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★ 軌跡と領域 / なるみ
問題
座標平面上の点P(x,y)を、x=t+s、y=t^2+sで定める。
t、sが-1≦t≦1、-1≦s≦1の範囲を満たしながら動くとき、Pの描く図形を図示しなさい。

sを消去して、y=x+t^2-t(t-1≦x≦t+1)となったので、A(t-1,t^2-1)、B(t+1,t^2+1)を両端とする線分ABの動く範囲を考えることになると思いました。-1≦t≦1なので、A(-2,0)、B(0,2)を両端とする場合からA(0,0)、B(2,2)を両端とする場合まで線分を平行移動させればいいので答えは台形になると思いましたが、解答は全然違う図形になっていまして、どうして間違えているのかと、どうして解答のような図になるのかがわからないです。
問題のヒントに、「sを動かすためにsを消去する」という一文があるのですが、文字を動かすことと文字を消去することに何の関係があるのですか。文字が消えたら動かすも何も関係がなくなっていく気がするのですが。
どうか教えてください。よろしくお願いします。
No.18991 - 2012/10/19(Fri) 21:59:49
☆ Re: 軌跡と領域 / angel
> sを消去して、y=x+t^2-t(t-1≦x≦t+1)となったので、

これは正しいです。
が、この後は t を動かしてみて、ある x に対して y がどの範囲に収まるかを考えることになりますから、

　y = x+(t^2-t) ( x-1≦t≦x+1 かつ -1≦t≦1 )

とします。元からある t の条件 -1≦t≦1 も明記しました。

そうすると、「x-1≦t≦x+1 かつ -1≦t≦1」という t の範囲は一体…? という話になります。これは x の値によって状況が変わりますから、場合分けが必要になります。
例えばですが、x=1.5 であれば 「0.5≦t≦2.5 かつ -1≦t≦1」⇔0.5≦t≦1 ですね。で、この時は -0.25≦t^2-t≦0 ですから、結果として 1.25≦y≦1.5 ということです。

この場合分けですが、t のことだけ考えるなら
　-2≦x＜0 … -1≦t≦x+1
　0≦x≦2 … x-1≦t≦1
の2通りだけ ( x＜-2 や x＞2 は最初から除外 ) でO.K.です。
が、(t^2-t) の形の最大・最小の具合を考えると、

　-2≦x＜-1/2 … -1≦t≦x+1, x+1＜1/2
　-1/2≦x＜0 … -1≦t≦x+1, 1/2≦x+1＜1
　0≦x＜1 … x-1≦t≦1, x-1＜0
　1≦x＜3/2 … x-1≦t≦1, 0≦x-1＜1/2
　3/2≦x≦2 … x-1≦t≦1, x-1≧1/2

の5通りの場合分けが必要です。
例えば2番目のケース ( -1/2≦x＜0 ) であれば、t=1/2 の時 (t^2-t)最小、t=-1の時 (t^2-t)最大となりますから、x-1/4≦y≦x+2 といった具合になります。
No.18992 - 2012/10/19(Fri) 23:39:29
☆ Re: 軌跡と領域 / IT
イメージだけ
sを固定して考えると
s=0 のとき　y = x^2 (-1≦x≦1)ですから 放物線の一部です。

sが変化すると　x,y共にsずれていきます。
（下図を参照）
　　　　
No.18993 - 2012/10/20(Sat) 00:21:55
☆ Re: 軌跡と領域 / IT
tを固定して考えると
t＝０のとき　x=s,y=s　より x=y , -1≦s≦1より-1≦x≦1なので　線分x=y(-1≦x≦1)となります
tを動かすと　xはｔ、yはt^2変化します。
（下図を参照）　もちろん結果は前記と同じです。
No.18995 - 2012/10/20(Sat) 18:58:42
★ 数学 答の式がわかりません / まき
x(log[a]2)^2 -(x+2)(log[a]3)^2=-2(log[a]2)(log[a]3)
{(log[a]2)^2-(log[a]3)^2｝x=2(log[a]3)^2 -2(log[a]2)(log[a]3)=-2(log[a]3){(log[a]2)-(log[a]3)｝
このあとが問題なんですが解答では何の断りもなく
両辺を{(log[a]2)^2-(log[a]3)^2｝で割っています。
ちなみに底に条件はありません。
どうして{(log[a]2)^2-(log[a]3)^2｝で割っていいんでしょうか？
誰か教えて下さい。お願いします。
No.18989 - 2012/10/19(Fri) 21:32:36
☆ Re: 数学 答の式がわかりません / X
(log[a]2)^2-(log[a]3)^2
=(log[a]2+log[a]3)(log[a]2-log[a]3)
=(log[a]6){log[a](2/3)}≠0
だからです。
No.18990 - 2012/10/19(Fri) 21:58:00
★ (No Subject) / ぴけ
関数f(x)をf(x)=-3/4x^2+|x|(1/4x+1)とする。
xy平面上で、曲線C:y=f(x)と直線l:y=mxが異なる
3点を共有している。Cとlで囲まれた2つの図形の面積の和をS(m)とするとき、S(m)を最小にするmの値を求めよ。

もう1問お願いします。
No.18983 - 2012/10/19(Fri) 15:10:21
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＜０のとき　f(x)＝(-3/4)x^2−x(x/4+1)＝−x^2−x　・・・(i)
ｘ≧０のとき　f(x)＝(-3/4)x^2＋x(x/4+1)＝-x^2/2＋x　・・・(ii)
よって、y=f(x) のグラフは下のようになります。

ｍの範囲は、(i) の原点における接線の傾き-1、(ii) の原点における
接線の傾き１より　−１＜ｍ＜１

とりあえず、ここまで。
No.18984 - 2012/10/19(Fri) 16:12:19
☆ Re: / ぴけ
mの値はどうなりましたか？
No.18985 - 2012/10/19(Fri) 17:03:42
☆ Re: / ヨッシー
m=1/3 かと。
No.19000 - 2012/10/21(Sun) 15:20:11
☆ Re: / ぴけ
交点はx=-m-1,0-2m+2で、６分の1公式使ったらいいんですよね？
No.19003 - 2012/10/21(Sun) 22:38:22
☆ Re: / ヨッシー
それで良いです。
No.19004 - 2012/10/22(Mon) 00:11:09
★ (No Subject) / ぴけ
a,b,c,dは素数とする。整式
(ax+b)(-cx+d)-3
をx^2+x+1で割った余りが定数となるとき、
その余りは整数の2乗であることを示せ。

解答お願いします。
No.18981 - 2012/10/19(Fri) 14:08:03
☆ Re: / ヨッシー
実際に展開して割ってみると
　{-acx^2＋(ad-bc)x＋bd−3}
　　＝-ac(x^2＋x＋1)＋(ad+ac-bc)x＋bd+ac-3
条件より　　ad+ac-bc＝0
　bc＝a(d+c)
より、b＝a または c＝a。

1)b＝a のとき、両辺a＝b で割って、
　c＝d＋c　より　d＝0 となって不適

2)c＝a のとき、両辺 a＝c で割って、
　b＝d＋c
b＝2 ということはないので、b は奇数で、c＝2 または d＝2。
2-1) a＝c＝2 のとき
　b＝d＋2 より、割り算の余りは
　bd＋ac−3＝(d+2)d＋4−3
　　＝d^2＋2d+1＝(d+1)^2
2-2) d＝2 のとき
　(中略)
となり、いずれの場合も、整数の２乗になります。
No.18982 - 2012/10/19(Fri) 14:44:21
★ 高3 / ktdg
自然数kに対して、3辺の長さがkx,ky,x^2+y^2の三角形を考えるとき、次の各問に答えよ。
(1)三角形の周の長さLのとりうる値の範囲をkで表せ。
(2)x,yを自然数とし、x,yの値の組の数をNとするとき、N≦k^2-1が成り立つことを示せ。また、k=10のとき、Nの値を求めよ。

(1)
L=kx+ky+x^2+y^2=(x+k/2)^2+(y+k/2)^2-k^2/2
(x+k/2)^2+(y+k/2)^2=L+k^2/2ー?@より、√(L+k^2/2)はxy平面において中心(-k/2,-k/2)の円の半径である。
三角形の成立条件より、
kx+ky>x^2+y^2かつkx+x^2+y^2>kyかつky+x^2+y^2>kx
⇔(x-k/2)^2+(y-k/2)^2>k^2/2ー?Aかつ(x+k/2)^2+(y-k/2)^2>k^2/2ー?Bかつ(x-k/2)^2+(y+k/2)^2>k^2/2ー?C
xy平面において、?@が?A,?B,?Cをみたすような?@の半径の範囲は、k/√2<√(L+k^2/2)<3k/√2
∴ 0<L<4k^2

(2)についてですが、Nは(1)の?A,?B,?Cを満たす領域における格子点の数のことですか?
間違っているなら方針だけ教えて欲しいです。
No.18975 - 2012/10/19(Fri) 05:35:50
☆ Re: 高3 / X
>>Nは(1)の?A,?B,?Cを満たす領域における格子点の数のことですか?
それで問題ないと思います。
No.18977 - 2012/10/19(Fri) 07:26:41
☆ Re: 高3 / ktdg
回答ありがとうございます。
?A,?B,?Cを満たす領域は以下の画像の斜線部のようになり、D1に含まれる格子点の数はD2のそれと等しく、またD3に含まれる格子点の数は、y=k,x=k,y=xの３つの直線で囲まれる三角形に含まれる格子点からD1に含まれる格子点を引いたものに等しいので、D1に含まれる格子点の数が分かればNが分かると思います。
x=m(m=1,2,3,,,k)と(x-k/2)^2+(y-k/2)^2=k^2/2の交点のy座標のうち正のものは、y=√{k^2/2-(m-k/2)^2}+k/2となりますが、ここからどうやって格子点を求めればよいのか分かりません。教えて下さい。
No.18986 - 2012/10/19(Fri) 17:54:54
☆ Re: 高3 / ktdg
すいません画像が貼れてませんでした。
No.18987 - 2012/10/19(Fri) 17:56:18
★ 高3 軌跡 / ktdg
放物線C:y=x^2上の2点A,BにおけるCの接線の交点をMとする。直線ABと原点Oとの距離が1であるように2点A,Bが動くとき、点Mの軌跡を求めよ。

点Mの軌跡はy^2=1+4x^2になったのですが、点Mの軌跡を求めよというのは増減表を書いてグラフをかけということですか?
No.18974 - 2012/10/19(Fri) 01:14:04
☆ Re: 高3 軌跡 / X
いいえ、グラフを描かなくても形状だけ指摘しておけば
問題ないと思います。
>>y^2=1+4x^2
が正しいとすれば、これは双曲線ですね。
No.18976 - 2012/10/19(Fri) 07:19:24
☆ Re: 高3 軌跡 / ktdg
ありがとうございます。
No.18980 - 2012/10/19(Fri) 13:32:40
★ 対数 / ルイ
?@1/2log2 (2x＋2√(x^2)ｰ1)＋log2((√ x＋1)ｰ(√xｰ1))=ア

?A2次方程式3x^2ｰ5x＋1=0の2つの解 を log10(a)、log10(b)で表せば loga(b)＋logb(a)=アイ/ウ
No.18969 - 2012/10/18(Thu) 16:54:19
☆ Re: 対数 / ヨッシー
?@は、

など、２通り以上に解釈できる部分がいっぱいあります。
もう一度、書きなおしてください。
　1/2log2・・・ のlog 以下は分母なのか？
　√(x^2)-1 の√ の中は x^2 だけ？つまり、|x| なのか？
　√x+1 の 1 は、√の中か外か？

?A
解をα、βとすると、
　log[a](b)＋log[b](a)＝log[10]ｂ/log[10]ａ＋log[10]ａ/log[10]ｂ
　　＝β／α＋α／β
　　＝(β^2＋α^2)／αβ
　　＝{(α＋β)^2−２αβ}／αβ
　　＝{(α＋β)^2}／αβ−２
解と係数の関係より、α＋β＝5/3， αβ＝1/3 を代入すると
　19/3 となります。
No.18971 - 2012/10/18(Thu) 17:27:40
★ 数学　解き方 / 日暮
5人の男子生徒と3人の女子生徒の計8人がいる。8人を2人、3人、3人の3つのグループに分けるとき、?@分け方は全部で何通りあるか? ?Aどのグループにも1人の女子生徒が入るような分け方は何通りあるか?

?@280(通り）

?A女子を?@?A?B　男子を４５６７８とし、グループ名をA(2)B(3)C(3)と区別する。(※()は定員)
どのグループにも女子が入るので女子の入れ方は3!通り。
男子の入れ方は5C1×4C2×1通り。
このうち、区別をなくすと同じ場合がそれぞれ２通りずつ存在しているので
(たとえばA(2)=?@４　B(3)=?A５６　C(3)=?B７８　とA(2)=?@４　B(3)=?B７８　C(3)=?A５６は区別をなくすと同じもの)
求める場合の数は3!×5C1×4C2÷2=90(通り)
となりました。
答はあっているのですが先生から与えられた解答とかなり違います。自分の解き方でも一応あっているんでしょうか？
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.18963 - 2012/10/18(Thu) 08:35:43
☆ Re: 数学　解き方 / ヨッシー
先生の解答というのは、どのようなものですか？
No.18967 - 2012/10/18(Thu) 09:29:05
☆ Re: 数学　解き方 / 日暮
「女子をA,B,Cとする
A,B,Cをグループに分類する方法は３通り
男子の入れ方は5C1×4C2=30通り
したがって求める場合の数は3・30=90通り」
とあるのですがよくわからないです。
また、自分の解き方は間違っているんでしょうか？
正直この手の問題は解くときの方針が自分の中で定まっているので自分のやり方が間違っているとするなら他の方法が浮かびません。
再び回答の方お願いします。
No.18978 - 2012/10/19(Fri) 07:36:54
☆ Re: 数学　解き方 / ヨッシー
>かなり違います
とありますが、むしろ「ほぼ同じ」です。
ポイントは、３人のグループが２つあるので、グループを区別しないと
２で割らないといけないのですが、それをいつやるかです。

日暮れさんの方法は、人を分けてから、区別できない３人のグループの
分を２で割っています。
先生の方法は、女子をどのグループに分けるかの段階で、２で割っています。
明示的には割っていませんが、本来
(２人グループ、３人グループ、３人グループ) に対して
(A,B,C)(A,C,B)(B,A,C)(B,C,A)(C,A,B)(C,B,A) の３！＝６通りですが、
(A,B,C)と(A,C,B)、(B,A,C)と(B,C,A)、(C,A,B)と(C,B,A) は
区別しないものとして、３通りとしています。
（考え方としては、３人の女子から、２人グループに入る１人を選ぶ方法
ということで３通りとしています）
男子の分け方は、両者同じ考え方で、先生の方法は、すでに
２で割っているので、男子を分けた後には２で割りません。

結果、両者同じ答えになります。

日暮れさんの方法で、全然問題ありません。
No.18979 - 2012/10/19(Fri) 08:51:16
★ 高校数学 / 日暮
正十二角形の各頂点から３点を選んで鈍角三角形は何個つくれるか？という問題が課題で与えられたんですけど
コンパスで円をかいてその周上に頂点を１２個書いて円に外接する正十二角形を作ると
直径が取れますよね。
直径となるように頂点を２つ選んだら、残りの頂点は先ほど選んだ２つの頂点を除いて何を選んでも円周角の定理により直角三角形が作れます。
なので円の直径より三角形の辺の長さが短ければ鈍角三角形をつくれるはずですよね？
たとえば上から反時計まわりにA1A2・・・A12ととったときA1A7は円の直径で、このときA2〜A6からてきとうに２つ選べばA1A2A3とかA1A2A4とかは鈍角三角形になっています。
ここで一番最初の頂点に着目するとA1〜A12まで12通りあるのでしたがって
鈍角三角形は１２×5C2=120個となったのですが合っているんでしょうか？
友達はθ1=(7/12)×180°
θ2=(8/12)×180°
θ3=(9/12)×180°
θ4=(10/12)×180°
と一つずつ考えていって120個になってたのですが
友達の解き方がよくわかりません。
ついでにこれについても教えていただけないでしょうか？
数学が苦手なので本当に困ってます＾＾；
回答お願いします。。
No.18959 - 2012/10/18(Thu) 08:13:43
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー
上の考え方で合っていると思います。

お友達の数え方は、

このように、鈍角の大きさによって、グループ分けしたものです。
鈍角に向かい合った辺が、それぞれ12本ずつ取れるので、
　12×(4+3+2+1)＝120
です。
No.18968 - 2012/10/18(Thu) 09:44:51
★ (No Subject) / ぴけ
関数y=|x^2−(a+1)x+a|−|x−1|の最小値が−1/2となるように定数aの値を定めよ。ただし、a>1,a≠2とする。

解答お願いします。
No.18958 - 2012/10/18(Thu) 04:39:40
☆ Re: / X
y=|(x-1)(x-a)|-|x-1|
で
a＞1 (A)
に注意すると
(i)x≦1のとき
y=(x-1)(x-a)+x-1=x^2-ax+a-1
これは下に凸の放物線の一部で軸は定義域外右側
にあります。
(ii)1≦x≦aのとき
y=-(x-1)(x-a)-(x-1)=-x^2+ax-a+1
これは上に凸の放物線の一部で軸は定義域内
にあります。
y=-(x-1)(x-a)-(x-1)=-x^2+ax-a+1
(iii)a≦xのとき
y=(x-1)(x-a)-(x-1)=x^2-(a+2)x+a+1
これは下に凸の放物線の一部で軸は定義域内にあります。

(i)(ii)(iii)から問題の関数のグラフを描くと最小値は
x=1,(a+2)/2
の時のyの値のうちのいずれか小さいほうになります。
ここで
x=1のときy=0
x=a+2のときy=-(1/4)(a+2)^2+a+1=-(1/4)a^2
(A)に注意すると
-(1/4)a^2=-1/2
∴a=2√2
No.18960 - 2012/10/18(Thu) 08:24:00
★ (No Subject) / ねっしー
実数a、b、cの関係式
a^2+b^2+c^2−10a−11=0、a^2−bc−4a−5=0
について、次の問に答えよ。
(1)実数aがどのような範囲の値であるとき、上の関係式を満たす実数a、b、cが存在するか。そのaの範囲を求めよ。
(2)実数a、b、cが上の関係式を満たすとき、ab+bc+caの最小値を求めよ。
No.18955 - 2012/10/18(Thu) 01:35:53
☆ Re: / X
a^2+b^2+c^2-10a-11=0 (A)
a^2-bc-4a-5=0 (B)
とします。
(1)
(A)より
b^2+c^2=-a^2+10a+11 (A)'
(B)より
bc=a^2-4a-5 (B)'
(A)'より
(b+c)^2-2ab=-a^2+10a+11
(B)'を代入して
(b+c)^2=(a+1)^2
∴b+c=a+1,-a-1 (B)"
よって解と係数の関係から
(i)b+c=a+1のとき
b,cはtの二次方程式
t^2-(a+1)t+a^2-4a-5=0 (C)
の解となります。よって(C)の解の判別式をD[1]とすると
D[1]≧0
ですので…
(ii)b+c=-a-1のとき
b,cはtの二次方程式
t^2+(a+1)t+a^2-4a-5=0 (C)
の解となります。よって(C)の解の判別式をD[2]とすると
D[2]≧0
ですので…


(2)
ab+bc+ca=(b+c)a+bc (D)
これをf(a)とすると
(I)(1)の(i)のとき
(D)より
f(a)=(a+1)a+a^2-4a-5
横軸にa、縦軸にf(a)を取って(1)(i)で求めたaの値の範囲における
f(a)のグラフを描くと…
(II)(1)の(ii)のとき
(D)より
f(a)=-(a+1)a+a^2-4a-5
横軸にa、縦軸にf(a)を取って(1)(ii)で求めたaの値の範囲における
f(a)のグラフを描くと…

求める最小値は(I)(II)での最小値のうちの小さいほうになります。
No.18965 - 2012/10/18(Thu) 08:53:35
☆ Re: / ぴけ
具体的な値はどうなりました？
No.18970 - 2012/10/18(Thu) 17:08:59
☆ Re: / X
こちらの計算では
(1)
-1≦a≦7
(2)
-40
となりました。
No.18973 - 2012/10/18(Thu) 19:44:46
★ 高校数学ですm(_ _)m / skth
お願いしますm(_ _)m
No.18954 - 2012/10/18(Thu) 00:53:50
☆ Re: 高校数学ですm(_ _)m / X
(1)
i回目(i=1,2,..,n)で勝負が決まる確率は
(1/6)(5/6)^(i-1)
よって求める確率は
?納i=1〜k](1/6)(5/6)^(k-1)=(1/6){1-(5/6)^k}/(1-5/6)
=1-(5/6)^k
(2)
前半)
3j-1(j=1,2,…,n)回目でB君が勝者になる確率は
(1/6)(5/6)^{(3j-1)-1}=(1/6)(5/6)^(3j-2)
∴
p[n]=?納j=1〜n](1/6)(5/6)^(3j-2)
=?納j=1〜n](5/36){(5/6)^3}(j-1)
=…
後半)
前半の結果を使います。
No.18966 - 2012/10/18(Thu) 09:08:52
★ (No Subject) / ねっしー
a、bを実数とする。xの2次方程式
x^2+{2^a−2^(b+1)+1}x−2^(a+b)+1=0…?@
について、次の問に答えよ。
(1)すべての実数aに対して、?@が実数解をもつよ うなbの値の範囲を求めよ。
(2)ある実数bに対して、?@が実数解をもたないようなaの値の範囲を求めよ｡
No.18953 - 2012/10/18(Thu) 00:24:34
☆ Re: / X
(1)
?@の解の判別式をDとすると
D={2^a-2^(b+1)+1}^2-4{-2^(a+b)+1}≧0
ここで2^a=tと置くと求める条件は
t＞0 (A)
において
{t-2^(b+1)+1}^2-4(-t2^b+1)≧0 (B)
が成立する条件となります。
(B)より
t^2+2t+{2^(b+1)-1}^2-4≧0
ここで
f(t)=t^2+2t+{2^(b+1)-1}^2-4
とおいて横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフを考えると
t=-1/2を軸とする下に凸の放物線になっていますので
f(0)≧0
∴{2^(b+1)-1}^2-4≧0
これより
log[2]3-1≦b
となります。
No.18961 - 2012/10/18(Thu) 08:33:23
☆ Re: / X
(2)
まず(1)と同様に全ての実数bに対して?@が実数解を持つような
aの値の範囲を求め、それの否定を取ります。
No.18964 - 2012/10/18(Thu) 08:36:06
☆ Re: / ぴけ
b≦1とa≧-1であってますかね？
No.19005 - 2012/10/22(Mon) 01:57:34
☆ Re: / ヨッシー
(1) はXさんが log[2]3-1≦b と出されていますので、b≦1 ということはないですね。
a≧-1 も違います。
No.19008 - 2012/10/22(Mon) 09:15:55
★ (No Subject) / ちょり
f(x)=(10^x+1)/(10^x−1)(x≠0)について
(1)f(a)=3、f(b)=5のとき、f(a+b)の値を求めよ。
(2)f(a)、f(b)が共に整数でf(a+b)=3のとき、a、bの値をすべて求めよ。ただし、0＜a＜bとする。
No.18952 - 2012/10/18(Thu) 00:13:07
☆ Re: / IT
（２）の流れ
f(x)=(10^x+1)/(10^x−1)=１+２/(10^x−1)　f(x)は　ｘ＞0で　単調減少、f(x)＞1
また　10^x　＝(f(x)+1)/(f(x)−1)　…?@　

?@とf(a+b)=3より　10^(a+b)＝(3+1)/(3−1)＝2 …?A

f(a)＝Ａ、f(b)＝Ｂとおく
f(x)は　ｘ＞0で　f(x)＞1　かつ　単調減少なので　0＜a＜b　より　Ａ＞Ｂ＞1

?@より　　　　10^a＝(Ａ+1)/(Ａ−1)
　　　　　　　10^b＝(Ｂ+1)/(Ｂ−1)
よって　　　　10^(a+b)＝{(Ａ+1)/(Ａ−1)}{(Ｂ+1)/(Ｂ−1)}
?Aを代入　　　２＝{(Ａ+1)/(Ａ−1)}{(Ｂ+1)/(Ｂ−1)}
　　　　　　　２(Ａ−1)(Ｂ−1)−(Ａ+1)(Ｂ+1)＝0　…?B　かつ Ａ≠１かつＢ≠１
?Bを展開　　　ＡＢ−３Ａ−３Ｂ＋１＝０
　　　　　　（Ａ−３)(Ｂ−３）＝　８　…?C　　　　

f(a)＝Ａ、f(b)＝Ｂは共に整数なので
（Ａ−３、Ｂ−３）＝（８、1）、（４、２）、（−１、−８）、（−２、−４）
ところが　Ａ＞Ｂ＞1　なのでＡ−３＞Ｂ−３＞−２
よって（Ａ−３、Ｂ−３）＝（８、１）、（４、２）
したがって（Ａ、Ｂ）＝（１１、４）、（７、５）
すなわち （ア）　f(a)＝１１、f(b)＝４　または　（イ）f(a)＝７、f(b)＝５
（ア）10^a　＝(11+1)/(11−1)＝6/5　→　a＝LOG2 + LOG3 - LOG5
　　　10^b　＝(4+1)/(4−1)＝5/3　　　→　b＝LOG5 −LOG3
　　　（このとき　10^(a+b)＝2 →　f(a+b)=(2+1)/(2-1)=3)
（イ）10^a　＝(7+1)/(7−1)＝4/3　→　a＝2LOG2 - LOG3
　　　10^b　＝(5+1)/(5−1)＝3/2　→　b＝LOG3 −LOG2
　　　（このとき　10^(a+b)＝2 →　f(a+b)=(2+1)/(2-1)=3)

※LOGの底は１０
No.18956 - 2012/10/18(Thu) 03:43:22
☆ Re: / IT
(1)?@より
10^a = (f(a)+1)/(f(a)-1)=(3+1)/(3-1)=2 　
10^b = (f(b)+1)/(f(b)-1)=(5+1)/(5-1)=3/2
よって
10^(a+b) = 3
したがって
f(a+b)=(3+1)/(3−1)=2

※　ｙ＝（ｘ＋１）/（ｘ−１）⇔　ｘ＝（ｙ＋１）/（ｙ−１）

グラフを描くとわかりますがｙ＝ｘ　に関して対称なグラフ（双曲線）です。
No.18957 - 2012/10/18(Thu) 03:58:35
☆ Re: / IT
(別解)
(2)の　２＝{(Ａ+1)/(Ａ−1)}{(Ｂ+1)/(Ｂ−1)}以降は
　１＜(Ａ+1)/(Ａ−1)＜(Ｂ+1)/(Ｂ−1)なので
　１＜(Ａ+1)/(Ａ−1)＜√２＜(Ｂ+1)/(Ｂ−1)＜２ を使って　Ｂの値を絞り込んでも求められます。
No.18972 - 2012/10/18(Thu) 19:01:25
★ (No Subject) / ﾍﾟｺﾍﾟｺ
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB＝2、BC＝1、CD＝3であり、cos∠−1/6とする。このときのADの長さと四角形ABCDの面積を求めよ。

よろしくお願いします！
No.18944 - 2012/10/15(Mon) 20:34:04
☆ Re: / ヨッシー
cos∠−1/6とする。
は、どの角ですか？
No.18949 - 2012/10/16(Tue) 06:20:34
★ 高２ベクトル / mai
何度考えてもわかりません(>_<)
どなたかお願いします(>_<)

四角形ABCDにおいて、辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれP,Q,R,Sとするとき、四角形PQRSは平方四辺形であることを、ベクトルを用いて示せ
No.18940 - 2012/10/15(Mon) 19:24:29
☆ Re: 高２ベクトル / ヨッシー

　ＣＡ＝ＢＡ−ＢＣ
一方、
　ＱＰ＝ＢＰ−ＢＱ
　　＝(1/2)ＢＡ−(1/2)ＢＣ
　　＝(1/2){ＢＡ−ＢＣ}
　　＝(1/2)ＣＡ
また、同様に
　ＣＡ＝ＤＡ−ＤＣ
　ＲＳ＝ＤＳ−ＤＲ
　　＝(1/2){ＤＡ−ＤＣ}
　　＝(1/2)ＣＡ
よって、ＱＰ＝ＲＳ となり、
向かい合った辺が、平行で長さが等しいので、
四角形PQRSは平方四辺形である。
No.18941 - 2012/10/15(Mon) 20:19:18
☆ Re: 高２ベクトル / mai
とてもわかりやすくて、助かりました(^O^)
ありがとうございました(๑≧౪≦)
No.18943 - 2012/10/15(Mon) 20:28:15
★ もう一問お願いしますm(_ _)m / skth
お願いしますm(_ _)m
No.18933 - 2012/10/14(Sun) 18:04:00
☆ Re: もう一問お願いしますm(_ _)m / X
(1)
↑b=(x,y,z)
と置くと条件から
↑a・↑b=x+y+z=0 (A)
x＞0 (B)
y=0 (C)
x^2+y^2+z^2=1 (D)
(A)(C)(D)をx,y,zについての連立方程式と見て解き
(B)を満たすものを求めます。

(2)
↑c=(k,l,m)
と置いて(1)と同様にk,l,mについての連立方程式を立てて解きます。

(3)
この証明には(1)(2)の結果を使う必要はありません。
?@⇔|↑p-↑a|^2=|↑p+↑a|^2=4
⇔|↑p|^2-2↑p・↑a+3=|↑p|^2+2↑p・↑a+3=4
((∵)↑a=(1,1,1)より|↑a|=√3)
⇔|r↑a|^2+|s↑b|^2+|t↑c|^2-2r|↑a|^2+3
=|r↑a|^2+|s↑b|^2+|t↑c|^2+2r|↑a|^2+3=4
((∵)↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=0)
⇔3r^2+s^2+t^2-6r+3=3r^2+s^2+t^2+6r+3=4
((∵)↑b、↑cは単位ベクトルなので|↑b|=|↑c|=1)
⇔(3r^2+s^2+t^2)-6r=(3r^2+s^2+t^2)+6r=1
⇔3r^2+s^2+t^2=1かつ6r=0
⇔s^2+t^2=1かつr=0

(4)
(3)の結果から
↑p=(cosθ)↑b+(sinθ)↑c
(0≦θ＜2π (E))
と置くことができます。
これに(1)(2)の結果を代入して↑pの各成分の値を計算し
↑p-↑d
の各成分の値を計算します。
その結果を用いて
|↑p-↑d|^2
をθの式で表し(E)の範囲での最小値を求めます。
No.18934 - 2012/10/14(Sun) 19:27:44
☆ Re: もう一問お願いしますm(_ _)m / skth
申し訳ありませんが
|↑p-↑d|^2の値を教えていただきたいですm(_ _)m
No.18936 - 2012/10/15(Mon) 06:06:51
☆ Re: もう一問お願いしますm(_ _)m / X
こちらの計算では
|↑p-↑d|^2=7-(2√6){sinθ+(√3)cosθ}
となりました。
後は三角関数の合成を使います。
No.18937 - 2012/10/15(Mon) 08:35:50
☆ Re: もう一問お願いしますm(_ _)m / skth
ありがとうございましたm(_ _)m
No.18946 - 2012/10/15(Mon) 22:49:06
★ ベクトルの問題ですm(_ _)m / skth
お願いしますm(_ _)m
No.18932 - 2012/10/14(Sun) 17:59:00
☆ Re: ベクトルの問題ですm(_ _)m / ヨッシー
(1)

正五角形の１つの内角は108°。
△ＡＥＤは二等辺三角形で、∠ＡＥＤ＝108°より
　∠ＥＡＤ＝(180°−108°)/2＝36°
　∠ＢＡＤ＝108°−36°＝72°
よって、∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＝180° で、同側内角の和が
180°なので、　ＢＣ//ＡＤ

(2)
(1) の結果よりＡＦ//ＤＥ、ＡＥ//ＦＤ
また、ＡＥ＝ＥＤより、４辺の長さが等しい、平行四辺形で、
その名は「ひし形」。

(3)

ＡＦ＝１，ＣＦ＝ｘ とし、これらと長さの等しい線分を上の図のように
記入した。
△ＣＡＤと△ＦＤＣは相似なので、
　ＡＤ：ＤＣ＝ＤＣ：ＣＦ
　(1+x)：1＝1：x
よって、
　x(x+1)=1
これを　０＜ｘ＜１ の範囲で解いて、
　ｘ＝（−１＋√5)/２
よって、ＡＦ：ＣＦ＝２：(√5−１)

(4)
ＣＤ＝ＣＢ＋ＢＡ＋ＡＤ
　ＡＤ＝{(√5＋1)/2}ｂ
より
　ＣＤ＝−ａ＋{(√5−1)/2}ｂ
No.18938 - 2012/10/15(Mon) 09:37:59
☆ Re: ベクトルの問題ですm(_ _)m / skth
ありがとうございましたm(_ _)m
No.18947 - 2012/10/15(Mon) 22:50:45
★ (No Subject) / クールミント
tan-1√3/2≒40.9
上記の４０．９を手計算でだす方法をお願いします。
No.18929 - 2012/10/14(Sun) 15:34:16
☆ Re: / らすかる
√3/2≒1.732/2=0.866 を
arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…
にそのまま適用すると収束が悪くて大変なので、
y=(1-x)/(1+x) として
arctan(x)=π/4-(y-y^3/3+y^5/5-y^7/7+…)
を使います。
x=√3/2 のとき y=(1-x)/(1+x)=7-4√3≒7-4×1.732=0.072
この値は十分小さくy^3/3以降は無視できるので
arctan(x)≒π/4-y
π/4-yを計算してから度に直すよりも
yを度に直してから45°から引いた方が簡単なので
0.072×(180/π)≒12.96÷3.14≒4.1
∴求める角度は 約45-4.1=40.9°
No.18930 - 2012/10/14(Sun) 17:24:19
★ ケーリーはミルトンの定理 / がーねっと
２次正方行列Ａについて
A^2-3A+2E=0⇔trA=3,detA=2
ですか？
→が特に不安です。
No.18927 - 2012/10/14(Sun) 13:36:16
☆ Re: ケーリーはミルトンの定理 / rtz
左辺はA=E,2Eでも成り立ちますね。

A2-3A+2E=O
⇔{(trA)-3}A-{(detA)-2}E=O
ですが、この先はA=kEのときを考慮しないといけませんね。
No.18928 - 2012/10/14(Sun) 14:36:53
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