ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 組み分け / bay

男女六人ずつで合計１２人のクラスがある。このクラスには男子のA君、B君と、女子のCさんがいる。このクラスをくじ引きで四人ずつの三つの班に分ける。
１）A君とB君が同じ班になる確率は？
２）B君とCさんが同じ班で、かつA君はそれとは別の班になる確率は？
３）A君が男子２人、女子２人の班に入る確率は？

自分が作った解答）
C（コンビネーション）の連続積では順列が発生するという知識を使う。

３つの班は全て区別し、選んだ順に１班、２班、３班と名付ける。
全事象は（12C4*8C4*4C4）/３!・・?@通り

１）A君とB君が同じ班になる場合の数は
第一班「AB＊＊」第二班「＊＊＊＊」第三班「＊＊＊＊」（＊は誰でもよいということ）
(10C2*8C4)/3!・・?Aより
求める確率は
?A/?@＝10C2/12C4＝△

2)BとCが同じ班でAが別の班となるケースは
第１班「BC＊＊」第二班「A＊＊＊」第三班「＊＊＊＊」
(9C2*7C3)/3!・・?B
求める確率は
?B/?@＝(9C2*7C3）/(12C4*8C4)=○

３）第一斑「A男女女」第二班「＊＊＊＊」第三班「＊＊＊＊」
よって求める場合の数は
5C1*6C2*8C4/3!・・?C
より?C/?@＝(5C1*6C2)/12C4=▼

となるのですが答えは全然違いました
一体ドコがだめなのか教えてください。

よろしくお願いします。

No.18118 - 2012/07/25(Wed) 12:05:54

☆ Re: 組み分け / angel

> 一体ドコがだめなのか教えてください。
…色々と。
まあ、計算間違いをしている所 ( 例えば?A/?@とか。といっても正しく計算すれば正しい答えになるというわけではない ) を除けば、

・/4! や /3! の意図が不明。( というより不用 )
・AやB,Cが第何班になるかが考慮不足
　( 選んだ順に班に名前をつけているので、A は第一班とは限らない )

の所に気をつければ、正しい答えが出せると思います。

No.18119 - 2012/07/25(Wed) 12:50:51

☆ Re: 組み分け / bay

４！は３！のうちミスです。
全ての人間は区別して考えるので１）の第二版と第三班の＊＊＊＊、と＊＊＊＊は違う人です。。正直わからないです..

No.18133 - 2012/07/25(Wed) 20:22:20

☆ Re: 組み分け / angel

4!と3!の件、了解しました。それであれば、ちょっとした修正で正しい答えになりますね。

まず
> ３つの班は全て区別し、選んだ順に１班、２班、３班と名付ける。
という方針である以上、全体の事象は 12C4×8C4 です。
※×4C4 はつけてもつけなくても良い
でもって÷3!は不用です。

これは丁度、「1班」と書いた椅子4脚に12人中4人を座らせ、次に「2班」と書いた椅子4脚に残り8人中4人を座らせ、残りを全て「3班」と書いた椅子4脚に座らせる、そういう状況と同じです。

さて、例えば(1)ですが、Aが1班～3班のどこになるかは分かりません。ここで3通りの可能性があります。
なので(1)の事象は 10C2×8C4×3 となります。( 同じく÷3!は不用 )
これを全体で割れば 3/11 という答えが出ます。

(2)に関しては B,C の班が3通り、Aの班が2通りで×6です。
( ×3P2 でも良い )

No.18146 - 2012/07/26(Thu) 00:48:49

☆ Re: 組み分け / bay

実際には（問題文では）最終的に第～班などという組の名前は付いていないので少し気持悪いです。それを打ち消すために３！で割りたいのですが、その解法で解く事は可能でしょうか？

No.18149 - 2012/07/26(Thu) 12:54:14

☆ Re: 組み分け / angel

> その解法で解く事は可能でしょうか？
もちろん可能ですし、色々な方法で解けるのは一般に良いことです。
しかし、「気持ち悪いから」という理由で今までの解法を敬遠するのは勿体ないと思います。こちらの方が分かり易いですから。
※第1班とかの名前がイヤなら、班α,β,γとかp,q,rとか文字で置いてしまえばよいのです。

ちょっと考えてみてほしいのですが、bayさんがこの班分けの抽選を用意するとしたらどうしますか…?
1を書いた紙、2を書いた紙、3を書いた紙を4枚ずつ用意して、同じ数字の紙を引いたもの同士が同じ班、1なら第1班、2なら第2班、3なら第3班と、そういう抽選にするのは非常にありがちではないですか?
だから、班に名前をつけて区別する、というのは素直に分かりやすいのです。

さて話を戻して。
÷3!をつける、つまり班を区別しない方式で解くとしたら、各事象はそれぞれ次のようになります。

　全体：12C4×8C4÷3!
　(1)：10C2×8C4÷2!
　(2)：9C2×7C3
　(3)：5C1×6C2×8C4÷2!

これを見て、÷2!になっていたり、はたまた÷○!がなかったり、その違いが分かるでしょうか。自分で解く時にしっかり考えられるでしょうか。難易度はやや上がっているのです。
これで要らぬミスをする位なら、班を区別してやった方が良いと思います。

No.18154 - 2012/07/26(Thu) 23:31:58

★ 場合の数 / 辰夫

6人を3人、2人、1人に分けるとき
6C3×3C2×1C1＝60(通り)としますが
この式はたとえば6人の人を?@?A?B?C?D?Eとすると
?@?A?B | ?C?D |　?E　・・・(a)
?@?A?B |　?C?E |　?D・・・(b)
みたいに60通り中(a)がその中の1通りで(b)もその中の1通りですよね。
ということは(a)(b)以外の選び方が後58通り存在するということなんでしょうか？
それからたとえば?@?A?B | ?C?D |　?E　・・・(a)という場合が60通りの中で重複するなんてことはないですよね？
6C3×3C2×1C1って式は１つ１つ別のものを選んでできた場合の数を1通りとしていますよね？
感覚では理解できているんですがよく考えたらよくわからなくなってしまいました・・・
どなたか教えてください。お願いします。

No.18116 - 2012/07/25(Wed) 10:04:31

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

>(a)(b)以外の選び方が後58通り存在するということなんでしょうか？
はい、あと５８通りあります。

>60通りの中で重複するなんてことはないですよね？
重複はしません。

6C3×3C2×1C1 は、
まず、６人から、３人のグループに入れる人を選ぶ選び方が 6Ｃ3 通り。
そのそれぞれについて、残りの３人から、２人のグループに入れる人を選ぶのが 3Ｃ2 通り。
さらにそのそれぞれについて、残り１人から、１人のグループに入れる人を選ぶのが 1Ｃ1 通り。
なので、それぞれ掛けて、6C3×3C2×1C1 となります。

このように、３人、２人、１人と選んでいく方法の他に、次のような方法もあります。

６人を一列に並べて、１，２，３番目の人を３人のグループ、
４，５番目の人を２人のグループ、６番目の人を１人のグループ
に入れるようにするとします。
６人の並べ方は６！通りです。
このとき、３人のグループについて
?@?A?B｜?C?D｜?E
?@?B?A｜?C?D｜?E
?A?@?B｜?C?D｜?E
?A?B?@｜?C?D｜?E
?B?@?A｜?C?D｜?E
?B?A?@｜?C?D｜?E
の６（＝３！）通りが重複していますし、２人のグループも、
２（＝２！）通りずつ重複しています。
よって、６！÷３！÷２！＝６０とする方法です。

No.18117 - 2012/07/25(Wed) 10:38:01

☆ Re: 場合の数 / 辰夫

ありがとうございました

No.18126 - 2012/07/25(Wed) 16:42:01

★ 教えてください / えな

この問題教えてください。
よろしくお願いします。

No.18107 - 2012/07/24(Tue) 19:24:49

☆ Re: 教えてください / ITVISION

方針だけ（他の方法もあるかも知れません　特に（３））
（１）ｆn’を微分して増減と極小値（最小値になります）を調べる。
（２）ｆn(-1)＜0、fn(-1/2）＞0を示す。これとｆn’＞0を使う（fn(-1/2）＞0は、　fn(0）＞0　でもいいですが（３）で使うので）
（３）ｆn(-1/2-1/n)＜0　を示す。これとfn(-1/2）＞0を使う。

まず、ｆnの微分、ｆn’の微分（ｆnの２階微分）はどうなりますか？

No.18108 - 2012/07/24(Tue) 21:59:29

☆ Re: 教えてください / えな

回答ありがとうございます。
fn'(x)=(nx+n+1)e^(nx)+2
fn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)
となりました。

fn'(x)=0となるときがわかりません。

No.18110 - 2012/07/24(Tue) 23:31:45

☆ Re: 教えてください / ITVISION

つぎにfn''(x)=(nx+n+2)ne^(nx)＝0となるときを調べます。
nx+n+2＝0　より　ｘ＝-(n+2)/n　このときのfn'(x)が極小値であり最小値になります。fn'の増減表で確認してください。

fn'の最小値はいくらになりますか？

>fn'(x)=0となるときがわかりません
fn'(x)=0にはなりません。問題にもあるようにすべての実数xについてfn'(x)＞0です。

No.18111 - 2012/07/24(Tue) 23:49:32

☆ Re: 教えてください / えな

fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)}+2
となりました。
合っているでしょうか…？

No.18112 - 2012/07/25(Wed) 00:31:43

☆ Re: 教えてください / ITVISION

いいと思います。
nが正の整数のとき
fn'(-(n+2)/n)=-e^{-(n+2)}　+　2　＞　0　は分かりますよね。

No.18113 - 2012/07/25(Wed) 00:41:28

☆ Re: 教えてください / えな

はい、大丈夫です。

No.18114 - 2012/07/25(Wed) 00:44:44

☆ Re: 教えてください / ITVISION

増減表などを使ってきちんと書いてけば（１）は終わりです
（２）は簡単だと思います。
※できるところまでやって不明な点があればお知らせください。
（３）の目星のつけ方
ｆn(-1)＜0、fn(-1/2）＞0　より
ｆn(ｘ)＝0　の実数解ｘnは　-1＜ｘ＜-1/2　にあります。

この区間では、
ｆn(x)＝(x+1)e^nx+2x+1 のうち(x+1)e^nxは　nが大きくなるとどんどん絶対値が小さくなり、いくらでも0に近づきます。すなわちｆn(x)は2x+1にいくらでも近づきます。

2x+1＝0　の解は　x=-1/2なので、ｆn(x)＝0の実数解ｘnも-1/2に近づきそうです。
注）一般的には　関数列　fn　→　ｆ　に一様収束するからといって　「（fn（x)＝0　の実数解）　→　（f（x)＝0　の実数解）」というわけではありません。　　

No.18115 - 2012/07/25(Wed) 00:52:49

☆ Re: 教えてください / えな

はさみうちを使うようなのですが
どうなるでしょうか…？

No.18151 - 2012/07/26(Thu) 19:16:14

☆ (3)続き / angel

ITIVISIONさんのコメントで、lim x[n] = -1/2 が予想できるところまでは良いでしょうか。
また、-1＜x[n]＜-1/2 が分かっているため、はさみうちとしては上側は問題ありません。なので、下側をどう見積もるか、というお話になります。

さて。fn(x) は形が複雑なので、fn(x)=0 の解の大きさを見積もるのはそのままでは難しいところです。なので、fn(x)よりも単純な形で、なおかつ x[n] よりやや小さい a[n] で値がゼロになるような関数 gn(x) を作ってあげれば良いのです。

添付の図のように、-1＜x＜-1/2 の区間で fn(x)＜gn(x) を満たすような一次関数gn(x) を定めてあげれば、gn(x)=0 の解 a[n] は、a[n]＜x[n] を満たします。
具体的には、gn(x) = (x+1)・e^(n・(-1/2))+2x+1 が良いでしょう。fn(x) の e の指数にあった x を -1/2 に替えただけですが。
後は、e^(n・(-1/2)) そのままだと分かりにくいかも知れないので、これを b[n] とでも置いて a[n] を計算してみましょう。

No.18176 - 2012/07/28(Sat) 11:40:52

★ 文系数学　解答が理解できません。 / 文茶

数学が不得意な文系です。
よろしくお願いします。
1080の正の約数の個数をnとし，約数を小さい順にa[1],a[2], ... ,a[n]とする。
log(10)2 = 0.3010, log(10)3 = 0.4771 とし，次の問に答えよ。

(1)1080の正の約数の個数nの値を求めよ。
(2)Σ(i=1～n)log(10)a[i] の値を求めよ。

(1)は素因数分解すると
1080=2^3・3^3・5
より正の約数の個数は(3＋1)・(3＋1)・(1＋1)=32

(2)
＜答＞
Σ(i=1～n)log(10)a[i] =log(10)a[1]＋log(10)a[2]＋・・・log(10)a[n]＝log(10)｛a[1]・a[2]・、・・・a[n]｝
2^1×3^y×5^zで表せる約数は4・2=8個であり
2^2×3^y×5^z、2^3×3^y×5^zのときも同様である。素因数３と５についても同様に考えると
Σ(i=1～n)log(10)a[i]＝log(10)[ 2^｛(1＋2＋3)×8}　×　3^｛(1＋2＋3)×8｝　×5^(1×16) ] =48.5328
とあるのですが全く持って解答の意味が理解できません。
どなたか分かる方詳しく教えてください。お願いします。

No.18104 - 2012/07/24(Tue) 00:08:00

☆ Re: 文系数学　解答が理解できません。 / ヨッシー

(1)
約数の個数については、こちらを参照してください。

(2)
Σ(i=1～n)log(10)a[i] =log(10)a[1]＋log(10)a[2]＋・・・log(10)a[n]＝log(10)｛a[1]・a[2]・、・・・a[n]｝
は、公式 logＡ＋logＢ＝log(ＡＢ) を適用したものです。
では、a[1]・a[2]・、・・・a[n] は、いくつかということになりますが、
たとえば、60＝2^2×3×5 の約数は、
1,2, 2^2
3, 2×3, 2^2×3
5, 2×5, 2^2×5
3×5, 2×3×5, 2^2×3×5
の12個ですが、このうち、
2が掛けられていないものが４個。
2が１つ掛けられているものが４個。
2が２つ掛けられているものが４個。
3が掛けられていないものが６個。
3が１つ掛けられているものが６個。
5が掛けられていないものが６個。
5が１つ掛けられているものが６個。
なので、12個の約数を全部掛けたら、
2が 1×4＋2×4＝12個
3と5がそれぞれ、1×6＝6個
掛けられているので、約数の積は 2^12×3^6×5^6 となります。

1080=2^3・3^3・5 についても同様に、32個の約数のうち
2が掛けられていないものが８個。
2が１つ掛けられているものが８個。
2が２つ掛けられているものが８個。
2が３つ掛けられているものが８個。
3が掛けられていないものが８個。
3が１つ掛けられているものが８個。
3が２つ掛けられているものが８個。
3が３つ掛けられているものが８個。
5が掛けられていないものが１６個。
5が１つ掛けられているものが１６個。
なので、約数の積は、2^48×3^48×5^16 となります。
これのlogを取ると、
　log(2^48×3^48×5^16)＝48log(2)＋48log(3)＋16log(5)
log(5)＝log(10÷2)＝log(10)－log(2)＝１－log(2)
に注意して計算すると、48.5328 となります。

No.18105 - 2012/07/24(Tue) 07:10:33

★ (No Subject) / 犬好きおやじ

A,Bの2人が硬貨を投げるゲームを行う。表が出ればAが、裏が出ればBが1点を得るものとする。先に5点差をつけた人を勝ちとしてゲームは終了する。硬貨を10回投げる間にAが勝つ確率を求めよ。
という問題で、(AAAAA),(AAAABAA)などと場合分けしながら計算したのですが、解答と合いません。ご指導をお願い致します。ちなみに解答は7/64です。宜しくお願い致します。

No.18084 - 2012/07/21(Sat) 20:00:50

☆ Re: / 海岸

表が出るときをｓ、裏が出るときをｔと表記します
Bが0回のときｓｓｓｓｓ
Bが1回、Aが6回の時
ｔｓｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｓｓ
ｓｓｓｓｔｓｓ
の5通り
Bが２回、Aが7回の時
ｔｔｓｓｓｓｓｓｓ
ｔｓｔｓｓｓｓｓｓ
ｔｓｓｔｓｓｓｓｓ
ｔｓｓｓｔｓｓｓｓ
ｔｓｓｓｓｔｓｓｓ
ｔｓｓｓｓｓｔｓｓ

ｓｔｔｓｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｔｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｔｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｔｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｓｔｓｓ

ｓｓｔｔｓｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｔｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｔｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｓｔｓｓ

ｓｓｓｔｔｓｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｔｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｓｔｓｓ

ｓｓｓｓｔｔｓｓｓ
ｓｓｓｓｔｓｔｓｓ

の6+5+4+3+2=20通り
1/2^5+5/2^7+20/2^9=7/64
となります

No.18085 - 2012/07/21(Sat) 21:03:09

☆ Re: / ITVISION

表の回数をa、裏の回数をbとすると
５点差となるのは a-b＝5で、a+b＝5+2b（奇数）なので
５回目以降の奇数回目

５回目でＡが勝つ確率　(1/2)^5　＝　1/32

７回目でＡが勝つ場合は、
　最後の２回は表表（6回目が裏だとすると５回目までにＡが勝っているから）
　１から５回目までは表が４回、裏が１回で+３点
　□□□□□表表
　確率は　（5Ｃ1)(1/2)^7　＝　５／128

９回目でＡが勝つ場合は、
　最後の２回は表表
　１から７回目までは表が５回、裏が２回で+３点
　ただし、最初の連続５回が表の場合は除く
　□□□□□□□表表
　確率は　((7Ｃ2)-1)(1/2)^9　＝　20／512＝5/128

よって求める確率は　(1/32)+(5/128)+(5/128)　＝　7/64

No.18086 - 2012/07/21(Sat) 21:20:00

☆ Re: / 犬好きおやじ

海岸さん、ITVISIONさんご指導ありがとうございました。お2人ともとてもわかりやすい解説で、自分の場合分け、計算ミスがはっきりと分かりました。ありがとうございました。

No.18093 - 2012/07/22(Sun) 09:20:05

★ 重心 / 海岸

単位円周上のｎ等分点について、ｎ点の重心が原点０であることを証明せよ。

を教えてください。
三角形の重心は2本の中線の交点という定義でしたが、4角形以降の重心ってそもそもなんなんでしょうか？（指一本で支える事ができる位置というのは感覚的に知っていますが。。）

ほぼ丸投げになりましたがどうかよろしくお願いします

No.18083 - 2012/07/21(Sat) 19:37:26

☆ 物理的な重心 / angel

物理的には、重心というのは「位置ベクトルの質量による重み付け平均」です。重心の位置に、全ての質量が集まっているものとして扱えるのです。
※「指一本で支える事ができる」というのがそう。

例えば、質量1kgの限りなく大きさの小さい2つの物質(こういうのを質点という)が、質量の無視できる軽い棒の両端にくっついている場合、重心は棒の丁度中心になります。

質点の数が増えた場合、
　重心の位置ベクトル
　= { (質点1の質量)・(質点1の位置ベクトル)
　　　+ (質点2の質量)・(質点2の位置ベクトル)
　　　+ … } ÷ (全ての質点の質量の和)
という計算になります。
※なお「ベクトル」を習っていないのであれば、
　(重心のx座標)={ (質点1の質量)・(質点1のx座標) + … } ÷ (全ての質点の質量の和)
　のように読み替えてください ( y,z座標についても同様 )

では、対象がばらばらの点の集まりではなく，板(2次元)や球状のもの(3次元)だとどうするか?
それは、対象を非常に細かく、限りなく細かく分割して、それら分割したものに対して上記の計算を行います。
…その「限りなく細かく分割して」というのがいわゆる「積分」という計算です。

No.18088 - 2012/07/21(Sat) 23:23:01

☆ 数学的な重心 / angel

さて、では数学的な重心はどうなるかというと、物理的な重心と同じなのですが、「全ての部位が均質な質量(密度)」という前提になります。

例えば三角形の重心であれば、「密度の均質な(部分的に重い・軽いがないような)素材で作った三角形の板状の物質の『物理的な重心』」のことです。
※ちなみにこれは、偶然というべきか、「三角形の頂点に質量の等しい質点を配置した場合の、3質点の『物理的な重心』」とも一致します。

今回の問題は「複数の点の重心」ですから、それらの点を質量の等しい質点とみなして「物理的な重心」を考えれば良い訳です。
つまり、
　(n点の重心の位置ベクトル)
　= { 均一の質量m・(点1の位置ベクトル) + m・(点2の位置ベクトル) + … } ÷ (n点の質量の総和=nm)
　= { (点1の位置ベクトル)+(点2の位置ベクトル)+… }÷n
　= (各点の位置ベクトルの平均)

早い話が、各点のx座標の平均が重心のx座標、y,z座標についても同様、ということです。

No.18089 - 2012/07/21(Sat) 23:36:22

☆ 問題に戻って / angel

では前置きが長くなりましたが、この問題をどう解くか、ですね。
単位円(半径1の円)周上のn等分点というのは、α=2π/n と置いた時に、
　(cos0, sin0), (cosα,sinα), (cos2α,sin2α), …, (cos((n-1)α), sin((n-1)α))
と表現できますね。

重心の座標はこれらの点の座標の平均なわけですから、
　x座標 xG = (cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α))/n
　y座標 yG = (sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α))/n
と計算することができます。
でもって、これが原点の座標と一致することを示したいので、やることは「カッコの中が0であることを示すこと」

つまり、この規則正しい形をした三角関数の値の和

　cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α)
　sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α)

が共に0となることを、計算で確認してあげれば良いのです。
こういう計算、見たことありますよね?
( sin(α/2) なり cos(α/2) を全体にかけて、個々の項を積和の公式で変形してあげるアレです )

まあ、もしくは、複素平面を習っていればもっと楽に解けますけど…

No.18090 - 2012/07/21(Sat) 23:51:56

☆ Re: 重心 / 海岸

詳しい説明ありがとうございます。
色々やって見ましたが
cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α)
＝０
sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α)
=0
が導けません。教えてもらえないでしょうか。。

No.18101 - 2012/07/22(Sun) 20:52:55

☆ 等差数列をなす角の三角比の和 / angel

では cos の和の例で。

まず、
　sin(θ+φ)-sin(θ-φ)=2cosθsinφ
であることを確認してください。
そうすると、θがα×整数 ( 例えば 3α )、φ=α/2 とすると、
　sin(3α+α/2)-sin(3α-α/2)=2cos(3α)sin(α/2)
つまり、
　2sin(α/2)cos(3α)=sin(3.5α)-sin(2.5α)
　※後の話の分かりやすさのため、敢えて小数で書いています
これを cosα～cos3α の和に利用すると、
　2sin(α/2)( cosα+cos(2α)+cos(3α) )
　= 2sin(α/2)cosα + 2sin(α/2)cos2α + 2sin(α/2)cos3α
　= ( sin(1.5α)-sin(0.5α) ) + ( sin(2.5α)-sin(1.5α) ) + ( sin(3.5α)-sin(2.5α) )
　= sin(3.5α)-sin(0.5α)
のように、途中が打ち消しあって両端だけ残ります。
今回の問題では、0～(n-1)α でこれをやれば、残った両端も消えて 0 になるという寸法です。
なお、かけている sin(α/2) が 0 かどうかにだけは注意してください。今回の問題では n=2 の時ですね。

あと、sin の和の時には
　cos(θ+φ)-cos(θ-φ)=-2sinθsinφ
を使えば同じ話になります。

No.18102 - 2012/07/23(Mon) 00:09:09

★ はさみうちの原理 / のんです

数列の極限の問題での途中計算についての質問です。よろしくお願いいたします。

［問題］
(1)(2)もあるのですが、お尋ねしたいのは(4)ですので、直接的には影響のないものと考え省略します。
(3)0 < Xn+1 - √2 <(1/2)*(Xn - √2)であることを示せ。
(4)lim(n→∞)Xnを求めよ。

［答案］
(3)よりｎ≧２のとき
0<Xn+1 - √2 < (1/2)*(Xn - √2) < (1/2)^2*(Xn-1 - √2)
< ... < (1/2)^n-1 *(X1 - √2)・・・?@

lim(n→∞)(1/2)^n-1 *(X1 - √2)=0 であるから
はさみうちの原理より
lim(n→∞)(1/2)*(Xn - √2)=0・・・?A
よって
lim(n→∞)(Xn - √2)=0・・・?B
したがって
lim(n→∞)Xn=lim(n→∞){(Xn - √2)+√2}=0+√2=√2

模範解答では、上記?@を証明した時点で、各辺は正なあので、
辺々に２を掛けて（または隣り合う項の関係を考えて）
0<Xn - √2 < (1/2)*(Xn-1 - √2)< ...
< (1/2)^n-1 *(X1 - √2)・・・?@'とし、
上記?Aを飛ばして、?Bを導いています。

ここで質問なのですが、上記?@→?A→?Bのように答えても大丈夫でしょうか。
特に?A→?Bですが、文言による説明なしでいきなり?Aから?Bを示して構いませんか。よろしくお願いします。

No.18081 - 2012/07/21(Sat) 18:24:21

☆ Re: はさみうちの原理 / X

>>上記?@→?A→?Bのように答えても大丈夫でしょうか。
>>特に?A→?Bですが、文言による説明なしでいきなり?Aから?Bを示して構いませんか。
いずれも問題ありません。

No.18082 - 2012/07/21(Sat) 18:57:19

☆ Re: はさみうちの原理 / のんです

Xさんへ

さっそくの回答ありがとうございました。
質問文中に「なので」を「なあので」とする間違いがあり、
申し訳ありませんでした。

No.18095 - 2012/07/22(Sun) 11:39:19

★ 通過領域 / 気合

qが０で無い実数を動く時
２ｑｘ＝ｙ＾２＋ｑ＾２・・※が通過する領域を求めよ、で

※をｑで微分してｘ＝ｑこれを※に代入してｙ＝±ｘ
と求めておき、
解）
※にｙ＝±ｘを代入すると（ｘ－ｑ）＾２＝０よってｘ＝ｑ
より※はｙ＝±ｘと接するx軸に対称な放物線であり、接点のx座標がｘ＝ｑ（≠０）であることが分かった。
ｑ≠０で動かすと、通過領域は下図の斜線部。（ただし境界は含むが原点は除く）（下図は載せてません）

ですがｘ軸に対称な放物線をｙ＝±ｘに接するように書き、接点ｑをどんどん大きくしていくら放物線を書いても
放物線の凸性から塗られていない部分がありますよね。ｙ＝ｘの少し下、ｙ＝－ｘの少し上など計4箇所。これらの部分を塗りつぶせるかが少々疑念が残ります。何か方法はないのでしょうか？

別解は求めていません。よろしくおねがいします

No.18074 - 2012/07/20(Fri) 01:58:39

☆ Re: 通過領域 / ヨッシー

ある放物線
　２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2　・・・(1)
と、ｑをｎ倍した　（ｎ≠０）
　２ｎｑｘ＝ｙ^2＋ｎ^2ｑ^2　・・・(2)
を考えます。(2) の両辺ｎ^2 で割って整理すると、
　２ｑ(x/n)＝(y/n)^2＋ｑ^2
となり、これは、(1) を原点中心にｎ倍拡大した放物線となります。
※「任意の２つの放物線は相似である」を知っていれば、
ここまでの説明は不要です。

すると、原点を除く（ｙ－ｘ）（ｙ＋ｘ）≦０の領域（下図の斜線部）上の
任意の点Ｐと原点を結ぶ直線は放物線２ｘ＝ｙ^2＋１（ｑ＝１の時の放物線）と
交点を持ちます。それを点Ｑとし、
　ＯＰ＝ｑＯＱ
とすると、２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2 は、点Ｐを通ります。

No.18075 - 2012/07/20(Fri) 06:20:40

☆ Re: 通過領域 / 気合

回答ありがとうございます。

質問1）
それを点Ｑとし、
　ＯＰ＝ｑＯＱ
とすると、２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2 が、点Ｐを通るという理由が分かりません。

質問２）それが言える事で何が言えるのかが分かりません。

質問３）OP=qOQはどうやって導いたのか教えてください

よろしくおねがいします

No.18077 - 2012/07/21(Sat) 15:08:11

☆ Re: 通過領域 / ヨッシー

回答１)
２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2　は、
２ｘ＝ｙ^2＋１　をｑ倍に拡大したものです。
２ｘ＝ｙ^2＋１　上の点Ｑを、原点からの距離をｑ倍に延ばした
点を点Ｐとすると、２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2　は、点Ｐを通ります。

回答２)
塗りつぶせない部分なんかないんだよ、ということが言えます。

回答３)
導くのではなくて、ＯＱに対するＯＰの長さの比率をｑと
置いているだけです。
ｑがマイナスになることを考慮して、ＯＰ、ＯＱをベクトルにしています。

No.18080 - 2012/07/21(Sat) 17:02:33

★ (No Subject) / やまねこ

実数aに対し、数列｛an}をa1=a,a(n+1)=a(n)(2-3a(n))(n=1,2,・・）で定める時,b(n)=(1/3)-a(n)とおいて、a(n)を求めよ。という問題で
b(n+1)=3b(n)＾２・・?@が出てきました
しかしこの後logを取ってb(n)を求めてからa(n)を出そうと思ったのですが、解説には「logをとろうとするとｂ（n)≦０がありうるので場合わけが必要になり面倒です。とありました。（その理由により帰納法でやっていました）しかし?@の右辺≧０よりbn<0はありえないですよね？
?@からa(n)を出す方針の解法を教えてください。よろしくおねがいします

No.18049 - 2012/07/18(Wed) 19:18:06

☆ Re: / ヨッシー

b(1)≦0 はあり得ますね。
また、b(1)＝0 だと、b(n) の全項が０になります。

No.18052 - 2012/07/18(Wed) 22:43:05

☆ Re: / やまねこ

正直その理由が全く分かりません。うーん。。もう少し具体的にお願いします＞＜

No.18062 - 2012/07/18(Wed) 23:45:59

☆ Re: / ヨッシー

b(1)＝1/3ーa(1)＝1/3－a なので、これが０以下ということもあり得ます。
そうすると、?@ を c(n)＝log{b(n)} とおいて解こうとしても、
c(1) が決まらないので、そのままでは解けません。

No.18065 - 2012/07/18(Wed) 23:52:02

☆ Re: / やまねこ

なるほど！確かにそのとおりですね。ならば答案はどのように再現したらよいのでしょうか？
ｂ１は負の場合もありえますが、
a(n)自体も負の場合もありえるのですから
b(n)=(1/3)-a(n)もb1に限らず負の場合だってありえますよね？

No.18069 - 2012/07/19(Thu) 10:12:16

☆ Re: / ヨッシー

>その理由により帰納法でやっていました
を踏まえた上で、場合分けしてでも log を取る方法でやりたい
というご質問と理解します。

ａ≠1/3 のとき、b(n)の第２項以降は正なので、log　が取れます。
そこで最初に　n≧2　に限った場合のa(n) を求める。
これが、a(1) に対しても成り立つ。
さらに、a=1/3 の時も成り立つ。
という作戦でどうでしょう？

No.18071 - 2012/07/19(Thu) 18:36:58

☆ Re: / やまねこ

回答ありがとうございます
n≧2　に限った場合のa(n) を求める。
これが、a(1) に対しても成り立つ。
の部分が意味がよく分からないのですが、
なるだけ再現してみました

解答）
a(n+1)=a(n)(2-3a(n))（ｎ≧１）
ｂｎ＝1/3-an（ｎ≧１）を代入して
整理するとb(n+1)=3{b(n)}^2(n≧１）・・?@
a1≠1/3のときb1≠０
?@より帰納的にｂ（ｎ）＞０（ｎ≧１）
よって?@の両辺に対数を取って整理すると
b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1))
よってa(n)=(1/3){1-(1-3a)^(2^(n-1))}
これはa1=1/3のときも成り立つので
a(n)=(1/3){1-(1-3a)^(2^(n-1))}・・答
であっていますでしょうか？よろしくお願いします

No.18073 - 2012/07/19(Thu) 20:04:09

☆ Re: / ヨッシー

>?@より帰納的にｂ（ｎ）＞０（ｎ≧１）
は、(n≧2) でのみ言えます。
そのあと、最終的に b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1)) になるのですが、
それを、どう求めたかが問題です。
c(n)＝log{b(n)}
d(n)＝c(n)＋log(3) と次々と置換していくと、
　d(n+1)＝２d(n)
という等比数列になりますが、そのときに
　d(n)＝d(1)・２^(n-1)
としたらダメです。d(1) は定義できない可能性があるので、
　d(n)＝d(2)・２^(n-2)　(n≧2)
とします。その後、c(n), b(n) と戻していって、
　b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1))　(n≧2)
n=1 を代入すると、b(1)＝1/3-a となり、n=1 のときも
b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1)) は成り立つ。
また、a=1/3 のときも・・・あとは同じです。

No.18076 - 2012/07/20(Fri) 10:36:39

★ 指数対数 / 西瓜

y=log[2](x+a)　のグラフをC1とする。　　ただし、aは定数とし、C1は点(3,3)を通る。

(1)a=(ア)
(2)C1をx軸方向に+2、y軸方向に+1だけ平行移動したグラフをC2とする。　　C2を表す方程式は　y=log[2](x+(イ))+(ウ)
C2が点(p.q)を通るとき、pをqで表すと　p=2＾(q-(エ))-(オ)
よってpが負の整数であれば、p=(カキ)、q=(ク)　または　p=(ケコ)、q=(サ)　　　　　ただし、（カキ）＜（ケコ）
(3)(2)のC2のグラフをx軸に関して対象に移動して得られるグラフをC3とする。　　このとき、C1とC3の交点のx座標は((シス)+√(セ))/(ソ)

答えはア5、イ3、ウ１、エ1、オ3、カ―、キ2、ク1、ケ―、コ1、サ2、シ―、ス8、セ6、ソ2

です。

ア～オまではわかってのですが、
それからが分かりません

(２)の後半のqの値は、0は含まれないのですか？

問題部分が見難く、誤っている部分もあるかもしれませんが、説明のほどをよろしくお願いします。

No.18044 - 2012/07/18(Wed) 17:53:26

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

p=2＾(q-1)-3
より、ｐが負の整数になるのは、2^(q-1) が３未満の整数に
なるときで、2^(q-1)＞０より、それは
　2^(q-1)＝１　または　2^(q-1)＝２
のときで、ｑ＝１のときｐ＝－２、ｑ＝２のときｐ＝－１
となります。ｑ＝０だと、ｐ＝-5/2 と整数になりません。

Ｃ1：ｙ＝log[2](x+5)
Ｃ3：ｙ＝-log[2](x+3)－１
を連立させて、
　log[2](x+5)＝-log[2](x+3)－１
　log[2](x+5)＋log[2](x+3)＝－１
　log[2](x+5)(x+3)＝－１
よって、(x+5)(x+3)＝1/2
これを解いて
　ｘ＝(-8±√6)/2
となります。

No.18053 - 2012/07/18(Wed) 22:56:54

☆ Re: 指数対数 / 西瓜

ヨッシーさん説明ありがとうございます！

2つ質問よろしいでしょうか？
pが分数でも良いような解答欄だった場合、q=0も含めていいんですよね？

>log[2](x+5)(x+3)＝－１
>よって、(x+5)(x+3)＝1/2

ここは、log[2]2に乗せたのですか？

2度もすみません。
また分かりにくいかもしれませんが、よろしくお願いします

No.18067 - 2012/07/19(Thu) 05:03:47

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

>pが分数でも良いような解答欄だった場合、q=0も含めていいんですよね？
それを言い出せば、ｑ＝log[2]5 のとき、p=-1/2 なんてのもありになります。
そもそも、「pが負の整数であれば」と書いてあるので、ｑ＝０という
選択肢は出てきません。

>ここは、log[2]2に乗せたのですか？
log[2]x＝－１の解は x＝1/2 だというだけです。

なお、上で書き忘れましたが、
　ｘ＝(-8±√6)/2
のうち、真数条件を満たすのは　ｘ＝(-8＋√6)/2 のみです。
解答には影響ありませんが。

No.18068 - 2012/07/19(Thu) 06:12:35

★ (No Subject) / 犬好きおやじ

A,B,Cの3人がじゃんけんをする。1回のじゃんけんで、1人だけが勝った場合は、勝った人に2点が、ちょうど2人が勝った場合は、勝った2人にそれぞれ1点が与えられる。負けた人や、藍子の場合には得点は与えられない。じゃんけんを3回行うとき、次の確率を求めよ。
(1)Aの得点が2点となる確率
(2)Aの得点が3点となる確率
という問題で、場合分けをしながら計算しても答えが合いません。(1)20/81、(2)80/729が解答になっています。ご指導お願い致します。

No.18043 - 2012/07/18(Wed) 17:13:16

☆ Re: / ヨッシー

Ａに着目すると、
一人勝ち　1/9
二人勝ち　2/9
それ以外　2/3
です。

(1)
一人勝ち、それ以外、それ以外　1/9×2/3×2/3＝4/81
それ以外、一人勝ち、それ以外　4/81
それ以外、それ以外、一人勝ち　4/81
二人勝ち、二人勝ち、それ以外　2/9×2/9×2/3＝8/243
二人勝ち、それ以外、二人勝ち　8/243
それ以外、二人勝ち、それ以外　8/243
全部足して、20/81 です。

(2)
一人勝ち、二人勝ち、それ以外　1/9×2/9×2/3＝4/243
　これの並べ替えが　６通りあります。
二人勝ち、二人勝ち、二人勝ち　2/9×2/9×2/9＝8/729
　4/243×6＋8/729＝72/729＋8/729＝80/729

となります。

No.18048 - 2012/07/18(Wed) 19:00:00

☆ Re: / 犬好きおやじ

ヨッシーさん、ありがとうございました。へんてこな場合わけをしていたようで、スッキリしました。（１）の6つ目の場合分けは「それ以外、二人勝ち、二人勝ち」と分ければいいんですよね？

No.18070 - 2012/07/19(Thu) 12:27:17

☆ Re: / ヨッシー

あ、そうです。
コピペミスです。

No.18072 - 2012/07/19(Thu) 18:38:03

★ 不等式 / ベルカ

１）立方体Ａがある。立方体を縦に１ｃｍ、横に２ｃｍ縮め、高さを４ｃｍ伸ばして立方体Ｂをつくる。Ｂの体積がＡの体積より大きくなるのはＡがどんな立方体のときか。

答えまでいけるんですが、式の途中で一つ分からないところがあります。
「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」
となっています。
何故突然、こんな事が言えるのでしょうか？

２）9,6,x^(2)が１つの三角形の３辺の長さとなるのは、xがどんな範囲の値のときか。

これも答えまで分かっているのですが、一つ分からないです。

x^(2)+9>6x
x^(2) -6x+9>0
(x-3)^(2)>0
不等式の解は、x≠3

となっています。
これって要するに、３以外の全ての数ってことですよね。
x≠3だけだと、xが3ではないってことしか表せないんじゃないでしょうか？

3)x^(2) +ax+a+3=0, x^(2) -2(a-2)x+a=0,
x^(2) +4x+a^(2) -a-2
の中で１つだけ実数解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。

これで答えの不等号が、≦になってたり＜になってたりします。どこで判断して、これは≦だ、とかこっちは＞だ、とか判断するんでしょうか？

おねがいします。

No.18042 - 2012/07/18(Wed) 16:30:50

☆ Re: 不等式 / ベルカ

ありがとうございます。
立方体のことなんですが

> １）立方体Ａがある。立方体を縦に１ｃｍ、横に２ｃｍ縮め、高さを４ｃｍ伸ばして立方体Ｂをつくる。Ｂの体積がＡの体積より大きくなるのはＡがどんな立方体のときか。
>
> 答えまでいけるんですが、式の途中で一つ分からないところがあります。
> 「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」
> となっています。
> 何故突然、こんな事が言えるのでしょうか？

これをよく読むと、縦に１ｃｍ短くしたけど、まだ長さが５ｃｍあるよ
横に２ｃｍ短くしたけど、まだ７ｃｍ残ってるよ

と言うことではなくて、縦が１ｃｍになって、横が２ｃｍになっているっていうことでしょうか？

そうすると、
「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」の部分で
すなわち、　x>2となるのは何故なんでしょうか？
x>1のほうが小さいんだから、x>1にしたほうがいいんじゃないでしょうか？

また、

なぜ、6x　が出てくるのでしょうか？

ということなんですが、書き間違いをしておりました。すみません。

正しくは

> ２）9,6x,x^(2)が１つの三角形の３辺の長さとなるのは、xがどんな範囲の値のときか。
>
> これも答えまで分かっているのですが、一つ分からないです。
>
> x^(2)+9>6x

と最初の6が6xなのが正解です。
問題の解説を読むと、「二辺の長さ＞１辺の長さ」というのを３つ作って、それを解いています
例えば、x~(2) -6x-9<0 は　x~(2) -6x-9=0　に変えて、3-3√2＜ｘ＜3+3√2　としています。

これって、x~(2) -6x-9>0だったら、答えはｘ＞3+3√2、3-3√2＞ｘ　になりますよね？

それで話を戻すと、その3つの式のうちの一つ　x^(2)+9>6x　を解くと、答えが x≠3になります。
これは重解で、D=36-36=0だし、x^(2)-6x+9>0 で　0を含まず、0より大きいから、公式でx=αを含まない全ての数、ということになるんですよね？

一番最後の問題は解いてみようとしましたが、やはり難しく、解けません。

今、青チャートを使って、基本問題だけ解いているんですが、自分には向いてないんでしょうか？
もっと他の参考書のほうがいいのでしょうか？
こちらのアドバイスもいただけたら、ありがたいです。

おねがいします。

No.18055 - 2012/07/18(Wed) 23:09:18

☆ Re: 不等式 / ITVISION

>これをよく読むと、縦に１ｃｍ短くしたけど、まだ長さが５ｃｍあるよ
>横に２ｃｍ短くしたけど、まだ７ｃｍ残ってるよ
>と言うことではなくて、縦が１ｃｍになって、横が２ｃｍになっているっていうことでしょうか？
前者としか読めないと思います。

No.18057 - 2012/07/18(Wed) 23:24:43

☆ Re: 不等式 / ベルカ

ありがとうございます。

２cm短くしても、まだ□cm残っているってことは、元の長さをｘcmとすると。x＝２+□、□＞０ですから、□＝ｘ－２＞０、すなわち　ｘ＞２ですよね。

これって、縦で考えたら、□=x-1>-0 より　x>1　となりませんか？
x>1を何故無視して、x>2を重視するのでしょうか？

No.18059 - 2012/07/18(Wed) 23:30:08

☆ Re: 不等式 / ITVISION

x>1を無視したり、x>2を重視したりしていません。
x>2ならx>1も満たします。
x>1なら、例えばx=1.5もokになりますが、これではx>2を満たしません。両方を満たすことが必要です。

No.18061 - 2012/07/18(Wed) 23:36:17

★ 整式の割り算 / ktdg

xの3次式f(x)=ax^3+(a^2+b)x^2+(2ab+c)x+a^2+b^2-a
g(x)=ax^3+(a^2-b)x^2+(a-1)x+c^2-b^2
およびxの2次式h(x)=x^2+ax+b(a,b,cは定数,a≠0)を考える。
f(x),g(x)はともにh(x)で割り切れるか、または、ともにh(x)で割り切れないかのいずれかであることを示せ。

解答では、
f(x)をh(x)で割った余りは、g(x)を割った余りはより、
c=0かつa=1のとき、f(x)、g(x)は共にh(x)で割り切れ、それ以外のときはどちらも割り切れない。よって題意は示された。
となっていたのですが、「いずれかであること」を示さなければならないのに、

No.18035 - 2012/07/18(Wed) 00:25:22

☆ Re: 整式の割り算 / ktdg

すいません途中できれてしまいました。続きです。
解答では、
f(x)、g(x)をh(x)で割った余りはそれぞれcx+a(a-1)と(a-1)x+c^2であり、これらが0になる条件は、c=0かつa=1であり、、それ以外のときはどちらの余りも0でない。よって題意は示された。
となっていたのですが、「割り切れるか、割り切れないかのいずれかである」ことを示さなければならないのに、「どちらでもある」というのは、題意を示しせていないようなきがするのですが…
変な質問かもしれませんが納得できません。お願いします。

No.18036 - 2012/07/18(Wed) 00:53:31

☆ Re: 整式の割り算 / ast

最後の数行からは誤解があるように聞こえるので最初に確認しておきますが, 示すべきことは a, b, c を決めるごとに「ともに割れる」または「ともに割れない」のいずれかになることです. a, b, c の値によってどちらの場合が起きても構いませんし, 実際に異なる a, b, c に対してどちらの場合も起きます.

言葉を変えれば, どんな a, b, c を与えても「一方が割れて他方が割れない」ということは起きないことを示すという問題なのです. それで, どちらでもいいから一方が割れる条件を求めると c=0 かつ a=1 の場合しかなくて, 実際にはそれで他方も割れてしまうので, それで話は終わりです (条件が共通の一つしかないので, 一方が割れないときに他方が割れることはないことも同時に示したことになる).

No.18037 - 2012/07/18(Wed) 03:33:47

☆ Re: 整式の割り算 / ktdg

> 言葉を変えれば, どんな a, b, c を与えても「一方が割れて他方が割れない」ということは起きないことを示すという問題なのです.
なるほど、こういうことなんですね。理解できました。ありがとうございます。

No.18063 - 2012/07/18(Wed) 23:46:15

★ 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

関数f(x)=x^(2)-6x+a (a≦x≦a+4)の最小値、最大値をaの関数で表して、それぞれをg(a),G(a)で表す。
g(a),G(a)の最小値をそれぞれ求めよ。

aの範囲設定やaの数字の決め方が全く分かりません。
何故、そうなるのか、というところを詳しく易しく教えてほしいです。
おねがいします！

No.18032 - 2012/07/17(Tue) 22:38:42

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

f(x) は、ｘ＝３で極小値(頂点)となります。
よって、この頂点が、a≦x≦a+4 に対して、どのような位置にあるかで、
最大、最小の現れ方が違います。
３＜ａのとき、f(a) が最小、f(a+4) が最大
ａ≦３＜ａ＋２　のとき、f(3) が最小、f(a+4) が最大
ａ＋２≦３≦ａ＋４　のとき　f(3)が最小、f(a) が最大
ａ＋４＜３　のとき、f(a+4) が最小、f(a) が最大
となります。

No.18034 - 2012/07/17(Tue) 23:00:34

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

ありがとうございました。
x=3が軸になることは分かりました。

というころは、(a≦x≦a+4)に３を代入して考えると言うことでしょうか？
そこで、aが３より大きい、小さい、真ん中、
を考えると言うことでしょうか？
でも、答えでは、aやa+4が重要視されているようです。
何故なんでしょうか？

No.18040 - 2012/07/18(Wed) 16:11:15

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

y=f(x) のグラフと、定義域　a≦x≦a+4 の位置関係は、
下のように４種類あります。
それを場合分けしたのが上の４行です。

No.18046 - 2012/07/18(Wed) 18:51:15

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

ありがとうございます。

３＜ａのとき、f(a) が最小、f(a+4) が最大
ａ≦３＜ａ＋２　のとき、f(3) が最小、f(a+4) が最大
ａ＋２≦３≦ａ＋４　のとき　f(3)が最小、f(a) が最大
ａ＋４＜３　のとき、f(a+4) が最小、f(a) が最大

を計算すると、上から

３＜a
a≦３
31
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

の式になり、一つずつ当てはめていって、答えが出るのでしょうか？
グラフを見ながらだと分かりやすそうですが、こういう問題を解くコツはあるのでしょうか？

No.18056 - 2012/07/18(Wed) 23:19:54

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

３＜a
a≦３
31
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

は

３＜a
a≦３
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

でした。すみません。

No.18060 - 2012/07/18(Wed) 23:31:37

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

グラフを見ながらだと分かりやすいなら、それがコツでしょう。

No.18064 - 2012/07/18(Wed) 23:48:40