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★ 確率 / 西瓜
A、B、C、Dの文字が一つずつ書かれているカードが4枚あり、この中から1枚取り出し、元に戻す。これを4回繰り返す。
この4回で取り出した文字の種類の数をＸとする。
Ｘ=2となる確率は？


解答は
２種類の文字を□、△とすると、
(1)□□□△
(2)□□△△
の場合があり、出た順番も考えると、
(1)は　4P2×(4!/3!)=48
(2)は　4C2×(4!/2!×2!)=36
よって、
(48+36)/256=21/64
とあるのですが、(1)と(2)でPとCを使い分けているのは何故なのか教えて下さい。
No.19823 - 2013/01/16(Wed) 15:26:10
☆ Re: 確率 / X
(1)の場合は２種類のカードの出る回数が異なりますので
２種類のうちどちらのカードの出る回数が多いかを考える
必要があります。
それに対し(2)の場合は２種類のカードの出る回数が同じ
ですので単に組み合わせで考えています。
No.19824 - 2013/01/16(Wed) 17:13:50
☆ Re: 確率 / らすかる
(1)は□が3個、△が1個で個数が異なるため
4つから例えばAとCを選んだ場合に
(□,△)=(A,C)の場合と(□,△)=(C,A)の場合があり、
これらは異なりますので区別が必要で、4P2という計算になります。
(2)は□と△が同じ個数ですから
(□,△)=(A,C)の場合と(□,△)=(C,A)の場合は同じパターンになり、
区別すると2重に数えてしまいますので区別せず4C2という計算になります。
No.19825 - 2013/01/16(Wed) 17:14:08
☆ Re: 確率 / IT
(2)の別計算法（質問の直接の回答ではないですが参考までに）
先頭に来る文字の種類４通り、もう一つの文字の種類３通り（この時点で２種類を区別）
先頭の文字と同じ文字の２枚目のカードの場所３通り
４*３*３＝３６通り

（別解）
２種類の文字の組み合わせそれぞれについて（取り出し方の場合の数−１種類だけの場合の数）を数える
　(4C2)*(2^4-2)=84
などの方法もあります。
No.19826 - 2013/01/16(Wed) 18:31:45
★ 確率 / 西瓜
赤玉３つ、白玉３つ、青玉４つが入った袋があり、赤玉と白玉には1、2、3の数字、青玉には1、2、3、4の数字が一つずつ書かれている。この袋から、３つの玉を同時に取り出す。
取り出した玉に書かれている数の和が5になる確率は？


解答には、
和が5になる数の組は(1、1、3)、(1、2、2)
よって、(3C2×3C1)×2=18
ゆえに、18/120=3/20
とあるのですが、
>(3C2×3C1)×2=18
がよくわかりません。説明をお願いします
No.19820 - 2013/01/16(Wed) 13:54:43
☆ Re: 確率 / ヨッシー
3Ｃ2 は、３個ある１のうち、２個を取り出す出し方
3Ｃ1 は、３個ある３のうち、１個を取り出す出し方　です。
(1,2,2) についても、数字が変わっただけで、計算は、(1,1,3) の
場合と同じなので　×２　です。
No.19821 - 2013/01/16(Wed) 14:21:27
☆ Re: 確率 / 西瓜
なるほど！
わかりました、ありがとうございます！
No.19822 - 2013/01/16(Wed) 15:09:30
★ 整数問題 / ポテトサラダの具はキュウリ
２と５以外の素数について
（素数）×□＝９９９…９
と右辺は各位に９が並ぶ整数
が成り立つらしいのですが
その理由をできれば中高レベルで教えてください。
No.19815 - 2013/01/16(Wed) 12:07:51
☆ Re: 整数問題 / らすかる
雑な説明
2,5以外の素数をpとすると1/pは循環小数となり、
循環節の長さをnとすると1/p=m/(10^n-1) と表せます。
このとき pm=10^n-1 です。

もうちょっとまともな説明
2,5以外の素数をpとすると10^nはpで割り切れませんので、
割ると余りが1〜p-1のどれかになります。
10^1をpで割った余り
10^2をpで割った余り
10^3をpで割った余り
・・・
10^pをpで割った余り
のp個を考えると、余りはp-1通りしかありませんので、
少なくとも一組、余りが同じになるものがあります。
s＜tとして10^s÷pと10^t÷pの余りが同じだったとすると
10^t-10^sはpで割り切れます。つまり10^t-10^s=pm と書けます。
10^t-10^s=pm から
10^s{10^(t-s)-1}=pm
左辺は10^sで割り切れますから、mは10^sで割り切れます。
よって 10^(t-s)-1=p・(m/10^s)
となりますので、pにm/10^sを掛けると9が並ぶ数になります。
No.19817 - 2013/01/16(Wed) 12:47:37
☆ Re: 整数問題 / ポテトサラダの具はきゅうり
たびたびすみません。

> 2,5以外の素数をpとすると1/pは循環小数となり、
> 循環節の長さをnとすると

「1/p=m/(10^n-1) と表せます。」

「」はなぜなのでしょうか。教えていただけると助かります。
No.19831 - 2013/01/17(Thu) 09:23:14
☆ Re: 整数問題 / らすかる
例えば
0.378378378378378378… という小数は 378/999 と表せることはご存知ないですか？
直感的には次のように考えられます。
x=0.378378378378378378… とすると
1000x=378.378378378378378…
1000x-x=378
999x=378
∴x=378/999
等比級数の和で考えれば、きちんと示せます。
No.19832 - 2013/01/17(Thu) 10:18:09
☆ Re: 整数問題 / ポテトサラダの具はキュウリ
ラスカル様

２度目のご質問の解答は知っていましたが、
思考が結びついていませんでした。
ありがとうございました。
No.19833 - 2013/01/17(Thu) 12:56:42
★ tanの積分 / nono
∫[0→π/2]dθ/√tanθ
を解け。

の解説をお願いいたします。
No.19814 - 2013/01/16(Wed) 08:54:46
☆ Re: tanの積分 / ぽけっと
愚直にやるなら、x=√(tanθ)と変数変換。
あとは頑張って部分分数分解などなど。
No.19818 - 2013/01/16(Wed) 12:55:37
☆ Re: tanの積分 / ぽけっと
x=√(tanθ)と変換すると1/(1+x^4)のR全体での積分になるので、複素積分になおして留数定理を使うのがはやいですね。すみません
No.19819 - 2013/01/16(Wed) 13:17:14
★ 上限が存在しない例 / ハオ
画像にて失礼します。
添付画像の最後の行にあります
「ここでε＞0は任意だからs^2≦2となる」は感覚的には分かるのですが証明が必要と思い、証明を書いてみたのですが何か間違っているところや論証不十分な点がございましたらご指導お願い致します.
No.19806 - 2013/01/15(Tue) 00:00:36
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
その証明です.

これは、ある参考書を写している途中なのですが「自分が本当にそう言えるのかな？」と疑問に思ったら証明を書こうとするのは愚かでしょうか？
つまり、参考書では自明としているのだから自明なのであって、その自明の事実を自明と気付かない僕は頭が悪いのでしょうか？
というか自明ってどこまでが自明なのでしょうか・・・
漠然とした質問で申し訳ないのですが、何かアドバイス頂けたら幸いです
No.19807 - 2013/01/15(Tue) 00:06:51
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
・ハオさんの証明には意味不明な記述があります。
{ s^2 | 0<s^2<2+2sε-ε^2 } = ・・・
という等号に関してですが、左辺はεに依存する集合なのに右辺がそうでないのはおかしいです。言いたいことが分からなくはないですが・・・

・supAがQ内に存在しないことの証明ですが、
「s>s-ε>0となるε>0を取れば」の部分は「s>s-ε>0となる有理数ε>0を取れば」でないとおかしいです。s-εが有理数とは限らない実数の場合は、s-ε<aを満たすAの元aの存在はすぐには出て来ませんので。（もちろん、有理数の稠密性を使えばそのようなaの存在を示すことはできますが、この証明法の場合はεは有理数の中からとるべきです。参考書を写したのなら参考書のミスだと思います。）

・"任意のs>s-ε>0を満たす有理数εに対して(s-ε)^2<2が成り立つならs^2<2"の証明は、ε=1/n (nは自然数)とおいてn->∞の極限を取ればいいです。このとき、
「実数列a_nが a_n < c (∀n)を満たし、lim a_nがaに収束するなら、a≦c」
というような事実を使っています。必要なら証明は考えてみて下さい。


>これは、ある参考書を写している途中なのですが「自分が本当にそう言えるのかな？」と疑問に思ったら証明を書こうとするのは愚かでしょうか？

いいえ。

>つまり、参考書では自明としているのだから自明なのであって、その自明の事実を自明と気付かない僕は頭が悪いのでしょうか？

いいえ。今回の質問内容に関しても、そこまで自明だとは思いません。直感的には正しそう、くらいまではすぐわかると思いますが、ちゃんと示そうと思うと上のような議論が必要です。
No.19808 - 2013/01/15(Tue) 03:15:29
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
ぽけっとさん丁寧なご指導有難う御座います.
>εは有理数の中からとるべきです

なるほど.εは実数でもいいが議論が込み入ってしまう、それに関しての証明が省かれているのならばεは有理数としてしまった方がいい　という事でしょうか？

>(s-ε)^2<2が成り立つならs^2<2"の証明

極限を取ればよいという事は分かりました.
ここで少し疑問なのですが、この参考書ではまだ極限の概念が出てきていません.(授業では習ったので知ってはいます)
参考書的に極限の定義などを確認していないのに、極限を考えなければ証明できないという事はよくある事なのでしょうか？
つまりまだ学習していない事を使わなければならないのに、その事には触れず無視して突き進むというのはよくあるのでしょうか？

>直感的には正しそう、くらいまではすぐわかると思いますが、ちゃんと示そうと思うと上のような議論が必要です。

なるほど.これからも自分で本当に言えるのか分からない場合は証明を書く態度を頑張って貫きたいと思います.

>実数列a_nが a_n < c (∀n)を満たし、lim a_nがaに収束するなら、a≦c
この証明を書いてみたのですがなにか間違っているところや、おかしなところはありますでしょうか？
もしありましたらご指導頂けると幸いです.
No.19809 - 2013/01/15(Tue) 10:11:45
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
>なるほど.εは実数でもいいが議論が込み入ってしまう、それに関しての証明が省かれているのならばεは有理数としてしまった方がいい　という事でしょうか？

その通りです。

>つまりまだ学習していない事を使わなければならないのに、その事には触れず無視して突き進むというのはよくあるのでしょうか？

うーん、難しいところですが、"よくある"とはいいませんが、"なくはない"というところでしょうか。
ちなみに極限を習う前で使いたくないというのなら、今回の(s-ε)^2<2⇒s^2≦2を極限操作なしで示すこともできます。
「実数列a_nがa_n<cを満たし・・・」
の証明同様背理法を使えばいいです。
ちなみにハオさんが書かれたこの事実の証明はそれでいいと思います。
No.19810 - 2013/01/15(Tue) 11:12:16
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
>うーん、難しいところですが、"よくある"とはいいませんが、"なくはない"というところでしょうか
なるほどです.少し位分からなくても取り敢えず先に進んでまた振り返ってみるというのも必要なんだなと思いました.

>ちなみに極限を習う前で使いたくないというのなら、今回の(s-ε)^2<2⇒s^2≦2を極限操作なしで示すこともできます。
少し考えてみたのですが、この様な(添付画像)証明で合っていますでしょうか？
どこか間違っているところや論証不十分なところがありましたらご指摘頂けると幸いです.
No.19811 - 2013/01/15(Tue) 16:04:06
☆ Re: 上限が存在しない例 / ぽけっと
正しいと思います。

ただ僕が勘違いしていなければ
ε=min(s, (s^2-2)/(2s))
で十分で、この方が自然な気がしますが、どこから3がでてきたのでしょうか。
（繰り返しますが）それでも間違いではないと思います。
No.19812 - 2013/01/15(Tue) 18:20:11
☆ Re: 上限が存在しない例 / ハオ
ぽけっとさんお付き合い下さり有難う御座います。
3sで割ったのは天下り的なのですが
s^2-3sεにε=(s^2-2)/3sを入れた際綺麗に2だけ残るから3sで割りました.
No.19813 - 2013/01/15(Tue) 22:52:51
★ 不定積分 / Xex
∫(x^2+a^2)^(-3/2)dxをx=atanθと置き換えることで求めよ。ただしaは0より大きい実数で、「-π/2<θ<π/2とする」。
この問題でθの範囲はどういう意味があるのですか?ちなみに答えはx/(a^2√(a^2+x^2))+C [Cは積分定数]となりました。
No.19803 - 2013/01/14(Mon) 14:17:22
☆ Re: 不定積分 / X
xとθの対応関係を1対1にするために必要になります。
不定積分では表には見えませんが、これが定積分になると
積分範囲の対応関係に効いてきます。
No.19804 - 2013/01/14(Mon) 19:39:33
★ ベクトル / 工学部2年
平行六面体ABCD-EFGHにおいて，→AB=→a,→AD=→b,→AE=→cとするとき，対角線AGは△BDEの重心を通ることを証明せよ．

解説お願いします．
No.19800 - 2013/01/14(Mon) 12:14:50
☆ Re: ベクトル / X
△BDEの重心をJとすると
↑AJ=(↑AB+↑AD+↑AE)/3=(↑a+↑b+↑c)/3 (A)
一方平行四面体ABCD-EFGHにおいて
↑AG=↑AB+↑BC+↑CG=↑AB+↑AD+↑AE=↑a+↑b+↑c (B)
(A)(B)より
↑AJ=(1/3)↑AG
よって問題の命題は成立します。
No.19801 - 2013/01/14(Mon) 12:52:47
☆ Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19805 - 2013/01/14(Mon) 22:41:52
★ 面積 / 工学部2年
曲線y=xe^x^2について次の問いに答えよ．
(1)点(1,e)における接線の方程式を求めよ．答y=3ex-2e
(2)その曲線と(1)で求めた接線とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ．答e/3-1/2

(1)はできたのですが(2)がわかりません．
教えてください．
No.19795 - 2013/01/13(Sun) 17:07:49
☆ Re: 面積 / X
まずは
y=xe^(x^2) (A)
のグラフを描き、(1)の接線との位置関係を
調べましょう。

(A)より
y'=(2x^2+1)e^(x^2)＞0
よって(A)は単調増加の曲線であることが分かります。
更に(A)が原点を通ることと
0≦x≦1
において
xe^(x^2)-(3ex-2e)=2e*x{e^(x^2)-1}＞0
つまり(A)のグラフは(1)の接線の上側にあること
および(1)の接線とx軸との交点のx座標が2/3であることに
注意すると、求める面積をSとして
S=∫[0→1]{xe^(x^2)}dx-∫[2/3→1](3ex-2e)dx
=…
No.19796 - 2013/01/13(Sun) 21:56:28
☆ Re: 面積 / 工学部2年
少し勘違いをしていました。
ありがとうございました。
No.19797 - 2013/01/13(Sun) 22:32:36
★ (No Subject) / pocco
I=∫∫∫D x^2√(x^2+y^2+z^2)dxdydz
D=(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦9 z≧0

の問題を極座標に変換して解いていたら
∫[-π/2→π/2]sin^3(θ)の部分が出てきて0になってしまうのですが、何がおかしいのでしょうか
No.19792 - 2013/01/12(Sat) 23:28:32
☆ Re: / X
z=rcosθ
としてθを取っているのであれば
z≧0
ですので
θ:-π/2→π/2
ではなくて
θ:0→π/2
です。
No.19794 - 2013/01/13(Sun) 14:19:51
☆ Re: / pocco
cosθが0以上になる範囲ってθ:-π/2→π/2
ではないのでしょうか・・・
No.19798 - 2013/01/13(Sun) 23:39:04
☆ Re: / X
z=rcosθ
として球座標をとっている場合、取れるθの範囲は
0≦θ≦π
で定義されます。
教科書などで球座標の項目を見直してみて下さい。
No.19802 - 2013/01/14(Mon) 12:59:38
★ 確率 / 西瓜
１、赤玉2個と白玉4個が入った袋から一球を取り出し色を見て袋に戻す。この試行を5回繰り返す。5回目に3度目の白玉が出る確率は？

解答
4Ｃ2(2/6)^2(4/6)^4×(4/6)



２、赤玉2個と白玉4個が入った袋から一球を取り出し色を見る。ただし、取り出した玉は袋に戻さないとする。このとき5回目に3度目の白玉が出る確率は？

解答
(2Ｃ2×4Ｃ2)/6Ｃ4





１と２で、何故このような解答の違いがあるのでしょうか？
説明をお願いします。
No.19790 - 2013/01/12(Sat) 17:37:54
☆ Re: 確率 / ヨッシー
起こる確率が違うからです。
1. では、１回目も２回目も赤の出る確率は1/3、白は2/3 ですが、
2. では、
１回目に赤を引くと、２回目は赤1/5, 白4/5
１回目に白を引くと、２回目は赤2/5, 白3/5
となります。
ただし、１回目に赤とか２回目に白とか場合分けするのは
大変なので、上の式では、４回目までに取った玉を、順番を考えずに
組合せで確率を求めています。

ちなみに、1. の解答は
4Ｃ2(2/6)^2(4/6)^2×(4/6)
ですね。
No.19793 - 2013/01/13(Sun) 07:21:42
☆ Re: 確率 / 西瓜
間違いの指摘までしていただいて、ありがとうございます！
とても助かりました。
No.19799 - 2013/01/14(Mon) 08:21:10
★ 数列！？ / ＿＿＿＿＿＿＿
現中３です。
高校入試の過去問なんですけど解説を見てもイマイチ理解を深めることができなかったのでわかりやすくお願いします。

答え
（１）最も小さい数：37　2番目に小さい数：37037
（２）12桁
（３）18桁

問題
1、11、111、1111、・・・・・のように各位に同じ数字１が並ぶ自然数を「１-並列数」と呼ぶことにする。

ある自然数に適当な自然数をかけて1−並列数を作ることを考える。例えば、次に示す（例）のように、7に15873をかければ6桁の1−並列数を作ることができる。

（例）７×15873＝111111

次の問いに答えよ。

（１）３に適当な自然数をかけて1−並列数を作った。この時、かける数として考えられるもののうち最も小さい数と２番目に小さい数を求めよ。

（２）7に適当な自然数をかけて1−並列数を作った。（例）はそれらのうち、最も小さい１並列数である。２番目に小さい１並列数は、何桁の数であるか。

（３）693に適当な自然数をかけて1−並列数を作った。それらの１−並列数のうち、もっと小さい1−並列数は、何桁の数であるか。
No.19786 - 2013/01/11(Fri) 23:22:37
☆ Re: 数列！？ / ヨッシー
(1)３に掛けたということは、その結果は３の倍数のはずです。
３の倍数かどうかは、各位の数を足して３の倍数になれば良いので、
（例：１２３は１＋２＋３＝６　なので、３で割り切れる)
一番小さい３の倍数の１−並列数は１１１，２番目は１１１１１１です。
１１１１１１の時掛けた数は　111111÷３＝37037
(2)
111111（1が6個：以下カッコで１の数を表します）は、
最も小さい７の倍数の１−並列数なので、
もし、1111111(7) が７の倍数だとすると
　1111111(7)＝1111110＋1
より、1 は７の倍数となり、111111(6) が最小の７の倍数であることに
矛盾します。
同じ理由で、11111111(8), 111111111(9), 1111111111(10), 11111111111(11) は、
７の倍数ではなく、
　111111111111(12)＝111111(6)×1000001
が２番目に小さい７の倍数です。　答えは12桁

(3)
693＝7×9×11 なので、これにある自然数を掛けた数は、
７，９，１１の倍数です。

(2) と同じ理由で、７の倍数の１−並列数は、
6桁, 12桁, 18桁・・・と、桁数は6の倍数になります。
９で割れる数は、各位の数を掛けると９で割れるので、
９で割れる１−並列数は、9桁, 18桁・・・と9の倍数の桁数です。
11 については、11, 1111, 111111 のように偶数の桁数の１−並列数が
11で割れます。
以上より、最小の693の倍数の１−並列数は１８桁となります。
No.19787 - 2013/01/11(Fri) 23:58:02
☆ Re: 数列！？ / ＿＿＿＿＿＿＿
> (1)３に掛けたということは、その結果は３の倍数のはずです。
> ３の倍数かどうかは、各位の数を足して３の倍数になれば良いので、
> （例：１２３は１＋２＋３＝６　なので、３で割り切れる)
> 一番小さい３の倍数の１−並列数は１１１，２番目は１１１１１１です。
> １１１１１１の時掛けた数は　111111÷３＝37037
> (2)
> 111111（1が6個：以下カッコで１の数を表します）は、
> 最も小さい７の倍数の１−並列数なので、
> もし、1111111(7) が７の倍数だとすると
> 　1111111(7)＝1111110＋1
> より、1 は７の倍数となり、111111(6) が最小の７の倍数であることに
> 矛盾します。
> 同じ理由で、11111111(8)、111111111(9)・・・11111111111(11) は、
> 　111111111111(12)＝111111(6)×1000001
> が次に小さい７の倍数です。　答えは12桁
>
> (3)
> 693＝7×9×11 なので、これにある自然数を掛けた数は、
> ７，９，１１の倍数です。
>
> (2) と同じ理由で、７の倍数の１−並列数は、
> 6桁, 12桁, 18桁・・・と、桁数は6の倍数になります。
> ９で割れる数は、各位の数を掛けると９で割れるので、
> ９で割れる１−並列数は、9桁, 18桁・・・と9の倍数の桁数です。
> 11 については、11, 1111, 111111 のように偶数の桁数の１−並列数が
> 11で割れます。
> 以上より、最小の693の倍数の１−並列数は１８桁となります。



ありがとうございます。こんなに早く解説が来るとは思ってませんでした！！
また、質問させてもらいます。
これからもよろしくお願いします。
No.19788 - 2013/01/12(Sat) 00:06:17
☆ Re: 数列！？ / ヨッシー
９の倍数のところは、
　「各位の数を掛けると」
ではなく
　「各位の数を足すと」
でした。
No.19789 - 2013/01/12(Sat) 07:39:22
★ 体積 / 工学部2年
問
次の図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
曲線y=logx,x軸，y軸，直線y=1

答2π

よくわかりません．
教えてください．
No.19783 - 2013/01/11(Fri) 21:49:24
☆ Re: 体積 / ヨッシー


図の斜線部分をｘ軸回りに回転します。
底面が半径1の円で、高さｅの円柱から、えぐれた部分を引きます。
円柱の体積は　ｅπ
えぐれた部分は　ｙ＝logｘ において、
　π∫[1〜e]ｙ^2dx　　(以下、積分区間は省略)
　＝π∫(logｘ)^2dx
　＝π∫(x)’(logｘ)^2dx
　＝π[ｘ(logｘ)^2]−π∫ｘ(2logx)(1/x)dx
　＝ｅπ−2π∫logxdx
　＝ｅπ−２π∫(ｘ)'logｘdx
　　・・・
　＝ｅπ−２π
よって、求める体積は
　ｅπ−(ｅπ−２π)＝２π
No.19784 - 2013/01/11(Fri) 22:42:47
☆ Re: 体積 / 工学部2年
いつも丁寧に教えていただきありがとうございます．
理解できました．
No.19785 - 2013/01/11(Fri) 22:48:59
★ ４か６か８か / √
もう一つお願いします。

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いくら考えても分かりませんでした。

規則性の問題で、真ん中に入る数字は
?Cか?Eか?Gのどれかです。

答えは分りません。
よろしくお願いいたします。
No.19780 - 2013/01/10(Thu) 23:49:20
☆ Re: ４か６か８か / √
つけたしです。

上記の問題は、産経新聞バラエティークイズで、
２０１２年２／２６に掲載されたもので、
かなりの難問だそうです。

すみません。
よろしくお願い致します。
No.19781 - 2013/01/11(Fri) 00:02:30
☆ お騒がせ致しました / √
やっと分りました。

このパズルの作者にメールを送ってヒントを教えて頂きました。

全ての数字を英語のスペルに変えると、「シリトリ」が、
できるように作られたようです。

だから、答えは?Gです。

「数」の規則性ばかり考えてしまって昨日から悩んでおりました。

お騒がせ致しましたｍ（＿）ｍ
No.19782 - 2013/01/11(Fri) 18:41:09
★ ３点 / √
また　教えてください。

円の大きさは３点で決まりますが、

３点が同一直線上にない限り、
どんなにデタラメに３点をとっても、
この３点は必ず同一円周上にのりますか？

よろしくお願い致します。
No.19777 - 2013/01/10(Thu) 22:53:31
☆ Re: ３点 / ヨッシー
のります。


３点ＡＢＣがあるとき、ＡＢの垂直二等分線とＢＣの垂直二等分線を
考えると、ＡＢＣが一直線上でないので、これらの垂直二等分線は、
平行にならず、必ず１点で交わります。

その点が円の中心になります。
No.19778 - 2013/01/10(Thu) 23:03:03
☆ 有り難うございました / √
ヨッシーさん　有り難うございました。

よく考えたら、
３点をとれば必ず三角形ができる。
↓
三角形ができれば必ず外接円が描ける
↓
その外接円の中心が外心なのですね。

納得しました。
有り難うございました。
No.19779 - 2013/01/10(Thu) 23:26:20
★ 交点のx座標が求められません / せれま
円上の点A，Bと、条件下で直線ABが通らない範囲

円S: x＾２＋y＾２＝４ と、
円S上の異なる2点A（a，b）、B（c，d） があり、
ab−bc ≠ 0 を満たしている。

点Aにおける接線をL（ ax＋by＝４ ）
点Bにおける接線をM、（ cx＋dy＝４ ）とする。

LとMの交点のx座標を求めよ。と言う問題があるのですがわかりません。
ax+by=4とcx+dy=4を連立すればいいんですか？
よくわかりません。
教えて下さいお願いします！
No.19772 - 2013/01/09(Wed) 03:34:57
☆ Re: 交点のx座標が求められません / ヨッシー
まず、ab-bc≠0 ではなくて、ad-bc≠0 ですね。
これは、原点をＯとするとき、ＯＡとＯＢが一直線上にない
＝同一点や直径の両端ではない＝ＬとＭは平行でない
という意味です。

さて、問題ですが、
>ax+by=4とcx+dy=4を連立すればいい
です。ｙを消去してやると

ｘ＝4(d-b)/(ad-bc)

となります。

で、
>条件下で直線ABが通らない範囲
とは、何でしょうか？
No.19773 - 2013/01/09(Wed) 05:56:04
★ 面積 / 工学部2年
次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
y^2≦x,(x+y-2)(x-y-2)≦0

画像の式がどうのような考え方で出たかわかりません．
解説お願いします．
No.19761 - 2013/01/08(Tue) 17:51:47
☆ Re: 面積 / らすかる
その問題に対して、
画像のグラフも正しくありませんし、
式も正しくありません。

（おまけに式中のカッコも対応していません。）
No.19762 - 2013/01/08(Tue) 18:24:53
☆ Re: 面積 / 工学部2年
式中のカッコが対応していないのはわかったのですが，グラフと式がわかりません．教えていただけないでしょうか．
No.19763 - 2013/01/08(Tue) 18:45:06
☆ Re: 面積 / らすかる
グラフは、直線がもう１本必要です。
今ある直線と(2,0)で直交する直線です。
そして問題の条件にあてはまる部分は
×の上と下かつ放物線の内部です。
よって式は
2{∫[1〜2](√x-(-x+2))dx+∫[2〜4](√x(x-2))dx}
となります。
No.19764 - 2013/01/08(Tue) 18:59:27
☆ Re: 面積 / 工学部2年
なぜ×の下側の面積を考えるのかわかりません．
画像の式のどこが違ってるか教えてください．
No.19767 - 2013/01/08(Tue) 23:36:04
☆ Re: 面積 / らすかる
y≧±(x-2) は誤りです。
y^2≧(x-2)^2 から
|y|≧|x-2| ですから
×の上側だけでなく下側も条件を満たします。
No.19768 - 2013/01/08(Tue) 23:44:21
☆ Re: 面積 / 工学部2年
やっと理解することができました．
本当にありがとうございました．
No.19769 - 2013/01/08(Tue) 23:47:42
★ 高3です。教えてください / はるか
原点からみて、カージオイドｒ＝a(1＋cosθ)の内側で、放物線ｒ＝a/1＋cosθの外側の部分の面積は？

答えは(3/4π＋4/3)a^2です
No.19755 - 2013/01/08(Tue) 00:37:22
☆ Re: 高3です。教えてください / ヨッシー


極座標の積分
　Ｓ＝∫ｒ2dθ
より、

１．第１象限のカージオイドの内部
　(a^2/2)∫[0〜π/2](1+cosθ)dθ
　＝a^2(3π/8＋1)
２．第１象限の放物線の内部
　ｘ＝(a^2−y^2)/2a に直してから、y=0からy=a まで積分します。

１．から２．を引いて、２倍して出来上がりです。
　
No.19757 - 2013/01/08(Tue) 06:35:57
☆ Re: 高3です。教えてください / はるか
すいません。
x＝(a^2-y^2)/2aの直し方がわかりません。
教えてください。
No.19760 - 2013/01/08(Tue) 15:22:26
☆ Re: 高3です。教えてください / ヨッシー
乱暴ですが、放物線とわかっているので、
θ＝-90°,０°, 90° において、
(0, -a), (a/2, 0), (0, a)
を通るので、これを通るｘ軸対象の放物線として求めます。

式が出たら、念のために、
　ｘ＝ａ・cosθ/(1＋cosθ)、ｙ＝ａ・sinθ/(1＋cosθ)
を代入して正しいことを確かめます。
No.19765 - 2013/01/08(Tue) 19:36:41
☆ Re: 高3です。教えてください / 豆
極座標表示での面積は
S=(1/2)∫r^2dθ　で1/2が要りますよね。

曲線r=a/(1+cosθ)　は　以下でも
分母を払って、
r+rcosθ=a
r=a-rcosθ
r=a-x＞0のもと、
2乗して、x^2+y^2=(a-x)^2
整理して、放物線の2次式となる。
No.19775 - 2013/01/09(Wed) 09:55:41
☆ Re: 高3です。教えてください / ヨッシー
あ、(1/2) 付け忘れました。

面積の計算は合っていると思います。
No.19776 - 2013/01/09(Wed) 11:10:21
★ 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
正方形ABCDがある。
辺CDを二つに分断する点Pがあり、この点Pと点Cとの距離をｔ×CDとする。
次に点Bと点Pを一つの辺とした正方形A1 B1 C1 D1を作る
(点P＝点C1)
辺C1 D1において点C1からｔ×CDの所に点C2を作り、点Bと点C2を結ぶ直線を1つの辺にもつ正方形を………

というように正方形を作っていくとき、
(１)ｔ＝1/2の時
正方形ABCDと正方形A1 B1 C1 D1の重複した面積と
正方形ABCDの面積の比を表せ。

(２)正方形ABCDと正方形A4 B4 C4 D4との重複面積を81/16倍すると正方形ABCDの面積になるとき、ｔの値を求めよ。

中学3年生ですが進学校なのですこし、高校の内容に入ってます。

きちんとした説明でなくてごめんなさい。
No.19752 - 2013/01/07(Mon) 21:57:52
☆ 追記：正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
点B＝点B1＝点B2＝点B3＝点B4
です。(全て同じ点です。)
No.19753 - 2013/01/07(Mon) 21:59:54
☆ Re: 正方形の重複部分 / ヨッシー
(1) は、

このようになるので、
正方形１６に対して、重複部１６−５＝１１　です。

ここからは確認ですが、
Ｃ1Ｃ2 は、ｔ×Ｃ1Ｄ1 ではなく ｔ×ＣＤ　なのですね？
つまり、
　ＣＣ1＝Ｃ1Ｃ2＝Ｃ2Ｃ3＝Ｃ3Ｃ4
で良いですか？

また、三角関数はＯＫですか？
No.19754 - 2013/01/07(Mon) 23:06:42
☆ Re: 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
OKです。
No.19756 - 2013/01/08(Tue) 05:50:09
☆ Re: 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
解決してないので解答が分かり次第、解説お願いします。
No.19766 - 2013/01/08(Tue) 20:47:39
☆ Re: 正方形の重複部分 / らすかる
(2)はすごく大変そうな気がするのですが、
（私がうまい解き方に気付いてないだけかも知れませんが）
問題は正しいでしょうか。
とりあえず数値計算してみたら、
t=0.330849642018879634091172778534…
という値になりました。
ちなみに、条件を満たすときは重複部分は直角三角形になるようです。
（C4はADより上にあるということです。）
No.19771 - 2013/01/09(Wed) 01:02:02
☆ Re: 正方形の重複部分 / ヨッシー
ごりごりやるとＣ4 の座標は

となります。

らすかるさんの求められた値を入れるとＢ4Ｃ4とＡＤが
ＡＤを32:49 に内分する点で交わるので、らすかるさんの
解かれた式と同じと思います。
No.19774 - 2013/01/09(Wed) 06:24:18
☆ Re: 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ・オーエン
結局、これをどう解けばいいのですか?
No.19836 - 2013/01/18(Fri) 20:52:20
☆ Re: 正方形の重複部分 / ヨッシー
おいそれと解けるような代物ではないです。

で、「問題は正しいでしょうか。」という話になります。

出典は何ですか？
No.19837 - 2013/01/18(Fri) 22:48:36
★ (No Subject) / ちゃちゃ
下記の問題につきまして、お教えいただけますようよろしくお願い致します。
（急いでいます。答えがありませんm(__)m）

一辺の長さが10cmの正四面体に内接する球があるとき、次の問に答えよ。

?@△ABCの面積を求めよ。

?A正四面体の体積を求めよ。

?B内接する球の半径を求めよ。


どうぞよろしくお願い致します。
No.19748 - 2013/01/07(Mon) 12:42:40
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢＣとは何ですか？
No.19750 - 2013/01/07(Mon) 15:14:10
☆ Re: / ちゃちゃ
情報が不足しており申し訳ございませんでした。
もう一つの方を教えていただきましたので、もう一度自分で考えてみたいと思います。
ありがとうございました。
No.19759 - 2013/01/08(Tue) 09:32:21
★ (No Subject) / ちゃちゃ
次の問題がどうしても解けません・・・。教えていただけますようお願い致します。
（急いでいます。答えがありませんm(__)m）

１．∠Cが90°で、AC＝2√3 BC＝4の△ABCにおいて、辺ＡＢ上に点Dを∠BCD＝30°となるようにとるとき、次の問に答えよ。

?@△BCDの面積を求めよ。

?ABDの長さを求めよ。

?B△BCDの外接円の半径を求めよ。
No.19747 - 2013/01/07(Mon) 12:40:33
☆ Re: / ヨッシー
?@
ＤからＢＣに垂線ＤＥを下ろします。
ＤＥ＝ｘ とおくと、
　ＥＢ＝(2√3/3)ｘ，ＣＥ＝√3ｘ
より、ＢＣ＝ＣＥ＋ＥＢ＝(5√3/3)ｘ＝４
ＢＣを底辺とすると、ＤＥが高さになります。
?A
　ＢＤ：ＡＤ＝△ＢＣＤ：△ＡＣＤ
から、ＢＤを求めます。
?B
　２Ｒ＝ＢＤ/sin∠ＢＣＤ＝２ＢＤ
より、
　Ｒ＝ＢＤ
No.19749 - 2013/01/07(Mon) 15:12:29
☆ Re: / ちゃちゃ
早速ありがとうございました！
わかりました。
大変助かりました。ありがとうございます。
No.19758 - 2013/01/08(Tue) 09:30:44
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