ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学 / よすがら

y=x^3の上に原点以外の点Pをとる。Pにおける接線がx軸と交わる点をQ、y軸と交わる点をＲ、ふたたびこの曲線と出合う点をＳとする。線分PQ,QR,RSの長さの比を求めよ。
<自分の解答>
点Pのx座標をtとすると、点Pにおける接線の方程式は
y=3t^2x-2t^3・・・?@
?@とx軸の交点は3t^2x-2t^3=0
t=0のとき点Pが原点Oと一致して不適。
t≠0のときx=2t/3となり点Q(2t/3,0)
また、?@とy軸の交点Rの座標はR(0,-2t^3)
また、点Ｓの座標について
曲線y=x^3と?@との交点は
x^3-3t^2x+2t^3=0・・・?A
?Aは(x-t)^2で割り切れるので実際に割り算するとx^3-3t^2x+2t^3=(x-t)^2(x+2t)=0
よりSのx座標はx=-2tとなり点Ｓの座標はＳ(-2t,-8t^3)
点Pからx軸に下した垂線の交点をH1,点Rから前述の垂線との交点をH2
点Pからy軸と平行になるように垂線を下ろし、同時に点Ｓからx軸と平行になるように垂線を下ろしたときの交点をH3とすると
△PQH1と△PRH2と△PSH3はそれぞれ２組の角が等しい相似な図形である。

ここから相似比を使ってPQ：QR:RSは求まるのでしょうか？
答は2点間の距離の公式をつかってます。
ちなみに答は1:2:6です。
相似比を使って求めることができるのでしょうか？
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18830 - 2012/10/08(Mon) 17:46:46

☆ Re: 数学 / X

それでも問題ありません。

No.18838 - 2012/10/08(Mon) 19:15:40

★ ベクトル / ａｉｒａ

ＯＡ＝３、ＯＢ＝２である平行四辺形ＯＡＣＢの辺ＯＡを1:2に内分する点をＤ，辺ＯＢを３：１に内分する点をＦとする。このとき
↑ＯＤ＝(ア)/(イ)↑ＯＡ、↑ＤＥ＝(ウエ)/(オ)↑ＯＡ＋(カ)/(キ)↑ＯＢ
である

次に、直線ＤＥ上の点をＰとし、↑ＯＰ＝ｓ↑ＯＡ＋ｔ↑ＯＢ(ｓ、ｔは実数)とすると、ｓ、ｔの間には関係式(ク)ｓ＋(ケ)/(コ)ｔ＝１が成り立つ。
さらに、Ｏ，Ｐ，Ｆが一直線上にあるとき、
↑ＯＰ＝(サ)/(シス)↑ＯＡ＋(セ)/(ソタ)↑ＯＢであり、なおかつ、線分ＯＰの長さが21/22であるとき、↑ＯＡ・↑ＯＢ＝(チ)/(ツ)である

(ク)から全く分かりません・・
一応参考書などは調べているのですが、探し方がわるいのか、似たような問題がありません。
解き方を教えて下さいお願いします！

No.18826 - 2012/10/07(Sun) 23:57:40

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

最初のＦはＥの誤りでしょうね。

直線ＤＥ上の点Ｐは
　ＯＰ＝ｕＯＤ＋ｖＯＥ，　ｕ＋ｖ＝１
と書けるので、
　ＯＤ＝(1/3)ＯＡ，ＯＥ＝(3/4)ＯＢ
を代入すると
　ＯＰ＝(u/3)ＯＡ＋(3v/4)ＯＢ，　ｕ＋ｖ＝１
と書けます。これと
　ＯＰ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ
を比較すると、ＯＡとＯＢは、一次独立なので、
　ｓ＝u/3、ｔ＝3v/4　→　u=3s, v=(4/3)t
となり、
　3s＋(4/3)t＝１
という条件式になります。

以下、点Ｆがどこかわかりませんので、解けませんが、
単に問題文を補足するだけでなく、(コ) までを理解したら、
その先も考えてみてください。

No.18827 - 2012/10/08(Mon) 07:35:07

☆ Re: ベクトル / ａｉｒａ

すみません！正しくは

ＯＡ＝３、ＯＢ＝２である平行四辺形ＯＡＣＢの辺ＯＡを1:2に内分する点をＤ，辺ＯＢを３：１に内分する点をＥ、辺ＡＣの中点をＦとする。

です。

>↑ＯＰ＝(サ)/(シス)↑ＯＡ＋(セ)/(ソタ)↑ＯＢ
について、私の解答は

Ｏ，Ｐ，Ｆが一直線上にあるとき
↑ＯＰ＝k↑ＯＦ　とあらわせるので、
↑ＯＰ＝k(1/2↑ＯＡ＋1/2↑ＯＣ)
＝k↑ＯＡ＋1/2k↑ＯＢ　　･･･?@
また、3ｓ＋(4/3)ｔ＝１よりｓ＝1/3－4/9ｔ
よって、
↑ＯＰ＝1/3ｕ↑ＯＡ＋3/4ｖ↑ＯＢ
＝(1/3－4/9ｔ)↑ＯＡ＋ｔ↑ＯＢ　　･･･?A

?@?Aよりｔ＝3/22、k＝3/11

?@に代入して↑ＯＰ＝3/11↑ＯＡ＋3/22↑ＯＢ

答えがあっているので大丈夫だとは思うのですが、
今回偶然あっているだけなんて事はないでしょうか･･･？

また、
>↑ＯＡ・↑ＯＢ＝(チ)/(ツ)である
について、

>線分ＯＰの長さが21/22である
とあるので、
l↑ＯＰl^2＝(21/22)^2
l3/11↑ＯＡ＋3/22↑ＯＢl^2＝(21/22)^2

としてといたのですが、答えが合いません。
間違っているのでしょうか？

二度もすみませんが、よろしくお願いします！

No.18829 - 2012/10/08(Mon) 17:41:59

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

前半は偶然でなく、それで良いですし、
後半も、l3/11↑ＯＡ＋3/22↑ＯＢl^2＝(21/22)^2 で良いです。
あとは、計算違いですかね。
　ＯＡ・ＯＢ＝9/4
になるはずです。

No.18833 - 2012/10/08(Mon) 18:04:48

☆ Re: ベクトル / ａｉｒａ

何とか最後までいけました！
馬鹿みたいな計算ミスをしていました･･･

教えてくださり有難うございました！

No.18839 - 2012/10/08(Mon) 20:04:54

★ 極限 / aira

f(x)＝{(e＾x　－　e＾(-x))/(e＾x　－　e＾(-x))}　について以下の問いに答えよ

(1)lim[x→+∞]f(x)、lim[x→－∞]f(x)を求め、f(x)の増減を調べ、y＝f(x)の概形を書け

(2)f(x)＝1/2　となるxの値α及び微分係数f´(α)を求めよ

私が計算すると、分母分子をe^xで割って、
lim[x→+∞]f(x)＝１
lim[x→-∞]f(x)＝１
となって、f(x)の増減を調べようとf(x)を調べると
f´(x)＝((e^x＋e^(-x))(e^x＋e^(-x)－(e^x－e^(－x))(e^x－e^(－x))/((e^x＋e^(-x))^2)
＝(e^2x　＋２＋　e^(－2x)　－　e^2x　＋２－　e^－2x)/((e^x＋e^(-x))^2)
＝４/((e^x＋e^(-x))^2)
となって、増減が調べられません。
見にくくてごめんなさい。
でも分からないので、教えて下さいお願いします。

No.18823 - 2012/10/07(Sun) 22:57:38

☆ Re: 極限 / X

lim[x→-∞]f(x)の計算を誤っています。
lim[x→-∞]f(x)=lim[x→∞]{(e^(-x)-e^x)/(e^(-x)x+e^x)}
(∵-xを改めてxと置いた)
=lim[x→∞]{(e^(-2x)-1)/(e^(-2x)x+1)}
=-1
となります。

No.18824 - 2012/10/07(Sun) 23:33:18

☆ Re: 極限 / ａｉｒａ

そうだったんですね！
ご指摘有難うございます

では、ｆ´(ｘ)の計算も間違っているのでしょうか？

No.18825 - 2012/10/07(Sun) 23:41:42

☆ Re: 極限 / X

いえ、f'(x)の計算に問題はありません。
その計算により
f'(x)＞0
つまりf(x)は単調増加であり
x→∞で直線y=1
x→-∞で直線y=-1
にそれぞれ漸近しています。
それとf(0)=0、つまりy=f(x)のグラフは原点を通ること
を押さえておけば、グラフを描くことはできると思います。

No.18828 - 2012/10/08(Mon) 15:04:45

☆ Re: 極限 / ａｉｒａ

なるほど！
グラフが書けました、有難うございます！
(2)も何とか解いてみようと思います。

教えてくださりありがとうございました！

No.18843 - 2012/10/08(Mon) 20:58:24

★ 四角形が存在する条件？文系です。 / よすがら

問題）
四角形ABCDにおいて、
AB＝BC＝1、CD＝2、DA＝x、角ABC＝θ
とする。このとき四角形ABCDに外接する円があるようにしながら、
辺DAの長さxをさまざまに変えたとき、cosθの取りうる値の範囲を求めよ。

解答）
四角形ABCDが存在するための条件から、
DC-CB-BA<AD<DC+CB+BA
∴2-1-1<x<2+1+1
∴0<x<4
（逆に、これを満たすどんなxに対しても、四角形ABCDの対角の和A＋C、B+Dをそれぞれ180度に等しく出来るので、この四角形に外接する円を取ることが出来る）
以下略

解答を読んでもさっぱり意味がわかりません。
なんで0<x<4という条件を満たせば外接する円を取れるんですか？
また、四角形ABCDが存在するための条件が、
DC-CB-BA<AD<DC+CB+BAなのも全く分かりません。これは何かの定理なんでしょうか？
ヒントの所には
「DA + AB + BC = CD のとき点D 、点A 、点B 、点C は一直線上になり、四角形とならない」とあるのですがこの意味もさっぱりです。
どなたか分かる方教えて下さい。
おねがいします。

No.18814 - 2012/10/07(Sun) 16:14:42

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / よすがら

少し考えてみたんですけど
「DA + AB + BC = CD のとき点D 、点A 、点B 、点C は一直線上になり、四角形とならない」ということは画像のようにはならないということんでしょうか？

No.18816 - 2012/10/07(Sun) 16:22:59

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / ヨッシー

３辺が　1cm, 1cm, 2cm の三角形が作れないのと同じ理由です。

No.18817 - 2012/10/07(Sun) 16:37:09

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / らすかる

よすがらさんの図で、
CからDまでの距離が3なので
CからB,Aを経由してDまで行ったら3より大きくなるはずですね。

No.18818 - 2012/10/07(Sun) 17:21:57

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / よすがら

回答ありがとうございます。
自分なりに考えてみたのですがとりあえずABCDが四角形になるように図を描きます。
ここから四角形ABCDが三角形にならないためには
AB+BC>CAかつCB+CD>BDかつDA+CD>CAかつAB+AD>BDが成り立てばいいと思うのですがこれが四角形ABCDが存在するための条件としてはだめなんでしょうか？
もう本当にわからなくて自分の頭の悪さに腹立ちます。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします＞＜

No.18819 - 2012/10/07(Sun) 20:44:26

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / ヨッシー

ＤＡ＝ｘの値として、０以下というのはあり得ないし、
４以上になると、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤを超えてしまうので、
「届かな～い」の状態になり、四角形は存在しない。
さらに、０＜ｘ＜４であれば、四角形を作ることが出来、
しかも、角度をうまく調整すると、円に内接する四角形にすることが出来る。
までが、模範解答で述べられています。

ですから、これ以上、辺の大小について吟味することは
必要ありません。

No.18820 - 2012/10/07(Sun) 21:03:27

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / よすがら

ありがとうございます。
かなり納得できたのですが一つだけひっかかります。
この四角形が存在する条件は
三角形の成立条件を二回使って
AD<AB+BD<AB+BC+CDー?@
DC<BD+BC<AB+AD+BCー?Aと表せるそうです。
ですがこの式の意味がいまいち理解しにくいです。
もうAB+BC+CD>xつまり4>xであれば少なくとも四角形をつくることができ、x>0とより0<x<4であれば四角形ABCDは存在する。という記述でもいいんでしょうか？
最後にこの点に関して教えて下さい。お願いします。

No.18821 - 2012/10/07(Sun) 21:34:27

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / ヨッシー

つまり、３辺の和が残りの１辺よりも大きければ、四角形が出来ると言うことですよね？

途中の式は
　ＡＤ＜ＡＢ＋ＢＤ
　ＢＤ＜ＢＣ＋ＣＤ
より
　ＡＤ＜ＡＢ＋ＢＤ＜ＡＢ＋(ＢＣ＋ＣＤ)　・・・?@

　ＤＣ＜ＤＢ＋ＢＣ
　ＢＤ＜ＢＡ＋ＡＤ
より
　ＤＣ＜ＢＤ＋ＢＣ＜(ＡＢ＋ＡＤ)＋ＢＣ　・・・?A
です。

>AB+BC+CD>xつまり4>x
はＯＫですが、ｘ＞０の方は、上にもあるように
>DC-CB-BA＜AD
という記述が必要です。
辺の長さだから、ｘ＞０というわけではありません。
(もし、ＣＤ＝３だとｘ＝0.5 のように、１より小さいｘ
では、四角形が出来ません)

No.18822 - 2012/10/07(Sun) 22:39:40

☆ Re: 四角形が存在する条件？文系です。 / よすがら

ありがとうございました

No.18831 - 2012/10/08(Mon) 17:47:04

★ 図形と方程式 / 高2

半円x^2+y^2=4(x≧0)上にある弧PQを弦PQに沿って折り返し,点(0,1)でy軸に接するようにした.直線PQの方程式を求めよ.

No.18811 - 2012/10/07(Sun) 12:35:43

☆ Re: 図形と方程式 / X

条件から弧PQを折り返してできる曲線は
点(0,1)でx＞0の側から接する半径2の円 (A)
の一部となります。(必要条件)
(A)の方程式は
(x-2)^2+(y-1)^2=4 (A)'
逆に(A)'と
x^2+y^2=4 (B)
の中心間の距離を計算すると
√(2^2+1^2)=√5＜2+2
つまり(A)'と(B)の半径の和よりも小さいですので
(A)'(B)の交点は２つあることとなり題意を
満たしていることが分かります(十分条件)。
後は(A)'(B)を連立して解いて点P,Qの座標を求め
直線PQの方程式を求めるわけですが
(A)'-(B)より
4x+2y=5 (C)
これは点P,Qが直線(C)の上にあることを示しています。
異なる２点を通る直線は１本しかありませんので
求める直線の方程式は
4x+2y=5
となります。

No.18812 - 2012/10/07(Sun) 12:56:58

★ 自分の解答があってるか教えて下さい / よすがら

x^2-mx+2m+1=0・・・?@が整数解xをもつような整数mの値を求めよ。
と言う問題で、整数解xをもつってことはすなわち「少なくとも1つ整数解をもつ」と言い換えられるので
?@の解をα(整数)、βとおきました。
また、文字設定をしたので一応大小関係もα≦βとしておきました。
?@にx=αを代入すると
α^2-mα+2m+1=0・・・?A
最低次数のmについて整理すると
m(2-α)=-α^2-1
ここで、2-α≠0と仮定して両辺を2-αで割ると
m=-(α^2+1)/-(α-2)=(α^2+1)/(α-2)=(α+2)+｛5/(α-2)}
mは整数なので右辺も整数とならないといけない。
αが整数よりα+2は整数
ここで、5/(α-2)が整数となるための条件は
分子が5という素数なので分母のα-2が取りうる値は
α-2=-1,1,-5,5
α=1,3,-3,7・・・(A)
?Aに(A)を代入していくと
α=1のときm=-2
α=3のときm=10
α=-3のときm=-2
α=7のときm=10
以上より求める整数mの値は-2,10となったのですが
このやり方であっていますか？
また、この問題は整数問題というジャンルに分類されるんでしょうか？
よく分かりません。誰か教えて下さい。お願いします。

No.18810 - 2012/10/07(Sun) 11:14:56

☆ Re: 自分の解答があってるか教えて下さい / X

>>このやり方であっていますか？
大筋では問題ありません。
只、
>>2-α≠0と仮定して
とありますが2-α=0とすると問題の方程式は
成立しませんので2-α≠0は仮定ではなく
常に成立する条件です。

>>この問題は整数問題というジャンルに分類されるんでしょうか？
整数問題に分類できると思います。

No.18813 - 2012/10/07(Sun) 13:28:46

☆ Re: 自分の解答があってるか教えて下さい / よすがら

ありがとうございました

No.18815 - 2012/10/07(Sun) 16:14:59

★ 図形と方程式 / 高2

xy平面上に2点A(1,2),B(2,1)があり,直線l:ax+by=1が線分AB(端点を含む)と共有点をもつように動く.
(1)点(a,b)の存在範囲を求め,ab平面上に図示せよ
(2)原点とlとの距離の最大値を求めよ

No.18807 - 2012/10/06(Sat) 23:14:26

☆ Re: 図形と方程式 / X

(1)
線分ABの方程式は
y=-(x-1)+2 (1≦x≦2)
つまり
y=-x+3 (A)
(1≦x≦2 (B))
(A)を
ax+by=1 (C)
に代入して
(a-b)x=-3b+1 (D)
(i)a-b=0のとき
(D)より
a=b=1/3
このとき(C)と(A)は一致するので題意を満たします。
(ii)a-b≠0のとき
(D)より
x=(-3b+1)/(a-b)
(B)に代入して
1≦(-3b+1)/(a-b)≦2
これより
(a-b)^2≦(-3b+1)(a-b)≦2(a-b)^2
∴
(a-b)^2≦(-3b+1)(a-b) (D)
(-3b+1)(a-b)≦2(a-b)^2 (E)
(D)より
(2b+a-1)(b-a)≧0 (D)'
(E)より
(b+2a-1)(b-a)≦0 (E)'

(i)(ii)を合わせて求める条件は
(2b+a-1)(b-a)≧0
かつ
(b+2a-1)(b-a)≦0
(図示はご自分でどうぞ)

(2)
問題の距離をLとすると点と直線との間の距離の公式により
L=1/√(a^2+b^2)
∴a^2+b^2=1/L^2 (P)
(1)の結果に(P)を図示(原点中心の半径1/Lの円です)し、
半径が最小となるような位置関係を考えると
(P)がab平面上の直線
2b+a-1=0 (Q)
2a+b-1=0 (R)
と接する場合で半径が小さくなるほうであることが
分かります。
ここで(Q),(R)と原点との距離は点と直線との間の
距離の公式によりいずれも
1/√(1^2+2^2)=1/√5
∴1/L≧1/√5
つまり
L≦√5
ですので求める最大値は√5です。
このときのa,bの値ですがL=√5のときの(P)と(Q)
又は(P)と(R)を連立させて求めます。
(これはご自分でどうぞ)

No.18809 - 2012/10/07(Sun) 09:42:51

★ 確率 / よすがら

数学合っているんでしょうか？

3つの箱A,B,Cがある。
Aの箱には、白球2個、青球1個の計3個の球が入っている。
Bの箱には、赤球2個、青球1個の計3個の球が入っている。
Cの箱には、赤球1個、白球2個、青球3個の計6個の球が入っている。
A,Bの箱からはそれぞれ1個ずつ、Cの箱からは2個、合計4個の球を取り出す。
(1)取り出された球の色が2種類である確率
(2)取り出された球の色の種類をXとする。Xの期待値を求めよ。

(1)53/135
(2)346/135になったのですが答がないのでわかりません。
誰か分かる方いたらこの問題の解き方を教えて下さい。お願いします。

No.18803 - 2012/10/06(Sat) 12:26:03

☆ Re: 確率 / ヨッシー

やり方は多分あっていると思いますが、答えが違います。
(分母の135 と約分できるような分子になります)
また、(1) が 53/135 だとすると、(2) は 346/135 になるので、
(2) の考え方もあっていると思います。

No.18805 - 2012/10/06(Sat) 15:23:41

☆ Re: 確率 / angel

これは計算でキレイに出す方法が見当たらないので、いかに正確に状況を整理できるかがカギになります。
なので、1色になる状況は～、2色になる状況は～と考えるよりも、全ての場合を列挙して漏れのないように心掛けるのが良いでしょう。
※そういう地味な作業も時には必要

1色～3色のケースの内、2ケースが分かれば残りも分かる理屈ではありますが、計算間違いがあってもチェックできません。3ケース全て調べれば、それらの確率の和が1になるかどうか検証することで、計算間違いに対応できます。

実際に解く時は、なるべく機械的にやること。
今回、A,B,Cでの色の出方がそれぞれ2通り，2通り，5通りですから，全体では2×2×5=20通りです。これを樹形図を描く要領で全て書き出して、確率と色数を調べます。
私がやると、↓のような感じになりました。

--
※()の中は確率です
A：白(2/3) or 青(1/3)
B：赤(2/3) or 青(1/3)
C：赤白(2/15) or 赤青(3/15) or 白白(1/15) or 白青(6/15) or 青青(3/15)

A,B,C：
白,赤,赤白( 8/135) 2色
　　　赤青(12/135) 3色
　　　白白( 4/135) 2色
　　　白青(24/135) 3色
　　　青青(12/135) 3色
　青,赤白( 4/135) 3色
　　　赤青( 6/135) 3色
　　　白白( 2/135) 2色
　　　白青(12/135) 2色
　　　青青( 6/135) 2色
青,赤,赤白( 4/135) 3色
　　　赤青( 6/135) 2色
　　　白白( 2/135) 3色
　　　白青(12/135) 3色
　　　青青( 6/135) 2色
　青,赤白( 2/135) 3色
　　　赤青( 3/135) 2色
　　　白白( 1/135) 2色
　　　白青( 6/135) 2色
　　　青青( 3/135) 1色

1色 … 3/135
2色 … 54/135
3色 … 78/135

No.18806 - 2012/10/06(Sat) 22:57:39

☆ Re: 確率 / らすかる

「1色になる状況は～、2色になる状況は～と考える」解法

白一色になる確率は0
赤一色になる確率は0
青一色になる確率は(1/3)(1/3)(3C2/6C2)=1/45
（よって球の色が1種類になる確率は 1/45）
白が含まれない確率は (1/3)(3/3)(4C2/6C2)=2/15 なので
赤＋青の二色になる確率は (2/15)-0-(1/45)=1/9
赤が含まれない確率は (3/3)(1/3)(5C2/6C2)=2/9 なので
白＋青の二色になる確率は (2/9)-0-(1/45)=1/5
青が含まれない確率は (2/3)(2/3)(3C2/6C2)=4/45 なので
白＋赤の二色になる確率は (4/45)-0-0=4/45
よって球の色が2種類となる確率は 1/9+1/5+4/45=2/5
球の色が3種類となる確率は 1-1/45-2/5=26/45

No.18808 - 2012/10/06(Sat) 23:31:44

★ 図形 / よすがら

一辺の長さが１の正三角形がある。
辺AB上の点Pから辺BCに下ろした垂線の足をQ、点Qから辺辺CAに下ろした垂線の足をR、点Rから辺CAに下ろした垂線の足をSとし、
AP＝t（０＜t＜１）とする。

（１）
AS＜APとなるtの値の範囲を求めよ。
また、このときの３つの線分PQ、QR、RSの長さの和をＬとしたとき、Lのとりうる値の範囲を求めよ。

（２）
０＜t＜１において、線分PRの長さが最小になる時のtの値とその最小値を求めよ。

(1)はひたすら直角三角形の１：２：√３の性質をつかっていくとAS=(3-t)/4√3がもとまったので
0<t<1の範囲で(3-t)/4√3<tを解くと3/(4√3+1)<t<1となったのですが答がないのでよくわかりません。
またLを求める問題と(2)はさっぱりわかりません。

(1)もほんとはもっと綺麗に解く方法があると思うのですが・・・
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18801 - 2012/10/05(Fri) 22:19:59

☆ Re: 図形 / ヨッシー

AT,TB,BQ,QC,CR,RA,AS と順々に調べていくときに
使う比率は　２：１　だけなので、√3 は出てきません。
ｔ＞1/3 となるはずです。

その途中で、ＢＱ＝(1-t)/2、ＣＲ＝(1+t)/4、ＡＳ＝(3-t)/8 が
出てきます。
　ＰＱ＝√3ＢＱ、ＱＲ＝√3ＣＲ、ＲＳ＝√3ＡＳ
より
　Ｌ＝√3(ＢＱ＋ＣＲ＋ＡＳ)＝√3(9-3t)/8
1/3＜ｔ＜1 より　3√3/4＜Ｌ＜√3

(2)
Ａ(0, √3/2)、Ｂ(-1/2, 0)、Ｃ(1/2, 0) とすると、
Ｐ(-t/2, √3(1-t)/2)、Ｒ(1/2－(1+t)/8, √3(1+t)/8)
と書けるので、
　ＰＲ^2＝{3(t+1)/8}^2＋{√3(3-5t)/8}^2
　　＝(3/64)(28t^2－24t＋12)
よって、ｔ＝12/28＝3/7 のとき最小。
そのとき
　ＰＲ＝3√7/14

No.18802 - 2012/10/05(Fri) 22:53:46

☆ Re: 図形 / よすがら

答にたどりつけました。
ありがとうございました。

No.18804 - 2012/10/06(Sat) 12:26:20

★ 二次関数 / るお

半径1の円C1に内接する直角三角形をなす2辺の長さそれぞれa,bとする。また、その直角三角形の内接円C2の半径をrとする。rの値の範囲を求めよ。

自分がやったところは
X=a+b,Y=abとおきXとYをそれぞれ
X=2r+2,Y=2r^2+4rと表しました
そして、tの二次方程式
f(t)＝t^2-Xt+Y=0
=(t-X/2)^2+Y-X^2/4と表しました

わからないところは、なぜこの条件が
1<X/2<2,f(X/2)≦0,f(0)>0,f(2)>0となるところと
答えが0<r≦-1+√2となるところです。数直線を書いてやってみてもよくわからないです

よろしくお願いします。

No.18799 - 2012/10/05(Fri) 17:37:11

☆ Re: 二次関数 / X

>>1<X/2<2,f(X/2)≦0,f(0)>0,f(2)>0となるところ
問題の直角三角形の外接円の直径は2ですので
0＜a＜2かつ0＜b＜2 (A)
でなければなりません。
(A)がtの二次方程式
f(t)=0 (B)
の解a,bに対する条件になります。
従って横軸にt、縦軸にyを取って
y=f(t) (C)
のグラフを考えると求める条件は(C)のグラフとt軸との
全ての交点が
0＜t＜2
の範囲に存在する条件となります。

>>答えが0<r≦-1+√2となるところ
1<X/2<2,f(X/2)≦0,f(0)>0,f(2)>0
を全てtの不等式で表し、それらを連立させて解きます。

No.18800 - 2012/10/05(Fri) 18:44:48

★ 数学の問題図形が分かりません / 慎

１辺の長さがaの正四面体ABCDがある。頂点Aから平面BCDへ下した垂線の足をGとする。
(1)線分AGの長さをaを用いて表せ。
(2)４つの頂点A,B,C,Dが半径1の球面上にあるときaの値を求めよ。

<自分の解答>
△ABG、△ACG、△ADGはそれぞれ斜辺と他の一辺が等しいので合同な三角形
したがってBG=DG=GCより点Ｇは△BCDの外心である。
ここで直角三角形ABGに着目すると∠ABG＝60° なので直角三角形の性質により
AG：√3=a:2
AG=√3a/2
となったのですが答は√6a/3でした。
正直、∠ABGが60°となるのは感覚なんで間違っていると思います。地面にABを / のようにつきさして(Bが地面側)
Bを中心にBDとかBCとか線を引いていけば /_ の_をプロペラみたいな回転させたとき_と/がつくる角度はなんとなく60°のままなんじゃないかな～？と思ったからです。(分かりにくかったらごめんなさい＾＾；)
答によるとなんでもGが重心であることを使うみたいです。
正三角形であるときはGは外心でもあり重心でもあり垂心でもあり内心でもあるんですよね？
なんで重心の性質に着目するんでしょうか？
なんだかよく分かりません。誰か教えて下さい。お願いします。

No.18795 - 2012/10/05(Fri) 14:31:50

☆ Re: 数学の問題図形が分かりません / ヨッシー

底面ＢＣＤにおいてＣＤの中点をＭとすると、
ＧはＢＭ上にあり、ＢＧ：ＧＭ＝２：１　です。
これが重心の性質を使う場面です。

ＢＭ＝(√3/2)ａであるので、ＢＧ＝ａ/√3
△ＡＢＧにおいて、∠Ｇは直角なので、
　ＡＧ^2＝ＡＢ^2－ＢＧ^2＝(2/3)ａ^2
のように、ＡＧを求めます。

No.18797 - 2012/10/05(Fri) 16:33:22

★ 数学教えて下さい / 慎

nを自然数とするときxについての多項式f(x)=n^2(n-8)x^n+(11n+20)xがx^2-1で割り切れるようにnの値を求める

<自分の解答>
商をQ(x)とするとf(x)はf(x)=(x+1)(x-1)Q(x)と表せる。
これより、f(1)=0,f(-1)=0が成り立つ。
f(1)=0よりn^3-8n^2+11n+20=0
左辺をg(n)とおくとg(n)=n^3-8n^2+11n+20
g(-1)=0よりg(n)=(n+1)(n^2-9n+20)=(n+1)(n-5)(n-4)
g(n)=0よりn=-1,4,5
ここでnは自然数だからn=4,5
また、f(-1)=0より
n^(n-8)・(-1)^n +(11n+20)・(-1)=0
(i)nが偶数(n=2,4,6・・・)のとき
n^3-8n^2-11n-20=0
n(n^2-8n-11)=20・・・?@
?@が成り立つためにはn^2-8n-11が0より大きくなければならない。
n^2-8n-11=0の判別式をＤとすると
Ｄ>0となるので、n^2-8n-11が0より大きくなるnの値の範囲を求めると解の公式より
n=4±3√3なので4-3√3>n ,n>4+3√3
4-3√3は負なのでn>4+3√3の範囲で考えると、
この範囲を満たす自然数nはn=10,11,12,・・・
?@にn≧10の自然数を代入すると(左辺)=20とならないので(i)は不適
(ii)nが奇数(n=1.3.5・・・)のとき
g(n)=n^3-8n^2+11n+20=0
g(-1)=0より
g(n)=(n+1)(n+4)(n+5)
g(n)=0より
n=-1.-4.-5
nは自然数なので不適。
したがって求めるnの値はn=4,5

となったのですがさっぱりわかりません。
文系で数学が苦手なので誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18789 - 2012/10/04(Thu) 22:19:18

☆ Re: 数学教えて下さい / angel

途中まで問題ないです。それは
> g(n)=0よりn=-1,4,5
> ここでnは自然数だからn=4,5
のところまで。
※g(n)を持ち出さなくとも、n^3-8n^2+11n+20=(n+1)(n-4)(n-5) と直接に因数分解すれば良いというのはあるけど…別に間違いではないし

さて、この時点で、nの候補が 1,2,3,4,… という自然数全てから、n=4,5 の2通りまで絞れた訳です。
なので、後は個別に調べればそれで十分です。
例えば
　n=4 の時 f(x)=-64x^4+64x=-64x(x-1)(x^2+x+1) は x^2-1 で割りきれず不適
　n=5 の時 f(x)=-75x^5+75x=-75x(x^2-1)(x^2+1) は x^2-1 で割り切れる
　よって n=5
とか。

もしくは、f(-1)=0 というのを謳っているいるので
　n=4 の時 f(-1)=…計算…≠0 のため不適
　n=5 の時 f(-1)=…計算…=0
　よって n=5
とか。

一旦絞りこんでしまえば、後は楽して良いのです。

No.18790 - 2012/10/04(Thu) 23:56:12

☆ Re: 数学教えて下さい / 慎

f(1)=0とf(-1)=0という条件があって、
f(1)=0からはn=4,5がでました。
次にf(-1)=0から同じようになんらかのnの値がでたとします。
すると答はf(1)=0から得たn=4,5とf(-1)=0から得たn=？を合わせたn=4,5,？　なんじゃないんでしょうか？
f(1)=0の結果からどうしてf(-1)=0のnの値を絞り込みできるのかがわかりません。
このへんについて詳しく教えて下さい。お願いします。

No.18792 - 2012/10/05(Fri) 08:15:42

☆ Re: 数学教えて下さい / ヨッシー

最終的に求められたｎを、代入したf(x) は、x^2-1で割り切れるので
f(1)=0 も f(-1)=0 も両方満たします。
f(1)=0 だけとか f(-1)=0 だけとかはダメです。

ですから、f(1)=0 から n=4,5 が出たら、この問題の答えは、
n=4 か n=5 か n=4, 5 か条件を満たすｎは無いかのいずれかになります。

No.18793 - 2012/10/05(Fri) 11:26:29

★ 三角関数 / るお

点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径2の円と半径1の円をそれぞれS1、S2とする。円S1上の点P、円S2上の点Qを
P(2cos2θ、2sin2θ),Q(cos(θ+(π/3)),sin(θ+(π/3)))とする。
ただし、0<θ<2πとする。

三点O,P,Qが同一直線上にあるのは

θ=π/エ、オπ/カのときである

以下、π/エ<θ<オπ/カとする。

このとき、角OPQ＝θ－(π/キ)である。

よろしくお願いします

No.18786 - 2012/10/04(Thu) 21:14:15

☆ Re: 三角関数 / X

前半)
三点O,P,Qが同一直線上にあるためには
(i)線分OPの中点がQ
(ii)線分PQを2:1に内分する点がO
のいずれかになります。
(i)のとき
点Qの座標について
(1/2)・2cos2θ=cos(θ+π/3) (A)
(1/2)・2sin2θ=sin(θ+π/3) (B)
(A)と(B)を連立して解いてθを求めます。
(ii)のとき
点Oの座標について
{2cos2θ+2cos(θ+π/3)}/3=0 (C)
{2sin2θ+2sin(θ+π/3)}/3=0 (D)
(C)と(D)を連立して解いてθを求めます。
(和積の公式を使いましょう。)

No.18787 - 2012/10/04(Thu) 22:06:02

☆ Re: 三角関数 / X

後半)
条件から
動径OPの極角は2θ (A)
動径OPの極角はθ-π/3 (B)
後は問題のθの範囲のときの(A)(B)の値の範囲と
(A)(B)の大小関係に注意して∠OPQを求めます。

No.18788 - 2012/10/04(Thu) 22:10:25

★ 文系 / 松尾

ある定数aに対してkが実数を動くとするとき放物線y=-x^2-(k+2)x+ak^2の頂点の軌跡が直線lになるとする。

(1)定数aの値と直線lの方程式を求めよ。
(2)k=2の時の放物線C1とk=-2のときの放物線C2の共通接線の方程式を求めよ。
頂点をP(X.Y)とすると
X=-(k+2)/2・・・?@
Y=｛(k+2)^2/4｝+(ak^2)・・・?A
?@?AよりY=X^2-2aX-2aとなったのですが、
頂点の軌跡は直線なんですよね？
放物線になってしまうのですがなぜなんでしょうか？
また、(1)(2)が分かりません。誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18784 - 2012/10/04(Thu) 19:06:35

☆ Re: 文系 / ヨッシー

?Aのak^2 にｋを代入するとき、２乗するのを忘れているようです。
正しく計算すると、Ｘ^2 の係数にａが入ってきて、ａの値を
適当に決めれば、０にすることが出来ます。
ａが決まれば、そのままｌの式も出てきます。

ｋがいろんな値をとっても頂点が直線上を動くと言うことは、
ｋがある値のときの放物線と、別の値のときの放物線とは、
この直線の方向に、平行移動した位置関係にあります。
ということは、共通接線の傾きも、(1) で求めた直線の
傾きと同じはずです。
実は、(1) の答えはｙ＝－ｘ－１　ですが、求める共通接線の式を
ｙ＝－ｘ＋ｂと置いて、放物式に接するようにｂを決めます。

No.18785 - 2012/10/04(Thu) 19:53:31

★ 高校文系数学 / 図形

四面体ABCDにおいて、
AB=√2 、AC=２、AD=√3
∠BAC=45°、∠CAD=30°
更に、
cos∠BAD=√3cos∠BCD
が成り立つとき、次の問いに答えよ。

(1)辺BDの長さを求めよ。
(2)四面体ABCDの表面積を求めよ。
(3)四面体ABCDの体積を求めよ。

で(1)(2)はわかったのですが、(3)がわかりません。
解答には「ACの中点をHとすると、Hは外心。
三角形DHBは直角三角形DH⊥HBかつAC⊥HB
BHは面ADCに垂直。
よって体積は(1/3)・△ACD・BH=√3/6」
とあるのですが、外心のくだりから意味がわかりません。
元々図形が苦手なので誰か分かり易く教えて頂けないでしょうか？
ちなみに
(1)√2
(2)(4+2√3+√7+√15)/4
です。

おねがいします。

No.18779 - 2012/10/03(Wed) 18:39:58

☆ Re: 高校文系数学 / X

(1)(2)の計算過程でBC,CDの長さを求めていると思いますが
これらの値から
△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形 (A)
△ACDは∠ADC=90°の直角三角形
となっていることが分かります。
従って円周角により
ACの中点Hは△ABC,△ACDの外心 (B)
であり外接円の半径、つまりCHの長さは
CH=(1/2)AC=1
さて(B)よりBH,DHも外接円の半径になりますので
BH=DH=1
このことと(1)の結果から△BDHは∠BHD=90°の
直角二等辺三角形になります。
∴BH⊥DH (C)
一方(A)より点Hは点Bから辺ACに下ろした垂線の足にも
なっていますので
BH⊥AC
∴BH⊥AH (D)
(C)(D)よりBHは点A,D,Hを含む平面、つまり点A,C,Dを
含む平面と垂直となります。
従って四面体ABCDにおいて△ACDを底面とすると
BHが高さと言うことになります。

No.18780 - 2012/10/03(Wed) 20:37:57

★ (No Subject) / 図形と方程式

長さlの線分が,その両端を放物線上にのせて動く.この線分の中点Mがx軸に最も近い場合のMの座標を求めよ.ただし,l≧1とする.

No.18777 - 2012/10/03(Wed) 14:25:48

☆ Re: / ヨッシー

放物線の式は与えられていませんか？
そうでないと、ｌ≧１の条件が有って無きがごとしですが。

No.18782 - 2012/10/04(Thu) 06:56:16

☆ Re: / 図形と方程式

放物線y=x^2上でした
入力ミスすいませんでした。

No.18783 - 2012/10/04(Thu) 18:37:21

☆ Re: / angel

取りあえず地道に計算すれば…

線分の両端のx座標をp,q ( つまり両端の座標は (p,p^2),(q,q^2) ) とすれば、線分の長さ L ( 大文字にしました ) から p,q の条件が導けます。

一方、Mの座標を (s,t) とおけば s,t は p,q を使って表すことができます。
だからといって、p,q を s,t で直接表すのは少し大変ですが、基本対象式 (p+q), pq を s,t で表すことはできます。
これを先ほどの p,qの条件にあてはめれば、s,t の条件が出せます。

最終的には、t を s ( と L ) で表して、t の最小値を求める…という感じで。

No.18791 - 2012/10/05(Fri) 00:46:05

★ 図形の証明 / るお

直角三角形ではない三角形ABCの垂心をHとし、頂点A,B,Cから対辺またはその延長への垂線の足をそれぞれK,L,Mとする。

点Kが線分BC(両端を除く)の上にあるならば、直線AKは角LKMを二等分することをを証明せよ。

よろしくお願いします

解答では、「四角形BKHM,四角形CLHKはそれぞれ円に内接する」とかいていたのですが、そこがよくわからないです

No.18773 - 2012/10/02(Tue) 20:49:01

☆ Re: 図形の証明 / X

問題文に不備はありませんか？。
>>直線AKは角LKMの内心
意味不明です。

No.18774 - 2012/10/02(Tue) 20:52:15

☆ Re: 図形の証明 / ヨッシー

問題文、訂正したら、そう書いてくださいね。

内接するのは、こういうことです。
△ＡＢＣが鈍角三角形のときは、四角形ＡＫＢＭと四角形ＡＫＣＬが
円に内接します。
理由は、各四角形の内角を調べれば明らかです。
さらに、図の●の角度はそれぞれ等しく、円周角で、
∠ＡＫＭ、∠ＡＫＬに移せば、
　∠ＡＫＭ＝∠ＡＫＬ
が言えます。

No.18775 - 2012/10/02(Tue) 21:12:54

☆ Re: 図形の証明 / るお

すいませんでした、今度から気をつけます

そして、ありがとうございました

No.18781 - 2012/10/03(Wed) 20:43:42

★ 確率の問題 / 点

A,B 2人がサイコロをそれぞれn回ずつ振り，そのk回目に出たA,B それぞれのサイコロの目をak,bkとする
このときa[1]b[1]+a[2]b[2]+・・・+a[n]b[n]が偶数になる確率をp[n]とする。
(1)p[n]=1/2・p[n-1]+(1/4)
(2)p[n]を求めよ。

(1)はp[n]を求めよっていう問題で答です。
(2)がよくわかりません。
とりあえず漸化式なので
p[[n]-(1/2)＝1/2｛p[n-1]-(1/2)｝
まではいけたのですが
このあとに
p[n]-(1/2)=(1/2)^(n-1)・{p[1]-(1/2)}
とありますがこれがわかりません。
p[n-1]-(1/2)=a[n-1]とおくと
a[n]=1/2・a[n-1]・・・?@という等比数列になりますよね。
いつもどおりやるとa[n]=a[1]・r^(n-1)っていうのが等比数列の一般項を表す式なんでずらしてやると
a[n-1]=a[1]・r^(n-2)となりますよね。(r=1/2)
これを?@に代入すると
a[n]=(1/2)^(n-1)・a[1]とありますがこれでいいんでしょうか？
なんかわかりにくいです。
誰か分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18771 - 2012/10/02(Tue) 07:49:00

☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー

>いつもどおりやると
の後の
　a[n]=a[1]・r^(n-1)
で、等比数列の一般項が完成していますので、それをまた
a[n-1] にずらして、?@に代入して、という必要はありません。
結局、 a[n]=(1/2)^(n-1)・a[1]　が得られていますが、これは、
　a[n]=a[1]・r^(n-1)
と同じ事ですよね？
このあとやることは、r に 1/2 を代入することはもちろんですが、
　a[n]＝p[n]-1/2
　a[1]＝p[1]-1/2
を代入することと、p[1] の具体的な数値を求めて、p[1] に
代入することです。

No.18772 - 2012/10/02(Tue) 09:07:47