正の数列a[1],a[2],・・・,a[n]正の数列b[1],b[2],・・・,b[n]について
(1)a[2]/b[2]≦a[1]/b[1]であれば(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2]) ≦a[1]/b[1]が成立することを証明せよ。
(2)記号max｛a[1]/b[1] , a[2]/b[2] , a[3]/b[3]｝は3つの数a[1]/b[1]、a[2]/b[2]、a[3]/b[3]のなかで最大の数を表すとする。このとき(a[1]＋a[2]＋a[3])/(b[1]＋b[2]＋b[3]) ≦max｛a[1]/b[1]、a[2]/b[2]、a[3]/b[3]｝となることを証明せよ。
a(1)/b(1) を最大とする。
{a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≦ a(1)/b(1) と a(3)/b(3) ≦ a(1)/b(1) については
(1) より
[{a(1) + a(2)} + a(3)]/[{b(1) + b(2)} + b(3)] ≦ a(1)/b(1) より
{a(1) + a(2) + a(3)/{b(1) + b(2) + b(3) ≦ a(1)/b(1)
なので成り立つ。
【 {a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≦ a(1)/b(1) と a(3)/b(3) ≦ a(1)/b(1) については
(1) より
[{a(1) + a(2)} + a(3)]/[{b(1) + b(2)} + b(3)] ≦ a(1)/b】の部分がよくわかりません。
分かる方教えてください。お願いします
|
No.17126 - 2012/03/06(Tue) 00:00:07
| ☆ Re: 高校数学 / wakaba | | | ↑は(2)の解答です。書き忘れて申し訳ありませんでした。
|
No.17127 - 2012/03/06(Tue) 00:00:55 |
| ☆ Re: 高校数学 / ヨッシー  | | | {a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} と a(3)/b(3) の比較において、
{a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≦ a(3)/b(3) ならば
{a(1) + a(2) + a(3)}/{b(1) + b(2) + b(3)} ≦ a(3)/b(3)
{a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≧ a(3)/b(3) ならば
{a(1) + a(2) + a(3)}/{b(1) + b(2) + b(3)} ≦ {a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)}
が(1) より導けます。
いずれの右辺も、a(1)/b(1) 以下なので、
{a(1) + a(2) + a(3)}/{b(1) + b(2) + b(3)} ≦ a(1)/b(1)
が成り立ちます。
と言いたいのだと思われます。
「・・・については」の使い方が良くないですね。
|
No.17128 - 2012/03/06(Tue) 06:27:43 |
| ☆ Re: 高校数学 / wakaba | | | 回答ありがとうございます。
(2)の問題についてなんですが
答には「(1)の結果よりa[1]とa[2]、b[1]とb[2]を入れ替えるとa[1]/b[1]≦a[2]/b[2]のとき(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[2]/b[2]も成り立つ。」とあるのですが
入れ替えるという作業がいまいち釈然としません。
以下a[2]/b[2]＝B a[1]/b[1]＝A (a1+a2)/(b1+b2)＝☆とします。
最初の正の数列に関して問題では具体的な項の値は示されていないので
自由にB≦Aとなるような数列を選んだり
また、逆にB≧Aとなるような数列を選んだりすることは可能なんでしょうか？
可能ならたしかに(1)の結果を適用してB≦Aならば☆≦A
A≦Bならば☆≦Bと出来ると思います。
またこれらに限った話じゃなく自分が(1)の結果が成り立つように数列を設定すればa[1]とa[3]とかの組み合わせでもいけますよね。
ですがそんな勝手なことをしていいのか不安です。
まだ理解ができていないのでもう少しお付き合いの方よろしくお願いいたします。
|
No.17130 - 2012/03/06(Tue) 17:56:14 |
| ☆ Re: 高校数学 / ヨッシー | | | 一度、解答を全部書きだしてもらえますか？
上の部分だけ読めば、確かに入れ替える意図がわかりませんが、
その後の話の展開で、その意味がわかってくると思いますので。
|
No.17133 - 2012/03/06(Tue) 18:37:32 |
| ☆ Re: 高校数学 / wakaba | | | 「(1)の結果よりa[1]とa[2]、b[1]とb[2]を入れ替えるとa[1]/b[1]≦a[2]/b[2]のとき(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[2]/b[2]・・・?@も成り立つ。
よって(1)と?@より
(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦max{a[1]/b[1],a[2]/b[2]｝
a[1]＋a[2]=a[4]
b[1]＋b[2]=b[4]とすると、
(a[4]＋a[3])/(b[4]＋b[3])≦max{a[4]/b[4],a[3]/b[3]｝
＝max{(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2]),a[3]/b[3]｝
≦max{max(a[1]/b[1],a[2]/b[2]),a[3]/b[3]｝
≦max{a[1]/b[1],a[2]/b[2],a[3]/b[3]｝
よって題意は示された。」
とありますが
当方数学が苦手な高校生ですので何度解答を読んでも冒頭の部分が理解できません(泣)
|
No.17135 - 2012/03/06(Tue) 20:29:36 |
| ☆ Re: 高校数学 / ヨッシー | | | 入れ替えるという言い方が大いに誤解を生んでいるようですね。
a[1]/b[1] と a[2]/b[2] があって、
a[1]/b[1]≧a[2]/b[2] ならば (a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[1]/b[1] ・・・(i)
a[1]/b[1]≦a[2]/b[2] ならば (a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[2]/b[2] ・・・(ii)
であると言っているだけです。
もちろん、a[1]/b[1]＝a[2]/b[2] でない限り、
これら両方が同時に成り立つことはありません。
で、a[1]/b[1] と a[2]/b[2] とで、どちらが大きいか分からないけれども、
大きい方（正確には小さくない方）は、
(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2]) より大きい（または等しい）
ということが、上の(i)(ii) から言えます。
この、a[1]/b[1] と a[2]/b[2] とで、大きい方を max{a[1]/b[1],a[2]/b[2]}
と書く約束ですから、
(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦max{a[1]/b[1],a[2]/b[2]}
と表せます。
あとの、
>a[1]＋a[2]=a[4]
>b[1]＋b[2]=b[4]とすると、
以降は、式のいじくりだけです。
max{max(a[1]/b[1],a[2]/b[2]),a[3]/b[3]} の所が少しややこしいですが、
言葉で書くと、a[1]/b[1] と a[2]/b[2] とで大きい方と、
a[3]/b[3] とを比べて、より大きい方
という意味ですから、
max{a[1]/b[1],a[2]/b[2],a[3]/b[3]} と同じ意味になります。
ちなみに、一番下の≦は＝ですね。
|
No.17136 - 2012/03/06(Tue) 21:01:18 |
|
