ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 線型写像　基底の変換 / He

大学1年です。
よろしくお願いします。

No.19217 - 2012/11/13(Tue) 22:33:31

☆ Re: 線型写像　基底の変換 / ast

T (の表現行列) は座標 (あるいは縦ベクトル) (x_1,...,x_n) に対する変換なのであって, 基底を変換するものではないので, 「左の図」というのは正しい記述になっていません (つまり, A や B で u や u' が v や v' に写るのではありません).

厳密に言えば, 任意のベクトル x = x_1u_1 +…+ x_nu_n を記号的な内積として
　(u_1,...,u_n)(x_1,...,x_n)
と書いてある (面倒なので記号を替えませんが, 座標は全て縦ベクトルで, 行列の積として内積を見ています) という状況と考えるべきです. 画像の記述に座標ベクトルが現れないのは, 基底に着目する限り, 現れる写像が全て線型なため座標ベクトルは最終的にそのままの形で現れるように書けるからです. しかし, 感覚をつかめないうちは, 座標まで含めて書いたほうがよいと思います.

例えば, T(x) = x_1T(u_1) +…+ x_nT(u_n) だから, 同様の記法に従えば
　T(x)=(T(u_1),...,T(u_n))(x_1,...,x_n)
と書けますし, 表現行列 A の定義は
　T(x)=(v_1,...,v_m)A(x_1,...,x_n)
ですから, 結局 T (の行列表現) を知るには (T(u_1),...,T(u_n)) = (v_1,...,v_m)A がわかっていればよいので, そこだけを見るように記述してあるということです.

さて, 提示されている「証明」の方針は, (T(u'_1),...,T(u'_n)) を (あるいは座標に関して言えば, u'_1,...,u'_n に関する任意の座標 (x_1,...,x_n) を T の表現行列で写したものを) v_1,...,v_m に関して二通りに表すことです.

一つは後半に書かれているほうで,
　T(x) = (T(u'_1),...,T(u'_n))(x_1,...,x_n)
　= (v'_1,...,v'_m)B(x_1,...,x_n)
　= (v_1,...,v_m)QB(x_1,...,x_n)
ですが, これはまあ特に説明しなくてもわかるはずです.

いま一つは前半の方ですが, これは任意のベクトル x を u'_1,...,u'_n に関する座標で書いてあるのを, 一旦 u_1,...,u_n に関するものに書き直してから変換する様子が書いてあるはずです (画像の内容は書き写す際に間違いが混入しているように見受けられます). つまり,
　x = (u'_1,...,u'_n)(x_1,...,x_n) = (u_1,...,u_n)P(x_1,...,x_n)
としてから, T で写せば
　T(x) = (T(u_1),...,T(u_n))P(x_1,...,x_n)
　= (v_1,...,v_m)AP(x_1,...,x_n)
となることを言っています.

No.19249 - 2012/11/16(Fri) 06:25:21

★ アポロニウスの球 / Xex(3年)

四面体O-ABCにおいてO→A=a,O→B=b,O→C=cとする。点Pは|A→P|:|B→P|=2:√(3)を満たしながら動く。Pの軌跡は球面であることを示せ。(ニューアクションωIIB 問題271,九大)
ベクトルを使う解法の方針が全く立ちません。平面ABCに着目してPは平面ABCでは円を描き、これが空間においてもそうなるから円の集合、つまり球、でいいのですか?

No.19214 - 2012/11/13(Tue) 21:18:44

☆ Re: アポロニウスの球 / ヨッシー

アポロニウスの円で、結果が予想されるのであれば、
ＡＢを２：√3 に内分する点をＳ，外分する点をＴとし、
　ＰＳ・ＰＴ＝０
を示す方法があります。

ＡＰ：ＢＰ＝２：√3 は、
　４ＢＰ・ＢＰ＝３ＡＰ・ＡＰ
という形で使用します。

No.19216 - 2012/11/13(Tue) 22:05:30

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

試してみたけどできそうにありませんでした。一体どうすれば？

No.19218 - 2012/11/13(Tue) 22:38:00

☆ Re: アポロニウスの球 / IT

ベクトルの内積計算を使うと。
3|AP|^2=4|BP|^2
3(p-a)・(p-a)=4(p-b)・(p-b)
|p|^2+2(3a-4b)・p+4|b|^2-3|a|^2=0
|p+(3a-4b)|^2=12|a-b|^2
|p-(4b-3a)|=2√(3)|a-b|
途中少し省略してます。

No.19219 - 2012/11/13(Tue) 22:51:36

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

4b-3aから何をすればいいのですか?

No.19220 - 2012/11/14(Wed) 07:06:05

☆ Re: アポロニウスの球 / IT

「4b-3aから」とは？何のことですか？最後の式のことですか？
この式で「pが（4b-3aで表される点）から一定の距離にある」：すなわち「球面上を動く。」ことが分かると思いますが？

計算間違いがないかは確かめて下さい。

No.19221 - 2012/11/14(Wed) 07:40:02

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

球であることを示すのにそれだけでいいのですか? 図があると嬉しいです

No.19223 - 2012/11/14(Wed) 08:25:00

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

そもそも球を示すには何を使えばいいのですか?

No.19224 - 2012/11/14(Wed) 10:13:17

☆ Re: アポロニウスの球 / ヨッシー

>そもそも球を示すには何を使えばいいのですか?
ベクトルで示すには、
1) ベクトルの大きさが一定であることを示す。
2) 直径の両端に当たる２点Ａ、Ｂに対して、ＡＰ⊥ＢＰを
　内積＝０を使って示す。
ITさんのは、1) で私の方針は 2) です。

ＡＢを２：√3 に内分する点をＳ，外分する点をＴとすると、
　ｓ＝ＯＳ＝(√3ａ＋2ｂ)/(2＋√3)
　ｔ＝ＯＴ＝(－√3ａ＋2ｂ)/(2－√3)
に対して、点Ｐ(ｐ) を考え、ＳＰ・ＴＰを計算します。
　ＳＰ・ＴＰ＝(ｐ－ｓ)・(ｐ－ｔ)
　　＝ｐ・ｐ＋ｓ・ｔ－(ｓ＋ｔ)・ｐ
　　＝・・・
を計算すると、
　４(ｐ－ｂ)・(ｐ－ｂ)－３(ｐ－ａ)・(ｐ－ａ)
という形に持って行けて、
　|ＡＰ|:|ＢＰ|＝2:√3
より、
　ＳＰ・ＴＰ＝０
が示せます。

No.19226 - 2012/11/14(Wed) 13:36:05

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

説明がわかりにくかったですが何とか解決しました
ありがとうございました。

No.19228 - 2012/11/14(Wed) 16:41:22

★ (No Subject) / ktdg

どのような三角形に対しても各辺上に1つずつ頂点を持つ正三角形を作ることができることを示せ。

三角形をOABとして、↑OA=↑a,↑OB=↑bとし、OA上に点Pを、OB上に点Rを、AB上に点Qを、それぞれ↑OP=s↑a,↑OR=t↑b,↑OQ=(1-u)↑a+u↑b,(s,t,uはそれぞれ、0<s<1,0<t<1,0<u<1を満たす実数)としてとったとき、|↑PR|=|↑RQ|かつ|↑PR|=|↑PQ|を満たすようなs,t,uが存在すればよい。
以下、|↑a|=a,|↑b|=bとして表します。
|↑PR|^2=|↑RQ|^2より、
a^2{s^2-(1-u)^2}+b^2{t^2-(u-t)^2}-2↑a↑b{st+(1-u)(u-t)}=0ー?@
|↑PR|^2=|↑PQ|^2より、
a^2{s^2-(1-u-s)^2}+b^2(t^2-u^2)-2↑a↑b{st+(1-u-s)u}=0ー?A
?@、?Aが成り立つための必要条件は
s^2-(1-u)^2=0 かつ t^2-(u-t)^2=0 かつ st+(1-u)(u-t)=0 かつs^2-(1-u-s)^2=0 かつ t^2-u^2=0 かつ st+(1-u-s)u=0である。

見てわかるように上の式をすべて満たすs,t,uは存在しません。
どこが間違っているのですか?

No.19212 - 2012/11/13(Tue) 20:37:16

☆ Re: / ヨッシー

>どこが間違っているのですか?
それはきっと、各係数が０でなくても、成り立つ s,t,u が
存在するということでしょう。

ただ、示すというだけなら、図のように、Ｂ、Ｃが鋭角（厳密には120度以下）
であるとき、△ＡＢＣの外に正三角形ＢＣＤを作って、Ａを
中心に点Ｄが点Ｅ（ＡＤとＢＣの交点）に一致するまで
縮小してやると、△ＡＢＣに内接する正三角形ＥＦＧが得られます。

No.19227 - 2012/11/14(Wed) 14:14:12

☆ Re: / ヨッシー

おまけ

No.19251 - 2012/11/17(Sat) 09:45:12

★ 高校　 / pine

(1)f(t)を0≦t≦1で連続な関数とする．tanx=tとおいて,
∫[0→π/4]{f(tanx)}/{(cosx)^2}dx=∫[0→1]f(t)dtであることを示せ。
(2)(1)を用いて,0以上の整数nに対し,∫[0→π/4]{(tanx)^n}/{(cosx)^2}dx
の値を求めよ．
また,
∫[0→π/4](tanx)^ndx≦1/(n+1)
を示せ．
(3)0以上の整数nと0≦x≦π/4を満たすxに対し,
[1-{(tanx)^2}+{(tanx)^4}-…+{(-1)^n･(tanx)^2n}]/{(cosx)^2}=1-{(-1)^(n+1)}{(tanx)^(2(n+1))}
であることを示せ．
(4)(2)と(3)を用いて,lim_n→∞_?納k=0→n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}の値を求めよ．

No.19211 - 2012/11/13(Tue) 20:23:16

☆ Re: 高校　 / X

(1)
置換積分の手法そのものを実行して下さい。

(2)
前半)
(1)の結果を使うと
∫[0→π/4]{{(tanx)^n}/(cosx)^2}dx=1/(n+1)
後半)
0≦x≦π/4において
1≦1/(cosx)^2
∴{(tanx)^n}≦{(tanx)^n}/(cosx)^2
∴∫[0→π/4]{(tanx)^n}dx＜∫[0→π/4]{{(tanx)^n}/(cosx)^2}dx
これに前半の結果を使います。

(3)
(-1)^n･(tanx)^(2n)={-(tanx)^2}^n
と変形して左辺の分子に等比数列の和の公式を適用し
更に
1+(tanx)^2=1/(cosx)^2
を用いてcosxを消去します。

(4)
(3)の結果の等式の両辺のx:0→1での定積分を取ると
Σ[k=0～n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}=1-{(-1)^(n+1)}∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx (A)
ここで
∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx＞0
ですので(A)より
1-∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx＜Σ[k=0～n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}＜1+∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx
更に(2)の後半の結果を使うと
1-1/(2n+3)＜Σ[k=0～n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}＜1+1/(2n+3)
これにはさみうちの原理を使い、求める値は1となります。

No.19215 - 2012/11/13(Tue) 21:29:27

★ 高校　不等式 / pine

(1)すべての実数xに対して,次の不等式が成り立つことを示せ。
e^-x^2≦1/(1+x^2)
(2)次の不等式が成り立つことを示せ。
(e-1)/e＜∫0→1e^-x^2＜π/4

nが奇数のとき、
S＝n＋(n＋1)^2＋(n＋2)^3
は16の倍数であることを示せ。

No.19210 - 2012/11/13(Tue) 20:09:57

☆ Re: 高校　不等式 / X

前半)
(1)
e^(-x^2)≦1/(1+x^2)⇔1+x^2≦e^(x^2)
⇔e^(x^2+1)-e(x^2+1)≧0
そこで
f(t)=e^t-et
とおいてf(t)の増減を調べることにより
t≧1においてf(t)≧0
であることを証明します。

(2)
e^(-x^2)-e^(-x)={e^(-x^2)}{1-e^(x^2-x)}
={e^(-x^2)}{1-e^{x(x-1)}}
∴0≦x≦1において
e^(-x^2)-e^(-x)≧0 (A)
(A)と(1)の結果から
0≦x≦1において
e^(-x)≦e^(-x^2)≦1/(1+x^2)
∴∫[0→1]{e^(-x)}dx＜∫[0→1]{e^(-x^2)}dx∫[0→1]＜∫[0→1]dx/(1+x^2)
後は左辺と右辺の積分を計算します。

No.19213 - 2012/11/13(Tue) 20:49:24

☆ Re: 高校　不等式 / pine

後半お願いします

No.19247 - 2012/11/15(Thu) 22:47:41

☆ Re: 高校　不等式 / X

後半)
S[k]=2k-1+4k^2+(2k+1)^3 (k=1,2,…)
と置くと
(i)k=1のとき
S[k]=32
∴S[k]は16の倍数
(ii)
S[k+1]-S[k]=8(3k^2+7k+4)
(注：途中計算が煩雑で間違ってるかもしれないですので
チェックお願いします。)
=8(3k+4)(k+1)
=8{3(k+1)+1}(k+1)
これはkの偶奇によらず16の倍数ですので
S[k]が16の倍数ならばS[k+1]は16の倍数。

(i)(ii)から数学的帰納法によりS[k]は16の倍数ですので
命題は成立します。

No.19250 - 2012/11/16(Fri) 22:25:40

★ 証明問題の添削(記述不足などの指摘)お願いします / Xex(3年)

半径1の円周上に異なる3点A,B,Cがある。この時AB^2+BC^2+CA^2>8ならば三角形ABCは鋭角三角形であることを証明せよ。
(証明) Aを位置ベクトルの基準点とし、A→B=b, A→C=cとする。(A→BはベクトルABという意味)
|A→B|^2+|A→C|^2+|B→C|^2=|b|^2+|c|^2+|c-b|^2=2(|b|^2+|c|^2)-2b・c>8
つまり(|b|^2+|c|^2)-b・c-4>0……＊(前提条件)
|b|^2+|c|^2-|b|*|c|*cosθ-4>0[θ=角BAC]
背理法を用いる。
i)cosθ=0の時、sinθ=1正弦定理より|c-b|/sinθ=2 |c-b|^2=4 内積が0なので|b|^2+|c|^2=4　これとb・c=0を＊に代入すると0>0となり、矛盾が発生。（三角形ABCが直角三角形)
ii)cosθ<0の時、sinθは正である。|c-b|^2<4 |b|^2+|c|^2-2b・c<4 |b|^2+|c|^2-b・c<4+b・c　両辺から4を引いて左辺を＊にすると＊<4+b・c-4 ＊<b・c ここでb・cは負なので、＊の条件に反する。
i),ii)よりcosθ≦0の時、矛盾が生じる。
iii)cosθ>0の時、ii)と同様の式が導け、[|c-b|^2<4 |b|^2+|c|^2-2b・c<4 |b|^2+|c|^2-b・c<4+b・c　両辺から4を引いて左辺を＊にすると＊<4+b・c-4 ＊<b・c ]矛盾しないのでθは鋭角となる。
同様にB,Cを基準にしても同じことが言えるから三角形ABCは鋭角三角形である。QED

No.19206 - 2012/11/12(Mon) 20:54:26

☆ Re: 証明問題の添削(記述不足などの指摘)お願いします / X

(|↑b|^2+|↑c|^2)-↑b・↑c-4＞0⇒cosθ＞0
を背理法で示すのであれば仮定するのはi)ii)の場合で
iii)は不要です。
それ以外は問題ないと思います。

No.19208 - 2012/11/12(Mon) 21:47:08

☆ Re: 証明問題の添削(記述不足などの指摘)お願いします / Xex(3年)

ありがとうございました

No.19232 - 2012/11/14(Wed) 17:26:24

★ 空間ベクトル　高２数Bの問題です / mai

わかりません(>_<)お願いします。

四面体ABCDにおいて、△ABCと△ABDは正三角形であり、ACとBDは垂直である。次のことをベクトルを用いて証明せよ。

(1)BCとADも垂直である。

(2)四面体ABCDは正四面体である。

No.19197 - 2012/11/11(Sun) 14:10:31

☆ Re: 空間ベクトル　高２数Bの問題です / ヨッシー

ｂ＝ＡＢ、ｃ＝ＡＣ、ｄ＝ＡＤと置きます。
|ｂ|＝ｋと置くと、条件より、
|ｃ|＝|ｄ|＝ｋ
ｂ・ｃ＝ｂ・ｄ＝(1/2)ｋ²

また、ＡＣ⊥ＢＤより、
ＡＣ・ＢＤ＝ｃ・(ｄーｂ)
　＝ｃ・ｄーｃ・ｂ＝０
より、
　ｃ・ｄ＝ｃ・ｂ＝(1/2)ｋ²

(1)
　ＢＣ・ＡＤ＝(ｃ－ｂ)・ｄ
　＝ｃ・ｄ－ｂ・ｄ
　＝(1/2)ｋ²－(1/2)ｋ²＝０
よって、ＢＣ⊥ＡＤ

(2)
△ＡＣＤにおいて、
　ＡＣ＝ＡＤ＝ｋ
　cos∠ＣＡＤ＝(ＡＣ・ＡＤ)／(|ＡＣ|・|ＡＤ|)＝1/2
よって、∠ＣＡＤ＝60° となり、△ＡＣＤは正三角形。
よって、ＣＤ＝ｋとなり、四面体ＡＢＣＤは、すべての辺の長さが
等しいので、正四面体である。

以上です。

（太字はベクトルを表します)

No.19201 - 2012/11/11(Sun) 15:27:53

☆ Re: 空間ベクトル　高２数Bの問題です / mai

ありがとうございます！！
とても勉強になりました(^O^)

No.19203 - 2012/11/11(Sun) 17:25:34

★ 高3 相加平均と相乗平均の関係 / ktdg

長さが1の線分ABを直径とする半円の弧AB上を点Pが動くとき、1/3AP+√3/BPの最小値を求めよ。

AP>0,BP>0なので、相加平均と相乗平均の関係から、1/3AP+√3/BP≧2√(1/√3APBP)
よって、AP×BPが最大となるとき、1/3AP+√3/BPは最小となる。
AP=xとおくと、三平方の定理から、BP=√(1-x^2) (0<x<1)
よってAPBP=√(x^2-x^4)
x^2-x^4=f(x)とおき増減をしらべると、x=1/√2で最大値1/4をとる。
従ってAPBPの最大値は1/2で、このとき1/3AP+√3/BPは最小値2√(2/√3)をとる。

答えは8/3です。どこが間違っているのか教えてください。

No.19191 - 2012/11/10(Sat) 14:05:47

☆ Re: 高3 相加平均と相乗平均の関係 / angel

> 相加平均と相乗平均の関係から、1/3AP+√3/BP≧2√(1/√3APBP)

これは正しいです。しかし、

> よって、AP×BPが最大となるとき、1/3AP+√3/BPは最小となる。

ここが間違いです。なぜならば、元の相加平均・相乗平均の不等式の等号成立と、AP×BP最大とが同時に成立する保証がないからです。
※もちろん、同時に成立するなら、それをもって「最小値」と言えるのですが。

なので、今回のようにAP×BPが変化する状況で、相加平均・相乗平均の関係を使うのは、あまり上手くいかない方法だと思った方が良いです。

ではどう解くかというと…。
三角関数を使って、微分で増減を調べれば取り敢えず解けますね。他の方法は今のところ思いつきません。

No.19192 - 2012/11/10(Sat) 14:36:17

☆ Re: 高3 相加平均と相乗平均の関係 / ktdg

よくわかりました。
ありがとうございます。

No.19194 - 2012/11/10(Sat) 18:05:58

★ ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

対象学年　無所属
→はベクトルを表し、
Ｅは単位行列を、λは固有値など
とします

行列Ａ
-1,1,2
0,-1,0
0,0,-1
のｎ乗を求めたいのですが

Ａ－λＥ＝Ｔとおくと
△Ｔ＝０⇔λ＝－１
λ＝－１のときのＴをＴ１とおくと
Ｔ１（→ｘ）＝→０
→ｘ＝（α１、α２、α３）とすると
α２＝－２α３より
→ｘ＝（ｋ、-2L、L)（ｋ、Ｌ）は（０，０）以外の任意定数
より→ｘ＝（０、－２，１）とする

次に
Ｔ１（→ｘ１）＝→ｘ・・※
→ｘ１＝（β１、β２、β３）とすると
β２＝－２β３
まではいいのですが、
※の両辺を比較すると
０＝－２
０＝１となってしまいます
これは一体何故なのでしょうか？
どこで間違ってしまったのでしょうか。
独学ゆえに誰にも聞けずに困っています。
どなたかお助けください。よろしくお願いします

No.19175 - 2012/11/08(Thu) 23:44:12

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

どんな行列でもジョルダン標準形に出来るわけではないのですか？またその場合Ａのｎ乗はどのようにして求めればよいのでしょうか？

No.19182 - 2012/11/09(Fri) 20:54:36

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

行列は見た目どおりに表記しています
（１，２）成分は１
（１，３）成分は３という風に

No.19184 - 2012/11/09(Fri) 21:11:27

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

行列は見た目どおりに表記しています
（１，２）成分は１
（１，３）成分は２という風に

No.19185 - 2012/11/09(Fri) 21:12:16

☆ Re: ジョルダン標準形 / angel

ジョルダン標準形については、次のサイトが分かりやすいと思います。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/lin0.html

で、今回の場合、
　Ｔ1・ｘ = ｏ
なるベクトルｘを求める所で、
　ｘ=t(1 0 0),t(0 -2 1)
　※tは転置-transposed-のこと。単に縦のベクトルが書けないので横書きにするため、tを添えています
の二次元分の解が見つかります。
なので、Ｔ1・ｙ=α・t(1 0 0) もしくはＴ1・ｙ=α・t(0 -2 1) のいずれかを解くことになります。( αは非ゼロの任意の数 )
この時点ではどちらが解けるか分かりませんが、計算すると前者の方でｙ=t(0 p q) ( p,qは任意 ) という解が見つかります。p,qの組は(0,0)以外なら何でも良いのですが、既に見つかっているベクトルと直交するモノの方が計算し易いことを考えると、ｙ=t(0 1 2) を選ぶのが良さそうです。

No.19187 - 2012/11/10(Sat) 01:54:11

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

そのサイトは知っていますが、どうも私の知っているジョルダン標準形の求め方と全く違うようなので、まず今知ってるとき方ができるようになってから挑戦したいと思います。

行列Ａ
-1,1,2
0,-1,0
0,0,-1

Ａ－λＥ＝Ｔとおくと
△Ｔ＝０⇔λ＝－１
λ＝－１のときのＴをＴ１とおくと
Ｔ１（→ｖ１）＝→０・・?@
→ｖ１＝（α１、α２、α３）とすると
α２＝－２α３より
→ｖ１＝ｋ（１、０，０）＋Ｌ（０，-2、１)
で、
（１，０，０）、（０、－２、－１）はともに?@の式を満たし一次独立（に偶然なることが知られている）ので
→ｖ＝（１，０，０）または→ｖ＝（０，ー２、１）
であり
ｖ１＝（１，０，０）、ｖ２＝（０，２、－１）とすると
次に
Ｔ１（→ｖ３）＝→ｘ（→ｘ＝→ｖ２か→ｖ１のどっちか）・・※
→ｖ３＝（β１、β２、β３）とすると
β２＝－２β３
→ｘ＝→ｖ２として※の両辺を比較すると
０＝－２
０＝１となって矛盾するので
→ｘ＝→ｖ１
よって→ｖ３＝m(1,0,0)+n(0,1,0)となり
→ｖ３＝（１，０，０）or(0,1,0)
変換行列Ｐ＝（→ｖ２　→ｖ１　→ｖ３）
＝
0,1,●
2,0、●
-1,0、●

Ｐ^(-1)AP=
-110
0-11
00-1

上記の●がわかりません（つまりｖ３は（１，０，０）or(0,1,0)のどちらを採用したらいいのか分かりません）

よろしくおねがいします

No.19188 - 2012/11/10(Sat) 12:06:47

☆ Re: ジョルダン標準形 / angel

んー。やっている計算は変わらないはずですけどね…。
ひょっとして最小多項式云々の話の所でしょうか。それは「ジョルダン標準形がどのような形になるか」を調べるためにやっている所なので、変換行列を実際に求める話とはちょっと別ですね。でもとても重要な所です。
独学で行き詰ったのであれば、しっかりそのサイト ( 別の所でも良いけれど ) の内容をまず読み解いてからの方が良いと思いますけど。

で、ご質問の内容ですが、
> 上記の●がわかりません（つまりｖ３は（１，０，０）or(0,1,0)のどちらを採用したらいいのか分かりません）

まず計算間違いです。悩むならせめて (0,1,0) or (0,0,1) のはずです。
で、これについては既に書いたとおり

> 計算すると前者の方でｙ=t(0 p q) ( p,qは任意 ) という解が見つかります。p,qの組は(0,0)以外なら何でも良いのですが、既に見つかっているベクトルと直交するモノの方が計算し易いことを考えると、ｙ=t(0 1 2) を選ぶのが良さそうです。

となります。
※p:q=-2:1 の組もダメなのは先ほどは触れていませんでした。申し訳ありません。

それから、最終的に得られるジョルダン標準形が違います。
　-1 1 0
　0 -1 1
　0 0 -1
ではなくて
　-1 0 0
　0 -1 1
　0 0 -1
になります。( 変換行列 P=(v2 v1 v3) とした場合 )
この理由は、それこそ最初に挙げたサイトで説明してあります。

No.19190 - 2012/11/10(Sat) 13:57:05

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

回答有難う御座います

ｖ３の計算はあっていると思いますが
Ｔ１（→ｖ３）＝→ｖ１を解くと
自由度２かつβ２＋２β３＝１だから
→ｖ１＝ｍ（１，０，０）＋ｎ（０，１，０）（β3＝０とするとβ２＋２・０＝１）
だから（１，０，０）か（０，１，０）が固有ベクトルとして変換行列に使える。しかしどちらを使ったらよいのか、あるいはどちらでもよいのか、という話です。

なるほど一度に固有値が二つでるパターンではジョルダン標準形は
-1 0 0
0 -1 1
0 0 -1
になるようですね

No.19193 - 2012/11/10(Sat) 15:00:04

★ (No Subject) / ｃｐ８

ジョルダン標準形にした行列があるのですが、それのｎ乗ってのはどうやって求めればいいのでしょうか？

No.19157 - 2012/11/07(Wed) 21:49:28

☆ Re: / ｃｐ８

行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（二つ目のλ１の上の成分は１）
行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（２つの目のλ１の上、λ２の上の成分が１）
の２パターンについて教えてください。
行列の説明はＰＣ上ではかなりやりにくいとは思いますがよろしくお願いします

No.19168 - 2012/11/08(Thu) 21:19:14

☆ ジョルダン標準形のn乗 / angel

行列を文字で表すのは難しいので、行列の数式を図にして添付しました。そちらと見比べながら読んでください。

で、結局のところ、ジョルダン標準形は「ジョルダンセル」の直和なので、そのn乗はそれぞれのジョルダンセルのn乗の直和になります。これは添付の数式の(1)を見た方が早いですね。

そうすると、ジョルダンセルのn乗がどうなっているか、そこさえ分かれば後はつなげるだけで良い訳です。ジョルダンセルのn乗の例としては、添付の数式の(2)があります。
そうすると、cp8さんの挙げた最初のパターンについては、添付の数式(3)で計算できることが分かります。
※後のパターンは、そもそもジョルダン標準形になっていないように見えるので、今回は割愛しました。

最後に。ではジョルダンセルのn乗の一般形は、というところを計算すると、添付の数式(4)のようになるはずです。なぜこうなるかは、実際に計算して、帰納法で確かめてみてください。
ちなみに、数式中のJ(λ,k)というのは k次正方行列のジョルダンセルを表しています。
なお、この結果は n≧k-1 の場合に成立することに注意してください。nが小さい場合は、右上の方に0の要素が残る結果になります。

No.19189 - 2012/11/10(Sat) 12:36:39

★ 微分 / 工学部2年

問題
3次方程式x^3-3x^2-9x+a=0が異なる2つの正の解をもつような定数aの値の範囲を求めよ。

答え
0<a<27

No.19154 - 2012/11/07(Wed) 19:08:21

☆ Re: 微分 / 工学部2年

解説よろしくお願いします。

No.19155 - 2012/11/07(Wed) 19:12:17

☆ Re: 微分 / X

方針を。
f(x)=x^3-3x^2-9x+a
と置くと
f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴f(x)は
極大値f(-1)=a+5
極小値f(3)=a-27
を取ります。
従ってy=f(x)のグラフとx軸との交点との関係
(グラフを描きましょう)から条件を満たすためには
f(3)＜0かつf(0)＞0
となります。

No.19156 - 2012/11/07(Wed) 20:37:26

☆ Re: 微分 / 工学部2年

すみません、よくわかりません。

No.19158 - 2012/11/07(Wed) 22:33:42

☆ Re: 微分 / ヨッシー

>グラフを描きましょう
と書かれているので、グラフを描きましょう。
ｘ＝－１で極大、ｘ＝３で極小です。
あとは、ａの値によって、グラフは上下しますが、
極値を与えるｘの値は同じです。

条件をみたすのは、何番と何番と何番ですか？

No.19160 - 2012/11/08(Thu) 09:24:57

☆ Re: 微分 / 工学部2年

2.3.4ですか？
まだいまいち理解できません。

No.19161 - 2012/11/08(Thu) 15:02:34

☆ Re: 微分 / X

条件を満たすにはy=f(x)のグラフがx軸のx＞0の部分で
２箇所交点を持つ必要があります。
とするとヨッシーさんの図のうち何番が該当しますでしょうか？。

No.19162 - 2012/11/08(Thu) 17:15:28

☆ Re: 微分 / 工学部2年

それですと3だけになりませんか？

No.19164 - 2012/11/08(Thu) 18:02:09

☆ Re: 微分 / X

その通りです。そのグラフとNo.19156の私の回答をつき合わせて
もう一度考えてみて下さい。

No.19166 - 2012/11/08(Thu) 20:14:52

☆ Re: 微分 / 工学部2年

すこし勘違いをしていましたがおかげさまでやっと理解できました。
ありがとうございます。

No.19172 - 2012/11/08(Thu) 22:24:37

★ (No Subject) / a

現在大学工学部2年生のものですわからない問題があるので解説よろしくお願いします。

問題
2曲線y=2x^2,y=x^2+1で囲まれる部分のうち、2直線y=a,y=a+1の間にある部分をy軸の周りに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。V(a)を求めよ。ただし－1<a<2

答え
-1<a<0のとき{π(a+1)^2}/4
0≦a<1のとき{π(-2a^2+2a+1)}/4
1≦a<2のとき{π(a-2)^2}/4

No.19141 - 2012/11/06(Tue) 19:15:22

☆ Re: / ヨッシー

y=a,y=a+1 と放物線の交わり方で、以下の３通りに分けます。

(1) -1＜a＜0 のとき
求める体積は　ｙ＝2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝０からｙ＝ａ＋１まで積分したものなので、
　(π/2)∫[0～a+1]ｙｄｙ＝{π(a+1)^2}/4

(2) 0≦a＜1 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝ａ＋１まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝１からｙ＝ａ＋１まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a～a+1]ydy－π∫[1～a+1](y-1)dy
　　＝{π(-2a^2+2a+1)}/4

(3) 1≦a＜2 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝２まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝ａからｙ＝２まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a～2]ydy－π∫[a～2](y-1)dy
　＝{π(a-2)^2}/4

となります。

No.19143 - 2012/11/06(Tue) 19:55:01

☆ Re: / a

ありがとうございます。
理解できました。

No.19144 - 2012/11/06(Tue) 20:37:10