ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / a

現在大学工学部2年生のものですわからない問題があるので解説よろしくお願いします。

問題
2曲線y=2x^2,y=x^2+1で囲まれる部分のうち、2直線y=a,y=a+1の間にある部分をy軸の周りに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。V(a)を求めよ。ただし－1<a<2

答え
-1<a<0のとき{π(a+1)^2}/4
0≦a<1のとき{π(-2a^2+2a+1)}/4
1≦a<2のとき{π(a-2)^2}/4

No.19141 - 2012/11/06(Tue) 19:15:22

☆ Re: / ヨッシー

y=a,y=a+1 と放物線の交わり方で、以下の３通りに分けます。

(1) -1＜a＜0 のとき
求める体積は　ｙ＝2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝０からｙ＝ａ＋１まで積分したものなので、
　(π/2)∫[0～a+1]ｙｄｙ＝{π(a+1)^2}/4

(2) 0≦a＜1 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝ａ＋１まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝１からｙ＝ａ＋１まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a～a+1]ydy－π∫[1～a+1](y-1)dy
　　＝{π(-2a^2+2a+1)}/4

(3) 1≦a＜2 のとき
求める体積は　y=2x^2 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝πydy/2
をｙ＝ａからｙ＝２まで積分したものから
y=x^2+1 を切り取ってできる円盤
　πx^2dy＝π(y-1)dy
をｙ＝ａからｙ＝２まで積分したものを引いたものなので、
　(π/2)∫[a～2]ydy－π∫[a～2](y-1)dy
　＝{π(a-2)^2}/4

となります。

No.19143 - 2012/11/06(Tue) 19:55:01

☆ Re: / a

ありがとうございます。
理解できました。

No.19144 - 2012/11/06(Tue) 20:37:10

★ 数学 / じゃむ

1<x<2aが2a＋b≦x≦b＋16であるための必要条件となるときア<a≦イ、ウa＋エ<b<オa-カが成り立つ。

(1<x<2aのxの集合)⊃(2a+b≦x≦b+16のxの集合)が成り立つので包含関係に注意して数直線を描くと
2a+b>1かつb+16<2aとならないといけないことがわかりました。
ですがこれだけでは不十分ですよね？
答えをみると2a+b≦b+16をいっているのですがなんでなのかわかりません。
誰か分かる方教えて下さいよろしくお願いします。

No.19139 - 2012/11/06(Tue) 16:36:38

☆ Re: 数学 / ヨッシー

例えば、
　３≦ｘ≦１
なんて不等式はおかしいですよね？

No.19142 - 2012/11/06(Tue) 19:29:43

☆ Re: 数学 / じゃむ

回答ありがとうございます。
補足です。
問題文に
2a+b≦x≦b+16とある以上2a+b≦b+16は自明のような気がするのですがわざわざ2a+b≦b+16をいわないといけないんでしょうか？

No.19148 - 2012/11/07(Wed) 00:30:25

☆ Re: 数学 / ヨッシー

これ、答えは何ですか？

No.19149 - 2012/11/07(Wed) 06:35:47

☆ Re: 数学 / angel

…これは、問題に不備があるか、何か条件が追加であるのではないでしょうか?
素直に解くと、答えは
　a＞8 or -2a+1＜b＜2a-16
になるはずですが、問題文の形を見ると
　17/4＜a≦8 and -2a+1＜b＜2a-16
を答えさせようとしている風に見えますから。

なお、

> 例えば、
> 　３≦ｘ≦１
> なんて不等式はおかしいですよね？

これは別におかしくないです。ただ、その不等式を満たす x が存在しないだけです。

> 問題文に 2a+b≦x≦b+16とある以上2a+b≦b+16は自明のような気がするのですがわざわざ2a+b≦b+16をいわないといけないんでしょうか？

自明ではありません。だからといって2a+b≦b+16を言えば良いかというと、そうではありません。
2a+b≦b+16 の場合と、その逆 2a+b＞b+16 の場合を分けて考える必要があります。

No.19159 - 2012/11/08(Thu) 00:13:14

☆ Re: 数学 / じゃむ

返信遅れてごめんなさい。
立命館大学の文系数学の問題で
問題と解答が以下のURL先にありますのでお手数ですがご覧ください。
http://dl.dropbox.com/u/56741990/index/data/立命館大-2012-8.pdf/

数日たった今もいまいち釈然としません・・・

No.19178 - 2012/11/09(Fri) 11:26:14

☆ Re: 数学 / angel

問題・解答を拝見しました。
やはりこれは問題の不備ですね。問題文に
「なお、a,b は 2a+b≦b+16 を満たすものとする」
という一文を付け加えれば、元の解答のままでO.K.です。

ではなぜ「不備」かと言うと、a＞8 のケースが答えに含まれることを見落としているから、となります。
今回、条件A ( 1＜x＜2a ) が条件B ( 2a+b≦x≦b+16 ) の必要条件となる、すなわち B⇒A が成立する a,b を調べています。これは解答の解説にもある通り、
　(条件Aを満たすxの集合)⊃(条件Bを満たすxの集合)
と等価です。

ここで a＞8 のケースを考えてみましょう。
条件Bを満たすxは存在しませんから、(条件Bを満たすxの集合)というのは空集合φです。なので、
　(条件Aを満たすxの集合)⊃φ=(条件Bを満たすxの集合)
は十分に成立します。
ということは、a＞8 ( bは任意 ) という組は答えに含まれるということですね。
なので、元の問題文のままだと「a＞8 or -2a+1＜b＜2a-16」が答えになってしまうのです。が、これだと後続の問題と整合性が取れなくなりますし、出題者の本意ではないのでしょう。

最後に。
「『2a＋b≦x≦b＋16』という表現がある時点で、2a+b≦b+16 は自明ではないか?」という疑問はありうるかもしれません。
※あたかも、例えば「√xという表現がある時点で x≧0 は自明だ」と同じであるかのように。

確かに、p≦q かつ q≦r ( まとめて p≦q≦r ) ならば、推移律という性質から p≦r も成立するのですが…。そもそも a＞8 の場合、2a+b≦x, x≦b+16 の両方が成立する x が存在しないのですね。2a+b≦x かつ x≦b+16 が常に不成立なのですから、2a+b≦b+16 の成立は言えない、ただそれだけのことです。

No.19186 - 2012/11/10(Sat) 01:34:19

★ 四面体 / かれん

AB=AC=1、BC=xの・ABCの3辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL、M、Nとし、線分LM、MN、NLを折り目として3頂点A、B、Cが1点Pで重なるように折り曲げ、四面体PLMNを作り、その体積Vをとする。
xが変化するときのVの最大値を求めよ。

底面積が?儉MN=x√(4-x^2)/16になるのはわかりましたが、四面体の高さをどうやって求めるのかが分からないです。特徴ある形をしているので、きれいに求める方法がありそうですが見つからないです。
あとxの定義域は?儉MNの成立条件を考えるだけでよいでしょうか。四面体の成立条件みたいなものがあるんでしょうか。よろしくお願いします。

No.19128 - 2012/11/05(Mon) 02:22:17

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

ＭＮの中点をＤとします。
△ＰＤＬにおいて、ＤＬを底辺とした時の高さが、
四面体ＰＬＭＮにおいて、△ＬＭＮを底面とした時の高さと
等しくなります。

四面体の成立条件は、∠ＢＮＬが 90°以上になると、
ＬＮを折っても、ＢがＡにくっつかないので、ｘ＝√2 未満
でなければいけません。

No.19131 - 2012/11/05(Mon) 14:55:18

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

ＡＬ＝√(4-x^2)/2
ＡＤ＝√(4-x^2)/4
△ＰＤＬは、３辺が √(4-x^2)/4, √(4-x^2)/4, x/2 の三角形。
ＰＬの中点をＥとすると、ＰＥ＝x/4
　ＤＥ^2＝ＰＤ^2－ＰＥ^2
　　＝(4-x^2)/16－x^2/16＝(4-2x^2)/16
　ＤＥ＝√(4-2x^2)/4
よって、
　△ＰＬＤ＝(1/2)(x/2){√(4-2x^2)/4}＝x√(4-2x^2)/16
これより、求める高さは、
　x√(4-2x^2)/16×2÷{√(4-x^2)/4}＝x√(4-2x^2)/2√(4-x^2)
また、四面体ＰＬＭＮの体積Ｖは
　Ｖ＝(1/3)x√(4-x^2)/16×x√(4-2x^2)/2√(4-x^2)
　　＝x^2√(4-2x^2)/96

f(x)＝x^2√(4-2x^2) とおくと、
　f'(x)＝2x√(4-2x^2)－2x^3/√(4-2x^2)
　　＝{2x(4-2x^2)－2x^3}/√(4-2x^2)
　　＝x(8－6x^2)/√(4-2x^2)
よって、f'(x)＝0 の解は、ｘ＝0, ±2/√3

増減表は省略しますが、０＜ｘ＜√2 では、ｘ＝2/√3 で最大となります。

No.19135 - 2012/11/05(Mon) 17:15:38

☆ Re: 四面体 / かれん

とてもお詳しく教えてくださってありがとうございました。解き方はとてもよくわかりました。

xの定義域についてもう一つ質問させてください。

＞四面体の成立条件は、∠ＢＮＬが 90°以上になると、
ＬＮを折っても、ＢがＡにくっつかないので、ｘ＝√2 未満
でなければいけません。

折り紙で試してみたんですがくっついてしまいます^^;
ヨッシー様はどうやって∠BNLが90°以上の時はBとAがくっつかないことを見抜いたんでしょうか？方法を教えてください。お願いします。

No.19140 - 2012/11/06(Tue) 17:53:25

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

∠ＢＮＬが90°の時、ＮＬを折って、点Ｂを点Ａにくっつけようとすると、
平面としてはくっつきますが、ＭＮを少しでも折ると、くっつかなくなります。

図は、∠ＢＮＬ＝100°の場合ですが、このとき∠ＡＮＬ＝80°です。
ＭＮを折ると、∠ＡＮＬはさらに小さくなって、ここに
∠ＢＮＬ＝100°が納まることは出来ないです。

No.19145 - 2012/11/06(Tue) 21:49:20

☆ Re: 四面体 / かれん

何度も本当に申し訳ございませんが、BN=ANなのですからBとAはNから等距離にあるのだからくっつけることができる気がしてしまいます。折り紙ではなぜかくっついてしまいます。図を見ればくっつかないのは簡単に分かってしまうものなんでしょうか？何か理解しやすい理屈はないものでしょうか？

No.19146 - 2012/11/06(Tue) 23:44:06

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

図は、∠BNL=100°の図で、ＬＮ，ＬＭを折ったところです。
上（この図を見ている方向）から見たとき、
点Ｂは、ＢＢ’上を動きます。点ＣはＣＣ’上を動きます。
点Ｂが点Ｂ’に、点Ｃが点Ｃ’に来たときに、完全に２つ折りになってしまします。
この間、点Ｂは点Ｃとくっつきませんし、点Ａが通るＡＬ上にも
達しないので、点Ａともくっつきません。

もし、折り紙でくっついたというのなら、∠ＢＮＬが90°未満か、
折り目が正しくないかです。

No.19147 - 2012/11/07(Wed) 00:22:08

☆ Re: 四面体 / かれん

∠ＢＮＬ＝90°のときはＢはＢＡを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動き、ＡはＡＬを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動くので、2円がＡでしか交わらないので、このときはＢとＡが交わらない気がしてきました。

下の図を見ていて思いましたが、∠ＢＮＬが鈍角の場合、Ｂは辺ＡＢの外を動き、ＡはＡＬを直径とする?凾`ＢＣに垂直な円周上を動くので、くっつきようがない気がしてきました。
ＢがＢＢ’上を動くというのは、Ｂが辺ＡＢに対して?凾`ＢＣの外を動くといったようなことをおっしゃていたのでしょうか？こんな理解でよいでしょうか？

No.19150 - 2012/11/07(Wed) 10:56:03

☆ Re: 四面体 / ヨッシー

そういう理解でいいと思います。

点Ｂは点Ｂ’に至るまで、実際は円弧状を動きますが、
△ＡＢＣと垂直な方向から見ると、直線（線分）上を
動くように見えます。
同様に点ＡはＡＬ上を動くのですが、図からわかるように
両者は交わりません。（＝点Ａと点Ｂはくっつかない）

また、点Ｌ付近に着目すると、
∠ＮＬＢと∠ＭＬＣを足しても、∠ＮＬＭに足りません。
よって、ＮＬ，ＭＬで、折っても、辺ＢＬ，ＣＬはくっつくことなく
180°回ってしまいます。
そういう意味では、１頂点に集まる３つの角について、
三角不等式のようなものが成り立ち、これが四面体の
存在条件といっても良いでしょう。（実際そういうのかも）

No.19151 - 2012/11/07(Wed) 11:13:15

★ (No Subject) / ハル

x≧0において、関数f(x)=(e^-x)/2を考える。
⑴x≧0において、ｆ(x)の導関数の絶対値の最大値を求めよ。
⑵方程式x=ｆ(x)は、0<x<1にただひとつだけの解を持つことを証明せよ
⑶数列{xn}をx1=0,xn+1=f(xn)と定める。
⑴の最大値をK,⑵の解をαとするとき、|xn+1－α|≦K|xn－α|が成り立つことを示し、リミット【n→∞】xn=αを証明せよ

どうも⑵から方針がたちません
教えてほしいですf^_^;)

No.19125 - 2012/11/04(Sun) 21:35:24

☆ Re: / ヨッシー

ですか？

No.19132 - 2012/11/05(Mon) 15:06:28

☆ Re: / ハル

>
> ですか？

そうです（;￣O￣）
わかりづらくてすみません💦

No.19133 - 2012/11/05(Mon) 16:32:44

☆ Re: / X

(1)
こちらの計算では1/2となりました。

(2)
g(x)=(1/2)e^(-x)-x
と置くと
g'(x)=-(1/2)e^(-x)-1＜0
∴g(x)は単調減少 (A)
又
g(0)=1/2＞0 (B)
g(1)=-1/2＜0 (C)
(A)(B)(C)から中間値の定理により方程式g(x)=0は
0＜x＜1の間に只１つの解を持つので問題の命題は
成立します。

No.19137 - 2012/11/06(Tue) 12:22:23

☆ Re: / X

(3)
前半)
条件から
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|=|{f(x[n])-f(α)}/(x[n]-α)|
ここでf(x)は微分可能ですので平均値の定理により
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|=|f'(c)|
(α＜x[n]のときα＜c＜x[n],x[n]＜αのときx[n]＜c＜α)
なるcが存在します。 (P)
ここでn≧2のとき
x[n]=f(x[n-1])＞0
これとx[1]=0であることからn≧1に対し
x[n]≧0 (A)
又
α=f(α)＞0 (B)
(A)(B)(P)より
c＞0
ですので(1)の結果により
|f'(c)|≦K=1/2 (C)
(P)(C)より
|x[n+1]-α|/|x[n]-α|≦1/2
∴|x[n+1]-α|≦(1/2)|x[n]-α|
後半)
前半の結果とはさみうちの原理を使います。

No.19138 - 2012/11/06(Tue) 12:58:31

★ (No Subject) / shibuki

ｒは実数の定数とする。漸化式
ａ1=1－ｒ
ａn+1=ｒan(nは奇数)
ａn+2=an－an+1(nは奇数)
で定義される数列{an}について、つぎの各問に答えよ。
⑴a2m－1(m=1,2,‥)を求めよ。
⑵無限級数Σ【n=1→無限】anが収束するようなrの値の範囲を求めよ。また、そのときの和を求めよ。

教えてくださいヽ(；▽；)ノ

No.19108 - 2012/11/02(Fri) 13:00:21

☆ Re: / X

(1)
条件から
a[2m+1]=a[2m-1]-a[2m]
=a[2m-1]-ra[2m-1]
=(1-r)a[2(m-1)+1]
∴a[2m-1]={(1-r)^(m-1)}a[1]
a[1]=1-rを代入して
a[2m-1]=(1-r)^m
(2)
(1)の結果より
a[2m]=ra[2m-1]=r(1-r)^m (m=1,2,…)
∴S[n]=Σ[k=1～n]a[k]
とすると
S[2m-1]=Σ[k=1～m]a[2k-1]+Σ[k=1～m-1]a[2k]
=(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}+r(1-r){1-(1-r)^(m-1)}/{1-(1-r)}
=(1-r){1-(1-r)^m}/r+(1-r){1-(1-r)^(m-1)}
=(1/r-r)-(1/r)(1-r)^m (A)
S[2m]=Σ[k=1～m]a[2k-1]+Σ[k=1～m]a[2k]
=(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}+r(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}
=(1-r)(1+1/r){1-(1-r)^m} (B)
題意を満たすためにはm→∞のとき(A)(B)が同じ値に収束
しなければならないので、まず収束するという条件から
-1＜1-r＜1
∴0＜r＜2 (C)
このとき
lim[m→∞]S[2m-1]=1/r-r (A)'
lim[m→∞]S[2m]=(1-r)(1+1/r)=1/r-r (B)'
(A)'(B)'は等しくなっているので、求めるrの値の範囲は
0＜r＜2
このときの無限級数の和は
1/r-r
となります。

No.19111 - 2012/11/02(Fri) 16:41:48

★ 数学 / mati

△ABCにおいて辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b.cとおく。また、△ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をＲとおく。３辺の長さがa+b+c=5をみたすとき
(1)r=1/3のとき△ABCの面積Ｓを求めよ
(2)r=1/3　△BCA=90°　a≦bのときa,bを求めよ
(3)a=b Rr=2/5 ∠BCA<90°のときa,b.cを求めよ

(1)はヘロンの公式を用いてS=5/6
(2)は∠C=90°の直角三角形なので得られる条件はab/2=5/6 a+b+c=5　c^2=a^2+b^2
これらから2文字を消去すると
a=(1+√31)/6とb=5√3-5が得られ、これはa≦bを満たしているので適当。
(3)は二等辺三角形で∠CからABに垂線を下ろしたときの交点をMとし、∠ACM=θとすると
sinθ=｛5/(2a)｝-1　この調子でcosθもだして・・・と思ったのですが√がでてくるので無理。
sinθを用いて三角形の面積を求めヘロンの公式からrをaだけの式で出して
正弦定理からRをaだけの式で表していければと思ったんですけど無理っぽいです。
どなたか分かる方教えて下さい。お願いします。

No.19103 - 2012/10/31(Wed) 20:37:20

☆ Re: 数学 / X

>>sinθを用いて三角形の面積を求め～
をアレンジして使いましょうか。
つまり△ABCの面積(Sとします)をr,Rを用いた２通りの方法で
表してみます。
まずSをrを用いて表すと
S=(1/2)(a+b+c)r=5r/2 (A)
次に正弦定理により
2R=c/sin∠BCA
∴sin∠BCA=c/(2R)
∴S=(1/2)BC・CAsin∠BCA=abc/(4R) (B)
(A)(B)より
5r/2=abc/(4R)
∴Rr=abc/10
これにRr=2/5を代入すると
abc=4 (C)
(C)と
a=b (D)
a+b+c=5 (E)
を連立して解きます。但し、得られた解が
∠BCA<90°
つまり
0＜cos∠BCA＜1
となっていることを余弦定理を用いて確かめることを
忘れないようにしましょう。

No.19104 - 2012/10/31(Wed) 20:50:44

☆ Re: 数学 / X

こちらの計算では
(a,b,c)=(2,2,1)
となりました。

No.19105 - 2012/10/31(Wed) 21:01:30

☆ Re: 数学 / mati

0<cos∠BCA<1のところで
cos∠BCA
=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=(-2a^2+20a-25)/2a^2
となりました。
0<(-2a^2+20a-25)/2a^2<1において分母の2a^2は2a^2>0より両辺にかけてやると
0<-2a^2+20a-25<2a^2
ここからaの範囲をだしていけばいいと思うんですけど自分がやると(10-√50)/2<a<(10+√50)/2(ただしa≠5/2)となってしまいました。
これ以前にaの候補としてはa=2とa=(1+√17)/4があったのですが範囲が曖昧すぎて調べられません。
どうやればa=2と確定できるんでしょうか？おねがいします。

No.19124 - 2012/11/04(Sun) 18:23:22

☆ Re: 数学 / X

まず
(10-√50)/2-5/2=(5-√50)/2=(√25-√50)/2＜0
∴aの値の範囲は
(10-√50)/2＜a＜5/2
5/2＜a＜(10+√50)/2
となります。
次に
2-(10-√50)/2=(-6+√50)/2=(-√36+√50)/2＞0
∴(10-√50)/2＜2＜5/2
5＜(5/2)(2+√2)
ですのでa=2は題意を満たしています。
問題は
a=(1+√17)/4
の場合ですが
(1+√17)/4＜(1+√25)/4=3/2＜5/2
となりますので後は(10-√50)/2との比較になります。
(1+√17)/4-(10-√50)/2＜(1+√17)/4-(10-√49)/2
∴(1+√17)/4-(10-√50)/2＜(-5+√17)/4=(-√25+√17)/4
ですので
(1+√17)/4-(10-√50)/2＜0
よって
(1+√17)/4＜(10-√50)/2
ですのでa=(1+√17)/4は題意を満たしません。

No.19177 - 2012/11/09(Fri) 09:56:10

★ 微分グラフ / shibuki

ａを実数の定数とする。|x|≧1で定義された関数ｆ(x)=√(x^2－1)－ａｘは次の条件を満たす。
条件:ｆ(x)はｘ=2/√3で極大となる
このときつぎの各問に答えよ。
⑴ａの値を求めよ。
⑵【X→－無限】{ｆ(x)－(ｐx＋q)}=0をみたすｐ,ｑの、値をそれぞれ求めよ
⑶ｆ(x)の増減およびｙ=ｆ(x)の漸近線の有無を調べて、ｙ=ｆ(x)のグラフをかけ

No.19100 - 2012/10/31(Wed) 13:45:32

☆ Re: 微分グラフ / ヨッシー

(1)
　f'(x)=x/√(x^2－1)－ａ
条件より
　f'(2/√3)＝２－ａ＝０
よって、ａ＝２

(2)
ｘ→－∞　のとき　√(x^2－1)→－ｘであるので、
ｆ(x)－(ｐx＋q)→０　になるには、
　ｆ(x)－(ｐx＋q)→－ｘ－２ｘ－ｐｘ－ｑ＝０
より　ｐ＝－３，ｑ＝０

(3)
同様に　ｘ→∞　のとき　√(x^2－1)→ｘであるので、
ｆ(x)－(ｐx＋q)→０　になるには、
　ｆ(x)－(ｐx＋q)→ｘ－２ｘ－ｐｘ－ｑ＝０
より　ｐ＝－１，ｑ＝０
よって、ｘ＜０の漸近線はｙ＝－３ｘ、ｘ＞０の漸近線はｙ＝－ｘ。
　f'(x)＝x/√(x^2－1)－２
において、
　ｘ≦－１　のとき　f'(x)＜０　・・・単調減少
　１＜ｘ≦2/√3 のとき　f'(x)≧０　・・・単調増加
　2√3＜ｘ　のとき　f'(x)＜０　・・・単調減少
を元にグラフを描きます。
（グラフは省略）

No.19106 - 2012/11/01(Thu) 10:34:43

★ 微分 / shibuki

⑴すべての実数x,yにたいして、不等式|cosx－cosy|≦|x－y|が成り立つことを示せ。
⑵ｆ(x)＝(π/4)cos(x－π/4)とする。数列{ｘｎ}を
x1=0 xn+1=ｆ(xn) n=1.2.3.…
によって定義するとき、
?@ 不等式|ｆ(xn)－ｆ(π/4)|≪(π/4)|xn－π/4|が成り立つことを示せ
?A リミット【n→無限】xnを求めよ

よろしくお願いします(｡-_-｡)

No.19099 - 2012/10/31(Wed) 12:54:24

☆ Re: 微分 / IT

⑴すべての実数x,yにたいして、不等式|cosx－cosy|≦|x－y|が成り立つことを示せ。
の方針のひとつだけ

・cosx－cosy：差を積に変換
・すべての実数xにたいして|sinx|　≦ 1と|sinx|　≦ |x|を使う（|sinx|　≦ |x|は要証明、微分を使う）

No.19101 - 2012/10/31(Wed) 17:55:21

☆ Re: 微分 / angel

(1) 積分を習っていれば、次も使えます。
　以下、x≧y のケースで。( x＜y も同じように確かめられるので省略 )
　(cos(t))'=-sin(t) より ∫[y,x] ( -sin(t) )dt = cosx-cosy
　任意の t で -1≦-sin(t)≦1 のため
　∫[y,x] -dt ≦ ∫[y,x] ( -sin(t) )dt ≦ ∫[y,x] dt
　すなわち -(x-y)≦cosx-cosy≦x-y

　なお、(1)では等号成立を吟味する必要はありませんが、(2)のことを考えると、「等号成立は x=y に限る」も調べておいた方が良いです。

(2) i は (1) の結果をそのまま使います。
ただし、どの xn も xn≠π/4 となることを帰納法で証明しておく…かな?
※ |f(xn)-f(π/4)|＜(π/4)・|xn-π/4| の成立を示す場合。＜ではなく≦ で良いなら、xn≠π/4 は調べなくても良い

(2) ii は i の結果が |x[n+1]-π/4|＜(π/4)・|xn-π/4| であることを元に、xn-π/4 が等比数列 ( 公比π/4 ) でおさえられることを利用します。

No.19107 - 2012/11/01(Thu) 23:00:24

☆ Re: 微分 / IT

>(1) 積分を習っていれば、次も使えます。
なるほどスマートな解法ですね。思いつきませんでした。

No.19117 - 2012/11/04(Sun) 04:50:47

★ 私大文系の数学 / just

nを3以上の整数とする。
(1)x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+x+1をx-1で割った余りを求めよ。
(2)x^(n)-1を(x-1)^2で割った余りを求めよ。
(3)x^(n)-1をx^(2)-1で割った余りはnが偶数のとき□
nが奇数のとき△である。□と△に入るものを求めよ。
(4)nを3以上の整数とする。x^(n)-3^(n)を(x-3)^2で割った余りを求めよ。また、x^2-5x+6で割った余りを求めよ。

(1)はn
(2)はn(x-1)となったのですが(3)(4)は全く分かりません。
答と解説がないので誰か教えて下さい。お願いします。

No.19093 - 2012/10/30(Tue) 18:37:56

☆ Re: 私大文系の数学 / ＿

ではとりあえず(3)を。

割った商をP(x)、余りをax+bとすると、

x^n - 1 = P(x)(x^2 - 1) + ax + bなので、これに1,-1を代入するとaとbを得られます。

この手の問題のごく標準的な解き方なので、この考えがどうにもわかりづらい場合は、教科書などでの復習をおすすめします。

No.19095 - 2012/10/30(Tue) 19:25:20

☆ Re: 私大文系の数学 / X

(4)
前半は(2)ができていれば同じ方針でできると思いますが
解けないと言うことは(2)で何か特殊な方針を用いたので
しょうか？

後半は
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
と因数分解できることに気付けば、＿さんの方針で
解くことができます。

No.19096 - 2012/10/30(Tue) 20:33:46

☆ Re: 私大文系の数学 / just

回答ありがとうございます。(４)の前半はn・3^(n-1)x-n・3^(n)となったのですがどうなんでしょうか？

No.19102 - 2012/10/31(Wed) 19:56:32

☆ Re: 私大文系の数学 / X

それで問題ないと思います。

No.19112 - 2012/11/02(Fri) 18:42:03

★ Σの計算 / Xex(3年)

kの式で、k=1からnまでの総和を{k=1～n}Σ(k)とします。

問:{j=1～n}Σ[{k=j～n}Σ(j+k)]=? (明治大,ニューアクションωIIBより)
答えは(1/2)n(n+1)^2です　解説お願いします

No.19085 - 2012/10/29(Mon) 16:42:50

☆ Re: Σの計算 / X

Σ[k=j～n]のスタートがk=jからとなっていますので
まずはこれを1となるように式変形しましょう。
方法その１)
k-j+1=l
と置くと
k=l-j-1
で
Σ[j=1～n]Σ[k=j～n](j+k)
=Σ[j=1～n]Σ[l=1～n-j+1](j+l-j-1)
=Σ[j=1～n]{Σ[[l=1～n-j+1]Σ(l-1)}
=…
方法その２)
Σ[j=1～n]Σ[k=j～n](j+k)
=Σ[j=1～n]{Σ[k=1～n](j+k)-Σ[k=1～j-1](j+k)}
=…

後はいずれの場合も{}内を先に計算します。

No.19086 - 2012/10/29(Mon) 18:08:21

☆ Re: Σの計算 / ＿

見慣れないもの(今回は二重のΣ)が出てきたら、そこでパニックに陥るのではなく、知っている範囲で解決できないか探ってみることが大事です。

とりあえず地道にやってみます。面倒なのでΣの添字を略しているところがあるので適宜補ってください。

{k=j～n}Σ(j+k) = Σj + Σk = (n-j+1)j + n(n+1)/n - (j-1)j/2 = n(n+1)/2 - (3/2)j^2 + (n+3/2)j
となるので、
{j=1～n}Σ{k=j～n}Σ(j+k)=Σn(n+1)/2 - Σ(3/2)j^2 + Σ(n + 3/2)j
=(n^2)(n+1)/2 - n(n+1)(2n+1)/4 + (n+3/2)n(n+1)/2
=(n(n+1)^2)/2

---
他にも、

求めるものは
(1+1)+(1+2)+(1+3)+…+(1+n) 　　 +(2+2)+(2+3)+…+(2+n) 　　　　　 +(3+3)+…+(3+n) 　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　　　　　　　　　　　　　+(n+n)
の値ですが、

ここでまず、
(1+1)+(1+2)+(1+3)+…+(1+n) (2+1)+(2+2)+(2+3)+…+(2+n) (3+1)+(3+2)+(3+3)+…+(3+n) 　　　　　　：　　　　　　　　　　　　：　　　　　　 (n+1)+(n+2)+(n+3)+…+(n+n)
の値を考えます。この値をSとでもしましょう。

S=n(1+2+…+n)+n(1+2+…+n)=(n^2)(n+1)で、
(括弧内の1番目をタテに足した和がn個と2番目をヨコに足した和がn個)

例えば上記の(1+2)=(2+1),(2+3)=(3+2)の様に対角線を挟んで同じ値の組が1つずつあるから、求めるものは[S-{(1+1)+(2+2)+…+(n+n)}]/2 + {(1+1)+(2+2)+…+(n+n)}と分かる。
{(1+1)+(2+2)+…+(n+n)} = 2(1+2+…+n) = n(n+1)だから以下略。

という感じのはどうでしょう。

No.19087 - 2012/10/29(Mon) 18:10:30

☆ Re: Σの計算 / Xex(3年)

解決しました
ありがとうございました

No.19088 - 2012/10/29(Mon) 18:48:02

★ 数学の問題よくわかりません / まき

separateの８文字を横一列に並べて文字列を作る。

(1)ae,eaの少なくとも一方を含むものは何通りあるか
答では余事象を使っていたんですけど
自分はとりあえず、(i)aeのみ (ii)eaのみ (iii)aeとeaの両方
の場合分けで考えました。
(i)aeのみ含む場合
一番避けたいのはaeの両端に残っているaとeがくることなので
〇ae〇を一つとみなします。
すると〇にはs,p,r,tから選ばなければならないので4P2通り
aeの作り方は2通り
具体的に【saep】の場合を考えてみます。
いまのこっているのはr,t,a,eでありこちらについても場合分けが必要で
(a)さらにaeを含む(b)eaを含まない→aとeが隣り合わない場合が考えられます。
(b)の場合は〇r〇t〇の３つの〇からa,eの受け皿を２つ選んでやればよいので3P2通り
r,tの並び方は2!通り
ex.【saep】とaret
【saep】の入れ方は〇a〇r〇e〇t〇の5つの〇から1つ選んで入れればよいので5通り
よってまず一つの場合は4P2×2×3P2×2!×5=1440通り
もう一つの場合は
aeを一つとみなすと、r,t,aeの並べ方は3!通り
他は先ほどと同様なので4P2×2×6=192通り
よって(i)は1440+192=1632通り
(ii)も同様で1632通り
(iii)は4320通り
以上より4320+1632・2=7584通り
となったのですが答は7440通りです。
どこで間違ってしまったんでしょうか？
余事象を使う別解等は間に合っているのでどなたかどこで自分が間違っているのかを教えて下さい。お願いします。

No.19069 - 2012/10/28(Sun) 13:42:10

☆ Re: 数学の問題よくわかりません / ＿

とりあえず最初の、
「aeの両端に残っているaとeがくる」のを避けたいのは何故ですか？
eaeaとしてしまうとeaを含んでしまうのは分かるのですが、aaeeだと何の問題もないと思うのですが。

No.19072 - 2012/10/28(Sun) 14:42:20

☆ Re: 数学の問題よくわかりません / まき

すみません。完全に見落としていました・・・(泣)
aaeeとなる場合を別に求めれば答えに至れるんでしょうか？＾＾；

No.19074 - 2012/10/28(Sun) 14:45:30

☆ Re: 数学の問題よくわかりません / ＿

この時点で7584通りと出ていて、別途aaeeとなる場合を考慮したら7584通りより増えることはあっても減ることは当然ありません。したがって、7440通りに近づくどころか遠ざかります(いや、数だけ合ってればいいってものでもないですが)。

本来の答えより多いということは重複して数えている箇所があるということで、それを排除する必要があり、また数え漏らしもないか考える必要もあり、他にも修正が必要です。が、私にとっては複雑になりすぎていてどうにも考える気が失せます。直接数えるにしてももう少し整理できるかもしれません。

＃少なくとも私ならその間に合ってる方の解法を選びます。

No.19075 - 2012/10/28(Sun) 14:58:19