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★ 数?U 軌跡 / 夢加

自分で考えても分からなかったので、 解説お願い致します。 ?@平面上の2定点O(0,0)A(2,0)と動点P(x,y)がある。 点Pが円x^2＋y^2-4y＋3=0の周上を動くとき 三角形OAPの重心の軌跡は (ア/イ,ウ/エ) 半径オ/カの円 ?Ax^2＋y^ 2=18、y≧0のとき x＋yの最大値はア、最小値はイウ√エ ?B円x^2＋y^2-8x-6y＋17=0を直線x＋y-3=0上にころがすとき 円の中心の描く図形の方程式は x＋アy＋イウ=0 また第一象限で、上で求めた図形と直線x＋y-3=0で 囲まれた部分の面積は エオ No.18714 - 2012/09/25(Tue) 07:27:17 ☆ Re: 数?U 軌跡 / ヨッシー (1) x^2＋y^2-4y＋3=0 は 　x^2 + (y-2)^2 = 1 と書けるので、(0,2) 中心、半径１の円であり、その円周上の 点の座標は、Ｐ(cosθ, sinθ＋2) と書けます。 よって、△ＯＡＰの重心の座標は、 　((cosθ＋2)/3, (sinθ＋2)/3) と書けるので、 　x=(cosθ＋2)/3, y=(sinθ＋2)/3 とおいて、θを消去すると、 　(3x-2)^2+(3y-2)^2=1 両辺９で割って 　(x-2/3)^2 + (y-2/3)^2 = (1/3)^2 以上より求める軌跡は、(2/3, 2/3)中心、半径1/3 の円となります。 (2) この半円と、直線ｘ＋ｙ＝ｋ とが共有点を持つように ｋを変化させると、 ｘ＝ｙ＝３ のとき、最大値６ ｘ＝-3√2, ｙ＝０ のとき最小値 -3√2 (3) 円の中心(4,3) を通って、 傾きが x+y-3=0 と同じ−１なので、 　x+y-7=0 図より、求める面積は、２０ No.18716 - 2012/09/25(Tue) 08:45:10

★ 階差 / なぞなぞ君

Ｓ＝Σ（ｋ＝１〜n)kr^(n-1)を求める際Ｓ−ｒＳを求める方法以外に、kr^(n-1)を階差の形にして求める方法がありますが、機械的に階差に分ける方法はないのでしょうか？やはりひらめきがないとだめなのでしょうか？ No.18711 - 2012/09/24(Mon) 20:35:54 ☆ Re: 階差 / IT >Ｓ＝Σ（ｋ＝１〜n)kr^(n-1)を求める際 ・・・ Ｓ＝Σ（ｋ＝１〜n)kr^(k-1) の間違いですか？ >機械的に階差に分ける方法はないのでしょうか？ >やはりひらめきがないとだめなのでしょうか？ 知られてない（私が知らない）ところを見ると、あったとしても、かえってテクニカルで’なぞなぞ君’さんの趣旨から外れるのではないでしょうか？ No.18712 - 2012/09/24(Mon) 20:49:18 ☆ Re: 階差 / なぞなぞ君 あ、そのとおりです。誤植でした。 テクニカルでも機械的に（どんなｒでもいつも同じ手順で）出来るのであれば知りたいです。 No.18713 - 2012/09/24(Mon) 22:01:01

★ 等比数列{a*r^n}の和 / のんです

等比数列で、公比|r|<1ならば、lim_[n→∞]a*r^n=0を用いて 解けると思うのですが、下記の問題では、二項定理を用いて 解いています。やはり二項定理を使わなければ解けないのでしょうか。 よろしくお願いいたします。 具体的には質問は※１〜※６の６つです。 【問題】 fn(x)=cos^nx+con^(n-1)x*sinx+cos^(n-2)x*sin^2x+・・・ 　　　+cosx*sin^(n-1)x+sin^nxのとき、lim_[n→∞]fn(x)= 　　　f(x)を求めよ。ただし、0<x<πとする。 【解答】 i)cosx=0のとき 0<x<πの範囲で、x=π/2 　このとき、fn(x)=sin^nx=sin^n(π/2) 　よって、lim_[n→∞]fn(x)=lim_[n→∞]sin^n(π/2)=1 ii)cosx≠0のとき 　fn(x)は、初項a=con^nx、公比r=sinx/conx、項数n+1　の等比数列の和である。・・・※１ 　ア）r≠1のとき 　　　 0<x<πの範囲で、x≠π/2 　　　fn(x)=a{1-r^(n+1)}/(1-r) =cos^nx{1-(sinx/cosx)^(n+1)}/{1-(sinx/cosx)} =(中略) ={cos^(n+1)x-sin^(n+1)x}/(cosx-sinx) 　　　ここで、分母cosx-sinx≠0よりx≠π/4 　　　よって、 0<x<π,x≠π/2,x≠π/4のとき 　　　　-1<cosx<1 すなわち |cosx|<1 0<sinx<1 すなわち　|sinx|<1 　　　よって、 　　　　lim_[n→∞]fn(x) =lim_[n→∞]{cos^(n+1)x-sin^(n+1)x}/(cosx-sinx) =0 　イ）r=1のとき 0<x<πの範囲で、x=π/4 fn(x)=(n+1)a =(n+1)cos^nx =(n+1)cos^n(π/4) =(n+1)(1/√2)^n・・・※２ =(n+1)/(√2)^n・・・※３ ※１について 　関数fn(x)が、「初項a=con^nx、公比r=sinx/conx、項数n+1　の等比数列の和である」ことは、 cosxが0かどうかには依存しないので、※１を記述するのは「ii)cosx≠0のとき」の後ではなく、 「i)cosx=0のとき」の前の方が適切ではないでしょうか。 ※２について 　この式の(1/√2)^nで、|1/√2|<1であるので、 　lim_[n→∞](n+1)(1/√2)^n=0としてはいけないでしょうか。 数列{ar^n}の極限を求める際に、|r|<1ならば lim_[n→∞]ar^n=0であるので、これを適用できないでしょうか。 それとも、式の中に(n+1)があるのでlim_[n→∞](n+1)=∞であることから、単純にはいかないということでしょうか。 ※３について 　模範解答では※２をさらに※３のように変形し、 分母(√2)^nについて二項定理を用いて以下のように解いていますが、 上記※２で述べたように簡単にはいかないでしょうか。 √2=1+hとおくと、二項定理より、n≧2のとき・・・※４ (1+h)^n=nC0*h^0+nC1*h^1+nC2*h^2+…+nCn*h^n >nC2*h^2={n!/2(n-2)!}*h^2・・・※５ ={n(n-1)*h^2}/2 より 0<{n(n-1)*h^2}/2<(1+h)^n=(√2)^n 各辺とも正であるから、各辺の逆数をとって 0<1/(√2)^n<2/n(n-1)*h^2 各辺にn+1を掛けて 0<(n+1)/(√2)^n<2(n+1)/n(n-1)*h^2 よって、 lim_[n→∞]{2(n+1)/(n(n-1)*h^2} =lim_[n→∞]{2(1+(1/n))/(n(n-1)*h^2} =0 はさみ打ちの原理より lim_[n→∞](n+1)/(√2)^n=0 したがって、 lim_[n→∞]fn(π/4)=0 i)ii)より0<x<π/2,π/2<x<πのとき　f(x)=0・・・※６ ※４について 　一般に二項定理は、(a+b)^nで、nが正の整数のときと 定義されているようなのですが、模範解答ではn≧2のとき と断っています。その理由は何ですか。 ※５について 　また、模範解答と同じくはさみ打ちの原理を用いるとしても n=1のときnC1*h^1=nhですから、逆数をとって 1/nhなので、lim_[n→∞](1/nh)=0　を使った方が計算も 簡単だと思うのですが、わざわざn=2の項を使うのは何故ですか。 ※６について イ）のi)でx≠π/4 といっているのに、0<x<π/2,π/2<x<π としか言っていないのはなぜですか。 これを0<x<π/4,π/4<x<π/2,π/2<x<πあるいは 0<x<π、ただしx≠π/2,x≠π/4 または、 0<x<π、ただしx=π/2,x=π/4を除く、などとしてはいけませんか。 長い質問となってしまいましたが、よろしくお願いいたします。 No.18705 - 2012/09/23(Sun) 15:53:19 ☆ Re: 等比数列{a*r^n}の和 / IT 私は、ひとつだけ回答します。 >※１について >関数fn(x)が、「初項a=con^nx、公比r=sinx/conx、項数n+1　の等比数列の和である」ことは、 >cosxが0かどうかには依存しないので、※１を記述するのは >「ii)cosx≠0のとき」の後ではなく、 >「i)cosx=0のとき」の前の方が適切ではないでしょうか。 cosx=0のとき　公比r=sinx/cosx　の分母＝０となり、ダメです。　０で割らないことは基本のきだと思います。 ※初項a=con^nx などは　cos　が正しいですよね。 No.18707 - 2012/09/23(Sun) 18:48:30 ☆ Re: 等比数列{a*r^n}の和 / ヨッシー ※２，※３は >それとも、式の中に(n+1)があるのでlim_[n→∞](n+1)=∞であることから、単純にはいかないということでしょうか。 ということですね。 No.18710 - 2012/09/24(Mon) 19:04:56 ☆ Re: 等比数列{a*r^n}の和 / IT ※４について >　一般に二項定理は、(a+b)^nで、nが正の整数のときと >定義されているようなのですが、模範解答ではn≧2のとき >と断っています。その理由は何ですか。 ※５について >n=1のときnC1*h^1=nhですから、逆数をとって >1/nhなので、lim_[n→∞](1/nh)=0　を使った方が計算も >簡単だと思うのですが、わざわざn=2の項を使うのは何故ですか。 正しく論証できればそれで良いですし、間違いがあれば指摘があると思いますので、ご自分で「n=1のとき・・・」の続きを解いてUPしてみられると良いのでは。（※４と※５は関連しています） No.18715 - 2012/09/25(Tue) 07:33:04 ☆ Re: 等比数列{a*r^n}の和 / のんです 皆様へ はさみ打ちの原理の直前の lim_[n→∞]{2(1+(1/n))/(n(n-1)*h^2} =0　は誤記でした。申し訳ありません。 正しくは、 lim_[n→∞]{(2n+2)/(n^2-n)*h^2} =lim_[n→∞](2/n+2/n^2)/(1-1/n)*h^2 =0 です。 ITさま ※１について、cosのスペルミスご指摘、ありがとうございます。 ※４，５について n=1のとき nC1*h^1 =nh　であるから (h+h)^n>nh よって 0<nh<(1+h)^n=(√2)^n 各辺の逆数をとって 0<(√2)^n<nh 各辺にn+1を掛けて 0<(n+1)/(√2)^n<(n+1)/nh lim_[n→∞](n+1)/nh =lim_[n→∞](1/n+1/n^2)/(h/n) =0 とできないでしょうか。 だとすると、n=2のときと同様にはさみ打ちの原理へつなげて いけると思うのですが。 ヨッシー さま ※２、３について、ありがとうございます。出来れば、「式の中に(n+1)があるのでlim_[n→∞](n+1)=∞であることから、単純にはいかない」の類例を教えて頂けないでしょうか。イメージ的には分かったような気はするのですが、もっと単純化した例があると、大変助かります。 ※６は私の勘違いでした。申し訳ありません。前言撤回です。 No.18720 - 2012/09/25(Tue) 21:25:16 ☆ Re: 等比数列{a*r^n}の和 / IT > ※４，５について > n=1のとき n=1のときだけのことを考えてもあまり意味がない > nC1*h^1 > =nh　であるから > (h+h)^n>nh これも不等式としてはまちがいではないですが、使おうとしているのは (1+h)^n>nh　では？ > よって > 0<nh<(1+h)^n=(√2)^n > 各辺の逆数をとって > 0<(√2)^n<nh 逆数になってないのでは？ > 各辺にn+1を掛けて > 0<(n+1)/(√2)^n<(n+1)/nh ここまでn＝1を前提に証明を進めていますので以下のlim_[n→∞]の議論にはつながりません。 仮にn≧1を前提にしたとしても > lim_[n→∞](n+1)/nh > =lim_[n→∞](1/n+1/n^2)/(h/n) > =0 ではなくて lim_[n→∞](n+1)/nh＝(1/h)lim_[n→∞](n+1)/n ＝(1/h)lim_[n→∞](1+1/n) = 1/h　ですので間違っています。 No.18721 - 2012/09/25(Tue) 22:23:27 ☆ Re: 等比数列{a*r^n}の和 / のんです ITさま ご指摘ありがとうございます。返信が大変遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。 No.19055 - 2012/10/27(Sat) 16:31:41

★ 初等幾何です / rio

添付の問題なのですが答えが出ません。問題の条件では三角形PABの面積を変えずにCの位置が動かせ、したがってMの位置が動かせます。つまり三角形MLNと三角形PCDの面積を変えることができます。 とすると、与えられた9と4という面積から三角形PABの面積が確定するわけではないということでしょうか。MLNとPCDの面積の合計が不変なのかなとか、面積が9と4になる瞬間だけ、60度などの角度が確定して突破できるのかなどと考えましたが行き詰っています。よろしくお願いします。 No.18702 - 2012/09/22(Sat) 23:44:22 ☆ Re: 初等幾何です / らすかる PA=a, PB=b, PC=c, PD=d とおいて △PCA,△PBD,△PAB,△MLB,△NAL,△PCN,△PNMの面積を順に出して △PAB=△MLB+△NAL+△PNM+△MLN として地道に計算したら出ました。 △PABの面積はちゃんと確定します。 No.18703 - 2012/09/23(Sun) 00:29:01 ☆ Re: 初等幾何です / rio ありがとうございました。40になりました(^^) No.18709 - 2012/09/24(Mon) 00:47:10

★ 解答法をお願いします。 / たね

二次関数(1/4)ｘ二乗のグラフ上ｘ座標が4である点Aを、ｘ座標がK(K≠4、K＞0)である点Pを、ｘ軸上にｘ座標が−4である点Bをとったものである。原点を０として、次の問いに解答せよ。 (1)点Aのｙ座標は？ (2)この二次関数でｘの値が1から4まで増加するとき、変化の割合は？ (3)直線ABの方程式は？ (4)△ABOの面積は？ (5)△PBOの面積が△ABOの面積の3倍になるとき、Kの値は？ No.18699 - 2012/09/21(Fri) 08:45:41 ☆ Re: 解答法をお願いします。 / ヨッシー 二次関数　ｙ＝(1/4)ｘ^2 ですね？ こういうことでいいでしょうか？ (1) ｙ＝(1/4)・4^2＝４ (2) ｘ＝１ のとき ｙ＝(1/4) なので、変化の割合は 　(４−1/4)/(４−１)＝5/4 (3) ｙ＝４ (4) ８×４÷２＝１６ (5) ＯＡを３倍に伸ばした点(12,12) を通り、ＢＯに平行な直線 ｙ＝−ｘ＋２４ と、ｙ＝(1/4)ｘ^2 の交点は、 両者連立させて解くと、 　(x,y)＝(8, 16), (-12, 36) であり、Ｋ＞０ より、Ｋ＝８ No.18700 - 2012/09/21(Fri) 15:16:18 ☆ (３)について / たね 直線ABのBはX軸上にX座標が−4である点BとなりBの座標は(−4、0)だと思ったのですが…こうした場合の直線ABの方程式はどうもとめればよいですか？ No.18704 - 2012/09/23(Sun) 12:07:28 ☆ Re: 解答法をお願いします。 / ヨッシー 失礼しました。 こうですね。 ＡＢの傾きは1/2 で、点(4,4)を通るので、 　ｙ＝x/2＋a に、(4,4) を代入して、4＝2＋a より、a=2。よって、 　ｙ＝x/2＋2 が求める直線の式です。 点Ｐは、ｙ座標がＡの３倍の12の点を求めます。 No.18708 - 2012/09/23(Sun) 21:42:32

★ 点と直線 / 里江

自分で考えても分からなかったので、 解説お願い致します。 ?@3直線x＋3y=2、x＋ay=0、ax-2y=-4 について ?T3直線が同じ点で交わるようなaの値はアイ±√ウ ?U?T以外の場合で3 直線が三角形がつくらないようなaの 値はエオ/カ、キ →文字式が1つだけのパターンなら解けるのですが、 こちらはうまく処理できませんでした。 ?A平面上に2点A(1,2)(3,8)と直線y=mx ＋kがあるとき ?T2点A、Bを通る直線と直線y=mx＋ kとが共有点を持たないとき m、kの満たす条件は m=ア、 k≠イウ ?U線分ABと直線y=mx＋kとが共有点 を持たないとき、m、kの満たす条件を不等式で表すと (m＋ k-エ)(オm＋k-カ)＞0 ?B2直線ax＋by＋3=0、-6x＋ay-b=0 がある。 ?Tこの2直線が点(-1､2)で交わってい るときa=アイ､b=ウエ ?U直線3x＋2y=1が直線ax＋by＋3=0 に平行であり、直線-6x＋ay-b=0に垂直であるとき、a=オ、 b=カ No.18695 - 2012/09/20(Thu) 08:00:52 ☆ Re: 点と直線 / X １） x+3y=2 (A) x+ay=0 (B) ax-2y=-4 (C) とします。 (前半) 基本的な考え方は定数に文字を含む方程式が１つの場合と 変わりはありません。 (A)(B)の交点の座標をaを用いて表し、その結果を(C)に代入して aについての方程式を立てます。 後半) 求める条件は (A)と(B)が平行の場合 (P) 又は (B)と(C)が平行の場合 (Q) 又は (C)と(A)が平行の場合 (R) となります。 係数の比を考えると、(P)の場合は 1:3=1:a (D) (Q)の場合は … (E) (R)の場合は … (F) (D)(E)(F)を解くわけですが、１つだけaが実数解を持たない 場合があります。 No.18696 - 2012/09/20(Thu) 08:20:45 ☆ Re: 点と直線 / X ２) I) 条件から直線ABの方程式は y=3(x-1)+2 つまり y=3x-1 これと直線y=mx+kが平行であるためには 傾きが等しく、かつy切片が等しくない という条件が必要となります。 II) I)の過程から線分AB上の点の座標は (t,3t-1) (1≦t≦3 (P)) と置くことができます。 これが 直線y=mx+k (A) との交点であるとすると 3t-1=mt+k これより (m-3)t=-k-1 (B) よって求める条件は次のいずれかになります。 (i)直線AB//(A)の場合 m=3 (ii)直線AB//(A)ではない場合 m≠3ですので(B)より t=(-k-1)/(m-3) これが(P)に含まれなければよいので (-k-1)/(m-3)＜1 又は3＜(-k-1)/(m-3) これを(-k-1)/(m-3)についての二次不等式で表現すると {(-k-1)/(m-3)-1}{(-k-1)/(m-3)-3}＞0 ∴… No.18697 - 2012/09/20(Thu) 08:30:50 ☆ Re: 点と直線 / X ３） I) ax+by+3=0、-6x+ay-b=0 に交点の座標である(x,y)=(-1,2)を代入し 得られる２つの等式をa,bについての連立方程式 と見て解きます。 II) 平行、垂直の条件からa,bについての連立方程式を立てます。 平行の条件は1)の後半で用いた条件と同じです。 垂直の条件としてはいわゆる(傾きの積)=-1を用いるのが 簡単と思います。その際ネックになるのが -6x+ay-b=0 においてa=0となるか否かということです (傾きを求めるためにはaで割る必要がありますので) が、この問題の場合は先に処理をした ax+by+3=0 に対する平行の条件からa≠0でなければならなくなりますの で問題はありません。 No.18698 - 2012/09/20(Thu) 08:37:42

★ ベクトルの問題 / さは
↑OA=(1,0),↑OB=(1,2)のとき、↑OP=α↑OA+β↑OB(1≦α≦3,0≦β≦1)をみたす点Pの存在領域を図示し、その面積を求めよ。 答えは、4です よろしくお願いします。   No.18693 - 2012/09/19(Wed) 23:29:13 ☆ Re: ベクトルの問題 / ヨッシー α＝１，β＝０ のときの 点ＰをＰ1とします。 α＝１，β＝１ のときの 点ＰをＰ2とします。 α＝３，β＝１ のときの 点ＰをＰ3とします。 α＝３，β＝０ のときの 点ＰをＰ4とします。 平行四辺形Ｐ1Ｐ2Ｐ3Ｐ4が、点Ｐの存在領域になります。 No.18694 - 2012/09/20(Thu) 07:02:59

★ 逆関数の微分 / ゆりか
全然わからくて困っています （2）がわかりません お願いします 高3の問題です No.18691 - 2012/09/19(Wed) 18:44:49 ☆ Re: 逆関数の微分 / X (1)はできていると解釈して回答を。 (1)のように問題を読み替えると x=2sin(g(x)/2)(-π＜g(x)＜π)のときdg/dxをxの式で表せ となります。 No.18692 - 2012/09/19(Wed) 19:50:49

★ 二次関数の最大値、最小値 / あらぶる

以下の問題の解法が分かりません。ご教授下さい。 f(x)＝x^2-（2a-6)x+a^2+9で (2)-a≦x≦a+2におけるf(x)の最大値M(a)と最小値m(a)を以下の範囲で求めよ。 ?@)1≦a≦3/2 ?A3/2＜a≦4 ?B4＜a (3)サイコロを3回投げて1回目に出る数をa、2回目に出る数をb、2回目に出る数をcとおくと、(2)にあったM(a)とm(a)で、 √{M(a)-m(a)}=bcとなる確率を求めよ。 No.18689 - 2012/09/19(Wed) 12:57:30 ☆ Re: 二次関数の最大値、最小値 / ヨッシー (2) f(x)＝{x-(a-3)}^2 +6a より、 f(x) は、頂点 (a-3, 6a) の下に凸の放物線となります。 -a≦x≦a+2 における、最大最小の出方は次の５通りあります。 (i) a+2＜a-3 こういう場合は起こらない (ii) １＜a-3≦a+2 より 4＜a (iii) １＝a-3　より　a=4 (iv)　-a＜a-3≦1　より　3/2＜a＜4 (v)　a-3≦-a より a≦3/2 また、-a≦a+2 より -1≦a よって、 ?@ は、(v) の場合 ?A は、(iii)(iv) の場合 ?B は、(ii) の場合 に相当します。 ?@ M(a)＝f(a+2)＝6a＋25 　m(a)＝f(-a)＝4a^2＋6a＋9 ?A M(a)＝f(a+2)＝6a＋25 　m(a)＝f(a-3)＝6a ?BM(a)＝f(-a)＝4a^2＋6a＋9 　m(a)＝f(a-3)＝6a (3) a=1 のとき M(a)−m(a)＝31−19＝12 a=2,3,4 のとき M(a)−m(a)＝25 a=5 のとき M(a)−m(a)＝109 a=6 のとき M(a)−m(a)＝153 このうち、平方数となっているのは、25 のみ。 a＝2,3,4, (b,c)＝(1,5), (5,1) となる確率なので、 　3/6×2/6×1/6＝1/36 No.18690 - 2012/09/19(Wed) 16:11:31

★ 極限 / yamako
lim x→1+ (x − √(x^2 − 1)) = ? lim x→7 (2x-14) / （√(x+2) − 3) = ? 最初は　１　と　存在無　と思ったんですが違うみたいです。　お願いします No.18687 - 2012/09/19(Wed) 10:10:06 ☆ Re: 極限 / ヨッシー 上の方は、ただ１を代入するだけで、答えは１です。 ただ、こんな単純なはずはないので、ひょっとしたら、 誤植かも。 下の方は、分母分子に √(x+2)＋3 を掛けると、x-7 で約分でき、 2(√(x+2)＋3) となるので、ｘ→７ で、１２ になります。 No.18688 - 2012/09/19(Wed) 11:28:36

★ 数学 / ごりける

tan1°は有理数か という問題があるのですが証明に 「tan1°は有理数だとする。 自然数をｋとして、tank°が有理数であると仮定すると、 tan(k+1)°=(tank°+tan1°)/(1-tank°・tan1°) より、tan(k+1)°も有理数になる。(以下略)」とあります。 ここで少し気になることがあるのですが 分母にあたる1-tank°・tan1°が0にならないことは言わなくてもいいんでしょうか？ よく分からないので教えて下さい。お願いします。 No.18683 - 2012/09/19(Wed) 00:03:54 ☆ Re: 数学 / ヨッシー (以下略) のところが、すごく気になりますが、 この部分に、 「よって、任意の自然数ｋについて、tank°は有理数となり、 tan90°が値が定まらないことと矛盾する」 などと書かれていたら大問題ですが、例えば、 「ｋ＝１，２，３と順々に tank°は有理数となり、 　tan30°＝1/√3 (無理数)　と矛盾する」 のようだと、分母の０は言及しなくてもＯＫでしょう。 つまり、「分母が０になる可能性を示唆する必要のない範囲で、 議論が終結している」点で、分母＝０ の言及は不要（なくてもお咎め無し）と考えます。 No.18686 - 2012/09/19(Wed) 08:44:42

★ 積分と総和 / Xex(3年)
lim_[n→∞](1/n)Σe^(k/n) Σはk=nから2n-1まで ｻｯﾊﾟﾘわかりません。答えはe^2-eですが…お願いします。 No.18680 - 2012/09/18(Tue) 19:23:50 ☆ Re: 積分と総和 / X k-n=lと置くと (与式)=lim[n→∞]Σ[l=0〜n-1](1/n)e^{(l+n)/n} =lim[n→∞]Σ[l=0〜n-1](1/n)e^(l/n+1) これに区分求積法を適用します。 No.18681 - 2012/09/18(Tue) 20:05:08

★ 点と直線 / 陽子

自分で考えても分からなかったので 、 解説お願い致します。 ?@直線y=2x-1と原点に関して対称な 図形の方程式はy=アx＋イ 点(1､0)に関して対称な図形の方程式 はy=ウx＋エオである。 また直線y=x に関して対称な図形の方程式は y=カ/キx＋ク/ケ ?A3直線y=1/2x、y=7/5x-9、y=-x＋3 の交点をA､B､Cとするとき 三角形ABCの面積はアイである。 ?B平面上の3点A(0､1)、B(1､1)、C(4､4 )に対して 角BACの二等分線の方程式はy=ア/イx ＋ウ ?C3直線ax＋y-63=0、x＋ay-36=0、x ＋y-9=0が1点で交わるとき a=アイ であり、その交点の座標は(ウ ,エ) No.18676 - 2012/09/18(Tue) 16:57:00 ☆ Re: 点と直線 / ヨッシー (1) 直線y=2x-1 上の２点(1,1), (0,-1) について、 (i)原点対称な２点(-1, -1), (0, 1) を通る直線y=2x+1 (ii)点(1,0) に関して対象な２点(1,-1),(2,1) を通る直線 y=2x-3 (iii)y=x に関して対象な２点(1,1),(-1,0) を通る直線y=x/2+1/2 として、それぞれ求められます。 (2) 交点を求めたら、図のように長方形から３つの直角三角形を 引く形で求めるのが良いでしょう。 (3) ＡＢ＝１、ＡＣ＝５ なので、求める二等分線は、 ＢＣを１：５ に内分する点Ｄと点Ａを通る直線です。 角の二等分線の定理より (4) ax＋y-63=0、x＋ay-36=0 の交点(9(7a-4)/(a^2-1), 9(4a-7)/(a^2-1)) (ただし、ａ≠±１） が、x+y-9=0 を通ることより、(以下略) No.18684 - 2012/09/19(Wed) 04:41:29

★ 数?U 点と直線 / 陽子

自分で考えても分からなかったので 、 解説お願い致します。 ?@定点A(0､1)と定直線ｌ：y=-3がある 。 線分PAの長さとPから直線ｌへの距離 とが等しくなるように 点P(x､y)が動くとき 点Pの軌跡の方程 式はy=ア/イx^2-ウ ?Ax､yが実数で6(x＋y)≧x^2＋y^2をみ たすとき、 xのとりうる値の範囲は ア-イ√ウ≦x≦エ＋オ√カ ?B実数x､yが -1≦x＋y≦2、1≦x-y≦4 のとき 2x＋yの最大値はア、最小値はイ No.18673 - 2012/09/18(Tue) 13:01:55 ☆ Re: 数?U 点と直線 / ヨッシー (1) Ｐの座標を(x, y) とおくと、ＰからＬまでの距離は y+3。 　ＰＡ^2＝x^2＋(y-1)^2 　ＰＬ^2＝(y+3)^2 より　x^2＋(y-1)^2＝(y+3)^2 これを展開して、ｙ＝・・・　の形にします。 (2) (右辺)−(左辺)＝(x-3)^2＋(y-3)^2−18≦０ 　(x-3)^2≦18−(y-3)^2 ｙはｘと独立であり、(y-3)^2≧０ より 　(x-3)^2≦18 　-√18≦x-3≦√18 よって、(以下略) (3) -1≦x＋y≦2、1≦x-y≦4 を図示すると、以下のようになります。 ２ｘ＋ｙ＝ｋ の直線が、この領域と共有点を持つようにして、 ｋ（ｙ設変)を変化させると、(以下略) No.18674 - 2012/09/18(Tue) 14:16:08 ☆ Re: 数?U 点と直線 / 陽子 解けました！ ありがとうございました＼(^o^)／ No.18685 - 2012/09/19(Wed) 07:44:11

★ 高３ / 図示問題

xy平面上の原点O(０,０),および直線x=-１を考える.直線上の点P(-１,a)に対して,平面上の点Qを,三角形OPQが∠POQを直角とする面積1/2の直角三角形になるようにとる.このような点Qは2個ある. (1)点Qの座標をaを用いて表せ (2)点Pが直線x=-１上を動くとき,点Qの全体はxy平面上にどのような図形を描くか概形を図示せよ No.18667 - 2012/09/18(Tue) 00:45:17 ☆ Re: 高３ / ヨッシー ＯＱの座標は、実数ｍに対して 　ｍ(a, 1) と書けます。ＯＰ＝√(１＋ａ^2) に対して ＯＱ＝1/√(１＋ａ^2) であれば、△ＯＰＱ＝1/2 となるので、 　ＯＱ＝|ｍ|√(１＋ａ^2)＝1/√(１＋ａ^2) より、 　ｍ＝±1/(１＋ａ^2) 以上より、Ｑ：(±a/(１＋ａ^2), ±1/(１＋ａ^2))　(複号同順) No.18669 - 2012/09/18(Tue) 09:55:21 ☆ Re: 高３ / ヨッシー ｘ＝a/(１＋ａ^2), ｙ＝1/(１＋ａ^2)) に対しては、x^2＋(y-1/2)^2＝1/4 ｘ＝−a/(１＋ａ^2), ｙ＝−1/(１＋ａ^2)) に対しては、x^2＋(y+1/2)^2＝1/4 が成り立つので、２つの円上を動きます。 ただし、(0,0) になることはありません。 No.18670 - 2012/09/18(Tue) 11:30:49

★ 証明問題 / オレンジ

実数a,bは0<a<bを満たすとする。このとき、(a+2b)/3，√ab，3√b(a^2+ab+b^2)/3(※√の前の3は３乗根の３です｡) の大小関係を示せ。 と言う問題で、 解答では最初の推測の段階でうまい具合にa=1 b=4を選んでいます。 しかし、私はa=1 b=2とやってしまいました。 すると、(a+2b)/3，√abの予想はできるのですが3√b(a^2+ab+b^2)/3の部分が３乗根があるので予測できません。 どうしたらいいんでしょうか？ コツとかあったら教えて下さい。お願いします。 No.18664 - 2012/09/17(Mon) 23:00:11 ☆ Re: 証明問題 / X >>3√b(a^2+ab+b^2)/3 についてですが、三乗根がb(a^2+ab+b^2)/3のどの部分まで かかっているのか分かりませんので、分かるように括弧を つけて再度アップして下さい。 No.18666 - 2012/09/17(Mon) 23:38:29 ☆ Re: 証明問題 / 豆 2乗根と3乗根の比較は双方を6乗して、根号を外せば比較できますね。 ただ、数値を入れるのはあくまでも予想なので、文字での比較が必要ですね。 問題の数値は順番にA,B,Cとします。 Cに関しては全て根号の中に入りますね。 (Xさんご指摘の通り括弧で範囲を明確にしてください) A=(a+2b)/3＞[3]√(abb)=D　（相加平均＞相乗平均） D^6=a^2b^4＞a^3b^3=B^6 ∴A＞B 27(C^3-A^3)=9b(a^2+ab+b^2)-(a+2b)^3 　　　　　　=(b-a)^3＞0 ∴C＞A C＞A＞B No.18677 - 2012/09/18(Tue) 17:02:31 ☆ Re: 証明問題 / ast > コツとかあったら教えて下さい。 の部分については, コツと言えるものがあるとしたら > 解答では最初の推測の段階 にたどり着く前に, (書かれていないだけで) 計算用紙が何枚か真っ黒になってゴミ箱に行ってる, ということを理解することじゃないかなと思います. 数学というのは変な学問で, 紙と鉛筆があればどこでもできる代わりに, 考えたこと・試行錯誤したことのほとんどすべてがゴミ箱に捨てられ, 必要最低限の論理のつながりを示す証拠しか, 後には残らないという, 非常に地球にやさしくない営みが行われているのです. No.18679 - 2012/09/18(Tue) 18:30:15

★ 数学(文系) / 論理

mは0以上の整数　0≦α<1という条件下でα={-m±√(m^2+2)}/2とでてしまったので 答えには0≦α<1なのでα={-m+√(m^2+2)}/2とあります。 どうやって絞ったのかわかりません。 解答では絶対こんなの思いつかない・・・と言うやり方で１行で証明しているんですけどよくわかりません。 どなたかなるべく簡単に絞れる方法が分かる方教えて下さい。お願いします。 No.18661 - 2012/09/17(Mon) 22:20:40 ☆ Re: 数学(文系) / IT > mは0以上の整数　0≦α<1という条件下でα={-m±√(m^2+2)}/2とでてしまったので > 答えには0≦α<1なのでα={-m+√(m^2+2)}/2とあります。 > どうやって絞ったのかわかりません。 　-m/2 （≦０）の両側に解がありますから　0≦αの可能性があるのはα={-m+√(m^2+2)}/2　の方だけですね。 > 解答では絶対こんなの思いつかない・・・と言うやり方で１行で証明しているんですけどよくわかりません。 どんなやり方ですか？ >答えには0≦α<1なのでα={-m+√(m^2+2)}/2とあります のことですか？ >絶対こんなの思いつかない　 だとすると、ごく標準的なアイデアだと思いますが。 No.18662 - 2012/09/17(Mon) 22:26:07

★ 中３数学 / 足立

原点Oと異なる点Pに対して Oを端点とする半直線OP上にあり OP･OQ = 2 を満たす点Qを考える (1) 点Pの座標を(x,y)､点Qの座標を(X,Y)とする x,yをX,Yの式で表せ と言う問題で、一つに疑問に思ったんですが半直線OP上にQがあるということは O--------------P~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ を半直線とするなら、Qが存在する部分は〜〜〜〜〜〜〜〜〜の部分ってことでいいんですか？ でないと答が求まりません。 どなたか教えて下さい。お願いします。 No.18659 - 2012/09/17(Mon) 21:51:10 ☆ Re: 中３数学 / ヨッシー ＯＰの間　-------------- の部分も、あり得ます。 例えば、Ｐ(2,0) ならＱ(1,0) ですし、Ｐ(4,0) ならＱ(0.5, 0) です。 ただ、Ｏに対して、Ｐと反対側にはＱはこないと言うことです。 No.18660 - 2012/09/17(Mon) 21:55:11

★ 数学 / へたっＰ

1 2 2 3 3 3････なる数列k群にkがkコある数列があるとき a[n]＝kとなるkの範囲を求めよ とあるのですが問題の意味自体さっぱりわかりません。a[n]がなんなのかも・・・ 誰か分かる方教えて下さい。お願いします。 No.18636 - 2012/09/16(Sun) 20:12:12 ☆ Re: 数学 / 豆 a[n]が問題の中で定義されていないなら、解き様がないですね。 もし、普通にこの数列のn番目というなら、 k群の数列は(k-1)k/2+1番目から、k(k+1)/2番目なので、 (k-1)k/2+1≦n≦k(k+1)/2 これをkに関して整理すれば、 (-1+√(8n+1))/2≦k≦(1+√(8n-7))/2 ということでしょうかね。 例えば、n=100を代入すると、13.65・・・≦k≦14.58・・・ 　　でk=14　　100番目は14群 n=106を代入すると、　14.07・・・≦k≦15 　　でk=15　　106番目（から）15群 No.18652 - 2012/09/17(Mon) 11:38:14

★ 高3 / 文系立体図形

空間内に,半径√３の球面Sと,AB=３,BC=４,CA=５である三角形ABCがある.三角形ABCは,３頂点がSの外側にあって,３辺がすべてSに接するように空間内を動くものとする.このとき,三角形ABCの周が通過し得る部分の体積を求めよ. 同じく全くできないのでお願いします。 No.18635 - 2012/09/16(Sun) 19:51:50 ☆ Re: 高3 / X 問題の△ABCの内接円の半径は1となります。 従って３辺が全てSに接することはありえません。 (問題文にタイプミスはありませんか？) No.18647 - 2012/09/17(Mon) 02:57:36 ☆ Re: 高3 / ＿ ＞Xさん 「空間内」ですよ。 --- イメージとしては、針金で作った△ABCを半径√3のボールに乗せて、3辺ともにボールに接した状態は維持しつつ縦横無尽に△ABCを動かす感じですかね。 この辺を数学の答案っぽく書いて、乗せた状態を真上から見た図と真横から見た図を描いて式を立てればよいのですが、とりあえず詳細は控えます。 No.18650 - 2012/09/17(Mon) 10:10:09 ☆ Re: 高3 / IT >三角形ABCは,３頂点がSの外側にあって,３辺がすべてSに接する ・三角形ABCを含む平面と球面Sの交点は、円Pになる。 ・＿さんの指摘の通り、２つの図を描く。 ・円Pは三角形ABCに内接。 ・△ABCの辺上の点で円Pの中心Pから最も遠いのは頂点C 　頂点Cは球Sの中心Sからも最も遠い ・PCの距離を求める。 ・SCの距離を求める。 ・求める体積＝半径SCの球の体積−球Sの体積　だと思いますが ※答えはありますか？どうなっていますか？ No.18656 - 2012/09/17(Mon) 20:00:52 ☆ Re: 高3 / X >>＿さんへ ご指摘ありがとうございます。 >>文系立体図形さんへ ごめんなさい。△ABCを球の中心を含む平面上で考えていました。 No.18657 - 2012/09/17(Mon) 20:27:08

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