[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 空間ベクトル　高２数Bの問題です / mai
わかりません(>_<)お願いします。

四面体ABCDにおいて、△ABCと△ABDは正三角形であり、ACとBDは垂直である。次のことをベクトルを用いて証明せよ。

(1)BCとADも垂直である。

(2)四面体ABCDは正四面体である。
No.19197 - 2012/11/11(Sun) 14:10:31
☆ Re: 空間ベクトル　高２数Bの問題です / ヨッシー
ｂ＝ＡＢ、ｃ＝ＡＣ、ｄ＝ＡＤ と置きます。
|ｂ|＝ｋ と置くと、条件より、
|ｃ|＝|ｄ|＝ｋ
ｂ・ｃ＝ｂ・ｄ＝(1/2)ｋ2

また、ＡＣ⊥ＢＤより、
ＡＣ・ＢＤ＝ｃ・(ｄーｂ)
　＝ｃ・ｄーｃ・ｂ＝０
より、
　ｃ・ｄ＝ｃ・ｂ＝(1/2)ｋ2

(1)
　ＢＣ・ＡＤ＝(ｃ−ｂ)・ｄ
　＝ｃ・ｄ−ｂ・ｄ
　＝(1/2)ｋ2−(1/2)ｋ2＝０
よって、ＢＣ⊥ＡＤ

(2)
△ＡＣＤにおいて、
　ＡＣ＝ＡＤ＝ｋ
　cos∠ＣＡＤ＝(ＡＣ・ＡＤ)／(|ＡＣ|・|ＡＤ|)＝1/2
よって、∠ＣＡＤ＝60° となり、△ＡＣＤは正三角形。
よって、ＣＤ＝ｋ となり、四面体ＡＢＣＤは、すべての辺の長さが
等しいので、正四面体である。

以上です。

（太字はベクトルを表します)
No.19201 - 2012/11/11(Sun) 15:27:53
☆ Re: 空間ベクトル　高２数Bの問題です / mai
ありがとうございます！！
とても勉強になりました(^O^)
No.19203 - 2012/11/11(Sun) 17:25:34
★ 整数の性質 / 犬好きオヤジ
連続する6個の奇数をとると、必ず互いに素でない2つの数が存在することを示せ。
という問題で、6個の連続する奇数の中に必ず3の倍数が2つ以上存在することは理解できるのですが、それをどう表現して証明すればよいのかわかりません。どうぞよろしくお願い致します。
No.19195 - 2012/11/10(Sat) 18:41:59
☆ Re: 整数の性質 / らすかる
連続する6個の奇数のうちで最小の奇数を3で割った余りで分類すると
最小の奇数が 3k のとき 3k,3k+2,3k+4,3k+6,3k+8,3k+10 なので 3k と 3k+6 はともに3の倍数
最小の奇数が 3k+1 のとき 3k+1,3k+3,3k+5,3k+7,3k+9,3k+11 なので 3k+3 と 3k+9 はともに3の倍数
最小の奇数が 3k+2 のとき 3k+2,3k+4,3k+6,3k+8,3k+10,3k+12 なので 3k+6 と 3k+12 はともに3の倍数
よっていずれの場合でも互いに素でない2つの数が存在する。
No.19196 - 2012/11/10(Sat) 19:35:42
☆ Re: 整数の性質 / 犬好きオヤジ
とてもわかり易い解説、ありがとうございました。
No.19205 - 2012/11/12(Mon) 16:15:38
★ 高3 相加平均と相乗平均の関係 / ktdg
長さが1の線分ABを直径とする半円の弧AB上を点Pが動くとき、1/3AP+√3/BPの最小値を求めよ。

AP>0,BP>0なので、相加平均と相乗平均の関係から、1/3AP+√3/BP≧2√(1/√3APBP)
よって、AP×BPが最大となるとき、1/3AP+√3/BPは最小となる。
AP=xとおくと、三平方の定理から、BP=√(1-x^2) (0<x<1)
よってAPBP=√(x^2-x^4)
x^2-x^4=f(x)とおき増減をしらべると、x=1/√2で最大値1/4をとる。
従ってAPBPの最大値は1/2で、このとき1/3AP+√3/BPは最小値2√(2/√3)をとる。

答えは8/3です。どこが間違っているのか教えてください。
No.19191 - 2012/11/10(Sat) 14:05:47
☆ Re: 高3 相加平均と相乗平均の関係 / angel
> 相加平均と相乗平均の関係から、1/3AP+√3/BP≧2√(1/√3APBP)

これは正しいです。しかし、

> よって、AP×BPが最大となるとき、1/3AP+√3/BPは最小となる。

ここが間違いです。なぜならば、元の相加平均・相乗平均の不等式の等号成立と、AP×BP最大とが同時に成立する保証がないからです。
※もちろん、同時に成立するなら、それをもって「最小値」と言えるのですが。

なので、今回のようにAP×BPが変化する状況で、相加平均・相乗平均の関係を使うのは、あまり上手くいかない方法だと思った方が良いです。

ではどう解くかというと…。
三角関数を使って、微分で増減を調べれば取り敢えず解けますね。他の方法は今のところ思いつきません。
No.19192 - 2012/11/10(Sat) 14:36:17
☆ Re: 高3 相加平均と相乗平均の関係 / ktdg
よくわかりました。
ありがとうございます。
No.19194 - 2012/11/10(Sat) 18:05:58
★ 三角関数 / 工学部2年
問題
-(sinx)^2+cosx+(cosx)^2=0

xの求め方を教えてください。
よろしくお願いします。
No.19179 - 2012/11/09(Fri) 19:22:41
☆ Re: 三角関数 / X
問題の方程式から
cos2x+cosx=0
2cos(3x/2)cos(x/2)=0
∴cos(3x/2)=0又はcos(x/2)=0
ですので
3x/2=π/2+mπ
又は
x/2=π/2+nπ
(m,nは整数)
よって
x=π/3+2mπ/3,π+2nπ
(m,nは整数)
No.19180 - 2012/11/09(Fri) 20:11:10
☆ Re: 三角関数 / 工学部2年
ありがとうございました。
No.19181 - 2012/11/09(Fri) 20:24:30
☆ Re: 三角関数 / らすかる
別解です。
-(sinx)^2+cosx+(cosx)^2=0
-{1-(cosx)^2}+cosx+(cosx)^2=0
2(cosx)^2+cosx-1=0
(2cosx-1)(cosx+1)=0
cosx=1/2,-1
∴x=(2n+1)π/3
No.19183 - 2012/11/09(Fri) 21:07:24
★ ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア
対象学年　無所属
→はベクトルを表し、
Ｅは単位行列を、λは固有値など
とします

行列Ａ
-1,1,2
0,-1,0
0,0,-1
のｎ乗を求めたいのですが

Ａ−λＥ＝Ｔとおくと
△Ｔ＝０⇔λ＝−１
λ＝−１のときのＴをＴ１とおくと
Ｔ１（→ｘ）＝→０
→ｘ＝（α１、α２、α３）とすると
α２＝−２α３より
→ｘ＝（ｋ、-2L、L)（ｋ、Ｌ）は（０，０）以外の任意定数
より→ｘ＝（０、−２，１）とする

次に
Ｔ１（→ｘ１）＝→ｘ・・※
→ｘ１＝（β１、β２、β３）とすると
β２＝−２β３
まではいいのですが、
※の両辺を比較すると
０＝−２
０＝１となってしまいます
これは一体何故なのでしょうか？
どこで間違ってしまったのでしょうか。
独学ゆえに誰にも聞けずに困っています。
どなたかお助けください。よろしくお願いします
No.19175 - 2012/11/08(Thu) 23:44:12
☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア
どんな行列でもジョルダン標準形に出来るわけではないのですか？またその場合Ａのｎ乗はどのようにして求めればよいのでしょうか？
No.19182 - 2012/11/09(Fri) 20:54:36
☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア
行列は見た目どおりに表記しています
（１，２）成分は１
（１，３）成分は３という風に
No.19184 - 2012/11/09(Fri) 21:11:27
☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア
行列は見た目どおりに表記しています
（１，２）成分は１
（１，３）成分は２という風に
No.19185 - 2012/11/09(Fri) 21:12:16
☆ Re: ジョルダン標準形 / angel
ジョルダン標準形については、次のサイトが分かりやすいと思います。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/lin0.html

で、今回の場合、
　Ｔ1・ｘ = ｏ
なるベクトルｘを求める所で、
　ｘ=t(1 0 0),t(0 -2 1)
　※tは転置-transposed-のこと。単に縦のベクトルが書けないので横書きにするため、tを添えています
の二次元分の解が見つかります。
なので、Ｔ1・ｙ=α・t(1 0 0) もしくは Ｔ1・ｙ=α・t(0 -2 1) のいずれかを解くことになります。( αは非ゼロの任意の数 )
この時点ではどちらが解けるか分かりませんが、計算すると前者の方で ｙ=t(0 p q) ( p,qは任意 ) という解が見つかります。p,qの組は(0,0)以外なら何でも良いのですが、既に見つかっているベクトルと直交するモノの方が計算し易いことを考えると、ｙ=t(0 1 2) を選ぶのが良さそうです。
No.19187 - 2012/11/10(Sat) 01:54:11
☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア
そのサイトは知っていますが、どうも私の知っているジョルダン標準形の求め方と全く違うようなので、まず今知ってるとき方ができるようになってから挑戦したいと思います。

行列Ａ
-1,1,2
0,-1,0
0,0,-1

Ａ−λＥ＝Ｔとおくと
△Ｔ＝０⇔λ＝−１
λ＝−１のときのＴをＴ１とおくと
Ｔ１（→ｖ１）＝→０・・?@
→ｖ１＝（α１、α２、α３）とすると
α２＝−２α３より
→ｖ１＝ｋ（１、０，０）＋Ｌ（０，-2、１)
で、
（１，０，０）、（０、−２、−１）はともに?@の式を満たし一次独立（に偶然なることが知られている）ので
→ｖ＝（１，０，０）または→ｖ＝（０，ー２、１）
であり
ｖ１＝（１，０，０）、ｖ２＝（０，２、−１）とすると
次に
Ｔ１（→ｖ３）＝→ｘ（→ｘ＝→ｖ２か→ｖ１のどっちか）・・※
→ｖ３＝（β１、β２、β３）とすると
β２＝−２β３
→ｘ＝→ｖ２として※の両辺を比較すると
０＝−２
０＝１となって矛盾するので
→ｘ＝→ｖ１
よって→ｖ３＝m(1,0,0)+n(0,1,0)となり
→ｖ３＝（１，０，０）or(0,1,0)
変換行列Ｐ＝（→ｖ２　→ｖ１　→ｖ３）
＝
0,1,●
2,0、●
-1,0、●

Ｐ^(-1)AP=
-110
0-11
00-1

上記の●がわかりません（つまりｖ３は（１，０，０）or(0,1,0)のどちらを採用したらいいのか分かりません）

よろしくおねがいします
No.19188 - 2012/11/10(Sat) 12:06:47
☆ Re: ジョルダン標準形 / angel
んー。やっている計算は変わらないはずですけどね…。
ひょっとして最小多項式云々の話の所でしょうか。それは「ジョルダン標準形がどのような形になるか」を調べるためにやっている所なので、変換行列を実際に求める話とはちょっと別ですね。でもとても重要な所です。
独学で行き詰ったのであれば、しっかりそのサイト ( 別の所でも良いけれど ) の内容をまず読み解いてからの方が良いと思いますけど。

で、ご質問の内容ですが、
> 上記の●がわかりません（つまりｖ３は（１，０，０）or(0,1,0)のどちらを採用したらいいのか分かりません）

まず計算間違いです。悩むならせめて (0,1,0) or (0,0,1) のはずです。
で、これについては既に書いたとおり

> 計算すると前者の方で ｙ=t(0 p q) ( p,qは任意 ) という解が見つかります。p,qの組は(0,0)以外なら何でも良いのですが、既に見つかっているベクトルと直交するモノの方が計算し易いことを考えると、ｙ=t(0 1 2) を選ぶのが良さそうです。

となります。
※p:q=-2:1 の組もダメなのは先ほどは触れていませんでした。申し訳ありません。

それから、最終的に得られるジョルダン標準形が違います。
　-1 1 0
　0 -1 1
　0 0 -1
ではなくて
　-1 0 0
　0 -1 1
　0 0 -1
になります。( 変換行列 P=(v2 v1 v3) とした場合 )
この理由は、それこそ最初に挙げたサイトで説明してあります。
No.19190 - 2012/11/10(Sat) 13:57:05
☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア
回答有難う御座います

ｖ３の計算はあっていると思いますが
Ｔ１（→ｖ３）＝→ｖ１を解くと
自由度２かつβ２＋２β３＝１だから
→ｖ１＝ｍ（１，０，０）＋ｎ（０，１，０）（β3＝０とするとβ２＋２・０＝１）
だから（１，０，０）か（０，１，０）が固有ベクトルとして変換行列に使える。しかしどちらを使ったらよいのか、あるいはどちらでもよいのか、という話です。

なるほど一度に固有値が二つでるパターンではジョルダン標準形は
-1 0 0
0 -1 1
0 0 -1
になるようですね
No.19193 - 2012/11/10(Sat) 15:00:04
★ 間違えました / 中1
三角形ＣＥＦは６０?p2で∠ＦＣＥが６０°だったときの面積でした。

すみませんでした。
No.19167 - 2012/11/08(Thu) 20:19:50
☆ Re: 間違えました / X
次回から、同じ問題に関連するレスはその問題のスレの
返信ボタンを押してからアップするようにしましょう。

それで一つ質問しますが、この問題を中学１年生が
理解できる計算で解きなさい、と言うことですか？。
No.19169 - 2012/11/08(Thu) 21:22:43
☆ Re: 間違えました / 中1
だいたいそういうことです。
三角関数とかはたぶんダメだと思います。
No.19170 - 2012/11/08(Thu) 21:35:41
☆ Re: 間違えました / ヨッシー


図だけですが、これでわかりますかね？

答えは120cm^2 です。
No.19171 - 2012/11/08(Thu) 21:46:46
☆ Re: 間違えました / 中１
やっとわかりました。ありがとうございます。
No.19173 - 2012/11/08(Thu) 22:29:09
★ (No Subject) / 中1
六角形ABCDEFがあり、角度は∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F
(全て１２０°)
AB=BC=CD　AF=DE
三角形CEFの面積は６０cm2のとき全体の面積はいくらですかというう問題が分かりません。
どうやって解けばいいのでしょうか。
図
　　　Ａ　　　Ｆ
　　　　−−−
　　　／　　　＼
　　／　　　　　＼
　／　　　　　　　＼
Ｂ＼　　　　　　　／　Ｅ
　　＼　　　　　／　　　　　
　　　＼＿＿＿／
　　　Ｃ　　　Ｄ
実際はこんな図ではありません。
No.19163 - 2012/11/08(Thu) 17:26:14
☆ Re: / IT
問題は合っていますか？
「全体の面積」とは「六角形ABCDEFの面積」のことですよね？

「三角形CEFの面積」に対して「六角形ABCDEFの面積」は一定の割合にならないような気がしますが？
No.19165 - 2012/11/08(Thu) 18:57:58
★ (No Subject) / ｃｐ８
ジョルダン標準形にした行列があるのですが、それのｎ乗ってのはどうやって求めればいいのでしょうか？
No.19157 - 2012/11/07(Wed) 21:49:28
☆ Re: / ｃｐ８
行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（二つ目のλ１の上の成分は１）
行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（２つの目のλ１の上、λ２の上の成分が１）
の２パターンについて教えてください。
行列の説明はＰＣ上ではかなりやりにくいとは思いますがよろしくお願いします
No.19168 - 2012/11/08(Thu) 21:19:14
☆ ジョルダン標準形のn乗 / angel
行列を文字で表すのは難しいので、行列の数式を図にして添付しました。そちらと見比べながら読んでください。

で、結局のところ、ジョルダン標準形は「ジョルダンセル」の直和なので、そのn乗はそれぞれのジョルダンセルのn乗の直和になります。これは添付の数式の(1)を見た方が早いですね。

そうすると、ジョルダンセルのn乗がどうなっているか、そこさえ分かれば後はつなげるだけで良い訳です。ジョルダンセルのn乗の例としては、添付の数式の(2)があります。
そうすると、cp8さんの挙げた最初のパターンについては、添付の数式(3)で計算できることが分かります。
※後のパターンは、そもそもジョルダン標準形になっていないように見えるので、今回は割愛しました。

最後に。ではジョルダンセルのn乗の一般形は、というところを計算すると、添付の数式(4)のようになるはずです。なぜこうなるかは、実際に計算して、帰納法で確かめてみてください。
ちなみに、数式中のJ(λ,k)というのは k次正方行列のジョルダンセルを表しています。
なお、この結果は n≧k-1 の場合に成立することに注意してください。nが小さい場合は、右上の方に0の要素が残る結果になります。
No.19189 - 2012/11/10(Sat) 12:36:39
★ 微分 / 工学部2年
問題
3次方程式x^3-3x^2-9x+a=0が異なる2つの正の解をもつような定数aの値の範囲を求めよ。

答え
0<a<27
No.19154 - 2012/11/07(Wed) 19:08:21
☆ Re: 微分 / 工学部2年

解説よろしくお願いします。
No.19155 - 2012/11/07(Wed) 19:12:17
☆ Re: 微分 / X
方針を。
f(x)=x^3-3x^2-9x+a
と置くと
f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴f(x)は
極大値f(-1)=a+5
極小値f(3)=a-27
を取ります。
従ってy=f(x)のグラフとx軸との交点との関係
(グラフを描きましょう)から条件を満たすためには
f(3)＜0かつf(0)＞0
となります。
No.19156 - 2012/11/07(Wed) 20:37:26
☆ Re: 微分 / 工学部2年
すみません、よくわかりません。
No.19158 - 2012/11/07(Wed) 22:33:42
☆ Re: 微分 / ヨッシー
>グラフを描きましょう
と書かれているので、グラフを描きましょう。
ｘ＝−１で極大、ｘ＝３ で極小です。
あとは、ａの値によって、グラフは上下しますが、
極値を与えるｘの値は同じです。

条件をみたすのは、何番と何番と何番ですか？
No.19160 - 2012/11/08(Thu) 09:24:57
☆ Re: 微分 / 工学部2年
2.3.4ですか？
まだいまいち理解できません。
No.19161 - 2012/11/08(Thu) 15:02:34
☆ Re: 微分 / X
条件を満たすにはy=f(x)のグラフがx軸のx＞0の部分で
２箇所交点を持つ必要があります。
とするとヨッシーさんの図のうち何番が該当しますでしょうか？。
No.19162 - 2012/11/08(Thu) 17:15:28
☆ Re: 微分 / 工学部2年
それですと3だけになりませんか？
No.19164 - 2012/11/08(Thu) 18:02:09
☆ Re: 微分 / X
その通りです。そのグラフとNo.19156の私の回答をつき合わせて
もう一度考えてみて下さい。
No.19166 - 2012/11/08(Thu) 20:14:52
☆ Re: 微分 / 工学部2年
すこし勘違いをしていましたがおかげさまでやっと理解できました。
ありがとうございます。
No.19172 - 2012/11/08(Thu) 22:24:37
★ すみません、教えて下さい / ゆうゆう
お世話になります。次の問題の解き方と、答えの書き方を教えて下さい。よろしくお願い致します。

・2次方程式x~-6x+(2k+1)=0の会を判別しなさい。
　ただし、kは定数とする。
No.19152 - 2012/11/07(Wed) 14:16:26
☆ Re: すみません、教えて下さい / ヨッシー
「判別しなさい」ですから、使うのは判別式ですよね？
この二次方程式の判別式は書けますか？
No.19153 - 2012/11/07(Wed) 15:34:03
☆ Re: すみません、教えて下さい / ゆうゆう
はい、わかりました。
すみません、これでやってみます。

またよろしくお願い致します。
No.19174 - 2012/11/08(Thu) 23:18:49
★ (No Subject) / a
現在大学工学部2年生のものですわからない問題があるので解説よろしくお願いします。

問題
2曲線y=2x^2,y=x^2+1で囲まれる部分のうち、2直線y=a,y=a+1の間にある部分をy軸の周りに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。V(a)を求めよ。ただし−1<a<2

答え
-1<a<0のとき{π(a+1)^2}/4
0≦a<1のとき{π(-2a^2+2a+1)}/4
1≦a<2のとき{π(a-2)^2}/4
No.19141 - 2012/11/06(Tue) 19:15:22
☆ Re: / ヨッシー
y=a,y=a+1 と放物線の交わり方で、以下の３通りに分けます。


(1) -1＜a＜0 のとき
求める体積は　ｙ＝2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝０からｙ＝ａ＋１ まで積分したものなので、
　(π/2)∫[0〜a+1]ｙｄｙ＝{π(a+1)^2}/4

(2) 0≦a＜1 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝ａ＋１ まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝１からｙ＝ａ＋１ まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a〜a+1]ydy−π∫[1〜a+1](y-1)dy
　　＝{π(-2a^2+2a+1)}/4

(3) 1≦a＜2 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝２ まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝ａからｙ＝２ まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a〜2]ydy−π∫[a〜2](y-1)dy
　＝{π(a-2)^2}/4

となります。
No.19143 - 2012/11/06(Tue) 19:55:01
☆ Re: / a
ありがとうございます。
理解できました。
No.19144 - 2012/11/06(Tue) 20:37:10
★ 数学 / じゃむ
1<x<2aが2a＋b≦x≦b＋16であるための必要条件となるときア<a≦イ、ウa＋エ<b<オa-カが成り立つ。

(1<x<2aのxの集合)⊃(2a+b≦x≦b+16のxの集合)が成り立つので包含関係に注意して数直線を描くと
2a+b>1かつb+16<2aとならないといけないことがわかりました。
ですがこれだけでは不十分ですよね？
答えをみると2a+b≦b+16をいっているのですがなんでなのかわかりません。
誰か分かる方教えて下さいよろしくお願いします。
No.19139 - 2012/11/06(Tue) 16:36:38
☆ Re: 数学 / ヨッシー
例えば、
　３≦ｘ≦１
なんて不等式はおかしいですよね？
No.19142 - 2012/11/06(Tue) 19:29:43
☆ Re: 数学 / じゃむ
回答ありがとうございます。
補足です。
問題文に
2a+b≦x≦b+16とある以上2a+b≦b+16は自明のような気がするのですがわざわざ2a+b≦b+16をいわないといけないんでしょうか？
No.19148 - 2012/11/07(Wed) 00:30:25
☆ Re: 数学 / ヨッシー
これ、答えは何ですか？
No.19149 - 2012/11/07(Wed) 06:35:47
☆ Re: 数学 / angel
…これは、問題に不備があるか、何か条件が追加であるのではないでしょうか?
素直に解くと、答えは
　a＞8 or -2a+1＜b＜2a-16
になるはずですが、問題文の形を見ると
　17/4＜a≦8 and -2a+1＜b＜2a-16
を答えさせようとしている風に見えますから。

なお、

> 例えば、
> 　３≦ｘ≦１
> なんて不等式はおかしいですよね？

これは別におかしくないです。ただ、その不等式を満たす x が存在しないだけです。

> 問題文に 2a+b≦x≦b+16とある以上2a+b≦b+16は自明のような気がするのですがわざわざ2a+b≦b+16をいわないといけないんでしょうか？

自明ではありません。だからといって2a+b≦b+16を言えば良いかというと、そうではありません。
2a+b≦b+16 の場合と、その逆 2a+b＞b+16 の場合を分けて考える必要があります。
No.19159 - 2012/11/08(Thu) 00:13:14
☆ Re: 数学 / じゃむ
返信遅れてごめんなさい。
立命館大学の文系数学の問題で
問題と解答が以下のURL先にありますのでお手数ですがご覧ください。
http://dl.dropbox.com/u/56741990/index/data/立命館大-2012-8.pdf/

数日たった今もいまいち釈然としません・・・
No.19178 - 2012/11/09(Fri) 11:26:14
☆ Re: 数学 / angel
問題・解答を拝見しました。
やはりこれは問題の不備ですね。問題文に
「なお、a,b は 2a+b≦b+16 を満たすものとする」
という一文を付け加えれば、元の解答のままでO.K.です。

ではなぜ「不備」かと言うと、a＞8 のケースが答えに含まれることを見落としているから、となります。
今回、条件A ( 1＜x＜2a ) が条件B ( 2a+b≦x≦b+16 ) の必要条件となる、すなわち B⇒A が成立する a,b を調べています。これは解答の解説にもある通り、
　(条件Aを満たすxの集合)⊃(条件Bを満たすxの集合)
と等価です。

ここで a＞8 のケースを考えてみましょう。
条件Bを満たすxは存在しませんから、(条件Bを満たすxの集合)というのは空集合φです。なので、
　(条件Aを満たすxの集合)⊃φ=(条件Bを満たすxの集合)
は十分に成立します。
ということは、a＞8 ( bは任意 ) という組は答えに含まれるということですね。
なので、元の問題文のままだと「a＞8 or -2a+1＜b＜2a-16」が答えになってしまうのです。が、これだと後続の問題と整合性が取れなくなりますし、出題者の本意ではないのでしょう。

最後に。
「『2a＋b≦x≦b＋16』という表現がある時点で、2a+b≦b+16 は自明ではないか?」という疑問はありうるかもしれません。
※あたかも、例えば「√xという表現がある時点で x≧0 は自明だ」と同じであるかのように。

確かに、p≦q かつ q≦r ( まとめて p≦q≦r ) ならば、推移律という性質から p≦r も成立するのですが…。そもそも a＞8 の場合、2a+b≦x, x≦b+16 の両方が成立する x が存在しないのですね。2a+b≦x かつ x≦b+16 が常に不成立なのですから、2a+b≦b+16 の成立は言えない、ただそれだけのことです。
No.19186 - 2012/11/10(Sat) 01:34:19
★ 確率が分からなくて困ってます / ようすけ
AとBが3ゲーム先取の試合をする、先に3ゲーム勝ったほうを試合の勝者とし試合を終了する。
ゲームで勝つ確率はA,Bともに等しく引き分けの確率はpである。

とあるのですがAが勝つ確率は1/3じゃないんですか？
Aが勝つorAが負けるor引き分けの3通りのうちAが勝つ事象は1通りなので1/3としてしまったのですが・・・
誰か教えて下さい。よろしくおねがいします。
No.19129 - 2012/11/05(Mon) 14:43:39
☆ Re: 確率が分からなくて困ってます / らすかる
「ゲームで勝つ確率はA,Bともに等しく引き分けの確率はpである」
と書いてありますから、
(Aが勝つ確率)+(Bが勝つ確率)=1-p
2(Aが勝つ確率)=1-p
∴(Aが勝つ確率)=(1-p)/2
となりますね。
3通りだから1/3ずつとは限りません。
No.19130 - 2012/11/05(Mon) 14:46:27
★ 四面体 / かれん
AB=AC=1、BC=xの・ABCの3辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL、M、Nとし、線分LM、MN、NLを折り目として3頂点A、B、Cが1点Pで重なるように折り曲げ、四面体PLMNを作り、その体積Vをとする。
xが変化するときのVの最大値を求めよ。

底面積が?儉MN=x√(4-x^2)/16になるのはわかりましたが、四面体の高さをどうやって求めるのかが分からないです。特徴ある形をしているので、きれいに求める方法がありそうですが見つからないです。
あとxの定義域は?儉MNの成立条件を考えるだけでよいでしょうか。四面体の成立条件みたいなものがあるんでしょうか。よろしくお願いします。
No.19128 - 2012/11/05(Mon) 02:22:17
☆ Re: 四面体 / ヨッシー

ＭＮの中点をＤとします。
△ＰＤＬにおいて、ＤＬを底辺とした時の高さが、
四面体ＰＬＭＮにおいて、△ＬＭＮを底面とした時の高さと
等しくなります。

四面体の成立条件は、∠ＢＮＬ が 90°以上になると、
ＬＮを折っても、ＢがＡにくっつかないので、ｘ＝√2 未満
でなければいけません。
No.19131 - 2012/11/05(Mon) 14:55:18
☆ Re: 四面体 / ヨッシー
ＡＬ＝√(4-x^2)/2
ＡＤ＝√(4-x^2)/4
△ＰＤＬは、３辺が √(4-x^2)/4, √(4-x^2)/4, x/2 の三角形。
ＰＬの中点をＥとすると、ＰＥ＝x/4
　ＤＥ^2＝ＰＤ^2−ＰＥ^2
　　＝(4-x^2)/16−x^2/16＝(4-2x^2)/16
　ＤＥ＝√(4-2x^2)/4
よって、
　△ＰＬＤ＝(1/2)(x/2){√(4-2x^2)/4}＝x√(4-2x^2)/16
これより、求める高さは、
　x√(4-2x^2)/16×2÷{√(4-x^2)/4}＝x√(4-2x^2)/2√(4-x^2)
また、四面体ＰＬＭＮの体積Ｖは
　Ｖ＝(1/3)x√(4-x^2)/16×x√(4-2x^2)/2√(4-x^2)
　　＝x^2√(4-2x^2)/96

f(x)＝x^2√(4-2x^2) とおくと、
　f'(x)＝2x√(4-2x^2)−2x^3/√(4-2x^2)
　　＝{2x(4-2x^2)−2x^3}/√(4-2x^2)
　　＝x(8−6x^2)/√(4-2x^2)
よって、f'(x)＝0 の解は、ｘ＝0, ±2/√3

増減表は省略しますが、０＜ｘ＜√2 では、ｘ＝2/√3 で最大となります。
No.19135 - 2012/11/05(Mon) 17:15:38
☆ Re: 四面体 / かれん
とてもお詳しく教えてくださってありがとうございました。解き方はとてもよくわかりました。

xの定義域についてもう一つ質問させてください。

＞四面体の成立条件は、∠ＢＮＬ が 90°以上になると、
ＬＮを折っても、ＢがＡにくっつかないので、ｘ＝√2 未満
でなければいけません。

折り紙で試してみたんですがくっついてしまいます^^;
ヨッシー様はどうやって∠BNLが90°以上の時はBとAがくっつかないことを見抜いたんでしょうか？方法を教えてください。お願いします。
No.19140 - 2012/11/06(Tue) 17:53:25
☆ Re: 四面体 / ヨッシー
∠ＢＮＬが90°の時、ＮＬを折って、点Ｂを点Ａにくっつけようとすると、
平面としてはくっつきますが、ＭＮを少しでも折ると、くっつかなくなります。


図は、∠ＢＮＬ＝100°の場合ですが、このとき∠ＡＮＬ＝80°です。
ＭＮを折ると、∠ＡＮＬはさらに小さくなって、ここに
∠ＢＮＬ＝100°が納まることは出来ないです。
No.19145 - 2012/11/06(Tue) 21:49:20
☆ Re: 四面体 / かれん
何度も本当に申し訳ございませんが、BN=ANなのですからBとAはNから等距離にあるのだからくっつけることができる気がしてしまいます。折り紙ではなぜかくっついてしまいます。図を見ればくっつかないのは簡単に分かってしまうものなんでしょうか？何か理解しやすい理屈はないものでしょうか？
No.19146 - 2012/11/06(Tue) 23:44:06
☆ Re: 四面体 / ヨッシー

図は、∠BNL=100°の図で、ＬＮ，ＬＭ を折ったところです。
上（この図を見ている方向）から見たとき、
点Ｂは、ＢＢ’上を動きます。点ＣはＣＣ’上を動きます。
点Ｂが点Ｂ’に、点Ｃが点Ｃ’に来たときに、完全に２つ折りになってしまします。
この間、点Ｂは点Ｃとくっつきませんし、点Ａが通るＡＬ上にも
達しないので、点Ａともくっつきません。

もし、折り紙でくっついたというのなら、∠ＢＮＬが90°未満か、
折り目が正しくないかです。


No.19147 - 2012/11/07(Wed) 00:22:08
☆ Re: 四面体 / かれん
∠ＢＮＬ＝90°のときはＢはＢＡを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動き、ＡはＡＬを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動くので、2円がＡでしか交わらないので、このときはＢとＡが交わらない気がしてきました。

下の図を見ていて思いましたが、∠ＢＮＬが鈍角の場合、Ｂは辺ＡＢの外を動き、ＡはＡＬを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動くので、くっつきようがない気がしてきました。
ＢがＢＢ’上を動くというのは、Ｂが辺ＡＢに対して?凾`ＢＣの外を動くといったようなことをおっしゃていたのでしょうか？こんな理解でよいでしょうか？
No.19150 - 2012/11/07(Wed) 10:56:03
☆ Re: 四面体 / ヨッシー
そういう理解でいいと思います。

点Ｂは点Ｂ’に至るまで、実際は円弧状を動きますが、
△ＡＢＣと垂直な方向から見ると、直線（線分）上を
動くように見えます。
同様に点ＡはＡＬ上を動くのですが、図からわかるように
両者は交わりません。（＝点Ａと点Ｂはくっつかない）

また、点Ｌ付近に着目すると、
∠ＮＬＢと∠ＭＬＣを足しても、∠ＮＬＭに足りません。
よって、ＮＬ，ＭＬで、折っても、辺ＢＬ，ＣＬはくっつくことなく
180°回ってしまいます。
そういう意味では、１頂点に集まる３つの角について、
三角不等式のようなものが成り立ち、これが四面体の
存在条件といっても良いでしょう。（実際そういうのかも）
No.19151 - 2012/11/07(Wed) 11:13:15
★ 極限 / ハル
すみません💦
タイトル忘れていました
No.19126 - 2012/11/04(Sun) 21:36:18
★ (No Subject) / ハル
x≧0において、関数f(x)=(e^-x)/2を考える。
⑴x≧0において、ｆ(x)の導関数の絶対値の最大値を求めよ。
⑵方程式x=ｆ(x)は、0<x<1にただひとつだけの解を持つことを証明せよ
⑶数列{xn}をx1=0,xn+1=f(xn)と定める。
⑴の最大値をK,⑵の解をαとするとき、|xn+1−α|≦K|xn−α|が成り立つことを示し、リミット【n→∞】xn=αを証明せよ

どうも⑵から方針がたちません
教えてほしいですf^_^;)
No.19125 - 2012/11/04(Sun) 21:35:24
☆ Re: / ヨッシー

ですか？
No.19132 - 2012/11/05(Mon) 15:06:28
☆ Re: / ハル
>
> ですか？

そうです（;￣O￣）
わかりづらくてすみません💦
No.19133 - 2012/11/05(Mon) 16:32:44
☆ Re: / X
(1)
こちらの計算では1/2となりました。

(2)
g(x)=(1/2)e^(-x)-x
と置くと
g'(x)=-(1/2)e^(-x)-1＜0
∴g(x)は単調減少 (A)
又
g(0)=1/2＞0 (B)
g(1)=-1/2＜0 (C)
(A)(B)(C)から中間値の定理により方程式g(x)=0は
0＜x＜1の間に只１つの解を持つので問題の命題は
成立します。
No.19137 - 2012/11/06(Tue) 12:22:23
☆ Re: / X
(3)
前半)
条件から
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|=|{f(x[n])-f(α)}/(x[n]-α)|
ここでf(x)は微分可能ですので平均値の定理により
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|=|f'(c)|
(α＜x[n]のときα＜c＜x[n],x[n]＜αのときx[n]＜c＜α)
なるcが存在します。 (P)
ここでn≧2のとき
x[n]=f(x[n-1])＞0
これとx[1]=0であることからn≧1に対し
x[n]≧0 (A)
又
α=f(α)＞0 (B)
(A)(B)(P)より
c＞0
ですので(1)の結果により
|f'(c)|≦K=1/2 (C)
(P)(C)より
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|≦1/2
∴|x[n+1]-α|≦(1/2)|x[n]-α|
後半)
前半の結果とはさみうちの原理を使います。
No.19138 - 2012/11/06(Tue) 12:58:31
★ 極限 / 飛沫
nを自然数とする。3次方程式 2x^3+3nx^2−3(n+1)=0…?@
についてつぎの問いに答えよ。
⑴自然数nの値に関わらず方程式?@は正の解をただひとつだけ持つことを証明せよ。
⑵方程式?@の正の解をanとする。このとき、極限値リミットan【n→∞】を求めよ。
No.19122 - 2012/11/04(Sun) 14:07:58
☆ Re: 極限 / ペンギン
方針を示しておきます。

(1)f_n(x)=2x^3+3nx^2−3(n+1)と置きます。
すると、f_n'(x) > 0(x>0)となるので、x>0でf_n(x)は単調増加です。
また、f_n(0) < 0なので、f_n(x)のグラフはy = 0とx>0において、一点で交わります。
よって、x>0において、f_n(x)=0はただ１つの解をもちます。

(2)f_n(2)>0となることを示すことができます。
よって、すべてのnに対し、0<an<2となります(*)

f_n(an)=0を整理すると、
3n(an^2 - 1) + 2an^3 - 3 = 0 (**)

(*)から、|2an^3 - 3| < 15(15でなくても適当な数で構いません)

(**)と合わせて

|an^2 - 1|<5 / n

n→∞で、右辺は0になるので、an→1です。
No.19123 - 2012/11/04(Sun) 17:36:39
★ 整数問題？ / しましま
(a^2+b^2+c^2+d^2)/2の式で全ての自然数を表すことは可能でしょうか。できれば高校までの範囲で理解できるように解答いただけると助かります。よろしくお願いします。
No.19118 - 2012/11/04(Sun) 08:24:32
☆ Re: 整数問題？ / ヨッシー
ａ＝√(2n)　ｂ＝ｃ＝ｄ＝０ で、任意の自然数ｎが表せます。
多分、そういうことではないと思いますが。
No.19119 - 2012/11/04(Sun) 08:30:51
☆ Re: 整数問題？ / しましま
質問者です。申し訳ありません。条件が抜け落ちていました。a,b,c,dは全て０以上の整数です。
No.19121 - 2012/11/04(Sun) 09:02:58
☆ Re: 整数問題？ / IT
可能のようです。高校の範囲で理解可能かは分かりませんが
「四平方の定理」で検索してみて下さい（下記など）
「任意の自然数は４つ以内の平方数の和で表せる」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
質問は２の倍数の場合と考えられます。
その場合、より簡単な証明があるかは分かりません。
No.19127 - 2012/11/04(Sun) 23:31:24
★ (No Subject) / ggb
グラフの漸近線を求める公式の覚え方、というか導き方が分かりません。
lim（ｘ→±∞）{f(x)-(ax+b)}＝０
だとax+bが漸近線ですが、いきなりaとｂを求めるのではなく、a,bを別々に求める公式です。
No.19115 - 2012/11/03(Sat) 20:28:09
☆ Re: / angel
逆に考えてみます。

もし lim[x→+∞] ( f(x)-(ax+b) ) = 0 が成立するとしたら。

　lim[x→+∞] ( f(x)-(ax+b) ) = 0
　⇔ lim[x→+∞] ( f(x)-ax ) = b
　⇒ lim[x→+∞] ( f(x)-ax )/x = 0
　⇔ lim[x→+∞] ( f(x)/x - a ) = 0
　⇔ lim[x→+∞] f(x)/x = a

というわけで、
　a = lim[x→+∞] f(x)/x
　b = lim[x→+∞] ( f(x)-ax )
と求めます。ただし、もちろんのことながら、極限が存在するなら、です。
例えば f(x)=x^2 ( 放物線 ) の場合だと、f(x)/x が発散しますから、そもそも a が求められません。なので漸近線もありません。
また、a が計算できたとしても、例えば f(x)=sinx のように、
　lim[x→+∞] sinx/x = 0
　lim[x→+∞] sinx - 0・x … 収束せず
ということで b の方が求まらず、漸近線がないケースもあります。
No.19116 - 2012/11/04(Sun) 00:56:53
★ 高3 極限 / ktdg
(1)2以上の自然数nにたいして次の不等式を証明せよ。
nlog(n)-n+1<log(n!)<(n+1)log(n+1)-n

(2)lim[n→∞]{log(n!)}/{nlog(n)-n}を求めよ。

お願いします。
No.19109 - 2012/11/02(Fri) 16:20:32
☆ Re: 高3 極限 / X
(1)
面積比較により
∫[1→n]logxdx＜Σ[k=1〜n]logk＜∫[1→n]log(x+1)dx
左辺、右辺の積分を計算して
nlogn-n+1＜logn!＜(n+1)log(n+1)-n
No.19110 - 2012/11/02(Fri) 16:34:48
☆ Re: 高3 極限 / ktdg
回答ありがとうございます。
「面積比較により」というのは、図を書いて説明したりする必要はありますか?
(2)の答えは1となったのですがあっていますか?
No.19113 - 2012/11/03(Sat) 16:52:19
☆ Re: 高3 極限 / X
>>「面積比較により」というのは、図を書いて説明したりする必要はありますか?
私の回答では省略してありますが、記述で解答するのであれば
必要です。
No.19114 - 2012/11/03(Sat) 19:02:42
全22700件 [ ページ : << 1 ... 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 ... 1135 >> ]