1からn(n≧3)までの自然数を1つずつ書いたn枚のカードがある.その中から,でたらめに3枚のカードを同時に取り出すとき,それらの3枚のカードに書いてある数の中で1番小さい数をX1,2番目に小さい数をX2,3番目に小さい数をX3とする.さらに,Y=X3－X1とする.
(1)n=5のとき,X2＞Yとなる確率を求めよ
(2)一般のnに対して,Y=kとなる確率P(Y=k)(k=2,3,…,n－1)とYの期待値E(Y)を求めよ
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No.19590 - 2012/12/28(Fri) 21:00:06
| ☆ Re: 確率 / ヨッシー  | | | (1)n=5 のとき、３枚のカードの組合せは
(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)(1,3,5)
(1,4,5)(2,3,4)(2,3,5)(2,4,5)(3,4,5)
で、このうち X2＞Y となるのは(2,3,4)(2,4,5)(3,4,5)の
３通りなので、求める確率は 3/10
(2)
Y=2 となるのは
(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)・・・(n-2,n-1,n)
Y=3 となるのは
{(1,2,4)(1,3,4)}{(2,3,5)(2,4,5)}・・・{(n-3,n-2,n)(n-3,n-1,n)}
Y=2 の場合は、両端の数字の選び方が n-2 通りで、真ん中の数は
１通りに決まります。
よって、場合の数は n-2 通り
Y=3 の場合は、両端の数字の選び方は n-3 通りで、真ん中の数は
２通りあります。
よって、場合の数は (n-3)2
一般に Y=k となるのは、両端の数字の選び方は n-k 通り、
真ん中の数の選び方は k-1 通り。
また、数字の選び方は nＣ3 通り。
よって、求める確率は
P(k)＝(n-k)(k-1)/nＣ3
Y の期待値は
E(Y)＝Σ[k=2～n-1]k(n-k)(k-1)/nＣ3
P(1)=P(n)=0 より
E(Y)＝Σ[k=1～n]k(n-k)(k-1)/nＣ3
＝Σ[k=1～n](-k^3+(n+1)k^2-nk)/nＣ3
＝(n+1)/2
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No.19592 - 2012/12/28(Fri) 23:56:27 |
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