ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 図形 / よすがら

一辺の長さが１の正三角形がある。
辺AB上の点Pから辺BCに下ろした垂線の足をQ、点Qから辺辺CAに下ろした垂線の足をR、点Rから辺CAに下ろした垂線の足をSとし、
AP＝t（０＜t＜１）とする。

（１）
AS＜APとなるtの値の範囲を求めよ。
また、このときの３つの線分PQ、QR、RSの長さの和をＬとしたとき、Lのとりうる値の範囲を求めよ。

（２）
０＜t＜１において、線分PRの長さが最小になる時のtの値とその最小値を求めよ。

(1)はひたすら直角三角形の１：２：√３の性質をつかっていくとAS=(3-t)/4√3がもとまったので
0<t<1の範囲で(3-t)/4√3<tを解くと3/(4√3+1)<t<1となったのですが答がないのでよくわかりません。
またLを求める問題と(2)はさっぱりわかりません。

(1)もほんとはもっと綺麗に解く方法があると思うのですが・・・
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18801 - 2012/10/05(Fri) 22:19:59

☆ Re: 図形 / ヨッシー

AT,TB,BQ,QC,CR,RA,AS と順々に調べていくときに
使う比率は　２：１　だけなので、√3 は出てきません。
ｔ＞1/3 となるはずです。

その途中で、ＢＱ＝(1-t)/2、ＣＲ＝(1+t)/4、ＡＳ＝(3-t)/8 が
出てきます。
　ＰＱ＝√3ＢＱ、ＱＲ＝√3ＣＲ、ＲＳ＝√3ＡＳ
より
　Ｌ＝√3(ＢＱ＋ＣＲ＋ＡＳ)＝√3(9-3t)/8
1/3＜ｔ＜1 より　3√3/4＜Ｌ＜√3

(2)
Ａ(0, √3/2)、Ｂ(-1/2, 0)、Ｃ(1/2, 0) とすると、
Ｐ(-t/2, √3(1-t)/2)、Ｒ(1/2－(1+t)/8, √3(1+t)/8)
と書けるので、
　ＰＲ^2＝{3(t+1)/8}^2＋{√3(3-5t)/8}^2
　　＝(3/64)(28t^2－24t＋12)
よって、ｔ＝12/28＝3/7 のとき最小。
そのとき
　ＰＲ＝3√7/14

No.18802 - 2012/10/05(Fri) 22:53:46

☆ Re: 図形 / よすがら

答にたどりつけました。
ありがとうございました。

No.18804 - 2012/10/06(Sat) 12:26:20

★ 二次関数 / るお

半径1の円C1に内接する直角三角形をなす2辺の長さそれぞれa,bとする。また、その直角三角形の内接円C2の半径をrとする。rの値の範囲を求めよ。

自分がやったところは
X=a+b,Y=abとおきXとYをそれぞれ
X=2r+2,Y=2r^2+4rと表しました
そして、tの二次方程式
f(t)＝t^2-Xt+Y=0
=(t-X/2)^2+Y-X^2/4と表しました

わからないところは、なぜこの条件が
1<X/2<2,f(X/2)≦0,f(0)>0,f(2)>0となるところと
答えが0<r≦-1+√2となるところです。数直線を書いてやってみてもよくわからないです

よろしくお願いします。

No.18799 - 2012/10/05(Fri) 17:37:11

☆ Re: 二次関数 / X

>>1<X/2<2,f(X/2)≦0,f(0)>0,f(2)>0となるところ
問題の直角三角形の外接円の直径は2ですので
0＜a＜2かつ0＜b＜2 (A)
でなければなりません。
(A)がtの二次方程式
f(t)=0 (B)
の解a,bに対する条件になります。
従って横軸にt、縦軸にyを取って
y=f(t) (C)
のグラフを考えると求める条件は(C)のグラフとt軸との
全ての交点が
0＜t＜2
の範囲に存在する条件となります。

>>答えが0<r≦-1+√2となるところ
1<X/2<2,f(X/2)≦0,f(0)>0,f(2)>0
を全てtの不等式で表し、それらを連立させて解きます。

No.18800 - 2012/10/05(Fri) 18:44:48

★ 数学の問題図形が分かりません / 慎

１辺の長さがaの正四面体ABCDがある。頂点Aから平面BCDへ下した垂線の足をGとする。
(1)線分AGの長さをaを用いて表せ。
(2)４つの頂点A,B,C,Dが半径1の球面上にあるときaの値を求めよ。

<自分の解答>
△ABG、△ACG、△ADGはそれぞれ斜辺と他の一辺が等しいので合同な三角形
したがってBG=DG=GCより点Ｇは△BCDの外心である。
ここで直角三角形ABGに着目すると∠ABG＝60° なので直角三角形の性質により
AG：√3=a:2
AG=√3a/2
となったのですが答は√6a/3でした。
正直、∠ABGが60°となるのは感覚なんで間違っていると思います。地面にABを / のようにつきさして(Bが地面側)
Bを中心にBDとかBCとか線を引いていけば /_ の_をプロペラみたいな回転させたとき_と/がつくる角度はなんとなく60°のままなんじゃないかな～？と思ったからです。(分かりにくかったらごめんなさい＾＾；)
答によるとなんでもGが重心であることを使うみたいです。
正三角形であるときはGは外心でもあり重心でもあり垂心でもあり内心でもあるんですよね？
なんで重心の性質に着目するんでしょうか？
なんだかよく分かりません。誰か教えて下さい。お願いします。

No.18795 - 2012/10/05(Fri) 14:31:50

☆ Re: 数学の問題図形が分かりません / ヨッシー

底面ＢＣＤにおいてＣＤの中点をＭとすると、
ＧはＢＭ上にあり、ＢＧ：ＧＭ＝２：１　です。
これが重心の性質を使う場面です。

ＢＭ＝(√3/2)ａであるので、ＢＧ＝ａ/√3
△ＡＢＧにおいて、∠Ｇは直角なので、
　ＡＧ^2＝ＡＢ^2－ＢＧ^2＝(2/3)ａ^2
のように、ＡＧを求めます。

No.18797 - 2012/10/05(Fri) 16:33:22

★ 高2 / 数列

三辺の長さが70より小さい整数で,かつ等差数列になっている三角形は何個あるか.ただし,合同な三角形は区別しないものとする.

No.18794 - 2012/10/05(Fri) 14:31:23

☆ Re: 高2 / ヨッシー

公差０もＯＫとします。
３辺をａ，ｂ，ｃとし、ａ≦ｂ≦ｃとします。
(2,3,4) で、a=2, b=3, c=4 を表すものとします。

公差０の場合
(1,1,1),(2,2,2)～(69,69,69) の69個
公差１の場合
(1,2,3) は不適で
(2,3,4),(3,4,5)～(67,68,69) の66個
公差２の場合
(1,3,5),(2,4,6) は不適で
(3,5,7),(4,6,8)～(65,67,69) の63個
　・・・
公差ｄの場合
(1,1+d,1+2d)～(d,2d,3d) は不適で
(d+1,2d+1,3d+1)～(69-2d,69-d,69) の69－3d個
　・・・
公差22の場合
(1,23,45)～(22,44,66) は不適で
(23,45,67),(24,46,68),(25,47,69) の３個

以上より
69＋66＋63＋・・・＋6＋3＝828(個)

No.18796 - 2012/10/05(Fri) 16:27:14

★ 数学教えて下さい / 慎

nを自然数とするときxについての多項式f(x)=n^2(n-8)x^n+(11n+20)xがx^2-1で割り切れるようにnの値を求める

<自分の解答>
商をQ(x)とするとf(x)はf(x)=(x+1)(x-1)Q(x)と表せる。
これより、f(1)=0,f(-1)=0が成り立つ。
f(1)=0よりn^3-8n^2+11n+20=0
左辺をg(n)とおくとg(n)=n^3-8n^2+11n+20
g(-1)=0よりg(n)=(n+1)(n^2-9n+20)=(n+1)(n-5)(n-4)
g(n)=0よりn=-1,4,5
ここでnは自然数だからn=4,5
また、f(-1)=0より
n^(n-8)・(-1)^n +(11n+20)・(-1)=0
(i)nが偶数(n=2,4,6・・・)のとき
n^3-8n^2-11n-20=0
n(n^2-8n-11)=20・・・?@
?@が成り立つためにはn^2-8n-11が0より大きくなければならない。
n^2-8n-11=0の判別式をＤとすると
Ｄ>0となるので、n^2-8n-11が0より大きくなるnの値の範囲を求めると解の公式より
n=4±3√3なので4-3√3>n ,n>4+3√3
4-3√3は負なのでn>4+3√3の範囲で考えると、
この範囲を満たす自然数nはn=10,11,12,・・・
?@にn≧10の自然数を代入すると(左辺)=20とならないので(i)は不適
(ii)nが奇数(n=1.3.5・・・)のとき
g(n)=n^3-8n^2+11n+20=0
g(-1)=0より
g(n)=(n+1)(n+4)(n+5)
g(n)=0より
n=-1.-4.-5
nは自然数なので不適。
したがって求めるnの値はn=4,5

となったのですがさっぱりわかりません。
文系で数学が苦手なので誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18789 - 2012/10/04(Thu) 22:19:18

☆ Re: 数学教えて下さい / angel

途中まで問題ないです。それは
> g(n)=0よりn=-1,4,5
> ここでnは自然数だからn=4,5
のところまで。
※g(n)を持ち出さなくとも、n^3-8n^2+11n+20=(n+1)(n-4)(n-5) と直接に因数分解すれば良いというのはあるけど…別に間違いではないし

さて、この時点で、nの候補が 1,2,3,4,… という自然数全てから、n=4,5 の2通りまで絞れた訳です。
なので、後は個別に調べればそれで十分です。
例えば
　n=4 の時 f(x)=-64x^4+64x=-64x(x-1)(x^2+x+1) は x^2-1 で割りきれず不適
　n=5 の時 f(x)=-75x^5+75x=-75x(x^2-1)(x^2+1) は x^2-1 で割り切れる
　よって n=5
とか。

もしくは、f(-1)=0 というのを謳っているいるので
　n=4 の時 f(-1)=…計算…≠0 のため不適
　n=5 の時 f(-1)=…計算…=0
　よって n=5
とか。

一旦絞りこんでしまえば、後は楽して良いのです。

No.18790 - 2012/10/04(Thu) 23:56:12

☆ Re: 数学教えて下さい / 慎

f(1)=0とf(-1)=0という条件があって、
f(1)=0からはn=4,5がでました。
次にf(-1)=0から同じようになんらかのnの値がでたとします。
すると答はf(1)=0から得たn=4,5とf(-1)=0から得たn=？を合わせたn=4,5,？　なんじゃないんでしょうか？
f(1)=0の結果からどうしてf(-1)=0のnの値を絞り込みできるのかがわかりません。
このへんについて詳しく教えて下さい。お願いします。

No.18792 - 2012/10/05(Fri) 08:15:42

☆ Re: 数学教えて下さい / ヨッシー

最終的に求められたｎを、代入したf(x) は、x^2-1で割り切れるので
f(1)=0 も f(-1)=0 も両方満たします。
f(1)=0 だけとか f(-1)=0 だけとかはダメです。

ですから、f(1)=0 から n=4,5 が出たら、この問題の答えは、
n=4 か n=5 か n=4, 5 か条件を満たすｎは無いかのいずれかになります。

No.18793 - 2012/10/05(Fri) 11:26:29

★ 三角関数 / るお

点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径2の円と半径1の円をそれぞれS1、S2とする。円S1上の点P、円S2上の点Qを
P(2cos2θ、2sin2θ),Q(cos(θ+(π/3)),sin(θ+(π/3)))とする。
ただし、0<θ<2πとする。

三点O,P,Qが同一直線上にあるのは

θ=π/エ、オπ/カのときである

以下、π/エ<θ<オπ/カとする。

このとき、角OPQ＝θ－(π/キ)である。

よろしくお願いします

No.18786 - 2012/10/04(Thu) 21:14:15

☆ Re: 三角関数 / X

前半)
三点O,P,Qが同一直線上にあるためには
(i)線分OPの中点がQ
(ii)線分PQを2:1に内分する点がO
のいずれかになります。
(i)のとき
点Qの座標について
(1/2)・2cos2θ=cos(θ+π/3) (A)
(1/2)・2sin2θ=sin(θ+π/3) (B)
(A)と(B)を連立して解いてθを求めます。
(ii)のとき
点Oの座標について
{2cos2θ+2cos(θ+π/3)}/3=0 (C)
{2sin2θ+2sin(θ+π/3)}/3=0 (D)
(C)と(D)を連立して解いてθを求めます。
(和積の公式を使いましょう。)

No.18787 - 2012/10/04(Thu) 22:06:02

☆ Re: 三角関数 / X

後半)
条件から
動径OPの極角は2θ (A)
動径OPの極角はθ-π/3 (B)
後は問題のθの範囲のときの(A)(B)の値の範囲と
(A)(B)の大小関係に注意して∠OPQを求めます。

No.18788 - 2012/10/04(Thu) 22:10:25

★ 文系 / 松尾

ある定数aに対してkが実数を動くとするとき放物線y=-x^2-(k+2)x+ak^2の頂点の軌跡が直線lになるとする。

(1)定数aの値と直線lの方程式を求めよ。
(2)k=2の時の放物線C1とk=-2のときの放物線C2の共通接線の方程式を求めよ。
頂点をP(X.Y)とすると
X=-(k+2)/2・・・?@
Y=｛(k+2)^2/4｝+(ak^2)・・・?A
?@?AよりY=X^2-2aX-2aとなったのですが、
頂点の軌跡は直線なんですよね？
放物線になってしまうのですがなぜなんでしょうか？
また、(1)(2)が分かりません。誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18784 - 2012/10/04(Thu) 19:06:35

☆ Re: 文系 / ヨッシー

?Aのak^2 にｋを代入するとき、２乗するのを忘れているようです。
正しく計算すると、Ｘ^2 の係数にａが入ってきて、ａの値を
適当に決めれば、０にすることが出来ます。
ａが決まれば、そのままｌの式も出てきます。

ｋがいろんな値をとっても頂点が直線上を動くと言うことは、
ｋがある値のときの放物線と、別の値のときの放物線とは、
この直線の方向に、平行移動した位置関係にあります。
ということは、共通接線の傾きも、(1) で求めた直線の
傾きと同じはずです。
実は、(1) の答えはｙ＝－ｘ－１　ですが、求める共通接線の式を
ｙ＝－ｘ＋ｂと置いて、放物式に接するようにｂを決めます。

No.18785 - 2012/10/04(Thu) 19:53:31

★ 高校文系数学 / 図形

四面体ABCDにおいて、
AB=√2 、AC=２、AD=√3
∠BAC=45°、∠CAD=30°
更に、
cos∠BAD=√3cos∠BCD
が成り立つとき、次の問いに答えよ。

(1)辺BDの長さを求めよ。
(2)四面体ABCDの表面積を求めよ。
(3)四面体ABCDの体積を求めよ。

で(1)(2)はわかったのですが、(3)がわかりません。
解答には「ACの中点をHとすると、Hは外心。
三角形DHBは直角三角形DH⊥HBかつAC⊥HB
BHは面ADCに垂直。
よって体積は(1/3)・△ACD・BH=√3/6」
とあるのですが、外心のくだりから意味がわかりません。
元々図形が苦手なので誰か分かり易く教えて頂けないでしょうか？
ちなみに
(1)√2
(2)(4+2√3+√7+√15)/4
です。

おねがいします。

No.18779 - 2012/10/03(Wed) 18:39:58

☆ Re: 高校文系数学 / X

(1)(2)の計算過程でBC,CDの長さを求めていると思いますが
これらの値から
△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形 (A)
△ACDは∠ADC=90°の直角三角形
となっていることが分かります。
従って円周角により
ACの中点Hは△ABC,△ACDの外心 (B)
であり外接円の半径、つまりCHの長さは
CH=(1/2)AC=1
さて(B)よりBH,DHも外接円の半径になりますので
BH=DH=1
このことと(1)の結果から△BDHは∠BHD=90°の
直角二等辺三角形になります。
∴BH⊥DH (C)
一方(A)より点Hは点Bから辺ACに下ろした垂線の足にも
なっていますので
BH⊥AC
∴BH⊥AH (D)
(C)(D)よりBHは点A,D,Hを含む平面、つまり点A,C,Dを
含む平面と垂直となります。
従って四面体ABCDにおいて△ACDを底面とすると
BHが高さと言うことになります。

No.18780 - 2012/10/03(Wed) 20:37:57

★ (No Subject) / 図形と方程式

長さlの線分が,その両端を放物線上にのせて動く.この線分の中点Mがx軸に最も近い場合のMの座標を求めよ.ただし,l≧1とする.

No.18777 - 2012/10/03(Wed) 14:25:48

☆ Re: / ヨッシー

放物線の式は与えられていませんか？
そうでないと、ｌ≧１の条件が有って無きがごとしですが。

No.18782 - 2012/10/04(Thu) 06:56:16

☆ Re: / 図形と方程式

放物線y=x^2上でした
入力ミスすいませんでした。

No.18783 - 2012/10/04(Thu) 18:37:21

☆ Re: / angel

取りあえず地道に計算すれば…

線分の両端のx座標をp,q ( つまり両端の座標は (p,p^2),(q,q^2) ) とすれば、線分の長さ L ( 大文字にしました ) から p,q の条件が導けます。

一方、Mの座標を (s,t) とおけば s,t は p,q を使って表すことができます。
だからといって、p,q を s,t で直接表すのは少し大変ですが、基本対象式 (p+q), pq を s,t で表すことはできます。
これを先ほどの p,qの条件にあてはめれば、s,t の条件が出せます。

最終的には、t を s ( と L ) で表して、t の最小値を求める…という感じで。

No.18791 - 2012/10/05(Fri) 00:46:05

★ 高１ / 整数問題

k,x,yは正の整数とする.三角形の三辺の長さがk/x,k/y,1/xyで,周の長さが25/16である.k,x,yを求めよ.

No.18776 - 2012/10/03(Wed) 13:59:53

☆ Re: 高１ / らすかる

三角形の成立条件により
k/x+k/y＞1/xy から kx+ky＞1 だが、これは常に成り立つ。
k/x+1/xy＞k/y から yk+1＞xk なので yk≧xk
k/y+1/xy＞k/x から xk+1＞yk なので xk≧yk
∴xk=ykなのでx=y
k/x+k/x+1/x^2=25/16
32kx+16=25x^2 …　(1)
xは4の倍数なのでx=4tとおいて整理すると
(25t-4k)^2=(4k)^2+25
左辺が平方数なので右辺も平方数であり、4kより大きい数の2乗
(4k)^2+25≧(4k+1)^2 を解くと k≦3
k=1,2,3のうち、(4k)^2+25が平方数になるのは
k=3のときのみなのでk=3
(1)から25x^2-96x-16=0
(x-4)(25x+4)=0
xは正の整数なのでx=4
∴k=3,x=y=4

No.18778 - 2012/10/03(Wed) 15:29:40

★ 図形の証明 / るお

直角三角形ではない三角形ABCの垂心をHとし、頂点A,B,Cから対辺またはその延長への垂線の足をそれぞれK,L,Mとする。

点Kが線分BC(両端を除く)の上にあるならば、直線AKは角LKMを二等分することをを証明せよ。

よろしくお願いします

解答では、「四角形BKHM,四角形CLHKはそれぞれ円に内接する」とかいていたのですが、そこがよくわからないです

No.18773 - 2012/10/02(Tue) 20:49:01

☆ Re: 図形の証明 / X

問題文に不備はありませんか？。
>>直線AKは角LKMの内心
意味不明です。

No.18774 - 2012/10/02(Tue) 20:52:15

☆ Re: 図形の証明 / ヨッシー

問題文、訂正したら、そう書いてくださいね。

内接するのは、こういうことです。
△ＡＢＣが鈍角三角形のときは、四角形ＡＫＢＭと四角形ＡＫＣＬが
円に内接します。
理由は、各四角形の内角を調べれば明らかです。
さらに、図の●の角度はそれぞれ等しく、円周角で、
∠ＡＫＭ、∠ＡＫＬに移せば、
　∠ＡＫＭ＝∠ＡＫＬ
が言えます。

No.18775 - 2012/10/02(Tue) 21:12:54

☆ Re: 図形の証明 / るお

すいませんでした、今度から気をつけます

そして、ありがとうございました

No.18781 - 2012/10/03(Wed) 20:43:42

★ 確率の問題 / 点

A,B 2人がサイコロをそれぞれn回ずつ振り，そのk回目に出たA,B それぞれのサイコロの目をak,bkとする
このときa[1]b[1]+a[2]b[2]+・・・+a[n]b[n]が偶数になる確率をp[n]とする。
(1)p[n]=1/2・p[n-1]+(1/4)
(2)p[n]を求めよ。

(1)はp[n]を求めよっていう問題で答です。
(2)がよくわかりません。
とりあえず漸化式なので
p[[n]-(1/2)＝1/2｛p[n-1]-(1/2)｝
まではいけたのですが
このあとに
p[n]-(1/2)=(1/2)^(n-1)・{p[1]-(1/2)}
とありますがこれがわかりません。
p[n-1]-(1/2)=a[n-1]とおくと
a[n]=1/2・a[n-1]・・・?@という等比数列になりますよね。
いつもどおりやるとa[n]=a[1]・r^(n-1)っていうのが等比数列の一般項を表す式なんでずらしてやると
a[n-1]=a[1]・r^(n-2)となりますよね。(r=1/2)
これを?@に代入すると
a[n]=(1/2)^(n-1)・a[1]とありますがこれでいいんでしょうか？
なんかわかりにくいです。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18771 - 2012/10/02(Tue) 07:49:00

☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー

>いつもどおりやると
の後の
　a[n]=a[1]・r^(n-1)
で、等比数列の一般項が完成していますので、それをまた
a[n-1] にずらして、?@に代入して、という必要はありません。
結局、 a[n]=(1/2)^(n-1)・a[1]　が得られていますが、これは、
　a[n]=a[1]・r^(n-1)
と同じ事ですよね？
このあとやることは、r に 1/2 を代入することはもちろんですが、
　a[n]＝p[n]-1/2
　a[1]＝p[1]-1/2
を代入することと、p[1] の具体的な数値を求めて、p[1] に
代入することです。

No.18772 - 2012/10/02(Tue) 09:07:47

★ 高1 / 整数論

自然数nに対して,Sn=(3^n)+(２^n)+5とおく
(1)Snが６の倍数であるための条件を求めよ
(2)Snが12の倍数にならないことを示せ
整数苦手なのでお願いします

No.18760 - 2012/10/01(Mon) 22:57:55

☆ Re: 高1 / IT

(1)について
分からないときは、具体的な数を入れて試してみることも有効です。
n=1,2,3,4のとき3^n、２^nを６で割った余りは、それぞれどうなりますか？規則性が分かりませんか？

No.18766 - 2012/10/02(Tue) 00:03:35

☆ Re: lTさん / 高１

それぞれ代入するとSnは
nが奇数のとき6で割った余りが4
nが偶数のとき6で割った余りが0
ということがわかりました
これをどう証明すればいいのですか？？

No.18768 - 2012/10/02(Tue) 01:31:01

☆ Re: 高1 / IT

数学的帰納法で証明できると思います。（略解）
任意の自然数nについて　3^nを６で割った余りは３である。
n=1のとき　3^1=3 なので正しい
ある自然数kについて
n=kのとき3^kを６で割った余りは３と仮定3^k＝6a+3 (aは整数）
n=k+1のとき
　3^(k+1)=(6a+3)*3=6*3a+9=6*(3a+1)+3
　すなわち3^(k+1)を６で割った余りは３
よって任意の自然数nについて　3^nを６で割った余りは３。

任意の正の奇数nについて
2^nを６で割った余りは2である
（証明）
n=1のとき2^n=2 なので正しい
ある正の奇数kについて
n=kのとき、2^kを６で割った余り２と仮定、2^k=6a+2
n=k+2のとき
　　2^(k+2)=(6a+2)*4=6*4a+8=6*(4a+1)+2
よって・・・・　
任意の正の偶数nについて
2^nを６で割った余りは４であるは　上の結果から証明

No.18769 - 2012/10/02(Tue) 07:05:06

★ 現役 / 整数数列問題

正の整数a1,a2,a3,a4がこの順で等比数列をなし,公比rが整数でなく,かつr>1であるとき,a4の最小値とそのときのa1の値を求めよ.

No.18753 - 2012/10/01(Mon) 21:04:58

☆ Re: 現役 / ヨッシー

ｒは有理数なので、r=n/m (1＜m＜n：mとnは互いに素)とおきます。
ａ4＝ａ1・n^3/m^3 であり、ｎとｍは１以外の公約数を持たないので、
ａ4 が整数になるためには、ａ1 が m^3 で割り切れ、しかも、
ａ1＝m^3 のときに、ａ4＝ｎ^3 となるのが、ａ4 が最小。
その中でも、ｎが小さいほどａ4も小さくなるので、
　ｒ＝3/2　ａ1＝８のとき、
　８，１２，１８，２７
という数列が出来ます。ａ4の最小は２７、そのときのａ1は８。

No.18757 - 2012/10/01(Mon) 21:55:07

★ 現役 / 整数問題

正の整数の組(a,b)で,a以上b以下の整数の総和が500となるものをすべて求めよ.ただしa<bとする.

No.18752 - 2012/10/01(Mon) 21:00:00

☆ 現役 / 整数問題

(59,66)と(98,102)と出たんですが合ってますかね？

No.18754 - 2012/10/01(Mon) 21:08:16

☆ Re: 現役 / IT

(59,66)と(98,102) の他に（8,32）もあるのでは、どうやって求めましたか？

私の解法（途中まで）
(a+b)(b-a+1)/2=500
(a+b)(b-a+1)=1000=(2*5)^3=(2^3)*(5^3)
(a+b){(a+b)-(2a-1)}=(2^3)*(5^3)

aは正整数なので　a+b＞(a+b)-(2a-1)
また　a＜bより、(a+b)-(2a-1)≧２

2a-1は奇数なので
a+b：偶数のとき、(a+b)-(2a-1)：奇数
a+b：奇数のとき、(a+b)-(2a-1)：偶数
a+b,(a+b)-(2a-1)のどちらかが8の倍数となる

よって
（a+b, (a+b)-(2a-1)) = (5^3,8), (8*5,5^2), (8*(5^2),5)

No.18756 - 2012/10/01(Mon) 21:35:46

☆ Re: 現役 / らすかる

ちょっと違う解法

500=2^2×5^3 なので
500の奇数の約数は5,25,125
よって合計が500になる奇数項の連続整数列は
中央の項が500÷5=100で5項からなる数列つまり98+99+100+101+102
中央の項が500÷25=20で25項からなる数列つまり8+9+…+32
中央の項が500÷125=4で125項からなる数列つまり(-58)+(-57)+…+66
の3つ。
最後の(-58)+(-57)+…+66 は (-58)+(-57)+…+58=0 が消せて
59+60+…+66とできるので
(98,102)(8,32)(59,66)の3個が答え。

No.18761 - 2012/10/01(Mon) 23:01:15

☆ Re: lTさん / 現役

分からなかったので数え上げたら2組でした。
よかったら解法最後までお願いします。

No.18764 - 2012/10/01(Mon) 23:16:29

☆ Re: 現役 / IT

（a+b, (a+b)-(2a-1)) = (5^3,8), (8*5,5^2), (8*(5^2),5)
をそれぞれa,bの連立一次方程式とみて解くだけです。
解法は以上です。
後の計算はご自分でお願いします。

No.18765 - 2012/10/01(Mon) 23:53:30

★ 極限 / サンデー

lim(x→∞）f'(x)=A・・?@のとき
limi(x→∞）(f(x+2)-f(x))を求めよ

平均値の定理より
(f(x+2)-f(x))/((x+2)-x)=f'(c)なるｃがｘとｘ＋２の間にあり
ｘ→∞の時ｃ→∞より与極限＝lim(c→∞）２f'(c)=2A

とあるのですがlim(c→∞）２f'(c)=2A
としてよいことが疑問です。理解できません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。

参考）
?@のｘはブラックボックスのようなものでｃでもｂでもｒでもなんでも代入できる。すなわち
lim(□→∞）２f'(□)=2Aとできる、ということだから□にｃが入っていると考えればよい、
などという回答が帰ってきそうですが、ちょっと待ってください。平均値の定理ではｘ＜ｃ＜ｘ＋２でありｃとｘは決して同じになる事はないはずです

No.18747 - 2012/09/30(Sun) 22:39:27

☆ Re: 極限 / らすかる

cとxはもちろん同じではないですよ。
xを大きくしていくと、xがどんなに大きくても
xとx+2の間に式を満たすcが存在するから
lim[c→∞]2f'(c)が存在するのであれば
lim[x→∞](f(x+2)-f(x))も同じ値になる
ということです。

No.18750 - 2012/10/01(Mon) 01:34:29

☆ Re: 極限 / サンデー

回答ありがとうございます。
それで、なぜlim[c→∞]2f'(c)＝２Ａなのですか？

No.18751 - 2012/10/01(Mon) 18:45:10

☆ Re: 極限 / らすかる

lim[x→∞]f'(x)=A のxは仮の変数であって
平均値の定理のxとは何の関係もありません。
lim[x→∞]f'(x)=A と
lim[a→∞]f'(a)=A と
lim[t→∞]f'(t)=A と
lim[c→∞]f'(c)=A は
すべてまったく同じ意味です。

No.18759 - 2012/10/01(Mon) 22:52:05

☆ Re: 極限 / サンデー

参考）?@のｘはブラックボックスのようなものでｃでもｂでもｒでもなんでも代入できる。すなわち
lim(□→∞）２f'(□)=2Aとできる、ということだから□にｃが入っていると考えればよい
という説明がやっぱり出てきましたね。

なぜlim[x→∞]f'(x)=A のxは仮の変数であって
平均値の定理のxとは何の関係もないと判断しなければならないのか教えてください。

No.18762 - 2012/10/01(Mon) 23:01:25

☆ Re: 極限 / らすかる

lim[x→∞]f'(x) の内部だけで完結している変数だからです。
例えば
f(x)=3x+5
g(x)=x+1
と書いてあるとき、f(x)のxとg(x)のxは何の関係もありませんね。
それと同じことです。
まさか、f(x)=3x+5 と f(c)=3c+5 が違う意味と思っていませんよね？

No.18763 - 2012/10/01(Mon) 23:08:44

★ 高3 / 整数問題

(n^2－４n+２４４)^1/4が整数となるような,整数nをすべて求めよ.
よろしくお願いします

No.18737 - 2012/09/28(Fri) 21:02:50

☆ Re: 高3 / らすかる

(n^2-4n+244)^1/4 は {(n^2-4n+244)^1}/4 と解釈され、
この場合解は無数にあります。

(n^2-4n+244)^(1/4) ならば
(n^2-4n+244)^(1/4)=k とおくと
n^2-4n+244=k^4
(n-2)^2+240=k^4
k^4-(n-2)^2=240
{k^2+(n-2)}{k^2-(n-2)}=240
掛けて240、平均が平方数となる2偶数を見つければよい。
掛けて240となる正の偶数の組は(2,120)(4,60)(6,40)(8,30)(10,24)(12,20)
であり、これらの平均は順に61,32,23,19,17,16で平方数は16だけだから
(16+(n-2),16-(n-2))=(12,20)(20,12)
これより n=-2,6

No.18740 - 2012/09/28(Fri) 23:13:46

☆ Re: 高3 / IT

(n^2－４n+２４４)＝(n-2)^2+240=m^4 （mは自然数）とおける
m^4-(n-2)^2=240

n-2=kとおく（表記を簡単にするためです）
m^4-k^2=240…?@
(m^2+k)(m^2-k)=240=(2^4)*3*5
k≧０のとき(m^2+k)＞０、k＜０のとき(m^2-k)＞０
積＝240＞０なので(m^2+k)＞０かつ(m^2-k)＞０

ｋが?@を満たせば-kも?@を満たすので
k≧０のときを考える
(m^2-k、m^2+k)の候補について[(m^2-k)+(m^2+k)]/2=m^2を調べる。
（積・和がともに偶数なので）
m^2-k、m^2+k ともに偶数であるので候補は
(2,120):61
(4,60):32 ※らすかるさんの御指摘どおり転記漏れでした。
(6,40):23
(8,30):19
(10,24):17
(12,20):16　である、このうち
[(m^2-k)+(m^2+k)]/2が平方数であるのは(12,20):16の場合のみである。
よって(m^2-k)=12,(m^2+k)=20　したがって k=4
k＜０のとき　k=-4
あわせて　k=n-2＝4,-4　すなわち　n＝6,-2
　

No.18741 - 2012/09/28(Fri) 23:22:20

☆ Re: 高3 / IT

失礼、らすかるさんとかぶりました。ほとんど同じですが、らすかるさんの方がすっきり正確かもしれません。

No.18742 - 2012/09/28(Fri) 23:26:33

☆ Re: 高3 / らすかる

私の説明よりITさんの説明の方が詳しく書いてあって
わかりやすいと思いますが、途中で(4,60)が足りないようです。

No.18743 - 2012/09/29(Sat) 00:36:38

☆ Re: 高3 / IT

> わかりやすいと思いますが、途中で(4,60)が足りないようです。
ご指摘ありがとうございます。訂正しました。

No.18744 - 2012/09/29(Sat) 01:29:40

★ 数学Ａ / 枕

(1+3x-x^2)^8の展開式におけるx^3の係数を求めよ。
と言う問題で
｛1+(3x-x^2)}^8とし二項定理を適用したのですが途中で詰みました。どうしてなんでしょうか？
答では
1をa個　3xをb個　-x^2をc個取り出すとすると
1^(a)・3x^(b)・(-x^2)^c
条件はa+b+c=8・・・?@
b+2c=3・・・?A
?@?Aよりa-c=5なので
(a,c)=(6,1)(5,0)
よって(a,b,c)=(6,1,1)(5,3,0)
よって8C6・2C1・1C1・1^6・(3x)^1・(-x^2)^1　+　8C5・5C3・1^3・(3x)^3＝1344x^3・・・(※)
とありました、
まず、(※)で足し算する理由が分かりません。
(a,b,c)=(6,1,1)のときと
(a,b,c)=(5,3,0)のときってのはまったく別物ですよね？
どうして各場合のときのx^3の係数を足し算することで答の係数になるんでしょうか？
教えて下さい。お願いします。

No.18734 - 2012/09/28(Fri) 18:12:50

☆ Re: 数学Ａ / らすかる

例えば (x^2+2x+3)^2 を展開するとき、x^2の項は
x^2×3×2=6x^2 と (2x)^2=4x^2 で、これを足しますよね？
それと同じことです。

No.18735 - 2012/09/28(Fri) 18:24:06