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★ 確率 / 辰夫
1から7までの番号が1つずつ書いてある7枚のカードの中から、1枚ずつ3回抜き出す試行を考える。ただし抜き出したカードはもとには戻さないものとする。この試行において、最後（3回目）に抜き出したカードの番号が1回目および2回目に抜き出したカードの番号より大きければ、最後に抜き出したカードの番号が得点として与えられ、それ以外の得点は０とする。
（２）得点がk（3≦k≦7）である確率は(k-キ)(k-ク)/ケコサであり、得点が0である確率はシ/スである。ただし、キ＜クである。
2)
3回目にkがでて、
１回目と２回目には1〜k-1の数字が書かれたカードの中から２枚取り出せばいいから
(k-1)P2通り
よって、(k-1)(k-2)/210

３回目に取り出すカードが１のとき
１回目と２回目は２〜７から２枚とりだせばいいので取り出し方は6P2
３回目に取り出すカードが2のとき
１回目と２回目に３〜７から２枚取り出せばいいので取り出し方は5P2
以下３回目に取り出すカードが3のとき、4のとき、5のときとやっていくと
得点が0になる事象は6P2＋5P2＋4P2＋3P2＋2P2=70(通り)
よって得点が０になる確率は70/210=1/3

得点が0になる確率は2/3なのですがどうして上の解答じゃだめなんでしょうか？
「３回目に取り出すカードが2のとき
１回目と２回目に３〜７から２枚取り出せばいいので取り出し方は5P2」
の場合で1の存在が抜けているという指摘を受けたんですが
「1回目および(＝かつ)2回目」なので1が1回目と2回目にでたらおかしくなる気がするんですが・・・
分かる方教えてください。お願いします。
No.18161 - 2012/07/27(Fri) 20:15:37
☆ Re: 確率 / ITVISION
>「1回目および(＝かつ)2回目」なので1が1回目と2回目にでたらおかしくなる気がするんですが・
例えば、1,3,2 →0点です

「「1回目および(＝かつ)2回目」なので」という表現では、意味不明です。しっかり文を書きましょう。
No.18163 - 2012/07/27(Fri) 20:41:48
☆ Re: 確率 / 辰夫
回答ありがとうございます
1回目に1
2回目に3
3回目に【2】の場合も0点になるんでしょうか？
「および」という表現は「かつ」という表現に等しいと教わったのでこの場合でもそれをあてはめるなら
(1回目に2より大きい)かつ(2回目に2より大きい)
つまり、1回目も2回目も2より大きい数字がでないといけないという解釈になるのですがどうなんでしょうか？
No.18164 - 2012/07/27(Fri) 20:52:15
☆ Re: 確率 / ヨッシー
３回目に２が出たとします。
２が１回目のカードより大きい　かつ　２が２回目のカードより大きい
ときに、得点２がもらえるのですが、そんな場合ってないですよね？

もちろん、１回目に１，２回目に３，３回目に２　だと０点です。
No.18167 - 2012/07/27(Fri) 22:32:31
☆ Re: 確率 / ITVISION
>(1回目に2より大きい)かつ(2回目に2より大きい)
>つまり、1回目も2回目も2より大きい数字がでないといけないという解釈になる

間違いです。
「ＡかつＢ」の否定は「（notＡ）または（notＢ）」です。

したがって
「最後（3回目）に抜き出したカードの番号が1回目および2回目に抜き出したカードの番号より大きい」の否定は

「最後（3回目）に抜き出したカードの番号が1回目『または』2回目に抜き出したカードの番号より『小さい』」です。
No.18168 - 2012/07/27(Fri) 23:51:11
☆ 日本語の問題 / angel
> 「および」という表現は「かつ」という表現に等しいと教わった

どこで習ったのか分かりませんが、数学の特殊用語と捉えるのではなく、普通の日本語として使えるよう身につけるべきです。単純に何か別の単語に置き換えるなどという考えは危険です。

例えば辰夫さんが何か部活をやっていて、次の公式戦のレギュラーメンバー入りを目指しているとしましょう。
まあ、ライバルとの競争になりますよね。ここで、
「辰夫さんがレギュラーになるためには、次の練習試合で辰夫さんがＡさん及びＢさんに勝つこと、さもなくば補欠」と言われたらどう解釈しますか?
普通に解釈すれば、「ＡさんとＢさん両方に勝てばレギュラーになれる、どちらか一人にでも負けたらレギュラーではない」となるはずです。

この問題でも同じこと。
> 最後（3回目）に抜き出したカードの番号が1回目および2回目に抜き出したカードの番号より大きければ、最後に抜き出したカードの番号が得点として与えられ、それ以外の得点は０とする。

(3回目のカード)が、(1回目のカード)・(2回目のカード)の両方よりも大きければ0でない得点が貰えるということです。
逆にそうでない場合、つまり (3回目)＜(1回目) もしくは (3回目)＜(2回目) の場合は 0点です。
No.18169 - 2012/07/27(Fri) 23:53:05
☆ Re: 確率 / ITVISION
> 1回目に1
> 2回目に3
> 3回目に【2】の場合も0点になるんでしょうか？

1回目に1
2回目に3
3回目に【2】の場合、得点が与えられる条件を満たしますか？　自分で考えてみてください。
No.18170 - 2012/07/27(Fri) 23:55:37
☆ Re: 確率 / 辰夫
ヨッシーさん　ITVISIONさん　angelさん
回答してくれてありがとうございます。
おかげで理解することができました。
angelさんの言うようにこれからは数学を極力、用語として捉える事のないよう留意したいと思いますm(_ _)m
此度は本当にありがとうございました。
No.18171 - 2012/07/28(Sat) 00:16:50
★ 数列の問題で式の変形 / 辰夫
文系の高1です。
a[k]=4k＋3/k(k＋1)(k＋2)
の右辺が
[ {ak＋b｝/k(k＋1) ] ―[｛a(k＋1)＋b｝/(k＋1)(k＋2) ]
と変形できるそうなんですがよくわかりません。
文系で数学を使うのですがこういうテクニックは暗記したほうがはやいでしょうか？
教えてくださいお願いします。
No.18159 - 2012/07/27(Fri) 13:31:20
☆ Re: 数列の問題で式の変形 / ヨッシー
暗記というより体験です。

算数の問題で
　1/(1・2)＋1/(2・3)＋1/(3・4)＋・・・＋1/(99・100)
を計算させる問題がありますが、このときに
　{1/1−1/2}＋{1/2−1/3}＋{1/3−1/4}＋・・・＋{1/99−1/100}
　＝１−1/100＝99/100
という解法を心に留めておけるかが、こういう時に効いてきます。
（覚えがなければ、今、心に留めてください）
No.18160 - 2012/07/27(Fri) 15:52:09
☆ Re: 数列の問題で式の変形 / 辰夫
ありがとうございました
No.18162 - 2012/07/27(Fri) 20:15:56
☆ Re: 数列の問題で式の変形 / 辰夫
すみません。1つ疑問が。
部分分数分解は【文字式の場合】
分子の次数が分母の次数より1つ低いものだと教わりました。
なので
?@のk(k＋1)側の分子と(k＋1)(k＋2)の分子をそれぞれak＋b、cx＋dとしてもなんら問題ないのでしょうか？
3/k(k＋1)(k＋2)を部分分数分解しろと言われたらすぐにできますが
分子が文字式になってるとどうすればいいのかわからなくなります・・・
No.18165 - 2012/07/27(Fri) 20:56:09
☆ Re: 数列の問題で式の変形 / ヨッシー
>分子の次数が分母の次数より1つ低い
何の分子、分母ですか？
元の式？　部分分数の各項？

>分子をそれぞれak＋b、cx＋dとしてもなんら問題ないのでしょうか？
それは、何のために部分分数分解するかによります。
積分するために、単に分母の字数が下がればいいのなら、
どう置いても良いです。

ただ、この問題の場合、いかにも第ｎ項までの和を求めさせるような
問題なので、その場合は、上の問題のように
ａｘ＋ｂ　と　ａ（ｘ＋１）＋ｂ　でないと、項同士が消えてくれません。
No.18166 - 2012/07/27(Fri) 22:27:57
☆ Re: 数列の問題で式の変形 / 辰夫
ヨッシーさんいつも回答ありがとうございます。
おかげでなんとか理解できました＞＜

学校では
部分分数の各項においては絶対に(分子の次数)が(分母の次数)-1　になると教わりました；
No.18172 - 2012/07/28(Sat) 00:21:23
☆ Re: 数列の問題で式の変形 / ヨッシー
それは、分子の次数は最大でも分母の次数−１　ということでしょう。
(ax+b)/(x+1)(x+2)
などと置いてみて、結果として、a=0 となることはあります。
No.18173 - 2012/07/28(Sat) 01:11:22
★ 正弦定理、余弦定理の問題です。 / ドーパミン破壊光線
ΔABCにおいて、b=2,c=√2,C=30°のとき、a,A,Bを求めよ。
という問題です。似た問題では、sinA=1/2のように角度がすぐに分かる値になりましたが、この問題だと√3+1/2√2のように角度が分からない値がでてきてしまいました。
計算ミスなのかどうなのかよく分からなかったのですが、お願いします。
No.18148 - 2012/07/26(Thu) 10:56:47
☆ Re: 正弦定理、余弦定理の問題です。 / らすかる
そういう場合は、∠Bを先に求めてA=180°-B-Cで計算しましょう。
No.18150 - 2012/07/26(Thu) 14:34:18
☆ Re: 正弦定理、余弦定理の問題です。 / ドーパミン破壊光線
ありがとうございます。その方法で試してみます。
No.18153 - 2012/07/26(Thu) 21:48:40
★ 文系数学　意味が分かりません / 辰夫
2つの数列｛x[n]｝｛y[n]}
x[1]=1 x[n＋1]=2x[n]＋y[n]
y[1]=0 y[n＋1]=x[n]＋2y[n]　(n=1.2.3.・・・)を満たす。

(1)第n項がz[n]=x[n]＋a・y[n]　(n=1,2,・・・)で定義される数列{z[n]}が等比数列となるようなaの値を全て求めよ。

z[n＋1]=x[n＋1]＋a・y[n＋1]=(a＋2)x[n]＋(2a＋1)y[n]
｛z[n]｝が等比数列となるような条件は{z[n]｝が等比数列となる条件に等しい。
a=-2のとき、
z[n＋1]=-3y[n]
y[n]についてy[1]=0 y[2]=1より
z[2]=-3y[1]=0
z[3]=-3
(z[1]はz[1]=x[1]＋a・y[1]＝1)
となり明らかに等比数列ではにので
a≠-2

ここからどうすればいいのかわかりません。
また、【｛z[n]｝が等比数列となるような条件は{z[n]｝が等比数列となる条件に等しい。】は不安です。
答には
a≠-2のとき
z[n＋1]=(a＋2)｛x[n]＋｛(2a＋1)/(a＋2)｝・y[n]｝
z[n]が等比数列になるためには
a=(2a＋1)/(a＋2)
よってa=±1

とあるのですがさっぱりわかりません。
どうやったらこんなの思いつくんですかね？
また、等比数列になる条件がa=(2a＋1)/(a＋2)というのもピンときません。
これは同志社の2003年度の問題なのですが正直全然解けなくて焦っています。
どうすればいいんでしょうか。
またこの問題について分かる方教えてください。お願いします。
No.18131 - 2012/07/25(Wed) 17:57:35
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / bay
a(n+1)=pa(n)+qb(n)・・?@
b(n+1)=ra(n)+sb(n)・・?A
のタイプの連立漸化式でp=s,q=rのときは
?@+?Aと?@-?Aを連立させると答えが出せます
今回がそのパターンで
x[n＋1]=2x[n]＋y[n]・・?@’
y[n＋1]=x[n]＋2y[n]・・?A’
?@’＋?A’より
x(n+1)+y(n+1)=3(xn+yn)・・?B
?@’−?A’より
x(n+1)-y(n+1)=x(n)-y(n)・・?C
これでxnとｙｎは出せます

a(n+1)=pa(n)+qb(n)・・（ア）
b(n+1)=ra(n)+sb(n)・・（イ）
の上記の場合で無いケースは
ｘ＝(px+q)/(rx+s)を解き、その解をα、βとすると

（ア）−（イ）×α
（ア）−（イ）×β
で?B、?Cのような等比数列の形に帰着できます
No.18134 - 2012/07/25(Wed) 21:08:24
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / ITVISION
z[n]が公比bの等比数列だとすると

z[n＋1]=(a＋2)｛x[n]＋｛(2a＋1)/(a＋2)｝y[n]｝
=bz[n]=b(x[n]＋ay[n]｝
　
n=1のときを考える　(a＋2)｛x[1]＋｛(2a＋1)/(a＋2)｝y[1]｝=　b(x[1]＋ay[1])
x[1]＝1、y[1]=0を代入　a＋2　=　b　

よって
(a＋2)｛x[n]＋｛(2a＋1)/(a＋2)｝・y[n]｝
=(a＋2)(x[n]＋ay[n])　

a＋2≠0、y[2]≠0なので

a=(2a＋1)/(a＋2)
よってa=±1　（必要条件）
No.18135 - 2012/07/25(Wed) 21:10:36
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / bay
横から失礼します。
これってｙ１とかｙ２って関係あるのですか？
ｚ（ｎ）の公比をｂとすると
x(n+1)=ay(n+1)=b(xn+ayn)・・?@
=(a+2)xn+(2a+1)yn・・?A
?@と?Aのxnとynの係数比較をして
b=a+2かつab=2a+1
⇔（a,ｂ）＝（１．３）（−１，１）
となりそれぞれのaの値に対して確かにｂが存在する
よってa=±１・・答え
で駄目なのですか？
No.18136 - 2012/07/25(Wed) 21:25:59
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / ITVISION
>また、【｛z[n]｝が等比数列となるような条件は{z[n]｝が等比数列となる条件に等しい。】は不安です。

確かに【　】の中は何を言われようとしているのか意味不明です。
「Ａ＝Ａ」と同じで何も新しいことを言っていないと思うのですが、私の見間違えならごめんなさい。
No.18137 - 2012/07/25(Wed) 21:26:13
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / 辰夫
すみません
【｛z[n]｝が等比数列となるような条件は{z[n＋1]｝が等比数列となる条件に等しい。】でした。
No.18138 - 2012/07/25(Wed) 21:34:18
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / ITVISION
> これってｙ１とかｙ２って関係あるのですか？
> ?@と?Aのxnとynの係数比較をして
> b=a+2かつab=2a+1

すべてのnについてxn=0とか,yn=0とかだと係数比較の意味がなくなるので、そうではないことを念のため示したのですが、どうでしょうか？　
No.18139 - 2012/07/25(Wed) 21:37:49
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / ITVISION
> 【｛z[n]｝が等比数列となるような条件は{z[n＋1]｝が等比数列となる条件に等しい。】でした。
｛z[n]｝はz[1]を含み、{z[n＋1]｝はz[1]を含まない　ことにるので、
【｛z[n]｝が等比数列となるような条件は{z[n＋1]｝が等比数列となる条件に等しい。】とは必ずしも言えないのでは？　
「{z[n＋1]｝が等比数列となる」は「｛z[n]｝が等比数列となる」ための「必要条件」であることは真ですが
No.18140 - 2012/07/25(Wed) 21:40:56
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / 辰夫
お二方回答ありがとうございます。
bayさんに補足なんですが
「a(n+1)=pa(n)+qb(n)・・（ア）
b(n+1)=ra(n)+sb(n)・・（イ）
の上記の場合で無いケースは
ｘ＝(px+q)/(rx+s)を解き、その解をα、βとすると

（ア）−（イ）×α
（ア）−（イ）×β
で?B、?Cのような等比数列の形に帰着できます」
こんなパターンがあるってはじめて知りました。。
具体的にどういう時に使えるのかよければでいいので教えて頂けないでしょうか？
No.18141 - 2012/07/25(Wed) 21:58:16
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / 黄桃
bayさん：
>これってｙ１とかｙ２って関係あるのですか？

{x[n]}と{y[n]}が1次独立といわないとそれぞれの係数が等しい、だけではただの十分条件です。
2次正方行列Aが A^2-5A+6E=O をみたすからといって、いきなりケーリーハミルトンから det(A)=6, tr(A)=5 とは出せないのと同じです。
この問題の場合は1次独立だからたまたま係数比較の条件が必要十分だっただけです。
実際、y[1]=1 だったりすると、x[n]=y[n]=3^(n-1)になるので、aはなんでもいい、ということになってしまいます。

全部をみないとなんとも言えませんが、元の「答」とやらも同じような間違いをしている可能性があります。

辰夫さん：
「こんなパターン」は文系ならあまり気にしなくていいです。文系の問題なら必ず誘導がありますから知らなくても大丈夫です。
どうしても不安であれば、これはいわゆる「固有値」と呼ばれるものの応用です、とだけいっておきます。
a[n+1]=p*a[n]+q という漸化式で1次方程式 x=px+q が出てきますが、これを発展させたものです。


なお、この問題は n=1,2,3を代入して必要条件を求め、それが十分であることを確認する方針でも解けます。
質問文でa≠-2を導く時に同様のことをやっていますが、この方が文系的には自然で簡単ではないでしょうか。

[略解]
x[2]=2, y[2]=1, x[3]=5, y[3]=4　はすぐわかる。
z[n]=x[n]+ay[n] とおくと、
z[1]=1, z[2]=2+a, z[3]=5+4a となるので、{z[n]}が等比数列になるためには、1*(5+4a)=(2+a)^2 が必要。
これを解いて a=±1 が必要。
a=1 の時、z[n+1]=x[n+1]+y[n+1]=3z[n]
a=-1 の時 z[n+1]=z[n]
となるので、いずれの場合も{z[n]}は等比数列。よってa=±1は十分でもある。
No.18155 - 2012/07/27(Fri) 07:30:01
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / bay
ありがとうございます。

数列の係数比較って駄目なのですか？
3項間漸化式を等比数列の形に持っていく時に
両辺の係数比較しますよね？
a(n+2)+αb(n+２)=β（a(n＋１)+αb(n＋１))を満たすα、βを求めよ。とかいった誘導形式の問題で。

数列の一次独立ってなんなのでしょうか？ベクトルの一時独立しか聞いたことが無いのですが。
No.18156 - 2012/07/27(Fri) 10:12:31
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / 辰夫
みなさんありがとうございました！
No.18157 - 2012/07/27(Fri) 13:23:23
☆ Re: 文系数学　意味が分かりません / 黄桃
本筋とは関係ないで、どうしようか悩みましたが、今回だけ。

>数列の一次独立ってなんなのでしょうか？ベクトルの一時独立しか聞いたことが無いのですが。
線型の関係があるものにはすべて1次独立という概念があります。この場合は数列を「無限次元ベクトル」と思ったのと同じで、すべてのnについて p*a[n]+q*b[n]=0 ならば p=q=0 ということです。ベクトルと同じで、a[n],b[n]が線型従属つまり「すべてのnついて、共通な定数kがあってa[n]=kb[n]」 or「すべてのnについて b[n]=0」 であれば、a[n],b[n]の係数比較は十分条件にしかなりません。

>数列の係数比較って駄目なのですか？
ダメの意味がわかりませんが、1次独立なら必要十分条件、そうでないなら十分条件（であって必要条件ではない）がでてきます。

>a(n+2)+αb(n+２)=β（a(n＋１)+αb(n＋１))を満たすα、βを求めよ。とかいった誘導形式の問題で。
もし、b(n)=k*a(n)といった関係があれば、単純にa(n),b(n)の係数を比較するだけでは十分条件にしかなりません。
この漸化式をみたすありとあらゆる数列（初項を決めれば数列はきまります）を考える、のであれば、おそらくいいでしょうが、その「おそらく」を証明するには、結局n=1,2 あたりで確認することになるでしょう。
No.18175 - 2012/07/28(Sat) 09:43:34
★ 文系数学 線形計画法 / 辰夫
3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6のとき、x、y、x＋y、(x＋y)/(2x＋y)の範囲を求めよ。
という問題で、ぱっと思い浮かんだのが数2で習う線形計画法だったので
とりあえず3≦2x＋y≦4と5≦3x＋2y≦6をy=〇x＋△の形になるように変形して領域を図示したのですが、ここで疑問点が。
疑問?@
「3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6のとき」というのは「3≦2x＋y≦4 【かつ】 5≦3x＋2y≦6のとき」ということなのでしょうか？
【または】なのか【かつ】なのかこういう問題になるといつも悩みます。

また、
疑問点?A
xとyとx＋yのときは線形計画法で求めれたのですが
(x＋y)/(2x＋y)はどうしてもうまくいきません。
以下自分の計算です。
「(x＋y)/(2x＋y)=k(kは実数)・・・?@とする。
?@の両辺に2x＋yをかけて整理すると
(1-2k)y＝(2k-1)x
(i)1-2k>0(k<1/2)のとき
y=(2k-1)(1-2k)・x＝-x
・・・・」
ここで詰んでしまいました。
y=-xと最初に作った領域は絶対に交わらないですよね＾＾；
どうやって解けばいいんでしょうか。。。ちなみに答は1/4≦(x＋y)/(2x＋y)≦1です。
数学は洒落にならないほど苦手なので
誰か分かる方線形計画法での解き方を教えてください。お願いします。
No.18127 - 2012/07/25(Wed) 16:42:38
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / 辰夫
補足です。
3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6のとき、x、y、x＋y、(x＋y)/(2x＋y)の取りうる範囲を求めよ。
解答では
「2x＋y=p・・・?@　3x＋2y=q・・・?Aとおいて
3≦p≦4　5≦q≦6・・・(A)
?@?Aよりx=2p-q
(A)とから答は0≦x≦3」
としていたのですが
このようにする理由がいまいちピンときません。
3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6の満たす図形をxy平面上に書いてやると
0≦x≦3　,-2≦y≦3というのはあっさり分かりますが
x＋yのとりうる範囲を求める際
0≦x≦3と-2≦y≦3の両辺を足して
-2≦x＋y≦6としてしまうと
たとえばx＋y=-2のときのxとyの組み合わせで(x,y)=(0,-2)がありますが
これは先ほど書いた条件式を満たす図形の領域内にある点ではないので-2≦x＋y≦6はこの瞬間破綻してしまいました。
なので普通にやるとまず間違えるのですが
解答のやり方がよくわからないんです。(線形計画法なら(3)まで解けました)
そもそも2x＋y=p　3x＋2y=qとすることで何が分かるんでしょうか？
以下は自分なりに考えてみたのですが、
2x＋y=pについて
pのとりうる値は3~4。
3~4と限定されたpの値に応じてそれに対応するxとyの値も限られてくる(?)
?@と?Aからxの式をつくりだすと
x=2p-q

pとqにはそれぞれ3~4と5~6という制限があるので
このそれぞれのpとqの値に応じて得られるxの値も制限されたものになると考え
(A)とから0≦x≦3としているのでしょうか？
もしそうなら納得できるのですが↑はあくまで感覚かつ憶測からきた考えなのでよくわかりません。
どなたか分かる方教えて頂けないでしょうか？
おねがいします。
No.18129 - 2012/07/25(Wed) 17:10:49
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / 辰夫
少し気になったのですが
解答の方法でいくと
x＋yの範囲を考える時点で
xとyはそれぞれ0≦x≦3と-2≦y≦3と範囲が決まってますよね？
ということはこの時点でxとyは変数じゃなくて定数なんでしょうか？定数なら
0≦x≦3と-2≦y≦3を足しあわして
-2≦x＋y≦6と計算だけみるとして良い気がするのですが・・・
いずれにしても知識からなにまで曖昧です。
どなたか分かる方よろしくおねがいします。
(質問多すぎてごめんなさい)
No.18132 - 2012/07/25(Wed) 18:34:03
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / ヨッシー
まず、時間的に新しい方から．．．
0≦x≦3と-2≦y≦3 から -2≦x＋y≦6 としてはいけない理由。
ｘとｙが、それぞれ無関係に、上記の範囲を動くなら、
-2≦x＋y≦6 で良いですし、また、ｘとｙとの間に、
何らかの関係がある場合でも、
ｘ＝０ のときに ｙ＝−２ であり、ｘ＝３ のときに ｙ＝３
となることが出来るのであれば、
　-2≦x＋y≦6
と書くことは出来ます。ところが、この問題では、
3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6 であるので、ｘ＝０ のときは
ｙ＝３ しかとれませんし、ｘ＝３ となるのは、ｙ＝−２ のとき
だけです。
よって、　-2≦x＋y≦6　とは書けません。

ｘとｙ の間にどんな関係があるかを表現したものの一つが、
２ｘ＋ｙ＝ｐ　３ｘ＋２ｙ＝ｑ とおく方法です。
これを、ｘ、ｙについて解くと、
　ｘ＝２ｐ−ｑ　ｙ＝２ｑ−３ｐ
であり、ｐを大きくすると、ｘは増えますが、ｙは減るので、
ｐが大きいほど、ｘ＋ｙ が大きい(または小さい)訳ではありません。

　ｘ＋ｙ＝ｑ−ｐ
であり、　５≦ｑ≦６　−４≦−ｐ≦−３ なので、
　５−４＝１≦ｘ＋ｙ＝ｑ−ｐ≦３＝６−３
最小は　ｑ＝５ ｐ＝４ のときなので、これを解いて、
　ｘ＝３　ｙ＝−２
最大は　ｑ＝６　ｐ＝３ のときなので、これを解いて
　ｘ＝０　ｙ＝３
において、それぞれ実現します。　
No.18142 - 2012/07/25(Wed) 23:10:16
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / ヨッシー
次に、グラフを使って、解けないかということですが、
上の記事の
>両辺に2x＋yをかけて整理すると
の下の行から、計算が違っています。

(x＋y)/(2x＋y)＝ｋ　とおくと、
ｘ＋ｙ＝ｋ(２ｘ＋ｙ)
(１−２ｋ)ｘ＝（ｋ−１）ｙ
ｋ＝１ のとき
　ｘ＋ｙ＝２ｘ＋ｙ　より　ｘ＝０　このとき　
3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6　より　ｙ＝３
ｋ≠１　のとき　ｘ＝ｙ＝０ はあり得ないので、ｘ≠０
よって、
　ｙ／ｘ＝(１−２ｋ)／（ｋ−１）
原点から、3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6 が表す平行四辺形に
直線を引いたとき、傾きの最小値は　ｘ＝３　ｙ＝−２　のときの　−２／３
最大値は＋∞に発散します。よって、
　(１−２ｋ)／（ｋ−１）≧−２／３
ｋ＞１ のとき
　３(１−２ｋ)≧−２(ｋ−１)
　ｋ≦１／４
　これは　ｋ＞１ に属さない
ｋ＜１ のとき
　３(１−２ｋ)≦−２(ｋ−１)
　ｋ≧１／４
　よって、１／４≦ｋ＜１
これと最初のｋ＝１ を合わせて　１／４≦ｋ≦１
No.18143 - 2012/07/25(Wed) 23:22:22
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / ヨッシー
あとさきになりましたが、ｐ、ｑを使って、
　(ｘ＋ｙ)／(２ｘ＋ｙ)
の最大最小を求める方法です。
　(ｘ＋ｙ)／(２ｘ＋ｙ)＝(ｑ−ｐ)/ｐ＝ｑ／ｐー１
よって、ｑ／ｐ が最大(最小)の時、(ｘ＋ｙ)／(２ｘ＋ｙ)も最大(最小)となります。
ｐ、ｑ はともに正なので、
　ｐが最小、ｑが最大の時　ｑ／ｐ　は最大
　ｐが最大、ｑが最小の時　ｑ／ｐ　は最小
(以下略)
No.18144 - 2012/07/25(Wed) 23:25:36
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / 辰夫
xとyはそもそも実数で
たとえば2x＋y=kとすると
これはy=-2x＋k
これをxy平面上に図示すると切片k、傾き-2の直線ですよね。
kは定数でいいとして、xとyに関しては直線上の(x,y)の組み合わせだけあるので無限に存在しますよね。
なので、xとyは変数だと思うのですが
そのなかでも、xとyの取りうる値が0≦x≦3 ,-2≦y≦3とわかったのでこの時点でxとyは定数のように見えてしまいまうのですがどうなんでしょうか？
また、
?@ｋ≠１　のとき　ｘ＝ｙ＝０ はあり得ないので、ｘ≠０
?A最大値は＋∞に発散します。よって、(以下)

?@と?Aがいまいちピンときません。
また、特に?Aは＋∞と発散という表現は数学IAIIBまでしかやっていないのでよくわからないです。
数学?VCの知識がないとこの問題は解けないんでしょうか？
また、そのため(以下)の部分もイメージが難しいです；
あと少しで何かが掴めそうです・・・
もう少しお付き合いお願いします。
No.18145 - 2012/07/26(Thu) 00:11:37
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / ヨッシー
ここで言う定数と変数の違いは何ですか？

>?@ｋ≠１　のとき　ｘ＝ｙ＝０ はあり得ないので、ｘ≠０
　(１−２ｋ)ｘ＝（ｋ−１）ｙ
を、
　ｙ／ｘ＝(１−２ｋ)／（ｋ−１）
の形にしたいわけですが、ｋ−１≠０ は既に言ってありますが、
ｘ≠０ を言わないうちは、ｘで割るわけにいきません。
そこで、ｘ＝０ とすると、
　(１−２ｋ)ｘ＝（ｋ−１）ｙ　かつ　ｋ≠１　より
ｙ＝０ になりますが、これは、3≦2x＋y≦4、5≦3x＋2y≦6 を
満たさないのでダメです。
ここまでを「ｘ＝ｙ＝０ はあり得ないので」で片付けています。

>?A最大値は＋∞に発散します
は、(１−２ｋ)／（ｋ−１）は、いくらでも大きくなります。
だから、範囲が決まるのは、最小値側だけです。
という程度に受け取ってください。
No.18152 - 2012/07/26(Thu) 20:04:04
☆ Re: 文系数学 線形計画法 / 辰夫
理解できました！
長い事お付き合いいただき本当にありがとうございました！
No.18158 - 2012/07/27(Fri) 13:30:30
★ 濃度についておしえてください / ももこ
（a）Z の濃度は
（b）｛50 以下の素数｝の濃度は
（c）｛偶数全体｝の濃度は
（d）｛100 以下の自然数で，2 または3 の倍数｝の
濃度は
（e）(0, 1] の濃度は
（f）Q の濃度は
（g）｛正の有理数全体｝の濃度は
No.18124 - 2012/07/25(Wed) 16:33:27
★ 集合 / ももこ
集合A に対して(A−B) ∪ (B −A) = φ となる
B＝？？？
Bは何になりますか？
φですか？
解説お願いします
No.18121 - 2012/07/25(Wed) 14:37:05
☆ Re: 集合 / ITVISION
A−B　⊆ (A−B) ∪ (B −A) = φ
よってA−B　= φ
よってA⊆B

同様に
B −A　⊆ (A−B) ∪ (B −A) = φ
よってB −A　= φ
よってB⊆A

したがって　B＝A

ちなみに　B=φ　のばあい
(A−B) ∪ (B −A)＝(A−φ) ∪ (φ −A)＝A ∪ φ＝A　となります。
No.18122 - 2012/07/25(Wed) 16:17:03
☆ Re: 集合 / ももこ
A-B=φまではわかりました
なでA⊆Bという等式がなりたつのですか？　　
No.18123 - 2012/07/25(Wed) 16:32:47
☆ Re: 集合 / ITVISION
x ∈　A-B　⇔　（x ∈　A）　かつ　（x ∉　B）
はいいですか？（集合の差　-　の定義です）

A-B=φ⇒「（x ∈　A）　かつ　（x ∉　B）となる元xが存在しない」

すなわち「（x ∈　A）　ならば　（x ∈　B）」
よってA⊆B
No.18130 - 2012/07/25(Wed) 17:52:57
★ (No Subject) / ！
1≦|x|+|y|≦2のグラフ
||x|-|y||=1のグラフの書き方を教えて下さい
No.18120 - 2012/07/25(Wed) 14:18:00
☆ Re: / ヨッシー
まず、1≦|x|+|y|≦2

点(x,y) が
第１象限(軸を含む。以下同じ)の点の場合（x≧0 かつ y≧0 ということです）
　1≦x+y≦2
第２象限の場合　1≦-x+y≦2
第３象限の場合　1≦-x-y≦2
第４象限の場合　1≦x-y≦2

以上より、下のようなグラフになります。

　
No.18125 - 2012/07/25(Wed) 16:40:31
☆ Re: / ヨッシー
次に、||x|-|y||=1

点(x,y) が
第１象限のとき　|x-y|＝1
　ｘ≧ｙ のとき ｘ−ｙ＝１　・・・(1)
　ｘ＜ｙのとき　ｙ−ｘ＝１　・・・(2)
第２象限のとき　|-x-y|＝１
　ｘ＋ｙ＞０　のとき　ｘ＋ｙ＝１　・・・(3)
　ｘ＋ｙ≦０　のとき　−ｘ−ｙ＝１　・・・(4)
第３象限のとき　|y-x|＝1
　ｙ≧ｘ　のとき　ｙ−ｘ＝１　・・・(5)
　ｙ＜ｘ　のとき　ｘ−ｙ＝１　・・・(6)
第４象限のとき　|x+y|＝1
　ｘ＋ｙ＜０　のとき　−ｘ−ｙ＝１　・・・(7)
　ｘ＋ｙ≧０　のとき　ｘ＋ｙ＝１　・・・(8)

以上より、下のようなグラフになります。

No.18128 - 2012/07/25(Wed) 16:57:14
★ 組み分け / bay
男女六人ずつで合計１２人のクラスがある。このクラスには男子のA君、B君と、女子のCさんがいる。このクラスをくじ引きで四人ずつの三つの班に分ける。
１）A君とB君が同じ班になる確率は？
２）B君とCさんが同じ班で、かつA君はそれとは別の班になる確率は？
３）A君が男子２人、女子２人の班に入る確率は？


自分が作った解答）
C（コンビネーション）の連続積では順列が発生するという知識を使う。

３つの班は全て区別し、選んだ順に１班、２班、３班と名付ける。
全事象は（12C4*8C4*4C4）/３!・・?@通り

１）A君とB君が同じ班になる場合の数は
第一班「AB＊＊」第二班「＊＊＊＊」第三班「＊＊＊＊」（＊は誰でもよいということ）
(10C2*8C4)/3!・・?Aより
求める確率は
?A/?@＝10C2/12C4＝△

2)BとCが同じ班でAが別の班となるケースは
第１班「BC＊＊」第二班「A＊＊＊」第三班「＊＊＊＊」
(9C2*7C3)/3!・・?B
求める確率は
?B/?@＝(9C2*7C3）/(12C4*8C4)=○

３）第一斑「A男女女」第二班「＊＊＊＊」第三班「＊＊＊＊」
よって求める場合の数は
5C1*6C2*8C4/3!・・?C
より?C/?@＝(5C1*6C2)/12C4=▼

となるのですが答えは全然違いました
一体ドコがだめなのか教えてください。

よろしくお願いします。
No.18118 - 2012/07/25(Wed) 12:05:54
☆ Re: 組み分け / angel
> 一体ドコがだめなのか教えてください。
…色々と。
まあ、計算間違いをしている所 ( 例えば?A/?@とか。といっても正しく計算すれば正しい答えになるというわけではない ) を除けば、

・/4! や /3! の意図が不明。( というより不用 )
・AやB,Cが第何班になるかが考慮不足
　( 選んだ順に班に名前をつけているので、A は第一班とは限らない )

の所に気をつければ、正しい答えが出せると思います。
No.18119 - 2012/07/25(Wed) 12:50:51
☆ Re: 組み分け / bay
４！は３！のうちミスです。
全ての人間は区別して考えるので１）の第二版と第三班の＊＊＊＊、と＊＊＊＊は違う人です。。正直わからないです..
No.18133 - 2012/07/25(Wed) 20:22:20
☆ Re: 組み分け / angel
4!と3!の件、了解しました。それであれば、ちょっとした修正で正しい答えになりますね。

まず
> ３つの班は全て区別し、選んだ順に１班、２班、３班と名付ける。
という方針である以上、全体の事象は 12C4×8C4 です。
※×4C4 はつけてもつけなくても良い
でもって÷3!は不用です。

これは丁度、「1班」と書いた椅子4脚に12人中4人を座らせ、次に「2班」と書いた椅子4脚に残り8人中4人を座らせ、残りを全て「3班」と書いた椅子4脚に座らせる、そういう状況と同じです。

さて、例えば(1)ですが、Aが1班〜3班のどこになるかは分かりません。ここで3通りの可能性があります。
なので(1)の事象は 10C2×8C4×3 となります。( 同じく÷3!は不用 )
これを全体で割れば 3/11 という答えが出ます。

(2)に関しては B,C の班が3通り、Aの班が2通りで×6です。
( ×3P2 でも良い )
No.18146 - 2012/07/26(Thu) 00:48:49
☆ Re: 組み分け / bay
実際には（問題文では）最終的に第〜班などという組の名前は付いていないので少し気持悪いです。それを打ち消すために３！で割りたいのですが、その解法で解く事は可能でしょうか？
No.18149 - 2012/07/26(Thu) 12:54:14
☆ Re: 組み分け / angel
> その解法で解く事は可能でしょうか？
もちろん可能ですし、色々な方法で解けるのは一般に良いことです。
しかし、「気持ち悪いから」という理由で今までの解法を敬遠するのは勿体ないと思います。こちらの方が分かり易いですから。
※第1班とかの名前がイヤなら、班α,β,γとかp,q,rとか文字で置いてしまえばよいのです。

ちょっと考えてみてほしいのですが、bayさんがこの班分けの抽選を用意するとしたらどうしますか…?
1を書いた紙、2を書いた紙、3を書いた紙を4枚ずつ用意して、同じ数字の紙を引いたもの同士が同じ班、1なら第1班、2なら第2班、3なら第3班と、そういう抽選にするのは非常にありがちではないですか?
だから、班に名前をつけて区別する、というのは素直に分かりやすいのです。

さて話を戻して。
÷3!をつける、つまり班を区別しない方式で解くとしたら、各事象はそれぞれ次のようになります。

　全体：12C4×8C4÷3!
　(1)：10C2×8C4÷2!
　(2)：9C2×7C3
　(3)：5C1×6C2×8C4÷2!

これを見て、÷2!になっていたり、はたまた÷○!がなかったり、その違いが分かるでしょうか。自分で解く時にしっかり考えられるでしょうか。難易度はやや上がっているのです。
これで要らぬミスをする位なら、班を区別してやった方が良いと思います。
No.18154 - 2012/07/26(Thu) 23:31:58
★ 場合の数 / 辰夫
6人を3人、2人、1人に分けるとき
6C3×3C2×1C1＝60(通り)としますが
この式はたとえば6人の人を?@?A?B?C?D?Eとすると
?@?A?B | ?C?D |　?E　・・・(a)
?@?A?B |　?C?E |　?D・・・(b)
みたいに60通り中(a)がその中の1通りで(b)もその中の1通りですよね。
ということは(a)(b)以外の選び方が後58通り存在するということなんでしょうか？
それからたとえば?@?A?B | ?C?D |　?E　・・・(a)という場合が60通りの中で重複するなんてことはないですよね？
6C3×3C2×1C1って式は１つ１つ別のものを選んでできた場合の数を1通りとしていますよね？
感覚では理解できているんですがよく考えたらよくわからなくなってしまいました・・・
どなたか教えてください。お願いします。
No.18116 - 2012/07/25(Wed) 10:04:31
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
>(a)(b)以外の選び方が後58通り存在するということなんでしょうか？
はい、あと５８通りあります。

>60通りの中で重複するなんてことはないですよね？
重複はしません。

6C3×3C2×1C1 は、
まず、６人から、３人のグループに入れる人を選ぶ選び方が 6Ｃ3 通り。
そのそれぞれについて、残りの３人から、２人のグループに入れる人を選ぶのが 3Ｃ2 通り。
さらにそのそれぞれについて、残り１人から、１人のグループに入れる人を選ぶのが 1Ｃ1 通り。
なので、それぞれ掛けて、6C3×3C2×1C1 となります。

このように、３人、２人、１人 と選んでいく方法の他に、次のような方法もあります。

６人を一列に並べて、１，２，３番目の人を３人のグループ、
４，５番目の人を２人のグループ、６番目の人を１人のグループ
に入れるようにするとします。
６人の並べ方は６！通りです。
このとき、３人のグループについて
?@?A?B｜?C?D｜?E
?@?B?A｜?C?D｜?E
?A?@?B｜?C?D｜?E
?A?B?@｜?C?D｜?E
?B?@?A｜?C?D｜?E
?B?A?@｜?C?D｜?E
の６（＝３！）通りが重複していますし、２人のグループも、
２（＝２！）通りずつ重複しています。
よって、６！÷３！÷２！＝６０ とする方法です。
No.18117 - 2012/07/25(Wed) 10:38:01
☆ Re: 場合の数 / 辰夫
ありがとうございました
No.18126 - 2012/07/25(Wed) 16:42:01
★ 教えてください / えな
この問題教えてください。
よろしくお願いします。
No.18107 - 2012/07/24(Tue) 19:24:49
☆ Re: 教えてください / ITVISION
方針だけ（他の方法もあるかも知れません　特に（３））
（１）ｆn’を微分して増減と極小値（最小値になります）を調べる。
（２）ｆn(-1)＜0、fn(-1/2）＞0を示す。これとｆn’＞0を使う（fn(-1/2）＞0は、　fn(0）＞0　でもいいですが（３）で使うので）
（３）ｆn(-1/2-1/n)＜0　を示す。これとfn(-1/2）＞0を使う。

まず、ｆnの微分、ｆn’の微分（ｆnの２階微分）はどうなりますか？
No.18108 - 2012/07/24(Tue) 21:59:29
☆ Re: 教えてください / えな
回答ありがとうございます。
fn'(x)=(nx+n+1)e^(nx)+2
fn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)
となりました。

fn'(x)=0となるときがわかりません。
No.18110 - 2012/07/24(Tue) 23:31:45
☆ Re: 教えてください / ITVISION
つぎにfn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)＝0となるときを調べます。
nx+n+2＝0　より　ｘ＝-(n+2)/n　このときのfn'(x)が極小値であり最小値になります。fn'の増減表で確認してください。

fn'の最小値はいくらになりますか？

>fn'(x)=0となるときがわかりません
fn'(x)=0にはなりません。 問題にもあるようにすべての実数xについてfn'(x)＞0です。
No.18111 - 2012/07/24(Tue) 23:49:32
☆ Re: 教えてください / えな
fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)}+2
となりました。
合っているでしょうか…？
No.18112 - 2012/07/25(Wed) 00:31:43
☆ Re: 教えてください / ITVISION
いいと思います。
nが正の整数のとき
fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)}　+　2　＞　0　は分かりますよね。
No.18113 - 2012/07/25(Wed) 00:41:28
☆ Re: 教えてください / えな
はい、大丈夫です。
No.18114 - 2012/07/25(Wed) 00:44:44
☆ Re: 教えてください / ITVISION
増減表などを使ってきちんと書いてけば（１）は終わりです
（２）は簡単だと思います。
※できるところまでやって不明な点があればお知らせください。
（３）の目星のつけ方
ｆn(-1)＜0、fn(-1/2）＞0　より
ｆn(ｘ)＝0　の実数解ｘnは　-1＜ｘ＜-1/2　にあります。

この区間では、
ｆn(x)＝(x+1)e^nx+2x+1 のうち(x+1)e^nxは　nが大きくなるとどんどん絶対値が小さくなり、いくらでも0に近づきます。すなわちｆn(x)は2x+1にいくらでも近づきます。

2x+1＝0　の解は　x=-1/2なので、ｆn(x)＝0の実数解ｘnも-1/2に近づきそうです。
注）一般的には　関数列　fn　→　ｆ　に一様収束するからといって　「（fn（x)＝0　の実数解）　→　（f（x)＝0　の実数解）」というわけではありません。　　
No.18115 - 2012/07/25(Wed) 00:52:49
☆ Re: 教えてください / えな
はさみうちを使うようなのですが
どうなるでしょうか…？
No.18151 - 2012/07/26(Thu) 19:16:14
☆ (3)続き / angel
ITIVISIONさんのコメントで、lim x[n] = -1/2 が予想できるところまでは良いでしょうか。
また、-1＜x[n]＜-1/2 が分かっているため、はさみうちとしては上側は問題ありません。なので、下側をどう見積もるか、というお話になります。

さて。fn(x) は形が複雑なので、fn(x)=0 の解の大きさを見積もるのはそのままでは難しいところです。なので、fn(x)よりも単純な形で、なおかつ x[n] よりやや小さい a[n] で値がゼロになるような関数 gn(x) を作ってあげれば良いのです。

添付の図のように、-1＜x＜-1/2 の区間で fn(x)＜gn(x) を満たすような一次関数gn(x) を定めてあげれば、gn(x)=0 の解 a[n] は、a[n]＜x[n] を満たします。
具体的には、gn(x) = (x+1)・e^(n・(-1/2))+2x+1 が良いでしょう。fn(x) の e の指数にあった x を -1/2 に替えただけですが。
後は、e^(n・(-1/2)) そのままだと分かりにくいかも知れないので、これを b[n] とでも置いて a[n] を計算してみましょう。
No.18176 - 2012/07/28(Sat) 11:40:52
★ グラフの書き方 / ！
1≦|x|≦2 1≦|y|≦2 グラフ
のグラフはどのようになりますか？
またどうやって解けばよいですか？
No.18106 - 2012/07/24(Tue) 18:56:36
☆ Re: グラフの書き方 / ヨッシー
(-2≦x≦-1 または 1≦x≦2) かつ (-2≦y≦-1 または 1≦y≦2)
なので、下図のようになります。

No.18109 - 2012/07/24(Tue) 22:58:16
★ 文系数学　解答が理解できません。 / 文茶
数学が不得意な文系です。
よろしくお願いします。
1080の正の約数の個数をnとし，約数を小さい順にa[1],a[2], ... ,a[n]とする。
log(10)2 = 0.3010, log(10)3 = 0.4771 とし，次の問に答えよ。

(1)1080の正の約数の個数nの値を求めよ。
(2)Σ(i=1〜n)log(10)a[i] の値を求めよ。

(1)は素因数分解すると
1080=2^3・3^3・5
より正の約数の個数は(3＋1)・(3＋1)・(1＋1)=32

(2)
＜答＞
Σ(i=1〜n)log(10)a[i] =log(10)a[1]＋log(10)a[2]＋・・・log(10)a[n]＝log(10)｛a[1]・a[2]・、・・・a[n]｝
2^1×3^y×5^zで表せる約数は4・2=8個であり
2^2×3^y×5^z、2^3×3^y×5^zのときも同様である。素因数３と５についても同様に考えると
Σ(i=1〜n)log(10)a[i]＝log(10)[ 2^｛(1＋2＋3)×8}　×　3^｛(1＋2＋3)×8｝　×5^(1×16) ] =48.5328
とあるのですが全く持って解答の意味が理解できません。
どなたか分かる方詳しく教えてください。お願いします。
No.18104 - 2012/07/24(Tue) 00:08:00
☆ Re: 文系数学　解答が理解できません。 / ヨッシー
(1)
約数の個数については、こちらを参照してください。

(2)
Σ(i=1〜n)log(10)a[i] =log(10)a[1]＋log(10)a[2]＋・・・log(10)a[n]＝log(10)｛a[1]・a[2]・、・・・a[n]｝
は、公式 logＡ＋logＢ＝log(ＡＢ) を適用したものです。
では、a[1]・a[2]・、・・・a[n] は、いくつかということになりますが、
たとえば、60＝2^2×3×5 の約数は、
1,2, 2^2
3, 2×3, 2^2×3
5, 2×5, 2^2×5
3×5, 2×3×5, 2^2×3×5
の12個ですが、このうち、
2が掛けられていないものが４個。
2が１つ掛けられているものが４個。
2が２つ掛けられているものが４個。
3が掛けられていないものが６個。
3が１つ掛けられているものが６個。
5が掛けられていないものが６個。
5が１つ掛けられているものが６個。
なので、12個の約数を全部掛けたら、
2が 1×4＋2×4＝12個
3と5がそれぞれ、1×6＝6個
掛けられているので、約数の積は 2^12×3^6×5^6 となります。

1080=2^3・3^3・5 についても同様に、32個の約数のうち
2が掛けられていないものが８個。
2が１つ掛けられているものが８個。
2が２つ掛けられているものが８個。
2が３つ掛けられているものが８個。
3が掛けられていないものが８個。
3が１つ掛けられているものが８個。
3が２つ掛けられているものが８個。
3が３つ掛けられているものが８個。
5が掛けられていないものが１６個。
5が１つ掛けられているものが１６個。
なので、約数の積は、2^48×3^48×5^16 となります。
これのlogを取ると、
　log(2^48×3^48×5^16)＝48log(2)＋48log(3)＋16log(5)
log(5)＝log(10÷2)＝log(10)−log(2)＝１−log(2)
に注意して計算すると、48.5328 となります。
No.18105 - 2012/07/24(Tue) 07:10:33
★ 基底証明 / もーたす
n次行列AがrankA=nを満たすならばAの列ベクトルの集合｛a1,a2,...,an｝はC^nの基底をなすことを示せ

一次独立とspanを証明すると思うんですが、spanの証明がよくわかりません
No.18103 - 2012/07/23(Mon) 22:02:49
★ 積分 / さい

∫sin^4xcos^6x dx

お願いします
No.18098 - 2012/07/22(Sun) 18:45:59
☆ Re: 積分 / X
被積分関数の次数を下げます。

{(sinx)^4}{(cosx)^6}={(sinxcosx)^4}{(cosx)^2}
={{(1/2)sin2x}^4}(1+cos2x)/2
={(1/32)(sin2x)^4}(1+cos2x)
={(1/32){(1-cos4x)/2}^2}(1+cos2x)
=(1/128){1-2cos4x+(cos4x)^2}(1+cos2x)
=(1/128){1-2cos4x+(1/2)(1+cos8x)}(1+cos2x)
=(1/256)(3-4cos4x+cos8x)(1+cos2x)
=… (展開して積和の公式を使うと…)
ですので…。
No.18100 - 2012/07/22(Sun) 19:25:51
★ メビウス関数について / がるべす
g(n)=Σd|nμ(d)f(n/d)⇒ f(n)=Σd|ng(d)
はどのように証明したらいいですか。

よろしくお願いします。
No.18097 - 2012/07/22(Sun) 11:44:34
★ (No Subject) / 犬好きおやじ
A,Bの2人が硬貨を投げるゲームを行う。表が出ればAが、裏が出ればBが1点を得るものとする。先に5点差をつけた人を勝ちとしてゲームは終了する。硬貨を10回投げる間にAが勝つ確率を求めよ。
という問題で、(AAAAA),(AAAABAA)などと場合分けしながら計算したのですが、解答と合いません。ご指導をお願い致します。ちなみに解答は7/64です。宜しくお願い致します。
No.18084 - 2012/07/21(Sat) 20:00:50
☆ Re: / 海岸
表が出るときをｓ、裏が出るときをｔと表記します
Bが0回のときｓｓｓｓｓ
Bが1回、Aが6回の時
ｔｓｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｓｓ
ｓｓｓｓｔｓｓ
の5通り
Bが２回、Aが7回の時
ｔｔｓｓｓｓｓｓｓ
ｔｓｔｓｓｓｓｓｓ
ｔｓｓｔｓｓｓｓｓ
ｔｓｓｓｔｓｓｓｓ
ｔｓｓｓｓｔｓｓｓ
ｔｓｓｓｓｓｔｓｓ

ｓｔｔｓｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｔｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｔｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｔｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｓｔｓｓ

ｓｓｔｔｓｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｔｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｔｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｓｔｓｓ

ｓｓｓｔｔｓｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｔｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｓｔｓｓ

ｓｓｓｓｔｔｓｓｓ
ｓｓｓｓｔｓｔｓｓ

の6+5+4+3+2=20通り
1/2^5+5/2^7+20/2^9=7/64
となります
No.18085 - 2012/07/21(Sat) 21:03:09
☆ Re: / ITVISION
表の回数をa、裏の回数をbとすると
５点差となるのは a-b＝5で、a+b＝5+2b（奇数）なので
５回目以降の奇数回目

５回目でＡが勝つ確率　(1/2)^5　＝　1/32

７回目でＡが勝つ場合は、
　最後の２回は表表（6回目が裏だとすると５回目までにＡが勝っているから）
　１から５回目までは表が４回、裏が１回で+３点
　□□□□□表表
　確率は　（5Ｃ1)(1/2)^7　＝　５／128

９回目でＡが勝つ場合は、
　最後の２回は表表
　１から７回目までは表が５回、裏が２回で+３点
　ただし、最初の連続５回が表の場合は除く
　□□□□□□□表表
　確率は　((7Ｃ2)-1)(1/2)^9　＝　20／512＝5/128

よって求める確率は　(1/32)+(5/128)+(5/128)　＝　7/64
No.18086 - 2012/07/21(Sat) 21:20:00
☆ Re: / 犬好きおやじ
海岸さん、ITVISIONさんご指導ありがとうございました。お2人ともとてもわかりやすい解説で、自分の場合分け、計算ミスがはっきりと分かりました。ありがとうございました。
No.18093 - 2012/07/22(Sun) 09:20:05
★ 重心 / 海岸
単位円周上のｎ等分点について、ｎ点の重心が原点０であることを証明せよ。

を教えてください。
三角形の重心は2本の中線の交点という定義でしたが、4角形以降の重心ってそもそもなんなんでしょうか？（指一本で支える事ができる位置というのは感覚的に知っていますが。。）

ほぼ丸投げになりましたがどうかよろしくお願いします
No.18083 - 2012/07/21(Sat) 19:37:26
☆ 物理的な重心 / angel
物理的には、重心というのは「位置ベクトルの質量による重み付け平均」です。重心の位置に、全ての質量が集まっているものとして扱えるのです。
※「指一本で支える事ができる」というのがそう。

例えば、質量1kgの限りなく大きさの小さい2つの物質(こういうのを質点という)が、質量の無視できる軽い棒の両端にくっついている場合、重心は棒の丁度中心になります。

質点の数が増えた場合、
　重心の位置ベクトル
　= { (質点1の質量)・(質点1の位置ベクトル)
　　　+ (質点2の質量)・(質点2の位置ベクトル)
　　　+ … } ÷ (全ての質点の質量の和)
という計算になります。
※なお「ベクトル」を習っていないのであれば、
　(重心のx座標)={ (質点1の質量)・(質点1のx座標) + … } ÷ (全ての質点の質量の和)
　のように読み替えてください ( y,z座標についても同様 )

では、対象がばらばらの点の集まりではなく，板(2次元)や球状のもの(3次元)だとどうするか?
それは、対象を非常に細かく、限りなく細かく分割して、それら分割したものに対して上記の計算を行います。
…その「限りなく細かく分割して」というのがいわゆる「積分」という計算です。
No.18088 - 2012/07/21(Sat) 23:23:01
☆ 数学的な重心 / angel
さて、では数学的な重心はどうなるかというと、物理的な重心と同じなのですが、「全ての部位が均質な質量(密度)」という前提になります。

例えば三角形の重心であれば、「密度の均質な(部分的に重い・軽いがないような)素材で作った三角形の板状の物質の『物理的な重心』」のことです。
※ちなみにこれは、偶然というべきか、「三角形の頂点に質量の等しい質点を配置した場合の、3質点の『物理的な重心』」とも一致します。

今回の問題は「複数の点の重心」ですから、それらの点を質量の等しい質点とみなして「物理的な重心」を考えれば良い訳です。
つまり、
　(n点の重心の位置ベクトル)
　= { 均一の質量m・(点1の位置ベクトル) + m・(点2の位置ベクトル) + … } ÷ (n点の質量の総和=nm)
　= { (点1の位置ベクトル)+(点2の位置ベクトル)+… }÷n
　= (各点の位置ベクトルの平均)

早い話が、各点のx座標の平均が重心のx座標、y,z座標についても同様、ということです。
No.18089 - 2012/07/21(Sat) 23:36:22
☆ 問題に戻って / angel
では前置きが長くなりましたが、この問題をどう解くか、ですね。
単位円(半径1の円)周上のn等分点というのは、α=2π/n と置いた時に、
　(cos0, sin0), (cosα,sinα), (cos2α,sin2α), …, (cos((n-1)α), sin((n-1)α))
と表現できますね。

重心の座標はこれらの点の座標の平均なわけですから、
　x座標 xG = (cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α))/n
　y座標 yG = (sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α))/n
と計算することができます。
でもって、これが原点の座標と一致することを示したいので、やることは「カッコの中が0であることを示すこと」

つまり、この規則正しい形をした三角関数の値の和

　cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α)
　sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α)

が共に0となることを、計算で確認してあげれば良いのです。
こういう計算、見たことありますよね?
( sin(α/2) なり cos(α/2) を全体にかけて、個々の項を積和の公式で変形してあげるアレです )

まあ、もしくは、複素平面を習っていればもっと楽に解けますけど…
No.18090 - 2012/07/21(Sat) 23:51:56
☆ Re: 重心 / 海岸
詳しい説明ありがとうございます。
色々やって見ましたが
cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α)
＝０
sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α)
=0
が導けません。教えてもらえないでしょうか。。
No.18101 - 2012/07/22(Sun) 20:52:55
☆ 等差数列をなす角の三角比の和 / angel
では cos の和の例で。

まず、
　sin(θ+φ)-sin(θ-φ)=2cosθsinφ
であることを確認してください。
そうすると、θがα×整数 ( 例えば 3α )、φ=α/2 とすると、
　sin(3α+α/2)-sin(3α-α/2)=2cos(3α)sin(α/2)
つまり、
　2sin(α/2)cos(3α)=sin(3.5α)-sin(2.5α)
　※後の話の分かりやすさのため、敢えて小数で書いています
これを cosα〜cos3α の和に利用すると、
　2sin(α/2)( cosα+cos(2α)+cos(3α) )
　= 2sin(α/2)cosα + 2sin(α/2)cos2α + 2sin(α/2)cos3α
　= ( sin(1.5α)-sin(0.5α) ) + ( sin(2.5α)-sin(1.5α) ) + ( sin(3.5α)-sin(2.5α) )
　= sin(3.5α)-sin(0.5α)
のように、途中が打ち消しあって両端だけ残ります。
今回の問題では、0〜(n-1)α でこれをやれば、残った両端も消えて 0 になるという寸法です。
なお、かけている sin(α/2) が 0 かどうかにだけは注意してください。今回の問題では n=2 の時ですね。

あと、sin の和の時には
　cos(θ+φ)-cos(θ-φ)=-2sinθsinφ
を使えば同じ話になります。
No.18102 - 2012/07/23(Mon) 00:09:09
★ はさみうちの原理 / のんです
数列の極限の問題での途中計算についての質問です。よろしくお願いいたします。

［問題］
(1)(2)もあるのですが、お尋ねしたいのは(4)ですので、直接的には影響のないものと考え省略します。
(3)0 < Xn+1 - √2 <(1/2)*(Xn - √2)であることを示せ。
(4)lim(n→∞)Xnを求めよ。

［答案］
(3)よりｎ≧２のとき
0<Xn+1 - √2 < (1/2)*(Xn - √2) < (1/2)^2*(Xn-1 - √2)
< ... < (1/2)^n-1 *(X1 - √2)・・・?@

lim(n→∞)(1/2)^n-1 *(X1 - √2)=0 であるから
はさみうちの原理より
lim(n→∞)(1/2)*(Xn - √2)=0・・・?A
よって
lim(n→∞)(Xn - √2)=0・・・?B
したがって
lim(n→∞)Xn=lim(n→∞){(Xn - √2)+√2}=0+√2=√2

模範解答では、上記?@を証明した時点で、各辺は正なあので、
辺々に２を掛けて（または隣り合う項の関係を考えて）
0<Xn - √2 < (1/2)*(Xn-1 - √2)< ...
< (1/2)^n-1 *(X1 - √2)・・・?@'とし、
上記?Aを飛ばして、?Bを導いています。

ここで質問なのですが、上記?@→?A→?Bのように答えても大丈夫でしょうか。
特に?A→?Bですが、文言による説明なしでいきなり?Aから?Bを示して構いませんか。よろしくお願いします。
No.18081 - 2012/07/21(Sat) 18:24:21
☆ Re: はさみうちの原理 / X
>>上記?@→?A→?Bのように答えても大丈夫でしょうか。
>>特に?A→?Bですが、文言による説明なしでいきなり?Aから?Bを示して構いませんか。
いずれも問題ありません。
No.18082 - 2012/07/21(Sat) 18:57:19
☆ Re: はさみうちの原理 / のんです
Xさんへ

さっそくの回答ありがとうございました。
質問文中に「なので」を「なあので」とする間違いがあり、
申し訳ありませんでした。
No.18095 - 2012/07/22(Sun) 11:39:19
★ 級数 / さい
次の級数の収束・発散を調べよ。

1+1/2+1/3^2+1/4^3+…

お願いします
No.18079 - 2012/07/21(Sat) 16:57:26
☆ Re: 級数 / X
S[n]=Σ[k=1〜n]1/k^(k-1)
と置くと
{S[n]}は単調増加列 (A)
又、n≧3のとき、面積比較により
S[n]＜1+1/2+∫[2→n]dx/x^2=2-1/n＜2
∴{S[n]}は上に有界 (B)
(A)(B)より{S[n]}は収束します。
No.18087 - 2012/07/21(Sat) 23:19:11
☆ Re: 級数 / ITVISION
1+1/2+1/3^2+1/4^3+… ＜　1+1/2+1/2^2+1/2^3+…
で評価しても良いかも。


No.18091 - 2012/07/22(Sun) 00:07:20
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