ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 場合の数 / ハル

6個の数字0,1,2,3,4,5を用いて4桁の自然数をつくるとき、次の各問に答えよ。ただし、1つの数字は一回しか使わないものとする。
⑴?@3の倍数となるもののは何個あるか
?A3の倍数または5の倍数となるものは何個あるか
⑵得られる自然数の総和を求めよ。

No.19270 - 2012/11/19(Mon) 02:07:16

☆ Re: 場合の数 / X

(1)
(i)
ある複数桁の自然数が3の倍数であるとき、各桁の値の総和が
3の倍数であることを使います。
問題の6個の数字から取り出した4個の数字の総和をsとすると
6≦s≦14
∴条件に合う場合は
s=6,9,12
となる場合となります。
(I)s=6の場合
数字の組み合わせは{0,1,2,3}のみ
∴4桁の数字は、最大桁が0になる場合を除くことを考えて
4P4-3P3=18[通り]
(II)s=9の場合
数字の組み合わせは{0,1,3,5},{0,2,3,4}
(I)と同様に考えると
2(4P4-3P3)=36[通り]
(III)s=12の場合
数字の組み合わせは{1,2,4,5},{0,3,4,5}
∴4P4+(4P4-3P3)=42[通り]

(I)(II)(III)となる事象は互いに排反ですので
求める場合の数は
18+36+42=96[通り]
となります。

(ii)
(i)の結果を使うため、5の倍数であって3の倍数でない
場合の数を求めます。
5の倍数となるためには最小桁が0又は5とならなければ
なりませんので
(I)最小桁が0の場合
5の倍数となるのは
5P3=60[通り]
このうち(i)の(I)(II)(III)の場合の
{0,1,2,3},{0,1,3,5},{0,2,3,4},{0,3,4,5}
のときに当たる
4(3P3)=24[通り]
は除かれますので
60-24=32[通り]
(II)最小桁が5の場合
最大桁が0になる場合を除くことを考えると
5の倍数となるのは
5P3-4P2=48[通り]
このうち(i)の(I)(II)(III)の場合の
{0,1,3,5},{1,2,4,5},{0,3,4,5}
のときに当たる
2(3P3-2P2)+3P3=16[通り]
が除かれますので
48-16=32[通り]

以上から求める場合の数は
96+32+32=160[通り]
となります。

No.19273 - 2012/11/19(Mon) 08:54:10

☆ Re: 場合の数 / X

(2)
4桁の数字を各桁に分けて総和を考えてみます。
1の位の値がk(k=1,2,3,4,5)となるような数字は
1000の位が0になる場合を除いて
5P3-4P2=48[通り]
従って1の位の総和は
Σ[k=1～5]48k=720
同様の総和を他の桁でも考えると求める総和は
720・1111=799920
となります。

No.19274 - 2012/11/19(Mon) 09:09:13

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

(1)の(ii) で、計算間違いがありますね。

(I)最小桁が0の場合
　・・・
60-24=36[通り]
(II)最小桁が5の場合
　・・・
2(3P3-2P2)+3P3=14[通り]
が除かれますので
48-14=34[通り]
　・・・
96+36+34=166[通り]

となります。

(2) については、
5×5×4×3＝300(個) の数のうち、
1,10,100 の位については、
０が60個、その他が48個で、48×(1+2+3+4+5)＝720 ですが、
1000の位については、1～5 が 60個ずつなので、
60×(1+2+3+4+5)＝900 であり、
900×1000＋720×111＝979920　・・・　答え
となります。

No.19275 - 2012/11/19(Mon) 10:22:50

☆ Re: 場合の数 / X

>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ハルさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんのご指摘通り計算を間違えていました。

No.19276 - 2012/11/19(Mon) 12:40:18

☆ Re: 場合の数 / ハル

> >>ヨッシーさんへ
> ご指摘ありがとうございます。
> >>ハルさんへ
> ごめんなさい。ヨッシーさんのご指摘通り計算を間違えていました。
ヨッシーさん、Xさん、ありがとうございました(>_<)

No.19279 - 2012/11/19(Mon) 21:43:26

★ 舞台裏 / キャビネット

f(x)=x^3-x^2+xの逆関数をｇ（ｘ）とおく。ｘ＞０について
{(x)^(1/3)}-1<g(x)<{(x)^(1/3)}+1
が成り立つ事を示せ

よろしくお願いします。答案を知りたいのではなく、その式がどこから出てきたのか、など答えを導く過程が知りたいです。

No.19255 - 2012/11/17(Sat) 21:03:17

☆ Re: 舞台裏 / らすかる

x^(1/3)-1＜g(x)＜x^(1/3)+1 が成り立つならば
g(x)-1＜x^(1/3)＜g(x)+1
{g(x)-1}^3＜x＜{g(x)+1}^3
となり、これは
(x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3
のxにg(x)を代入した式ですから、
この式を示して逆方向に書けば答案が作れますね。

No.19256 - 2012/11/17(Sat) 21:50:23

☆ Re: 舞台裏 / キャビネット

回答ありがとうございます

y=f(x)
⇔f^(-1)(y)=x
⇔g(y)=xなのになぜ
ｘ＝ｇ（ｘ）としてよいのですか？

No.19259 - 2012/11/18(Sun) 01:14:23

☆ Re: 舞台裏 / らすかる

(x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 というのは
xがどんな実数でも成り立つ式ですから、
何を代入しても成り立ちます。
x=g(x) とおいているわけではありません。
わかりにくければ、xにg(y)を代入してから
後でyをxに書き換えて下さい。

No.19260 - 2012/11/18(Sun) 08:24:55

☆ Re: 舞台裏 / キャビネット

(x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 というのは
xがどんな実数でも成り立つというのは一体どこからきたのですか？確かに(x-1)^3<(x＋1)^3はどんな実数でも成り立ちますが。

x=g(y)を代入すると
(g(y)-1)^2<f(g(y))<(g(y)+1)^2
(g(y)-1)^2<f(f^(-1)(y))=y<(g(y)+1)^2
y=xと置いてよい理由が分かりません。

よろしくお願いします

No.19261 - 2012/11/18(Sun) 12:20:42

☆ Re: 舞台裏 / らすかる

> xがどんな実数でも成り立つというのは一体どこからきたのですか？
自分で計算してみましたか？
(x+1)^3-f(x)=4(x+1/4)^2+3/4＞0
f(x)-(x-1)^3=2(x-1/2)^2+1/2＞0
です。

> x=g(y)を代入すると
> (g(y)-1)^2<f(g(y))<(g(y)+1)^2
2乗ではありません。3乗です。

> y=xと置いてよい理由が分かりません。
y=xと置くわけではありません。yという変数をxという名前に書き換えるだけです。
f(x)=x^3-x^2+x のとき
f(t)=t^3-t^2+t や
f(y)=y^3-y^2+y が成り立つというのは納得できますか？
これが納得できるのであれば同じことです。
変数の文字は仮に付けている名前ですから
どんな文字を使おうと同じ意味です。
例えば、任意のxに対して f(x)＞g(x) ならば
f(t)＞g(t) であり f(y)＞g(y) ですね。

No.19262 - 2012/11/18(Sun) 12:43:43

☆ Re: 舞台裏 / キャビネット

回答ありがとうございます。

変数を置き換える、というのはそんな単純なものなのでしょうか。
今回f(x)=x^3-x^2+xの定義域はー∞＜ｘ＜∞
なのでー∞＜ｇ（ｘ）＜∞ よってｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲がたまたま一致するからｘをｇ（ｘ）と置き換えてよいという話では？
つまりｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲が一致していなければｘをｇ（ｘ）を置き換えることはできないと思っているのですが。

よろしくおねがいします

No.19263 - 2012/11/18(Sun) 14:01:14

☆ Re: 舞台裏 / らすかる

> 変数を置き換える、というのはそんな単純なものなのでしょうか。
変数を他の変数に置き換えるのは単純なものです。
変数の定義域を同じとすれば（または狭くすれば）、xをtに置き換えたりyに置き換えたりするのは自由ですね。

> 今回f(x)=x^3-x^2+xの定義域はー∞＜ｘ＜∞
> なのでー∞＜ｇ（ｘ）＜∞ よってｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲がたまたま一致するからｘをｇ（ｘ）と置き換えてよいという話では？
> つまりｘとｇ（ｘ）のとりうる値の範囲が一致していなければｘをｇ（ｘ）を置き換えることはできないと思っているのですが。
これは変数を変数に置き換える話ではないですね。
でも、範囲は一致している必要はありません。xの取り得る範囲がg(x)の取り得る範囲を含んでいれば問題ないですね。
前に私が
> (x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 というのは
> xがどんな実数でも成り立つ式ですから、
と書いているように、この式が成り立つxの範囲は実数全体ですから、
実数の範囲内のものであれば何に置き換えても問題ありません。

No.19264 - 2012/11/18(Sun) 14:46:37

☆ Re: 舞台裏 / らすかる

元々 (x-1)^3＜f(x)＜(x+1)^3 のxは
問題の式のxとは何も関係なく、
単に解答が見にくくならないように置いた仮変数ですから、
もし問題のxと混乱するようでしたら
最初からxにせず

任意の実数tに対して
(t+1)^3-f(t)=4(t+1/4)^2+3/4＞0
f(t)-(t-1)^3=2(t-1/2)^2+1/2＞0
なので
(t-1)^3＜f(t)＜(t+1)^3
よってt=g(x)とおけば
{g(x)-1}^3＜f(g(x))＜{g(x)+1}^3
・・・

のようにするか、あるいは解答が見にくくなるのを我慢して置き換えなしで

{g(x)+1}^3-f(g(x))=4{g(x)+1/4}^2+3/4＞0
f(g(x))-{g(x)-1}^3=2{g(x)-1/2}^2+1/2＞0
なので
{g(x)-1}^3＜f(g(x))＜{g(x)+1}^3
・・・

のようにしてしまっても良いと思います。

No.19265 - 2012/11/18(Sun) 20:41:02

★ 積分の問題ですm(_ _)m / 高校三年生

お願いしたいです。

No.19253 - 2012/11/17(Sat) 18:04:37

☆ Re: 積分の問題ですm(_ _)m / X

∫[2→x]f(x)dx=xf(x)-2ax^3 +bx^2+2c (A)
とします。
(A)の両辺を微分すると
f(x)=f(x)+xf'(x)-6ax^2+2bx
∴f'(x)=6ax-2b
∴f(x)=3ax^2-2bx+d (d：積分定数) (B)
ここで条件からf(-1)=f(2)=0ですので因数定理から(B)は
f(x)=3a(x+1)(x-2) (C)
と等価になります。
(C)より
f(x)=3ax^2-3ax-6a (C)'
これと(B)とを係数比較すると
-2b=-3a (D)
d=-6a (E)
次に(C)と
∫[1→3]|f(x)|dx=36
更にa＞0により
3a∫[1→3]|(x+1)(x-2)|dx=36
これより
a{-∫[1→2](x+1)(x-2)dx+∫[2→3](x+1)(x-2)dx}=12 (F)
(F)の左辺の積分を計算することでaの方程式を導いて解くと
a=…
これを(D)に代入して
b=…
更にこれらの値と(C)'を(A)に代入して左辺の積分を計算し
両辺の係数を比較すると
c=…

No.19254 - 2012/11/17(Sat) 18:48:25

☆ Re: 積分の問題ですm(_ _)m / 高校三年生

ありがとうございましたm(_ _)m

No.19258 - 2012/11/17(Sat) 23:12:14

★ 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / 潤一郎

おねがいします。

問題

3人が1000円ずつ出しＡ君に弁当を買ってくるように頼んだ。
Ａ君は3000円を持って弁当屋へ買いに行き弁当を３つ買った
店員が3つ買ってくれるのだったらおまけしましょうと
彼に500円のお釣りをくれた。彼は1000円の弁当3つを受け取ったが帰る途中におつり500円では3人に均等に返せない
と思い自分用に100円分のパン2つ買って食べ3人に対して
は、100円ずつ返しました。それで弁当代は一人900円で
3人分2700円。これにパン代を足すと2900円もとの3000円との
差額100円はどこにいったのか。以上を教えて下さい。

No.19242 - 2012/11/15(Thu) 11:07:12

☆ Re: 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / X

弁当代が900円であるとしたことが誤りです。
３人が支払ったお金は確かに一人当たり900円ですが、
それは弁当３個分の代金とA君のパン代の合計金額を
３等分したもので、弁当代が900円であるとはいえません。

No.19243 - 2012/11/15(Thu) 11:54:18

☆ Re: 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / らすかる

一人当たり900円支払っていて支払い金額の合計は2700円ですが
2700円＝(弁当3つ3000円)－(値引き500円)＋(パン2個の200円) ですから、
2700円にパン代を足しても意味がありません。

No.19244 - 2012/11/15(Thu) 12:07:39

☆ Re: 算数かもしれませんが答え教えて下さい。 / 潤一郎

Xさん、らすかるさんへ

とてもよくわかりました。
すごく早い回答いただき、本当にありがとうございました。
これからもよろしくお願いします。

No.19245 - 2012/11/15(Thu) 12:48:12

★ 解説お願いします　方程式の解の個数　 / pine

方程式
a(√3sinθ＋cosθ)＋sinθ(sinθ＋√3cosθ)＝0
が0≦θ≦πにおいて相異なる３つの実数解をもつときのaの値の範囲を求めよ。

No.19238 - 2012/11/14(Wed) 22:14:11

☆ Re: 解説お願いします　方程式の解の個数　 / ヨッシー

√3sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π/6)
sinθ＋√3cosθ＝2sin(θ＋π/3)
2sinθsin(θ＋π/3)＝-cos(2θ＋π/3)＋cos(π/3)
　＝2sin^2(θ＋π/6)－1/2
などで変形すると
　(与式)＝2sin^2(θ＋π/6)＋2asin(θ＋π/6)－1/2
となります。
Ｘ＝sin(θ＋π/6) とおくと、
　(与式)＝２Ｘ^2＋2aＸ－1/2
という２次方程式になります。
　π/6≦θ＋π/6≦7π/6
より、この２次方程式が
　-1/2≦Ｘ＜1/2 に１つ、1/2≦Ｘ＜1 に１つ　解を持つか
　Ｘ＝1 の解と 1/2≦Ｘ＜1 に１つ　解を持てば、条件を満たします。

No.19241 - 2012/11/15(Thu) 06:06:26

☆ Re: 解説お願いします　方程式の解の個数　 / pine

ありがとうございました。

No.19248 - 2012/11/15(Thu) 22:49:53

★ 証明問題の添削お願いします / Xex(3年)

kを正の定数,a>0とし、y=e^(kx)上の2点P(a,e^(ka)),Q(-a,e^(-ka))を考える。この時Pにおける接線とQにおける接線の交点のx座標は常に正であることを示せ。(ニューアクションωIIIC,3章Perfect Master B 8より,大阪大)
証明)y=e^(kx)よりy'=ke^(kx)Pにおける接線をS,QにおいてはTとして、S:y-e^(ka)=(x-a)*ke^(ka),T:y-e^(-ka)=(x+a)*ke^(-ka) yを消去してke^(ka)*(x-a)=ke^(-ka)*(x+a) x=a{e^(ka)+e^(-ka)}/{e^(ka)-e^(-ka)}
a{e^(ka)+e^(-ka)}>0であり、後はe^(ka)-e^(-ka)が正であることを示せばよい。
ここでka>0なので、示す式をf(ka)とおくと、(kaを正の数を変域とする一つの変数として扱う)
f'(ka)=e^(ka)+e^(-ka) 導関数が正なのでf(ka)は単調増加、増減表(省略します)よりx=の式は常に正である。 QED

No.19231 - 2012/11/14(Wed) 17:24:43

☆ Re: 証明問題の添削お願いします / X

＞＞ yを消去してke^(ka)*(x-a)=ke^(-ka)*(x+a)
計算を間違えています。
yを消去すると
{ke^(ka)}(x-a)+e^(ka)={ke^(-ka)}(x+a)+e^(-ka)
です。
ということでこの計算以降の方針も見直して下さい。

No.19237 - 2012/11/14(Wed) 21:13:24

☆ Re: 証明問題の添削お願いします / Xex(3年)

前の問題が重要だったのでそっちをよく考えたら解決しました。ありがとうございました。

No.19240 - 2012/11/14(Wed) 23:57:03

★ 線型写像　基底の変換 / He

大学1年です。
よろしくお願いします。

No.19217 - 2012/11/13(Tue) 22:33:31

☆ Re: 線型写像　基底の変換 / ast

T (の表現行列) は座標 (あるいは縦ベクトル) (x_1,...,x_n) に対する変換なのであって, 基底を変換するものではないので, 「左の図」というのは正しい記述になっていません (つまり, A や B で u や u' が v や v' に写るのではありません).

厳密に言えば, 任意のベクトル x = x_1u_1 +…+ x_nu_n を記号的な内積として
　(u_1,...,u_n)(x_1,...,x_n)
と書いてある (面倒なので記号を替えませんが, 座標は全て縦ベクトルで, 行列の積として内積を見ています) という状況と考えるべきです. 画像の記述に座標ベクトルが現れないのは, 基底に着目する限り, 現れる写像が全て線型なため座標ベクトルは最終的にそのままの形で現れるように書けるからです. しかし, 感覚をつかめないうちは, 座標まで含めて書いたほうがよいと思います.

例えば, T(x) = x_1T(u_1) +…+ x_nT(u_n) だから, 同様の記法に従えば
　T(x)=(T(u_1),...,T(u_n))(x_1,...,x_n)
と書けますし, 表現行列 A の定義は
　T(x)=(v_1,...,v_m)A(x_1,...,x_n)
ですから, 結局 T (の行列表現) を知るには (T(u_1),...,T(u_n)) = (v_1,...,v_m)A がわかっていればよいので, そこだけを見るように記述してあるということです.

さて, 提示されている「証明」の方針は, (T(u'_1),...,T(u'_n)) を (あるいは座標に関して言えば, u'_1,...,u'_n に関する任意の座標 (x_1,...,x_n) を T の表現行列で写したものを) v_1,...,v_m に関して二通りに表すことです.

一つは後半に書かれているほうで,
　T(x) = (T(u'_1),...,T(u'_n))(x_1,...,x_n)
　= (v'_1,...,v'_m)B(x_1,...,x_n)
　= (v_1,...,v_m)QB(x_1,...,x_n)
ですが, これはまあ特に説明しなくてもわかるはずです.

いま一つは前半の方ですが, これは任意のベクトル x を u'_1,...,u'_n に関する座標で書いてあるのを, 一旦 u_1,...,u_n に関するものに書き直してから変換する様子が書いてあるはずです (画像の内容は書き写す際に間違いが混入しているように見受けられます). つまり,
　x = (u'_1,...,u'_n)(x_1,...,x_n) = (u_1,...,u_n)P(x_1,...,x_n)
としてから, T で写せば
　T(x) = (T(u_1),...,T(u_n))P(x_1,...,x_n)
　= (v_1,...,v_m)AP(x_1,...,x_n)
となることを言っています.

No.19249 - 2012/11/16(Fri) 06:25:21

★ アポロニウスの球 / Xex(3年)

四面体O-ABCにおいてO→A=a,O→B=b,O→C=cとする。点Pは|A→P|:|B→P|=2:√(3)を満たしながら動く。Pの軌跡は球面であることを示せ。(ニューアクションωIIB 問題271,九大)
ベクトルを使う解法の方針が全く立ちません。平面ABCに着目してPは平面ABCでは円を描き、これが空間においてもそうなるから円の集合、つまり球、でいいのですか?

No.19214 - 2012/11/13(Tue) 21:18:44

☆ Re: アポロニウスの球 / ヨッシー

アポロニウスの円で、結果が予想されるのであれば、
ＡＢを２：√3 に内分する点をＳ，外分する点をＴとし、
　ＰＳ・ＰＴ＝０
を示す方法があります。

ＡＰ：ＢＰ＝２：√3 は、
　４ＢＰ・ＢＰ＝３ＡＰ・ＡＰ
という形で使用します。

No.19216 - 2012/11/13(Tue) 22:05:30

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

試してみたけどできそうにありませんでした。一体どうすれば？

No.19218 - 2012/11/13(Tue) 22:38:00

☆ Re: アポロニウスの球 / IT

ベクトルの内積計算を使うと。
3|AP|^2=4|BP|^2
3(p-a)・(p-a)=4(p-b)・(p-b)
|p|^2+2(3a-4b)・p+4|b|^2-3|a|^2=0
|p+(3a-4b)|^2=12|a-b|^2
|p-(4b-3a)|=2√(3)|a-b|
途中少し省略してます。

No.19219 - 2012/11/13(Tue) 22:51:36

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

4b-3aから何をすればいいのですか?

No.19220 - 2012/11/14(Wed) 07:06:05

☆ Re: アポロニウスの球 / IT

「4b-3aから」とは？何のことですか？最後の式のことですか？
この式で「pが（4b-3aで表される点）から一定の距離にある」：すなわち「球面上を動く。」ことが分かると思いますが？

計算間違いがないかは確かめて下さい。

No.19221 - 2012/11/14(Wed) 07:40:02

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

球であることを示すのにそれだけでいいのですか? 図があると嬉しいです

No.19223 - 2012/11/14(Wed) 08:25:00

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

そもそも球を示すには何を使えばいいのですか?

No.19224 - 2012/11/14(Wed) 10:13:17

☆ Re: アポロニウスの球 / ヨッシー

>そもそも球を示すには何を使えばいいのですか?
ベクトルで示すには、
1) ベクトルの大きさが一定であることを示す。
2) 直径の両端に当たる２点Ａ、Ｂに対して、ＡＰ⊥ＢＰを
　内積＝０を使って示す。
ITさんのは、1) で私の方針は 2) です。

ＡＢを２：√3 に内分する点をＳ，外分する点をＴとすると、
　ｓ＝ＯＳ＝(√3ａ＋2ｂ)/(2＋√3)
　ｔ＝ＯＴ＝(－√3ａ＋2ｂ)/(2－√3)
に対して、点Ｐ(ｐ) を考え、ＳＰ・ＴＰを計算します。
　ＳＰ・ＴＰ＝(ｐ－ｓ)・(ｐ－ｔ)
　　＝ｐ・ｐ＋ｓ・ｔ－(ｓ＋ｔ)・ｐ
　　＝・・・
を計算すると、
　４(ｐ－ｂ)・(ｐ－ｂ)－３(ｐ－ａ)・(ｐ－ａ)
という形に持って行けて、
　|ＡＰ|:|ＢＰ|＝2:√3
より、
　ＳＰ・ＴＰ＝０
が示せます。

No.19226 - 2012/11/14(Wed) 13:36:05

☆ Re: アポロニウスの球 / Xex(3年)

説明がわかりにくかったですが何とか解決しました
ありがとうございました。

No.19228 - 2012/11/14(Wed) 16:41:22

★ (No Subject) / ktdg

どのような三角形に対しても各辺上に1つずつ頂点を持つ正三角形を作ることができることを示せ。

三角形をOABとして、↑OA=↑a,↑OB=↑bとし、OA上に点Pを、OB上に点Rを、AB上に点Qを、それぞれ↑OP=s↑a,↑OR=t↑b,↑OQ=(1-u)↑a+u↑b,(s,t,uはそれぞれ、0<s<1,0<t<1,0<u<1を満たす実数)としてとったとき、|↑PR|=|↑RQ|かつ|↑PR|=|↑PQ|を満たすようなs,t,uが存在すればよい。
以下、|↑a|=a,|↑b|=bとして表します。
|↑PR|^2=|↑RQ|^2より、
a^2{s^2-(1-u)^2}+b^2{t^2-(u-t)^2}-2↑a↑b{st+(1-u)(u-t)}=0ー?@
|↑PR|^2=|↑PQ|^2より、
a^2{s^2-(1-u-s)^2}+b^2(t^2-u^2)-2↑a↑b{st+(1-u-s)u}=0ー?A
?@、?Aが成り立つための必要条件は
s^2-(1-u)^2=0 かつ t^2-(u-t)^2=0 かつ st+(1-u)(u-t)=0 かつs^2-(1-u-s)^2=0 かつ t^2-u^2=0 かつ st+(1-u-s)u=0である。

見てわかるように上の式をすべて満たすs,t,uは存在しません。
どこが間違っているのですか?

No.19212 - 2012/11/13(Tue) 20:37:16

☆ Re: / ヨッシー

>どこが間違っているのですか?
それはきっと、各係数が０でなくても、成り立つ s,t,u が
存在するということでしょう。

ただ、示すというだけなら、図のように、Ｂ、Ｃが鋭角（厳密には120度以下）
であるとき、△ＡＢＣの外に正三角形ＢＣＤを作って、Ａを
中心に点Ｄが点Ｅ（ＡＤとＢＣの交点）に一致するまで
縮小してやると、△ＡＢＣに内接する正三角形ＥＦＧが得られます。

No.19227 - 2012/11/14(Wed) 14:14:12

☆ Re: / ヨッシー

おまけ

No.19251 - 2012/11/17(Sat) 09:45:12

★ 高校　 / pine

(1)f(t)を0≦t≦1で連続な関数とする．tanx=tとおいて,
∫[0→π/4]{f(tanx)}/{(cosx)^2}dx=∫[0→1]f(t)dtであることを示せ。
(2)(1)を用いて,0以上の整数nに対し,∫[0→π/4]{(tanx)^n}/{(cosx)^2}dx
の値を求めよ．
また,
∫[0→π/4](tanx)^ndx≦1/(n+1)
を示せ．
(3)0以上の整数nと0≦x≦π/4を満たすxに対し,
[1-{(tanx)^2}+{(tanx)^4}-…+{(-1)^n･(tanx)^2n}]/{(cosx)^2}=1-{(-1)^(n+1)}{(tanx)^(2(n+1))}
であることを示せ．
(4)(2)と(3)を用いて,lim_n→∞_?納k=0→n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}の値を求めよ．

No.19211 - 2012/11/13(Tue) 20:23:16

☆ Re: 高校　 / X

(1)
置換積分の手法そのものを実行して下さい。

(2)
前半)
(1)の結果を使うと
∫[0→π/4]{{(tanx)^n}/(cosx)^2}dx=1/(n+1)
後半)
0≦x≦π/4において
1≦1/(cosx)^2
∴{(tanx)^n}≦{(tanx)^n}/(cosx)^2
∴∫[0→π/4]{(tanx)^n}dx＜∫[0→π/4]{{(tanx)^n}/(cosx)^2}dx
これに前半の結果を使います。

(3)
(-1)^n･(tanx)^(2n)={-(tanx)^2}^n
と変形して左辺の分子に等比数列の和の公式を適用し
更に
1+(tanx)^2=1/(cosx)^2
を用いてcosxを消去します。

(4)
(3)の結果の等式の両辺のx:0→1での定積分を取ると
Σ[k=0～n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}=1-{(-1)^(n+1)}∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx (A)
ここで
∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx＞0
ですので(A)より
1-∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx＜Σ[k=0～n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}＜1+∫[0→1]{(tanx)^(2(n+1))}dx
更に(2)の後半の結果を使うと
1-1/(2n+3)＜Σ[k=0～n]{(-1)^k}{1/(2k+1)}＜1+1/(2n+3)
これにはさみうちの原理を使い、求める値は1となります。

No.19215 - 2012/11/13(Tue) 21:29:27

★ 高校　不等式 / pine

(1)すべての実数xに対して,次の不等式が成り立つことを示せ。
e^-x^2≦1/(1+x^2)
(2)次の不等式が成り立つことを示せ。
(e-1)/e＜∫0→1e^-x^2＜π/4

nが奇数のとき、
S＝n＋(n＋1)^2＋(n＋2)^3
は16の倍数であることを示せ。

No.19210 - 2012/11/13(Tue) 20:09:57

☆ Re: 高校　不等式 / X

前半)
(1)
e^(-x^2)≦1/(1+x^2)⇔1+x^2≦e^(x^2)
⇔e^(x^2+1)-e(x^2+1)≧0
そこで
f(t)=e^t-et
とおいてf(t)の増減を調べることにより
t≧1においてf(t)≧0
であることを証明します。

(2)
e^(-x^2)-e^(-x)={e^(-x^2)}{1-e^(x^2-x)}
={e^(-x^2)}{1-e^{x(x-1)}}
∴0≦x≦1において
e^(-x^2)-e^(-x)≧0 (A)
(A)と(1)の結果から
0≦x≦1において
e^(-x)≦e^(-x^2)≦1/(1+x^2)
∴∫[0→1]{e^(-x)}dx＜∫[0→1]{e^(-x^2)}dx∫[0→1]＜∫[0→1]dx/(1+x^2)
後は左辺と右辺の積分を計算します。

No.19213 - 2012/11/13(Tue) 20:49:24

☆ Re: 高校　不等式 / pine

後半お願いします

No.19247 - 2012/11/15(Thu) 22:47:41

☆ Re: 高校　不等式 / X

後半)
S[k]=2k-1+4k^2+(2k+1)^3 (k=1,2,…)
と置くと
(i)k=1のとき
S[k]=32
∴S[k]は16の倍数
(ii)
S[k+1]-S[k]=8(3k^2+7k+4)
(注：途中計算が煩雑で間違ってるかもしれないですので
チェックお願いします。)
=8(3k+4)(k+1)
=8{3(k+1)+1}(k+1)
これはkの偶奇によらず16の倍数ですので
S[k]が16の倍数ならばS[k+1]は16の倍数。

(i)(ii)から数学的帰納法によりS[k]は16の倍数ですので
命題は成立します。

No.19250 - 2012/11/16(Fri) 22:25:40

★ 証明問題の添削(記述不足などの指摘)お願いします / Xex(3年)

半径1の円周上に異なる3点A,B,Cがある。この時AB^2+BC^2+CA^2>8ならば三角形ABCは鋭角三角形であることを証明せよ。
(証明) Aを位置ベクトルの基準点とし、A→B=b, A→C=cとする。(A→BはベクトルABという意味)
|A→B|^2+|A→C|^2+|B→C|^2=|b|^2+|c|^2+|c-b|^2=2(|b|^2+|c|^2)-2b・c>8
つまり(|b|^2+|c|^2)-b・c-4>0……＊(前提条件)
|b|^2+|c|^2-|b|*|c|*cosθ-4>0[θ=角BAC]
背理法を用いる。
i)cosθ=0の時、sinθ=1正弦定理より|c-b|/sinθ=2 |c-b|^2=4 内積が0なので|b|^2+|c|^2=4　これとb・c=0を＊に代入すると0>0となり、矛盾が発生。（三角形ABCが直角三角形)
ii)cosθ<0の時、sinθは正である。|c-b|^2<4 |b|^2+|c|^2-2b・c<4 |b|^2+|c|^2-b・c<4+b・c　両辺から4を引いて左辺を＊にすると＊<4+b・c-4 ＊<b・c ここでb・cは負なので、＊の条件に反する。
i),ii)よりcosθ≦0の時、矛盾が生じる。
iii)cosθ>0の時、ii)と同様の式が導け、[|c-b|^2<4 |b|^2+|c|^2-2b・c<4 |b|^2+|c|^2-b・c<4+b・c　両辺から4を引いて左辺を＊にすると＊<4+b・c-4 ＊<b・c ]矛盾しないのでθは鋭角となる。
同様にB,Cを基準にしても同じことが言えるから三角形ABCは鋭角三角形である。QED

No.19206 - 2012/11/12(Mon) 20:54:26

☆ Re: 証明問題の添削(記述不足などの指摘)お願いします / X

(|↑b|^2+|↑c|^2)-↑b・↑c-4＞0⇒cosθ＞0
を背理法で示すのであれば仮定するのはi)ii)の場合で
iii)は不要です。
それ以外は問題ないと思います。

No.19208 - 2012/11/12(Mon) 21:47:08

☆ Re: 証明問題の添削(記述不足などの指摘)お願いします / Xex(3年)

ありがとうございました

No.19232 - 2012/11/14(Wed) 17:26:24

★ 空間ベクトル　高２数Bの問題です / mai

わかりません(>_<)お願いします。

四面体ABCDにおいて、△ABCと△ABDは正三角形であり、ACとBDは垂直である。次のことをベクトルを用いて証明せよ。

(1)BCとADも垂直である。

(2)四面体ABCDは正四面体である。

No.19197 - 2012/11/11(Sun) 14:10:31

☆ Re: 空間ベクトル　高２数Bの問題です / ヨッシー

ｂ＝ＡＢ、ｃ＝ＡＣ、ｄ＝ＡＤと置きます。
|ｂ|＝ｋと置くと、条件より、
|ｃ|＝|ｄ|＝ｋ
ｂ・ｃ＝ｂ・ｄ＝(1/2)ｋ²

また、ＡＣ⊥ＢＤより、
ＡＣ・ＢＤ＝ｃ・(ｄーｂ)
　＝ｃ・ｄーｃ・ｂ＝０
より、
　ｃ・ｄ＝ｃ・ｂ＝(1/2)ｋ²

(1)
　ＢＣ・ＡＤ＝(ｃ－ｂ)・ｄ
　＝ｃ・ｄ－ｂ・ｄ
　＝(1/2)ｋ²－(1/2)ｋ²＝０
よって、ＢＣ⊥ＡＤ

(2)
△ＡＣＤにおいて、
　ＡＣ＝ＡＤ＝ｋ
　cos∠ＣＡＤ＝(ＡＣ・ＡＤ)／(|ＡＣ|・|ＡＤ|)＝1/2
よって、∠ＣＡＤ＝60° となり、△ＡＣＤは正三角形。
よって、ＣＤ＝ｋとなり、四面体ＡＢＣＤは、すべての辺の長さが
等しいので、正四面体である。

以上です。

（太字はベクトルを表します)

No.19201 - 2012/11/11(Sun) 15:27:53

☆ Re: 空間ベクトル　高２数Bの問題です / mai

ありがとうございます！！
とても勉強になりました(^O^)

No.19203 - 2012/11/11(Sun) 17:25:34

★ 整数の性質 / 犬好きオヤジ

連続する6個の奇数をとると、必ず互いに素でない2つの数が存在することを示せ。
という問題で、6個の連続する奇数の中に必ず3の倍数が2つ以上存在することは理解できるのですが、それをどう表現して証明すればよいのかわかりません。どうぞよろしくお願い致します。

No.19195 - 2012/11/10(Sat) 18:41:59

☆ Re: 整数の性質 / らすかる

連続する6個の奇数のうちで最小の奇数を3で割った余りで分類すると
最小の奇数が 3k のとき 3k,3k+2,3k+4,3k+6,3k+8,3k+10 なので 3k と 3k+6 はともに3の倍数
最小の奇数が 3k+1 のとき 3k+1,3k+3,3k+5,3k+7,3k+9,3k+11 なので 3k+3 と 3k+9 はともに3の倍数
最小の奇数が 3k+2 のとき 3k+2,3k+4,3k+6,3k+8,3k+10,3k+12 なので 3k+6 と 3k+12 はともに3の倍数
よっていずれの場合でも互いに素でない2つの数が存在する。

No.19196 - 2012/11/10(Sat) 19:35:42

☆ Re: 整数の性質 / 犬好きオヤジ

とてもわかり易い解説、ありがとうございました。

No.19205 - 2012/11/12(Mon) 16:15:38

★ 高3 相加平均と相乗平均の関係 / ktdg

長さが1の線分ABを直径とする半円の弧AB上を点Pが動くとき、1/3AP+√3/BPの最小値を求めよ。

AP>0,BP>0なので、相加平均と相乗平均の関係から、1/3AP+√3/BP≧2√(1/√3APBP)
よって、AP×BPが最大となるとき、1/3AP+√3/BPは最小となる。
AP=xとおくと、三平方の定理から、BP=√(1-x^2) (0<x<1)
よってAPBP=√(x^2-x^4)
x^2-x^4=f(x)とおき増減をしらべると、x=1/√2で最大値1/4をとる。
従ってAPBPの最大値は1/2で、このとき1/3AP+√3/BPは最小値2√(2/√3)をとる。

答えは8/3です。どこが間違っているのか教えてください。

No.19191 - 2012/11/10(Sat) 14:05:47

☆ Re: 高3 相加平均と相乗平均の関係 / angel

> 相加平均と相乗平均の関係から、1/3AP+√3/BP≧2√(1/√3APBP)

これは正しいです。しかし、

> よって、AP×BPが最大となるとき、1/3AP+√3/BPは最小となる。

ここが間違いです。なぜならば、元の相加平均・相乗平均の不等式の等号成立と、AP×BP最大とが同時に成立する保証がないからです。
※もちろん、同時に成立するなら、それをもって「最小値」と言えるのですが。

なので、今回のようにAP×BPが変化する状況で、相加平均・相乗平均の関係を使うのは、あまり上手くいかない方法だと思った方が良いです。

ではどう解くかというと…。
三角関数を使って、微分で増減を調べれば取り敢えず解けますね。他の方法は今のところ思いつきません。

No.19192 - 2012/11/10(Sat) 14:36:17

☆ Re: 高3 相加平均と相乗平均の関係 / ktdg

よくわかりました。
ありがとうございます。

No.19194 - 2012/11/10(Sat) 18:05:58