ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学解き方を教えて下さい / ｼﾞｬｽ

正の整数m(m≧3)を異なる2つの正の整数の和として表す方法は何通りあるか。
ただし、その２数の和の順序は考慮しない。
たとえば、３を表す１+２と２+１は同じものとみなす。
mが奇数と偶数の場合に分けて答よ。
いろいろ書き出してみたのですが規則性がつかめませんでした。
どういう点に着目すれば解けるんでしょうか？
一番シンプルに解くにはどうしたらいいんでしょうか？
この２点について教えて下さい。お願いします。

No.19944 - 2013/01/27(Sun) 14:22:10

☆ Re: 数学解き方を教えて下さい / X

m個の○と仕切り１本でできる順列の数を求め
そこから条件に合わない順列の数を引く方針で
求めてみましょう。

No.19945 - 2013/01/27(Sun) 14:27:42

☆ Re: 数学解き方を教えて下さい / IT

> mが奇数と偶数の場合に分けて答よ。
> いろいろ書き出してみたのですが規則性がつかめませんでした。
m＝３、４、５、６、７、８　くらいまでは、やってみられたのでしょうか？　規則性が見えると思いますが？　

小さい方（異なる2つの正の整数の和なので等しい場合除く）の大きさが　何通りあるか　考えればいいのでは。

No.19946 - 2013/01/27(Sun) 14:28:10

☆ Re: 数学解き方を教えて下さい / ｼﾞｬｽ

規則性、みつけることができました。
ところでXさんの仕切りを使う方法を試みたのですが
条件に合わない順列の数を引くところで分からなくなってしまいました。
よかったらもう少しヒントをください。
おねがいします。

No.19948 - 2013/01/27(Sun) 15:41:11

☆ Re: 数学解き方を教えて下さい / X

例えばm=5の場合
条件を満たす並びは
○○○|○○
のように○に仕切りが挟まれている場合
逆に条件を満たさない場合は
○○○○○|
のように○に仕切りが挟まれていない場合
です。
また、
＞＞たとえば、３を表す１+２と２+１は同じものとみなす。
ということから、例えば
○○○|○○
と
○○|○○○
は同じものとして扱う必要があります。
以上から、まず条件を満たさないものの数を引いた後
同じものとして扱う必要のあるものを考えるため
２で割るという計算となります。

No.19966 - 2013/01/28(Mon) 23:32:25

★ 文系の数学です / ｼﾞｬｽ

f(x)=x^2-2x
g(x)=(1/4)x^3-(5/4)x
h(x)=｛f(x)(x≧0) , -f(-x)(x<0)}と定義する。
(1)-3≦x≦3の範囲での|h(x)-f(x)|の最大値を求めよ。

自分は
(i)-3≦x≦-2
(ii)-2<x≦0
(iii)0<x≦2
(iv)2<x≦3で場合分けしましたが、
答えには
「y=h(x)、y=g(x)は原点対称のグラフなのでy=h(x)-g(x)も原点対称である。
したがってy=|h(x)-g(x)|はy軸に関して対称なので0≦x≦3における最大値を求めればよい。」とあるのですが
さっぱりわかりません。
どなたか説明していただけないでしょうか？
おねがいします。

No.19941 - 2013/01/27(Sun) 09:59:57

☆ Re: 文系の数学です / X

g(-x)=-g(x)
ですのでg(x)は奇関数です。
また
x≧0のとき
h(-x)=-f(-(-x))=-f(x)=-h(x)
同様にx＜0のときも
h(-x)=-h(x)
ですのでh(x)も奇関数です。
従って
k(x)=h(x)-g(x)
と置くと
k(-x)=h(-x)-g(-x)=-{h(x)-g(x)}
=-k(x)
ですのでk(x)は奇関数となります。 (A)

ここで
奇関数のグラフは原点に関して対称 (例)y=x
偶関数のグラフはy軸に関して対称 (例)y=x^2
となることに注意して下さい。
(A)よりy=k(x)のグラフは原点に関して対称となります。
更に
l(x)=|k(x)|(=|h(x)-g(x)|)
と置くと
l(-x)=|k(-x)|=|-k(x)|=|k(x)|=l(x)
∴l(x)は偶関数ですのでy=l(x)のグラフはy軸に関して対称
となります。

No.19943 - 2013/01/27(Sun) 12:20:00

★ 公式の詳細 / ばーびー

x軸周りの回転体体積の公式V=∫(２π/3)r^3sinθｄθ
を用いてｒ＝a(1+cosθ）（a>0,ーπ～π）のx軸周りの回転体の体積を求めようとした所
V=∫(-π～π)(２π/3)a^3(1+cosθ)^3sinθｄθ
となり（２π/3)a^3(1+cosθ)^3sinθは奇関数なので０になってしまうのですが

なぜでしょうか？どこがおかしいのでしょうか？

１は偶関数、cosθは偶関数。
偶関数＋偶関数＝偶関数
偶関数の整数乗は偶関数
sinθは奇関数
偶関数×奇関数＝奇関数ですよね

No.19920 - 2013/01/26(Sat) 19:37:08

☆ Re: 公式の詳細 / らすかる

積分範囲は -π～π ではなく 0～π にしなければいけないと思います。

No.19928 - 2013/01/27(Sun) 00:28:14

☆ Re: 公式の詳細 / hj

あっ、なるほど、確かに答えは合いました。ありがとうございます。
ところでV=∫(α～β）(２π/3)r^3sinθｄθ
の公式はαからβの間でｘ軸をまたがっている時でも使えるのでしょうか？

No.19931 - 2013/01/27(Sun) 00:58:17

☆ Re: 公式の詳細 / らすかる

使えないと思います。
というか、x軸より下になるとsinθが負になって
積分結果が負になりますね。
sinθに絶対値を付ければ使えそうな気がします。

No.19932 - 2013/01/27(Sun) 01:14:36

★ (No Subject) / hj

y=log(x+1),y=logxおよびy=0,x=t(>1)
で囲まれた部分Aの面積をｆ（ｔ）とする。
Aをｙ軸の周りに一回転してできる立体の体積をG(t)とするときlim(d/dt)G(t)を求めよという問題で
G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-(1~t)logxdx
G(t)/π=t^2(1+(1/t))+t-1/2-log(t+1)
となりました。この極限はどうやってもとめたらよいのでしょうか？

No.19916 - 2013/01/26(Sat) 18:46:55

☆ Re: / IT

何がどうなるときの極限ですか？

No.19918 - 2013/01/26(Sat) 19:19:29

☆ Re: / hj

失礼しましたｔ→∞でした
まあG(t）の極限でもG(t)/πの極限でもかまいません
よろしくお願いします

No.19919 - 2013/01/26(Sat) 19:34:21

☆ Re: / IT

>G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-(1~t)logxdx
は、どうやってこうなるのですか？転記ミスではないですか？∫や２π、dxがうまくペアになってないと思います。

>まあG(t）の極限でもG(t)/πの極限でもかまいません
lim[ｔ→∞](d/dt)G(t) を求めるのでは？

答えは分かっていますか？

No.19922 - 2013/01/26(Sat) 20:22:59

☆ Re: / ばーびー

G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-∫(1~t)２πｘlogxdx
でしたね。バウムクーヘンの公式ですね

No.19924 - 2013/01/26(Sat) 21:22:39

☆ Re: / IT

G(t)=∫(0~t)２πxlog(x+1)dx-∫(1~t)２πｘlogxdxをｔで微分すると
(d/dt)G(t)
=２πtlog(t+1)-２πtlogt
=２πt(log(t+1)-logt)
=２πlog((t+1)/t)^t
=２πlog(1+(1/t))^t
lim[t→∞](1+(1/t))^t＝eなので
lim[t→∞](d/dt)G(t)＝２π ですかね。

No.19925 - 2013/01/26(Sat) 21:48:56

☆ Re: / hj

ｔで微分するのを忘れていました。納得しました。ありがとうございました

No.19926 - 2013/01/26(Sat) 22:25:50

★ 文系数学 / ｼﾞｬｽ

g(θ)=4cos^3θ-2cos^2θ-2cosθ-1 (0<θ<π)
g(θ)=0の３つの解を小さい順にθ1,θ2,θ3とするとき、
(1)t=cos(θ1/3)+cos(θ2/2)+cosθ3の値を求めよ。
cosθ1=1/√2 cosθ2=1/2 cosθ3=-1/√2を求めて、これらを利用することで
t=(-√2+2√3+√6)/4という値が得られました。あっているのでしょうか？
(2)正の整数l,m,nがcos(lθ1)=cos(mθ2)=cos(nθ3)を満たすときl+m+nの最小値を求めよ。
これはさっぱりです。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.19911 - 2013/01/26(Sat) 16:56:02

☆ Re: 文系数学 / らすかる

g(θ)=0 を満たす解はありませんので、
問題が正しくないと思います。

No.19914 - 2013/01/26(Sat) 17:41:13

☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ

すみません。
g(θ)=4cos^3θ-2cos^2θ-2cosθ【+】1のまちがいでした。
きちんと推敲しなかったことをお許しください。

No.19929 - 2013/01/27(Sun) 00:40:31

☆ Re: 文系数学 / らすかる

(1)は合ってます。
(2)
cos(lθ1)及びcos(nθ3)の取り得る値は -1,-1/√2,0,1/√2,1
cos(mθ2)の取り得る値は -1,-1/2,1/2,1
ですから、cos(lθ1)=cos(mθ2)=cos(nθ3)が成り立つためには
式の値は-1か1でなければなりません。
式の値が-1になるとき
lの最小値は 4
mの最小値は 3
nの最小値は 4
合計は 11
式の値が1になるとき
lの最小値は 8
mの最小値は 6
nの最小値は 8
合計は 22
よってl+m+nの最小値は11です。

No.19933 - 2013/01/27(Sun) 01:31:09

☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ

解答ありがとうございます。
（θ1、θ2、θ3）＝（π/4、π/3、3π/4）よりcos(lπ/4)=cos(mπ/3)=cos(n3π/4) とできますよね。
0<θ<πより、0<θ1<π、0<θ2<π、0<θ3<πなので、
0<lπ/4<lπ、0<mπ/3<mπ、0<n3π/4<nπとなりますが正直これは必要ないですよね？地道に、たとえば0<lπ/4<lπならlに正の整数をいれて値を確認する程度で
たとえばl=1のときcoslπ/4=1/√2
l=2のときcoslπ/4=0
l=3のときcoslπ/4=-1/√2
・・・
といった具合にやれば問題ないですか？
教えて下さい。お願いします。

No.19935 - 2013/01/27(Sun) 01:42:17

☆ Re: 文系数学 / らすかる

はい、それで問題ないですし、それが一番早いと思います。

No.19936 - 2013/01/27(Sun) 01:46:13

☆ Re: 文系数学 / ｼﾞｬｽ

ありがとうございました！

No.19938 - 2013/01/27(Sun) 03:21:25

★ ベクトル / 高専

以下の問題がわかりません．
解説よろしくお願いします．

2点(2,0,5),(0,3,-1)を通りyz平面に垂直な平面の方程式を求めよ．
答2y+z=5

No.19909 - 2013/01/26(Sat) 14:50:45

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

yz平面に垂直なので、点(2,0,5) からこの平面に沿って、
ｙｚ平面まで垂線が引けます。その足は(0,0,5)です。
点(0,3,-1)は、すでにyz平面上にあります。
よって、求める平面と、ｙｚ平面との交線は、２点(0,0,5)(0,3,-1)
を通る直線であり、それは x=0, z=-2y+5 です。
この直線を含んで、ｘ軸方向（ｙｚ平面に垂直な方向）に、
求める平面は存在するので、
　2y+z=5, ｘは任意の実数
というのが求める平面の式です。

No.19910 - 2013/01/26(Sat) 16:39:51

☆ Re: ベクトル / 高専

考えてみましたがよくわかりません．

No.19912 - 2013/01/26(Sat) 17:01:14

☆ Re: ベクトル / 高専

すみませんもう一度よく考えたら理解できました．

No.19913 - 2013/01/26(Sat) 17:18:02

★ 図形　中学校の数学で / def

高校までの数学は終えている者です

AB=6cmとなるような2点ABがあり，点P,Qが線分ABを3等分しているとする．線分ABを直径とする円周上に点Cをとるとき，PQ^2+QC^2+CP^2の値はいくらになるか

高校入試用の問題集にこのような問題が載っていました
まず問題文から答えは定数になるというニュアンスが読め，円の中心を原点としABが横軸と重なるような座標平面の上でC(s,t)とおくと，s^2+t^2=3^2で一定なので，PQ^2+QC^2+CP^2の値がs,tによらないということで示せました
しかし座標平面で考えるということを思いつくのは中学生には難しいと思います

中学校以前の数学で解く方法はあるでしょうか？

No.19896 - 2013/01/25(Fri) 23:05:23

☆ Re: 図形　中学校の数学で / ヨッシー

ＣからＡＢに垂線ＣＨをおろします。また、ＡＢの中点をＯとします。

1)ＨがＰＯの間にあるとき（Ｐと重なるときも含む）
ＯＨ＝ｘとおくと、ＰＨ＝１－ｘ、ＱＨ＝１＋ｘ
三平方の定理より
　ＣＨ^2＝９－ｘ^2
　ＣＱ^2＝ＱＨ^2＋ＣＨ^2＝２ｘ＋１０
　ＣＰ^2＝ＰＨ^2＋ＣＨ^2＝－２ｘ＋１０
よって、
　ＰＱ^2＋ＱＣ^2＋ＣＰ^2＝２４　（一定）
2)ＨがＡＰの間にあるとき
ＯＨ＝ｘとおくと、ＰＨ＝ｘ－１、ＱＨ＝１＋ｘ
三平方の定理より
　ＣＨ^2＝９－ｘ^2
　ＣＱ^2＝ＱＨ^2＋ＣＨ^2＝２ｘ＋１０
　ＣＰ^2＝ＰＨ^2＋ＣＨ^2＝－２ｘ＋１０
よって、
　ＰＱ^2＋ＱＣ^2＋ＣＰ^2＝２４　（一定）
ＨがＯと重なるときやＯより右側にある場合も同様

というのでどうでしょう？

No.19901 - 2013/01/25(Fri) 23:42:36

☆ Re: 図形　中学校の数学で / def

ありがとうございました

No.19930 - 2013/01/27(Sun) 00:46:24

★ (No Subject) / さすけ

A,B二人の兄弟が、質問に対して手を上げてこたえるように言われた。「はい」という返事をするときは右手を挙げ、「いいえ」という返事をするときは左手を上げるように指示されたが、どちらか1人がその指示をまったく逆に理解してしまった。
・「あなたの家は国道に面していますか？」という質問にたいしてBは右手を挙げた。
・「「あなたの家は国道に面していますか？」と聞かれたらあなたは左手を上げますか？」という質問に対してAは右手を挙げた。
・「「あなたの家は市内にありますか？」と聞かれたらあなたは左手を上げますか？」という質問に対してBは左手を挙げた。
・「「あなたの家は木造ですか？」と聞かれたらあなたは右手を上げますか？」という質問に対してAは右手を挙げた。

どちらが逆になっているんですか。
それと詳しい解き方を教えてください。

No.19892 - 2013/01/25(Fri) 20:58:00

☆ Re: / IT

> ・「あなたの家は国道に面していますか？」という質問にたいしてBは右手を挙げた。
> ・「「あなたの家は国道に面していますか？」と聞かれたらあなたは左手を上げますか？」という質問に対してAは右手を挙げた。

ＡＢが答えているこれだけ使えば良いと思います。（ＡＢは同じ家に住んでいるものとします）
（１）Ｂは正しく覚え、Ａは逆に覚えた　
（２）Ｂは逆に覚え　、Ａは正しい覚えた
この２つの場合を仮定して考えてみます。　

（１）Ｂは正しく覚え、Ａは逆に覚えた　と仮定
Ａは「はい」は左手をあげ、「いいえ」は右手をあげる。

Ｂは「あなたの家は国道に面していますか？」の問いに右手をあげたので「はい」であり。
「家は国道に面している。」は真。

「「あなたの家は国道に面していますか？」は真なので
Ａは「はい」と左手を上げようとする。
・・・あなたは左手を上げますか？」という質問に対しては
真なので「はい」と左手を上げる。はず！

ところが右手を上げたので、矛盾。

（２）の場合は（１）より簡単なので考えて見てください。

No.19893 - 2013/01/25(Fri) 21:44:34

☆ Re: / さすけ

よくわかりません。
場合分けしてもできません。
なにかほかの解き方ありません？

No.19894 - 2013/01/25(Fri) 21:55:40

☆ Re: / IT

少し表現を分かりやすくしたつもりです。もう一度見てください。

No.19898 - 2013/01/25(Fri) 23:15:08

☆ Re: / さすけ

「「～」と聞かれたら右手（左手）を挙げますか？」という質問に対してA（B）は右手（左手）挙げた。
というのはどういう意味なのでしょうか

No.19900 - 2013/01/25(Fri) 23:30:30

☆ Re: / IT

Aが正しく指示通り理解している場合
「右手を挙げる」は、「ｙｅｓと答える」に
「左手を挙げる」は、「Ｎｏと答える」に置き換えて考えます。

「「～」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「～」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「～」は真。

「「～」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「～」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「～」は偽。

「「～」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「～」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「～」は偽。

「「～」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「～」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「～」は真。

No.19903 - 2013/01/26(Sat) 00:54:33

☆ Re: / IT

Aが指示を逆に理解している場合
「右手を挙げる」は、「Ｎｏと答える」に
「左手を挙げる」は、「ｙｅｓと答える」に置き換えて考えます。

「「～」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「～」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「～」は真。

「「～」と聞かれたら右手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「～」と聞かれたらＮｏと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「～」は偽。

「「～」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは右手挙げた。
「「～」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはＮｏと答えた。→「～」は偽。

「「～」と聞かれたら左手を挙げますか？」という質問に対してAは左手挙げた。
「「～」と聞かれたらｙｅｓと答えますか？」という質問に対してAはｙｅｓと答えた。→「～」は真。

No.19904 - 2013/01/26(Sat) 00:58:40

★ 微分? / Xex

kは1より大きい定数とする。「x,yを同時に0にはならない実数」とするとき、z=(x^2+kxy+y^2)/(x^2+xy+y^2)の最大値と最小値を求めよ。[ニューアクションωIIICより]

まったく方針が立ちません。特に「」内はどういう意味ですか??

No.19889 - 2013/01/25(Fri) 20:08:50

☆ Re: 微分? / IT

「」内は、「x,yは実数であり、「x=0かつy=0」にはならない」ということだと思います。
x=rcosθ,y=rsinθ、r＞0　とくおくと考えやすいのでは？

あるいは、
x＝0またはy＝0のとき　z＝1
x≠0かつy≠0のとき t=y/xとおくとy=tx これを元の式に代入
z＝(x^2+ktx^2+t^2x^2)/(x^2+tx^2+t^2x^2)
＝(1+kt+t^2)/(1+t+t^2)
zの増減を調べる
z’＝(1-k)(t+1)(t-1)/(t^2+t+1)^2
計算は確認してください、後はできますよね。

No.19891 - 2013/01/25(Fri) 20:48:04

☆ Re: 微分? / IT

（微分を使わない別解)
z＝(t^2 + kt + 1)/(t^2 + t + 1)
分母・分子をtで割る
＝(t + k + (1/t))/(t + 1 + (1/t))
＝(t + (1/t)+ k)/(t + (1/t)+ 1)
u＝ t + (1/t) とおくと　u≦-2,2≦u
z＝(u+k)/(u+1)
＝1+(k-1)/(u+1)
後はk-1の値で場合分けしてu≦-2,2≦uでの最小値、最大値を求める。(x＝0またはy＝0のとき　z＝1も忘れずに）

No.19895 - 2013/01/25(Fri) 23:00:24

☆ Re: 微分? / Xex

Max:(k+2)/3 min:2-kとなりました。この問題集の答えは手元にはないのですが解決しました。

No.19897 - 2013/01/25(Fri) 23:10:21

☆ Re: 微分? / IT

kは1より大きい定数なので　「k-1の値で場合分け」は不要でしたね。失礼しました。

No.19899 - 2013/01/25(Fri) 23:29:12

★ (No Subject) / さすけ

長さ１ｍの棒材を組み合わせて作った格子状のジャングルがある。
このジャングルの橋の点Aから出発して棒伝いに一本ずつ色を塗りながら3m進む。通りうる経路すべてに色を塗った時、塗られている棒が何本になるか。
　１ｍだけ進む場合には3本濡れ、２ｍの場合にはその3本の先端からそれぞれ新たにA本濡れるので、全部でB濡れる。だから、３ｍの場合は全部でC本濡れる。

No.19883 - 2013/01/25(Fri) 08:29:34

☆ Re: / ヨッシー

図の手前下の角をＡとします。
Ａと同じ高さの位置を１階、１ｍ高い位置を２階、２ｍ高い位置を３階、
同様にｎ－１ｍ高い位置をｎ階と呼ぶことにします。
Ａから棒材１つ分進んだ点は、２階に１個、１階に２個の計３個です。
Ａから棒材２つ分進んだ点は、３階に１個、２階に２個、１階に３個の計６個です。
同様に、Ａから棒材３つ分進んだ点は１０個です。
但し、後戻りは考えません。

Ａから１ｍ進むと、上記の３個の点のいずれかに進みます。
その３点から３方向に進めるので、９本が塗れます。
その結果、上記の６個の点のいずれかに進みます。
その６点から３方向に進めるので、１８本が塗れます。
合計　３＋９＋１８＝３０（本）　が塗れます。

No.19884 - 2013/01/25(Fri) 09:07:44

☆ Re: / らすかる

問題とあまり関係ありませんが…
問題は「ジャングルジム」を想定しているのだと思いますが、
問題で「ジャングル」と省略して書かれているのでしょうか。

No.19885 - 2013/01/25(Fri) 14:09:34

☆ Re: / さすけ

ヨッシーさん
他のサイトでも回答してもらいありがとうございます。

No.19886 - 2013/01/25(Fri) 15:40:45

★ (No Subject) / サスケ

実線部分の円の外周が五倍になるとき、これと同様に円を並べる。いくつ並べたらいいのですか。

No.19878 - 2013/01/25(Fri) 03:14:55

☆ Re: / らすかる

問題文が意味不明です。

No.19879 - 2013/01/25(Fri) 03:51:54

☆ Re: / サスケ

図のように同じ大きさの円の３つの円の中心が一直線にあるように並べる。同様に並べて外周がこの五倍になるには円を全部でいくつ並べばよいか。

問題文そのまま載せました。

No.19880 - 2013/01/25(Fri) 04:07:34

☆ Re: / らすかる

端の円の実線部分は円周の2/3
間の円の実線部分は円周の1/3
なので図の図形の外周は円周の2/3+1/3+2/3=5/3倍
その5倍は円周の25/3倍
間の円が1つ増えるたびに円周の1/3倍ずつ外周が長くなるので
(25/3-5/3)÷(1/3)=20個増やせば元の外周の5倍になる。
よって答えは23個。

No.19881 - 2013/01/25(Fri) 06:06:41

☆ Re: / ヨッシー

大きさの円の　→　大きさの円を
いくつ並べば　→　いくつ並べれば
など、元の問題文そのものに難があるようですが、意味は汲み取れます。

円を１つ増やすと、図の青い部分（中心角60°の扇形の弧が
２つ分）が増えます。
この「中心角60°の扇形の弧」の長さを１とすると、
円が３つの場合の外周は、１０です。
これを５倍の５０にするには、４０増やさないといけないので、
加える円は２０個、全部で２３個の円を並べれば良いことになります。

No.19882 - 2013/01/25(Fri) 06:08:19

★ 図形 / ハル

一辺の長さがaの正三角形ABCを底面とし、面ABCと面OABが垂直な四面体OABCがある。Aから辺OCに下ろした垂線の足をDとすると
OA=OB=b,OC=c,cosADB=1/3となるとき。次の問いに答えよ。
⑴角OCAを求めよ。
⑵四面体OABCの体積が√2であるとき、a,b,cの値を求めよ。

⑵からわからないです(￣◇￣;)
教えてください。
考える藁のほうにも質問しています。
回答待ちです。

No.19874 - 2013/01/23(Wed) 20:38:18

☆ Re: 図形 / ヨッシー

(1)
ＡＤ＝ＢＤ＝ｄとすると、△ＡＢＤにおける余弦定理より
　ａ^2＝２ｄ^2－２ｄ^2cos∠ＡＤＢ＝(4/3)d^2
よって、ｄ＝(√3/2)ａ
すると、△ＡＤＣ（∠Ｄが直角）において、
　sin∠ＤＣＡ＝ＡＤ/ＡＣ＝√3/2
よって、∠ＤＣＡ（＝∠ＯＣＡ）＝60°

(2)

(1) の結果より、ＣＥ＝ａとなる点をＯＣ上に取ると、
四面体ＡＢＣＥは正四面体となります。
ＡＢの中点ＭとＣ，Ｏを通る面で切ると、右の図のようになります。
そうすると、
△ＡＢＣ＝(√3/4)a^2
ＭＯ＝(√6/2)ａより
　四面体ＯＡＢＣ＝(√2/8)a^3＝√2
より、ａ＝２
ＭＡ＝１、ＭＯ＝√６　より　ｂ＝√７
ｃ＝ＯＣ＝３
となります。

No.19875 - 2013/01/24(Thu) 01:57:29