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(No Subject) / ddd
写真の条件においてt=cos2xとするとき、?Aを満たすxの値が全部で6個あるようなaの範囲が3/4<a<1となる理由を詳しく知りたいです。
No.78597 - 2021/10/01(Fri) 21:52:50

Re: / X
条件のとき、半角の公式により
(cosx)^2=(1+t)/2
∴?Aは
1+t+t^2=a
t^2+t+1-a=0 (A)
ここで
0≦x<3π/2
より
0≦2x<3π
∴-1≦t≦1 (B)
であり
t≠1,-1のとき、tの値1つに対し、xの値が3個対応し
t=1,-1のとき、tの値1つに対し、xの値が2個対応する
ことに注意すると、求める条件は

tの二次方程式(A)が
-1<t<1 (B)'
において、異なる2つの実数解を持つ条件

となります。
後は
f(t)=t^2+t+1-a
と置き、
横軸にt,縦軸にf(t)を取ったグラフが
t軸と(B)'の範囲で2個交点を持つ条件
を求めることを考えます.
このグラフの軸が
t=-1/2
で(B)'の範囲内にあることに
注意すると、まず(A)の解の判別式
をDとして
D=1-4(1-a)>0 (C)
次に
f(-1)=1-a>0 (D)
f(1)=3-a>0 (E)
(C)(D)(E)を連立して解き
3/4<a<1
となります。

No.78601 - 2021/10/02(Sat) 07:42:12
パラメータ付きの広義積分 / Jin
∫(0→∞)sinx/xを求める際に、アーベル和を利用して
f(a) = ∫(0→∞)e^(-ax)sinx/x
∫(0→∞)sinx/x = lim(a→+0)f(a)

....(中略)

f(a) = -arctan(a)+cまで出すところまでは理解できたのですが、この後教科書に
lim(a→∞)でf(a)→0より、c=π/2と書いてあるのですがlim(a→∞)f(a)=0をきちんと示して欲しいです。よろしくお願いします。

No.78595 - 2021/10/01(Fri) 21:03:54

Re: パラメータ付きの広義積分 / IT
|e^(-ax)sinx/x|を e^(-ax) で上から押さえて評価すれば良いのでは?
No.78596 - 2021/10/01(Fri) 21:47:50

Re: パラメータ付きの広義積分 / Jin
あ、本当ですね。確かに自明でした。ありがとうございます。
No.78599 - 2021/10/01(Fri) 21:59:29
(No Subject) / ユウ
画像のような線型写像について、定義域と地域はどのように書けば良いのですか?x_1、x_2共に定義域は実数全体という風にすればいいのでしょうか。
No.78593 - 2021/10/01(Fri) 18:19:46
(No Subject) / 数学苦手
この問題を0.36×52.5を概算してしまいました。ダメですよね
No.78586 - 2021/10/01(Fri) 12:27:21

Re: / ヨッシー
掛けたら 18.9 ですね。
それで?

No.78588 - 2021/10/01(Fri) 13:05:05

Re: / 数学苦手
あーそうじゃなくて、資料の問題みたいに何倍かしてしまったので、それぞれの数字を…
かっこがついて、その前に係数が小数点とかなら、そういうのもありかもですがこの場合はダメですね、、

No.78590 - 2021/10/01(Fri) 13:09:05

Re: / ヨッシー
そもそも、何が 0.36 で、何が 52.5 かわからないので、
良いとも悪いとも言えません。

計算を簡便化したいのなら、

 12.6÷2=6.3
です。

No.78591 - 2021/10/01(Fri) 13:30:05
(No Subject) / 数学苦手
この問題は3分20秒を3.3分として、解いたらやっぱり解けないですか?
No.78584 - 2021/10/01(Fri) 12:24:12

Re: / 数学苦手
この問題です。貼り忘れました。
No.78585 - 2021/10/01(Fri) 12:24:35

Re: / ヨッシー
3分20秒は3.3分ではないのでダメでしょう。
No.78587 - 2021/10/01(Fri) 12:58:37

Re: / 数学苦手
3.33333…分ですね。やっぱり違う単位のものは分数で計算しないとダメですね、、
No.78589 - 2021/10/01(Fri) 13:07:04

Re: / 関数電卓
「3.3分」で計算しても,途中正しく計算しさえすれば,計算結果に最も近いものが正解ですね。
たまたま偶然ですが…

No.78592 - 2021/10/01(Fri) 13:43:24
推測ゲーム / nyaa
次の「推測ゲーム」の問題を考える。

多数回の実験結果に基づく推測以外の,袋の中に入っている玉の色の組み合わせを推測する方法,すなわち抽出回数をできる限り少なくした推測方法を考え,それを具体的に説明しなさい。
大きくて不透明な袋と,白と黒の玉が多数入っている箱がある。教師は箱に手を伸ばし,決して見ることなく玉を5つ掴む。掴んだ玉の色を見ることなく手を袋に入れ,手を開く。袋には5つの玉が入っているが,白の玉と黒の玉がいくつ入っているかは誰も分からない。袋の中を見ることはできない。誰もが納得のいくように,袋の中に入っている玉の色の組み合わせを推定しなさい。ただし,袋から玉を一度に1つだけ取り出して色を確認することができるが,取り出した玉はすぐに袋の中に戻さなくてはならないこととする。

多数試行しか思いつかないんですが他になにかありますか????

No.78580 - 2021/10/01(Fri) 03:29:58
解析的な関数と合成関数 / Jin
aで解析的な関数fとb=f(a)で解析的な関数gについて、g・f(x)はaで解析的である。
この主張の証明がわかりません。お願いします。

微積分学(サイエンス社)をもっているなら、p146にこの証明があるのですが、
Σ |c[i]|*|x|^(i) <= Σ |b[m]|(Σ |a[n]|*|x|^(n))^(m)がどうして成り立つのかのちゃんとした証明をお願いしたいです。

No.78578 - 2021/10/01(Fri) 01:34:15

Re: 解析的な関数と合成関数 / IT
p146 下から2行目の Σ c[i]*x^(i) の定義を良く読めば分かるのでは?

どの段階で絶対値記号を付けると大きいかということで、簡単な例では

|ab+cd| ≦|a||b|+|c||d| と同じ理窟です。

Σ c[i]*x^(i) の定義(c[i]とb[m],a[n]との関係)を書かれると、そのテキストを持ってない方からの回答も期待できますし、そうでないとテキストを持ってない方は、何のことかさっぱり分からないと思います。

No.78579 - 2021/10/01(Fri) 03:16:00

Re: 解析的な関数と合成関数 / Jin
f(x)=Σ(0→∞)a[n]x^(n) (|x|<ρ)
g(y)=Σ(0→∞)b[n](y-f(0))^(n) (|y-f(0)|<δ)

とかけた時、
f(0)=a[0]より
g(f(x)) = Σ(0→∞)b[m](Σ(1→∞)a[n]x^(n))^(m)
この右辺を形式的に展開してxの昇べきの順に並べた整級数をΣc[i]*x^(i)とする。

これがΣc[i]*x^(i)の定義ですが、そもそもg(f(x))は形式的に単一パラメータの無限級数に展開できるものなんですか?
Σ(Σ())^(m)の形式が、単なる無限和Σ()の形で展開できるというのを自明に使ってるのが腑に落ちないです。

No.78583 - 2021/10/01(Fri) 08:39:22

Re: 解析的な関数と合成関数 / IT
> これがΣc[i]*x^(i)の定義ですが、そもそもg(f(x))は形式的に単一パラメータの無限級数に展開できるものなんですか?
> Σ(Σ())^(m)の形式が、単なる無限和Σ()の形で展開できるというのを自明に使ってるのが腑に落ちないです。


確かに、その部分は、もっと丁寧な議論が必要な気がします。

No.78594 - 2021/10/01(Fri) 19:51:42

Re: 解析的な関数と合成関数 / m
具体的にどのような議論をするのか.見通しが良くなりそうなことを書いてみます.

ある仮定(今回は a[0] = f(0))の下で,各 c[i]^* は代数的に(極限や位相を使うことなく)定義できます.
c[i]^* は有限個の a[n], b[m] の積と和を使ってあらわせる.と言ってもいい.この議論は必要.
詳しくは 形式的べき級数 (wiki)

この際,"形式的"べき級数 ?把[i]^* x^i が収束するかどうかは問題ではありません.
合成が解析関数になることを示すために後から収束半径を調べているはずです.

No.78600 - 2021/10/02(Sat) 04:21:43
(No Subject) / マックスバリュ
よろしくお願いします。
No.78572 - 2021/09/30(Thu) 20:49:41

Re: / IT
α[n+1]=1/(2-α[n]) のn をk と書き換えただけです。
No.78573 - 2021/09/30(Thu) 20:54:08

Re: / マックスバリュ
本当ですね。何かとんちんかんな勘違いをしていました。ありがとうございます。
No.78574 - 2021/09/30(Thu) 20:57:18
漸化式 / マックスバリュ
分かりにくい質問ですが、よろしくお願いします。
No.78569 - 2021/09/30(Thu) 20:48:28

Re: 漸化式 / マックスバリュ
質問を間違えました。すみません。この質問は解決済みです。
No.78571 - 2021/09/30(Thu) 20:49:08
不定積分 / りな
不定積分∫√(x^2-1)の求め方がわかりません。よろしくお願いします。
No.78567 - 2021/09/30(Thu) 19:15:58

Re: 不定積分 / 関数電卓
<解1> x=(e^u+e^(−u))/2 と置く。
<解2> x+√(x^2−1)=u と置く。
どちらも同じことなのですが,出来るところまでやってみて下さい。結果!

No.78568 - 2021/09/30(Thu) 20:30:31
ニュートンリングと回折格子 / Fg
?Dはなぜ解答解説のような経路を辿るのですか?本来図示されたものを見て解答するものではないでしょうか。もし、高校物理の範囲内でこの経路の導き方があれば教えてください
No.78564 - 2021/09/30(Thu) 15:59:01

Re: ニュートンリングと回折格子 / Fg
2枚目です
No.78565 - 2021/09/30(Thu) 15:59:38

Re: ニュートンリングと回折格子 / 関数電卓
> 高校物理の範囲内でこの経路の導き方
?D「下から見る」とは,上から下へ 透過してくる光を見る ということです。
この問題は「こう考えて解くもの」という経験をストックして下さい。

No.78566 - 2021/09/30(Thu) 17:56:07

Re: ニュートンリングと回折格子 / Fg
なるほど!  あと、質問し忘れていたのですが、なぜ回折格子は2つのスリット間の経路差だけ計算しているのですか?(そのように計算してなくても、そのような計算をしていると見えました。また、ヤングの実験との違いが分かりません)
No.78570 - 2021/09/30(Thu) 20:48:46

Re: ニュートンリングと回折格子 / Fg
調べたらある程度わかりましたので、ありがとうございます。
No.78575 - 2021/09/30(Thu) 22:04:54

Re: ニュートンリングと回折格子 / 関数電卓
(図を作っていて,回答が遅れました)
「ヤングの実験」とは,<図1>のような,複スリットによる2本 の光線の干渉のこと。(図は,極端に描いてあります)
「回折格子」とは,<図2>のように 大変多く (50本〜100本程度) の干渉で,干渉条件 dsinθ=mλ を満たす方向の光 (青線) が 強く強め合い明点が非常にクリア です。
ただし,光線の数が増えると,図の赤・緑のような 干渉条件を満たさない方向の光が完全に打ち消される 理由の記述が,教科書や参考書に皆無なことが,誤解を生む原因になっています。

No.78576 - 2021/09/30(Thu) 23:05:45
解析関数を用いて無限級数を求める / Jin
1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11-...を求めろという問題です。

出典:微分積分学(サイエンス社)p146の問1(2) or 詳説演習微分積分学p181練習問題4-31(3)

回答では、
1+(1/3-1/5)-(1/7-1/9)+.. = 1 + Σ[(-1)^(n-1)*2/{(4n-1)(4n+1)}] として例題と同様にするとありましたが、どのようにするかわかりませんでした。説明お願いします。

No.78563 - 2021/09/30(Thu) 15:21:00

Re: 解析関数を用いて無限級数を求める / m
まず,べき級数と項別積分を使って Σ[(-1)^(n-1)/{(4n-1)(4n+1)} x^(nの式)] の形を作ることはできますか?

次に難しいのは,実際に積分を計算するところだと思います.
今回は部分積分を使うとうまくいきます.
計算:https://r9.whiteboardfox.com/91428230-1813-7092

// あと,例題の方針くらいは書いてほしいと思ったり.
// 上のやり方は計算ゴリゴリで,その例題を使った簡単な解法があるかもしれない.

No.78581 - 2021/10/01(Fri) 06:32:54

Re: 解析関数を用いて無限級数を求める / Jin
ありがとうございます。そうやって目的の関数を作るんですね。
例題は、1-1/2+1/3-1/4..をlog(1+x)を用いて、1-1/3+1/5-1/7..をarctanxを用いて..といった単純なものだったので解答を改善させるものではないと思いますが。

No.78582 - 2021/10/01(Fri) 08:06:46
ポイント還元サイトの運営で / あむウェイ
スマホアプリの運営をしようと思っています。
ガチャで当たった商品を運営が買取できる仕組みにします。また、お金に還元はできないとみなします。(法の問題はなしとしておいてください)
1P1円とします。
そこで質問です。
・ユーザーの全所持ポイントが30万P
・ガチャで回された全売上が50万P
・還元に回した総ポイントは15万P
・総入金額は40万円

(Pは仮定です。)
この場合の運営の利益はいくらでしょうか?
またこの場合どのような計算式としますか?

No.78554 - 2021/09/30(Thu) 06:23:28
上極限の性質 / Jin
a[n]>0, b[n]>0 lim(b[n])が存在する。この時、
limsup(a[n]*b[n]) = limsup(a[n])*lim(b[n])

これの示し方がわかりません。よろしくお願いします。

No.78550 - 2021/09/30(Thu) 02:49:48

Re: 上極限の性質 / m
任意に ε>0 をとる.
B = lim b[n] とおけば,ある N が存在して,n≧N ⇒ B-ε≦b[n]≦B+ε が成立.
このとき,a[n]>0 だから
a[n](B-ε) ≦ a[n]b[n] ≦ a[n](B+ε)  (n≧N)
全辺 limsup をとって
(limsup a[n]) (B-ε) ≦ limsup (a[n]*b[n]) ≦ (limsup a[n]) (B+ε)
εは任意より
limsup (a[n]*b[n]) = limsup(a[n])*B.

No.78556 - 2021/09/30(Thu) 07:52:32

Re: 上極限の性質 / Jin
ありがとうございます。
No.78562 - 2021/09/30(Thu) 12:26:07
高校の数学 / 北斎
82r+17s=1となるような整数r,sを求めよ。
ユークッリドの互除法を使っても次のような形になり解けません。
1=82(-1)+17*5-2
1=82(-1/3)+17*5/3という有理数に変形するのが自分の限界です。
ちなみに答えはr=-6,s=29です。
夜も眠れないくらいもやもやするので教えてください。

No.78546 - 2021/09/29(Wed) 23:37:59

Re: 高校の数学 / 山田山
互除法を用いて?@〜?Cと式変形をし、?@に?A〜?Cを順番に代入していくと下のようにrとsを求めることが出来ます。
No.78548 - 2021/09/30(Thu) 00:10:21

Re: 高校の数学 / 北斎
初歩的なミスですみません・・・
ありがとうございます!

No.78558 - 2021/09/30(Thu) 09:05:36
整数の性質 / 山田山
この問題に対して””考え方””から最大の自然数から範囲を絞り込めない為最小の自然数を使うという事は分かったのですが、解答2行目以降のl^(−1)+l^(−1)+l^(−1)というアプローチは「定石として覚える」あるいは「何か理由があってそれを使っている」のどちらか分かりません。教えていただけると助かります。よろしくお願いします。
No.78545 - 2021/09/29(Wed) 23:37:46

Re: 整数の性質 / ヨッシー
1/l,1/m,1/n の中では 1/l が一番大きくて(等しい場合も含む)
1/4 以下の数を3つ足しても1にはならない。
という気付きが根本にあります。
もちろん、この手の問題を一度解いておくと、その気付きは
頭の引き出しからすぐ取り出せますので、「解き方を覚えている」
と言えますが、覚えてなくても気付けば良いのです。

No.78553 - 2021/09/30(Thu) 06:06:13
教えてください / hmm.
二次方程式−x^2+2ax+a^2−1は−1≦x<1の範囲に高々一つしか実数解を持たない。このとき実数aの範囲を求めよ
という問題がわかりません!教えてください

No.78539 - 2021/09/29(Wed) 20:27:22

Re: 教えてください / IT
−x^2+2ax+a^2−1=0 ですか? 

−1≦x<1の範囲に(異なる)2つの実数解があるようなaの範囲を
グラフを使って調べるとよいのでは。

No.78540 - 2021/09/29(Wed) 20:48:12
素朴な疑問の便乗質問 / GandB
No.78439 の素朴な疑問の便乗質問です。すでに流れているので改めて質問させてもらいます。

らすかるさん

> 簡単なプログラムを作ればすぐに見つかります。
> 152+483×769=967×384+251
> 173+482×569=965×284+371
> 182+459×763=367×954+281
> (しかもこれらはすべて各辺で1〜9を重複なく使っています)


 手っ取り早く済まそうと思い、123456789 の順列をランダムに発生させ、その順列A(と反転した順列B)の数値文字列を3文字ずつ切り出し計算したのですが、2000回ループしても1回もAとBは同じ数値になりません。まぐれで出ると思ったのですが(笑)。

 123456789 の順列を abcdefghi で表すと

  100a + 10b + c + (100d+10e+f)(100g+10h+i)
 = (100i+10h+g)(100f+10e+d) + 100c + 10b + a

であり、これを整理すると b が消えて(つまり b は1〜9の何でもよい)
  a + 101dg + 10dh + 10eg = 101fi + 10ei + 10fh + c
という関係式が得られるので、上よりは若干マシと思ってこの条件で2000回ループしましたが、やはり1回も同じ数値になりませんでした。

No.78538 - 2021/09/29(Wed) 20:02:54

Re: 素朴な疑問の便乗質問 / らすかる
362880通りのうち一致するのが52通りですから、
2000回試行して一致するものが出現する確率は
(2000回の順列がすべて異なっていたとして)
1-362828C2000/362880C2000≒25%です。
よって「出ない」方が普通だと思います。
この数字なら、「5000回」にすれば
何か見つかるかも知れませんね。

No.78547 - 2021/09/29(Wed) 23:57:06

Re: 素朴な疑問の便乗質問 / GandB
> 簡単なプログラムを作ればすぐに見つかります。
 簡単なプログラムであればぜひ教えてください。昨夜いろいろ考えたのですが、いいアイデアが思いつきません。

No.78555 - 2021/09/30(Thu) 07:42:33

Re: 素朴な疑問の便乗質問 / らすかる
Cで大丈夫ですか?
No.78557 - 2021/09/30(Thu) 08:03:25

Re: 素朴な疑問の便乗質問 / ganda
OK です。
No.78559 - 2021/09/30(Thu) 09:06:50

Re: 素朴な疑問の便乗質問 / らすかる
ではこちらでどうぞ。
※見やすくするためにタブを全角スペースに置換していますので、
 使用時は全角スペースをタブや半角スペースなどに置き換えて下さい。
※私が書いた解はこれにa[0]<a[2]かつa[3]<a[6]という条件を追加して
 冗長な解を削除したものです。
------------------------------------------------------------------
#include <stdio.h>

#define N(n) (a[n]*100+a[n+1]*10+a[n+2])
#define R(n) (a[n+2]*100+a[n+1]*10+a[n])

char a[9];

void sub(int n)
{
 int i;
 char c;

 if(n == 8){
  if(N(0) + N(3) * N(6) == R(6) * R(3) + R(0))
   printf("%d%d%d+%d%d%d×%d%d%d=%d%d%d×%d%d%d+%d%d%d\n",
    a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7], a[8],
    a[8], a[7], a[6], a[5], a[4], a[3], a[2], a[1], a[0]);
  return;
 }
 for(i = n; i < 9; ++i){
  c = a[i], a[i] = a[n], a[n] = c;
  sub(n + 1);
  c = a[i], a[i] = a[n], a[n] = c;
 }
}

int main(void)
{
 int i;

 for(i = 0; i < 9; ++i)
  a[i] = i + 1;
 sub(0);
 return 0;
}

No.78560 - 2021/09/30(Thu) 09:28:40

Re: 素朴な疑問の便乗質問 / GandB
 ああ! なるほど!うまいですね。

 ありがとうございました。

No.78561 - 2021/09/30(Thu) 10:32:51
(No Subject) / 柄杓
この先が分かりません。
No.78536 - 2021/09/29(Wed) 19:33:36

Re: / 柄杓
見えづらくてすみません。問題文は、
直線y=2x-1上の点Aに対し、原点Oから伸びる半直線OA上に点BをOA×OB=4となるようにとる。
点Aが直線y=2x-1上を動くとき点Bの軌跡を求めよ
です。

No.78537 - 2021/09/29(Wed) 19:38:58

Re: / ヨッシー
B(x,y)、A(ax,ay) (a>0)
とおくと、
 OB^2=x^2+y^2
 OA^2=a^2(x^2+y^2)
条件より
 (OA・OB)^2=a^2(x^2+y^2)^2=16
よって、
 a=4/(x^2+y^2)
よって、Aの座標は
 (4x/(x^2+y^2),4y/(x^2+y^2))
これが、y=2x−1 上にあるので
 4y/(x^2+y^2)=8x/(x^2+y^2)−1
両辺(x^2+y^2)を掛けて
 4y=8x−(x^2+y^2)
 (x-4)^2+(y+2)^2=20
よって、中心(4,-2) 半径2√5 の円上が求める軌跡となります。

No.78541 - 2021/09/29(Wed) 22:17:45

Re: / 柄杓
何故a>0なのでしょうか。
No.78544 - 2021/09/29(Wed) 23:37:08

Re: / ヨッシー
「原点Oから伸びる半直線OA上に点Bを」
だからです。
原点を挟んで反対側にBを取るとa<0になります。

No.78551 - 2021/09/30(Thu) 04:33:39
0の0乗 大学受験 / おいらーん
ベータ関数でx=0またはy=0のときに、微積分関数の端点は0の0乗になりますが、この値は定義されていないと聞きました。どのように考えれば良いのでしょうか?面積は一点だけ無くても同じ値を示しそうなので無視する、とかでしょうか?
No.78534 - 2021/09/29(Wed) 17:58:30
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