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★ ベクトルの問題 / まさ
a=(3,1),b=(1,2)で、c=a+tbとする。ただし、tは実数である。
|c|が最小となるとき、bとcが垂直であることを示せ

よろしくお願いします。
No.18563 - 2012/09/11(Tue) 00:48:21
☆ Re: ベクトルの問題 / angel
ベクトルa,bは既に決まってますし、地道に計算すれば良いと思います。手順としてはこんな感じでしょうか。

1. ベクトル c の成分を計算する
2. |c|^2 を計算する ( tの2次式になる )
3. 2.の計算結果を平方完成し、最小となる時の t を求める
4. bとcの内積を計算する ( tの1次式になる )
5. 3. で求めた t を 4. で求めた内積の式に代入し、式の値が 0 となることを確認する
　※b,cが垂直⇔b,cの内積が0 のため
No.18565 - 2012/09/11(Tue) 00:58:04
☆ Re: ベクトルの問題 / まさ
ありがとうございました
No.18566 - 2012/09/11(Tue) 01:01:35
★ (No Subject) / 文系数学
辺の長さがAB=3,AC=4,BC=5,AD=6,BD=7,CD=8である四面体ABCDの体積を求めよ。
空間図形苦手なのでよろしくお願いします。
No.18560 - 2012/09/10(Mon) 22:56:54
☆ Re: / ヨッシー
A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), C(0, 4, 0) とおくと、AB=3,AC=4,BC=5 が実現できます。
D(x, y, z) (z＞0) とおくと、条件より、
　AD^2＝x^2＋y^2＋z^2＝36
　BD^2＝x^2＋y^2＋z^2−6x＋9＝49
　CD^2＝x^2＋y^2＋z^2−8y＋16＝64
これらより、
　x＝-2/3, y＝-3/2, z＝√1199/６
が得られます。
△ＡＢＣ(面積６)を底面とすると、z が高さになるので、求める体積は
　√1199/３
となります。
No.18580 - 2012/09/14(Fri) 09:10:17
★ 質問 / 中島君人
電気基礎２の本で、三角関数の合成と思いますが下記の計算式で、なぜ４０．９度になるのか、三角関数表では細かく表示されていないのですが、どのように４０．９度を出すのか教えてほしいのですが。

tan-１√3/2≒４０．９°
No.18557 - 2012/09/10(Mon) 19:58:57
☆ Re: 質問 / らすかる
例えば、googleで
arctan(sqrt(3)/2) in deg
を検索すれば出せます。
No.18559 - 2012/09/10(Mon) 21:03:33
★ 曲線の上下関係 / ドぢＳ
a,bを正の数とする。２つの曲線C:y=x^3+bx^2 D:y=ax^2+abxによって囲まれる２つの部分の面積の和をＳとするとき
Ｓをaとbで表せという問題でx≧0における曲線CとDの上下関係が分かりません。
感覚的にDが上にくるとは思いますが確証がもてません。どうしたらわかるんでしょうか？また、
こういった問題に限らず上下関係を求めるにはどうしたらいいんでしょうか。
ほかの問題でもかなり詰まります。
どなたか教えて下さい。お願いします。
No.18555 - 2012/09/10(Mon) 18:49:12
☆ Re: 曲線の上下関係 / ドぢＳ
もう一度考えてみたら
f(x)=x^3+bx^2-(ax^2+abx)=0のグラフをかくとx<-bではf(x)<0
-b<x<0ではf(x)>0 0<x<aではf(x)<0 x>aではf(x)>0となっているので
これらから上下関係を判定できるような気がしたんですけどいけますか？
No.18556 - 2012/09/10(Mon) 18:59:55
☆ Re: 曲線の上下関係 / angel
> いけますか？
いけます。

> こういった問題に限らず上下関係を求めるにはどうしたらいいんでしょうか。
…それは流石にケースバイケースですね。
今回は C の式から D の式を引いた形が x(x-a)(x+b) になっていて、x(x-a)(x+b)=0 の解 x=-b,0,a の大小関係がすぐ分かるようになっているので、まあ楽ができる方でしょう。
問題によってはこの大小関係が分からないので、(a,b等の値によって) 場合分けしたり、といったことが必要になることもありますし。
No.18567 - 2012/09/11(Tue) 01:06:25
★ 証明問題で / Xex(3年)
x>1の時y=x^2はy=xよりも大きいことを示せ
こういう問題で「グラフより明らか」ではどうしてダメなのですか?
No.18553 - 2012/09/10(Mon) 16:36:28
☆ Re: 証明問題で / ast
一つには「示せ」というのが, 「証明せよ」「論証せよ」という意味だから, ということもあります. が, 本当にそれで証明ができていると思うなら, それを貫いても構わないとおもいますよ.

ただ,「明らか」ということは絶対にありえません, グラフは不正確なものだからです. 少なくともどんなに頑張っても有限の範囲でしかグラフは書けませんから, その範囲外のことはグラフだけから保証することはできないですよね (増減表などで補えば保証できますが, 増減表を得るには追加の論証が結局必要になります).

要するに, グラフは概形としてしか提示できず, それが一体「何がどういう意味で何を正確に表しているのか」という理由・理屈を抜きにしてはグラフを何らの根拠にすることもできないわけです.

地図なんかでも角度が正確、距離が正確、面積が正確などといった具合にメルカトル図法やらモルワイデ図法やらいくつもあることを小学校あたりで習ったのではないかと思いますが, それと似たようなものです.
No.18554 - 2012/09/10(Mon) 18:22:15
☆ Re: 証明問題で / IT
グラフを描きそのグラフの概要が正しいことを示すためには
y=x^2とy=xが（1,1）をとおること、そこから右（x>1）でy=x^2がy=xがよりも常に上になることを何らかの方法で示す必要があり、単に「グラフより明らか」では、ダメだと思います。（特にこの問題単体で出題された場合はダメです。）
No.18558 - 2012/09/10(Mon) 19:59:26
★ 数学 / 桝田
問）　円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

１）lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
２）lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答）
１）l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP（３，６）

２）円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定）が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在すれば、dの最大値はPQであり、Lの最小値は2√(3^2-PQ^2)-----(2)
PQ垂直lのとき、2*[(k+2)/(2k-1)]=-1より k=-3/4

よって、PQ垂直ｌとなるｋが存在し、このとき
d^2=PQ^2=5であるから(2)の値はL=4

(2)の解説が分かりません。PQ垂直lのときdの最大値はPQとありますがむしろ最小値なんじゃないんですか？
何日考えてもこの部分が分かりません。どなたか教えて下さい。お願いします。
No.18541 - 2012/09/10(Mon) 00:23:41
☆ Re: 数学 / 桝田
<別解>
点（2、4）と直線：(k+2)x-(2k-1)y+9k-12＝0(kは定数)との距離が最大なら、lがCによって切り取られる線分の長さLは最小となる。
点（2、4）と直線：(k+2)x-(2k-1)y+9k-12＝0(kは定数)との距離aは、点と直線との距離の公式により、a＝｜3k-4｜/√（5k＾2+5）。
両辺＞0より平方すると、（9-5a＾2）k＾2-24k＋（16-5a＾2）＝0.
【9-5a＾2＝0の時は、k＝-9/24.
9-5a＾2≠0の時は、2次方程式から判別式≧0、つまり、0≦a≦√5.
以上から、aの最大値は√5（この時、k＝-3/4）】
このとき、ピタゴラスの定理より、求める線分の長さの最小値は2*2＝4.
とあるのですが、こちらの方が私としては分かり易いです。
ですが、【】の部分がよくわかりません。
(9-5a＾2）k＾2-24k＋（16-5a＾2）＝0をつくれたのはいいものの9-5a^2=0のときと9-5a^2≠0のときの発想に至れないと思います。
何に着目したらこういう発想ができるんでしょうか？
教えて下さい。お願いします。
No.18542 - 2012/09/10(Mon) 00:26:53
☆ Re: 数学 / 桝田
<補足>2次の係数が正か負かによってグラフの形状が変わりますがそういうことは考える必要ないですよね。
なんかいろんな要素が混同していて【　】というのが思いつきにくくなっています・・・
No.18544 - 2012/09/10(Mon) 00:48:58
☆ Re: 数学 / 桝田
何度もすみません。
疑問に思ったんですが
9-5a＾2≠0の時は、2次方程式から判別式≧0としていますけど判別式≧0ということはkが実数解であるための条件ですよね？
kはあくまで定数のはずです。
定数には虚数のときもあれば実数のときもあるので一概に判別式≧０とするのは変な気がするのですがどうなんでしょうか。。。
No.18545 - 2012/09/10(Mon) 01:12:42
☆ Re: 数学 / ヨッシー
順々に見ていきます。
まず、No.18541 の質問


図の赤い線の長さがｄに当たりますが、ｄ＝ＰＱとなる場合が、
ｄの最大（Ｌの最小）となります。
No.18548 - 2012/09/10(Mon) 10:09:51
☆ Re: 数学 / ヨッシー
No. 18542
この場合の目標は、
　(9-5a＾2）k＾2-24k＋（16-5a＾2）＝0　・・・(i)
において、ｋが実数解を持つ時のａの最大値を求めることです。
ところが、(i) は、ｋの２次方程式とは限らないので、
k^2 の係数の 9-5a^2 が、０かどうかで場合分けします。
9-5a^2＝０ のときは、(i) はｋの１次方程式となり、実数解は
必ず存在します。
9-5a^2≠０ のときは、二次方程式なので、判別式を使います。

No. 18545
問題に ｋは実数　とあるので、判別式≧０ が必要となります。
No.18549 - 2012/09/10(Mon) 11:19:51
☆ Re: 数学 / 桝田
解答ありがとうございます。
補足になるのですが
先生曰く9-5a^2＞0,9-5a^2<0,9-5a^2=0,9-5a^2≠0の4つの場合分けが実際必要らしいんですが解答では前の２つは省かれてます。
なぜなんでしょうか？
No.18550 - 2012/09/10(Mon) 14:59:27
☆ Re: 数学 / ヨッシー
４つの場合分けは必要ありません。
9-5a^2＞0, 9-5a^2＜0, 9-5a^2＝0 の ３つか
9-5a^2＝0, 9-5a^2≠0 の２つのどちらかです。

18544 の質問と通じるものがありますが、9-5a^2 の正負は
この問題では関係ないので、9-5a^2≠0 だけで十分です。
No.18551 - 2012/09/10(Mon) 15:24:45
☆ Re: 数学 / 桝田
回答ありがとうございます。
最後に補足させてください。
9-5a^2＞0, 9-5a^2＜0, と場合分けをする必要がないという基準はたとえこのように場合分けしたところで次にすべき具体的な方針が立たないから不要という理解でいいんでしょうか？
9-5a^2＝0, 9-5a^2≠0 と素直にすればいいんでしょうがなんかつっかかってしまいます。(物分り悪くてごめんなさい；)
なにか体系化できる方法はないのでしょうか。。。
なんども低レベルな質問をしてごめんなさい。。
No.18552 - 2012/09/10(Mon) 15:58:02
☆ Re: 数学 / ヨッシー
分ける必要がないから、ということでしょう。
x^2 の係数の正負は、グラフが上に凸か下に凸かの違いに
なって現れますが、この問題の場合は、そういう違いは
関係なく、聞いているのは実数解を持つかどうかなので、
x^2 の係数が０でなくて、判別式≧０ で十分です。

２次関数の最大値、最小値を問う問題なら、区別する必要が
あるかも知れません。
No.18569 - 2012/09/11(Tue) 08:48:10
★ (No Subject) / ゆぴ
a(m+2)=f(a(m))型の漸化式はｎ＝２ｍ−１（奇数）とｎ＝２ｍ（偶数）の場合に分類しなければならないとあるのですが、正直分かりません。なぜなのかどなたか教えてください。よろしくお願いします。
No.18540 - 2012/09/09(Sun) 22:06:51
☆ Re: / ヨッシー
a(m+1)=f(am) の形だと、最初にa1が与えられていれば、
　a1 を代入して a2 を求める
　a2 を代入して a3 を求める
　a3 を代入して a4 を求める
というように、順々に求められますが、
a(m+2)=f(am) の形だと、最初にa1が与えられていても、
　a1 を代入して a3 を求める
　a3 を代入して a5 を求める
　a5 を代入して a7 を求める
のように、m が奇数の場合しか求められません。
ですから、この系列とは別に、a2 が与えられていて、
　a2 を代入して a4 を求める
　a4 を代入して a6 を求める
　a6 を代入して a8 を求める
という流れが必要になります。
No.18546 - 2012/09/10(Mon) 07:02:31
★ ベクトルの問題 / まさ
OA=(1,0),OB=(1,2)のとき
OP=αOA+βOB(1≦α≦3,0≦β≦1)をみたす点Pの存在領域を図示し、その面積を求めよ。

答えは、4です

それぞれの、文字の上に、矢印がかけなかったですが
よろしくお願いします。
No.18539 - 2012/09/09(Sun) 21:51:24
☆ Re: ベクトルの問題 / ヨッシー
α＝１ で β＝０ のときの点Ｐ
α＝１ で β＝１ のときの点Ｐ
α＝３ で β＝１ のときの点Ｐ
α＝３ で β＝０ のときの点Ｐ
をそれぞれ求めて、その４点で出来る平行四辺形がＰの存在領域となります。
No.18547 - 2012/09/10(Mon) 09:38:23
★ 数学 / 桝田
すべてのｘ≧０に対してｘ＾３−３ｘ＾２≧ｋ（３ｘ＾２−１２ｘ−４）・・・(A)が成り立つ定数ｋの値を求めよ。
[自分の答案]
x^3-3x^2-k(3x^2-12x-4)≧0
左辺をf(x)とすると(A)はすべてのx≧0に対してf(x)≧0が成り立つと言い換えられる。
f(x)=x^3-3(1+k)x^2+12kx+4k
f'(x)=3x^2-6(1+k)x+12k
f'(x)=0よりx=2,2k
(i)2k<0つまりk<0のときf(0)=4kよりf(0)<0となるので(A)が成り立つことはグラフを描いても分かるようにありえない。
(ii)0<2k<2つまり0<k<1のとき
f(0)>0が成り立つので(A)が成り立つためにはx≧0の範囲におけるf(x)の最小値が０以上であれば良い。
最小値の候補としてf(0),f(2)が挙げられる。
(iii)2k>2 つまりk>1のとき
(ii)と同様に考えると、最小値の候補としてf(0)、f(2k)が挙げられる。

ここまで答案を書いてみて答をチラっとみたところ場合分けからして私の解答とは違っていました＾＾；
まず、私みたいに細かく場合分けはしておらず
k<0のとき⇒不適
k≧0のとき〜
というふうに大きく考えてます。
そして、最小値mの候補としてm=[f(0)、f(2),f(2k)のうちの最小の値]としており
m≧0⇔f(0)≧0かつf(2)≧0かつf(2k)≧0としています。
ヒントのところにも「f(0)、f(2)、f(2k)のうちどれが最小値になるかを決める必要はない」とかいてあり、
私がやろうとしていたことがばっさり否定されていてショックです。
そもそも、解答のやり方がよくわかりません・・・
(かなり理解が難しい方法らしいので私にはおそらく理解できないと思われますのでこの解答の解法の解説は大丈夫です)

また、一応なんですが私の解答で(ii)の0<2k<2のところを0≦2k≦2とすることについてなのですが
極大値をとるx=2kが2k=0のときだとグラフからして(A)は成り立たないと思うし、
また、2k=2とすると極大値と極小値をとるxの値が一致(同じ)するんだから極大値、極小値とかなくなってしまうんじゃないか？と思い0<2k<2としたのですが0≦2k≦2としても
2k≧0は2k＞0または2k=0だし
2k≦2も2k<2または2k=2だし、２つを合わせた0≦2k≦2としても特に問題はないんでしょうか？
また、自分の答案の(i)2k<0つまりk<0の場合分けは不要らしいんですがどうしてなのかよくわかりません。
この点についても教えて下さい。よろしくお願いします。
No.18533 - 2012/09/09(Sun) 18:23:31
☆ Re: 数学 / 桝田
訂正「自分の答案の(i)2k<0つまりk<0の場合分けは不要らしいんですけど」→
「自分の答案の(i)(ii)(iii)の場合分けは不要らしいんですけど、これだと答には至らないんでしょうか？極値の大小の場合分けで進めていくのが一番の正攻法みたいですが。どうしてもkの値に応じて動く2kの位置で場合分けしてしまいます。(癖みたいです)」
No.18535 - 2012/09/09(Sun) 18:30:39
☆ Re: 数学 / X
私もこの問題を解く場合は枡田さんと同じ方針で考えます。
飽くまで模範解答は解答の一つにしか過ぎません。
枡田さんの方針が間違っているのではなくて、模範解答の
方針の方が計算が簡単になるというだけですので誤解の
ないようにして下さい。
No.18538 - 2012/09/09(Sun) 21:25:06
☆ Re: 数学 / 桝田
ありがとうございました
No.18543 - 2012/09/10(Mon) 00:27:44
★ 高3 / 文系数学
Oを原点とするxy平面上においね,曲線C:y=x^3上の点P(a,a^3)(a>0)におけるCの接線とx軸との交点をQとする.aが正の実数値をとって変わるとき,∠OPQの最大値を求めよ.
接戦の方程式を求めてP,Qの座標出してから先が分かりません。最大値なので相加相乗使いますよね？
No.18532 - 2012/09/09(Sun) 17:07:47
☆ Re: 高3 / X
点Qの座標、接線の方程式を求める必要はありません。

y=x^3
より
y'=3x^2
従って直線PQ、OPとx軸の正の向きとのなす角をα、β
とすると
∠OPQ=α-β (A) (∵)∠OPQの対頂角を考えます
tanα=3a^2 (B)
tanβ=(a^3)/a=a^2 (C)
(A)(B)(C)より
tan∠OPQ=(2a^2)/(1+3a^4) (∵)加法定理
=2/(1/a^2+3a^2) (D)
(D)の()の中に対して相加平均と相乗平均の関係を使います。
No.18534 - 2012/09/09(Sun) 18:30:37
★ 苦手数学 / よしりん
曲線Ｃ：y=x^3+axにおいて以下の条件が成り立つとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(i)Ｃ上の異なる２点P,Qを通る直線lは点ＰでＣに接している
(ii)点Qにおける曲線Cの接線mと直線lは直行している

答
f(x)=x^3+axとし、P,Qのx座標をそれぞれp,q、直線lをy=kx+nとおくと
f(x)-(kx+n)=(x-p)^2(x-q)
x^2の係数を比べてq=-2p
f'(x)=3p^2+aなのでP,Qでの接線の傾きはそれぞれ
f'(p)=3p^2+a
f'(q)=12p^2+a
したがってlとmが直交する条件は
f'(p)f'(q)=-1より
36p^4+15ap^2+a^2+1=0・・・?@
【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
p^2=tとおくと?@は36t^2+15at+a^2+1=0・・・?A
とtの２次方程式になる。
?@が0以外の実数解をもつ⇔?Aが正の解をもつ
したがって、?Aが少なくともひとつ正の解を持つための条件をもとめる。
解と係数の関係から(2解の積)=(a^2+1)/36>0なので少なくとも正の解が一つあるときは2つも正の解であるので
「?Aが正の解をもつ」のは「判別式≧0かつ2解の和>0」のときである。
よってaの値の範囲はa≦-4/3

とあるのですが
【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
がわかりません。
２次方程式の解の配置問題に帰着するときって
大抵の問題で「少なくともひとつ〜であればよい」という表記を見かけますが、これってパターンとして覚えてしまってもいいんでしょうか？正直いってよくわかっていません。
また、後半で「判別式≧0」といっていますが、単純に「２解をもつ」といわれてるときは重解も含まれてるんですよね。
なので判別式≧0⇔判別式>0または判別式=0としているんでしょうか？
文系で数学には時間をあまり割けられないのでどなたか分かる方教えて下さい。お願いします。
No.18531 - 2012/09/09(Sun) 14:06:54
☆ Re: 苦手数学 / angel
> 【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
> がわかりません。
> ２次方程式の解の配置問題に帰着するときって大抵の問題で「少なくともひとつ〜であればよい」という表記を見かけますが、これってパターンとして覚えてしまってもいいんでしょうか？

まあ、パターンと言えばパターンです。

それはなぜかと言えば、
・36p^4+15ap^2+a^2+1=0 を満たす実数 p が存在する
・方程式 36p^4+15ap^2+a^2+1=0 が少なくとも一つの実数解を持つ
という2つの表現が、同一の内容を指すからです。
※今回は「0以外の実数解」というオマケつきですが、それは元々 q=-2p, p≠q ( 点P,Qが異なる ) という条件から p≠0 となるためです。

2次方程式にしろ何にしろ、方程式の本質は「変数(xとか)にある値を代入した時に、= が成立するかどうか」ですからね。で、解というのは「= が成立する時の、変数に代入した値 ( 2種類以上の変数がある場合は、値の組み合わせ )」のことです。
だからこそ、「〜を満たすpが存在する」=「pの方程式〜が解を持つ」となるわけで。
結構気付いていない人が多いのですが、因数分解やら解の公式を使って方程式を解く以前のお話として、把握してないといけません。

話を戻して、この解答の流れとしては、

　1. 問題の条件を満たす点P ( x座標はp ) が存在すると仮定する
　2. p の満たすべき条件が 36p^4+15ap^2+a^2+1=0 であることが分かる
　3. つまり、「36p^4+15ap^2+a^2+1=0 を満たすpが存在すること」=「36p^4+15ap^2+a^2+1=0 が少なくとも1つの実数解を持つこと」が条件だと分かる
　4. その方程式に関して解の存在条件を調べる

となっています。
で、大体の問題では、1. のように「〜が存在すると仮定する ( その上で条件を調べる )」ってことから始めますので、まあ、パターンのようになるのです。
No.18564 - 2012/09/11(Tue) 00:48:29
★ 苦手数学 / よしりん
数学 解答の意味がわかりません

関数f(x)=ax^3+bx^2-18x+11はx=-3のとき極大値、f(-1+t)+f(-1-t)の値はtの値にかかわらず一定である。
このとき、a,bを求めよ。また、極小値をもつときのxを求めよ。

解答には
｛f(-1+x)+f(-1-x)｝/2=kとすると
(-1+x,f(-1+x)),(-1-x,f(-1-x))の中点は、(-1,k)で定点なのでy=f(x)は(-1,k)を中心にして点対称な図形である。
とありますが、どういうことなのか分かりません。
文系なので数学にあまり時間をかけられないのもあり暗記してしまおうと思うのですが
理解がおろそかなのでそうもいきません。
誰か分かる方馬鹿な自分にも分かるように教えてくれませんか。
おねがいします。
No.18529 - 2012/09/09(Sun) 12:40:41
☆ Re: 苦手数学 / IT
>(-1+x,f(-1+x)),(-1-x,f(-1-x))の中点は、(-1,k)で定点なのでy=f(x)は(-1,k)を中心にして点対称な図形である・・・Ａ
の解説はどなたかにお任せすることにして。

この問題を解くためにはＡを気にせず、単純にf(-1+t)+f(-1-t)を計算する方法がわかりやすいかも知れません。

計算が楽になるよう少しの工夫はしたほうが良いです。
f(-1+t)+f(-1-t)=a{(-1+t)^3+(-1-t)^3}+b{(-1+t)^2+(-1-t)^2}-18{(-1+t)+(-1-t)}+11+11
（定数項は無視してもいいですし、説明の手間を省くため、そのまま計算してもいいです。）
No.18530 - 2012/09/09(Sun) 13:53:09
★ (No Subject) / 浪人
鋭角三角形ABCがあり,そのうちの3つの内角の大きさをそれぞれA,B,Cとする。A,B,Cが変化するとき,cosAcosBcosCの最大値を求めよ
全く方針が浮かびません。
No.18527 - 2012/09/09(Sun) 08:15:14
☆ Re: / IT
cosAcosBを積→和　の公式で変形
cosCを　Ｃ＝π−（Ａ＋Ｂ）と　cos(π−α)=-cos(α)
を使って変形してみてください。
cosAcosBcosC　＝　　　　　　どうなりましたか？

A＝B＝C＝π/3　のとき最大になりそうという見通を持っておくと考え違いや計算間違いを防ぐ助けになります。

※積があったら積和の公式、和があったら和積の公式、
同じ角のsinとcosの和があったら合成公式、が使えないか。
変数の数を減らす。cos^2+sin^2=1は常に意識
最大最小→相加相乗平均、平方完成、増減表・グラフ・微分
No.18528 - 2012/09/09(Sun) 09:41:43
★ 三角関数 / ぱぴおか
0°≦x≦90°のとき2sinx+cosxの最大値と最小値を求めよ。
[自分の解答]
図を書いて、αを定めると、0°<α<30°
cosα=2/√5 sinα=1/√5とする。
このとき2sinx+cosx＝√5sin(x+α)
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
0°<x+α<120°となるので
最大値はsin(x+α)=90°のときで√5
最小値は・・・
ここで詰まってしまいました。
一体どこで間違ってしまったんでしょうか。
また答ではcosについて合成しています。
最大値はあっていますが最小値が答によると1です。
どうしてsinで合成すると答がでないんでしょうか。
誰か教えて下さい。お願いします。
No.18518 - 2012/09/08(Sat) 22:03:27
☆ Re: 三角関数 / IT
0°≦x≦90°より
α≦x+α≦α+90°だと思いますが。
No.18520 - 2012/09/08(Sat) 22:49:26
☆ Re: 三角関数 / angel
> ここで詰まってしまいました。
> 一体どこで間違ってしまったんでしょうか。
いいえ、間違ってはいません。道を見失っているだけです。

例えば、ですが、
　(1) 30°≦θ≦90°+30°での sinθ の最小値を求めよ
　(2) 60°≦θ≦90°+60°での sinθ の最小値を求めよ
という問題があったとします。
答えは両方 1/2 ですね。これはθを範囲の端から端まで動かしてみると分かります。
(1)の場合は sin30°=1/2→sin90°=1→sin120°=√3/2≒0.866 なので、sin30°が最小
(2)の場合は sin60°=√3/2→sin90°=1→sin150°=1/2 なので、sin150°が最小
というように、θの変化につれて増減していき、両端のどちらかで最小となっています。

では、次の問題はどうでしょうか?

　α≦x+α≦90°+αでのsin(x+α)の最小値を求めよ

上の(1),(2)と同じ話になるのですが、よろしいでしょうか? そこが「見失った道」です。
今回のαは小さいので(1)と同じケース。つまり最小値は x+α=α の時、sinα となります。
※ちなみに、(1),(2)との境目はα=45°です。
No.18521 - 2012/09/08(Sat) 22:53:07
☆ Re: 三角関数 / ぱぴおか
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
0°<x+α<120°・・・?@とするのと
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
α≦x+α≦90°+α・・・?Aとするのはどう違うのでしょうか？
?Aなら最小値を確定できますが・・・
No.18522 - 2012/09/08(Sat) 23:04:05
☆ Re: 三角関数 / IT
0°≦x≦90°と0°＜α＜30°より
0°＜x+α＜120°・・・?@
は、論理的には間違いではないですが、x+αの変域を正確に表してはいません。

0°＜α≦x+α≦90°+α＜120°です。
実際に　x+α　が取りうる値の幅は90°しかありません。

「0°≦x≦90°と0°<α<30°より　0°<x+α<120°となるので
最大値は(x+α)=90°のときで√5・・」
という表現は不正確（不十分）です。

0°＜α＜30°より　60°＜90°−α＜90°なので
x＝90°−αとおくと　0°≦x≦90°
このときx+α＝90°となり　・・・最大値を取る。
などとすべきと思います。　
No.18523 - 2012/09/08(Sat) 23:15:58
★ 積分 / Xex (3年)
f(x)=S[0→x]g(t)sin(t)dt 『g(t)*sin(t)を0からxの範囲で積分(ここではxが上で0が下です)するという意味』
g(x)=cos(x)+S[0→π/2]f(t)dtを満たすf(x)とg(x)を求めよ。
まったく方針が立ちません。微分するのですか?
No.18511 - 2012/09/08(Sat) 18:54:01
☆ Re: 積分 / X
積分の記号∫は「せきぶん」を変換すれば出ます。
で、方針ですが微分は必要ありません。

f(x)=∫[0→x]g(t)sintdt (A)
g(x)=cosx+∫[0→π/2]f(t)dt (B)
とします。
(B)の右辺の第２項は定数ですので
C=∫[0→π/2]f(t)dt (C)
と置くと(B)は
g(x)=cosx+C (B)'
これを(A)に代入して右辺の積分を計算し、その結果を
(C)に代入して積分を計算するとCについての方程式が
導かれます。
No.18513 - 2012/09/08(Sat) 19:04:24
★ 高3 / 現役
x,y,zは実数で,次の２つの関係式を満たす
x^2-yz-8x+7=0
y^2+z^2+yz-6x+6=0
(1)xの取り得る値の範囲を求めよ
(2)xy+yz+zxの最小値を求めよ
(1)はx以外の文字を消去する感じですか？
No.18510 - 2012/09/08(Sat) 18:12:39
☆ Re: 高3 / X
(1)
x^2-yz-8x+7=0 (A)
y^2+z^2+yz-6x+6=0 (B)
とします。
(A)より
yz=x^2-8x+7 (A)'
これと(B)より
(y+z)^2=(x-1)^2
∴y+z=±(x-1) (B)'
(A)'(B)'から解と係数の関係よりy,zはtの方程式
t^2干(x-1)t+x^2-8x+7=0 (C) (複号同順)
の実数解となります。よって(C)の解の判別式について…

(2)
(A)'(B)'を用いてxy+yz+zxをxの式で表し(1)の結果を使います。
No.18512 - 2012/09/08(Sat) 19:00:18
★ 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!
nb[n+1]-(n+1)b[n]=(n-1/n+2)
を満たすとき、b[n]を求めよ。

両辺を(1/n(n+1))で割ってみたのですが、その後どうすれば良いかわからず…
よろしくお願いします！！！
No.18502 - 2012/09/08(Sat) 16:48:04
☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!
すみません。b[1]の値を書き忘れました！
b[1]=(-1/4)です。
No.18503 - 2012/09/08(Sat) 16:50:52
☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / ＿
問題文の式の右辺はなんとなく(n-1)/(n+2)のような気がするのでそう決めつけて考えます。

両辺をn(n+1)で割るとb[n+1]/(n+1) - b[n]/n = (n-1)/n(n+1)(n+2)で、b[n]/n=B[n]とでもしておきましょう。
B[n+1] - B[n] = (n-1)/n(n+1)(n+2)なので、この右辺の分母を見るといかにもn(n+1)と(n+1)(n+2)に分解せよと言っているみたいなのでそのようにして、
B[n+1] + {(n+1)-0.5}/(n+1)(n+2) = B[n] + (n-0.5)/n(n+1)
と変形できるので…(以下略)
No.18505 - 2012/09/08(Sat) 17:27:39
☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!
ありがとうございます！
後は頑張ってみます！！！
No.18508 - 2012/09/08(Sat) 17:54:30
★ (No Subject) / 高2
実数a,bに対して,3次方程式
X^3+ax^2+bx+1=0
ば1つの実数解と2つの虚数解α,βをもち,β=α^2を満たしている
(1)α,βおよびa,bの値をそれぞれ求めよ
(2)α^100+β^100の値を求めよ
解と係数の関係を使うとしたら最初に虚数解を別の文字で置き換え直した方がいいのでしょうか？
No.18501 - 2012/09/08(Sat) 15:54:37
☆ Re: / IT
>虚数解を別の文字で置き換え直した方がいいのでしょうか？
何のためにどのように置き換えるということでしょうか？

実数係数の方程式の場合、虚数解α,βは互いに共役複素数であることを使えば良いのではないでしょうか？
No.18504 - 2012/09/08(Sat) 16:54:27
☆ Re: / 高2
共役の複素数で考えようとしました
その場合はα,βを違う文字に置き換えた方がいいのですか？
No.18506 - 2012/09/08(Sat) 17:45:15
☆ Re: / IT
違う文字に置き換えるというよりも
β=α~ とすれば良いと思います（α~ はαの共役の複素数を表すことにします。上に横棒を付ける代わりです）
途中αα~＝｜α｜^2 などを使います。
No.18507 - 2012/09/08(Sat) 17:50:19
☆ Re: / 高2
わかりました
(2)はω使うんですか？
No.18509 - 2012/09/08(Sat) 18:03:49
☆ Re: / IT
ωを使っても良いですし
α^3＝β^3＝１、α＋β＋γ＝-a　（γは実数解）を使ってもできます。

α^3＝β^3＝１を示す
β=α~ を　β=α^2 　に代入
α~=α^2
αα~=α^3　
｜α｜^2=α^3
｜α｜^2=｜α｜^3
(｜α｜^2)（｜α｜−1)＝0
｜α｜＞0なので｜α｜＝１　よってα^3＝1
β^3=(α~)^3=(α^3)~＝1　　　
No.18514 - 2012/09/08(Sat) 19:23:54
☆ Re: / 高2
(1)の途中式よかったらお願いします。
No.18526 - 2012/09/09(Sun) 08:09:29
★ 数２ / tanioka
-π/2<x<y<π/2
cos(x-y)=0により
x-y=-π/2
とあるのですがどうしてなのか分かりません。
どなたか分かり易く説明してくれませんか。
よろしくお願いします。
No.18497 - 2012/09/08(Sat) 12:41:47
☆ Re: 数２ / ヨッシー
cos(x-y)=0 になるのは、x-y が
　-3π/2, -π/2, π/2, 3π/2
などのときです。
ｘ＜ｙ なので、まず、π/2, 3π/2 などの 正の数は候補から消えます。
-π/2＜ｘ, -π/2＜-ｙ より
　-π＜x-y
なので、-3π/2 以下の負の数も消えて、-π/2 のみが残ります。
No.18498 - 2012/09/08(Sat) 13:05:58
★ ３−３行列のｎ乗 / クロック
λは固有値とします

2-2行列Ａのｎ乗を求めるときＡを
-2-1
1-4
として
det(A-λＥ）＝０より
λ＾２＋６λ＋９＝０
よってA^2+6E+9=0
x^n=(x^2+6x+9)f(x)+px+q・・?@として
両辺ｘで微分したものを?@’
?@にｘ＝３を代入して-3p+q=(-3)^n
?@’にｘ＝３を代入してｐ＝ｎ（-3)^(n-1)
よってｐ、ｑの値が求まった
?@でｘをＡにかえて
A^n=PA+9E=〜

この方法で３−３行列Ｂのｎ乗を求めてみました。Ｂは
+3+1+1
-1+1-1
00+2
です
det(B-λＥ）＝０よりクラーメルの公式を使って
(λー２）＾３＝０
よって（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０
x^n=(x-2)^3+px^2+qx+r・・あ）
両辺ｘで微分して
nx^(n-1)=3(x-2)^2f(x)+(x-2)^3f'(x)+2px+q・・（あ）’
さらに微分して
n(n-1)x^(n-2)=6(x-2)f(x)+3(x-2)^2f'(x)+2p・・（あ）”
（あ）’、（あ）”にｘ＝２を代入してｐ、ｑが得られる
p=n(n-1)2^(n-3)
q=n(2-n)2^(n-1)
(あ）にｘ＝２を代入してｒ＝２＾（nー１）(n^2-3n+2)
xをBにおきかえて
B^n=(B-2E)^3f(B)+ｐB＾２＋ｑB＋ｒ
＝ｐB＾２＋ｑB＋ｒ
＝・・・

この方針で合っているか教えてください。よろしくお願いします
No.18496 - 2012/09/08(Sat) 11:53:57
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> この方針で合っているか教えてください。
特に間違ってはいません。
ただ、(Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏ だけではなく (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ にも気付ければ、もっとラクができます。
※固有方程式 (λ-2)^3=0 の場合、(Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏの成立は確実ですが、Ｂによっては Ｂ-2Ｅ=Ｏ もしくは (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ も成立することがあるのです。
No.18515 - 2012/09/08(Sat) 20:38:59
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
回答ありがとうございます。

間違ってないのですか、意外でした。
いくつが気になっている点があるのですが、
(λー２）＾３＝０
よって（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０という風に固有方程式の固有値λを行列Ｂに置き換えるのはどんな行列でもできるのですか？（てっきり２−２行列の時のみだと思っていました）

また、最後の段階でｘをＡやＢなど行列に置き換えていますが、ｘを微分したものをＡやＢなど行列で置き換えていいのでしょうか？行列は微分できませんよね。。

よろしくお願いします。
No.18516 - 2012/09/08(Sat) 21:16:59
☆ ハミルトン・ケイリーの定理 / angel
> 固有方程式の固有値λを行列Ｂに置き換えるのはどんな行列でもできるのですか？
…あれ? ひょっとして高校生の方でしょうか? ( 3x3行列の話だからてっきり大学生かと… )
「固有方程式に対して、変数λを形式的に行列Ｂに、定数 c を cＥに (特に 0 は 零行列Ｏに) 置き換えた、行列の等式が成立する」これこそがハミルトン・ケイリーの定理です。なので、どんな行列でもできます。
※高校だと、2x2行列で単に Ｘ^2-(a+d)Ｘ+(ad-bc)Ｅ=Ｏ と習うでしょうが、これも固有方程式 (a-λ)(d-λ)-bc=0 から来ているので…
No.18517 - 2012/09/08(Sat) 21:48:53
☆ 多項式と行列計算の変換 / angel
> また、最後の段階でｘをＡやＢなど行列に置き換えていますが、ｘを微分したものをＡやＢなど行列で置き換えていいのでしょうか？行列は微分できませんよね。。

これはちゃんと理解しておかないと、ちょっと危ない所ではあります。

先にちょっと例を見ていただきましょう。
　x^4=(x-2)^3・(x+6) + 24x^2-64x+48
これは x に関する恒等式です。
ここで形式的に、x→Ｘ, 定数 c→cＥ と置き換えてみます。
　Ｘ^4=(Ｘ-2Ｅ)^3・(Ｘ+6Ｅ) + 24Ｘ^2-64Ｘ+48Ｅ
実は、というのもしらじらしいですが、この行列に関する等式も成立します。なぜならばＸ同士、もしくはＸ,Ｅ間の掛け算は交換が可能だからです。
※一般にはこういう置き換えは無理です。
　例えば (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 だからといって、(Ｘ-Ｙ)^2=Ｘ^2-2ＸＹ+Ｙ^2 は言えません。
　ＸＹ=ＹＸ が一般には成立しないからです。

さて話を本題に戻して。
今回の問題の解法の理屈としては、

　1. Ｂの固有方程式は (λ-2)^3=0 である
　2. 多項式 x^n に関して、x^n=(x-2)^3・f(x)+px^2+qx+r が恒等式となる f(x),p,q,r が存在する
　3. 2.の恒等式を形式的に置き換えた次の等式も成立する
　　Ｂ^n=(Ｂ-2Ｅ)^3・f(Ｂ)+pＢ^2+qＢ+rＥ
　4. ハミルトン・ケイリーの定理より (Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏのため
　　Ｂ^n=pＢ^2+qＢ+rＥ である。

ですね。
※(Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏを利用した方が楽ですが、ひとまず置いておくとして
ここで、2は多項式の話、3以降は行列の話です。つまり、多項式の計算結果を行列の計算に利用しているわけです。
そうすると、p,q,rを求める時には、多項式に使えるネタは何でも使えます。微分もO.K.です。「行列は微分できないのに…」とか、そういったことは気にする必要がないのです。
あくまで、「多項式の世界での計算結果を利用して、行列の計算をしている」からです。多項式の世界で何をしようと、結果さえ出れば、それで行列の計算ができるのです。
No.18519 - 2012/09/08(Sat) 22:25:36
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
ありがとうございます。数学科でない大学生です。

理解できました。ありがとうざいます。

話は変わりますが、
固有方程式 (λ-2)^3=0 の場合、Ｂ-2Ｅ=Ｏ もしくは (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ も成立することがあるとのことですが、
例えば（λー２）＾４＝０ならＢー２Ｅ＝０，（Ｂ−２Ｅ）＾２＝０，（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０の可能性もあるといった具合に固有方程式の次数が上がっても言えることですか？

また、片一方が重解の時（例えば(λ-1)(λ-2)^2=0など）は
(B-E)(B-2E)^2=0以外にもＢについて何か成り立つのでしょうか？

どうか教えてください。よろしくお願いします。
No.18525 - 2012/09/09(Sun) 00:57:26
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> …(略)…の可能性もあるといった具合に固有方程式の次数が上がっても言えることですか？

そうです。

> また、片一方が重解の時（例えば(λ-1)(λ-2)^2=0など）は
> (B-E)(B-2E)^2=0以外にもＢについて何か成り立つのでしょうか？

今後、「最小多項式」に関するお話を聴く機会があると思います。それがちょうど今回の問題にあたります。

最小多項式 p(x) とは、形式的に行列Ｘを代入した式につき p(Ｘ)=Ｏ が成立し、かつその中で次数が最小のものをさします。

この p(x) に関し、方程式 p(x)=0 は Ｘ の固有値を全て根として持ちます。なので固有方程式に重解がない場合、p(x) は固有多項式と一致します。

しかしながら、固有方程式に重解がある場合は一致するとは限りません。
例えば、元の質問にあった問題のＢならば、p(x)=(2-x)^2 であり、固有多項式 (2-x)^3 とは一致しません。

また、一部の解が重解の場合。質問にあるように、固有多項式が (1-x)(2-x)^2 ( 固有方程式 (1-λ)(2-λ)^2=0 ) の場合、最小多項式 p(x) は、
　p(x)=(1-x)(2-x)^2　( つまり、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)^2=Ｏ、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)≠Ｏ )
　p(x)=(1-x)(2-x)　( つまり、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)=Ｏ )
の2通りがありえます。
No.18536 - 2012/09/09(Sun) 18:54:01
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
わかりやすい回答ありがとうございます。

実は教養課程の線形代数は終わってしまったので授業ではもう聞く機会はないのです。

つまり（固有多項式）＝０のとき（最小多項式）＝０で、最小多項式＝０のλについてもケイリーハミルトンの定理が使える（λを行列Ａに置き換え可能）という理解であっていますでしょうか？

例えば与えられた３−３行列の固有多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.18537 - 2012/09/09(Sun) 19:48:12
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> 実は教養課程の線形代数は終わってしまったので授業ではもう聞く機会はないのです。

おや、そうでしたか…。
そうすると、「ジョルダン標準形」までは進まなかったのでしょうかね。「最小多項式」は「ジョルダン標準形」と関わりの深い所なので、そこまで進んでいれば話題に上っていただろうと思います。
もちろん、今からご自身で参考書なりを読んで勉強しても良いと思いますし、Web上でも説明が載ってたりもします。
※例えば、http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/lin0.htmlとか

> つまり（固有多項式）＝０のとき（最小多項式）＝０で、最小多項式＝０のλについてもケイリーハミルトンの定理が使える（λを行列Ａに置き換え可能）という理解であっていますでしょうか？

ちょっとこの表現だと言葉が足りない気がするので、補完してみますが、

　行列Ｘの固有多項式φ(x)および最小多項式p(x)に対して、
　φ(λ)=0 ⇔ p(λ)=0 が成立。この時のλが固有値である。
　そのため、φ(x), p(x) とも (λ1-x)^d1・(λ2-x)^d2・… の形をしている。( λ1,λ2,…は固有値、d1,d2,…は1以上 )
　ケイリー・ハミルトンの定理とは、φ(Ｘ)=Ｏ が成立することを指す。
　また、p(Ｘ)=Ｏ は最小多項式の定義に含まれる条件であり、明らかに成立する。
　今回の問題のように Ｘ^n を求める問題では、ケイリー・ハミルトンの定理が活用できるが、最小多項式も同様に利用でき、それにより更に楽ができる場合もある。

という感じでしょうか。

> 例えば与えられた３−３行列の固有多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？

これは、最小多項式の話で良いでしょうか?
※固有多項式は行列式 det(Ｘ-xＥ) を計算するだけですし…
各項 (λ-x)^d の次数 d を決定するには、実際に(λＥ-Ｘ) を1乗,2乗,…と成分計算して確かめるしかないように思います。
No.18562 - 2012/09/10(Mon) 23:14:22
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
回答ありがとうございます。

実際ジョルダン標準形とやらでｎ乗を求めるやり方はNo.18496のやり方と比べて計算量は減るのでしょうか？

すみません、間違えました。例えば与えられた３−３行列の最小多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？つまりＡ−Ｅ＝０なのか（Ａ−Ｅ）＾２＝０なのか（Ａ−Ｅ）＾３＝０なのかを実際にＡ−Ｅ、（Ａ−Ｅ）＾２など成分計算して求めずに簡単に見分ける方法はないのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.18568 - 2012/09/11(Tue) 02:19:12
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> 実際ジョルダン標準形とやらでｎ乗を求めるやり方はNo.18496のやり方と比べて計算量は減るのでしょうか？

ジョルダン標準形を求めてn乗を計算する方が計算量は多いです。
上の回答でジョルダン標準形を持ち出した意図は、同じ固有多項式であっても最小多項式に差異が出る、その構造が見易くなる形だからです。なので、あくまで参考と考えてください。

> 成分計算して求めずに簡単に見分ける方法はないのでしょうか？
No.18562で回答した通り、地道に成分計算するしかないと思います。
No.18572 - 2012/09/12(Wed) 00:53:26
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