円Cは点P(a,1/2)(a>0)を中心とし,x軸に接しているものとする.円Cが曲線y=x^2と1点のみ共有する(すなわち,接する) ようなaの値を求めよ.さらに,このaに対して,円Cの外部でx軸と曲線y=x^2と円Cの周とで囲まれた部分の面積を求めよ.
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No.18895 - 2012/10/12(Fri) 23:23:27
| ☆ Re: 微積 / X | | | 前半)
条件から円Cの方程式は
(x-a)^2+(y-1/2)^2=1/4 (A)
よって接点をQ(t,t^2)と置くと(A)の接線の方程式は
(t-a)(x-a)+(t^2-1/2)(y-1/2)=1/4 (B)
一方y=x^2よりy'=2xゆえ点Qにおける接線の方程式は
y=2t(x-t)+t^2
整理して
y=2tx-t^2 (C)
(B)を整理すると
(t-a)x+(t^2-1/2)y=(1/2)t^2+at-a^2 (B)'
(A)(B)は一致するので係数の比から
(t-a)/(2t)=-(t^2-1/2)={(1/2)t^2+at-a^2}/t^2
(注：条件から少なくともt≠0)
つまり
(t-a)/(2t)=-(t^2-1/2) (D)
(t-a)/(2t)={(1/2)t^2+at-a^2}/t^2 (E)
(D)(E)をa,tについての連立方程式と見て解きます。
(D)より
a=2t^3 (D)'
(E)に代入して
1/2-t^2=1/2+2t^2-4t^4
これより
(4t^2-3)t^2=0
(D)'よりt＞0ですのでt=(1/2)√3
これを(D)'に代入してa=(3/4)√3
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No.18901 - 2012/10/13(Sat) 17:09:32 |
| ☆ Re: 微積 / X | | | 後半)
前半で用いた点Qからy軸に下ろした垂線の足をHとすると
求める面積は
線分QH,x軸,y軸,円Cで囲まれた図形の面積(Tとします)
から
曲線y=x^2,線分QH,y軸で囲まれた図形の面積(Uとします)
を引いたものになります。
Uの値の計算は積分の基本問題ですのでご自分で
やっていただくとしてTの値の計算についてヒントを。
前半の結果から
P((1/2)√3,3/4)
又Cの中心をO'とすると
O'((3/4)√3,1/2)
今O'からy軸に下ろした垂線の足をIとすると
cos∠QO'I={(3/4)√3-(1/2)√3}/(1/2)=(1/2)√3
従って0＜∠QO'I＜π/2に注意すると
∠QO'I=π/6
後は扇形の面積を使うことでTの値は計算できます。
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No.18902 - 2012/10/13(Sat) 17:24:06 |
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