ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限値とは / がうちゃん

次の極限値を求めよ
(1)lim(x→∞）log(ax+b)/logx(a,b>0)

解
lim(x→∞）{(log(ax+b)/logx)-1}
=lim(x→∞）{log(a+b/x)/logx}=0より
lim(x→∞）log(ax+b)/logx＝１・・答

合ってるかどうか、不備があればご指摘お願いします
よろしくお願いします

No.17114 - 2012/03/03(Sat) 21:07:16

☆ Re: 極限値とは / シャロン

正しいとおもいます。

No.17116 - 2012/03/03(Sat) 22:24:04

☆ Re: 極限値とは / がうちゃん

an=log(ax+b)/logx),bn=1として
lim(x→∞）(an-bn)=0・・?@
lim(x→∞）an=lim(x→∞）bn・・?A
lim(x→∞）bn＝lim(x→∞）１＝１より
lim(x→∞）an=1・・答え
という流れで答えを出していると思うのですが
lim(x→∞）an、lim(x→∞）bnがそれぞれ収束するという条件がなければ?@から?Aににはできない（lim(x→∞）an、lim(x→∞）bnがそれぞれ収束するという条件の元でしか?@→?Aへとできない）と思うのですが。

No.17117 - 2012/03/04(Sun) 00:40:39

☆ Re: 極限値とは / らすかる

lim[x→∞](a[x]-1)=0 ならば
lim[x→∞]1=1 を加えて
lim[x→∞]((a[x]-1)+1)=0+1=1 なので
lim[x→∞]a[x]=1 です。

No.17119 - 2012/03/04(Sun) 01:39:03

☆ Re: 極限値とは / がうちゃん

回答ありがとうございます。

うまい変形ですね。
lim(x→∞）{(log(ax+b)/logx)-1}＝０・・?@として
lim(x→∞）｛{log(a+b/x)/logx-1}+1＝０＋１＝１
より

lim(x→∞）{log(a+b/x)/logx｝＝１と書かなければ
ちゃんとした解答としてはまずいですか？

No.17129 - 2012/03/06(Tue) 10:15:56

☆ Re: 極限値とは / らすかる

そこまで細かく書く必要はありません。
冒頭の書き方で十分です。

No.17137 - 2012/03/06(Tue) 21:18:31

★ 座標平面 / kare

xy平面上の放物線ｙ＝ｘ＾2とｙ軸まわりに回転してできる回転面の容器がある。ｙ軸の正の向きを鉛直上向きにしてこの
容器に半径r（>0）の球を上からいれるとき、すき間ができるのは、r＞ア　のときで、球の中心のｙ座標はr^2+イ
接点のy座標はr^2-ウ　
（2）すき間の体積を求めよ。

ア～ウに入る数字と（２）をお願いします。

No.17104 - 2012/03/02(Fri) 18:52:01

☆ Re: 座標平面 / ast

対称性から, xy-平面で切ったときの切り口を考えれば十分です. また放物線の対称性と円(球の切り口)の対称性から, 円の(従って球の)中心は放物線y=x^2の対称の軸である y-軸上にありますので, それを Q:(0,q) とします.

隙間ができるのは円と放物線の接点が二つの場合ですが, 対称性からそのうちの第一象限にできる接点を A:(a,a^2) (a > 0) とすると, この接点での円と放物線の共通接線の傾きは 2a で, 円の性質によりこの接線が半径 QA に直交することから, Q は A を通り傾きが -(1/2a) の直線の y-切片であり, 従って q が a の式として表せます. a を 0 に近づければ, q は隙間ができない最大の半径「ア」に近づきます. また QA は円の半径ですから, その長さは r に等しく, このことから a を r で表すことができるので「イ」と「ウ」が出ます.

(2) は同じように xy-平面での切り口で, 円と放物線とy-軸が囲む図形を回転させれば隙間の形になるので, 回転体の体積の公式などを利用して求めます. 回転の軸が y-軸ですから, y-軸方向に積分する必要はありますが, 基本的に定石通り求められるはずです.

No.17110 - 2012/03/03(Sat) 01:59:53

☆ Re: 座標平面 / kare

ありがとうございます。

No.17113 - 2012/03/03(Sat) 16:33:53

★ 下に凸 / 追究する人

C：ｙ＝√（x^2+1)（ｘ≧０）上の点Pと原点Oを結ぶ直線とCが交わるということはないのでしょうか？Cはｙ＝ｘを漸近線にもつ双曲線ですが、Cの上昇の程度によっては交わりそうな気がするのですが。。

よろしくお願いします

No.17100 - 2012/03/02(Fri) 09:25:08

☆ Re: 下に凸 / シャロン

P(1,√2)を考えると、

OP:y=(√2)x

ここで、C上の点(0,1)はOPより上、(2,√5)はOPより下にある(∵√5＜√8=2√2)ので、OPはCと(接するのでなく)交わります。

No.17101 - 2012/03/02(Fri) 12:33:44

☆ Re: 下に凸 / 追究する人

解答有難うございます

質問の仕方が悪かったようです、つまり直線OPとCが２点で交わる事があるのか知りたいということです。

（P(1,√2)に限った話だと
√ｘ＝√（ｘ＾２＋１）⇔ｘ＝１より一点でしか交わらないようですが）

よろしくおねがいします

No.17103 - 2012/03/02(Fri) 18:46:27

☆ Re: 下に凸 / シャロン

ありません。

P(p,√(p^2+1)) (p＞0)とすれば、OP; y=((√(p^2+1))/p)xと表せます。

OPとCの交点のx座標をx(x≧0)とすれば、
((√(p^2+1))/p)x=√（x^2+1)
(1+(1/p^2))x^2=x^2+1
x^2=p^2
x=p (∵x, pは共に非負)
よって、p＞0の場合には、OPとCはPのみを共有します。

また、P(0,1)の場合は明らかにOP; x=0ですので、Pでのみ交わるのは明らかです。

よって、OPとCの共有点は、Pのみです。

>√ｘ＝√（ｘ＾２＋１）⇔ｘ＝１より一点でしか交わらないようですが）

(√2)ｘ＝√（ｘ＾２＋１）ですね？

No.17105 - 2012/03/02(Fri) 18:55:57

☆ Re: 下に凸 / 追究する人

解答有難うございます。

やはりそのように実際に解を求めないと分からないのでしょうか？ｙ＝ｘが漸近線であること、下に凸であること、などを利用して解を求めずに（割と視覚的に？）分かる方法はないのでしょうか？

よろしくお願いします

No.17106 - 2012/03/02(Fri) 20:21:08

☆ Re: 下に凸 / らすかる

「Cは下に凸」と「Cはy≦xと共有点を持たない」は既知とします。
Cが原点を通る傾きが正の直線と2点以上で交わったと仮定して、
そのうちx座標が最大のものをP、次に大きいものをQとします。
Cは下に凸なのでCのPQ間のグラフは直線OPより下にあり、
CのPより右の部分は直線OPより上にあります。
よって直線OPのPより右の部分はy=xより下にあり、矛盾します。

No.17108 - 2012/03/02(Fri) 20:44:26

☆ Re: 下に凸 / 追究する人

解答有難うございます

途中までは分かりましたが、最後の一行よって直線OPのPより右の部分はy=xより下にあり、矛盾というのがちょっと意味が分からないので、より詳しくお願いします。理解力が乏しくてすみません。よろしくお願いします

No.17111 - 2012/03/03(Sat) 15:25:27

☆ Re: 下に凸 / らすかる

CのPより右の部分が直線OPより上にある
→はるか遠くの右では、直線OPはCより下にある
→はるか遠くの右では、直線OPは漸近線より下にあるか漸近線と一致
　（漸近線より上なら、はるか遠くの右ではCより上になるから）
→直線OPははるか遠くの右でy≦xの部分に含まれるから、x＞0でy≦xの部分に含まれる
→よってx＞0でCとの共有点がない
となります。

No.17112 - 2012/03/03(Sat) 16:03:06

★ (No Subject) / ゾロ

ｘについての次の不等式の解を同値変形により求めよ
x≧√(x+1)
√（x＋1)≧ｘ－１
√(x^2-1)≧√（ｘ－２）
を解くのには『　』を自分で導かなければ解けませんが
『√A≧B⇔A≧０かつ（B<0またはA≧B＾２）
√A≧√B⇔A≧０、B≧０、A≧B』

『　』の導き方を教えてください

よろしくお願いします

No.17093 - 2012/03/01(Thu) 15:50:24

☆ Re: / ast

シャロンさんのNo.17049のご回答は問題ないと思うのですが, それには触れずに再度同内容でスレを立てたのは, 何かご不満があったということでしょうか. まあ前のスレでは不明瞭だったご質問の意図がより明確になった点は評価すべきところかもしれません.

上記の同値変形を「自分で導かなければ解けない」というのは, 少し違和感があります.

不等式を考える時点で, その両辺 (√A や B) が実数であることは暗黙の了解ですが大前提です. また, 平方根 (√A) が実数である時点で, 中身 (A) が非負であることも大前提ですし, 根号の約束として √A は正の実数の方だというのも, やはり大前提としてあります. つまり, √A ≥ B という式が意味を持つ時点で, これは本来的には (A ≥ 0 かつ √A ≥ 0 かつ √A ≥ B) と書いてあるはずのものだということです. 文脈について共通認識があるものとして省略してあるだけです. 省略してあった前提条件も, 議論の途中で必要があれば, その都度明示的に書きますが, それは導き出されたのとは違います.

そういった省略されている前提を除くと, そもそも本問で実質的に考慮すべきことは, "x ≥ 0 かつ y ≥ 0 のとき, x^2 ≥ y^2 ⇔ x ≥ y" という命題くらいで, 問題の設定からしてこの命題は「既知」(というか既習) と考える方が自然なように思われます (つまり, "導く"/"導かない" よりは知ってることに "気付く"/"気付かない" が問題になる場面じゃないのかという「違和感」).

閑話休題, 上記の命題は素直に書けば

(*)　[(x ≥ 0 かつ y ≥ 0) かつ x^2 ≥ y^2] ⇔ [(x ≥ 0 かつ y ≥ 0) かつ x ≥ y]

が成り立つというのを, 共通する "x ≥ 0 かつ y ≥ 0" を前提として切り出して見易い形に書いたものです.

ここで x=√A, y=B として, 最初に書いたいくつかの大前提も (*) の両辺に全部「かつ」で繋げるとほぼ『　』になります. 「ほぼ」というのは y=B が負のときが抜けているからですが, (Bが実数) ⇔ (B ≥ 0 または B < 0) なので, [(X または Y)かつ Z] ⇔ [(X かつ Z)または(Y かつ Z)] であることなどに注意して埋めればよいでしょう.

No.17097 - 2012/03/02(Fri) 04:29:13

☆ 証明 / ゾロ

「A≧√B⇔A≧０、B≧０、A^2≧B」
「√A≧B⇔A≧０かつ（B<0またはA≧B＾２）」
「√A≧√B⇔A≧０、B≧０、A≧B」
の３つの証明法について、最初の１つしか取り上げられなかったので残りの二つを質問させてもらいました。

A,Bは実数とする
√A≧Bの必要十分条件はA≧０かつ（B<0またはA≧B＾２）であることを示せ

√A≧√Bの必要十分条件はA≧０、B≧０、A≧Bであることを示せ。

という問題があります。分かる方、どなたか解答をお願いします。よろしくお願いします。

No.17099 - 2012/03/02(Fri) 09:21:04

☆ Re: / ast

ほぼ繰り返しになりますが, それらはいずれも本質的には
(*)　"x ≥ 0 かつ y ≥ 0 のとき, x^2 ≥ y^2 ⇔ x ≥ y"
という命題の特殊化 (要するに代入するだけで出てくるもの) でしかありませんので, 一つ説明すれば十分な (= 他も同じ論法で分かる) はずです (そのままだと抜けがある部分は前回のレスで指摘しました). この命題は既習のはずですし, 未習だったとしてもその証明はシャロンさんがNo.17049でやったことと同じですから, 少し我慢してこれまでの回答を手を動かしながら読み返して見られることをお勧めします.

また前のレスで「違和感」と書きましたが, 例えば √A ≥ B の場合, 何もかも "⇔" で繋ぐ必要は無くて (「または」は要するに「場合わけ」なので)

　[i] B < 0 のとき; 常に √A ≥ 0 だから, √A ≥ B は常に成り立つ.
　[ii] B ≥ 0 のとき; √A ≥ 0 かつ B ≥ 0 だから, 命題 (*) より √A ≥ B ⇔ A ≥ B^2.
　　[i][ii]をまとめて (√A ≥ B) ⇔ [B < 0 または (B ≥ 0 かつ A ≥ B^2)]
というような解答が自然であるように思われます (「命題 (*) より」の部分は具体的にシャロンさんがやったような解答で置き換えるかもしれませんが).

これでもちゃんと最後には最初の不等式と同値な表現が得られていますし, 最初の x に関する不等式を解けと言われれば, こういう形で解答を作成するほうが普通なように思うのです. なんというか『　』はかなり中途半端な一般化ですし, またやはり「同値変形で解く」という問題文や, 「同値変形を導かなければ」など, 不自然さというか同値変形という言葉に拘りすぎな印象を受けるというか, そのあたり気がかりです.

# 新しくスレッドを建てた理由は分かりましたが,
# 前のスレッドが話の途中で放り出されている状況はよくありません.
# 読んだことや新しいスレを建てる理由がわかるように
#「一つ分かったが未だ分からないことがある」とか
#「ずいぶんスレが下がってしまったから」など
# 一言沿えた上で「新しく書きます」などとして,
# 前のスレッドで話が終わったことを明示するようにした方がよいです.
# また, 新しい方でも, 新しくして続ける趣旨は
# 最初から書いておく方が, どういうことを求めているのかが
# 相手方に伝わって話をしやすくなるので,
# そういった手間をぜひ惜しまないでいただきたい.

No.17102 - 2012/03/02(Fri) 18:39:27

★ AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / zaki

大学入試の問題ですが、表記の都合上ベクトルの組み合わせとして見ます。
A=(p q r)
ベクトルｐ＝(9,-8,4),ベクトルｑ＝（4,-3,2),ベクトルｒ＝(8,8,-5)とし、Eを３次の正方行列とする。
（１）A^2-10A=-9Eであることを示せ（出来ました）
（２）AB=（s t u)・・?@
ベクトルｓ＝(-3,5,4),t=(4,-1,1),u=(-18,18,-9)
を満たす行列Bを求めよ。

で（２）は（１）の結果よりA(（-1/9)(A-10E))=Eより
A^-1=A-10Eと分かる。

よって?@の両辺の左からA^-1をかけて
B=　　　←答え

でやればいいのに
なぜか模範解答では
模範解答丸写し）
AB=Cとおくと
この両辺に左からA-10Eをかけると
（A-10E)AB=(A-10E)C
ここで（A-10E)AB=（A^-10A)B=-9EB=-9B
であるから-9B=(A-10E)C
よってB=-1/9(A-10E)C

という流れなのですがなぜこんな面倒くさい事をしているのでしょうか？

No.17076 - 2012/02/28(Tue) 14:46:26

☆ Re: AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / X

理由は特にないと思います。
敢えて言えば、解答者が計算過程で逆行列の記号を使いたくなかった
といったところでしょうか。
zakiさんの解答方針で一向に構わないと思います。

No.17077 - 2012/02/28(Tue) 17:26:05

☆ Re: AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / zaki

A,Bが２×２行列の時と３×３行列の時は「AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列」の証明は（高校の範囲で）同じ方法で出来ますか？

A,Bが２×２行列の時、３×３行列の時それぞれの場合について「AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列」の証明法を教えてください。

（参考）実は高校の範囲で（３×３行列A,Bについて）「AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列」の証明はできないから、模範解答のような解答方針を採っているのではないかと密かに睨んでいます

No.17078 - 2012/02/28(Tue) 20:09:39

☆ Re: AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / ast

高等学校学習指導要領　第4節　数学によると,
> 第7 数学C
> 2 内容
> （1）行列とその応用
> （ア）行列とその演算
> （イ）行列の積と逆行列
> 3 内容の取扱い
> （2）内容の（1）のアについては、3×3行列までを扱うものとする。
> ただし，逆行列の計算については、2×2行列にとどめるものとする。

ということで, 証明できないどころかそもそも扱っちゃダメという, ある意味想像通りの理由のようです (成分計算を除外してるだけで, zakiさんのやったような代数計算ならよいという判断はもしかしたらありうるかもしれないですが……). 入試でzakiさんのような解答をするとどうなんでしょう, 京大みたいなところだとお上がなんと言おうとマルにしそうですけど.

No.17082 - 2012/02/28(Tue) 22:50:33

☆ Re: AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / zaki

解答有難うございます

A,Bが２×２行列の時、３×３行列の時それぞれの場合について「AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列」の証明法を（高校の範囲で）教えてもらえないでしょうか？

No.17083 - 2012/02/29(Wed) 08:43:11

☆ Re: AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / ヨッシー

何が言えれば、
　「AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列」
が証明されたとお考えですか？
逆行列の定義そのもののように見えますが。

No.17091 - 2012/03/01(Thu) 07:04:54

☆ Re: AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / zaki

解答有難うございます

ん～AB=『BA=E』というところが「ちゃんとした」定義と違うと思うのですが
「AB=『BA=E』をみたすBをAの逆行列といい、B＝A^-1とかく」というのが逆行列の定義です

それでAB=E⇔AとBは互いに他の逆行列を示すとします

AとBは互いに他の逆行列⇒AB=E
を示す
A=B^-1かつB＾－１＝AならばAB=AA^-1=E
次に
AB=E⇒AとBは互いに他の逆行列
この後が分かりません

No.17092 - 2012/03/01(Thu) 08:27:41

☆ Re: AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列の証明 / ast

「3次正方行列の逆行列」という概念を考えただけで高校の範囲を出るので, それがはっきり述べられている「3×3行列の時AB=E⇔AとBは互いに他の逆行列」という (これ自体が高校範囲外になる) 命題を高校範囲で証明するのは不可能だということをNo.17082で書いたつもりなので, 少し面食らっています. No.17083の「（高校の範囲で）」はコピペで混入した書き誤りだったということなのか, あるいは「3次の逆行列」という概念を陽に出すことを回避した表現が思いつかなかっただけで, 実際には命題「AB=EならばBA=E」を高校範囲の内容だけで示せとでも言いたかったということなのか, どちらでしょうか?

前者ならば, 一般に有限次の正方行列 A に対して
　「AX=E または XA=E のいずれか一方が解を持てば他方も解を持ち, 解はそれぞれ一意的であって, かつ両者は互いに一致する」
という命題を次元に依らず一括して証明できます.

後者の場合, 本質的には前者の場合と変わりませんが, 実際に成分計算を (列ベクトルごとに分けて) やることになるでしょう. それは (実質的にはほぼ中学レベルの) 2元または3元の連立一次方程式を解くことに他なりません. すなわち, A = ((a,b,c);(d,e,f);(g,h,i)) (行ごとに表示) とするならば,
　ax + by + cz = 1,
　dx + ey + fz = 0,
　gx + hy + iz = 0.
を (x,y,z) について解き, 同様に右辺が上から (1,0,0) となっているのを (0,1,0), (0,0,1) に変えたものもそれぞれ解いて, 得られた三つの解ベクトルを横に並べれば AB=E なる B が具体的かつ一意に求まるので, BA を計算して E になることを確認すれば終了です (BA=E から AB=E を示す場合も原理的に同じ方法で出ます, 縦横ひっくり返りますが).
# 同じ論法を二次元に落とすのは容易でしょう. 二次元の場合だけでもご自身で実際にやってみつつ上の説明を読まれるとよいかと思います.

ただし, 二次の場合に「行列式 ≠ 0」という条件が必要になることは三次元でも (あるいはもっと次元が上がっても) 変わりませんし, 高次の行列式は二次の行列式 ad-bc ほどは易しい式にならないので, 手計算でごり押しするのは三次あたりでもきついと思われます. 大学初年度級の線型代数学で行列式の一般的な扱いを学べば, 余因子展開や余因子行列を使って見通しのよい議論ができます.

一つ言っておくと, No.17092 のような (成分に言及することの無い) ただの代数計算だけでは上記の命題は示せません. これは, 見かけ上同じ計算が通用するもっと抽象的な構造 (例えば, 無限次行列を考えただけでも) で反例が存在するからです. 従って何らかの意味で成分計算に言及する必要があります (有限次行列が持っている具体的な特徴として, 成分を持つことが挙げられるということです). なお, 似た命題の
　「AX=E および XA=E がともに解を持つならば, 解はそれぞれ一意でありかつ両者は一致する」
は代数計算だけで示せます.

あと,
> AとBは互いに他の逆行列⇒AB=E
> を示す
> A=B^-1かつB＾－１＝AならばAB=AA^-1=E
これは数学的に意味を成さない文になっていますので減点対象です. どういう意図の文章を書きたかったのでしょうか, 意図を説明してくれれば添削できるかもしれません.
> 「AB=BA=EをみたすBをAの逆行列といい、B＝A^(-1)とかく」
を定義とするならば, AB=Eは条件に含まれているので, 書くのであれば「示すべきことは何も無い」とか「AとBは互いに他の逆行列⇒AB=Eは自明」とかそんな感じのことを書きましょう. あまり軽々しく自明とか言うべきではないですが, しかし示すべきことが本当に無いのに無いと言うことができないというのは, そもそも「何をすべきかわかっていない」とか「自分が何を書いているかわかっていない」などということですから, 酷い場合は白紙よりも点が低くなるかもしれません.

No.17096 - 2012/03/02(Fri) 03:25:35

★ 数学の問題 / アシュリー

数学の問題が分かりません

aを正の実数とする。点(x，y)が，不等式 x^2≦y≦x の定める領域を動くとき，常に 1/2≦(x-a)^2+y≦2 となる。aの値の範囲を求めよ。
http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm08f3.htm
y=x^2の0≦x≦1の部分がy=-(x-a)^2＋(1/2)から上にこればよいので
(iii)0≦x≦1においてx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)
とありますが、このx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)
の式の意味がよくわかりません。
x^2=-(x-a)^2＋(1/2)のときも含んでいるのでこれは0≦x≦1の部分でy=x^2と交わってしまう可能性もあるんじゃないでしょうか？
どうしてx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)の式で「y=x^2はy=-(x-a)^2＋(1/2)より上にある。または接する」となるのでしょうか？

また、(i)(0,0)が?Eから下：0≦-(0-a)^2＋2とありますが、
これは図を見たら分かるように(0,0)が?Eより下あるいは?Eのグラフが(0,0)を通る場合の2つ満たす必要があります。
そこで?Eから下(※?E上も含む)の範囲の表し方というのは
y≦(x-a)^2-2・・・(Ａ)ですよね。
(0,0)がこの(Ａ)の範囲にあればよいとのことなので
(0,0)を(Ａ)にそのまま代入してやれば必要なaの条件が求まるという解釈でいいのでしょうか？
(1,1)のときも同じようにやってるとおもうのですが...
範囲を表す式に座標を代入するという作業をやったことがないのでどうもしっくりきません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17070 - 2012/02/28(Tue) 04:32:52

☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー

0≦x≦1においてx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)
というのは、0≦x≦1 の範囲にあるすべてのｘにおいて、
ｙ＝ｘ^2 のｙの値（図の赤丸のｙ座標）が、
ｙ＝-(x-a)^2＋(1/2) のｙの値（図の青丸のｙ座標)より
大きいか等しいと言うことです。

No.17071 - 2012/02/28(Tue) 06:42:46

☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー

y=x^2 と y=-(x-a)^2＋(1/2) が交わっている場合(図の右)は、
x^2=-(x-a)^2＋(1/2) だけではなく、青丸の方が赤丸より上にある、つまり
　x^2＜-(x-a)^2＋(1/2)
となるｘが出来てしまう状態で、これはＮＧです。
ただし、x^2=-(x-a)^2＋(1/2) だけであれば、図の左のように
接するだけなので、これはＯＫです。

＝(イコール)を含んでも良いかどうかは、最初の条件の
与えられ方によります。この問題では、
　1/2≦(x-a)^2+y≦2
なので、＝を含んでもＯＫです。これが
　1/2＜(x-a)^2+y＜2
であれば、＝を含んではダメです。

No.17072 - 2012/02/28(Tue) 07:09:41

☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー

図の青で網掛けをした部分（境界線も含む）が、
　y≦(x-a)^2-2・・・(Ａ)
です。(A) に含まれる点(0,0)(1,0) (2,-1) などを、この式に代入すると、
不等式は成り立ちます。
一方、(0,1)(1,2)(3,2) など(A)に含まれない点を(A)に代入しても、
不等式は成り立ちません。

別の見方をすると、
　ｙ＝(x-a)^2-2
の式に、ｘ＝０を代入したときのｙの値
　(0-a)^2-2
つまり、図の黄色の点のｙ座標よりも、０（＝(0,0) が示す点のｙ座標)
の方が下(または同一点)にありますよ、というのが、
　０≦(0-a)^2-2
の意味です。

No.17073 - 2012/02/28(Tue) 07:31:08

★ 重複組合せ？ / pisco

はじめまして。高3です。

m,nを与えられた自然数とするとき、方程式a_1+a_2+・・・+a_m=nを満たす非負整数(a_1,a_2,・・・,a_m)の組の個数は、重複組合せを使って、mHnと表せることは分かります。
質問したいのは、次の場合です。
上と同じ方程式において、任意のiについて、a_iが0以上k以下であるような(a_1,a_2,・・・,a_m)の組の個数Nをm,n,kで表したいんです。

解が存在するためには、n<=mkが必要ですから、この条件下で考えるものとします。もちろん、k<=nですから、結局、n/m<=k<=nです。
いろいろと考えましたが、k以下という条件が入るととたんに難しくなりました。重複組合せでうまくいかなくなるような気がして、混乱しています。どうか教えて下さい。

No.17064 - 2012/02/27(Mon) 00:28:56

☆ Re: 重複組合せ？ / らすかる

式は
Σ[i=0～m-1](-1)^i・(n+m-ik-i-1)Ｃ(m-1)・mＣi　（ただし a＜b のとき aＣb=0 とする）
となると思いますが、おそらくこれ以上簡単な式にはならないと思います。

No.17065 - 2012/02/27(Mon) 01:21:33

☆ Re: 重複組合せ？ / pisco

らすかるさん、返信して下さりありがとうございます。
書いていただいた式について質問させて下さい。この式は、どのように考えて導き出されたのでしょうか。ちょっと、考えましたが、分かりませんでした。
特に、(-1)~iが出てくるというのは、どういう背景があるのでしょうか。ぜひ、教えて下さい。
再質問となり、すみません。

No.17066 - 2012/02/27(Mon) 02:15:41

☆ Re: 重複組合せ？ / らすかる

この式は多分合ってはいますが、証明はしていません。
で、この式は昔出した
「サイコロをm個振って出た目の合計がnとなる場合の数」の式を変形したものです。
自分で導出したもので、うまい方法ではないかも知れません。
例えばサイコロ4個の場合、
nが1～9ならば単純に9個の○と3個の仕切りで(n-1)C3となりますね。
nが10以上になると、(n-1)C3から「7以上を含む場合の数」を引かなければなりません。
7以上を含むパターンは、7以上となった個所から6を引けば「4個で合計がn-6である
パターン」となり、7以上となる個所が4C1個所ありますので
(n-7)C3×4C1通りです。
よってn=10～15の場合は (n-1)C3-(n-7)C3×4C1 で求まります。
nが16以上になると、13以上の個所があり得ますので、さらに調整が必要になります。
これを続けると、
(n-1)C3-(n-7)C3×mC1+(n-13)C3×mC2-(n-19)C3×mC3+…
という式になり、これをΣでまとめて変形したものが上に書いた式になります。

No.17067 - 2012/02/27(Mon) 03:16:27

☆ Re: 重複組合せ？ / ヨッシー

こちらに関連した質問が来ています。

No.17068 - 2012/02/27(Mon) 07:06:39

☆ Re: 重複組合せ？ / pisco

らすかるさん、ヨッシーさん、返信が遅れてすみません。
詳しく説明していただきありがとうございました。
式の意味を理解出来ました。
本当はシグマがはずれたら嬉しいのですが、難しそうですね。ありがとうございました。

No.17069 - 2012/02/28(Tue) 00:03:40

★ 空間図形と無理関数 / ぺたた

?@座標空間内で次の条件をみたす立体Kがある。
　?@、Kは２つの平面ｚ＝０とｚ＝１にはさまれる。
　?A、０＜ｔ＜１において、平面ｚ＝ｔによるKの切り口は，1辺の長さが1のひし形で，対角線の1つは2点（0，0，ｔ），（2ｔ，0，ｔ）を結ぶ線分である。
　?B、平面ｚ＝0またはｚ＝1によるKの切り口は線分である。
　　このとき次の問いに答えよ。
　　（1）立体Kの体積を求めよ。
　　（2）平面ｙ＝１／２によるKの切り口の面積を求めよ。
　

（１）は積分を使って２／３という答えが出たのですが（２）は手つかずです・・・　

?Aｔ＞０とする。ｘの関数ｆ（ｘ）＝（ｘ/2）＋ｔlogｘに対して，曲線C1：ｙ＝ｆ（ｘ）を考える。直線ｙ＝ｘに関してC１と対称な曲線をC2とする。　C1上の点とC2上の
点の距離の最小値をｇ（ｔ）とおく。
（1）C1と直線y＝ｘが共有点を持つようなｔの値の範囲を求めよ。
（2）ｇ（ｔ）を求めよ。
（3）ｔを変化させたときのg（ｔ）の最大値とそのときのｔの値を求めよ。
こっちの問題は（１）から分かりません。ｘ＝ｆ（ｘ）をといてみようとしたり、ｆ（ｘ）の逆関数を求めようとしましたが分かりませんでした。
解説よろしくお願いします。

No.17046 - 2012/02/24(Fri) 16:48:03

☆ Re: 空間図形と無理関数 / X

一問目)
平面z=tによる切り口のひし形において、第１象限にある頂点の座標は
(t,√(1-t^2),t)
よって第１象限にある２つの辺の方程式は
y={(1/t)√(1-t^2)}x,z=t(0≦x≦t) (A)
y=-{(1/t)√(1-t^2)}(x-2t),z=t(t≦x≦2t) (B)
(A)(B)と平面y=1/2との交点をP,Qとすると
P(t/{2√(1-t^2)},1/2,t)
Q(2t-t/{2√(1-t^2)},1/2,t)
よってz=tとすることにより、平面y=1/2による断面の領域は
z/{2√(1-z^2)}≦x≦2z-z/{2√(1-z^2)} (C)
つまり面積を求める図形は２つの曲線
x=z/{2√(1-z^2)}
x=2z-z/{2√(1-z^2)}
で囲まれた領域ということになります。
後は(C)からzの範囲を求めて積分を計算します。
(C)より
z/{2√(1-z^2)}≦2z-z/{2√(1-z^2)}
z≧0に注意してこれを解くと
0≦z≦√3/2
よって求める面積をSとすると
S=∫[0→√3/2]{(2z-z/{2√(1-z^2)})-z/{2√(1-z^2)}}dz
=…

No.17053 - 2012/02/25(Sat) 15:39:24

☆ Re: 空間図形と無理関数 / X

二問目)
(1)
これはf(x)=xが解を持つ条件を考えます。(基本問題です)
h(x)=f(x)-x
と置くと
h'(x)=-1/2+t/x
0＜xにおけるh(x)の増減を考えるとh(x)は極大値
h(2t)=-t+tlog(2t) (A)
を取り更に
lim[x→+0]h(x)=-∞
題意を満たすためには曲線y=h(x)がx軸と交点を持つ必要があるので
h(2t)≧0 (B)
(A)(B)より
0＜t≦e/2

(2)
場合分けをします
(i)0＜t≦e/2のとき
C1,C2の直線y=xに関する対称性と(1)の結果により
g(t)=0
(ii)e/2＜tのとき
C1,C2の直線y=xに関する対称性によりg(t)は
C1上の点と直線y=xとの間の距離の2倍の最小値
となることに着目します。
今、C1上の点(x,x/2+tlogx)と直線y=xとの間の距離を
L(x)とすると、点と直線との間の距離の公式により
L(x)=|x/2+tlogx-x|/√{1^2+(-1)^2}
=|x/2-tlogx|/√2
=-(x/2-tlogx)/√2 (∵)(1)の過程による
よってL(x)のx＞0における増減を考えることにより
L(x)の最小値は
…
となるので…

(3)
(2)の結果を使ってg(t)の増減表を描きましょう。

No.17054 - 2012/02/25(Sat) 15:59:29

☆ Re: 空間図形と無理関数 / ぺたた

コメント有り難うござます。
おかげさまで理解できました。
ほんとうにありがとうございました。

No.17056 - 2012/02/25(Sat) 22:40:09

★ 正領域　負領域 / アシュリー

高2生です。数学の正領域・負領域についてなのですが
たとえば直線なら＋/－ (/は平面上の直線です)という風に
/を境に上側が正領域、下側が負領域ということになるのでしょうか？
また、放物線になると正領域と負領域はどう考えれば良いのでしょうか？
数学は超がつくほど苦手で分からないので教えてください。お願いします。

No.17044 - 2012/02/24(Fri) 09:49:10

☆ Re: 正領域　負領域 / らすかる

直線の上下どちらが正領域でどちらが負領域になるかは
問題によります。上が正領域と決まっているわけではありません。

No.17045 - 2012/02/24(Fri) 16:13:52

☆ Re: 正領域　負領域 / 黄桃

y≧f(x) という領域がどこかよくわからない、ということでしょうか。
まじめに答えるといろいろ大変なので、直感的な説明をします。

y-f(x) という「x,yの関数」を考えます。要するに、いろんな x,y の値を入れると何か値が計算できるというものです。
xy平面を地図と思って、地図上の点(x,y)の標高がこの関数 y-f(x)で表されている、と考えてください。

地図の海岸線、つまり、標高y-f(x)が0になるところを考えます。y-f(x)=0ということは、y=f(x) というわけで、y=f(x)のグラフがちょうど海岸線を表しているわけです。
地図では標高が正の部分は陸で負の部分は海です。海岸線で海と陸が分けられるという当たり前のことですね。
陸の部分は標高が正、つまり、 y-f(x)≧0　⇔ y≧f(x)　であり, 海の部分は y-f(x)≦0 ⇔ y≦f(x) です。

以上を踏まえて、残された問題は、海岸線で区切られた１つの領域が陸か海かを判定することです。
海かどうかは、その領域のどこでもいいから1点の標高をみて、それが負ならいいわけです。もし正ならその領域は海ではなく陸とわかります。選ぶ1点は領域内のどれでもかまわないことはおわかりでしょう。
正領域、負領域も同じで、y=f(x)のグラフを描いて、区切られた領域がy≦f(x)? y≧f(x)?と迷ったら、その領域の点をなんでもいいから１つとって y≧f(x)とy≦f(x)のどっちが成立するか確認すればOKです。
y>f(x)のような形でない、例えば、x^2+y^2>5　という領域でも、x^2+y^2-5>0 と変形して考えればいいので同じことです。

いろんな問題で練習して慣れてくればみただけで「こっちが正領域」とわかるようになります。

慣れてくる前でも極端な値（x=0 でyがすごーく大きい、とか、y=0でxがマイナスですごーく小さい）を代入してみると見当がつきやすいです。

こうした考え方は結構便利で、円と直線など、いろんな「海岸線」が出てくる複雑な場合でも「１つの領域は海か陸のどちらか」で「海岸線を横切ると一般に陸と海が入れ替わる」（ちょうど海岸線が谷間になる場合だとかわらないこともありえますが、そんな場合はまずでてきません）ことを知ってると応用がききます。

No.17047 - 2012/02/24(Fri) 23:43:33

★ 一次変換は2点の像で決まる / ぶう

A＝（a,1-a)(1-a,a))
=(（a,b)(c,d))のような表記にならいました）

一次変換fによって、直線ｌ：２ｘ＋ｙ＝３が直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３へ移されるとき、aの値を求めよ。
冊子にある解）
２ｘ＋ｙ＝３上の点（０，３）の像（３（1-a),3a)はｘ＋２ｙ＝３上にあるから３（1-a)+6a=3よりa=0

私の思う解）
ｌ上の点L（ｔ、３－２ｔ）として
AベクトルOL＝（at+(1-a)(3-2t),(1-a)t+(3-2t))
この座標をｍに代入した式において
ｔについての恒等式より
係数比較してa=0

なぜ冊子のような解法をしてよいのでしょうか？
問題によって像をどこか自分で見つけていく流れと
ｔについての恒等式の流れの両方見かけます。一次変換は2点の像で一意に決まる、というフレーズにも引っかかっています。この問題は一点しか調べてないではないか、と。

No.17041 - 2012/02/24(Fri) 05:05:11

☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / ぶう

上記の像とは原像のことです。（移したとき簡単な形になるように選びます）
自分で原像を見つけて・・・の解法が取れるか否かはｆが一次変換か明記されているかどうかで変わってくるのでしょうか？

少しアバウトな質問ですがどうかお察しください。よろしくお願いします

No.17042 - 2012/02/24(Fri) 05:18:57

☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / 黄桃

冊子の答は多分略解で、a=0 という必要条件が得られ、このあと十分であることを確認する作業を省略しているのでしょう。
あるいは、答があるとしたら a=0 だし、出題される以上「解なし」が答のはずがない、という出題者を信用した（記述式には使えない）受験技術かもしれません。

恒等式の方が模範解答で、多分、これで許してもらえるとは思うのですが、厳密にいえば、これだけでは「直線lの像が直線mの1点（全体を動くとは限らない）」である可能性を残してはいます。

自分で原像を見つけて云々は私にはよく意味がわかりません。

「一次変換は2点の像で一意に決まる」のは大体本当ですが、数学の命題としては偽です。
一番簡単な例は2点のうち１つをOとした場合です。1次変換ではOは必ずOに移りますから、もう1点だけで1次変換が決まることになってしまいます。
1次変換を表す行列を A 、２つの点をx,y, xの移る先を z, ｙの移る先を w とすれば、
Ax=z, Ay=w という式になり、これらをまとめてかくと
A(x y)=(z w) ((x y) は縦ベクトルx,yを並べて書いた2x2行列。(z w)も同様）
となります。だから、もし、行列X=(x y) に逆行列X^(-1)があれば、それを右からかければ
A=(z w)X^(-1)
とAが求まります。そして、もちろん、このようなAは A(x y)=(z w)を満たすのですから、xがzにyがwに移る1次変換の行列を表しています。
ただし、X^(-1)が存在しない場合はアウトなので、x,yはなんでもいいから２つ、というわけではありません。
このことを理解した上で「一次変換は2点の像で一意に決まる」から、X^(-1)が存在するような x,y を利用するのはいいと思います。

＃原像云々というのは x,y,z,w で(z w)X^(-1)が楽に計算できる組を見つける、ということなんでしょうかね。

No.17048 - 2012/02/24(Fri) 23:46:04

☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / ぶう

回答有難うございます。♯はそのとおりです。

必要条件ですか・・ということはaが例えば二つ出てきたら一報は間違いの時もあるということですか。十分性の確認はどうやったらよいのでしょうか？

恒等式の方が模範解答で、多分、これで許してもらえるとは思うが、厳密にいえば、これだけでは「直線lの像が直線mの1点（全体を動くとは限らない）」である可能性を残してはいる、については、問題文に直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３へ移される、とあり直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３全体へ移る、とはかかれていないため、at+(1-a)(3-2t)にa=0を代入した値３－２ｔが（ｔが任意の時）任意の値を取るという記述は要らないと思うのですが

よろしくお願いします

No.17074 - 2012/02/28(Tue) 12:35:33

☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / 黄桃

しばらく留守にしてたので返事が遅れました。

>aが例えば二つ出てきたら一報は間違いの時もあるということですか。十分性の確認はどうやったらよいのでしょうか？

aが限定されれば(例えばこの問題のようにa=0)、行列Aはすべての成分が既知なわけですから、直線の像がどうなるかは直接計算できます。
本問のa=0の場合は、A=[(0 1)(1 0)] に対して実際に直線lの点がAによりmに移ることを確認すればいいわけです。
Aの成分がすべてわかってますから、l上の点を(x,-2x+3)と置いて計算すればいいだけです。

>直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３全体へ移る、とはかかれていないため、

については、私の感覚では「直線ｌが直線ｍへ移される」という文章の意味は「直線lをAで移した像が直線mになる」ということだと思います。つまり、像は直線m全体です。この感覚はかなり自信があります。
微妙な差ですが、移される主語が点であって、「直線l上の点はすべて直線m上の点に移される」ならば直線lの像が1点でも構わないと思います。

＃この差が致命的になる問題はでないと思いますが。

No.17123 - 2012/03/05(Mon) 04:23:34