ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

対象学年　無所属
→はベクトルを表し、
Ｅは単位行列を、λは固有値など
とします

行列Ａ
-1,1,2
0,-1,0
0,0,-1
のｎ乗を求めたいのですが

Ａ－λＥ＝Ｔとおくと
△Ｔ＝０⇔λ＝－１
λ＝－１のときのＴをＴ１とおくと
Ｔ１（→ｘ）＝→０
→ｘ＝（α１、α２、α３）とすると
α２＝－２α３より
→ｘ＝（ｋ、-2L、L)（ｋ、Ｌ）は（０，０）以外の任意定数
より→ｘ＝（０、－２，１）とする

次に
Ｔ１（→ｘ１）＝→ｘ・・※
→ｘ１＝（β１、β２、β３）とすると
β２＝－２β３
まではいいのですが、
※の両辺を比較すると
０＝－２
０＝１となってしまいます
これは一体何故なのでしょうか？
どこで間違ってしまったのでしょうか。
独学ゆえに誰にも聞けずに困っています。
どなたかお助けください。よろしくお願いします

No.19175 - 2012/11/08(Thu) 23:44:12

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

どんな行列でもジョルダン標準形に出来るわけではないのですか？またその場合Ａのｎ乗はどのようにして求めればよいのでしょうか？

No.19182 - 2012/11/09(Fri) 20:54:36

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

行列は見た目どおりに表記しています
（１，２）成分は１
（１，３）成分は３という風に

No.19184 - 2012/11/09(Fri) 21:11:27

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

行列は見た目どおりに表記しています
（１，２）成分は１
（１，３）成分は２という風に

No.19185 - 2012/11/09(Fri) 21:12:16

☆ Re: ジョルダン標準形 / angel

ジョルダン標準形については、次のサイトが分かりやすいと思います。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/lin0.html

で、今回の場合、
　Ｔ1・ｘ = ｏ
なるベクトルｘを求める所で、
　ｘ=t(1 0 0),t(0 -2 1)
　※tは転置-transposed-のこと。単に縦のベクトルが書けないので横書きにするため、tを添えています
の二次元分の解が見つかります。
なので、Ｔ1・ｙ=α・t(1 0 0) もしくはＴ1・ｙ=α・t(0 -2 1) のいずれかを解くことになります。( αは非ゼロの任意の数 )
この時点ではどちらが解けるか分かりませんが、計算すると前者の方でｙ=t(0 p q) ( p,qは任意 ) という解が見つかります。p,qの組は(0,0)以外なら何でも良いのですが、既に見つかっているベクトルと直交するモノの方が計算し易いことを考えると、ｙ=t(0 1 2) を選ぶのが良さそうです。

No.19187 - 2012/11/10(Sat) 01:54:11

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

そのサイトは知っていますが、どうも私の知っているジョルダン標準形の求め方と全く違うようなので、まず今知ってるとき方ができるようになってから挑戦したいと思います。

行列Ａ
-1,1,2
0,-1,0
0,0,-1

Ａ－λＥ＝Ｔとおくと
△Ｔ＝０⇔λ＝－１
λ＝－１のときのＴをＴ１とおくと
Ｔ１（→ｖ１）＝→０・・?@
→ｖ１＝（α１、α２、α３）とすると
α２＝－２α３より
→ｖ１＝ｋ（１、０，０）＋Ｌ（０，-2、１)
で、
（１，０，０）、（０、－２、－１）はともに?@の式を満たし一次独立（に偶然なることが知られている）ので
→ｖ＝（１，０，０）または→ｖ＝（０，ー２、１）
であり
ｖ１＝（１，０，０）、ｖ２＝（０，２、－１）とすると
次に
Ｔ１（→ｖ３）＝→ｘ（→ｘ＝→ｖ２か→ｖ１のどっちか）・・※
→ｖ３＝（β１、β２、β３）とすると
β２＝－２β３
→ｘ＝→ｖ２として※の両辺を比較すると
０＝－２
０＝１となって矛盾するので
→ｘ＝→ｖ１
よって→ｖ３＝m(1,0,0)+n(0,1,0)となり
→ｖ３＝（１，０，０）or(0,1,0)
変換行列Ｐ＝（→ｖ２　→ｖ１　→ｖ３）
＝
0,1,●
2,0、●
-1,0、●

Ｐ^(-1)AP=
-110
0-11
00-1

上記の●がわかりません（つまりｖ３は（１，０，０）or(0,1,0)のどちらを採用したらいいのか分かりません）

よろしくおねがいします

No.19188 - 2012/11/10(Sat) 12:06:47

☆ Re: ジョルダン標準形 / angel

んー。やっている計算は変わらないはずですけどね…。
ひょっとして最小多項式云々の話の所でしょうか。それは「ジョルダン標準形がどのような形になるか」を調べるためにやっている所なので、変換行列を実際に求める話とはちょっと別ですね。でもとても重要な所です。
独学で行き詰ったのであれば、しっかりそのサイト ( 別の所でも良いけれど ) の内容をまず読み解いてからの方が良いと思いますけど。

で、ご質問の内容ですが、
> 上記の●がわかりません（つまりｖ３は（１，０，０）or(0,1,0)のどちらを採用したらいいのか分かりません）

まず計算間違いです。悩むならせめて (0,1,0) or (0,0,1) のはずです。
で、これについては既に書いたとおり

> 計算すると前者の方でｙ=t(0 p q) ( p,qは任意 ) という解が見つかります。p,qの組は(0,0)以外なら何でも良いのですが、既に見つかっているベクトルと直交するモノの方が計算し易いことを考えると、ｙ=t(0 1 2) を選ぶのが良さそうです。

となります。
※p:q=-2:1 の組もダメなのは先ほどは触れていませんでした。申し訳ありません。

それから、最終的に得られるジョルダン標準形が違います。
　-1 1 0
　0 -1 1
　0 0 -1
ではなくて
　-1 0 0
　0 -1 1
　0 0 -1
になります。( 変換行列 P=(v2 v1 v3) とした場合 )
この理由は、それこそ最初に挙げたサイトで説明してあります。

No.19190 - 2012/11/10(Sat) 13:57:05

☆ Re: ジョルダン標準形 / ジョルダンマニア

回答有難う御座います

ｖ３の計算はあっていると思いますが
Ｔ１（→ｖ３）＝→ｖ１を解くと
自由度２かつβ２＋２β３＝１だから
→ｖ１＝ｍ（１，０，０）＋ｎ（０，１，０）（β3＝０とするとβ２＋２・０＝１）
だから（１，０，０）か（０，１，０）が固有ベクトルとして変換行列に使える。しかしどちらを使ったらよいのか、あるいはどちらでもよいのか、という話です。

なるほど一度に固有値が二つでるパターンではジョルダン標準形は
-1 0 0
0 -1 1
0 0 -1
になるようですね

No.19193 - 2012/11/10(Sat) 15:00:04

★ (No Subject) / ｃｐ８

ジョルダン標準形にした行列があるのですが、それのｎ乗ってのはどうやって求めればいいのでしょうか？

No.19157 - 2012/11/07(Wed) 21:49:28

☆ Re: / ｃｐ８

行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（二つ目のλ１の上の成分は１）
行列の対角線がλ１、λ１、λ２の場合（２つの目のλ１の上、λ２の上の成分が１）
の２パターンについて教えてください。
行列の説明はＰＣ上ではかなりやりにくいとは思いますがよろしくお願いします

No.19168 - 2012/11/08(Thu) 21:19:14

☆ ジョルダン標準形のn乗 / angel

行列を文字で表すのは難しいので、行列の数式を図にして添付しました。そちらと見比べながら読んでください。

で、結局のところ、ジョルダン標準形は「ジョルダンセル」の直和なので、そのn乗はそれぞれのジョルダンセルのn乗の直和になります。これは添付の数式の(1)を見た方が早いですね。

そうすると、ジョルダンセルのn乗がどうなっているか、そこさえ分かれば後はつなげるだけで良い訳です。ジョルダンセルのn乗の例としては、添付の数式の(2)があります。
そうすると、cp8さんの挙げた最初のパターンについては、添付の数式(3)で計算できることが分かります。
※後のパターンは、そもそもジョルダン標準形になっていないように見えるので、今回は割愛しました。

最後に。ではジョルダンセルのn乗の一般形は、というところを計算すると、添付の数式(4)のようになるはずです。なぜこうなるかは、実際に計算して、帰納法で確かめてみてください。
ちなみに、数式中のJ(λ,k)というのは k次正方行列のジョルダンセルを表しています。
なお、この結果は n≧k-1 の場合に成立することに注意してください。nが小さい場合は、右上の方に0の要素が残る結果になります。

No.19189 - 2012/11/10(Sat) 12:36:39

★ 微分 / 工学部2年

問題
3次方程式x^3-3x^2-9x+a=0が異なる2つの正の解をもつような定数aの値の範囲を求めよ。

答え
0<a<27

No.19154 - 2012/11/07(Wed) 19:08:21

☆ Re: 微分 / 工学部2年

解説よろしくお願いします。

No.19155 - 2012/11/07(Wed) 19:12:17

☆ Re: 微分 / X

方針を。
f(x)=x^3-3x^2-9x+a
と置くと
f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴f(x)は
極大値f(-1)=a+5
極小値f(3)=a-27
を取ります。
従ってy=f(x)のグラフとx軸との交点との関係
(グラフを描きましょう)から条件を満たすためには
f(3)＜0かつf(0)＞0
となります。

No.19156 - 2012/11/07(Wed) 20:37:26

☆ Re: 微分 / 工学部2年

すみません、よくわかりません。

No.19158 - 2012/11/07(Wed) 22:33:42

☆ Re: 微分 / ヨッシー

>グラフを描きましょう
と書かれているので、グラフを描きましょう。
ｘ＝－１で極大、ｘ＝３で極小です。
あとは、ａの値によって、グラフは上下しますが、
極値を与えるｘの値は同じです。

条件をみたすのは、何番と何番と何番ですか？

No.19160 - 2012/11/08(Thu) 09:24:57

☆ Re: 微分 / 工学部2年

2.3.4ですか？
まだいまいち理解できません。

No.19161 - 2012/11/08(Thu) 15:02:34

☆ Re: 微分 / X

条件を満たすにはy=f(x)のグラフがx軸のx＞0の部分で
２箇所交点を持つ必要があります。
とするとヨッシーさんの図のうち何番が該当しますでしょうか？。

No.19162 - 2012/11/08(Thu) 17:15:28

☆ Re: 微分 / 工学部2年

それですと3だけになりませんか？

No.19164 - 2012/11/08(Thu) 18:02:09

☆ Re: 微分 / X

その通りです。そのグラフとNo.19156の私の回答をつき合わせて
もう一度考えてみて下さい。

No.19166 - 2012/11/08(Thu) 20:14:52

☆ Re: 微分 / 工学部2年

すこし勘違いをしていましたがおかげさまでやっと理解できました。
ありがとうございます。

No.19172 - 2012/11/08(Thu) 22:24:37

★ (No Subject) / a

現在大学工学部2年生のものですわからない問題があるので解説よろしくお願いします。

問題
2曲線y=2x^2,y=x^2+1で囲まれる部分のうち、2直線y=a,y=a+1の間にある部分をy軸の周りに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。V(a)を求めよ。ただし－1<a<2

答え
-1<a<0のとき{π(a+1)^2}/4
0≦a<1のとき{π(-2a^2+2a+1)}/4
1≦a<2のとき{π(a-2)^2}/4

No.19141 - 2012/11/06(Tue) 19:15:22

☆ Re: / ヨッシー

y=a,y=a+1 と放物線の交わり方で、以下の３通りに分けます。

(1) -1＜a＜0 のとき
求める体積は　ｙ＝2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝０からｙ＝ａ＋１まで積分したものなので、
　(π/2)∫[0～a+1]ｙｄｙ＝{π(a+1)^2}/4

(2) 0≦a＜1 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝ａ＋１まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝１からｙ＝ａ＋１まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a～a+1]ydy－π∫[1～a+1](y-1)dy
　　＝{π(-2a^2+2a+1)}/4

(3) 1≦a＜2 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝２まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝ａからｙ＝２まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a～2]ydy－π∫[a～2](y-1)dy
　＝{π(a-2)^2}/4

となります。

No.19143 - 2012/11/06(Tue) 19:55:01

☆ Re: / a

ありがとうございます。
理解できました。

No.19144 - 2012/11/06(Tue) 20:37:10

★ 数学 / じゃむ

1<x<2aが2a＋b≦x≦b＋16であるための必要条件となるときア<a≦イ、ウa＋エ<b<オa-カが成り立つ。

(1<x<2aのxの集合)⊃(2a+b≦x≦b+16のxの集合)が成り立つので包含関係に注意して数直線を描くと
2a+b>1かつb+16<2aとならないといけないことがわかりました。
ですがこれだけでは不十分ですよね？
答えをみると2a+b≦b+16をいっているのですがなんでなのかわかりません。
誰か分かる方教えて下さいよろしくお願いします。

No.19139 - 2012/11/06(Tue) 16:36:38

☆ Re: 数学 / ヨッシー

例えば、
　３≦ｘ≦１
なんて不等式はおかしいですよね？

No.19142 - 2012/11/06(Tue) 19:29:43

☆ Re: 数学 / じゃむ

回答ありがとうございます。
補足です。
問題文に
2a+b≦x≦b+16とある以上2a+b≦b+16は自明のような気がするのですがわざわざ2a+b≦b+16をいわないといけないんでしょうか？

No.19148 - 2012/11/07(Wed) 00:30:25

☆ Re: 数学 / ヨッシー

これ、答えは何ですか？

No.19149 - 2012/11/07(Wed) 06:35:47

☆ Re: 数学 / angel

…これは、問題に不備があるか、何か条件が追加であるのではないでしょうか?
素直に解くと、答えは
　a＞8 or -2a+1＜b＜2a-16
になるはずですが、問題文の形を見ると
　17/4＜a≦8 and -2a+1＜b＜2a-16
を答えさせようとしている風に見えますから。

なお、

> 例えば、
> 　３≦ｘ≦１
> なんて不等式はおかしいですよね？

これは別におかしくないです。ただ、その不等式を満たす x が存在しないだけです。

> 問題文に 2a+b≦x≦b+16とある以上2a+b≦b+16は自明のような気がするのですがわざわざ2a+b≦b+16をいわないといけないんでしょうか？

自明ではありません。だからといって2a+b≦b+16を言えば良いかというと、そうではありません。
2a+b≦b+16 の場合と、その逆 2a+b＞b+16 の場合を分けて考える必要があります。

No.19159 - 2012/11/08(Thu) 00:13:14

☆ Re: 数学 / じゃむ

返信遅れてごめんなさい。
立命館大学の文系数学の問題で
問題と解答が以下のURL先にありますのでお手数ですがご覧ください。
http://dl.dropbox.com/u/56741990/index/data/立命館大-2012-8.pdf/

数日たった今もいまいち釈然としません・・・

No.19178 - 2012/11/09(Fri) 11:26:14

☆ Re: 数学 / angel

問題・解答を拝見しました。
やはりこれは問題の不備ですね。問題文に
「なお、a,b は 2a+b≦b+16 を満たすものとする」
という一文を付け加えれば、元の解答のままでO.K.です。

ではなぜ「不備」かと言うと、a＞8 のケースが答えに含まれることを見落としているから、となります。
今回、条件A ( 1＜x＜2a ) が条件B ( 2a+b≦x≦b+16 ) の必要条件となる、すなわち B⇒A が成立する a,b を調べています。これは解答の解説にもある通り、
　(条件Aを満たすxの集合)⊃(条件Bを満たすxの集合)
と等価です。

ここで a＞8 のケースを考えてみましょう。
条件Bを満たすxは存在しませんから、(条件Bを満たすxの集合)というのは空集合φです。なので、
　(条件Aを満たすxの集合)⊃φ=(条件Bを満たすxの集合)
は十分に成立します。
ということは、a＞8 ( bは任意 ) という組は答えに含まれるということですね。
なので、元の問題文のままだと「a＞8 or -2a+1＜b＜2a-16」が答えになってしまうのです。が、これだと後続の問題と整合性が取れなくなりますし、出題者の本意ではないのでしょう。

最後に。
「『2a＋b≦x≦b＋16』という表現がある時点で、2a+b≦b+16 は自明ではないか?」という疑問はありうるかもしれません。
※あたかも、例えば「√xという表現がある時点で x≧0 は自明だ」と同じであるかのように。

確かに、p≦q かつ q≦r ( まとめて p≦q≦r ) ならば、推移律という性質から p≦r も成立するのですが…。そもそも a＞8 の場合、2a+b≦x, x≦b+16 の両方が成立する x が存在しないのですね。2a+b≦x かつ x≦b+16 が常に不成立なのですから、2a+b≦b+16 の成立は言えない、ただそれだけのことです。

No.19186 - 2012/11/10(Sat) 01:34:19

★ 四面体 / かれん

AB=AC=1、BC=xの・ABCの3辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL、M、Nとし、線分LM、MN、NLを折り目として3頂点A、B、Cが1点Pで重なるように折り曲げ、四面体PLMNを作り、その体積Vをとする。
xが変化するときのVの最大値を求めよ。

底面積が?儉MN=x√(4-x^2)/16になるのはわかりましたが、四面体の高さをどうやって求めるのかが分からないです。特徴ある形をしているので、きれいに求める方法がありそうですが見つからないです。
あとxの定義域は?儉MNの成立条件を考えるだけでよいでしょうか。四面体の成立条件みたいなものがあるんでしょうか。よろしくお願いします。

No.19128 - 2012/11/05(Mon) 02:22:17

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

ＭＮの中点をＤとします。
△ＰＤＬにおいて、ＤＬを底辺とした時の高さが、
四面体ＰＬＭＮにおいて、△ＬＭＮを底面とした時の高さと
等しくなります。

四面体の成立条件は、∠ＢＮＬが 90°以上になると、
ＬＮを折っても、ＢがＡにくっつかないので、ｘ＝√2 未満
でなければいけません。

No.19131 - 2012/11/05(Mon) 14:55:18

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

ＡＬ＝√(4-x^2)/2
ＡＤ＝√(4-x^2)/4
△ＰＤＬは、３辺が √(4-x^2)/4, √(4-x^2)/4, x/2 の三角形。
ＰＬの中点をＥとすると、ＰＥ＝x/4
　ＤＥ^2＝ＰＤ^2－ＰＥ^2
　　＝(4-x^2)/16－x^2/16＝(4-2x^2)/16
　ＤＥ＝√(4-2x^2)/4
よって、
　△ＰＬＤ＝(1/2)(x/2){√(4-2x^2)/4}＝x√(4-2x^2)/16
これより、求める高さは、
　x√(4-2x^2)/16×2÷{√(4-x^2)/4}＝x√(4-2x^2)/2√(4-x^2)
また、四面体ＰＬＭＮの体積Ｖは
　Ｖ＝(1/3)x√(4-x^2)/16×x√(4-2x^2)/2√(4-x^2)
　　＝x^2√(4-2x^2)/96

f(x)＝x^2√(4-2x^2) とおくと、
　f'(x)＝2x√(4-2x^2)－2x^3/√(4-2x^2)
　　＝{2x(4-2x^2)－2x^3}/√(4-2x^2)
　　＝x(8－6x^2)/√(4-2x^2)
よって、f'(x)＝0 の解は、ｘ＝0, ±2/√3

増減表は省略しますが、０＜ｘ＜√2 では、ｘ＝2/√3 で最大となります。

No.19135 - 2012/11/05(Mon) 17:15:38

☆ Re: 四面体 / かれん

とてもお詳しく教えてくださってありがとうございました。解き方はとてもよくわかりました。

xの定義域についてもう一つ質問させてください。

＞四面体の成立条件は、∠ＢＮＬが 90°以上になると、
ＬＮを折っても、ＢがＡにくっつかないので、ｘ＝√2 未満
でなければいけません。

折り紙で試してみたんですがくっついてしまいます^^;
ヨッシー様はどうやって∠BNLが90°以上の時はBとAがくっつかないことを見抜いたんでしょうか？方法を教えてください。お願いします。

No.19140 - 2012/11/06(Tue) 17:53:25

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

∠ＢＮＬが90°の時、ＮＬを折って、点Ｂを点Ａにくっつけようとすると、
平面としてはくっつきますが、ＭＮを少しでも折ると、くっつかなくなります。

図は、∠ＢＮＬ＝100°の場合ですが、このとき∠ＡＮＬ＝80°です。
ＭＮを折ると、∠ＡＮＬはさらに小さくなって、ここに
∠ＢＮＬ＝100°が納まることは出来ないです。

No.19145 - 2012/11/06(Tue) 21:49:20

☆ Re: 四面体 / かれん

何度も本当に申し訳ございませんが、BN=ANなのですからBとAはNから等距離にあるのだからくっつけることができる気がしてしまいます。折り紙ではなぜかくっついてしまいます。図を見ればくっつかないのは簡単に分かってしまうものなんでしょうか？何か理解しやすい理屈はないものでしょうか？

No.19146 - 2012/11/06(Tue) 23:44:06

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

図は、∠BNL=100°の図で、ＬＮ，ＬＭを折ったところです。
上（この図を見ている方向）から見たとき、
点Ｂは、ＢＢ’上を動きます。点ＣはＣＣ’上を動きます。
点Ｂが点Ｂ’に、点Ｃが点Ｃ’に来たときに、完全に２つ折りになってしまします。
この間、点Ｂは点Ｃとくっつきませんし、点Ａが通るＡＬ上にも
達しないので、点Ａともくっつきません。

もし、折り紙でくっついたというのなら、∠ＢＮＬが90°未満か、
折り目が正しくないかです。

No.19147 - 2012/11/07(Wed) 00:22:08

☆ Re: 四面体 / かれん

∠ＢＮＬ＝90°のときはＢはＢＡを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動き、ＡはＡＬを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動くので、2円がＡでしか交わらないので、このときはＢとＡが交わらない気がしてきました。

下の図を見ていて思いましたが、∠ＢＮＬが鈍角の場合、Ｂは辺ＡＢの外を動き、ＡはＡＬを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動くので、くっつきようがない気がしてきました。
ＢがＢＢ’上を動くというのは、Ｂが辺ＡＢに対して?凾`ＢＣの外を動くといったようなことをおっしゃていたのでしょうか？こんな理解でよいでしょうか？

No.19150 - 2012/11/07(Wed) 10:56:03

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

そういう理解でいいと思います。

点Ｂは点Ｂ’に至るまで、実際は円弧状を動きますが、
△ＡＢＣと垂直な方向から見ると、直線（線分）上を
動くように見えます。
同様に点ＡはＡＬ上を動くのですが、図からわかるように
両者は交わりません。（＝点Ａと点Ｂはくっつかない）

また、点Ｌ付近に着目すると、
∠ＮＬＢと∠ＭＬＣを足しても、∠ＮＬＭに足りません。
よって、ＮＬ，ＭＬで、折っても、辺ＢＬ，ＣＬはくっつくことなく
180°回ってしまいます。
そういう意味では、１頂点に集まる３つの角について、
三角不等式のようなものが成り立ち、これが四面体の
存在条件といっても良いでしょう。（実際そういうのかも）

No.19151 - 2012/11/07(Wed) 11:13:15

★ (No Subject) / ハル

x≧0において、関数f(x)=(e^-x)/2を考える。
⑴x≧0において、ｆ(x)の導関数の絶対値の最大値を求めよ。
⑵方程式x=ｆ(x)は、0<x<1にただひとつだけの解を持つことを証明せよ
⑶数列{xn}をx1=0,xn+1=f(xn)と定める。
⑴の最大値をK,⑵の解をαとするとき、|xn+1－α|≦K|xn－α|が成り立つことを示し、リミット【n→∞】xn=αを証明せよ

どうも⑵から方針がたちません
教えてほしいですf^_^;)

No.19125 - 2012/11/04(Sun) 21:35:24

☆ Re: / ヨッシー

ですか？

No.19132 - 2012/11/05(Mon) 15:06:28

☆ Re: / ハル

>
> ですか？

そうです（;￣O￣）
わかりづらくてすみません💦

No.19133 - 2012/11/05(Mon) 16:32:44

☆ Re: / X

(1)
こちらの計算では1/2となりました。

(2)
g(x)=(1/2)e^(-x)-x
と置くと
g'(x)=-(1/2)e^(-x)-1＜0
∴g(x)は単調減少 (A)
又
g(0)=1/2＞0 (B)
g(1)=-1/2＜0 (C)
(A)(B)(C)から中間値の定理により方程式g(x)=0は
0＜x＜1の間に只１つの解を持つので問題の命題は
成立します。

No.19137 - 2012/11/06(Tue) 12:22:23

☆ Re: / X

(3)
前半)
条件から
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|=|{f(x[n])-f(α)}/(x[n]-α)|
ここでf(x)は微分可能ですので平均値の定理により
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|=|f'(c)|
(α＜x[n]のときα＜c＜x[n],x[n]＜αのときx[n]＜c＜α)
なるcが存在します。 (P)
ここでn≧2のとき
x[n]=f(x[n-1])＞0
これとx[1]=0であることからn≧1に対し
x[n]≧0 (A)
又
α=f(α)＞0 (B)
(A)(B)(P)より
c＞0
ですので(1)の結果により
|f'(c)|≦K=1/2 (C)
(P)(C)より
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|≦1/2
∴|x[n+1]-α|≦(1/2)|x[n]-α|
後半)
前半の結果とはさみうちの原理を使います。

No.19138 - 2012/11/06(Tue) 12:58:31

★ (No Subject) / shibuki

ｒは実数の定数とする。漸化式
ａ1=1－ｒ
ａn+1=ｒan(nは奇数)
ａn+2=an－an+1(nは奇数)
で定義される数列{an}について、つぎの各問に答えよ。
⑴a2m－1(m=1,2,‥)を求めよ。
⑵無限級数Σ【n=1→無限】anが収束するようなrの値の範囲を求めよ。また、そのときの和を求めよ。

教えてくださいヽ(；▽；)ノ

No.19108 - 2012/11/02(Fri) 13:00:21

☆ Re: / X

(1)
条件から
a[2m+1]=a[2m-1]-a[2m]
=a[2m-1]-ra[2m-1]
=(1-r)a[2(m-1)+1]
∴a[2m-1]={(1-r)^(m-1)}a[1]
a[1]=1-rを代入して
a[2m-1]=(1-r)^m
(2)
(1)の結果より
a[2m]=ra[2m-1]=r(1-r)^m (m=1,2,…)
∴S[n]=Σ[k=1～n]a[k]
とすると
S[2m-1]=Σ[k=1～m]a[2k-1]+Σ[k=1～m-1]a[2k]
=(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}+r(1-r){1-(1-r)^(m-1)}/{1-(1-r)}
=(1-r){1-(1-r)^m}/r+(1-r){1-(1-r)^(m-1)}
=(1/r-r)-(1/r)(1-r)^m (A)
S[2m]=Σ[k=1～m]a[2k-1]+Σ[k=1～m]a[2k]
=(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}+r(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}
=(1-r)(1+1/r){1-(1-r)^m} (B)
題意を満たすためにはm→∞のとき(A)(B)が同じ値に収束
しなければならないので、まず収束するという条件から
-1＜1-r＜1
∴0＜r＜2 (C)
このとき
lim[m→∞]S[2m-1]=1/r-r (A)'
lim[m→∞]S[2m]=(1-r)(1+1/r)=1/r-r (B)'
(A)'(B)'は等しくなっているので、求めるrの値の範囲は
0＜r＜2
このときの無限級数の和は
1/r-r
となります。

No.19111 - 2012/11/02(Fri) 16:41:48

★ 数学 / mati

△ABCにおいて辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b.cとおく。また、△ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をＲとおく。３辺の長さがa+b+c=5をみたすとき
(1)r=1/3のとき△ABCの面積Ｓを求めよ
(2)r=1/3　△BCA=90°　a≦bのときa,bを求めよ
(3)a=b Rr=2/5 ∠BCA<90°のときa,b.cを求めよ

(1)はヘロンの公式を用いてS=5/6
(2)は∠C=90°の直角三角形なので得られる条件はab/2=5/6 a+b+c=5　c^2=a^2+b^2
これらから2文字を消去すると
a=(1+√31)/6とb=5√3-5が得られ、これはa≦bを満たしているので適当。
(3)は二等辺三角形で∠CからABに垂線を下ろしたときの交点をMとし、∠ACM=θとすると
sinθ=｛5/(2a)｝-1　この調子でcosθもだして・・・と思ったのですが√がでてくるので無理。
sinθを用いて三角形の面積を求めヘロンの公式からrをaだけの式で出して
正弦定理からRをaだけの式で表していければと思ったんですけど無理っぽいです。
どなたか分かる方教えて下さい。お願いします。

No.19103 - 2012/10/31(Wed) 20:37:20

☆ Re: 数学 / X

>>sinθを用いて三角形の面積を求め～
をアレンジして使いましょうか。
つまり△ABCの面積(Sとします)をr,Rを用いた２通りの方法で
表してみます。
まずSをrを用いて表すと
S=(1/2)(a+b+c)r=5r/2 (A)
次に正弦定理により
2R=c/sin∠BCA
∴sin∠BCA=c/(2R)
∴S=(1/2)BC・CAsin∠BCA=abc/(4R) (B)
(A)(B)より
5r/2=abc/(4R)
∴Rr=abc/10
これにRr=2/5を代入すると
abc=4 (C)
(C)と
a=b (D)
a+b+c=5 (E)
を連立して解きます。但し、得られた解が
∠BCA<90°
つまり
0＜cos∠BCA＜1
となっていることを余弦定理を用いて確かめることを
忘れないようにしましょう。

No.19104 - 2012/10/31(Wed) 20:50:44

☆ Re: 数学 / X

こちらの計算では
(a,b,c)=(2,2,1)
となりました。

No.19105 - 2012/10/31(Wed) 21:01:30

☆ Re: 数学 / mati

0<cos∠BCA<1のところで
cos∠BCA
=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=(-2a^2+20a-25)/2a^2
となりました。
0<(-2a^2+20a-25)/2a^2<1において分母の2a^2は2a^2>0より両辺にかけてやると
0<-2a^2+20a-25<2a^2
ここからaの範囲をだしていけばいいと思うんですけど自分がやると(10-√50)/2<a<(10+√50)/2(ただしa≠5/2)となってしまいました。
これ以前にaの候補としてはa=2とa=(1+√17)/4があったのですが範囲が曖昧すぎて調べられません。
どうやればa=2と確定できるんでしょうか？おねがいします。

No.19124 - 2012/11/04(Sun) 18:23:22

☆ Re: 数学 / X

まず
(10-√50)/2-5/2=(5-√50)/2=(√25-√50)/2＜0
∴aの値の範囲は
(10-√50)/2＜a＜5/2
5/2＜a＜(10+√50)/2
となります。
次に
2-(10-√50)/2=(-6+√50)/2=(-√36+√50)/2＞0
∴(10-√50)/2＜2＜5/2
5＜(5/2)(2+√2)
ですのでa=2は題意を満たしています。
問題は
a=(1+√17)/4
の場合ですが
(1+√17)/4＜(1+√25)/4=3/2＜5/2
となりますので後は(10-√50)/2との比較になります。
(1+√17)/4-(10-√50)/2＜(1+√17)/4-(10-√49)/2
∴(1+√17)/4-(10-√50)/2＜(-5+√17)/4=(-√25+√17)/4
ですので
(1+√17)/4-(10-√50)/2＜0
よって
(1+√17)/4＜(10-√50)/2
ですのでa=(1+√17)/4は題意を満たしません。

No.19177 - 2012/11/09(Fri) 09:56:10

★ 微分グラフ / shibuki

ａを実数の定数とする。|x|≧1で定義された関数ｆ(x)=√(x^2－1)－ａｘは次の条件を満たす。
条件:ｆ(x)はｘ=2/√3で極大となる
このときつぎの各問に答えよ。
⑴ａの値を求めよ。
⑵【X→－無限】{ｆ(x)－(ｐx＋q)}=0をみたすｐ,ｑの、値をそれぞれ求めよ
⑶ｆ(x)の増減およびｙ=ｆ(x)の漸近線の有無を調べて、ｙ=ｆ(x)のグラフをかけ

No.19100 - 2012/10/31(Wed) 13:45:32

☆ Re: 微分グラフ / ヨッシー

(1)
　f'(x)=x/√(x^2－1)－ａ
条件より
　f'(2/√3)＝２－ａ＝０
よって、ａ＝２

(2)
ｘ→－∞　のとき　√(x^2－1)→－ｘであるので、
ｆ(x)－(ｐx＋q)→０　になるには、
　ｆ(x)－(ｐx＋q)→－ｘ－２ｘ－ｐｘ－ｑ＝０
より　ｐ＝－３，ｑ＝０

(3)
同様に　ｘ→∞　のとき　√(x^2－1)→ｘであるので、
ｆ(x)－(ｐx＋q)→０　になるには、
　ｆ(x)－(ｐx＋q)→ｘ－２ｘ－ｐｘ－ｑ＝０
より　ｐ＝－１，ｑ＝０
よって、ｘ＜０の漸近線はｙ＝－３ｘ、ｘ＞０の漸近線はｙ＝－ｘ。
　f'(x)＝x/√(x^2－1)－２
において、
　ｘ≦－１　のとき　f'(x)＜０　・・・単調減少
　１＜ｘ≦2/√3 のとき　f'(x)≧０　・・・単調増加
　2√3＜ｘ　のとき　f'(x)＜０　・・・単調減少
を元にグラフを描きます。
（グラフは省略）

No.19106 - 2012/11/01(Thu) 10:34:43

★ 微分 / shibuki

⑴すべての実数x,yにたいして、不等式|cosx－cosy|≦|x－y|が成り立つことを示せ。
⑵ｆ(x)＝(π/4)cos(x－π/4)とする。数列{ｘｎ}を
x1=0 xn+1=ｆ(xn) n=1.2.3.…
によって定義するとき、
?@ 不等式|ｆ(xn)－ｆ(π/4)|≪(π/4)|xn－π/4|が成り立つことを示せ
?A リミット【n→無限】xnを求めよ

よろしくお願いします(｡-_-｡)

No.19099 - 2012/10/31(Wed) 12:54:24

☆ Re: 微分 / IT

⑴すべての実数x,yにたいして、不等式|cosx－cosy|≦|x－y|が成り立つことを示せ。
の方針のひとつだけ

・cosx－cosy：差を積に変換
・すべての実数xにたいして|sinx|　≦ 1と|sinx|　≦ |x|を使う（|sinx|　≦ |x|は要証明、微分を使う）

No.19101 - 2012/10/31(Wed) 17:55:21

☆ Re: 微分 / angel

(1) 積分を習っていれば、次も使えます。
　以下、x≧y のケースで。( x＜y も同じように確かめられるので省略 )
　(cos(t))'=-sin(t) より ∫[y,x] ( -sin(t) )dt = cosx-cosy
　任意の t で -1≦-sin(t)≦1 のため
　∫[y,x] -dt ≦ ∫[y,x] ( -sin(t) )dt ≦ ∫[y,x] dt
　すなわち -(x-y)≦cosx-cosy≦x-y

　なお、(1)では等号成立を吟味する必要はありませんが、(2)のことを考えると、「等号成立は x=y に限る」も調べておいた方が良いです。

(2) i は (1) の結果をそのまま使います。
ただし、どの xn も xn≠π/4 となることを帰納法で証明しておく…かな?
※ |f(xn)-f(π/4)|＜(π/4)・|xn-π/4| の成立を示す場合。＜ではなく≦ で良いなら、xn≠π/4 は調べなくても良い

(2) ii は i の結果が |x[n+1]-π/4|＜(π/4)・|xn-π/4| であることを元に、xn-π/4 が等比数列 ( 公比π/4 ) でおさえられることを利用します。

No.19107 - 2012/11/01(Thu) 23:00:24

☆ Re: 微分 / IT

>(1) 積分を習っていれば、次も使えます。
なるほどスマートな解法ですね。思いつきませんでした。

No.19117 - 2012/11/04(Sun) 04:50:47