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★ (No Subject) / shibuki
ｒは実数の定数とする。漸化式
ａ1=1−ｒ
ａn+1=ｒan(nは奇数)
ａn+2=an−an+1(nは奇数)
で定義される数列{an}について、つぎの各問に答えよ。
⑴a2m−1(m=1,2,‥)を求めよ。
⑵無限級数Σ【n=1→無限】anが収束するようなrの値の範囲を求めよ。また、そのときの和を求めよ。

教えてくださいヽ(；▽；)ノ
No.19108 - 2012/11/02(Fri) 13:00:21
☆ Re: / X
(1)
条件から
a[2m+1]=a[2m-1]-a[2m]
=a[2m-1]-ra[2m-1]
=(1-r)a[2(m-1)+1]
∴a[2m-1]={(1-r)^(m-1)}a[1]
a[1]=1-rを代入して
a[2m-1]=(1-r)^m
(2)
(1)の結果より
a[2m]=ra[2m-1]=r(1-r)^m (m=1,2,…)
∴S[n]=Σ[k=1〜n]a[k]
とすると
S[2m-1]=Σ[k=1〜m]a[2k-1]+Σ[k=1〜m-1]a[2k]
=(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}+r(1-r){1-(1-r)^(m-1)}/{1-(1-r)}
=(1-r){1-(1-r)^m}/r+(1-r){1-(1-r)^(m-1)}
=(1/r-r)-(1/r)(1-r)^m (A)
S[2m]=Σ[k=1〜m]a[2k-1]+Σ[k=1〜m]a[2k]
=(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}+r(1-r){1-(1-r)^m}/{1-(1-r)}
=(1-r)(1+1/r){1-(1-r)^m} (B)
題意を満たすためにはm→∞のとき(A)(B)が同じ値に収束
しなければならないので、まず収束するという条件から
-1＜1-r＜1
∴0＜r＜2 (C)
このとき
lim[m→∞]S[2m-1]=1/r-r (A)'
lim[m→∞]S[2m]=(1-r)(1+1/r)=1/r-r (B)'
(A)'(B)'は等しくなっているので、求めるrの値の範囲は
0＜r＜2
このときの無限級数の和は
1/r-r
となります。
No.19111 - 2012/11/02(Fri) 16:41:48
★ 数学 / mati
△ABCにおいて辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b.cとおく。また、△ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をＲとおく。３辺の長さがa+b+c=5をみたすとき
(1)r=1/3のとき△ABCの面積Ｓを求めよ
(2)r=1/3　△BCA=90°　a≦bのときa,bを求めよ
(3)a=b Rr=2/5 ∠BCA<90°のときa,b.cを求めよ

(1)はヘロンの公式を用いてS=5/6
(2)は∠C=90°の直角三角形なので得られる条件はab/2=5/6 a+b+c=5　c^2=a^2+b^2
これらから2文字を消去すると
a=(1+√31)/6とb=5√3-5が得られ、これはa≦bを満たしているので適当。
(3)は二等辺三角形で∠CからABに垂線を下ろしたときの交点をMとし、∠ACM=θとすると
sinθ=｛5/(2a)｝-1　この調子でcosθもだして・・・と思ったのですが√がでてくるので無理。
sinθを用いて三角形の面積を求めヘロンの公式からrをaだけの式で出して
正弦定理からRをaだけの式で表していければと思ったんですけど無理っぽいです。
どなたか分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19103 - 2012/10/31(Wed) 20:37:20
☆ Re: 数学 / X
>>sinθを用いて三角形の面積を求め〜
をアレンジして使いましょうか。
つまり△ABCの面積(Sとします)をr,Rを用いた２通りの方法で
表してみます。
まずSをrを用いて表すと
S=(1/2)(a+b+c)r=5r/2 (A)
次に正弦定理により
2R=c/sin∠BCA
∴sin∠BCA=c/(2R)
∴S=(1/2)BC・CAsin∠BCA=abc/(4R) (B)
(A)(B)より
5r/2=abc/(4R)
∴Rr=abc/10
これにRr=2/5を代入すると
abc=4 (C)
(C)と
a=b (D)
a+b+c=5 (E)
を連立して解きます。但し、得られた解が
∠BCA<90°
つまり
0＜cos∠BCA＜1
となっていることを余弦定理を用いて確かめることを
忘れないようにしましょう。
No.19104 - 2012/10/31(Wed) 20:50:44
☆ Re: 数学 / X
こちらの計算では
(a,b,c)=(2,2,1)
となりました。
No.19105 - 2012/10/31(Wed) 21:01:30
☆ Re: 数学 / mati
0<cos∠BCA<1のところで
cos∠BCA
=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=(-2a^2+20a-25)/2a^2
となりました。
0<(-2a^2+20a-25)/2a^2<1において分母の2a^2は2a^2>0より両辺にかけてやると
0<-2a^2+20a-25<2a^2
ここからaの範囲をだしていけばいいと思うんですけど自分がやると(10-√50)/2<a<(10+√50)/2(ただしa≠5/2)となってしまいました。
これ以前にaの候補としてはa=2とa=(1+√17)/4があったのですが範囲が曖昧すぎて調べられません。
どうやればa=2と確定できるんでしょうか？おねがいします。
No.19124 - 2012/11/04(Sun) 18:23:22
☆ Re: 数学 / X
まず
(10-√50)/2-5/2=(5-√50)/2=(√25-√50)/2＜0
∴aの値の範囲は
(10-√50)/2＜a＜5/2
5/2＜a＜(10+√50)/2
となります。
次に
2-(10-√50)/2=(-6+√50)/2=(-√36+√50)/2＞0
∴(10-√50)/2＜2＜5/2
5＜(5/2)(2+√2)
ですのでa=2は題意を満たしています。
問題は
a=(1+√17)/4
の場合ですが
(1+√17)/4＜(1+√25)/4=3/2＜5/2
となりますので後は(10-√50)/2との比較になります。
(1+√17)/4-(10-√50)/2＜(1+√17)/4-(10-√49)/2
∴(1+√17)/4-(10-√50)/2＜(-5+√17)/4=(-√25+√17)/4
ですので
(1+√17)/4-(10-√50)/2＜0
よって
(1+√17)/4＜(10-√50)/2
ですのでa=(1+√17)/4は題意を満たしません。
No.19177 - 2012/11/09(Fri) 09:56:10
★ 微分 グラフ / shibuki
ａを実数の定数とする。|x|≧1で定義された関数ｆ(x)=√(x^2−1)−ａｘは次の条件を満たす。
条件:ｆ(x)はｘ=2/√3で極大となる
このときつぎの各問に答えよ。
⑴ａの値を求めよ。
⑵【X→−無限】{ｆ(x)−(ｐx＋q)}=0をみたすｐ,ｑの、値をそれぞれ求めよ
⑶ｆ(x)の増減およびｙ=ｆ(x)の漸近線の有無を調べて、ｙ=ｆ(x)のグラフをかけ
No.19100 - 2012/10/31(Wed) 13:45:32
☆ Re: 微分 グラフ / ヨッシー
(1)
　f'(x)=x/√(x^2−1)−ａ
条件より
　f'(2/√3)＝２−ａ＝０
よって、ａ＝２

(2)
ｘ→−∞　のとき　√(x^2−1)→−ｘ であるので、
ｆ(x)−(ｐx＋q)→０　になるには、
　ｆ(x)−(ｐx＋q)→−ｘ−２ｘ−ｐｘ−ｑ＝０
より　ｐ＝−３，ｑ＝０

(3)
同様に　ｘ→∞　のとき　√(x^2−1)→ｘ であるので、
ｆ(x)−(ｐx＋q)→０　になるには、
　ｆ(x)−(ｐx＋q)→ｘ−２ｘ−ｐｘ−ｑ＝０
より　ｐ＝−１，ｑ＝０
よって、ｘ＜０ の漸近線はｙ＝−３ｘ、ｘ＞０ の漸近線はｙ＝−ｘ。
　f'(x)＝x/√(x^2−1)−２
において、
　ｘ≦−１　のとき　f'(x)＜０　・・・単調減少
　１＜ｘ≦2/√3 のとき　f'(x)≧０　・・・単調増加
　2√3＜ｘ　のとき　f'(x)＜０　・・・単調減少
を元にグラフを描きます。
（グラフは省略）
No.19106 - 2012/11/01(Thu) 10:34:43
★ 微分 / shibuki
⑴すべての実数x,yにたいして、不等式|cosx−cosy|≦|x−y|が成り立つことを示せ。
⑵ｆ(x)＝(π/4)cos(x−π/4)とする。数列{ｘｎ}を
x1=0 xn+1=ｆ(xn) n=1.2.3.…
によって定義するとき、
?@ 不等式|ｆ(xn)−ｆ(π/4)|≪(π/4)|xn−π/4|が成り立つことを示せ
?A リミット【n→無限】xnを求めよ

よろしくお願いします(｡-_-｡)
No.19099 - 2012/10/31(Wed) 12:54:24
☆ Re: 微分 / IT
⑴すべての実数x,yにたいして、不等式|cosx−cosy|≦|x−y|が成り立つことを示せ。
の方針のひとつだけ

・cosx−cosy：差を積に変換
・すべての実数xにたいして|sinx|　≦ 1と|sinx|　≦ |x|を使う（|sinx|　≦ |x|は要証明、微分を使う）
No.19101 - 2012/10/31(Wed) 17:55:21
☆ Re: 微分 / angel
(1) 積分を習っていれば、次も使えます。
　以下、x≧y のケースで。( x＜y も同じように確かめられるので省略 )
　(cos(t))'=-sin(t) より ∫[y,x] ( -sin(t) )dt = cosx-cosy
　任意の t で -1≦-sin(t)≦1 のため
　∫[y,x] -dt ≦ ∫[y,x] ( -sin(t) )dt ≦ ∫[y,x] dt
　すなわち -(x-y)≦cosx-cosy≦x-y

　なお、(1)では等号成立を吟味する必要はありませんが、(2)のことを考えると、「等号成立は x=y に限る」も調べておいた方が良いです。

(2) i は (1) の結果をそのまま使います。
ただし、どの xn も xn≠π/4 となることを帰納法で証明しておく…かな?
※ |f(xn)-f(π/4)|＜(π/4)・|xn-π/4| の成立を示す場合。＜ ではなく≦ で良いなら、xn≠π/4 は調べなくても良い

(2) ii は i の結果が |x[n+1]-π/4|＜(π/4)・|xn-π/4| であることを元に、xn-π/4 が等比数列 ( 公比π/4 ) でおさえられることを利用します。
No.19107 - 2012/11/01(Thu) 23:00:24
☆ Re: 微分 / IT
>(1) 積分を習っていれば、次も使えます。
なるほどスマートな解法ですね。思いつきませんでした。
No.19117 - 2012/11/04(Sun) 04:50:47
★ 私大文系の数学 / just
nを3以上の整数とする。
(1)x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+x+1をx-1で割った余りを求めよ。
(2)x^(n)-1を(x-1)^2で割った余りを求めよ。
(3)x^(n)-1をx^(2)-1で割った余りはnが偶数のとき□
nが奇数のとき△である。□と△に入るものを求めよ。
(4)nを3以上の整数とする。x^(n)-3^(n)を(x-3)^2で割った余りを求めよ。また、x^2-5x+6で割った余りを求めよ。

(1)はn
(2)はn(x-1)となったのですが(3)(4)は全く分かりません。
答と解説がないので誰か教えて下さい。お願いします。
No.19093 - 2012/10/30(Tue) 18:37:56
☆ Re: 私大文系の数学 / ＿
ではとりあえず(3)を。

割った商をP(x)、余りをax+bとすると、

x^n - 1 = P(x)(x^2 - 1) + ax + bなので、これに1,-1を代入するとaとbを得られます。

この手の問題のごく標準的な解き方なので、この考えがどうにもわかりづらい場合は、教科書などでの復習をおすすめします。
No.19095 - 2012/10/30(Tue) 19:25:20
☆ Re: 私大文系の数学 / X
(4)
前半は(2)ができていれば同じ方針でできると思いますが
解けないと言うことは(2)で何か特殊な方針を用いたので
しょうか？

後半は
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
と因数分解できることに気付けば、＿さんの方針で
解くことができます。
No.19096 - 2012/10/30(Tue) 20:33:46
☆ Re: 私大文系の数学 / just
回答ありがとうございます。(４)の前半はn・3^(n-1)x-n・3^(n)となったのですがどうなんでしょうか？
No.19102 - 2012/10/31(Wed) 19:56:32
☆ Re: 私大文系の数学 / X
それで問題ないと思います。
No.19112 - 2012/11/02(Fri) 18:42:03
★ 微分 / 高3
f(x)=x^4−4x^3+2ax^2が極大値を持たないようなaの値の範囲を求めよ。
解説お願いします。
No.19089 - 2012/10/29(Mon) 20:16:52
☆ Re: 微分 / ヨッシー
f'(x)＝4x^3−12x^2＋4ax の解が
「異なる３つの実数解」以外のときに条件を満たします。
　f'(x)＝4x(x^2−3x＋a)
なので、x=0 は確実です。
よって、g(x)＝x^2−3x＋a＝0 が、虚数解を持つか、重解を持つか
少なくとも一方の解が0 であれば良いので、
(以下略)
No.19090 - 2012/10/29(Mon) 20:37:17
☆ Re: 微分 / ヨッシー


図は、導関数＝0 が
(1) 異なる３つの実数解を持つ。極大値がある。
(2)(3) ３つの解の内、２つが重解。極大値がない。
(4) ３重解か、１つの実数解と２つの虚数解。極大値がない。
というそれぞれの場合のグラフです。
No.19091 - 2012/10/29(Mon) 21:04:14
☆ Re: 微分 / 高3

とても詳しく解説いただきありがとうございます。
おかげで理解することができました。
No.19094 - 2012/10/30(Tue) 19:19:03
★ Σの計算 / Xex(3年)
kの式で、k=1からnまでの総和を{k=1〜n}Σ(k)とします。

問:{j=1〜n}Σ[{k=j〜n}Σ(j+k)]=? (明治大,ニューアクションωIIBより)
答えは(1/2)n(n+1)^2です　解説お願いします
No.19085 - 2012/10/29(Mon) 16:42:50
☆ Re: Σの計算 / X
Σ[k=j〜n]のスタートがk=jからとなっていますので
まずはこれを1となるように式変形しましょう。
方法その１)
k-j+1=l
と置くと
k=l-j-1
で
Σ[j=1〜n]Σ[k=j〜n](j+k)
=Σ[j=1〜n]Σ[l=1〜n-j+1](j+l-j-1)
=Σ[j=1〜n]{Σ[[l=1〜n-j+1]Σ(l-1)}
=…
方法その２)
Σ[j=1〜n]Σ[k=j〜n](j+k)
=Σ[j=1〜n]{Σ[k=1〜n](j+k)-Σ[k=1〜j-1](j+k)}
=…

後はいずれの場合も{}内を先に計算します。
No.19086 - 2012/10/29(Mon) 18:08:21
☆ Re: Σの計算 / ＿
見慣れないもの(今回は二重のΣ)が出てきたら、そこでパニックに陥るのではなく、知っている範囲で解決できないか探ってみることが大事です。

とりあえず地道にやってみます。面倒なのでΣの添字を略しているところがあるので適宜補ってください。

{k=j〜n}Σ(j+k) = Σj + Σk = (n-j+1)j + n(n+1)/n - (j-1)j/2 = n(n+1)/2 - (3/2)j^2 + (n+3/2)j
となるので、
{j=1〜n}Σ{k=j〜n}Σ(j+k)=Σn(n+1)/2 - Σ(3/2)j^2 + Σ(n + 3/2)j
=(n^2)(n+1)/2 - n(n+1)(2n+1)/4 + (n+3/2)n(n+1)/2
=(n(n+1)^2)/2

---
他にも、

求めるものは

(1+1)+(1+2)+(1+3)+…+(1+n)
　　 +(2+2)+(2+3)+…+(2+n)
　　　　　 +(3+3)+…+(3+n)
　　　　　　：　　　　　　
　　　　　　：　　　　　　
　　　　　　　　　　+(n+n)

の値ですが、

ここでまず、

(1+1)+(1+2)+(1+3)+…+(1+n)
(2+1)+(2+2)+(2+3)+…+(2+n)
(3+1)+(3+2)+(3+3)+…+(3+n)
　　　　　　：　　　　　　
　　　　　　：　　　　　　
(n+1)+(n+2)+(n+3)+…+(n+n)

の値を考えます。この値をSとでもしましょう。

S=n(1+2+…+n)+n(1+2+…+n)=(n^2)(n+1)で、
(括弧内の1番目をタテに足した和がn個と2番目をヨコに足した和がn個)

例えば上記の(1+2)=(2+1),(2+3)=(3+2)の様に対角線を挟んで同じ値の組が1つずつあるから、求めるものは[S-{(1+1)+(2+2)+…+(n+n)}]/2 + {(1+1)+(2+2)+…+(n+n)}と分かる。
{(1+1)+(2+2)+…+(n+n)} = 2(1+2+…+n) = n(n+1)だから以下略。

という感じのはどうでしょう。
No.19087 - 2012/10/29(Mon) 18:10:30
☆ Re: Σの計算 / Xex(3年)
解決しました
ありがとうございました
No.19088 - 2012/10/29(Mon) 18:48:02
★ さんかくかんすう / just
-π/4≦x≦π/2の範囲においてg(x)=|sinx|+√3cosxとする。
xの方程式g(x)=k(kは実数)が-π/4≦x≦π/2において異なる４個の実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ。
と言う問題なのですがy=g(x)のグラフはどうやって書けばいいんですか？
0≦x≦π/2においては1≦g(x)≦2
-π/4≦x≦0においては√3≦g(x)≦2となるのは分かったんですけどグラフの形状がわかりません。
y=|x^2|+√3xやy=|x|+√3xのような放物線や直線ならグラフはかけますが
いまはsinxとcosxが二つ存在しているのでどんなグラフをかけばいいのかさっぱりわかりません。
どなたか分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19076 - 2012/10/28(Sun) 18:21:47
☆ Re: さんかくかんすう / X
場合分けしてg(x)の値の範囲が分かっているということは
三角関数の合成はできていると思いますので
後はグラフの描き方でしょうか？。
場合分け云々の前に例えば
y=2sin(x-π/4)
のグラフの描き方を言葉で説明できますか？。
No.19077 - 2012/10/28(Sun) 18:28:12
★ 数学の問題 よくわかりません / まき
separateの８文字を横一列に並べて文字列を作る。

(1)ae,eaの少なくとも一方を含むものは何通りあるか
答では余事象を使っていたんですけど
自分はとりあえず、(i)aeのみ (ii)eaのみ (iii)aeとeaの両方
の場合分けで考えました。
(i)aeのみ含む場合
一番避けたいのはaeの両端に残っているaとeがくることなので
〇ae〇を一つとみなします。
すると〇にはs,p,r,tから選ばなければならないので4P2通り
aeの作り方は2通り
具体的に【saep】の場合を考えてみます。
いまのこっているのはr,t,a,eでありこちらについても場合分けが必要で
(a)さらにaeを含む(b)eaを含まない→aとeが隣り合わない場合が考えられます。
(b)の場合は〇r〇t〇の３つの〇からa,eの受け皿を２つ選んでやればよいので3P2通り
r,tの並び方は2!通り
ex.【saep】とaret
【saep】の入れ方は〇a〇r〇e〇t〇の5つの〇から1つ選んで入れればよいので5通り
よってまず一つの場合は4P2×2×3P2×2!×5=1440通り
もう一つの場合は
aeを一つとみなすと、r,t,aeの並べ方は3!通り
他は先ほどと同様なので4P2×2×6=192通り
よって(i)は1440+192=1632通り
(ii)も同様で1632通り
(iii)は4320通り
以上より4320+1632・2=7584通り
となったのですが答は7440通りです。
どこで間違ってしまったんでしょうか？
余事象を使う別解等は間に合っているのでどなたかどこで自分が間違っているのかを教えて下さい。お願いします。
No.19069 - 2012/10/28(Sun) 13:42:10
☆ Re: 数学の問題 よくわかりません / ＿
とりあえず最初の、
「aeの両端に残っているaとeがくる」のを避けたいのは何故ですか？
eaeaとしてしまうとeaを含んでしまうのは分かるのですが、aaeeだと何の問題もないと思うのですが。
No.19072 - 2012/10/28(Sun) 14:42:20
☆ Re: 数学の問題 よくわかりません / まき
すみません。完全に見落としていました・・・(泣)
aaeeとなる場合を別に求めれば答えに至れるんでしょうか？＾＾；
No.19074 - 2012/10/28(Sun) 14:45:30
☆ Re: 数学の問題 よくわかりません / ＿
この時点で7584通りと出ていて、別途aaeeとなる場合を考慮したら7584通りより増えることはあっても減ることは当然ありません。したがって、7440通りに近づくどころか遠ざかります(いや、数だけ合ってればいいってものでもないですが)。

本来の答えより多いということは重複して数えている箇所があるということで、それを排除する必要があり、また数え漏らしもないか考える必要もあり、他にも修正が必要です。が、私にとっては複雑になりすぎていてどうにも考える気が失せます。直接数えるにしてももう少し整理できるかもしれません。

＃少なくとも私ならその間に合ってる方の解法を選びます。
No.19075 - 2012/10/28(Sun) 14:58:19
★ 場合の数 / まき
a,g,k,k,o,u,uの7文字を並べ替えて文字列を作る。これらの文字列すべてを辞書のようにアルファベット順に書き出して、書き出された順に文字列に番号を付ける。
(1】aで始まる文字列が何通りあるか求めよ。

と言う問題があるのですが
問題の意味がよくわかりません。
7文字を並べ替えて文字列をつくるの後に書いてある
「アルファベット順に書きだして」という表現がよくわかりません。
という事は結局文字列は,a,g,k,k,o,u,uしかありえなくないですか？
誰か問題の意味を教えて下さい。お願いします。
No.19068 - 2012/10/28(Sun) 13:28:59
☆ Re: 場合の数 / ＿
7文字をアルファベット順に並べるとは書いていません。

a,g,k,k,o,u,uを並び替えて作れる文字列は全部で1260通りありますが、これら全部を辞書に載る順に並べて番号を付けて、

1番:agkkouu
2番:agkkuou
3番:agkkuuo
(中略)
1260番:uuokkga

ということです。
No.19071 - 2012/10/28(Sun) 14:17:58
★ 場合の数 教えて下さい / まき
場合の数の問題においてa,a,e,eの４文字があってaeを作る方法は2通りですか？
a,a,e,eにそれぞれ区別をつければaeは4通りつくれますよね？
なんだか頭が混乱しています。
No.19067 - 2012/10/28(Sun) 13:28:05
☆ Re: 場合の数 教えて下さい / ＿
意図するところが不明瞭ですが、場合の数においての質問だというところから考えると、1文字目にaを、2文字目にbを選ぶ場合で1通りです。

区別を付ければ4通りですね。
No.19070 - 2012/10/28(Sun) 14:14:44
☆ Re: 場合の数 教えて下さい / まき
確率の問題ではa,a,e,eは区別するのでae→a1e1,a1e2,a2e1,a2e2というように4通りですが
場合の数の問題だとa,a,e,eは区別しないのでaeは1通りということなんでしょうか？
No.19073 - 2012/10/28(Sun) 14:43:07
☆ Re: 場合の数 教えて下さい / sukkettodan
場合の数の問題だと
aeae
aaeeの２通りだと思います。
確率の問題では区別する。
場合の数の問題だと人以外は区別しない。
この理解でいいです
No.19078 - 2012/10/28(Sun) 21:21:03
☆ Re: 場合の数 教えて下さい / らすかる
「a,a,e,eの４文字があってaeを作る」とはどういう意味ですか？
もし「a,a,e,eの４文字から２文字をとってaeを作る」という意味であれば
1通りしかありません。
もし「a,a,e,eの４文字を並び替えてaeが含まれるようにする」という意味ならば
aaee,aeae,aeea,eaae,eaeaの5通りです。
2通りとか4通りになる意味がわかりません。
No.19079 - 2012/10/28(Sun) 21:30:26
★ 極限 / Xex(3年)
lim_(x→∞){x^2/e^(x)}=0
何故かがわからないので詳しい解説をお願いします(e^xの方がx^2よりも増え幅がでかいことをどうやって図を使わずに数式だけで導くかがわかりません)
No.19061 - 2012/10/27(Sat) 18:57:10
☆ Re: 極限 / IT
（証明のメイン部分のみ）
e=1+h とおくと　h＞0である。

自然数n≧３について
e^n=(1+h)^n＞(nＣ3)h^3＝[{n(n-1)(n-2)}/6]h^3 ＞0 であるから

0＜(n^2)/(e^n) ＜[(n^2)/{n(n-1)(n-2)}](6/h^3)
＝(6/h^3)/{n(1-1/n)(1-2/n)}　→0（n→∞）
でどうでしょう。

（追記）実数　x　について示す場合は
３以上の任意の実数xについて
３≦n≦x＜n+1　なる自然数nがとれる
x^2＜(n+1)^2, e^n≦e^xなので
0＜(x^2)/(e^x)＜(n+1)^2)/(e^n) ＜[((n+1)^2)/{n(n-1)(n-2)}](6/h^3)
＝(6/h^3)/{n(1-2/(n+1))(1-3/(n+1))}　→0（x→∞）
No.19062 - 2012/10/27(Sat) 19:37:47
☆ Re: 極限 / らすかる
>ITさん
xが整数の場合だけしか示せていないので
まずくないですか？
No.19063 - 2012/10/27(Sat) 21:08:30
☆ Re: 極限 / IT
> xが整数の場合だけしか示せていないので
> まずくないですか？
そうですね、感じを掴んでもらうためとりあえず整数の場合を示しました。
その後、ｘが任意の実数の場合について追記しましたがどうでしょうか。
（厳密にはn≦x＜n+1　なる自然数nの存在や、e^x、x^2の単調増加性などを示す必要があると思いますが）
No.19064 - 2012/10/27(Sat) 21:15:10
☆ Re: 極限 / らすかる
実数の場合についての説明もあれば、特に問題ないと思います。
No.19065 - 2012/10/27(Sat) 22:38:41
☆ Re: 極限 / らすかる
別解

もしマクローリン展開を知っていれば
e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+…なので
0≦lim[x→∞]x^2/e^x≦lim[x→∞]x^2/(1+x+x^2/2+x^3/3!)=0

微分を使ってよければ
f(x)=e^x/x^3 とおくと f(16)=e^16/16^3＞2^16/2^12＞1
また f'(x)=(x-3)e^x/x^4 から x＞3のとき f'(x)＞0 なので
x≧16のときf(x)＞1 すなわち e^x＞x^3
よって 0≦lim[x→∞]x^2/e^x≦lim[x→∞]x^2/x^3=0
No.19066 - 2012/10/27(Sat) 23:07:43
☆ Re: 極限 / Xex(3年)
e^x-x^3>0を示して1>x^3/e^x>0,1/x>x^2/e^x>0と導く方法を今日数学の先生に聞いたので解決しました
ありがとうございました
No.19084 - 2012/10/29(Mon) 16:27:49
☆ Re: 極限 / らすかる
e^x-x^3＞0をどのように示したのか興味があるのですが、
教えて頂けないでしょうか。
No.19092 - 2012/10/30(Tue) 07:28:37
☆ Re: 極限 / Xex(3年)
e^x-x^3>0の証明から導く手順:
xが無限大における値が欲しいので、まずxの変域をx>(十分大きな数{100とか})とします。
f(x)=e^x-x^3とおき、繰り返し微分してf'''(x)=e^x-6と出て、f',f'',f'''の増減表からe^x-x^3>0と出てきます。
次に、e^x>x^3>0と式変形して、xで3辺を割り、lim_[x→∞]をとれば完成です。
No.19136 - 2012/11/05(Mon) 18:31:40
★ n≧1とする根拠について / のんです
【問題】
f(x)をxの整式とする。関数y=f(x)はxy''+(1-x)y'+3y=0,f(0)=1を満たしている。
(1)f(x)の次数を求めよ。
(2)f(x)を求めよ。

解答の流れそのものは理解できました。
しかしながら、(1)の解答は、f(x)の次数をｎ（≧1）とするという書き出しの部分が分かりません。

【解答】(1)の冒頭部分
f(x)の次数をｎ（≧1）とすると、・・・（ア）
f(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(2)x^2+a(1)x+a(0)
(a(n)≠0)とおける。
f'(x)={na(n)x^(n-1)}+{(n-1)a(n-1)x^(n-2)}+…+2a(2)x+a(1)・・・（イ）
f''(x)={n(n-1)a(n)x^(n-2)}+{(n-1)(n-2)a(n-1)x^(n-3)}+…+2a(2)・・・（ウ）

とあります。

（ア）の傍注に、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0であるから、f(x)=0となり、f(0)=1を満たさない」とあります。
これがどういう意味を指すのが分かりません。

お手数をお掛けしますが、詳しい説明をお願いいたします。
No.19058 - 2012/10/27(Sat) 17:53:01
☆ Re: n≧1とする根拠について / IT
> 【問題】
> f(x)をxの整式とする。関数y=f(x)はxy''+(1-x)y'+3y=0,f(0)=1を満たしている。
> （ア）の傍注に、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0であるから、f(x)=0となり、f(0)=1を満たさない」とあります。

n=0のとき f(x)はどんな式になりますか？

「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」はわかりますか？

xy''+(1-x)y'+3y=0　にf'(x)=f''(x)=0を代入するとどうなりますか？
No.19059 - 2012/10/27(Sat) 17:59:35
☆ Re: n≧1とする根拠について / のんです
ITさんへ

以下の（１）から（４）へまとめてみました。

（１）n=0のとき f(x)はどんな式になりますか？
→xの零次式となるので、f(x)=a(n)x^0=f(x)=a(n)となりますから、定数項だけが残ってしまい、f(x)はxの関数では無くなると思います。

（２）「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」はわかりますか？
→上記の解釈が正しく、n=0のとき、f(x)が定数項だけで成り立つとすると、定数項を微分するので、f'(x)=0は分かります。同様にf'(x)=0とすると、これを微分すれば、また零になり、f''(x)=0も分かります。

（３）xy''+(1-x)y'+3y=0　にf'(x)=f''(x)=0を代入するとどうなりますか？
→わかりません。

（４）として、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」は上記（２）のところで理解したと考えていますが、「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0であるからf(x)=0となり」がわかりません。

よろしくお願いいたします。
No.19081 - 2012/10/28(Sun) 22:07:41
☆ Re: n≧1とする根拠について / IT

> （１）n=0のとき f(x)はどんな式になりますか？
> →xの零次式となるので、f(x)=a(n)x^0=f(x)=a(n)となりますから、定数項だけが残ってしまい、f(x)はxの関数では無くなると思います。
定数関数もxの関数のひとつです。
>
> （２）「n=0のとき、f'(x)=f''(x)=0である」はわかりますか？
> →上記の解釈が正しく、n=0のとき、f(x)が定数項だけで成り立つとすると、定数項を微分するので、f'(x)=0は分かります。同様にf'(x)=0とすると、これを微分すれば、また零になり、f''(x)=0も分かります。
>
> （３）xy''+(1-x)y'+3y=0　にf'(x)=f''(x)=0を代入するとどうなりますか？
> →わかりません。
3y=0、すなわちf(x)=0となります。ところがこれは、f(0)=1を満たしません。

よってn=0のときy=f(x)はxy''+(1-x)y'+3y=0,f(0)=1を満たすことはできない。ということです。
No.19082 - 2012/10/28(Sun) 22:18:25
★ 積の微分法（導関数）の計算 / のんです
積の微分法（導関数）の計算について、どうしても計算が合わないのです。よろしくお願いいたします。

【問題】
関数f(x)=x*e^-xについて、f(x)の第ｎ導関数f(n)(x)を求めよ。

【解答】では、実際にn=1, n=2, n=3　と代入して、f(n)(x)を類推した上で、その式を数学的帰納法で証明しています。

（途中の計算は略しますが、）
f'(x)=-(x-1)*e^-x
f''(x)=(x-2)*e^-x
f'''(x)=-(x-3)*e^-x

これらより、
f(n)(x)={(-1)^n}*(x-n)*e^-x・・・?@
と類推できる。
この類推が正しいことを数学的帰納法で証明する。
i)n=1のとき
　f(1)(x)=-(x-1)*e^-xとなり、?@は成り立つ。
ii)n=kのとき
　f(k)(x)={(-1)^k}*(x-k)*e^-x が成り立つとする。
　このとき、
　　f(k+1)(x)={f(k)(x)}'・・・（ア）
=[{(-1)^k}*(x-k)*e^-x]'・・・（イ）
=[{(-1)^k}*e^-x]-{(-1)^k}*(x-k)*e^-k
　　　　　　　・・・（ウ）
（中略）
={(-1)^(k+1)}*{x-(k+1)}*e^-x・・・（エ）
　よって、n=k+1のときも?@は成り立つ。
i),ii)より、すべての自然数ｎに対して?@は成り立つ。
したがって、f(n)(x)={(-1)^n}*(x-n)*e^-x

全体の流れも理解し、（イ）〜（エ）の計算も分かるのですが、（ア）から（イ）の計算が何度やってもうまくいきません。解説の傍注には、（ア）から（イ）の部分に、f(k)(x)={(-1)^k}(x-k)e^-xであるから、積の微分法を用いるとあります。具体的には、(-1)^kをxで微分するあたりがおかしいのかなと思うのですが、よく分かりません。よろしくお願いいたします。


　
No.19056 - 2012/10/27(Sat) 17:11:07
☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / IT
> （ア）から（イ）の計算が何度やってもうまくいきません。具体的には、(-1)^kをxで微分するあたりがおかしいのかなと思うのですが、
のんさんの計算ではどうなりますか？
(-1)^kをxで微分すると、(-1)^kは定数ですから、０です
{(-1)^k}*(x-k)　をxで微分するのではないですか？

積の微分は分かりますか？
(x-2)*e^-x　をxで微分してみてください。
No.19057 - 2012/10/27(Sat) 17:27:11
☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / のんです
ITさんへ

「(-1)^kをxで微分すると、(-1)^kは定数ですから、０です」ね。
ありがとうございました。

積の微分は分かります。
{f(x)g(x)}'
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
です。

(x-2)*e^-x　をxで微分すると、
{(x-2)*e^-x}'
={(x-2)'e^-x}+(x-2)(e^-x)'
=(e^-x)+(x-2)(e^-x)(-x)'
=(e^-x)-(x-2)e^-x
=(e^-x)-x(e^-x)+2(e^-x)
=(e^-x)(3-x)
=-(x-3)e^-x
となりました。
No.19080 - 2012/10/28(Sun) 21:53:40
☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / IT
結局（ア）から（イ）の計算は、うまくいったってことでしょうか？
No.19083 - 2012/10/28(Sun) 22:20:20
☆ Re: 積の微分法（導関数）の計算 / のんです
はい、計算うまくいきました！ありがとうございました。
No.19097 - 2012/10/30(Tue) 22:09:34
★ 答があいません / まき
Oを原点とするxy平面上において、x軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qがある。
大小2つのサイコロを同時に振り、Pは大きいサイコロの目が3以上のとき+1進み
2以下のとき+2進む。
Qは小さいサイコロの目が偶数のとき+1進み、奇数のとき+2進む。
P,Qは最初Oにあり、サイコロを振るたびに、いずれも正の方向に進んでいくものとする。
2つのサイコロを３回振るとき
(1)三角形OPQが二等辺三角形である確率
二等辺三角形ということはOP=OQとなればいいんですよね。
P,Qともに３回の試行で進めるのは最短で３、最長で６です。
ＯＰ＝３のときの確率は8/27
OP=4のときは4/9
OP=5のときは2/9
OP=6のときは1/27

OQ=3のときは1/8
OQ=4のときは3/8
OQ=5のときは3/8
OQ=6のときは1/8
以上より
(8/27)・(1/8)+(4/9)・(3/8)+(2/9)・(3/8)+(1/27)・(1/8)=133/216となったのですが
答は1/27です。
どうして答があわないのでしょうか？
何度考えても分かりません。誰か教えて下さい。お願いします。
No.19050 - 2012/10/27(Sat) 07:30:20
☆ Re: 答があいません / ヨッシー
(8/27)・(1/8)+(4/9)・(3/8)+(2/9)・(3/8)+(1/27)・(1/8)
までは合っているので、あとは計算間違いでしょう。

ただし、1/27 も違います。
(別の問題の答えを見ていませんか？)

なぜなら、最初の (8/27)・(1/8) だけで 1/27 になるのに、
答えが 1/27 になるはずがありません。

答えは 7/24 になります。
No.19051 - 2012/10/27(Sat) 08:35:13
☆ Re: 答があいません / まき
答えにはやはり1/27と書いています。
答が間違っているんでしょうか？
問題に誤りはありません。
No.19053 - 2012/10/27(Sat) 13:20:58
☆ Re: 答があいません / IT
> 答えにはやはり1/27と書いています。
> 答が間違っているんでしょうか？
ヨッシーさんのおっしゃるとおりだと思います。
1/27ではありません。答えが間違いだと思います。
出典は何ですか？
No.19054 - 2012/10/27(Sat) 13:44:09
★ 大学微積 / Exe
2変数関数の原点における連続性の問題です。

f(x,y)=(sin[x]sin[y])/(sin^2[x]+sin^2[y])　(x,y)≠(0,0)
0　(x,y)=(0,0)

x≠0のときy=mxに沿って原点に近づけていく方法？を使うと思うのですが代入後うまくいきません…
No.19045 - 2012/10/26(Fri) 22:12:30
☆ Re: 大学微積 / らすかる
x≠0のときf(x,x)=1/2なので不連続ですね。
No.19048 - 2012/10/26(Fri) 23:44:24
★ 数列 / 高2
nを自然数とする.座標平面上に2n+2個の点
P0(0,0),P1(1,0),P2(2,0),…,Pn(n,0)
Q0(0,1),Q1(1,1),Q2(2,1),…Qn(n,1)
のうちの3点を頂点とする三角形をすべて考える.これらの三角形の面積の総和を求めよ.
No.19044 - 2012/10/26(Fri) 22:08:14
☆ Re: 数列 / らすかる
P[k]から2点、Q[k]から1点とった場合と
P[k]から1点、Q[k]から2点とった場合は
同じ面積なので、片方計算して2倍すればよい。
P[k]から2点、Q[k]から1点とった場合は、Q[0]をとれば
底辺（P[k]の2点からなる辺）の長さが1である三角形は面積が1/2でn個
底辺の長さが2である三角形は面積が1でn-1個
底辺の長さが3である三角形は面積が3/2でn-2個
・・・
底辺の長さがnである三角形は面積がn/2で1個
となるから、Q[k]が任意であればそのn+1倍
従って求める面積は
2(n+1)Σ[k=1〜n](k/2)(n+1-k)=n(n+1)^2(n+2)/6
No.19047 - 2012/10/26(Fri) 23:05:42
★ 数学　指数対数関数 / まき
log[√x]4+log[8]x>8/3
[自分の考え方]
真数条件よりx>0・・・?@
底を2にそろえると
log[√x]4=2/log[2]√x
log[8]x=log[2]x/3
よって不等式は
(2/log[2]√x)+(log[2]x/3)>8/3と変形できる。
log[2]x=Aとするとlog[2]√x=A/2
(i)A>0のとき
A^2-8A+12>0より
A<2,6<A
A>0より
0<A<2,6<A
?@とより1<x<4,64<x
(ii)A=0のとき0>8/3となり不適
(iii)A<0のとき2<A<6
A<0より不適
以上より1<x<4,64<xとなったのですが
初めの段階で底について場合分けしとかないといけないのでしょうか？
よくわかりません。誰か分かる方教えて下さい。お願いします。
No.19041 - 2012/10/26(Fri) 21:19:01
☆ Re: 数学　指数対数関数 / らすかる
「(ii)A=0のとき0>8/3となり不適」は問題があります。
A=0のとき左辺は0になりません。
No.19046 - 2012/10/26(Fri) 22:54:13
★ (No Subject) / まき
Oを原点とするxy平面上において、x軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qがある。
大小2つのサイコロを同時に振り、Pは大きいサイコロの目が3以上のとき+1進み
2以下のとき+2進む。
Qは小さいサイコロの目が偶数のとき+1進み、奇数のとき+2進む。
P,Qは最初Oにあり、サイコロを振るたびに、いずれも正の方向に進んでいくものとする。
2つのサイコロを３回振るとき
(1)線分OPの長さが5である確率を求めよ。
と言う問題があるのですがPがx=5の位置に位置するためには
３回中+2となる目が2回、+1となる目が１回でないといけませんよね？
答では反復試行の公式を使って求めていたんですけどここで一つ疑問があります。
たしかにOP=5となるための場合は上記のように大きいサイコロにおいて３回中+2となる目が2回、+1となる目が１回でればＯＫｄだと思うんです。
ですが、このとき小さいサイコロについては考えなくていいんでしょうか？
大きいサイコロ、小さいサイコロは同時になげるんですよね？
小さいサイコロの目がなんであれPには直接影響してきませんけどなんかひっかかるんです。
どなたかこの点に関して教えて下さい。お願いします。
No.19038 - 2012/10/26(Fri) 19:45:26
☆ Re: / らすかる
線分OPの長さにQの位置は関係ありませんから、
小さいサイコロは無関係です。
No.19039 - 2012/10/26(Fri) 20:29:14
☆ Re: / X
問題には大きいサイコロと小さいサイコロの出す目の
出方についての関係性についての条件は何もありません。
まきさんが引っかかっているのはこの関係性のことだと
思いますが、確かに小さいサイコロの出方に点Pの位置が
関係するような、関係性についての条件をつけた問題も
作ろうと思えばできます。
ですが飽くまで「作ろうと思えば」です。
No.19040 - 2012/10/26(Fri) 20:29:57
☆ Re: / まき
納得できました。ありがとうございました。
No.19042 - 2012/10/26(Fri) 21:19:26
★ ベクトル空間 / wtr
次のベクトル空間Ｗの次元と1組の基を求めよ。

1. W={ f(x)∈R[x]3 | f(1)=0, f'(1)=0 }
2. W={ f(x)∈R[x]3 | f(1)=0, f(-1)=0 }

答えは
1. dim(W)=2 基{1-2x+x^2, 2-3x+x^3}
2. dim(W)=2 基{-1+x^2, -x+x^3}
です。

計算過程を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.19037 - 2012/10/26(Fri) 17:09:18
☆ Re: ベクトル空間 / ペンギン

f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d)と置くと、
f(1)=0であることから、例えばb=1
f'(1)=0であることから、例えばc=1

よって、Wに含まれるf(x)は
a(x-1)^2(x-d)と書くことができます。

g(x)=(x-1)^2x
h(x)=(x-1)^2と置くと、二つの多項式は独立であり、
f(x)=ag(x) -adh(x)と書くことができます。

よって、次元は2で基はg(x),h(x)

(2-3x+x^3=g(x)+2h(x))

あとの解き方も同様です。
No.19060 - 2012/10/27(Sat) 18:47:45
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