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★ ベクトル空間 / wtr
次のベクトル空間Ｗの次元と1組の基を求めよ。

1. W={ f(x)∈R[x]3 | f(1)=0, f'(1)=0 }
2. W={ f(x)∈R[x]3 | f(1)=0, f(-1)=0 }

答えは
1. dim(W)=2 基{1-2x+x^2, 2-3x+x^3}
2. dim(W)=2 基{-1+x^2, -x+x^3}
です。

計算過程を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.19037 - 2012/10/26(Fri) 17:09:18
☆ Re: ベクトル空間 / ペンギン

f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d)と置くと、
f(1)=0であることから、例えばb=1
f'(1)=0であることから、例えばc=1

よって、Wに含まれるf(x)は
a(x-1)^2(x-d)と書くことができます。

g(x)=(x-1)^2x
h(x)=(x-1)^2と置くと、二つの多項式は独立であり、
f(x)=ag(x) -adh(x)と書くことができます。

よって、次元は2で基はg(x),h(x)

(2-3x+x^3=g(x)+2h(x))

あとの解き方も同様です。
No.19060 - 2012/10/27(Sat) 18:47:45
★ (No Subject) / ぴけ
三角形ABC上において、辺BCの中点をMとしたとき、AM=BCであるとする辺AB上に点P、辺AC条に点QをPQとBCが平行かつBQ⊥CPとなるようにとる。このときPQ:BCを求めよ｡
No.19036 - 2012/10/26(Fri) 16:03:12
☆ Re: / ヨッシー

ＢＱとＣＰの交点をＲとし、ＡＲとＢＣの交点をＳとします。
ＢＣ//ＰＱ より ＡＰ／ＰＢ＝ＡＱ／ＱＣ　・・・(1)
チェバの定理より
　(AP/PB)(BS/SC)(CQ/QA)＝１
なので、(1) を考慮すると、BS/SC＝１ となり、点ＳはＢＣの
中点Ｍと一致します。

∠ＢＲＣは直角なので、３点Ｂ，Ｃ，Ｒは、Ｍを中心、半径ＢＭの
円周上にあります。
よって、ＢＭ＝ＣＭ＝ＭＲ であり、
ＡＭ＝ＢＣ より、ＡＲ も、ＢＭ，ＣＭ，ＭＲ と同じ長さとわかります。
メネラウスの定理より
　(AR/RM)(MB/BC)(CQ/QA)＝１
AR/RM＝１，MB/BC＝1/2 より　CQ/QA＝2/1 となり
ＡＱ：ＡＣ＝１：３ より　ＰＱ：ＢＣ＝１：３ となります。
（△ＡＰＱ と△ＡＢＣの相似比)
No.19049 - 2012/10/27(Sat) 00:16:29
★ (No Subject) / ぴけ
13個が横一列に並んでいる。このマスを1つ、あるいは１つとばしに左右どちらにでも動かすことができるコマがある。最初、左端に止まっているコマがすべてのマスのうえに1回ずつ止まって最後に右端のマスに到達するようなコマの動かし方は何通りあるか。

解答お願いします。
No.19033 - 2012/10/26(Fri) 13:47:53
☆ Re: / ヨッシー
「13個のマスが・・・」ですね。

Ａ、Ｂ、Ｃ の文字で、
　Ａ：１つ右、Ｂ：２つ右、Ｃ：１つ左
進むことを表すとします。
　ＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡ　　（Ａが１２個）
というのも、１つの進み方です。
最初に２つ進むと、次は、１つ戻る、２つ進むと動かないと
すべてのマスに止まれません。つまり、
　ＢＣＢＡＡＡＡＡＡＡＡＡ
となります。このＢＣＢというのは必ず１セットになって発生し、
そのあとは、自由に進めます。
　ＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡ
を基本形にして、ＢＣＢ を
１つ挿入するもの　10Ｃ1＝10（通り）
２つ挿入するもの　8Ｃ2＝28（通り）
３つ挿入するもの　6Ｃ3＝20（通り）
４つ挿入するもの　4Ｃ4＝1（通り）
これに、１つも挿入しない１通りを加えて60通りとなります。

※例えば、ＢＣＢを1つ挿入する場合は、ＢＣＢをひとつの文字Ｄに
置き換えて、Ａ９個とＤ１個の並び方になるので、10Ｃ1 となります。
No.19034 - 2012/10/26(Fri) 14:17:10
★ 指数対数 / 高2
nは自然数とし,2^nは100桁の数で,2^n−1は99桁の数である.ただし,log10^2=0.3010としてよい.
(1)nを求めよ
(2)2^nの一の位の数字を求めよ
(3)2^nの十の位の数字を求めよ
No.19032 - 2012/10/26(Fri) 13:39:49
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
log は底が10とします。
(1)　98≦log{2^(n-1)}＜99≦log(2^n)＜100
　であるので、
　98≦(n-1)log2＜99≦ｎ・log2＜100
log2＝0.3010 を適用して、
　98/0.3010≦n-1＜99/0.3010≦ｎ＜100/0.3010
　325.6＜n-1＜328.9＜n＜332.2
　326.6＜ｎ＜329.9　かつ　328.9＜n＜332.2
よって、ｎ＝329

(2)
2^1＝2, 2^2＝4, 2^3＝8, 2^4＝16, 2^5＝32
より、ｎを４で割って、
１余るとき：１の位は２
２余るとき：１の位は４
３余るとき：１の位は８
割り切れるとき：１の位は６
であり、329 は４で割って１余るので、2^329 の１の位は２。

(3)
4に16を次々掛けて、下２桁だけ取り出すと
　2^2→4, 2^6→64, 2^10→24, 2^14→84, 2^18→44, 2^22→04
となり、４以降は、2^20 を掛けるごとに同じ下２桁が繰り返します。
よって、2^329 は 2^9 と同じ下２桁なので、12 となり、十の位の数は１です。
No.19035 - 2012/10/26(Fri) 14:44:35
★ 記述に関する質問その?A / Xex(3年)
記述に関する質問をもう一つ…
?@「(グラフなどより)明らか」について。例題:xは1より大きい実数とする。この時、x^2>xを証明せよ。この問題について、3通りの証明方法が挙がりますがどれが最も当でしょうか？I)f(x)=x^2-xとおいて微分して増減を調べて証明 II)x^2-x>0を示せばいいからx(x-1)と変形してこの式は「明らかに」x>1において正である。 III)グラフy=x^2とy=xを描いて「グラフより明らか」とする
?A「領域を図示せよ」と言われたら必ず境界線を含むか含まないかの記述がいると聞いたのですが本当でしょうか?
?Bベクトルの問題でよく使う一次独立とは何のことでしょうか?いつもそこが抜けていたせいでバツを食らいました…
No.19028 - 2012/10/25(Thu) 19:43:57
☆ Re: 記述に関する質問その?A / ヨッシー
(1)
解いている生徒のレベル、逆に言えば、出題者が解答者に求める
レベルにより違います。
例えば、解答者が高１程度だと、微分は知りませんので、
「グラフより明らか」が許されるでしょう。
ただし、グラフを正しく描くには、ｙ＝ｘ^2 と ｙ＝ｘ が、
(0,0) と (1,1) で交わることは示す必要があるでしょうから、
全くの「グラフのみ」というのはあり得ません。
そして、微分で、関数の増減を習った以上は、やはりそれを使わないと、
ダメでしょう。
なぜなら、出題者がそれを求めているからです。

(2)
必ずと言われると、きっとそうではない場合もあるでしょうが、
そういうのは「お目こぼし」と思っておいた方が良いでしょう。
私が高校生の頃は、含む含まないの記述はもとより、
交点で、含む点は●含まない点は○、領域に斜線を引くときは、
含む境界線には、斜線を触れさせる、含まない境界線からは、
少し離す、ということをやっていました。

(3)
乱暴に言うと、０ベクトル以外の２つのベクトルが、平行でない
状態のことです。
平行でない２つのベクトルａ、ｂに対して、
　ｍａ＋ｎｂ＝０
であるならば　ｍ＝ｎ＝０ が成り立ちます。または、
　ｍａ＋ｎｂ＝ｓａ＋ｔｂ
ならば、ｍ＝ｓ、ｎ＝ｔ が成り立ちます。
（移項して、右辺を０にすれば同じことです)

２つのベクトルが平行だとする、例えば、ｂ＝−２ａ
（ａ はｂと、正反対の向きで長さが２倍)
とすると、
　ｍａ＋ｎｂ＝０
だからといって、ｍ＝ｎ＝０ とは限りません。
ｍ＝１，ｎ＝２ とか ｍ＝３，ｎ＝６ とか、色々あります。
ですから、ａとｂが一次独立だから、あるいは
ａとｂは平行でないので、といった言葉が
必要になります。
No.19031 - 2012/10/25(Thu) 21:59:28
★ 線形代数 / ふう
3a-b+c+2d=5, 5a-2b+7c+d=8, -a+2b-c+d=-2, a-b+c+2d=3

この連立１次方程式をクラーメルの公式で解け

お願いします
No.19026 - 2012/10/25(Thu) 01:03:51
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー

とおくと、ＡＸ＝Ｂ　と書けます。
Ａの第１列、第２列、第３列、第４列をＢで置き換えた

を考えると、
　ａ＝|Ａ1|/|Ａ|、ｂ＝|Ａ2|/|Ａ|、ｃ＝|Ａ3|/|Ａ|、ｄ＝|Ａ4|/|Ａ|
で表せるというのが、クラメルの公式です。
|Ａ|＝-56，|Ａ1|＝-56, |Ａ2|＝40, |Ａ3|＝-8, |Ａ4|＝-32 より
　ａ＝1, ｂ＝-5/7, ｃ＝1/7, ｄ＝4/7
となります。
No.19027 - 2012/10/25(Thu) 10:16:39
★ (No Subject) / ルイ
自分で考えても分からなかったので、解説お願い致します。

?@sinθ＋cosθ=ｰ1/3のとき (sin^2θ)/(cosθ)＋(cos^2θ)/(sinθ)= アイ/ウエ

?A0≦x≦2πのときy=3sinxｰ1/sinx＋2 の 最大値はア/イ、最小値はウエ

?B2次方程式5x^2ｰ7x＋k=0の2つの解 は 同じ角の正弦と余弦である。 ただし、kは定数とする。

?T kの値はアイ/ウ ?U この方程式の解は小さい順にエ/オ ､カ/キ

?C0≦θ≦2πにおいて sinθ＋√3cosθ=1を満たすθの値は 小さい順にア/イπ､ウ/エπ
No.19024 - 2012/10/24(Wed) 16:57:47
☆ Re: / X
(1)
sinθ+cosθ=ｰ1/3 (A)
とします。
(A)より
(sinθ+cosθ)^2=1/9
左辺を展開して整理すると
1+2sinθcosθ=1/9
∴sinθcosθ=-4/9 (B)
後は問題の式を通分するなどして(A)(B)が代入できる式に
変形します。

(2)
sinx=tと置くと
-1≦t≦1 (A)
で
y=(3t-1)/(t+2) (B)
横軸にt、縦軸にyを取って(A)の範囲で(B)のグラフを描きましょう。

(3)
条件から問題の二次方程式の解はsinθ、cosθと置けますので
解と係数の関係から
sinθ+cosθ=7/5 (A)
sinθcosθ=k/5 (B)
(I)
(1)での前準備と同様の式変形を用いてkについての方程式を立てましょう。
(II)
(I)の結果を使って問題の二次方程式を解きます。

(4)
三角関数の合成を使うと問題の方程式は
2sin(θ+π/3)=1
∴sin(θ+π/3)=1/2 (A)
ここで0≦θ≦2πより
π/3≦θ+π/3≦7π/3
であることに注意して(A)を解きます。
No.19025 - 2012/10/24(Wed) 18:43:41
★ 高3 帰納法を用いた証明 / ktdg
数列{an}は、a1=1,a(n+1)/(n+1)=an/2nで定められている。
数列{an}の初項から第n項までの和をSnとするとき、不等式4-Sn≦1/(√2)^(n-2)が6以上のすべての整数nについて成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。

Sn=4-(2+n)/2^(n-1)となる。
よって4-Sn=(2+n)/2^(n-1)だから、(2+n)/2^(n-1)≦1/(√2)^(n-2)ー?@を示せばよい。
(?@)n=6のとき
?@の左辺=(2+6)/2^5=1/4,?@の右辺=1/(√2)^4=1/4より、?@は成り立つ。
(?A)n=kのとき
(2+k)/2^(k-1)≦1/(√2)^(k-2)が成り立っていると仮定する。
n=k+1のとき
(k+3)/2^k=1/2{(k+2)/2^(k-1)+1/2^(k-1)}
仮定より、
1/2{(k+2)/2^(k-1)+1/2^(k-1)}≦1/2{1/(√2)^(k-2)+1/2^(k-1)}=1/(√2)^k+1/2^k
従って、1/(√2)^(k-1)≧1/(√2)^k+1/2^kを示せばよい。

上の不等式は
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k={(√2-1)^2-1}/2^k=(2-2√2)/2^k<0となり成り立ちませんでした。
どこが間違っているのでしょうか?
No.19018 - 2012/10/23(Tue) 21:20:34
☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / らすかる
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k={(√2-1)^2-1}/2^k=(2-2√2)/2^k<0
が間違っています。
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k はどこから出てきた式でしょうか？
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^k = {(√2-1)^2-1}/2^k も成り立ちません。
No.19019 - 2012/10/23(Tue) 22:01:51
☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / ktdg
すいませんでした。
1/(√2)^k-1/(√2)^k-1/2^kではなく1/(√2)^(k-1)-1/(√2)^k-1/2^kでした。
もう一度計算してみたところ、計算結果は
{(√2)^k(√2-1)-1}/2^kとなりました。 ※2つ目の( )は(√2)^kにかかっています。
k≧6より、(√2)^k(√2-1)-1≧(√2)^6(√2-1)-1=8√2-9=√128-√81≧0
∴ {(√2)^k(√2-1)-1}/2^k≧0
⇔(k+3)/2^k≦1/(√2)^(k-1)
従って、すべての自然数nについて、4-Sn≦1/(√2)^(n-2)は成り立つ。

このような証明の仕方であっていますか?
No.19020 - 2012/10/23(Tue) 22:50:59
☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / らすかる
最後の行の「すべての自然数nについて」を
「6以上のすべての整数nについて」に修正する必要がありますが、
他は問題ないと思います。
No.19021 - 2012/10/23(Tue) 23:07:42
☆ Re: 高3 帰納法を用いた証明 / ktdg
ありがとうございます。
No.19022 - 2012/10/23(Tue) 23:11:49
★ 高3 微分 / ktdg
a,b,cを正の定数とする。xy平面において、曲線C1:y=ax^2+bと曲線C2:y=logct(底はe)がともに点Aにおいて直線Lに接している。
(1)a,b,cの値をそれぞれ求めよ。

C1=f(x),C2=g(x)とする。点Aはy=x上にあるのでx座標をtとおくと、y座標もtである。
また、直線Lの傾きは常に1であるから、
f(t)=g(t)=tかつf '(t)=g'(t)=1
⇔at^2+b=logct=tかつ2at=c/t=1
ここから導かれるcとtの方程式 e^t=t^2の解き方がわかりません。教えてください。
No.19011 - 2012/10/22(Mon) 23:25:21
☆ Re: 高3 微分 / ヨッシー
直線Ｌは ｙ＝ｘ なのですね？
曲線C2：ｙ＝log(cx) ですね？(xy平面なので)
また、C1=f(x),C2=g(x) という書き方は感心しません。
C1, C2 は曲線の名称であって、式ではないので。
また、log(cx) の微分は 1/x です。

すると、t=1, a=1/2, c=e, b=1/2 が順に得られます。
No.19012 - 2012/10/22(Mon) 23:41:13
☆ Re: 高3 微分 / ktdg
色々と書き方に間違いがあったようですいません。
logの微分を勘違いしていました。ありがとうございます。
No.19013 - 2012/10/23(Tue) 11:41:07
★ リミット / shibuki
次の値を求めよ
(１)lim(n→∞)log(n+1)/logn
(２)lim(n→∞)(logn)＾2{sin(1/logn)-sin(1/log(n+1))}
リミットが苦手でわからないです(>_<)お願いします。
No.19007 - 2012/10/22(Mon) 07:44:34
☆ Re: リミット / X
(1)
(与式)=lim[n→∞]{log{(n+1)/n}+logn}/logn
=lim[n→∞]{{log(1+1/n)}/logn+1}
=lim[n→∞]{{log(1+1/n)^n}/(nlogn)+1}
ここで
lim[n→∞](1+1/n)^n=e
∴(与式)=1
No.19009 - 2012/10/22(Mon) 10:48:15
☆ Re: リミット / 豆
(2)　sin(1/logn)-sin(1/log(n+1))=2cos(((1/logn)+(1/log(n+1))/2)sin(((1/logn)-(1/log(n+1))/2)
　　ここでcosの項は1に収束するので以下省略
sin(((1/logn)-(1/log(n+1))/2)=sin((log(1+1/n)/(2lognlog(n+1))
(log(1+1/n)/(2lognlog(n+1)=Aとおくと、Aは0に収束
sinA=A(sinA/A)　sinA/A→1なので、
結局
(logn)^2・2・Aの極限を求めることになる
　(logn)^2・2・A=2(logn/log(n+1))・log(1+1/n)
(1)より(logn/log(n+1))→1なので、　　与式→0
No.19015 - 2012/10/23(Tue) 12:01:58
★ 実数 / shibuki
すべての正の実数x、yに対し、
√x+√y≦k√２x+y
が成り立つような、実数kの最小値を求めよ。
ちなみに、x、y、２x+yはすべてルートに含まれています。
よろしくお願いします。
No.19006 - 2012/10/22(Mon) 07:36:36
☆ Re: 実数 / X
x＞0,y＞0なので
√x+√y≦k√(2x+y)⇔(√x+√y)/√(2x+y)≦k
⇔(√t+1)/√(2t+1)≦k(x/y=tと置いた)
そこで
f(t)=(√t+1)/√(2t+1)
と置いてt＞0における増減を調べてみます。
f'(t)=(1-2√t)/{2(2t+1)√{t(2t+1)}}
によりf(t)は
t=1/4のときに極大値√(3/2)を取り
0＜t≦1/4において単調増加
1/4≦tにおいて単調減少
従って
f(t)≦√(3/2)
ですので求めるkの最小値は√(3/2)となります。
No.19010 - 2012/10/22(Mon) 12:20:33
☆ Re: 実数 / 豆
(1+√2)/2　では？
No.19014 - 2012/10/23(Tue) 12:00:49
☆ Re: 実数 / X
>>豆さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>shibukiさんへ
ごめんなさい。f'(t)の計算ミスで答えを誤っていました。
No.19010を直接訂正しましたのでご覧下さい。
No.19017 - 2012/10/23(Tue) 19:52:08
☆ Re: 実数 / 豆
間違っていました　orz
No.19023 - 2012/10/24(Wed) 10:57:53
★ (No Subject) / ねっしー
実数aが0＜a＜1の範囲を動くとき、曲線y=x^3-3a^2x+a^2の極大点と極 小点の間にある(ただし、極大値、極大値は含まない)が通る範囲を図示し 、その面積を求めよ。
No.19001 - 2012/10/21(Sun) 19:22:54
☆ Re: / X
問題文にタイプミスはありませんか？。
No.19002 - 2012/10/21(Sun) 19:46:54
★ 記述に関する質問 / Xex (3年)
前も聞いたかもしれませんが、
?@:階差数列を扱うときはなぜn>=2が必要なのでしょうか?(人によってΣの上が0になるからとか2項以上あって初めて階差が生じるからと答えが異なるので、ちゃんとした答えが欲しいです)
?A:相価>=相乗を使うときは必ず=が成立する条件を書く必要があるのでしょうか?(大小関係を示したいだけでも)
?B:軌跡の問題で[逆に･･･]の記述が必要なのはなぜですか?
?C:[グラフより明らか]がダメな理由を教えてください。(特に微積分が絡む問題で)
?D:不等式|x-1|<3を-3<x-1<3だから-2<x<4と解いたらバツをくらいました。何がいけないのですか?

根本的過ぎて申し訳ありません。
No.18994 - 2012/10/20(Sat) 18:28:39
☆ Re: 記述に関する質問 / IT
> ?@:階差数列を扱うときはなぜn>=2が必要なのでしょうか?
具体的に書かれないと回答し難いと思います。
> ?A:相価>=相乗を使うときは必ず=が成立する条件を書く必要があるのでしょうか?(大小関係を示したいだけでも)
必要ないと思います。
> ?B:軌跡の問題で[逆に･･･]の記述が必要なのはなぜですか?
具体的に書かれないと回答し難いと思います。
必要条件（であることだけ明らかにして）だけで範囲を絞っていった場合はそうでしょうね。

> ?C:[グラフより明らか]がダメな理由を教えてください。(特に微積分が絡む問題で)
具体的に書かれないと回答し難いと思います。

> ?D:不等式|x-1|<3を-3<x-1<3だから-2<x<4と解いたらバツをくらいました。何がいけないのですか?
良いと思います。バツをした人に理由を聞くしかないと思います。（応用が効かない？？のでお勧めの解法でない？とかでしょうか？それにしても×はおかしい！）

?@、?B、?Cは、具体的に例示して分けて質問されたほうが良いと思いますよ。
No.18997 - 2012/10/21(Sun) 08:24:39
☆ Re: 記述に関する質問 / angel
一般論になってしまいますが…
?@
> 人によってΣの上が0になるからとか2項以上あって初めて階差が生じるからと答えが異なる

これは言っていることは同じで、ちゃんとした理由になっています。
階差数列を用いる場合、例えば a[4]=a[1]+d[1]+d[2]+d[3] のような計算をするわけです。( 階差数列 d[n]=a[n+1]-a[n] )
そうすると、a[1] の場合は d[n] を足す計算が発生しない、つまり階差が生じていないので、別扱いにする必要が出ます。
式の形で見ると、a[n]=a[1]+Σ[k=1,n-1]d[k] で、n=1 の時には Σ[k=1,0] というマズい形ができる、そういう現れ方になります。( 終わりの項数は初めの項数を下回ってはいけない )

?A
必要ないです。相加平均≧相乗平均の等号成立条件を説明する必要があるのは…
・問題で求められている時
・この関係式を「最小値を求めよ」という問題に使おうとしている時。( 「最小値としてその値を取る」ことを示すため )
また、この関係式を使えないのは
・関数の値域を求める問題の時
　例えば y=x+1/x ( x＞0 ) の値域は y≧2 ですが
　y=x+1/x≧2√(x・1/x)=2 は使えません。
　なぜなら相加平均・相乗平均の関係式は単純に大小関係を表すだけだからです。例えば y=3 等となりうるかどうか、それについての情報は得られません。
　※値域 y≧2 というのは、y=3,4 等、y≧2 を満たす全ての値に関して、それぞれ対応する x があることを表しますから。

?B
大体は「必要条件を調べる」→「十分条件を調べる」という手順で「必要十分条件」である「軌跡」を探るからです。
「逆に…」の部分は「十分条件を調べる」に相当します。
最初から必要十分条件を調べていれば、2段階に分ける必要はありません。

?C
グラフというのは、あくまで関数の値の変化を計算で調べた結果を可視化したものです。だから普通は「グラフより明らか」なんてことはありません。必ずそのグラフができた計算の裏付けがあるはずなので、その説明で手抜きしていると取られます。
ただ、「グラフより明らか」が使える場面はなくはないです。それは、直線、円(楕円)、放物線等、どんな式ならそういうグラフになるかを習っていて、かつ図形としての性質が分かっている場合です。…でもお勧めはしませんが。

?D
全然問題ないですけどね…。
ひょっとしたら
　|x-1|＜3 ⇔ (x-1)^2＜3^2 ⇔ (x+2)(x-4)＜0
という解き方しか認めないつもりなのでしょうかね。
No.18998 - 2012/10/21(Sun) 09:09:50
☆ Re: 記述に関する質問 / Xex(3年)
そういうことでしたか…非常にためになりました!!
No.18999 - 2012/10/21(Sun) 11:46:02
★ 軌跡と領域 / なるみ
問題
座標平面上の点P(x,y)を、x=t+s、y=t^2+sで定める。
t、sが-1≦t≦1、-1≦s≦1の範囲を満たしながら動くとき、Pの描く図形を図示しなさい。

sを消去して、y=x+t^2-t(t-1≦x≦t+1)となったので、A(t-1,t^2-1)、B(t+1,t^2+1)を両端とする線分ABの動く範囲を考えることになると思いました。-1≦t≦1なので、A(-2,0)、B(0,2)を両端とする場合からA(0,0)、B(2,2)を両端とする場合まで線分を平行移動させればいいので答えは台形になると思いましたが、解答は全然違う図形になっていまして、どうして間違えているのかと、どうして解答のような図になるのかがわからないです。
問題のヒントに、「sを動かすためにsを消去する」という一文があるのですが、文字を動かすことと文字を消去することに何の関係があるのですか。文字が消えたら動かすも何も関係がなくなっていく気がするのですが。
どうか教えてください。よろしくお願いします。
No.18991 - 2012/10/19(Fri) 21:59:49
☆ Re: 軌跡と領域 / angel
> sを消去して、y=x+t^2-t(t-1≦x≦t+1)となったので、

これは正しいです。
が、この後は t を動かしてみて、ある x に対して y がどの範囲に収まるかを考えることになりますから、

　y = x+(t^2-t) ( x-1≦t≦x+1 かつ -1≦t≦1 )

とします。元からある t の条件 -1≦t≦1 も明記しました。

そうすると、「x-1≦t≦x+1 かつ -1≦t≦1」という t の範囲は一体…? という話になります。これは x の値によって状況が変わりますから、場合分けが必要になります。
例えばですが、x=1.5 であれば 「0.5≦t≦2.5 かつ -1≦t≦1」⇔0.5≦t≦1 ですね。で、この時は -0.25≦t^2-t≦0 ですから、結果として 1.25≦y≦1.5 ということです。

この場合分けですが、t のことだけ考えるなら
　-2≦x＜0 … -1≦t≦x+1
　0≦x≦2 … x-1≦t≦1
の2通りだけ ( x＜-2 や x＞2 は最初から除外 ) でO.K.です。
が、(t^2-t) の形の最大・最小の具合を考えると、

　-2≦x＜-1/2 … -1≦t≦x+1, x+1＜1/2
　-1/2≦x＜0 … -1≦t≦x+1, 1/2≦x+1＜1
　0≦x＜1 … x-1≦t≦1, x-1＜0
　1≦x＜3/2 … x-1≦t≦1, 0≦x-1＜1/2
　3/2≦x≦2 … x-1≦t≦1, x-1≧1/2

の5通りの場合分けが必要です。
例えば2番目のケース ( -1/2≦x＜0 ) であれば、t=1/2 の時 (t^2-t)最小、t=-1の時 (t^2-t)最大となりますから、x-1/4≦y≦x+2 といった具合になります。
No.18992 - 2012/10/19(Fri) 23:39:29
☆ Re: 軌跡と領域 / IT
イメージだけ
sを固定して考えると
s=0 のとき　y = x^2 (-1≦x≦1)ですから 放物線の一部です。

sが変化すると　x,y共にsずれていきます。
（下図を参照）
　　　　
No.18993 - 2012/10/20(Sat) 00:21:55
☆ Re: 軌跡と領域 / IT
tを固定して考えると
t＝０のとき　x=s,y=s　より x=y , -1≦s≦1より-1≦x≦1なので　線分x=y(-1≦x≦1)となります
tを動かすと　xはｔ、yはt^2変化します。
（下図を参照）　もちろん結果は前記と同じです。
No.18995 - 2012/10/20(Sat) 18:58:42
★ 数学 答の式がわかりません / まき
x(log[a]2)^2 -(x+2)(log[a]3)^2=-2(log[a]2)(log[a]3)
{(log[a]2)^2-(log[a]3)^2｝x=2(log[a]3)^2 -2(log[a]2)(log[a]3)=-2(log[a]3){(log[a]2)-(log[a]3)｝
このあとが問題なんですが解答では何の断りもなく
両辺を{(log[a]2)^2-(log[a]3)^2｝で割っています。
ちなみに底に条件はありません。
どうして{(log[a]2)^2-(log[a]3)^2｝で割っていいんでしょうか？
誰か教えて下さい。お願いします。
No.18989 - 2012/10/19(Fri) 21:32:36
☆ Re: 数学 答の式がわかりません / X
(log[a]2)^2-(log[a]3)^2
=(log[a]2+log[a]3)(log[a]2-log[a]3)
=(log[a]6){log[a](2/3)}≠0
だからです。
No.18990 - 2012/10/19(Fri) 21:58:00
★ (No Subject) / ぴけ
関数f(x)をf(x)=-3/4x^2+|x|(1/4x+1)とする。
xy平面上で、曲線C:y=f(x)と直線l:y=mxが異なる
3点を共有している。Cとlで囲まれた2つの図形の面積の和をS(m)とするとき、S(m)を最小にするmの値を求めよ。

もう1問お願いします。
No.18983 - 2012/10/19(Fri) 15:10:21
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＜０のとき　f(x)＝(-3/4)x^2−x(x/4+1)＝−x^2−x　・・・(i)
ｘ≧０のとき　f(x)＝(-3/4)x^2＋x(x/4+1)＝-x^2/2＋x　・・・(ii)
よって、y=f(x) のグラフは下のようになります。

ｍの範囲は、(i) の原点における接線の傾き-1、(ii) の原点における
接線の傾き１より　−１＜ｍ＜１

とりあえず、ここまで。
No.18984 - 2012/10/19(Fri) 16:12:19
☆ Re: / ぴけ
mの値はどうなりましたか？
No.18985 - 2012/10/19(Fri) 17:03:42
☆ Re: / ヨッシー
m=1/3 かと。
No.19000 - 2012/10/21(Sun) 15:20:11
☆ Re: / ぴけ
交点はx=-m-1,0-2m+2で、６分の1公式使ったらいいんですよね？
No.19003 - 2012/10/21(Sun) 22:38:22
☆ Re: / ヨッシー
それで良いです。
No.19004 - 2012/10/22(Mon) 00:11:09
★ (No Subject) / ぴけ
a,b,c,dは素数とする。整式
(ax+b)(-cx+d)-3
をx^2+x+1で割った余りが定数となるとき、
その余りは整数の2乗であることを示せ。

解答お願いします。
No.18981 - 2012/10/19(Fri) 14:08:03
☆ Re: / ヨッシー
実際に展開して割ってみると
　{-acx^2＋(ad-bc)x＋bd−3}
　　＝-ac(x^2＋x＋1)＋(ad+ac-bc)x＋bd+ac-3
条件より　　ad+ac-bc＝0
　bc＝a(d+c)
より、b＝a または c＝a。

1)b＝a のとき、両辺a＝b で割って、
　c＝d＋c　より　d＝0 となって不適

2)c＝a のとき、両辺 a＝c で割って、
　b＝d＋c
b＝2 ということはないので、b は奇数で、c＝2 または d＝2。
2-1) a＝c＝2 のとき
　b＝d＋2 より、割り算の余りは
　bd＋ac−3＝(d+2)d＋4−3
　　＝d^2＋2d+1＝(d+1)^2
2-2) d＝2 のとき
　(中略)
となり、いずれの場合も、整数の２乗になります。
No.18982 - 2012/10/19(Fri) 14:44:21
★ 高3 / ktdg
自然数kに対して、3辺の長さがkx,ky,x^2+y^2の三角形を考えるとき、次の各問に答えよ。
(1)三角形の周の長さLのとりうる値の範囲をkで表せ。
(2)x,yを自然数とし、x,yの値の組の数をNとするとき、N≦k^2-1が成り立つことを示せ。また、k=10のとき、Nの値を求めよ。

(1)
L=kx+ky+x^2+y^2=(x+k/2)^2+(y+k/2)^2-k^2/2
(x+k/2)^2+(y+k/2)^2=L+k^2/2ー?@より、√(L+k^2/2)はxy平面において中心(-k/2,-k/2)の円の半径である。
三角形の成立条件より、
kx+ky>x^2+y^2かつkx+x^2+y^2>kyかつky+x^2+y^2>kx
⇔(x-k/2)^2+(y-k/2)^2>k^2/2ー?Aかつ(x+k/2)^2+(y-k/2)^2>k^2/2ー?Bかつ(x-k/2)^2+(y+k/2)^2>k^2/2ー?C
xy平面において、?@が?A,?B,?Cをみたすような?@の半径の範囲は、k/√2<√(L+k^2/2)<3k/√2
∴ 0<L<4k^2

(2)についてですが、Nは(1)の?A,?B,?Cを満たす領域における格子点の数のことですか?
間違っているなら方針だけ教えて欲しいです。
No.18975 - 2012/10/19(Fri) 05:35:50
☆ Re: 高3 / X
>>Nは(1)の?A,?B,?Cを満たす領域における格子点の数のことですか?
それで問題ないと思います。
No.18977 - 2012/10/19(Fri) 07:26:41
☆ Re: 高3 / ktdg
回答ありがとうございます。
?A,?B,?Cを満たす領域は以下の画像の斜線部のようになり、D1に含まれる格子点の数はD2のそれと等しく、またD3に含まれる格子点の数は、y=k,x=k,y=xの３つの直線で囲まれる三角形に含まれる格子点からD1に含まれる格子点を引いたものに等しいので、D1に含まれる格子点の数が分かればNが分かると思います。
x=m(m=1,2,3,,,k)と(x-k/2)^2+(y-k/2)^2=k^2/2の交点のy座標のうち正のものは、y=√{k^2/2-(m-k/2)^2}+k/2となりますが、ここからどうやって格子点を求めればよいのか分かりません。教えて下さい。
No.18986 - 2012/10/19(Fri) 17:54:54
☆ Re: 高3 / ktdg
すいません画像が貼れてませんでした。
No.18987 - 2012/10/19(Fri) 17:56:18
★ 高3 軌跡 / ktdg
放物線C:y=x^2上の2点A,BにおけるCの接線の交点をMとする。直線ABと原点Oとの距離が1であるように2点A,Bが動くとき、点Mの軌跡を求めよ。

点Mの軌跡はy^2=1+4x^2になったのですが、点Mの軌跡を求めよというのは増減表を書いてグラフをかけということですか?
No.18974 - 2012/10/19(Fri) 01:14:04
☆ Re: 高3 軌跡 / X
いいえ、グラフを描かなくても形状だけ指摘しておけば
問題ないと思います。
>>y^2=1+4x^2
が正しいとすれば、これは双曲線ですね。
No.18976 - 2012/10/19(Fri) 07:19:24
☆ Re: 高3 軌跡 / ktdg
ありがとうございます。
No.18980 - 2012/10/19(Fri) 13:32:40
★ 対数 / ルイ
?@1/2log2 (2x＋2√(x^2)ｰ1)＋log2((√ x＋1)ｰ(√xｰ1))=ア

?A2次方程式3x^2ｰ5x＋1=0の2つの解 を log10(a)、log10(b)で表せば loga(b)＋logb(a)=アイ/ウ
No.18969 - 2012/10/18(Thu) 16:54:19
☆ Re: 対数 / ヨッシー
?@は、

など、２通り以上に解釈できる部分がいっぱいあります。
もう一度、書きなおしてください。
　1/2log2・・・ のlog 以下は分母なのか？
　√(x^2)-1 の√ の中は x^2 だけ？つまり、|x| なのか？
　√x+1 の 1 は、√の中か外か？

?A
解をα、βとすると、
　log[a](b)＋log[b](a)＝log[10]ｂ/log[10]ａ＋log[10]ａ/log[10]ｂ
　　＝β／α＋α／β
　　＝(β^2＋α^2)／αβ
　　＝{(α＋β)^2−２αβ}／αβ
　　＝{(α＋β)^2}／αβ−２
解と係数の関係より、α＋β＝5/3， αβ＝1/3 を代入すると
　19/3 となります。
No.18971 - 2012/10/18(Thu) 17:27:40
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