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★ 微分 / 工学部2年
次の関数について示された区間における最大値、最小値を求めよ。
y=(1+cosx)sinx [0,π]


答え
x=π/3のとき最大値3√3/4,x=0,πのとき最小値0

解説よろしくお願いします。
No.19318 - 2012/11/24(Sat) 21:08:14
☆ Re: 微分 / X
微分して増減表を描きましょう。
No.19319 - 2012/11/24(Sat) 21:28:00
☆ Re: 微分 / 工学部2年
微分すると
y'=−(sinx)^2＋cosx＋(cosx)^2
となりましたが次にどうしたらいいかわかりません。
No.19321 - 2012/11/24(Sat) 21:41:34
☆ Re: 微分 / IT
(cosx)^2+(sinx)^2=1を使ってcosxだけにする。
因数分解する。
No.19324 - 2012/11/24(Sat) 22:06:30
☆ Re: 微分 / 工学部2年
お騒がせして申し訳ありません。
解決できました。
No.19325 - 2012/11/24(Sat) 22:07:42
★ (No Subject) / ぴけ
正射影ベクトルの概念がよく分かりません。
考え方、この考え方が有効な場面など説明していただきたいです。
No.19316 - 2012/11/24(Sat) 19:19:32
☆ Re: / bu-
概念というか
垂直⇔内積＝０を使わずに
一発でベクトルが出せるテクニック、というものだと思っています。
No.19332 - 2012/11/25(Sun) 16:29:13
★ (No Subject) / 工学部2年
f(x)が微分可能な関数とする．このとき，次の式を示せ．
lim[h→0]1/h{f(x+h/2)+f(x+3h/2)-2f(x)}=2f'(x)

解説よろしくお願いします．
No.19314 - 2012/11/24(Sat) 12:14:19
☆ Re: / X
導関数の定義式を使います。
(左辺)=lim[h→0](1/h){{f(x+h/2)-f(x)}+{f(x+3h/2)-f(x)}}
=lim[h→0]{(1/2){f(x+h/2)-f(x)}/(h/2)
+(3/2){f(x+3h/2)-f(x)}/(3h/2)}
=(1/2)f'(x)+(3/2)f'(x)
=(右辺)
No.19315 - 2012/11/24(Sat) 12:58:06
☆ Re: / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19317 - 2012/11/24(Sat) 20:52:48
★ (No Subject) / ぴけ
nを与えられた正の整数とする。1以上3n以下の整数の中から互いに異なる２つの数a、bを無作為に選ぶとき、|a−b|＜ nとなる確率を求めよ｡

もひとつお願いします。
No.19311 - 2012/11/23(Fri) 23:46:27
☆ Re: / らすかる
a＜bとして1≦a＜b-(n-1)≦3n-(n-1)となる組合せの数は(2n+1)C2通りだから
条件を満たさない確率は {(2n+1)C2}/{(3n)C2}
よって条件を満たす確率は 1-{(2n+1)C2}/{(3n)C2}={5(n-1)}/{3(3n-1)}
No.19313 - 2012/11/24(Sat) 00:09:28
☆ Re: / ぴけ
はじめの2行がよく分かりません。
解説お願いします。
No.19326 - 2012/11/24(Sat) 23:00:46
☆ Re: / らすかる
a＜bとすると
b-a＜n ならば条件を満たし、
b-a≧n ならば条件を満たしませんね。
b-a≧n は
b-a＞n-1
a＜b-(n-1)
と変形できます。つまり
a＜b-(n-1)
を満たす組合せの数を考えればよいわけですが、
1≦a,b≦3n から
1≦a＜b-(n-1)≦3n-(n-1)=2n+1 なので
こうなる組合せの数は
1以上2n+1以下の整数から2つ選び、
小さい方をa、大きい方をb-(n-1) とする組合せです。
言い換えれば、
1以上2n+1以下の整数から2つ選び、
小さい方の数をa、大きい方の数にn-1を足したものをbとするということです。
このように決めれば必ずb-a≧nとなりますね。
そして1以上2n+1以下の整数から2つ選ぶ組合せの数は(2n+1)C2、
全体は(3n)C2ですから、条件を満たさない確率は {(2n+1)C2}/{(3n)C2} となります。
No.19327 - 2012/11/24(Sat) 23:25:30
★ (No Subject) / ぴけ
0＜a≦1，0＜≦b≦1，0＜c≦1に対してf(x) =ax^2+bx+cとおく。任意の整数mに対してf(m)が整数となるようなa，b，cをすべて求めよ｡

お願いします。
No.19306 - 2012/11/23(Fri) 21:12:48
☆ Re: / らすかる
「0＜≦b≦1」はどういう意味ですか？
No.19307 - 2012/11/23(Fri) 21:29:22
☆ Re: / IT
0＜b≦1 として回答します。

f(0) =c　よってｃは整数、0＜c≦1よりc＝1…?@
f(1) =a+b+c=a+b+1…?A　よってa+bは整数
f(-1) =a-b+c=a-b+1…?B

?A+?Bf(1)+f(-1) =2a+2：整数　よって　2a：整数
0＜a≦1より　a＝1/2、１

?A-?Bf(1)-f(-1) =2ｂ：整数
0＜ｂ≦1より　ｂ＝1/2、１
a+bは整数なので
（a,b,c）＝（1/2,1/2,1）、（1,1,1）

逆に
（a,b,c）＝（1,1,1）のとき・・・は明らか
（a,b,c）＝（1/2,1/2,1）のとき
　ｘを偶数と奇数に分けて考える
　・・・
No.19309 - 2012/11/23(Fri) 21:59:11
☆ Re: / ぴけ
0＜b≦1の間違いです。
すいません
No.19310 - 2012/11/23(Fri) 22:01:46
☆ Re: / ぴけ
ありがとうございました。
No.19312 - 2012/11/23(Fri) 23:47:05
★ 積分の問題です。 / 高校三年生
お願いしますm(_ _)m
No.19297 - 2012/11/21(Wed) 18:58:34
☆ Re: 積分の問題です。 / X
(i)0＜a≦1のとき
(ii)1≦aのとき
に場合分けして積分を計算しましょう。
そうすれば後は(i)(ii)のときに問題のxの二次方程式が
それぞれ実数解をいくつ持つかという問題になります。
問題の積分の計算ですが積分範囲が
0≦t≦1
となることから
|t^2-at|=|t(t-a)|=t|t-a|
となることに注意して絶対値を外しましょう。
No.19299 - 2012/11/21(Wed) 19:11:53
☆ (No Subject) / 高校三年生
早い回答していただきありがとうございましたm(_ _)m
No.19304 - 2012/11/21(Wed) 23:34:51
★ 平均値の定理 / 工学部2年
奇数次の方程式
a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an=0(a0≠0,nは奇数)
は少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ．

解説よろしくお願いします．
No.19294 - 2012/11/21(Wed) 17:18:11
☆ Re: 平均値の定理 / X
平均値の定理ではなくて中間値の定理を使います。

f(x)=a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+…+a[n-1]x+a[n]
と置くと
(i)a[0]＞0のとき
lim[x→±∞]f(x)=±∞ (複号同順)
(ii)a[0]＜0のとき
lim[x→±∞]f(x)=干∞ (複号同順)
となりいずれの場合も
lim[x→∞]f(x)
と
lim[x→-∞]f(x)
が異符号になります。
このこととf(x)が連続であることから
中間値の定理により命題は成立します。
No.19295 - 2012/11/21(Wed) 17:51:21
☆ Re: 平均値の定理 / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19305 - 2012/11/22(Thu) 09:58:46
★ 積分の問題ですm(_ _)m / 高校三年生
少しでもいいので、よろしければ解説お願いします。
No.19293 - 2012/11/21(Wed) 16:23:14
☆ Re: 積分の問題ですm(_ _)m / X
(1)
条件の通りL,M,P,Qを描いてみると、問題の交点のy座標が
最大になる場合は線分PQが
y≧xかつy≧-x (P)
の領域に存在する場合と考えられます。そこで
P(s,s),Q(t,-t)
(但しs≧0,t≦0 (A))
と置くと
OP=t√2
OQ=-s√2
これを
OP+OQ=√2
に代入して
s-t=1 (B)
次に線分PQの方程式は
y={(s+t)/(s-t)}(x-s)+s (C)
(但しt≦x≦s (D))
(B)より
s=t+1 (B)'
これと(A) から
-1≦t≦0 (E)
(B)'を(C)に代入して
y=(2t+1)(x-t-1)+t+1
整理して
2t^2+2(1-x)t+y-x=0 (F)
(D)の範囲でtの二次方程式(F)が実数解を持つ条件を
求めます。
f(t)=2t^2+2(1-x)t+y-x
と置いて横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフを考えます。
ここでf(t)の軸の方程式は
t=(x-1)/2
となりますが(B)'(D)(E)より少なくとも
-1≦x≦1
∴-1≦(x-1)/2≦0
つまりf(t)の軸は(E)の範囲内にあることが分かります。
よって求める条件は(F)の解の判別式をDとしたとき
D/4=(1-x)^2-2(y-x)≧0 (G)
又
f(0)=y-x≧0 (H)
f(-1)=y+x≧0 (I)
(G)(H)(I)より
y≦(1/2)x^2+1/2 (G)'
y≧x (H)'
y≧-x (I)'
(G)'(H)'(I)'(P)を図示することにより求める最大値は
(1/2)a^2+1/2
となります。

(2)
(1)の過程から領域
y≦(1/2)x^2+1/2かつy≧xかつy≧-x (Q)
はSの一部となります。
これを求める過程と同様の方針を
(II)y≦xかつy≦-x
(III)y≦xかつy≧-x
(IV)y≧xかつy≦-x
の領域に関して考えると、対称性からSは
領域(Q)を原点中心で90°の回転移動を３回繰り返して
できる３つの領域と(Q)との和集合の形になります。
これらを元にSを不等式で表すと
{y≦(1/2)x^2+1/2かつy≧xかつy≧-x}
又は
{y≧-(1/2)x^2-1/2かつy≦xかつy≦-x}
又は
{x≦(1/2)y^2+1/2かつy≦xかつy≧-x}
又は
{x≧-(1/2)y^2-1/2かつy≧xかつy≦-x}
となります。(図示してみましょう)
(注：不等式の形はもう少し簡単になるかもしれません。)

(3)
(2)で論じた対称性により求める面積は(Q)の面積の4倍
となります。
更に(Q)はy軸に関して対称ですので求める面積をTとすると
T=8∫[0→1]{(1/2)x^2+1/2-x}dx=4/3
となります。
No.19300 - 2012/11/21(Wed) 20:19:37
☆ (No Subject) / 高校三年生
ありがとうございましたm(_ _)m
No.19303 - 2012/11/21(Wed) 23:05:49
★ 中間値の定理 / 工学部2年
次の方程式は示された区間で少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ。
(x^2-1)cosx+√2sinx=1 [0,2/π]

中間値の定理を用いて証明するのはわかるのですがなぜ中間値の定理から1つの実数解をもつことを証明できるかわかりません。解説よろしくお願いします。
No.19287 - 2012/11/20(Tue) 20:09:53
☆ Re: 中間値の定理 / のぼりん
こんばんは。

区間は
＞　〔０，２/π〕
ではなく、〔０，π/２〕 ですよね。
であれば、方程式の左辺を ｆ（ｘ） とでもおいて、
　　　ｆ（０）＝−１＜１＜√２＝ｆ（π/２）
だから、中間値の定理により…

とするのが簡単だと思います。
No.19288 - 2012/11/20(Tue) 20:42:44
☆ Re: 中間値の定理 / ヨッシー
「1つの実数解」ではなくて「少なくとも1つの実数解」です。
念のため。
No.19289 - 2012/11/20(Tue) 21:10:09
☆ Re: 中間値の定理 / 工学部2年
2/πではなくπ/2でした。

なぜ−1<1<√2であることを示さないと中間値の定理を使えないのですか？
No.19290 - 2012/11/20(Tue) 21:14:42
☆ Re: 中間値の定理 / ヨッシー
ｙ＝f(x)＝(x^2-1)cosx+√2sinx のグラフは、
(0, -1)、(π/2, √2) を通ります。
この２点間はｘの連続な関数のグラフになっています。



図のStart から Goal まで、関数のグラフを描くとき、
赤い線を横切らずにたどり着けますか？

たどり着けると答えた場合、それはきっと関数のグラフ
（ｘの値が１つ決まると、f(x) も１つ決まる)になっていません。
必ず横切ると答えた場合、その横切った点のｘ座標において、
f(x)＝1 が成り立ち、それは、ｘの閉区間[0, π/2] 内にあります。

これが、中間値の定理の応用です。
No.19291 - 2012/11/20(Tue) 21:37:24
☆ Re: 中間値の定理 / 工学部2年
理解できました。
丁寧におしえていただきありがとうございます。
No.19292 - 2012/11/20(Tue) 22:06:25
★ 領域 / Xex
もうひとつ…
0<x<√(2), 0<y<1とする。領域[x^2]+[y^2]=[x^2+y^2]を図示せよ。ただし、[a]はaを超えない最大の整数を表す。(要はガウス記号)
どう場合分けして描けばいいのですか?
No.19278 - 2012/11/19(Mon) 21:28:34
☆ Re: 領域 / IT
0<x<√(2)より[x^2]=0,1 0<y<1より[y^2]=0
0<x<√(2)かつ0<y<1より[x^2+y^2]=0,1,2　だが
[x^2]+[y^2]=[x^2+y^2]なので[x^2+y^2]=0,1

0<x<√(2)かつ 0<y<1かつ
　[x^2]=0かつ[y^2]=0かつ[x^2+y^2]=0
　または
　[x^2]=1かつ[y^2]=0かつ[x^2+y^2]=1

これを図示すれば良いのでは？
No.19281 - 2012/11/19(Mon) 22:23:24
☆ Re: 領域 / IT
[y^2]=0は 0<y<1で満たされていますね
No.19282 - 2012/11/19(Mon) 22:29:28
☆ Re: 領域 / ヨッシー
もう少しｘ、ｙの範囲を広げて考えてみます。

図(左)のｘ軸の下に書いてあるのが　[x^2] の値、
ｙ軸の左に書いてあるのが [y^2] の値、
斜めに書いてあるのが、[x^2+y^2]の値です。
境界線は大きい方に含まれます。

そこで、[x^2]と[y^2] の和が[x^2+y^2] に一致する部分を
示したのが、図(右) です。
直線は領域に含みますが、円周は含みません。

あとは、0＜x＜√2, 0＜y＜1 の部分を切り出せば終わりです。
No.19283 - 2012/11/19(Mon) 23:00:42
☆ Re: 領域 / Xex
スゴイ分かりやすい解説ありがとうございます!
それにしてもムズい問題ですね…
No.19286 - 2012/11/19(Mon) 23:17:44
★ 領域 / Xex
A(-1,2) B(2,5)を通る放物線y=ax^2+bx+cを全て考えるとき、どの放物線も通らない点の集合をxy平面上に図示せよ。
頂点のy座標に制限がかかること以外全く方針が立ちません。お願いします。
No.19277 - 2012/11/19(Mon) 21:26:43
☆ Re: 領域 / ヨッシー
点Ｃ(m. n) と合わせて、３点Ａ，Ｂ，Ｃが
　ｙ＝ax^2＋bx＋c
を満たすとします。それぞれ代入して、
　ａ−ｂ＋ｃ＝２
　4a＋2b＋ｃ＝５
　m^2a＋mb＋ｃ＝ｎ
これを、ａ，ｂ，ｃ の３元一次方程式として、解くことを考えます。
最終的に　(m-2)(m+1)ａ＝ｎ−ｍ−３　という式に
なりますが、これが、ａ＝０ 以外の解を持つためには、
ｍ＝２ のとき　右辺を０にする　ｎ＝５ はＯＫ。他のｎはＮＧ。
ｍ＝−１ のとき　ｎ＝２ はＯＫ。他のｎはＮＧ。
ｍ≠２，ｍ≠−１ のとき、右辺が０ではＮＧ。

上記でＮＧと記載した部分が、求める領域

つまり、直線ｘ＝−１，ｘ＝２，ｙ＝ｘ＋３ 上の点、ただし、２点(-1,2)、(2,5)を除く。
No.19280 - 2012/11/19(Mon) 22:20:16
☆ Re: 領域 / Xex(3年)
解決しました!
No.19284 - 2012/11/19(Mon) 23:03:21
☆ Re: 領域 / ヨッシー
この問題で示唆していることは、平面上の３点が決まれば、
たいていの場合、(軸がｙ軸に平行な)放物線が１つ決まる、
ということです。
決まらないのは、３点のうち２点以上がｘ座標が同じ場合と、
３点が直線上に並んでいるときだということです。
No.19285 - 2012/11/19(Mon) 23:08:55
★ (No Subject) / ハル
実数を係数とする整式f(x)=ax^3+bx^2+cx (ただし、a≠0)がある。方程式x^4=xのすべての解が、方程式
{f(x)}^2=f(x)
を満たすとき、a,b,cの値の組をすべて求めよ。
この二問がわかりません
教えていただけると嬉しいですヽ(´o｀；
No.19271 - 2012/11/19(Mon) 02:12:06
☆ Re: / X
x^4=x
より
x(x-1)(x^2+x+1)=0 (A)
一方
{f(x)}^2=f(x)
より
f(x){f(x)-1}=0
これに
f(x)=ax^3+bx^2+cx
を代入すると
x(ax^2+bx+c)(ax^3+bx^2+cx-1)=0 (B)
よって
g(x)=(x-1)(x^2+x+1)
h(x)=(ax^2+bx+c)(ax^3+bx^2+cx-1)
と置くと因数定理によりh(x)はg(x)で割り切れないといけません。
よって次の場合に場合分けされます。
(i)ax^2+bx+cがx^2+x+1で割り切れる場合
ax^2+bx+cがx^2+x+1は次数が同じですので、
割り切れるのであれば、係数比について
a:b:c=1:1:1
つまり
a=b=c (C)
一方このときax^3+bx^2+cx-1はx-1で割り切れるので
因数定理により
a+b+c-1=0 (D)
(C)(D)を連立して解いて
(a,b,c)=(1/3,1/3,1/3)
(ii)ax^3+bx^2+cx-1がx^2+x+1で割り切れる場合
実際にax^3+bx^2+cx-1をx^2+x+1で割ると
ax^3+bx^2+cx-1=(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-b)x-1-(b-a)
よって余りである
(c-b)x-1-(b-a)
が0になることから
c-b=0 (E)
-1-(b-a)=0 (F)
更にここから
(I)ax^3+bx^2+cx-1がx-1で割り切れる場合
(II)ax^2+bx+cがx-1で割り切れる場合
に場合分けし、因数定理からa,b,cに関する方程式を
もう一つ立てます。
(I)のときは(D)と同じになります。
ということで(D)(E)(F)を連立して解くと
(a,b,c)=(1,0,0)
(II)のとき、もう一つの方程式は
a+b+c=0 (G)
(E)(F)(G)を連立して解くと
(a,b,c)=(2/3,1/3,1/3)

以上から
(a,b,c)=(1,0,0),(2/3,1/3,1/3),(1/3,1/3,1/3)
となります。
No.19272 - 2012/11/19(Mon) 08:27:16
★ 場合の数 / ハル
6個の数字0,1,2,3,4,5を用いて4桁の自然数をつくるとき、次の各問に答えよ。ただし、1つの数字は一回しか使わないものとする。
⑴?@3の倍数となるもののは何個あるか
?A3の倍数または5の倍数となるものは何個あるか
⑵得られる自然数の総和を求めよ。
No.19270 - 2012/11/19(Mon) 02:07:16
☆ Re: 場合の数 / X
(1)
(i)
ある複数桁の自然数が3の倍数であるとき、各桁の値の総和が
3の倍数であることを使います。
問題の6個の数字から取り出した4個の数字の総和をsとすると
6≦s≦14
∴条件に合う場合は
s=6,9,12
となる場合となります。
(I)s=6の場合
数字の組み合わせは{0,1,2,3}のみ
∴4桁の数字は、最大桁が0になる場合を除くことを考えて
4P4-3P3=18[通り]
(II)s=9の場合
数字の組み合わせは{0,1,3,5},{0,2,3,4}
(I)と同様に考えると
2(4P4-3P3)=36[通り]
(III)s=12の場合
数字の組み合わせは{1,2,4,5},{0,3,4,5}
∴4P4+(4P4-3P3)=42[通り]

(I)(II)(III)となる事象は互いに排反ですので
求める場合の数は
18+36+42=96[通り]
となります。

(ii)
(i)の結果を使うため、5の倍数であって3の倍数でない
場合の数を求めます。
5の倍数となるためには最小桁が0又は5とならなければ
なりませんので
(I)最小桁が0の場合
5の倍数となるのは
5P3=60[通り]
このうち(i)の(I)(II)(III)の場合の
{0,1,2,3},{0,1,3,5},{0,2,3,4},{0,3,4,5}
のときに当たる
4(3P3)=24[通り]
は除かれますので
60-24=32[通り]
(II)最小桁が5の場合
最大桁が0になる場合を除くことを考えると
5の倍数となるのは
5P3-4P2=48[通り]
このうち(i)の(I)(II)(III)の場合の
{0,1,3,5},{1,2,4,5},{0,3,4,5}
のときに当たる
2(3P3-2P2)+3P3=16[通り]
が除かれますので
48-16=32[通り]

以上から求める場合の数は
96+32+32=160[通り]
となります。
No.19273 - 2012/11/19(Mon) 08:54:10
☆ Re: 場合の数 / X
(2)
4桁の数字を各桁に分けて総和を考えてみます。
1の位の値がk(k=1,2,3,4,5)となるような数字は
1000の位が0になる場合を除いて
5P3-4P2=48[通り]
従って1の位の総和は
Σ[k=1〜5]48k=720
同様の総和を他の桁でも考えると求める総和は
720・1111=799920
となります。
No.19274 - 2012/11/19(Mon) 09:09:13
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
(1)の(ii) で、計算間違いがありますね。

(I)最小桁が0の場合
　・・・
60-24=36[通り]
(II)最小桁が5の場合
　・・・
2(3P3-2P2)+3P3=14[通り]
が除かれますので
48-14=34[通り]
　・・・
96+36+34=166[通り]

となります。

(2) については、
5×5×4×3＝300(個) の数のうち、
1,10,100 の位については、
０が60個、その他が48個 で、48×(1+2+3+4+5)＝720 ですが、
1000の位については、1〜5 が 60個ずつなので、
60×(1+2+3+4+5)＝900 であり、
900×1000＋720×111＝979920　・・・　答え
となります。
No.19275 - 2012/11/19(Mon) 10:22:50
☆ Re: 場合の数 / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ハルさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんのご指摘通り計算を間違えていました。
No.19276 - 2012/11/19(Mon) 12:40:18
☆ Re: 場合の数 / ハル
> >>ヨッシーさんへ
> ご指摘ありがとうございます。
> >>ハルさんへ
> ごめんなさい。ヨッシーさんのご指摘通り計算を間違えていました。
ヨッシーさん、Xさん、ありがとうございました(>_<)
No.19279 - 2012/11/19(Mon) 21:43:26
★ C / kata
Ａ＝nCrのｒが１≦ｒ≦ｎ−２をみたす整数で、ｎが3以上の整数のときＡ≧ｎＣ１＝ｎとなるのはなぜですか？
どうしてもわかりません。。どなたかおしえてください・・
No.19266 - 2012/11/18(Sun) 20:49:47
☆ Re: C / らすかる
nCr≧nC1 が成り立つ理由がわからないということですか？
No.19267 - 2012/11/18(Sun) 21:37:07
☆ Re: C / IT
Ａ＝nCrのｎが3以上の整数でｒが１≦ｒ≦ｎ−２をみたす整数のときＡ≧ｎＣ１＝ｎを証明せよ。ということなら
Ａ＝nCr={n(n-1)(n-2)…(r+1)}/{(n-r)(n-r-1)(n-r-2)…2｝において
n-1≧n-r, n-2≧n-r-1, … ,r+1≧2 だから
で良いと思いますが。
No.19269 - 2012/11/18(Sun) 21:41:45
★ 舞台裏 / キャビネット
f(x)=x^3-x^2+xの逆関数をｇ（ｘ）とおく。ｘ＞０について
{(x)^(1/3)}-1<g(x)<{(x)^(1/3)}+1
が成り立つ事を示せ

よろしくお願いします。答案を知りたいのではなく、その式がどこから出てきたのか、など答えを導く過程が知りたいです。
No.19255 - 2012/11/17(Sat) 21:03:17
☆ Re: 舞台裏 / らすかる
x^(1/3)-1＜g(x)＜x^(1/3)+1 が成り立つならば
g(x)-1＜x^(1/3)＜g(x)+1
{g(x)-1}^3＜x＜{g(x)+1}^3
となり、これは
(x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3
のxにg(x)を代入した式ですから、
この式を示して逆方向に書けば答案が作れますね。
No.19256 - 2012/11/17(Sat) 21:50:23
☆ Re: 舞台裏 / キャビネット
回答ありがとうございます

y=f(x)
⇔f^(-1)(y)=x
⇔g(y)=xなのになぜ
ｘ＝ｇ（ｘ）としてよいのですか？
No.19259 - 2012/11/18(Sun) 01:14:23
☆ Re: 舞台裏 / らすかる
(x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 というのは
xがどんな実数でも成り立つ式ですから、
何を代入しても成り立ちます。
x=g(x) とおいているわけではありません。
わかりにくければ、xにg(y)を代入してから
後でyをxに書き換えて下さい。
No.19260 - 2012/11/18(Sun) 08:24:55
☆ Re: 舞台裏 / キャビネット
(x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 というのは
xがどんな実数でも成り立つというのは一体どこからきたのですか？確かに(x-1)^3<(x＋1)^3はどんな実数でも成り立ちますが。

x=g(y)を代入すると
(g(y)-1)^2<f(g(y))<(g(y)+1)^2
(g(y)-1)^2<f(f^(-1)(y))=y<(g(y)+1)^2
y=xと置いてよい理由が分かりません。

よろしくお願いします
No.19261 - 2012/11/18(Sun) 12:20:42
☆ Re: 舞台裏 / らすかる
> xがどんな実数でも成り立つというのは一体どこからきたのですか？
自分で計算してみましたか？
(x+1)^3-f(x)=4(x+1/4)^2+3/4＞0
f(x)-(x-1)^3=2(x-1/2)^2+1/2＞0
です。

> x=g(y)を代入すると
> (g(y)-1)^2<f(g(y))<(g(y)+1)^2
2乗ではありません。3乗です。

> y=xと置いてよい理由が分かりません。
y=xと置くわけではありません。yという変数をxという名前に書き換えるだけです。
f(x)=x^3-x^2+x のとき
f(t)=t^3-t^2+t や
f(y)=y^3-y^2+y が成り立つというのは納得できますか？
これが納得できるのであれば同じことです。
変数の文字は仮に付けている名前ですから
どんな文字を使おうと同じ意味です。
例えば、任意のxに対して f(x)＞g(x) ならば
f(t)＞g(t) であり f(y)＞g(y) ですね。
No.19262 - 2012/11/18(Sun) 12:43:43
☆ Re: 舞台裏 / キャビネット
回答ありがとうございます。

変数を置き換える、というのはそんな単純なものなのでしょうか。
今回f(x)=x^3-x^2+xの定義域はー∞＜ｘ＜∞
なのでー∞＜ｇ（ｘ）＜∞ よってｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲がたまたま一致するからｘをｇ（ｘ）と置き換えてよいという話では？
つまりｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲が一致していなければｘをｇ（ｘ）を置き換えることはできないと思っているのですが。

よろしくおねがいします
No.19263 - 2012/11/18(Sun) 14:01:14
☆ Re: 舞台裏 / らすかる
> 変数を置き換える、というのはそんな単純なものなのでしょうか。
変数を他の変数に置き換えるのは単純なものです。
変数の定義域を同じとすれば（または狭くすれば）、xをtに置き換えたりyに置き換えたりするのは自由ですね。

> 今回f(x)=x^3-x^2+xの定義域はー∞＜ｘ＜∞
> なのでー∞＜ｇ（ｘ）＜∞ よってｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲がたまたま一致するからｘをｇ（ｘ）と置き換えてよいという話では？
> つまりｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲が一致していなければｘをｇ（ｘ）を置き換えることはできないと思っているのですが。
これは変数を変数に置き換える話ではないですね。
でも、範囲は一致している必要はありません。xの取り得る範囲がg(x)の取り得る範囲を含んでいれば問題ないですね。
前に私が
> (x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 というのは
> xがどんな実数でも成り立つ式ですから、
と書いているように、この式が成り立つxの範囲は実数全体ですから、
実数の範囲内のものであれば何に置き換えても問題ありません。
No.19264 - 2012/11/18(Sun) 14:46:37
☆ Re: 舞台裏 / らすかる
元々 (x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 のxは
問題の式のxとは何も関係なく、
単に解答が見にくくならないように置いた仮変数ですから、
もし問題のxと混乱するようでしたら
最初からxにせず

任意の実数tに対して
(t+1)^3-f(t)=4(t+1/4)^2+3/4＞0
f(t)-(t-1)^3=2(t-1/2)^2+1/2＞0
なので
(t-1)^3＜f(t)＜(t+1)^3
よってt=g(x)とおけば
{g(x)-1}^3＜f(g(x))＜{g(x)+1}^3
・・・

のようにするか、あるいは解答が見にくくなるのを我慢して置き換えなしで

{g(x)+1}^3-f(g(x))=4{g(x)+1/4}^2+3/4＞0
f(g(x))-{g(x)-1}^3=2{g(x)-1/2}^2+1/2＞0
なので
{g(x)-1}^3＜f(g(x))＜{g(x)+1}^3
・・・

のようにしてしまっても良いと思います。
No.19265 - 2012/11/18(Sun) 20:41:02
★ 積分の問題ですm(_ _)m / 高校三年生
お願いしたいです。
No.19253 - 2012/11/17(Sat) 18:04:37
☆ Re: 積分の問題ですm(_ _)m / X
∫[2→x]f(x)dx=xf(x)-2ax^3 +bx^2+2c (A)
とします。
(A)の両辺を微分すると
f(x)=f(x)+xf'(x)-6ax^2+2bx
∴f'(x)=6ax-2b
∴f(x)=3ax^2-2bx+d (d：積分定数) (B)
ここで条件からf(-1)=f(2)=0ですので因数定理から(B)は
f(x)=3a(x+1)(x-2) (C)
と等価になります。
(C)より
f(x)=3ax^2-3ax-6a (C)'
これと(B)とを係数比較すると
-2b=-3a (D)
d=-6a (E)
次に(C)と
∫[1→3]|f(x)|dx=36
更にa＞0により
3a∫[1→3]|(x+1)(x-2)|dx=36
これより
a{-∫[1→2](x+1)(x-2)dx+∫[2→3](x+1)(x-2)dx}=12 (F)
(F)の左辺の積分を計算することでaの方程式を導いて解くと
a=…
これを(D)に代入して
b=…
更にこれらの値と(C)'を(A)に代入して左辺の積分を計算し
両辺の係数を比較すると
c=…
No.19254 - 2012/11/17(Sat) 18:48:25
☆ Re: 積分の問題ですm(_ _)m / 高校三年生
ありがとうございましたm(_ _)m
No.19258 - 2012/11/17(Sat) 23:12:14
★ 積分の問題です。 / 高校三年生
お願いしますm(_ _)m
No.19252 - 2012/11/17(Sat) 18:01:35
★ 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / 潤一郎
おねがいします。

問題

3人が1000円ずつ出しＡ君に弁当を買ってくるように頼んだ。
Ａ君は3000円を持って弁当屋へ買いに行き弁当を３つ買った
店員が3つ買ってくれるのだったらおまけしましょうと
彼に500円のお釣りをくれた。彼は1000円の弁当3つを受け取ったが帰る途中におつり500円では3人に均等に返せない
と思い自分用に100円分のパン2つ買って食べ3人に対して
は、100円ずつ返しました。それで弁当代は一人900円で
3人分2700円。これにパン代を足すと2900円もとの3000円との
差額100円はどこにいったのか。以上を教えて下さい。
No.19242 - 2012/11/15(Thu) 11:07:12
☆ Re: 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / X
弁当代が900円であるとしたことが誤りです。
３人が支払ったお金は確かに一人当たり900円ですが、
それは弁当３個分の代金とA君のパン代の合計金額を
３等分したもので、弁当代が900円であるとはいえません。
No.19243 - 2012/11/15(Thu) 11:54:18
☆ Re: 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / らすかる
一人当たり900円支払っていて支払い金額の合計は2700円ですが
2700円＝(弁当3つ3000円)−(値引き500円)＋(パン2個の200円) ですから、
2700円にパン代を足しても意味がありません。
No.19244 - 2012/11/15(Thu) 12:07:39
☆ Re: 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / 潤一郎
Xさん、らすかるさんへ

とてもよくわかりました。
すごく早い回答いただき、本当にありがとうございました。
これからもよろしくお願いします。
No.19245 - 2012/11/15(Thu) 12:48:12
★ 解説お願いします　方程式の解の個数　 / pine
方程式
a(√3sinθ＋cosθ)＋sinθ(sinθ＋√3cosθ)＝0
が0≦θ≦πにおいて相異なる３つの実数解をもつときのaの値の範囲を求めよ。
No.19238 - 2012/11/14(Wed) 22:14:11
☆ Re: 解説お願いします　方程式の解の個数　 / ヨッシー
√3sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π/6)
sinθ＋√3cosθ＝2sin(θ＋π/3)
2sinθsin(θ＋π/3)＝-cos(2θ＋π/3)＋cos(π/3)
　＝2sin^2(θ＋π/6)−1/2
などで変形すると
　(与式)＝2sin^2(θ＋π/6)＋2asin(θ＋π/6)−1/2
となります。
Ｘ＝sin(θ＋π/6) とおくと、
　(与式)＝２Ｘ^2＋2aＸ−1/2
という２次方程式になります。
　π/6≦θ＋π/6≦7π/6
より、この２次方程式が
　-1/2≦Ｘ＜1/2 に１つ、1/2≦Ｘ＜1 に１つ　解を持つか
　Ｘ＝1 の解と 1/2≦Ｘ＜1 に１つ　解を持てば、条件を満たします。
No.19241 - 2012/11/15(Thu) 06:06:26
☆ Re: 解説お願いします　方程式の解の個数　 / pine
ありがとうございました。
No.19248 - 2012/11/15(Thu) 22:49:53
★ 証明問題の添削お願いします / Xex(3年)
kを正の定数,a>0とし、y=e^(kx)上の2点P(a,e^(ka)),Q(-a,e^(-ka))を考える。この時Pにおける接線とQにおける接線の交点のx座標は常に正であることを示せ。(ニューアクションωIIIC,3章Perfect Master B 8より,大阪大)
証明)y=e^(kx)よりy'=ke^(kx)Pにおける接線をS,QにおいてはTとして、S:y-e^(ka)=(x-a)*ke^(ka),T:y-e^(-ka)=(x+a)*ke^(-ka) yを消去してke^(ka)*(x-a)=ke^(-ka)*(x+a) x=a{e^(ka)+e^(-ka)}/{e^(ka)-e^(-ka)}
a{e^(ka)+e^(-ka)}>0であり、後はe^(ka)-e^(-ka)が正であることを示せばよい。
ここでka>0なので、示す式をf(ka)とおくと、(kaを正の数を変域とする一つの変数として扱う)
f'(ka)=e^(ka)+e^(-ka) 導関数が正なのでf(ka)は単調増加、増減表(省略します)よりx=の式は常に正である。 QED
No.19231 - 2012/11/14(Wed) 17:24:43
☆ Re: 証明問題の添削お願いします / X
＞＞ yを消去してke^(ka)*(x-a)=ke^(-ka)*(x+a)
計算を間違えています。
yを消去すると
{ke^(ka)}(x-a)+e^(ka)={ke^(-ka)}(x+a)+e^(-ka)
です。
ということでこの計算以降の方針も見直して下さい。
No.19237 - 2012/11/14(Wed) 21:13:24
☆ Re: 証明問題の添削お願いします / Xex(3年)
前の問題が重要だったのでそっちをよく考えたら解決しました。ありがとうございました。
No.19240 - 2012/11/14(Wed) 23:57:03
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