点Oを中心とする半径1の球面上に3点A,B,Cがある。線分BC,CA,ABの中点をそれぞれP,Q,Rとする。線分OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上であることを証明せよ。
自分の解答↓
↑OA=↑a, ↑OB=↑b, ↑OC=↑cとすると、|↑a|=|↑b|=|↑c|=1
↑OP=(↑b+↑c)/2, ↑OQ=(↑a+↑c)/2, ↑OR=(↑a+↑b)/2より、
↑aと↑c, ↑aと↑b, ↑bと↑cのなす角をそれぞれα,β,γとおくと
|↑OP|=√2(1+cosγ)/2, |↑OQ|=√2(1+cosα)/2,|↑OR|=√2(1+cosβ)/2
∴ 1+cosα>1/2 または 1+cosβ>1/2 または 1+cosγ>1/2であればよく
すなわち 0<α<2π/3 または 0<β<2π/3 または 0<γ<2π/3 ー(1)を示せばよい。
４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの内部にある場合 α+β+γ=2πだから(1)は成り立つ。
４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの外部にある場合 例えば点Oが直線BCの下側にあるときα+β<πであり、OがAB,ACの下側にある場合も同様にそれぞれα+γ<π , β+γ<πであるから(1)は成り立つ。
また、O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2πだから(1)は成り立つ。
以上より、題意は示された。
上記のような解答で証明ができているかどうか以前に質問した際、ヨッシーさんから
いずれの場合もα＋β＋γ≦2π であり、
(ここから詳しめに説明して)
α、β、γの少なくとも１つは、2π/3以下となる。
という持って行き方のほうがすっきりすると思います。
というような回答をいただきました。(他にもご指摘をしていただきましたがここでは省略します)
この質問をほかの質問サイトでもしたところ、
＞O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2πだから
これって明らかなのでしょうか？
この証明だけで１つの問題になりそうです。
というような回答をいただきました。
「O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2π」
というのは「明らか」としてよいのでしょうか？
また、α＋β＋γ≦2πから、0<α≦2π/3 または 0<β≦2π/3 または 0<γ≦2π/3 に持っていくにはどのような説明をすればよいのでしょうか？
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No.19629 - 2012/12/31(Mon) 02:03:33
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | こちらの記事ですね。
「明らか」として問題のないレベルだと私は判断しました。
「凸多面体の１つの頂点に集まる角度の合計は２π未満である」
を自明とする立場です。
証明するなら、点ＯからＡＢＣにおろした垂線の足をＨとすると、
ＯＨは、△ＡＢＣの外接円を大円とする球の接線となり、
点Ｏはこの球の外側にあります。
よって、∠ＡＯＢ＜∠ＡＨＢ
同様に ∠ＢＯＣ＜∠ＢＨＣ、∠ＣＯＡ＜∠ＣＨＡ より
α＋β＋γ＜２π
という具合に出来ます。
>α＋β＋γ≦2πから、0<α≦2π/3 または 0<β≦2π/3 または 0<γ≦2π/3
α＞2π/3 かつ β＞2π/3 かつ γ＞2π/3
と仮定して、背理法で証明できます。
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No.19631 - 2012/12/31(Mon) 09:00:10 |
| ☆ Re: / IT | | | > 「明らか」として問題のないレベルだと私は判断しました。
> 「凸多面体の１つの頂点に集まる角度の合計は２π未満である」
> を自明とする立場です。
私もそう思います。
教科書は手元にないので分かりませんが、青チャでは、証明なしで使っています。
これを証明せよという設問でない限り証明なしで使って良いと思います。
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No.19637 - 2012/12/31(Mon) 12:20:59 |
| ☆ Re: / ktdg | | | No.19653 - 2012/12/31(Mon) 19:08:41 |
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