ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ n≧1とする根拠について / のんです

【問題】
f(x)をxの整式とする。関数y=f(x)はxy''+(1-x)y'+3y=0,f(0)=1を満たしている。
(1)f(x)の次数を求めよ。
(2)f(x)を求めよ。

解答の流れそのものは理解できました。
しかしながら、(1)の解答は、f(x)の次数をｎ（≧1）とするという書き出しの部分が分かりません。

【解答】(1)の冒頭部分
f(x)の次数をｎ（≧1）とすると、・・・（ア）
f(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(2)x^2+a(1)x+a(0)
(a(n)≠0)とおける。
f'(x)={na(n)x^(n-1)}+{(n-1)a(n-1)x^(n-2)}+…+2a(2)x+a(1)・・・（イ）
f''(x)={n(n-1)a(n)x^(n-2)}+{(n-1)(n-2)a(n-1)x^(n-3)}+…+2a(2)・・・（ウ）

とあります。

（ア）の傍注に、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0であるから、f(x)=0となり、f(0)=1を満たさない」とあります。
これがどういう意味を指すのが分かりません。

お手数をお掛けしますが、詳しい説明をお願いいたします。

No.19058 - 2012/10/27(Sat) 17:53:01

☆ Re: n≧1とする根拠について / IT

> 【問題】
> f(x)をxの整式とする。関数y=f(x)はxy''+(1-x)y'+3y=0,f(0)=1を満たしている。
> （ア）の傍注に、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0であるから、f(x)=0となり、f(0)=1を満たさない」とあります。

n=0のとき f(x)はどんな式になりますか？

「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」はわかりますか？

xy''+(1-x)y'+3y=0　にf'(x)=f''(x)=0を代入するとどうなりますか？

No.19059 - 2012/10/27(Sat) 17:59:35

☆ Re: n≧1とする根拠について / のんです

ITさんへ

以下の（１）から（４）へまとめてみました。

（１）n=0のとき f(x)はどんな式になりますか？
→xの零次式となるので、f(x)=a(n)x^0=f(x)=a(n)となりますから、定数項だけが残ってしまい、f(x)はxの関数では無くなると思います。

（２）「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」はわかりますか？
→上記の解釈が正しく、n=0のとき、f(x)が定数項だけで成り立つとすると、定数項を微分するので、f'(x)=0は分かります。同様にf'(x)=0とすると、これを微分すれば、また零になり、f''(x)=0も分かります。

（３）xy''+(1-x)y'+3y=0　にf'(x)=f''(x)=0を代入するとどうなりますか？
→わかりません。

（４）として、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」は上記（２）のところで理解したと考えていますが、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0であるからf(x)=0となり」がわかりません。

よろしくお願いいたします。

No.19081 - 2012/10/28(Sun) 22:07:41

☆ Re: n≧1とする根拠について / IT

> （１）n=0のとき f(x)はどんな式になりますか？
> →xの零次式となるので、f(x)=a(n)x^0=f(x)=a(n)となりますから、定数項だけが残ってしまい、f(x)はxの関数では無くなると思います。
定数関数もxの関数のひとつです。
>
> （２）「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」はわかりますか？
> →上記の解釈が正しく、n=0のとき、f(x)が定数項だけで成り立つとすると、定数項を微分するので、f'(x)=0は分かります。同様にf'(x)=0とすると、これを微分すれば、また零になり、f''(x)=0も分かります。
>
> （３）xy''+(1-x)y'+3y=0　にf'(x)=f''(x)=0を代入するとどうなりますか？
> →わかりません。
3y=0、すなわちf(x)=0となります。ところがこれは、f(0)=1を満たしません。

よってn=0のときy=f(x)はxy''+(1-x)y'+3y=0,f(0)=1を満たすことはできない。ということです。

No.19082 - 2012/10/28(Sun) 22:18:25

★ 積の微分法（導関数）の計算 / のんです

積の微分法（導関数）の計算について、どうしても計算が合わないのです。よろしくお願いいたします。

【問題】
関数f(x)=x*e^-xについて、f(x)の第ｎ導関数f(n)(x)を求めよ。

【解答】では、実際にn=1, n=2, n=3　と代入して、f(n)(x)を類推した上で、その式を数学的帰納法で証明しています。

（途中の計算は略しますが、）
f'(x)=-(x-1)*e^-x
f''(x)=(x-2)*e^-x
f'''(x)=-(x-3)*e^-x

これらより、
f(n)(x)={(-1)^n}*(x-n)*e^-x・・・?@
と類推できる。
この類推が正しいことを数学的帰納法で証明する。
i)n=1のとき
　f(1)(x)=-(x-1)*e^-xとなり、?@は成り立つ。
ii)n=kのとき
　f(k)(x)={(-1)^k}*(x-k)*e^-x が成り立つとする。
　このとき、
　　f(k+1)(x)={f(k)(x)}'・・・（ア）
=[{(-1)^k}*(x-k)*e^-x]'・・・（イ）
=[{(-1)^k}*e^-x]-{(-1)^k}*(x-k)*e^-k
　　　　　　　・・・（ウ）
（中略）
={(-1)^(k+1)}*{x-(k+1)}*e^-x・・・（エ）
　よって、n=k+1のときも?@は成り立つ。
i),ii)より、すべての自然数ｎに対して?@は成り立つ。
したがって、f(n)(x)={(-1)^n}*(x-n)*e^-x

全体の流れも理解し、（イ）～（エ）の計算も分かるのですが、（ア）から（イ）の計算が何度やってもうまくいきません。解説の傍注には、（ア）から（イ）の部分に、f(k)(x)={(-1)^k}(x-k)e^-xであるから、積の微分法を用いるとあります。具体的には、(-1)^kをxで微分するあたりがおかしいのかなと思うのですが、よく分かりません。よろしくお願いいたします。

　

No.19056 - 2012/10/27(Sat) 17:11:07

☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / IT

> （ア）から（イ）の計算が何度やってもうまくいきません。具体的には、(-1)^kをxで微分するあたりがおかしいのかなと思うのですが、
のんさんの計算ではどうなりますか？
(-1)^kをxで微分すると、(-1)^kは定数ですから、０です
{(-1)^k}*(x-k)　をxで微分するのではないですか？

積の微分は分かりますか？
(x-2)*e^-x　をxで微分してみてください。

No.19057 - 2012/10/27(Sat) 17:27:11

☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / のんです

ITさんへ

「(-1)^kをxで微分すると、(-1)^kは定数ですから、０です」ね。
ありがとうございました。

積の微分は分かります。
{f(x)g(x)}'
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
です。

(x-2)*e^-x　をxで微分すると、
{(x-2)*e^-x}'
={(x-2)'e^-x}+(x-2)(e^-x)'
=(e^-x)+(x-2)(e^-x)(-x)'
=(e^-x)-(x-2)e^-x
=(e^-x)-x(e^-x)+2(e^-x)
=(e^-x)(3-x)
=-(x-3)e^-x
となりました。

No.19080 - 2012/10/28(Sun) 21:53:40

☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / IT

結局（ア）から（イ）の計算は、うまくいったってことでしょうか？

No.19083 - 2012/10/28(Sun) 22:20:20

☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / のんです

はい、計算うまくいきました！ありがとうございました。

No.19097 - 2012/10/30(Tue) 22:09:34

★ 答があいません / まき

Oを原点とするxy平面上において、x軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qがある。
大小2つのサイコロを同時に振り、Pは大きいサイコロの目が3以上のとき+1進み
2以下のとき+2進む。
Qは小さいサイコロの目が偶数のとき+1進み、奇数のとき+2進む。
P,Qは最初Oにあり、サイコロを振るたびに、いずれも正の方向に進んでいくものとする。
2つのサイコロを３回振るとき
(1)三角形OPQが二等辺三角形である確率
二等辺三角形ということはOP=OQとなればいいんですよね。
P,Qともに３回の試行で進めるのは最短で３、最長で６です。
ＯＰ＝３のときの確率は8/27
OP=4のときは4/9
OP=5のときは2/9
OP=6のときは1/27

OQ=3のときは1/8
OQ=4のときは3/8
OQ=5のときは3/8
OQ=6のときは1/8
以上より
(8/27)・(1/8)+(4/9)・(3/8)+(2/9)・(3/8)+(1/27)・(1/8)=133/216となったのですが
答は1/27です。
どうして答があわないのでしょうか？
何度考えても分かりません。誰か教えて下さい。お願いします。

No.19050 - 2012/10/27(Sat) 07:30:20

☆ Re: 答があいません / ヨッシー

(8/27)・(1/8)+(4/9)・(3/8)+(2/9)・(3/8)+(1/27)・(1/8)
までは合っているので、あとは計算間違いでしょう。

ただし、1/27 も違います。
(別の問題の答えを見ていませんか？)

なぜなら、最初の (8/27)・(1/8) だけで 1/27 になるのに、
答えが 1/27 になるはずがありません。

答えは 7/24 になります。

No.19051 - 2012/10/27(Sat) 08:35:13

☆ Re: 答があいません / まき

答えにはやはり1/27と書いています。
答が間違っているんでしょうか？
問題に誤りはありません。

No.19053 - 2012/10/27(Sat) 13:20:58

☆ Re: 答があいません / IT

> 答えにはやはり1/27と書いています。
> 答が間違っているんでしょうか？
ヨッシーさんのおっしゃるとおりだと思います。
1/27ではありません。答えが間違いだと思います。
出典は何ですか？

No.19054 - 2012/10/27(Sat) 13:44:09

★ (No Subject) / まき

Oを原点とするxy平面上において、x軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qがある。
大小2つのサイコロを同時に振り、Pは大きいサイコロの目が3以上のとき+1進み
2以下のとき+2進む。
Qは小さいサイコロの目が偶数のとき+1進み、奇数のとき+2進む。
P,Qは最初Oにあり、サイコロを振るたびに、いずれも正の方向に進んでいくものとする。
2つのサイコロを３回振るとき
(1)線分OPの長さが5である確率を求めよ。
と言う問題があるのですがPがx=5の位置に位置するためには
３回中+2となる目が2回、+1となる目が１回でないといけませんよね？
答では反復試行の公式を使って求めていたんですけどここで一つ疑問があります。
たしかにOP=5となるための場合は上記のように大きいサイコロにおいて３回中+2となる目が2回、+1となる目が１回でればＯＫｄだと思うんです。
ですが、このとき小さいサイコロについては考えなくていいんでしょうか？
大きいサイコロ、小さいサイコロは同時になげるんですよね？
小さいサイコロの目がなんであれPには直接影響してきませんけどなんかひっかかるんです。
どなたかこの点に関して教えて下さい。お願いします。

No.19038 - 2012/10/26(Fri) 19:45:26

☆ Re: / らすかる

線分OPの長さにQの位置は関係ありませんから、
小さいサイコロは無関係です。

No.19039 - 2012/10/26(Fri) 20:29:14

☆ Re: / X

問題には大きいサイコロと小さいサイコロの出す目の
出方についての関係性についての条件は何もありません。
まきさんが引っかかっているのはこの関係性のことだと
思いますが、確かに小さいサイコロの出方に点Pの位置が
関係するような、関係性についての条件をつけた問題も
作ろうと思えばできます。
ですが飽くまで「作ろうと思えば」です。

No.19040 - 2012/10/26(Fri) 20:29:57

☆ Re: / まき

納得できました。ありがとうございました。

No.19042 - 2012/10/26(Fri) 21:19:26

★ (No Subject) / ぴけ

三角形ABC上において、辺BCの中点をMとしたとき、AM=BCであるとする辺AB上に点P、辺AC条に点QをPQとBCが平行かつBQ⊥CPとなるようにとる。このときPQ:BCを求めよ｡

No.19036 - 2012/10/26(Fri) 16:03:12

☆ Re: / ヨッシー

ＢＱとＣＰの交点をＲとし、ＡＲとＢＣの交点をＳとします。
ＢＣ//ＰＱよりＡＰ／ＰＢ＝ＡＱ／ＱＣ　・・・(1)
チェバの定理より
　(AP/PB)(BS/SC)(CQ/QA)＝１
なので、(1) を考慮すると、BS/SC＝１となり、点ＳはＢＣの
中点Ｍと一致します。

∠ＢＲＣは直角なので、３点Ｂ，Ｃ，Ｒは、Ｍを中心、半径ＢＭの
円周上にあります。
よって、ＢＭ＝ＣＭ＝ＭＲであり、
ＡＭ＝ＢＣより、ＡＲも、ＢＭ，ＣＭ，ＭＲと同じ長さとわかります。
メネラウスの定理より
　(AR/RM)(MB/BC)(CQ/QA)＝１
AR/RM＝１，MB/BC＝1/2 より　CQ/QA＝2/1 となり
ＡＱ：ＡＣ＝１：３より　ＰＱ：ＢＣ＝１：３となります。
（△ＡＰＱと△ＡＢＣの相似比)

No.19049 - 2012/10/27(Sat) 00:16:29

★ (No Subject) / ぴけ

13個が横一列に並んでいる。このマスを1つ、あるいは１つとばしに左右どちらにでも動かすことができるコマがある。最初、左端に止まっているコマがすべてのマスのうえに1回ずつ止まって最後に右端のマスに到達するようなコマの動かし方は何通りあるか。

解答お願いします。

No.19033 - 2012/10/26(Fri) 13:47:53

☆ Re: / ヨッシー

「13個のマスが・・・」ですね。

Ａ、Ｂ、Ｃの文字で、
　Ａ：１つ右、Ｂ：２つ右、Ｃ：１つ左
進むことを表すとします。
　ＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡ　　（Ａが１２個）
というのも、１つの進み方です。
最初に２つ進むと、次は、１つ戻る、２つ進むと動かないと
すべてのマスに止まれません。つまり、
　ＢＣＢＡＡＡＡＡＡＡＡＡ
となります。このＢＣＢというのは必ず１セットになって発生し、
そのあとは、自由に進めます。
　ＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡ
を基本形にして、ＢＣＢを
１つ挿入するもの　10Ｃ1＝10（通り）
２つ挿入するもの　8Ｃ2＝28（通り）
３つ挿入するもの　6Ｃ3＝20（通り）
４つ挿入するもの　4Ｃ4＝1（通り）
これに、１つも挿入しない１通りを加えて60通りとなります。

※例えば、ＢＣＢを1つ挿入する場合は、ＢＣＢをひとつの文字Ｄに
置き換えて、Ａ９個とＤ１個の並び方になるので、10Ｃ1 となります。

No.19034 - 2012/10/26(Fri) 14:17:10

★ 指数対数 / 高2

nは自然数とし,2^nは100桁の数で,2^n－1は99桁の数である.ただし,log10^2=0.3010としてよい.
(1)nを求めよ
(2)2^nの一の位の数字を求めよ
(3)2^nの十の位の数字を求めよ

No.19032 - 2012/10/26(Fri) 13:39:49

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

log は底が10とします。
(1)　98≦log{2^(n-1)}＜99≦log(2^n)＜100
　であるので、
　98≦(n-1)log2＜99≦ｎ・log2＜100
log2＝0.3010 を適用して、
　98/0.3010≦n-1＜99/0.3010≦ｎ＜100/0.3010
　325.6＜n-1＜328.9＜n＜332.2
　326.6＜ｎ＜329.9　かつ　328.9＜n＜332.2
よって、ｎ＝329

(2)
2^1＝2, 2^2＝4, 2^3＝8, 2^4＝16, 2^5＝32
より、ｎを４で割って、
１余るとき：１の位は２
２余るとき：１の位は４
３余るとき：１の位は８
割り切れるとき：１の位は６
であり、329 は４で割って１余るので、2^329 の１の位は２。

(3)
4に16を次々掛けて、下２桁だけ取り出すと
　2^2→4, 2^6→64, 2^10→24, 2^14→84, 2^18→44, 2^22→04
となり、４以降は、2^20 を掛けるごとに同じ下２桁が繰り返します。
よって、2^329 は 2^9 と同じ下２桁なので、12 となり、十の位の数は１です。

No.19035 - 2012/10/26(Fri) 14:44:35

★ 記述に関する質問その?A / Xex(3年)

記述に関する質問をもう一つ…
?@「(グラフなどより)明らか」について。例題:xは1より大きい実数とする。この時、x^2>xを証明せよ。この問題について、3通りの証明方法が挙がりますがどれが最も当でしょうか？I)f(x)=x^2-xとおいて微分して増減を調べて証明 II)x^2-x>0を示せばいいからx(x-1)と変形してこの式は「明らかに」x>1において正である。 III)グラフy=x^2とy=xを描いて「グラフより明らか」とする
?A「領域を図示せよ」と言われたら必ず境界線を含むか含まないかの記述がいると聞いたのですが本当でしょうか?
?Bベクトルの問題でよく使う一次独立とは何のことでしょうか?いつもそこが抜けていたせいでバツを食らいました…

No.19028 - 2012/10/25(Thu) 19:43:57

☆ Re: 記述に関する質問その?A / ヨッシー

(1)
解いている生徒のレベル、逆に言えば、出題者が解答者に求める
レベルにより違います。
例えば、解答者が高１程度だと、微分は知りませんので、
「グラフより明らか」が許されるでしょう。
ただし、グラフを正しく描くには、ｙ＝ｘ^2 とｙ＝ｘが、
(0,0) と (1,1) で交わることは示す必要があるでしょうから、
全くの「グラフのみ」というのはあり得ません。
そして、微分で、関数の増減を習った以上は、やはりそれを使わないと、
ダメでしょう。
なぜなら、出題者がそれを求めているからです。

(2)
必ずと言われると、きっとそうではない場合もあるでしょうが、
そういうのは「お目こぼし」と思っておいた方が良いでしょう。
私が高校生の頃は、含む含まないの記述はもとより、
交点で、含む点は●含まない点は○、領域に斜線を引くときは、
含む境界線には、斜線を触れさせる、含まない境界線からは、
少し離す、ということをやっていました。

(3)
乱暴に言うと、０ベクトル以外の２つのベクトルが、平行でない
状態のことです。
平行でない２つのベクトルａ、ｂに対して、
　ｍａ＋ｎｂ＝０
であるならば　ｍ＝ｎ＝０が成り立ちます。または、
　ｍａ＋ｎｂ＝ｓａ＋ｔｂ
ならば、ｍ＝ｓ、ｎ＝ｔが成り立ちます。
（移項して、右辺を０にすれば同じことです)

２つのベクトルが平行だとする、例えば、ｂ＝－２ａ
（ａはｂと、正反対の向きで長さが２倍)
とすると、
　ｍａ＋ｎｂ＝０
だからといって、ｍ＝ｎ＝０とは限りません。
ｍ＝１，ｎ＝２とかｍ＝３，ｎ＝６とか、色々あります。
ですから、ａとｂが一次独立だから、あるいは
ａとｂは平行でないので、といった言葉が
必要になります。

No.19031 - 2012/10/25(Thu) 21:59:28

★ (No Subject) / ルイ

自分で考えても分からなかったので、解説お願い致します。

?@sinθ＋cosθ=ｰ1/3のとき (sin^2θ)/(cosθ)＋(cos^2θ)/(sinθ)= アイ/ウエ

?A0≦x≦2πのときy=3sinxｰ1/sinx＋2 の最大値はア/イ、最小値はウエ

?B2次方程式5x^2ｰ7x＋k=0の2つの解は同じ角の正弦と余弦である。ただし、kは定数とする。

?T kの値はアイ/ウ ?U この方程式の解は小さい順にエ/オ､カ/キ

?C0≦θ≦2πにおいて sinθ＋√3cosθ=1を満たすθの値は小さい順にア/イπ､ウ/エπ

No.19024 - 2012/10/24(Wed) 16:57:47

☆ Re: / X

(1)
sinθ+cosθ=ｰ1/3 (A)
とします。
(A)より
(sinθ+cosθ)^2=1/9
左辺を展開して整理すると
1+2sinθcosθ=1/9
∴sinθcosθ=-4/9 (B)
後は問題の式を通分するなどして(A)(B)が代入できる式に
変形します。

(2)
sinx=tと置くと
-1≦t≦1 (A)
で
y=(3t-1)/(t+2) (B)
横軸にt、縦軸にyを取って(A)の範囲で(B)のグラフを描きましょう。

(3)
条件から問題の二次方程式の解はsinθ、cosθと置けますので
解と係数の関係から
sinθ+cosθ=7/5 (A)
sinθcosθ=k/5 (B)
(I)
(1)での前準備と同様の式変形を用いてkについての方程式を立てましょう。
(II)
(I)の結果を使って問題の二次方程式を解きます。

(4)
三角関数の合成を使うと問題の方程式は
2sin(θ+π/3)=1
∴sin(θ+π/3)=1/2 (A)
ここで0≦θ≦2πより
π/3≦θ+π/3≦7π/3
であることに注意して(A)を解きます。

No.19025 - 2012/10/24(Wed) 18:43:41

★ 高3 帰納法を用いた証明 / ktdg

数列{an}は、a1=1,a(n+1)/(n+1)=an/2nで定められている。
数列{an}の初項から第n項までの和をSnとするとき、不等式4-Sn≦1/(√2)^(n-2)が6以上のすべての整数nについて成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。

Sn=4-(2+n)/2^(n-1)となる。
よって4-Sn=(2+n)/2^(n-1)だから、(2+n)/2^(n-1)≦1/(√2)^(n-2)ー?@を示せばよい。
(?@)n=6のとき
?@の左辺=(2+6)/2^5=1/4,?@の右辺=1/(√2)^4=1/4より、?@は成り立つ。
(?A)n=kのとき
(2+k)/2^(k-1)≦1/(√2)^(k-2)が成り立っていると仮定する。
n=k+1のとき
(k+3)/2^k=1/2{(k+2)/2^(k-1)+1/2^(k-1)}
仮定より、
1/2{(k+2)/2^(k-1)+1/2^(k-1)}≦1/2{1/(√2)^(k-2)+1/2^(k-1)}=1/(√2)^k+1/2^k
従って、1/(√2)^(k-1)≧1/(√2)^k+1/2^kを示せばよい。

上の不等式は
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k={(√2-1)^2-1}/2^k=(2-2√2)/2^k<0となり成り立ちませんでした。
どこが間違っているのでしょうか?

No.19018 - 2012/10/23(Tue) 21:20:34

☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / らすかる

1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k={(√2-1)^2-1}/2^k=(2-2√2)/2^k<0
が間違っています。
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k はどこから出てきた式でしょうか？
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k = {(√2-1)^2-1}/2^k も成り立ちません。

No.19019 - 2012/10/23(Tue) 22:01:51

☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / ktdg

すいませんでした。
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^kではなく1/(√2)^(k-1)-1/(√2)^k-1/2^kでした。
もう一度計算してみたところ、計算結果は
{(√2)^k(√2-1)-1}/2^kとなりました。 ※2つ目の( )は(√2)^kにかかっています。
k≧6より、(√2)^k(√2-1)-1≧(√2)^6(√2-1)-1=8√2-9=√128-√81≧0
∴ {(√2)^k(√2-1)-1}/2^k≧0
⇔(k+3)/2^k≦1/(√2)^(k-1)
従って、すべての自然数nについて、4-Sn≦1/(√2)^(n-2)は成り立つ。

このような証明の仕方であっていますか?

No.19020 - 2012/10/23(Tue) 22:50:59

☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / らすかる

最後の行の「すべての自然数nについて」を
「6以上のすべての整数nについて」に修正する必要がありますが、
他は問題ないと思います。

No.19021 - 2012/10/23(Tue) 23:07:42

☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / ktdg

ありがとうございます。

No.19022 - 2012/10/23(Tue) 23:11:49

★ 高3 微分 / ktdg

a,b,cを正の定数とする。xy平面において、曲線C1:y=ax^2+bと曲線C2:y=logct(底はe)がともに点Aにおいて直線Lに接している。
(1)a,b,cの値をそれぞれ求めよ。

C1=f(x),C2=g(x)とする。点Aはy=x上にあるのでx座標をtとおくと、y座標もtである。
また、直線Lの傾きは常に1であるから、
f(t)=g(t)=tかつf '(t)=g'(t)=1
⇔at^2+b=logct=tかつ2at=c/t=1
ここから導かれるcとtの方程式 e^t=t^2の解き方がわかりません。教えてください。

No.19011 - 2012/10/22(Mon) 23:25:21

☆ Re: 高3 微分 / ヨッシー

直線Ｌはｙ＝ｘなのですね？
曲線C2：ｙ＝log(cx) ですね？(xy平面なので)
また、C1=f(x),C2=g(x) という書き方は感心しません。
C1, C2 は曲線の名称であって、式ではないので。
また、log(cx) の微分は 1/x です。

すると、t=1, a=1/2, c=e, b=1/2 が順に得られます。

No.19012 - 2012/10/22(Mon) 23:41:13

☆ Re: 高3 微分 / ktdg

色々と書き方に間違いがあったようですいません。
logの微分を勘違いしていました。ありがとうございます。

No.19013 - 2012/10/23(Tue) 11:41:07

★ 実数 / shibuki

すべての正の実数x、yに対し、
√x+√y≦k√２x+y
が成り立つような、実数kの最小値を求めよ。
ちなみに、x、y、２x+yはすべてルートに含まれています。
よろしくお願いします。

No.19006 - 2012/10/22(Mon) 07:36:36

☆ Re: 実数 / X

x＞0,y＞0なので
√x+√y≦k√(2x+y)⇔(√x+√y)/√(2x+y)≦k
⇔(√t+1)/√(2t+1)≦k(x/y=tと置いた)
そこで
f(t)=(√t+1)/√(2t+1)
と置いてt＞0における増減を調べてみます。
f'(t)=(1-2√t)/{2(2t+1)√{t(2t+1)}}
によりf(t)は
t=1/4のときに極大値√(3/2)を取り
0＜t≦1/4において単調増加
1/4≦tにおいて単調減少
従って
f(t)≦√(3/2)
ですので求めるkの最小値は√(3/2)となります。

No.19010 - 2012/10/22(Mon) 12:20:33

☆ Re: 実数 / 豆

(1+√2)/2　では？

No.19014 - 2012/10/23(Tue) 12:00:49

☆ Re: 実数 / X

>>豆さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>shibukiさんへ
ごめんなさい。f'(t)の計算ミスで答えを誤っていました。
No.19010を直接訂正しましたのでご覧下さい。

No.19017 - 2012/10/23(Tue) 19:52:08

☆ Re: 実数 / 豆

間違っていました　orz

No.19023 - 2012/10/24(Wed) 10:57:53

★ 記述に関する質問 / Xex (3年)

前も聞いたかもしれませんが、
?@:階差数列を扱うときはなぜn>=2が必要なのでしょうか?(人によってΣの上が0になるからとか2項以上あって初めて階差が生じるからと答えが異なるので、ちゃんとした答えが欲しいです)
?A:相価>=相乗を使うときは必ず=が成立する条件を書く必要があるのでしょうか?(大小関係を示したいだけでも)
?B:軌跡の問題で[逆に･･･]の記述が必要なのはなぜですか?
?C:[グラフより明らか]がダメな理由を教えてください。(特に微積分が絡む問題で)
?D:不等式|x-1|<3を-3<x-1<3だから-2<x<4と解いたらバツをくらいました。何がいけないのですか?

根本的過ぎて申し訳ありません。

No.18994 - 2012/10/20(Sat) 18:28:39

☆ Re: 記述に関する質問 / IT

> ?@:階差数列を扱うときはなぜn>=2が必要なのでしょうか?
具体的に書かれないと回答し難いと思います。
> ?A:相価>=相乗を使うときは必ず=が成立する条件を書く必要があるのでしょうか?(大小関係を示したいだけでも)
必要ないと思います。
> ?B:軌跡の問題で[逆に･･･]の記述が必要なのはなぜですか?
具体的に書かれないと回答し難いと思います。
必要条件（であることだけ明らかにして）だけで範囲を絞っていった場合はそうでしょうね。

> ?C:[グラフより明らか]がダメな理由を教えてください。(特に微積分が絡む問題で)
具体的に書かれないと回答し難いと思います。

> ?D:不等式|x-1|<3を-3<x-1<3だから-2<x<4と解いたらバツをくらいました。何がいけないのですか?
良いと思います。バツをした人に理由を聞くしかないと思います。（応用が効かない？？のでお勧めの解法でない？とかでしょうか？それにしても×はおかしい！）

?@、?B、?Cは、具体的に例示して分けて質問されたほうが良いと思いますよ。

No.18997 - 2012/10/21(Sun) 08:24:39

☆ Re: 記述に関する質問 / angel

一般論になってしまいますが…
?@
> 人によってΣの上が0になるからとか2項以上あって初めて階差が生じるからと答えが異なる

これは言っていることは同じで、ちゃんとした理由になっています。
階差数列を用いる場合、例えば a[4]=a[1]+d[1]+d[2]+d[3] のような計算をするわけです。( 階差数列 d[n]=a[n+1]-a[n] )
そうすると、a[1] の場合は d[n] を足す計算が発生しない、つまり階差が生じていないので、別扱いにする必要が出ます。
式の形で見ると、a[n]=a[1]+Σ[k=1,n-1]d[k] で、n=1 の時には Σ[k=1,0] というマズい形ができる、そういう現れ方になります。( 終わりの項数は初めの項数を下回ってはいけない )

?A
必要ないです。相加平均≧相乗平均の等号成立条件を説明する必要があるのは…
・問題で求められている時
・この関係式を「最小値を求めよ」という問題に使おうとしている時。( 「最小値としてその値を取る」ことを示すため )
また、この関係式を使えないのは
・関数の値域を求める問題の時
　例えば y=x+1/x ( x＞0 ) の値域は y≧2 ですが
　y=x+1/x≧2√(x・1/x)=2 は使えません。
　なぜなら相加平均・相乗平均の関係式は単純に大小関係を表すだけだからです。例えば y=3 等となりうるかどうか、それについての情報は得られません。
　※値域 y≧2 というのは、y=3,4 等、y≧2 を満たす全ての値に関して、それぞれ対応する x があることを表しますから。

?B
大体は「必要条件を調べる」→「十分条件を調べる」という手順で「必要十分条件」である「軌跡」を探るからです。
「逆に…」の部分は「十分条件を調べる」に相当します。
最初から必要十分条件を調べていれば、2段階に分ける必要はありません。

?C
グラフというのは、あくまで関数の値の変化を計算で調べた結果を可視化したものです。だから普通は「グラフより明らか」なんてことはありません。必ずそのグラフができた計算の裏付けがあるはずなので、その説明で手抜きしていると取られます。
ただ、「グラフより明らか」が使える場面はなくはないです。それは、直線、円(楕円)、放物線等、どんな式ならそういうグラフになるかを習っていて、かつ図形としての性質が分かっている場合です。…でもお勧めはしませんが。

?D
全然問題ないですけどね…。
ひょっとしたら
　|x-1|＜3 ⇔ (x-1)^2＜3^2 ⇔ (x+2)(x-4)＜0
という解き方しか認めないつもりなのでしょうかね。

No.18998 - 2012/10/21(Sun) 09:09:50

☆ Re: 記述に関する質問 / Xex(3年)

そういうことでしたか…非常にためになりました!!

No.18999 - 2012/10/21(Sun) 11:46:02