a(n+2)=a(n+1)+6a(n)-3n^2+4n-1(ｎ≧１）
a1=1,a2=4
a(n)(n≧１）の一般項を求めよ
どんな方法で求めても、どんな前提知識を使っても構いません。よろしくお願いします。
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No.18353 - 2012/08/21(Tue) 21:08:21
| ☆ Re: ｎの範囲 / らすかる | | | a[n+2]=a[n+1]+6a[n]-3n^2+4n-1
a[n+2]+ka[n+1]+b(n+1)^2+c(n+1)+d=(6/k)(a[n+1]+ka[n]+bn^2+cn+d) とおいて展開し
係数比較でk,b,c,dを求めると、一つの解は k=2,b=-3/2,c=1/2,d=-1 なので
a[n+2]+2a[n+1]-(3/2)(n+1)^2+(1/2)(n+1)-1=3{a[n+1]+2a[n]-(3/2)n^2+(1/2)n-1}
b[n]=a[n+1]+2a[n]-(3/2)n^2+(1/2)n-1 とおくと
b[1]=4+2-(3/2)+(1/2)-1=4, b[n+1]=3b[n] なので b[n]=4*3^(n-1)
よって
a[n+1]+2a[n]-(3/2)n^2+(1/2)n-1=4*3^(n-1)
a[n+1]+p(n+1)^2+q(n+1)+r+s*3^(n+1)=-2(a[n]+pn^2+qn+r+s*3^n) とおいて展開し
係数比較でp,q,r,sを求めると、p=-1/2,q=1/2,r=-1/3,s=-4/15 となるので
a[n+1]-(1/2)(n+1)^2+(1/2)(n+1)-(1/3)-(4/15)*3^(n+1)=-2{a[n]-(1/2)n^2+(1/2)n-(1/3)-(4/15)*3^n}
c[n]=a[n]-(1/2)n^2+(1/2)n-(1/3)-(4/15)*3^n とおくと
c[1]=-2/15, c[n+1]=-2c[n] なので c[n]=(-2)^n/15
従って
a[n]=(-2)^n/15+(1/2)n^2-(1/2)n+(1/3)+(4/15)*3^n
={8*3^n+2*(-2)^n+15n(n-1)+10}/30
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No.18355 - 2012/08/21(Tue) 21:51:11 |
| ☆ Re: ｎの範囲 / バッジ | | | 回答ありがとうございます。
よって〜以降は前提知識があるので今自分でも解けましたが
a[n+2]+ka[n+1]+b(n+1)^2+c(n+1)+d=(6/k)(a[n+1]+ka[n]+bn^2+cn+d) の式はどのような前提知識を使ったのか教えてください
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No.18356 - 2012/08/21(Tue) 23:09:01 |
| ☆ Re: ｎの範囲 / らすかる | | | a[n+1]+p(n+1)^2+q(n+1)+r+s*3^(n+1)=-2(a[n]+pn^2+qn+r+s*3^n) とおいたのと似たような意味で、
３項間漸化式から２項間漸化式を作るための変形です。
最初から b[n]=αa[n+1]+βa[n]+…, b[n+1]=tb[n] のようにすることを目的として
必要な項に未知係数を掛けてならべたものです。
(n+1)項間漸化式をn項間漸化式にする一般の場合も同様です。
（ただし、必ずしもそのように変形できるとは限りません。）
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No.18357 - 2012/08/22(Wed) 00:03:34 |
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