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★ 片側極限について / Xex
f(x)=x/|x|のx=0における極限を求めよという問題が記述式で出たとします。
この時、「x>0とx<0と場合分けして、(中略)x>0の時は1,x<0の時は-1なので極限値はない」とするのが正答なのはわかりますが、+0,-0という書き方が分かりにくいので使いたくない場合はどのような記述をすればいいでしょうか?「x>0の時、lim_[x→0]{f(x)}=1」などでいいでしょうか?
[+0,-0に慣れた方がよい]という回答はいりません。
No.19348 - 2012/12/01(Sat) 16:22:07
☆ Re: 片側極限について / らすかる
> 「x>0の時、lim_[x→0]{f(x)}=1」などでいいでしょうか?
理屈上は問題ありませんが、大半の人の解答と異なる書き方だと
（正しくても）減点される可能性がありますのでお勧めできません。
lim_[x→+0]{f(x)}=1 という書き方だけ避けられれば良いのであれば
lim_[x→0+0]{f(x)}=1 という書き方ではどうでしょうか。
No.19349 - 2012/12/01(Sat) 18:05:25
☆ Re: 片側極限について / Xex
lim_[x→0+0]{f(x)}=1 という書き方について。
「+0」や「-0」という表記自体が分かりにくく混乱するので自分としては使いたくありません。では、「xを0より大きい領域から0に近づける時、lim...」や「x>0におけるlim_[x→0]{f(x)}」はどう思われますか?
No.19350 - 2012/12/01(Sat) 19:05:38
☆ Re: 片側極限について / らすかる
私がどう思うかですか？
「普通の書き方と違ってわかりにくいなぁ」

# 例えば「logという名前は使いたくないから
# a=logx と書かずに xの自然対数をaとする と書く」とか
# 「分数は嫌いだからa/bと書かずに常にa÷bのように書く」などと
# 同レベルに感じます。
No.19351 - 2012/12/01(Sat) 19:59:54
☆ Re: 片側極限について / ＿
>[+0,-0に慣れた方がよい]という回答はいりません。
私のコメントもろとも発言消しちゃったのはそのためですかね。

＃ついでにいうと、その前にあなたが一度書いて消したコメントも見てます。

＃自分が気に入る回答以外要らないのならば、最初にそう書いておいてもらえると私も最初からコメントしないのでお互いのためになるかと思います。
No.19352 - 2012/12/01(Sat) 20:53:52
☆ Re: 片側極限について / Xex(3年)
自分はx>0の時,lim...という書き方の方がわかりやすいので理屈上正しいならばそのように書くことにします。とにかく+0や-0はわかりにくくて混乱します。
No.19353 - 2012/12/01(Sat) 21:17:36
☆ Re: 片側極限について / ast
ノートにメモするだけとか, (変だと分かったうえで) 自分だけで完結しているのならまだしも, 本当に「問題が記述式で出た」ときの答案の書き方を言っているのであれば, 「それは他人に読ませるものだ」ということを忘れてはいけないと思います. あなただけの都合で, それを読む採点官が読みづらい答案が作られたのでは, お話になりません. ということで, わたしも「+0,-0を使いなさい」に一票入れます.

少なくとも, "lim_[x→0] f(x)" だと左右両方からの極限を意味する (あるいは大学レベルになってしまいますが, 複素平面上での極限だともっと複雑にあらゆる近づき方を全て考慮しなければならないことを意味する) ので, 変に前提を付けた上でなおその表記を使うのは適当とは思えません.
No.19356 - 2012/12/01(Sat) 21:50:58
☆ Re: 片側極限について / らすかる
テストで減点されるリスクがあってでも自己流の書き方をしたいのであれば
それは止めませんが、
g(lim[x→+0]f(x))・g(lim[x→-0]f(x))＜0
のような式が必要になった場合は困ると思いますよ。
No.19357 - 2012/12/01(Sat) 21:53:10
☆ Re: 片側極限について / ＿
その試験の採点者(正しくは、採点基準を設定した人というべきか)に訊かなきゃ分かりません。
尤も、それが誰かを突き止める事は難しいでしょうし、訊いたところで教えてはくれないでしょうけども。少なくとも、全ての試験が同じ採点基準で採点されているなんてことはあるわけがないのですから、「バツですか？」の質問自体が道理を為してないわけです。

なので、数学の答案を記述する上での常識に従っていればまず間違いないだろうということで、一般的な書き方をすればいいんじゃないんですかね、と私は既に消されたコメントをそのように意図して書きましたし、おそらく大意においては他の方も同じ意図なんじゃないかなと思います。

で、なぜだかあなたはそれが気にくわないようで、誰か一人でも「それで問題ないですよ。私が保証します」とでも言ってくれる人が出てくる人を待っているかのようにすら思います。もしそうであれば、あまり益のないことだなあ、とは思います。

＃まあ、さすがにここまで本気に思ってる訳ではありませんが、少なくとも私のコメントごと親発言を消しちゃう程度には思うところはあったのでしょうね、とは思います。
No.19360 - 2012/12/02(Sun) 00:06:47
★ 字数下げ、素数 / 飛沫
4次式f(x)をx−1,x^2+x+1で割った余りがそれぞれ-9、36x-51であるとき、次の各問いに答えよ。
⑴f(x)をx^3−1で割った余りを求めよ。
⑵f(x)が(x−2)^2で割り切れるとき、f(x)を求めよ。
⑶⑵のとき、f(n)かわ素数となるような整数nの値を求めよ。
⑵の途中からわからなくなりました。
教えてください。
No.19345 - 2012/11/30(Fri) 16:38:29
☆ Re: 字数下げ、素数 / ヨッシー
(1)
　f(x)＝g(x)(x^2+x+1)＋36x−51
と書け、また、
　g(x)＝h(x)(x-1)＋k
と書けるとすると、
　f(x)＝{h(x)(x-1)＋k}(x^2+x+1)＋36x−51
f(1)＝-9 より、
　f(1)＝3k＋36−51＝3k−15＝-9
よって、ｋ＝２。このとき、
　f(x)＝h(x)(x-1)(x^2+x+1)＋2(x^2+x+1)＋36x−51
と書けるので、
　f(x)＝h(x)(x^3-1)＋(2x^2＋38x−49)
より、求める余りは 2x^2＋38x−49。

(2)
h(x) は１次式なので、h(x)＝ax+b (a≠0) と置きます。
　f(x)＝(ax+b)(x^3-1)＋2x^2＋38x−49
一方、
　f(x)＝j(x)(x-2)^2 と書けるので、f(2)＝0
また、これを微分すると
　f'(x)＝j'(x)(x-2)^2＋2j(x)(x-2)
となり、f'(2)＝0。以上より、
　f(2)＝7(2a+b)＋8＋76−49＝14a＋7b＋35＝0
f'(x)＝a(x^3-1)＋3x^2(ax+b)＋4x＋38　より
　f'(2)＝7a＋12(2a+b)+46＝31a＋12b＋46＝0
以上より、a=2, b=-9
よって、
　f(x)＝(2x-9)(x^3-1)＋2x^2＋38x−49
　　＝2x^4−9x^3＋2x^2＋36x−40

(3)
f(n) は、(n-2)^2 で割り切れるので、f(n) が素数の可能性があるのは、
n=1 か n=3 のときのみ。
n=1 のとき、f(1)＝-9
n=3 のとき、f(3)＝162−243＋18＋108−40＝5
よって、n=3 のときのみ、f(n)が素数となります。
No.19346 - 2012/11/30(Fri) 17:30:29
★ 体積 / ハル
座標空間において、xy平面上を動く点P,z軸上の正の部分を動く点Qがあり、PQ=1をみたしている。線分PQが通過する範囲をHとするとき、次の各問いに答えよ。
⑴線分PQと平面z=t(0<t<1)が共有点を持つとき、その共有点をRとする。点T(0,0,t)に対して、線分RTの最大値をtを用いて表せ。
⑵図形Hの体積を求めよ。
⑴で三角形QOPとQTRの相似の関係からRTの長さを関数で表したのですが、計算が合わず、つまづいています。
教えてください（；＿；）
No.19343 - 2012/11/30(Fri) 01:28:41
☆ Re: 体積 / ヨッシー


(1)
Ｑ：(0,0,z) とします。　(0≦ｚ≦1)
　ＲＴ＝ＯＰ×(ＱＴ/ＯＱ)
であり、ＯＰ＝√(1−ｚ^2)、ＱＴ＝ｚ−ｔ、ＯＱ＝ｚ より、
　ＲＴ＝√(1−ｚ^2)×(ｚ−ｔ)/ｚ　ただし、t≦ｚ≦1
f(z)＝(1−ｚ^2)^(1/2)(１−t/z) とおくと、
f'(z)＝(t−z)/√(1−ｚ^2)＋(t/z^2)√(1−ｚ^2)
　　＝(t−z^3)/(z^2√(1−ｚ^2))　　ただし　0＜t≦ｚ＜1
となるので、t≦ｚ＜1 の範囲で f(z) は、
　ｔ＜ｚ＜ｔ^(1/3) で単調増加、ｔ^(1/3)＜ｚ＜1 で単調減少します。
よって、
　ＲＴmax＝√(1−ｔ^(2/3))×(ｔ^(1/3)−ｔ)/ｔ^(1/3)
　　＝(1−ｔ^(2/3))^(3/2)

(2)
π(ＲＴmax)^2 dt を ｔ＝０〜１ で積分すればいいので、
　π(ＲＴmax)^2＝π(1−ｔ^(2/3))^3＝π(1−3t^(2/3)＋3t(4/3)−t^2)
より、求める体積Ｖは、
　Ｖ＝π∫01(1−3t^(2/3)＋3t(4/3)−t^2)dt
　　＝π[ｔ−(9/5)ｔ^(5/3)＋(9/7)ｔ^(7/3)−(1/3)t^3]01
　　＝16π/105

となります。
No.19344 - 2012/11/30(Fri) 09:30:58
★ 積分、リミット / ハル
an=?甜1,e]x(logx)^n dx (nは自然数)とする。このとき、次の各問いに答えよ。
⑴a1,a2を求めよ。
⑵an+1をanを用いて表せ。
⑶リミット【n→∞】an=0を示せ。
教えてください。お願いします(￣◇￣;)
No.19342 - 2012/11/30(Fri) 00:40:43
☆ Re: 積分、リミット / IT
> ⑴a1,a2を求めよ。
　⑵を参考にすれば、できると思いますので自分でやってみてください。
> ⑵a[n+1]をa[n]を用いて表せ。
「部分積分法」を使います。
x={(1/2)(x^2)}'なので
a[n+1]=∫[1,e]x(logx)^(n+1) dx
=∫[1,e](1/2)(x^2)'(logx)^(n+1) dx
=[(1/2)(x^2)(logx)^(n+1)][1,e]-∫[1,e](1/2)(x^2){(logx)^(n+1)}' dx
=(1/2)(e^2)-∫[1,e](1/2)(x^2)(n+1)(1/x)(logx)^n dx
=(1/2)(e^2)-∫[1,e](1/2)(x)(n+1)(logx)^n dx
=(1/2)(e^2)-{(n+1)/2}∫[1,e]x(logx)^n dx
=(1/2)(e^2)-{(n+1)/2}a[n]…?@

> ⑶リミット【n→∞】a[n]=0を示せ
?@より{(n+1)/2}a[n]=(1/2)(e^2)-a[n+1]
また、任意の自然数nについて x∈[1,e]でx(logx)^n≧0、よって∫[1,e]x(logx)^n dx　= a[n] ≧0。
したがって任意の自然数nについて
0≦{(n+1)/2}a[n]=(1/2)(e^2)-a[n+1]≦(1/2)(e^2)
0≦(n+1)a[n]≦(e^2)
0≦a[n]≦(e^2)/(n+1)
lim[n→∞](e^2)/(n+1)=0　よってlim[n→∞]a[n]=0

なお、lim[n→∞]a[n]=0　は、積分区間[1,e]を適当に２分割することによっても示せると思います。
No.19347 - 2012/12/01(Sat) 07:27:13
★ ルートの中がマイナス / bu-
(-1)^(1/3)=-1
になる理由を教えてください。
（公式集には
a>0,n：奇数のとき(-a)^n=-aとは書いてますが・・）

ｘ＝(-1)^(1/3)
⇔ｘ＾３＝(-1)（両辺を3乗しても同値関係は保たれるという事実を使った）
⇔(x+1)(x^2-x+1)=0
⇔ｘ＝−１、(１±√３i)/2
だと思うのです。

ちなみに、
a=｛√（２＋√５）｝^(1/3)、ｂ＝{√（２ー√５）}^(1/3)
でabの値を求めよという問題で答えが-1しかない事が疑問に思っています。よろしくお願いします
No.19331 - 2012/11/25(Sun) 16:26:39
☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる
-1の3乗根は
実数範囲では -1
複素数範囲では -1,(1±i√3)/2
です。
(-1)^(1/3)=-1 と書いてあるのであれば、
前提が実数範囲ということですね。
No.19333 - 2012/11/25(Sun) 17:42:51
☆ Re: ルートの中がマイナス / bu-
この問題の場合はどうなるのか教えてください。つまり
a=｛√（２＋√５）｝^(1/3)、ｂ＝{√（２ー√５）}^(1/3)
の値を求めよ、の答えはどうなりますか?a,bについては何も書かれていません。
No.19335 - 2012/11/25(Sun) 21:35:43
☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる
どういう状況における問題かによります
（学年とか、何を学習している時の問題かとか）
が、こういう問題では通常は実数範囲だと思います。
No.19336 - 2012/11/25(Sun) 22:30:31
☆ Re: ルートの中がマイナス / bu-
問題が間違ってました。
a=｛（２＋√５）｝^(1/3)、ｂ＝{（２ー√５）}^(1/3)
の値を求めよ、の答え、です。
学年は浪人生で、a,bに関する事はもともと何も書かれていない大学入試問題です
No.19337 - 2012/11/27(Tue) 19:04:13
☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる
大学入試問題で実数とか複素数とか何も書かれていないのは
ちょっと問題不備に近いですが、
おそらく実数解を期待しているものと思います。
でも実数とは断られていませんので、
複素数解すべてを書いても正解扱いになる気がします。
No.19338 - 2012/11/27(Tue) 19:33:45
☆ Re: ルートの中がマイナス / bu-
回答ありがとうございます
ｂ＝{（２ー√５）}^(1/3)
が実数かどうかは分からないのですか？ｂが実数なら
実数×実数でabは実数に限られると思うのですが
No.19339 - 2012/11/27(Tue) 20:41:24
☆ Re: ルートの中がマイナス / らすかる
bどころかaも実数とは限りません。
複素数範囲では
a=(2+√5)^(1/3)=(1+√5)/2, (1+√5)(-1±i√3)/4
b=(2-√5)^(1/3)=(1-√5)/2, (1-√5)(-1±i√3)/4
となります。
No.19340 - 2012/11/27(Tue) 21:25:42
★ 中２の問題 / けんちゃん
長方形ABCDで、AB=1、AD=5で、AD上にAP:PD=3:2の点Pをとるとき、∠BPCは何度ですか？
No.19328 - 2012/11/25(Sun) 01:31:19
☆ Re: 中２の問題 / らすかる
A(0,2) B(0,1) C(5,1) D(5,2) P(3,2) として E(2,0) をとると
△EPBは直角二等辺三角形なので∠EPB=45°
△PECも直角二等辺三角形なので∠CPE=90°
No.19329 - 2012/11/25(Sun) 03:09:22
★ 素数 / つまるん
２以上の自然数に対して
集合
A={nl3m±1（ｍ＝１，２、・・）｝
Ｓ＝｛ｎl５以上の素数｝
としたとき
ＳがＡに含まれる理由が分かりません

どなたか教えてください。よろしくお願いします
No.19320 - 2012/11/24(Sat) 21:38:39
☆ Re: 素数 / らすかる
Aは「2以上で3で割り切れない数の集合」で、
5以上の素数は3で割り切れませんね。
No.19322 - 2012/11/24(Sat) 22:04:03
☆ Re: 素数 / つまるん
回答ありがとうございます

ということはA={nl４m＋１，４ｍ＋２、４ｍ＋３（ｍ＝１，２、・・）｝
Ｓ＝｛ｎl５以上の素数｝

としてもＳはＡに含まれますか？
No.19330 - 2012/11/25(Sun) 14:03:56
☆ Re: 素数 / らすかる
はい、含まれます。
No.19334 - 2012/11/25(Sun) 17:43:49
★ 微分 / 工学部2年
次の関数について示された区間における最大値、最小値を求めよ。
y=(1+cosx)sinx [0,π]


答え
x=π/3のとき最大値3√3/4,x=0,πのとき最小値0

解説よろしくお願いします。
No.19318 - 2012/11/24(Sat) 21:08:14
☆ Re: 微分 / X
微分して増減表を描きましょう。
No.19319 - 2012/11/24(Sat) 21:28:00
☆ Re: 微分 / 工学部2年
微分すると
y'=−(sinx)^2＋cosx＋(cosx)^2
となりましたが次にどうしたらいいかわかりません。
No.19321 - 2012/11/24(Sat) 21:41:34
☆ Re: 微分 / IT
(cosx)^2+(sinx)^2=1を使ってcosxだけにする。
因数分解する。
No.19324 - 2012/11/24(Sat) 22:06:30
☆ Re: 微分 / 工学部2年
お騒がせして申し訳ありません。
解決できました。
No.19325 - 2012/11/24(Sat) 22:07:42
★ (No Subject) / ぴけ
正射影ベクトルの概念がよく分かりません。
考え方、この考え方が有効な場面など説明していただきたいです。
No.19316 - 2012/11/24(Sat) 19:19:32
☆ Re: / bu-
概念というか
垂直⇔内積＝０を使わずに
一発でベクトルが出せるテクニック、というものだと思っています。
No.19332 - 2012/11/25(Sun) 16:29:13
★ (No Subject) / 工学部2年
f(x)が微分可能な関数とする．このとき，次の式を示せ．
lim[h→0]1/h{f(x+h/2)+f(x+3h/2)-2f(x)}=2f'(x)

解説よろしくお願いします．
No.19314 - 2012/11/24(Sat) 12:14:19
☆ Re: / X
導関数の定義式を使います。
(左辺)=lim[h→0](1/h){{f(x+h/2)-f(x)}+{f(x+3h/2)-f(x)}}
=lim[h→0]{(1/2){f(x+h/2)-f(x)}/(h/2)
+(3/2){f(x+3h/2)-f(x)}/(3h/2)}
=(1/2)f'(x)+(3/2)f'(x)
=(右辺)
No.19315 - 2012/11/24(Sat) 12:58:06
☆ Re: / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19317 - 2012/11/24(Sat) 20:52:48
★ (No Subject) / ぴけ
nを与えられた正の整数とする。1以上3n以下の整数の中から互いに異なる２つの数a、bを無作為に選ぶとき、|a−b|＜ nとなる確率を求めよ｡

もひとつお願いします。
No.19311 - 2012/11/23(Fri) 23:46:27
☆ Re: / らすかる
a＜bとして1≦a＜b-(n-1)≦3n-(n-1)となる組合せの数は(2n+1)C2通りだから
条件を満たさない確率は {(2n+1)C2}/{(3n)C2}
よって条件を満たす確率は 1-{(2n+1)C2}/{(3n)C2}={5(n-1)}/{3(3n-1)}
No.19313 - 2012/11/24(Sat) 00:09:28
☆ Re: / ぴけ
はじめの2行がよく分かりません。
解説お願いします。
No.19326 - 2012/11/24(Sat) 23:00:46
☆ Re: / らすかる
a＜bとすると
b-a＜n ならば条件を満たし、
b-a≧n ならば条件を満たしませんね。
b-a≧n は
b-a＞n-1
a＜b-(n-1)
と変形できます。つまり
a＜b-(n-1)
を満たす組合せの数を考えればよいわけですが、
1≦a,b≦3n から
1≦a＜b-(n-1)≦3n-(n-1)=2n+1 なので
こうなる組合せの数は
1以上2n+1以下の整数から2つ選び、
小さい方をa、大きい方をb-(n-1) とする組合せです。
言い換えれば、
1以上2n+1以下の整数から2つ選び、
小さい方の数をa、大きい方の数にn-1を足したものをbとするということです。
このように決めれば必ずb-a≧nとなりますね。
そして1以上2n+1以下の整数から2つ選ぶ組合せの数は(2n+1)C2、
全体は(3n)C2ですから、条件を満たさない確率は {(2n+1)C2}/{(3n)C2} となります。
No.19327 - 2012/11/24(Sat) 23:25:30
★ (No Subject) / ぴけ
0＜a≦1，0＜≦b≦1，0＜c≦1に対してf(x) =ax^2+bx+cとおく。任意の整数mに対してf(m)が整数となるようなa，b，cをすべて求めよ｡

お願いします。
No.19306 - 2012/11/23(Fri) 21:12:48
☆ Re: / らすかる
「0＜≦b≦1」はどういう意味ですか？
No.19307 - 2012/11/23(Fri) 21:29:22
☆ Re: / IT
0＜b≦1 として回答します。

f(0) =c　よってｃは整数、0＜c≦1よりc＝1…?@
f(1) =a+b+c=a+b+1…?A　よってa+bは整数
f(-1) =a-b+c=a-b+1…?B

?A+?Bf(1)+f(-1) =2a+2：整数　よって　2a：整数
0＜a≦1より　a＝1/2、１

?A-?Bf(1)-f(-1) =2ｂ：整数
0＜ｂ≦1より　ｂ＝1/2、１
a+bは整数なので
（a,b,c）＝（1/2,1/2,1）、（1,1,1）

逆に
（a,b,c）＝（1,1,1）のとき・・・は明らか
（a,b,c）＝（1/2,1/2,1）のとき
　ｘを偶数と奇数に分けて考える
　・・・
No.19309 - 2012/11/23(Fri) 21:59:11
☆ Re: / ぴけ
0＜b≦1の間違いです。
すいません
No.19310 - 2012/11/23(Fri) 22:01:46
☆ Re: / ぴけ
ありがとうございました。
No.19312 - 2012/11/23(Fri) 23:47:05
★ 積分の問題です。 / 高校三年生
お願いしますm(_ _)m
No.19297 - 2012/11/21(Wed) 18:58:34
☆ Re: 積分の問題です。 / X
(i)0＜a≦1のとき
(ii)1≦aのとき
に場合分けして積分を計算しましょう。
そうすれば後は(i)(ii)のときに問題のxの二次方程式が
それぞれ実数解をいくつ持つかという問題になります。
問題の積分の計算ですが積分範囲が
0≦t≦1
となることから
|t^2-at|=|t(t-a)|=t|t-a|
となることに注意して絶対値を外しましょう。
No.19299 - 2012/11/21(Wed) 19:11:53
☆ (No Subject) / 高校三年生
早い回答していただきありがとうございましたm(_ _)m
No.19304 - 2012/11/21(Wed) 23:34:51
★ 平均値の定理 / 工学部2年
奇数次の方程式
a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an=0(a0≠0,nは奇数)
は少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ．

解説よろしくお願いします．
No.19294 - 2012/11/21(Wed) 17:18:11
☆ Re: 平均値の定理 / X
平均値の定理ではなくて中間値の定理を使います。

f(x)=a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+…+a[n-1]x+a[n]
と置くと
(i)a[0]＞0のとき
lim[x→±∞]f(x)=±∞ (複号同順)
(ii)a[0]＜0のとき
lim[x→±∞]f(x)=干∞ (複号同順)
となりいずれの場合も
lim[x→∞]f(x)
と
lim[x→-∞]f(x)
が異符号になります。
このこととf(x)が連続であることから
中間値の定理により命題は成立します。
No.19295 - 2012/11/21(Wed) 17:51:21
☆ Re: 平均値の定理 / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19305 - 2012/11/22(Thu) 09:58:46
★ 積分の問題ですm(_ _)m / 高校三年生
少しでもいいので、よろしければ解説お願いします。
No.19293 - 2012/11/21(Wed) 16:23:14
☆ Re: 積分の問題ですm(_ _)m / X
(1)
条件の通りL,M,P,Qを描いてみると、問題の交点のy座標が
最大になる場合は線分PQが
y≧xかつy≧-x (P)
の領域に存在する場合と考えられます。そこで
P(s,s),Q(t,-t)
(但しs≧0,t≦0 (A))
と置くと
OP=t√2
OQ=-s√2
これを
OP+OQ=√2
に代入して
s-t=1 (B)
次に線分PQの方程式は
y={(s+t)/(s-t)}(x-s)+s (C)
(但しt≦x≦s (D))
(B)より
s=t+1 (B)'
これと(A) から
-1≦t≦0 (E)
(B)'を(C)に代入して
y=(2t+1)(x-t-1)+t+1
整理して
2t^2+2(1-x)t+y-x=0 (F)
(D)の範囲でtの二次方程式(F)が実数解を持つ条件を
求めます。
f(t)=2t^2+2(1-x)t+y-x
と置いて横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフを考えます。
ここでf(t)の軸の方程式は
t=(x-1)/2
となりますが(B)'(D)(E)より少なくとも
-1≦x≦1
∴-1≦(x-1)/2≦0
つまりf(t)の軸は(E)の範囲内にあることが分かります。
よって求める条件は(F)の解の判別式をDとしたとき
D/4=(1-x)^2-2(y-x)≧0 (G)
又
f(0)=y-x≧0 (H)
f(-1)=y+x≧0 (I)
(G)(H)(I)より
y≦(1/2)x^2+1/2 (G)'
y≧x (H)'
y≧-x (I)'
(G)'(H)'(I)'(P)を図示することにより求める最大値は
(1/2)a^2+1/2
となります。

(2)
(1)の過程から領域
y≦(1/2)x^2+1/2かつy≧xかつy≧-x (Q)
はSの一部となります。
これを求める過程と同様の方針を
(II)y≦xかつy≦-x
(III)y≦xかつy≧-x
(IV)y≧xかつy≦-x
の領域に関して考えると、対称性からSは
領域(Q)を原点中心で90°の回転移動を３回繰り返して
できる３つの領域と(Q)との和集合の形になります。
これらを元にSを不等式で表すと
{y≦(1/2)x^2+1/2かつy≧xかつy≧-x}
又は
{y≧-(1/2)x^2-1/2かつy≦xかつy≦-x}
又は
{x≦(1/2)y^2+1/2かつy≦xかつy≧-x}
又は
{x≧-(1/2)y^2-1/2かつy≧xかつy≦-x}
となります。(図示してみましょう)
(注：不等式の形はもう少し簡単になるかもしれません。)

(3)
(2)で論じた対称性により求める面積は(Q)の面積の4倍
となります。
更に(Q)はy軸に関して対称ですので求める面積をTとすると
T=8∫[0→1]{(1/2)x^2+1/2-x}dx=4/3
となります。
No.19300 - 2012/11/21(Wed) 20:19:37
☆ (No Subject) / 高校三年生
ありがとうございましたm(_ _)m
No.19303 - 2012/11/21(Wed) 23:05:49
★ 中間値の定理 / 工学部2年
次の方程式は示された区間で少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ。
(x^2-1)cosx+√2sinx=1 [0,2/π]

中間値の定理を用いて証明するのはわかるのですがなぜ中間値の定理から1つの実数解をもつことを証明できるかわかりません。解説よろしくお願いします。
No.19287 - 2012/11/20(Tue) 20:09:53
☆ Re: 中間値の定理 / のぼりん
こんばんは。

区間は
＞　〔０，２/π〕
ではなく、〔０，π/２〕 ですよね。
であれば、方程式の左辺を ｆ（ｘ） とでもおいて、
　　　ｆ（０）＝−１＜１＜√２＝ｆ（π/２）
だから、中間値の定理により…

とするのが簡単だと思います。
No.19288 - 2012/11/20(Tue) 20:42:44
☆ Re: 中間値の定理 / ヨッシー
「1つの実数解」ではなくて「少なくとも1つの実数解」です。
念のため。
No.19289 - 2012/11/20(Tue) 21:10:09
☆ Re: 中間値の定理 / 工学部2年
2/πではなくπ/2でした。

なぜ−1<1<√2であることを示さないと中間値の定理を使えないのですか？
No.19290 - 2012/11/20(Tue) 21:14:42
☆ Re: 中間値の定理 / ヨッシー
ｙ＝f(x)＝(x^2-1)cosx+√2sinx のグラフは、
(0, -1)、(π/2, √2) を通ります。
この２点間はｘの連続な関数のグラフになっています。



図のStart から Goal まで、関数のグラフを描くとき、
赤い線を横切らずにたどり着けますか？

たどり着けると答えた場合、それはきっと関数のグラフ
（ｘの値が１つ決まると、f(x) も１つ決まる)になっていません。
必ず横切ると答えた場合、その横切った点のｘ座標において、
f(x)＝1 が成り立ち、それは、ｘの閉区間[0, π/2] 内にあります。

これが、中間値の定理の応用です。
No.19291 - 2012/11/20(Tue) 21:37:24
☆ Re: 中間値の定理 / 工学部2年
理解できました。
丁寧におしえていただきありがとうございます。
No.19292 - 2012/11/20(Tue) 22:06:25
★ 領域 / Xex
もうひとつ…
0<x<√(2), 0<y<1とする。領域[x^2]+[y^2]=[x^2+y^2]を図示せよ。ただし、[a]はaを超えない最大の整数を表す。(要はガウス記号)
どう場合分けして描けばいいのですか?
No.19278 - 2012/11/19(Mon) 21:28:34
☆ Re: 領域 / IT
0<x<√(2)より[x^2]=0,1 0<y<1より[y^2]=0
0<x<√(2)かつ0<y<1より[x^2+y^2]=0,1,2　だが
[x^2]+[y^2]=[x^2+y^2]なので[x^2+y^2]=0,1

0<x<√(2)かつ 0<y<1かつ
　[x^2]=0かつ[y^2]=0かつ[x^2+y^2]=0
　または
　[x^2]=1かつ[y^2]=0かつ[x^2+y^2]=1

これを図示すれば良いのでは？
No.19281 - 2012/11/19(Mon) 22:23:24
☆ Re: 領域 / IT
[y^2]=0は 0<y<1で満たされていますね
No.19282 - 2012/11/19(Mon) 22:29:28
☆ Re: 領域 / ヨッシー
もう少しｘ、ｙの範囲を広げて考えてみます。

図(左)のｘ軸の下に書いてあるのが　[x^2] の値、
ｙ軸の左に書いてあるのが [y^2] の値、
斜めに書いてあるのが、[x^2+y^2]の値です。
境界線は大きい方に含まれます。

そこで、[x^2]と[y^2] の和が[x^2+y^2] に一致する部分を
示したのが、図(右) です。
直線は領域に含みますが、円周は含みません。

あとは、0＜x＜√2, 0＜y＜1 の部分を切り出せば終わりです。
No.19283 - 2012/11/19(Mon) 23:00:42
☆ Re: 領域 / Xex
スゴイ分かりやすい解説ありがとうございます!
それにしてもムズい問題ですね…
No.19286 - 2012/11/19(Mon) 23:17:44
★ 領域 / Xex
A(-1,2) B(2,5)を通る放物線y=ax^2+bx+cを全て考えるとき、どの放物線も通らない点の集合をxy平面上に図示せよ。
頂点のy座標に制限がかかること以外全く方針が立ちません。お願いします。
No.19277 - 2012/11/19(Mon) 21:26:43
☆ Re: 領域 / ヨッシー
点Ｃ(m. n) と合わせて、３点Ａ，Ｂ，Ｃが
　ｙ＝ax^2＋bx＋c
を満たすとします。それぞれ代入して、
　ａ−ｂ＋ｃ＝２
　4a＋2b＋ｃ＝５
　m^2a＋mb＋ｃ＝ｎ
これを、ａ，ｂ，ｃ の３元一次方程式として、解くことを考えます。
最終的に　(m-2)(m+1)ａ＝ｎ−ｍ−３　という式に
なりますが、これが、ａ＝０ 以外の解を持つためには、
ｍ＝２ のとき　右辺を０にする　ｎ＝５ はＯＫ。他のｎはＮＧ。
ｍ＝−１ のとき　ｎ＝２ はＯＫ。他のｎはＮＧ。
ｍ≠２，ｍ≠−１ のとき、右辺が０ではＮＧ。

上記でＮＧと記載した部分が、求める領域

つまり、直線ｘ＝−１，ｘ＝２，ｙ＝ｘ＋３ 上の点、ただし、２点(-1,2)、(2,5)を除く。
No.19280 - 2012/11/19(Mon) 22:20:16
☆ Re: 領域 / Xex(3年)
解決しました!
No.19284 - 2012/11/19(Mon) 23:03:21
☆ Re: 領域 / ヨッシー
この問題で示唆していることは、平面上の３点が決まれば、
たいていの場合、(軸がｙ軸に平行な)放物線が１つ決まる、
ということです。
決まらないのは、３点のうち２点以上がｘ座標が同じ場合と、
３点が直線上に並んでいるときだということです。
No.19285 - 2012/11/19(Mon) 23:08:55
★ (No Subject) / ハル
実数を係数とする整式f(x)=ax^3+bx^2+cx (ただし、a≠0)がある。方程式x^4=xのすべての解が、方程式
{f(x)}^2=f(x)
を満たすとき、a,b,cの値の組をすべて求めよ。
この二問がわかりません
教えていただけると嬉しいですヽ(´o｀；
No.19271 - 2012/11/19(Mon) 02:12:06
☆ Re: / X
x^4=x
より
x(x-1)(x^2+x+1)=0 (A)
一方
{f(x)}^2=f(x)
より
f(x){f(x)-1}=0
これに
f(x)=ax^3+bx^2+cx
を代入すると
x(ax^2+bx+c)(ax^3+bx^2+cx-1)=0 (B)
よって
g(x)=(x-1)(x^2+x+1)
h(x)=(ax^2+bx+c)(ax^3+bx^2+cx-1)
と置くと因数定理によりh(x)はg(x)で割り切れないといけません。
よって次の場合に場合分けされます。
(i)ax^2+bx+cがx^2+x+1で割り切れる場合
ax^2+bx+cがx^2+x+1は次数が同じですので、
割り切れるのであれば、係数比について
a:b:c=1:1:1
つまり
a=b=c (C)
一方このときax^3+bx^2+cx-1はx-1で割り切れるので
因数定理により
a+b+c-1=0 (D)
(C)(D)を連立して解いて
(a,b,c)=(1/3,1/3,1/3)
(ii)ax^3+bx^2+cx-1がx^2+x+1で割り切れる場合
実際にax^3+bx^2+cx-1をx^2+x+1で割ると
ax^3+bx^2+cx-1=(x^2+x+1)(ax+b-a)+(c-b)x-1-(b-a)
よって余りである
(c-b)x-1-(b-a)
が0になることから
c-b=0 (E)
-1-(b-a)=0 (F)
更にここから
(I)ax^3+bx^2+cx-1がx-1で割り切れる場合
(II)ax^2+bx+cがx-1で割り切れる場合
に場合分けし、因数定理からa,b,cに関する方程式を
もう一つ立てます。
(I)のときは(D)と同じになります。
ということで(D)(E)(F)を連立して解くと
(a,b,c)=(1,0,0)
(II)のとき、もう一つの方程式は
a+b+c=0 (G)
(E)(F)(G)を連立して解くと
(a,b,c)=(2/3,1/3,1/3)

以上から
(a,b,c)=(1,0,0),(2/3,1/3,1/3),(1/3,1/3,1/3)
となります。
No.19272 - 2012/11/19(Mon) 08:27:16
★ 場合の数 / ハル
6個の数字0,1,2,3,4,5を用いて4桁の自然数をつくるとき、次の各問に答えよ。ただし、1つの数字は一回しか使わないものとする。
⑴?@3の倍数となるもののは何個あるか
?A3の倍数または5の倍数となるものは何個あるか
⑵得られる自然数の総和を求めよ。
No.19270 - 2012/11/19(Mon) 02:07:16
☆ Re: 場合の数 / X
(1)
(i)
ある複数桁の自然数が3の倍数であるとき、各桁の値の総和が
3の倍数であることを使います。
問題の6個の数字から取り出した4個の数字の総和をsとすると
6≦s≦14
∴条件に合う場合は
s=6,9,12
となる場合となります。
(I)s=6の場合
数字の組み合わせは{0,1,2,3}のみ
∴4桁の数字は、最大桁が0になる場合を除くことを考えて
4P4-3P3=18[通り]
(II)s=9の場合
数字の組み合わせは{0,1,3,5},{0,2,3,4}
(I)と同様に考えると
2(4P4-3P3)=36[通り]
(III)s=12の場合
数字の組み合わせは{1,2,4,5},{0,3,4,5}
∴4P4+(4P4-3P3)=42[通り]

(I)(II)(III)となる事象は互いに排反ですので
求める場合の数は
18+36+42=96[通り]
となります。

(ii)
(i)の結果を使うため、5の倍数であって3の倍数でない
場合の数を求めます。
5の倍数となるためには最小桁が0又は5とならなければ
なりませんので
(I)最小桁が0の場合
5の倍数となるのは
5P3=60[通り]
このうち(i)の(I)(II)(III)の場合の
{0,1,2,3},{0,1,3,5},{0,2,3,4},{0,3,4,5}
のときに当たる
4(3P3)=24[通り]
は除かれますので
60-24=32[通り]
(II)最小桁が5の場合
最大桁が0になる場合を除くことを考えると
5の倍数となるのは
5P3-4P2=48[通り]
このうち(i)の(I)(II)(III)の場合の
{0,1,3,5},{1,2,4,5},{0,3,4,5}
のときに当たる
2(3P3-2P2)+3P3=16[通り]
が除かれますので
48-16=32[通り]

以上から求める場合の数は
96+32+32=160[通り]
となります。
No.19273 - 2012/11/19(Mon) 08:54:10
☆ Re: 場合の数 / X
(2)
4桁の数字を各桁に分けて総和を考えてみます。
1の位の値がk(k=1,2,3,4,5)となるような数字は
1000の位が0になる場合を除いて
5P3-4P2=48[通り]
従って1の位の総和は
Σ[k=1〜5]48k=720
同様の総和を他の桁でも考えると求める総和は
720・1111=799920
となります。
No.19274 - 2012/11/19(Mon) 09:09:13
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
(1)の(ii) で、計算間違いがありますね。

(I)最小桁が0の場合
　・・・
60-24=36[通り]
(II)最小桁が5の場合
　・・・
2(3P3-2P2)+3P3=14[通り]
が除かれますので
48-14=34[通り]
　・・・
96+36+34=166[通り]

となります。

(2) については、
5×5×4×3＝300(個) の数のうち、
1,10,100 の位については、
０が60個、その他が48個 で、48×(1+2+3+4+5)＝720 ですが、
1000の位については、1〜5 が 60個ずつなので、
60×(1+2+3+4+5)＝900 であり、
900×1000＋720×111＝979920　・・・　答え
となります。
No.19275 - 2012/11/19(Mon) 10:22:50
☆ Re: 場合の数 / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ハルさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんのご指摘通り計算を間違えていました。
No.19276 - 2012/11/19(Mon) 12:40:18
☆ Re: 場合の数 / ハル
> >>ヨッシーさんへ
> ご指摘ありがとうございます。
> >>ハルさんへ
> ごめんなさい。ヨッシーさんのご指摘通り計算を間違えていました。
ヨッシーさん、Xさん、ありがとうございました(>_<)
No.19279 - 2012/11/19(Mon) 21:43:26
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