lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4となるように定数a,bの値を定めよ。ただしa≧−１とする。
解）
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4・・?@
が成り立つ時
lim（x→1+0)(2x^2-3x+1)=0より
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b）＝０
よってｂ＝−√（1+a)・・?Aとなることが必要である（必要条件）
逆にこのとき
(ア）a=-1の場合ｂ＝０で
?@の左辺＝lim(x→1+０）√｛ｘ（ｘ−１）｝/(2x-1)(x-1)=lim(x→1+０）√ｘ/(2x-1)√(x-1)=∞となり条件を満たさない
（イ）a>-1の場合
?@の左辺＝・・＝(2+a)/2√(1+a)
となるので?@が成り立つためには
(2+a)/2√(1+a)＝5/4
a=-3/4,3
?Aよりa=-3/4のときｂ＝-1/2,a=3のときｂ＝−２
よって
（a、ｂ）＝（-3/4、-1/2）（3、ー２）（答え）
必要条件十分条件について確認したいです。
?@⇒?Aですから?Aは?@の必要条件というのは分かります。
しかし?A⇒?@はどこで行なっているのでしょうか？
?Aは必要条件に過ぎないから（ア）という不適な場合が合ったことに何の疑問もありません。しかし（イ）は答えを出しただけ（答えを出しっぱなし）。正確に言えば
?Aならば「（ア）または（イ）」
⇔?Aならば（イ）がいえただけで結局
?@⇒「?A⇒(イ）⇒（a、ｂ）＝（-3/4、-1/2）（3、ー２）（」ですよね？
どなたか論理に詳しい人よろしくお願いします。
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No.17925 - 2012/06/30(Sat) 19:36:51
| ☆ Re: 十分条件 / angel | | | その解答では、必要条件も十分条件も問題なく出揃っています。
大事なのは、「何に対する必要/十分条件」なのか、です。
そこを特に意識してみましょう。
・必要条件
lim[x→1+0](√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4・・?@ が成り立つ時、
この左辺が収束するためには、
lim[x→1+0](√(x^2+ax)+b)=0 すなわち b=-√(1+a)・・?Aとなることが必要
・十分条件
?Aかつa＞-1の場合、
(?@の左辺)＝・・＝(2+a)/2√(1+a) となるので、
?@の左辺は、十分に収束している
そのため?@が成り立つためには(2+a)/2√(1+a)＝5/4…
ということで、解答中では「十分」という文言は使われていませんでしたが、十分条件もちゃんと現れています。
結局「?@の左辺が収束するためには」と考えると、
?Aがその必要条件なのは明らかですが、(イ)の所で極限を計算できている、それは「収束する」を示したことに他ならないので、十分条件になっているのです。
ということで、
・b=-√(1+a)は、?@の左辺が収束するための必要条件
・b=-√(1+a)かつa＞-1は、?@の左辺が収束するための十分条件
( a＞-1 の代わりに a=-1 では十分条件にならない )
→ ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分
収束することが分かっちゃえば、あとは極限の値を比較して方程式を解くだけですから。
|
No.17933 - 2012/07/01(Sun) 02:36:58 |
| ☆ Re: 十分条件 / 炭酸 | | | わかりやすい解説本当にありがとうございます。
ところで
?Aかつa＞-1の場合、
(?@の左辺)＝・・＝(2+a)/2√(1+a) となるので、
?@の左辺は、十分に収束している・・・※
そのため『?@が成り立つためには』(2+a)/2√(1+a)＝5/4…
について
※の段階で必要十分が言えたのに『』でまた
?@が成り立つ‘ためには’というように必要条件を表す言葉がまた現れているのは何故ですか？
|
No.17934 - 2012/07/01(Sun) 11:05:27 |
| ☆ Re: 十分条件 / angel | | | > ※の段階で必要十分が言えたのに『』でまた
> ?@が成り立つ‘ためには’というように必要条件を表す言葉がまた現れているのは何故ですか？
今一度、「何に対する必要/十分条件」なのかを注視してください。
あくまで、
・収束するために〜が必要
・〜であれば十分収束する
であって、必要十分は「収束すること」に対してしか示せていないのです。
ところが問題である?@は、「収束し、なおかつその極限の値が5/4であること」と、2段階分の話が入っており、極限の値についての吟味はこれからです。だから改めて「?@が成り立つためには〜」と仕切り直しているのでしょう。
念のため繰り返しますが、「収束すること」と「その極限の値がある都合の良い値になること」は話が別なのです。
※とはいえ、後者の話をする前に前者を片付けないといけないのですが
なお、(模範)解答例は、あくまでも「こう書いたら正解になる例」に過ぎませんので、誰かが読んで分かりやすい説明文になっている保証は全くありません。
自身で「分かりにくいなあ」と感じたなら、どう言葉を替えれば/補えば分かりやすくなるか、考えてみるのも一興です。
※上の私の説明は、微力ながらそういうのを目指して書いたものです。
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No.17935 - 2012/07/01(Sun) 13:00:13 |
| ☆ Re: 十分条件 / 炭酸 | | |
回答ありがとうございます。
解答の意図を明確にするとこれで合っていますでしょうか？
解）
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b/2x^2-3x+1)=5/4・・?@
が成り立つ時
lim（x→1+0)(2x^2-3x+1)=0より
lim（x→1+0)(√(x^2+ax)+b）＝０
よって?@の左辺が収束するためにはｂ＝−√（1+a)・・?Aとなることが必要である（必要条件）
逆にこのとき
(ア）a=-1の場合ｂ＝０で
?@の左辺＝lim(x→1+０）√｛ｘ（ｘ−１）｝/(2x-1)(x-1)=lim(x→1+０）√ｘ/(2x-1)√(x-1)=∞となり条件を満たさない
（イ）a>-1の場合
?@の左辺＝・・＝(2+a)/2√(1+a)
となるので?@の左辺は十分に収束している
よって?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
がいえた。
よって
?@が成り立つ（?@の左辺が5/4に収束する）ための必要条件は
(2+a)/2√(1+a)＝5/4
a=-3/4,3
これらはa>-1を満たすので十分条件も満たされた
?Aよりa=-3/4のときｂ＝-1/2,a=3のときｂ＝−２
よって
（a、ｂ）＝（-3/4、-1/2）（3、ー２）（答え）
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No.17938 - 2012/07/01(Sun) 15:14:48 |
| ☆ Re: 十分条件 / angel | | | ここは細かいようで、実は大事なところ。
> よって?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
がいえた。
ではなく、
> ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分
( No.17933 の私のコメントより抜粋 )
です。
もちろん、収束する場合には?@の左辺は(2+a)/2√(1+a)にしかならなくて、後でaの方程式をたてる時に重要なのですが、まず「収束するための必要十分条件」を整理するという意味では、 b=-√(1+a)かつa＞-1 を先に片付けないといけないのです。
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No.17943 - 2012/07/01(Sun) 22:17:15 |
| ☆ Re: 十分条件 / 炭酸 | | | ご指摘ありがとうございます！
b=-√(1+a)かつa＞-1 を先に片付けないといけないのはなぜですか？?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分でもなんとなくよさそうな気もしますがなんだかはっきりしません。
?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
は誤りなのでしょうか？
また別の疑問ですが
この論理を包含関係で捉えようとしました。
?@の左辺が収束をＡ，b=-√(1+a)をＢ、a＞-1をＣとして
まずＡ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことで
Ａ⇔「ＢかつＣ」が言える理由が分かりません。
Ａ⇒Ｂ⇒ＢかつＣ、ＢかつＣ⇒Ａというなら
Ａと「ＢかつＣ」は両方向に矢印が行っているので必要十分だとわかりますが
ベン図を描いてみるとどう考えてみてもＢ⇒「ＢかつＣ」にはなりません。「ＢかつＣ」⇒Ｂです。
|
No.17944 - 2012/07/01(Sun) 23:12:03 |
| ☆ Re: 十分条件 / ITVISION | | | 横から失礼します。
angelさんがていねいに回答をしておられると思いますが、追質問への回答がまだのようなので後半部分だけ回答します。
> ?@の左辺が収束をＡ，b=-√(1+a)をＢ、a＞-1をＣとして
> まずＡ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことで
> Ａ⇔「ＢかつＣ」が言える理由が分かりません。
おっしゃるとおり、
Ａ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことだけでは
Ａ⇔「ＢかつＣ」のうち、Ａ⇒Ｃはいえません。
元の解答では、明示的とはいえないかも知れませんがＡ⇒Ｃ も言っていることになるのだと思います。
「(ア）a=-1の場合ｂ＝０で
?@の左辺＝lim(x→1+０）√｛ｘ（ｘ−１）｝/(2x-1)(x-1)=lim(x→1+０）√ｘ/(2x-1)√(x-1)=∞となり条件を満たさない」
の部分です。
前提条件 a≧−１のもとで
（a=-1 ⇒ 「Ａでない」）すなわち（Ａ⇒「a=-1でない」）すなわち（Ａ⇒「a＞-1」）すなわち（Ａ⇒Ｃ）
下記のように明示した方が分かりやすいかも知れません。
（記述例）
「(ア）a=-1の場合・・・条件を満たさない。」よって「・・ためにはa＞-1でなけれなならない。（必要条件）」・・・
ただ、もれなく場合わけしたときは、それぞれの場合ごとに、必要十分条件を求め、それらの和をとれば全体の必要十分条件となると思いますので、元の解答のままでもｏｋだと思います。
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No.17947 - 2012/07/03(Tue) 00:16:48 |
| ☆ Re: 十分条件 / 炭酸 | | | 詳しい解説ありがとうございます。
もれなく場合わけしたときは、それぞれの場合ごとに、必要十分条件を求め、それらの和をとれば全体の必要十分条件となると思いますので、元の解答のままでもｏｋ
がよく分からないので具体的に教えていただけないでしょうか？
|
No.17954 - 2012/07/03(Tue) 18:49:47 |
| ☆ Re: 十分条件 / ITVISION | | | 訂正します。
場合分けによるとき、場合分けの各条件について、必要条件であるかどうかを判定することは、適当ではありませんね。
（この問題では、a＞-1がたまたま必要条件になりましたが）
次の例を参考にしてください。
|
No.17956 - 2012/07/03(Tue) 21:09:14 |
| ☆ Re: 十分条件 / ITVISION | | | 場合分けと必要条件十分条件について簡単な例で説明します。
｜ｘ｜+２｜２−ｘ｜−３ ＜ 0 ・・Ａ を満たす実数ｘの範囲を求めよ。
絶対値の記号を外すため、ｘの値によって３つの場合に分ける。
（１）ｘ＜0 ・・Ｂ１のとき
−ｘ＋２（２−ｘ）−３ ＜ 0
ｘ＞１／３ ・・Ｃ１
このときＢ１を満たさないので解なし・・Ｄ１
（２）0≦ｘ＜２・・Ｂ２のとき
ｘ＋２（２−ｘ）−３ ＜ 0
ｘ ＞ 1 ・・Ｃ２
よって 1 ＜ ｘ ＜２ ・・Ｄ２
（３）ｘ≧２・・Ｂ３ のとき
ｘ＋２（ｘ−２）−３ ＜ 0
ｘ ＜ ７／３ ・・Ｃ３
よって ２ ≦ ｘ ＜ ７／３ ・・Ｄ３
（１）（２）（３）を合わせて、求める解は、Ｄ１またはＤ２またはＤ３
1 ＜ ｘ ＜２, ２ ≦ ｘ ＜ ７／３ すなわち 1 ＜ ｘ ＜ ７／３
集合で表すと Ｄ１∪Ｄ２∪Ｄ３（ただしＤ１＝∅）
（命題とそれを満たす集合を同じ記号で表しています）
?@Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３、Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３は、それぞれ、Ａであるための必要条件ではない。
?AＤ１、Ｄ２、Ｄ３は、それぞれ、Ａであるための十分条件だが必要条件ではない。
（この問題の場合Ｄ１は常に偽）
?B（Ｂ１かつＡ）⇔（Ｂ１かつＣ１）⇔Ｄ１
（Ｂ２かつＡ）⇔（Ｂ２かつＣ２）⇔Ｄ２
（Ｂ３かつＡ）⇔（Ｂ３かつＣ３）⇔Ｄ３
?C Ａ⇔（Ｂ１またはＢ２またはＢ３）かつＡ ⇔（Ｂ１かつＡ）または（Ｂ２かつＡ）または（Ｂ３かつＡ）
?B?Cより Ａ⇔（Ｄ１またはＤ２またはＤ３）
|
No.17968 - 2012/07/04(Wed) 23:12:39 |
| ☆ 回答その１ / angel | | | 遅くなりましたが、ご質問頂いた所について。
> b=-√(1+a)かつa＞-1 を先に片付けないといけないのはなぜですか？
> ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分でもなんとなくよさそうな気もしますがなんだかはっきりしません。
> ?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)
> は誤りなのでしょうか？
「?@の左辺が収束する⇔?@の左辺＝(2+a)/2√(1+a)」
は、誤りではありません。( 実際に、後の工程で使用しています )
が、そもそもの話として 「lim (式) = 値」の形というのは「lim (式)」が収束するという条件を暗に含んでいます。
だからこそ「収束するための条件」を押さえておかないと、今回の場合 a の値を方程式で求めたとしても、「その a の値で本当に大丈夫か」という疑問を払拭できません。
だから、「b=-√(1+a)かつa＞-1」という「収束のための条件」を片付ける方が優先なのです。
少し意地悪な例を挙げます。
例題：lim[x→1] (x^2+a^2・x+b^2)/(x-1) = 3 を満たす a を全て挙げよ ( a,b は実数とする )
不正解：
f(x)=x^2+a^2・x+b^2 と置くとき、f(1)=0
よって、1+a^2+b^2=0 すなわち b^2=-(a^2+1)
これにより f(x)=x^2+a^2・x-(a^2+1)=(x-1)(x^2+a^2+1)
lim[x→1] f(x)/(x-1) = a^2+2
a^2+2=3 を解いて a=±1
答え：a=±1
なぜ間違いかは、b の値を計算すれば分かると思います。
今回の問題では a,b 両方の値を求めるため、このような間違いをすることはないと思いますが、収束の条件を先にまとめておかないと、折角導き出した答えの正しさを保証できなくなる、ということです。
※採点としては、合っているけど考慮不足で減点、という扱いになりそう
|
No.17976 - 2012/07/07(Sat) 16:04:05 |
| ☆ 回答その２ / angel | | | 続いてこちら
> まずＡ⇒Ｂが言え「ＢかつＣ」⇒Ａの二つがいえたことで
> Ａ⇔「ＢかつＣ」が言える理由が分かりません。
ちょっとこれは私の書き方が悪かったのですが、
Ａ⇒Ｂ
ＢかつＣ ⇒ Ａ
Ｂかつ(Ｃでない) ⇒ Ａでない
の3条件全て揃ったので、Ａ⇔ＢかつＣ が言えたのです。
※a≧-1 という前提があるため、Ｃ(a＞-1) の否定は a=-1
No.17933 の私の記述を再掲します。3番目の「Ａでない」の話についてはカッコの中に書いたつもりでしたが、ちょっとマズい書き方でした。
※「a=-1 では十分条件にならない」ではなく「a=-1では収束しない」が正しい
--
・b=-√(1+a)は、?@の左辺が収束するための必要条件
・b=-√(1+a)かつa＞-1は、?@の左辺が収束するための十分条件
( a＞-1 の代わりに a=-1 では十分条件にならない )
→ ?@の左辺が収束するためには b=-√(1+a)かつa＞-1 が必要十分
|
No.17977 - 2012/07/07(Sat) 16:14:18 |
| ☆ Re: 十分条件 / 炭酸 | | | 回答ありがとうございます
Ａ⇒Ｂ
ＢかつＣ ⇒ Ａ
Ｂかつ(Ｃでない) ⇒ Ａでない
の3条件からどのような思考過程でＡ⇔ＢかつＣ になったのか教えてください
よろしくおねがいします
|
No.17995 - 2012/07/11(Wed) 21:52:03 |
| ☆ Re: 十分条件 / angel | | | > 3条件からどのような思考過程でＡ⇔ＢかつＣ になったのか教えてください
色々ありますけど…。
身近な事例に置き換えて考えられるのは、割と大事なのではと思います。
大雑把な例として。
・運転免許を取得する(条件A)には、少なくとも学科試験に合格する(条件B)こと。
( BはAの必要条件、すなわち A⇒B )
・学科試験に合格し、かつ，実技試験にも合格(条件C)すれば、運転免許が発行される。
( BかつC⇒A )
・学科試験に合格していようとも、実技試験に合格しなければ、運転免許は取得できない。
( Bかつ(Cでない)⇒Aでない )
さて，この例で「運転免許を取得するための必要十分条件」は? と考えれば、A⇔BかつCと言えることが分かるでしょう。
|
No.18006 - 2012/07/14(Sat) 02:41:53 |
| ☆ 他の思考 / angel | | | > 3条件からどのような思考過程でＡ⇔ＢかつＣ になったのか教えてください
他には、ベン図を描いてみて、どういう状況なら件の3条件を満たすか考えるという手もありますし、機械的に論理上の規則を用いて整理することもできます。次のように。
( A⇒B ) and ( B and not C ⇒ not A )
⇔ ( A⇒B ) and ( A ⇒ not ( B and not C ) )
※対偶 X⇒Y ⇔ not Y⇒not X
⇔ ( A⇒B ) and ( A ⇒ not B or C )
※ド・モルガン not(X and Y) ⇔ not X or not Y
⇔ A⇒( B and ( not B or C ) )
※⇒の合成 (X⇒Y)and(X⇒Z) ⇔ X⇒Y and Z
⇔ A⇒(B and not B) or (B and C)
※分配法則 X and (Y or Z) ⇔ (X and Y)or(X and Z)
⇔ A⇒false or (B and C)
※無矛盾律 X and not X⇔false
⇔ A⇒B and C
※orの基本性質 false or X ⇔ X
ということで、B and C⇒A 以外の2条件から A⇒B and C が導かれるため、これらを合わせて A⇔B and Cです。
※往々にして「機械的に」というのは得意な人が少ないのですがね。
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No.18007 - 2012/07/14(Sat) 02:59:16 |
| ☆ Re: 十分条件 / 炭酸 | | | 回答ありがとうございます。
機械的にやるのは現実的じゃないようですね。となると
「Ａ⇒Ｂ」かつ
「ＢかつＣ ⇒ Ａ」かつ
「Ｂかつ(Ｃでない) ⇒ Ａでない」
⇔「Ａ⇔ＢかつＣ 」
を示すにはベン図しかないようですね。ところがＡＢＣは等式であったり不等式であったり次元？が違いますよね。となるとベンズのかさなり具合とか分からないのですが。どういう手順でベンズを書いたのか教えてください。よろしくお願いします
|
No.18009 - 2012/07/14(Sat) 08:56:36 |
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