ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 犬好きおやじ

A,B,Cの3人がじゃんけんをする。1回のじゃんけんで、1人だけが勝った場合は、勝った人に2点が、ちょうど2人が勝った場合は、勝った2人にそれぞれ1点が与えられる。負けた人や、藍子の場合には得点は与えられない。じゃんけんを3回行うとき、次の確率を求めよ。
(1)Aの得点が2点となる確率
(2)Aの得点が3点となる確率
という問題で、場合分けをしながら計算しても答えが合いません。(1)20/81、(2)80/729が解答になっています。ご指導お願い致します。

No.18043 - 2012/07/18(Wed) 17:13:16

☆ Re: / ヨッシー

Ａに着目すると、
一人勝ち　1/9
二人勝ち　2/9
それ以外　2/3
です。

(1)
一人勝ち、それ以外、それ以外　1/9×2/3×2/3＝4/81
それ以外、一人勝ち、それ以外　4/81
それ以外、それ以外、一人勝ち　4/81
二人勝ち、二人勝ち、それ以外　2/9×2/9×2/3＝8/243
二人勝ち、それ以外、二人勝ち　8/243
それ以外、二人勝ち、それ以外　8/243
全部足して、20/81 です。

(2)
一人勝ち、二人勝ち、それ以外　1/9×2/9×2/3＝4/243
　これの並べ替えが　６通りあります。
二人勝ち、二人勝ち、二人勝ち　2/9×2/9×2/9＝8/729
　4/243×6＋8/729＝72/729＋8/729＝80/729

となります。

No.18048 - 2012/07/18(Wed) 19:00:00

☆ Re: / 犬好きおやじ

ヨッシーさん、ありがとうございました。へんてこな場合わけをしていたようで、スッキリしました。（１）の6つ目の場合分けは「それ以外、二人勝ち、二人勝ち」と分ければいいんですよね？

No.18070 - 2012/07/19(Thu) 12:27:17

☆ Re: / ヨッシー

あ、そうです。
コピペミスです。

No.18072 - 2012/07/19(Thu) 18:38:03

★ 不等式 / ベルカ

１）立方体Ａがある。立方体を縦に１ｃｍ、横に２ｃｍ縮め、高さを４ｃｍ伸ばして立方体Ｂをつくる。Ｂの体積がＡの体積より大きくなるのはＡがどんな立方体のときか。

答えまでいけるんですが、式の途中で一つ分からないところがあります。
「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」
となっています。
何故突然、こんな事が言えるのでしょうか？

２）9,6,x^(2)が１つの三角形の３辺の長さとなるのは、xがどんな範囲の値のときか。

これも答えまで分かっているのですが、一つ分からないです。

x^(2)+9>6x
x^(2) -6x+9>0
(x-3)^(2)>0
不等式の解は、x≠3

となっています。
これって要するに、３以外の全ての数ってことですよね。
x≠3だけだと、xが3ではないってことしか表せないんじゃないでしょうか？

3)x^(2) +ax+a+3=0, x^(2) -2(a-2)x+a=0,
x^(2) +4x+a^(2) -a-2
の中で１つだけ実数解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。

これで答えの不等号が、≦になってたり＜になってたりします。どこで判断して、これは≦だ、とかこっちは＞だ、とか判断するんでしょうか？

おねがいします。

No.18042 - 2012/07/18(Wed) 16:30:50

☆ Re: 不等式 / ベルカ

ありがとうございます。
立方体のことなんですが

> １）立方体Ａがある。立方体を縦に１ｃｍ、横に２ｃｍ縮め、高さを４ｃｍ伸ばして立方体Ｂをつくる。Ｂの体積がＡの体積より大きくなるのはＡがどんな立方体のときか。
>
> 答えまでいけるんですが、式の途中で一つ分からないところがあります。
> 「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」
> となっています。
> 何故突然、こんな事が言えるのでしょうか？

これをよく読むと、縦に１ｃｍ短くしたけど、まだ長さが５ｃｍあるよ
横に２ｃｍ短くしたけど、まだ７ｃｍ残ってるよ

と言うことではなくて、縦が１ｃｍになって、横が２ｃｍになっているっていうことでしょうか？

そうすると、
「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」の部分で
すなわち、　x>2となるのは何故なんでしょうか？
x>1のほうが小さいんだから、x>1にしたほうがいいんじゃないでしょうか？

また、

なぜ、6x　が出てくるのでしょうか？

ということなんですが、書き間違いをしておりました。すみません。

正しくは

> ２）9,6x,x^(2)が１つの三角形の３辺の長さとなるのは、xがどんな範囲の値のときか。
>
> これも答えまで分かっているのですが、一つ分からないです。
>
> x^(2)+9>6x

と最初の6が6xなのが正解です。
問題の解説を読むと、「二辺の長さ＞１辺の長さ」というのを３つ作って、それを解いています
例えば、x~(2) -6x-9<0 は　x~(2) -6x-9=0　に変えて、3-3√2＜ｘ＜3+3√2　としています。

これって、x~(2) -6x-9>0だったら、答えはｘ＞3+3√2、3-3√2＞ｘ　になりますよね？

それで話を戻すと、その3つの式のうちの一つ　x^(2)+9>6x　を解くと、答えが x≠3になります。
これは重解で、D=36-36=0だし、x^(2)-6x+9>0 で　0を含まず、0より大きいから、公式でx=αを含まない全ての数、ということになるんですよね？

一番最後の問題は解いてみようとしましたが、やはり難しく、解けません。

今、青チャートを使って、基本問題だけ解いているんですが、自分には向いてないんでしょうか？
もっと他の参考書のほうがいいのでしょうか？
こちらのアドバイスもいただけたら、ありがたいです。

おねがいします。

No.18055 - 2012/07/18(Wed) 23:09:18

☆ Re: 不等式 / ITVISION

>これをよく読むと、縦に１ｃｍ短くしたけど、まだ長さが５ｃｍあるよ
>横に２ｃｍ短くしたけど、まだ７ｃｍ残ってるよ
>と言うことではなくて、縦が１ｃｍになって、横が２ｃｍになっているっていうことでしょうか？
前者としか読めないと思います。

No.18057 - 2012/07/18(Wed) 23:24:43

☆ Re: 不等式 / ベルカ

ありがとうございます。

２cm短くしても、まだ□cm残っているってことは、元の長さをｘcmとすると。x＝２+□、□＞０ですから、□＝ｘ－２＞０、すなわち　ｘ＞２ですよね。

これって、縦で考えたら、□=x-1>-0 より　x>1　となりませんか？
x>1を何故無視して、x>2を重視するのでしょうか？

No.18059 - 2012/07/18(Wed) 23:30:08

☆ Re: 不等式 / ITVISION

x>1を無視したり、x>2を重視したりしていません。
x>2ならx>1も満たします。
x>1なら、例えばx=1.5もokになりますが、これではx>2を満たしません。両方を満たすことが必要です。

No.18061 - 2012/07/18(Wed) 23:36:17

★ 整式の割り算 / ktdg

xの3次式f(x)=ax^3+(a^2+b)x^2+(2ab+c)x+a^2+b^2-a
g(x)=ax^3+(a^2-b)x^2+(a-1)x+c^2-b^2
およびxの2次式h(x)=x^2+ax+b(a,b,cは定数,a≠0)を考える。
f(x),g(x)はともにh(x)で割り切れるか、または、ともにh(x)で割り切れないかのいずれかであることを示せ。

解答では、
f(x)をh(x)で割った余りは、g(x)を割った余りはより、
c=0かつa=1のとき、f(x)、g(x)は共にh(x)で割り切れ、それ以外のときはどちらも割り切れない。よって題意は示された。
となっていたのですが、「いずれかであること」を示さなければならないのに、

No.18035 - 2012/07/18(Wed) 00:25:22

☆ Re: 整式の割り算 / ktdg

すいません途中できれてしまいました。続きです。
解答では、
f(x)、g(x)をh(x)で割った余りはそれぞれcx+a(a-1)と(a-1)x+c^2であり、これらが0になる条件は、c=0かつa=1であり、、それ以外のときはどちらの余りも0でない。よって題意は示された。
となっていたのですが、「割り切れるか、割り切れないかのいずれかである」ことを示さなければならないのに、「どちらでもある」というのは、題意を示しせていないようなきがするのですが…
変な質問かもしれませんが納得できません。お願いします。

No.18036 - 2012/07/18(Wed) 00:53:31

☆ Re: 整式の割り算 / ast

最後の数行からは誤解があるように聞こえるので最初に確認しておきますが, 示すべきことは a, b, c を決めるごとに「ともに割れる」または「ともに割れない」のいずれかになることです. a, b, c の値によってどちらの場合が起きても構いませんし, 実際に異なる a, b, c に対してどちらの場合も起きます.

言葉を変えれば, どんな a, b, c を与えても「一方が割れて他方が割れない」ということは起きないことを示すという問題なのです. それで, どちらでもいいから一方が割れる条件を求めると c=0 かつ a=1 の場合しかなくて, 実際にはそれで他方も割れてしまうので, それで話は終わりです (条件が共通の一つしかないので, 一方が割れないときに他方が割れることはないことも同時に示したことになる).

No.18037 - 2012/07/18(Wed) 03:33:47

☆ Re: 整式の割り算 / ktdg

> 言葉を変えれば, どんな a, b, c を与えても「一方が割れて他方が割れない」ということは起きないことを示すという問題なのです.
なるほど、こういうことなんですね。理解できました。ありがとうございます。

No.18063 - 2012/07/18(Wed) 23:46:15

★ 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

関数f(x)=x^(2)-6x+a (a≦x≦a+4)の最小値、最大値をaの関数で表して、それぞれをg(a),G(a)で表す。
g(a),G(a)の最小値をそれぞれ求めよ。

aの範囲設定やaの数字の決め方が全く分かりません。
何故、そうなるのか、というところを詳しく易しく教えてほしいです。
おねがいします！

No.18032 - 2012/07/17(Tue) 22:38:42

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

f(x) は、ｘ＝３で極小値(頂点)となります。
よって、この頂点が、a≦x≦a+4 に対して、どのような位置にあるかで、
最大、最小の現れ方が違います。
３＜ａのとき、f(a) が最小、f(a+4) が最大
ａ≦３＜ａ＋２　のとき、f(3) が最小、f(a+4) が最大
ａ＋２≦３≦ａ＋４　のとき　f(3)が最小、f(a) が最大
ａ＋４＜３　のとき、f(a+4) が最小、f(a) が最大
となります。

No.18034 - 2012/07/17(Tue) 23:00:34

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

ありがとうございました。
x=3が軸になることは分かりました。

というころは、(a≦x≦a+4)に３を代入して考えると言うことでしょうか？
そこで、aが３より大きい、小さい、真ん中、
を考えると言うことでしょうか？
でも、答えでは、aやa+4が重要視されているようです。
何故なんでしょうか？

No.18040 - 2012/07/18(Wed) 16:11:15

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

y=f(x) のグラフと、定義域　a≦x≦a+4 の位置関係は、
下のように４種類あります。
それを場合分けしたのが上の４行です。

No.18046 - 2012/07/18(Wed) 18:51:15

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

ありがとうございます。

３＜ａのとき、f(a) が最小、f(a+4) が最大
ａ≦３＜ａ＋２　のとき、f(3) が最小、f(a+4) が最大
ａ＋２≦３≦ａ＋４　のとき　f(3)が最小、f(a) が最大
ａ＋４＜３　のとき、f(a+4) が最小、f(a) が最大

を計算すると、上から

３＜a
a≦３
31
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

の式になり、一つずつ当てはめていって、答えが出るのでしょうか？
グラフを見ながらだと分かりやすそうですが、こういう問題を解くコツはあるのでしょうか？

No.18056 - 2012/07/18(Wed) 23:19:54

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

３＜a
a≦３
31
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

は

３＜a
a≦３
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

でした。すみません。

No.18060 - 2012/07/18(Wed) 23:31:37

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

グラフを見ながらだと分かりやすいなら、それがコツでしょう。

No.18064 - 2012/07/18(Wed) 23:48:40

★ 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ベルカ

文章問題が出たときの解き方のコツがわかりません。
３題あるんですが、どのように考えて、どのように記号を決めて、どのように式を決めるのか、流れも教えてほしいです。

１）ある商品の価格が１００円のときは、１日に５００個が売れ、価格を１円あげるごとに売れる個数が２個ずつ減るという。

Ａ、１日の売上総額y（円）を価格x（円）の式で表せ

Ｂ、１日の売上総額を最大にするためには、価格をいくらにすればよいか、また、その時の売上総額と売上個数を求めよ

これはＡで式を作れればＢも解けそうなんですが、うまくいきません。

２）１本の細い針金がある。これを２つに分けて２つの円周を作る。この２円の面積の我が最小となるのはどのようなときか。

これも式の作り方がわかりません。分かればいける気がするんですが・・。

３）分速８００ｍで北に向かう船Ａと、分速６００ｍで西に向かう船Ｂがある。両船の航路の交点をＯとする。
現在、ＡはＯの南２ｋｍ、ＢはＯの東４ｋｍにいる。この２隻の船が最も近づくとき、両船間の距離南何ｋｍか。

昔から文章題が苦手で、本当にどう手をつけたらいいのやら・・。
どなたかわかりやすく教えてほしいです。
お願いします！

No.18031 - 2012/07/17(Tue) 21:40:21

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ヨッシー

1)Ａ．
価格ｘ円が
　ｘ＝１００　のとき　個数は　５００
　ｘ＝１０１　のとき　個数は　４９８
　ｘ＝１０２　のとき　個数は　４９６
のように、ｘが１増えると、個数は２減るので、
個数は、　－２ｘ＋(　　) の形で表されます。
ｘ＝１００のときに個数が５００になるように(　　)の中に
数字を入れると、個数は　－２ｘ＋７００
よって、売上総額ｙは・・・(略)
Ｂ．は、Ａ．が出来れば、出来るでしょう。

2) 針金の長さをＬとし、分けたときの一方をｘ（０＜ｘ＜Ｌ/２）
とすると、もう一方はＬ－ｘ。
これで円を作ると、長さｘの方の半径は　ｘ/２π、もう一方の
半径は(Ｌ－ｘ)/２π
面積はそれぞれ、
π(ｘ/２π)^2＝ｘ^2/４π
π{(Ｌ－ｘ)/２π}^2＝(Ｌ－ｘ)^2/４π
よって、面積の和は
　{ｘ^2＋(Ｌ－ｘ)^2}/４π
これの最小を求めます。

3)
Ｏを原点として、東方向をｘ軸、北方向をｙ軸とします。
時刻０(現在)のＡの位置を（0, -2000)、Ｂの位置を(4000, 0) とします。
ｘ分後のそれぞれの船の位置は、
(0, -2000＋800x)、(4000－600x, 0) であるので、ＡＢの距離をＬとすると、
　Ｌ^2＝(4000－600x)^2＋(-2000＋800x)^2
Ｌ≧０なので、Ｌ^2 が最小のとき、Ｌも最小。

No.18033 - 2012/07/17(Tue) 22:56:04

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ベルカ

ありがとうございました。

ｘが１増えると、個数は２減るので、
個数は、　－２ｘ＋(　　) の形で表されます。

と言うところなんですが、何故、－２ｘ＋(　　) が出てきたんでしょうか？
文章の中に式を作るヒントがあったのでしょうか？

これで円を作ると、長さｘの方の半径は　ｘ/２π、もう一方の
半径は(Ｌ－ｘ)/２π

ここはどうして、こういう式が導き出されたんでしょうか？
円の半径はｒで普通あらわされますけど、そこにヒントがあるのでしょうか？

(0, -2000＋800x)、(4000－600x, 0) であるので、ＡＢの距離をＬとすると、
　Ｌ^2＝(4000－600x)^2＋(-2000＋800x)^2

xは何を表しているのでしょうか？
時間でしょうか？

No.18041 - 2012/07/18(Wed) 16:20:17

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ヨッシー

1) y=ax+b という１次関数の式において、ｘが１増えると
ｙはａ増えます。このａを変化の割合といって、式の上では、
ｘの係数(傾き)に現れます。

2)
半径ｒの円の周の長さは、２πｒなので、円の周の長さがｘだと、
半径は、ｘ/２π　です。　他方も同様です。

3)
>ｘ分後のそれぞれの船の位置は、
なので、時間(分)です。

No.18045 - 2012/07/18(Wed) 18:37:03

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ベルカ

分かりました！
丁寧に教えてくださってありがとうございました！

No.18058 - 2012/07/18(Wed) 23:26:42

★ 初等幾何 / きむら

高校三年生のきむらです。
正三角形ABCに対して，BP^2+CP^2=AP^2を満たすとき，Pの軌跡を求めよ。
この問題で、三平方の定理の逆と円周角の定理など初等幾何を使って求める方法を教えてください。

座標を使う方法と中線定理を使う方法とベクトルを使う方法では求められ、正三角形ABCに対して、頂点Aの辺BCについて対称な点A'を中心、正三角形の1辺の長さを半径とする円となりました。

No.18027 - 2012/07/17(Tue) 01:09:43

☆ Re: 初等幾何 / ヨッシー

図のように、△ＡＣＰを点Ｃ回りに60°回転させ、△ＢＰＱを
作ると、∠ＢＰＱ＝90°になり、
1) 点Ｐが△ＡＢＣの外にある場合、∠ＢＰＣは常に30°
2) 点Ｐが△ＡＢＣの内にある場合、∠ＢＰＣは常に150°
となります。点Ｐが、点Ｂまたは点Ｃ上にあるときは、
明らかに BP^2+CP^2=AP^2 であるので、全体として、
上に書かれたようなＡ’中心、半径ＢＣの円になります。

No.18028 - 2012/07/17(Tue) 10:54:32

☆ Re: 初等幾何 / きむら

回答ありがとうございます。
∠BPQ=90゜はどのように説明すればいいですか？

No.18038 - 2012/07/18(Wed) 14:45:19

☆ Re: 初等幾何 / ヨッシー

BP^2+CP^2=AP^2 より、・・・
三平方の定理の逆です。

No.18039 - 2012/07/18(Wed) 15:00:10

☆ Re: 初等幾何 / きむら

回答ありがとうございます。

中心がA'となることと半径がBCになることはどのように示せばいいですか？

No.18054 - 2012/07/18(Wed) 23:08:08

☆ Re: 初等幾何 / ヨッシー

点Ｐが、△ＡＢＣの内部にある時は、∠ＢＰＣは常に150°です。
点Ｐが、△ＡＢＣの外部にある時は、∠ＢＰＣは常に30°です。
以上を踏まえて、円周角の性質より、Ｐの軌跡はどんな円かを考えれば
わかると思います。

No.18066 - 2012/07/18(Wed) 23:55:47

★ 高3 ベクトル / ktdg

以下の→はベクトルを表します。
平面上に三角形ABCと動点Pがあり、Pが
PA→・PB→+PB→・PC→+PC→・PA→=AB→・AC→ー?@
を満たしているとき、次の問いに答えよ。
(1)Pの軌跡を求めよ。
(2)BC=5、CB=4、AB=3のとき、内積PB→・PC→の最大値、最小値を求めよ。

(1)
xy平面上に三角形ABCをA(0,a)、B(b,0)、C(c,0)として定める。(但しc>b)。また、Pの座標をP(X,Y)とすると、
PA→=(-X,a-Y)、PB→=(b-X,-Y)、PC→=(c-X,-Y)、AB→=(b,-a)、AC→=(c,-a)より、?@に代入して、
3X^2-2(b+c)X+3Y^2-2aY=a^2
⇔{X-(b+c)/3}^2+(Y-a/3)^2=4a^2/9+(b+c)^2/3
従って、xy平面上におけるPの軌跡は、中心(b+c/3,a/3)、半径√{4a^2/9+(b+c)^2/3}の円である。

ここからどうやって三角形ABCと点Pの関係にもっていくのかがわかりません。

No.18017 - 2012/07/15(Sun) 14:57:43

☆ Re: 高3 ベクトル / X

まず中心である点((b+c)/3,a/3)ですがこれは△ABCの重心
となってます。
問題は半径の処理ですがこれは別の角度から考えましょう。
問題の軌跡は点Aを通ります(方程式に座標を代入して確かめて下さい)。
従って解答は
△ABCの重心をGとするとき、Gを中心、AGを半径とする円
となります。

No.18019 - 2012/07/15(Sun) 20:02:02

☆ Re: 高3 ベクトル / ktdg

回答ありがとうございます。
軌跡が点Aを通るというのはたしかに座標を代入してみるとわかりますが、点Aを通るという発想はどこかにヒントがあるのでしょうか。(感覚的なものかもしれませんが、中心が三角形の重心というのは座標((b+c)/3,a/3)からなんとなく予想ができそうですが、半径から、円が点Aを通るというのは予想がつきません。)

No.18021 - 2012/07/15(Sun) 22:04:36

☆ Re: 高3 ベクトル / X

中心の座標
((b+c)/3,a/3)
を見てこれが△ABCの重心ではないか？との発想は必要だと
思います(少なくとも私はktdgさんの計算過程を見て
気付きました。)。
ですが半径である
√{(4/9)a^2/9+(1/3)(b+c)^2}
は意味付けが難しいと思います。
となると後できることといえば、分かっている
比較的簡単な点(例えば辺ABの中点など)で問題の軌跡が
通るものを探す以外に方法は無いと思います。

ちなみにこれはベクトル方程式の考え方を用いると
半径、中心が容易に特定できます。
その別解は以下の通りです。
↑AP=↑p
と置いて問題の等式を整理すると
3|↑p|^2-2(↑AB+↑AC)・↑p=0
∴|↑p-(↑AB+↑AC)/3|^2=|(↑AB+↑AC)/3|^2
∴△ABCの重心をGとすると
|↑p-↑AG|=|↑AG|
よって点PはGを中心とする半径AGの円を描きます。

No.18022 - 2012/07/15(Sun) 22:46:48

☆ Re: 高3 ベクトル / ktdg

なるほど、ベクトル方程式だと一目瞭然ですね、
ありがとうございました。

No.18025 - 2012/07/16(Mon) 18:05:57

★ 無限級数の和 / たっけ

整数n>=20に対して1!+2!+...+(n-1)!<n!/10　であることを示せ。
という問題をお願いします。

n-1
Σk! を考えればよいのかなと思ったのですが....
k=!

No.18015 - 2012/07/15(Sun) 09:50:31

☆ Re: 無限級数の和 / のぼりん

こんにちは。
　　　左辺＜（ｎ－１）！/２^ｎ－２＋（ｎ－１）！/２^ｎ－３＋…＋（ｎ－１）！/２^０
　　　＝（ｎ－１）！（１－１/２^ｎ－１）/（１－１/２）
　　　＜２（ｎ－１）！≦ｎ/１０・（ｎ－１）！＝右辺
です。

No.18016 - 2012/07/15(Sun) 11:05:10

☆ Re: 無限級数の和 / たっけ

ありがとうございます！！

しかし、なぜ
二行目　（ｎ－１）！（１－１/２ｎ－１）/（１－１/２）
と変形できるのかがわかりません。(>_<)

No.18026 - 2012/07/16(Mon) 19:30:05

☆ Re: 無限級数の和 / ヨッシー

（ｎ－１）！/２^ｎ－２＋（ｎ－１）！/２^ｎ－３＋…＋（ｎ－１）！/２⁰
＝(n-1)!{1/2^n-2＋2^n-3＋・・・＋1/2⁰}
であり、{　}の中は等比数列です。
等比数列の和の公式を使えば上のようになります。

私は、等比数列の和の公式をいちいち覚えていないので、以下のようにやります。
　Ｓ＝1/2^n-2＋2^n-3＋・・・＋1/2⁰　・・・(i)
とおくと、
　(1/2)Ｓ＝1/2^n-1＋2^n-2＋・・・＋1/2¹　・・・(ii)
(i)－(ii) より
　(1/2)Ｓ＝1/2⁰－1/2^n-1
　Ｓ＝２(１－1/2^n-1)
となります。

No.18029 - 2012/07/17(Tue) 17:16:50

★ 極値　増減 / さくら

y=x^5-5x^3+1という関数があります。
この関数の増減を調べ、極値を求めよという問題がありました。
私の答えは極小値がx＝√3のとき1-6√3,極大値がx=-√3のときに１＋６√3になりました。
けれど回答を見たら極大値のところが最大値と書いてありました。

なぜかがわかりません。
増減表もかいていただけるとありがたいです。

No.18010 - 2012/07/14(Sat) 11:01:47

☆ Re: 極値　増減 / ITVISION

xの範囲（定義域）が限定されているのではないですか？
それにしても「極値を求めよ」という問題なのなら「最大値」を求めるのは間違いですよね。誤植ではないでしょうか？

xの範囲が実数全体だとすると

最小値も最大値も存在しないので〔回答〕は誤りだと思います。

極小値がx＝√3のとき1-6√3,極大値がx=-√3のときに１＋６√3 で正解だと思います。

No.18011 - 2012/07/14(Sat) 13:00:32

★ 数列 / あい

この問題教えてください。
よろしくお願いします。

No.17987 - 2012/07/09(Mon) 00:22:38

☆ Re: 数列 / ヨッシー

ａ1ａ2＝０より、ａ1＝０　または　ａ2＝０

(1)
1) ａ1＝０，ａ2≠０のとき
　ａ3＝ａ2²
　ａ4＝ａ3²－|ａ2|＝０
より
　ａ3²＝|ａ2|＝ａ2⁴
ａ2 は実数より、ａ2＝±1
2) ａ2＝０，ａ1≠０のとき
　ａ3＝－|ａ1|
　ａ4＝ａ3²＝ａ1
より
　ａ3²＝ａ1＝ａ1²
よってａ＝１
以上より、ａ1＝０、ａ2＝±１、ａ3＝１　または　ａ1＝１、ａ2＝０、ａ3＝－１

(2)
ａ1＝０、ａ2＝±１、ａ3＝１　のとき
　ａ5＝ａ4²－|ａ3|＝－１＝ａ2
より、ａ2＝－１
ａ1＝０、ａ2＝－１、ａ3＝１　とし、
　ａ[3n-2]＝０，ａ[3n-1]＝－１，ａ[3n]＝１　（ｎ＝１，２，３・・・）　・・・(A)
と推測します。
n=1 のとき、(A) は成り立ちます。
n=k のとき、(A) が成り立つとき、つまり
　ａ[3k-2]＝０，ａ[3k-1]＝－１，ａ[3k]＝１
のとき、n=k+1 について考えると、
　ａ[3k+1]＝ａ[3k]^2－|ａ[3k-1]|＝１－|－１|＝０
　ａ[3k+2]＝ａ[3k+1]^2－|ａ[3k]|＝０－１＝－１
　ａ[3k+3]＝ａ[3k+2]^2－|ａ[3k+1]|＝(－１)²－０＝１
となり、n=k+1 のときも、(A) が成り立ちます。
以上より、任意の自然数ｎに対して、
　ａ[3n-2]＝０，ａ[3n-1]＝－１，ａ[3n]＝１
が成り立ち、ａn は周期３の周期関数となります。

ａ1＝１、ａ2＝０、ａ3＝－１　のとき
　ａ[3n-2]＝１，ａ[3n-1]＝０，ａ[3n]＝－１　（ｎ＝１，２，３・・・）　・・・(B)
と推測します。
n=1 のとき、(B) は成り立ちます。
n=k のとき、(B) が成り立つとき、つまり
　ａ[3k-2]＝１，ａ[3k-1]＝０，ａ[3k]＝－１
のとき、n=k+1 について考えると、
　ａ[3k+1]＝ａ[3k]^2－|ａ[3k-1]|＝(－１)^2－|０|＝１
　ａ[3k+2]＝ａ[3k+1]^2－|ａ[3k]|＝１－|－１|＝０
　ａ[3k+3]＝ａ[3k+2]^2－|ａ[3k+1]|＝(０)²－１＝－１
となり、n=k+1 のときも、(B) が成り立ちます。
以上より、任意の自然数ｎに対して、
　ａ[3n-2]＝０，ａ[3n-1]＝－１，ａ[3n]＝１
が成り立ち、ａn は周期３の周期関数となります。

以上より、
ａ1＝０、ａ2＝－１、ａ3＝１　または　ａ1＝１、ａ2＝０、ａ3＝－１

No.17989 - 2012/07/09(Mon) 09:19:44

☆ Re: 数列 / あい

回答ありがとうございます。

(1)1)なのですがなぜ

ａ3^2＝|ａ2|＝ａ2^4
ａ2 は実数より、ａ2＝±1

となるのでしょうか？
2)もなぜ

ａ3^2＝ａ1＝ａ1^2
よってａ＝１

となるのでしょうか。

No.17991 - 2012/07/10(Tue) 23:51:11

☆ Re: 数列 / ヨッシー

ａ3^2＝|ａ2|＝ａ2^4 において、
ａ2^4＝|ａ2|^4 なので、ｘ＝|ａ2| とおくと、
　ｘ＝ｘ^4
移行して因数分解すると、
　ｘ^4－ｘ＝ｘ(ｘ^3－１)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ^2＋ｘ＋１)＝０
ｘは実数かつｘ≠０なので、
　ｘ＝|ａ2|＝１　よって、ａ2＝±１

2) の方は　ａ1＝ａ1^2 かつａ1≠０よりａ1＝１

です。

No.17993 - 2012/07/11(Wed) 07:05:40

☆ Re: 数列 / あい

わかりました！
ありがとうございました。

No.18002 - 2012/07/12(Thu) 20:51:51

★ 二次不等式 / 凛

二次不等式x^2-(a+1)x+a<0について、次の問いに答えよ。

(1)a=1のとき、不等式を解け。
(2)a≠1のとき、不等式を解け。
(3)不等式を満たす整数xがただ一つだけとなるときのaの値の範囲を求めよ。

という問題で(1)と(2)は分かったのですが(3)がよく分からない上に解答に解説が載っていないので困っています。

x^2-(a+1)x+aを二次関数y=x^2-(a+1)x+aにして考えたときにｙ<0のときのxの値がただ一つになるようにして解くのかなと思ったのですがy<0でxの値がただ一つというのをどうすればいいのか分からなくなりました。考え方自体が間違っているのでしょうか？
解説よろしくお願いします。

No.17983 - 2012/07/08(Sun) 14:36:49

☆ Re: 二次不等式 / ITVISION

>xの値がただ一つ
ではなくて「不等式を満たす整数xがただ一つ」です

たとえば　0＜ｘ＜2　なら　これを満たす整数はｘ＝１ただひとつです。
（１）、（２）の結果はどうなりましたか？　

No.17984 - 2012/07/08(Sun) 16:45:00

☆ Re: 二次不等式 / 凛

なるほど！解答ありがとうございます。

つまり、
x^2-(a+1)x+aを変形して(x-1)(x-a)に直したときxの値はa<x<1または1<x<aのどちらかになるからa<1,1<aで場合分けしてxが整数になるときが１つになるようにすればいいからa<1ならx=0の場合を作るようにして-1≦a<0 (a<x<1も考えるので≦にする）、同様に1<aのときはx=2を作るようにすればから2<a≦3
ということですか？

(1),(2)は

(1)
x^2-(a+1)x+a<0にa=1を代入して(x-1)^2<0だから解なし。

(2)
a<1,1<aで場合分けして

?@a<1のとき
a<x<1
?A1<aのとき
1<x<a　

と考えました。因みにどちらも二次関数のグラフに見立てて解くやり方で解きました。

No.17985 - 2012/07/08(Sun) 17:33:26

☆ Re: 二次不等式 / ITVISION

> つまり、
> x^2-(a+1)x+aを変形して(x-1)(x-a)に直したときxの値はa＜x＜1または1＜x＜aのどちらかになるからa＜1,1＜aで場合分けしてxが整数になるときが１つになるようにすればいいからa＜1ならx=0の場合を作るようにして-1≦a＜0 (a＜x＜1も考えるので≦にする）、同様に1＜aのときはx=2を作るようにすればから2＜a≦3
> ということですか？
それで良いと思います。

No.17986 - 2012/07/08(Sun) 17:54:52

★ xもyも2次のグラフ / みどり

y^2=x^2(1-x^2)-1/8のグラフを、以下の手順に従って予想しなさい。

(1)y^2=x(0≦x≦1)とy^2=2-x(1≦x≦2)のグラフをxy平面上に描きなさい。

(2)s=t(1-t)-1/8(s≧0,t≧0)のグラフをts平面上に描きなさい。

(3)y^2=t(1-t)-1/8(t≧0)のグラフをty平面上に描きなさい。

(4)y^2=x^2(1-x^2)-1/8のグラフをxy平面上に描きなさい。

(1)と(2)はわかりましたが、(3)と(4)がよくわからないです。(3)のグラフは(2)のグラフを丸めてしかもy軸対称になるそうですが、y軸対称の部分がよくわからないです。
(4)にいたっては全然わからないです。y軸対称でしかもx軸対称にまでなってしまうそうです。sやtをx^2やy^2にすると軸対称のグラフになるのでしょうか？
教えてください。よろしくお願いします。

No.17970 - 2012/07/05(Thu) 18:04:58

☆ Re: xもyも2次のグラフ / ITVISION

>。(3)のグラフは(2)のグラフを丸めてしかもy軸対称になるそうですが、y軸対称の部分がよくわからないです。
t軸対称ではないですか？
y^2=t(1-t)-1/8
移項して整理すると
y^2+t^2-t＝-1/8
y^2+(t-1/2)^2-1/4＝-1/8
y^2+(t-1/2)^2＝1/8＝(√2/4)^2　ですから円になります。

>sやtをx^2やy^2にすると軸対称のグラフになるのでしょうか？
点Ａ(x1,y1)がy^2=x^2(1-x^2)-1/8　上にあれば
点Ｂ(-x1,y1)：Ａとy軸対称
点Ｃ(x1,-y1)：Ａとx軸対称
点Ｄ(-x1,-y1)：Ｂとx軸対称、Ｃとy軸対称
もy^2=x^2(1-x^2)-1/8　上にあります。
y^2　と　x^2(1-x^2)-1/8　に代入して計算すればわかります。

私はグラフの作図や関数の挙動の確認のため
フリーソフトgrapesを使っています。（隠関数のグラフもかけます）
試験や授業では使えませんが、自習結果の確認などに重宝します。
www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

No.17971 - 2012/07/05(Thu) 19:14:32

☆ Re: xもyも2次のグラフ / みどり

ITVISION様

解説をしてくださってありがとうございました。
(3) はよくわかりました。(4)も軸対称まではよくわかりました。
(4)についてもう少し伺いたいのですが、f(x)が単調増加なら√f(x)も単調増加で、f(x)が単調減少なら√f(x)も単調減少ということはできるんでしょうか？(4)は円をy軸対称に二つ描いたような図形になるんでしょうか？

No.17979 - 2012/07/07(Sat) 17:49:49

☆ Re: xもyも2次のグラフ / ITVISION

> (4)についてもう少し伺いたいのですが、f(x)が単調増加なら√f(x)も単調増加で、f(x)が単調減少なら√f(x)も単調減少ということはできるんでしょうか？
そうですね。y=√x は、x＞0で単調増加ですから

きちんと証明すると
f(x)が単調増加なら
　f(x1)≧0　かつ　x2＞x1　のとき　f(x2)＞f(x1)≧0
　g(x)=√x は、x＞0で単調増加
　よって√f(x2)＞√f(x1)
　したがって√f(x)も単調増加

単調減少も同様

(4)は円をy軸対称に二つ描いたような図形になるんでしょうか？
そうですね、少しゆがんでいます。

No.17980 - 2012/07/07(Sat) 19:22:11

☆ Re: xもyも2次のグラフ / ITVISION

3つのグラフです。
(1)y^2=x(0≦x≦1) 少し範囲外もあります
(3)y^2=t(1-t)-1/8(t≧0)のグラフ　円です　x=tにしてます
(4)y^2=x^2(1-x^2)-1/8のグラフ

No.17982 - 2012/07/07(Sat) 19:37:23

★ 期待値 / PINK

XY平面上で点Pは原点を出発点とし、さいころを１回投げるたびに、１または２の目が出たときはX軸方向に１だけ進み、３の目が出たときはX軸方向に-１だけ進み、４または５の目が出た時はY軸方向に１だけ進み、６の目が出た時はY軸方向に
-１だけ進む。

(１)さいころを２回投げるとき、点PのX座標の期待値をお願いします。

No.17953 - 2012/07/03(Tue) 18:29:17

☆ Re: 期待値 / X

P(x,y)として、サイコロを２回投げた後で
(i)x=2となる場合
(ii)x=1となる場合
(iii)x=0となる場合
(iv)x=-1となる場合
(v)x=-2となる場合
の確率をまず求めます。

No.17955 - 2012/07/03(Tue) 19:43:24

☆ Re: 期待値 / PINK

何度計算してみ答えと合いません...ちなみに答えは1/3です
詳しく教えていただけたら幸いです。

No.17957 - 2012/07/03(Tue) 21:34:14

☆ Re: 期待値 / ITVISION

> 何度計算してみ答えと合いません...ちなみに答えは1/3

ご自分の計算をＵＰされると、間違いを指摘してもらえる可能性が高いと思いますよ。

No.17958 - 2012/07/03(Tue) 21:52:22

☆ Re: 期待値 / PINK

X軸=2　1または2の目が2回→1/9
X軸=1 1または2の目が１回かつ4または5の目が１回→1/9
1または2の目が１回かつ6の目が１回→1/18
X軸=0 1または2の目が１回かつ３の目が１回→1/18
4または5の目が２回→1/9
6の目が2回→1/36
4または5の目が1回かつ6の目が1回→1/18
X軸=-1 3の目が1回かつ4または5の目が1回→1/18
3の目が1回かつ6の目が1回→1/36
X軸=-2 3の目が2回→1/36

間違いの指摘お願いします。

No.17959 - 2012/07/03(Tue) 22:17:42

☆ Re: 期待値 / ITVISION

> X軸=2　1または2の目が2回→1/9
　ＯＫ
>　X軸=1 1または2の目が１回かつ4または5の目が１回→1/9
　1または2の目が１回かつ6の目が１回→1/18

順番が逆の場合があるので　×２　することになります。

それと、４、５、６の目はまとめて考えてもｏｋです。

X軸=0　の場合は、期待値を計算するときは、計算の必要がありません。

>　X軸=-1 3の目が1回かつ4または5の目が1回→1/18
　3の目が1回かつ6の目が1回→1/36
X軸=1のときと同じ間違いです。

> X軸=-2 3の目が2回→1/36
ｏｋです。

それぞれの値に確率を掛けて合計すると期待値ですね。

No.17960 - 2012/07/03(Tue) 22:36:28

☆ Re: 期待値 / PINK

ありがとうございました。助かりました

No.17961 - 2012/07/03(Tue) 23:46:32

☆ Re: 期待値 / ITVISION

サイコロを1回投げたときｘ軸方向に進む距離の期待値は
(1 ×　1/3）+（-１　×　1/6）＝　1/6

２回投げた後のX座標の期待値＝（1/6）*２　＝1/3
でもよいと思います。

No.17962 - 2012/07/04(Wed) 01:16:18