ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数?T / 大河

?@ab-2a+3b=10を満たす整数(a,b)は全部でア個あり、
そのうち整数(a,b)=(イ,ウ)

?Aa^2-2a+b=5を満たす正の整数(a,b) は全部でエ個あり、
そのうち最も小さい整数aのときb=オ

またこのような問題を解く上で
決まった解き方やコツがありましたら
お教えくださいませ(沙*･ω･)

No.19576 - 2012/12/28(Fri) 12:25:07

☆ Re: 数?T / X

(1)
基本的な整数問題の一つです。
(x+p)(y+q)=r
(x,y,p,q,rは整数)
の形に変形し、rの約数(負の場合も含む)を使って
x+p,y+qの値を定めていきます。
(教科書、又は参考書をチェックしましょう。)

ab-2a+3b=10
より
(a+3)(b-2)=10-6
∴
(a+3)(b-2)=4
条件からa+3,b-2は共に整数ですので
(a+3,b-2)=(1,4),(2,2),(4,1),(-1,-4),(-2,-2),(-4,-1)
∴(a,b)=(-2,6),(-1,4),(1,3),(-4,-2),(-5,0),(-7,1)
の6通りあります。

(2)
(1)のような形以外の整数問題はまずa,bが整数であること
は脇に置いておき、その他の条件からa,bの値の範囲を
絞り込むことを考えてみましょう。
この問題で「その他の条件」に当たるのは
a,bが共に正
であることです。
(問題によってはこの「その他の条件」が
実数条件となることもあります。)

a^2-2a+b=5 (A)
より
b=5-a^2+2a (A)'
で条件からb＞0ですので
5-a^2+2a＞0
これより
a^2-2a-5＜0
1-√6＜a＜1+√6 (B)
ここで
2＜√6＜3
∴
-2＜1-√6＜-1
3＜1+√6＜4
よってa＞0に注意すると(B)を満たす整数aは
a=1,2,3
これを(A)'に代入します。

No.19581 - 2012/12/28(Fri) 14:34:20

★ 格子点 / 珉珉打破

格子点の問題です。お願いします。
nを正の整数とし、xy平面上で連立不等式y≧x^2 y≦x+n^2-n x≧0の表す領域をＤnとする。
Ｄnに含まれる格子点の個数を求めよ。
自分がやるとn^3+(n^2/2)-(n/2)+1となったのですが答がないのでわかりません。
分かる方教えて下さい。

No.19572 - 2012/12/28(Fri) 05:09:11

☆ Re: 格子点 / らすかる

n=2のときのグラフを描いて数えると7個になりますが
n^3+(n^2/2)-(n/2)+1 にn=2を代入すると10になりますので
正しくないようです。

No.19573 - 2012/12/28(Fri) 06:47:33

☆ Re: 格子点 / IT

各x=k (k=0,1,2…n）についてＤnに含まれる格子点の個数は{k+(n^2)-n}-(k^2)+1です。グラフで確認してください。

これの合計を求めれば良いと思います
Σ(k=0…n)[{k+(n^2)-n}-(k^2)+1]
私の計算では
(n+1){(n^2)-n+1}-(1/3)(n+1)n(n-1)になりました。
数列の和です。やってみて下さい。不明点があればお知らせください。

No.19596 - 2012/12/29(Sat) 09:29:19

☆ Re: 格子点 / らすかる

私の計算では (n+1)(2n^2-2n+3)/3 となりましたが、
これはITさんの結果と同じです。

No.19605 - 2012/12/29(Sat) 13:02:09

★ 桁数の問題　再度 / チサトvns

次の条件(i)(ii)をともに満たす自然数nを求めよ。
(i)n^2の桁数はnの桁数より2大きい
(ii)nは5つの連続する自然数の平方の和に等しい

自然数nの桁数をmとすると、10^(m-1)≦n<10^m・・・?@ 10^(m+1)≦n<10^(m+2)・・・?A
?@?Aの各辺に常用対数をとると
m-1≦log[10]n<m・・・?@'
(m+1)/2≦log[10]n<(m+2)/2・・・?A'
?@’?A’をともに満たすnが存在するには
m>(m+1)/2 かつ(m+2)/2>m-1

とあるのですがm>(m+1)/2 かつ(m+2)/2>m-1というのがよくわかりません。
教えて下さい。お願いします。

No.19571 - 2012/12/28(Fri) 02:04:55

☆ Re: 桁数の問題　再度 / らすかる

a＜b かつ c＜d であるとき
a≦x＜b かつ c≦x＜d であるxが存在するというのは、
a～bの範囲とc～dの範囲で重なっている部分があるということですね。
（数直線で考えるとわかりやすいかも知れません。）
もしb≦cならばxがbより小さくc以上というのは不可能ですから
重なっている部分はありません。
（x＜b≦c≦x は成り立ちません。）
またd≦aならばxがa以上でdより小さいというのは不可能ですから
重なっている部分はありません。
（x＜d≦a≦x は成り立ちません。）
上記以外の場合、つまりb＞cかつd＞aならば
(aとcのうち大きい方)～(bとdのうち小さい方)までが
共通範囲となり、条件を満たすxが存在します。
それをあてはめれば
m＞(m+1)/2 かつ (m+2)/2＞m-1
となりますね。

No.19575 - 2012/12/28(Fri) 07:42:19

★ 対数関数 / raihi

(log[10]y-2log[10]x)(log[10]y-log[10]x)/(log[10]x)(log[10]y)≦0を満たす点(x,y)の存在する領域Ｄを図示せよという問題で
分母≧0かつ分母<0の場合と分母≦0かつ分母>0の場合と大きく２つに場合分けしてからさらに細かく場合分けしていく方針でやろうとおもったのですが煩雑すぎて無理でした。
どうすれば図示できるんでしょうか？
やり方を教えて下さい。お願いします。

No.19570 - 2012/12/28(Fri) 01:32:11

☆ Re: 対数関数 / らすかる

地道にやりましょう。
log[10]x=X, log[10]y=Y とおけば
(Y-2X)(Y-X)/(XY)≦0
X≠0, Y≠0
条件を満たすのは
Y-2X≦0 かつ Y-X≧0 かつ XY＞0
Y-2X≦0 かつ Y-X≦0 かつ XY＜0
Y-2X≧0 かつ Y-X≧0 かつ XY＜0
Y-2X≧0 かつ Y-X≦0 かつ XY＞0
の4つの場合すなわち
Y≦2X かつ Y≧X かつ XY＞0 … (1)
Y≦2X かつ Y≦X かつ XY＜0 … (2)
Y≧2X かつ Y≧X かつ XY＜0 … (3)
Y≧2X かつ Y≦X かつ XY＞0 … (4)

X＞0 のとき
(1) → X≦Y≦2X
(2) → Y＜0
(3) → 解なし
(4) → 解なし
まとめて
0＜X≦Y≦2X または X＞0,Y＜0

X＜0 のとき
(1) → 解なし
(2) → 解なし
(3) → Y＞0
(4) → 2X≦Y≦X
まとめて
2X≦Y≦X＜0 または X＜0,Y＞0

元に戻して
0＜log[10]x≦log[10]y≦2log[10]x
log[10]x＞0, log[10]y＜0
2log[10]x≦log[10]y≦log[10]x＜0
log[10]x＜0, log[10]y＞0
つまり
1＜x≦y≦x^2
x＞1, 0＜y＜1
x^2≦y≦x＜1
0＜x＜1, y＞1
これで図示できますね。

No.19574 - 2012/12/28(Fri) 07:21:06

☆ Re: 対数関数 / raihi

ありがとうございました。
無事図示することができました。
補足なんですがこの問題の続きに
(2)点(x,y)がＤ上を動くとき、x^2+y^2-8x-6yの最小値を求めよ。と言う問題があるのですが、とりあえずx^2+y^2-8x-6y=kとすると(x-4)^2+(y-3)^2=k+25これは(1)で図示したグラフから考えると半径√(k+25)が円の中心(4.3)から直線y=xの距離に等しくなれば最小であるので計算したらk=-49/2となりました。
これは考え方はあっているんでしょうか？
よかったらおしえてください。おねがいします。

No.19588 - 2012/12/28(Fri) 18:54:14

☆ Re: 対数関数 / らすかる

その考え方で問題ないと思います。
答えも合っています。

No.19591 - 2012/12/28(Fri) 21:00:52

☆ Re: 対数関数 / raihi

本当に助かりました。
とても分かり易い解説までして下さって本当に感謝してもしきれません。ありがとうございました。

No.19601 - 2012/12/29(Sat) 09:48:26

★ ベクトル / 高2

四面体OAPQにおいて,
|→OA|=1,→OA⊥→OP,→OP⊥→OQ,→OA⊥→OQ,∠PAQ=30゜である.
(1)三角形APQの面積Sを求めよ
(2)|→OP|の取り得る値の範囲を求めよ
(3)四面体OAPQの体積Vの最大値を求めよ

No.19568 - 2012/12/27(Thu) 21:00:50

☆ Re: ベクトル / X

(1)
条件から
↑AP・↑AQ=AP・AQcos30° (A)
一方
↑AP・↑AQ=(↑OP-↑OA)・(↑OQ-↑OA)
=↑OP・↑OQ-(↑OP+↑OQ)・↑OA+|↑OA|^2
ですが条件から
↑OA・↑OP=↑OA・↑OQ=↑OP・↑OQ=0
|↑OA|=1
∴↑AP・↑AQ=1 (B)
(A)(B)より
AP・AQ=2/√3 (C)
∴S=(1/2)AP・AQsin30°=(1/6)√3
(2)
(C)より
(AP^2)(AQ^2)=4/3
△OAP,△OAQに三平方の定理を使うと
(OP^2+1)(OQ^2+1)=4/3
OQ^2=(4/3)/(OP^2+1)-1 (D)
∴(4/3)/(OP^2+1)-1＞0
これとOP＞0により
0＜OP＜2/√3
(3)
△OAPを底面と考えることにより
V=(1/6)OP・OQ
∴OP=xと置くと(3)の結果により
0＜x＜2/√3 (E)
V=(1/6)x√{(4/3)/(x^2+1)-1} (F)
ここから(F)を微分して(E)の範囲で(F)の増減を考えて…
となるのが方針として考えれますが、この問題の場合は
少し変形すると相加平均と相乗平均の関係が使えます。
(F)より
V=(1/6)√{(4/3)(x^2)/(x^2+1)-x^2}
=(1/6)√{-(4/3)/(x^2+1)+4/3-x^2}
=(1/6)√[7/3-{(x^2+1)+(4/3)/(x^2+1)}]
{}内に相加平均と相乗平均の関係が使います。
但し不等号の下の等号成立条件が(E)を満たすことを
確かめるのを忘れないようにしましょう。

No.19569 - 2012/12/27(Thu) 22:43:41

★ 数?T 整式 / 大河

?@(3a^2-6a+2)(3a^2+4a+2)-11a^2を因数分解すると？
このタイプの因数分解の方法を教えてください。

?Ax、yを整数とするとき 2x^2 -y^2 +xy-5x+4y-3=-2を満たす x、yの組はア個あり、そのうちyが最大のx、yの組は(x、y)=(イ、ウ)

No.19564 - 2012/12/27(Thu) 14:32:55

☆ Re: 数?T 整式 / ヨッシー

(1)
　展開して、対策を考えます。
　(3a^2-6a+2)(3a^2+4a+2)-11a^2＝(3a^2+2)^2-2a(3a^2+2)-24a^2-11a^2
　　＝9a^4+12a^2+4-6a^3-4a-24a^2-11a^2
　　＝9a^4-6a^3-23a^2-4a+4
f(a)＝9a^4-6a^3-23a^2-4a+4　とおくと　f(-1)＝0 より
　f(a)＝(x+1)(9a^3-15a^2-8a+4)
g(a)＝9a^3-15a^2-8a+4 とおくと g(2)＝０　より
　f(a)＝(x+1)(x-2)(9x^2+3x-2)
あとは、２次式だけなので、
　f(a)＝(x+1)(x-2)(3x-1)(3x+2) まで行けます。

(2)
2x^2-y^2+xy＝(2x-y)(x+y)　より
　2x^2 -y^2 +xy-5x+4y+c＝(2x-y+a)(x+y+b)
と置いてみます。右辺を展開して
　(2x-y)(x+y)+a(x+y)+b(2x-y)+ab
　＝2x^2-y^2+xy+(a+2b)x+(a-b)y+ab
a+2b=-5, a-b=4 より a=1, b=-3
よって、
　2x^2 -y^2 +xy-5x+4y-3＝(2x-y+1)(x+y-3)＝-2
と変形できます。
(　)の中はいずれも整数なので、
　2x-y+1＝1, x+y-3＝-2
　2x-y+1＝-1, x+y-3＝2
　2x-y+1＝2, x+y-3＝-1
　2x-y+1＝-2, x+y-3＝1
のいずれかが考えられます。このうちで、ｘ，ｙが整数になる場合を求め、
ｙが最大のものを見つけます。

No.19565 - 2012/12/27(Thu) 16:43:15

☆ Re: 数?T 整式 / らすかる

(1)は次のような方法もあります。
(3a^2-6a+2)(3a^2+4a+2)-11a^2
={(3a^2-a+2)-5a}{(3a^2-a+2)+5a}-11a^2
=(3a^2-a+2)^2-25a^2-11a^2
=(3a^2-a+2)^2-36a^2
={(3a^2-a+2)-6a}{(3a^2-a+2)+6a}
=(3a^2-7a+2)(3a^2+5a+2)
=(3a-1)(a-2)(3a+2)(a+1)

No.19567 - 2012/12/27(Thu) 18:45:23

★ 平面図形 / 由美

次の問題を教えてください(´っω･｀｡)

三角形ABCにおいて各頂点からおろした垂線の長さがそれぞれ4、5、6である。三辺の長さの比はBC:CA:AB=アイ:ウエ:10

またcosAはオカ/240

内接円の半径をrとすると r=キク/37

No.19563 - 2012/12/27(Thu) 14:31:47

☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

△ＡＢＣの面積は
　(1/2)ＢＣ・4＝(1/2)ＣＡ・5＝(1/2)ＡＢ・6
なので、
　ＢＣ：ＣＡ：ＡＢ＝(1/4):(1/5):(1/6)＝15:12:10
これをそのまま、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さとすると、
余弦定理より
　cosＡ＝(b^2+c^2-a^2)/2bc＝(12^2+10^2-15^2)/(2・12・10)
　　＝19/240

ＢＣ＝15k, ＣＡ＝12k, ＡＢ＝10k　(k は0でない正の実数)
とおくと、
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＢＣ・4＝30k
一方、
　△ＡＢＣ＝(1/2)(ＢＣ＋ＣＡ＋ＡＢ)ｒ
　　＝37kr/2＝30k
ｋ≠０　より、ｒ＝60/37

No.19566 - 2012/12/27(Thu) 16:54:18

★ 確率 / ジョセフ

動転Pは原点(0,0)から出発して、座標平面上の(m.n)(m,nは整数)の上を動く。Pが点(m.n)にいるとき、サイコロを振って出た目が１または２ならば点(m+1、n)へ、3または4ならば点(m-1,n)へ、5ならば点(m,n+1)へ、6ならば点(m,n-1)へ進む。
(1)サイコロを２回振った後、Ｐが点(1,1)に到達する確率
(2)サイコロを４回振った後、Pが点(2,2)に到達する確率
(3)サイコロを４回振った後、Pが点(1,1)に到達する確率
以下自分の解答
1または2が出る確率・・・1/3・・・?@
3または4が出る確率・・・1/3・・・?A
5が出る確率・・・1/6・・・?B
6が出る確率・・・1/6・・・?C
(1)?@が１回、?Bが１回でればよいので2!×(1/3)×(1/6)=1/9
(2)?@が2回、?Bが２回でればよいので(4!/2!2!)×(1/3)^2×(1/6)^2=1/9
(3)?@が２回、?Aが１回、?Bが１回出る or　?@が１回、?Aが２回、?Cが１回出る場合をそれぞれ考えると、
(4!/2!)×(1/3)^2×(1/3)×(1/6)+(4!/2!)×(1/6)^2×(1/6)=29/27となったのですが
正直よくわかりません。
解き方も点の座標がもっと複雑になったときに対処できないと思います。
どうやって解いたらいいんでしょうか？
また、答がないので誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.19556 - 2012/12/27(Thu) 05:26:08

☆ Re: 確率 / らすかる

(2)は式は正しいですが計算が正しくありません。
(3)は式も計算も正しくありません。
「?@が１回、?Aが２回、?Cが１回」のうちの「?@が１回」の分を掛け忘れています。

> 解き方も点の座標がもっと複雑になったときに対処できないと思います。
例えば「サイコロを１０回振った後、Pが点(1,1)に到達する確率」のような
問題ならばそれだけ手間のかかる計算をするしかないと思いますので、
そのような問題は出ません。

No.19558 - 2012/12/27(Thu) 06:16:32

★ 数と式 / ジョセフ

放物線y=x^2-2mx+m+6の値が0≦x≦8の範囲にあるとき、定数mの値の範囲および頂点のy座標の値の範囲を求めよ。
mの値は0≦m≦8でいいんでしょうか？y座標の値の範囲と言うのがよく分かりません。教えて下さい。

No.19555 - 2012/12/27(Thu) 04:12:31

☆ Re: 数と式 / らすかる

「放物線y=x^2-2mx+m+6の値が0≦x≦8の範囲にある」は意味が通じません。
問題がおかしいです。

No.19557 - 2012/12/27(Thu) 05:59:40

★ 難問 / 受験生

中心の位置および半径を変えながら移動する円がある.時刻t(t≧0)における中心の座標は(at+1,0),半径はr/√at+1である.ただし,aおよびrはtに無関係な正の定数とする.
このとき,点A(2,1)がいかなる時刻t(≧0)においても,この移動する円の外側にあるためのrの範囲を求めよ.また,rがそのような1つの値であるときに,点Aから動円に2本の接線l,mを引いたとき,lとmのなす角を2θ(0＜θ＜π/2)とする.θを最大にするtを求めよ.

No.19554 - 2012/12/27(Thu) 03:00:53

☆ Re: 難問 / ヨッシー

√at+1 は、√(at+1) と解釈します。
円の式は　(x-at-1)^2＋y^2＝r^2/(at+1) であるので、これに
(2,1) を代入して、
　(1-at)^2＋1＞r^2/(at+1)
ｔ≧0 においては at+1＞0 なので、
　(a^2t^2-2at+2)(at+1)＞r^2
f(t)＝(a^2t^2-2at+2)(at+1)＝a^3t^3－a^2t^2＋２　とおきます。
ｔで微分して、
　f'(t)＝a^2t(3at-2)
となり、f(t) は、t=0 で極大値２、t=2/3a で極小値50/27 を取ります。
よって、50/27＞r^2 であれば、いかなる時刻ｔ(≧0)においても
　(a^2t^2-2at+2)(at+1)＞r^2
となります。
　０＜ｒ＜(5√6)/9

円の中心をＢ、半径をｃとすると、
　sinθ＝c/ＡＢ
となります。0＜θ＜π/2 において sinθ(＞０) は単調増加であるので
tan^2θ＝c^2/ＡＢ^2 が最大の時θも最大になります。
　c^2/ＡＢ^2＝r^2/f(t)
となり、ｔ≧0 で f(t) が最小となるｔ＝2/3a でθは最大となります。

No.19559 - 2012/12/27(Thu) 06:57:37

★ 整数問題 / 高2

(1)5で割り切れない正の整数mに対し,m^4－1は5で割り切れることを示せ.
(2)正の整数nに対し,n^nを5で割った余りをf(n)で表す.f(n+20)=f(n)を示せ.

No.19549 - 2012/12/26(Wed) 21:44:46

☆ Re: 整数問題 / らすかる

(1)
5で割った余りが1のとき m-1は5で割り切れる
5で割った余りが2のとき m-2は5で割り切れる
5で割った余りが3のとき m+2は5で割り切れる
5で割った余りが4のとき m+1は5で割り切れる
従ってmが5で割り切れないとき (m-2)(m-1)(m+1)(m+2) は5で割り切れるので
(m-2)(m-1)(m+1)(m+2)+5(m^2-1)=m^4-1 も5で割り切れる

(2)
(n+20)^(n+20)
=Σ[k=0～n+20](n+20)Ck・20^k・n^(n+20-k)
=n^(n+20)+5t　（∵k＞0の項は5で割り切れる）
=n^n・n^20+5t
=n^n+n^n・(n^20-1)+5t
=n^n+n^n・(n^4-1)(n^16+n^12+n^8+n^4+1)+5t
=n^n+5s　（∵nが5の倍数のときn^nが5の倍数、そうでないときn^4-1が5の倍数）
∴f(n+20)=f(n)

No.19553 - 2012/12/27(Thu) 01:29:55

★ 相加相乗平均がうまくつかえない / ボルト

内接円の半径が1で、AB=ACである二等辺三角形ABCの辺BCの中点をMとし、h=AM(h>2)とおく。
三角形ABCを直線AMのまわりに回転して得られる円錐について
(1)円錐の体積Vをhを用いて求めよ。
(2)にVの最小値を求めよ。
(1)はV=(π/3)・{h^2/(h-2)}となりました。
(2)でVが最小値になるためにはh^2/(h-2)が最小であればよいので
h^2＝h(h-2)+2hより
h^2/(h-2)=h+{2h/(h-2)}=(h-2)+{2h/(h-2)}+2と変形したのですが分母分子に文字が含まれているので相加相乗平均を利用できません。
どうすればいいんでしょうか？教えて下さい。

No.19547 - 2012/12/26(Wed) 21:35:10

☆ Re: 相加相乗平均がうまくつかえない / X

h/(h-2)=1+2/(h-2)
と変形しましょう。

No.19550 - 2012/12/26(Wed) 22:02:19

☆ Re: 相加相乗平均がうまくつかえない / ボルト

２度変形を行うんですね！
おかげで答にたどりつくことができました。
ありがとうございました。

No.19551 - 2012/12/26(Wed) 22:37:05

☆ Re: 相加相乗平均がうまくつかえない / IT

> ２度変形を行うんですね！
h^2/(h-2)=[{(h-2)+2}^2]/(h-2)
=[{(h-2)^2} + 4(h-2) +4]/(h-2)
=(h-2) + 4 + {4/(h-2)}
という手順もあります。

No.19552 - 2012/12/26(Wed) 22:51:37

★ 対数関数 / ボルト

x,yが不等式log[3](5-x)+2log[3]｛√(5+x)｝+2log[3]｛√(3/y)}>1・・・?@を満たしている。
整数x,yが?@を満たすとき、2x+yの最大値を求めよ。

2x+y=kとしたとき?@と接する点は(1,24)
よってk=2・1+24=26となり2x+yの最大値は26となったのですが答が分かりません。教えて下さい。

No.19540 - 2012/12/25(Tue) 17:49:18

☆ Re: 対数関数 / X

(1)の不等号の下に等号があるのであればそれで
問題ありませんがそうではありませんので
接点は(1)の範囲に含まれません。
但し、候補を絞り込むことはできます。

(1)の境界線である
y=25-x^2
と接するとき
k=26
ですので求めるkの最大値k_maxに対し
k_max＜26
ここで
k=26
のときの
直線：2x+y=k (A)
を
k=25
のときのそれに平行移動することを考えます。
このとき上記の接点である
点(1,24)
は
点(1,23)
に平行移動しますが、この点は(1)に含まれますので
題意を満たします。

よって求める最大値は25となります。

No.19542 - 2012/12/25(Tue) 18:08:26

☆ Re: 対数関数 / ボルト

ありがとうございました

No.19548 - 2012/12/26(Wed) 21:35:37

★ 数２ / なら

一辺の長さが1の正方形ABCの外部に、三角形PQRを∠QPR=π/2,∠PQR=π/3であり、辺PQ上に点Aが、辺QR上に点Bが、辺RP上に点Cがあるようにつくる。
∠PAC=Θとする。
(1)AQの長さをθを用いて表せ
(2)四角形AQRCの面積をＳとする。Ｓをθを用いて表し、Ｓの最大値を求めよ。
AQ=(2/√3)sinθ
BQ=cosθ+(1/√3)sinθ
RC=2cosθ+(2/√3)sinθ
RB=cosθ+√3sinθ
△ABQ=(sinθcosθ/2)+(sin^2θ/√3)
△ABC=√3/4
△BCR=(1/2)+(√3/2)sinθcosθ+(1/2√3)sinθcosθ
となったのですが面積を求めようとすると
合成ができません。
たぶんどっかで間違えていると思うのですが誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.19537 - 2012/12/25(Tue) 16:55:23

☆ Re: 数２ / X

>>正方形ABC
意味が不明です。問題文は正確にアップして下さい。

No.19541 - 2012/12/25(Tue) 17:49:37

☆ Re: 数２ / ヨッシー

ＲＣの計算が違うようです。

No.19543 - 2012/12/25(Tue) 18:27:26

★ 積分の応用 / なら

円C1：x^2+y^2=1上の点Ｐから放物線C2:y=x^2+5に引いた２本の接線とC2で囲まれた部分の面積をＳとする。ＰがＣ１上を動くときのＳの最大値を求めよ。
２つの接点をそれぞれA,Bとし接点のx座標をそれぞれα、β(α<β)とする。
点A,Bにおける接線は
y=2αx-α^2+5・・・?@
y=2βx-β^2+5・・・?A
点Ｐのx座標は(α+β)/2なので
Ｓ＝∫[α→(α+β)2]{(x^2+5)-(2αx-α^2+5)}dx　+∫[(α+β)/2→β]{(x^2+5)-(2βx-β^2+5)}dx
これでやるとＳ＝０になってしまいました。
どうしてなんでしょうか？
また、このやり方でいくと基本対称式が出てくるので解と係数の関係を使ってα+β、αβの値を出す必要があると思うんですけど無理な気がします。
どうすれば解けるんでしょうか？
２つの疑問点について教えて下さい。お願いします。

No.19535 - 2012/12/25(Tue) 16:52:10

☆ Re: 積分の応用 / X

一つ目の疑問)
計算を間違えているものと思います。
S=∫[α→(α+β)2]{(x-α)^2}dx+∫[(α+β)/2→β]{(x-β)^2}dx
=(1/3){(β-α)/2}^3-(1/3){(α-β)/2}^3
=(1/12)(β-α)^3 (A)
となります。
二つ目の疑問)
初めから考え直してみます。
C2上の点(t,t^2+5)における接線の方程式は
y=2tx-t^2+5 (B)
一方条件から点P(cosθ,sinθ)(0≦θ＜2π)
と置けるので(B)がPを通ることから
sinθ=2tcosθ-t^2+5
整理して
t^2-2tcosθ+sinθ-5=0 (C)
(C)をtの二次方程式と見たときの解がα、βなので
解と係数の関係より
α+β=2cosθ (D)
αβ=sinθ-5 (E)
(D)(E)を(A)に用いてα、βを消去し、Sをθの関数として
処理します。

或いはP(X,Y)と置き、上記と同じ方針でSをX,Yを用いて表し
その式と
X^2+Y^2=1
とを連立してXを消去して得られるYの二次方程式が
実数解を持つ条件から解の判別式についての
Sの不等式を立てる
という方針もあります。

No.19544 - 2012/12/25(Tue) 18:45:21

★ 公式に関する質問 / Xex

?@三角関数の和⇔積の公式がどうしても覚えられないので、公式の導き方があれば教えてください。
?A部分分数分解するときに分母の式の形によってどのように分解できるかの判別法ってありますか?　例)(cx^2+dx+e)/{(x+a)^2(x+b)}=p/(x+a)+q/(x+a)^2+r/(x+b) p,q,rを係数比較で探す。

No.19534 - 2012/12/25(Tue) 16:03:55

☆ Re: 公式に関する質問 / ヨッシー

(1)
加法定理
　sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
　sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
各辺足して
　sin(α＋β)＋sin(α－β)＝２sinαcosβ
上から下を引いて
　sin(α＋β)－sin(α－β)＝２cosαsinβ
などです。cos の加法定理も同様です。
この辺の導出は、教科書でこの公式が書かれている直前にあるはずです。

部分分数は、必ずこうという決まりはありませんが、少なくとも、
元の式の分母の因数の組み合わせなので、いくつか試すにしても、
そんなに多くにはならないでしょう。

No.19538 - 2012/12/25(Tue) 17:05:18

☆ Re: 公式に関する質問 / Xex

?@そうすればよかったのか!!解決しました!
?A地道にやるしかないのですね。回答ありがとうございます。

No.19539 - 2012/12/25(Tue) 17:09:33

★ 数列 / ｓｆｄ

3番の問題がわかりません
答えは、１です
よろしくお願いします

No.19530 - 2012/12/25(Tue) 13:50:10

☆ Re: 数列 / ヨッシー

求める合計をＳとすると、
　Ｓ＝r^4＋r^5＋・・・＋r^(n-1)　　・・・(1)
両辺にｒを掛けて、
　ｒＳ＝r^5＋r^6＋・・・＋r^(n-1)＋r^n　・・・(2)
(2)－(1)
　(r-1)Ｓ＝r^n－r^4
よって、
　Ｓ＝(r^n－r^4)/(r-1)
あとは、r^4 でくくって、選択肢に合うものを見つけてください。

こちらでは、文字が小さくて、どれが正解か分かりません。

確かに、(1) っぽいですが。

No.19533 - 2012/12/25(Tue) 14:32:19

★ 平面図形 / 梨夏

BC=5、CA=12、角ACB=90ﾟの直角三角形がある。
辺ＡＢ上に点P、辺AC上に点Qをとり、
直線PQと直線BCの交点をRとする。

?@ＡＰ=5、AQ=10のとき線分CRはア/イ

メネラウスの定理を利用したら
7/5になったんですがあっているでしょうか？

?ACQ=4のとき4点BCQPは半径rの円周上にある。
半径r、および線分ＡＰの長さを求めると
r=√ウエ/オ、ＡＰ=カキ/クケ

また直線ARと直線BQの交点をNとするとき
三角形ACRおよび三角形AQNの面積をそれぞれ
S1、S2とすると S2=(100/コサシ) S1

No.19528 - 2012/12/25(Tue) 12:55:03

☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

ＡＢ＝１３　は、事前に求めておきます。

(1)７分の５　であれば　5/7 と書きます。

(2)ＢＱはこの円の直径になるので、
　ＢＱ＝√(25＋16)＝√41　なので、ｒ＝√41/2
　∠ＢＰＱ＝90°になり、△ＡＢＣ∽△ＡＱＰであるので、
　ＡＰ＝8×12/13＝96/13

　△ＡＢＣ∽△ＲＢＰ　より
　　ＢＲ＝ＢＰ×13/5＝73/5
　よって　ＣＲ＝48/5
　チェバの定理より
　　AN/NR＝50/73
　よって、
　　△ＡＱＮ＝△ＡＣＲ×(AQ/AC)×(AN/AR)
　　　＝△ＡＣＲ×2/3×50/123＝(100/369)△ＡＣＲ

No.19532 - 2012/12/25(Tue) 14:11:38

☆ Re: 平面図形 / 梨夏

ありがとうございました_(..)_

No.19561 - 2012/12/27(Thu) 12:38:50