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★ 期待値 / PINK
XY平面上で点Pは原点を出発点とし、さいころを１回投げるたびに、１または２の目が出たときはX軸方向に１だけ進み、３の目が出たときはX軸方向に-１だけ進み、４または５の目が出た時はY軸方向に１だけ進み、６の目が出た時はY軸方向に
-１だけ進む。


(１)さいころを２回投げるとき、点PのX座標の期待値をお願いします。
No.17953 - 2012/07/03(Tue) 18:29:17
☆ Re: 期待値 / X
P(x,y)として、サイコロを２回投げた後で
(i)x=2となる場合
(ii)x=1となる場合
(iii)x=0となる場合
(iv)x=-1となる場合
(v)x=-2となる場合
の確率をまず求めます。
No.17955 - 2012/07/03(Tue) 19:43:24
☆ Re: 期待値 / PINK
何度計算してみ答えと合いません...ちなみに答えは1/3です
詳しく教えていただけたら幸いです。
No.17957 - 2012/07/03(Tue) 21:34:14
☆ Re: 期待値 / ITVISION
> 何度計算してみ答えと合いません...ちなみに答えは1/3

ご自分の計算をＵＰされると、間違いを指摘してもらえる可能性が高いと思いますよ。
No.17958 - 2012/07/03(Tue) 21:52:22
☆ Re: 期待値 / PINK
X軸=2　1または2の目が2回→1/9
X軸=1 1または2の目が１回かつ4または5の目が１回→1/9
1または2の目が１回かつ6の目が１回→1/18
X軸=0 1または2の目が１回かつ３の目が１回→1/18
4または5の目が２回→1/9
6の目が2回→1/36
4または5の目が1回かつ6の目が1回→1/18
X軸=-1 3の目が1回かつ4または5の目が1回→1/18
3の目が1回かつ6の目が1回→1/36
X軸=-2 3の目が2回→1/36

間違いの指摘お願いします。
No.17959 - 2012/07/03(Tue) 22:17:42
☆ Re: 期待値 / ITVISION
> X軸=2　1または2の目が2回→1/9
　ＯＫ
>　X軸=1 1または2の目が１回かつ4または5の目が１回→1/9
　1または2の目が１回かつ6の目が１回→1/18

順番が逆の場合があるので　×２　することになります。

それと、４、５、６の目はまとめて考えてもｏｋです。


X軸=0　の場合は、期待値を計算するときは、計算の必要がありません。

>　X軸=-1 3の目が1回かつ4または5の目が1回→1/18
　3の目が1回かつ6の目が1回→1/36
X軸=1のときと同じ間違いです。

> X軸=-2 3の目が2回→1/36
ｏｋです。

それぞれの値に確率を掛けて合計すると期待値ですね。
No.17960 - 2012/07/03(Tue) 22:36:28
☆ Re: 期待値 / PINK
ありがとうございました。助かりました
No.17961 - 2012/07/03(Tue) 23:46:32
☆ Re: 期待値 / ITVISION
サイコロを1回投げたときｘ軸方向に進む距離の期待値は
(1 ×　1/3）+（-１　×　1/6）＝　1/6

２回投げた後のX座標の期待値＝（1/6）*２　＝1/3
でもよいと思います。
No.17962 - 2012/07/04(Wed) 01:16:18
★ (No Subject) / のい
6種類の本を3人にくばるとき、次の配り方は何通りか。
（1）1種類も配られない人がいてもよい
（2）どの人にも少なくとも1種類は配られる。


（2）を教えてください！
よろしくお願いします。
No.17951 - 2012/07/03(Tue) 15:51:08
☆ Re: / ヨッシー
(1) は３^6＝729（通り） ですね。

(2) 人をＡ，Ｂ，Ｃとすると、
Ａだけがもらう・・・１通り
Ｂだけがもらう・・・１通り
Ｃだけがもらう・・・１通り
Ａ，Ｂだけがもらう　２^6−２＝62（通り）
Ｂ，Ｃだけがもらう　６２通り
Ａ，Ｃだけがもらう　６２通り
以上を、７２９から引いて５４０(通り)
No.17952 - 2012/07/03(Tue) 17:48:19
★ (No Subject) / ktdg
「辺AB上」というとき端点ABはふくみますか？
No.17949 - 2012/07/03(Tue) 01:42:46
☆ Re: / ヨッシー
「線分ＡＢ」も同じことですが、概して、「含まない」と
考えて差し支えないですが、含んでも良い場合もあります。

問題によりますが、大抵は、端点を含む含まないが、重要になる
ケースは、あまりないと思います。

不安であれば、解答の最初に
「端点Ａ，Ｂは含まないものと解釈する」
のようなことを書いておくのも手でしょう。

実際に、こんな問題の場合は？と具体例を出してもらうと
答えやすいと思います。
No.17950 - 2012/07/03(Tue) 06:26:12
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます。
ベクトルの問題で疑問に思ったのですが、解決しました。
No.17963 - 2012/07/04(Wed) 15:10:19
★ 期待値 / 口の下
袋Ａの中に赤玉としろだまがそれぞれ4つ入っていることと袋Ｂの中に赤球三つとしろだま二つが入っていることが分かっている。袋Ａから３つの玉を取り出した後で、2つの玉を袋Ａから取り出すかあるいは2つの玉を袋Ｂから取り出すかのどちらかを選択できるとする。できるだけ多くの赤球を取り出そうと選択した時、最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。

式：(1/14)(3+6/5)+(6/14)(2+6/5)+(6/14)(1+6/5)+(1/14)(0+8/5)・・?@
※赤4、白４→赤１白4になる確率は(4/8)(3/7)(2/6)=1/14など
※袋Ｂから2個取り出したときの赤玉の個数の期待値は(3/5)*2=6/5

とありますが

(1/14)(3+6/5)について言えば1/14は赤4、白4→赤１白4になる確率。3は一回目に取り出した赤の個数。6/5は袋Ｂから2個取り出したときの赤玉の個数の期待値
というように確率×（個数＋期待値）というように次元の違う（物理で言えば単位の違う）もの同士を計算しているのが不可解です）。

式?@で期待値になる理由を教えてください。よろしくお願いします
No.17945 - 2012/07/02(Mon) 20:43:30
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
最初に 赤３つをとる確率は、1/14
このときは、Ｂを選んで、２つ取ります。
白２個を取る確率は、1/10
赤１個白１個を取る確率は、3/5
赤２個を取る確率は、3/10
ここまでで
赤３個の確率　1/14×1/10
赤４個の確率　1/14×3/5
赤５個の確率　1/14×3/10
期待値を計算すると、
３×(1/14×1/10)＋４×(1/14×3/5)＋５×(1/14×3/10)
＝(1/14)×(３×1/10＋４×3/5＋５×3/10)
ですが、これを、前半の個数と、後半の個数に分けると、
(1/14)×｛(3+0)×1/10＋(3+1)×3/5＋(3+2)×3/10)
＝1/14｛3×(1/10＋3/5＋3/10)＋(0×1/10＋1×3/5＋2×3/10)｝
＝1/14｛3＋(0×1/10＋1×3/5＋2×3/10)｝
となります。
1/10＋3/5＋3/10 が １になるのは自明ですし、
(0×1/10＋1×3/5＋2×3/10)の部分は、２回目の期待値ですね。

最初に赤２個白１個や、赤１個白２個、白３個の場合も同じです。
No.17946 - 2012/07/02(Mon) 23:15:47
☆ Re: 期待値 / 口の下
回答ありがとうございます

計算結果を整理したらそうなった、という説明ではなく
?@が第一番目の式になる理由を教えてください。
和の期待値＝期待値の和ということがたぶん関係してると思います

どうかよろしくお願いします
No.17964 - 2012/07/04(Wed) 21:00:59
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
まず
>確率×（個数＋期待値）というように次元の違う
>（物理で言えば単位の違う）もの同士を計算している
とありますが、期待値の単位も「個」ですから、次元が違うわけではありません。

期待値が 6/5 ということは、
赤３個白２個の５個が入っている袋から取り出す代わりに
１個の玉のうち3/5 が赤で2/5 が白で出来ている玉が５個入っている
袋から取り出しても、同じです。
そうすると、１回目に赤が３個出て、その後、100%の確率で
赤が6/5個出る、という状況が1/14の確率で起こるので、期待値は
　(1/14)(3＋6/5)
となります。
No.17967 - 2012/07/04(Wed) 22:24:53
☆ Re: 期待値 / 口の下
回答ありがとうございます

期待値が 6/5 ということは、
赤３個白２個の５個が入っている袋から2個取り出す代わりに
１個の玉のうち3/5 が赤で2/5 が白で出来ている玉が５個入っている袋から＊個取り出しても、同じ。の＊は何個ですか？

それから確率×（期待値）とできる理由、どこがどのように和の期待値＝期待値の和になっているか等についても触れていただけないでしょうか？
No.17972 - 2012/07/05(Thu) 21:27:38
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
＊個はもちろん２個です。

(1/14)(3+6/5)+(6/14)(2+6/5)+(6/14)(1+6/5)+(1/14)(0+8/5)
＝(1/14×3＋6/14×2＋6/14×1＋1/14×0)＋(1/14×6/5＋6/14×6/5＋6/14×6/5＋1/14×8/5)
の最初のカッコが１回目に３個取り出したときの赤の個数の期待値で、
あとのカッコが、２回目に２個取り出したときの赤の個数の期待値です。
期待値の和が、和の期待値（１回目と２回目の個数の和の期待値）になっています。
No.17973 - 2012/07/05(Thu) 23:30:28
☆ Re: 期待値 / 口の下
回答ありがとうございます

赤３個白２個の５個が入っている袋から取り出す代わりに
１個の玉のうち3/5 が赤で2/5 が白で出来ている玉が５個入っている
袋から取り出しても、同じとありますがなぜ同じでよいのですか？最後の式
(1/14×3＋6/14×2＋6/14×1＋1/14×0)＋(1/14×6/5＋6/14×6/5＋6/14×6/5＋1/14×8/5)
の左側のかっこは確率×個数で確かに期待値になっていますが、右側のかっこは確率×期待値、つまり確率×（確率×個数）になってしまっており、右側のかっこが不可解です

よろしくおねがいします
No.17975 - 2012/07/07(Sat) 13:45:05
☆ Re: 期待値 / ヨッシー
1/14 の確率である試行を行うチャンスが回ってきて、
そのときに 3/10 の確率で赤玉２個を取るとすると、
赤玉を２個取る確率は　1/14×3/10 ・・・確率×確率
であり、その期待値(の一部分)は、1/14×3/10×２　・・・確率×確率×個数
であることに不思議はないと思いますが。

期待値は、平均的な個数ですから、個数＋期待値　も普通の計算です。
(もちろん、最終的な目的が全体の期待値を求めることだから
意味のある足し算ではあります)
No.17978 - 2012/07/07(Sat) 16:35:13
★ (No Subject) / まさ
2n
Σ(2k−1)(3k−1)
k=n＋1

上の初項がk=n＋1で、末項が2nのΣの計算のやり方を教えてください

答えは、(1/2)n(4n＋1)(7n−1)です
よろしくお願いします。
No.17937 - 2012/07/01(Sun) 14:34:11
☆ Re: / X
Σの初項がk=1となるように項を足し引きします。

(与式)=Σ[k=1〜2n](2k-1)(3k-1)-Σ[k=1〜n](2k-1)(3k-1)
=…
No.17939 - 2012/07/01(Sun) 15:29:39
★ 微分可能性 / 細野さん
f(x)は連続関数であり全ての実数ｘ、ｙについて
f(x+y)-f(x-y)=２ｆ(-x)siny・・?@
を満たすものとする
このときｆ（ｘ）は任意の実数ｘについて微分可能である事を示せ。

解）?@にｙ＝ｈを代入して
ｆ（ｘ＋ｈ）−ｆ（ｘ−ｈ）＝ｆ（−ｘ）sinh
が得られる
f'(x)=lim(h→０）ｆ（ｘ＋ｈ）−ｆ（ｘ−ｈ）/2h＝・・＝ｆ（−ｘ）
よってｆ（ｘ）は微分可能である（終）

とあるのですが途中ｆ’（ｘ）＝
と書いてしまってよいのでしょうか？
ｆ’（ｘ）と書いた時点でｆ（ｘ）が微分可能ということになってしまうのでは？と疑問に思っています

どなたか教えてください。よろしくお願いします。
No.17936 - 2012/07/01(Sun) 14:20:56
☆ Re: 微分可能性 / X
問題ありません。模範解答の言わんとしているところは

もしf'(x)が存在するのであれば定義により
f'(x)=lim[h→0]〜
であり、条件を用いて計算してみるとこの極限は
存在するのでf'(x)は存在する。

ということです。
No.17940 - 2012/07/01(Sun) 15:36:33
☆ Re: 微分可能性 / 細野さん
問題文が
微分可能かどうか示せ
ではなく
微分可能であると分かっている上でそれを確かめよ
と言っているからということですか？
No.17941 - 2012/07/01(Sun) 18:19:15
☆ Re: 微分可能性 / ヨッシー
問題は、「微分可能かどうか示せ」です。

f'(x) の定義に従って計算したら、確かに存在するので、
微分可能である。という理屈です。

もし、微分可能でなかったら、f'(x) が確定できない
（h→+0 と h→-0 で値が違うなど)ので、f'(x) を計算することに
よって、微分可能かどうかの判別は出来ます。
No.17942 - 2012/07/01(Sun) 18:34:06
★ 連続 / ジンジャーエール
aを含む区間で定義された関数ｆ（ｘ）においてｘをaに近づけた時の極限値が関数値ｆ（a)と一致する時、つまり
lim(h→0)f(a+h)=f(a)が成り立つ時ｆ（ｘ）はｘ＝aで連続であると
あるのですがなぜlim(h→0)f(a+h)=f(a)が成り立つ時ｆ（ｘ）はｘ＝aで連続といえるのかが分かりません（イメージできません。）

（lim(x→a)f(x)=f(a)はｘ＝aで左方極限と右方極限が違う例をイメージすればイメージできますが）

わかるかたおしえてください。よろしくお願いします
No.17926 - 2012/06/30(Sat) 20:42:46
☆ Re: 連続 / X
lim[h→0]f(a+h)=f(a)のときf(x)はx=aで連続である
というのは、関数の連続という言葉の定義であって
定理ではありません。
No.17927 - 2012/06/30(Sat) 21:51:04
☆ Re: 連続 / ジンジャーエール
意味不明なのは定義だからだということですね。
しかし定義だからといって意味不明とは限らないです。

今回はlim(h→0)f(a+h)=f(a)の式は意味不明なので

lim(h→0)f(a+h)=f(a)が成り立つ時ｆ（ｘ）はｘ＝aで連続であるというのは丸暗記するしかないということですか？
No.17928 - 2012/06/30(Sat) 23:11:53
☆ Re: 連続 / ast
ネタなら相応のところでやってください。
No.17929 - 2012/06/30(Sat) 23:14:10
☆ Re: 連続 / VV
>意味不明なのは定義だからだということですね。
Ｘさんは、こんなことを言っておられないと思いますが。

lim(h→0)　f(a+h)　と　lim(x→a)　f(x)　は似たようなことだと思うのですが？・・・
No.17930 - 2012/07/01(Sun) 00:57:12
☆ Re: 連続 / ジンジャーエール
ねたではないです。今分かりました。ありがとうございました
No.17931 - 2012/07/01(Sun) 01:50:08
☆ Re: 連続 / angel
> ネタなら相応のところでやってください。
astさん、それこそネタですか?
真面目な話として、何らかの確信をもって仰ってるのであれば、その根拠が見える形で表現して頂きたいのですが。
No.17932 - 2012/07/01(Sun) 02:10:56
★ 十分条件 / 炭酸
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4となるように定数a,bの値を定めよ。ただしa≧−１とする。

解）
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4・・?@
が成り立つ時
lim（x→1+0)(2x^2-3x+1)=0より
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b）＝０
よってｂ＝−√（1+a)・・?Aとなることが必要である（必要条件）

逆にこのとき
(ア）a=-1の場合ｂ＝０で
?@の左辺＝lim(x→1+０）√｛ｘ（ｘ−１）｝/(2x-1)(x-1)=lim(x→1+０）√ｘ/(2x-1)√(x-1)=∞となり条件を満たさない
（イ）a>-1の場合
?@の左辺＝・・＝(2+a)/2√(1+a)
となるので?@が成り立つためには
(2+a)/2√(1+a)＝5/4
a=-3/4,3
?Aよりa=-3/4のときｂ＝-1/2,a=3のときｂ＝−２
よって
（a、ｂ）＝（-3/4、-1/2）（3、ー２）（答え）

必要条件十分条件について確認したいです。
?@⇒?Aですから?Aは?@の必要条件というのは分かります。
しかし?A⇒?@はどこで行なっているのでしょうか？

?Aは必要条件に過ぎないから（ア）という不適な場合が合ったことに何の疑問もありません。しかし（イ）は答えを出しただけ（答えを出しっぱなし）。正確に言えば
?Aならば「（ア）または（イ）」
⇔?Aならば（イ）がいえただけで結局

?@⇒「?A⇒(イ）⇒（a、ｂ）＝（-3/4、-1/2）（3、ー２）（」ですよね？

どなたか論理に詳しい人よろしくお願いします。
No.17925 - 2012/06/30(Sat) 19:36:51
☆ Re: 十分条件 / angel
その解答では、必要条件も十分条件も問題なく出揃っています。
大事なのは、「何に対する必要/十分条件」なのか、です。
そこを特に意識してみましょう。

・必要条件
　lim[x→1+0](√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4・・?@ が成り立つ時、
　この左辺が収束するためには、
　lim[x→1+0](√(x^2+ax)+b)=0 すなわち b=-√(1+a)・・?Aとなることが必要

・十分条件
　?Aかつa＞-1の場合、
　(?@の左辺)＝・・＝(2+a)/2√(1+a) となるので、
　?@の左辺は、十分に収束している
　そのため?@が成り立つためには(2+a)/2√(1+a)＝5/4…

ということで、解答中では「十分」という文言は使われていませんでしたが、十分条件もちゃんと現れています。
結局「?@の左辺が収束するためには」と考えると、
?Aがその必要条件なのは明らかですが、(イ)の所で極限を計算できている、それは「収束する」を示したことに他ならないので、十分条件になっているのです。

ということで、
　・b=-√(1+a)は、?@の左辺が収束するための必要条件
　・b=-√(1+a)かつa＞-1は、?@の左辺が収束するための十分条件
　　( a＞-1 の代わりに a=-1 では十分条件にならない )
　→ ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分

収束することが分かっちゃえば、あとは極限の値を比較して方程式を解くだけですから。
No.17933 - 2012/07/01(Sun) 02:36:58
☆ Re: 十分条件 / 炭酸
わかりやすい解説本当にありがとうございます。

ところで
　?Aかつa＞-1の場合、
　(?@の左辺)＝・・＝(2+a)/2√(1+a) となるので、
　?@の左辺は、十分に収束している・・・※
　そのため『?@が成り立つためには』(2+a)/2√(1+a)＝5/4…
について

※の段階で必要十分が言えたのに『』でまた
?@が成り立つ‘ためには’というように必要条件を表す言葉がまた現れているのは何故ですか？
No.17934 - 2012/07/01(Sun) 11:05:27
☆ Re: 十分条件 / angel
> ※の段階で必要十分が言えたのに『』でまた
> ?@が成り立つ‘ためには’というように必要条件を表す言葉がまた現れているのは何故ですか？

今一度、「何に対する必要/十分条件」なのかを注視してください。
あくまで、
　・収束するために〜が必要
　・〜であれば十分収束する
であって、必要十分は「収束すること」に対してしか示せていないのです。
ところが問題である?@は、「収束し、なおかつその極限の値が5/4であること」と、2段階分の話が入っており、極限の値についての吟味はこれからです。だから改めて「?@が成り立つためには〜」と仕切り直しているのでしょう。

念のため繰り返しますが、「収束すること」と「その極限の値がある都合の良い値になること」は話が別なのです。
※とはいえ、後者の話をする前に前者を片付けないといけないのですが

なお、(模範)解答例は、あくまでも「こう書いたら正解になる例」に過ぎませんので、誰かが読んで分かりやすい説明文になっている保証は全くありません。
自身で「分かりにくいなあ」と感じたなら、どう言葉を替えれば/補えば分かりやすくなるか、考えてみるのも一興です。
※上の私の説明は、微力ながらそういうのを目指して書いたものです。
No.17935 - 2012/07/01(Sun) 13:00:13
☆ Re: 十分条件 / 炭酸

回答ありがとうございます。
解答の意図を明確にするとこれで合っていますでしょうか？
解）
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4・・?@
が成り立つ時
lim（x→1+0)(2x^2-3x+1)=0より
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b）＝０
よって?@の左辺が収束するためにはｂ＝−√（1+a)・・?Aとなることが必要である（必要条件）

逆にこのとき
(ア）a=-1の場合ｂ＝０で
?@の左辺＝lim(x→1+０）√｛ｘ（ｘ−１）｝/(2x-1)(x-1)=lim(x→1+０）√ｘ/(2x-1)√(x-1)=∞となり条件を満たさない
（イ）a>-1の場合
?@の左辺＝・・＝(2+a)/2√(1+a)
となるので?@の左辺は十分に収束している

よって?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
がいえた。

よって
?@が成り立つ（?@の左辺が5/4に収束する）ための必要条件は

(2+a)/2√(1+a)＝5/4
a=-3/4,3
これらはa>-1を満たすので十分条件も満たされた
?Aよりa=-3/4のときｂ＝-1/2,a=3のときｂ＝−２
よって
（a、ｂ）＝（-3/4、-1/2）（3、ー２）（答え）
No.17938 - 2012/07/01(Sun) 15:14:48
☆ Re: 十分条件 / angel
ここは細かいようで、実は大事なところ。

> よって?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
がいえた。

ではなく、
> ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分
( No.17933 の私のコメントより抜粋 )
です。

もちろん、収束する場合には?@の左辺は(2+a)/2√(1+a)にしかならなくて、後でaの方程式をたてる時に重要なのですが、まず「収束するための必要十分条件」を整理するという意味では、 b=-√(1+a)かつa＞-1 を先に片付けないといけないのです。
No.17943 - 2012/07/01(Sun) 22:17:15
☆ Re: 十分条件 / 炭酸
ご指摘ありがとうございます！
b=-√(1+a)かつa＞-1 を先に片付けないといけないのはなぜですか？?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分でもなんとなくよさそうな気もしますがなんだかはっきりしません。
?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
は誤りなのでしょうか？

また別の疑問ですが
この論理を包含関係で捉えようとしました。
?@の左辺が収束をＡ，b=-√(1+a)をＢ、a＞-1をＣとして
まずＡ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことで
Ａ⇔「ＢかつＣ」が言える理由が分かりません。

Ａ⇒Ｂ⇒ＢかつＣ、ＢかつＣ⇒Ａというなら
Ａと「ＢかつＣ」は両方向に矢印が行っているので必要十分だとわかりますが

ベン図を描いてみるとどう考えてみてもＢ⇒「ＢかつＣ」にはなりません。「ＢかつＣ」⇒Ｂです。
No.17944 - 2012/07/01(Sun) 23:12:03
☆ Re: 十分条件 / ITVISION
横から失礼します。
angelさんがていねいに回答をしておられると思いますが、追質問への回答がまだのようなので後半部分だけ回答します。
> ?@の左辺が収束をＡ，b=-√(1+a)をＢ、a＞-1をＣとして
> まずＡ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことで
> Ａ⇔「ＢかつＣ」が言える理由が分かりません。
おっしゃるとおり、
Ａ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことだけでは
Ａ⇔「ＢかつＣ」のうち、Ａ⇒Ｃはいえません。

元の解答では、明示的とはいえないかも知れませんがＡ⇒Ｃ も言っていることになるのだと思います。

「(ア）a=-1の場合ｂ＝０で
?@の左辺＝lim(x→1+０）√｛ｘ（ｘ−１）｝/(2x-1)(x-1)=lim(x→1+０）√ｘ/(2x-1)√(x-1)=∞となり条件を満たさない」
の部分です。

前提条件 a≧−１のもとで
（a=-1　⇒　「Ａでない」）すなわち（Ａ⇒「a=-1でない」）すなわち（Ａ⇒「a＞-1」）すなわち（Ａ⇒Ｃ）

下記のように明示した方が分かりやすいかも知れません。
（記述例）
「(ア）a=-1の場合・・・条件を満たさない。」よって「・・ためにはa＞-1でなけれなならない。（必要条件）」・・・

ただ、もれなく場合わけしたときは、それぞれの場合ごとに、必要十分条件を求め、それらの和をとれば全体の必要十分条件となると思いますので、元の解答のままでもｏｋだと思います。
No.17947 - 2012/07/03(Tue) 00:16:48
☆ Re: 十分条件 / 炭酸
詳しい解説ありがとうございます。

もれなく場合わけしたときは、それぞれの場合ごとに、必要十分条件を求め、それらの和をとれば全体の必要十分条件となると思いますので、元の解答のままでもｏｋ

がよく分からないので具体的に教えていただけないでしょうか？
No.17954 - 2012/07/03(Tue) 18:49:47
☆ Re: 十分条件 / ITVISION
訂正します。
場合分けによるとき、場合分けの各条件について、必要条件であるかどうかを判定することは、適当ではありませんね。
（この問題では、a＞-1がたまたま必要条件になりましたが）
次の例を参考にしてください。
No.17956 - 2012/07/03(Tue) 21:09:14
☆ Re: 十分条件 / ITVISION
場合分けと必要条件十分条件について簡単な例で説明します。
｜ｘ｜+２｜２−ｘ｜−３　＜　0　・・Ａ　を満たす実数ｘの範囲を求めよ。

絶対値の記号を外すため、ｘの値によって３つの場合に分ける。
（１）ｘ＜0　・・Ｂ１のとき
　　−ｘ＋２（２−ｘ）−３　＜　0
　　ｘ＞１／３　・・Ｃ１
　　このときＢ１を満たさないので解なし・・Ｄ１

（２）0≦ｘ＜２・・Ｂ２のとき
　　　ｘ＋２（２−ｘ）−３　＜　0
　　　ｘ　＞　1　・・Ｃ２
　　　よって　1　＜　ｘ　＜２　・・Ｄ２

（３）ｘ≧２・・Ｂ３　のとき
　　　ｘ＋２（ｘ−２）−３　＜　0
　　　ｘ　＜　７／３　・・Ｃ３
　　　よって　２　≦　ｘ　＜　７／３　・・Ｄ３

（１）（２）（３）を合わせて、求める解は、Ｄ１またはＤ２またはＤ３
1　＜　ｘ　＜２,　２　≦　ｘ　＜　７／３　すなわち　1　＜　ｘ　＜　７／３

集合で表すと　Ｄ１∪Ｄ２∪Ｄ３（ただしＤ１＝∅）
（命題とそれを満たす集合を同じ記号で表しています）

?@Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３、Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３は、それぞれ、Ａであるための必要条件ではない。
?AＤ１、Ｄ２、Ｄ３は、それぞれ、Ａであるための十分条件だが必要条件ではない。
　（この問題の場合Ｄ１は常に偽）
?B（Ｂ１かつＡ）⇔（Ｂ１かつＣ１）⇔Ｄ１
　（Ｂ２かつＡ）⇔（Ｂ２かつＣ２）⇔Ｄ２
　（Ｂ３かつＡ）⇔（Ｂ３かつＣ３）⇔Ｄ３
?C　Ａ⇔（Ｂ１またはＢ２またはＢ３）かつＡ　⇔（Ｂ１かつＡ）または（Ｂ２かつＡ）または（Ｂ３かつＡ）

?B?Cより　Ａ⇔（Ｄ１またはＤ２またはＤ３）
No.17968 - 2012/07/04(Wed) 23:12:39
☆ 回答その１ / angel
遅くなりましたが、ご質問頂いた所について。
> b=-√(1+a)かつa＞-1 を先に片付けないといけないのはなぜですか？
> ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分でもなんとなくよさそうな気もしますがなんだかはっきりしません。
> ?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
> は誤りなのでしょうか？

「?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)」
は、誤りではありません。( 実際に、後の工程で使用しています )
が、そもそもの話として 「lim (式) = 値」の形というのは「lim (式)」が収束するという条件を暗に含んでいます。
だからこそ「収束するための条件」を押さえておかないと、今回の場合 a の値を方程式で求めたとしても、「その a の値で本当に大丈夫か」という疑問を払拭できません。
だから、「b=-√(1+a)かつa＞-1」という「収束のための条件」を片付ける方が優先なのです。

少し意地悪な例を挙げます。
　例題：lim[x→1] (x^2+a^2・x+b^2)/(x-1) = 3 を満たす a を全て挙げよ ( a,b は実数とする )
　不正解：
　　f(x)=x^2+a^2・x+b^2 と置くとき、f(1)=0
　　よって、1+a^2+b^2=0 すなわち b^2=-(a^2+1)
　　これにより f(x)=x^2+a^2・x-(a^2+1)=(x-1)(x^2+a^2+1)
　　lim[x→1] f(x)/(x-1) = a^2+2
　　a^2+2=3 を解いて a=±1
　　答え：a=±1

なぜ間違いかは、b の値を計算すれば分かると思います。
今回の問題では a,b 両方の値を求めるため、このような間違いをすることはないと思いますが、収束の条件を先にまとめておかないと、折角導き出した答えの正しさを保証できなくなる、ということです。
※採点としては、合っているけど考慮不足で減点、という扱いになりそう
No.17976 - 2012/07/07(Sat) 16:04:05
☆ 回答その２ / angel
続いてこちら
> まずＡ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことで
> Ａ⇔「ＢかつＣ」が言える理由が分かりません。

ちょっとこれは私の書き方が悪かったのですが、
　Ａ⇒Ｂ
　ＢかつＣ ⇒ Ａ
　Ｂかつ(Ｃでない) ⇒ Ａでない
の3条件全て揃ったので、Ａ⇔ＢかつＣ が言えたのです。
※a≧-1 という前提があるため、Ｃ(a＞-1) の否定は a=-1

No.17933 の私の記述を再掲します。3番目の「Ａでない」の話についてはカッコの中に書いたつもりでしたが、ちょっとマズい書き方でした。
※「a=-1 では十分条件にならない」ではなく「a=-1では収束しない」が正しい
--
　・b=-√(1+a)は、?@の左辺が収束するための必要条件
　・b=-√(1+a)かつa＞-1は、?@の左辺が収束するための十分条件
　　( a＞-1 の代わりに a=-1 では十分条件にならない )
　→ ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分
No.17977 - 2012/07/07(Sat) 16:14:18
☆ Re: 十分条件 / 炭酸
回答ありがとうございます
Ａ⇒Ｂ
　ＢかつＣ ⇒ Ａ
　Ｂかつ(Ｃでない) ⇒ Ａでない
の3条件からどのような思考過程でＡ⇔ＢかつＣ になったのか教えてください

よろしくおねがいします
No.17995 - 2012/07/11(Wed) 21:52:03
☆ Re: 十分条件 / angel
> 3条件からどのような思考過程でＡ⇔ＢかつＣ になったのか教えてください

色々ありますけど…。
身近な事例に置き換えて考えられるのは、割と大事なのではと思います。

大雑把な例として。
・運転免許を取得する(条件A)には、少なくとも学科試験に合格する(条件B)こと。
　( BはAの必要条件、すなわち A⇒B )
・学科試験に合格し、かつ，実技試験にも合格(条件C)すれば、運転免許が発行される。
　( BかつC⇒A )
・学科試験に合格していようとも、実技試験に合格しなければ、運転免許は取得できない。
　( Bかつ(Cでない)⇒Aでない )

さて，この例で「運転免許を取得するための必要十分条件」は? と考えれば、A⇔BかつCと言えることが分かるでしょう。
No.18006 - 2012/07/14(Sat) 02:41:53
☆ 他の思考 / angel
> 3条件からどのような思考過程でＡ⇔ＢかつＣ になったのか教えてください

他には、ベン図を描いてみて、どういう状況なら件の3条件を満たすか考えるという手もありますし、機械的に論理上の規則を用いて整理することもできます。次のように。

　( A⇒B ) and ( B and not C ⇒ not A )
　⇔ ( A⇒B ) and ( A ⇒ not ( B and not C ) )
　　※対偶 X⇒Y ⇔ not Y⇒not X
　⇔ ( A⇒B ) and ( A ⇒ not B or C )
　　※ド・モルガン not(X and Y) ⇔ not X or not Y
　⇔ A⇒( B and ( not B or C ) )
　　※⇒の合成 (X⇒Y)and(X⇒Z) ⇔ X⇒Y and Z
　⇔ A⇒(B and not B) or (B and C)
　　※分配法則 X and (Y or Z) ⇔ (X and Y)or(X and Z)
　⇔ A⇒false or (B and C)
　　※無矛盾律 X and not X⇔false
　⇔ A⇒B and C
　　※orの基本性質 false or X ⇔ X

ということで、B and C⇒A 以外の2条件から A⇒B and C が導かれるため、これらを合わせて A⇔B and Cです。
※往々にして「機械的に」というのは得意な人が少ないのですがね。
No.18007 - 2012/07/14(Sat) 02:59:16
☆ Re: 十分条件 / 炭酸
回答ありがとうございます。
機械的にやるのは現実的じゃないようですね。となると
「Ａ⇒Ｂ」かつ
　「ＢかつＣ ⇒ Ａ」かつ
　「Ｂかつ(Ｃでない) ⇒ Ａでない」
⇔「Ａ⇔ＢかつＣ 」
を示すにはベン図しかないようですね。ところがＡＢＣは等式であったり不等式であったり次元？が違いますよね。となるとベンズのかさなり具合とか分からないのですが。どういう手順でベンズを書いたのか教えてください。よろしくお願いします
No.18009 - 2012/07/14(Sat) 08:56:36
★ 数?V ｸﾞﾗﾌ / 笠
数?Vのｸﾞﾗﾌ(抽象的ですいません)を書くとき、たいていの問題は２回微分して増減表が４段のやつを書いているんですが、何問かはｙ'の一回微分しか行いません。またｙ'を無限に飛ばしたり…その違いは何ですか？
No.17920 - 2012/06/28(Thu) 20:07:08
☆ Re: 数?V ｸﾞﾗﾌ / angel
私が現役の頃の記憶で話しますと…

「グラフを描け」という数IIIの問題であれば、必ず2階の微分係数も計算して、4段の増減表を書いていました。
※増減は斜め直線ではなく、曲線の矢印で書くという、例のアレ
そうしないと、グラフの凹凸までを示したことにならないからです。

加えて、漸近線がある場合はその計算も。無限が絡むのはここらへんでしょうか。

しかし、グラフを描くのが問題の主目的でない場合、よくあるのが解答の中で説明のためのツールとして使用する場合。
もしグラフの凹凸が解答に関係ないのであれば、2階微分も計算しませんし、シンプルな増減表で済まします。

もちろん、典型的な関数のグラフ ( 放物線なりサインカーブなり ) で、表をまとめなくても形が明らかな場合は、思い切り省略しますけどね。
No.17922 - 2012/06/28(Thu) 22:35:59
★ (No Subject) / はてな
高校３年生です。
次の式のxに対する微分の答えがわかりません。教えてください。

Z = AB^4 / [C^2D^2{Bx-B/(xCD)}^2{A^2+(Cx-1/(Dx)-B^2/(CD(Bx-B/(xCD))))}]

よろしくお願いいたします。
No.17918 - 2012/06/28(Thu) 08:12:08
☆ Re: / ヨッシー
式がややこしくて、誤解があるといけませんので、確認ですが、

で、よろしいですか？
No.17919 - 2012/06/28(Thu) 09:39:59
☆ Re: / はてな
ヨッシー様

ご提示いただいた式で間違いありません。
分かりにくい表記で申し訳ございません。
No.17921 - 2012/06/28(Thu) 20:52:51
☆ Re: / ヨッシー
分母をf(x) つまり、ｚ＝ＡＢ^4/f(x) とおくと
　dz/dx＝−ＡＢ^4f'(x)/{f(x)}^2
です。よって、f'(x) を計算することが１つの目標となります。

と置き直して、計算すると

となります。
これをさらにどう簡単にするかは、好み次第でしょう。
No.17923 - 2012/06/29(Fri) 11:52:57
☆ Re: / はてな
御解答ありがとうございます。
分母をf(x)に置き換えることが大切だったのですね。
No.17924 - 2012/06/30(Sat) 00:27:18
★ 線形代数　行列 / さい

a-b+2c+3d-e=0,-2a+5b-7d-2e=-3,3a-b+6c+3d-3e=-10,a-2b+c+4d=2の連立1次方程式を消去法で解け。

お願いします
No.17898 - 2012/06/27(Wed) 01:59:52
★ 線形代数　行列 / さい
a-b-4c-2d=-1,2a+3b+c+d=-5,3a-5b+2c+d=15,4a-2b+3c+4d=1の連立1次方程式を消去法で解け。
No.17897 - 2012/06/27(Wed) 01:15:52
☆ Re: 線形代数　行列 / ヨッシー
こちらに倣って解くことにします。

　a-b-4c-2d=-1　・・・(1)
　2a+3b+c+d=-5　・・・(2)
　3a-5b+2c+d=15　・・・(3)
　4a-2b+3c+4d=1 　・・・(4)
{(2)-(1)×2}÷5, (3)-(1)×3, (4)-(1)×4 を計算
　a-b-4c-2d=-1　・・・(1)
　b+9c/5+d=-3/5　・・・(5)
　-2b+14c+7d=18　・・・(6)
　2b+19c+12d=5 　・・・(7)
{(6)＋(5)×2}÷88/5, (7)−(5)×2 を計算
　a-b-4c-2d=-1　・・・(1)
　b+9c/5+d=-3/5　・・・(5)
　c+45d/88=21/22　・・・(8)
　77c/5+10d=31/5 　・・・(9)
(9)-(8)×77/5 を計算
　a-b-4c-2d=-1　・・・(1)
　b+9c/5+d=-3/5　・・・(5)
　c+45d/88=21/22　・・・(8)
　17d/8=-17/2　・・・(10)
(10) を 17/8 で割って、d=-4
(8) に代入して、c=3
(5) に代入して、b=-2
(1) に代入して、a=1
No.17902 - 2012/06/27(Wed) 09:10:57
★ 体の定義から導く体の性質 / ハオ
体の定義から-(-a)=aを証明したのですが証明が合っているか見て頂けますか。

任意のa∈Kに対し-aが存在してa+(-a)=0を充たす(定義4)を使って
(-a)+{-(-a}=0より
a+(-a)+{-(-a)}=a(この行への式変形が心配です）
0+{-(-a)}=a
{-(-a)}+0=a（和の交換律(定義1)を使った)---?@
体Kの元0が存在して全てのa∈Kに対してa+0=aを充たす(定義3)を使って
{-(-a)}+0=-(-a)---?A
?@?A,また定義3の0の存在、定義4の-aの存在は唯一つであるから（これは証明済みです）
a=-(-a)
No.17891 - 2012/06/25(Mon) 23:28:05
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / angel
> この行への式変形が心配です
そこは説明が不十分だと思います。
　・a+0=a
　・0=(-a)+(-(-a))
　→ a+( (-a)+(-(-a)) )=a
ということなら分かりますが。

…ちなみに、これでも証明として間違ってはいませんが、一瞬でケリをつけることもできるはずです。
No.17894 - 2012/06/26(Tue) 14:43:31
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / ハオ
angelさん有難うございます。
a+0=aから0=・・・を代入する形でもっていくのですね。
僕は等式の両辺にaを加えるという操作をしてしまいました（これはまだ証明できていませんので使えなかったです）

a,b,c∈R
a=bならばa+c=b+cの証明はたった今実数の性質の一つ[順序]を使ってできました。

証明を綺麗にスタっとまとめるのは難しいですがもう少し考えてみます。
P.S
angelさんが出して下さった類題を解いてみましたのでもし宜しければ丸付けお願い致します。
No.17895 - 2012/06/26(Tue) 15:10:53
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / のぼりん
こんばんは。
横から失礼します。
「定義３」「定義４」というのが何だか分からないので、的外れかも知れませんが、普通の体の公理を前提とすれば、
　　　ａ＝ａ＋０＝ａ＋〔（−ａ）＋｛−（−ａ）｝〕＝｛ａ＋（−ａ）｝＋｛−（−ａ）｝
　　　　＝０＋｛−（−ａ）｝＝−（−ａ）
と、一行（物理的には二行ですが）で証明可能だと思います。
No.17896 - 2012/06/26(Tue) 22:12:37
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / ハオ
>のぼりんさん
なるほどありがとうございます。
「定義4」は任意のa∈Kに対し-aが存在してa+(-a)=0を充たす元-aが存在する
「定義3」は体Kの元0が存在して全てのa∈Kに対してa+0=aを充たす
です。

a=a+0 (定義3を使った)
=a+{(-a)+{-(-a)}} (定義4を使った)
={a+(-a)}+{-(-a)} (和の結合律を使った)
=0+{-(-a)} (定義4を使った)
=-(-a) (定義3を使った)

理解の為に後を追わせてもらいました。
理解はこれであっていますか？

P.S
紫色が3連続すると見づらくなってしまうかもしれませんので
少し色を変えました。
No.17906 - 2012/06/27(Wed) 11:39:09
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / のぼりん
ご賢察のとおりと拝察します。

※　「定義３」「定義４」と仰る命題は、公理であり定義とは違うので抵抗感がありますが、「定義」の部分は単なる符牒と解して受け入れるしかないのでしょう。
No.17907 - 2012/06/27(Wed) 21:25:30
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / angel
> 僕は等式の両辺にaを加えるという操作をしてしまいました（これはまだ証明できていませんので使えなかったです）

いや、そういうことであれば特に問題はないと思います。
ただし、それについての説明がなかったので「説明が不十分」と指摘してわけで。

> a+0=aから0=・・・を代入する形でもっていくのですね。

この「代入」は、「説明が不十分」な部分を埋めるための一例であって、両辺に等価なものを足す、でも良いです。
※ただ、結合律の適用についても触れておいた方が良いと思います。
No.17908 - 2012/06/27(Wed) 22:18:16
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / angel
> 一瞬でケリをつけることもできるはずです。

これは、のぼりんさんの言う「一行で証明可能」よりももっと「一瞬」です。
ただ、「定義4の-aの存在は唯一つである」という結果を使わないといけなくて、これは定義には直接含まれないので、ちょっと微妙でしたね。

まあ一応、どんな一瞬具合かというと、こんな感じ。
--
　任意のaおよびマイナス元-aに対し、a+(-a)=(-a)+a=0 が成立する。
　よって、aは(-a)のマイナス元である。(マイナス元は唯一つであるため) -(-a)=a
No.17909 - 2012/06/27(Wed) 22:30:25
☆ Re: 体の定義から導く体の性質 / ハオ
>のぼりんさん
有難う御座います。すいません公理と定義誤って使っていました。

>angelさん
度々というかほとんど何度もお世話になって申し訳ないです。
スタッとした証明方法ありがとうございます。ノートに写させて頂きました。

また皆さんにはお世話になると思いますが、その時はどうぞ宜しくお願い致します。
得られた理解や証明は独りよがりのものにならざるをえず（これは僕が悪いのですが）それが怖くてこうして何度も皆さんのお力を借りてしまう結果になります。
節操のない質問量、質問の質には気を付けて参りますので宜しくお願い致します。
No.17917 - 2012/06/28(Thu) 01:15:16
★ 高校数学２Bです / rio
「ある四次方程式がx=1+√3i を解にもつ」から「その四次式はx=1+√3iを移項して2乗した、x^2-2x+4で割り切れる」という説明がありました。なぜ突如x=1+√3iを移項して2乗した式を考えられるのでしょうか。たとえばx=3を解にもつといわれても元の式は(x-3)で割り切れることは因数定理ですぐ言えますが、x^2-6x+9で割り切れるなどとは考えられませんよね。
No.17886 - 2012/06/25(Mon) 18:26:29
☆ Re: 高校数学２Bです / ハオ
後学の為にと勝手ながら僕の考えを書かせて頂きます。
ある4次方程式をP(x)とおくと、それがx=1+√3iを解に持つことから、それと共役なx=1-√3iも解に持つことが分かります。
これより
P(x)=Q(x)(x-1-√3i)(x-1+√3i)と書けて
P(x)=Q(x)(x^2-2x+4)
であるからx^2-2x+4で割り切れる。となります。
質問の
>x=1+√3iを移項して2乗した式を考えられるのでしょうか
に対する答えは解答だから「かっこいい解き方」をしたのではないかと。
僕の様な凡人は堅実に式変形していって「x^2-2x+4で割り切れる」事を確認しました。
No.17887 - 2012/06/25(Mon) 18:45:54
☆ Re: 高校数学２Bです / rio
ありがとうございます。

＞ある4次方程式をP(x)とおくと、それがx=1+√3iを解に持つことから、それと共役なx=1-√3iも解に持つことが分かります。

これは高校レベルでも必須の知識なのでしょうか？
No.17888 - 2012/06/25(Mon) 20:49:10
☆ Re: 高校数学２Bです / ハオ
高校レベルでも必須と言っても過言ではないと思います。
実際僕の持っている高校レベルの参考書では普通に用いられています。
証明をお知りになりたいのでしたら『新数学スタンダード演習』(臨時増刊2009-4)のP7からP8に書いてあるので立ち読みして見てください。
No.17889 - 2012/06/25(Mon) 21:09:33
☆ Re: 高校数学２Bです / rio
参考書までありがとうございました。早速確認してみます。
No.17892 - 2012/06/26(Tue) 00:03:41
☆ Re: 高校数学２Bです / 豆
一般的には成立しません。
成立するのは係数が実数のときに限られます。
No.17893 - 2012/06/26(Tue) 09:43:32
★ 円に内接、外接する図形の選び方 / 2
はじめまして、一応過去ログは確認しましたが
同じ質問がないようなので、投稿させていただきます
（同じ質問があった場合はごめんなさい）

円周率πに関して次の不等式が成立することを証明せよ。ただし、数値π=3.141592…を使用して直接比較する解答は0点とする。
3√(6)-3√(2) < π < 24-12√(3)

解答自体は
半径1の円に内接する正24角形の面積、
半径1の円に外接する正12角形の面積を求めて
比較するという事は分かるのですが

この正24角形、正12角形はどこから
やってきたのでしょうか？
手当たり次第に試す以外に方法があるのでしょうか？

自分では、半径1の円に内接するn角形の面積を求めた後、
3√(6)-3√(2)と比較し、nについて解く方法を考えたのですが、
計算機がないと解く事ができないので気になっています


一応、自分でやってみた計算を載せます
内接する図形をn個の三角形に分けて面積を計算します
頂角：a=(2π)/nとすると
(1/2) * [sin(a/2)*1] * [cos(a/2)*1] * 2 * n = n * sin(π/n) * cos(π/n)
((1/2) * [高さ] * [底辺] * 図形2個分 * n個分)　　　?凵ｩこの形の三角形で(斜辺が半径)

n*sin(π/n)*cos(π/n)=(n/2)*2sin(π/n)cos(π/n)
加法定理 sin(2α)=2sinαcosα を利用して
(n/2) * sin{(2π)/n}

この式を使い
(n/2) * sin{(2π)/n}=3√(6)-3√(2)
を満たすnがこの問題を解くのに都合のいい図形になるので
この式をnについて解けばいいのですが、これ以上どう変形すればいいか分かりません

これ以外の方法が思いつかず行き詰っているので質問させていただきました
汚い文で用語も間違えているかもしれませんが、どうかよろしくお願い致します
No.17882 - 2012/06/25(Mon) 00:00:19
☆ Re: 円に内接、外接する図形の選び方 / 七
内接する正n角形の面積は
n*(1/2)*1*1*sin(2π/n)です。
外接する正n角形の面積は
n*2*(1/2)*1*tan(2π/2n)＝n*1*tan(π/n)です。
これらと円の面積πとを比較すると
n*(1/2)*1*1*sin(2π/n)＜π＜n*1*tan(π/n)
これと
証明すべき
3√(6)-3√(2) < π < 24-12√(3)
を比較すると

sin(π/12)＝sin((π/3)−(π/4))＝sin(π/3)cos(π/4)−cos(π/3)sin(π/4)
＝(√(3)/2)*(√(2)/2)−(1/2)*(√(2)/2)＝(√(6)−√(2))/4

tan(π/12)＝tan((π/3)−(π/4))＝(tan(π/3)−tan(π/4))/(1＋tan(π/3)tan(π/4))
＝(√(3)−1)/(1＋√(3)*1)＝2−√(3)

を記憶していれば
内接の方は正二十四角形,外接の方は正十二角形を使えばよいと気がつきます。
No.17883 - 2012/06/25(Mon) 06:43:20
☆ Re: 円に内接、外接する図形の選び方 / 2
やはり知識として知っておく以外に方法はないみたいですね
考えてみれば、この問題に限った事ではないですし当然ですね

大変分かりやすい回答、ありがとうございました
また機会があれば、よろしくお願い致します
No.17890 - 2012/06/25(Mon) 22:22:59
★ (No Subject) / あい
この問題の解き方教えてください。
S(n)-S(n-1)=a(n)で解くみたいなのですが
よくわからないです。
よろしくお願いします。
No.17880 - 2012/06/24(Sun) 21:59:16
☆ Re: / ヨッシー
Σの部分は、Ｓ[n] とおけるので、
　(2^n)Ｓ[n]＝(2^n)ａ[n+1]−2ａ[n]　　・・・(i)
　{2^(n+1)}Ｓ[n+1]＝{2^(n+1)}ａ[n+2]−2ａ[n+1]　・・・(ii)
(ii) の両辺を２で割って、
　(2^n)Ｓ[n+1]＝(2^n)ａ[n+2]−ａ[n+1]　・・・(iii)
(iii)−(i) より
　(2^n)(ａ[n+2]−2ａ[n+1])＝ａ[n+1]−2ａ[n]
ｂ[n]＝ａ[n+1]−2ａ[n] とおくと、ｂ[1]＝０ より、
任意のｎに対して、ｂ[n]＝０ となり、
　ａ[n+1]−2ａ[n]＝０
　ａ[n+1]＝2ａ[n]
より、ａ[n] は、公比２の等比数列となります。
No.17881 - 2012/06/24(Sun) 22:38:08
★ 掃き出し法 / ！
掃き出し法で
x-y+z=4
2x-2y+z=6
-x+y+2z=2
をといていくと
1 -1 0
0 0 -1
0 0 0
という風になりました
解答を見たら
x=2 + t1=2+t
y=0 + t1=t
z=2 + t0=2
という風に書いてありtは任意定数と
書いてありました。
どうやってｔでまとめるんですか？
やり方を教えて下さい
No.17879 - 2012/06/24(Sun) 21:00:33
☆ Re: 掃き出し法 / ast
> どうやってｔでまとめるんですか？
別に行列などを使わず中学で扱うように加減法でやれば何が起きているかはわかるのではないかと思いますが, 単純に言って変数3つで方程式が(独立なものが)2本しかないので, 変数が1つ残って (今の場合はy) 他の変数xとzがyの式で書ける, という結局何の変哲もない話をごちゃごちゃと説明することになります. その前に少し回り道をしますが, その連立方程式
> をといていくと
> 〜
> という風にな
らないはずです (ある意味では「惜しい」とも言えるかもしれないけれども). 右辺をも考慮しなければ「連立一次方程式を掃出し法で解く」ことはできません.

そもそもの話として, 方程式の左辺の係数行列を A, 変数ベクトルを w = tp(x,y,z) (tpは行列の転置, つまり w は縦ベクトル), 右辺の定ベクトルを a = tp(4,6,2) とすると, 件の方程式は Aw=a という形に書けて, 行基本変形が左から正則行列を掛けることに相当することを利用して式を簡単にするのが掃出し法の原理です. 両辺に同じ操作をやるので, 普通はまとめて (A|a) という行列に基本変形を施します (縦棒 "|" は横に並べていることを明示するためだけのもので, 式としての意味は特にありません). これらの話は問題に取り掛かる時点で十分に踏まえておくべきです.

A が正則なら A の逆行列 B があるので, 基本変形を施せば E を3次単位行列として (E|Ba) という形になるはずで, これが w=Ba の意味であることを理解すれば終わりです. しかし, 正則でない場合は小行列式が0でないような小行列を見つけることから始める必要があります.

そういうわけで件の方程式では, yとzを入れ替える正則行列Pを考え, 係数行列を A' := AP^(-1), 変数ベクトルを w' := Pw にとりかえて, 行列 (A'|a) を変形すると, A'の部分が
(I|b)
(c|0)
の形 (Iは二次単位行列, b, c はある定ベクトル, 普通なら c=(0,0)) に変形されるはずです. そうして両辺の第三成分以外の部分 (I|b)w'=a' はxとzをyの式として表すものになっていることを理解すると初めの疑問への答えとなるでしょう.

まあ要するに今の場合, (独立な2本の方程式を選んでから) y を含む項を定数と見て右辺へ移してしまえば, 残った左辺の係数行列は正則になるので (y は任意の値 t をとりうるものと解釈すれば) 普通に解けるということでしかありませんが.

> やり方を教えて下さい
こういう基本的な部分は, 最終目的が単に計算ができるようになればいいだけの場合であっても, やり方ではなく理屈を押さえるようにした方がよいと思いますよ. 本問のようにもっとも単純な場合とは少し違う変形版が来たときなどに潰しが効くので.
No.17900 - 2012/06/27(Wed) 03:39:15
★ 三角関数の極限 / おれんじ
三角関数の極限の求め方を教えて下さい。
?@lim(x→∞)cos1/x

?Alim(x→-∞)sin1/x
No.17875 - 2012/06/24(Sun) 15:50:50
☆ Re: 三角関数の極限 / X
(1)
t=1/xと置くと
(与式)=lim[t→+0]cost=1

(2)
t=1/xと置くと
(与式)=lim[t→-0]sint=0
No.17876 - 2012/06/24(Sun) 17:09:47
☆ Re: 三角関数の極限 / おれんじ

t=1/xと置くと
なぜ、lim[t→+0]になるんですか？

すいませんよく、分からなくて・・・


No.17877 - 2012/06/24(Sun) 18:32:12
☆ Re: 三角関数の極限 / X
t=1/xにおいて、x＞0のときt＞0
従ってx→∞のときtはt＞0の側から0に近づきます。
(y=1/xのx＞0のときのグラフを描いてみましょう。)
No.17878 - 2012/06/24(Sun) 20:57:09
★ 外分点 / Xex
「線分ABをm:nに外分する」と「線分BAをm:nに外分する」はどう違うのでしょうか?
また、「線分ABをm:nに外分する」と「線分BAをn:mに外分する」は同値ですか?
No.17864 - 2012/06/22(Fri) 19:36:41
☆ Re: 外分点 / ヨッシー
１：１に外分するというのはあり得なくて、必ずｍ，ｎの
どちらかが大きいのですが、ここでは、ｍ＜ｎ とします。
下の図で、ＡＢを　ｍ：ｎに外分したのがＰで、ＢＡをｍ：ｎに
外分したのがＱです。

後半の方は、同値というか、同じ意味です。
No.17865 - 2012/06/22(Fri) 22:29:43
★ 文系高校生　相似が分かりません / souzi
∠Aが直角である△ABCでCA=1 AB=2とする。頂点Aから辺BCに下した垂線の足をA[1]とする。
次にA[1]から辺ABに下した垂線の足をA[2]とする。
このようにして、図のように垂線A[2]A[3]、A[3]A[4]・・・を作っていく。
また、線分AA[1]の長さを2/√5(問1の問題です)とするとき、線分の長さの和A[0]A[1]＋A[1]A[2}＋・・・＋A[n-1]A[n](ただし、A[0]=Aとする)を求めよ。

という問題で解答には
△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。
よって初項2/√5,等比2/√5、項数n個の等比数列の和であるので
2(√5＋2){1-(2/√5)^n}・・・(答)
とあるのですが
【△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。】の部分がわかりません。
問1でAA[1]の長さを求めるとき、△BCAと△BAA[1]の相似を利用して
AC=1　BC=√5　BA=2より
CA:AA[1]=BC:BAよりAA[1]=2/√5が求まったので
線分の比から考えて
△BCAと△BAA[1]の相似比は1:(2/√5)というのはわかりますが、
どうしてこの比がその他の相似な図形にも適用できるのかがわかりません。
僕がこの問題を解いたときはとりあえずA[1]A[2]を(1)のときと同様に比を利用して求めたら(2/√5)^2とでたので、
ここでやっと規則性に気付いたのですが、このやり方だとA[2]A[3]が(2/√5)^3になるのか、A[3]A[4]が(2/√5)^4になるのか確信をもてませんよね；
おそらく相似比を利用すれば確信をもって各線分の長さの規則性を利用することができると思うのですが。。。

また、たとえばなんですが、もし1:(2/√5)という相似比が△BA[1]A[2]に利用できるならこの三角形は△BACと相似なので
同じ辺どうしの比でA[0]C:A[1]A[2]=1:A[1]A[2]=1:(2/√5)　とできますよね？
ですがこれを解いてもA[1]A[2]は(2/√5)^2とはなりません。
なぜなんでしょうか？
相似が昔っから本当に苦手で困っています・・・誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17856 - 2012/06/22(Fri) 15:24:35
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
たとえば図の?@?A?Bがそれぞれ相似になっている図形があるとします。
このとき(?@と?Aの相似比)かつ(?@と?Bの相似比)かつ(?Aと?Bの相似比)は成り立つんでしょうか？
模試成り立つなら解答の【△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。】もわかる気がするんですが・・・
なんだかよくわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17857 - 2012/06/22(Fri) 15:33:35
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
例えば、あらゆる正三角形は相似なのですが、どんな大きさの正三角形でも、
辺と中線(△を半分に折ったときの折れ線)の比は、2:√3 ですよね？
また、正方形についても、どんな大きさの正方形でも、辺と対角線の比は、
1:√2 です。

つまり、相似な２つの図形に一定の角度で同じように引いた線分も、
辺との比を保ったままになります。


また、２つ目の記事の図のように、相似な三角形を並べただけでは、
相似比が同じかどうかわわかりません。ただし、下の図のように、
頂点が直線上にあるなら、
　?@と?Aの相似比＝?Aと?Bの相似比
となります。ただし、?@と?Bの相似比はこれらとは違います。
　?@と?Aの相似比＝?Aと?Bの相似比＝ａ：ｂ
なら、
　?@と?Bの相似比はａ^2：ｂ^2
になります。

下の図は、相似比が２：１の三角を３つ並べたもので、
　?@と?Aの相似比＝?Aと?Bの相似比＝２：１
　?@と?Bの相似比＝４：１
です。

No.17858 - 2012/06/22(Fri) 16:03:18
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
回答ありがとうございます。
補足です。
ということは本問の場合は△ABCの中で三角形が作られているので相似比がわかり、△ABCと△BAA[1]が相似で、この相似比が1:2/√5だから
△ABCと△BAA[1]の相似比＝△BAA[1]と△BA[1]A[2]の相似比とすることができるということですよね？
なんていったらいいのかわかりませんが相似な図形が一か所みつかったらその相似な図形に近い方の図形から相似比を考えていくということなんでしょうか？
No.17859 - 2012/06/22(Fri) 17:51:55
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
何度もごめんなさい。
【また、２つ目の記事の図のように、相似な三角形を並べただけでは、
相似比が同じかどうかわわかりません。】の部分についてもう少し教えて頂けないでしょうか＞＜
あとちょっとでなにかが掴めそうな気がします・・・(?)
No.17860 - 2012/06/22(Fri) 18:14:40
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
最初に、確認しておかないといけないのですが、
「相似比」とは何か、説明出来ますか？
出来る場合は、説明してみて下さい。
No.17861 - 2012/06/22(Fri) 18:41:30
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
一方の図形を拡大、あるいは縮小したときの比率・・でしょうか？ごめんなさい。よくわかりません；；
No.17862 - 2012/06/22(Fri) 19:01:06
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
三角形に限って言うと、相似な２つの三角形の対応する辺の
比を相似比と言います。
拡大縮小コピーの倍率と理解しても良いでしょう。

No.17859 への回答
>△ABCの中で三角形が作られているので
ではなく、すべて同じ手続き(直角から斜辺に垂線をおろす)で
一回り小さい三角形を作っているので、同じ相似比の三角形が
次々と出来るのです。
△ABCの中でも、でたらめに線を引いたのでは相似になりませんし、
相似比という話も出てきません。

17860 への回答
>相似な三角形を並べただけでは、相似比が同じかどうかわわかりません。
にだけついて言えば、
相似と言っても、相似比は自由に取れるので、?@と?Aの相似比と
?Aと?Bの相似比が同じかどうかわかりません。
ましてや、?@と?Bの相似比が同じとは見るからに言えません。
No.17866 - 2012/06/22(Fri) 22:47:51
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
もう一度最初に戻って考えてみます。
△ＡＢＣはＡＣ：ＡＢ＝１：２ で、∠Ａ＝90°の直角三角形です。
これに、ＡからＢＣに垂線を引き交点をＡ1 とします。
このとき　ＡＣ：ＡＡ1＝１：(2/√5) です。
また、△ＡＢＣと△Ａ1ＢＡ は相似（３角相等）で、相似比は
ＡＣ：ＡＡ1＝１：(2/√5) です。(１つめの図)

△Ａ1ＢＡはＡ1Ａ：Ａ1Ｂ＝１：２ で、∠Ａ1＝90°の直角三角形です。
これに、Ａ1からＢＡに垂線を引き交点をＡ2 とします。
このとき　Ａ1Ａ：Ａ1Ａ2＝１：(2/√5) です。
また、△Ａ1ＢＡと△Ａ2ＢＡ1 は相似（３角相等）で、相似比は
Ａ1Ａ：Ａ1Ａ2＝１：(2/√5) です。(２つめの図)

△ＡＢＣと△Ａ2ＢＡ1 の相似比は、１：(2/√5)^2 です。

△Ａ2ＢＡ1はＡ2Ａ1：Ａ2Ｂ＝１：２ で、∠Ａ2＝90°の直角三角形です。
これに、Ａ2からＢＡ1に垂線を引き交点をＡ3 とします。
このとき　Ａ2Ａ1：Ａ2Ａ3＝１：(2/√5) です。
また、△Ａ2ＢＡ1と△Ａ3ＢＡ2 は相似（３角相等）で、相似比は
Ａ2Ａ1：Ａ2Ａ3＝１：(2/√5) です。(３つめの図)

△ＡＢＣと△Ａ3ＢＡ2 の相似比は、１：(2/√5)^3
△Ａ1ＢＡと△Ａ3ＢＡ2 の相似比は、１：(2/√5)^2 です。

△Ａ3ＢＡ2はＡ3Ａ2：Ａ3Ｂ＝１：２ で、∠Ａ3＝90°の直角三角形です。
これに、Ａ3からＢＡ2に垂線を引き交点をＡ4 とします。
このとき　Ａ3Ａ2：Ａ3Ａ4＝１：(2/√5) です。
また、△Ａ3ＢＡ2と△Ａ4ＢＡ3 は相似（３角相等）で、相似比は
Ａ3Ａ2：Ａ3Ａ4＝１：(2/√5) です。(４つめの図)

△ＡＢＣと△Ａ4ＢＡ3 の相似比は、１：(2/√5)^4
△Ａ1ＢＡと△Ａ4ＢＡ3 の相似比は、１：(2/√5)^3
△Ａ2ＢＡ1と△Ａ4ＢＡ3 の相似比は、１：(2/√5)^2 です。

ここまで理解できたら、この先、直角から斜辺に垂線を引く
ことにより出来る一回り小さい三角形は、その直前まで一番小さかった
三角形と １：(2/√5) の関係にあることが理解できるでしょう。
No.17867 - 2012/06/22(Fri) 23:10:34
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / souzi
回答ありがとうございます。
ヨッシーさんのおかげで理解できたのですが最後に一つだけ。
△ＡＢＣと△Ａ1ＢＡの相似比、△Ａ1ＢＡと△Ａ2ＢＡ1の相似比、・・・と順番に求めていくと相似比が1:(2/√5)となるのでこれ以降も同じように直前の三角形と直後の三角形の関係が相似比1:(2/√5)となるのは予想がつきますが、記述でこの部分を書く場合きちんとした証明のようなものは不要でしょうか？
解答では【△BCA,△BAA[1],△BA[1]A[2]、△BA[2]A[3]、・・・△BA[n-1]A[n]はすべて相似であり、相似比は1:(2/√5)である。】となっていますが、これは上記のような相似比1:(2/√5)の規則性を記述で書いた部分でしょうか？
理解力がないのでなんども質問ごめんなさい。
No.17868 - 2012/06/23(Sat) 00:08:58
☆ Re: 文系高校生　相似が分かりません / ヨッシー
問1で、ＡＡ1＝2/√5 を求めさせているので、問題の主旨としては、
これで、順々に2/√5 倍の三角形が出来ていくと証明したものと
しているのかと思います。
よって、特に証明は必要ないと思います。

つまり、当たり前のように、
　Ａ2Ａ3 は Ａ1Ａ2 の 2/√5 倍
とか使っても良いです。

おまけ↓
No.17869 - 2012/06/23(Sat) 00:18:15
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