中心の位置および半径を変えながら移動する円がある.時刻t(t≧0)における中心の座標は(at+1,0),半径はr/√at+1である.ただし,aおよびrはtに無関係な正の定数とする. このとき,点A(2,1)がいかなる時刻t(≧0)においても,この移動する円の外側にあるためのrの範囲を求めよ.また,rがそのような1つの値であるときに,点Aから動円に2本の接線l,mを引いたとき,lとmのなす角を2θ(0<θ<π/2)とする.θを最大にするtを求めよ.
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No.19554 - 2012/12/27(Thu) 03:00:53
| ☆ Re: 難問 / ヨッシー | | | √at+1 は、√(at+1) と解釈します。 円の式は (x-at-1)^2+y^2=r^2/(at+1) であるので、これに (2,1) を代入して、 (1-at)^2+1>r^2/(at+1) t≧0 においては at+1>0 なので、 (a^2t^2-2at+2)(at+1)>r^2 f(t)=(a^2t^2-2at+2)(at+1)=a^3t^3−a^2t^2+2 とおきます。 tで微分して、 f'(t)=a^2t(3at-2) となり、f(t) は、t=0 で極大値 2、t=2/3a で極小値50/27 を取ります。 よって、50/27>r^2 であれば、いかなる時刻t(≧0)においても (a^2t^2-2at+2)(at+1)>r^2 となります。 0<r<(5√6)/9
円の中心をB、半径をcとすると、 sinθ=c/AB となります。0<θ<π/2 において sinθ(>0) は単調増加であるので tan^2θ=c^2/AB^2 が最大の時θも最大になります。 c^2/AB^2=r^2/f(t) となり、t≧0 で f(t) が最小となる t=2/3a でθは最大となります。
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No.19559 - 2012/12/27(Thu) 06:57:37 |
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