以下の→はベクトルを表します。
平面上に三角形ABCと動点Pがあり、Pが
PA→・PB→+PB→・PC→+PC→・PA→=AB→・AC→ー?@
を満たしているとき、次の問いに答えよ。
(1)Pの軌跡を求めよ。
(2)BC=5、CB=4、AB=3のとき、内積PB→・PC→の最大値、最小値を求めよ。
(1)
xy平面上に三角形ABCをA(0,a)、B(b,0)、C(c,0)として定める。(但しc>b)。また、Pの座標をP(X,Y)とすると、
PA→=(-X,a-Y)、PB→=(b-X,-Y)、PC→=(c-X,-Y)、AB→=(b,-a)、AC→=(c,-a)より、?@に代入して、
3X^2-2(b+c)X+3Y^2-2aY=a^2
⇔{X-(b+c)/3}^2+(Y-a/3)^2=4a^2/9+(b+c)^2/3
従って、xy平面上におけるPの軌跡は、中心(b+c/3,a/3)、半径√{4a^2/9+(b+c)^2/3}の円である。
ここからどうやって三角形ABCと点Pの関係にもっていくのかがわかりません。
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No.18017 - 2012/07/15(Sun) 14:57:43
| ☆ Re: 高3 ベクトル / X | | | まず中心である点((b+c)/3,a/3)ですがこれは△ABCの重心
となってます。
問題は半径の処理ですがこれは別の角度から考えましょう。
問題の軌跡は点Aを通ります(方程式に座標を代入して確かめて下さい)。
従って解答は
△ABCの重心をGとするとき、Gを中心、AGを半径とする円
となります。
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No.18019 - 2012/07/15(Sun) 20:02:02 |
| ☆ Re: 高3 ベクトル / ktdg | | | 回答ありがとうございます。
軌跡が点Aを通るというのはたしかに座標を代入してみるとわかりますが、点Aを通るという発想はどこかにヒントがあるのでしょうか。(感覚的なものかもしれませんが、中心が三角形の重心というのは座標((b+c)/3,a/3)からなんとなく予想ができそうですが、半径から、円が点Aを通るというのは予想がつきません。)
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No.18021 - 2012/07/15(Sun) 22:04:36 |
| ☆ Re: 高3 ベクトル / X | | | 中心の座標
((b+c)/3,a/3)
を見てこれが△ABCの重心ではないか？との発想は必要だと
思います(少なくとも私はktdgさんの計算過程を見て
気付きました。)。
ですが半径である
√{(4/9)a^2/9+(1/3)(b+c)^2}
は意味付けが難しいと思います。
となると後できることといえば、分かっている
比較的簡単な点(例えば辺ABの中点など)で問題の軌跡が
通るものを探す以外に方法は無いと思います。
ちなみにこれはベクトル方程式の考え方を用いると
半径、中心が容易に特定できます。
その別解は以下の通りです。
↑AP=↑p
と置いて問題の等式を整理すると
3|↑p|^2-2(↑AB+↑AC)・↑p=0
∴|↑p-(↑AB+↑AC)/3|^2=|(↑AB+↑AC)/3|^2
∴△ABCの重心をGとすると
|↑p-↑AG|=|↑AG|
よって点PはGを中心とする半径AGの円を描きます。
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No.18022 - 2012/07/15(Sun) 22:46:48 |
| ☆ Re: 高3 ベクトル / ktdg | | | なるほど、ベクトル方程式だと一目瞭然ですね、
ありがとうございました。
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No.18025 - 2012/07/16(Mon) 18:05:57 |
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