ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 対数関数の問題 / アンパンマン

２つもごめんなさい

次の不等式を解け
2log1/2(x)>log1/2(x+2)

という問題です。底の変換公式を使ってやるのかと思いましたが、解けませんでした。

わかるかたいらっしゃいましたら教えてください(..)！！

No.17799 - 2012/06/17(Sun) 00:03:20

☆ Re: 対数関数の問題 / ヨッシー

log の式の書き方は難しいですが、1/2 が底なら、
　2log[1/2](x)＞log[1/2](x+2)
と書くのも１つの方法です。

で、1/2 が底だとすると、
　log[1/2](x^2)＞log[1/2](x+2)
において、底が１未満なので、
　x^2＜x+2
　x^2-x-2＜０
　(x-2)(x+1)＞０
　-1＜x＜2
ここで、真数条件　ｘ＞０，ｘ＋２＞０に注意すると、
　０＜ｘ＜２
となります。

No.17802 - 2012/06/17(Sun) 06:52:23

★ 対数関数の問題 / アンパンマン

大学１年です。

次式を計算せよ。
loge＋３log√e-４log√e^1/3

という問題がよくわかりません。

loge（ｅ^3/2×ｅ）/(e^4/3)
=loge(e^6/2)/(e^4/3)
=loge(e^3)/(e^4/3)
=loge(e^9/4)
=9/4

とやってみたのですが答えは7/6でした(:_;)

No.17798 - 2012/06/16(Sat) 23:59:30

☆ Re: 対数関数の問題 / ITVISION

loge＋３log√e-４log√e^1/3
ではなくて　
loge＋３log√e-４log(e^(1/3))　では？
これだと
＝　１　+　３／２　－　４／３　
＝　６／６　+　９／６　－　８／６
＝　７／６
になります。

No.17800 - 2012/06/17(Sun) 00:46:37

☆ Re: 対数関数の問題 / ITVISION

元の計算方法でやる場合。
loge（ｅ^3/2×ｅ）/(e^4/3)
=loge(e^6/2)/(e^4/3) 誤→正　loge(e^5/2)/(e^4/3)
=loge(e^3)/(e^4/3) 　誤
=loge(e^9/4)　　　　誤→正　loge(e^((5/2)-(4/3)))

No.17801 - 2012/06/17(Sun) 01:03:34

★ 三角関数のn倍角の公式 / CEGIPO（社会人）

（注：発見したのが嬉しくて
色々な所に書き散らしています。
○○の一つ覚えって言わないで...）

三角関数のn倍角の公式
（倍角の公式、三倍角、四倍角、五倍角の公式の一般化）

次のように極めて簡潔にまとまります。

a^bをaのb乗、iを虚数単位として

※ヒント：ド・モアブルの公式
(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)
(cosθ-isinθ)^n=cos(nθ)-isin(nθ)
を利用します。要はコロンブスの卵です。

cos(nθ)= {(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n}/2
sin(nθ)=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2

さらにcosθ≠0の時、
tan(nθ)=
-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}
/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}

とこのように複素数を媒介に利用すると簡潔に表せます。

※展開すれば虚数項が消えて実数項のみになります。
倍角、三倍角、四倍角、五倍角の公式を忘れてしまったら
上式を展開して導くという方法もあります。v(^_^)v

※注:この記事は他の数学掲示板と一部重複します。

No.17797 - 2012/06/16(Sat) 23:00:51

★ ライプニッツの記号の意味 / すいか

私は数?VC程度の数学の知識をつけようと思っている中卒社会人です

微積分での、dx、dtの意味を詳しく教えていただきたいです
例えば

置換積分などで
f(x)=g(t)
ならば
df(x)/dx dx = g(t)/dt dt

物理などで
i(t)=dq/dt
ならば
i(t)dt=dq
さらに
∫(i(t) dt)=∫dq=q+C

のように、微分を表す「記号」として習ったはずのd(文字)が、あたかも普通の分数のように計算されています。
なぜこのようなことが可能なのでしょうか？
（感覚的にはわかるのですが。。。）

No.17793 - 2012/06/16(Sat) 00:43:52

☆ Re: ライプニッツの記号の意味 / ast

ちょくちょく出る話題ではありますが, 置換積分“など”でというより置換積分“そのもの”ですね. 置換積分の公式を扱いやすくする便法として, 単なる“記号的な”操作としてそう書いているだけです. 飽く迄, お書きのように「あたかも普通の分数のよう」でしかないのです. つまり
> なぜこのようなことが可能なのでしょうか？
に対する答えとしては「置換積分の公式が成り立つから」が最もストレートな答えということになります.

もちろん本当に分数でないことを実感するのは, 分数のつもりで“計算”したものが実際には意味を持たなかったり, 正しくない結果を導くこともある (特に多変数の微積分だとしばしばそういう場面に遭遇する) という事例に出くわしたときだと思いますが.

直観的な記号的操作と言えば, 微分方程式に対する（へヴィサイドの）演算子法などもそうですが, 数学的背景に基づいてそういった操作を正当化することよりも, 直観的な操作による利便性というものを優先する流儀や場面というのが, まま見受けられます. また, 直観的に与えられたそういった記号的操作に対して数学的正当性を持った保証を与えようという立場の人ももちろんたくさんいますし, 今の話で言えば単独の dx, dt などに対しても様々な仕方で数学的意味づけが行われています (が, その話は高校数学からは随分と脱線する内容に属すると考えます).

No.17794 - 2012/06/16(Sat) 01:13:26

★ 数学 / あいす

aを実数とし、数列{an｝を以下のように定義する

a1=a,a(n+1)=la(n)-1l+a(n)-1(n=１．２．・・）
全ての自然数ｎに対しan≠０となるようなaの値の範囲を求めよ。

解）a(n+1)=la(n)-1l+a(n)-1・・?@
全てのｎに対してan≠０・・（Ａ）
an≦１となるようなｎが存在すればそのｎに対して
?@よりa(n+1)=0となるから（Ａ）が成り立たない
よって全てのｎに対してan>1・・?Aである
?@よりa(n+1)=2a(n)-2
an=(a-2)2^(n-1)+2
?Aに代入してa>2-1/2^(n-1)・・?B
2-1/2^(n-1)<2より
全てのｎにたいして
?Bが成り立つ条件はa≧２・・答え

解答丸写ししましたが、これを解答にしてよい意味が分かりません。確かに全てのｎにたいして
?Bが成り立つ条件はa≧２というのは分かりますが
?Aは必要条件ですよね？そして?Bは必要条件に過ぎない?Aを使ってますよね。もしかしたらまだもっと範囲がしぼれるかもしれないという懸念が残るのですが。。
正直論理が明確でないというか、どういう論理でこの解答で正答たらしめているのか分かりません
どなたか分かる方教えてください。

No.17788 - 2012/06/14(Thu) 20:22:50

☆ Re: 数学 / ITVISION

解答例は少し記述不足かもしれませんね

「よって全てのｎに対してan＞1である」の後に　

an＞1ならばan≠０なので
逆に「全てのｎに対してan＞1・・?Aである」ならば「全てのｎに対してan≠０」である。
したがって「全てのｎに対してan＞1である」は、・・・の必要十分条件・・・
などとしたほうが良いかも。

最後にa≧２のとき全てのｎに対してan≠０となることを検証するのが最も確実だと思いますが、くどい感じの答案になるかも知れませんね。

No.17790 - 2012/06/14(Thu) 20:59:11

★ 重心法 / 画ルータ

?凾`ＰＢにおいてＡＲ：ＲＢ＝１：１
ＢＳ：ＳＰ＝４：１、ＰＱ：ＱＡ＝１：４
ＡＳ，ＢＱ，ＲＰが?凾`ＰＢの内部で交わる点をＴとして
ＢＴ：ＴＱ＝５：４、ＰＴ：ＴＲ＝８：１、ＡＴ：ＴＳ＝５：４

のとき?凾oＴＱ：?凾aＲＱ＝8*4:1*9=32:9
この答えがあっているか教えてください

No.17777 - 2012/06/12(Tue) 22:28:38

☆ Re: 重心法 / 画ルータ

普通にやるとＳ３＝?凾oＴＱ=?凾`ＢＰ＊1/5*4/9
S2=?凾aＲＱ=?凾`ＢＰ＊4/5*1/2よりＳ３：Ｓ２＝２：９
になるのですが
重心法の知識を使うと、添え字の掛け算で
?凾oＱＴ：?凾aＱＲ＝１・５・９＝４・５・８となってしまうのです

No.17778 - 2012/06/12(Tue) 22:43:54

☆ Re: 重心法 / ヨッシー

ＢＴ：ＴＱ＝５：１、ＰＴ：ＴＲ＝１：２、ＡＴ：ＴＳ＝５：１
になります。

添え字を辺の比の逆に付けるのを忘れているようです。

No.17780 - 2012/06/13(Wed) 06:53:28

☆ Re: 重心法 / 画ルータ

解答ありがとうございます。
確かにそのとおりでした。
とすると添え字の掛け算で
?凾oＱＴ：?凾aＱＲ＝１・５・２：４・５・６＝１：１２となり

普通にやった場合のＳ３＝?凾oＴＱ=?凾`ＢＰ＊1/5*4/9
S2=?凾aＲＱ=?凾`ＢＰ＊4/5*1/2よりＳ３：Ｓ２＝２：９
と答えが違うのですがどちらに間違いがあるのでしょうか？

No.17781 - 2012/06/13(Wed) 07:34:53

☆ Re: 重心法 / ヨッシー

普通にやった場合が違います。
こちらの方も、
　ＢＴ：ＴＱ＝５：１、ＰＴ：ＴＲ＝１：２、ＡＴ：ＴＳ＝５：１
に従って、計算しなおさないといけません。

No.17782 - 2012/06/13(Wed) 08:31:10

☆ Re: 重心法 / 画ルータ

ありがとうございます！おかげさまで解決しました！ありがとうございます！

No.17786 - 2012/06/13(Wed) 18:47:26

★ 三角方程式 / Xex

何度も三角方程式について質問した者ですが、確認させてください。
例:(0≦x<2π) sin(2x-π/3)=1/2を解け。
解法:?@まずsin(t)のtのとりうる範囲を求める。この場合、-π/3≦2x-π/3≦11π/3
?A単位円を参考にして、先ほどの範囲内で方程式の右辺に対応するところを探す。この場合、2x-π/3=π/6,5π/6,13π/6,17π/6･･･*
?B*を解く。この場合、x=π/4,7π/12,5π/4,19π/12
でよろしいでしょうか?間違いがあれば指摘お願いします。

No.17773 - 2012/06/12(Tue) 18:18:56

☆ Re: 三角方程式 / X

＞＞-π/3≦2x-π/3≦13π/3
が間違っています。正しくは
-π/3≦2x-π/3≦11π/3
その他は問題ありません。

No.17775 - 2012/06/12(Tue) 19:11:25

☆ Re: 三角方程式 / Xex

あ・・・そうでしたか。
ともかく回答ありがとうございます。解決しました。

No.17785 - 2012/06/13(Wed) 18:23:54

☆ Re: 三角方程式 / Xex

直させていただきました。

No.17789 - 2012/06/14(Thu) 20:24:59

★ ２０１１．９．５４ / 響

曲線ｙ＝１－ｘ＾２/2(x>0)をＣとする。曲線Ｃ上の点Ｐにおける接線と直交し、点Ｐを通る直線をｌとする。直線ｌ上の点Ｑ（ｘ、ｙ）をｙ＞１－ｘ＾２/2、かつＰＱ＝１となるようにとり、直線ｌとｘ軸のなす角θを０＜θ＜π/2を満たすようにとる。
（１）点Ｑの座標をθを用いて表せ。
Ｐのｘ座標をｔとすると
Ｐにおける接線の傾きはーｔ
よってＰＱの傾きは1/ｔ
よって1/t=tanθ
またベクトルＰＱ＝（cosθ,sinθ）
よりベクトルＯＱ＝ベクトルＯＰ＋ベクトルＰＱ＝・・
という流れなのですが

1/t=tanθ
って限らないのでは・・と思うのです
問題文には
直線ｌとｘ軸のなす角θを０＜θ＜π/2を満たすようにとるとあるので、もしｌの傾きが負のときは正方向のなす角は180°ーθですから、この場合
1/t=tan(πーθ）＝－tanθですよね

1/t=tanθ
とできる根拠が知りたいです。
どなたかよろしくお願いします

No.17766 - 2012/06/11(Mon) 18:25:51

☆ Re: ２０１１．９．５４ / ヨッシー

「直線ｌとｘ軸のなす角θを０＜θ＜π/2を満たすよう」な場合、
直線ｌの傾きは必ず正です。

試しに、傾きが負の直線（右下がりの直線）を考えてみて、
その直線とｘ軸との角が何度になるか考えてみて下さい。

No.17768 - 2012/06/11(Mon) 19:33:48

☆ Re: ２０１１．９．５４ / 響

ん？どういうことでしょうか。

例えば（この問題の場合はありえませんが）
ｌ：ｙ＝－ｘだとｘ軸とのなす角は４５度で０＜θ＜π/2を
みたしており、傾きが負でも問題ないはずですが。

なす角とは９０度以下の方の角の大きさを言いますので。

No.17769 - 2012/06/11(Mon) 20:24:36

☆ Re: ２０１１．９．５４ / 響

ｙ＝mxとｘ軸とのなす角の大きさをθとすると
ｍ＞０のときtanθ＝ｍ
ｍ＜０のときtanθ=-m
（ｍ＝０のときはθ＝０なので等号はどちらにつけても良い）
という記述がありましたので

「ｘ軸とのなす角」は「ｘ軸から正方向になす角」だという暗黙の了解は無いと思います

No.17770 - 2012/06/11(Mon) 20:29:02

☆ Re: ２０１１．９．５４ / ヨッシー

そういえば、そうかも知れませんね。

では、ｘ＞０なので、正の傾きのみ考えればいい、
ということでどうでしょう？

No.17771 - 2012/06/12(Tue) 07:06:34

☆ Re: ２０１１．９．５４ / 響

回答ありがとうございます

確かにｘ＞０の下に凸の曲線上の法線の傾きはなんとなく正
な気がしますが、何か根拠は無いでしょうか？

No.17774 - 2012/06/12(Tue) 18:23:38

☆ Re: ２０１１．９．５４ / ヨッシー

根拠は、一番上の記事の
>Ｐにおける接線の傾きはーｔ
>よってＰＱの傾きは1/ｔ
の所ですね。

Ｐのｘ座標ｔは必ず正なので、法線ＰＱの傾き1/t も正になります。

ただし、下に凸ではなく、上に凸ですし、ｘ＞０の、ではなく、
正確には、「上に凸の放物線の、軸よりも右の（ｘ座標が大きい）部分」
です。

No.17776 - 2012/06/12(Tue) 19:30:24

☆ Re: ２０１１．９．５４ / 響

そのとおりですね！全く気がつきませんでした！ありがとうございました！

No.17779 - 2012/06/13(Wed) 00:39:13

★ 微分法 / しぶき

関数ｆ(x)、ｇ(x)が
　ｆ(x)+∫[2→x]ｇ(t)dt＝2x＾2－2x+3、
　ｆ´(x)ｇ(x)＝4x＾2－4x-3
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(１)ｆ(2)を求めよ
(２)f´(x)、ｇ(x)を求めよ。
(３)ｆ(x)を求めよ。

(２)からわかりません、解法をお教え下るとうれしいです。

No.17762 - 2012/06/11(Mon) 00:13:10

☆ Re: 微分法 / ヨッシー

(2)第１式を微分して、
　f'(x)＋g(x)＝4x-2
また、第２式は、
　f'(x)g(x)＝(2x-3)(2x+1)
と書けるので、
　f'(x)＝2x-3, g(x)＝2x+1
または
　f'(x)＝2x+1, g(x)＝2x-3
(3)
f'(x)＝2x-3, g(x)＝2x+1　のとき
　f(x)＝x^2-3x+Ｃ　
とおくと、第１式は、
　2x^2-2x+Ｃ-6
となり、Ｃ＝9　よって、f(x)＝x^2-3x+9
同様に、f'(x)＝2x+1, g(x)＝2x-3 のときは
　f(x)＝x^2+x+1
となります。

No.17763 - 2012/06/11(Mon) 05:53:52

★ ルートの幾何的説明について / math

ルートa×ルートb＝ルートa×b
というのを幾何学的描像を与えて説明するのは不可能でしょうか？
長方形で考えてみたのですが，
1辺ルートaと1辺ルートbの長方形の面積と
1辺aと1辺bの長方形の面積の平方根の正の部分が同じであればよいのですが，出来れば両辺2乗して同じになるという説明は避けて頂きたいです。
よろしくお願いします。

No.17761 - 2012/06/10(Sun) 15:24:45

☆ Re: ルートの幾何的説明について / ヨッシー

どこまでの変形なら許されるかがはっきりしませんが、
例えば、下の図で、
中心が直線Ｌ上にあり、２つの円が外接し、それらの両方を
内部に含む大きな円が、２つの円に接している時、
この直線Ｌ上で、大きな円の外にある点Ａから、
大きい円に引いた接線をＡＣ
点Ａに近い方の小円に引いた接線をＡＤ
点Ａから遠い方の小円に引いた接線をＡＥ
直線Ｌと大きい円の交点で、点Ａに近い方の点をＢとする時
　ＡＢ・ＡＥ＝ＡＣ・ＡＤ
が成り立ちます。
というのは、使って良いでしょうか？

No.17765 - 2012/06/11(Mon) 15:03:14

★ 不等式の証明 / 果物

すいません。

0≦a,1<u, 0<xの時,
e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{1+[2a]+2}u^2) (但し,[ ]はガウスの記号)

となる事を証明したいのですがどのようにして示せますか?

是非是非ご教示ください。

No.17758 - 2012/06/10(Sun) 01:39:09

☆ Re: 不等式の証明 / X

>>e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{1+[2a]+2}u^2)
とありますが、タイプミスはありませんか？。
右辺で
>>1+[2a]+2
とわざわざ定数部を整理せずに表記しているのが気になるのですが。

No.17759 - 2012/06/10(Sun) 07:22:04

☆ Re: 不等式の証明 / ITVISION

成立しないのでは？

1+[2a]=n　（nは自然数）として
e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{1+[2a]+2}u^2) 　を整理すると
e^{-ux} u^n ≦ 1/(x^{n+2}u^2)
e^{-ux} ≦ 1/(x^{n+2}u^(n+2))
e^{ux} ≧ x^{n+2}u^(n+2)　
e^{ux} ≧ (xu)^(n+2)　となり

元の命題は、
「 x＞0,n≧3　（nは自然数）のとき　e^x ≧ x^n」と同値になると思いますが、この命題は偽ですよね。

括弧の解釈などが間違っていればお知らせください。

No.17760 - 2012/06/10(Sun) 10:22:56

☆ Re: 不等式の証明 / 果物

誠に申し訳ありません。正直に白状しますと,

∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}du ≦∫_1^k 1/(x^{3+[2a]}u^2) duが1<kに対して成立つ事を示しているのでした。

e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{3+[2a]}u^2)
⇔
u^{3+[2a]}/e^{ux}≦1/x^{3+[2a]}
で
lim_{u→∞}u^{3+[2a]}/e^{ux}
=lim_{u→∞}(3+[2|s|])(2+[2|s|])…2・1/(x^{3+[2|s|]}e^{ux}) (∵ロピタルの定理)
=0
となる事から
e^{-ux} u^{1+[2a]}のグラフが1/(x^{1+[2a]+2}u^2)よりいずれは下に来るだろうという事は予測できたのですが,
∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}duと∫_1^k 1/(x^{1+[2a]+2}u^2) duの値が不明のままでは
∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}du ≦∫_1^k 1/(x^{1+[2a]+2}u^2) du
と結論付けられないので苦慮しております。

どのように対処できましょうか?

No.17764 - 2012/06/11(Mon) 06:24:26

☆ Re: 不等式の証明 / ITVISION

> 誠に申し訳ありません。正直に白状しますと,
>
> ∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}du ≦∫_1^k 1/(x^{3+[2a]}u^2) duが1＜kに対して成立つ事　Ａ　を示しているのでした

> e^{-ux} u^{1+[2a]}のグラフが1/(x^{1+[2a]+2}u^2)よりいずれは下に来るだろうという事　Ｂ　は予測できたのですが,

Ｂ→Ａはいえないと思います。
ほんとに証明すべき正しい命題は何ですか？
Ａが正しい命題である確証はあるのでしょうか？
出典とそこでの表現はどうなっていますか？

※それと、半角の＜を使うとうまく表示されない場合があるので全角の＜を使った方が良いですよ。

No.17767 - 2012/06/11(Mon) 19:11:40

☆ Re: 不等式の証明 / 果物

ちょ,ちょっとお時間下さい。頭を冷やします。

No.17791 - 2012/06/14(Thu) 23:28:02

★ すみません、教えてください。 / papiky

等差数列についてa3=a1×a2が成立している。a4=1のときanを求めよ。

自分で解答してみたのですが、きれいな解答になりません。
よろしくお願いします。

No.17755 - 2012/06/09(Sat) 13:45:26

☆ Re: すみません、教えてください。 / ITVISION

> 自分で解答してみたのですが、きれいな解答になりません。
ご自分の解答をＵＰされると適切なアドバイスがされやすいのでは。

初項ａ、公差ｄとして式を立てると連立方程式（２次方程式と1次方程式）ができます。
※途中の記述量を減らしミスを防ぐため初項はａ1とせずａとしました。

これを代入法により解けば良いと思います。
ａ４＝ａ+３ｄ＝1　→　ａ＝３ｄ－1　を2次方程式に代入
　※ｄ＝1/3（1－ａ）としても良いですが、分数がないほうが間違えにくいので、私はａ＝３ｄ－1としました。

ちょっとした工夫で計算がぐんと楽になる場合もありますが、試験など限られた時間内の場合、なにか工夫を考えるより、普通に素直に解くのが確実の場合も多いと思います。

このへんの見極めが難しいところですね。

No.17756 - 2012/06/09(Sat) 14:19:04

☆ Re: すみません、教えてください。 / papiky

ありがとうございました。
同じところで計算ミスをしていました。

No.17757 - 2012/06/09(Sat) 15:34:48

★ 物理 / ktdg

高さHの天井のある室内の水平な床上の点Pから、水平面と60°の角をなす斜め右上方へ、初速度の大きさvで質量mの小物体Aを投射すると同時に、Aより右にある床上の点Qから水平面と30°の角をなす斜め左上方へ、小物体Bを投射したところ、A、Bは共にそれぞれの放物線の最高点Rで瞬間的に衝突して一体となってRの鉛直真下の床上の点Sに落下した。重力加速度の大きさをgとして、以下の問いに答えよ。
(1)小物体Aが天井と衝突しないためには、vはどのような条件を満たせば良いか。gとHを用いて表せ。
(2)小物体Bを投射してから、床上の点Sに落下するまでの時間を求めよ。
(3)小物体Bの初速度の大きさを求めよ。
(4)PQ間の距離を求めよ。
(5)小物体Bの質量および衝突時に物体Bに働く力積の大きさを求めよ。
自分の答え
(1){2√(6gH)}/3>v
(2)√3v/g
(3)√3v
(4)√3v^2/g
(5)質量...m/3、力積...3mv/2
答え合わせお願いします。

No.17747 - 2012/06/08(Fri) 12:10:55

☆ Re: 物理 / ヨッシー

私は、さほど詳しくはありませんが、(5) の前半までは良いと思います。
力積について、途中式を書いていただけますか？

No.17749 - 2012/06/08(Fri) 17:06:24

☆ Re: 物理 / ktdg

回答ありがとうございます。
自分も今書いていて気づいたのですが、Bの質量をmとして計算していたようです。m/3で計算するとmv/2になると思うのですがそれで大丈夫でしょうか？ちなみに以下が式(自分の考え方)です。
小物体Bは点Rにおいて、衝突直前は左向きに水平方向の速さ√3vcos30°=3v/2。衝突直後は水平方向に速さ0なので、Bのうける力積は右向きにm/3×3v/2=mv/2。

No.17750 - 2012/06/08(Fri) 18:41:26

☆ Re: 物理 / angel

(5)力積 mv/2 で正解でしょう．
BではなくA側で考えた方が多分簡単です．
すなわち，作用・反作用の法則がありますから，Aに働く力積はBに働く力積と同じ大きさで向きが逆，ということを利用するわけです．

でもって，Aに関して言えば，水平方向の v/2 (=vcos60°) の速度が衝突によって 0 に減じている訳なので，運動量として mv/2 の変化，つまりこれがAに働いた力積ということです．

No.17752 - 2012/06/09(Sat) 02:10:29

☆ Re: 物理 / ktdg

ありがとうございます。

No.17754 - 2012/06/09(Sat) 09:03:45

☆ Re: 物理 / ヨッシー

ちょっと作ってみました。

No.17772 - 2012/06/12(Tue) 14:56:25

☆ Re: 物理 / ヨッシー

もういっちょ。
黒玉１個おきに白玉がぶつかります。

No.17787 - 2012/06/14(Thu) 10:17:34

☆ Re: 物理 / ヨッシー

もはや悪ノリ

No.17792 - 2012/06/15(Fri) 11:36:27

★ ロピタルの定理での疑問 / みきちゃん

こんにちは。
「lim_{x→a}f(x)=lim_{x→a}g(x)=0 or ±∞ (但し,aは実数か±∞とする) で
f,gはa以外で微分可能でg'(a)≠0とする時,
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)が成立つ」
というのがロピタルの定理ですよね。

lim_{x→a}f'(x)/g'(x)が更に不定形ならlim_{x→a}f"(x)/g"(x)の極限値を求めればよい(つまり,繰り返しロピタルの定理を使え)。
と聞いたのですがこれは
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)=lim_{x→a}f"(x)/g"(x)
が成立つという事ですよね?

然し,lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)の部分はlim_{x→a}f'(x)/g'(x)が不定形だというのだから
g'(a)≠0を満たしていない事になりますよね。
、、なのでlim_{x→a}f'(x)/g'(x)=lim_{x→a}f"(x)/g"(x)の箇所にはロピタルの定理は使用可能ですが
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)の箇所にはロピタルの定理は使用不能だと思うのです。

一体,どのように解釈すれば宜しいのでしょうか?

No.17744 - 2012/06/06(Wed) 23:28:03

☆ Re: ロピタルの定理での疑問 / X

>>f,gはa以外で微分可能でg'(a)≠0とする時,
間違っています。f,gはa以外で微分可能ですが
g'(a)の存在については何も議論されません。
つまりg'(a)≠0という条件が蛇足です。

No.17746 - 2012/06/07(Thu) 06:29:58

☆ Re: ロピタルの定理での疑問 / みきちゃん

ご回答誠に有難うございます。

>>> f,gはa以外で微分可能でg'(a)≠0とする時,
> 間違っています。f,gはa以外で微分可能ですが
> g'(a)の存在については何も議論されません。
> つまりg'(a)≠0という条件が蛇足です。

えーと、つまり,
「「lim_{x→a}f(x)=lim_{x→a}g(x)=0 or ±∞ (但し,aは実数か±∞とする) で
f,gはa以外で微分可能でlim_{x→a}f'(x)/g'(x)が存在する時,
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)が成立つ」
が正しいロピタルの定理なのですね。

No.17751 - 2012/06/08(Fri) 22:58:09

☆ Re: ロピタルの定理での疑問 / X

その通りです。

No.17753 - 2012/06/09(Sat) 08:32:10

★ ２次関数の最大値と最小値 / DARS

aは定数とする。関数y=x^2-2x+1 (a≦x≦a+1)について、次の問いに答えよ。
（１）最小値を求めよ
（２）最大値を求めよ

途中式も載せていただけるとうれしいです。
よろしくお願いします

No.17732 - 2012/06/05(Tue) 19:09:08

☆ Re: ２次関数の最大値と最小値 / ヨッシー

こういう問題は、グラフを描いて考えるので、途中式はありません。
グラフの赤がｘ＝ａ，青がｘ＝ａ＋１です。また、●が最大値
○が最小値です。

(1)
ａ＜０のとき　f(a+1)＝a^2
０≦ａ≦１　のとき　f(1)＝0
１＜ａ　のとき　f(a)＝a^2-2a+1
(2)
ａ＜1/2 のとき　f(a)＝a^2-2a+1
1/2≦ａのとき　f(a+1)＝a^2

となります。

No.17741 - 2012/06/05(Tue) 21:58:23

★ 群数列 / PINK

分母が2の累乗、分子が奇数であって、0より大きく1より小さい分数を次のように並べる。

1/2,1/4,3/4,1/8,3/8,5/8,7/8,1/16,3/16,5/16,7/16,9/16
13/16,15/16,1/32,....

(1)　1/256は第何項であるか

(2)　第255項を求めよ

(3)　初項から第255項までの和を求めよ

この3問お願いします。

No.17730 - 2012/06/05(Tue) 18:02:53

☆ Re: 群数列 / X

問題の数列を
{1/2}
,{1/4,3/4}
,{1/8,3/8,5/8,7/8,1/16,3/16,5/16,7/16,9/1613/16,15/16}
,{1/32,....
というような群に分けます。
このとき、第m群の数列を
{a[m,n]}
とすると
a[m,n]=(2n-1)/2^m (A)
(n=1,2,…,2^(m-1))
(1)
1/256=1/2^8
∴1/256が第N項であるとすると
N=Σ[m=1～7]2^(m-1)+1=…
(2)
第255項が第m群に属しているとすると
Σ[k=1～m-1]2^(k-1)≦255＜Σ[k=1～m]2^(k-1)
この不等式を解いて、まずmの値を求めます。
次に第m-1群の末項が全体の数列での第何項であるかを
求めると、第255項が第m群の何項目であるかが求められます。
(3)
第k群の初項から末項までの和をT[k]とすると
T[k]=Σ[i=1～2^(k-1)]a[k,i]=…
よって元の数列の初項から第m-1群の末項までの和をS[m-1]とすると
S[m-1]=Σ[k=1～m-1]T[k]=…
後は(2)の計算過程を使います。

No.17735 - 2012/06/05(Tue) 19:30:04

★ 教えて下さい！！ / M

下記問題を分かりやすく教えてもらえないでしょうか
すいませんけど宜しくお願いします

＞次の図形をそれぞれ１つずつ示してください
＞?@　線対称であり、点対称でもある図形
＞?A　線対称であるけれども、点対称ではない図形
＞?B　点対称ではあるけれども、線対称ではない図形

No.17729 - 2012/06/05(Tue) 16:36:22

☆ Re: 教えて下さい！！ / ヨッシー

一例です。

No.17738 - 2012/06/05(Tue) 21:32:31

☆ ありがとうございました！！ / M

ヨッシーさん、ありがとうございました！！
助かりました
今後とも宜しくお願いします

No.17742 - 2012/06/06(Wed) 09:44:28