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★ 確率 / なら
次のルールに従ってx軸上の点Aを動かすゲームを行う。
(i)最初、点Aはx=0にある。
(ii)サイコロを振り、３の倍数の目が出たらx軸上を+2進み、3の倍数でない目が出たらx軸上を-1進む。
この操作を繰り返し行う。
(iii)ゲーム開始後、点Aがちょうどx=0に止まるとゲームは終了する。
(たとえば、点Aがx=-1にあり、３の倍数の目がでてx=0を通ってx=1にいたるときはゲームは終了しない)
ゲームが終了するまでにサイコロを振った回数がnである確率をPnとする。
(1)P3とP9を求めよ。

A:３の倍数の目がでる確率＝1/3
B：3の倍数でない目がでる確率＝2/3
P3はAが１回、Bが2回でればよいので3C1・(1/3)・(2/3)^2=4/9
P9について
Aがx回、Bがy回でるとすると、
x+y=9・・・?@
2・x+(-1)・y=0⇔2x-y=0・・・?A
?@?Aよりx=3 y=6
よってAが3回、Bが6回でればよいので
9C3・(1/3)^3・(2/3)^6=1792/6561
となったのですが解答がないのでよく分かりません。
数学が得意な方教えて下さい。お願いします。
No.19523 - 2012/12/25(Tue) 04:24:49
☆ Re: 確率 / ヨッシー
P3 はそれで良いですが、P9 は、３回、６回で終わる場合を排除しないといけません。
No.19524 - 2012/12/25(Tue) 06:30:35
☆ Re: 確率 / なら
完全に見落としてました；
ありがとうございました。
No.19536 - 2012/12/25(Tue) 16:52:33
★ 微分 / 空零落
次の条件を満たす３次関数f(x)を求めよ。
(i)f(0)=1 (ii)f'(0)=f'(1)=-3 (iii)x=αおよびx=βで極値をとり、|f(α)-f(β)|=|α-β|
とりあえずf(x)=px^3+qx^2+rx+sとおいて(i)から順に考えていったのですが
pとqの値がわからず、また、(iii)の条件をどう活かせばよいのかわかりません。
誰か数学が得意な方教えて下さい。お願いします。
No.19521 - 2012/12/24(Mon) 23:32:44
☆ Re: 微分 / ＿
α<βとでもして、f'(x)=0の解と係数の関係や、
f(β)-f(α)=[α→β]∫f'(x)dx=-(3p/6)(β-α)^3あたりから出してみるのはどうでしょう。
No.19522 - 2012/12/25(Tue) 03:30:13
☆ Re: 微分 / 豆
未知数は少なくしてスタートするのも一つの方法。
(2)よりf'(x)=6ax(x-1)-3とおける
積分して、(1)を使えば、
f(x)=2ax^3-3ax^2-3x+1
f'(x)で割り算して、(3)より
f(x)=(1/6)(2x-1)f'(x)-(2+a)x-1
∴　|f(α)-f(β)|=|(2+a)(α-β)|
No.19525 - 2012/12/25(Tue) 09:39:44
★ 行列 / ｓｆｄ
(2)の問題がわかりません。
答えは8です
よろしくお願いします
No.19518 - 2012/12/24(Mon) 23:01:35
☆ Re: 行列 / ヨッシー

なので、行列式は
　20・12・10＋(-20)・(-13)・30＋10・(-14)・(-32)−10・12・30−(-20)・(-14)・10−20・(-13)・(-32)＝-40
となります。
No.19519 - 2012/12/24(Mon) 23:22:24
☆ Re: 行列 / rtz
|tB|＝|B|、|AB|＝|A||B|であること、
また三角行列の行列式は、対角成分の積に等しいことを利用すれば、
|tBAB|＝|A||B|2＝(-10)*22＝-40とすることもできます。
(範囲外かも？)
No.19520 - 2012/12/24(Mon) 23:27:38
☆ Re: 行列 / Sfd
ありがとうございました
No.19531 - 2012/12/25(Tue) 13:53:29
★ 図形と方程式の問題が分かりません。 / 武安
座標平面上の点(x,y)が不等式x^2+y^2≦2・・・?@で表される領域を動く。
(1)X=x+y Y=xyとするとき、点(X,Y)の動く領域を求め、XY平面上に図示せよ。
(2)(2x+1)(2y+1)の最大値と最小値を求めよ。
x,yの条件はx,yが実数でありながら領域?@に存在することですよね？
x,yが実数であることはtの２次方程式t^2-Xt+Y=0の判別式が(判別式)≧0・・・?Aとなればいいですが、
領域?@にあることはどうすればいいんでしょうか？
領域?@にあるx,yは-√2≦x≦√2 -√2≦y≦√2なので
-2√2≦x+y≦2√2 -2≦xy≦2なので-2√2≦X≦2√2、-2≦Y≦2とし
この範囲内で?Aの領域を図示すればいいんでしょうか？
また、?@について
?@はY≧(1/2)X^2-1と変形できますが、この式は何を意味しているんでしょうか？
Y≧(1/2)X^2-1を満たすような適当なX,Yを選んだ時、X,Yのいわば構成要素となっているx,yはかならず領域?@に存在してますよってことを意味しているんでしょうか？
だったらこれと?Aを図示すればいいような気がしますが、なんだかよくわかりません。
間違っている箇所の指摘と正しい解説お願いします。
No.19505 - 2012/12/24(Mon) 15:30:32
☆ Re: 図形と方程式の問題が分かりません。 / ヨッシー
結論から言うと、
>だったらこれと?Aを図示すればいい
で正解です。

ただし、言葉の言い回しとして、
>Y≧(1/2)X^2-1を満たすような適当なX,Yを選んだ時、
>X,Yのいわば構成要素となっているx,yはかならず領域?@に存在
は誤りです。これと、?A が組み合わさって、初めて?@の領域に
存在できます。

また、結果として使っていないのですが、
> -2√2≦x+y≦2√2 -2≦xy≦2なので-2√2≦X≦2√2、-2≦Y≦2
も危険です。
例えば、-2√2＝x+y となるのは、-√2≦x≦√2, -√2≦y≦√2
から考えると、x=y=-√2 ですが、これは、?@ には含まれません。
No.19507 - 2012/12/24(Mon) 15:54:10
☆ Re: 図形と方程式の問題が分かりません。 / 武安
素早い回答ありがとうございます。
補足です。
Y≧(1/2)X^2-1だけじゃどうしてダメなんでしょうか？
Y≧(1/2)X^2-1はx^2+y^2≦2を反映させた条件式ですよね？

もう一度考えてみたところ、この条件だけでも十分X,Yは実数といえるような気がしてきました。
xy平面上なのでxとyは絶対虚数にならないから
たとえばx=1+2i、y=1-2iとしたとき
X=(1+2i)+(1-2i)=2(実数)というふうな事態にはならないと思うのですがどうして実数になるための条件が必要なんでしょうか？
教えて下さい。
No.19508 - 2012/12/24(Mon) 16:35:55
☆ Re: 図形と方程式の問題が分かりません。 / ヨッシー
>十分X,Yは実数といえる
X,Y が実数であっても、その元になる x,y が実数として
存在しないとダメです。

例えば、Ｘ＝４，Ｙ＝７ は、Y≧(1/2)X^2-1 を満たしますが、
ｘ＋ｙ＝４、ｘｙ＝７ となるような実数ｘ、ｙは存在しません。
> xとyは絶対虚数にならないから
こそダメな場合があります。
No.19512 - 2012/12/24(Mon) 19:15:51
★ 対数 / チサト
次の条件(i)(ii)をともに満たす自然数nを求めよ。
(i)n^2の桁数はnの桁数より2大きい
(ii)nは5つの連続する自然数の平方の和に等しい
さっぱり分からないので教えて下さい。
おねがいします。
No.19504 - 2012/12/24(Mon) 14:57:55
☆ Re: 対数 / ヨッシー
(i)
対数の底は１０とします。
　logｎ＝ｔ　とすると
　log(n^2)＝２ｔ
であり、ｎの桁数は[ｔ]＋１、ｎ^2 の桁数は[２ｔ]＋１ で表されるので、
　[t]＋２＝[２ｔ]
より、1.5≦ｔ＜2.5　以上より、
　10^1.5≦ｎ＜10^2.5
10^0.5＝3.162 より、
　√1000＜32≦ｎ≦316＜√100000

(ii) ５の連続する自然数を
　k-2, k-1, k, k+1, k+2　(k は3以上の整数）
とすると、その平方和は　5k^2＋10　より
　32≦5k^2＋10≦316
　22≦5k^2≦306
　5≦k^2≦61
これを満たすｋは、ｋ＝3,4,5,6,7
よって、条件を満たすｎは
　ｎ＝55, 90, 135, 190, 255
となります。
No.19506 - 2012/12/24(Mon) 15:35:55
☆ Re: 対数 / チサト
[t]＋２＝[２ｔ]の部分を
[t]=2より2≦t<3としてしまったのですが
どうすれば1.5≦ｔ＜2.5にできるんですか？
教えて下さい＞＜
No.19509 - 2012/12/24(Mon) 18:34:27
☆ Re: 対数 / ヨッシー
基本的には、値が変わる辺りを調べる、です。
[t] の方は、
０〜１，１〜２，２〜３　でそれぞれ、０，１，２ と変わりますが、
[2t] の方は、
０〜0.5, 0.5〜1, 1〜1.5 で ０，１，２ となりますので、
順々に調べていきます。
※　ａ〜ｂ　は　ａ≦ｔ＜ｂ を表すものとします。
No.19511 - 2012/12/24(Mon) 19:10:51
★ 高次方程式 / fairyfore
直方体Pについて３辺の長さ(ここでは底面のたて、よこ、高さをいう)の和が8、表面積が32、体積がVである。
Vの最大値およびそのときの３辺の長さをそれぞれ求めよ。
V=t^3-8t^2+16tとして定数分離を考えてVの取りうる値を求めようとしたのですが範囲が無制限なので最大値といえる値が得られません。
どうすれば求められるのでしょうか？
教えて下さい。
No.19488 - 2012/12/23(Sun) 20:39:59
☆ Re: 高次方程式 / うーぱ
tが何を表してるかによりますね
No.19490 - 2012/12/23(Sun) 21:12:13
☆ Re: 高次方程式 / らすかる
V=t^3-8t^2+16t において tが3実数解を持たなければいけませんので
y=V と y=t^3-8t^2+16t の交点が（重複を許して）3個、すなわち
右辺の極大値が最大値になります。
No.19496 - 2012/12/23(Sun) 21:39:46
★ 積分 / 工学部2年
∫[-1,1]√(1+x^2)dx

この定積分の解き方を教えてください．
No.19486 - 2012/12/23(Sun) 19:31:19
☆ Re: 積分 / らすかる
t=x+√(1+x^2) とおいてはいかがでしょうか。
No.19491 - 2012/12/23(Sun) 21:14:58
☆ Re: 積分 / うーぱ
誘導がなければ
∫√(x^2+a)dx=(1/2){x√(x^2*a)+aloglx+√(x^2+a)l}＋Ｃ（Ｃは積分定数）を覚えておくのが現実的かと。途中過程無しにいきなり積分結果を書いてしまって構いません。
No.19492 - 2012/12/23(Sun) 21:16:35
☆ Re: 積分 / うーぱ
∫√(x^2+a)dx=(1/2){x√(x^2＋a)+aloglx+√(x^2+a)l}でした
No.19493 - 2012/12/23(Sun) 21:17:47
☆ Re: 積分 / 工学部2年
ありがとうございます
No.19497 - 2012/12/23(Sun) 22:13:25
★ 佐賀大入試問題 / うーぱ
いつも０＾０＝１ですか？
No.19485 - 2012/12/23(Sun) 19:07:07
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
0^0は定義されていません。
No.19489 - 2012/12/23(Sun) 21:00:43
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーぱ
佐賀大学の大学入試問題でfn(x)=(x^n*e^(-x))/n!(ｎは０以上の整数）
（１）ｎ≧１のときfn(x)の導関数をｆｎ（ｘ）、ｆｎ−１（ｘ）を用いて表せ
（２）Σ（ｋ＝０〜ｎ）ｆｋ（ｘ）の導関数を求めよ
（３）∫（０〜１）ｆｎ（ｘ）ｄｘを求めよ。
の（３）でfo(0)を求める必要があります
No.19494 - 2012/12/23(Sun) 21:24:00
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
その場合は f0(x)=e^(-x) ですから f0(0)=1 ですね。
No.19495 - 2012/12/23(Sun) 21:35:19
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーぱ
fo(0)はfn(x)にｎ＝０、ｘ＝０を代入したものですよね
で、らすかるさんはf0(x)=e^(-x) ですから f0(0)=1という風にｎ＝０を代入した後にｘ＝０を代入していますね。
ここでｘ^0=1とみなしていますがｘは０≦ｘ≦１でありx=0
が含まれているのでn=0を代入した跡にｘ＝０を代入しようがｘ＝０を代入した跡にｎ＝０を代入しようが0^0は出てきてしまっているのですが。x^0=1としてよいのですか？

ｘ＝０を代入した後にｎ＝０を代入でも結局０＾ｎということでｎ＝０が邪魔になります。

計算できません・・

よろしくお願いします
No.19498 - 2012/12/23(Sun) 22:33:17
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
x≠0のときx^0=1ですからlim[x→+0]x^0=1となり、
∫[0〜1]fn(x)dx=lim[t→+0]∫[t〜1]fn(x)dx ですから
この場合はx^0=1として問題ないですね。
No.19499 - 2012/12/23(Sun) 23:02:15
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーぱ
間違えました。すみません（２）の段階でf0(x)は必要なのでf0(x)=x^0*e^0/n!の値はｘが実数全体の時で考えなければなりません。それだとどうなりますか？
No.19500 - 2012/12/23(Sun) 23:16:36
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
f0(x)の定義域がx≠0ですから
Σ[k=0〜n]fk(x) もx≠0の範囲で考えて
x^0=1として問題ないと思います。
No.19501 - 2012/12/23(Sun) 23:28:42
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーぱ
う〜んf0(x)の定義域がｘ≠０というのは一体どこから来たのでしょうか？
No.19502 - 2012/12/23(Sun) 23:49:42
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
0^0が未定義だからです。
f(x)=1/x の定義域がx≠0と自動的に決まるのと同じことです。
No.19503 - 2012/12/23(Sun) 23:57:11
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーぱ
ｘ＝０が定義されていないならf0(0)は存在しない事になりますよね？
No.19510 - 2012/12/24(Mon) 19:02:35
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
そうなりますね。
上の19495は誤りでした。
No.19513 - 2012/12/24(Mon) 19:23:39
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーぱ
ではf0(0)の値はいくつになりますか？
No.19514 - 2012/12/24(Mon) 19:32:37
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーぱ
他の掲示板で聞く事にします。ありがとうございました。
No.19515 - 2012/12/24(Mon) 19:48:47
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
「f0(0)は存在しない」ときは、
f0(0)の値はいくつになるかと聞かれても
「存在しない」としか答えられませんね。
No.19516 - 2012/12/24(Mon) 21:54:35
☆ Re: 佐賀大入試問題 / うーば
では（２）or(3)の解答をお願いします。fo(0)を求めずに求められるのならばその答案も見てみたいです
No.19545 - 2012/12/25(Tue) 20:30:22
☆ Re: 佐賀大入試問題 / らすかる
(2)
f[0](x)=e^(-x)
f[0]'(x)=-e^(-x)=-f[0](x)
{Σ[k=0〜n]f[k](x)}'
=-e^(-x)+Σ[k=1〜n]f[k]'(x)
=-f[0](x)+Σ[k=1〜n]f[n-1](x)-f[n](x)
=-f[n](x)
ただしf[0](0)は定義されないのでx≠0

(3)
∫[0〜1]f[n](x)dx
=lim[t→+0]∫[t〜1]f[n](x)dx
=-lim[t→+0][Σ[k=0〜n]f[k](x)][t〜1]
={lim[t→+0]f[0](t)}-f[0](1)-{Σ[k=1〜n]f[k](1)}+{Σ[k=1〜n]f[k](0)}
=1-1/e-Σ[k=1〜n]1/(e*k!)
=1-{Σ[k=0〜n]1/k!}/e
No.19546 - 2012/12/25(Tue) 22:23:05
★ 確率 / fairyfore
(問)1年生２人.2年生2人.3年生2人の6人の生徒が1列に並ぶとき、次の確率を求めよ｡
どの生徒も､隣の人とは異なる学年である確率を求めよ。
答は1/3です。
余事象を考えたのですが答が合いません。
また、ベン図を用いて考える場合どうすればいいんでしょうか？
教えて下さい。
No.19482 - 2012/12/22(Sat) 23:37:18
☆ Re: 確率 / IT
余事象方式でも良いと思います。
１年生を甲１、乙１の２人とします。
１年生が隣り合うのは（甲１、乙１）か（乙１、甲１）を１塊に考えて　(5*4*3*2)*2通り
　（※この*2を落としているのでは？）
１ ある１つの学年について同じ学年の生徒が隣り合うのは
　　(5*4*3*2)*2
　　学年の選び方は3通り

２ ある２つの学年について同じ学年の生徒が隣り合うのは
　　(4*3*2)*(2*2)
　　学年の選び方は3通り
３ ３つの学年すべてについて同じ学年の生徒が隣り合うのは
　　(3*2)*(2*2*2)通り

○いずれかの学年について同じ学年の生徒が隣り合うのは
　　(5*4*3*2)*2*3　- (4*3*2)*(2*2)*3 + (3*2)*(2*2*2)
その確率は
　　{(5*4*3*2)*2*3　- (4*3*2)*(2*2)*3 + (3*2)*(2*2*2)}/(6!)
　　=1-{(4*3*2)*(2*2)*3 - (3*2)*(2*2*2)}/(6!)
　　=1-(12-2)/30=1-(1/3) = 2/3

よって、どの生徒も､隣の人とは異なる学年である確率は、この余事象なので
　1 - (2/3) = 1/3
>また、ベン図を用いて考える場合どうすればいいんでしょうか？
　Ａ：１年生の生徒同士が隣り合う
　Ｂ：２年生の生徒同士が隣り合う
　Ｃ：３年生の生徒同士が隣り合う　
　　Ａ、Ｂ、Ｃを円で表し、重複カウント分を除いていきます。それを計算したのが上記です。
No.19483 - 2012/12/23(Sun) 02:12:58
☆ Re: 確率 / IT
（樹形図などで数え上げる方法）
学年の並びを辞書式に小さいものから順に考える（同じ学年の生徒の並び順は後で考える）
・先頭２人の学年は３*２＝６パターンある。
・先頭２人が1-2の場合（１、２、３年生を1、2、3で表す。）
1-2-1-3-2-3　※1-2-1-2　は不可
---+3-1-2-3
-------+3-2
-----+2-1-3
-------+3-1
の５パターンある。

・各学年は２人ずついるので、同学年内の並び順は２*２*２＝８パターンある。
よって条件を満たす並び方は、６＊５＊８通り…?@
一方、６人の並び方は全部で６！通り…?A　である。
?@?Aより求める確率は
（６＊５＊８）／（６！）＝１／３
No.19484 - 2012/12/23(Sun) 05:34:00
☆ Re: 確率 / fairyfore
丁寧な解説ありがとうございました。
No.19487 - 2012/12/23(Sun) 20:38:11
★ (No Subject) / ｄ３
ときどき難関校の大学入試問題に出るそうですが、異常積分って何ですか？
No.19476 - 2012/12/22(Sat) 16:11:40
☆ Re: / らすかる
「Google」はご存知ですか？
No.19478 - 2012/12/22(Sat) 18:32:53
★ 漸化式 / fairyfore
a[1],b[1],a[2],b[2],・・・,a[n],b[n]はすべて0または1の値をとる。このとき、a[1]b[2]+a[2]b[2]+・・・+a[n]b[n]が偶数となる場合の数をA[n]、奇数となる場合の数をB[n]とする。
(1)A[n+1],B[n+1]をそれぞれA{n]、B[n]を用いて表せ。
自分が思いついたのは
A[n+1]の場合、a[1]b[1]〜a[n]b[n]が偶数(A[n])でa[n+1]b[n+1]が偶数　または　a[1]b[1]〜a[n]b[n]が奇数(B[n])でa[n+1]b[n+1]が奇数　を一般化すればいいんじゃないかなと思ったんですけど、
自分がやるとA[n+1]=A[n]+3またはA[n+1]=B[n]+1 B[n+1]の場合も同じ要領でやるとB[n+1]=B[n]+3またはB[n+1]=A{n]+1
がでてきたのですがこれじゃ連立漸化式にも持ち込まないしよくわかりません・・・
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19475 - 2012/12/22(Sat) 15:36:42
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
A[n+1]＝A[n]×3＋B[n]
B[n+1]＝A[n]＋B[n]×3
です。
No.19477 - 2012/12/22(Sat) 16:55:57
☆ Re: 漸化式 / fairyfore
具体的な値を入れて考えてみても漸化式が作れません；
この問題の場合どの点に着目すればそのような漸化式が作れるんでしょうか？
漸化式をつくるということ自体不慣れなのでよくわかりません。
良かったら教えて下さい。お願いします。
No.19479 - 2012/12/22(Sat) 20:16:19
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
ご自身で書かれている
>A[n+1]の場合、a[1]b[1]〜a[n]b[n]が偶数(A[n])でa[n+1]b[n+1]が偶数　
>または　a[1]b[1]〜a[n]b[n]が奇数(B[n])でa[n+1]b[n+1]が奇数
は正しいので、それを元にして考えます。
ただし、３を足す、１を足すではなくて、
A[n+1] は、A[n] に偶数である(0,0)(0,1)(1,0) を足した３通りと、
B[n] に奇数である(1,1) を足した１通りがそれぞれ足されるので、
　A[n]×３＋B[n]
となります。B[n+1]も同様です。
No.19480 - 2012/12/22(Sat) 20:26:27
☆ Re: 漸化式 / fairyfore
よくわかりました。ありがとうございました。
No.19481 - 2012/12/22(Sat) 21:22:15
★ 数列 / zyohu
2でも3でも割り切れない正の整数を小さいものからじゅんにc[1],c[2]、・・・c[n]とする。
{c[n]}の項の内、c[n]≦2010を満たすすべての項の和を求めよ。
自分がやると
[168]Σ[k=1]{c[2k-1]}+[56]Σ[k=1]{c[6k-4]}となってしまうのですがこれは間違いですか？
おねがいします。
No.19471 - 2012/12/22(Sat) 00:19:36
☆ Re: 数列 / IT
[168]Σ[k=1]{c[2k-1]}
は、どういう式（意味）ですか？
No.19472 - 2012/12/22(Sat) 00:52:20
☆ Re: 数列 / らすかる
Σ[k=1〜168]c[2k-1] + Σ[k=1〜56]c[6k-4] という意味だと思いますが、
残念ながら間違いです。
和は Σ[k=1〜670]c[k] で、これを二つに分けるのならば
Σ[k=1〜335]c[2k-1] + Σ[k=1〜335]c[2k] ですね。
No.19473 - 2012/12/22(Sat) 01:12:11
☆ Re: 数列 / IT
> {c[n]}の項の内、c[n]≦2010を満たすすべての項の和を求> [168]Σ[k=1]{c[2k-1]}+[56]Σ[k=1]{c[6k-4]}となってしまうのですがこれは間違いですか？
間違いです。
c[n]のnは、c[n]≦2010である限りトビ番なしに、ずっと足す必要があります。
求める和は、c[1]+c[2]+・・・+c[n]、ただしc[n]≦2010、c[n+1]＞2010です
c[1]、c[2]、・・・、c[n]は、自然数の中でトビトビになります。
1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,・・・
除く自然数の方に規則性がありますから、その和を考えるといいと思います。
No.19474 - 2012/12/22(Sat) 08:50:26
★ 空間図形 / Xex
四面体OABCにおいて、|A→P|:|B→P|=2:√(3)を満たしながら動く点Pを考えるとき、Pの軌跡は球面となることを証明せよ。(ニューアクションωIIBより)　お願いします。
No.19466 - 2012/12/21(Fri) 21:03:08
☆ Re: 空間図形 / X
↑OP=↑p,↑OA=↑a,↑OB=↑bと置くと条件から
|↑p-↑a|:|↑p-↑b|=2:√3
これより
3|↑p-↑a|^2=4|↑p-↑b|^2 (A)
(A)の両辺を展開して整理し、球のベクトル方程式の形に
変形していきます。
No.19468 - 2012/12/21(Fri) 22:10:04
★ (No Subject) / ぴけ
l、m、nを３以上の整数とする。等式
(n/m-n/2+1)l=2
を満たすl、m、nの組をすべて求めよ｡

お願いしますm(__)m
No.19462 - 2012/12/21(Fri) 15:41:01
☆ Re: / らすかる
与式から n/m-n/2+1＞0
整理して (m-2)(n-2)＜4
∴3≦m,n≦5
m=3を元の式に代入して整理すると (6-n)l=12
∴(l,n)=(4,3)(6,4)(12,5)
m=4を元の式に代入して整理すると (4-n)l=8
∴(l,n)=(8,3)
m=5を元の式に代入して整理すると (10-3n)l=20
∴(l,n)=(20,3)
従って答えは
(l,m,n)=(4,3,3)(6,3,4)(12,3,5)(8,4,3)(20,5,3)の5個
No.19464 - 2012/12/21(Fri) 18:55:38
☆ Re: / IT
（別解）です。
L＞0なので与式をLで割ると　(n/m)-(n/2)+1＝2/L＞0
　移項して　(n/m)-(n/2)＞-1
n＞0なのでnで割ると　(1/m)-(1/2)＞-1/n
n≧3より　　(1/m)-(1/2)＞-1/3
　移項して　1/m＞(1/2)-(1/3)＝1/6
よってm＜6、mは３以上の整数なので、m=3,4,5
これ以降は、らすかるさんと同じです。
No.19465 - 2012/12/21(Fri) 19:08:45
★ 高3 正六角形であることの証明 / ktdg
六角形が正六角形であること証明するには、辺の長さがすべて等しく、角の大きさが全て120°であることを言わなくてはいけないのでしょうか?
例えば四角形が正方形であることを証明するときは、辺の長さがすべて等しいことを証明してしまえば、その四角形は正方形か菱形にしぼられるので、隣り合う角のうちどれか1組が等しいことを証明すればその四角形は正方形であると言えますよね?
No.19459 - 2012/12/19(Wed) 23:18:02
☆ Re: 高3 正六角形であることの証明 / らすかる
> 六角形が正六角形であること証明するには、辺の長さがすべて等しく、
> 角の大きさが全て120°であることを言わなくてはいけないのでしょうか?
例えば「すべての辺の長さが等しく、すべての頂点がある点から等距離にある（円に内接する）」
を証明することでも正六角形と言えますので、
「六角形が正六角形であること証明するには、辺の長さがすべて等しく、
　角の大きさが全て120°であることを言わなくてはいけない」
ということはありません。
もし辺の長さと角度で示すとしても、
「すべての辺の長さが等しく、三つの角の大きさが120°である」
ことを示せば十分です。
No.19460 - 2012/12/19(Wed) 23:58:31
☆ Re: 高3 正六角形であることの証明 / ktdg
ありがとうございます。
No.19469 - 2012/12/21(Fri) 22:32:08
★ 高3 図形の問題 答え合わせお願いします / ktdg
点Oを中心とする半径1の球面上に3点A,B,Cがある。線分BC,CA,ABの中点をそれぞれP,Q,Rとする。線分OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上であることを証明せよ。

↑OA=↑a, ↑OB=↑b, ↑OC=↑cとすると、|↑a|=|↑b|=|↑c|=1
↑OP=(↑b+↑c)/2, ↑OQ=(↑a+↑c)/2, ↑OR=(↑a+↑b)/2より、
↑aと↑c, ↑aと↑b, ↑bと↑cのなす角をそれぞれα,β,γとおくと
|↑OP|=√2(1+cosγ)/2, |↑OQ|=√2(1+cosα)/2,|↑OR|=√2(1+cosβ)/2
∴ 1+cosα>1/2 または 1+cosβ>1/2 または 1+cosγ>1/2であればよく
すなわち 0<α<2π/3 または 0<β<2π/3 または 0<γ<2π/3 ー?@を示せばよい。
点Oが三角形ABCの内部にある場合 α+β+γ=2πだから?@は成り立つ。
点Oが三角形ABCの外部にある場合 例えば点Oが直線BCの下側にあるときα+β<πであり、OがAB,ACの下側にある場合も同様にそれぞれα+γ<π , β+γ<πであるから?@は成り立つ。
また、O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2πだから?@は成り立つ。
以上より、題意は示された。

答え合わせお願いします。
No.19458 - 2012/12/19(Wed) 23:02:04
☆ Re: 高3 図形の問題 答え合わせお願いします / ヨッシー
微妙です。
言わんとする事は分かりますし、論理も間違ってはいないの
ですが、何か違和感があります。

>すなわち ・・・　ー?@を示せばよい。
までは(＞1/2 や ＜2π/3 は、≧1/2 や ≦2π/3 であることを除けば)良いと思います。

その後、例えば、
>α＋β＋γ＝2πだから?@は成り立つ。
え？何故？　と読み手は思ってしまいます。

>直線BCの下側
という言い方も、「言いたいことはわかるけど・・・」です。
「点Ｏが辺ＢＣに対して、点Ａと反対側にあるとき」ですね。

いろいろ場合分けされていますが、いずれの場合も、
α＋β＋γ≦2π であり、
　(ここから詳しめに説明して)
α、β、γの少なくとも１つは、2π/3以下となる。
という持って行き方のほうがすっきりすると思います。
No.19461 - 2012/12/20(Thu) 18:18:38
★ 不等式 / 工学部2年
x>0のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
e^x>x^2/2

解答
y=e^x-x^2/2
y'=e^x-x
y'=0となるのは
e^x-x=0
となるとことまではわかったのですがこの方程式を解くことができません．
教えていただけないでしょうか
No.19452 - 2012/12/19(Wed) 21:44:20
☆ Re: 不等式 / ハオ
興味本位で解いたので間違っているかもしれません.
何かの足しになればと思い書き記します.

まずe^x-x=0の解はx>0の範囲で無いと思われます.
y'で分からなければy''を考えてみるとよいと思います.
そして増減表を2つ書けば解決かと思います.
No.19453 - 2012/12/19(Wed) 22:04:49
☆ Re: 不等式 / ハオ
具体的にはこの様な感じの証明は如何でしょうか？
論証不充分でしたり,致命的欠陥があるかもしれませんので参考程度にお考え下さい.
No.19454 - 2012/12/19(Wed) 22:12:16
☆ Re: 不等式 / ast
先の質問でもそうですが, そもそも増減表を書くときに本質的に考えるべきは導函数に符号変化があるかどうかである, ということをまずは理解すべきでしょう. 受験数学などで典型的なパターンだと真っ先に零点を求めているのは, 零点が求められるなら符号変化は安直に分かるからです.

y'=e^x-x は x > 0 で符号変化を持ちません. 実際, 再度微分すれば e^x-1 は x > 0 で常に正ですから, y' の様子は x=0 での値を見るだけで十分わかります.

なお e^x をテイラー展開すれば e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…… となります. これを用いたもののほうが「大学生らしい」のかもしれません.
No.19455 - 2012/12/19(Wed) 22:12:57
☆ Re: 不等式 / ast
おっと, 蛇足だったようです.
No.19456 - 2012/12/19(Wed) 22:14:32
☆ Re: 不等式 / 工学部2年
詳しく説明していただきありがとうございます．
おかげで理解することができました．
No.19457 - 2012/12/19(Wed) 22:22:33
★ 極限 / Xex
lim_[x→∞]{f(x)}=Pという式が成り立っている場面でlim_[x→∞][1/{f(x)}]=1/Pという式は成立しますか?初歩的な質問で申し訳ありません。
No.19446 - 2012/12/19(Wed) 18:41:28
☆ Re: 極限 / X
P≠0であれば成立します。

教科書で極限に対する公式を見直してみて下さい。
たとえば
lim[x→∞]f(x)=α
lim[x→∞]g(x)=β(β≠0)
のとき
lim[x→∞]{f(x)/g(x)}=α/β
と言うようなことは書いてあると思います。
No.19448 - 2012/12/19(Wed) 18:48:26
☆ Re: 極限 / Xex
よく見たら載っていました　解決しました。
No.19467 - 2012/12/21(Fri) 21:04:01
★ 不等式 / 工学部2年
0<x<π/2のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
2x/π<sinx<x

解説よろしくお願いします．
No.19444 - 2012/12/19(Wed) 18:14:58
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
f(x)＝sinｘ−2x/π
g(x)＝ｘ−sinｘ
とおいて、それぞれｘで微分して増減を調べれば、
0＜ｘ＜π/2 において、正であることが示せます。
No.19445 - 2012/12/19(Wed) 18:35:27
☆ Re: 不等式 / 工学部2年
f'(x)=cosx-2/πとなったのですがxがわかりません．
どうしたらいいでしょうか?
No.19447 - 2012/12/19(Wed) 18:45:26
☆ Re: 不等式 / ハオ
興味本位で解いてみたので間違っているかもしれません.
何かの足しになればと思い回答します.

>f'(x)=cosx-2/πとなったのですがxがわかりません．
とあるのですが恐らくf(x)が極大になる時の値を求める為にxの値が欲しいのだと思いますが,実際増減表を書けば明らかな様にf(x)の極大値は正（f(0)=0,f(Pi/2)=0だから)なのでf(x)の極大値を計算しなくても
増減表からf(x)は0<x<Pi/2で常に正
で良いと思うのですが如何でしょうか？
No.19450 - 2012/12/19(Wed) 21:17:36
☆ Re: 不等式 / 工学部2年
解くことができました．　
ありがとうございました．
No.19451 - 2012/12/19(Wed) 21:18:08
★ 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
nを自然数とする時3^(n+1) + 4^(2n-1)は13で割り切れることを証明せよ.

という問題を気まぐれで解いてみたのですが画像の様な方法でしっかりと証明できているでしょうか？
具体的には普通数学的帰納法と言うとn=1で確認n=kで仮定してn=k+1の時も成り立つ事を確認だと思うのですが、それの少し段階が多い画像のような方法も有りなのでしょうか？
ご指導お願い致します。

ここに数式を打つのは骨が折れるので画像にて失礼させて頂きます.
No.19434 - 2012/12/18(Tue) 13:14:50
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
ありです。
数学的帰納法でやるなら、こういう方法になるでしょう。

他には、合同式を知っていれば、その表記法が楽ですが、
そうでない場合は、
m(x) を x を13で割った時の余り、
f(n) を 3^(n+1) を13で割った時の余り、
g(n) を 4^(2n-1) を13で割った時の余り　とすると、
　f(1)＝9, f(2)＝m(9×3)＝1, f(3)＝3, f(4)＝9
となるので、自然数m について
　f(3m-2)＝9, f(3m-1)＝1, f(3m)＝3
また
　g(1)＝4, g(2)＝m(4×16)＝12, g(3)＝m(12×16)＝10
　g(4)＝m(10×16)＝4
となるので、自然数m について
　g(3m-2)＝4, f(3m-1)＝12, f(3m)＝10
となり、
　f(3m-2)+g(3m-2)＝9＋4＝13
　f(3m-1)+g(3m-1)＝1＋12＝13
　f(3m)+g(3m)＝3＋10＝13
となり、任意の自然数ｎについて、
　f(n)＋g(n)＝13 となり、
3^(n+1)＋4(2n-1) は、13で割り切れます。

と、ゴリゴリ書く方法もあります。
No.19435 - 2012/12/18(Tue) 14:35:54
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
回答有難う御座います.
ヨッシーさんが教えてくださった別解はなるほどと思いました.
色々な解法があって面白いなとも思いました.

ところでその別解を思いつく(その別解で行こうと考える)のは余りが早い段階でループする事に気付くことが重要だと思うのですが,階乗の余りはどんな場合でも比較的早くループするのでしょうか？
No.19436 - 2012/12/18(Tue) 14:49:17
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
すいません間違えました
No.19436の最後の行の>階乗
は累乗です
No.19437 - 2012/12/18(Tue) 14:51:01
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
累乗＝同じ数を掛ける　ですから、あるところで同じ余りが出てきたら、
その先は繰り返しになります。

この場合は、13で割りますから、余りは割り切れない限り
1〜12 の12個の数のいずれかになりますので、最大13回目には、
どれかの数字が重複し、それ以降が繰り返しとなります。
No.19438 - 2012/12/18(Tue) 16:10:06
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
まずは回答有難う御座います.
すいません少し僕の言葉が足りなかった様です.

「比較的早く」というのはせいぜい3,4回でという意味です.
13の剰余を考えているから0〜12の余りで最大で13回目にはループに入るというのは分かるのですが,
例えばこの問題が仮に12回目でループに入るとしたら少々計算がだるくなる気がするのです.

?@13の剰余だからせいぜい13回の計算だし試しにやってみるか
→おぉ案外早くループしたな
というのと
?Aこの問題は恐らく早めにループするな→やはり3回程度でループしたか
のどちらなのでしょうか？
もし?Aの場合でしたら何か見分け方があるのでしょうか？
長々申し訳ありません.
No.19439 - 2012/12/18(Tue) 17:29:09
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
最初は、13回までは覚悟しましたよ。

ですから?@ですね。
No.19440 - 2012/12/18(Tue) 17:36:54
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
なるほどです.
ご指導して頂き有難う御座います.

ところで,これからも質問させて頂きたいと考えているのですが解決した記事は削除した方が宜しいのでしょうか？
つまり単発の質問を何個も立てられたらヨッシーさんやその他の利用者の方々に迷惑な気がするのです.
No.19441 - 2012/12/18(Tue) 17:41:51
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ヨッシー
消さないでください。

他の人の参考になるかも知れませんし、何年か先に私自身も
参照したくなるかも知れませんので。
No.19442 - 2012/12/18(Tue) 18:06:21
☆ Re: 大学受験数学(整数と整式) / ハオ
ヨッシーさん回答有難う御座います
承知いたしました.
No.19443 - 2012/12/18(Tue) 20:56:52
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