ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル / YAMAHA

△OABがあり、OA=3 OB=√17 AB=4とする。
(3)△OABの垂心をHとするとき、OH→をOA→、OB→を用いて表せ。

(1)よりOA→・OB→=5
(2)よりOC→=(3/4)OA→+(1/4)OB→が求まっています。
(3)を私はOH→=kOC→(kは実数)
OH⊥AB⇔OH→・AB→=0→
の2つの条件をつかうんじゃないか？とまっさきに思ってしまったのですがこれだとk=0になってしまいます；
答ではOH→=kOC→(kは実数)、AH→・OB→=0→を利用しています。
答はOH→=(15/32)OA→+(5/32)OB→です。
どうやったら解答のようなやり方を見抜けるんですか？
また、私のはなんで答にいたらないんでしょうか？誰か教えてください。お願いします。

No.18430 - 2012/09/01(Sat) 02:03:01

☆ Re: ベクトル / angel

まず、H は垂心ですので、H を求めるために使う条件は
　a. OH⊥AB つまり OH→・AB→ = 0
　b. AH⊥OB つまり AH→・OB→ = 0
　c. BH⊥OA つまり BH→・OA→ = 0
です。このうちの1条件だけでは足りなくて、2条件を組み合わせる必要があります。なお、2条件あれば残りは自動的に成立するため、3条件全てを考える必要はありません。

さて、(2) の C の情報がありませんが、おそらく「OからABに下ろした垂線の足Cに関してOC→をOA→,OB→を用いて表せ」とかいう問題だったと思います。
そうすると、OC⊥AB であるため、OH→=kOC→ と表した時点で自動的に条件 a はクリアしていることになります。

なので、あと考えるべきは b もしくは c です。YAMAHAさんが見た解答では b を使っているようですね。

No.18433 - 2012/09/01(Sat) 08:00:48

☆ Re: ベクトル / YAMAHA

ありがとうございます。
少し疑問に思うことがでてきたのですが
　a. OH⊥AB つまり OH→・AB→ = 0
　b. AH⊥OB つまり AH→・OB→ = 0
　c. BH⊥OA つまり BH→・OA→ = 0
のうち２条件でいいのはなぜなんでしょうか？
この問題に限らずほかの問題でも３条件のうち２条件満たしてたらOKみたいなのがありますよね。
いままでそのへんの理解を怠ってきたのでよかったら教えてください。お願いします。

No.18434 - 2012/09/01(Sat) 09:23:10

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

２条件を満たせば、残りのひとつも必ず満たすからです。
重心、外心、内心なども同様です。

こちらをご覧下さい。

No.18435 - 2012/09/01(Sat) 09:53:49

☆ Re: ベクトル / angel

ベクトルの計算で、2条件から残りを導くことも可能です。

a. OH→・AB→ = 0
　⇔ OH→・(OB→-OA→)=0
　⇔ OH→・OB→ - OH→・OA→ = 0
b. AH→・OB→ = 0
　⇔ (OH→-OA→)・OB→=0
　⇔ OH→・OB→ - OA→・OB→ = 0

b-a. OH→・OA - OA→・OB→ = 0
　⇔ (OH→ - OB→)・OA→ = 0
　⇔ BH→・OA→ = 0

…という感じで、a,b から出てくる式を辺々引けば、c の形が導かれます。

No.18436 - 2012/09/01(Sat) 11:15:24

★ 数学指数対数関数 / 狂乱

x,yがx≧1,y≧1,(log[2]x-1)^2+(log[2]y)^2=5を満たしながら変化するときx^2yの最大値・最小値を求めよ。
[自分の解答]
log[2]x=X
log[2]y=Yとおく。
x≧1,y≧1より
X≧0,Y≧0
また、条件式は(X-1)^2+Y^2=5
x^2yにて底が2のlogを取ると
log[2]x^2y=log[2]x^2+log[2]y=2X+Y
2X+Y=k(定数)とする。
X≧0,Y≧0,(X-1)^2+Y^2=5を満たす領域をDとしたとき、この領域と2X+Y=kが共有点を持つうちでkが最大・最小になる実数X,Yを求めるとkが最小となるのは(X,Y)=(0,0)のときでk=0
このときlog[2]x^2y=log[2]1よりx^2yの最小値は1
最大値は2X+Y=kが第１象限で円に接するとき。(以下省略)」

最大値は答と一緒だったんですけど最小値が全く違いました。
そもそも先生の解説プリントには「(X,Y)は第１象限にある円の図形上を動く」とかいており
最小値をとるのは直線が(X,Y)=(0,2)を通るときでした。
どうして領域Ｄじゃなくて第１象限にある円の図形上なんですか？
分かる方教えてください。お願いします。

No.18427 - 2012/08/31(Fri) 22:56:13

☆ Re: 数学指数対数関数 / X

狂乱さんが領域Dとしている条件式である
(X-1)^2+Y^2=5 (A)
を
(X-1)^2+Y^2≦5
と勘違いされていませんか？。
(A)は円周を表していますが、円の内部の点を
表してはいません。

No.18428 - 2012/08/31(Fri) 23:15:35

★ ベクトル / YAMAHA

三角形ABCに対して点Ｐを7PA→-5PB→+3PC→=0→を満たすようにとる。
(３)三角形ABQと三角形CPQの面積の比を求めよ。
(１)と(２)で
AP→=-AB→+(3/5)・AC→
AQ→=3/10AC→
BQ:QP=1:1が分かっています。
答えには△ABQ：△CPQ＝(1/2・QB・QA・sinθ)：(1/2・QP・QC・sinθ)＝(QA・QB)：(QP・QC)=3:7となっているんですが
QAとQBとQPとQCは比しかわかっていないのになんでこんなふうに計算できるんでしょうか？
なんかひっかかります。
どなたか分かる方教えてください。お願いします。

No.18425 - 2012/08/31(Fri) 22:33:42

☆ Re: ベクトル / X

↑AP=-↑AB+(3/5)↑AC (A)
↑AQ=(3/10)↑AC (B)
とします。
(B)より
↑AC=(10/3)↑AQ
これを(A)に代入して
↑AP=-↑AB+2↑AQ
∴↑AQ =(↑AB+↑AP)/2
つまり
点Qは線分BPの中点 (P)
になっています。
つまり点B,P,Qは同一直線上にありますので対頂角から
∠AQB=∠AQP
これをθと置いて△ABQ、△CPQの面積を計算しています。
更に(P)より
QB=QP
∴(QA・QB)：(QP・QC)=QA:QC=3:7 (∵)(B)より
となります。

No.18429 - 2012/08/31(Fri) 23:32:54

☆ Re: ベクトル / YAMAHA

ありがとうございました

No.18431 - 2012/09/01(Sat) 02:03:18

★ (No Subject) / burunn

２－２行列の固有値が重解になる時の
誘導無しのとき方を教えてください。

No.18423 - 2012/08/31(Fri) 21:05:48

☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています / のぼりん

意味不明です。

No.18437 - 2012/09/01(Sat) 11:20:11

☆ Re: / burunn

仰るとおりでした。解き方ではなく
２－２行列をAとしたときのA^nの求め方でした。
よろしくお願いします

No.18439 - 2012/09/01(Sat) 16:07:15

☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています！ / のぼりん

二次正方行列に限らず、一般的に正方行列Ａの冪乗Ａ^ｎを計算するなら、低い冪の場合を幾つか計算し、そこから一般形を類推し、帰納法に持ち込むのが手っ取り早くて簡単だと思います。

低冪の場合を計算しても一般形が想像できない場合は、仕方がないので、Ａのジョルダン標準形を求めてその冪乗を計算するのが良いでしょう。

No.18443 - 2012/09/01(Sat) 21:54:23

☆ Re: / ast

2x2なら, 固有値が重なって対角化できないやつは右上が1の三角化ならできるので, それ以外は対角化できる場合と手順的には同じ. 三角化したやつの冪は, 対角行列（半単純成分）と残り（冪零成分）の和に分けて二項定理が楽でしょう.

> 固有値が重解になる
違和感を覚えます. 「固有方程式が重解を持つ」や「特性根が重根になる」あるいは「固有値の（代数）重複度が1でない」などであればわかりますが.

No.18448 - 2012/09/02(Sun) 00:24:48

☆ 数列の場合と同じです / 黄桃

数列の3項間漸化式の場合と同様にできる方法を紹介します。

A:2x2行列とし、Aの固有方程式が重根をもつとします。すなわち、
A^2-2aA+a^2E=O
とします。a=0 ならA^2=O なので、A^n=O (n≧2)となります。
以下、a≠0 とします。
A^(n-1)をかけると
A^(n+1)-2aA^n+a^2A^(n-1)=O
となり、これを変形すると
A^(n+1)-aA^n=a(A^n-aA^(n-1))
を得ます。したがって、
A^(n+1)-aA^n=a(A^n-aA^(n-1))=a^2(A^n-aA^(n-1)=...=a^n(A-aE)
です。両辺をa^(n+1)(≠0)で割ると
A^(n+1)/a^(n+1)-A^n/a^n=(1/a)A-E
です。みづらいですが、B[n]=A^(n)/a^n とおけば、
B[n+1]-B[n]=(1/a)A-E
と行列の「等差数列」になっていますから、
B[n]=B[n-1]+(1/a)A-E=B[n-2]+2((1/a)A-E)=...=B[0]+n((1/a)A-E)
両辺にa^nを乗じると
A^n=a^n E+n a^n((1/a)A-E)
=a^n E+n a^(n-1)A-na^nE
=n*a^(n-1) A+(1-n)a^n E
となります。

No.18450 - 2012/09/02(Sun) 03:12:50

☆ Re: / burunn

Ａのジョルダン標準形を求めてその冪乗を計算する方法を教えてください。

右上が1の三角化にする方法を教えてください。

行列A＝（6 -8)
(2 -2)とします

よろしくおねがいします

No.18463 - 2012/09/02(Sun) 20:44:05

☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています。無視するお積りですか？ / のぼりん

＞　Ａのジョルダン標準形を求めてその冪乗を計算する方法を教えてください。
Ａ＝〔〔６，－８〕，〔２，－２〕〕のジョルダン標準形を求め、
　　　Ｊ＝〔〔２，１〕，〔０，２〕〕
　　　Ｂ＝〔〔２，１/２〕，〔１，０〕〕
に対し、
　　　Ａ＝ＢＪＢ^－１
です。
　　　Ｂ^－１＝〔〔０，１〕，〔２，－４〕〕
　　　Ｊ^ｎ＝〔〔２^ｎ，２^ｎ－１ｎ〕，〔０，２^ｎ〕〕
だから、
　　　Ａ^ｎ＝ＢＪ^ｎＢ^－１＝…
と計算できます。

＞　右上が1の三角化にする方法を教えてください。
要は、Ａジョルダン標準形を求めるということです。
（個別問題でなく）この様な一般事項は、ご自分で教科書を勉強しましょう。

No.18466 - 2012/09/02(Sun) 22:11:45

★ 場合の数 / オナ次郎

separateの8文字を並べる。
(1)aa,ee,ae,eaの少なくとも一つを含む並べ方は何通りか。
○s○p○r○t○
○の中にa,a,e,eを入れる入れ方は5C2×4!×3C2通りと解答にあるのですが
分かりにくいです。
自分はとりあえず５つの○の中からa,a,e,eの入る場所を確保してやってそっからa,a,e,eを並べるという風に考えて
4!×5C4×4!/2!2! =720通りとなりました。
こちらの方が自分には分かり易いのですがこっちの考え方でも受験で問題ないでしょうか？
教えてください。お願いします。

No.18419 - 2012/08/31(Fri) 15:11:44

☆ Re: 場合の数 / オナ次郎

すみません。解答は余事象を考えています。

No.18420 - 2012/08/31(Fri) 15:24:50

☆ Re: 場合の数 / らすかる

問題ありません。

No.18424 - 2012/08/31(Fri) 22:03:24

☆ Re: 場合の数 / IT

>○の中にa,a,e,eを入れる入れ方は5C2×4!×3C2通りと解答にあるのですが

どちらも合っていますが、解答にあるほうは、
5C2×4!×3C2　ではなくて
4!×5C2×3C2　か5C2×3C2×4!　とした方が良いのではないでしょうか？

sprtの並べ方4!、５箇所の○からaを入れる２箇所を選ぶ5C2、残りの３箇所の○からeを入れる２箇所を選ぶ3C2
　

No.18426 - 2012/08/31(Fri) 22:35:29

★ 絶対値の入った関数 / masa

f(x)=-|x|+1(-2≦ｘ≦１）とg(x)=a(x+1)+3がある。
ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が共有点をもつようなaの範囲を求めよ

答えはa≦-3/2,4≦aです

下のように、考えたのですがそこからわかりません
なぜ、-3/2≦a≦4ではないのですか。
よろしくお願いします

No.18417 - 2012/08/31(Fri) 14:10:28

☆ Re: 絶対値の入った関数 / ＿

とりあえずその図に、a=-1,0,1,2,3としたときの直線y=g(x)を書き加えてみてください。
上記の5本全部だと面倒だし見づらいという場合はどれか1つか2つぐらいでもいいのですが、さて、どうなりますか？

No.18418 - 2012/08/31(Fri) 14:26:20

☆ Re: 絶対値の入った関数 / masa

わかりました！
この問題のポイントは、代入していけばいいんですね
ありがとうございました

No.18421 - 2012/08/31(Fri) 16:41:30

☆ Re: 絶対値の入った関数 / IT

> この問題のポイントは、代入していけばいいんですね
もう見ておられないかも知れませんが、代入していくというよりも、せっかく描いたグラフを使って考える方が良いと思います。

具体的には、
傾きa=4から大きくしていき無限大までｆ（ｘ）とｇ（ｘ）は共有点を持ちます。

傾きa=-3/2から小さく（ａの絶対値は大きくなる）していきマイナス無限大までｆ（ｘ）とｇ（ｘ）は共有点を持ちます。

No.18422 - 2012/08/31(Fri) 17:54:31

☆ Re: 絶対値の入った関数 / ＿

私が言いたかったのは、
>この問題のポイントは、代入していけばいい
ということではなく、

>なぜ、-3/2≦a≦4ではないのですか。
に対してその証拠を示したに過ぎません。尤も、それで理解できたというのならそれはそれで良いかと思います。

解き方についてはIT氏の仰る通りです。

No.18438 - 2012/09/01(Sat) 11:49:55

★ 高１ / ニシモン

数学方針があっているか分かりません

円と直線で囲まれた赤い斜線の部分(境界線上も含む)を領域Ｄとし、この領域内を点Ｐ(x,y)が自由に動けるものとする。
このときx^2+y^2の範囲を求めよ。
という問題で、図は汚いですがこの通りです。
点Oから円の中心Mを通る直線を引いたとき、円と交わる２点のうち奥の方がＰの最大となるところ(図でいうところのPmax)であるというのはあっているのでしょうか？
また、OPが最小になるときは点Oから直線までの距離ですよね？
方針があっているかどうか教えてください。お願いします。

No.18412 - 2012/08/30(Thu) 18:00:06

☆ Re: 高１ / IT

基本的にはいいと思いますが、円と直線の位置などの条件はどうなっていますか？

Pmaxや「点Oから直線への垂線の足」が領域Ｄに含まれない場合はありえないのですか？

No.18413 - 2012/08/30(Thu) 18:34:55

☆ Re: 高１ / ニシモン

Pmaxや「点Oから直線への垂線の足」が領域Ｄに含まれない場合はありえないのですか？
>>特に問題では言及されていませんでした＞＜；

No.18414 - 2012/08/30(Thu) 18:44:39

☆ Re: 高１ / IT

> >>特に問題では言及されていませんでした＞＜；
問題文はどうなっていますか？円、直線は式で表されてませんか？

無条件なら
Pmaxや「点Oから直線への垂線の足」が領域Ｄに含まれない場合も検討すべきだと思います。

No.18415 - 2012/08/30(Thu) 19:15:57

☆ Re: 高１ / ヨッシー

IT さんの言われるのは、領域Ｄが図のような場合、
Ｐmin は、点Ａではないですし、Ｐmax は点Ｂではないですよということです。

そもそも、「x^2+y^2の範囲を求めよ。」という問題で、
円の式も、直線の式も与えられず、ということは考えにくいので、
実際に与えられた、式でグラフを描いてみて、上のような事が
ないか、確認すればいいでしょう。

で、実際のところ、円の式、直線の式は何ですか？

No.18416 - 2012/08/31(Fri) 09:40:47

★ 双曲線 / 高校3年

過去ログを調べて見ましたが
同じ質問がないようなので、投稿させていただきます。

この形の双曲線についてお願いします
x^2/a^2-y^2/b^2=1

この双曲線の焦点は
F( √(a^2+b^2) , 0 )
F'( -√(a^2+b^2) , 0 )
ですが

なぜ、焦点のx座標が
±√(a^2+b^2)となるのでしょうか？

自分で考えていた時は
双曲線上の点をQとすると
|FQ-F'Q| = 2a
という定義から、当然だとひらめいたのですが
メモを取る直前に何を書こうとしたのか忘れてしまい
しばらく自分で考えてみたものの、分かりませんでした。

手元の本には公式のように書いてあり
詳しい解説がなく、ネットで検索したりしましたが
開いてみたページも、双曲線の基本について書いており、
焦点については特に触れていませんでした。
気になって仕方がないので、質問させていただきました。

お願い致します

No.18403 - 2012/08/28(Tue) 16:39:17

☆ Re: 双曲線 / X

対称性から
F(-p,0),F'(p,0) (p＞0)
と置き、更にQ(x,y)として
|FQ-F'Q| = 2a
を変形していくと、最終的に
(x^2)/a^2-(y^2)/(p^2-a^2)=1
という式が出てきます。
後は
p^2-a^2=b^2
と置くことで
p=√(a^2+b^2)
となります。

No.18404 - 2012/08/28(Tue) 16:54:30

☆ Re: 双曲線 / 高校3年

> 対称性から
> F(-p,0),F'(p,0) (p＞0)
> と置き、更にQ(x,y)として
> |FQ-F'Q| = 2a
> を変形していくと、最終的に
> (x^2)/a^2-(y^2)/(p^2-a^2)=1
> という式が出てきます。
> 後は
> p^2-a^2=b^2
> と置くことで
> p=√(a^2+b^2)
> となります。
分かりやすい回答、ありがとうございます！

Xさんの回答を見てから、調べてみると
本にもネットにも、当然のように書いてありますね。
定義だけで分かると勝手に思い込み
双曲線の標準形の導出は、注意して見ていませんでした。
本当に申し訳ございません

回答も早く、驚きました。

一応、解決という事ですが
もしあれば標準形の導出なし、定義だけで
簡単に分かる方法があれば
返信お願いします。

Xさん、ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

No.18407 - 2012/08/29(Wed) 21:09:54

★ 等比数列の応用問題 / 高３

お願いします。

公比が正である等比数列の初項から第n項までの和をSnとする。S2n＝2 S4n＝164のときSnの値を求めよ。

答え
初項をa公比がrとする。r＝1の時S2n＝2na S4n＝4naとなる

↑ってどうやって出てきたんでしょうか。

あともうひとつあります。

S2n＝a(r＾2n－1)/(r－1)と表せこれが計算すると
(r＾n＋1)Snとやるのですがどうやってこれは計算したのでしょうか。

No.18398 - 2012/08/27(Mon) 19:53:48

☆ Re: 等比数列の応用問題 / angel

> 初項をa公比がrとする。r＝1の時S2n＝2na S4n＝4naとなる
> ↑ってどうやって出てきたんでしょうか。

r=1 の時は全項 a です。なので 2n項分の和であれば S[2n]=2n×a、4n項分の和であれば S[4n]=4n×a です。
…r=1 の時は、分母が0になる関係上、公式 S[k]=a(1-r^k)/(1-r) が使えませんから、こういう風に分けて考えるのが常套手段なのです。

> S2n＝a(r＾2n－1)/(r－1)と表せこれが計算すると
> (r＾n＋1)Snとやるのですがどうやってこれは計算したのでしょうか。

「どうやって」というのは基本ないです。
たまたま S[n], S[2n] の式を見比べていたら、たまたまそういう等式が成立することが分かった。そんなもんです。
なので、実際に (r^n+1)S[n] を自分で計算して身につける ( 慣れる ) のが第一です。

ただまあ、「予め分かっていたかのように」解答を書くのであれば、
　a( r^(2n) - 1 )/(r-1)
　= a( (r^n)^2 - 1 )/(r-1)
　= a( r^n - 1 )( r^n + 1 )/(r-1)　　※x^2-1=(x-1)(x+1) の x=r^n の場合に相当
　= ( r^n + 1 )・a( r^n - 1 )/(r-1)
　= ( r^n + 1 )S[n]
としますね。

No.18399 - 2012/08/27(Mon) 22:37:53

★ 高1数学個数 / 陽子

自分で考えても分からなかったので、
解説お願い致します。

?@2つの数540と360の公約数がある。

?T公約数を2^a×3^b×5^cとおくとき
a､b､cがそれぞれ取り得る値は？
?U公約数はいくつ？
?V公約数の総和は？

?A?T 540の最小公倍数が2700である
自然数は 2^a×3^b×5^cの形をしているとき
a､ b､cがそれぞれ取り得る値は？

?U 540との最小公倍数が2700である自然数の個数は？

?Bkを実数とする。
(1+x+kx^2)^6をxについて展開するとき次の数は？

?T x^3の実数
?U x^4の係数
?V x^4の係数が最小となるkの値

No.18397 - 2012/08/27(Mon) 19:39:33

☆ (1),(2) / angel

(1)
まず、540と360の最大公約数は180です。( 540=180×3, 360=180×2 )
なので、540と360の公約数は、180の約数全てを指します。( 公約数は最大公約数の約数 )
その上でI～IIIを考えましょう。II,IIIについては公式 ( 約数の個数の公式、約数の総和の公式 ) があるのですが、見たことはありませんか?

(2)
一般のお話として、A,B の最大公約数が G の時、改めて A=aG, B=bG ( a,bは互いに素 ) と表すと、A,B の最小公倍数 L は、
　L = abG = aB = Ab = AB/G
と表すことができます。
今回、A=540、B,G未知という状況ですが、L=2700 から B=5G だけは分かります。
後は A を見て、G として取り得る値を調べることになります。

注意が必要なのは 5の素因数。
例えば、
　540 と 5 の最小公倍数は 540 → B=5 は不適
　540 と 25 の最小公倍数は 2700 → B=25 は適
　540 と 125 の最小公倍数は 13500 → B=125 は不適
と、5の素因数の指数によって状況が変わります。そこの違いはおさえておきましょう。

No.18402 - 2012/08/28(Tue) 00:19:35

★ 対数 / BANG

(0.25)^n<10^(-9)を満たす整数nの最小値
ただし(log10)2=0.3010とします。解説お願いします。

No.18393 - 2012/08/26(Sun) 20:34:08

☆ Re: 対数 / らすかる

両辺の常用対数をとると nlog[10]0.25＜-9
log[10]0.25=-2log[10]2 ですから…

No.18394 - 2012/08/27(Mon) 02:59:51

☆ Re: 対数 / BANG

log(10)0.25=-0.6020 となりました。ここからどのようにしてnの最小値を求めればいいのでしょうか？

No.18400 - 2012/08/27(Mon) 23:08:40

☆ Re: 対数 / らすかる

log[10]0.25=-0.6020 を
nlog[10]0.25＜-9 に代入すれば
-0.6020n＜-9 となりますね。

No.18401 - 2012/08/28(Tue) 00:02:51

☆ Re: 対数 / BANG

何度もすみませんが、なぜ log[10]0.25=2log[10]2になるんですか？　　教えてください。

No.18405 - 2012/08/29(Wed) 21:06:23

☆ Re: 対数 / らすかる

0.25=1/4=2^(-2) なので
log[10]0.25=log[10]{2^(-2)}=-2log[10]2 です。

No.18409 - 2012/08/29(Wed) 21:56:21

☆ Re: 対数 / BANG

らすかるさん本当に何度もありがとうございました。

No.18411 - 2012/08/30(Thu) 00:48:08

★ 絶対値のついた二変数関数の積分 / まさ

f(x)=?甜下0、上1]|t^2-x^2|dt (0≦x≦2)を求めよ。

答えは、(4x^3/3)-x^2+1/3 (0≦x<1)
x^2-1/3 (1≦x≦2)
です。

なぜ、 (0≦x<1)
(1≦x≦2)といったように場合わけするのかわかりません。
1はどこから、でてくるのですか
よろしくお願いします。

No.18388 - 2012/08/25(Sat) 15:53:24

☆ Re: 絶対値のついた二変数関数の積分 / 黄桃

f(x)=∫[0,1] |t^2-x^2| dt ですよね？
f(0),f(1/2),f(1),f(2)を求めてみると理由がわかると思います。

f(1)だけやってみますと、
f(1)=∫[0,1] |t^2-1| dt
なので、y=t^2-1 のグラフを区間[0,1] で考えると、常にy≦0 なので、
f(1)=-∫[0,1] t^2-1 dt=2/3
となります。
同じように f(0),f(2)は、できると思います。

f(1/2)は難しいです。でも、これがわかればこの問題は解けたようなものです。

No.18389 - 2012/08/25(Sat) 18:13:45

☆ Re: 絶対値のついた二変数関数の積分 / まさ

それぞれの値を求めてみましたが
よくわかりません

すいません

No.18390 - 2012/08/25(Sat) 22:09:59

☆ Re: 絶対値のついた二変数関数の積分 / 黄桃

f(1/2)はどうやって求めましたか？

No.18391 - 2012/08/25(Sat) 23:06:56

★ 数1 / yuku

x+y=1、x^2+y^2=2のとき、x^7+y^7の値を求めよ

下の質問に似ていてできるかなと思いきや
誠に恥ずかしながらできません。

7乗のものをどう作るか考えてみたのですが・・
この類の問題を解く時のコツは一体何なんでしょうか。

No.18384 - 2012/08/25(Sat) 13:43:55

☆ Re: 数1 / IT

対称式ですから、まずx+y、xyを求める

x+yとx^2+y^2　を掛けると　３次式
x^2+y^2　を二乗すると　４次式ができる

余分な項((xy)^n)(x+y)などを消して
x^3+y^3と　x^4+y^4を求める

(x^3+y^3)(x^4+y^4) から余分な項((xy)^3)(x+y)を消す。

２次方程式を解いてx,yを求めて地道に計算する方法もあります。
　

No.18385 - 2012/08/25(Sat) 14:03:55

☆ 対称式 / angel

x+y, xy の値が分かっていれば、x^3+y^3 でも x^4+y^4 でも x^7+y^7 でも、色々値を求めることができます。
x+y, xy が基本対称式だからです。( x^3+y^3等は対称式 )

まずは、値の分かっていない基本対称式 xy を求めること。
これは、xy = ( (x+y)^2-(x^2+y^2) )/2 で良いですね。

後は、x+y, xy から直接 x^7+y^7 を作っても良いのですが、中間の式を経由した方が分かりやすいでしょう。
例えば (x^3+y^3)(x^4+y^4)=x^7+y^7+(x+y)(xy)^3 とか。
ちょうど 7 を半分ずつに分けていくような感じです。

※x^3+y^3 なら (x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+xy(x+y) でも
(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y) でも。
　x^4+y^4 なら (x+y)(x^3+y^3)=x^4+y^4+xy(x^2+y^2) でも
　(x^2+y^2)^2=x^4+y^4+2(xy)^2 でも。

No.18386 - 2012/08/25(Sat) 14:09:38

☆ Re: 数1 / yuku

>>まずは、値の分かっていない基本対称式 xy を求めること。
>>これは、xy = ( (x+y)^2-(x^2+y^2) )/2 で良いですね。

xyを求めたところ　-(1/2)になりました。
自分は
(x+y)^2　=　x^2+2xy+y^2=1
x^2+y^2=2　だから2+2xy=1という式が出来、
xyを求めて-(1/2)になりました。

No.18387 - 2012/08/25(Sat) 14:19:45

★ 数1 / yuku

a^2+b^2=13、a^4+b^4=97のとき、
a^3+b^3の値を求めなさい。ただしa+b>0、ab>0とする

手がつけられません・・・。
色々形を変えてみましたが答えにつながるようなものには
なりませんでした。

お願いします。

No.18378 - 2012/08/25(Sat) 08:33:03

☆ Re: 数1 / IT

(a^2+b^2)^2=a^4+2(a^2)(b^2)+b^4 = 13^2=169
a^4+b^4=97 を引くと
2(a^2)(b^2)=169-97＝72
(a^2)(b^2)=36
ab＞0なので　ab=6

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=13+12=25
a+b＞0なので
a+b=5
a^3+b^3　はa+bとabで表せますので・・・あとはどうぞ。

No.18379 - 2012/08/25(Sat) 09:05:29

☆ Re: 数1 / IT

なお、a=3,b=2 は条件を満たすので
3^3+2^3=27+8=35 が答えです。（あくまでも検算用です）

No.18380 - 2012/08/25(Sat) 09:13:42

☆ Re: 数1 / yuku

ITさん、素早い解答ありがとうございます。
おかげさまで最後までスラスラ解けました！

>>2(a^2)(b^2)=169-97＝62　←　72です（´･ω･｀）
>>(a^2)(b^2)=36

No.18382 - 2012/08/25(Sat) 09:24:50

☆ Re: 数1 / IT

> >>2(a^2)(b^2)=169-97＝62　←　72です（´･ω･｀）
タイプミスでした。直しときます。

No.18383 - 2012/08/25(Sat) 09:33:40

★ 絶対値の関数の応用 / まさ

二つの関数f(x)=2|x-1|+1と、g(x)=k(x-3)+2(kは実数)がある。

f(x)とg(x)が2交点もつとき、kの範囲を求めよ。

答えは、-2<k<1/2です
解答では、二つのグラフを書いてから、図より明らかと書いてありよくわかりません。
よろしくお願いします。

No.18371 - 2012/08/24(Fri) 09:49:37

☆ Re: 絶対値の関数の応用 / X

まず
y=2|x| (A)
のグラフが原点を頂点としたV字型になることはよろしいですか？。
y=f(x) (B)
のグラフは(A)のグラフをx軸方向に1,y軸方向に1だけ
平行移動したグラフとなります。
一方
y=g(x) (C)
のグラフは点(3,2)を通る傾きkの直線となります。
f(3)=5＞2
であることから点(3,2)が(B)のグラフの下側にあることに注意して
(C)のグラフを点(3,2)を中心としてくるくる回転させる
イメージを考えて下さい。
このとき、(B)(C)が２つ交点を持つ場合の傾きが
最大、最小に近い場合、(C)はどのような位置になるのか
グラフで考えてみましょう。

No.18372 - 2012/08/24(Fri) 10:54:20

☆ Re: 絶対値の関数の応用 / X

別解)
y=f(x)
y=g(x)
のグラフの交点のx座標が2つ存在する条件を求めます。
x≦1のとき
f(x)=-2x+3
∴交点のx座標について
-2x+3=k(x-3)+2
これより
x=(3k+1)/(k+2) (A)
よって交点が存在するには
(3k+1)/(k+2)≦1 (B)
又x≦1のとき
f(x)=2x-1
∴交点のx座標について
2x-1=k(x-3)+2
これより
x=(3k-3)/(k-2) (C)
よって交点が存在するには
1≦(3k-3)/(k-2) (D)
更に交点は２つ存在しますので(A)(C)より
(3k+1)/(k+2)≠(3k-3)/(k-2) (E)
(B)(D)(E)を連立して解きます。

しかし、この別解を使うよりグラフを用いる解法の方が
直感的に分かりやすいと思いますのでそちらをまず理解
できるようになることをお勧めします。

No.18373 - 2012/08/24(Fri) 11:02:14

☆ Re: 絶対値の関数の応用 / まさ

ありがとうございました

No.18374 - 2012/08/24(Fri) 11:50:21