ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / うｂｈ

A,B,C,Dの４人がじゃんけんをして
Aが２回目で優勝する確率
（残りが一人だけになることを優勝とします）

を教えてください

No.17273 - 2012/03/26(Mon) 21:23:12

☆ Re: / ヨッシー

まず、全部の手の出し方は、１回につき 3^4＝81(通り)
(i)２種類の手だけでる場合（その１）
１人だけ違う手を出す場合。
Ａだけ違う、Ｂだけ違う、Ｃだけ違う、Ｄだけ違うの４通り。
グー１人にチョキ３人、グー１人にパー３人
チョキ１人にパー３人、チョキ１人にグー３人
パー１人にグー３人、パー１人にチョキ３人　の６通り。
あわせて、２４通り。
(ii)２種類の手だけでる場合（その２）
２人と２人に分かれる場合。
ＡＢ／ＣＤ、ＡＣ／ＢＤ、ＡＤ／ＢＣ　の３通り。
左がグー、右がチョキ
左がグー、右がパー
左がチョキ、右がパー
左がチョキ、右がグー
左がパー、右がグー
左がパー。右がチョキ　の６通り。
あわせて、１８通り。

(iii)
これ以外の３９通りはあいこ。

１回目(iii) で、２回目(i) でＡが勝つ
　39/81×3/81＝13/729
１回目(ii) でＡが勝ち、２回目２人でやってＡが勝つ
　9/81×1/3＝1/27
１回目(i) でＡが勝ち、２回目３人でやってＡだけが勝つ
　9/81×1/9＝1/81
全部足して、
　49/729

No.17274 - 2012/03/26(Mon) 22:12:22

★ 数学　微積 / きちんじょーじ

f(a)=∫[0→2]|x^2-(a＋1)x＋a|dxとする。ただし0≦a≦1とする。
このときf(a)を求めよ。
また、f(a)=17/24となるaの値を求めよ。

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分け計算したら
どうしてもf(a)=定数
となってしまいます＾＾；
また0<a<1ならば
f(a)=∫[1→2](x-a)(x-1)dx+∫[a→1]-(x-a)(x-1)dx
+∫[0→a](x-a)(x-1)dx
というふうに分けて考える事もできると思うのですが
0≦a≦1とaには0と1も入るのでうまくいきません。
どうやってとけばいいんでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17271 - 2012/03/26(Mon) 04:20:12

☆ Re: 数学　微積 / ヨッシー

>また0＜a＜1ならば　・・・　考える事「も」できる
ということは、0≦a≦1 だと、別の考え方をするということでしょうか？なぜ、
>aには0と1も入るのでうまくいきません
なのでしょう？

0≦a≦1 でも、
f(a)=∫[1→2](x-a)(x-1)dx+∫[a→1]{-(x-a)(x-1)}dx
+∫[0→a](x-a)(x-1)dx
で良いです。

No.17272 - 2012/03/26(Mon) 07:11:38

★ 確率 / きちんじょーじ

1から7までの番号が1つずつ書いてある7枚のカードの中から、1枚ずつ3回抜き出す試行を考える。ただし抜き出したカードはもとには戻さないものとする。この試行において、最後（3回目）に抜き出したカードの番号が1回目および2回目に抜き出したカードの番号より大きければ、最後に抜き出したカードの番号が得点として与えられ、それ以外の得点は０とする。

（１）最後に抜き出したカードの番号が3である確率はア/イであり、また、得点が3である確率はウ/エオカである。

（２）得点がk（3≦k≦7）である確率は(k-キ)(k-ク)/ケコサであり、得点が0である確率はシ/スである。ただし、キ＜クである。

(1)
AさんBさんCさんの３人がそれぞれこの順にカードを取り出すとする。
このとき３回目にカードを引くのはCさんなのでCさんが３の数字が書かれたカードを取り出す確率を求めればよい。
Aさん、Bさんの引いたカードがなんであろうがCが3の数字が書かれたカードを取り出す確率は1/7である。
得点が3である確率は(1回目,2回目,3回目)=(2,1,3)(1,2,3)の２通り
よって2/7P3=1/105
(2)
3回目にkがでて、
１回目と２回目には1～k-1の数字が書かれたカードの中から２枚取り出せばいいから
(k-1)P2通り
よって、(k-1)(k-2)/210

３回目に取り出すカードが１のとき
１回目と２回目は２～７から２枚とりだせばいいので取り出し方は6P2
３回目に取り出すカードが2のとき
１回目と２回目に３～７から２枚取り出せばいいので取り出し方は5P2
以下３回目に取り出すカードが3のとき、4のとき、5のときとやっていくと
得点が0になる事象は6P2＋5P2＋4P2＋3P2＋2P2=70(通り)
よって得点が０になる確率は70/210=1/3

上記は自分の解答です。
(2)の答しかのっていなくて(k-1)(k-2)/210はあっていたのですが
得点が０になる確率が2/3でした。
なぜ2/3になるのでしょうか？
また(１)に関しては答がないので分かりませんでした。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17264 - 2012/03/25(Sun) 04:15:16

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(1)
>Aさん、Bさんの引いたカードがなんであろうが
>Cが3の数字が書かれたカードを取り出す確率は1/7である。
は、乱暴すぎます。
Ａが３を引かない確率　6/7
そのときにＢが３を引かない確率　5/6
その上で、Ｃが３を引く確率　1/5
よって求める確率は、 6/7×5/6×1/5＝1/7
くらいは書かないといけません。
1/105 までのくだりはＯＫです。

(2)
>３回目に取り出すカードが2のとき
>１回目と２回目に３～７から２枚取り出せばいいので取り出し方は5P2
これは誤りで、１回目か２回目の少なくとも１回に３以上を
引けばよい(どちらかで１を引いても良い)ので、それも加えないといけません。

前半で求めた　(k-1)(k-2)/210　をつかって、
得点３の確率　2/210
得点４の確率　6/210
得点５の確率　12/210
得点６の確率　20/210
得点７の確率　30/210　合わせて　70/210＝1/3
これ以外は得点０なので、その確率は　2/3

あるいは、すべての引き方210通りの中には、
　(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)
のように、同じ３つの数を並べ替えたものが６つずつ存在します。
そのうち、得点となるものは２通り、得点０のものは４通りなので、
得点０の確率は　2/3

などの解き方があります。

No.17265 - 2012/03/25(Sun) 09:44:08

☆ Re: 確率 / きちんじょーじ

回答ありがとうございます。
もう一つ疑問が湧いてきたのですが
「3回目にkがでて、
１回目と２回目には1～k-1の数字が書かれたカードの中から２枚取り出せばいいから
(k-1)P2通り
よって、(k-1)(k-2)/210」
としていますすが、
3回目にkがでるのは1通りで大丈夫なんでしょうか？
kは3～7を取りうる値なので5通りとしなくてもいいんでしょうか？
少し混乱しています；

No.17266 - 2012/03/25(Sun) 15:52:28

☆ Re: 確率 / ヨッシー

サイコロを１回振ったとき、出た目がｋ以下になる確率は？
と聞かれたとき
　ｋ＝１のときは１通り
　ｋ＝２のときは２通り
　　・・・
　ｋ＝６のときは６通り
よって、確率はｋ/６、ですね？つまり、ｋ＝１から順に
　1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 5/6, 1

ｋは１～６を取り得るので、６倍して・・・
とはしませんよね？

No.17267 - 2012/03/25(Sun) 16:06:39

★ 数学　恒等式 / きちんじょーじ

数学分かりません

1/(x＋1)^2(x^2＋x＋1) ＝{ア/(x＋1)^2} ＋{イ/(x＋1)} ＋｛ウx＋ｴ/(x^2＋x＋1)}

ア、イ、ウ、エに入る数を求めよ。
という問題で
解答には1/(x＋1)^2(x^2＋x＋1) ＝{a/(x＋1)^2} ＋{b/(x＋1)} ＋｛cx＋d/(x^2＋x＋1)}・・・?@とおいてるのですが
部分分数分解について
「分母がA^2BCの形の場合は(分母より低次)/A^2BCを(a'/A^2)＋(a/A)＋(b/B)＋(c/C)と表せる。」と書いてあるので
この問題も実数p,q,rを使って
「{p/(x＋1)^2} ＋{q/(x＋1)} ＋｛r/(x^2＋x＋1)}・・・?Aと表せますよね？
実際これを使ってといてみたのですが答があいません。
なぜ?@ならよくて?Aではダメなんでしょうか？
数学苦手なので誰か教えてください。お願いします。

No.17260 - 2012/03/25(Sun) 02:13:56

☆ Re: 数学　恒等式 / X

>>「分母がA^2BCの形の～と表せる。」
とありますがこれはA,B,Cが全て一次式の場合に限られます。
問題の場合
A=x+1,B=x^2+x+1,C=1
つまりBは二次式ですので上記の方針は使えません。
つまり(2)のように置くのは誤りです。

No.17262 - 2012/03/25(Sun) 03:49:47

☆ Re: 数学　恒等式 / X

ではこの問題の場合はどのように考えればよいかですが
まず問題の分数式を
(x+1)^2,x^2+x+1
の分母を持つ２つの分数式に分解することを考えます。
その際、分子の次数は分母の次数より１つ小さくなるよう
に置かなくてはなりません。
つまり分子は１次式になるということで
(与式)=(px+q)/(x+1)^2+(rx+s)/(x^2+x+1)
そうするとこの式の第一項は先程の
>>「分母がA^2BCの形の～と表せる。」
が適用でき
(px+q)/(x+1)^2=a/(x+1)^2+b/(x+1)
の形に分解できますので全体では
(与式)=a/(x+1)^2+b/(x+1)+(rx+s)/(x^2+x+1)
と置くことができます。

No.17263 - 2012/03/25(Sun) 03:56:01

★ 数学初心者 / きちんじょーじ

f(x)=x^2-2mx＋2m＋3とする。
(1)xのどんな実数値に対してもf(x)>0が成り立つようなmの値の範囲を求めよ。
(2)0≦x≦4であるxのどんな値に対してもf(x)>0が成り立つようなmの値の範囲を求めよ。

(1)は単純に(判別式)<0であることを用いて-1<m<3・・・?@となりました。
(2)についてなんですが、自分は以下のように考えました。
「軸の位置x=mで場合分けする。
(i)m<0のとき
0≦x≦4の範囲で常にf(x)>0が成り立つためには
D≧0かつf(0)>0より-3/2(ii)m>4のとき
D≧0かつf(4)>0であるが
m>4を満たすmが存在しないので不適。
よって0≦x≦4の範囲で常にf(x)>0が成り立つ条件は(1)の結果?@と?Aより
-3/2となりました。
答はあっていたのですが解答とは違っていて
解答はm≦0のとき 0<m<4のとき m≧4のとき
とそれぞれ場合分けして考えていました。
このやり方も分かるのですが、
自分はm<1とm>4のそれぞれの範囲でグラフがx軸と２点で交わるor１点で接し、そのうえで0≦x≦4の範囲でつねにf(x)>0となる条件を反映させて求まった範囲に、(1)の結果を合わせればいいのではないか？と思ったのですがこれは合っているんでしょうか？
(1)の結果を使えば0≦x≦4とか関係なしにすべてのxに対してf(x)>0が成り立っているんで0≦m≦4の場合分けは不要だと思うのですが違うのでしょうか？
自分より数学のできる友達に聞いても間違っていると言われてしまい
どこが間違っているのかよく分からずじまいです＾＾；
誰か分かる方どこが間違っているのか教えてください。お願いします。

No.17258 - 2012/03/24(Sat) 00:22:13

☆ Re: 数学初心者 / ヨッシー

結論から言うと、考え方は正しいですが、伝わりきっていないですね。

普通は、ｍ＜０のときはこう、０≦ｍ≦４のときはこう、ｍ＞４のときはこう、と
網羅して説明するのが一般的ですが、きちんじょーじさんの場合は、
すべてのｘについて成り立つ(1) の結果がまずあって、そこに
0≦x≦4 という条件を加えた場合、(1) の条件であった、Ｄ＜０が
成り立たなくても、0≦x≦4 ならＯＫな場合を付け足そうという
発想ですね。

なので、普通は付けないＤ≧０が付いているのだと、一晩おいて、
ようやく理解しました。
というくらい、伝わっていないです。

(2) の解答の冒頭に、
「0≦ｘ≦4 の範囲以外では、f(x)＞0 を満たさないが、0≦x≦4 では f(x)＞0 を満たすｍの範囲を、(1) で得られた
-1＜ｍ＜3 に追加することを考える。」
のようなことを書いておくと、理解されやすいでしょう。

No.17259 - 2012/03/24(Sat) 08:12:59

☆ Re: 数学初心者 / きちんじょーじ

ありがとうございました

No.17261 - 2012/03/25(Sun) 02:14:14

★ 数学　分からない / オン太朗

数学分かりません

a,bを整数とする。３次方程式x^3+ax^2+bx-1=0・・・?@ は３つの実数解α,β,γ をもち、0<α<β<γ<3 で、α,β,γ のうちどれかは整数である。a,b を求めよ。
解答です。「?@の整数解のとりうる値はx=1or2です。
場合分けして考えてみると
(i)x=2のとき
2a＋b=-7/2となり、これはa,bが整数であるのに右辺が分数になっているのでおかしいので不適
(ii)x=1のとき
b=-aより
x^3＋ax^2-ax＋1=(x-1)｛x^2＋(a＋1)x＋1}=0
f(x)=(x-1)｛x^2＋(a＋1)x＋1}とおくと
0<α<β<γ<3より３つの解はそれぞれ異なるのでf(x)の2解も異なる解となるので【x≠1の異なる２つの実数解をもつ条件について0<x<3の範囲で考える。】」
【x≠1の異なる２つの実数解をもつ条件について0<x<3の範囲で考える。】の部分について自分の解釈があっているか教えてください。
考え得る場合は
0<1<β<γ<3・・・a
0<α<1<γ<3・・・b
0<α<β<1<3・・・c
の３通りあります。このそれぞれの場合を図に書いてみます。(?@とx軸が交わっている図です)
aについて
βとγはx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にある
bについて
α、γはx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にある
cについて
α、βはx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にある

以上より、a,b,cに共通する条件は「x=1以外の残りの2解はx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にあればよい」とすることができ
この条件を満たしさえすれば問題ないということでしょうか？
【共通する条件】を探して、それを満たしさえすればa,b,cを満たしていることになる。
こういう問題を解くときは【共通する条件】に着目するのも一つの手なんでしょうか？
数学がとても苦手なので理解にも時間がかかってしまいます＞＜；
誰か分かる方教えてください。お願いします

No.17255 - 2012/03/23(Fri) 01:30:20

☆ Re: 数学　分からない / X

その考え方で問題ありません。

実数解を具体的にα、β、γと与えているので却って難しく
見えますが、この問題は読み替えると、
問題の３次方程式(1)が次の条件を持つときの
a,bの値を求めることになります。
(i)異なる３つの実数解を持つこと
(値が異なれば大小関係ができます。)
(ii)３つの実数解は0より大きく3より小さいこと
(iii)３つの実数解のうち、1つは整数であること

No.17256 - 2012/03/23(Fri) 16:49:02

☆ Re: 数学　分からない / 豆

具体的な解き方ですが、x=1以外の解は
x^2＋(a＋1)x＋1=0
を満たす正数ですが、解と係数の関係から
2解の積は１なので、１の前後となり、
０＜α＜β=1＜γ＜3　　の関係になります。
1＜γ＜3　なので、1/3＜α＜1　となります。
２解の和を考えれば
1/3+1＜α+γ=-(a+1)＜1+3
よって、-5＜a＜-7/3
a=-4,-3に関して調べればよいですね。

No.17287 - 2012/03/28(Wed) 10:46:28

★ 数学　意味が・・・ / オン太朗

数学分かりません

x^3-12x^2＋47x＋a=0が相異なる3つの整数解をもつときaの値および方程式の解を求めよ。
解答
「3つの解をα、β、γとする。
そして解と係数の関係よりα＋β＋γ＝１２ αβ＋βγ＋γα＝４７ αβγ＝-a
ここでα^2＋β^2＋γ^2=50より
α^2、β^2、γ^2は正の整数
α^2≧β^2≧γ^2とすると3α^2≧50であり、α^2は整数であるから16<α^2≦50
よってα^2=25,36,49(後は代入して満たすβとγを計算するだけです)」

疑問点?@
解答ではα^2≧β^2≧γ^2としていますが
これはα^2=β^2＞γ^2の場合も含んでいると思うのでこれを例に挙げて考えたいと思います。
いま、α^2=β^2=16 γ^2=9とします。
すると、αのとりうる値は4 or -4
βのとりうる値は4 or -4
γのとりうる値は3 or -3です。
α^2=β^2＞γ^2を満たすα、β、γの組み合わせとしては
(α、β、γ)＝(4,4,3)(4,4,-3)(4,-4,3)(4,-4,-3)(-4,4,3)(-4,4,-3)(-4,-4,3)(-4,-4,-3)
があります。
しかしα、β、γはそれぞれ異なる値なので
α、β、γの組わせは
(α、β、γ)＝(4,-4,,3)(4,-4,-3)(-4,4,3)(-4,4-3)のみですよね
解答では単純にα^2≧β^2≧γ^2としていますけど
これはとりあえず【成り立てばいい】だけでα、β、γの値の組わせがなんだろうがどうでもいいということでしょうか？
例の場合だと16=16>9を満たしているα、β、γの組合わせの中にα、β、γの値がそれぞれ異なるものも入ってるから
それだけで大丈夫、深く考えなくてokということなんでしょうか？
また、α^2=β^2=γ^2の場合だとどうしてもα、β、γの中で同じになってしまうものがでてしまうとおもうのですが・・・

α^2≧β^2≧γ^2と仮定した意味がわからないしどうしてそれをもってきたのか？という理由もわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17252 - 2012/03/22(Thu) 23:02:32

☆ Re: 数学　意味が・・・ / ヨッシー

α^2＝β^2＝16, γ^2＝９では、α^2＋β^2＋γ^2＝50 を満たさないので、
この延長上に答えはありませんが、それはともかく。

このときの、α、β、γの可能性として、
(α、β、γ)＝(4,-4,3)(4,-4,-3)(-4,4,3)(-4,4,-3)
が挙げられていますが、もし、α^2≧β^2≧γ^2 がなければ、
そのほかにも、
(α、β、γ)＝(4,3,-4)(4,-3,-4)(-4,3,4)(-4,-3,4)(3,4,-4)(-3,4,-4)(3,-4,4)(-3,-4,4)
も考えないといけません。
でも、α、β、γ の順番が変わっても、答えは同じですので、
考えやすくするために、α^2≧β^2≧γ^2 を設けています。

α^2=β^2=γ^2 の場合は、書かれているように、α、β、γの中で
同じになってしまうものが出ます。ということは、α^2=β^2=γ^2
からは答えは得られない、というだけです。

No.17253 - 2012/03/22(Thu) 23:48:38

☆ Re: 数学　意味が・・・ / オン太朗

回答ありがとうございます。
α^2≧β^2≧γ^2という式について考えてみたのですが
α^2=β^2=γ^2の場合からはα、β、γの中から同じものがでてしまうので答は得られません。
またα^2>β^2>γ^2の場合は
α=5　β=4　γ=3ならば成り立ちますが
α=-4　β=4 γ=3のとき
これは異なる３つの解であるという題意の条件を満たしているにもかかわらず16>16>9となってしまい成り立たないですよね。こうした成り立たないものもあるけど
そういうの場合からは答が得られないだけで自動的に排除されるのでとりあえずα^2>β^2>γ^2としとけばよいということでしょうか？
またこのほかで
α^2=β^2＞γ^2という場合にも成り立つα、β、γの組わせがあるので、おおきく考えて
α^2≧β^2≧γ^2とおいておけばいいだろうみたいなかんじなんでしょうか？
よくわからないので教えてください。お願いします。

No.17254 - 2012/03/23(Fri) 01:23:42

☆ Re: 数学　意味が・・・ / ヨッシー

例えば、
３つの正の整数を足したら７になった。このときの３つの整数を答えよ。
という問題を考えるときの、思考を考えてみましょう。
やみくもに、
(1,1,5)(1,2,4)(1,3,3)(1,4,2)(1,5,1)(2,1,4)(2,2,3)(2,3,2)(2,4,1)(3,1,3)(3,2,2)(3,3,1)(4,1,2)(4,2,1)
(5,1,1)
と書き出した上で、並べ替えて同じになるものを削除して、
(1,1,5)(1,2,4)(1,3,3)(2,2,3)
と答えを出しますか？

それでも良いですが、もう少し、効率の良い書き出し方をしていませんか？

No.17257 - 2012/03/23(Fri) 22:54:46

★ 数学?V極限値 / miya

こんにちは。よろしくお願いします。
極限値を求めよ。

(1)lim[n→∞]n/(3^n)

これは分母が大きく発散するので、0に近づくと思いました。
途中の説明に何を書けばよいか、よくわかりません。

(2)lim[n→∞](2^n)/n!

これは、
2/1*2/2*2/3*・・・2/n
なので、0に近い数をかけていくということで、0に収束すると思ったのですが、

lim[n→∞](a^n)/n!の解説では、

『mをm-1≦|a|＜mとなるような自然数とする』

●↑ここがまずはっきりわかりません・・
なぜaの大きさでmが決められるのか・・

『n→∞となるから、n＞mの場合のみ考える
0≦|a^n/n!|={|a|^n}/n!={|a|^(m-1)/(m-1)!}*(|a|)^(n-m+1)/{m*(m+1)*・・・*n}
≦{|a|^(m-1)/(m-1)!}*(|a|/m)^(n-m+1)』

●↑これはa^n/n!の分母を、分けていると思います。左辺と右辺が関係していると思います。
n!>m! ？なので・・・はさみうちは関係ありますか？

『ｎ→∞となるとき
{|a|^(m-1)/(m-1)!}*(|a|/m)^(n-m+1)→0となるから、|a^n/n!|→0つまりa^n/n!→0』

以上です。全体的にもやもやしていますので、
はっきりした解答を書くにはどうすればよいか、解説よろしくお願いいたします。

No.17248 - 2012/03/21(Wed) 12:39:13

☆ まずは / angel

(1),(2)はご推察の通り、両方とも 0 が答えになります。
基礎知識として、∞に発散する数列同士の強さの比較というのは、知っておくのも良いでしょう。
次のようになります。

　log(n)＜n^k＜r^n＜n!
　※ k＞0, r＞1

＜の記号は、適切な記号がなかったのでやむなく使っていますが、右側の方ほど「強い」と思ってください。
正確に言えば、

　lim[n→∞] log(n)/n^k = 0 ( 一例として lim log(n)/√n = 0 )
　lim[n→∞] n^k/r^n = 0 ( 一例として lim n/2^n = 0 )

などのように、強い方が分母に来た場合、0 に収束することを表します。( 逆ならば∞に発散 )

No.17249 - 2012/03/22(Thu) 00:10:05

☆ どうやって示すか / angel

さて、極限の応用問題であれば、こういった「強さ」の関係は説明なしに使っても良いと思うのですが ( …多分 )。
この問題では、これ自体を説明しなければなりません。

そうすると一番基本的な手としては、収束することがわかっている数列と比較して、挟みうちに持ち込むことです。
ここで、(1)では分母の3^n、(2)では分子の2^nがありますから、「収束することがわかっている数列」としては、α^n ( 0＜α＜1 ) くらいしかわかりやすい候補がありません。

ということで、例えばですが

　(1) n≧1においてn＜2^n であることを利用して
　　0＜n/3^n＜(2/3)^n
　(2) n≧3において、2^n/n!=2^2/2!・2^(n-2)/(n(n-1)(n-2)…・3)であることを利用して
　　0＜2^n/n!=2^2/2!・2/n・2/(n-1)・…・2/3≦2^2/2!・2/3・2/3・…・2/3=2^2/2!・(2/3)^(n-2)

と、こんな形を考えることになります。

これで、0 で収束するもので挟んだことになります。

なお、出てくる数字はテキトーです。
(1)では2^nを持ち出さなくても、2.5^n とかでも良いですし。
(2)では n≧3 の時に (2/3)^(n-2) が出る形でなくとも、n≧4 の時に (2/4)^(n-3) が出る形とか、色々何でも良いです。

…まあ、数字はともかくとして。
こういう考えが念頭にあれば、模範解答例にある、例えば(2)のmの話とかがわかるようになるのではないでしょうか。

No.17250 - 2012/03/22(Thu) 00:31:05

☆ Re: 数学?V極限値 / miya

おおお！！
分母の小さい分数の積を利用して、はさみうちをするのですね！
とてもすっきりしました！また少し数学を好きになりました。ありがとうございます！

No.17251 - 2012/03/22(Thu) 11:08:29

★ 関数 / yuku

すいません；；
ミス投稿してしまいました

こんばんわ。

~

2次関数
y=-(x+a)^2　+　a^2
（1≦x≦4）
について最大値を求めたい。

~

２次関数の最初最大の問題の解き方が
まだ理解しきれてないみたいですが
自分なりに考えたのが

～
軸より右にある場合を考えたとき、
-a<1 = a>1のとき

x=1のとき
-1-2a
～

あってますでしょうか。
また、軸より左の場合だと
数字はどうなるのでしょうか・・・

言葉では伝えにくい感じではありますが、
お願いします。

No.17245 - 2012/03/21(Wed) 00:27:34

☆ Re: 関数 / ヨッシー

グラフを見れば、やろうとしていることはわかりますし、
方針も間違っていないと思います。

軸はｘ＝－ａなので、これが
＜グラフ上＞
１より左にある。
　－ａ＜１　つまり　ａ＞－１　のとき
ｘ＝１のとき最大値　－１－２ａ
＜グラフ中＞
１と４の間にある。
　１≦－ａ≦４　つまり　－４≦ａ≦－１のとき
ｘ＝－ａで最大値　ａ^2
＜グラフ下＞
４より右にある。
　４＜－ａ　つまり　ａ＜－４　のとき
ｘ＝４　で最大値　－１６－８ａ

となります。

No.17246 - 2012/03/21(Wed) 00:45:37

☆ Re: 関数 / yuku

解りました！ありがとうございました！
たくさん問題を解いて
慣れていきたいと思います。

No.17247 - 2012/03/21(Wed) 10:53:56

★ 数学　分数式の恒等式 / オン太朗

参考書に
「(x^2＋3x＋5)/{(x＋1)^2(x＋2)｝ =｛(px＋q)/(x＋1)^2｝＋｛r/(x＋2)}・・・ア
が恒等式となるp,q,rを恒等式となる条件「n次式P(x)、Q(x)について異なるn＋1個のxの値に対してP(x)=Q(x)が成立する」・・・?@を用いて求める。
アは分母を0にするxの値であるx=-1,-2以外で成り立つ式であるから
この分母を払ったx^2＋3x＋5＝(px＋q)(x＋2)＋r(x＋1)^2・・・イもx=-1,-2以外で成り立つ式である。
ところが-1,-2以外の実数は無限個あるのでイを成り立たせるxの値は無限個あり、
?@によりイは整式の恒等式となる。整式の恒等式なのでx=-1,-2でも成立する。」とあるのですが
意味がよく分かりません。
自分なりに意味を解釈すると
「イの左辺をＰ(x)右辺をQ(x)とした時異なる3個のxについてＰ(x)=Q(x)が成り立てば恒等式」・・・(A)なので
例えばx=1,2,3(異なる3個)というxの値を代入して「P(1)=Q(1)かつP(2)=Q(2)かつP(3)=Q(3)」・・・?@となってくれれば
(A)よりx=-1,-2を代入してもOKということですよね？
しかしこの問題の場合どうしてx=1,2,3を代入したときにそれぞれ?@となってくれることがわかるのでしょうか？
実際に?@を解くとp,q,rが求まり、これは逆を言えばこの求まったp,q,rの値のときに?@が成り立つということですよね。
こうしたものが見つかればその瞬間任意のxに対してＰ(x)=Q(x)が成り立つという恒等式になるということなんでしょうか？
よく分からないので教えてください。お願いします。

No.17241 - 2012/03/18(Sun) 16:22:33

☆ Re: 数学　分数式の恒等式 / angel

問題の大前提として、「アの等式が恒等式」というのが元々あって、
なおかつ、アが恒等式という条件は、イが恒等式であることと同値であることがわかっているからです。
※そのことを説明しているのが、オン太郎さんの載せた参考書の文章です。

でもって、わざわざ参考書が x=-1,-2 の話をしているのはなぜかというと…。
※別にx=-1,-2のことを気にしなくても、問題は解けるのですが

それは、x=-1,-2 で計算するのが一番楽だからです。
※実際は x の値が3種類要るので、後もうひとつ ( 多分 x=1 が計算しやすい ) 計算することになりますけど

最初から、x=1,2,3 での計算をするのなら、
つまり、「P(1)=Q(1)かつP(2)=Q(2)かつP(3)=Q(3)」を解いてp,q,rを求めるのなら、x=-1,-2のことは気にする必要はありません。
しかし、x=-1,-2での計算をしたいのならば、
　ア…x=-1,-2以外の全てのxで成立する恒等式
　イ…全てのx ( x=-1,-2含む ) で成立する恒等式
と、xの条件が微妙に違いますから、なぜ x=-1,-2 を使って良いのかは知っておく必要があります。
参考書の文章は、そのための解説なのです。

No.17243 - 2012/03/18(Sun) 17:56:05

★ ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

いつも丁寧に解説、どうもありがとうございます。

また同じような問題で行き詰ったので、よろしくお願い致します。

?@は、２×X÷２＝６で、BCの長さ　６ｃｍ

?Aのアの数の求め方が解りません(>.<)。グラフからＰＣが２．５cmの時の面積が４．８となっていますが、ここの高さ求めたら、アの数を求めるのと関係がありますか？

どうかヒントか解説をよろしくお願い致します。

No.17231 - 2012/03/17(Sat) 18:11:36

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / はにゃーん

折れ曲がっているのはなぜでしょう？
それはPがCD上にあるときとDA上にあるときで面積の変化率が変わるからです。
よって、折れ曲がるのはPがDにいるときですので、(1)と同様にADを求めれば(ア)=CD+DAより(ア)が求まります。

No.17233 - 2012/03/18(Sun) 00:59:46

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

はにゃーん様、こんばんわ(o^-^o) 。

ご回答どうもありがとうございます。

でも、もうちょっと解らないので、聞いてもいいですか？

PがCD上にある時とDA上にある時で面積の変化率が変わるのは、なんとか解りました。

それで、面積が４．８cm2になるのは、点Pが点Dと重なって三角形ABPになる時ですよね？

２×AD÷２＝４．８　

AD＝４．８cm

これにCDの長さを足したらアの長さになるのは、解ります。

CDの長さは、どうやって求めればいいのですか？

ほんとに頭が悪くて、すいません(。-人-。) 。

宜しければ、またご回答お願い致します。

No.17234 - 2012/03/18(Sun) 02:04:37

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / ヨッシー

グラフから読み取れることをまとめてみましょう。
Ｃからの距離０の時の面積が６→△ＡＢＣの面積が６→ＢＣの長さが６
Ｃからの距離２．５の所でグラフが曲がっている→ＣＤの長さが２．５
Ｃからの距離２．５の時の面積が４．８→△ＡＢＤの面積が４．８→ＡＤの長さが４．８→Ｃ～Ｄ～Ａの距離が７．３・・・(ア)

No.17235 - 2012/03/18(Sun) 02:14:30

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシー様、おはようございます(o^-^o)。

丁寧に解説、どうもありがとうございます。

グラフから読み取れる事は、解りました。

同じような事を聞いて申し訳ないのですが、Ｃからの距離２．５の所でグラフが曲がっていたら、ＣＤの長さは、２．５になるのですか？

変化率が変わるというのは、なんとなく解りますが、この感覚がどうも理解出来なくて(゜.゜)。

ほんとになかなか理解しなくて、すいません(。-人-。) 。

No.17236 - 2012/03/18(Sun) 09:54:55

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / ヨッシー

グラフの横軸は点Ｃからの距離であり、それが２．５のところで曲がっています。
折れ曲がるのは、そこで、点ＰがＤを通過したためです。
点Ｐが２．５進んだところで、Ｄを通過したのですから、
ＣからＤまでは２．５です。

No.17237 - 2012/03/18(Sun) 10:24:13

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / ヨッシー

それはそうと、これは何のテキスト(書籍)ですか？

現実にあり得ない図形として、クレームを付けても良いたぐいの
欠陥があります。

No.17238 - 2012/03/18(Sun) 10:31:24

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / らすかる

最初の面積は6.3cm^2じゃないと辻褄が合わないですね。

No.17239 - 2012/03/18(Sun) 10:58:22

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシー様　何度も解説どうもありがとうございました(o^-^o) 。
あまり深く考えると、余計に解らなくなりますね（笑）。

折れ曲がるのは、そこで、点ＰがＤを通過した為なのですね。

この問題は、小学生高学年用の「力の５０００題」という問題集の中に載っていました。

こういう図形に欠陥のある問題もあるのですね。そんな事は考えもしなかったです。

解けるようになるように頑張りますので、またよろしくお願い致します(*^.^*)。どうも有難うございました。

それと、らすかる様、図形やっぱり少しおかしいですか？
コメントどうもありがとうございました(o^-^o) 。

No.17240 - 2012/03/18(Sun) 11:57:08

★ 数学分かりません / オン太朗

f(x)=x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+23とする。実数αに対して, f(x)をx^2+αで割ったときのあまりを求めよ。このことを用いてf(x)を実数の範囲で因数分解せよ。
余りは(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)なので
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)とすることができますが
解答には「余りが0に一致すれば因数分解できるので・・・」とあります。確かに余りが０になってくれれば
f(x)はx^2＋αで割り切れてくれるので
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)の形に因数分解できそうです。
しかし、たとえばf(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)を展開して得られる4次式が
因数分解できる可能性もありそうです。つまり疑問なのは(余り)≠0のときに展開すると因数分解できる4次式がでてくるかもしれないのでは？ということです。
解答ではこの点には一切触れていません。
まだよくわかっていないので誰か教えてください。お願いします。

No.17224 - 2012/03/17(Sat) 10:21:32

☆ Re: 数学分かりません / ヨッシー

>解答ではこの点には一切触れていません。
触れる必要がないからです。

x^2+α というのはx の項がないという特殊な形の２次式で、
すべての２次式をカバーしているわけではありません。
そして、すべての４次式が x^2+α という形の２次式で
割り切れるわけではありません。
よって、この問題のポイントは、
　(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝０
がｘの恒等式となるαがあるかどうかというところです。

果たして、そのようなαは５－√2 として存在するので、
　f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＝(x^2＋５－√2)(x^2＋2x＋５＋√2)
と因数分解できます。

もし、
　(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝０
をｘの恒等式とするようなαが見つからなければ、また
別の方法を考える必要がありますが、見つかった以上その可能性を
考える必要はありません。

なぜなら、f(x) は (x^2＋５－√2)(x^2＋2x＋５＋√2)
以外に因数分解されないからです。

No.17225 - 2012/03/17(Sat) 11:33:46

☆ Re: 数学分かりません / オン太朗

(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝0の4次式の解をp,q,r,s(重解も含む)とすると
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)=(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)という風に因数分解することは不可能ということなんでしょうか？
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)において余りが0となってくれるならば
因数分解されている部分【(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)】だけ残すことができるのは分かるのですが・・・

No.17227 - 2012/03/17(Sat) 12:41:37

☆ Re: 数学分かりません / ヨッシー

x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+23　と
(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)　とは
同じ式なので、もちろん
　(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)
の形に因数分解できます。（ただし、複素数まで許せば）

では、どんなふうに因数分解を見つけるために
　(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝０
がｘの恒等式となるαを探すのです。
なってくれるのではなく、なるようにαで調整するのです。

それでも見つからなければ、ｘ^2＋α の形の因数は持たないと
あきらめて、別の方法を探すのですが、運良く（というか
そういうふうに作った問題なので）
その心配はなく、因数分解は完成します。

No.17228 - 2012/03/17(Sat) 13:29:32

☆ Re: 数学分かりません / オン太朗

ありがとうございました

No.17242 - 2012/03/18(Sun) 16:23:35

★ 文系数学の問題が分かりません / オン太朗

図のとき、sinθ<θ<tanθが成り立つとノートに
書いてあるのですが
tanθが一番大きいのは図を見て明らかですが
sinθとθの大小が図を見ただけでは分かるのでしょうか？
とある先生が何の証明もないままにsinθ<θ<tanθとしていたのですが・・・
どういうことなのか教えてください。お願いします。

No.17220 - 2012/03/17(Sat) 00:11:30

☆ Re: 文系数学の問題が分かりません / ヨッシー

sinθ＝ＡＣ　で、θ＝弧ＡＢ　であるので、
　ＡＣ＜線分ＡＢ＜弧ＡＢ
なので、sinθ＜θ です。

私はむしろ、θ＜tanθ の方が、心配です。
弧ＡＢを直線に伸ばせば、tanθ よりも長くなる角度が
無いとも言い切れません。

No.17221 - 2012/03/17(Sat) 00:31:39

☆ Re: 文系数学の問題が分かりません / ＿

図の(cosθ,sinθ)の点からx軸まで(x軸上ならどこでもよい)行きたい場合、図の赤い線の道筋が最短距離のもので、他に寄り道したらどうやっても赤い線より移動距離は長くなってしまう、というのは直感的に分かりますか？

＃おっと、書き込みタイミングがヨッシーさんと重なった…まあ残しておきます。

No.17222 - 2012/03/17(Sat) 00:37:19

★ 文系数学基礎 / オン太朗

(a＋b)^5のa^2b^3の係数を求めよという問題で、解法を暗記しているため答は出せるのですが理解が全くできていません。
参考書には
「(a＋b)^5=(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝?@×?A×?B×?C×?D　とすると
たとえば?@?Aからa、?B?C?Dからbを取り出して掛け合わせるとa^2b^3の項を作ることができる。」
と書いてあるのですがイメージが湧きません。
またこれとは別に
(x^5＋ax^4＋bx^3＋cx^2＋dx＋e)^4
=(x^5＋ax^4＋・・・)(x^5＋ax^4＋・・・)(x^5＋ax^4＋・・・)(x^5＋ax^4＋・・・)
=?@×?A×?B×?C
この式から次数が19の項を作り出す問題に出くわしたのですが
(a＋b)^5という簡単な場合が理解できていないので太刀打ちできませんでした。
この際しっかり理解しておきたいので誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17216 - 2012/03/16(Fri) 21:24:50

☆ Re: 文系数学基礎 / ヨッシー

(a+b)^2＝(a+b)(a+b)＝?@×?A を考えてみます。
a^2 を作るには、?@からa, ?Aからa を取り出して掛けたときの１通り。
ab を作るには、?@からa, ?Aからb、および ?@からb, ?Aからa の２通り。
b^2 を作るには、?@からb, ?Aからb の１通り。
よって、(a+b)^2 を展開すると、
　a^2＋2ab＋b^2
となります。

(a+b)^3＝(a+b)(a+b)(a+b)＝?@×?A×?B を考えます。
a^3 を作るには?@からa,?Aからa,?Bからa (これを(a,a,a)と書くことにします)の１通り。
a^2b を作るには (a,a,b)(a,b,a)(b,a,a) の３通り。
ab^2 を作るには (a,b,b)(b,a,b)(b,b,a) の３通り。
b^3 を作るには (b,b,b) の１通り。
よって、(a+b)^3 を展開すると、
　a^3＋3a^2b＋3ab^2＋b^3
となります。

(a+b)^4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝?@×?A×?B×?C を考えます。
a^4 を作るには(a,a,a,a) の１通り。
a^3b を作るには、４つの( )の中から、a を取る(　)を３つ選ぶことなので、4Ｃ3＝４(通り)
a^2b^2 を作る選び方は 4Ｃ2＝６(通り)
ab^3 を作る選び方は　4Ｃ1＝４(通り)
b^4 を作る選び方は　4Ｃ0＝１(通り)
よって、(a+b)^4 を展開すると
　a^4＋4a^3b＋6a^2b^2＋4ab^3＋b^4
となります。

(a+b)^5＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) を考えます。
a^2b^3 を作るには　５つの( )の中から、a を取る(　)を２つ選ぶことなので、5Ｃ2＝１０(通り)
よって、a^2b^3の係数は１０です。

(x^5＋ax^4＋bx^3＋cx^2＋dx＋e)^4 を展開してx^19 を得るには、
x^5,x^5,x^5,x^4 の４項を掛ければいいので、
４つある(　)のうち３つからx^5 を、１つからax^4 を取り出せばよい。
取り出し方は、
(x^5,x^5,x^5,ax^4),(x^5,x^5,ax^4,x^5),
(x^5,ax^4,x^5,x^5),(ax^4,x^5,x^5,x^5)
の4通り。(計算でいうと、4Ｃ3＝４　です）
つまり、ax^19 が４つ出来るので、4ax^19という項が出来ます。

No.17218 - 2012/03/16(Fri) 23:29:41

★ 内積？ / 4月から高校3年

ベクトルで平面幾何の問題を解くときの「内積」の意味がいまいちわかりません
教科書で内積を(大きさ)×(大きさ)×コサインと証明するときに余弦定理を使っているので、問題を解くときに出てくる内積も結局は余弦定理をうまく使っていることになるのでしょうか？

No.17213 - 2012/03/16(Fri) 12:48:36

☆ Re: 内積？ / ヨッシー

そう考えても良いですが、そのうち考えなくなります。
数学の計算のいたる所で、掛け算が出てきますが、そのたびに
「これは足し算をうまく使っている」とは意識しないですよね？

No.17223 - 2012/03/17(Sat) 00:51:06

☆ Re: 内積？ / angel

「内積」というのは、ベクトルの世界で出てくる概念です。
「内積」と呼ばれるために必要な条件というのがあって、それに余弦定理は直接は関わりません。
※大学以降になれば、余弦定理がまったく関係ない内積も出てきます

ただ、高校で習うベクトルで出てくる内積というのは、余弦定理やらなんやらが裏づけになって、結果として内積の条件を満たすもの、となります。

No.17226 - 2012/03/17(Sat) 12:07:41

☆ Re: 内積？ / 4月から高校3年

わかりました
とりあえずは習ったまま覚えることにします

ありがとうございました

No.17229 - 2012/03/17(Sat) 14:43:19

★ 文系数学 / オン太朗

放物線C:y=x^2上の点Pにおける法線とは、点PにおけるCの接線と点Pで垂直に交わる直線である。
(1)点(p,p^2)におけるCの法線の方程式を求めよ。
(2)y軸上の点(0,a)を通るCの法線の本数を求めよ。
(1)の答は

x＋2py-p-2p^3=0・・・?@です
(1)は問題ないのですが(2)が分かりません
以下は自分の考え方です。
?@が点(0,a)を通る条件は2pa-p-2p^3=0・・・?A
ここで?Aの式の意味は「点Ｐ(p,p^2)を接点とするＣの接線の方程式と垂直に交わる直線であると同時に点(0,a)を通る直線である」
です(たぶん)
図を描いてみれば分かるように、一つの接点から一本のＣの接線の方程式ができ、同時に一本の法線の方程式が作られます。
ではもし点Ｐのx座標がp=1やp=2やp=3などといった値をとれば点(1,1)、点(2,4)、点(3,9)を接点とするＣの接線の方程式がそれぞれできると同時にＣの接線の方程式に垂直な直線、すなわちＣの法線の方程式が作れます。
しかし、点(1,1)、点(2,4)、点(3,9)等から作られるＣの法線の方程式が
点(0,a)を通るのかはもう少し吟味が必要です。
点(0,a)を通る時のp(点Ｐのx座標)はどうやって調べるのかというと、?Aの解です
?Aは最初に書いたとおり、一つの条件式であり、これは「点(0,a)を通り、なおかつＣの法線の方程式である」というものです。
ならば?Aをpの方程式と見立てたときの解であるpならば点(0,a)をちゃんと通ってくれるＣの法線の方程式を作ってくれるという風に
予測がついて?Aの方程式について考えます。
?Aより因数分解するとp(-2p^2＋2a-1)=0・・・?B
p=0のとき?Bは0=0より成り立つ
この瞬間点(0,a)を通り、なおかつＣの法線の方程式はp=0のとき作られることが分かりました。
次に-2p^2＋2a-1=0・・・?Cについて考えます。
?Cよりa=2p^2＋(1/2)と変形するとaはy座標であるから実数と考えて定数分離の形ができました。
ここまでは自力でなんとかいけたのですがこの後がわかりません。
解答は以下の通りです。
「2pa-p-2p^3=0・・・?A ここで?Aの【異なる実数解p】の個数が点(0,a)を通る法線の本数に一致することより
(i)p=0のとき?Aは任意の実数aで成立
(ii)p≠0のときa=2p^2＋(1/2)・・・?B
p≠0のもとで?Bの異なる実数解pの個数を考えるために図示すると
a>1/2のとき3本 a≦1/2のとき1本」

解答の疑問?@
どうして【異なる実数解p】の個数としているのでしょうか？
疑問?A
(ii)ではp≠0のもとで考えていますが
p(-2p^2＋2a-1)=0の式で-2p^2＋2a-1=0の方程式の解がp=0となる可能性もあるような気がするのですが
どうしてp≠0の下で考えているのでしょうか？

数学がとても苦手で理解できていない所が多々あります
誰か分かる方教えてください
おねがいします＞＜

No.17209 - 2012/03/16(Fri) 09:39:19

☆ Re: 文系数学 / ヨッシー

p(-2p^2＋2a-1)=0 より、
p=0　・・・(i)
-2p^2＋2a-1=0　・・・(ii)
であり、(i) はこれだけで１つの解になっています。
その他に解があるとすれば、-2p^2＋2a-1=0 から得られる解ですが、
当然その中にはp=0 もありえます。
具体的には、a=1/2 のとき、p=0 です。
ところが、ここで、p=0 が得られたとしても、(i) で得られた
p=0 と同じなので、法線の数が増えるわけではありません。

だから、【異なる実数解p】の数が法線の数であり、(ii) では、p=0 は外して考えているのです。

さらに、ａ＜1/2 のときは、(ii) は実数解はなしで、実数解は、(i)から得られるp=0 だけです。
この両者をまとめて、
　ａ≦1/2 のとき、法線は１本
となります。

No.17215 - 2012/03/16(Fri) 13:21:35

☆ Re: 文系数学 / オン太朗

よくわかりました。
本当にありがとうございます。

No.17219 - 2012/03/17(Sat) 00:08:23

★ 数学　三角関数 / オン太朗

平面上の点O(0,0)A(0,3)B(1,0)C(3,0)について
Pが線分OA上を動くとき、sin∠BPCの最大値とそれを与える点Pの座標を求めよ

解答に「sin∠BPCが最大のとき」と「tan∠BPCが最大のとき」は一致している
とあるのですが、これが言えるなら
cos∠BPCが最小のときtan∠BPCが最大ともいえそうな気がするのですがどうなんでしょうか。
sin∠BPCは単位円でいうところの第1象限における
0°から90°未満の範囲での値です。
sin∠BPCが単位円上で上にあればあるほど傾きは大きくなるので解答のは合っていると思います。
一方cos∠BPCの場合を考えてみると
こちらは、0°から90°未満の範囲で小さければ小さいほど傾きが大きくなるので
「cos∠BPCが最小のときtan∠BPCが最大」といえそうなきがします。
勘違いしていそうで怖いので誰か分かる方正しいのかどうか教えてください。お願いします。

No.17208 - 2012/03/16(Fri) 06:35:54

☆ Re: 数学　三角関数 / ヨッシー

0°から90°未満の範囲であれば、それで正しいです。

No.17214 - 2012/03/16(Fri) 13:08:22

★ 数学　確率の最大 / オン太朗

1つのサイコロを10回投げる時3の倍数の目がn回出るときの確率をＰ(ｎ)とする。(n=0,1,2・・・10)
(1)P(n)が最大となるときのnの値を求めよ
1つのサイコロを1回投げて3の倍数の目(3と6)が出る確率は1/3
よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は(1/3)^n
残りの10-n回に関しては出る目が1or2or4or5であればよいのでその確率は｛2/3｝^(10-n)
また、10回のうちどこでn回3の倍数の目が出るかは10Cn通り
よってPn=10Cn×(1/3)^n×｛2/3}^(10-n)
P(n)の増減を調べるためにP(n＋1)-P(n)の符号を考える。
P(n＋1)=10C(n＋1)×(1/3)^(n＋1)×｛2/3}^(9-n)
(計算省略)
P(n＋1)-P(n)=｛10!・(1/3)^n・{2/3｝^(10-n)/n!(9-n)!｝×{(-11n＋11)/9(n＋1)(10-n)｝
｛10!・(1/3)^n・{2/3｝^(10-n)/n!(9-n)!｝の部分は正なので
(-11n＋11)/9(n＋1)(10-n)の部分の符号について考えればよい。
(i)n=0のときP(n＋1)>P(n)
(ii)n=1,10のときP(n＋1)=P(n)
(iii)2≦n≦9のとき、P(n＋1)(iv)n>10のとき、P(n＋1)>P(n)

あとは(i)～(iv)にnの値を入れていって最大となるところを調べればいいと思ったんですけど
最大となる箇所が複数でてきてしまい訳が分からなくなってしまいました。
どこで間違ってしまったんでしょうか？
ちなみに答はn=3です。
数学がかなり苦手なので分かりません。誰か教えてください。お願いします。

No.17203 - 2012/03/16(Fri) 03:45:12

☆ Re: 数学　確率の最大 / シャロン

ぱっと見ですが

> よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は(1/3)^n

まず、ここが誤りです。

(1/3)^nは、例えば
「n回サイコロを振って、全て3の倍数の目が出る確率」
です。

No.17205 - 2012/03/16(Fri) 05:29:07

☆ Re: 数学　確率の最大 / シャロン

> よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は
>Pn=10Cn×(1/3)^n×｛2/3}^(10-n)

と続ければ、正しい推論になります。
#オン太朗クンの回答では、文章としての繋がりがおかしい。

> P(n)の増減を調べるためにP(n＋1)-P(n)の符号を考える。

確率の最大値を調べるには、コンビネーションや階乗といった積同士を約分できることが多いので、P(n＋1)/P(n)と1の大小を考えた方が計算が楽な場合が多いです。

また、計算部分にミスがあることが多いので、そこを省略しないほうがいいです。

No.17206 - 2012/03/16(Fri) 05:39:25

☆ Re: 数学　確率の最大 / オン太朗

ありがとうございました＞＜

No.17207 - 2012/03/16(Fri) 06:34:58