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★ (No Subject) / 受験生
よろしくおねがいします。

点Oを中心とする円周の６等分点をP1,P2,...P6とする。サイコロを三回振り、出た目が準にi,k,jのときの得点を次のように定める。i,k,jの中に同じものがあれば0点とする。i,j,kがすべて異なるときは,円の中心Oが△PiPjPkの内部にあれば３点、返上にあれば２点、外部にあれば１点とする。得点に期待値を求めよ。
No.17410 - 2012/04/15(Sun) 22:49:50
☆ Re: / ヨッシー
目の出方は全部で　６3＝216 (通り)
３つの目がすべて違うのは、６×５×４＝１２０(通り)

１点となるのは図のような場合で、
　三角形が P1P2P3,P2P3P4,・・・P6P1P2 の6個
　1つの三角形につき目の出る順は6通りあるので、
　全部で6×6＝36(通り)
３点となるのは図のような場合で、
　三角形が P1P3P5, P2P4P6 の2個
　1つの三角形につき目の出る順は6通りあるので、
　全部で 6×2＝12(通り)
残り、120−36−12＝72(通り) が２点

以上より、求める期待値は、
　(1×36＋2×72＋3×12)/216＝１(点)　・・・(答え)
No.17411 - 2012/04/15(Sun) 23:15:04
☆ Re: / ＿
このくらいなら数え上げられそうです。ということでこんな解き方。

i=1とする。j,kの値によって得点は下表のようになる。

j＼k123456
1000000
2001221
3010232
4022022
5023201
6012210


i=2〜6の時も同様で、求める期待値は

(1/6)・(0・16/36 + 1・6/36 + 2・12/36 + 3・2/36)・6 = 1
No.17412 - 2012/04/16(Mon) 00:56:24
☆ Re: / 受験生
みなさん、ほんとうに丁寧に答えてくれてありがとうございました。
No.17423 - 2012/04/17(Tue) 23:11:01
★ 三角関数の相互関係 / Xex 高3
3cos2x+4sin2x=k (0≦x≦π/4) とする時、tanxをkを用いて表せ。
一向にわかりません。どなたか教えてくださいお願いします。[ニューアクションオメガIIBより]
No.17406 - 2012/04/15(Sun) 19:28:45
☆ Re: 三角関数の相互関係 / X
方針だけ。
3cos2x+4sin2x=k (A)
から
(i)x≠π/4のとき
3+4tan2x=k/cos2x
3+4tan2x=k/{2(cosx)^2-1} (A)'
∴tanx=tと置くと、(A)'は
3+8t/(1-t^2)=k/{2/(1+t^2)-1}
これより
3+8t/(1-t^2)=k(1+t^2)/(1-t^2)
3(1-t^2)+8t=k(1+t^2)
(k+3)t^2-8t+k-3=0 (B)
ここで(A)の左辺を合成すると
0≦x≦π/4においてk＞0
となることが分かります(確かめて下さい)。
従って
k+3≠0
ですので(B)はtの二次方程式となります。よって…。
(ii)x=π/4のとき
(i)の結果にx=π/4を代入した結果が(A)でx=π/4のときの
kの値と矛盾しないかチェックします。
矛盾するようであれば、この場合だけ別の解答となります。
No.17407 - 2012/04/15(Sun) 19:52:55
★ べき級数の収束半径（大1） / ワイリー
べき級数Σ{c(n)*x＾n}の収束半径rは

r=　lim[n→∞]{|c(n)/c(n＋1)|}

であることをダランベールの判定法で示す方法がよく分りません。
ダランベールの判定法によりΣ|c(n)*x＾n|が、
(|x|/r)<1なら収束し(|x|/r)>1なら発散する。ここで絶対収束する数列は収束するから、(|x|/r)<1ならΣ{c(n)*x＾n}は収束する。


ここまでは分るのですが、(|x|/r)>1なら、Σ{c(n)*x＾n}は発散するということはどうやってわかるのですか？
Σ|c(n)*x＾n|が発散していてもΣ{c(n)*x＾n}は条件収束するかもしれませんよね？
No.17404 - 2012/04/15(Sun) 14:52:30
☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / ワイリー
すいません一応補足します。
rをlim[n→∞]{|c(n)/c(n＋1)|}とおいたとき、
そのrと|x|の大小関係が変わる部分でΣ{c(n)*x＾nの
収束発散が変わることを証明したいということです。
No.17408 - 2012/04/15(Sun) 22:43:28
☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / ワイリー
お願いします、誰か教えてください（T_T）
No.17414 - 2012/04/16(Mon) 21:04:06
☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / sorede
c(n)*x＾n　→　0　　　と成らない .
http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC4%E7%AB%A0/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95(%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%8F%8E%E6%9D%9F)
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node18.html#hantei
No.17426 - 2012/04/18(Wed) 10:39:01
☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / ワイリー
なるほど！0に収束しない数列を無限に足すと発散しますもんね！
ありがとうございます（＾▽＾）
No.17447 - 2012/04/20(Fri) 23:59:17
★ ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪
ヨッシー様、こんにちわ(o^-^o)

いつも丁寧に解説、どうもありがとうございます(o^-^o) 。

また同じような問題で行き詰ってるので、ヒントか解説どうかよろしくお願い致します。

こうかなって思うところまで、解いてみましたが、ここから思い浮かびません(>.<)。


?@点Ｐが点Ｄに重なる時の三角形ＰＢＣの面積が１０秒後で２４０cm2

ＢＣ×２０÷２＝２４０　ＢＣ＝２４ｃｍ

グラフから点Ｐが点Ｄから点Ａまで進むのに、１４．５−１０＝４．５秒かかっていますか？

そして、この４．５秒の間は、ずっと面積が２４０cm2なんでしょうか？

こっからどうやって、ＡＤの長さとＡＢの長さを求めていったらいいのか、ちょっと思い浮かびません(>.<)。

?Aも、?@が解らないので、解らないですが、
　
（ＡＤ＋２４）×２０÷２＝２５３．２

この台形の面積から、ＡＤを出して、Ｐが出発してから何秒後か考えるのですか？

どうか、解説よろしくお願い致します。
No.17403 - 2012/04/15(Sun) 12:23:27
☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / ヨッシー
面積が、増えていく時期、変わらない時期、減っていく時期が
あるというのが、下の図からわかると思います。
そして、その変わり目が、点Ｄや点Ａの頂点であることは、
これまでの問題でも経験してきたことです。

よって、
>点Ｐが点Ｄから点Ａまで進むのに、１４．５−１０＝４．５秒かかっていますか？
>そして、この４．５秒の間は、ずっと面積が２４０cm2なんでしょうか？
ここに疑問符は要りません。

話の流れとしては、ＣＤを進む時間から、点Ｐの速さがわかります。
その速さと、ＤＡ間の時間から、ＡＤの長さがわかります。
同様にＡＢの長さもわかります。
以上から、数の長さは求められます。

四角形ＣＤＡＰが253.2cm^2 であることから、△ＢＰＣの面積がわかり、
このときのＢＣを底辺としたときの△ＢＰＣの高さがわかり、
さらには、ＢＰの長さ、逆算してＡＰの長さがわかります。

すると、Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｐの距離がわかり、そこまでの時間がわかります。
No.17405 - 2012/04/15(Sun) 15:27:17
☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪
ヨッシー様、こんばんわ(o^-^o) 。

丁寧に解説して頂いて、どうも有難うございます。

図まで添付して頂いて、(^人^)感謝♪しています。

ここまで考えたのですが、頭が混乱してきました(>o<")。


?@点Ｐが点Ｄに重なる時の三角形ＰＢＣの面積が１０秒後で２４０cm2

ＢＣ×２０÷２＝２４０ ＢＣ＝２４ｃｍ

CDは、１０秒で２０cm進むので、１秒では２ｃｍ

点Ｄから点Ａまでは、グラフから１４．５−１０＝４．５秒

２×４．５＝９ ＡＤの長さは、９ｃｍ

点Ａから点Ｂまでは、グラフから２７−１４．５＝１２．５秒

２×１２．５＝２５ ＡＢの長さは、２５cm

台形ABCDの周囲の長さは、２４＋２０＋９＋２５＝７８cm



?A四角形CDAPの面積２５３．２cm2−三角形CDAの面積９０cm2

　＝１６３．２cm2
　

　台形ABCDの面積（９＋２４）×２０÷２＝３３０cm2



　三角形ABCの面積＝台形ABCDの面積３３０cm2−三角形CDAの　面積９０cm2＝２４０cm2

　三角形ABC２４０cm2−三角形CAP１６３．２cm2＝７６．８　cm2

三角形PBCの高さをXとする。


BCの長さ２４cm×　X÷２＝７６．８

三角形PBCの高さ＝６．４cm

高さ２０cmを移動するのに、２７−１４．５＝１２．５秒


２０：１２．５＝６．４：X

２０X＝８０

X＝４秒

ちょっと頭が混乱してきました(>o<")。

どうか、アドバイスよろしくお願い致します。
No.17433 - 2012/04/19(Thu) 21:45:36
☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / ヨッシー
Ｂまで行った状態から、高さ6.4cm だけ戻ったと考えれば？
No.17436 - 2012/04/19(Thu) 23:32:03
☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪
ヨッシー様、こんばんわ。

アドバイスどうもありがとうございます(o^-^o) 。

C→D→A→Bまで到着するのに２７秒かかってるので、６．４cmで４秒かかった分、上に戻ればいいという事ですか？

２７秒−４秒＝２３秒後ですか？
No.17484 - 2012/04/23(Mon) 20:19:36
☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / ヨッシー
はい、正解です。

ちなみに、Ａ→Ｐ まで、高さ13.6cm 降りていると考えて、
その時間 8.5秒 を求め、
　14.5＋8.5＝23(秒)
としても求められます。
No.17488 - 2012/04/24(Tue) 06:22:23
☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪
ご解答どうも有難うございました。

こっちの求め方もよく解りました(o^-^o) 。
No.17527 - 2012/04/29(Sun) 22:35:36
★ 二次関数 / あか
次の関数の最大値、最小値および、それらをとるxの値を求めよ。
ただし、aは定数とする。

y=x^2−2x (a≦x≦a+1)

答えは

a<0、0≦a<1/2、a=1/2、1/2<a≦1、a>1というように場合分けされるのですが、1/2がどこから出てくるのかわからないです。

よろしくお願いします。
No.17399 - 2012/04/14(Sat) 17:27:09
☆ Re: 二次関数 / シャロン
f(x)=x^2-2xとする。
放物線の軸がx=1にあるため、a＜1＜a+1となる範囲では、f(x)はa＜x＜1で減少、1＜x＜a+1で増加となるため、a＜x＜a+1における最大値の候補は、f(a)かf(a+1)に限られる。

f(a)＞f(a+1)なら最大値はf(a)
f(a)＜f(a+1)なら最大値はf(a+1)
なので、f(a)＞f(a+1)となるaの範囲を求める必要がある。
No.17401 - 2012/04/14(Sat) 21:55:31
★ 2次関数 / ktdg
関数f(x)(0≦x<1)を
f(x)=2x (0≦x<1/2)、2x−1 (1/2≦x<1)
のように定義するとき、y=f(f(x))のグラフをかけ

解答では、0≦x<1/4のとき、1/4≦x<1/2のとき、1/2≦x<3/4のとき、3/4≦x<1のときで場合わけをしているのですが、どうしてそこで場合わけをするのですか?
No.17389 - 2012/04/12(Thu) 20:52:38
☆ Re: 2次関数 / X
題意からf(f(x))は次の場合分けが必要になります。
(i)0≦x＜1/2かつ0≦f(x)＜1/2のとき
f(f(x))=2f(x)=2(2x)
(ii)0≦x＜1/2かつ1/2≦f(x)＜1のとき
f(f(x))=2f(x)-1=2(2x)-1
(iii)1/2≦x＜1かつ0≦f(x)＜1/2のとき
f(f(x))=2f(x)=2(2x-1)
(iv)1/2≦x＜1かつ1/2≦f(x)＜1のとき
f(f(x))=2f(x)-1=2(2x-1)-1

それぞれの場合のxの値の範囲を計算してみましょう。
No.17391 - 2012/04/13(Fri) 00:16:03
☆ Re: 2次関数 / ktdg
解りました。ありがとうございます
No.17398 - 2012/04/14(Sat) 00:37:16
★ 確率 / 喪失君
サイコロを4回投げる出た目を順にa,b,c,dとする
積abcdが４の倍数になる確率を求めよ

積abcdが4の倍数になるのは
?@）a,b,c,dのうち少なくとも二つが2の倍数（４は含まない）
?A）a,b,c,dのうち少なくとも1つが４

?@）a,bが２の倍数の時
2^2×3^2=6^2通り
∴a~dのうち二つだけ2の倍数となるのは6^2×４Ｃ２通り
a,b,cが2の倍数の時
2^3*3通り
a~dのうち3つだけ2の倍数になるのは2^3*３＊4C3＝３＊２＾５通り
a,b,c,dのうち4つが2の倍数になるのは２＾４通り
∴?@）の確率は6^5+3*2^5+2^4/６^4

?A）１−（a~dが全て4以外の確率）
＝１−5^4/6^4

?@）?A）は互いに排反より
9/16

何十回やっても答えが合いませんどこが悪いのかご指摘お願いします
No.17384 - 2012/04/12(Thu) 18:18:29
☆ Re: 確率 / ＿
：∴?@）の確率は6^5+3*2^5+2^4/６^4
6^5はどこからきたのですか？

なお、余事象を考えるという手もあります。参考までに。

4の倍数とならないのは
(1)a,b,c,dすべてが奇数
(2)a,b,c,dのうち3つが奇数、1つが2か6
これらは排反なので…(略)
No.17385 - 2012/04/12(Thu) 19:09:20
☆ Re: 確率 / 喪失君
あ、それは6^3のつもりです、タイピングミスです。
それを踏まえても9/16になってしまうのです。
No.17387 - 2012/04/12(Thu) 20:27:40
☆ Re: 確率 / ＿
であれば、丁寧に計算をしてみてください、ということになります。
一つ一つ計算のステップをここに書いて頂ければ何かアドバイスできると思います。
No.17388 - 2012/04/12(Thu) 20:34:10
☆ Re: 確率 / 喪失君
∴?@）の確率は6^5+3*2^5+2^4/６^4

?A）の確率は１−5^4/6^4
というところまでは合っているのですか？
この?@）＋?A）の計算を丁寧に、ということですか？
No.17392 - 2012/04/13(Fri) 01:15:17
☆ Re: 確率 / ＿
そうです。(6^3+3*2^5+2^4)/6^4 + 1 - 5^4/6^4の計算を丁寧に行ってみてください(太字部は、訂正が反映されてないようなので一応…)
No.17393 - 2012/04/13(Fri) 01:41:35
★ 疑問 / ｂｂｙ
aは実数とする。3次方程式x^3+3ax^2+3ax+a^3=0の異なる実数会の個数は定数aの値によってどのように変わるか調べよ。

でｆ'(x)=0の判別式をＤとすると
Ｄ≦０(0≦a≦１）のときは単調増加となるのでf(x)=0を満たす実数ｘは一個

Ｄ＞０のとき
?@の2解をα、β（α＜β）とするとｆ（ｘ）はｘ＝αで極大、ｘ＝βで極小となります
ｆ（α）ｆ（β）＝（a(1-a))^2(5a+4)a
よって
「ｆ（α）ｆ（β）＞０のとき１個
ｆ（α）ｆ（β）＝０のとき２個
ｆ（α）ｆ（β）＜０のとき３個」

という流れですが、なぜこれで済ませてよいのか分かりません。「　」　の部分が疑問です。
まずｆ（α）ｆ（β）＜０となるようなaの範囲を、ｘが３つ存在するaの範囲としてしまっていますが
ｆ（α）ｆ（β）＜０の範囲をそのまま解いてしまうとf(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ないaの範囲も余分に含んでしまう事になりますよね？（ｆ（ｘ）のｘ＾３の係数は正だから）
なぜ除外しなくて良いのか教えてください。

かなり難しい質問かとは思いますがどなたか分かる方よろしくお願いします。
No.17380 - 2012/04/12(Thu) 16:52:45
☆ Re: 疑問 / ヨッシー
f(α) は極大値、f(β)は極小値ですので、
その積の正負と、グラフの関係は以下のようになります。



赤の●で示した部分が、実数解になり、それぞれ、３個、２個、１個となります。

f(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ない不等式からは、
ａの範囲は求まって来ません(無理に解いても、解なしになります)ので、
わざわざ除外することもないのです。
No.17382 - 2012/04/12(Thu) 17:21:01
☆ Re: 疑問 / ｂｂｙ
ｆ（α）ｆ（β）＝（a(1-a))^2(5a+4)a<0⇔-4/5<a<0
と解いたということはf(α）＜０かつｆ（β）＞０」または「f(α）＞０かつｆ（β）＜０」となるaの範囲ですよね？



f(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ない不等式からは、ａの範囲は求まって来ない(無理に解いても、解なしになる）、とありますがf(α）＜０かつｆ（β）＞０の煩雑な連立不等式を解いてこれをみたすaが存在しないということが分かって初めて「-4/5<a<0」が（3つのｘを持つaの範囲として除外される範囲もなく）答えになるということですか？
たぶん違うと思います。

なぜｆ（α）ｆ（β）＜０を解いたものをそのまま答えにして良いのか教えてください。

よろしくお願いします
No.17383 - 2012/04/12(Thu) 18:09:35
☆ Re: 疑問 / ヨッシー
-4/5＜a＜0 の範囲のａはすべて ｆ(α)＞０ かつ ｆ(β)＜０ を満たすものです。
なぜなら、グラフの形状、増減表などから考えて、
　ｆ(α）＜０＜ｆ(β)
となるような状態はあり得ないからです。

つまり、
>f(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ないaの範囲
は、ないのです。
No.17386 - 2012/04/12(Thu) 19:31:42
☆ Re: 疑問 / bby
回答有難うございます

グラフの形状、増減表などから考えて、
　ｆ(α）＜０＜ｆ(β)
となるような状態はあり得ない
→ｆ（α）＞ｆ（β）ですから確かにそれは分かります
しかしだからといって（それが理由で）
-4/5＜a＜0 の範囲のａはすべて ｆ(α)＞０ かつ ｆ(β)＜０ を満たすといえる理由がよく分かりません。
ひらめいたのですが、もしかして
f(α）ｆ（β）＜０
⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０
⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０
⇔-4/5＜a＜0

ということでしょうか？
No.17394 - 2012/04/13(Fri) 01:52:05
☆ Re: 疑問 / シャロン
> f(α）ｆ（β）＜０
> ⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０
> ⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０
> ⇔-4/5＜a＜0
>
> ということでしょうか？

推論の筋道が違います。

-4/5＜a＜0は、f(α）ｆ（β）＜０をといて得られた式なので、

f(α）ｆ（β）＜０ ⇔ -4/5＜a＜0
という推論と、
f(α）ｆ（β）＜０⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０
という推論、さらに、

「ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０」かつ『「ｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０」でない』
⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０
という推論から、論理式の同値関係から、

ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０ ⇔ -4/5＜a＜0
という結論を導き出しています。
No.17395 - 2012/04/13(Fri) 05:45:48
★ 同値な言い換え / がるがる
実数ｘ、ｙがｘ＾２＋ｙ＾２＝１の関係を満たして変化する時、2x+yのとりうる値の最大値を求めよ。
2x+yがｋという値をとりうる・・?@ための条件は
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１かつ2x+y＝ｋを満たす実数ｘ、ｙが存在する・・?A事であり、
この条件はx^2+(k-2x)^2=1（かつｙ＝ｋ−２ｘ）をみたす実数ｘが存在する事と同値・・?Bというのが分かりません。

?@⇔?A⇔?Bのうち?@⇔?Aはなんとなくかろうじて分かりましたが、?A⇔?Bがどうしても分からないので教えてください。
?A→?B、?B→?Aの両方ともお願いします。なぜ（かつｙ＝ｋ−２ｘ　）のように（　）にしてよいのかも詳しくお願いします


例えば、x^2+(k-2x)^2=1の式について実数ｘが存在して、の意味はたぶんこの式のｘに何か値を代入した時ｋ＝２などの値が出ることを意味するので?Bは「x^2+(k-2x)^2=1をみたす実数ｘが存在すると同時にｋも存在する」と言い換えてもよいのでしょうか？
No.17376 - 2012/04/12(Thu) 00:59:39
☆ Re: 同値な言い換え / X
見る角度を変えて最初から考えてみましょう。

この問題はx,yの連立方程式
x^2+y^2=1 (A)
2x+y=k (B)
が実数解の組(x,y)を持つときのkの最大値を求める
ことと同値です。
連立方程式の解法の基本は1文字消去ですが、例えば(B)を
y=k-2x (B)'
と変形して(A)からyを消去してxの二次方程式
x^2+(k-2x)^2=1 (C)
を導いたとき、(C)が実数解を持てば、(B)'によりyも
実数になります。
従って、(C)が実数解を持つ条件のみを考えれば
問題ありません。
No.17390 - 2012/04/13(Fri) 00:05:02
☆ Re: 同値な言い換え / がるがる
(C)が実数解を持てば、(B)'によりyも
実数になります。
とありますが
kを実数としてよいのはなぜですか？それが問題なのです。
No.17400 - 2012/04/14(Sat) 19:32:43
☆ Re: 同値な言い換え / ast
この問題では, 実数 k は (具体的な値は未知でも) 所与だからです. 何だか分からないけれど一つ k の値を (無作為に) 決めたところで, そのような x, y の存在を問題にします. 言い換えれば「実数 k の存在」は議論の前提であり, 疑問を持つ余地がありません.
No.17413 - 2012/04/16(Mon) 08:03:06
★ 高三　微分積分 / れいひゃー
次のことが成り立つことを証明しろ

y=x√(1+x^2)　　のとき　　(1+x^2)y´´＋xy´＝４y



何度やっても　左辺＝右辺　となりません
教えて下さいお願いします
計算過程もおしえてくださるとありがたいです；
No.17373 - 2012/04/11(Wed) 18:07:06
☆ Re: 高三　微分積分 / ヨッシー
√(1+x^2)＝(1+x^2)^(1/2) なので、これの微分は、
　(1/2)(1+x^2)^(-1/2)・(2x)＝x(1+x^2)^(-1/2)
よって
ｙ’＝(1+x^2)^(1/2)＋x^2(1+x^2)^(-1/2)

(1+x^2)^(-1/2) の微分は、
(-1/2)(1+x^2)^(-3/2)・(2x)＝-x(1+x^2)^(-3/2)
よって、
ｙ”＝x(1+x^2)^(-1/2)＋2x(1+x^2)^(-1/2)-x^3(1+x^2)^(-3/2)
　＝3x(1+x^2)^(-1/2)-x^3(1+x^2)^(-3/2)

以上より、
(左辺)＝3x(1+x^2)^(1/2)-x^3(1+x^2)^(-1/2)＋x(1+x^2)^(1/2)＋x^3(1+x^2)^(-1/2)
　＝4x(1+x^2)^(1/2)＝４ｙ
となります。
No.17374 - 2012/04/11(Wed) 19:03:04
☆ Re: 高三　微分積分 / れいひゃー
なるほど、やっと納得できました
とても助かりました！
ありがとうございます＾＾
No.17381 - 2012/04/12(Thu) 17:18:45
★ 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2
(1)座標平面上の原点に点Aが固定されている。2点B、Cが以下の条件を満たしながら動くとき、点Bの軌跡を求めなさい。

条件：3点A、B、Cは∠Aが直角である直角二等辺三角形で、点Cは(0,10)を中心とする半径1の円周上を動く。

(2)(1)で原点に固定されていた点Aを、原点を中心とする半径1の円周上で動かすとき、点Bの軌跡を求めなさい。

(1)でB(x,y)、C(cost,sint+10)とおいてAB:AC:BC=1:1:√2の連立方程式を解こうとしたんですが無理でした。Cが円周上を動くときBも何かの円周上を動くような気がするんですが、どうやって示せばいいのかわからないです。教えてください。よろしくお願いします。
No.17372 - 2012/04/11(Wed) 16:14:42
☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / ヨッシー
点Ｃを点Ａを中心に90°回転させると点Ｂになります。
点（ｘ、ｙ）を原点周りに90°回すと（−ｙ，ｘ）または（ｙ，−ｘ）になります。
前者が反時計回り、後者が時計回りです。

点Ｃを(cosｔ，sinｔ＋10) とおくと、
反時計回りの場合
　点Ｂは(x,y)＝(−sinｔ−10，cosｔ) と書け、
　sinｔ＝-x-10，cosｔ＝ｙ　より
　(x+10)^2＋y^2＝１　という円になります。
時計回りの場合
　点Ｂは(x,y)＝(sinｔ＋10，−cosｔ) と書け、
　sinｔ＝x-10，cosｔ＝−ｙ　より
　(x−10)^2＋y^2＝１　という円になります。
No.17375 - 2012/04/11(Wed) 22:24:16
☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2
御回答ありがとうございます。

＞点（ｘ、ｙ）を原点周りに90°回すと（−ｙ，ｘ）または（ｙ，−ｘ）

これは二直線の垂直条件が傾きの積=-1なので、y/xの傾きと積が-1になるものを考えると、それは-x/yまたはx/(-y)のどちらかになるからということでしょうか？それとも公式なんですか？

(1)の解き方はよくわかりました。(2)ですが、(1)でわかったことは、線分の片方の端が円周上を動くならもう片方の端も円周上を動くということなので、Aを円周上で動かしたら(1)で考えた円全体がやはり何かの円周上に沿って動くのでしょうか？AもCも動くので、どういう図を描けばいいのかわからないです。こちらの方も教えていただけないでしょうか？お願いします。
No.17377 - 2012/04/12(Thu) 02:05:20
☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / ＿
：傾きの積が-1
たとえば回転角が45°などであれば巧く行かなかったところですが、この問題の場合はその考え方でも合っています(ただし、原点からの距離に関する考察もお忘れなく)。

一次変換を習っていれば、回転行列を使って変換して機械的に処理するだけなのですが、まだ習っていないのならこう考えてみるのはどうでしょう。

原点ではない点(x,y)は、適当な実数r(r＞0)、とθ(0°≦θ＜360°)を用いて、(rcosθ,rsinθ)と表せます。このあたりは、C(cost,sint+10)とおけることが分かっているならすぐ理解できることと思います。

そうすると、この点を原点を中心として±90°回転させた点は(rcos(θ±90°),rsin(θ±90°))となります。あとはこれを加法定理でバラすなり三角関数の定義を考えてみるなりすれば、(干rsinθ,±rcosθ)=(干y,±x)となります。

(1)で分かったこととして挙げていることは、なかなか鋭いのですが、もうちょっと掘り下げられます。新たにできた円周の中心と半径はどのようになりますか？

そして、AもCも動くので、確かに同時に動かすと混乱します。そういうときは、1つずつ順番に動かせばいいのです。つまり、Aが定点の場合、Cはどのような軌跡を描くでしょう。そしてその後、Aが動いたらCの描いていた軌跡はどのような軌跡を描くでしょう？　ということです。

こんな感じで。
No.17379 - 2012/04/12(Thu) 05:44:23
☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2
図を添えての回答をしてくださってありがとうございます。
ですがなかなか理解が進まないです^^;

加法定理は未習でしたが、少し予習してみました。これは座標を60°や30°回転させたときの座標を求めるのに利用するんでしょうか？


＞新たにできた円周の中心と半径

(1)において、Aが原点にあるときはBは中心(±10,0)、半径1の円周上を動きます。Aを原点を中心とする半径1の円周上の1点(cosu,sinu)に一致するように図形全体を平行移動させると、Aが固定された状態で、Cが(0,10)を中心とする半径1の円周上を動くと、Bは(cosu±10,sinu)を中心とする半径1の円周上を動くことになると思いますが、ここから先、(1)のようなsin、cosの文字消去ができず計算がどうしても進まないです。どうしたらよいのでしょうか？教えてください。お願いします。
No.17396 - 2012/04/13(Fri) 16:18:27
☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / ヨッシー
まず、直角に曲がることのとらえ方ですが、
ある点Ｃから　ｘ方向にｓ，ｙ方向にｔだけ進むと、
点Ａに行き着くとき、（これを (s,t) 進むということにします）
点Ａから、(t,-s) または、(-t,s) 進んだ点Ｂを考えると、
∠ＣＡＢ＝90°、ＡＢ＝ＡＣ　となります。
これは、座標平面上で、確認できます。

ここからが(2) の説明ですが、
Ｃ(cosｔ, sinｔ＋10) が動点で、Ａ(cosｕ，sinｕ) が定点とします。
ＣからＡまでは、(cosｕ−cosｔ, sinｕ−sinｔ−10) だけ進むので、
そこから、(sinｕ−sinｔ−10, cosｔ−cosｕ) または
(10−sinｕ＋sinｔ, cosｕ−cosｔ) 進んだ点が点Ｂとなります。

ここでは、(sinｕ−sinｔ−10, cosｔ−cosｕ) 進んだ場合について
解いてみます。
点Ｂの座標は、(cosｕ＋sinｕ−sinｔ−10, sinｕ＋cosｔ−cosｕ)
と書けます。
これを、
　ｘ＝cosｕ＋sinｕ−sinｔ−10
　ｙ＝sinｕ＋cosｔ−cosｕ
とおいて、
　sinｔ＝−ｘ＋cosｕ＋sinｕ−10
　cosｔ＝ｙ−sinｕ＋cosｕ
より、ｔを消去すると、
　(ｘ−cosｕ−sinｕ＋10)^2＋(ｙ−sinｕ＋cosｕ)^2＝１
のように、
　(cosｕ＋sinｕ−10, sinｕ−cosｕ)中心で、半径１の円になります。

半径１は固定であるので、今度は、中心座標
　(cosｕ＋sinｕ−10, sinｕ−cosｕ)
が、ｕに連れてどういう動きをするかという話になります。
これも、ｘ＝cosｕ＋sinｕ−10, ｙ＝sinｕ−cosｕ より
　ｘ＋１０＝cosｕ＋sinｕ　と　ｙ をそれぞれ２乗して足してみましょう。
No.17397 - 2012/04/13(Fri) 17:09:10
☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2
大変お詳しく教えてくださってありがとうございました。無事に円の方程式が出せました。今度は幾何的な考察に挑戦してみます^^/

このたびはご親切にありがとうございました。
No.17402 - 2012/04/15(Sun) 00:03:53
★ 微分法 接線の方程式 / まっちょ

曲線y=x^2-2x上の点(3,3)における
接線の方程式は何か。

この問題の解説を見ると、
y'=2x-2から、…
と書かれているのですが、
このy'とはどこから
でてきたものなのですか？


No.17364 - 2012/04/09(Mon) 18:33:59
☆ Re: 微分法 接線の方程式 / ヨッシー
y=x^2-2x を x で微分して得られます。
No.17365 - 2012/04/09(Mon) 18:42:55
☆ Re: 微分法 接線の方程式 / まっちょ

なるほど、
ありがとうございます！
No.17367 - 2012/04/09(Mon) 23:03:19
★ 証明の仕方 / unknown
>
> 数学プリントの四角１番の問題。
>
> 点Pは、直線y=ax(a>o)上を自由に動く点である。
> 点Pからx軸、y軸に下した垂線の足をそれぞれA、Bとする。
> 点Pから直線ABに下した垂線の足をQとすると、点Qはどんな図形上にあるかを答え、証明しなさい。
No.17361 - 2012/04/09(Mon) 07:32:09
☆ Re: 証明の仕方 / 君
それ問題として成り立ってないですよ
No.17362 - 2012/04/09(Mon) 08:13:26
☆ Re: 証明の仕方 / ヨッシー
点Ｐが原点にあるとき、点Ｑも原点にあると、定義することにします。

点Ｐの座標を（ｔ，ａｔ）とします。ただし　ｔ≠０。
Ａ、Ｂの座標は、それぞれ （ｔ，０）、（０，ａｔ）であり、
ＡＢを通る直線の式は、ｙ＝−ａｘ＋ａｔ　・・・(1)
点Ｐを通り、(1) に垂直な直線の式は、
　ｙ＝(1/a)(ｘ−ｔ)＋ａｔ　・・・(2)
(1)と(2) の交点は、両者を連立して解くと、
　ｘ＝ｔ/（１＋ａ^2）、ｙ＝ａ^3ｔ/（１＋ａ^2）
ｔを消去すると、ｙ＝ａ^3ｘ。
これは、ｔ＝０ の場合も、満たすので、
　ｙ＝ａ^3ｘ

証明としては、練りきれていませんが、だいたいこんな感じです。
No.17363 - 2012/04/09(Mon) 12:51:23
★ 記述の仕方 / Xex (新高3)
いわゆる「逆が成り立つことを示す」「増減表を書く」といった特殊な記述が必要な問題にはどのような問題があるのでしょうか?(分野でお願いします)
またどうして示す(書く)必要があるのですか?
記述が雑だと言われて困ってます…
No.17357 - 2012/04/08(Sun) 22:10:50
☆ Re: 記述の仕方 / angel
> 〜といった特殊な記述

いや、それ、別に特殊ではないので。
「特殊」だと思ってしまう時点で、多分認識に大きなずれがあります。

> またどうして示す(書く)必要があるのですか?
多分、一般論でどうこう言うことはできるのですが、それだと納得できないのではないかな。
なので、
> 記述が雑だと言われて困ってます…
「雑」だと言われた解答、もしくは答え合わせをしたら、色々記述が不足してそうな解答、そういったものを具体的に1,2例挙げて貰ったほうが、こちらも具体的な指摘がし易いし、まだ納得できるのではないかと思います。
No.17358 - 2012/04/08(Sun) 23:34:51
☆ Re: 記述の仕方 / ハオ
増減表についてですが微分した数だけ増減表を用意すれば問題無いかと思います。
No.17415 - 2012/04/16(Mon) 21:56:51
★ 添削してください / HG
有理数x,yは3つの最大公約数が1である整数a,b,cを用いて
x=a/c,y=b/cとおくことができる。
このことを証明せよ。

(自分の解答)
p,q,r,s,kを整数とし（p≠0,r≠0,k≠0)、gcm(p,q)=1,gcm(r,s)=1、
x=q/p , y=s/r　とおく。
p=krのときはc=kr,q=ka,s=b とすればよい。
q=kpのときはc=kp,q=a,s=kb とすればよい。
それ以外のとき、
x=qr/pr,y=sp/rpだからc=pr,a=qr,b=spとすればよい。

どこか間違っているところがあれば指摘して下さい。
それと、もっと簡潔に書けるなら、
どう書けばよいか詳しくお願いします。
No.17349 - 2012/04/08(Sun) 14:32:59
☆ Re: 添削してください / らすかる
間違っているところ：問題
No.17352 - 2012/04/08(Sun) 18:37:47
☆ Re: 添削してください / HG
大学への数学という問題集に書いてあったので、
間違ってないとは思うのですが…
最も、「示せ」という問題ではなく、これを自明として
円x^2+y^2=3　上に有理点がないことを示す解答が
書かれていました。
No.17353 - 2012/04/08(Sun) 20:48:25
☆ Re: 添削してください / らすかる
最初が「有理数x,y,zは」なのに
最後が「x=a/c,y=b/cとおくことができる」となっていて
最初の「z」が意味不明ですが、
それでも問題は正しいのですか？
No.17354 - 2012/04/08(Sun) 20:54:42
☆ Re: 添削してください / HG
失礼しました。編集しましたので
それで見て下さい。
No.17355 - 2012/04/08(Sun) 20:59:43
☆ Re: 添削してください / らすかる
(1)
「p,q,r,s,kを整数とし … x=q/p , y=s/r　とおく。」
は順番が逆です。与えられたx,yに対して証明する問題ですから
「x,yは有理数なので x=q/p, y=s/r （…）とおける。」
のようにしないとまずいです。

(2)
「p=krのときはc=kr,q=ka,s=b とすればよい。」
c=kr,q=ka,s=b とすると
x=a/c=q/(kp), y=kb/c となって合いません。

(3)
「q=kpのときは」は「r=kpのときは」の誤りだと思います。

上の三つは本質的な誤りではありませんが、
もう一つ重大な間違いがあります。

例えばx=5/6, y=4/9 のとき
p=krでもr=kpでもありませんので
c=pr=54,a=qr=45,b=sp=24となりますが、
これは「最大公約数が1」に反しています。
また、q=0やs=0の場合が考慮されていません。
No.17356 - 2012/04/08(Sun) 21:16:21
☆ Re: 添削してください / HG
どなたか解答をお願いします。
No.17370 - 2012/04/11(Wed) 08:45:59
☆ Re: 添削してください / らすかる
> 有理数x,yは3つの最大公約数が1である整数a,b,cを用いて
> x=a/c,y=b/cとおくことができる。
> このことを証明せよ。

の解答ですか？ それなら、

x,yは有理数なので分数で表せるから、通分してx=A/C, y=B/Cと書ける。
A,B,Cの最大公約数をgとしてa=A/g, b=B/g, c=C/g とすれば題意を満たす。
No.17371 - 2012/04/11(Wed) 14:02:04
★ (No Subject) / エイトです。
初めまして。ヨッシー先生。
中学３年生のエイトです。
反射角、入射角について教えて下さい。合同、相似、三平方の定理は習っていて分っているつもりです。ですがこの問題が解けませんどうか教えて下さいよろしくお願いします。
Ｒの座標はもちろん（０　２）です。イとウの問題の解き方
を教えて下さい。
No.17347 - 2012/04/08(Sun) 12:26:49
☆ Re: / ヨッシー
図において、●はすべて30°です。

対頂角、錯角、入射角・反射角 等を使っています。

Ｒからｘ軸とのなす角30°(傾き 1/√3) の直線と
Ｌのグラフの交点がＱとなります
No.17350 - 2012/04/08(Sun) 14:49:56
☆ Re: / エイトです。
ありがとうございました。
(ｲ)の答えは　ｙ=√3／3　x　＋2
(ゥ)の答えは　(3＋2√3)／2　　　
になりました。

解決できて、うれしいです！　　　　　
　　　　　
No.17351 - 2012/04/08(Sun) 16:29:25
★ 円周上の有理点 / HG
x^2+y^2=３を満たす有理数x,yは存在しないことを示せ。

という問題の解答で
-------------------------------------------------------
ｙ＝m/n（ｍとｎは互いに素な整数。もちろんｎは０でない）
とおく。

ｘ＾２＝３−ｙ＾２＝（３ｎ＾２−ｍ＾２）/ｎ＾２
ｘ＝√｛（３ｎ＾２−ｍ＾２）/ｎ＾２｝＝√（３ｎ＾２−ｍ＾２）/ｎ
分母は整数なのでｘが有理数であるためには
分子は有理数（もっと言えば整数）
√（３ｎ＾２−ｍ＾２）＝ｋ（ｋは整数）とおく。
ｍ＾２＋ｋ＾２＝３ｎ＾２
右辺が３の倍数だからｍ，ｋは両方とも３の倍数（証明略）
ｍ＝３Ｌ、ｋ＝３Ｊとおいて整理するとｎも３の倍数。
これは最初の仮定ｍ，ｎが互いに素に反するので
命題は証明された。
------------------------------------------------------

とあったのですが、
＞分母は整数なのでｘが有理数であるためには
＞分子は有理数（もっと言えば整数）
のところがよく分かりません。
√（３ｎ＾２−ｍ＾２）/ｎの分子が有理数にならなければならないのは分かるのですが、
そこからなぜ整数でなければならないことが導かれるのでしょうか？
No.17345 - 2012/04/08(Sun) 10:32:36
☆ Re: 円周上の有理点 / らすかる
√(整数) が有理数であれば必ず整数だからです。
√n=p/q (p,qは互いに素)とおいて両辺を2乗すれば
q=1であることが示せます。
No.17346 - 2012/04/08(Sun) 11:17:15
☆ Re: 円周上の有理点 / HG
気付きませんでした。
ありがとうございました。
No.17348 - 2012/04/08(Sun) 12:44:36
★ ☆数量関係のグラフの問題 / 夕凪
ヨッシー様、こんばんわ。

いつも丁寧に解説どうもありがとうございます(o^-^o)

また行き詰ったので、ヒントか解説よろしくお願い致します。

★わかるところまで、考えてみました。

家を出発してＸ分後に引き返すとします。

引き返すまでの距離を出しました。時速４ｋｍ×　X／６０＝４X／６０

ここで解らないのは、文章中の「同じ速さで走って学校に行った」の同じ速さは、時速８ｋｍの事ですか？それとも、最初の時速４ｋｍでしょうか？

時速８ｋｍと考えたとして、家を再出発してから引き返した時点までの時間を求めてみました。４Ｘ／６０÷８／６０＝４Ｘ／８＝０．５Ｘ分

引き返したところから学校までかかった時間　（２−４Ｘ／６０）÷８ｋｍ

ここから、ちょっと解りません(>.<)。

どうか解説よろしくお願い致します。

No.17340 - 2012/04/07(Sat) 21:14:28
☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / angel
> ここで解らないのは、文章中の「同じ速さで走って学校に行った」の同じ速さは、時速８ｋｍの事ですか？それとも、最初の時速４ｋｍでしょうか？

それはとても良い疑問ですが、同時におしい所です。
実は、2つの点から、時速8kmしかありえないことが分かります。

・前の表現で「時速4kmで歩いて」「時速8kmで走って」とあるところ。
　「同じ速さで走って」を時速4kmと考えるのは日本語としておかしいので、時速8kmだと推測できます。

・時速4kmで行ったのでは大幅な遅刻になってしまうところ。
　家に戻ってから ( いつもと同じ ) 時速4kmで学校に行ったとすると、家〜忘れ物に気づいた地点の往復と、忘れ物を家で捜したであろう5分、これらの合計分まるまる遅れてしまいます。
　実際にはたった5分しか遅れていないため、時速8kmで学校に向かったと判断できます。
No.17342 - 2012/04/08(Sun) 00:42:05
☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / angel
さて、上で挙げた2点の内、後者に気づくと、同時に家を再出発したタイミングが分かるはずです。
つまり、普段は学校→家で30分かかるところ15分で走って、結局到着が5分遅れということは…?
ちょうど、グラフを後ろの方から描いていくような要領だと思ってください。

最終的には、家を出て、忘れ物に気付いて、また家に戻るまでで計15分、内訳は忘れ物に気付くまでが10分、戻るのに5分ということが分かります。この10分・5分という数字は、Xを持ち出して方程式を作って計算しても良いですし ( 中学生以上ならそれが標準 )、「比」の考え方を使っても良いです。( 「比例配分」という計算になります )
No.17343 - 2012/04/08(Sun) 00:52:36
☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / 夕凪
angel様ー、はじめまして(o^-^o) 。

すごく丁寧に解説どうもありがとうございました(*^.^*)。

家に戻ってから学校には、時速８ｋｍで行ったのは、納得がいきました。

それで、ここまで解いてみたのですが、もうちょっとってところで、解りません(>.<)。

いつもは、２ｋｍを時速４ｋｍで行くので、２÷４／６０（分速）＝３０分


この日は、２ｋｍを時速８ｋｍで行くので、２÷８／６０（分速）＝１５分


これから、家から忘れ物に気付いた時点まで時速４ｋｍで行った時間＋忘れ物に気が付いた時点から時速８ｋｍで家まで戻った時間＝１５分、

この１５分がこの日は、余分にかかったという事ですか？


時速４ｋｍと時速８ｋｍを比例配分すると、２：１


家から時速４ｋｍで忘れ物に気が付いた時点までの時間は、１５分×２／３＝１０分

この１０分に家にいた５分を足さないといけないのですか？

また、宜しければ、解説どうかよろしくお願い致します。
No.17359 - 2012/04/09(Mon) 01:02:52
☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / ヨッシー
最初に家を出た時刻を 0:00 とすると、
いつもは 0:30 に学校に着く。
この日は 0:35 に学校に着いた。
この日２度目に家を出たのは、0:20 である。
忘れ物を取りに家に着いたのは、0:15 である。

この 0:00 から 0:15 の15分間に、同じ距離を
歩いて進んで、走って戻っています。
速さの比は４：８＝１：２ なので、時間はその逆比で
　歩いている時間：走っている時間＝２：１
です。つまり、
0:00〜0:10　学校に向かって歩いている
0:10　忘れ物に気付いた
0:10〜0:15　走って家に向かっている
という時間配分になります。
No.17360 - 2012/04/09(Mon) 06:53:03
☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / 夕凪
ヨッシー様、こんばんわ(o^-^o) 。

解説どうもありがとうございます(*^.^*)。やっと意味が解りました。

０時に家を出たとすると、０時１０分に忘れ物に気付いて、
時速８ｋｍで家まで引き返した時が０時１５分、そこで家にいた５分を足すから、再出発したのは、０時２０分になるんですね。そこから２ｋｍで時速８ｋｍ（１５分）かかるので、到着は０時３５分となるんですよね？

時間は、時速４ｋｍと時速８ｋｍの速さの比の逆になるのもわかります。

ほんとにどうもありがとうございました。

いっぱい解いて勉強します(*^.^*)。
No.17366 - 2012/04/09(Mon) 21:27:57
★ 関数 / 受験生
教えてください。お願いします。

実数を係数とする3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が異なる実数解をもつとする。このときa>0,b>0ならば、少なくとも２つの実数解は負であることを示せ。
No.17332 - 2012/04/06(Fri) 23:06:22
☆ Re: 関数 / らすかる
a＞0,b＞0ならばx^3,ax^2,bxはすべてx≧0で単調増加だから
x^3+ax^2+bxも単調増加、よってx≧0のときx^3+ax^2+bx=-cの解は高々1個。
No.17334 - 2012/04/07(Sat) 02:17:17
☆ Re: 関数 / X
らすかるさんの方針に比べるとかなり泥臭いですが
別解を。

別解)
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
と置くと
f'(x)=3x^2+2ax+b
題意からy=f(x)とx軸との交点は少なくとも２つなければ
なりませんので、f(x)は極大値、極小値を持ちます。
よってxの方程式f'(x)=0は異なる実数解を二つ持つことになります。
ここでf'(x)=0の解をp,q(p＜q)とすると解と係数の関係から
p+q=-2a
pq=b
これとa＞0,b＞0により
p＜0,q＜0 (A)
一方f(x)=0の３つの実数解(重解は同じ値の解が２つある
とみなします)のうち、小さい方の二つを
α、β(α≦β)とすると
α≦p≦β≦q (B)
(A)(B)より
α≦β＜0
ですので問題の命題は成立します。
No.17335 - 2012/04/07(Sat) 02:27:35
☆ おまけ / angel
ちょっと解答としては使い辛い話ですが、グラフとして考えることもできます。

まず、「異なる(3)実数解を持つ」という条件から、y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c のグラフの概形が分かります。( 添付図の左上 )

加えて、a＞0, b＞0 は、f'(0)＞0 かつ f''(0)＞0 を意味しますから、x=0 というのが添付図の紫の範囲に含まれることが分かります。( 添付図の左下、および中央 )

そうすると、負の実数解を2〜3個持つパターン、つまり、3次関数のグラフと x軸の負の部分との共有点が2〜3個のパターンしかない事が分かる、ということになります。( 添付図の右 )
No.17339 - 2012/04/07(Sat) 11:58:59
☆ Re: 関数 / 受験生
返事が遅れて申し訳ございません。
みなさん分かりやすい回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。
No.17409 - 2012/04/15(Sun) 22:44:03
★ 確率 / よる
pを0≦ｐ≦１なる定数とする。図のように4つの点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを5本の線分で結ぶ。各線分が青で塗られる確率はｐ、赤で塗られる確率は1-pであり、各線分はこれらの確率に基づいてあらかじめ青または赤のいずれか一方の色で塗られている。
（１）点Ｂを出発して赤い線分を通らないで青い線分のみを通って点Ｃへ行く事ができる確率を求めよ
（２）点Ａを出発して、赤い線分を通らないで、青い線分のみを通って点Ｄへ行く事ができる確率を求めよ。

※図はひし形ＡＢＤＣがあり、5本の線分とはＡＢ，ＢＤ，ＤＣ，ＣＡ，ＢＣのことです。

答えが合わなくて困っています

自分が作った解）
（１）適するもののうち
5線分のうち
1つの線分が青なのは1通り
２つの線分が青は6通り
3つの線分が青なのは１０通り
4つの線分が青なのは４通り
5つの線分が青なのは１通り
よって
１−ｐ＝ｑとして
求める確率は
pq^4+p^2q^3+10p^3q^2+4p^4q+p^5
（２）同様にして
2p^2q^3+8p^3q^2+5p^4q+p^5

まず式があっているか教えてください
No.17327 - 2012/04/05(Thu) 23:04:27
☆ Re: 確率 / ＿
残念ですが間違っています。数え上げのミスですね。
(1)は4本の線分が青である場合、(2)は3本の線分が青である場合をそれぞれ数え直してみてください。

なお、余事象から考えるのも有効だと思います。
No.17329 - 2012/04/06(Fri) 04:58:04
☆ Re: 確率 / よる
（１）pq^4+p^2q^3+10p^3q^2+５p^4q+p^5で合ってますか？
（２）
ん〜５つの線分のうち3本が青なのは５Ｃ２＝１０通りでそのうち8個が適する、で合っていると思うのですが・・・（適さない2通りというのは
ＡＢ，ＡＣが赤のケースとＢＤ，ＢＣが赤のケースの2通りです。

よろしくおねがいします
No.17331 - 2012/04/06(Fri) 22:58:52
☆ Re: 確率 / ＿
うひゃ、そうですね。(2)は私がミスってました。計算して紙に書いたものを読み取るときに何か間違えていたみたいです。

で、(1)はその通りです。とはいえ、2本の線分が青である場合を式に落とすときにミスがありますね。一応書いておきます。
No.17333 - 2012/04/07(Sat) 00:25:40
☆ Re: 確率 / よる
(1)(2)は結局pq^4+p^2q^3+10p^3q^2+５p^4q+p^5
2p^2q^3+8p^3q^2+5p^4q+p^5で合っているのでしょうか？
No.17336 - 2012/04/07(Sat) 04:22:00
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(2) は正しいですが、(1) が違います。No.17333 の記事の、
「2本の線分が青である場合を式に落とすときにミスが」が反映されていませんし、
数え間違いもあります。

ＡＣとＢＤは、立体交差と解釈しました。（図の※は、ＡＤは行けない）

たかだか32通りなので、書き上げてみました。
No.17337 - 2012/04/07(Sat) 07:44:38
☆ Re: 確率 / よる
ここまでしてもらって本当に申し訳ないのですが、問題文にあるようにひしがたＡＢＣＤではなくＡＢＤＣなのです。。ひしがたＡＢＤＣがあって線分ＢＣがひしがたＡＢＤＣを二等分しているのです。。
No.17341 - 2012/04/07(Sat) 23:28:07
☆ Re: 確率 / ヨッシー
失礼しました。

ただ、引かれている線分に変わりはないので、場合の数も同じになります。
No.17344 - 2012/04/08(Sun) 08:06:51
☆ Re: 確率 / ＿
ひし形の形状自体は、どっちでも
「Aは直接B,Cと繋がっていて、Bは直接A,C,Dと繋がっていて、Cは直接A,B,Dと繋がっていて、Dは直接B,Cと繋がっている。」という関係自体には変わりはないので本質的には同じ事なのはヨッシーさんも仰っているとおりです。この点において、よるさんの指摘はちょっと的を外しています。

ただし、問題文は(1)BからCへ〜であって、BからDへ〜ではないです。この点、ヨッシーさんがミスリードされているのではないでしょうか。

No.17336のよるさんの投稿で間違っているのは、No.17333にて私が言及した、式に落とすときのミスのみであろうと思います。
No.17368 - 2012/04/11(Wed) 03:32:00
☆ Re: 確率 / ヨッシー
重ね重ね失礼しました。
No.17369 - 2012/04/11(Wed) 06:34:57
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