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★ (No Subject) / hj
y=log(x+1),y=logxおよびy=0,x=t(>1)
で囲まれた部分Aの面積をｆ（ｔ）とする。
Aをｙ軸の周りに一回転してできる立体の体積をG(t)とするときlim(d/dt)G(t)を求めよという問題で
G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-(1~t)logxdx
G(t)/π=t^2(1+(1/t))+t-1/2-log(t+1)
となりました。この極限はどうやってもとめたらよいのでしょうか？
No.19916 - 2013/01/26(Sat) 18:46:55
☆ Re: / IT
何がどうなるときの極限ですか？
No.19918 - 2013/01/26(Sat) 19:19:29
☆ Re: / hj
失礼しましたｔ→∞でした
まあG(t）の極限でもG(t)/πの極限でもかまいません
よろしくお願いします
No.19919 - 2013/01/26(Sat) 19:34:21
☆ Re: / IT
>G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-(1~t)logxdx
は、どうやってこうなるのですか？転記ミスではないですか？∫や２π、dxがうまくペアになってないと思います。

>まあG(t）の極限でもG(t)/πの極限でもかまいません
lim[ｔ→∞](d/dt)G(t) を求めるのでは？

答えは分かっていますか？
No.19922 - 2013/01/26(Sat) 20:22:59
☆ Re: / ばーびー
G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-∫(1~t)２πｘlogxdx
でしたね。バウムクーヘンの公式ですね
No.19924 - 2013/01/26(Sat) 21:22:39
☆ Re: / IT
G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-∫(1~t)２πｘlogxdxをｔで微分すると
(d/dt)G(t)
=２πtlog(t+1)-２πtlogt
=２πt(log(t+1)-logt)
=２πlog((t+1)/t)^t
=２πlog(1+(1/t))^t
lim[t→∞](1+(1/t))^t＝eなので
lim[t→∞](d/dt)G(t)＝２π ですかね。
No.19925 - 2013/01/26(Sat) 21:48:56
☆ Re: / hj
ｔで微分するのを忘れていました。納得しました。ありがとうございました
No.19926 - 2013/01/26(Sat) 22:25:50
★ ベクトル / 高専
点P(-6,8,9)から直線(x-2)/2=(y+2)/3=(z+5)/6に下した垂線とその直線との交点P'を求め，PP'の長さを求めよ．

答 P'(6,4,7),PP'=2√41

教えてください．
よろしくお願いします．
No.19915 - 2013/01/26(Sat) 18:27:50
☆ Re: ベクトル / らすかる
P'の座標を(2t+2,3t-2,6t-5)とおくと
PP'^2=(2t+8)^2+(3t-10)^2+(6t-14)^2=(7t-14)^2+164 だから
t=2のときが最小でP'の座標は(6,4,7), PP'=√164=2√41
No.19917 - 2013/01/26(Sat) 19:15:43
☆ Re: ベクトル / 高専
ありがとうございます．
No.19921 - 2013/01/26(Sat) 19:48:31
★ 文系数学 / ｼﾞｬｽ
g(θ)=4cos^3θ-2cos^2θ-2cosθ-1 (0<θ<π)
g(θ)=0の３つの解を小さい順にθ1,θ2,θ3とするとき、
(1)t=cos(θ1/3)+cos(θ2/2)+cosθ3の値を求めよ。
cosθ1=1/√2 cosθ2=1/2 cosθ3=-1/√2を求めて、これらを利用することで
t=(-√2+2√3+√6)/4という値が得られました。あっているのでしょうか？
(2)正の整数l,m,nがcos(lθ1)=cos(mθ2)=cos(nθ3)を満たすときl+m+nの最小値を求めよ。
これはさっぱりです。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19911 - 2013/01/26(Sat) 16:56:02
☆ Re: 文系数学 / らすかる
g(θ)=0 を満たす解はありませんので、
問題が正しくないと思います。
No.19914 - 2013/01/26(Sat) 17:41:13
☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ
すみません。
g(θ)=4cos^3θ-2cos^2θ-2cosθ【+】1のまちがいでした。
きちんと推敲しなかったことをお許しください。
No.19929 - 2013/01/27(Sun) 00:40:31
☆ Re: 文系数学 / らすかる
(1)は合ってます。
(2)
cos(lθ1)及びcos(nθ3)の取り得る値は -1,-1/√2,0,1/√2,1
cos(mθ2)の取り得る値は -1,-1/2,1/2,1
ですから、cos(lθ1)=cos(mθ2)=cos(nθ3)が成り立つためには
式の値は-1か1でなければなりません。
式の値が-1になるとき
lの最小値は 4
mの最小値は 3
nの最小値は 4
合計は 11
式の値が1になるとき
lの最小値は 8
mの最小値は 6
nの最小値は 8
合計は 22
よってl+m+nの最小値は11です。
No.19933 - 2013/01/27(Sun) 01:31:09
☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ
解答ありがとうございます。
（θ1、θ2、θ3）＝（π/4、π/3、3π/4）よりcos(lπ/4)=cos(mπ/3)=cos(n3π/4) とできますよね。
0<θ<πより、0<θ1<π、0<θ2<π、0<θ3<πなので、
0<lπ/4<lπ、0<mπ/3<mπ、0<n3π/4<nπとなりますが正直これは必要ないですよね？地道に、たとえば0<lπ/4<lπならlに正の整数をいれて値を確認する程度で
たとえばl=1のときcoslπ/4=1/√2
l=2のときcoslπ/4=0
l=3のときcoslπ/4=-1/√2
・・・
といった具合にやれば問題ないですか？
教えて下さい。お願いします。
No.19935 - 2013/01/27(Sun) 01:42:17
☆ Re: 文系数学 / らすかる
はい、それで問題ないですし、それが一番早いと思います。
No.19936 - 2013/01/27(Sun) 01:46:13
☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ
ありがとうございました！
No.19938 - 2013/01/27(Sun) 03:21:25
★ ベクトル / 高専
以下の問題がわかりません．
解説よろしくお願いします．

2点(2,0,5),(0,3,-1)を通りyz平面に垂直な平面の方程式を求めよ．
答2y+z=5
No.19909 - 2013/01/26(Sat) 14:50:45
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
yz平面に垂直なので、点(2,0,5) からこの平面に沿って、
ｙｚ平面まで垂線が引けます。その足は(0,0,5)です。
点(0,3,-1)は、すでにyz平面上にあります。
よって、求める平面と、ｙｚ平面との交線は、２点(0,0,5)(0,3,-1)
を通る直線であり、それは x=0, z=-2y+5 です。
この直線を含んで、ｘ軸方向（ｙｚ平面に垂直な方向）に、
求める平面は存在するので、
　2y+z=5, ｘは任意の実数
というのが求める平面の式です。
No.19910 - 2013/01/26(Sat) 16:39:51
☆ Re: ベクトル / 高専
考えてみましたがよくわかりません．
No.19912 - 2013/01/26(Sat) 17:01:14
☆ Re: ベクトル / 高専
すみませんもう一度よく考えたら理解できました．
No.19913 - 2013/01/26(Sat) 17:18:02
★ 対称行列 / さくら
証明の仕方がわかりません
教えていただけるとありがたいです。
No.19902 - 2013/01/26(Sat) 00:28:00
☆ Re: 対称行列 / ヨッシー
言い換えれば
　ac=b^2 のときに (a-x)(c-x)=b^2 を満たすｘは何か？
という問題です。展開して
　x^2−(a+c)x＋ac＝b^2
b^2＝ac より
　x^2−(a+c)x＝０
これを解いて、x=0, a+c
No.19905 - 2013/01/26(Sat) 06:59:51
☆ Re: 対称行列 / さくら
やり方は理解できました。
ありがとうございます。
ac=b^2にどうしてなるのですか？
与えられた行列が正則だからですか？　　
No.19906 - 2013/01/26(Sat) 07:55:20
☆ Re: 対称行列 / ヨッシー
正則でない＝逆行列を持たない
からです。
No.19907 - 2013/01/26(Sat) 07:57:57
☆ Re: 対称行列 / さくら
ありがとうございます！
理解できました。
No.19908 - 2013/01/26(Sat) 08:30:31
★ 図形　中学校の数学で / def
高校までの数学は終えている者です

AB=6cmとなるような2点ABがあり，点P,Qが線分ABを3等分しているとする．線分ABを直径とする円周上に点Cをとるとき，PQ^2+QC^2+CP^2の値はいくらになるか

高校入試用の問題集にこのような問題が載っていました
まず問題文から答えは定数になるというニュアンスが読め，円の中心を原点としABが横軸と重なるような座標平面の上でC(s,t)とおくと，s^2+t^2=3^2で一定なので，PQ^2+QC^2+CP^2の値がs,tによらないということで示せました
しかし座標平面で考えるということを思いつくのは中学生には難しいと思います

中学校以前の数学で解く方法はあるでしょうか？
No.19896 - 2013/01/25(Fri) 23:05:23
☆ Re: 図形　中学校の数学で / ヨッシー


ＣからＡＢに垂線ＣＨをおろします。また、ＡＢの中点をＯとします。

1)ＨがＰＯの間にあるとき（Ｐと重なるときも含む）
ＯＨ＝ｘ とおくと、ＰＨ＝１−ｘ、ＱＨ＝１＋ｘ
三平方の定理より
　ＣＨ^2＝９−ｘ^2
　ＣＱ^2＝ＱＨ^2＋ＣＨ^2＝２ｘ＋１０
　ＣＰ^2＝ＰＨ^2＋ＣＨ^2＝−２ｘ＋１０
よって、
　ＰＱ^2＋ＱＣ^2＋ＣＰ^2＝２４　（一定）
2)ＨがＡＰの間にあるとき
ＯＨ＝ｘ とおくと、ＰＨ＝ｘ−１、ＱＨ＝１＋ｘ
三平方の定理より
　ＣＨ^2＝９−ｘ^2
　ＣＱ^2＝ＱＨ^2＋ＣＨ^2＝２ｘ＋１０
　ＣＰ^2＝ＰＨ^2＋ＣＨ^2＝−２ｘ＋１０
よって、
　ＰＱ^2＋ＱＣ^2＋ＣＰ^2＝２４　（一定）
ＨがＯと重なるときやＯより右側にある場合も同様

というのでどうでしょう？
No.19901 - 2013/01/25(Fri) 23:42:36
☆ Re: 図形　中学校の数学で / def
ありがとうございました
No.19930 - 2013/01/27(Sun) 00:46:24
★ (No Subject) / さすけ
A,B二人の兄弟が、質問に対して手を上げてこたえるように言われた。「はい」という返事をするときは右手を挙げ、「いいえ」という返事をするときは左手を上げるように指示されたが、どちらか1人がその指示をまったく逆に理解してしまった。
・「あなたの家は国道に面していますか？」という質問にたいしてBは右手を挙げた。
・「「あなたの家は国道に面していますか？」と聞かれたらあなたは左手を上げますか？」という質問に対してAは右手を挙げた。
・「「あなたの家は市内にありますか？」と聞かれたらあなたは左手を上げますか？」という質問に対してBは左手を挙げた。
・「「あなたの家は木造ですか？」と聞かれたらあなたは右手を上げますか？」という質問に対してAは右手を挙げた。


どちらが逆になっているんですか。
それと詳しい解き方を教えてください。
No.19892 - 2013/01/25(Fri) 20:58:00
☆ Re: / IT
> ・「あなたの家は国道に面していますか？」という質問にたいしてBは右手を挙げた。
> ・「「あなたの家は国道に面していますか？」と聞かれたらあなたは左手を上げますか？」という質問に対してAは右手を挙げた。

ＡＢが答えているこれだけ使えば良いと思います。（ＡＢは同じ家に住んでいるものとします）
（１）Ｂは正しく覚え、Ａは逆に覚えた　
（２）Ｂは逆に覚え　、Ａは正しい覚えた
この２つの場合を仮定して考えてみます。　

（１）Ｂは正しく覚え、Ａは逆に覚えた　と仮定
Ａは「はい」は左手をあげ、「いいえ」は右手をあげる。

Ｂは「あなたの家は国道に面していますか？」の問いに右手をあげたので「はい」であり。
「家は国道に面している。」は真。

「「あなたの家は国道に面していますか？」は真なので
Ａは「はい」と左手を上げようとする。
・・・あなたは左手を上げますか？」という質問に対しては
真なので「はい」と左手を上げる。はず！

ところが右手を上げたので、矛盾。

（２）の場合は（１）より簡単なので考えて見てください。
No.19893 - 2013/01/25(Fri) 21:44:34
☆ Re: / さすけ

よくわかりません。
場合分けしてもできません。
なにかほかの解き方ありません？
No.19894 - 2013/01/25(Fri) 21:55:40
☆ Re: / IT
少し表現を分かりやすくしたつもりです。もう一度見てください。
No.19898 - 2013/01/25(Fri) 23:15:08
☆ Re: / さすけ
「「〜」と聞かれたら右手（左手）を挙げますか？」という質問に対してA（B）は右手（左手）挙げた。
というのはどういう意味なのでしょうか
No.19900 - 2013/01/25(Fri) 23:30:30
☆ Re: / IT
Aが正しく指示通り理解している場合
「右手を挙げる」は、「ｙｅｓと答える」に
「左手を挙げる」は、「Ｎｏと答える」に置き換えて考えます。

「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「〜」は真。


「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「〜」は真。
No.19903 - 2013/01/26(Sat) 00:54:33
☆ Re: / IT
Aが指示を逆に理解している場合
「右手を挙げる」は、「Ｎｏと答える」に
「左手を挙げる」は、「ｙｅｓと答える」に置き換えて考えます。

「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「〜」は真。

「「〜」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「〜」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「〜」は偽。

「「〜」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「〜」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「〜」は真。
No.19904 - 2013/01/26(Sat) 00:58:40
★ 微分? / Xex
kは1より大きい定数とする。「x,yを同時に0にはならない実数」とするとき、z=(x^2+kxy+y^2)/(x^2+xy+y^2)の最大値と最小値を求めよ。[ニューアクションωIIICより]

まったく方針が立ちません。特に「」内はどういう意味ですか??
No.19889 - 2013/01/25(Fri) 20:08:50
☆ Re: 微分? / IT
「」内は、「x,yは実数であり、「x=0かつy=0」にはならない」ということだと思います。
x=rcosθ,y=rsinθ、r＞0　とくおくと考えやすいのでは？

あるいは、
x＝0またはy＝0のとき　z＝1
x≠0かつy≠0のとき t=y/xとおくとy=tx これを元の式に代入
z＝(x^2+ktx^2+t^2x^2)/(x^2+tx^2+t^2x^2)
＝(1+kt+t^2)/(1+t+t^2)
zの増減を調べる
z’＝(1-k)(t+1)(t-1)/(t^2+t+1)^2
計算は確認してください、後はできますよね。
No.19891 - 2013/01/25(Fri) 20:48:04
☆ Re: 微分? / IT
（微分を使わない別解)
z＝(t^2 + kt + 1)/(t^2 + t + 1)
分母・分子をtで割る
＝(t + k + (1/t))/(t + 1 + (1/t))
＝(t + (1/t)+ k)/(t + (1/t)+ 1)
u＝ t + (1/t) とおくと　u≦-2,2≦u
z＝(u+k)/(u+1)
＝1+(k-1)/(u+1)
後はk-1の値で場合分けしてu≦-2,2≦uでの最小値、最大値を求める。(x＝0またはy＝0のとき　z＝1も忘れずに）
No.19895 - 2013/01/25(Fri) 23:00:24
☆ Re: 微分? / Xex
Max:(k+2)/3 min:2-kとなりました。この問題集の答えは手元にはないのですが解決しました。
No.19897 - 2013/01/25(Fri) 23:10:21
☆ Re: 微分? / IT
kは1より大きい定数なので　「k-1の値で場合分け」は不要でしたね。失礼しました。
No.19899 - 2013/01/25(Fri) 23:29:12
★ (No Subject) / さすけ
１ｍ進んだ場合はどこに色を塗るのですか？
No.19887 - 2013/01/25(Fri) 15:44:42
☆ Re: / ヨッシー

図の赤い３本の棒のうちの１本です。
No.19888 - 2013/01/25(Fri) 17:17:15
★ (No Subject) / さすけ
長さ１ｍの棒材を組み合わせて作った格子状のジャングルがある。
このジャングルの橋の点Aから出発して棒伝いに一本ずつ色を塗りながら3m進む。通りうる経路すべてに色を塗った時、塗られている棒が何本になるか。
　１ｍだけ進む場合には3本濡れ、２ｍの場合にはその3本の先端からそれぞれ新たにA本濡れるので、全部でB濡れる。だから、３ｍの場合は全部でC本濡れる。
No.19883 - 2013/01/25(Fri) 08:29:34
☆ Re: / ヨッシー
図の手前下の角をＡとします。
Ａと同じ高さの位置を１階、１ｍ高い位置を２階、２ｍ高い位置を３階、
同様にｎ−１ｍ高い位置をｎ階と呼ぶことにします。
Ａから棒材１つ分進んだ点は、２階に１個、１階に２個の計３個です。
Ａから棒材２つ分進んだ点は、３階に１個、２階に２個、１階に３個の計６個です。
同様に、Ａから棒材３つ分進んだ点は１０個です。
但し、後戻りは考えません。

Ａから１ｍ進むと、上記の３個の点のいずれかに進みます。
その３点から３方向に進めるので、９本が塗れます。
その結果、上記の６個の点のいずれかに進みます。
その６点から３方向に進めるので、１８本が塗れます。
合計　３＋９＋１８＝３０（本）　が塗れます。
No.19884 - 2013/01/25(Fri) 09:07:44
☆ Re: / らすかる
問題とあまり関係ありませんが…
問題は「ジャングルジム」を想定しているのだと思いますが、
問題で「ジャングル」と省略して書かれているのでしょうか。
No.19885 - 2013/01/25(Fri) 14:09:34
☆ Re: / さすけ
ヨッシーさん
他のサイトでも回答してもらいありがとうございます。
No.19886 - 2013/01/25(Fri) 15:40:45
★ (No Subject) / サスケ
実線部分の円の外周が五倍になるとき、これと同様に円を並べる。いくつ並べたらいいのですか。
No.19878 - 2013/01/25(Fri) 03:14:55
☆ Re: / らすかる
問題文が意味不明です。
No.19879 - 2013/01/25(Fri) 03:51:54
☆ Re: / サスケ
図のように同じ大きさの円の３つの円の中心が一直線にあるように並べる。同様に並べて外周がこの五倍になるには円を全部でいくつ並べばよいか。

問題文そのまま載せました。
No.19880 - 2013/01/25(Fri) 04:07:34
☆ Re: / らすかる
端の円の実線部分は円周の2/3
間の円の実線部分は円周の1/3
なので図の図形の外周は円周の2/3+1/3+2/3=5/3倍
その5倍は円周の25/3倍
間の円が1つ増えるたびに円周の1/3倍ずつ外周が長くなるので
(25/3-5/3)÷(1/3)=20個増やせば元の外周の5倍になる。
よって答えは23個。
No.19881 - 2013/01/25(Fri) 06:06:41
☆ Re: / ヨッシー
大きさの円の　→　大きさの円を
いくつ並べば　→　いくつ並べれば
など、元の問題文そのものに難があるようですが、意味は汲み取れます。


円を１つ増やすと、図の青い部分（中心角60°の扇形の弧が
２つ分）が増えます。
この「中心角60°の扇形の弧」の長さを１とすると、
円が３つの場合の外周は、１０です。
これを５倍の５０にするには、４０増やさないといけないので、
加える円は２０個、全部で２３個の円を並べれば良いことになります。
No.19882 - 2013/01/25(Fri) 06:08:19
★ (No Subject) / サスケ
一つの辺と両端の点にあてはめられた３つの数の和がすべて１８になる。
１〜１１の数を一つずつ使う。
その時の用いられない数ををしえてください
No.19876 - 2013/01/25(Fri) 01:51:23
☆ Re: / らすかる
4の隣の頂点の和は18-4=14ですから、
全頂点の和は 1+7+14=22です。
辺は6本で各辺の和は18であり、
単純に6×18とすると頂点を3回ずつ足してしまいますので
2回分減らした 6×18-2×22=64 が全使用数字の和です。
1〜11の和は66ですから、使われない数字は66-64=2となります。
No.19877 - 2013/01/25(Fri) 02:43:05
★ 図形 / ハル
一辺の長さがaの正三角形ABCを底面とし、面ABCと面OABが垂直な四面体OABCがある。Aから辺OCに下ろした垂線の足をDとすると
OA=OB=b,OC=c,cosADB=1/3となるとき。次の問いに答えよ。
⑴角OCAを求めよ。
⑵四面体OABCの体積が√2であるとき、a,b,cの値を求めよ。

⑵からわからないです(￣◇￣;)
教えてください。
考える藁のほうにも質問しています。
回答待ちです。
No.19874 - 2013/01/23(Wed) 20:38:18
☆ Re: 図形 / ヨッシー
(1)
ＡＤ＝ＢＤ＝ｄ とすると、△ＡＢＤにおける余弦定理より
　ａ^2＝２ｄ^2−２ｄ^2cos∠ＡＤＢ＝(4/3)d^2
よって、ｄ＝(√3/2)ａ
すると、△ＡＤＣ（∠Ｄが直角）において、
　sin∠ＤＣＡ＝ＡＤ/ＡＣ＝√3/2
よって、∠ＤＣＡ（＝∠ＯＣＡ）＝60°

(2)

(1) の結果より、ＣＥ＝ａとなる点をＯＣ上に取ると、
四面体ＡＢＣＥは正四面体となります。
ＡＢの中点ＭとＣ，Ｏ を通る面で切ると、右の図のようになります。
そうすると、
△ＡＢＣ＝(√3/4)a^2
ＭＯ＝(√6/2)ａ より
　四面体ＯＡＢＣ＝(√2/8)a^3＝√2
より、ａ＝２
ＭＡ＝１、ＭＯ＝√６　より　ｂ＝√７
ｃ＝ＯＣ＝３
となります。
No.19875 - 2013/01/24(Thu) 01:57:29
★ (No Subject) / 工学部2年
△OABにおいて，↑OA=↑a,↑OB=↑bとする．∠AOBの二等分線がABと交わる点をCとする．
OC上で長さ1のベクトルを求めよ．

解説よろしくお願いします．
No.19869 - 2013/01/23(Wed) 18:53:01
☆ Re: / X
辺OA,OB上にOD=OE=1なる点D,Eを取り
線分DEと線分OCとの交点をFとします。
すると△ODEは二等辺三角形ですので条件から
Fは線分DEの中点となり
↑OF=(↑OD+↑OE)/2 (A)
又
↑OD=↑OA/OA=↑a/|↑a| (B)
↑OE=↑OB/OB=↑b/|↑b| (C)
さらに求める単位ベクトルを↑pとすると
↑p=↑OF/OF (D)
(A)(B)(C)(D)より
↑p={(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/2}/|(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/2|
=(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/|↑a/|↑a|+↑b/|↑b|| (E)
ここで
|↑a/|↑a|+↑b/|↑b||^2=2+2↑a・↑b/(|↑a||↑b|) (F)
(E)(F)により
↑p=(↑a/|↑a|+↑b/|↑b|)/√{2+2↑a・↑b/(|↑a||↑b|)}
No.19871 - 2013/01/23(Wed) 19:39:25
☆ Re: / 工学部2年
ありがとうございます．
理解できました．
No.19872 - 2013/01/23(Wed) 19:56:57
★ 魔方陣 / サスケ
1 7 13 ? ?
? 3 9 15 A
? B 5 6 12
14 ? C 2 8
10 11 ? ? 4

５×５マスで
１〜２５の整数が一つずつ入る。
縦横のみ数字の和がすべて等しくなるようにする。
Aには偶数、Bには20以上
Cの値はいくらですか？

魔方陣と同じやり方でできませんでした。
ちなみにななめは等しくなくてもいいそうです。
No.19867 - 2013/01/23(Wed) 18:26:05
☆ Re: 魔方陣 / ヨッシー
１から２５までを足すと３２５，これを５列に分けるので、
１列は６５です。
Ａが偶数であることから、各？とＢ，Ｃの偶数、奇数を調べると、
Ａの他に、Ｂとその左上、左、下が偶数で、他は奇数です。
残った数字が16〜25 なので、Ｂに入るのは20,22,24。
それぞれ当てはめてみて、もれなく埋まるのを調べます。
Ｃ＝２１　になります。
No.19868 - 2013/01/23(Wed) 18:45:43
☆ Re: 魔方陣 / らすかる
1〜25の和は325ですから
縦・横それぞれの列の和は65です。
Bが20〜25
→Bの左は17〜22
→その上は18〜23
→Aは15〜20
→15は使用済みでAは偶数なので、Aは16,18,20
→Aの上は21,23,25
→その左は19,21,23
→その4つ下は19,21,23
→その左は17,19,21
→Cは17,19,21
→その左は20,22,24
→Bは20,22,24
→Bの左は18,20,22
→その上は18,20,22
→Aは16,18,20
16と25が候補にあるのはそれぞれ1個ずつなのでAが16、Aの上が25
→その左は19
→その4つ下は23
→その左は17
→Cは21
(以下確認)
→その左は20
→Bは24
→Bの左は18
→その上は22
→Aは16
これで一致し、しかも16〜25がすべて1個ずつになりましたので
C=21が答えとなります。

結果は
1 7 13 19 25
22 3 9 15 16
18 24 5 6 12
14 20 21 2 8
10 11 17 23 4
No.19870 - 2013/01/23(Wed) 18:59:39
★ リミット / 飛沫
数列{a(n)}が
a(1)=1,a(n+1)=a(n)+√(n+1)
によって定義されているとき、次の問いに答えよ。
⑴a(n)>(2n√n)/3 (n=1,2,3…)が成り立つことを示せ。
⑵極限値lim【n→∞】a(n)/{(n+1)^(3/2)}を求めよ。

度々質問すみません。
数列苦手です。
どうか教えてください(つД`)
No.19865 - 2013/01/23(Wed) 10:54:01
☆ Re: リミット / IT
飛沫さんは、定積分を使って　数列の和を評価する手法は、ご存知ですか？　それを使えば良いと思います。
ｙ＝f(x)=√x　のグラフと棒グラフを描いて考えて見てください。
No.19866 - 2013/01/23(Wed) 17:59:27
★ 数列 / 飛沫
数列{a(n)}、{b(n)}は
a(1)=2 ,a(n+1)−2a(n)=2^n
b(1)=−1/4,nb(n+1)−(n+1)b(n)=(n−1)/(n+2)
をみたしている。このとき次の問いに答えよ。
⑴a(n),b(n)を求めよ。
⑵Σ【k=1〜n】a(k)b(k)を求めよ。

わからないです
教えてください。
No.19856 - 2013/01/22(Tue) 20:03:01
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1)
a(1)＝2＝1・2
a(2)＝6＝2・3
a(3)＝16＝4・4
a(4)＝40＝8・5
より、a(n)＝2^(n-1)・(n+1) と推測されます。
これを、数学的帰納法で証明します。(証明は省略)
b(1)＝-1/4
b(2)＝-1/2＝-3/6
b(3)＝-5/8
b(4)＝-7/10
より　b(n)＝-(2n-1)/(2n+2) と推測されます。(以下同様)

(2)
a(n)b(n)＝(1-2n)・2^(n-2)
　Ｓ＝-1・2^(-1)−3・2^0−5・2^1−7・2^2−・・・−(2n-1)2^(n-2)　・・・(i)
とおきます。
　２Ｓ＝-1・2^0−3・2^1−5・2^2−7・2^3−・・・−(2n-3)・2^(n-2)−(2n-1)・2^(n-1)　・・・(ii)
(ii)−(i)
　Ｓ＝1/2＋2{1+2+4+・・・+2^(n-2)}−(2n-1)・2^(n-1)
1+2+4+・・・+2^(n-2)＝2^(n-1)−1 より
　Ｓ＝-3/2−(2n-3)・2^(n-1)

以上です。
No.19858 - 2013/01/22(Tue) 20:47:06
☆ Re: 数列 / らすかる
(1)
a[1]=2, a[n+1]-2a[n]=2^n
c[n]=a[n]/2^n とおくと
c[1]=1
2^(n+1)・c[n+1]-2(2^n・c[n])=2^n
c[n+1]-c[n]=1/2
c[n]=(n+1)/2
∴a[n]=2^(n-1)・(n+1)

b[1]=-1/4, nb[n+1]-(n+1)b[n]=(n-1)/(n+2)
d[n]=b[n]/n とおくと
d[1]=-1/4
n{d[n+1]・(n+1)}-(n+1)(d[n]・n)=(n-1)/(n+2)
n(n+1)(d[n+1]-d[n])=(n-1)/(n+2)
d[n+1]-d[n]=(n-1)/{n(n+1)(n+2)}

Σ[k=1〜n]{(k-1)/{k(k+1)(k+2)}}
=Σ[k=1〜n]{1/{(k+1)(k+2)}} - Σ[k=1〜n]{1/{k(k+1)(k+2)}}
=Σ[k=1〜n]{1/(k+1)-1/(k+2)} - (1/2)Σ[k=1〜n]{1/{k(k+1)}-1/{(k+1)(k+2)}}
={1/2-1/(n+2)}-(1/2){1/2-1/{(n+1)(n+2)}}
=n/{2(n+2)}-n(n+3)/{4(n+1)(n+2)}
=n(n-1)/{4(n+1)(n+2)}
なので n≧2に対し
d[n]=-1/4+(n-1)(n-2)/{4n(n+1)}
={-n(n+1)+(n-1)(n-2)}/{4n(n+1)}
=(-2n+1)/{2n(n+1)}
これはn=1のときも成り立つ。
∴b[n]=n(-2n+1)/{2n(n+1)}=(-2n+1)/{2(n+1)}

(2)
Σ[k=1〜n]a[k]b[k]
=Σ[k=1〜n]2^(k-1)・(k+1)・(-2k+1)/{2(k+1)}
=Σ[k=1〜n]2^(k-2)・(-2k+1)
=S とおくと
2S=Σ[k=1〜n]2^(k-1)・(-2k+1)
=Σ[k=2〜n+1]2^(k-2)・(-2k+3)
S=2S-S
=-1/2・(-1)
　+Σ[k=2〜n]2^(k-2)・2
　+2^(n-1)・(-2n+1)
=1/2+2^(n-1)・(-2n+1)+Σ[k=1〜n]{2^(k-1)}-1
=1/2+2^(n-1)・(-2n+1)+(2^n-1)-1
=2^(n-1)・(-2n+3)-3/2
={2^n・(-2n+3)-3}/2
No.19859 - 2013/01/22(Tue) 20:55:11
★ 無限級数 / N山(高校2年)
a(n)は初項a,公差dの等差数列とし,|r|<1とする.
Sn=Σ_[k=1,n]a(k)*r^(k-1) とするとき
lim_[n→∞]Sn を求める.

Sn=a+Σ_[k=2,n]a(k)*r^(k-1) …A

rSn=Σ_[k=2,n]a(k-1)*r^(k-1)+a(n)*r^n …B

A-Bより

(1-r)Sn=a+Σ_[k=2,n]{a(k)-a(k-1)}*r^(k-1)-a(n)*r^n

(1-r)Sn=a+dΣ_[k=2,n]r^(k-1)-a(n)*r^n

(1-r)Sn=a+{dr(1-r^(n-1))}/(1-r)-a(n)*r^n

Sn=a/(1-r)+{dr(1-r^(n-1))}/{(1-r)^2}-{a(n)*r^n}/(1-r)

ここで,lim_[n→∞]{dr(1-r^(n-1))}/{(1-r)^2}=dr/{(1-r)^2}
となる.

ここで疑問なのですが,lim_[n→∞]{a(n)*r^n}/(1-r)はどうなるのでしょうか.
0に収束する気がするのですが証明できません.
どのように考えたらよいのでしょうか.
どうかよろしくお願いします.
No.19851 - 2013/01/21(Mon) 19:19:30
☆ Re: 無限級数 / らすかる
lim[n→∞](a[n]*r^n)/(1-r)
={1/(1-r)}lim[n→∞]a[n]*r^n
={1/(1-r)}lim[n→∞]{a+(n-1)d}*r^n
={1/(1-r)}{{(a-d)lim[n→∞]r^n}+{d*lim[n→∞]n*r^n}}
lim[n→∞]r^n=0, lim[n→∞]n*r^n=0 なので
lim[n→∞](a[n]*r^n)/(1-r)=0
No.19854 - 2013/01/22(Tue) 16:39:34
☆ Re: 無限級数 / N山(高校2年)
理解できました.回答ありがとうございました.
No.19857 - 2013/01/22(Tue) 20:21:03
★ (No Subject) / りょう
初めて質問させて頂きます。
数?Tの問題です。
1.台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線ACとBDの交差点Xとする。
AC=４ｃｍBC=10ｃｍ△ADX＝4c?uとする。
この時の△BCX、台形ABCDの範囲を求めなさい。

2.以下の手順でcos22.5°を求める。
△ABCにおいて∠A=45°、AB=AC=1としBCの中点をXとする。
この時の辺BC、辺AX、△ABCの面積を求めなさい。
またAMの値がcos22.5°である。

以上宜しくお願い致します。


上手く説明してくれと言われたのですが、私の説明では理解できないようです。
分かりやすい説明はどのようにすればよろしいでしょうか？
No.19849 - 2013/01/21(Mon) 15:59:14
☆ Re: / ヨッシー
まずは後半

ＸをＭに換えています。

余弦定理より
　ＢＣ^2＝ＡＢ^2＋ＡＣ^2−２ＡＢ・ＡＣcosＡ＝２−√2
よって、
　ＢＣ＝√(２−√2)
三角形の面積の公式より
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsinＡ＝√2/4
以上より、
　ＡＭ＝２△ＡＢＣ÷ＢＣ
　　　＝√(２＋√2)/２

もちろん、ＢＭ＝√(２−√2)/２ として、△ＡＢＭにおける
三平方の定理から
　ＡＭ^2＝１−(２−√2)/４＝(２＋√2)/４
から求めることも出来ます。

また、その他のcos22.5 の求め方としては、下の図において、
ＡＢ＝ＢＣ＝１、ＡＣ＝√2 とすると、
角の二等分線の定理より
　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝１：√2
よって、
　ＢＤ＝1/(√2＋１)＝√2−1
△ＡＢＤにおける三平方の定理より
　ＡＤ^2＝ＡＢ^2＋ＢＤ^2＝4−2√2
　cos22.5＝ＡＢ/ＡＤ＝1/√(4−2√2)
　　＝√(4＋2√2)／2√2＝√(２＋√2)/２
とする方法もあります。
No.19852 - 2013/01/22(Tue) 08:43:55
☆ Re: / ヨッシー
１．は数Ｉの問題としてはかなり難しいですが、りょうさんが
された説明というのはどういうものですか？
No.19853 - 2013/01/22(Tue) 09:20:27
☆ Re: / りょう
返信が遅くなり申し訳ありません。

△ADXと△CBXは相似で，その相似比は2：5だから，
△ADX：△ABX：△DCX：△BCX=4：10：10：25

よって，△BCX=25cm^2，台形ABCD=49cm^2

という答え方をしたのですがこの説明より分かりやすい説明はどのように教えてやればよいでしょうか？
何せ自分も数?Tをやっていたのは何十年前ですので思い出しながら説いただけでも手一杯でして、お手数ですが宜しくお願い致します。
No.19861 - 2013/01/23(Wed) 01:04:10
☆ Re: / Halt0
その解答が正しいとすれば最初の問題文にミスがあるように思います. 正しくは

1.台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線ACとBDの交差点Xとする。
ACAD=４ｃｍBC=10ｃｍ△ADX＝4c?uとする。
この時の△BCX、台形ABCDの範囲面積を求めなさい。

ですか？
No.19862 - 2013/01/23(Wed) 03:08:51
☆ Re: / ヨッシー
Halt0 さんの書かれたような問題だとすると、本質的には、
りょうさんの書かれた方法より簡単なのはありません。

あとは、
　ＡＸ：ＸＣ＝２：５
　ＤＸ：ＸＢ＝２：５
をちゃんと押さえて、面積比＝底辺比を丁寧に適用するだけです。

No.19864 - 2013/01/23(Wed) 09:11:26
☆ Re: / りょう
ヨッシーさんHalt0さん有難う御座います。
Halt0さんのご指摘の通りで問題を入力する際に間違えておりました。

面積比と体積比について改めて説明してみようと思います有難う御座いました。
No.19873 - 2013/01/23(Wed) 20:26:42
★ 数理統計学 / ハオ
試験勉強をしているのですが、解答が後ろに記載されていません。
問題と自分の解答を画像に載せましたので、何か間違っているところや直した方がいいところがありましたらご指導頂けると幸いに思います。
No.19846 - 2013/01/20(Sun) 20:41:08
☆ Re: 数理統計学 / ヨッシー
最後の　＝０　が気になります。
No.19855 - 2013/01/22(Tue) 20:01:32
☆ Re: 数理統計学 / ハオ
ヨッシーさんお返事有難う御座います.
平均値が存在することから∞P(∞)=0としたのですが如何でしょうか？
No.19860 - 2013/01/22(Tue) 22:29:24
☆ Re: 数理統計学 / ヨッシー
私の勘違いでなければ、
　c{1-P(X=1)-P(X=2)-・・・-P(X=c-1))
　　=c・P(X=c)
なのであれば、そのまま　ΣxP(X=x) の x=c の場合に
含めてしまってはどうでしょうか？
No.19863 - 2013/01/23(Wed) 09:01:44
☆ Re: 数理統計学 / ハオ
ヨッシーさん有難う御座います
なるほど確かにそうすると綺麗にいきますね.
No.19927 - 2013/01/26(Sat) 23:22:55
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