3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+c(a,b,cは実数の定数)は,x=αで極大値をとり,x=βで極小値をとる.2点(α,f(α)),(β,f(β))は直線y=-2x+7上にあり,2点(α,f(β)),(β,f(α))は直線y=2x-1上にある.
(1)α+βを求めよ
(2)a,b,cを求めよ
よろしくお願いします
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No.18575 - 2012/09/13(Thu) 00:46:33
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | 3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+c(a,b,cは実数の定数)は,x=αで極大値をとり,x=βで極小値をとる.2点(α,f(α)),(β,f(β))は直線y=-2x+7上にあり,
2点(α,f(β)),(β,f(α))は直線y=2x-1上にある.
(1)α+βを求めよ
(2)a,b,cを求めよ
f'(x)＝3x^2＋2ax＋b であり、f'(x)＝0 の解が ｘ＝α, β です。
解と係数の関係より α＋β＝-2a/3, αβ＝b/3 ・・・(i)
2点(α,f(α)),(β,f(β))は直線y=-2x+7上にあることより
α^3＋aα^2＋bα+c＝-2α＋7
β^3＋aβ^2＋bβ+c＝-2β＋7
辺々足して、
(α^3＋β^3)＋a(α^2＋β^2)＋b(α＋β)＋2c＝-2(α＋β)＋14 ・・・(ii)
上式から下式を引いて
(α^3−β^3)＋a(α^2−β^2)＋b(α−β)＝-2(α−β)
両辺α−β(≠０)で割って、
(α^2＋αβ＋β^2)＋a(α＋β)＋b＝-2 ・・・(iii)
2点(α,f(β)),(β,f(α))は直線y=2x-1上にあることより
β^3＋aβ^2＋bβ+c＝2α−1
α^3＋aα^2＋bα+c＝2β−1
辺々足して、
(α^3＋β^3)＋a(α^2＋β^2)＋b(α＋β)＋2c＝2(α＋β)−2 ・・・(iv)
(ii)(iv) より
-2(α＋β)＋14＝2(α＋β)−2
4(α＋β)＝16
よって、
α＋β＝4 ・・・ (1) の答え
(i) より、a＝-6
α^2＋αβ＋β^2＝(α＋β)^2−αβ＝16−b/3
を、(iii) に適用すると、
(16-b/3)−24＋b＝-2
これより、
b＝9
さらに、
α^3＋β^3＝(α＋β)^3−3αβ(α＋β)＝64−4b＝28
α^2＋β^2＝(α＋β)^2−2αβ＝16−2b/3＝10
を、(ii) に適用すると、
28−60＋36＋2c＝6
c＝1
以上より、a=-6, b=9, c=1 ・・・(2)の答え
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No.18576 - 2012/09/13(Thu) 09:48:52 |
| ☆ Re: / 豆 | | | 3次関数の性質が分かっていれば以下の別解も可能かと。
3次関数の点対称性から、2直線の交点は
この3次関数の変曲点であり、極大・極小点の中点である。
y=-2x+7とy=2x-1を連立させて、交点が(2,3)なので、
α+β=2・2=4
また、f(x)=(x-2)^3-3p(x-2)+3 と書ける
f'(x)=3(x-2)^2-3p
f'(α)=3(α-2)^2-3p=0なので、
(α-2)^3=p(α-2)
f(α)=-2p(α-2)+3
直線の傾き：(f(α)-f(2))/(2-α)=2p=2
∴p=1
元の式を展開して、
f(x)=x^3-6x^2+9x+1
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No.18651 - 2012/09/17(Mon) 10:55:23 |
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