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★ 高３ / PINE
座標平面上の点Ｐ(p,q)が,媒介変数θにより
　p=1+2cosθ,q=1+sinθ(-π＜θ≦π)
で与えられている。aを非負の定数とするとき,点Ｐから,原点Оと点(1,a)を通る直線に下ろした垂線をＰＨとし,Ｈの座標を(u,v)とする。点Ｐがp≧2を満たす範囲にあるとき,次の問いに答えよ。
(1)θとqの値の範囲を求めよ。
(2)uをaとθを用いて表せ。
(3)Ｎ＝√｛u^2＋(2＋a^2)v^2｝とおく。Ｎをaとθを用いて表せ。
(4)各aに対して,点Ｐがp≧2を満たすように動くとき,(3)で求めたＮの最大値をＭ(a)により表す。
(ア)Ｍ(0)を求めよ。
(イ)a＞0のとき,М(a)を求めよ。
No.18252 - 2012/08/08(Wed) 01:36:50
☆ Re: 高３ / X
(1)
条件から
2≦p=1+2cosθ
∴1/2≦cosθ
∴-π≦θ≦πにより
-π/3≦θ≦π/3
ここで-π/2≦θ≦π/2においてsinθが単調増加で
あることに注意すると
1+sin(-π/3)≦q=1+sinθ≦1+sin(π/3)
∴1-(√3)/2≦q≦1+(√3)/2
(2)
条件から直線OHの方程式は
y=ax (A)
一方PH⊥OHゆえ直線PHの方程式は
y=-(1/a)(x-p)+q (B)
(A)(B)を連立で解くと
(x,y)=((p+aq)/(1+a^2),a(p+aq)/(1+a^2))
∴
(u,v)=((1+2cosθ+a+asinθ)/(1+a^2),a(1+2cosθ+a+asinθ)/(1+a^2))
No.18254 - 2012/08/08(Wed) 08:40:46
☆ Re: 高３ / X
(3)
(2)の過程により
(u,v)=((p+aq)/(1+a^2),a(p+aq)/(1+a^2))
∴N=|(p+aq)/(1+a^2)|√(1+(2+a^2)a^2)
=|(p+aq)/(1+a^2)|√{(1+a^2)^2}
=|p+aq|=p+aq (∵)(1)の結果よりq＞0
=1+2cosθ+a+asinθ
(4)
(ア)
(3)の結果よりa=0のとき
N=1+2cosθ
∴(1)の結果よりNはθ=0のとき最大値3を取るので
M(0)=3
(イ)
(3)の結果より
N={√(a^2+4)}sin(θ+α)+a+1
(但しαはtanα=2/a,0＜α＜π/2なる角)
ここで(1)の結果より
-π/3+α≦θ+α≦π/3+α
で
-π/3＜-π/3+α＜π/6
π/3＜π/3+α＜5π/6
であることに注意すると
(i)2/a＜tan(π/6)=1/√3、つまり2√3＜aのとき
Nはθ=π/3のときに最大となるので
M(a)=2+a(√3)/2+a
(ii)1/√3=tan(π/6)≦2/a、つまり0＜a≦2√3のとき
Nはθ+α=π/2、つまりθ=π/2-αのときに最大になるので
M(a)=a+1+√(a^2+4)
No.18255 - 2012/08/08(Wed) 09:01:21
★ 高３ / PINE
(１)媒介変数表示x=3^(t＋1)＋3^(-t＋1)＋1,y=3^t−3^(−t)で表される図形は，x,yについての方程式[ア]=1で定まる双曲線Ｃのx＞0の部分である。また,Ｃの漸近線で傾きが正の漸近線の方程式はy=[イ]である。

(２)曲線(x-1)^2＋y^2=1を表す極方程式を求めよ。
No.18251 - 2012/08/08(Wed) 01:19:28
☆ Re: 高３ / ヨッシー
(1)
x/3=3^t+3^(-t) より
　x^2/9＝3^(2t)＋3^(-2t)＋2
また　
　y^2＝3^(2t)＋3^(-2t)−2
よって、
　x^2/9−2＝y^2＋2
整理して
　x^2/36−y^2/4＝1
漸近線は　y＝x/3

(2)
ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθ を代入して、
　ｒ(ｒ−2cosθ)＝０
No.18253 - 2012/08/08(Wed) 06:10:02
★ 高３ / PINE
xyz空間に4点P(0,0,2),A(0,2,0),B(√3,-1,0),C(-√3,-1,0)をとる。四面体PABCのx^2+y^2≧1を満たす部分の体積を求めよ。
答　4√3-2π
No.18248 - 2012/08/07(Tue) 21:28:44
☆ Re: 高３ / X
対称性から、求める体積はx≧0,y≧0,z≧0の領域にある部分の体積の
6倍になります。
それでこの部分の体積ですが、yz平面に平行な平面による断面の
直角三角形の面積を積分することを考えます。

x≧0,y≧0,z≧0の領域にある四面体PABCの側面は点P,Aを通り
少なくとも原点は通りませんのでその方程式は
x/a+y/2+z/2=1 (a≠0) (A)
と置くことができます。
これが点Bを通ることから
(1/a)√3-1/2=1
∴a=2/√3
よって(A)は
x/(2/√3)+y/2+z/2=1 (A)'
これより
y=2-x√3-z (A)"
従って(A)"と境界面である円柱の側面である
x^2+y^2=1
つまり
y=√(1-x^2) (B)
との交線について
2-x√3-z=√(1-x^2)
∴z=2-x√3-√(1-x^2) (C)
x≧0,y≧0,z≧0の領域にある問題の立体の
平面x=t　(0≦t≦(√3)/2)
による断面の直角三角形は、(C)より高さが
2-t√3-√(1-t^2)
又、(A)",(B)より底辺の両端の頂点の座標は
(t,2-t√3,0),(t,√(1-t^2),0)
で(A)'と(B)の位置関係を考えると底辺の長さは
2-t√3-√(1-t^2)
になりますので求める体積をVとすると
V=6∫[0→(√3)/2](1/2){{2-t√3-√(1-t^2)}^2}dt
=…
(展開して積分を計算します。)
No.18249 - 2012/08/07(Tue) 22:46:41
★ 高3 三角関数 / ktdg
(√sinθ+√cosθ)^2の最大値の求め方を教えてください。
No.18245 - 2012/08/07(Tue) 17:48:43
☆ Re: 高3 三角関数 / ktdg
補足
0≦θ≦π/2です。
No.18246 - 2012/08/07(Tue) 17:51:04
☆ Re: 高3 三角関数 / ヨッシー
f(θ)＝(√sinθ+√cosθ)^2 と置きます。
　f'(θ)＝2(√sinθ+√cosθ)(√sinθ+√cosθ)'
　(√sinθ+√cosθ)'＝(1/2)cosθ/√sinθ−(1/2)sinθ/√cosθ
f'(θ)＝0 となるのは、(1/2)cosθ/√sinθ−(1/2)sinθ/√cosθ＝0 のとき
　(1/2)cosθ/√sinθ−(1/2)sinθ/√cosθ＝0
より
　cosθ√cosθ＝sinθ√sinθ　・・・(i)
0≦θ≦π/2 の範囲では、cosθは単調減少、sinθは単調増加なので、
(i) の解は θ＝π/4
0＜θ＜π/4 で、f'(θ)＞0
π/4＜θ＜π/2 で f'(θ)＜0
よって、θ＝π/4 のとき f(θ) は最大値 {2√(1/√2)}^2＝2√2 を取ります。
No.18247 - 2012/08/07(Tue) 19:12:03
☆ 別解 / angel
sin と cos には (sinθ)^2+(cosθ)^2=1 という関係がありますから、
　(sinθ+cosθ)^2 = ( (sinθ)^2+(cosθ)^2 ) + 2sinθcosθ
　これより sinθcosθ = ( (sinθ+cosθ)^2 - 1 )/2
と、sinθ+cosθ、sinθcosθ の関係も導き出せます。
※これはたまに使います。

その上で問題を見てみましょう。
　(与式)
　= ( √sinθ + √cosθ )^2
　= sinθ+cosθ+2√(sinθcosθ)
ですから、t=sinθ+cosθ と置いてあげれば
　(与式)
　= t + 2√( (t^2-1)/2 )
　= t + √( 2(t^2-1) )
です。

ここで、t=sinθ+cosθ=√2・sin(θ+π/4) と合成してあげれば 1≦t≦√2 と t の範囲が分かります。
また、t + √( 2(t^2-1) ) は t≧1 では明らかに ( 微分して確かめるまでもなく ) tに関して単調増加ですから、t=√2 の時最大値を取ることが分かります。
No.18250 - 2012/08/08(Wed) 00:02:00
★ 高3　関数の性質　 / PINE
−1<x<1を定義域とする関数fp(x)＝(x−p)/(1-px)，fq(x)=(x-q)/(1-qx)(−1<p<1，−1<q<1)について次の問いに答えよ。
(1)定義域内のすべてのxに対して，-1<fq(x)<1を示せ。
(2)定義域内のすべてのxに対して，fp(fq(x))=(x-r)/(1-rx)を満たすとき，rをpとqを用いて表し，−1<r<1を示せ。ただし，fp(fq(x))はfp(y)＝(y−p)/(1-py)にy＝fq(x)を代入したものを意味するものとする。
(3)定義域内のすべてのxに対して，fp(fq(x))＝fq(x)を満たすpを求めよ。
No.18242 - 2012/08/06(Mon) 23:22:26
☆ Re: 高3　関数の性質　 / ヨッシー
(1)
(2) で、-1＜r＜1 を示しているのと同じ方法で出来ます。

(2)
fp(fq(x))＝fp((x-q)/(1-qx))
　＝{(x-q)/(1-qx)-p}/{1-p(x-q)/(1-qx)}
　＝{(x-q)-p(1-qx)}/{(1-qx)-p(x-q)}
　＝(x-q-p+pqx)/(1-px-qx+pq)
　＝{x(1+pq)-(p+q)}/{(1+pq)-(p+q)x}
1+pq＞0 より、
fp(fq(x))＝{x-(p+q)/(1+pq)}/{1-(p+q)x/(1+pq)}
これと、(x-r)/(1-rx) を比較して、
　r＝(p+q)/(1+pq)
1+pq＞0 より、

-1＜(p+q)/(1+pq) の証明
　両辺 1+pq を掛けて、
　　-(1+pq)＜p+q
　(右辺)−(左辺)＝p+q+pq+1=(1+p)(1+q)＞0

(p+q)/(1+pq)＜1　の証明
　両辺 1+pq を掛けて、
　　p+q＜1+pq
　(右辺)−(左辺)＝1+pq-p-q＝(1-p)(1-q)＞0

(3)　
(2) より
　{x-(p+q)/(1+pq)}/{1-(p+q)x/(1+pq)}＝(x-q)/(1-qx)
両辺比較して、
　(p+q)/(1+pq)＝q
　p+q＝q(1+pq)
　p＝pq^2
これが、常に成り立つには、p=0
No.18243 - 2012/08/07(Tue) 17:00:12
★ (No Subject) / ヴァン
任意の実数x，yに対して，2x^2−2xy＋y^2＋2x＋4y＋6のとりうる値の範囲の最小値を求めよ。
No.18239 - 2012/08/06(Mon) 22:27:14
☆ 高校2年　数学?U / ヴァン
任意の実数x，yに対して，2x^2−2xy＋y^2＋2x＋4y＋6のとりうる値の範囲の最小値を求めよ。
No.18240 - 2012/08/06(Mon) 22:37:25
☆ Re: / ヨッシー
x^2＋6x＋2 の最小値は？と聞かれると
　(x+3)^2−7
と変形するのと同じで、
　2x^2−2xy＋y^2＋2x＋4y＋6
　＝y^2＋2(2-x)y＋2x^2＋2x＋6
　＝y^2＋2(2-x)y＋(2-x)^2−(2-x)^2＋2x^2＋2x＋6
　＝(y-x+2)^2＋x^2＋6x＋2
　＝(y-x+2)^2＋(x+3)^2−7
より、x=-3, y=-5 のとき、最小値 -7
No.18241 - 2012/08/06(Mon) 22:41:46
★ 高2です / みにー
ふとわからなくなってしまったので…
√1+a=√3を解くときは
ルートをただ外すだけでいいのでしょうか？
No.18232 - 2012/08/06(Mon) 13:10:21
☆ Re: 高2です / ヨッシー
√(1+a)=√3 ですかね？
ルートを外すだけなら、１＋ａ＝３ ですが、
もちろん、ａ＝２ まで行ってくださいね。
No.18233 - 2012/08/06(Mon) 15:59:45
☆ Re: 高2です / みにー
ありがとうございました(^-^)
No.18261 - 2012/08/08(Wed) 14:55:45
★ 群数列 / PINK
第ｎ項がａn=2n-1(n=1,2,3,・・・・・)である数列｛ａn｝を下のようにａ1,ａ2,を第1群,ａ3,ａ4,ａ5,ａ6,を第2群ａ7,ａ8,ａ9,・・・・・,ａ14を第3群,・・・とし、第ｍ群が2^ｍ個の項を含むように区分する。
1,3,┃5,7,9,11,┃13,15,17,19,21,23,25,27,┃29,・・・・

(1)第ｍ群の最後の項
(2)第ｍ群に含まれる項の総和　をできるだけ詳しくお願いします。
No.18231 - 2012/08/06(Mon) 11:55:34
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
(1) 第ｍ群の最後の項は、第何項かを考えます。
　２＋４＋８＋・・・＋2^m
なので、2^(m+1)−2 番目の項ということになります。
第ｎ項は ２ｎ−１ なので、求める項は、
　2{2^(m+1)−2}−1＝2^(m+2)−5

(2)
第ｍ群は、2^(m+1)−3 から 2^(m+2)−5 までの 2^m 個なので、
等差数列の和の公式より
　2^m{2^(m+1)−3 ＋ 2^(m+2)−5}÷2＝3・2^(2m)−2^(m+2)

となります。
No.18234 - 2012/08/06(Mon) 16:21:21
☆ Re: 群数列 / PINK
ありがとうございます。
No.18270 - 2012/08/09(Thu) 11:36:32
★ 高3 式と図形 / ktdg
平面上の点(a,b)は円x^2+y^2-100=0ー?@上を動き、点(c,d)は円x^2+y^2-6x-8y+24=0ー?A上を動くものとする。
(1)ac+bd=0を満たす(a,b)と(c,d)の例を一組あげよ。
(2)ac+bdの最大値を求めよ。

(2)
ac+bdをbの関数としてf(b)とおく。2≦c≦4,3≦d≦5より、f(b)が最大値をとるのは0<a≦10,0<b≦10のときであり、a=√(100-b^2)。よってf(b)=c√(100-b^2)+db。f '(b)={d√(100-b^2)-bc}/√(100-b^2)より、f '(b)=0となるのはb=10d/√(c^2+d^2)のとき。y=d√(100-b^2)のグラフは原点を中心とする楕円であり、y=cbのグラフは原点を通る傾きが正の直線であるから、f(b)の最大値は、f(10d/√(c^2+d^2))=10√(c^2+d^2)。ここで、dは?Aをみたすから、c^2+d^2=6c+8d-24。これをzとおくと、zはcd平面(縦軸をd軸、横軸をc軸とする)における直線のd軸切片であり、2≦c≦4,3≦d≦5と、傾きが負であることから、(c,d)=(4,5)のとき最大値z=40をとる。従って、ac+bdの最大値は、10√40=20√10。

答え合わせお願いします。

また、(1)の答え方についてですが、ただac+bd=0を満たすa,b,c,dの値を書くだけでいいのですか?(1)から(2)への繋がりが見えるような解答が思いうかびません。
No.18224 - 2012/08/05(Sun) 02:32:55
☆ Re: 高3 式と図形 / ヨッシー
結論から言うと、(c,d)＝(4,5) は?Aを満たさないので不正解です。

(1) を求めるにしても、ac+bd が、(a,b)と(c,d) の内積ととらえられるかが
ポイントです。
?Aの中心(3,4) を4/5倍、あるいは6/5倍した(12/5, 16/5) あるいは
(18/5, 24/5)に対して、(3,4) を90°回転した(-4,3)あるいは
(4,-3) を２倍した(-8,6)や(8,-6)を見つければ
(-8,6) と (12/5, 16/5)、(8,-6)と(18/5, 24/5)などの
回答例が得られます。

すると(2) では、
点Ａ(a,b)、点Ｂ(c,d)とおくと、
　ac+bd＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ
であり、
・?Aは?@の内部にあるので、必ず∠ＡＯＢ＝０ に出来る
・ＯＡ＝１０(一定)
なので、ＯＢが最大になる点を見つければいいことになります。
それは(18/5, 24/5) であり、このときＯＢ＝６であるので、
　ac+bd＝６・１０・１＝６０
が最大で、このとき、(a,b)＝(6,8) となっています。
No.18225 - 2012/08/05(Sun) 09:26:03
☆ Re: 高3 式と図形 / ITVISION
(2)の別解（三角関数を使う）
ヨッシーさんのベクトルの内積ほどスマートではないですが
三角関数を使ってもできます。（以下略解です）
a=10cosα,b=10sinα
c=cosβ+3,d=sinβ+4

ac+bd=10cosα(cosβ+3)+10sinα(sinβ+4)
=10(cosαcosβ+sinαsinβ+3cosα+4sinα)
=10(cos(α-β)+5sin(α+θ))
No.18227 - 2012/08/05(Sun) 10:22:57
☆ Re: 高3 式と図形 / ktdg
> ?Aの中心(3,4) を4/5倍、あるいは6/5倍した(12/5, 16/5) あるいは
> (18/5, 24/5)に対して、(3,4) を90°回転した(-4,3)あるいは
> (4,-3) を２倍した(-8,6)や(8,-6)を見つければ
この操作で何をしているのかイマイチわかりません…

(2)についてはcd平面で、z=6c+8d-24がc^2+d^2-6c-8d+24=0に接するようにしてzの最大値を求めれば一応答えは出ました。(計算が滅茶苦茶めんどいので、内積を使ってとくのが一番賢い解き方ですが)

ITVISIONさんの三角関数を使ったとき方なんですが、10(cos(α-β)+sin(α+θ))の最大値はどのようにして求めるのでしょうか?

お手数かけますがよろしくお願い致します。
No.18229 - 2012/08/06(Mon) 01:13:19
☆ Re: 高3 式と図形 / ITVISION
>ITVISIONさんの三角関数を使ったとき方なんですが、10(cos(α-β)+sin(α+θ))の最大値はどのようにして求めるのでしょうか?
10(cos(α-β) + 5sin(α+θ)) ですね

−６≦cos(α-β) + 5sin(α+θ)≦６　は良いですか？
（この時点では実際に６になることは分かりません）　

θは定数（０≦θ≦２π）は分かりますか？（三角関数の合成）
α+θ＝π/2　（+2nπ）　となるαをとると
　sin(α+θ)＝sin(π/2)＝1
このαに対してβ＝αとすると
　cos(α-β)＝cos０＝１

よってこのとき10(cos(α-β) + 5sin(α+θ))＝６０・・最大値

10(cos(α-β) + 5cos(α-θ')) の方が良かったかも。
（３つの円を描いてみると内積計算と同じ意味ということが分かるかも知れませんね。１つは小さいほうの円の中心を原点に移動したもの）　
No.18235 - 2012/08/06(Mon) 19:04:44
☆ Re: 高3 式と図形 / ktdg
ありがとうございます。
No.18244 - 2012/08/07(Tue) 17:45:14
★ 場合の数 高3 / ktdg
1からnまでの番号をつけたn枚のカードがある。これらn枚のカードをA,B,Cの3つの箱に分けていれる。ただしどの箱にも少なくとも1枚はいれるものとする。
(1)入れ方は全部で何通りあるか。
(2)自然数mは2m≦nを満たすとする。1≦k≦mである各整数kについて2k-1と2kの番号のカードをペアと考える。どれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数をnとmを用いて表せ。

(1)
はじめに3つの箱にいれる3枚の選び方は、n枚から3枚選んで並べるので、nP(n-3)=n！/6 通り
残ったn-3枚を3つの箱に入れる入れ方は(n-3)^3 通り
従って、入れ方は全部で{(n-3)^3×n！}/6 通り
(2)
3つの箱に1つもペアが入らない場合の数を考える。
2k-1がAの箱に入ったとき、2kはBかCの2通り。
2k-1がBの箱に入ったとき、2kはAかCの2通り。
2k-1がCの箱に入ったとき、2kはBかCの2通り。
1つのペアで6通りの場合が考えられ、ペアの数は全部でm組だから、求める場合の数は6^m 通り。
従って、どれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、
{(n-3)^3×n！}/6-6^m 通り。

答え合わせお願いします。
No.18216 - 2012/08/03(Fri) 14:39:34
☆ Re: 場合の数 高3 / ヨッシー
(1) はまず、
>残ったn-3枚を3つの箱に入れる入れ方は(n-3)^3 通り
ではなく、3^(n-3) 通りです。
ただ、それ以前に、考え方がまずいです。
例えば、1,2,3,4 の４枚だったとき、
1,2,3 を選んでA,B,C の箱に入れ、4 をA に入れるのと、
4,2,3 を選んでA,B,C の箱に入れ、1 をA に入れるのとは
同じ入れ方になります。
正しくはこうです。

n≧3 とします。
ｎ枚を３つの箱に入れる方法は　3^n 通り。
このうちＡには入らない方法は　2^n 通り。Ｂ，Ｃについても同様で、
２つ以下の箱に入れるのは３・2^n 通り。
Ａだけに入れる方法は、１通り。Ｂ，Ｃ についても同様に各１通り。
最初の 3^n 通りについて考えると、この中には、
どれか１つだけの箱に入っている・・・３通り。
ＡＢ２つの箱に入っている・・・2^n−2 通り　（2^n からＡだけ、Ｂだけを除く
ＢＣ，ＡＣ についても同様で各 2^n−2 通り。
残りが、どの箱にも少なくとも１つは入っている入れ方で
　3^n−3(2^n−2)−3＝3^n−3(2^n−1)
n=1, n=2 のときも成り立つので、全ての自然数ｎについて、
　3^n−3(2^n−1) 通り　・・・答え

(2) については、もう少し考えますが、問題はこれで合っていますか？
>自然数mは2m≦nを満たすとする。
ということは、n=100 で m=1 でも良いんですよね？
No.18218 - 2012/08/03(Fri) 15:48:54
☆ (2) / angel
横から失礼しますが、
> (2) については、もう少し考えますが、問題はこれで合っていますか？
> >自然数mは2m≦nを満たすとする。
> ということは、n=100 で m=1 でも良いんですよね？
問題として特に不自然ではないと思います。
例えば m=1 であれば、「1と2が同じ箱に入る場合の数は何通りか」ですし、m=2 であれば、「1と2が同じ箱に入る、もしくは3と4が同じ箱に入る場合の数は何通りか」といったふうに解釈できます。
考え方としては、逆 ( 余事象 ) に着目するのが良くて、「1と2が別の箱、かつ3と4が別の箱、…，かつ(2m-1),2mが別の箱となる場合の数」を計算して(1)から引くような感じで。
ただし、「どの箱にも少なくとも1枚」という前提がありますので、そこには注意が必要でしょう。

そうすると、ktdgさんの解答はイイ線いっているのですが ( (1)を間違えているからどっちにしてもダメというのはさておき )、少し足らない所がありますね。
No.18220 - 2012/08/03(Fri) 23:10:48
☆ Re: 場合の数 高3 / ヨッシー
問題が成り立たないとかではなくて、少しやっかいそうだったので、
条件を絞りたいなぁと思っただけです。

ktdgさんの 6^m というのは良いですね。
これに残りの n-2m 枚を加えてｎ枚のカードを全部入れてしまうわけですが、
ここで場合分けが必要です。
6^m 通りのうち、3・2^m 通りは、A,B,C のうち、２つにしか
カードが入っておらず、残りの 6^m−3・2^m 通りはA,B,C
３つともにカードが入っています。

2m 枚のカードが２つの箱にしか入っていない場合は、
残りのn-2m を加えたあと、カードが入っていない箱が
出来る危険性がありますので、それは避けないといけません。
一方、2m 枚のカードが3つの箱に既に入っている場合は、、
残りの n-2m 枚は、好きなように入れられます。

といったような感じですね。
No.18221 - 2012/08/03(Fri) 23:35:59
☆ Re: 場合の数 高3 / ktdg
回答ありがとうございます。
(1)については理解できました。
(2)についてですが、3つの箱に1つもペアが入らない場合の数は6^m・3^(n-2m)通り。そのうち、Aの箱が空になる場合の数は2^m通り。よってどれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m通り。でいいですか?
あと、場合わけというのがよくわからないのですが…
No.18223 - 2012/08/04(Sat) 22:46:52
☆ Re: 場合の数 高3 / angel
もう少し丁寧にやった方が良いと思います。
> そのうち、Aの箱が空になる場合の数は2^m通り。
これは「(1,2),(3,4),…(2m-1,2m)のペアの分」ですよね。2m+1〜n の分が計算に入っていません。
何かチェックシートでも作るなり、漏れのないように考えられる工夫をするのが良いのではないでしょうか。

正しくは、2^m・2^(n-2m)通りです。

> よってどれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m通り。

そうすると、こちらは 3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m・2^(n-2m) になります。
尤も、式をもう少し簡略化することを考えると、
　6^m・3^(n-2m) = 2^m・3^m・3^(n-2m) = 2^m・3^(m+n-2m)
　2^m・2^(n-2m) = 2^(m+n-2m)
ですから、
　3^n-3(2^n-1)-2^m・3^(n-m)+3・2^(n-m)
の方が良いでしょうか。

最後に。(1)でもそうなのですが、簡単な例を試してみて、単純なミスを犯していないかどうか、必ず確認した方が良いです。
例えば(1)なら、一般のnに対する答えが分からなくても、
　n=1,2 なら 0通り、n=3 なら 6通り
というのは計算できるはずです。なので、出てきた式にn=1,2,3を代入して合っているかどうか確かめれば、ある程度間違いに気付けるはずです。

(2)なら、
　m=1, n=2 or 3 の時 0通り
　m=1, n=4 の時 6通り ( (1,2),(3),(4) と分かれるため )
　m=2, n=4 の時 12通り ( {(1,2),(3),(4)} もしくは {(3,4),(1),(2)} )
とか。
No.18228 - 2012/08/05(Sun) 21:05:21
☆ Re: 場合の数 高3 / ktdg
貴重なアドバイスありがとうございます。
場合の数の問題を解く時は確認作業をしっかりしたいと思います。
No.18230 - 2012/08/06(Mon) 01:19:42
★ 微分可能性 / モアイ族
aを実数とする。全ての実数ｘで定義された関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)はｘ＝０で微分可能であるとする。
(1)aおよびf'(0)の値を求めよ
(2)導関数f'(x)はｘ＝０で連続である事を示せ

(1)略
a=-1,f'(0)=0
（２）（x(e^2x+a)）’＝(e^2x+a)+2xe^2x・・★
であるから
ｆ’（ｘ）＝e^2x-1+2xe^2x(x>0)
-{e^2x-1+2xe^2x}(x>0)
よってlim(x→+0)f'(x)=lim(x→+0)(e^2x-1+2xe^2x)=0
lim(x→-0)f'(x)=lim(x→-0)-{e^2x-1+2xe^2x}=0
とf'(0)=0よりlim(x→+0)f'(x)=lim(x→-0)＝ｆ’（０）
が成り立つからf'(x)はｘ＝０で連続である(終）
なのですがf'(x)と表記しているということは、全てのｘで微分可能ということですよね？しかし問題文ではｘ＝０でしか微分可能だとは分からないはずです。なぜｆ’（ｘ）と表記しているのか？そしてなぜ★のようにｆ（ｘ）を微分してよいのかが分かりません。
No.18211 - 2012/08/02(Thu) 22:22:21
☆ Re: 微分可能性 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
>問題文ではｘ＝０でしか微分可能だとは分からないはずです。なぜｆ’（ｘ）と表記しているのか？
ｘ＞０ではf(x)＝x(e^(2x)＋a)　：微分可能
ｘ＜０ではf(x)＝-x(e^(2x)＋a)　：微分可能
だからです。

>関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)はｘ＝０で微分可能であるとする
f(x)はｘ＝０以外では、任意のaについて微分可能です。
ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、f(x)が微分可能になるのはaが特定の値（-1）の場合だけです。

>なぜ★のようにｆ（ｘ）を微分してよいのかが分かりません。
（x(e^(2x)+a)）’＝(e^(2x)+a)+2xe^2x・・★
積の微分の計算で常に成り立つ式だと思いますが。
（★は厳密にいうと　f(x)の微分というより（x(e^(2x)+a)）の微分を求めている。）　
No.18212 - 2012/08/02(Thu) 22:51:38
☆ Re: 微分可能性 / モアイ族
かいとうありがとうございます

ｘ＞０ではf(x)＝x(e^(2x)＋a)　：微分可能
ｘ＜０ではf(x)＝-x(e^(2x)＋a)　：微分可能
は
厳密に、より詳しく言うと
ｘ≧０ではf(x)＝x(e^(2x)＋a)　：ｘ＞０で微分可能（端点のｘ＝０では微分可能はどうかは不明。なぜなら端点だから。増減表で端点が空欄になっている理由と同じ）
ｘ≦０ではf(x)＝-x(e^(2x)＋a)　：ｘ＜０で微分可能（端点のｘ＝０では微分可能かどうかは不明）

>関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)はｘ＝０で微分可能であるとする
f(x)はｘ＝０以外では、任意のaについて微分可能です。
ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、f(x)が微分可能になるのはaが特定の値（-1）の場合だけです。
→この説明はよく分かりません。ｌｘｌを分解しているあたりが。。

つまり（２）は微分できてしまったから、微分可能というやり方ですか？

よろしくおねがいします
No.18222 - 2012/08/04(Sat) 13:44:38
☆ Re: 微分可能性 / ITVISION
>f(x)はｘ＝０以外では、任意のaについて微分可能です。
>ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、f(x)が微分可能になるのはaが特定の値（-1）の場合だけです。
>→この説明はよく分かりません。ｌｘｌを分解しているあたりが。
「ｌｘｌを「分解」しているあたり」とはどういう意味ですか？
一般に「ある区間で関数g(x)とh(x)が微分可能なときg(x)h(x)も微分可能」は良いですか？

ｌｘｌは　ｘ≠０で微分可能
任意の実数aについて　e^(2x)＋a　はすべての実数ｘについて微分可能

任意の実数aについてｌｘｌ(e^(2x)＋a)はｘ≠０で微分可能。
ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、ｌｘｌ(e^(2x)＋a)は必ずしも微分可能とは限らない。

問題はf(x)＝ｌｘｌ(e^(2x)＋a)がｘ＝０においても微分可能すなわちすべての実数ｘで微分可能となるようなaを求めよってことですよね。

>つまり（２）は微分できてしまったから、微分可能というやり方ですか？
そうですね、それで十分だと思いますが？
ｘ＝０以外では、定義からf(x)は微分可能です。ｘ＝０でもaの条件からf(x)は微分可能です。
No.18236 - 2012/08/06(Mon) 19:16:12
☆ Re: 微分可能性 / モアイ族
ありがとうございます。ほぼ理解できました

質問1一般に「ある区間で関数g(x)とh(x)が微分可能⇒g(x)h(x)も微分可能（逆は成り立つとは限らない）」で合ってますか？

質問2
ｘ＝０以外では、定義からf(x)は微分可能
とありますが、定義からやってませんよね？
（x(e^(2x)+a)）’＝(e^(2x)+a)+2xe^2x
これの事を定義とおっしゃっているのでしょうか？
No.18237 - 2012/08/06(Mon) 20:06:03
☆ Re: 微分可能性 / ITVISION
> 質問1一般に「ある区間で関数g(x)とh(x)が微分可能⇒g(x)h(x)も微分可能（逆は成り立つとは限らない）」で合ってますか？
合っています。

> 質問2
> ｘ＝０以外では、定義からf(x)は微分可能
> とありますが、定義からやってませんよね？
> （x(e^(2x)+a)）’＝(e^(2x)+a)+2xe^2x
> これの事を定義とおっしゃっているのでしょうか？
ここでいっている「定義から」の「定義」とは
f(x)の定義のうち
「全ての実数ｘで定義された関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)」によって表現されている部分のことです。
No.18238 - 2012/08/06(Mon) 20:36:52
★ 高3 積分 / ktdg
四面体ABCDがある。6辺DA,BC,DB,CA,DC,AB,の中点を順にP1,Q1,P2,Q2,P3,Q3,とする。3つの線分P1Q1,P2Q2,P3Q3が互いに垂直であり、いずれも長さが1である。このとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。また、この正四面体の1辺の長さを求めよ。

AB→=b→,AC→=c→,AD→=d→とすると、
P1Q1→=(b→+c→-d→)/2,P2Q2→=(b→+d→-c→)/2,P3Q3→=(c→+d→-b→)/2,
P1Q1→・P2Q2→=0より、
|b→|^2-|d→|^2-|c→|^2+2c→・d→=0ー?@
P2Q2→・P3Q3→=0より、
|d→|^2-|c→|^2-|b→|^2+2b→・c→=0ー?A
P3Q3→・P1Q1→=0より、
|c→|^2-|b→|^2-|d→|^2+2b→・d→=0ー?B
?A+?Bより、
|c→|cos角BAC+|d→|cos角BAD=|b→|ー?C
?@+?Bより、
|b→|cos角BAD+|c→|cos角CAD=|d→|ー?D
?@+?Aより、
|d→|cos角CAD+|b→|cos角BAC=|c→|ー?E
?C+?D+?Eより、cos角BAC=p,cos角BAD=q,cos角CAD=rとおくと、
|d→|(q+r-1)+|c→|(q+p-1)+|b→|(r+p-1)=0ー?F

ここで分からなくなったのですが、?Fが成り立つとき、p=q=r=1/2であるといえますか？P1Q1=P2Q2=P3Q3=1という条件を使えば解くことはできますが、式がたくさん出てきて面倒なので、?Fの条件のみから解くことができるのか知りたいです。
No.18209 - 2012/08/02(Thu) 20:57:00
☆ Re: 高3 積分 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
>?Fが成り立つとき、p=q=r=1/2であるといえますか？
いえないと思います
|d→|(q+r-1)+|c→|(q+p-1)+|b→|(r+p-1)=0ー?F
仮に|d→|＝|c→|＝|b→|=k＞0　だとした場合でも
?F⇔k((q+r-1)+(q+p-1)+(r+p-1))=0
⇔k(2p+2q+2r-3)=0
⇔　2p+2q+2r＝3
⇔　p+q+r＝3/2　　しかいえないので
p=q=r=1/2　はいえないと思います

まして|d→|、|c→|、|b→|は?Fだけではフリーなので
p+q+r＝3/2　すらいえません。
No.18210 - 2012/08/02(Thu) 21:20:13
☆ Re: 高3 積分 / ktdg
ありがとうございます。
No.18215 - 2012/08/03(Fri) 13:38:23
★ 基本的な質問で申し訳ありません / Xex
数列で、階差数列などを考えるときになぜnは2以上の場合を始めに考えないといけないのでしょうか?
あと、log{a,M}のMはなぜいつも0より大きいのですか?
No.18207 - 2012/08/02(Thu) 17:09:19
☆ Re: 基本的な質問で申し訳ありません / ヨッシー
階差数列の件
　元の数列の、第１項があって、第２項があって、それで初めて、
　階差数列（隣合う２つの項の差）が出来るからです。

log の件
　高校で習う log は、真数（上で言うＭ）が正の場合しか
定義していないからです。
　逆に言えば、logaＭ＝ｘ とおくと、
　Ｍ＝ａx
になるわけですが、ｘにいかなる実数を入れても、Ｍは正の数しか
取らないからです。
No.18208 - 2012/08/02(Thu) 17:31:07
☆ Re: 基本的な質問で申し訳ありません / Xex
了解です＾＾
No.18219 - 2012/08/03(Fri) 20:35:36
★ 曲線のながさ / まさ
次の曲線の長さを求めよ
y=x√x(0≦x≦1)

答えは、(13√13-8)/27です

よろしくお願いします。
No.18200 - 2012/08/01(Wed) 17:54:59
☆ Re: 曲線のながさ / ヨッシー
1)長さの公式に入れるためにｙをｘで微分する。
2)長さの公式に入れる。
3)積分を計算する。
という手順です。

どこまで出来てますか？
No.18201 - 2012/08/01(Wed) 18:41:26
☆ Re: 曲線のながさ / まさ
積分で計算するところで躓いています。

よろしくお願いします。
No.18202 - 2012/08/01(Wed) 19:18:27
☆ Re: 曲線のながさ / X
y'=(3/2)x^(1/2)
∴求める曲線の長さをLとすると
L=∫[0→1]√(1+9x/4)dx
=[(4/9)(2/3)(1+9x/4)^(3/2)][0→1]
=(8/27){(1/2)√13-1}
=(4√13-8)/27

(13√13-8)/27とはなりませんでした。
No.18203 - 2012/08/01(Wed) 21:42:22
☆ Re: 曲線のながさ / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
横から失礼します。
>　=[(4/9)(2/3)(1+9x/4)^(3/2)][0→1]
>　=(8/27){(1/2)√13-1}
>　=(4√13-8)/27
は、計算間違いではないですか？
Ｌは（0,0)と(1,1)を結ぶ単調増加関数の曲線の長さなので
√2＜Ｌ＜２　のはずですが
Ｌ=(4√13-8)/27　＜(16-8)/27＝8/27　となりおかしいです。
Ｌ＝(13√13-8)/27で合ってると思います。

ｔ＝√(1+9x/4)　とおいて置換積分するといいと思います。
※置換積分は不要でしたね。
　　
No.18204 - 2012/08/01(Wed) 23:07:53
☆ Re: 曲線のながさ / ヨッシー
L=∫[0→1]√(1+9x/4)dx
=[(4/9)(2/3)(1+9x/4)^(3/2)][0→1]
ここまでは良くて、そのあと
=(8/27){(13/4)^(3/2)−1^(3/2)}
=(8/27){(13√13)/8−1}
=(13√13-8)/27
ですね。
No.18205 - 2012/08/01(Wed) 23:11:56
☆ Re: 曲線のながさ / X
>>ＩＴＶＩＳＩＯＮさん、ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>まささんへ
ごめんなさい。計算を間違えていました。
ＩＴＶＩＳＩＯＮさん、ヨッシーさんの仰るとおり、
(13√13-8)/27
で問題ありません。
No.18206 - 2012/08/02(Thu) 00:10:13
★ 体積 / まさ
y=-x^2+2と直線y=1によって囲まれた図形を、x軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

答えは、(56/12)πです

よろしくお願いします。
No.18197 - 2012/08/01(Wed) 16:59:59
☆ Re: 体積 / ヨッシー


放物線の -1≦ｘ≦1 の部分を回転したものから、円柱部分を引きます。
対称性から、0〜1 を積分範囲とし、２倍します。
　２∫[0〜1]πｙ^2dx＝２π∫[0〜1](-x^2+2)^2dx
　　＝86π/15
これから円柱部分の２πを引いて
　86π/15−2π＝56π/15
です。

分母は書き間違いでしょう。
No.18198 - 2012/08/01(Wed) 17:22:13
☆ Re: 体積 / まさ
分母、間違えてました
ありがとうございました
No.18199 - 2012/08/01(Wed) 17:47:57
★ 積分面積 / まさ
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1)曲線y=e^x,直線y=e,y軸
(2)二曲線y=x^2,y^2=8x

(1)1
(2)8/3

よろしくお願いします。
No.18193 - 2012/07/31(Tue) 22:20:59
☆ Re: 積分面積 / X
グラフを描いて交点を求めることから始めましょう。
(1)
求める面積をSとすると
S=∫[0→1](e-e^x)dx=[ex-e^x][0→1]=1

(2)
問題の曲線の交点の座標は
(0,0),(2,4)
この２点と点(2,0),(0,4)を頂点とする長方形に注目して
求める面積をSとすると
S=2・4-∫[0→2](x^2)dx-∫[0→4]((1/8)y^2)dy
=8-[(1/3)x^3][0→2]-[(1/24)y^3][0→4]
=8/3
No.18195 - 2012/07/31(Tue) 23:09:25
☆ Re: 積分面積 / まさ
ありがとうございました
No.18196 - 2012/08/01(Wed) 16:30:10
★ 積分 / ko
答えは、f(x)=x+e-2です

よろしくお願いします
No.18189 - 2012/07/31(Tue) 14:15:10
☆ Re: 積分 / ヨッシー
定積分の部分は定数なので、f(x)＝ｘ＋Ｃ と置けます。
その上で、積分を計算すると、
ｅ^(-x)＝｛−ｅ^(-x)}’ より
　∫01ｅ^(-t)(ｔ＋Ｃ)dt
　　＝[−ｅ^(-t)・(ｔ＋Ｃ)]01＋∫01ｅ^(-t)dt
　　＝−(1/e)(１＋Ｃ)＋Ｃ−[ｅ^(-t)]01
　　＝−(1/e)(１＋Ｃ)＋Ｃ−(1/e)+１＝Ｃ
これを解くと、Ｃ＝ｅ−２ となります。
No.18191 - 2012/07/31(Tue) 15:44:21
☆ Re: 積分 / ko
ありがとうございました
No.18194 - 2012/07/31(Tue) 22:21:37
★ 不定積分 / まさ
??(logx)^2dxがわからないです

答えは、x(logx)^2-2xlogx+2x+Cです

よろしくお願いします。
No.18186 - 2012/07/31(Tue) 11:29:42
☆ Re: 不定積分 / X
部分積分を２回使います。
∫{(logx)^2}dx=x(logx)^2-∫x{2(logx)(1/x)}dx
=x(logx)^2-2∫logxdx
=x(logx)^2-2{xlogx-∫x(1/x)dx}
=x(logx)^2-2xlogx+2∫dx
=x(logx)^2-2xlogx+2x+C
(C;積分定数)
No.18187 - 2012/07/31(Tue) 12:41:34
☆ Re: 不定積分 / まさ
ありがとうございました
No.18188 - 2012/07/31(Tue) 13:00:41
★ 大学生です。 / まりも
(1)関数y=1+x-logxについて、定義域、増減、極値、凹凸、x→0+とx→∞の時の極限を調べて、グラフの概形を描け。
(2)y=1+x-logx、x=1、x=e、とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

この二つの問題がわかりません。ご回答よろしくお願いします。
No.18181 - 2012/07/30(Mon) 00:03:52
☆ Re: 大学生です。 / angel
…どのレベルで「わからない」のでしょうか?
この手の問題を全く解いたことがなくて、何をやっていいかわからないとか?
それとも用語が何を意味するのか分からないとか?
微分・積分の計算が分からないとか?
どこまで知識があって、何が分かっていないのか、もうちょっと詳らかにしないと、なかなか回答し辛いところですね。
※理解できるかどうかはさておき模範解答だけ欲しい、というのであれば、まあできなくはないけど。
No.18182 - 2012/07/30(Mon) 01:03:16
☆ Re: 大学生です。 / まりも
特に極限のところがわからないです。
あと、グラフの概形を教えていただけるとありがたいです。
No.18183 - 2012/07/30(Mon) 12:28:37
☆ Re: 大学生です。 / angel
> > どこまで知識があって、何が分かっていないのか、もうちょっと詳らかにしないと、なかなか回答し辛いところですね。
> 特に極限のところがわからないです。
> あと、グラフの概形を教えていただけるとありがたいです。

…それ「詳らか」ですか?
まあ取りあえず、極限としては lim[x→+0] f(x)=+∞ は良いでしょうか。lim[x→+0] logx = -∞ で、f(x) が -logx の形を含んでいるからですね。
また、lim[x→+∞] f(x)=+∞ です。共に +∞ に発散する x と logx の引き算の形になっているのですが、logx より x の方が強いからです。
※一般に、正の数αに対し lim[x→+∞] (logx)/x^α = 0
　x-logx=x(1-(logx)/x) なので、+∞に発散ということ。

さて、グラフの概形ですが添付の図のようになります。グラフ描画ソフトで作成したものです。
…これを自分で描くためには問題にある「増減・極値・…」を調べないといけなくて、逆に調べれば分かるようになっています。なので、「グラフの概形が分からない」とだけ言われても困ってしまいます。
No.18214 - 2012/08/03(Fri) 01:20:09
★ 正であることを示す根拠 / のんです
東北大学の過去問です。

［問題］
関数f(x)=4x-x^2に対し、数列｛an｝をa1=c, an+1=√f(an)
(n=1,2,3,...)で与える。ただし、cは0(1)an<2,an<an+1(n=1,2,3,...)を示せ。
(2)
(3)
で、(1)のan<2は数学的帰納法で解けたのですが、an<an+1でどうしてもわからないところがあります。(2)(3)は解けましたので、今回は問題を省略してあります。

具体的には質問は３つあります。

【１つ目】
(1)のan<an+1(n=1,2,3,...)の証明
an+1-an
=√f(an) -an
=√4an-an^2 -an
=(√4an-an^2 -an)(√4an-an^2 +an)/(√4an-an^2 +an)
=4an-2an^2/(√4an-an^2 +an)
=2an(2-an)/(√4an-an^2 +an)・・・?@

ここで、?@の分子>0,分母>0が言えれば?@>0が言えると考え、
an<2より2-an>0・・・?A
?Aに加えてan>0さえ言えれば?@の分子、分母とも正と言えるので、もう少しで解決と思ったのです。

ところが、an>0をどうして示すのかが分かりません。これが質問の１つ目です。

【２つ目】
また、解説では
a1=c>0とan+1>0から、すべての自然数nでan>0と言っているのですが、なぜそういえるのですか。
一般的には、an>0を示すのには、数学的帰納法で、
i)n=1のとき、a1>0
ii)n=kのとき
ak>0が成り立つと仮定した上で、
ak+1>0が成り立つことを示して、
i),ii)より全ての自然数nでan>0が成り立つことを示すと思うのですが、解説では、i)は同じですが、ii)でak>0と仮定せずに、an+1>0が言えるということからan>0と言っています。
途中の説明に飛躍があるのか、飛躍が無く常にこのように言えるのかが分かりません。これが、質問の２つ目です。

【３つ目】
さらに、質問の２つ目のa1>0とan+1>0からan>0が示せるとしても、an+1>0が示せないのです。
an+1=√4an-an^2≧0は右辺が0以上より示せますが、
an+1=√4an-an-2>0となるとどうして示して良いのか分かりません。

以上３点ですが、何卒よろしくお願いいたします。

なは簡単に言えるものの、右辺のnへ1,2,3,...と代入してすべて
No.18177 - 2012/07/29(Sun) 18:51:05
☆ Re: 正であることを示す根拠 / ヨッシー
問題の２行目は
ただし、cは0＜c＜2を満たす定数である。
(1)・・・
と書いてあります。
No.18178 - 2012/07/29(Sun) 20:28:40
☆ Re: 正であることを示す根拠 / angel
> 【１つ目】
> ところが、an＞0をどうして示すのかが分かりません。これが質問の１つ目です。

これについてはちょっと追求不足。
> で、(1)のan＜2は数学的帰納法で解けたのですが
ができているのだから、( 問題で直接問われていなくても必要になることを見越して ) 同じようにやってしまえば良いのです。
つまり、「任意のnに対して 0＜an＜2」を帰納法で説明する。ということです。

> 【２つ目】
> 途中の説明に飛躍があるのか、飛躍が無く常にこのように言えるのかが分かりません。これが、質問の２つ目です。

これは単に説明不足でしょう。もし模範解答のつもりだったならば、実際には不適切であり、試験では減点を喰らっても文句の言えない所です。
※もしくは「後は自分で考えてね」という方針で細部を省略するタイプの解説なのかもしれませんが
【１つ目】の回答で「0＜an＜2を帰納法で説明すること」と言いましたが、それをやらないとダメなんですね。例えばですが、ある n で an=5 なんてことがもしあったら、a[n+1]=√(-5) で次の項は実数ですらなくなってしまうのです。
もちろん実際そんなことはないのですが、これは an＞0 を見ているだけでは説明しきれなくて、0＜an＜2 とセットで考えないといけないところです。

> 【３つ目】
これは【２つ目】の回答で終わっている話なのですが、ちょっと注意点が。
> an+1=√4an-an^2≧0は右辺が0以上より示せますが、
もし「√だから0以上」と考えているのであれば、それは危険ですよ。上で挙げたように、√の中身が負になる可能性を考慮していないからです。
No.18179 - 2012/07/29(Sun) 23:55:43
☆ Re: 正であることを示す根拠 / のんです
ヨッシーさま、angelさま早速のご回答ありがとうございました。じっくり検討させていただき、奇をてらわずに、オーソドックスでも抜けのない答案作成を目指します。
No.18184 - 2012/07/30(Mon) 16:05:19
☆ Re: 正であることを示す根拠 / のんです
ヨッシーさま

前回以下のようにご回答をいただき感謝しております。
>☆ Re: 正であることを示す根拠 / ヨッシー
>問題の２行目は
>ただし、cは0＜c＜2を満たす定数である。
>(1)・・・
>と書いてあります。

ところで、２行目以降は、私の入力ミスで途中から文章が破綻し、中途半端になっているにもかかわらず、
「ただし、、、定数である」の 情報を補うことが出来たのは、東北大学という出典を根拠に検索をしたのですか。
ＰＣでの検索、あるいは赤本などの紙での情報かと思いますが、ソースを教えていただけないでしょうか。

angelさま

前回以下のようにご回答をいただき感謝しております。

>これは単に説明不足でしょう。もし模範解答のつもりだった>ならば、実際には不適切であり、試験では減点を喰らっても>文句の言えない所です。
>※もしくは「後は自分で考えてね」という方針で細部を省略>するタイプの解説なのかもしれませんが
>【１つ目】の回答で「0＜an＜2を帰納法で説明すること」と>言いましたが、それをやらないとダメなんですね

厳しくも、余裕とユーモアがあり、本質を突いた解説であり、やる気が湧いてきました。

また、
>これは【２つ目】の回答で終わっている話なのですが、ちょ>っと注意点が。
>an+1=√4an-an^2≧0は右辺が0以上より示せますが、
>もし「√だから0以上」と考えているのであれば、それは危
>険ですよ。

には、うなりました。語尾の「よ」に暖かみを優しさを感じ、やる気満々です。ありがとうございます。


ヨッシー、angelさま
最初の質問時の最後の部分でわけのわからないものが消去されずに残ってしまい失礼いたしました。以後気をつけます。
No.18185 - 2012/07/31(Tue) 09:42:08
☆ Re: 正であることを示す根拠 / ＿
入力自体は問題ないんですが、「<」などは不用意に使ってしまうとタグの一部と認識されてしまって以後の表示が破綻しちゃうことがあります。今回はそれです。不等号は「＜」などを使うと宜しいかと思います。

＃内容自体はそのまま投稿されているので、内容は書き込みのソースを見ればわかります。

＞ヨッシーさん
投稿のタグ有効無効を投稿者の側で指定できる(かつ、デフォルトでは無効となっている)のなら便利だと思うのですが、この掲示板にはそういった機能はないのでしょうか？
No.18190 - 2012/07/31(Tue) 15:40:40
☆ Re: 正であることを示す根拠 / ヨッシー
＞のんですさま
出典元の資料を持っているわけではありません。
ブラウザの「ソースをみる」で、何が書いてあるかわかりますし、
管理者には、打ったとおりの内容が、メールで来るのです。

＞__さま
そのようなチェックボタンはありませんでした。
一応、確率を下げるため、
FONT/A/B/I/S/U/TT/SMALL/BIG/SUP/SUB/MARQUEE/BLINK/DIV/IMG
以外のタグは無視する設定にしました。
No.18192 - 2012/07/31(Tue) 20:30:16
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