1からnまでの番号をつけたn枚のカードがある。これらn枚のカードをA,B,Cの3つの箱に分けていれる。ただしどの箱にも少なくとも1枚はいれるものとする。
(1)入れ方は全部で何通りあるか。
(2)自然数mは2m≦nを満たすとする。1≦k≦mである各整数kについて2k-1と2kの番号のカードをペアと考える。どれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数をnとmを用いて表せ。
(1)
はじめに3つの箱にいれる3枚の選び方は、n枚から3枚選んで並べるので、nP(n-3)=n！/6 通り
残ったn-3枚を3つの箱に入れる入れ方は(n-3)^3 通り
従って、入れ方は全部で{(n-3)^3×n！}/6 通り
(2)
3つの箱に1つもペアが入らない場合の数を考える。
2k-1がAの箱に入ったとき、2kはBかCの2通り。
2k-1がBの箱に入ったとき、2kはAかCの2通り。
2k-1がCの箱に入ったとき、2kはBかCの2通り。
1つのペアで6通りの場合が考えられ、ペアの数は全部でm組だから、求める場合の数は6^m 通り。
従って、どれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、
{(n-3)^3×n！}/6-6^m 通り。
答え合わせお願いします。
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No.18216 - 2012/08/03(Fri) 14:39:34
| ☆ Re: 場合の数 高3 / ヨッシー  | | | (1) はまず、
>残ったn-3枚を3つの箱に入れる入れ方は(n-3)^3 通り
ではなく、3^(n-3) 通りです。
ただ、それ以前に、考え方がまずいです。
例えば、1,2,3,4 の４枚だったとき、
1,2,3 を選んでA,B,C の箱に入れ、4 をA に入れるのと、
4,2,3 を選んでA,B,C の箱に入れ、1 をA に入れるのとは
同じ入れ方になります。
正しくはこうです。
n≧3 とします。
ｎ枚を３つの箱に入れる方法は 3^n 通り。
このうちＡには入らない方法は 2^n 通り。Ｂ，Ｃについても同様で、
２つ以下の箱に入れるのは３・2^n 通り。
Ａだけに入れる方法は、１通り。Ｂ，Ｃ についても同様に各１通り。
最初の 3^n 通りについて考えると、この中には、
どれか１つだけの箱に入っている・・・３通り。
ＡＢ２つの箱に入っている・・・2^n−2 通り （2^n からＡだけ、Ｂだけを除く
ＢＣ，ＡＣ についても同様で各 2^n−2 通り。
残りが、どの箱にも少なくとも１つは入っている入れ方で
3^n−3(2^n−2)−3＝3^n−3(2^n−1)
n=1, n=2 のときも成り立つので、全ての自然数ｎについて、
3^n−3(2^n−1) 通り ・・・答え
(2) については、もう少し考えますが、問題はこれで合っていますか？
>自然数mは2m≦nを満たすとする。
ということは、n=100 で m=1 でも良いんですよね？
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No.18218 - 2012/08/03(Fri) 15:48:54 |
| ☆ (2) / angel | | | 横から失礼しますが、
> (2) については、もう少し考えますが、問題はこれで合っていますか？
> >自然数mは2m≦nを満たすとする。
> ということは、n=100 で m=1 でも良いんですよね？
問題として特に不自然ではないと思います。
例えば m=1 であれば、「1と2が同じ箱に入る場合の数は何通りか」ですし、m=2 であれば、「1と2が同じ箱に入る、もしくは3と4が同じ箱に入る場合の数は何通りか」といったふうに解釈できます。
考え方としては、逆 ( 余事象 ) に着目するのが良くて、「1と2が別の箱、かつ3と4が別の箱、…，かつ(2m-1),2mが別の箱となる場合の数」を計算して(1)から引くような感じで。
ただし、「どの箱にも少なくとも1枚」という前提がありますので、そこには注意が必要でしょう。
そうすると、ktdgさんの解答はイイ線いっているのですが ( (1)を間違えているからどっちにしてもダメというのはさておき )、少し足らない所がありますね。
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No.18220 - 2012/08/03(Fri) 23:10:48 |
| ☆ Re: 場合の数 高3 / ヨッシー | | | 問題が成り立たないとかではなくて、少しやっかいそうだったので、
条件を絞りたいなぁと思っただけです。
ktdgさんの 6^m というのは良いですね。
これに残りの n-2m 枚を加えてｎ枚のカードを全部入れてしまうわけですが、
ここで場合分けが必要です。
6^m 通りのうち、3・2^m 通りは、A,B,C のうち、２つにしか
カードが入っておらず、残りの 6^m−3・2^m 通りはA,B,C
３つともにカードが入っています。
2m 枚のカードが２つの箱にしか入っていない場合は、
残りのn-2m を加えたあと、カードが入っていない箱が
出来る危険性がありますので、それは避けないといけません。
一方、2m 枚のカードが3つの箱に既に入っている場合は、、
残りの n-2m 枚は、好きなように入れられます。
といったような感じですね。
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No.18221 - 2012/08/03(Fri) 23:35:59 |
| ☆ Re: 場合の数 高3 / ktdg | | | 回答ありがとうございます。
(1)については理解できました。
(2)についてですが、3つの箱に1つもペアが入らない場合の数は6^m・3^(n-2m)通り。そのうち、Aの箱が空になる場合の数は2^m通り。よってどれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m通り。でいいですか?
あと、場合わけというのがよくわからないのですが…
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No.18223 - 2012/08/04(Sat) 22:46:52 |
| ☆ Re: 場合の数 高3 / angel | | | もう少し丁寧にやった方が良いと思います。
> そのうち、Aの箱が空になる場合の数は2^m通り。
これは「(1,2),(3,4),…(2m-1,2m)のペアの分」ですよね。2m+1〜n の分が計算に入っていません。
何かチェックシートでも作るなり、漏れのないように考えられる工夫をするのが良いのではないでしょうか。
正しくは、2^m・2^(n-2m)通りです。
> よってどれかの箱に少なくとも1つのペアが入る場合の数は、3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m通り。
そうすると、こちらは 3^n-3(2^n-1)-6^m・3^(n-2m)+3・2^m・2^(n-2m) になります。
尤も、式をもう少し簡略化することを考えると、
6^m・3^(n-2m) = 2^m・3^m・3^(n-2m) = 2^m・3^(m+n-2m)
2^m・2^(n-2m) = 2^(m+n-2m)
ですから、
3^n-3(2^n-1)-2^m・3^(n-m)+3・2^(n-m)
の方が良いでしょうか。
最後に。(1)でもそうなのですが、簡単な例を試してみて、単純なミスを犯していないかどうか、必ず確認した方が良いです。
例えば(1)なら、一般のnに対する答えが分からなくても、
n=1,2 なら 0通り、n=3 なら 6通り
というのは計算できるはずです。なので、出てきた式にn=1,2,3を代入して合っているかどうか確かめれば、ある程度間違いに気付けるはずです。
(2)なら、
m=1, n=2 or 3 の時 0通り
m=1, n=4 の時 6通り ( (1,2),(3),(4) と分かれるため )
m=2, n=4 の時 12通り ( {(1,2),(3),(4)} もしくは {(3,4),(1),(2)} )
とか。
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No.18228 - 2012/08/05(Sun) 21:05:21 |
| ☆ Re: 場合の数 高3 / ktdg | | | 貴重なアドバイスありがとうございます。
場合の数の問題を解く時は確認作業をしっかりしたいと思います。
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No.18230 - 2012/08/06(Mon) 01:19:42 |
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