(n^2−４n+２４４)^1/4が整数となるような,整数nをすべて求めよ.
よろしくお願いします
|
No.18737 - 2012/09/28(Fri) 21:02:50
| ☆ Re: 高3 / らすかる | | | (n^2-4n+244)^1/4 は {(n^2-4n+244)^1}/4 と解釈され、
この場合解は無数にあります。
(n^2-4n+244)^(1/4) ならば
(n^2-4n+244)^(1/4)=k とおくと
n^2-4n+244=k^4
(n-2)^2+240=k^4
k^4-(n-2)^2=240
{k^2+(n-2)}{k^2-(n-2)}=240
掛けて240、平均が平方数となる2偶数を見つければよい。
掛けて240となる正の偶数の組は(2,120)(4,60)(6,40)(8,30)(10,24)(12,20)
であり、これらの平均は順に61,32,23,19,17,16で平方数は16だけだから
(16+(n-2),16-(n-2))=(12,20)(20,12)
これより n=-2,6
|
No.18740 - 2012/09/28(Fri) 23:13:46 |
| ☆ Re: 高3 / IT | | | (n^2−４n+２４４)＝(n-2)^2+240=m^4 （mは自然数）とおける
m^4-(n-2)^2=240
n-2=kとおく（表記を簡単にするためです）
m^4-k^2=240…?@
(m^2+k)(m^2-k)=240=(2^4)*3*5
k≧０のとき(m^2+k)＞０、k＜０のとき(m^2-k)＞０
積＝240＞０なので(m^2+k)＞０かつ(m^2-k)＞０
ｋが?@を満たせば-kも?@を満たすので
k≧０のときを考える
(m^2-k、m^2+k)の候補について[(m^2-k)+(m^2+k)]/2=m^2を調べる。
（積・和がともに偶数なので）
m^2-k、m^2+k ともに偶数であるので候補は
(2,120):61
(4,60):32 ※らすかるさんの御指摘どおり転記漏れでした。
(6,40):23
(8,30):19
(10,24):17
(12,20):16 である、このうち
[(m^2-k)+(m^2+k)]/2が平方数であるのは(12,20):16の場合のみである。
よって(m^2-k)=12,(m^2+k)=20 したがって k=4
k＜０のとき k=-4
あわせて k=n-2＝4,-4 すなわち n＝6,-2
|
No.18741 - 2012/09/28(Fri) 23:22:20 |
| ☆ Re: 高3 / IT | | | 失礼、らすかるさんとかぶりました。ほとんど同じですが、らすかるさんの方がすっきり正確かもしれません。
|
No.18742 - 2012/09/28(Fri) 23:26:33 |
| ☆ Re: 高3 / らすかる | | | 私の説明よりITさんの説明の方が詳しく書いてあって
わかりやすいと思いますが、途中で(4,60)が足りないようです。
|
No.18743 - 2012/09/29(Sat) 00:36:38 |
| ☆ Re: 高3 / IT | | | > わかりやすいと思いますが、途中で(4,60)が足りないようです。
ご指摘ありがとうございます。訂正しました。
|
No.18744 - 2012/09/29(Sat) 01:29:40 |
|
