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★ 不定積分 / Xex
∫(x^2+a^2)^(-3/2)dxをx=atanθと置き換えることで求めよ。ただしaは0より大きい実数で、「-π/2<θ<π/2とする」。
この問題でθの範囲はどういう意味があるのですか?ちなみに答えはx/(a^2√(a^2+x^2))+C [Cは積分定数]となりました。
No.19803 - 2013/01/14(Mon) 14:17:22
☆ Re: 不定積分 / X
xとθの対応関係を1対1にするために必要になります。
不定積分では表には見えませんが、これが定積分になると
積分範囲の対応関係に効いてきます。
No.19804 - 2013/01/14(Mon) 19:39:33
★ ベクトル / 工学部2年
平行六面体ABCD-EFGHにおいて，→AB=→a,→AD=→b,→AE=→cとするとき，対角線AGは△BDEの重心を通ることを証明せよ．

解説お願いします．
No.19800 - 2013/01/14(Mon) 12:14:50
☆ Re: ベクトル / X
△BDEの重心をJとすると
↑AJ=(↑AB+↑AD+↑AE)/3=(↑a+↑b+↑c)/3 (A)
一方平行四面体ABCD-EFGHにおいて
↑AG=↑AB+↑BC+↑CG=↑AB+↑AD+↑AE=↑a+↑b+↑c (B)
(A)(B)より
↑AJ=(1/3)↑AG
よって問題の命題は成立します。
No.19801 - 2013/01/14(Mon) 12:52:47
☆ Re: ベクトル / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19805 - 2013/01/14(Mon) 22:41:52
★ 面積 / 工学部2年
曲線y=xe^x^2について次の問いに答えよ．
(1)点(1,e)における接線の方程式を求めよ．答y=3ex-2e
(2)その曲線と(1)で求めた接線とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ．答e/3-1/2

(1)はできたのですが(2)がわかりません．
教えてください．
No.19795 - 2013/01/13(Sun) 17:07:49
☆ Re: 面積 / X
まずは
y=xe^(x^2) (A)
のグラフを描き、(1)の接線との位置関係を
調べましょう。

(A)より
y'=(2x^2+1)e^(x^2)＞0
よって(A)は単調増加の曲線であることが分かります。
更に(A)が原点を通ることと
0≦x≦1
において
xe^(x^2)-(3ex-2e)=2e*x{e^(x^2)-1}＞0
つまり(A)のグラフは(1)の接線の上側にあること
および(1)の接線とx軸との交点のx座標が2/3であることに
注意すると、求める面積をSとして
S=∫[0→1]{xe^(x^2)}dx-∫[2/3→1](3ex-2e)dx
=…
No.19796 - 2013/01/13(Sun) 21:56:28
☆ Re: 面積 / 工学部2年
少し勘違いをしていました。
ありがとうございました。
No.19797 - 2013/01/13(Sun) 22:32:36
★ (No Subject) / pocco
I=∫∫∫D x^2√(x^2+y^2+z^2)dxdydz
D=(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦9 z≧0

の問題を極座標に変換して解いていたら
∫[-π/2→π/2]sin^3(θ)の部分が出てきて0になってしまうのですが、何がおかしいのでしょうか
No.19792 - 2013/01/12(Sat) 23:28:32
☆ Re: / X
z=rcosθ
としてθを取っているのであれば
z≧0
ですので
θ:-π/2→π/2
ではなくて
θ:0→π/2
です。
No.19794 - 2013/01/13(Sun) 14:19:51
☆ Re: / pocco
cosθが0以上になる範囲ってθ:-π/2→π/2
ではないのでしょうか・・・
No.19798 - 2013/01/13(Sun) 23:39:04
☆ Re: / X
z=rcosθ
として球座標をとっている場合、取れるθの範囲は
0≦θ≦π
で定義されます。
教科書などで球座標の項目を見直してみて下さい。
No.19802 - 2013/01/14(Mon) 12:59:38
★ 確率 / 西瓜
１、赤玉2個と白玉4個が入った袋から一球を取り出し色を見て袋に戻す。この試行を5回繰り返す。5回目に3度目の白玉が出る確率は？

解答
4Ｃ2(2/6)^2(4/6)^4×(4/6)



２、赤玉2個と白玉4個が入った袋から一球を取り出し色を見る。ただし、取り出した玉は袋に戻さないとする。このとき5回目に3度目の白玉が出る確率は？

解答
(2Ｃ2×4Ｃ2)/6Ｃ4





１と２で、何故このような解答の違いがあるのでしょうか？
説明をお願いします。
No.19790 - 2013/01/12(Sat) 17:37:54
☆ Re: 確率 / ヨッシー
起こる確率が違うからです。
1. では、１回目も２回目も赤の出る確率は1/3、白は2/3 ですが、
2. では、
１回目に赤を引くと、２回目は赤1/5, 白4/5
１回目に白を引くと、２回目は赤2/5, 白3/5
となります。
ただし、１回目に赤とか２回目に白とか場合分けするのは
大変なので、上の式では、４回目までに取った玉を、順番を考えずに
組合せで確率を求めています。

ちなみに、1. の解答は
4Ｃ2(2/6)^2(4/6)^2×(4/6)
ですね。
No.19793 - 2013/01/13(Sun) 07:21:42
☆ Re: 確率 / 西瓜
間違いの指摘までしていただいて、ありがとうございます！
とても助かりました。
No.19799 - 2013/01/14(Mon) 08:21:10
★ 数列！？ / ＿＿＿＿＿＿＿
現中３です。
高校入試の過去問なんですけど解説を見てもイマイチ理解を深めることができなかったのでわかりやすくお願いします。

答え
（１）最も小さい数：37　2番目に小さい数：37037
（２）12桁
（３）18桁

問題
1、11、111、1111、・・・・・のように各位に同じ数字１が並ぶ自然数を「１-並列数」と呼ぶことにする。

ある自然数に適当な自然数をかけて1−並列数を作ることを考える。例えば、次に示す（例）のように、7に15873をかければ6桁の1−並列数を作ることができる。

（例）７×15873＝111111

次の問いに答えよ。

（１）３に適当な自然数をかけて1−並列数を作った。この時、かける数として考えられるもののうち最も小さい数と２番目に小さい数を求めよ。

（２）7に適当な自然数をかけて1−並列数を作った。（例）はそれらのうち、最も小さい１並列数である。２番目に小さい１並列数は、何桁の数であるか。

（３）693に適当な自然数をかけて1−並列数を作った。それらの１−並列数のうち、もっと小さい1−並列数は、何桁の数であるか。
No.19786 - 2013/01/11(Fri) 23:22:37
☆ Re: 数列！？ / ヨッシー
(1)３に掛けたということは、その結果は３の倍数のはずです。
３の倍数かどうかは、各位の数を足して３の倍数になれば良いので、
（例：１２３は１＋２＋３＝６　なので、３で割り切れる)
一番小さい３の倍数の１−並列数は１１１，２番目は１１１１１１です。
１１１１１１の時掛けた数は　111111÷３＝37037
(2)
111111（1が6個：以下カッコで１の数を表します）は、
最も小さい７の倍数の１−並列数なので、
もし、1111111(7) が７の倍数だとすると
　1111111(7)＝1111110＋1
より、1 は７の倍数となり、111111(6) が最小の７の倍数であることに
矛盾します。
同じ理由で、11111111(8), 111111111(9), 1111111111(10), 11111111111(11) は、
７の倍数ではなく、
　111111111111(12)＝111111(6)×1000001
が２番目に小さい７の倍数です。　答えは12桁

(3)
693＝7×9×11 なので、これにある自然数を掛けた数は、
７，９，１１の倍数です。

(2) と同じ理由で、７の倍数の１−並列数は、
6桁, 12桁, 18桁・・・と、桁数は6の倍数になります。
９で割れる数は、各位の数を掛けると９で割れるので、
９で割れる１−並列数は、9桁, 18桁・・・と9の倍数の桁数です。
11 については、11, 1111, 111111 のように偶数の桁数の１−並列数が
11で割れます。
以上より、最小の693の倍数の１−並列数は１８桁となります。
No.19787 - 2013/01/11(Fri) 23:58:02
☆ Re: 数列！？ / ＿＿＿＿＿＿＿
> (1)３に掛けたということは、その結果は３の倍数のはずです。
> ３の倍数かどうかは、各位の数を足して３の倍数になれば良いので、
> （例：１２３は１＋２＋３＝６　なので、３で割り切れる)
> 一番小さい３の倍数の１−並列数は１１１，２番目は１１１１１１です。
> １１１１１１の時掛けた数は　111111÷３＝37037
> (2)
> 111111（1が6個：以下カッコで１の数を表します）は、
> 最も小さい７の倍数の１−並列数なので、
> もし、1111111(7) が７の倍数だとすると
> 　1111111(7)＝1111110＋1
> より、1 は７の倍数となり、111111(6) が最小の７の倍数であることに
> 矛盾します。
> 同じ理由で、11111111(8)、111111111(9)・・・11111111111(11) は、
> 　111111111111(12)＝111111(6)×1000001
> が次に小さい７の倍数です。　答えは12桁
>
> (3)
> 693＝7×9×11 なので、これにある自然数を掛けた数は、
> ７，９，１１の倍数です。
>
> (2) と同じ理由で、７の倍数の１−並列数は、
> 6桁, 12桁, 18桁・・・と、桁数は6の倍数になります。
> ９で割れる数は、各位の数を掛けると９で割れるので、
> ９で割れる１−並列数は、9桁, 18桁・・・と9の倍数の桁数です。
> 11 については、11, 1111, 111111 のように偶数の桁数の１−並列数が
> 11で割れます。
> 以上より、最小の693の倍数の１−並列数は１８桁となります。



ありがとうございます。こんなに早く解説が来るとは思ってませんでした！！
また、質問させてもらいます。
これからもよろしくお願いします。
No.19788 - 2013/01/12(Sat) 00:06:17
☆ Re: 数列！？ / ヨッシー
９の倍数のところは、
　「各位の数を掛けると」
ではなく
　「各位の数を足すと」
でした。
No.19789 - 2013/01/12(Sat) 07:39:22
★ 体積 / 工学部2年
問
次の図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
曲線y=logx,x軸，y軸，直線y=1

答2π

よくわかりません．
教えてください．
No.19783 - 2013/01/11(Fri) 21:49:24
☆ Re: 体積 / ヨッシー


図の斜線部分をｘ軸回りに回転します。
底面が半径1の円で、高さｅの円柱から、えぐれた部分を引きます。
円柱の体積は　ｅπ
えぐれた部分は　ｙ＝logｘ において、
　π∫[1〜e]ｙ^2dx　　(以下、積分区間は省略)
　＝π∫(logｘ)^2dx
　＝π∫(x)’(logｘ)^2dx
　＝π[ｘ(logｘ)^2]−π∫ｘ(2logx)(1/x)dx
　＝ｅπ−2π∫logxdx
　＝ｅπ−２π∫(ｘ)'logｘdx
　　・・・
　＝ｅπ−２π
よって、求める体積は
　ｅπ−(ｅπ−２π)＝２π
No.19784 - 2013/01/11(Fri) 22:42:47
☆ Re: 体積 / 工学部2年
いつも丁寧に教えていただきありがとうございます．
理解できました．
No.19785 - 2013/01/11(Fri) 22:48:59
★ ４か６か８か / √
もう一つお願いします。

ホームのマークをクリックしてください。
いくら考えても分かりませんでした。

規則性の問題で、真ん中に入る数字は
?Cか?Eか?Gのどれかです。

答えは分りません。
よろしくお願いいたします。
No.19780 - 2013/01/10(Thu) 23:49:20
☆ Re: ４か６か８か / √
つけたしです。

上記の問題は、産経新聞バラエティークイズで、
２０１２年２／２６に掲載されたもので、
かなりの難問だそうです。

すみません。
よろしくお願い致します。
No.19781 - 2013/01/11(Fri) 00:02:30
☆ お騒がせ致しました / √
やっと分りました。

このパズルの作者にメールを送ってヒントを教えて頂きました。

全ての数字を英語のスペルに変えると、「シリトリ」が、
できるように作られたようです。

だから、答えは?Gです。

「数」の規則性ばかり考えてしまって昨日から悩んでおりました。

お騒がせ致しましたｍ（＿）ｍ
No.19782 - 2013/01/11(Fri) 18:41:09
★ ３点 / √
また　教えてください。

円の大きさは３点で決まりますが、

３点が同一直線上にない限り、
どんなにデタラメに３点をとっても、
この３点は必ず同一円周上にのりますか？

よろしくお願い致します。
No.19777 - 2013/01/10(Thu) 22:53:31
☆ Re: ３点 / ヨッシー
のります。


３点ＡＢＣがあるとき、ＡＢの垂直二等分線とＢＣの垂直二等分線を
考えると、ＡＢＣが一直線上でないので、これらの垂直二等分線は、
平行にならず、必ず１点で交わります。

その点が円の中心になります。
No.19778 - 2013/01/10(Thu) 23:03:03
☆ 有り難うございました / √
ヨッシーさん　有り難うございました。

よく考えたら、
３点をとれば必ず三角形ができる。
↓
三角形ができれば必ず外接円が描ける
↓
その外接円の中心が外心なのですね。

納得しました。
有り難うございました。
No.19779 - 2013/01/10(Thu) 23:26:20
★ 交点のx座標が求められません / せれま
円上の点A，Bと、条件下で直線ABが通らない範囲

円S: x＾２＋y＾２＝４ と、
円S上の異なる2点A（a，b）、B（c，d） があり、
ab−bc ≠ 0 を満たしている。

点Aにおける接線をL（ ax＋by＝４ ）
点Bにおける接線をM、（ cx＋dy＝４ ）とする。

LとMの交点のx座標を求めよ。と言う問題があるのですがわかりません。
ax+by=4とcx+dy=4を連立すればいいんですか？
よくわかりません。
教えて下さいお願いします！
No.19772 - 2013/01/09(Wed) 03:34:57
☆ Re: 交点のx座標が求められません / ヨッシー
まず、ab-bc≠0 ではなくて、ad-bc≠0 ですね。
これは、原点をＯとするとき、ＯＡとＯＢが一直線上にない
＝同一点や直径の両端ではない＝ＬとＭは平行でない
という意味です。

さて、問題ですが、
>ax+by=4とcx+dy=4を連立すればいい
です。ｙを消去してやると

ｘ＝4(d-b)/(ad-bc)

となります。

で、
>条件下で直線ABが通らない範囲
とは、何でしょうか？
No.19773 - 2013/01/09(Wed) 05:56:04
★ 面積 / 工学部2年
次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
y^2≦x,(x+y-2)(x-y-2)≦0

画像の式がどうのような考え方で出たかわかりません．
解説お願いします．
No.19761 - 2013/01/08(Tue) 17:51:47
☆ Re: 面積 / らすかる
その問題に対して、
画像のグラフも正しくありませんし、
式も正しくありません。

（おまけに式中のカッコも対応していません。）
No.19762 - 2013/01/08(Tue) 18:24:53
☆ Re: 面積 / 工学部2年
式中のカッコが対応していないのはわかったのですが，グラフと式がわかりません．教えていただけないでしょうか．
No.19763 - 2013/01/08(Tue) 18:45:06
☆ Re: 面積 / らすかる
グラフは、直線がもう１本必要です。
今ある直線と(2,0)で直交する直線です。
そして問題の条件にあてはまる部分は
×の上と下かつ放物線の内部です。
よって式は
2{∫[1〜2](√x-(-x+2))dx+∫[2〜4](√x(x-2))dx}
となります。
No.19764 - 2013/01/08(Tue) 18:59:27
☆ Re: 面積 / 工学部2年
なぜ×の下側の面積を考えるのかわかりません．
画像の式のどこが違ってるか教えてください．
No.19767 - 2013/01/08(Tue) 23:36:04
☆ Re: 面積 / らすかる
y≧±(x-2) は誤りです。
y^2≧(x-2)^2 から
|y|≧|x-2| ですから
×の上側だけでなく下側も条件を満たします。
No.19768 - 2013/01/08(Tue) 23:44:21
☆ Re: 面積 / 工学部2年
やっと理解することができました．
本当にありがとうございました．
No.19769 - 2013/01/08(Tue) 23:47:42
★ 高3です。教えてください / はるか
原点からみて、カージオイドｒ＝a(1＋cosθ)の内側で、放物線ｒ＝a/1＋cosθの外側の部分の面積は？

答えは(3/4π＋4/3)a^2です
No.19755 - 2013/01/08(Tue) 00:37:22
☆ Re: 高3です。教えてください / ヨッシー


極座標の積分
　Ｓ＝∫ｒ2dθ
より、

１．第１象限のカージオイドの内部
　(a^2/2)∫[0〜π/2](1+cosθ)dθ
　＝a^2(3π/8＋1)
２．第１象限の放物線の内部
　ｘ＝(a^2−y^2)/2a に直してから、y=0からy=a まで積分します。

１．から２．を引いて、２倍して出来上がりです。
　
No.19757 - 2013/01/08(Tue) 06:35:57
☆ Re: 高3です。教えてください / はるか
すいません。
x＝(a^2-y^2)/2aの直し方がわかりません。
教えてください。
No.19760 - 2013/01/08(Tue) 15:22:26
☆ Re: 高3です。教えてください / ヨッシー
乱暴ですが、放物線とわかっているので、
θ＝-90°,０°, 90° において、
(0, -a), (a/2, 0), (0, a)
を通るので、これを通るｘ軸対象の放物線として求めます。

式が出たら、念のために、
　ｘ＝ａ・cosθ/(1＋cosθ)、ｙ＝ａ・sinθ/(1＋cosθ)
を代入して正しいことを確かめます。
No.19765 - 2013/01/08(Tue) 19:36:41
☆ Re: 高3です。教えてください / 豆
極座標表示での面積は
S=(1/2)∫r^2dθ　で1/2が要りますよね。

曲線r=a/(1+cosθ)　は　以下でも
分母を払って、
r+rcosθ=a
r=a-rcosθ
r=a-x＞0のもと、
2乗して、x^2+y^2=(a-x)^2
整理して、放物線の2次式となる。
No.19775 - 2013/01/09(Wed) 09:55:41
☆ Re: 高3です。教えてください / ヨッシー
あ、(1/2) 付け忘れました。

面積の計算は合っていると思います。
No.19776 - 2013/01/09(Wed) 11:10:21
★ 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
正方形ABCDがある。
辺CDを二つに分断する点Pがあり、この点Pと点Cとの距離をｔ×CDとする。
次に点Bと点Pを一つの辺とした正方形A1 B1 C1 D1を作る
(点P＝点C1)
辺C1 D1において点C1からｔ×CDの所に点C2を作り、点Bと点C2を結ぶ直線を1つの辺にもつ正方形を………

というように正方形を作っていくとき、
(１)ｔ＝1/2の時
正方形ABCDと正方形A1 B1 C1 D1の重複した面積と
正方形ABCDの面積の比を表せ。

(２)正方形ABCDと正方形A4 B4 C4 D4との重複面積を81/16倍すると正方形ABCDの面積になるとき、ｔの値を求めよ。

中学3年生ですが進学校なのですこし、高校の内容に入ってます。

きちんとした説明でなくてごめんなさい。
No.19752 - 2013/01/07(Mon) 21:57:52
☆ 追記：正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
点B＝点B1＝点B2＝点B3＝点B4
です。(全て同じ点です。)
No.19753 - 2013/01/07(Mon) 21:59:54
☆ Re: 正方形の重複部分 / ヨッシー
(1) は、

このようになるので、
正方形１６に対して、重複部１６−５＝１１　です。

ここからは確認ですが、
Ｃ1Ｃ2 は、ｔ×Ｃ1Ｄ1 ではなく ｔ×ＣＤ　なのですね？
つまり、
　ＣＣ1＝Ｃ1Ｃ2＝Ｃ2Ｃ3＝Ｃ3Ｃ4
で良いですか？

また、三角関数はＯＫですか？
No.19754 - 2013/01/07(Mon) 23:06:42
☆ Re: 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
OKです。
No.19756 - 2013/01/08(Tue) 05:50:09
☆ Re: 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ
解決してないので解答が分かり次第、解説お願いします。
No.19766 - 2013/01/08(Tue) 20:47:39
☆ Re: 正方形の重複部分 / らすかる
(2)はすごく大変そうな気がするのですが、
（私がうまい解き方に気付いてないだけかも知れませんが）
問題は正しいでしょうか。
とりあえず数値計算してみたら、
t=0.330849642018879634091172778534…
という値になりました。
ちなみに、条件を満たすときは重複部分は直角三角形になるようです。
（C4はADより上にあるということです。）
No.19771 - 2013/01/09(Wed) 01:02:02
☆ Re: 正方形の重複部分 / ヨッシー
ごりごりやるとＣ4 の座標は

となります。

らすかるさんの求められた値を入れるとＢ4Ｃ4とＡＤが
ＡＤを32:49 に内分する点で交わるので、らすかるさんの
解かれた式と同じと思います。
No.19774 - 2013/01/09(Wed) 06:24:18
☆ Re: 正方形の重複部分 / ユナ・ナンシィ・オーエン
結局、これをどう解けばいいのですか?
No.19836 - 2013/01/18(Fri) 20:52:20
☆ Re: 正方形の重複部分 / ヨッシー
おいそれと解けるような代物ではないです。

で、「問題は正しいでしょうか。」という話になります。

出典は何ですか？
No.19837 - 2013/01/18(Fri) 22:48:36
★ (No Subject) / ちゃちゃ
下記の問題につきまして、お教えいただけますようよろしくお願い致します。
（急いでいます。答えがありませんm(__)m）

一辺の長さが10cmの正四面体に内接する球があるとき、次の問に答えよ。

?@△ABCの面積を求めよ。

?A正四面体の体積を求めよ。

?B内接する球の半径を求めよ。


どうぞよろしくお願い致します。
No.19748 - 2013/01/07(Mon) 12:42:40
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢＣとは何ですか？
No.19750 - 2013/01/07(Mon) 15:14:10
☆ Re: / ちゃちゃ
情報が不足しており申し訳ございませんでした。
もう一つの方を教えていただきましたので、もう一度自分で考えてみたいと思います。
ありがとうございました。
No.19759 - 2013/01/08(Tue) 09:32:21
★ (No Subject) / ちゃちゃ
次の問題がどうしても解けません・・・。教えていただけますようお願い致します。
（急いでいます。答えがありませんm(__)m）

１．∠Cが90°で、AC＝2√3 BC＝4の△ABCにおいて、辺ＡＢ上に点Dを∠BCD＝30°となるようにとるとき、次の問に答えよ。

?@△BCDの面積を求めよ。

?ABDの長さを求めよ。

?B△BCDの外接円の半径を求めよ。
No.19747 - 2013/01/07(Mon) 12:40:33
☆ Re: / ヨッシー
?@
ＤからＢＣに垂線ＤＥを下ろします。
ＤＥ＝ｘ とおくと、
　ＥＢ＝(2√3/3)ｘ，ＣＥ＝√3ｘ
より、ＢＣ＝ＣＥ＋ＥＢ＝(5√3/3)ｘ＝４
ＢＣを底辺とすると、ＤＥが高さになります。
?A
　ＢＤ：ＡＤ＝△ＢＣＤ：△ＡＣＤ
から、ＢＤを求めます。
?B
　２Ｒ＝ＢＤ/sin∠ＢＣＤ＝２ＢＤ
より、
　Ｒ＝ＢＤ
No.19749 - 2013/01/07(Mon) 15:12:29
☆ Re: / ちゃちゃ
早速ありがとうございました！
わかりました。
大変助かりました。ありがとうございます。
No.19758 - 2013/01/08(Tue) 09:30:44
★ 二次関数 / 桜
y=x^2-2ax-1のグラフとx軸の交点を A、Bとするとき
線分ABの長さの最小値はなんですか？

解説をお願い致しますm(。_。)m
No.19741 - 2013/01/07(Mon) 11:06:22
☆ Re: 二次関数 / らすかる
x^2-2ax-1=0 の解をα, βとすると
線分ABの長さは|α-β|
解と係数の関係から α+β=2a, αβ=-1 なので
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=4a^2+4≧4
∴|α-β|はa=0のとき最小値2をとる
No.19743 - 2013/01/07(Mon) 11:39:22
☆ Re: 二次関数 / 桜
大変丁寧な解答ありがとうございました！また機会があれば、宜しくお願いします(*^^*ゞ
No.19745 - 2013/01/07(Mon) 12:25:10
★ (No Subject) / １３歳
下図の三角形はAB=4cm,BC=6cmの直角三角形です。
この直角三角形の内部に、図のように
正方形を順に次々と無限に作っていきます。
このとき、色の塗られていない部分の面積を求めてください。
※正方形は右(正方形DEFB)から作り始めて、
順に左側へ書き進めていきます。
No.19735 - 2013/01/06(Sun) 23:19:35
☆ Re: / １３歳
解説お願いします。
No.19736 - 2013/01/06(Sun) 23:20:17
☆ Re: / らすかる
AE：EB=AE：ED=2：3 から AE=8/5、△ACE=(8/5)×6÷2=24/5
DFとCEの交点をGとするとAE：DG=5：3なので△ADE：△DGE=5：3
この比率は左の小さい三角形、その左のより小さい三角形でも同じ
従って白い部分の面積は△ACEの5/8なので、(5/8)(24/5)=3
No.19737 - 2013/01/07(Mon) 00:01:53
☆ Re: / ヨッシー
別解です。



図のように、△ＡＢＣを、台形ＡＢＦＤおよび、それと相似な
台形に分けます。
１つの台形において、白と赤の比率は１：３なので、
△ＡＢＣ全体としても白と赤の比率は１：３となります。
よって、白の部分は△ＡＢＣの面積１２cm^2 の1/4倍で、
　12×1/4＝３(cm^2)
となります。
No.19738 - 2013/01/07(Mon) 06:20:29
☆ Re: / １３歳
ありがとうございます。
理解できました。
No.19739 - 2013/01/07(Mon) 10:38:31
☆ Re: / ヨッシー
おまけ


No.19740 - 2013/01/07(Mon) 10:49:49
★ 定積分 / 工学部2年
以下の問題の解説をお願いします．

任意の２次関数f(x)に対して次の式が成り立つような定数a,b,cの値を求めよ．
∫[-1,1]f(x)dx=af(-1)+bf(0)+cf(1)
No.19732 - 2013/01/06(Sun) 15:14:51
☆ Re: 定積分 / らすかる
∫[-1,1]f(x)dx=af(-1)+bf(0)+cf(1)
f(x)=px^2+qx+r とおくと
∫[-1,1]f(x)dx=(2/3)p+2r
af(-1)+bf(0)+cf(1)=(a+c)p+(-a+c)q+(a+b+c)r
これが恒等的に等しくなるためには
a+c=2/3, -a+c=0, a+b+c=2
これより (a,b,c)=(1/3,4/3,1/3)
No.19733 - 2013/01/06(Sun) 16:32:44
☆ Re: 定積分 / 工学部2年
ありがとうございます。
No.19734 - 2013/01/06(Sun) 18:28:08
★ (No Subject) / 工学部2年
写真の問題の(1)はわかったのですが(2)がわかりません．
(2)の解説をお願いします．
No.19729 - 2013/01/06(Sun) 00:03:20
☆ Re: / ヨッシー
数学的帰納法で良いと思います。
(1) の漸化式はｍについては任意の自然数について成り立つので、
ｎについて考えます。

ｎ＝１ のとき
　Im.1＝∫x^m(1-x)dx＝・・・＝1/(m-1)(m-2)＝m!/(m+2)!
より成り立ちます。
ｎ＝ｋ のとき
　Im,k＝m!k!/(m+k+1)!
が成り立つとき、n=k+1 のときを考えると、
　Im,(k+1)＝(k+1)Im,k/(m+k+2)
　　　＝m!(k+1)k!/(m+k+2)(m+k+1)!
　　　＝m!(k+1)!/{m+(k+1)+1}!
となり、n=k+1 のときも、
　Im,n＝m!n!/(m+n+1)!
が成り立ち、任意の自然数 m､n について、
　Im,n＝m!n!/(m+n+1)!
が成り立ちます。
No.19730 - 2013/01/06(Sun) 00:30:50
☆ Re: / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19731 - 2013/01/06(Sun) 11:46:37
★ 図形 / 桜
以下の問題を教えてください

ア〜キまでは一応解けたのですが、 それぞれ1、6、2、3、2、3、3で合 っていますか？

四面体の面積はこの場合、 底面積が三角形ABD=1/2、高さ1とし たのですが これは間違っていますか？ さらに、 クからは問題文を読んでも 理解できなかったので教えてくださ い。 ￿
No.19711 - 2013/01/05(Sat) 13:26:42
☆ Re: 図形 / ヨッシー
キまでは合っています。

「四面体の面積は」ではなく「四面体の体積は」ですね。


△ＡＣＧを抜き出して描くとこのようになります。

ＣからＡＧに垂線ＣＪをおろします。
△ＡＣＧと△ＣＪＧの相似より、
　ＧＪ＝ＣＧ×(ＣＧ/ＡＧ)＝√3/3
となり、ＡＫ＝√3/3 であることと合わせて、点Ｋ、Ｊは、
ＡＧの三等分点になります。
よって、△ＣＫＧは二等辺三角形となり、ＫＣ＝ＣＧ＝１ となります。

四面体ＫＣＦＨは、△ＣＦＨ(△ＢＤＥと合同)を底面とすると、
ＫＪが高さとなり、四面体ＡＢＤＥと同じなので、
　Ｖ１：Ｖ２＝１：１
四面体ＫＰＱＲは、これらと 相似比１：２の相似な四面体なので、体積比は
　８：１
となります。
No.19715 - 2013/01/05(Sat) 13:53:44
☆ Re: 図形 / 桜

解説ありがとうございます。

質問なのですが、
GJの値はどう計算しているのでしょうか。
No.19718 - 2013/01/05(Sat) 14:22:51
☆ Re: 図形 / ヨッシー
上にあるとおり、
△ＡＣＧと△ＣＪＧの相似より、
　ＧＪ＝ＣＧ×(ＣＧ/ＡＧ)＝√3/3
です。
No.19719 - 2013/01/05(Sat) 14:26:43
☆ Re: 図形 / 桜
大変丁寧な解答ありがとうございました！

また機会があれば、宜しくお願いします(*^^*ゞ
No.19726 - 2013/01/05(Sat) 20:53:15
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