ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 四面体 / 高専

原点O，点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)を頂点とする四面体OABCについて,四面体に内接する球の体積を求めよ．

答(9+5√3)π/27

解説よろしくお願いします．

No.20210 - 2013/02/26(Tue) 19:19:22

☆ Re: 四面体 / らすかる

(内接球の半径)×(表面積)÷3＝(四面体の体積)
(四面体の体積)＝1×1÷2×1÷3=1/6
(表面積)＝1×1÷2×3+(√3/4)(1+1)=(3+√3)/2
なので
(内接球の半径)＝3(1/6)/{(3+√3)/2}=(3-√3)/6
よって
(内接球の体積)＝(4/3)π{(3-√3)/6}^3=(9-5√3)π/27

# 「(9+5√3)π/27」は正しくありません。

No.20214 - 2013/02/26(Tue) 21:18:37

☆ Re: 四面体 / 高専

はじめの
(内接球の半径)×(表面積)÷3＝(四面体の体積)
はどうやったらでてきますか？

No.20215 - 2013/02/26(Tue) 22:25:17

☆ Re: 四面体 / らすかる

内接球の中心をPとすると、
四面体OABCは
四面体P-ABC
四面体P-OBC
四面体P-OAC
四面体P-OAB
の4つに分けることが出来て、Pを頂点とすれば高さrはすべて内接球の半径、
底面積の合計は表面積ですから
(四面体の体積)=(4つに分割した四面体の体積の合計)
=(r*△ABC/3)+(r*△OBC/3)+(r*△OAC/3)+(r*△OAB/3)
=(内接球の半径)×(表面積)÷3
となります。

三角形と内接円での
(内接円の半径)×(三角形の周の長さ)÷2＝(三角形の面積)
と同じことです。

No.20216 - 2013/02/26(Tue) 22:58:10

☆ Re: 四面体 / 高専

ありがとうございます。
理解できました。

No.20219 - 2013/02/26(Tue) 23:41:05

★ (No Subject) / ｐｌ

f(x)=e^x-1としa,b>0とする
e^a-ab+(b+1)log(b+1)≧a+b+1を示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

自分が作った解答
aのみ変数として、他の文字は固定して考えると
g(a)=e^a-ab+(b+1)log(b+1)-(a+b+1)
g'(a)=e^a-b-1
g''(a)=e^a>0
∴g'(a)は狭義単調増加
∴g'(a)>g'(0)=-b
g'(0)<0,lim(a→∞）g'(a)=∞より
中間値の定理からg'(a)=0をみたすaが存在する。
このaをαとすると、g'(α)＝０より増減表から
a=αでg(a)は極小かつ最小
g(α)>0がいえれば示されたことになるのですが
そもそもｇ（０)<0なので正にはなり得ないのです・・。どこがいけないのでしょうか？

No.20209 - 2013/02/26(Tue) 18:11:58

☆ Re: / IT

> f(x)=e^x-1としa,b>0とする
f(x)は、どこで使うのですか？
> g(α)>0がいえれば示されたことになるのですが
g(α)≧0　をいうのですよね
> そもそもｇ（０)<0なので正にはなり得ないのです・・
なぜ、ｇ（０)＜0といえるのですか？

No.20211 - 2013/02/26(Tue) 19:47:43

☆ Re: / ｐｌ

失礼しました。f(x)は無視してください。
g(a)のaに０を代入すれば負になりますよ

No.20212 - 2013/02/26(Tue) 20:05:35

☆ Re: / IT

> g(a)のaに０を代入すれば負になりますよ
g(０)≧０になると思います。具体的に代入後の式を書いてみてください。

No.20213 - 2013/02/26(Tue) 20:12:39

☆ Re: / ｐｌ

解答ありがとうございます
g(a)=e^a-ab+(b+1)log(b+1)-(a+b+1)
より
g(0)=1-0+(b+1)log(b+1)-(0+b+1)
=(b+1)log(b+1)-b=b(log(b+1)-1)+log(b+1)
失礼しました。符号の判定はできませんね。
ひとまず答えに関係あるg(α）の値は何になりましたでしょうか？e^α＝ｂ＋１を考慮すると
g(α）＝－２（ｂ＋１）log(b+1)<0になってしまったのですが

No.20218 - 2013/02/26(Tue) 23:36:36

☆ Re: / IT

> g(0)=1-0+(b+1)log(b+1)-(0+b+1)
> =(b+1)log(b+1)-b=b(log(b+1)-1)+log(b+1)
> 失礼しました。符号の判定はできませんね。
bの関数として微分して増減を調べると　≧０（等号はｂ＝０のとき）になると思います。

>g(α）＝－２（ｂ＋１）log(b+1)<0になってしまったのですが
違うと思います。
g(α)=e^α-αb+(b+1)log(b+1)-(α+b+1)の +(b+1)log(b+1)の±を間違えて計算されたのでは？

> g(α）の値は何になりましたでしょうか？
e^α＝ｂ＋1よりα=log(b+1)
これらを代入すると
g(α）＝ｂ＋1-αb+(b+1)α-(α+b+1)＝0　になります。

No.20220 - 2013/02/27(Wed) 00:34:43

★ 高校生　学コン / DUO

関数f(x)=x^2＋ax＋b(a,bは実数の定数)と正の定数kに対し

、F=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|とおく。a,bを動かしたときのFの最小値をkで表せ。

手も足もでませんでした。
なんとなくF=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|≧|f(-k)＋f(0)＋f(k)|=|2k^2＋b|
と変形してみたのですが結局なにもできませんでした。
答を見ても意味不明です。
誰か分かる方どうやってとけばいいのかおしえてください。おねがいします。

No.20200 - 2013/02/24(Sun) 20:38:35

☆ Re: 高校生　学コン / IT

>答を見ても意味不明
答えはk^2ですか？　答えと略解をUPしてもらえませんか？

Fは変数a,bについて一次関数なので折れ点（３つの絶対値の中身のうちどれかが0となるところ）が最小値の候補ですから、それを調べると
a=0,b=-k^2のとき最小値F=k^2　となるようです。

※Fが最小値を持つことと「折れ点で取る値のみが最小値の候補」を証明する必要があるかも知れませんが。
F≧０であることと一次関数を有限個つなげたものなので、最小値を持つことは、直観的には明らかなのですが。

No.20201 - 2013/02/24(Sun) 21:56:13

☆ Re: 高校生　学コン / DUO

はい。k^2です。
[解答]
f(x)の頂点のx座標をpとする。p≧0のとき、
F≧|f(-k)|＋|f(0)|≧|f(-k)-f(0)|
軸の片側で変域の幅がkであるときの値域の幅を表すので
|f(-k)-f(0)|≧k^2
等号が成り立つのはp=0のときに限る。
このときFについて調べると、
F≧k^2で等号が成立するためにはp=0(すなわちa=0)かつ
f(k)=0が必要。
よってF=0＋|k^2|＋0=k^2が成立する。
p≦0のときも同様にF≧k^2がいえるのでFの最小値はk^2である。

正直解答を眺めていても意味がわかりません。
ちなみに出題は学コンですが一応大学受験用の問題集です。
解答を何度読んでも理解できず困ってます・・・・

No.20202 - 2013/02/24(Sun) 22:28:38

☆ Re: 高校生　学コン / IT

大学への数学の学力コンテストですか、懐かしいですね
難関大学入試より難しいのもありますよね。
確かに分かりにくいですね、考えて見ますが

（折れ点を調べる方式）をUPします。
F=|f(-k)|＋|f(0)|＋|f(k)|
=|k^2-ak＋b|＋|b|＋|k^2＋ak＋b|

(1) k^2-ak＋b=0のときb=-(k^2-ak)
F=|k^2-ak|＋|k^2＋ak-(k^2-ak)|
=k|k-a|＋2k|a|
a=kのときF=2k^2
a=0のときF=k^2

(2) b=0のとき
F=|k^2-ak|＋|k^2＋ak|
　=k|k-a|＋k|k＋a|
a=kのときF=2k^2
a=-kのときF=2k^2

(3) k^2＋ak＋b=0のときb=-(k^2＋ak)
F=|k^2-ak-(k^2＋ak)|＋|k^2＋ak|
=2k|a|＋k|k＋a|
a=0のときF=k^2
a=-kのときF=2k^2

k＞０なので最小値はF=k^2

No.20203 - 2013/02/24(Sun) 23:02:26

☆ Re: 高校生　学コン / IT

> [解答]
> f(x)の頂点のx座標をpとする。p≧0のとき、
> F≧|f(-k)|＋|f(0)|≧|f(-k)-f(0)|
> 軸の片側で変域の幅がkであるときの値域の幅を表すので
> |f(-k)-f(0)|≧k^2
> 等号が成り立つのはp=0のときに限る。
ここまでは、放物線を描いてみると分かると思います。
p≧0のとき-kと0はいずれも頂点より左にあります
頂点から左に離れれば離れるほど、傾斜が急になりますからｘの減少幅ｋに対するｆの増加幅は大きくなります。

> このときFについて調べると、
このときとはp=0すなわちa=0のときですので
F=|k^2＋b|＋|b|＋|k^2＋b|
=2|k^2＋b|＋|b|
このFの値の変化を調べる（場合わけで絶対値を外す）とk^2＋b＝0すなわちb=-k^2のとき
最小値k^2となります。F≧k^2ってことです。

No.20204 - 2013/02/24(Sun) 23:33:30

☆ Re: 高校生　学コン / らすかる

グラフを考えずに式だけで処理する別解

|s|+|t|≧|s+t|（等号は st≧0 のとき）を使って
F=|f(-k)|+|f(0)|+|f(k)|
={|f(-k)|+|f(k)|}+|f(0)|
≧|f(-k)+f(k)|+|f(0)| … (1)
=|2k^2+2b|+|b|
b≧0 のとき |2k^2+2b|+|b|=2k^2+3b≧2k^2
-k^2＜b＜0 のとき |2k^2+2b|+|b|=2k^2+b＞2k^2-k^2=k^2
b=-k^2 のとき |2k^2+2b|+|b|=k^2
b＜-k^2 のとき |2k^2+2b|+|b|=-2k^2-3b＞-2k^2+3k^2=k^2
よって|2k^2+2b|+|b| はb=-k^2のとき最小値k^2をとる。
b=-k^2とすると (1)の等号成立条件は
f(-k)f(k)≧0
(k^2-ak+b)(k^2+ak+b)≧0
(-ak)(ak)≧0
-a^2≧0
∴a=0
従ってFはa=0,b=-k^2のとき最小値k^2をとる。

No.20205 - 2013/02/25(Mon) 00:08:57

☆ Re: 高校生　学コン / DUO

らすかるさん、ITさん、回答ありがとうございます。
お二方の解き方は凄く納得できるのですが、解答の方法は時間がかかる上に凄く上級者向け(?)のような気がします。実際のところどうなんでしょうか？
正直、解答の方法で解くのは私には絶対無理です＾＾；
もう少し数学の勉強が進んでから理解に努める方がいいのでしょうか。

No.20206 - 2013/02/25(Mon) 00:38:01

☆ Re: 高校生　学コン / IT

> お二方の解き方は凄く納得できるのですが、解答の方法は時間がかかる上に凄く上級者向け(?)のような気がします。実際のところどうなんでしょうか？
そうですね、そんなに簡単とはいえないと思います。
あまり、このひとつの問題にこだわられない方がいいと思います。「勉強が進む」というよりも、しばらくしてから、もう一度見てみると割とすんなりと得心が行くってこともありますから。

No.20207 - 2013/02/25(Mon) 01:33:32

★ 記述に関する質問true end / Xex-5 days left

これらのことを答案に書いた場合、どれくらい減点されるでしょうか?一般論みたいな感じで教えてください。具体例が少なくて申し訳ありません。
?@場合分けが必要な問題で場合分けせずに解いて、答えが1通りになる。(例:aは実数とする。…[本来はa<0,a>0と場合分けが必要な問題])
?A軌跡や階差数列みたいに条件が決まっていたり必要十分条件を気にするべき問題でそれらを無視している。
?B記号の使い方が誤っていたり自己流の記号を用いたり高校まででは教えない記号を使う。(例:lim[2←x]{lim[x→2+0]の意}、≦の=の部分の棒が一本、数列をa(n)と書く、ln)
?C「図より明らか」を根拠に用いる。(例:y=f(x)とy=g(x)は交点を持たないことを示せ、に対して2つのグラフを図示する→QED)
?D単純な計算ミス
しょうもない質問ですが記述に関する質問はこれで終わりなので回答お願いします。

No.20188 - 2013/02/20(Wed) 18:19:00

☆ Re: 記述に関する質問true end / IT

> ?@場合分けが必要な問題で場合分けせずに解いて、答えが1通りになる
余りに漠然とした質問ですが、あえて言えば、
場合分けが必要なのに場分けせずに答えが出ることが、おかしいと思います。正しい推論をしてないということでしょうから、その部分については減点というより、部分点として何点もらえるか分かりませんね。

> ?B記号の使い方が誤っていたり自己流の記号を用いたり高校まででは教えない記号を使う。
(例:lim[2←x]{lim[x→2+0]の意}　あらかじめ断ればｏｋでは、
、≦の=の部分の棒が一本　ＯＫだと思います。
、数列をa(n)と書く。新たに定義する場合はＯＫだと思います。問題にあるものは、そのとおりに記述すべきです。
、ln　これも＝log[e}と断って使えばいいと思いますが。
※こんなことを気にするより、高校で習ったとおり、きちんと記述することをお勧めします。

>?C「図より明らか」を根拠に用いる。(例:y=f(x)とy=g(x)は交点を持たないことを示せ、に対して2つのグラフを図示する→QED)
グラフを描くための調査をどこまでし、記述したかによります。例の場合は、ほんとにグラフだけなら０点だと思います。

>?D単純な計算ミス
どこでミスしたかと、その問題のポイントによると思います。前半なら後が続かないので期待薄。計算が重点の問題ならこれも期待薄。「単純な計算ミス」と軽視してはいけないと思います。

No.20189 - 2013/02/20(Wed) 19:21:51

★ raised to the two-thirds powerって。 / トンデモ

たびたびすみません。

下記の問題を解いたのですがこれであってるのでしょうか?

the Sun raised to the two-thirds powerの意味が全く分かりません。

No.20183 - 2013/02/19(Tue) 01:01:29

☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / ヨッシー

太陽からの距離は、周期の(2/3)乗に比例するという
ケプラーの第３法則のことを言っていると思います。
つまり、
　ｄ＝ａ・ｐ^(2/3)
です。この問題は、距離を変化させて、周期を求めるので、
　ｐ＝ａ’・ｄ^(3/2)
とおく方が良いでしょう。

No.20184 - 2013/02/19(Tue) 05:54:34

☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / トンデモ

有難うございます。漸く意味が分かりました。
下記の通りでいいのですね。

No.20186 - 2013/02/20(Wed) 06:05:23

☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / ヨッシー

これが、いわゆる数学の問題なら、
　ｐ＝365(256/93)^(3/2)
　　＝365・4096/93√93
　　＝・・・
と、近似値でない値を答えるべきでしょう。
（365 自体近似値なので、あまり、きっちりした数値は求めていない
かもしれませんが）

あと、値の導出としては、上で書いたように
　ｐ＝ａ・ｄ^(3/2)
とおいて、ｐ＝３６５，ｄ＝９３を代入し
　365＝ａ・93√93
より、ａ＝365/93√93　とし、ｄ＝256 のとき、
　ｐ＝ａ・256^(3/2)＝365・4096/93√93
と持っていったほうが、指数がごちゃごちゃしなくて良いと思います。

No.20187 - 2013/02/20(Wed) 09:07:35

☆ Re: raised to the two-thirds powerって。 / トンデモ

> と、近似値でない値を答えるべきでしょう。

仰る通りでした。

> 指数がごちゃごちゃしなくて良いと思います。

これも有難うございます。

No.20193 - 2013/02/22(Fri) 06:39:16

★ 区分求積? / Xex-国立まであとわずか

x>2とする。区間[2,x]をn等分してその両端と分点を順に2=t_0,t_1,...,t_n=xとし、関数F(x)を
F(x)=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n](log(t_[k]))で定義する。このとき、1)F(4)を求めよ。
2)F(x)の増減を調べ、極限lim[x→2(右から!)]F(x)を求めよ。
まずなぜF(x)の右辺がnの式なのにxの式になるのですか??教えてください。

No.20165 - 2013/02/17(Sun) 15:15:05

☆ Re: 区分求積? / らすかる

nの式でもlim[n→∞]があるのでnはなくなります。
t[k]=2+(k/n)(x-2) なのでこれにxが含まれています。

No.20166 - 2013/02/17(Sun) 15:26:42

☆ Re: 区分求積? / Xex-国立まであとわずか

納得しました。
では問題の方をお願いします。

No.20167 - 2013/02/17(Sun) 15:45:45

☆ Re: 区分求積? / X

前半)
まずF[x]を求めます。
F[x]=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n](log(2+(k/n)(x-2)))
=lim[n→∞](1/n){Σ[k=0→n-1]{log(2+(k/n)(x-2))}
-log2-logx}
=∫[0→1]log{2+(x-2)t}dt
(∵)区分求積法
=[tlog{2+(x-2)t}][0→1]-∫[0→1]{(x-2)t/{2+(x-2)t}}dt
=logx-∫[0→1]{1-2/{2+(x-2)t}}dt
=logx-[t-{2/(x-2)}log{2+(x-2)t}][0→1]
=logx-1+2(logx-log2)/(x-2) (A)
F(x)の増減は(A)を微分して増減表を描きましょう。
後半)
f(x)=logx
と置くと(A)から
lim[x→2+0]F(x)=log2-1+2f'(2)=log2

No.20168 - 2013/02/17(Sun) 16:32:34

☆ Re: 区分求積? / Xex-国立まであとわずか

すごく納得いきました‼ありがとうございました

No.20169 - 2013/02/17(Sun) 17:04:40

★ 応用問題で質問が / トンデモ

たびたびすみません。

下記の問題の(c)の意味がよく分かりません。

-1/3≦v≦1/4と単にvの範囲を求めるのでは簡単過ぎますよね?

それでgraphから3次関数かと勝手に推測し,
v(t)=a(t-0)(t-20)(t-60)としたのですが
t=10,40で極値を持つ事を使って,aの値を求めたらa=0となってしまいました。
一体,どのように解けばいいのでしょう?

No.20159 - 2013/02/17(Sun) 02:37:05

☆ Re: 応用問題で質問が / らすかる

(b)は「減少する正の区間」という問題で答えが(10,20)ならば、
(a)は「増加する負の区間」なので答えは(40,60)になると思います。

(c)のv(30)というのは(d)(e)のv(t)と同じくv(t)のtに30を入れたものなので
v(30)=-20で、2v(30)-5=2×(-20)-5=-45となると思います。
(d)はv(t)=-25の解なのでt=40
(e)はv(t)＞0の解なので0＜t＜20ですね。

三次関数は関係ないと思います。

No.20160 - 2013/02/17(Sun) 04:38:49

☆ Re: 応用問題で質問が / トンデモ

> (c)のv(30)というのは(d)(e)のv(t)と同じくv(t)のtに30を入れたものなので

これは気が付きませんでした。

大変有難うございます。解決できました

No.20174 - 2013/02/18(Mon) 00:19:34

★ (No Subject) / mori

　ｙ＝(-sinθ/8cosθ)ｘ＋sinθ　(0≦θ＜π/2)
の包絡線ってどうやってもとめるのでしょうか？
たとえばｙ＝２ｔ＾２ｘ－ｔ（ｔ＞★）・・?@などｔのパラメタで表されたものだと両辺ｔで微分してｔ＝◎を?@に代入して得られますが、本問もｔをθと思って直線の式をθで微分すればよいのでしょうか？

No.20157 - 2013/02/16(Sat) 23:58:31

☆ Re: / らすかる

試しにθで微分して出たθ＝◎を代入して
グラフソフトで見た感じでは、
ちゃんと包絡線になっているようでした。

No.20162 - 2013/02/17(Sun) 04:58:55

☆ Re: / ヨッシー

下の記事の
ｙ＝{４－ｔ^(2/3)}＾(3/2)／８
がそれです。

No.20163 - 2013/02/17(Sun) 06:34:12

☆ Re: / mori

ｙ＝{４－ｘ^(2/3)}＾(3/2)／８
が包絡線ということですか？

No.20164 - 2013/02/17(Sun) 13:26:35

☆ Re: / ヨッシー

そうです。

黒が　ｙ＝{４－ｔ^(2/3)}＾(3/2)／８　です。

No.20170 - 2013/02/17(Sun) 19:05:25

☆ Re: / もり

当初の質問に戻りますが、
ｔをθと思って直線の式をθで微分では包らくせんを求めるのに駄目（意味がない）ということですか？

No.20172 - 2013/02/17(Sun) 22:23:53

☆ Re: / ヨッシー

dy/dθ のところで、ｙをθで微分しています。

No.20173 - 2013/02/17(Sun) 22:27:04

★ 回転体の体積　 / ktdg

実数θが動くとき、xy平面上の動点 P(0,sinθ)および Q(8cosθ,0)を考える。θが 0≦θ≦π/2の範囲を動くとき、平面内で線分PQが通過する部分をDとする。Dをx軸の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。[答え 128π/105]

やり方が全く思い浮かびません。教えてください。

No.20154 - 2013/02/15(Fri) 18:11:34

☆ Re: 回転体の体積　 / mori

横から失礼します。
この直線の包絡線ってどうやってもとめるのでしょうか？
たとえばｙ＝２ｔ＾２ｘ－ｔ（ｔ＞★）・・?@などｔのパラメタで表されたものだと両辺ｔで微分してｔ＝◎を?@に代入して得られますが、本問もｔをθと思って直線の式をθで微分すればよいのでしょうか？（うまくいかなかったのですが）

No.20155 - 2013/02/16(Sat) 00:46:45

☆ Re: 回転体の体積　 / ヨッシー

ＰＱを通る直線を考えると、その式は、
　ｙ＝(-sinθ/8cosθ)ｘ＋sinθ　(0≦θ＜π/2)
この直線群が、ｘ＝ｔ　（０＜ｔ≦８）と交わる点のｙ座標はｔ＜8cosθ において
　ｙ＝(－sinθ/8cosθ)ｔ＋sinθ
このｙの最大を考えると、
　dy/dθ＝－t/8cos^2θ＋cosθ＝０
より
　(cosθ)^3＝t/8
　cosθ＝t^(1/3)/2
このとき
　sinθ＝√（4－t^(2/3))/２
より、
　ｙ＝{４－ｔ^(2/3)}＾(3/2)／８
πｙ^2＝π{４－ｔ^(2/3)}＾3／６４　をｔ＝０～８で積分して
　(π/64)∫[0～8]{64－48t^(2/3)＋12t^(4/3)－ｔ^2}dt
　＝(π/64)[64t－(3/5)48t^(5/3)＋(3/7)12t^(7/3)－(1/3)t^3][0～8]
　＝128π/105

No.20156 - 2013/02/16(Sat) 01:40:31

☆ Re: 回転体の体積　 / ktdg

ありがとうございます。

No.20171 - 2013/02/17(Sun) 20:51:59

★ (No Subject) / ktdg

aを正の実数とし、fn(x)=∫[0→x] {e^(-at)}sin(nt) dt (n=1, 2, 3,,,,)とおく。
(1)lim[x→∞] fn(x) を求めよ。
(2)a=3/2とするとき、lim[x→∞] fn(x) が最大となる自然数nおよびそのときの最大値を求めよ。
[答え (1) n/(a^2+n^2) (2) n=2, 最大値8/25]

(2)について、自分は以下のように解きました。
(1)より、a=3/2のとき、lim[x→∞] fn(x)=4n/(4n^2+9)
hを正の実数としてg(h)=4h/(4h^2+9)とおくと
g'(h)=(36-16h^2)/(4h^2+9)^2
(4h^2+9)^2>0より、g'(h)=0となるのは h=3/2のときである。
（増減表省略）
g(h)はh=3/2で最大値をとる。
よってlim[x→∞] fn(x) はn=1またはn=2で最大値をとる。
lim[x→∞] f1(x)=8/26, lim[x→∞] f2(x)=8/25より、lim[x→∞] fn(x) はn=2で最大値8/25をとる。

このやり方で大丈夫ですか?

No.20144 - 2013/02/13(Wed) 16:32:48

☆ Re: / X

問題ないと思います。

No.20145 - 2013/02/13(Wed) 22:53:22

☆ Re: / ktdg

ありがとうございます。

No.20146 - 2013/02/14(Thu) 01:53:02

☆ Re: / 豆

蛇足ながら、この形は相加相乗平均を使うと少し速くできますね。
n/(a^2+n^2)=1/(a^2/n+n)
分母≧2√((a^2/n)・n)=2a
分母を最小とするのはa^2/n=nのとき、
即ち　n=aのとき

No.20147 - 2013/02/14(Thu) 08:49:45

☆ Re: / X

>>豆さんへ
私もその方針は考えましたが、この問題では
nは自然数
という条件付きですので、分母が
n=a
で最小であることが分かっても(aは自然数では
ありませんので)分母である
n+(a^2)/n
をnの関数と見たときの増減の評価がやはり必要と
なってしまいます。

No.20148 - 2013/02/14(Thu) 11:54:08

☆ Re: / 豆

そうですね。
暗黙のうちにx+1/xのグラフのイメージが
できていました。

No.20149 - 2013/02/14(Thu) 13:54:13

★ 確率の問題添削お願いします / ktdg

四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDがある。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。
規則 : 点Pのあった頂点と1つの点によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。
このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。

n秒後にPがOにある確率をpnとおく。
n秒後にPがA, B, C, Dのいずれかにある確率は1-pnであり、そのいずれの点からOに移動する確率は1/3である。よってn+1秒後にPがOにある確率は (1-pn)/3である。
∴ p(n+1)=(1-pn)/3
⇔ p(n+1)-1/4=(-1/3)(pn-1/4)
数列{pn-1/4}は初項が p1-1/4, 公比が-1/3の等比数列であり、初めにPはOにあるので1秒後にPがOにある確率は0であるから p1=0
∴ pn-1/4=-1/4(-1/3)^(n-1)
⇔ pn=1/4-(1/4)(-1/3)^(n-1)ー(答)

添削お願いします。

No.20137 - 2013/02/12(Tue) 19:14:58

☆ Re: 確率の問題添削お願いします / ヨッシー

良いと思います。

厳密には、ｎ秒後にＯにあるとき、ｎ＋１秒後にＯに移動する
確率は０であることを知った上で、
>n+1秒後にPがOにある確率は (1-pn)/3である。
と言えるのでしょうが、ほぼ自明なので良いでしょう。

No.20138 - 2013/02/12(Tue) 19:54:17

☆ Re: 確率の問題添削お願いします / ktdg

ありがとうございます。

No.20143 - 2013/02/13(Wed) 16:29:45