP上に点Cがあるようにつくる。
∠PAC=Θとする。
(1)AQの長さをθを用いて表せ
(2)四角形AQRCの面積をＳとする。Ｓをθを用いて表し、Ｓの最大値を求めよ。
AQ=(2/√3)sinθ
BQ=cosθ+(1/√3)sinθ
RC=2cosθ+(2/√3)sinθ
RB=cosθ+√3sinθ
△ABQ=(sinθcosθ/2)+(sin^2θ/√3)
△ABC=√3/4
△BCR=(1/2)+(√3/2)sinθcosθ+(1/2√3)sinθcosθ
となったのですが面積を求めようとすると
合成ができません。
たぶんどっかで間違えていると思うのですが誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19537 - 2012/12/25(Tue) 16:55:23
☆ Re: 数２ / X
>>正方形ABC
意味が不明です。問題文は正確にアップして下さい。
No.19541 - 2012/12/25(Tue) 17:49:37
☆ Re: 数２ / ヨッシー
ＲＣの計算が違うようです。
No.19543 - 2012/12/25(Tue) 18:27:26
★ 積分の応用 / なら
円C1：x^2+y^2=1上の点Ｐから放物線C2:y=x^2+5に引いた２本の接線とC2で囲まれた部分の面積をＳとする。ＰがＣ１上を動くときのＳの最大値を求めよ。
２つの接点をそれぞれA,Bとし接点のx座標をそれぞれα、β(α<β)とする。
点A,Bにおける接線は
y=2αx-α^2+5・・・?@
y=2βx-β^2+5・・・?A
点Ｐのx座標は(α+β)/2なので
Ｓ＝∫[α→(α+β)2]{(x^2+5)-(2αx-α^2+5)}dx　+∫[(α+β)/2→β]{(x^2+5)-(2βx-β^2+5)}dx
これでやるとＳ＝０になってしまいました。
どうしてなんでしょうか？
また、このやり方でいくと基本対称式が出てくるので解と係数の関係を使ってα+β、αβの値を出す必要があると思うんですけど無理な気がします。
どうすれば解けるんでしょうか？
２つの疑問点について教えて下さい。お願いします。
No.19535 - 2012/12/25(Tue) 16:52:10
☆ Re: 積分の応用 / X
一つ目の疑問)
計算を間違えているものと思います。
S=∫[α→(α+β)2]{(x-α)^2}dx+∫[(α+β)/2→β]{(x-β)^2}dx
=(1/3){(β-α)/2}^3-(1/3){(α-β)/2}^3
=(1/12)(β-α)^3 (A)
となります。
二つ目の疑問)
初めから考え直してみます。
C2上の点(t,t^2+5)における接線の方程式は
y=2tx-t^2+5 (B)
一方条件から点P(cosθ,sinθ)(0≦θ＜2π)
と置けるので(B)がPを通ることから
sinθ=2tcosθ-t^2+5
整理して
t^2-2tcosθ+sinθ-5=0 (C)
(C)をtの二次方程式と見たときの解がα、βなので
解と係数の関係より
α+β=2cosθ (D)
αβ=sinθ-5 (E)
(D)(E)を(A)に用いてα、βを消去し、Sをθの関数として
処理します。


或いはP(X,Y)と置き、上記と同じ方針でSをX,Yを用いて表し
その式と
X^2+Y^2=1
とを連立してXを消去して得られるYの二次方程式が
実数解を持つ条件から解の判別式についての
Sの不等式を立てる
という方針もあります。
No.19544 - 2012/12/25(Tue) 18:45:21
★ 公式に関する質問 / Xex
?@三角関数の和⇔積の公式がどうしても覚えられないので、公式の導き方があれば教えてください。
?A部分分数分解するときに分母の式の形によってどのように分解できるかの判別法ってありますか?　例)(cx^2+dx+e)/{(x+a)^2(x+b)}=p/(x+a)+q/(x+a)^2+r/(x+b) p,q,rを係数比較で探す。
No.19534 - 2012/12/25(Tue) 16:03:55
☆ Re: 公式に関する質問 / ヨッシー
(1)
加法定理
　sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
　sin(α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ
各辺足して
　sin(α＋β)＋sin(α−β)＝２sinαcosβ
上から下を引いて
　sin(α＋β)−sin(α−β)＝２cosαsinβ
などです。cos の加法定理も同様です。
この辺の導出は、教科書でこの公式が書かれている直前にあるはずです。

部分分数は、必ずこうという決まりはありませんが、少なくとも、
元の式の分母の因数の組み合わせなので、いくつか試すにしても、
そんなに多くにはならないでしょう。
No.19538 - 2012/12/25(Tue) 17:05:18
☆ Re: 公式に関する質問 / Xex
?@そうすればよかったのか!!解決しました!
?A地道にやるしかないのですね。回答ありがとうございます。
No.19539 - 2012/12/25(Tue) 17:09:33
★ 数列 / ｓｆｄ
3番の問題がわかりません
答えは、１です
よろしくお願いします
No.19530 - 2012/12/25(Tue) 13:50:10
☆ Re: 数列 / ヨッシー
求める合計をＳとすると、
　Ｓ＝r^4＋r^5＋・・・＋r^(n-1)　　・・・(1)
両辺にｒを掛けて、
　ｒＳ＝r^5＋r^6＋・・・＋r^(n-1)＋r^n　・・・(2)
(2)−(1)
　(r-1)Ｓ＝r^n−r^4
よって、
　Ｓ＝(r^n−r^4)/(r-1)
あとは、r^4 でくくって、選択肢に合うものを見つけてください。

こちらでは、文字が小さくて、どれが正解か分かりません。

確かに、(1) っぽいですが。
No.19533 - 2012/12/25(Tue) 14:32:19
★ 平面図形 / 梨夏
BC=5、CA=12、角ACB=90ﾟの直角三 角形がある。
辺ＡＢ上に点P、辺AC上に点Qをとり 、
直線PQと直線BCの交点をRとする。

?@ＡＰ=5、AQ=10のとき線分CRはア/イ

メネラウスの定理を利用したら
7/5になったんですがあっているでし ょうか？

?ACQ=4のとき4点BCQPは半径rの円 周上にある。
半径r、および線分ＡＰの長さを求めると
r=√ウエ/オ、ＡＰ=カキ/クケ

また直線ARと直線BQの交点をNとす るとき
三角形ACRおよび三角形AQNの面積 をそれぞれ
S1、S2とすると S2=(100/コサシ) S1
No.19528 - 2012/12/25(Tue) 12:55:03
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
ＡＢ＝１３　は、事前に求めておきます。

(1)７分の５　であれば　5/7 と書きます。

(2)ＢＱはこの円の直径になるので、
　ＢＱ＝√(25＋16)＝√41　なので、ｒ＝√41/2
　∠ＢＰＱ＝90°になり、△ＡＢＣ∽△ＡＱＰ であるので、
　ＡＰ＝8×12/13＝96/13

　△ＡＢＣ∽△ＲＢＰ　より
　　ＢＲ＝ＢＰ×13/5＝73/5
　よって　ＣＲ＝48/5
　チェバの定理より
　　AN/NR＝50/73
　よって、
　　△ＡＱＮ＝△ＡＣＲ×(AQ/AC)×(AN/AR)
　　　＝△ＡＣＲ×2/3×50/123＝(100/369)△ＡＣＲ
No.19532 - 2012/12/25(Tue) 14:11:38
☆ Re: 平面図形 / 梨夏
ありがとうございました_(..)_
No.19561 - 2012/12/27(Thu) 12:38:50
★ 数?T / 奈津美
a+b=1,ab=2,x+y=3,xy=4である。
X=ax+by,Y=ay+bxとするとき
X+Y=ア、XY=イウエ、X^2+Y^2=オカ

対照式を利用するのかなーっと思ったものの
結局解けませんでした。

解説お願い致します！
No.19526 - 2012/12/25(Tue) 12:00:43
☆ Re: 数?T / らすかる
代入して地道に計算しましょう。
X+Y=(ax+by)+(ay+bx)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
XY=(ax+by)(ay+bx)=(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)={(a+b)^2-2ab}xy+ab{(x+y)^2-2xy}
X^2+Y^2=(X+Y)^2-2XY
No.19527 - 2012/12/25(Tue) 12:21:28
☆ Re: 数?T / 奈津美
解けました！ありがとうございました_(..)_
No.19529 - 2012/12/25(Tue) 13:12:30
★ 確率 / なら
次のルールに従ってx軸上の点Aを動かすゲームを行う。
(i)最初、点Aはx=0にある。
(ii)サイコロを振り、３の倍数の目が出たらx軸上を+2進み、3の倍数でない目が出たらx軸上を-1進む。
この操作を繰り返し行う。
(iii)ゲーム開始後、点Aがちょうどx=0に止まるとゲームは終了する。
(たとえば、点Aがx=-1にあり、３の倍数の目がでてx=0を通ってx=1にいたるときはゲームは終了しない)
ゲームが終了するまでにサイコロを振った回数がnである確率をPnとする。
(1)P3とP9を求めよ。

A:３の倍数の目がでる確率＝1/3
B：3の倍数でない目がでる確率＝2/3
P3はAが１回、Bが2回でればよいので3C1・(1/3)・(2/3)^2=4/9
P9について
Aがx回、Bがy回でるとすると、
x+y=9・・・?@
2・x+(-1)・y=0⇔2x-y=0・・・?A
?@?Aよりx=3 y=6
よってAが3回、Bが6回でればよいので
9C3・(1/3)^3・(2/3)^6=1792/6561
となったのですが解答がないのでよく分かりません。
数学が得意な方教えて下さい。お願いします。
No.19523 - 2012/12/25(Tue) 04:24:49
☆ Re: 確率 / ヨッシー
P3 はそれで良いですが、P9 は、３回、６回で終わる場合を排除しないといけません。
No.19524 - 2012/12/25(Tue) 06:30:35
☆ Re: 確率 / なら
完全に見落としてました；
ありがとうございました。
No.19536 - 2012/12/25(Tue) 16:52:33
★ 微分 / 空零落
次の条件を満たす３次関数f(x)を求めよ。
(i)f(0)=1 (ii)f'(0)=f'(1)=-3 (iii)x=αおよびx=βで極値をとり、|f(α)-f(β)|=|α-β|
とりあえずf(x)=px^3+qx^2+rx+sとおいて(i)から順に考えていったのですが
pとqの値がわからず、また、(iii)の条件をどう活かせばよいのかわかりません。
誰か数学が得意な方教えて下さい。お願いします。
No.19521 - 2012/12/24(Mon) 23:32:44
☆ Re: 微分 / ＿
α<βとでもして、f'(x)=0の解と係数の関係や、
f(β)-f(α)=[α→β]∫f'(x)dx=-(3p/6)(β-α)^3あたりから出してみるのはどうでしょう。
No.19522 - 2012/12/25(Tue) 03:30:13
☆ Re: 微分 / 豆
未知数は少なくしてスタートするのも一つの方法。
(2)よりf'(x)=6ax(x-1)-3とおける
積分して、(1)を使えば、
f(x)=2ax^3-3ax^2-3x+1
f'(x)で割り算して、(3)より
f(x)=(1/6)(2x-1)f'(x)-(2+a)x-1
∴　|f(α)-f(β)|=|(2+a)(α-β)|
No.19525 - 2012/12/25(Tue) 09:39:44
★ 行列 / ｓｆｄ
(2)の問題がわかりません。
答えは8です
よろしくお願いします
No.19518 - 2012/12/24(Mon) 23:01:35
☆ Re: 行列 / ヨッシー

なので、行列式は
　20・12・10＋(-20)・(-13)・30＋10・(-14)・(-32)−10・12・30−(-20)・(-14)・10−20・(-13)・(-32)＝-40
となります。
No.19519 - 2012/12/24(Mon) 23:22:24
☆ Re: 行列 / rtz
|tB|＝|B|、|AB|＝|A||B|であること、
また三角行列の行列式は、対角成分の積に等しいことを利用すれば、
|tBAB|＝|A||B|2＝(-10)*22＝-40とすることもできます。
(範囲外かも？)
No.19520 - 2012/12/24(Mon) 23:27:38
☆ Re: 行列 / Sfd
ありがとうございました
No.19531 - 2012/12/25(Tue) 13:53:29
★ 図形と方程式の問題が分かりません。 / 武安
座標平面上の点(x,y)が不等式x^2+y^2≦2・・・?@で表される領域を動く。
(1)X=x+y Y=xyとするとき、点(X,Y)の動く領域を求め、XY平面上に図示せよ。
(2)(2x+1)(2y+1)の最大値と最小値を求めよ。
x,yの条件はx,yが実数でありながら領域?@に存在することですよね？
x,yが実数であることはtの２次方程式t^2-Xt+Y=0の判別式が(判別式)≧0・・・?Aとなればいいですが、
領域?@にあることはどうすればいいんでしょうか？
領域?@にあるx,yは-√2≦x≦√2 -√2≦y≦√2なので
-2√2≦x+y≦2√2 -2≦xy≦2なので-2√2≦X≦2√2、-2≦Y≦2とし
この範囲内で?Aの領域を図示すればいいんでしょうか？
また、?@について
?@はY≧(1/2)X^2-1と変形できますが、この式は何を意味しているんでしょうか？
Y≧(1/2)X^2-1を満たすような適当なX,Yを選んだ時、X,Yのいわば構成要素となっているx,yはかならず領域?@に存在してますよってことを意味しているんでしょうか？
だったらこれと?Aを図示すればいいような気がしますが、なんだかよくわかりません。
間違っている箇所の指摘と正しい解説お願いします。
No.19505 - 2012/12/24(Mon) 15:30:32
☆ Re: 図形と方程式の問題が分かりません。 / ヨッシー
結論から言うと、
>だったらこれと?Aを図示すればいい
で正解です。

ただし、言葉の言い回しとして、
>Y≧(1/2)X^2-1を満たすような適当なX,Yを選んだ時、
>X,Yのいわば構成要素となっているx,yはかならず領域?@に存在
は誤りです。これと、?A が組み合わさって、初めて?@の領域に
存在できます。

また、結果として使っていないのですが、
> -2√2≦x+y≦2√2 -2≦xy≦2なので-2√2≦X≦2√2、-2≦Y≦2
も危険です。
例えば、-2√2＝x+y となるのは、-√2≦x≦√2, -√2≦y≦√2
から考えると、x=y=-√2 ですが、これは、?@ には含まれません。
No.19507 - 2012/12/24(Mon) 15:54:10
☆ Re: 図形と方程式の問題が分かりません。 / 武安
素早い回答ありがとうございます。
補足です。
Y≧(1/2)X^2-1だけじゃどうしてダメなんでしょうか？
Y≧(1/2)X^2-1はx^2+y^2≦2を反映させた条件式ですよね？

もう一度考えてみたところ、この条件だけでも十分X,Yは実数といえるような気がしてきました。
xy平面上なのでxとyは絶対虚数にならないから
たとえばx=1+2i、y=1-2iとしたとき
X=(1+2i)+(1-2i)=2(実数)というふうな事態にはならないと思うのですがどうして実数になるための条件が必要なんでしょうか？
教えて下さい。
No.19508 - 2012/12/24(Mon) 16:35:55
☆ Re: 図形と方程式の問題が分かりません。 / ヨッシー
>十分X,Yは実数といえる
X,Y が実数であっても、その元になる x,y が実数として
存在しないとダメです。

例えば、Ｘ＝４，Ｙ＝７ は、Y≧(1/2)X^2-1 を満たしますが、
ｘ＋ｙ＝４、ｘｙ＝７ となるような実数ｘ、ｙは存在しません。
> xとyは絶対虚数にならないから
こそダメな場合があります。
No.19512 - 2012/12/24(Mon) 19:15:51
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