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★ 数学 必要条件 十分条件 / 侑那
x/y>1はx>yであるための何条件か？
(i)y>0のとき
x>yより
(y>0かつx>y)ならばx>yの真偽を判定すれば良いと思うんですけど
文字だけ見ても分かりにくいので図をかいてみると
P・・・y>0かつx>y
Q・・・x>y
図を見れば明らかにP⊂Qとなっていて(y>0かつx>y)ならばx>yは真だと思ったのですが
(i)のとき(y>0かつx>y)であることはx>yであるための十分条件。
x>yであることは(y>0かつx>y)であるための必要条件。と思ったのですが
答を見ると偽らしいです・・・
どういうことなんでしょうか？
x/y>1はyの正負に応じて等号の向きが変わり
(i)y>0のときx>y
(ii)y<0のときx<yとなりますが
(i)と(ii)の条件は
x/y>1の分母を払う際に必要な場合分けの過程ででてきたものなので
(i)または(ii)
ということは
x/y>1の領域を図示する際も(i)または(ii)でないといけないということなんでしょうか？だとすれば、
最初に書いたように(i)のときのx/y>1(x>y)とかいうふうに(i)と(ii)を分けて考えるとダメなんでしょうか？
というかそもそもこんなめんどくさいことをするならx/y>1の分母を払わなきゃいい！と思うのですが
払わないとよくわかりませんよね。
なんだかなんのために分母を払ってるのかとかよくわからなくなってしまいます＾＾；
どなたか上記の質問に答えてください。
おねがいします。
※答は「いずれでもない」です
No.18277 - 2012/08/10(Fri) 01:37:16
☆ Re: 数学 必要条件 十分条件 / ヨッシー
(1)x/y＞1 だからといって x＞y と言えるか？
　x=-2, y=-1 のときに言えない
(2) x＞y だからといって x/y＞1 と言えるか？
　x=1, y=-1 のときに言えない
よって「いずれでもない」
と言うだけの話と思います。
No.18278 - 2012/08/10(Fri) 07:03:07
☆ Re: 数学 必要条件 十分条件 / 侑那
ヨッシーさんありがとうございます(*^^*)
x/y>1はx>yであるための何条件か？
これを考える際に、x/y>1の分母を払いたいのですがy>0の時、y<0の時、という風に場合分けして考えるのはよくないということを知りました。
ところが先生の解答を見ると
y>0のときのx>yという領域と
y<0のときのx<yという領域を合体させた領域を使って、
視覚的に解いているんですけど、これはアリなんでしょうか？
また、y>0とかy<0とかしてますけどこの条件は
「x/y>1は【x>y】であるための〜」
の【x>y】には反映されないんでしょうか？
習い始めたばかりの概念でなかなか疑問が解決しません。
教えてください。お願いします。
No.18281 - 2012/08/10(Fri) 11:46:03
☆ Re: 数学 必要条件 十分条件 / 侑那
x/y>1はx>yであるための何条件か？
(i)y>0のとき
x/y>1の分母を払うとx>y
y>0かつx>yの領域をP1とし、x>yの領域をQとすると
P1→Qは真 (図示してみるとP1はQの一部。ということはP1⊂Qが成り立つので)
Q→P1は偽
よって十分条件
(ii)y<0のとき
x/y>1の分母を払うとx<y
y<0かつx<yの領域をP2とすると、
P2→Qは偽
Q→P2は偽 (お互い領域に重なりがないので包括関係もない)
よって、いずれでもない

したがって(i)(ii)より
x/yはx>yであるための十分条件またはいずれでもない・・・？？？
となってしまったんですがもう意味がわかりません・・・(泣)
学校では
十分⇒必要とかいう暗記でしかこの単元を習わなかったので
色んな参考書の説明とか見てもかえって意味がわからなくなってしまいます。。
先生が図形的に解く解答じゃないと減点するそうなので
理解しようとしているんですが中々・・・
どうすればいいんでしょうか？
私の頭じゃ一生かかっても理解できないような気さえしてしまうのですがなんとしてでもテスト当日までに理解しておきたいんです。。
ここ最近この問題ばかり考えていて頭痛と吐き気も半端ないです。
色んな意味で助けてください。よろしくお願いします・・・＞＜
No.18286 - 2012/08/10(Fri) 13:54:18
☆ Re: 数学 必要条件 十分条件 / ヨッシー
図形的に解くとは、どういうことかわかりませんが、
グラフでも描いてみますか。

青が x/y＞1、緑が x＞y です。
青が緑に完全に含まれていれば、青は緑であるための十分条件
緑が青に完全に含まれていれば、青は緑であるための必要条件
です。
この図では、青も緑も包含関係にはなく、十分条件でも、必要条件でも
ありません。

グラフから分かるように、ｙ＞０ に限れば、青は緑であるための
十分条件です。
ただし、ｙ＜０ を無視していくらそんなことを言ってもダメで、
>十分条件またはいずれでもない
という言い方はありません。
そんなことを言い始めると、成り立つところだけ持ってきて、
「十分条件、でもそれ以外はどちらでもない」なんてことが、
まかり通ってしまいます。
No.18287 - 2012/08/10(Fri) 15:23:32
★ 高3 / PINE
直線ｌ:(x,y,z)=(5,0,0)+s(1,-1,0)上の点Ｐ0,直線ｍ:(x,y,z)=(0,0,2)+t(1,0,2)上にＱ0があり,→/Ｐ0Ｑ0はベクトル(1,-1,0)と(1,0,2)の両方に垂直である．次の問いに答えよ．
(１)Ｐ0,Ｑ0の座標を求めよ。
(２)|→/Ｐ0Ｑ0|を求めよ。
(３)直線ｌ上の点Ｐ,直線ｍ上の点Ｑについて,→/ＰＱを→/ＰＰ0,→/Ｐ0Ｑ0,→/Ｑ0Ｑで表せ．また,|→/ＰＱ|^2=|→/ＰＰ0+→/Ｑ0Ｑ|^2+16であることを示せ。
No.18276 - 2012/08/10(Fri) 00:01:21
☆ Re: 高3 / ヨッシー
(1)
点Ｐ0：(5+s, -s, 0)、点Ｑ0：(t, 0, 2+2t) と置きます。
Ｐ0Ｑ0＝(-s+t-5, s, 2t+2) が、(1, -1, 0)、(1, 0, 2) に垂直なので、内積をとって、
　(-s+t-5)-s＝0
　(-s+t-5)+2(2t+2)＝0
これを解いて、s=-8/3, t=-1/3
よって、Ｐ0：(7/3, 8/3, 0)、Ｑ0：(-1/3, 0, 4/3)

(2)
Ｐ0Ｑ0＝(-8/3, -8/3, 4/3)＝(4/3)(-2, -2, 1) より、
|Ｐ0Ｑ0|＝(4/3)√{(-2)^2+(-2)^2+1^2}＝４

(3)
　ＰＱ＝ＰＰ0＋Ｐ0Ｑ0＋Ｑ0Ｑ
両辺自分同士の内積をとって、
　|ＰＱ|^2＝(ＰＰ0＋Ｐ0Ｑ0＋Ｑ0Ｑ)・(ＰＰ0＋Ｐ0Ｑ0＋Ｑ0Ｑ)
　　＝(ＰＰ0＋Ｑ0Ｑ)・(ＰＰ0＋Ｑ0Ｑ)＋Ｐ0Ｑ0・Ｐ0Ｑ0＋２(ＰＰ0＋Ｑ0Ｑ)・Ｐ0Ｑ0
Ｐ0Ｑ0 は、直線ｌ、直線ｍと垂直なので、
　ＰＰ0・Ｐ0Ｑ0＝０、Ｑ0Ｑ・Ｐ0Ｑ0＝０
よって、
　|ＰＱ|^2＝|ＰＰ0＋Ｑ0Ｑ|^2＋|Ｐ0Ｑ0|^2
　　＝|ＰＰ0＋Ｑ0Ｑ|^2＋１６
No.18279 - 2012/08/10(Fri) 10:20:19
★ 高３ / PINE
半径1の円に内接する正2^n角形(n≧2)の面積をＳn，周の長さをＬnとする．次の問いに答えよ．
(１)Ｓn＝2^(n-1)sin(π/2^(n-1))，Ｌn＝2^(n+1)sin(π/2^n)を示せ．
(２)Ｓn/Ｓ(n+1)=cos(π/2^n)，Ｓn/Ｌn=(1/2)cos(π/2^n)を示せ．
(３)lim_n→∞_Ｓn，lim_n→∞_cos(π/2^2)cos(π/2^3)cos…(π/2^n)を求めよ．
(４)lim_n→∞_2^n(Ｓ2/Ｌ2)(Ｓ3/Ｌ3)…(Ｓn/Ｌn)を求めよ．
No.18275 - 2012/08/09(Thu) 23:41:27
☆ Re: 高３ / ヨッシー
(1)
中心と各頂点を結ぶ線分で、この正2^n角形を2^n個の２等辺三角形（２辺が１で、その間の角が２π/2^n＝π/2^(n-1)）に
分けると、１つの三角形の面積は
　(1/2)sin{π/2^(n-1)}
これが 2^n 個あるので、
　Ｓn＝2^(n-1)sin{π/2^(n-1)}
また、この２等辺三角形の円の中心を通らない辺の長さは、
　2×sin{π/2^(n-1)÷2}＝2sin(π/2^n)
これが 2^n 個あるので、
　Ｌn＝2^(n+1)sin(π/2^n)

(2)
　Ｓn／Ｓ(n+1)＝2^(n-1)sin{π/2^(n-1)}／{2^n・sin(π/2^n)}
　sin{π/2^(n-1)}＝sin{2×π/2^n}＝2sin(π/2^n)cos(π/2^n)
よって、
　Ｓn／Ｓ(n+1)＝cos(π/2^n)
また、
　Ｓn／Ｌn＝2^(n-1)sin{π/2^(n-1)}／{2^(n+1)sin(π/2^n)}
　　＝2^n・sin(π/2^n)cos(π/2^n)／{2^(n+1)sin(π/2^n)}
　　＝(1/2)cos(π/2^n)

(3)
　lim_n→∞_Ｓn＝lim_n→∞_2^(n-1)sin{π/2^(n-1)}
において、ｘ＝π/2^(n-1) と置くと、
　lim_n→∞_Ｓn＝lim_x→0_(π/x)(sinx)
公式 lim_x→0_(sinx)/x＝1 より
　lim_n→∞_Ｓn＝π

　lim_n→∞_cos(π/2^2)cos(π/2^3)…cos(π/2^n)
　　＝lim_n→∞_(Ｓ2/Ｓ3)(Ｓ3/Ｓ4)・・・(Ｓn/Ｓ(n+1))
　　＝lim_n→∞_(Ｓ2/Ｓ(n+1))
　　＝4/π

(4)
　lim_n→∞_2^n(Ｓ2/Ｌ2)(Ｓ3/Ｌ3)…(Ｓn/Ｌn)
　　＝lim_n→∞_2^n{(1/2)cos(π/2^2)}{(1/2)cos(π/2^3)}…{(1/2)cos(π/2^n)}
　　＝lim_n→∞_2^n/2^(n-1)cos(π/2^2)cos(π/2^3)…cos(π/2^n)
　　＝2・4／π
　　＝8/π
No.18280 - 2012/08/10(Fri) 11:03:24
★ 数学?U / oden
２つの円x^2+y^2=9…?@ (x-a)^2+(y-b)^2=4…?A
の２つの共有点を通る直線の方程式が
6x+2y-15=0…?B　となるような(a,b)を求めよ。
という問題で
(?T)直線?Bは、２円?@?Aの共有点を通る図形であると考えて
k(x^2+y^2-9)+(x-a)^2+(y-b)^2-4=0…?C とおく場合
(?U)円?Aは、円?@と直線?Bの共有点を通る図形であると考えて
x^2+y^2-9+k(6x+2y-15)=0…?D とおく場合
の２通りに考えると

(?T)?Cは直線を表すからk=-1であり代入すると
2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 となるから?Bと係数比較して
(a,b)=(3,1) となる。
(?U)?Dを変形して(x+3k)^2+(y+k)^2=10k^2+15k+9…?E
これが円?Aを表すから半径について
10k^2+15k+9=4 ∴k=-1,-1/2
k=-1のとき (a,b)=(3,1)
k=-1/2のとき (a,b)=(3/2,1/2) となる。

(?T)(?U)は同値だと思うのですが、上のように結果が異なりました。
(?U)が正しい答えだと思うのですが、このようになってしまった原因や誤りについて教えていただきたいです。
No.18272 - 2012/08/09(Thu) 22:41:03
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 と 6x+2y-15=0 を比較して、
即座に 2a=6, 2b=2 とするのは危険です。
2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 は、6x+2y-15=0 を何倍かした
12x+4y-30=0 や 18x+6y-45=0 などかも知れません。
実際に、3x+y-15/2=0 だったわけです。

比較をするなら、
　2a:2b:(a^2+b^2+5)＝6:2:15
としないといけません。
まず、a=3b が得られ、2b:(a^2+b^2+5)＝2:15 から得られる、
2(a^2+b^2+5)＝30b に代入すると、
　2(10b^2+5)＝30b
整理して
　2b^2-3b+1＝０
　(2b-1)(b-1)=0
より b=1/2 と b=1 が得られます。
No.18273 - 2012/08/09(Thu) 23:04:22
☆ Re: 数学?U / oden
ありがとうございます。
No.18274 - 2012/08/09(Thu) 23:38:03
★ 数学?T 三角比 / な

どんな教科書でも大抵三角比の単元のはじめに基本事項として直角三角形の図が載っていて、sin､cos､tanの求め方が書いてあると思います。
そこでは直角三角形は右側に直角､左側に求める角(?)が来るようにしてから計算するのが鉄則ですよね。

でも勉強が進んでくると直角がない三角形の面積を求めなければならない問題も出てきます。余弦定理や正弦定理を使うのに、どこをcosあるいはsinとおけばいいのか分かりません。

すごく説明がヘタで申し訳ないのですが､もし質問の意図を察していただけたら、回答よろしくお願いします。


No.18263 - 2012/08/08(Wed) 16:35:49
☆ Re: 数学?T 三角比 / ヨッシー
こういう一般的な質問をする前に、この問題の場合は
どう解きますか？のような質問の方が、なさんがどこで
つまずいているかがわかると思います。

また、直角三角形を使って三角比を説明するのは、角度が
0°より大きく、90°より小さい場合のみです。この段階と、
>三角形の面積を求めなければならない
との間には、２，３段階クリアしないといけない壁があります。
90°を超える角の三角関数、マイナスの角の三角関数などは
大丈夫でしょうか？
No.18265 - 2012/08/08(Wed) 23:30:04
★ 高３　2次曲線 / PINE
x軸を準線としy=xに(3,3)で接している放物線がある。焦点の座標は[ア]であり，放物線の方程式をy=ax^2＋bx＋cとすると，a=[イ]，b=[ウ]，c=[エ]である。

双曲線(x^2)/9−(y^2)/4=1をＨとし，Ｈのx>0の部分をＨ1，Ｈのx<0の部分をＨ2とする。また，ｌを点Ｐ(2,0)を通る傾きｍの直線とする。
(1)直線ｌがＨと共有点を2個もつようなｍの範囲を求めよ。
(2)直線ｌがＨ1とＨ2の両方と共有点をもつようなｍの範囲を求めよ。
(3)直線ｌとＨ1の共有点をＰ1とし，ｌとＨ2の共有点をＰ2とする。このとき，線分Ｐ1Ｐ2の中点Ｍは，ある２次曲線Ｃの上を動く。Ｃの方程式を求めよ。
(4)(3)で求めた2次曲線Ｃの焦点の座標を求めよ。

xy平面上の楕円4x^2+9y^2=36をＣとする。
(1)直線y=ax+bが楕円Ｃに接するための条件をaとbの式で表せ。
(2)楕円Ｃの外部の点ＰからＣに引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。
No.18260 - 2012/08/08(Wed) 11:46:56
☆ Re: 高３　2次曲線 / ヨッシー
頂点のｙ座標をｔとすると、焦点のｙ座標は２ｔとなります。
よって、求める放物線の式は、
　ｙ＝(1/4t)(ｘ−ａ)^2＋ｔ
と書けます。
　f(x)＝(1/4t)(ｘ−ａ)^2＋ｔ
とおくと、f(3)＝3, f'(3)＝1 より、t=3/2, a=0
以上より、放物線の式は、
　ｙ＝(1/6)x^2＋3/2
焦点の座標は　(0,3)
No.18267 - 2012/08/09(Thu) 05:53:17
☆ Re: 高３　2次曲線 / ヨッシー
直線Lの式は
　ｙ＝ｍ（ｘ−２）
これとx^2/9−y^2/4＝１ を連立させて、
　x^2/9−m^2(x-2)^2/4＝1
　4x^2−9m^2(x-2)^2＝36
　(4-9m^2)x^2＋36m^2x−36(m^2+1)＝０
ｍ＝±2/3 の時は、１次方程式となり、解は１個。
それ以外のとき、判別式を取って、
　324m^4＋36(4-9m^2)(m^2+1)＝36(-5m^2+4)＝０
これを解いて、ｍ＝±2/√5

直線LとＨ１の関係
　ｍ＜-2/√5　のとき　共有点なし
　ｍ＝-2/√5　のとき　共有点１個
　-2/√5＜ｍ＜-2/3 のとき　共有点２個
　-2/3≦ｍ≦2/3　のとき　共有点１個
　2/3＜ｍ＜2/√5　のとき　共有点２個
　ｍ＝2/√5　のとき　共有点１個
　ｍ＞2/√5　のとき　共有点なし
直線ＬとＨ２の関係
　ｍ≦-2/3　のとき　共有点なし
　-2/3＜ｍ＜2/3 のとき　共有点１個
　ｍ≧2/3　のとき　共有点なし

まとめると、図のようになります。


以上より、
(1) -2/√5＜ｍ＜-2/3、-2/3＜ｍ＜2/3、2/3＜ｍ＜2/√5
(2) -2/3＜ｍ＜2/3

(3) -2/3＜ｍ＜2/3 のときにおいて、
　(4-9m^2)x^2＋36m^2x−36(m^2+1)＝０
の解をα、βとすると、Ｍの座標は、（(α＋β)/2、ｍ(α＋β)/2−２ｍ）
解と係数の関係より
　α＋β＝-36m^2/(4-9m^2)
よって、Ｍの座標は　（-18m^2/(4-9m^2)、-18m^3/(4-9m^2)−2m）
　x＝-18m^2/(4-9m^2)
　y＝-18m^3/(4-9m^2)−2m
とおきます。
　-18m^2=(4-9m^2)x
　-18m^3−8m＋18m^3＝(4-9m^2)y
変形して
　(9x-18)m^2＝4x
　64m^2＝(4-9m^2)^2y^2
m^2＝4x/(9x-18) を、に代入して、
　256x/(9x-18)＝{4−36x/(9x-18)}^2y^2
　　＝{-72/(9x-18)}^2y^2
両辺(9x-18)^2 を掛けて、
　256x(9x-18)＝5184y^2
　4x(x-2)＝9y^2
　4(x-1)^2−4＝9y^2
　(x-1)^2−9y^2/4＝1
この双曲線のx≦0 の部分となります。
(4)
この双曲線は、　x^2−9y^2/4＝1　をｘ軸方向に１動かしたものなので、
x^2−9y^2/4＝1 の焦点 (-√13/3, 0) に対して、求める焦点は (-√13/3＋1, 0)
No.18269 - 2012/08/09(Thu) 11:29:21
☆ Re: 高３　2次曲線 / ヨッシー

(1) y=ax+b を 4x^2+9y^2=36 に代入して、
　4x^2+9(ax+b)^2＝36
　(4+9a^2)x^2＋18abx＋9b^2−36＝0
判別式をとって
　81a^2b^2−(4+9a^2)(9b^2−36)＝0
　144＋324a^2−36b^2＝0
　b^2−9a^2＝4　・・・答え

(2) 点Ｐ(s, t) を通る直線
　y=ax＋t−as
が、Ｃに接しているとき、(1) より、
　(t-as)^2−9a^2＝4
整理して
　(s^2-9)a^2−2sta＋t^2−4＝0
これのａについての２解の積が -1になるとき、点(s,t) から引いた２接線が直行します。
解と係数の関係より
　(t^2−4)/(s^2-9)＝-1
　t^2−4＝9−s^2
　s^2＋t^2＝13　・・・(i)
また、接線がｙ軸に平行になる(±3, ±2) も、(i) を満たす。
よって、(i) の表す円が求める軌跡となります。
No.18271 - 2012/08/09(Thu) 13:42:15
★ (No Subject) / b_78
まず, あまり数学としては本質的でない質問であろうことをお断りしておきます. すいません.

私は大学生で, 家庭教師として中学3年生に数学を教えています. この中学3年生は, 幾何で証明問題を解くとき, "仮定" "結論" "証明" の3ステップに分けて解答を書くというように習っているようです. （私は私立だったためかこのようには習わなかったのですが, このように教えることが多いみたいですね）
で, "結論"と"証明"はわかるのですが, "仮定"に何を書くべきなのか、教える立場の私が今一つ理解できていません.

今回"仮定"がよくわからなくて困っているのは次の問題です.

次の命題を証明せよ:
(1)「2円 O, O' が 2点 A, B で交わる時, BA の延長上の点 P から引いた2半直線が円 O と交わる点を C, D, 円 O' と交わる点を E, F とすると4点 C, D, E, F は同一円周上にある.」

(2)「2円 O, O' が点 Q で内接しているとき, Q から引いた2半直線が2円と交わる点をそれぞれ A, B と C, D とすると △QAC ∽ △ QBD である.」

で, 私が思う仮定は次なのですが, これは正しいのでしょうか:

(1) 「4点 A,B,D,C および4点 A,B,E,F は同一円周上にある. [1]
3点 P,C,D および 3点 P,E,F は一直線上にある. [2]」
(2) 「2円 O,O' が点 Q で内接している [1]」

例えば (1) について, 以下のような疑問があります.
まず [1] について. 「円 O 上に4点 A,B,D,C があり, 円 O' 上に4点 A,B,E,F がある」と書いた方が良いのだろうか…？ でも証明に O とか O' とかいう記号は出てこない (方べきの定理で PC×PD=PA×PB=PE×PF を言えばいいだけなので) のでやはり不要のような…(もしも仮定にいくら余計なことを書いても構わないなら問題文をそのまま写せばOKのはずですが, それだとどうもダメなようですし…) しかし, この問題の場合「証明にOとかO'の記号が出てこない」のは証明を書く前から分かることじゃないんだし, となると別に書いてもいい…？
とか考えてこんがらがってしまいます.
それと [2]. これは必要なのかどうなのか…今回は「方べきの定理を使うから明示しておいた方がいいかな」と思ったのですが, 普通の証明問題で例えば「三角形ABCの線分AB上に点P, 線分AC上に点Qがあり, ∠BCP=∠CBQ とする…」みたいな証明問題があったとして, 「AB上に点Pがある」のような条件は普通仮定に入れないと思うのです. (仮定に入れないのはおそらく「図から明らかであり, ふつう証明において明示的にこの条件を使うことはないから」だと認識しております.) そうすると. これも入れなくてよいような…方べきの定理を使うにしたって「同一直線上にある」というのはいちいち明示的に断らないこともあるし. いや, でも「同一円周上にある」は仮定に入れて「同一直線上にある」は仮定に入れないのは不公平では…？ むしろ逆に [1] もろとも無くしても…いやそれはダメか…

…などと考えれば考えるほど訳がわからなくなってきます.

前述した通り私は"仮定"を書くように習ったことがなく, 正直これの必然性がよくわからないのですが, 家庭教師をやっていて, テストでも"仮定"で間違えると減点される(ようです)以上, よくわからないからと見過ごす訳にもいきません.
まあ別に唯一絶対の正解がある訳ではないのかもしれませんが. その辺のことも含めてどなたかご存知の方がいらっしゃれば教えていただけないでしょうか….
No.18258 - 2012/08/08(Wed) 11:21:00
☆ Re: / b_78
あ, もともとの問題には図がついています. (2)の文面でははっきりしませんが, 円 O との交点が A や C で 円 O' (円 O より小さい) の交点が B や D です。
No.18259 - 2012/08/08(Wed) 11:24:34
☆ Re: / ヨッシー
結論はそれぞれ、
(1)4点 C, D, E, F は同一円周上にある
(2)△QAC ∽ △ QBD
であり、仮定は、これらの結論が言えるだけの材料が全部揃っていないといけません。

形式にこだわらないなら、仮定は、
(1)2円 O, O' が 2点 A, B で交わる時, BA の延長上の点 P から引いた2半直線が円 O と交わる点を C, D, 円 O' と交わる点を E, F とする
(2)2円 O, O' が点 Q で内接しているとき, Q から引いた2半直線が2円と交わる点をそれぞれ A, B と C, D とする
ですが、本質部分だけ取り出すと、
(1) 4点 A,B,D,C および4点 A,B,E,F は同一円周上にある。
3点P,A,B、3点P,C,D、3点P,E,F はそれぞれ同一直線上にある。
(2) 2円 O,O' が点 Q で内接している。
3点 Q,A,C、3点 Q,B,D がそれぞれ同一円周上にある。
3点 Q,A,B、3点 Q,C,D がそれぞれ同一直線上にある。
で良いでしょう。
No.18262 - 2012/08/08(Wed) 15:45:59
☆ 中学での証明 / angel
参考資料としては↓でしょうか。

http://ir.lib.osaka-kyoiku.ac.jp/dspace/bitstream/123456789/3367/1/KJ471500059.pdf

ちょっと私では詳しく内容を理解しかねるのですが、幾何の証明という「論証」に苦労する子供が多いため、仮定・結論・証明と三段階に分けて整理させる方法を開発した、というところでしょうかね。
※この資料の中では「作図の指導」というのも挙げられていますが。

ここでいう「仮定」というのは、結論を導き出すために使う条件のことのようで、要は問題文に記されている「前提条件」という認識です。
※前提条件を整理して書くというのは…、差し詰め料理をする時に、必要な材料を都度探して調達するのではなく、最初に全て揃えてから調理に入るような、そんな感じなんでしょうかね。

あんまり「仮定」という言葉が合っているようには思えないのですが、ただまあ、敢えてそれを使っているのは、形の定まらない始原の世界に、問題で与えられる前提条件を「仮定」することで、それぞれ特徴を持った何らかの世界を創造していくような、そんなノリなんでしょうね。

…えー、すごくテキトーなことを言っている可能性が高いので、まあ話半分以下程度で聞いて(見て?)ください。
No.18266 - 2012/08/09(Thu) 01:04:01
☆ Re: / 黄桃
この問題なら次のようになるのではないでしょうか。

(1)の仮定：
(a)2円 O, O' は 2点 A, B で交わる(点A,Bの特徴づけ）
(b)PはBAの延長上にある（点Pの特徴づけ）
(c)Pから、Oと2点で交わる半直線を引き、その２つの交点をC,Dとする(点C,Dの特徴づけ)
(d)Pから、O'と2点で交わる半直線を引き、その２つの交点をE,Fとする(点E,Fの特徴づけ)

最初に「２点で交わる２つの円O,O'がある」が必要という人もいるかもしれません。


(2)の仮定
(a)2円 O, O' が点 Q で内接している(点Qの特徴づけ）
(b)Q からO,O'と交わる半直線を引き、それがO,O'と交わる点をそれぞれ A,Bとする（A,Bの特徴づけ）
(c)Q からO,O'と交わる((b)とは）別の半直線を引き、それがO,O'と交わる点をそれぞれ C,Dとする(C,Dの特徴づけ）


＃ちなみに、仮定、結論をきちんと書く必然性は、実用的なもので、教わる方が
＃「知らないうちに結論を仮定する」ことを防ぐためです。
＃複雑な問題になると「何が既知で何が未知か」が混乱してしまい、
＃「できた」と思ったら結論を仮定していて堂々巡りということがあるからです。
＃考える過程では「できたと思って考える」こともありますから変ではありません。
＃なので、簡単な問題でもきちんと仮定と結論を分ける習慣をつけるのです。
＃教わる方が優秀ならば（自然と理解しているので）必要ありません。
＃もっともその場合は家庭教師も必要ないでしょうが。
No.18268 - 2012/08/09(Thu) 08:34:10
☆ Re: / b_78
やはり必要な条件は全て書くのがよさそうですね.
angel さんが挙げてくださった資料にも「与えられた文を読んで, 生徒が仮定 と結論を同定することは, 必ずしも容易ではない」とありますしそういった必然性から仮定を書くようになっているのですね. 成程.
皆様ありがとうございました.
No.18290 - 2012/08/11(Sat) 14:40:45
★ 物理の問題 / まさ
電磁気学の問題です
点A,BにそれぞれQ[C]と-Q[C]の点電荷が距離r[m]離れて存在する。-3Q[C]の電荷を何処に置いたとき点Aに働く力が0となるか。その位置を求めよ。

よろしくお願いします。
No.18256 - 2012/08/08(Wed) 09:11:47
☆ Re: 物理の問題 / ヨッシー
クーロン力が電荷に比例し、距離の２乗に反比例するとすれば、
ＡＢを√3：１＋√3 に外分する点ですね。
No.18257 - 2012/08/08(Wed) 09:26:32
☆ Re: 物理の問題 / まさ
ありがとうございました
No.18264 - 2012/08/08(Wed) 18:44:48
★ 高３ / PINE
座標平面上の点Ｐ(p,q)が,媒介変数θにより
　p=1+2cosθ,q=1+sinθ(-π＜θ≦π)
で与えられている。aを非負の定数とするとき,点Ｐから,原点Оと点(1,a)を通る直線に下ろした垂線をＰＨとし,Ｈの座標を(u,v)とする。点Ｐがp≧2を満たす範囲にあるとき,次の問いに答えよ。
(1)θとqの値の範囲を求めよ。
(2)uをaとθを用いて表せ。
(3)Ｎ＝√｛u^2＋(2＋a^2)v^2｝とおく。Ｎをaとθを用いて表せ。
(4)各aに対して,点Ｐがp≧2を満たすように動くとき,(3)で求めたＮの最大値をＭ(a)により表す。
(ア)Ｍ(0)を求めよ。
(イ)a＞0のとき,М(a)を求めよ。
No.18252 - 2012/08/08(Wed) 01:36:50
☆ Re: 高３ / X
(1)
条件から
2≦p=1+2cosθ
∴1/2≦cosθ
∴-π≦θ≦πにより
-π/3≦θ≦π/3
ここで-π/2≦θ≦π/2においてsinθが単調増加で
あることに注意すると
1+sin(-π/3)≦q=1+sinθ≦1+sin(π/3)
∴1-(√3)/2≦q≦1+(√3)/2
(2)
条件から直線OHの方程式は
y=ax (A)
一方PH⊥OHゆえ直線PHの方程式は
y=-(1/a)(x-p)+q (B)
(A)(B)を連立で解くと
(x,y)=((p+aq)/(1+a^2),a(p+aq)/(1+a^2))
∴
(u,v)=((1+2cosθ+a+asinθ)/(1+a^2),a(1+2cosθ+a+asinθ)/(1+a^2))
No.18254 - 2012/08/08(Wed) 08:40:46
☆ Re: 高３ / X
(3)
(2)の過程により
(u,v)=((p+aq)/(1+a^2),a(p+aq)/(1+a^2))
∴N=|(p+aq)/(1+a^2)|√(1+(2+a^2)a^2)
=|(p+aq)/(1+a^2)|√{(1+a^2)^2}
=|p+aq|=p+aq (∵)(1)の結果よりq＞0
=1+2cosθ+a+asinθ
(4)
(ア)
(3)の結果よりa=0のとき
N=1+2cosθ
∴(1)の結果よりNはθ=0のとき最大値3を取るので
M(0)=3
(イ)
(3)の結果より
N={√(a^2+4)}sin(θ+α)+a+1
(但しαはtanα=2/a,0＜α＜π/2なる角)
ここで(1)の結果より
-π/3+α≦θ+α≦π/3+α
で
-π/3＜-π/3+α＜π/6
π/3＜π/3+α＜5π/6
であることに注意すると
(i)2/a＜tan(π/6)=1/√3、つまり2√3＜aのとき
Nはθ=π/3のときに最大となるので
M(a)=2+a(√3)/2+a
(ii)1/√3=tan(π/6)≦2/a、つまり0＜a≦2√3のとき
Nはθ+α=π/2、つまりθ=π/2-αのときに最大になるので
M(a)=a+1+√(a^2+4)
No.18255 - 2012/08/08(Wed) 09:01:21
★ 高３ / PINE
(１)媒介変数表示x=3^(t＋1)＋3^(-t＋1)＋1,y=3^t−3^(−t)で表される図形は，x,yについての方程式[ア]=1で定まる双曲線Ｃのx＞0の部分である。また,Ｃの漸近線で傾きが正の漸近線の方程式はy=[イ]である。

(２)曲線(x-1)^2＋y^2=1を表す極方程式を求めよ。
No.18251 - 2012/08/08(Wed) 01:19:28
☆ Re: 高３ / ヨッシー
(1)
x/3=3^t+3^(-t) より
　x^2/9＝3^(2t)＋3^(-2t)＋2
また　
　y^2＝3^(2t)＋3^(-2t)−2
よって、
　x^2/9−2＝y^2＋2
整理して
　x^2/36−y^2/4＝1
漸近線は　y＝x/3

(2)
ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθ を代入して、
　ｒ(ｒ−2cosθ)＝０
No.18253 - 2012/08/08(Wed) 06:10:02
★ 高３ / PINE
xyz空間に4点P(0,0,2),A(0,2,0),B(√3,-1,0),C(-√3,-1,0)をとる。四面体PABCのx^2+y^2≧1を満たす部分の体積を求めよ。
答　4√3-2π
No.18248 - 2012/08/07(Tue) 21:28:44
☆ Re: 高３ / X
対称性から、求める体積はx≧0,y≧0,z≧0の領域にある部分の体積の
6倍になります。
それでこの部分の体積ですが、yz平面に平行な平面による断面の
直角三角形の面積を積分することを考えます。

x≧0,y≧0,z≧0の領域にある四面体PABCの側面は点P,Aを通り
少なくとも原点は通りませんのでその方程式は
x/a+y/2+z/2=1 (a≠0) (A)
と置くことができます。
これが点Bを通ることから
(1/a)√3-1/2=1
∴a=2/√3
よって(A)は
x/(2/√3)+y/2+z/2=1 (A)'
これより
y=2-x√3-z (A)"
従って(A)"と境界面である円柱の側面である
x^2+y^2=1
つまり
y=√(1-x^2) (B)
との交線について
2-x√3-z=√(1-x^2)
∴z=2-x√3-√(1-x^2) (C)
x≧0,y≧0,z≧0の領域にある問題の立体の
平面x=t　(0≦t≦(√3)/2)
による断面の直角三角形は、(C)より高さが
2-t√3-√(1-t^2)
又、(A)",(B)より底辺の両端の頂点の座標は
(t,2-t√3,0),(t,√(1-t^2),0)
で(A)'と(B)の位置関係を考えると底辺の長さは
2-t√3-√(1-t^2)
になりますので求める体積をVとすると
V=6∫[0→(√3)/2](1/2){{2-t√3-√(1-t^2)}^2}dt
=…
(展開して積分を計算します。)
No.18249 - 2012/08/07(Tue) 22:46:41
★ 高3 三角関数 / ktdg
(√sinθ+√cosθ)^2の最大値の求め方を教えてください。
No.18245 - 2012/08/07(Tue) 17:48:43
☆ Re: 高3 三角関数 / ktdg
補足
0≦θ≦π/2です。
No.18246 - 2012/08/07(Tue) 17:51:04
☆ Re: 高3 三角関数 / ヨッシー
f(θ)＝(√sinθ+√cosθ)^2 と置きます。
　f'(θ)＝2(√sinθ+√cosθ)(√sinθ+√cosθ)'
　(√sinθ+√cosθ)'＝(1/2)cosθ/√sinθ−(1/2)sinθ/√cosθ
f'(θ)＝0 となるのは、(1/2)cosθ/√sinθ−(1/2)sinθ/√cosθ＝0 のとき
　(1/2)cosθ/√sinθ−(1/2)sinθ/√cosθ＝0
より
　cosθ√cosθ＝sinθ√sinθ　・・・(i)
0≦θ≦π/2 の範囲では、cosθは単調減少、sinθは単調増加なので、
(i) の解は θ＝π/4
0＜θ＜π/4 で、f'(θ)＞0
π/4＜θ＜π/2 で f'(θ)＜0
よって、θ＝π/4 のとき f(θ) は最大値 {2√(1/√2)}^2＝2√2 を取ります。
No.18247 - 2012/08/07(Tue) 19:12:03
☆ 別解 / angel
sin と cos には (sinθ)^2+(cosθ)^2=1 という関係がありますから、
　(sinθ+cosθ)^2 = ( (sinθ)^2+(cosθ)^2 ) + 2sinθcosθ
　これより sinθcosθ = ( (sinθ+cosθ)^2 - 1 )/2
と、sinθ+cosθ、sinθcosθ の関係も導き出せます。
※これはたまに使います。

その上で問題を見てみましょう。
　(与式)
　= ( √sinθ + √cosθ )^2
　= sinθ+cosθ+2√(sinθcosθ)
ですから、t=sinθ+cosθ と置いてあげれば
　(与式)
　= t + 2√( (t^2-1)/2 )
　= t + √( 2(t^2-1) )
です。

ここで、t=sinθ+cosθ=√2・sin(θ+π/4) と合成してあげれば 1≦t≦√2 と t の範囲が分かります。
また、t + √( 2(t^2-1) ) は t≧1 では明らかに ( 微分して確かめるまでもなく ) tに関して単調増加ですから、t=√2 の時最大値を取ることが分かります。
No.18250 - 2012/08/08(Wed) 00:02:00
★ 高3　関数の性質　 / PINE
−1<x<1を定義域とする関数fp(x)＝(x−p)/(1-px)，fq(x)=(x-q)/(1-qx)(−1<p<1，−1<q<1)について次の問いに答えよ。
(1)定義域内のすべてのxに対して，-1<fq(x)<1を示せ。
(2)定義域内のすべてのxに対して，fp(fq(x))=(x-r)/(1-rx)を満たすとき，rをpとqを用いて表し，−1<r<1を示せ。ただし，fp(fq(x))はfp(y)＝(y−p)/(1-py)にy＝fq(x)を代入したものを意味するものとする。
(3)定義域内のすべてのxに対して，fp(fq(x))＝fq(x)を満たすpを求めよ。
No.18242 - 2012/08/06(Mon) 23:22:26
☆ Re: 高3　関数の性質　 / ヨッシー
(1)
(2) で、-1＜r＜1 を示しているのと同じ方法で出来ます。

(2)
fp(fq(x))＝fp((x-q)/(1-qx))
　＝{(x-q)/(1-qx)-p}/{1-p(x-q)/(1-qx)}
　＝{(x-q)-p(1-qx)}/{(1-qx)-p(x-q)}
　＝(x-q-p+pqx)/(1-px-qx+pq)
　＝{x(1+pq)-(p+q)}/{(1+pq)-(p+q)x}
1+pq＞0 より、
fp(fq(x))＝{x-(p+q)/(1+pq)}/{1-(p+q)x/(1+pq)}
これと、(x-r)/(1-rx) を比較して、
　r＝(p+q)/(1+pq)
1+pq＞0 より、

-1＜(p+q)/(1+pq) の証明
　両辺 1+pq を掛けて、
　　-(1+pq)＜p+q
　(右辺)−(左辺)＝p+q+pq+1=(1+p)(1+q)＞0

(p+q)/(1+pq)＜1　の証明
　両辺 1+pq を掛けて、
　　p+q＜1+pq
　(右辺)−(左辺)＝1+pq-p-q＝(1-p)(1-q)＞0

(3)　
(2) より
　{x-(p+q)/(1+pq)}/{1-(p+q)x/(1+pq)}＝(x-q)/(1-qx)
両辺比較して、
　(p+q)/(1+pq)＝q
　p+q＝q(1+pq)
　p＝pq^2
これが、常に成り立つには、p=0
No.18243 - 2012/08/07(Tue) 17:00:12
★ (No Subject) / ヴァン
任意の実数x，yに対して，2x^2−2xy＋y^2＋2x＋4y＋6のとりうる値の範囲の最小値を求めよ。
No.18239 - 2012/08/06(Mon) 22:27:14
☆ 高校2年　数学?U / ヴァン
任意の実数x，yに対して，2x^2−2xy＋y^2＋2x＋4y＋6のとりうる値の範囲の最小値を求めよ。
No.18240 - 2012/08/06(Mon) 22:37:25
☆ Re: / ヨッシー
x^2＋6x＋2 の最小値は？と聞かれると
　(x+3)^2−7
と変形するのと同じで、
　2x^2−2xy＋y^2＋2x＋4y＋6
　＝y^2＋2(2-x)y＋2x^2＋2x＋6
　＝y^2＋2(2-x)y＋(2-x)^2−(2-x)^2＋2x^2＋2x＋6
　＝(y-x+2)^2＋x^2＋6x＋2
　＝(y-x+2)^2＋(x+3)^2−7
より、x=-3, y=-5 のとき、最小値 -7
No.18241 - 2012/08/06(Mon) 22:41:46
★ 高2です / みにー
ふとわからなくなってしまったので…
√1+a=√3を解くときは
ルートをただ外すだけでいいのでしょうか？
No.18232 - 2012/08/06(Mon) 13:10:21
☆ Re: 高2です / ヨッシー
√(1+a)=√3 ですかね？
ルートを外すだけなら、１＋ａ＝３ ですが、
もちろん、ａ＝２ まで行ってくださいね。
No.18233 - 2012/08/06(Mon) 15:59:45
☆ Re: 高2です / みにー
ありがとうございました(^-^)
No.18261 - 2012/08/08(Wed) 14:55:45
★ 群数列 / PINK
第ｎ項がａn=2n-1(n=1,2,3,・・・・・)である数列｛ａn｝を下のようにａ1,ａ2,を第1群,ａ3,ａ4,ａ5,ａ6,を第2群ａ7,ａ8,ａ9,・・・・・,ａ14を第3群,・・・とし、第ｍ群が2^ｍ個の項を含むように区分する。
1,3,┃5,7,9,11,┃13,15,17,19,21,23,25,27,┃29,・・・・

(1)第ｍ群の最後の項
(2)第ｍ群に含まれる項の総和　をできるだけ詳しくお願いします。
No.18231 - 2012/08/06(Mon) 11:55:34
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
(1) 第ｍ群の最後の項は、第何項かを考えます。
　２＋４＋８＋・・・＋2^m
なので、2^(m+1)−2 番目の項ということになります。
第ｎ項は ２ｎ−１ なので、求める項は、
　2{2^(m+1)−2}−1＝2^(m+2)−5

(2)
第ｍ群は、2^(m+1)−3 から 2^(m+2)−5 までの 2^m 個なので、
等差数列の和の公式より
　2^m{2^(m+1)−3 ＋ 2^(m+2)−5}÷2＝3・2^(2m)−2^(m+2)

となります。
No.18234 - 2012/08/06(Mon) 16:21:21
☆ Re: 群数列 / PINK
ありがとうございます。
No.18270 - 2012/08/09(Thu) 11:36:32
★ 高3 式と図形 / ktdg
平面上の点(a,b)は円x^2+y^2-100=0ー?@上を動き、点(c,d)は円x^2+y^2-6x-8y+24=0ー?A上を動くものとする。
(1)ac+bd=0を満たす(a,b)と(c,d)の例を一組あげよ。
(2)ac+bdの最大値を求めよ。

(2)
ac+bdをbの関数としてf(b)とおく。2≦c≦4,3≦d≦5より、f(b)が最大値をとるのは0<a≦10,0<b≦10のときであり、a=√(100-b^2)。よってf(b)=c√(100-b^2)+db。f '(b)={d√(100-b^2)-bc}/√(100-b^2)より、f '(b)=0となるのはb=10d/√(c^2+d^2)のとき。y=d√(100-b^2)のグラフは原点を中心とする楕円であり、y=cbのグラフは原点を通る傾きが正の直線であるから、f(b)の最大値は、f(10d/√(c^2+d^2))=10√(c^2+d^2)。ここで、dは?Aをみたすから、c^2+d^2=6c+8d-24。これをzとおくと、zはcd平面(縦軸をd軸、横軸をc軸とする)における直線のd軸切片であり、2≦c≦4,3≦d≦5と、傾きが負であることから、(c,d)=(4,5)のとき最大値z=40をとる。従って、ac+bdの最大値は、10√40=20√10。

答え合わせお願いします。

また、(1)の答え方についてですが、ただac+bd=0を満たすa,b,c,dの値を書くだけでいいのですか?(1)から(2)への繋がりが見えるような解答が思いうかびません。
No.18224 - 2012/08/05(Sun) 02:32:55
☆ Re: 高3 式と図形 / ヨッシー
結論から言うと、(c,d)＝(4,5) は?Aを満たさないので不正解です。

(1) を求めるにしても、ac+bd が、(a,b)と(c,d) の内積ととらえられるかが
ポイントです。
?Aの中心(3,4) を4/5倍、あるいは6/5倍した(12/5, 16/5) あるいは
(18/5, 24/5)に対して、(3,4) を90°回転した(-4,3)あるいは
(4,-3) を２倍した(-8,6)や(8,-6)を見つければ
(-8,6) と (12/5, 16/5)、(8,-6)と(18/5, 24/5)などの
回答例が得られます。

すると(2) では、
点Ａ(a,b)、点Ｂ(c,d)とおくと、
　ac+bd＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ
であり、
・?Aは?@の内部にあるので、必ず∠ＡＯＢ＝０ に出来る
・ＯＡ＝１０(一定)
なので、ＯＢが最大になる点を見つければいいことになります。
それは(18/5, 24/5) であり、このときＯＢ＝６であるので、
　ac+bd＝６・１０・１＝６０
が最大で、このとき、(a,b)＝(6,8) となっています。
No.18225 - 2012/08/05(Sun) 09:26:03
☆ Re: 高3 式と図形 / ITVISION
(2)の別解（三角関数を使う）
ヨッシーさんのベクトルの内積ほどスマートではないですが
三角関数を使ってもできます。（以下略解です）
a=10cosα,b=10sinα
c=cosβ+3,d=sinβ+4

ac+bd=10cosα(cosβ+3)+10sinα(sinβ+4)
=10(cosαcosβ+sinαsinβ+3cosα+4sinα)
=10(cos(α-β)+5sin(α+θ))
No.18227 - 2012/08/05(Sun) 10:22:57
☆ Re: 高3 式と図形 / ktdg
> ?Aの中心(3,4) を4/5倍、あるいは6/5倍した(12/5, 16/5) あるいは
> (18/5, 24/5)に対して、(3,4) を90°回転した(-4,3)あるいは
> (4,-3) を２倍した(-8,6)や(8,-6)を見つければ
この操作で何をしているのかイマイチわかりません…

(2)についてはcd平面で、z=6c+8d-24がc^2+d^2-6c-8d+24=0に接するようにしてzの最大値を求めれば一応答えは出ました。(計算が滅茶苦茶めんどいので、内積を使ってとくのが一番賢い解き方ですが)

ITVISIONさんの三角関数を使ったとき方なんですが、10(cos(α-β)+sin(α+θ))の最大値はどのようにして求めるのでしょうか?

お手数かけますがよろしくお願い致します。
No.18229 - 2012/08/06(Mon) 01:13:19
☆ Re: 高3 式と図形 / ITVISION
>ITVISIONさんの三角関数を使ったとき方なんですが、10(cos(α-β)+sin(α+θ))の最大値はどのようにして求めるのでしょうか?
10(cos(α-β) + 5sin(α+θ)) ですね

−６≦cos(α-β) + 5sin(α+θ)≦６　は良いですか？
（この時点では実際に６になることは分かりません）　

θは定数（０≦θ≦２π）は分かりますか？（三角関数の合成）
α+θ＝π/2　（+2nπ）　となるαをとると
　sin(α+θ)＝sin(π/2)＝1
このαに対してβ＝αとすると
　cos(α-β)＝cos０＝１

よってこのとき10(cos(α-β) + 5sin(α+θ))＝６０・・最大値

10(cos(α-β) + 5cos(α-θ')) の方が良かったかも。
（３つの円を描いてみると内積計算と同じ意味ということが分かるかも知れませんね。１つは小さいほうの円の中心を原点に移動したもの）　
No.18235 - 2012/08/06(Mon) 19:04:44
☆ Re: 高3 式と図形 / ktdg
ありがとうございます。
No.18244 - 2012/08/07(Tue) 17:45:14
★ 場合の数 高3 / ktdg
1からnまでの番号をつけたn枚のカードがある。これらn枚のカードをA,B,Cの3つの箱に分けていれる。ただしどの箱にも少なくとも1枚はいれるものとする。
(1)入れ方は全部で何通りあるか。
(2)自然数mは2m≦nを満たすとする。1≦k≦mである各整数kについて2k-1と2kの番号のカードをペアと考える。どれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数をnとmを用いて表せ。

(1)
はじめに3つの箱にいれる3枚の選び方は、n枚から3枚選んで並べるので、nP(n-3)=n！/6 通り
残ったn-3枚を3つの箱に入れる入れ方は(n-3)^3 通り
従って、入れ方は全部で{(n-3)^3×n！}/6 通り
(2)
3つの箱に1つもペアが入らない場合の数を考える。
2k-1がAの箱に入ったとき、2kはBかCの2通り。
2k-1がBの箱に入ったとき、2kはAかCの2通り。
2k-1がCの箱に入ったとき、2kはBかCの2通り。
1つのペアで6通りの場合が考えられ、ペアの数は全部でm組だから、求める場合の数は6^m 通り。
従って、どれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、
{(n-3)^3×n！}/6-6^m 通り。

答え合わせお願いします。
No.18216 - 2012/08/03(Fri) 14:39:34
☆ Re: 場合の数 高3 / ヨッシー
(1) はまず、
>残ったn-3枚を3つの箱に入れる入れ方は(n-3)^3 通り
ではなく、3^(n-3) 通りです。
ただ、それ以前に、考え方がまずいです。
例えば、1,2,3,4 の４枚だったとき、
1,2,3 を選んでA,B,C の箱に入れ、4 をA に入れるのと、
4,2,3 を選んでA,B,C の箱に入れ、1 をA に入れるのとは
同じ入れ方になります。
正しくはこうです。

n≧3 とします。
ｎ枚を３つの箱に入れる方法は　3^n 通り。
このうちＡには入らない方法は　2^n 通り。Ｂ，Ｃについても同様で、
２つ以下の箱に入れるのは３・2^n 通り。
Ａだけに入れる方法は、１通り。Ｂ，Ｃ についても同様に各１通り。
最初の 3^n 通りについて考えると、この中には、
どれか１つだけの箱に入っている・・・３通り。
ＡＢ２つの箱に入っている・・・2^n−2 通り　（2^n からＡだけ、Ｂだけを除く
ＢＣ，ＡＣ についても同様で各 2^n−2 通り。
残りが、どの箱にも少なくとも１つは入っている入れ方で
　3^n−3(2^n−2)−3＝3^n−3(2^n−1)
n=1, n=2 のときも成り立つので、全ての自然数ｎについて、
　3^n−3(2^n−1) 通り　・・・答え

(2) については、もう少し考えますが、問題はこれで合っていますか？
>自然数mは2m≦nを満たすとする。
ということは、n=100 で m=1 でも良いんですよね？
No.18218 - 2012/08/03(Fri) 15:48:54
☆ (2) / angel
横から失礼しますが、
> (2) については、もう少し考えますが、問題はこれで合っていますか？
> >自然数mは2m≦nを満たすとする。
> ということは、n=100 で m=1 でも良いんですよね？
問題として特に不自然ではないと思います。
例えば m=1 であれば、「1と2が同じ箱に入る場合の数は何通りか」ですし、m=2 であれば、「1と2が同じ箱に入る、もしくは3と4が同じ箱に入る場合の数は何通りか」といったふうに解釈できます。
考え方としては、逆 ( 余事象 ) に着目するのが良くて、「1と2が別の箱、かつ3と4が別の箱、…，かつ(2m-1),2mが別の箱となる場合の数」を計算して(1)から引くような感じで。
ただし、「どの箱にも少なくとも1枚」という前提がありますので、そこには注意が必要でしょう。

そうすると、ktdgさんの解答はイイ線いっているのですが ( (1)を間違えているからどっちにしてもダメというのはさておき )、少し足らない所がありますね。
No.18220 - 2012/08/03(Fri) 23:10:48
☆ Re: 場合の数 高3 / ヨッシー
問題が成り立たないとかではなくて、少しやっかいそうだったので、
条件を絞りたいなぁと思っただけです。

ktdgさんの 6^m というのは良いですね。
これに残りの n-2m 枚を加えてｎ枚のカードを全部入れてしまうわけですが、
ここで場合分けが必要です。
6^m 通りのうち、3・2^m 通りは、A,B,C のうち、２つにしか
カードが入っておらず、残りの 6^m−3・2^m 通りはA,B,C
３つともにカードが入っています。

2m 枚のカードが２つの箱にしか入っていない場合は、
残りのn-2m を加えたあと、カードが入っていない箱が
出来る危険性がありますので、それは避けないといけません。
一方、2m 枚のカードが3つの箱に既に入っている場合は、、
残りの n-2m 枚は、好きなように入れられます。

といったような感じですね。
No.18221 - 2012/08/03(Fri) 23:35:59
☆ Re: 場合の数 高3 / ktdg
回答ありがとうございます。
(1)については理解できました。
(2)についてですが、3つの箱に1つもペアが入らない場合の数は6^m・3^(n-2m)通り。そのうち、Aの箱が空になる場合の数は2^m通り。よってどれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m通り。でいいですか?
あと、場合わけというのがよくわからないのですが…
No.18223 - 2012/08/04(Sat) 22:46:52
☆ Re: 場合の数 高3 / angel
もう少し丁寧にやった方が良いと思います。
> そのうち、Aの箱が空になる場合の数は2^m通り。
これは「(1,2),(3,4),…(2m-1,2m)のペアの分」ですよね。2m+1〜n の分が計算に入っていません。
何かチェックシートでも作るなり、漏れのないように考えられる工夫をするのが良いのではないでしょうか。

正しくは、2^m・2^(n-2m)通りです。

> よってどれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m通り。

そうすると、こちらは 3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m・2^(n-2m) になります。
尤も、式をもう少し簡略化することを考えると、
　6^m・3^(n-2m) = 2^m・3^m・3^(n-2m) = 2^m・3^(m+n-2m)
　2^m・2^(n-2m) = 2^(m+n-2m)
ですから、
　3^n-3(2^n-1)-2^m・3^(n-m)+3・2^(n-m)
の方が良いでしょうか。

最後に。(1)でもそうなのですが、簡単な例を試してみて、単純なミスを犯していないかどうか、必ず確認した方が良いです。
例えば(1)なら、一般のnに対する答えが分からなくても、
　n=1,2 なら 0通り、n=3 なら 6通り
というのは計算できるはずです。なので、出てきた式にn=1,2,3を代入して合っているかどうか確かめれば、ある程度間違いに気付けるはずです。

(2)なら、
　m=1, n=2 or 3 の時 0通り
　m=1, n=4 の時 6通り ( (1,2),(3),(4) と分かれるため )
　m=2, n=4 の時 12通り ( {(1,2),(3),(4)} もしくは {(3,4),(1),(2)} )
とか。
No.18228 - 2012/08/05(Sun) 21:05:21
☆ Re: 場合の数 高3 / ktdg
貴重なアドバイスありがとうございます。
場合の数の問題を解く時は確認作業をしっかりしたいと思います。
No.18230 - 2012/08/06(Mon) 01:19:42
★ 微分可能性 / モアイ族
aを実数とする。全ての実数ｘで定義された関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)はｘ＝０で微分可能であるとする。
(1)aおよびf'(0)の値を求めよ
(2)導関数f'(x)はｘ＝０で連続である事を示せ

(1)略
a=-1,f'(0)=0
（２）（x(e^2x+a)）’＝(e^2x+a)+2xe^2x・・★
であるから
ｆ’（ｘ）＝e^2x-1+2xe^2x(x>0)
-{e^2x-1+2xe^2x}(x>0)
よってlim(x→+0)f'(x)=lim(x→+0)(e^2x-1+2xe^2x)=0
lim(x→-0)f'(x)=lim(x→-0)-{e^2x-1+2xe^2x}=0
とf'(0)=0よりlim(x→+0)f'(x)=lim(x→-0)＝ｆ’（０）
が成り立つからf'(x)はｘ＝０で連続である(終）
なのですがf'(x)と表記しているということは、全てのｘで微分可能ということですよね？しかし問題文ではｘ＝０でしか微分可能だとは分からないはずです。なぜｆ’（ｘ）と表記しているのか？そしてなぜ★のようにｆ（ｘ）を微分してよいのかが分かりません。
No.18211 - 2012/08/02(Thu) 22:22:21
☆ Re: 微分可能性 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
>問題文ではｘ＝０でしか微分可能だとは分からないはずです。なぜｆ’（ｘ）と表記しているのか？
ｘ＞０ではf(x)＝x(e^(2x)＋a)　：微分可能
ｘ＜０ではf(x)＝-x(e^(2x)＋a)　：微分可能
だからです。

>関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)はｘ＝０で微分可能であるとする
f(x)はｘ＝０以外では、任意のaについて微分可能です。
ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、f(x)が微分可能になるのはaが特定の値（-1）の場合だけです。

>なぜ★のようにｆ（ｘ）を微分してよいのかが分かりません。
（x(e^(2x)+a)）’＝(e^(2x)+a)+2xe^2x・・★
積の微分の計算で常に成り立つ式だと思いますが。
（★は厳密にいうと　f(x)の微分というより（x(e^(2x)+a)）の微分を求めている。）　
No.18212 - 2012/08/02(Thu) 22:51:38
☆ Re: 微分可能性 / モアイ族
かいとうありがとうございます

ｘ＞０ではf(x)＝x(e^(2x)＋a)　：微分可能
ｘ＜０ではf(x)＝-x(e^(2x)＋a)　：微分可能
は
厳密に、より詳しく言うと
ｘ≧０ではf(x)＝x(e^(2x)＋a)　：ｘ＞０で微分可能（端点のｘ＝０では微分可能はどうかは不明。なぜなら端点だから。増減表で端点が空欄になっている理由と同じ）
ｘ≦０ではf(x)＝-x(e^(2x)＋a)　：ｘ＜０で微分可能（端点のｘ＝０では微分可能かどうかは不明）

>関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)はｘ＝０で微分可能であるとする
f(x)はｘ＝０以外では、任意のaについて微分可能です。
ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、f(x)が微分可能になるのはaが特定の値（-1）の場合だけです。
→この説明はよく分かりません。ｌｘｌを分解しているあたりが。。

つまり（２）は微分できてしまったから、微分可能というやり方ですか？

よろしくおねがいします
No.18222 - 2012/08/04(Sat) 13:44:38
☆ Re: 微分可能性 / ITVISION
>f(x)はｘ＝０以外では、任意のaについて微分可能です。
>ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、f(x)が微分可能になるのはaが特定の値（-1）の場合だけです。
>→この説明はよく分かりません。ｌｘｌを分解しているあたりが。
「ｌｘｌを「分解」しているあたり」とはどういう意味ですか？
一般に「ある区間で関数g(x)とh(x)が微分可能なときg(x)h(x)も微分可能」は良いですか？

ｌｘｌは　ｘ≠０で微分可能
任意の実数aについて　e^(2x)＋a　はすべての実数ｘについて微分可能

任意の実数aについてｌｘｌ(e^(2x)＋a)はｘ≠０で微分可能。
ｘ＝０では、lxlが微分可能でないので、ｌｘｌ(e^(2x)＋a)は必ずしも微分可能とは限らない。

問題はf(x)＝ｌｘｌ(e^(2x)＋a)がｘ＝０においても微分可能すなわちすべての実数ｘで微分可能となるようなaを求めよってことですよね。

>つまり（２）は微分できてしまったから、微分可能というやり方ですか？
そうですね、それで十分だと思いますが？
ｘ＝０以外では、定義からf(x)は微分可能です。ｘ＝０でもaの条件からf(x)は微分可能です。
No.18236 - 2012/08/06(Mon) 19:16:12
☆ Re: 微分可能性 / モアイ族
ありがとうございます。ほぼ理解できました

質問1一般に「ある区間で関数g(x)とh(x)が微分可能⇒g(x)h(x)も微分可能（逆は成り立つとは限らない）」で合ってますか？

質問2
ｘ＝０以外では、定義からf(x)は微分可能
とありますが、定義からやってませんよね？
（x(e^(2x)+a)）’＝(e^(2x)+a)+2xe^2x
これの事を定義とおっしゃっているのでしょうか？
No.18237 - 2012/08/06(Mon) 20:06:03
☆ Re: 微分可能性 / ITVISION
> 質問1一般に「ある区間で関数g(x)とh(x)が微分可能⇒g(x)h(x)も微分可能（逆は成り立つとは限らない）」で合ってますか？
合っています。

> 質問2
> ｘ＝０以外では、定義からf(x)は微分可能
> とありますが、定義からやってませんよね？
> （x(e^(2x)+a)）’＝(e^(2x)+a)+2xe^2x
> これの事を定義とおっしゃっているのでしょうか？
ここでいっている「定義から」の「定義」とは
f(x)の定義のうち
「全ての実数ｘで定義された関数f(x)＝lxl(e^(2x)＋a)」によって表現されている部分のことです。
No.18238 - 2012/08/06(Mon) 20:36:52
★ 高3 積分 / ktdg
四面体ABCDがある。6辺DA,BC,DB,CA,DC,AB,の中点を順にP1,Q1,P2,Q2,P3,Q3,とする。3つの線分P1Q1,P2Q2,P3Q3が互いに垂直であり、いずれも長さが1である。このとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。また、この正四面体の1辺の長さを求めよ。

AB→=b→,AC→=c→,AD→=d→とすると、
P1Q1→=(b→+c→-d→)/2,P2Q2→=(b→+d→-c→)/2,P3Q3→=(c→+d→-b→)/2,
P1Q1→・P2Q2→=0より、
|b→|^2-|d→|^2-|c→|^2+2c→・d→=0ー?@
P2Q2→・P3Q3→=0より、
|d→|^2-|c→|^2-|b→|^2+2b→・c→=0ー?A
P3Q3→・P1Q1→=0より、
|c→|^2-|b→|^2-|d→|^2+2b→・d→=0ー?B
?A+?Bより、
|c→|cos角BAC+|d→|cos角BAD=|b→|ー?C
?@+?Bより、
|b→|cos角BAD+|c→|cos角CAD=|d→|ー?D
?@+?Aより、
|d→|cos角CAD+|b→|cos角BAC=|c→|ー?E
?C+?D+?Eより、cos角BAC=p,cos角BAD=q,cos角CAD=rとおくと、
|d→|(q+r-1)+|c→|(q+p-1)+|b→|(r+p-1)=0ー?F

ここで分からなくなったのですが、?Fが成り立つとき、p=q=r=1/2であるといえますか？P1Q1=P2Q2=P3Q3=1という条件を使えば解くことはできますが、式がたくさん出てきて面倒なので、?Fの条件のみから解くことができるのか知りたいです。
No.18209 - 2012/08/02(Thu) 20:57:00
☆ Re: 高3 積分 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
>?Fが成り立つとき、p=q=r=1/2であるといえますか？
いえないと思います
|d→|(q+r-1)+|c→|(q+p-1)+|b→|(r+p-1)=0ー?F
仮に|d→|＝|c→|＝|b→|=k＞0　だとした場合でも
?F⇔k((q+r-1)+(q+p-1)+(r+p-1))=0
⇔k(2p+2q+2r-3)=0
⇔　2p+2q+2r＝3
⇔　p+q+r＝3/2　　しかいえないので
p=q=r=1/2　はいえないと思います

まして|d→|、|c→|、|b→|は?Fだけではフリーなので
p+q+r＝3/2　すらいえません。
No.18210 - 2012/08/02(Thu) 21:20:13
☆ Re: 高3 積分 / ktdg
ありがとうございます。
No.18215 - 2012/08/03(Fri) 13:38:23
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