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★ 算数なんですが・・・ / すぎちゃんパパ
5年生の子供でも分かるように教えたいのですが、どんな風に説明してやれば理解できるものでしょうか？
宜しくお願いします。

1.水槽A,Bがある。Aには毎秒120㎤、Bには150㎤の割合で同時に水を入れ始めたところ、Bがいっぱいになってから20秒後にAがいっぱいになりました。この水槽の容積を求めよ。

2.現在兄は50000円、弟は24000円の貯金があります。二人は毎月（　　）円ずつ6ヶ月間貯金をすることにしましたが、兄は最後の月だけ400円多く貯金したので、兄の貯金額は弟の2倍になりました。

私がやると方程式になってしまって・・・
宜しくお願いします！
No.19671 - 2013/01/03(Thu) 13:44:09
☆ Re: 算数なんですが・・・ / IT
> 1.水槽A,Bがある。Aには毎秒120㎤、Bには150㎤の割合で同時に水を入れ始めたところ、Bがいっぱいになってから20秒後にAがいっぱいになりました。この水槽の容積を求めよ。
条件不足では？
同じ容積の水槽A,Bある。なら解けると思いますが。
No.19675 - 2013/01/03(Thu) 13:59:29
☆ Re: 算数なんですが・・・ / ハオ
1はITさんが指摘してくださっているので保留としまして,2の方を僭越ながら解かせて頂きました.
所持金の差に注目してみました.これは二人共1ヶ月に貯めるお金は同じという事で差は変わらないという理由からです.
ただし最後の月に兄が400円多く貯めるので400円変わってしまいすが気にしない方向でいきます.(気にはします.)
6ヶ月後の所持金の差は26000+400円=26400円です.
兄が弟の2倍貯めている事から,図を描けば分かるのですが弟は26400円持っている事になります.
したがって貯めた金額は(26400円-24000円)/6=400円
と出たのですが如何でしょうか？
方程式を立てずに求めてみました.
ただし解答が間違っている可能性もありますので参考程度にお考え下さい.
No.19676 - 2013/01/03(Thu) 14:25:38
☆ Re: 算数なんですが・・・ / IT
> 1.水槽A,Bがある。Aには毎秒120㎤、Bには150㎤の割合で同時に水を入れ始めたところ、Bがいっぱいになってから20秒後にAがいっぱいになりました。この水槽の容積を求めよ。
同じ容積の水槽という前提で解きます。

Bがいっぱいになったとき、 Aに入れた水は全体の120/150＝4/5 （ここの説明がもう少し必要かも）
残りは全体の1-(4/5)=1/5ですから,全体は残りの５倍
残りは20秒間に入れた量120㎤/秒*20秒=2400㎤なので
全体は2400㎤＊５＝12000㎤

小学生に分かるようになっているか自信がないですので,言葉遣いなど適当に直してください。
No.19677 - 2013/01/03(Thu) 15:03:31
☆ Re: 算数なんですが・・・ / ハオ
ITさんが1の解答を書いて下さっているので
完全に僕の返信は蛇足なのですが考えてみたのでご参考程度に聞いて下さりましたら幸いです.
また差に注目してみました.
Aの水槽とBの水槽は1秒間に30cm^3の差が生まれます.今Bの水槽に完全に入れ終わった時AとBの水槽の差は120[cm^3/s]*20[s]=2400cm^3
となります.
1秒間で30cm^3の差が生まれるので2400cm^3の差が生まれるには80秒間必要です.
ですから今Bの水槽に水を入れていた時間は80秒間になり水槽は150[cm^3/s]*80[s]=12000cm^3で満タンになります.
したがって水槽の容積は12000cm^3となります.
No.19678 - 2013/01/03(Thu) 15:33:55
☆ Re: 算数なんですが・・・ / すぎちゃんパパ
ハオさん、ITさん、どうもありがとうございました。
私にはとても分かりやすかったです。
上手く教えられるといいのですが・・・
ありがとうございました！
No.19679 - 2013/01/03(Thu) 16:25:08
★ 確率 / ハオ
過去の記事(No.19589 - 2012/12/28(Fri) 20:50:09)がまだ解決されておらず個人的興味で解いてみたのですが、合っていますでしょうか?
LaTeXを使えばいいのですがまだコマンドに慣れておらず手間ですのでまた画像にて失礼します.

問題は以下です.
nを3以上の自然数とする.スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球を横一列にn個並んでいる.これらn個の電球のスイッチを同時に入れた後,左から電球の色を見ていき,色の変化の回数を調べてみる.
(1)左端が赤色で色の変化がちょうど1回起きる確率を求めよ
(2)色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ
(3)色の変化がちょうどm回(o≦m≦n−1)起きる確率を求めよ
(4)2以上の自然数k,lに対して,(k)×(l)C(k)=(l)×(l−1)C(k−1)が成り立つことを示し,さらに,色の変化の回数の期待値を求めよ.
No.19663 - 2013/01/01(Tue) 12:43:13
☆ Re: 確率 / ハオ
続きです.
No.19664 - 2013/01/01(Tue) 12:43:44
☆ Re: 確率 / ヨッシー
正しいと思います。

ただし、最後の期待値は、ｍ＝１ の場合を外さなくても
　n-2Ｃ0＋n-2Ｃ1＋・・・＋n-2Ｃn-2＝２^(n-2)
で良いでしょう。
No.19665 - 2013/01/01(Tue) 17:28:37
☆ Re: 確率 / ハオ
>ただし、最後の期待値は、ｍ＝１ の場合を外さなくても
明けましておめでとう御座います.
ご指導有難うございます.
k*(l)_C_(k)=l*(l−1)_C_(k−1)が2以上の自然数に対して成り立つものなので,怖くなってm=1を別に考えてしまいました.
No.19666 - 2013/01/01(Tue) 19:31:10
☆ Re: 確率 / ヨッシー
そういえば、導入がありましたね。

私は単純に二項定理で、
　n-2Ｃ0＋n-2Ｃ1＋・・・＋n-2Ｃn-2＝(１＋１)^(n-2)
を考えてました。
No.19667 - 2013/01/01(Tue) 20:00:26
★ 場合の数 / 電車大好き
男子4人、女子4人いるとき、
男子は2人ずつ隣り合わせだが、3人は続かないように
輪になって並ぶ並び方は？
No.19650 - 2012/12/31(Mon) 15:55:05
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

図のような並び方が考えられます。
いずれも、男の並び方　４！＝２４，女の並び方　２４の計５７６通りですが、
(2) の方は回転して同じ並び方になるものが２通りずつあるので、
　５７６＋２８８＝８６４(通り)
となります。
No.19652 - 2012/12/31(Mon) 18:56:03
☆ Re: 場合の数 / 電車大好き
この2つのパターンで考えるんですね☆ﾐ

よく円順列で用いられる！(階乗)は使わないと言うことですか？
No.19656 - 2012/12/31(Mon) 20:50:21
☆ Re: 場合の数 / IT
（別解）
男２人のペアを２つ作る方法は、３とおり
ペアの中の順番を考えると３*２^２＝１２とおり
２ペアと４人の６つを並べる円順列は５！とおり
よって各男２人が隣り合わせになるのは、５！*１２とおり

このうち男４人が並ぶのは、４！*４！
求める並び方の数は５！*１２−４！*４！

ヨッシーさんのが、一目で分かり易いですね。
No.19657 - 2012/12/31(Mon) 20:58:39
☆ Re: 場合の数 / 電車大好き
なるほど(ノ)・ω・(ヾ)

ありがとうございました！
No.19670 - 2013/01/03(Thu) 07:43:45
★ (No Subject) / ゆい
二次関数について質問です。

放物線ｙ=ax^2＋bx＋c……?@の頂点 が ｙ=ｰ4xｰ4上を通る。 ?@についてｙ＞0となるxの値の範囲 が x＜k、k＋4＜xのとき、 a、b、cをそれぞれkを用いて表して ください。 またkの取りうる値の範囲 はk＞アイ
No.19648 - 2012/12/31(Mon) 15:06:07
☆ Re: / X
(前半)
(1)についてy＞0となるxの値の範囲 が
x＜k、k+4＜x
ですのでxの二次方程式
ax^2+bx+c=0
の解は
x=k,k+4
とならなければなりません。よって(1)のx^2の係数に
注意すると(1)は
y=a(x-k)(x-k-4)
と書くことができます。
これより
y=ax^2-2a(k+2)x+ak(k+4) (1)'
∴
b=-2a(k+2) (2)
c=ak(k+4) (3)
又(1)は
y=a{x-(k+2)}^2-4a (1)"
となるので頂点の座標は（k+2,-4a)
これが直線y=4x-4の上にあることから…

後半)
y＞0となるxの値の範囲 が
x＜k、k+4＜x
となるためには(1)のグラフは下に凸でなければなりません。
よって(1)のx^2の係数について…
No.19654 - 2012/12/31(Mon) 19:25:39
★ (No Subject) / かな
あ、
999からひくんじゃなくて
900からひきますか！？
No.19642 - 2012/12/31(Mon) 13:16:52
☆ Re: / かな
ごめんなさいさっきのの
返事にするの忘れました(>_<)
No.19643 - 2012/12/31(Mon) 13:17:52
☆ Re: / X
その通りです。
No.19644 - 2012/12/31(Mon) 13:40:15
☆ Re: / かな

9*10^2-6^3
って、あっていますか？(>_<)
No.19645 - 2012/12/31(Mon) 14:01:57
☆ Re: / ヨッシー
答えは合っていますが、9×10^2 に説明が付けられますか？

6^3 は、６つの数字を３つの桁にそれぞれ使うので、6^3 ですね？
では、9×10^2 は？
No.19647 - 2012/12/31(Mon) 14:36:55
★ (No Subject) / 日向
|x+4|+|x-1|=-x^2+14……?@を考える 。

?T次のとき方程式?@は
解を持たないor1個の解を持つor2個 の解を持つ

x＜ｰ4の範囲で〜
ｰ4≦x＜1の範囲で〜
1≦xの範囲で〜

→判別式Dを使うのかなぁと考えてみ たものの 結局解けませんでした。

また方程式?@の解は？
No.19640 - 2012/12/31(Mon) 12:42:10
☆ Re: / ヨッシー
まずは、なぜ、
　x＜ｰ4、ｰ4≦x＜1、1≦x
の３つに場合分けしているのかを理解していないと、
先に進めませんが、この点はどうですか？
No.19646 - 2012/12/31(Mon) 14:34:12
☆ Re: / 日向
未知なる数のxの大きさが分からないから、ですか？
No.19649 - 2012/12/31(Mon) 15:24:28
☆ Re: / ヨッシー
下の方の記事に、
>それぞれの場合で
>x^2-2x-17,x^2-9,x^2+2x-11と出てきました。
とあるように、これらの範囲ごとに、方程式が異なるからです。

ｘ＜−４ のとき　x^2-2x-17＝０　・・・(i)
-4≦ｘ＜1 のとき　x-2-9=0　　・・・(ii)
1≦ｘ　のとき　x^2+2x-11＝０　・・・(iii)

(i) より　ｘ＝1±3√2。　ｘ＜−４ を満たす解はなし
(ii) より　ｘ＝±３。　-4≦ｘ＜1 を満たす解は１つ
(iii) より　ｘ＝-1±2√3。　1≦ｘ を満たす解は１つ

判別式は関係なく、実際に解いてみるのでした。
No.19651 - 2012/12/31(Mon) 18:42:18
☆ Re: / 日向
ありがとうございます！

xの方程式を解いて場合分けした範囲のなかで
解を考えるんですね(∩^o^)⊃━☆゜.*

助かりましたｰ！！
No.19655 - 2012/12/31(Mon) 20:42:53
★ はじめまして！ / かな
⑶をお願いします(;_;)
答えは684らしいんですけど、
999÷4+999÷7-999÷28+1
だと全然足りなくて(;_;)
No.19638 - 2012/12/31(Mon) 12:38:13
☆ Re: はじめまして！ / ヨッシー＠携帯
問題の言い方を変えると、４または７の倍数である０、４、７、８を一つでも含む３桁の数はいくつでしょう？
という問題です。
余事象を使います。
No.19641 - 2012/12/31(Mon) 12:58:59
★ (No Subject) / 杉田玄白
次の問題を教えてください_(..)_

さいころを1回振って、 1または、2の目が出た場合、東へ一区画、 それ以外の目が出た場合、北へ一区画進むとする。 さいころを5回振ったときにAから出発して Pへ来る確率は アイ/243

ピンボケしててすみません人(￣ω￣;)
No.19632 - 2012/12/31(Mon) 10:57:44
☆ Re: / ヨッシー
こちらをご覧下さい。
No.19633 - 2012/12/31(Mon) 11:06:13
☆ Re: / 杉田玄白
先日の投稿では図を載せていなかったのですが、
らすかるさんの解答で合っているのでしょうか。
No.19634 - 2012/12/31(Mon) 11:12:46
☆ Re: / IT
合っています。
親切にすべてのケースが書いてありますが、この問題ではどれが該当するか分かりますか？
No.19636 - 2012/12/31(Mon) 12:16:03
☆ Re: / 杉田玄白
なるほど。
それはらすかるさんに感謝しなければなりませんね。
らすかるさん、ご丁寧にありがとうございます！

ITさん、40/243となる場合ですか？
No.19639 - 2012/12/31(Mon) 12:41:21
☆ Re: / ハオ
横からの回答で申し訳ないです.
>40/243となる場合ですか？
画像を目を凝らして見るとそうだと思います.
No.19661 - 2012/12/31(Mon) 23:17:49
★ (No Subject) / ktdg
点Oを中心とする半径1の球面上に3点A,B,Cがある。線分BC,CA,ABの中点をそれぞれP,Q,Rとする。線分OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上であることを証明せよ。

自分の解答↓
↑OA=↑a, ↑OB=↑b, ↑OC=↑cとすると、|↑a|=|↑b|=|↑c|=1
↑OP=(↑b+↑c)/2, ↑OQ=(↑a+↑c)/2, ↑OR=(↑a+↑b)/2より、
↑aと↑c, ↑aと↑b, ↑bと↑cのなす角をそれぞれα,β,γとおくと
|↑OP|=√2(1+cosγ)/2, |↑OQ|=√2(1+cosα)/2,|↑OR|=√2(1+cosβ)/2
∴ 1+cosα>1/2 または 1+cosβ>1/2 または 1+cosγ>1/2であればよく
すなわち 0<α<2π/3 または 0<β<2π/3 または 0<γ<2π/3 ー(1)を示せばよい。
４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの内部にある場合 α+β+γ=2πだから(1)は成り立つ。
４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの外部にある場合 例えば点Oが直線BCの下側にあるときα+β<πであり、OがAB,ACの下側にある場合も同様にそれぞれα+γ<π , β+γ<πであるから(1)は成り立つ。
また、O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2πだから(1)は成り立つ。
以上より、題意は示された。

上記のような解答で証明ができているかどうか以前に質問した際、ヨッシーさんから

いずれの場合もα＋β＋γ≦2π であり、
　(ここから詳しめに説明して)
α、β、γの少なくとも１つは、2π/3以下となる。
という持って行き方のほうがすっきりすると思います。

というような回答をいただきました。(他にもご指摘をしていただきましたがここでは省略します)
この質問をほかの質問サイトでもしたところ、

＞O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2πだから

これって明らかなのでしょうか？
この証明だけで１つの問題になりそうです。

というような回答をいただきました。
「O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2π」
というのは「明らか」としてよいのでしょうか？

また、α＋β＋γ≦2πから、0<α≦2π/3 または 0<β≦2π/3 または 0<γ≦2π/3 に持っていくにはどのような説明をすればよいのでしょうか？
No.19629 - 2012/12/31(Mon) 02:03:33
☆ Re: / ヨッシー
こちらの記事ですね。

「明らか」として問題のないレベルだと私は判断しました。
「凸多面体の１つの頂点に集まる角度の合計は２π未満である」
を自明とする立場です。

証明するなら、点ＯからＡＢＣにおろした垂線の足をＨとすると、
ＯＨは、△ＡＢＣの外接円を大円とする球の接線となり、
点Ｏはこの球の外側にあります。
よって、∠ＡＯＢ＜∠ＡＨＢ
同様に　∠ＢＯＣ＜∠ＢＨＣ、∠ＣＯＡ＜∠ＣＨＡ より
　α＋β＋γ＜２π
という具合に出来ます。

>α＋β＋γ≦2πから、0<α≦2π/3 または 0<β≦2π/3 または 0<γ≦2π/3
α＞2π/3 かつ β＞2π/3 かつ γ＞2π/3
と仮定して、背理法で証明できます。
No.19631 - 2012/12/31(Mon) 09:00:10
☆ Re: / IT
> 「明らか」として問題のないレベルだと私は判断しました。
> 「凸多面体の１つの頂点に集まる角度の合計は２π未満である」
> を自明とする立場です。
私もそう思います。
教科書は手元にないので分かりませんが、青チャでは、証明なしで使っています。
これを証明せよという設問でない限り証明なしで使って良いと思います。
No.19637 - 2012/12/31(Mon) 12:20:59
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます。
No.19653 - 2012/12/31(Mon) 19:08:41
★ ★場合の数の問題 / 夕凪
１つのメダルを続けて５回投げる時、表と裏の出方は全部で何とおり考えられますか？

この問題の意味がよくわかりません(>.<)。

１つのメダルには、表と裏しかないのですよね？

１回目投げた時の出方は、表と裏の２分の１と考えるのですか？

こんな簡単な問題ですいません(。-人-。) 。

どうかわかりやすく解説出来る方、よろしくお願い致します。
No.19628 - 2012/12/31(Mon) 00:55:35
☆ Re: ★場合の数の問題 / らすかる
表と裏の出方ですから、
「1回目と2回目と4回目が表、3回目と5回目が裏」
とか
「2回目と3回目が表、1回目と4回目と5回目が裏」
など、こういうパターンが全部で何通りになるかということです。
確率ではありませんから「1/2」は関係ありません。
No.19630 - 2012/12/31(Mon) 07:05:38
☆ Re: ★場合の数の問題 / 夕凪
らすかる様、丁寧に解説して頂いて、どうも有り難うございました(o^-^o)

言ってる意味がやっと解りました(o^-^o)

でも、私は、こういう風に紙に全部書き出さないと、解りません(>.<)。

１個が表の場合　?@　表　裏　裏　裏　裏
　　　　　　　　?A　裏　表　裏　裏　裏
　　　　　　　　?B　裏　裏　表　裏　裏
　　　　　　　　?C　裏　裏　裏　表　裏
　　　　　　　　?D　裏　裏　裏　裏　表

２個が表の場合 ?E　表　表　裏　裏　裏
　　　　　　　　?F　表　裏　表　裏　裏
　　　　　　　　?G　表　裏　裏　表　裏
　　　　　　　　?H　表　裏　裏　裏　表
　　　　　　　　?I　裏　表　表　裏　裏
　　　　　　　　?J　裏　表　裏　表　裏
　　　　　　　　?K　裏　表　裏　裏　表
　　　　　　　　?L　裏　裏　表　表　裏
　　　　　　　　?M　裏　裏　表　裏　表
　　　　　　　　?N　裏　裏　裏　表　表

３個が表の場合
　　　　　　　　?O　表　表　表　裏　裏
　　　　　　　　?P　表　表　裏　表　裏
　　　　　　　　?Q　表　表　裏　裏　表
　　　　　　　　?R　表　裏　表　表　裏
　　　　　　　　?S　表　裏　表　裏　表
　　　　　　　　21　表　裏　裏　表　表
　　　　　　　　22　裏　表　表　表　裏
　　　　　　　　23　裏　表　表　裏　表
24　裏　表　裏　表　表
　　　　　　　　25　裏　裏　表　表　表

４個が表の場合　26 表　表　表　表　裏
　　　　　　　　27 表　表　表　裏　表
28　表　表　裏　表　表
　　　　　　　　29 表　裏　表　表 表
30 裏　表　表 表 表

５個が表の場合　31 表　表　表　表　表

５個が裏の場合　32 裏　裏　裏　裏　裏

　　よって　　３２通り

私の頭では、教えて頂いても解らないかもしれないですが、もっと簡単に解く方法は、ないのでしょうか？
No.19658 - 2012/12/31(Mon) 22:20:47
☆ Re: ★場合の数の問題 / ハオ
僭越ながら回答させて頂きます.
>もっと簡単に解く方法は、ないのでしょうか？
簡単というか書き出す手間が省けると思います.
1回目の出方は表と裏の2通りです.
その各々に対して2回目の出方は表と裏の2通りです.そしてその各々に対して・・・と続けていけば計算式は以下のようになり,
2(1回目)*2(2回目)*2(3回目)*2(4回目)*2(5回目)=32通りが導けます.
No.19659 - 2012/12/31(Mon) 22:56:07
☆ Re: ★場合の数の問題 / ハオ
余談なのですが冪集合の要素数が2^nになる事の証明と似ている気が致しましたのでn回メダルを投げるときの
表裏の出方が2^nになる事の証明を書き込んでみます.間違っているかもしれませんのでご参考程度にお考えください.
i)n=1の時 表,裏の2通りで成立.
ii)n=kの時 2^kが成立していると仮定すると,k+1回目は表か裏の2通りだから2^k*2=2^(k+1)で成立.
証明終.
No.19660 - 2012/12/31(Mon) 23:06:08
☆ Re: ★場合の数の問題 / IT
> でも、私は、こういう風に紙に全部書き出さないと、解りません(>.<)。
> １個が表の場合　?@　表　裏　裏　裏　裏
> 　　よって　　３２通り
> もっと簡単に解く方法は、ないのでしょうか？
本質的には変わりませんが、表を○、裏を×とか−と書くと手間が省けますよ。
あるいは−−−−−と書いて表に○を付けるとか。
ただし、回数が増える急激に場合の数は多くなっていくのでこの方式では実質不可能になります。
そこで規則性を見つけて一般化し手間を省くのが数学の良いところだと思います。
No.19662 - 2012/12/31(Mon) 23:47:11
☆ Re: ★場合の数の問題 / 夕凪
ハオ様、はじめまして(o^-^o) 。

私の為に解りやすく解説して頂いて、どうも有難うございました。

申し訳ないのですが、私には、2(1回目)*2(2回目)*2(3回目)*2(4回目)*2(5回目)=32の意味が解りません(>.<)。

詳しく解説されてる本を見つけて、勉強してみます。
それからもう１回見直します(o^-^o)。
No.19668 - 2013/01/02(Wed) 20:44:04
☆ Re: ★場合の数の問題 / 夕凪
IT様、はじめまして(o^-^o) 。

私の為に解説どうも有り難うございました。

表とか裏とかでは、解りにくいので、○とか×とかに置き換えてみます。

回数が多くなると、いちいち数えてられないので、ハオ様もおっしゃってるように、規則性を見つけたり、特定の式があればそれにあてはめて考えていこうと思います(*^.^*)。
No.19669 - 2013/01/02(Wed) 20:48:47
★ (No Subject) / ぴー
∫e^(√x)dxって高校の範囲で何とか工夫して答えが出せますか？
No.19623 - 2012/12/30(Sun) 19:07:17
☆ Re: / IT
合成関数の微分と積の微分が分かれば、割と簡単に出来るといえばできます。
微分の逆ですから答えが分かってしまえば、それでおしまいですが、自分で見つけるには目星を付ける必要があります。

まず　e^(√x) を微分してみるとどうなりますか？
No.19624 - 2012/12/30(Sun) 19:21:05
☆ Re: / ぴー
(1/(2√x))e^√xになります
No.19625 - 2012/12/30(Sun) 19:52:30
☆ Re: / IT
そうですね、次ぎに　(√x)e^(√x)　を微分してみてください、どうなりますか？

定数a,bをうまく決めると
a{e^(√x) の微分}+b{(√x)e^(√x)の微分}=e^(√x)となります。
このとき
a{e^(√x)}+b{(√x)e^(√x)}=∫e^(√x)dx　です。
No.19626 - 2012/12/30(Sun) 20:14:16
☆ Re: / らすかる
√x=t と置換してもいいですね。
No.19627 - 2012/12/30(Sun) 20:42:54
★ センターの問題 / Xex
(2^x+3^x)((9/(2^x))+(4/(3^x)))=a…?@という方程式を考える。(3/2)^x=Xとおくと式は[ア]X+[イ]/X+[ウエ]=a…?Aである。式?Aが2つの正の解を持つのはa>[オカ]のときである。この時、式?Aは異なる2つの解をもち、それらの和は[キク]である
アイウエ=9,4,13 オカ=25 [キク]がわかりません。教えてください。
No.19619 - 2012/12/30(Sun) 14:56:04
☆ Re: センターの問題 / ヨッシー
式?Aは、というより式?@ の解を言っていると思います。
?A の解が Ｘ＝α、β とすると、解と係数の関係より
　αβ＝4/9
です。一方、?@の解は ｘ＝log[3/2]α、log[3/2]β であるので、和は
　log[3/2]α＋log[3/2]β＝log[3/2]αβ
　　＝log[3/2](4/9)＝−２
となります。
No.19621 - 2012/12/30(Sun) 16:11:03
☆ Re: センターの問題 / Xex
そういうことでしたか！解決しました!
No.19622 - 2012/12/30(Sun) 16:43:19
★ 確率 / 杉田玄白
次の問題を教えてください_(..)_

さいころを1回振って、
1または、2の目が出た場合、東へ一区画、
それ以外の目が出た場合、北へ一区画進むとする。
さいころを5回振ったときにAから出発して
Pへ来る確立は アイ/243
No.19617 - 2012/12/30(Sun) 14:20:23
☆ Re: 確率 / IT
Pってどこですか？
No.19618 - 2012/12/30(Sun) 14:45:33
☆ Re: 確率 / らすかる
PがAから東東東東東で到達する場所ならば 5C0・(1/3)^5・(2/3)^0=1/243
PがAから東東東東北で到達する場所ならば 5C1・(1/3)^4・(2/3)^1=10/243
PがAから東東東北北で到達する場所ならば 5C2・(1/3)^3・(2/3)^2=40/243
PがAから東東北北北で到達する場所ならば 5C3・(1/3)^2・(2/3)^3=80/243
PがAから東北北北北で到達する場所ならば 5C4・(1/3)^1・(2/3)^4=80/243
PがAから北北北北北で到達する場所ならば 5C5・(1/3)^0・(2/3)^5=32/243
No.19620 - 2012/12/30(Sun) 15:34:36
★ 絶対値の問題 / 日向
|x+4|+|x-1|=-x^2+14……?@を考える 。

?T次のとき方程式?@は
解を持たないor1個の解を持つor2個 の解を持つ

x＜ｰ4の範囲で〜
ｰ4≦x＜1の範囲で〜
1≦xの範囲で〜

→判別式Dを使うのかなぁと考えてみ たものの 結局解けませんでした。

また方程式?@の解は？
No.19615 - 2012/12/30(Sun) 13:54:22
☆ Re: 絶対値の問題 / IT
> |x+4|+|x-1|=-x^2+14……?@を考える 。
> x＜ｰ4の範囲で〜
> ｰ4≦x＜1の範囲で〜
> 1≦xの範囲で〜
各場合で?@の絶対値記号を外すとどうなりますか？
No.19616 - 2012/12/30(Sun) 14:13:00
☆ Re: 絶対値の問題 / 日向
それぞれの場合で
x^2-2x-17,x^2-9,x^2+2x-11と出てきました。
No.19635 - 2012/12/31(Mon) 11:14:46
★ 広義重積分 / pocco
∬D (x+y)/(x^2+y^2)dxdy
D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}

という問題について、極座標変換してから考えたほうがいいのでしょうか？
その場合の積分区間はどのように考えれば良いのでしょう。
学校では広義重積分は1/n≦x≦1,0≦y≦x-1/n
のようにおいてn→∞にとばすように習っています
No.19609 - 2012/12/29(Sat) 18:15:05
☆ Re: 広義重積分 / X
極座標変換をしても、又直接の計算でもどちらでも計算できます。
極座標計算をするのであれば積分区間を
ε≦r≦R,0≦θ≦π/4
として、積分を計算後ε→0,R→∞の極限を計算します。

解析学の教科書に、重積分での広義積分に対する
変数変換についての定理が載っているはずです。
チェックされることをお勧めします。
No.19610 - 2012/12/29(Sat) 18:49:17
☆ Re: 広義重積分 / pocco
答えが∞になってしまうのですが計算が違いますかね…
No.19611 - 2012/12/29(Sat) 21:12:36
☆ Re: 広義重積分 / X
ごめんなさい。
>>0≦x≦1
を
0≦x
と見間違えていました。
この場合だと極座標変換すると積分範囲は
ε≦r≦1/cosθ,0≦θ≦π/4
となり、積分を計算後ε→+0の極限を計算します。

それで計算ですが
(与式)=lim[ε→+0]
∫[θ:0→π/4]∫[r:ε→1/cosθ]{(rcosθ+rsinθ)/r^2}rdrdθ
=lim[ε→+0]
∫[θ:0→π/4]∫[r:ε→1/cosθ](cosθ+sinθ)drdθ
=lim[ε→+0]
∫[θ:0→π/4](cosθ+sinθ)(1/cosθ-ε)dθ
=lim[ε→+0]
{∫[θ:0→π/4](1+tanθ)dθ-ε∫[θ:0→π/4](cosθ+sinθ)dθ}
=∫[θ:0→π/4](1+tanθ)dθ
=π/4+log√2
となります。

それと
>>解析学の教科書に、〜
と書きましたが、これは積分範囲を0≦xとした場合の話なので
今回の場合は無視して下さい。
No.19612 - 2012/12/29(Sat) 23:12:56
☆ Re: 広義重積分 / pocco
丁寧に有難うございました。
広義積分でこのような問題の場合は極座標変換したほうが簡単ですかね？
そのままのほうが簡単な場合もよくありますが・・・
No.19613 - 2012/12/30(Sun) 00:13:35
★ 微積 / じゅけんせい
cを正の定数とし,f(x)=x^3+3x^2,g(x)=x^3+3x^2+cとする.直線lは点P(p,f(p))で曲線y=f(x)と接し,点Q(q,g(q))で曲線y=g(x)と接する.
(1)cをpで表せ
(2)直線lと曲線y=f(x)のP以外の交点をRとする.2つの線分の長さの比PQ:QRを求めよ
No.19606 - 2012/12/29(Sat) 13:58:11
★ 整数問題です / tokuo
(1)3辺の長さがx,y,z(x≦y≦z)で、それらの和が12nとなる三角形が存在するようなx,yの条件を求め、点(x,y)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。
x+y+z=12n
z≧4n、x≦4n
三角形の成立条件⇔z>x+y
これくらいしか手がかりをみつけられませんでした。
どうやったら解けるんでしょうか？
教えて下さい。お願いします。
No.19597 - 2012/12/29(Sat) 09:31:25
☆ Re: 整数問題です / IT
> 三角形の成立条件⇔z>x+y
・不等号が逆では？
・表題に「整数問題」とありますからx,y,z,nは整数だと思いますが、元の問題のとおりに明記されたほうがいいです。
No.19598 - 2012/12/29(Sat) 09:38:11
☆ Re: 整数問題です / tokuo
すみません。不等号が逆でした。
問題文には「nを正の整数とする」と書いてありました。
すみません。
No.19599 - 2012/12/29(Sat) 09:43:53
☆ Re: 整数問題です / らすかる
三角形が成立するための条件は、元の条件も合わせて
x≦y, y≦z, z＜x+y, x+y+z=12n
左3式に z=12n-x-y を代入してzを消去すると
x≦y, y≦6n-x/2, y＞6n-x
これが存在範囲ですね。
No.19604 - 2012/12/29(Sat) 12:59:44
★ ベクトル / tokuo
AB=6 BC=5 CA=4である三角形ABCの外接円の中心をO、内接円の中心をIとする。
(1)内積AB→・Ac→の値を求めよ
(2)AB→・AC→、AB→・AI→の値をそれぞれ求めよ。
(3)OI→＝sＡＢ→+tＡＣ→(s,tは実数)とおくとき、s,tの値を求めよ。

(1)は余弦定理を用いてABとACの間の角を求めて計算していくとAB→・AC→=27/2
(2)は(1)の結果と正弦定理より半径がわかるので、これと円周角の定理などから考えていけばAB→・AC→=-18
もうひとつは内心の性質よりAIは∠BACを二等分する直線なので線分AIを延長したときの辺BCとの交点をＭとすると
BM:MC=6:4=3:2なので
(△ABIの面積)=(6/10)・(△ABCの面積)
また、△ABCが鋭角三角形であることに注意しながら処理していくと
AB→・AI→=45/2
となりました。
(3)はさっぱりです。
(1)(2)も正直自信ありません。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19595 - 2012/12/29(Sat) 09:23:34
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(1) は合っています。
(2) のＡＣと書かれているのはＡＯ のことでしょう。
半径は 8/√7 になりますが、△ＡＯＢが、
6,8/√7,8/√7 の三角形になるので、余弦定理から内積を求めると、(プラス)18 になります。

ＡＢ＝ｂ、ＡＣ＝ｃ とします。
上のようにＭを取ると、
　ＡＭ＝(2ｂ＋3ｃ)/5
また、ＣＩの延長とＡＢの交点をＮとすると、
　ＡＮ：ＮＢ＝４：５
メネラウスの定理より　Ａｉ：ＩＭ＝２：１　となり、
　ＡＩ＝(2/3)ＡＭ＝(4ｂ＋6ｃ)/15
となり、
　ｂ・ＡＩ＝(4|ｂ|^2＋6ｂ・ｃ)/15＝１５
となります。

(3)
ＡＢの中点をＤ、ＡＣの中点をＥとします。また、
　ＡＯ＝xｂ＋yｃ
とおきます。
　ＯＤ＝ｂ/2−ＡＯ
　　＝(1/2−x)ｂ−yｃ
が、ｂと垂直なので、
　36(1/2-x)−27y/2＝０　・・・(i)
　ＯＥ＝ｃ/2−ＡＯ
　　＝−ｘｂ＋(1/2-y)ｃ
がｃと垂直なので、
　-27x/2＋16(1/2-y)＝０　・・・(ii)
これを解いて　x=16/35, y=4/35
これと、ＡＩ＝(4ｂ＋6ｃ)/15　から、
　ＯＩ＝ＡＩ−ＡＯ
　　＝(-4/21)ｂ＋(2/7)ｃ
となります。
No.19603 - 2012/12/29(Sat) 11:53:30
★ 高３　図形と方程式 / ktdg
a,b,cはa<b<cを満たす自然数とし、xy平面上に4直線
y=ax, 2x+3y=2, y=0, bx+y=0,
がある。この4直線によって囲まれる4角形が円に内接するとき、外接円の半径が最小になるようなa,b,cの値を求めよ。

xy平面上でy=ax, 2x+3y=2, y=0, bx+y=cの4直線で囲まれる四角形は、a,b,cが自然数なのでy=axの傾きは1以上、bx+y=cの傾きは-1位下でy切片は1以上であり、x軸との交点のx座標がc/bで1より大きい(∵ b<c)ことを考えると、下図の斜線部のようになる。
y=ax, bx+y=c, 2x+3y=2の傾きをそれぞれ、a=tanα, -b=tanβ, -2/3=tanγとおくと
tan∠QPS=tan(β-α)=-(a+b)/(1-ab), tan∠QRS=tanγ=-2/3
y=axとbx+y=cの交点をP, y=axと2x+3y=2との交点をQ, 2x+3y=2とx軸との交点をR, bx+y=cとx軸の交点をSとすると、四角形PQRSが円に内接することから
∠QPS+∠QRS=πとなればよい。
∴ tan(∠QPS+∠QRS)=tanπ=0
⇔ 2ab-3a-3b-2=0
これを変形して
(2a-3)(2b-3)=13
a,bは自然数だから、(2a-3,2b-3)=(1,13),(13,1)
a<bより、(a,b)=(2,8)

cの値の求め方について質問です。
四角形PQRSの外接円の中心をO(X,Y)として、OQ=OR=OSからX,Yの値をcで表し、OQをcの関数として表して最小値を求めようと思ったのですが、OQは、分母がcの2次式、分子がcの4次式で、それにルートがかかっているという結構面倒なかたちになって、微分して求めるのは相当大変だと思います。
図から、cが大きくなると外接円の半径も大きくなり、よって四角形PQRSが存在するようなcの最小値、すなわち、c/b=c/8=2でc=16 というのも考えてみたのですが自信がありません。
何かいい方法はありますか？
それともa,bの段階で間違っているのでしょうか？
No.19593 - 2012/12/29(Sat) 02:19:21
☆ Re: 高３　図形と方程式 / ヨッシー
>cが大きくなると外接円の半径も大きくなり
は正しいので、ｃ＝９ で良いと思います。

∠ＱＰＳは一定なので、
　2r＝QS/sin∠QPS
より、QS が長いほど、半径は大きくなります。
No.19594 - 2012/12/29(Sat) 08:40:27
☆ Re: 高３　図形と方程式 / ktdg
ありがとうございます。
No.19607 - 2012/12/29(Sat) 14:51:14
★ 確率 / 高2
1からn(n≧3)までの自然数を1つずつ書いたn枚のカードがある.その中から,でたらめに3枚のカードを同時に取り出すとき,それらの3枚のカードに書いてある数の中で1番小さい数をX1,2番目に小さい数をX2,3番目に小さい数をX3とする.さらに,Y=X3−X1とする.
(1)n=5のとき,X2＞Yとなる確率を求めよ
(2)一般のnに対して,Y=kとなる確率P(Y=k)(k=2,3,…,n−1)とYの期待値E(Y)を求めよ
No.19590 - 2012/12/28(Fri) 21:00:06
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1)n=5 のとき、３枚のカードの組合せは
(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)(1,3,5)
(1,4,5)(2,3,4)(2,3,5)(2,4,5)(3,4,5)
で、このうち X2＞Y となるのは(2,3,4)(2,4,5)(3,4,5)の
３通りなので、求める確率は 3/10

(2)
Y=2 となるのは
　(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)・・・(n-2,n-1,n)
Y=3 となるのは
　{(1,2,4)(1,3,4)}{(2,3,5)(2,4,5)}・・・{(n-3,n-2,n)(n-3,n-1,n)}
Y=2 の場合は、両端の数字の選び方が n-2 通りで、真ん中の数は
１通りに決まります。
よって、場合の数は n-2 通り
Y=3 の場合は、両端の数字の選び方は n-3 通りで、真ん中の数は
２通りあります。
よって、場合の数は (n-3)2
一般に Y=k となるのは、両端の数字の選び方は n-k 通り、
真ん中の数の選び方は k-1 通り。
また、数字の選び方は nＣ3 通り。

よって、求める確率は
　P(k)＝(n-k)(k-1)/nＣ3
Y の期待値は
　E(Y)＝Σ[k=2〜n-1]k(n-k)(k-1)/nＣ3
P(1)=P(n)=0 より
　E(Y)＝Σ[k=1〜n]k(n-k)(k-1)/nＣ3
　　＝Σ[k=1〜n](-k^3+(n+1)k^2-nk)/nＣ3
　　＝(n+1)/2
No.19592 - 2012/12/28(Fri) 23:56:27
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